Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : mr.sainsworld@gmail ...Β Β· Dari hasil pada bagian (c),...
Transcript of Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : mr.sainsworld@gmail ...Β Β· Dari hasil pada bagian (c),...
Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : [email protected] ID Line : mr_sainsworld Contact Person : 0895701002686
1. Sebuah bola berada bermassa π dan berjari-jari berada di dalam sebuah ruangan
berdebu homogen dengan viskositas π. Bola ini dilemparkan dari lantai dengan
kecepatan awal π£0 dan membentuk sudut π dengan lantai.
a. Akibat debu, bola akan mendapat gaya hambat yang berbentuk πΉ β = βππ£ . Jika massa
jenis debu sangat kecil sehingga gaya hambat pada bola ini hanya disebabkan oleh
kekentalannya, tentukanlah nilai konstanta π!
b. Tentukan ketinggian maksimum bola dari lantai!
c. Tentukan perpindahan horizontal maksimum bola (jarak titik awal dan titik saat dia
tiba kembali di lantai)! Gunakan pendekatan nilai π yang kecil.
Petunjuk :
ππ₯
π₯= ln π₯ + πΆ
ππΌπ₯ππ₯ =1
πΌππΌπ₯ + πΆ
Untuk nilai πΌ yang cukup kecil berlaku
ππΌπ₯ β 1 + πΌπ₯
Solusi
a. Gaya hambat pada bola adalah gaya stokes
πΉ β = πΉ π = β6πππ π£
Maka
π = 6πππ
b. Persamaan gerak bola
πΉ β + π€ = ππ
βπ π£π₯π + π£π¦π + ππ βπ = π ππ₯π + ππ¦π
Dari definisi percepatan
ππ₯ =ππ£π₯
ππ‘ dan ππ¦ =
ππ£π¦
ππ‘
π£π₯ =ππ₯
ππ‘ dan π£π¦ =
ππ¦
ππ‘
Untuk masing-masing arah akan didapat
Arah π
βππ£π₯ = πππ£π₯
ππ‘
Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : [email protected] ID Line : mr_sainsworld Contact Person : 0895701002686
ππ£π₯
π£π₯
π£π₯
π£0π₯
= βπ
π ππ‘
π‘
0
ln π£π₯
π£0π₯ = β
π
ππ‘
Atau
π£π₯ = π£0π₯πβ
ππ
π‘
Berikutnya
ππ₯π₯
0
= π£0π₯ πβ
ππ
π‘ππ‘
π‘
0
π₯ =π
ππ£0π₯ 1 β π
βππ
π‘
Arah π
βππ£π¦ β ππ = πππ£π¦
ππ‘
π ππ£π¦ + ππ
ππ£π¦ + ππ
π£π¦
π£0π¦
= βπ
π ππ‘
π‘
0
ln ππ£π¦ + ππ
ππ£0π¦ + ππ = β
π
ππ‘
Atau
π£π¦ = π£0π¦πβ
ππ
π‘β
π
ππ 1 β π
βππ
π‘
Berikutnya
ππ¦π¦
0
= π£0π¦ πβ
ππ
π‘ππ‘
π‘
0
βπ
ππ 1 β π
βππ
π‘ ππ‘
π‘
0
π¦ =π
ππ£0π¦ 1 β π
βππ
π‘ β
π
π
2
π π
ππ‘ β π
βππ
π‘
Saat mencapai titik tertinggi, π£π¦ = 0
0 = π£0π¦πβ
ππ
π‘β
π
ππ 1 β π
βππ
π‘
ππ + ππ£0π¦ πβ
ππ
π‘= ππ
πβ
ππ
π‘=
ππ
ππ + ππ£0π¦ dan π‘ =
π
πln 1 +
ππ£0π¦
ππ
Sehingga, karena π£0π¦ = π£0 sin π, akan kita peroleh
Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : [email protected] ID Line : mr_sainsworld Contact Person : 0895701002686
π¦maks =π
ππ£0 sin π
ππ£0 sin π
ππ + ππ£0 sin π
β π
π
2
π ln 1 +ππ£0 sin π
ππ β
ππ
ππ + ππ£0 sin π
c. Saat mencapai titik terjauh, π¦ = 0
0 =π
ππ£0π¦ 1 β π
βππ
π‘ β
π
π
2
π π
ππ‘ β π
βππ
π‘
βπ
ππ£0π¦ +
π
π
2
π πβ
ππ
π‘=
π
π π£0π¦ β ππ‘
Gunakan
πβ
ππ
π‘β 1 β
π
ππ‘
Sehingga
2π
ππ£0π¦ β
π
π
2
π = π£0π¦π‘
π‘ =π
π 2 β
ππ
ππ£0π¦
Sehingga
πβ
ππ
π‘= π
β 2βππππ£0π¦
Untuk π£0π¦ = π£0 sin π dan π£0π₯ = π£0 cos π akan kita peroleh
π₯maks =π
ππ£0 cos π 1 β π
ππ
ππ£0 sinπβ2
Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : [email protected] ID Line : mr_sainsworld Contact Person : 0895701002686
2. Terdapat sebuah cakram bermassa π berjari-jari π yang berotasi dengan kecepatan
sudut konstan π terhadap sumbu π§. Pusat massa cakram π ini dibuat diam sehingga
gerakannya hanya rotasi murni. Terdapat pula sebuah batang bermassa π dan panjang
2πΏ yang di pasang pada suatu poros bebas gesekan di pinggir cakram di titik A yang ikut
berputar bersama cakram sehingga batang juga berotasi bersama cakram. Batang
membentuk sudut π terhadap sumbu radial positif. Percepatan gravitasi adalah π yang
arahnya ke bawah pada sumbu π§ negatif.
a. Gunakan pusat cakram sebagai titik asal sistem koordinat. Tentukan vektor posisi
dan vektor kecepatan pusat massa batang dinyatakan dalam π , πΏ, π, π , dan π!
b. Tentukan energi kinetik dan energi potensial sistem dan nyatakan dalam π, π, π , πΏ,
π, π , π dan π!
c. Tentukan suatu persamaan yang memberikan nilai sudut π untuk batang π pada
posisi kesetimbangan (anda tidak perlu menyelesaikan persamaan ini untuk
mendapatkan sudut π tersebut)!
d. Dari hasil pada bagian (c), buatlah suatu fungsi π1 dan π2 sebagai fungsi π dan
gambarkan kedua fungsi ini pada satu grafik serta tentukan titik potong kedua fungsi
ini untuk batas 0 < π < 2π! Apakah makna sudut π pada masing-masing titik potong
ini?
e. Tentukan apakah keseimbangan yang mungkin pada sistem ini (stabil, labil, atau
netral)!
f. Gambarkan diagram gaya untuk masing-masing posisi kesetimbangan untuk
memverifikasi hasil dari bagian (d) dan (e)!
π
π
π§
π π 2πΏ
π
π
π
π
π΄
Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : [email protected] ID Line : mr_sainsworld Contact Person : 0895701002686
g. Untuk posisi sistem pada keseimbangan stabil dan π cot3 π < π2π , jika sistem
disimpangkan dengan simpangan yang kecil, berapakah frekuensi sudut osilasi
sistem!
Solusi :
a. Vektor posisi pusat massa batang
π pm = π + πΏ cos π π + πΏ sin π π§
Vektor kecepatan pusat massa batang
π£ pm =ππ pm
ππ‘= βπΏπ sin π π + π + πΏ cos π ππ + πΏπ cos π π§
b. Energi kinetik sistem
π =1
2πΌππ +
1
2πΌπ§π
2 +1
2πΌπ΄π 2
Dengan πΌπ, πΌπ§, dan πΌπ΄ masing-masing adalah momen inersia cakram, momen inersia
batang terhadap sumbu π§ dan momen inersia batang dengan sumbu rotasi garis
singgung lingkaran yang menyinggung titik A.
πΌπ =1
2ππ 2
Untuk menghitung πΌπ§ tinjau sebuah elemen massa ππ pada batang yang berjarak π
dari ujung bawah batang, maka momen inersia massa ππ ini terhadap sumbu π§
adalah
ππΌπ§ =π
2πΏ π + π cos π 2ππ
Sehingga
πΌπ§ =π
2πΏ π + π cos π 2ππ
2πΏ
0
=1
3π 3π 2 + 4πΏ2 cos2 π + 6π πΏ cos π
Untuk πΌπ΄ bisa didapatkan dari teorema sumbu sejajar
πΌπ΄ =1
12π 2πΏ 2 + ππΏ2 =
4
3ππΏ2
Energi kinetik sistem menjadi
π =1
4 π + 2π π 2π +
1
3π 2πΏ2 cos2 π + 3π πΏ cos π π2 +
2
3ππΏ2π 2
Energi potensial sistem
π = πππΏ sin π
c. Energi total sistem πΈ = π + π
Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : [email protected] ID Line : mr_sainsworld Contact Person : 0895701002686
πΈ =1
4 π + 2π π 2π +
2
3ππΏ2π 2 +
1
3π 2πΏ2 cos2 π + 3π πΏ cos π π2 + πππΏ sin π
Energi potensial effektif sistem
πef = β1
3π 2πΏ2 cos2 π + 3π πΏ cos π π2 + πππΏ sin π
Saat sistem setimbangππef
ππ= 0
β1
3 β4πΏ sin π cos π β 3π sin π π2 + π cos π = 0
cot π = βπΏπ2
π 4
3cos π +
π
πΏ
d. Dari hasil di atas saya pilih (boleh tertukar ataupun berbeda asalkan equivalen
dengan hasil ini)
π1 π = cot π
π2 π = βπΏπ2
π 4
3cos π +
π
πΏ
Dalam satu grafik dapat digambarkan sebagai berikut
Sudut π2, π3, dan π4 adalah posisi kesetimbangan sistem dan merupakan penyelesaian
dari persamaan pada bagian (c)
e. Uji turunan kedua πef
ππef
ππ= ππ2
4
3πΏ cos π + π πΏ sin π + πππΏ cos π
π2πef
ππ2= β
4
3ππ2πΏ2 sin2 π + ππ2πΏ
4
3πΏ cos2 π + π cos π β πππΏ sin π
π4
π3 π2
π
π
βπ π2
π
β 4πΏ + 3π π2
3π
4πΏ β 3π π2
3π
0 π/2 π
3π/2 2π
π1 π1
π2
Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : [email protected] ID Line : mr_sainsworld Contact Person : 0895701002686
Atau agar sistem stabil
π2πef
ππ2=
ππΏ sin2 π
cos π π2π β π cot3 π > 0
Untuk sudut π2 π/2 < π2 < π , sin π2 > 0, cos π2 < 0, dan cot π2 < 0 sehingga
π2πef
ππ2 π2
< 0
Sistem berada dalam kesetimbangan labil
Untuk sudut π3 π < π3 < 3π/2 , sin π3 < 0, cos π3 < 0, dan cot π3 > 0 sehingga
π2πef
ππ2 π3
=ππΏ sin2 π3
cos π3 π cot3 π3 β π2π
Sistem berada dalam kesetimbangan labil jika
π cot3 π3 < π2π
Dan dalam kesetimbangan stabil jika
π cot3 π3 > π2π
Untuk sudut π4 3π/2 < π4 < 2π , sin π4 < 0, cos π4 > 0, dan cot π4 < 0 sehingga
π2πef
ππ2 π4
> 0
Sistem berada dalam kesetimbangan stabil
f. Berikut diagram gayanya.
g. Energi total sistem
πΈ =1
4 π + 2π π 2π +
2
3ππΏ2π 2 +
1
3π 2πΏ2 cos2 π + 3π πΏ cos π π2 + πππΏ sin π
π2 π3
π4
πΉπ
ππ
π π
π ππ
ππ
πΉπ
πΉπ
Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : [email protected] ID Line : mr_sainsworld Contact Person : 0895701002686
Energi sistem kekal sehingga
ππΈ
ππ‘= 0 =
4
3ππΏ2π π +
1
3π β4πΏ2 sin π cos π β 3π πΏ sin π π π2 + πππΏπ cos π
Atau
π β π2 sin π cos π β3π
4πΏπ2 sin π +
3π
4πΏcos π = 0
Karena π cot3 π < π2π , posisi setimbang sistem hanya ada di π = π4. Misal sekarang
batang disimpangkan dengan simpangan yang kecil sehingga π = π4 + π yang
mengakibatkan pula π = π dengan π << 1 radian, maka
sin π β sin π4 + π cos π4
cos π β cos π4 β π sin π4
sin π cos π β π cos 2π4 + sin π4 cos π4
Saat setimbang
βπ2 sin π4 cos π4 β3π
4πΏπ2 sin π4 +
3π
4πΏcos π4 = 0
Saat tersimpang
π β π2π cos 2π4 β3π
4πΏπ2π cos π4 β
3π
4πΏπ sin π4 = 0
Karena π4 di kuadran 4, maka sin π4 < 0
π + 3π
4πΏπ2 sin π4 β cos 2π4 β
3π
4πΏcos π4 π2π = 0
Atau
π0 = π 3π
4πΏπ2 sin π4 β cos 2π4 β
3π
4πΏcos π4
Dengan syarat
3π
4πΏπ2 sin π4 > cos 2π4 +
3π
4πΏcos π4
Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : [email protected] ID Line : mr_sainsworld Contact Person : 0895701002686
3. Dua buah kotak bermassa π ditahan atas lantai dengan sebuah penahan sehingga
keduanya tidak dapat bergerak. Kedua kotak ini terpisah sejauh π = 2 πΏ + π . Kemudian
sebuah silinder berongga tanpa tutup berdinding tipis dengan massa π dan jari-jari π
dihubungkan dengan dua buah pegas berkonstanta π yang dihubungkan dan kedua kotak
seperti tampak pada gambar. Panjang pegas ketika tidak teregang adalah πΏ. lantai licin
sempurna sehingga silinder tidak akan berotasi. Sebuah partikel kecil bermassa π
berada di permukaan dalam silinder berongga.
a. Untuk osilasi yang kecil, tentukan frekuensi osilasi untuk modus getar sistem ini!
b. Untuk limit π β 0, tentukan frekuensi osilasi sistem! Apakah makna fisis dari
frekuensi ini?
c. Untuk limit π β β, tentukan frekuensi osilasi sistem! Apakah makna fisis dari
frekuensi ini?
d. Sekarang partikel menempel pada permukaan dalam silinder tepat di titik
terendahnya. Penahan kedua kotak kemudian dilepas, tentukan frekuensi osilasi
untuk modus getar sistem ini!
e. Pada saat awal (π‘ = 0) sistem yang baru ini masih diam, kemudian diberikan impuls
Ξπ pada kotak sebelah kiri. Tentukan persamaan posisi silinder relatif terhadap
posisi awalnya sebagai fungsi waktu.
Solusi :
π
π π π π
π
π
π
licin licin
π
π π π π
π
π
π
licin menempel
Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : [email protected] ID Line : mr_sainsworld Contact Person : 0895701002686
a. Pusat massa cincin sebagai titik asal. Misal cincin diberi simpangan π₯ dan partikel
diberi simpangan sudut π berlawanan arah jarum jam dengan acuan garis vertikal di
bawah pusat massa sistem, maka
π π = π₯π dan π π = π₯ + π sin π π + π cos π π
dan juga
π£ π = π₯ π
π£ π = π₯ + π π cos π π β π π sin π π
Serta
π π = π₯ π
π π = π₯ + π π cos π β π π 2 sin π π β π π sin π + π π 2 cos π π
Gaya yang bekerja pada cincin dan partikel
πΉ π = β2ππ₯ + π sin π π + ππΏ β π cos π β ππ π
πΉ π = βπ sin π π + π cos π β ππ π
Hk. II Newton
πΉ = ππ
(untuk cincin)
Arah π
π sin π = ππ₯ + 2ππ₯ β¦ 1
Arah π
ππΏ = π cos π + ππ β¦ 2
(untuk partikel)
Arah π
π sin π = βππ₯ β ππ π cos π + ππ π 2 sin π β¦ 3
Arah π
π cos π = ππ + ππ π sin π + ππ π 2 cos π β¦ 4
Dari (1) dan (3)
2ππ₯ + 2ππ₯ + ππ π cos π β ππ π 2 sin π = 0β¦ 5
Dari (3) dan (4)
π₯ cos π + π π + π sin π = 0 β¦ 6
Untuk osilasi kecil sin π β π, cos π β 1, π 2 β 0, maka
2ππ₯ + 2ππ₯ + ππ π = 0
π₯ + π π + ππ = 0
Untuk osilasi berlaku π₯ = βπ2π₯ dan π = βπ2π sehingga
Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : [email protected] ID Line : mr_sainsworld Contact Person : 0895701002686
2 π β ππ2 π₯ β ππ2π π = 0
βπ2π₯ + π β π2π π = 0
Dalam bentuk matriks
2 π β ππ2 βππ2π
βπ2 π β π2π
π₯π =
00
Agar hasilnya tidak nol, determinan matriks kiri harus nol
2 π β ππ2 βππ2π
βπ2 π β π2π = 0
2 π β ππ2 π β π2π β βπ2 βππ2π = 0
ππ π4 β 2 ππ + ππ π2 + 2ππ = 0
Sehingga
π2 =
ππ + ππ Β± π2π 2 + π2π2
ππ
b. Untuk limit π β 0
π1 = 0 atau π2 = 2π
π
Ini adalah frekuensi osilasi sistem jika tidak terdapat pegas
c. Untuk limit π β β
π2 = π
π 1 +
ππ
ππ Β± 1
Sehingga
π1 = 2π
π dan π2 =
π
π
Ini adalah frekuensi sudut osilasi jika pegas sangat kaku. Cincin akan berosilasi pada
sumbu π₯ dengan frekuensi sudut π1 dan partikel berosilasi di permukaan dalam
cincin dengan frekuensi sudut π2.
d. Sistem ini laksana 3 benda yang masing-masing bermassa π, 2m, dan π dan
dihubungkan oleh dua buah pegas. Misal ketiganya disimpangkan dengan simpangan
π₯1, π₯2, dan π₯3 untuk kotak kiri, silinder dan partikel, serta kotak kanan. Persamaan
gerak sistem menjadi
π π₯2 β π₯1 = ππ₯ 1
βπ π₯2 β π₯1 + π π₯3 β π₯2 = 2ππ₯ 2
Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : [email protected] ID Line : mr_sainsworld Contact Person : 0895701002686
βπ π₯3 β π₯2 = ππ₯ 3
Gunakan π₯ 1 = βπ2π₯1, π₯ 2 = βπ2π₯2, dan π₯ 3 = βπ2π₯3 sehingga
π β ππ2 π₯1 β ππ₯2 = 0
βππ₯1 + 2 π β ππ2 π₯2 β ππ₯3 = 0
βππ₯2 + π β ππ2 π₯3 = 0
Dalam bentuk matriks
π β ππ2 βπ 0
βπ 2 π β ππ2 βπ
0 βπ π β ππ2
π₯1
π₯2
π₯3
= 000
Determinan matriks kiri harus nol
π β ππ2 βπ 0
βπ 2 π β ππ2 βπ
0 βπ π β ππ2
= 0
π β ππ2 2 π β ππ2 π β ππ2 β π β ππ2 βπ βπ β π β ππ2 βπ βπ = 0
π2ππ6 β ππ π + 2π π4 + π2 π + π π2 = 0
Sederhanakan menjadi
ππ2 ππ2 β π πππ2 β π π + π = 0
Kita dapatkan tiga frekuensi sudut untuk tiga modus getar yaitu
π1 = 0,π2 = π
π, dan π3 =
π π + π
ππ
e. Persamaan gerak masing-masing benda untuk masing-masing modus getar
Modus getar 1 (π1)
π₯1 = π₯2 = π₯3 = π₯0 + π£0π‘
Modus getar 2 (π2)
π₯1 = βπ₯3 = π΄ sin π2π‘ + π2 , π₯2 = 0
Modus getar 2 (π2)
π₯1 = βπ
ππ₯2 = π₯3 = π΅ sin π3π‘ + π3
Persamaan gerak sistem adalah superposisi dari persamaan gerak pada masing-
masing modus
π₯1 π‘ = π₯0 + π£0π‘ + π΄ sin π2π‘ + π2 + π΅ sin π3π‘ + π3
π₯2 π‘ = π₯0 + π£0π‘ βπ
ππ΅ sin π3π‘ + π3
π₯3 π‘ = π₯0 + π£0π‘ β π΄ sin π2π‘ + π2 + π΅ sin π3π‘ + π3
Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : [email protected] ID Line : mr_sainsworld Contact Person : 0895701002686
Turunkan satu kali terhadap waktu
π£1 π‘ = π£0 + π΄π2 cos π2π‘ + π2 + π΅π3 cos π3π‘ + π3
π£2 π‘ = π£0 βπ
ππ΅π3 cos π3π‘ + π3
π£3 π‘ = π£0 β π΄π2 cos π2π‘ + π2 + π΅π3 cos π3π‘ + π3
Saat π‘ = 0, π₯1 = π₯2 = π₯3 = 0 dan π£1 = Ξπ/π serta π£2 = π£3 = 0
Maka akan didapatkan
π₯0 = π1 = π2 = 0, π£0 =Ξπ
2 π + π , π΄ =
Ξπ
2
π
π, dan π΅ =
Ξπ
2
π3
2ππ π + π 3
Sehingga
π₯2 π‘ =Ξπ
2 π + π π‘ β
Ξπ
2
ππ
2π π + π 3sin π‘
π π + π
ππ
Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : [email protected] ID Line : mr_sainsworld Contact Person : 0895701002686
4. Dalam sebuah sistem tata surya yang terisolasi, terdapat suatu planet bermassa π yang
mengorbit dengan orbit lingkaran pada planet yang lebih besar bermassa π. Radius orbit
planet π terhadap π adalah π0. Suatu ketika, terdapat debu padat bermassa π pula yang
menempel begitu saja secara merata pada planet π (asumsikan setelah debu menempel
bentuk planet tetap bola).
a. Tentukan perbandingan energi sistem sesudah dan sebelum debu menempel!
b. Deskripsikan secara kualitatif bentuk orbit dari planet π setelah debu menempel
pada planet π!
c. Tentukan jarak terdekat dan terjauh planet π dari planet π, nyatakan dalam π0!
d. Tentukan panjang sumbu minor dan mayor dari orbit baru planet π!
e. Bagaimanakah hasil dari bagian (c) dan (d) untuk π = 2π!
Gunakan acuan energi adalah pusat massa planet π.
Solusi
a. Dari gerak melingkar diperoleh
ππ£02
π0=
πΊππ
π02β¦ 1 βΉ
1
2ππ£0
2 =πΊππ
2π0
Energi sistem sebelum debu menempel
πΈ0 =1
2ππ£0
2 βπΊππ
π0βΉ πΈ0 = β
πΊππ
2π0
Energi sistem setelah debu menempel (π menjadi 2π)
πΈ =1
2ππ£0
2 βπΊ 2π π
π0βΉ πΈ = β
3πΊππ
2π0
Sehingga
πΈ
πΈ0= 3
b. Jika planet π massanya menjadi 2π persamaan (1) menjadi tidak terpenuhi dan
karena total energi lebih kecil dari nol, artinya orbit planet π berupa loop tertutup,
maka orbit sistem yang mungkin adalah elips.
c. Energi total orbit elips ini adalah πΈ, dari konservasi energi diperoleh
πΈ = β3πΊππ
2π0= β
2πΊππ
π+
1
2π π 2 + π2π 2
Saat planet π di robit terjauh atau terdekatnya dengan planet π, dia tidak memiliki
kecepatan radial (π = 0). Dengan menggunakan πΏ = πππ akan didapat
Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : [email protected] ID Line : mr_sainsworld Contact Person : 0895701002686
3πΊππ
2π0β
2πΊππ
π+
πΏ2
2ππ2= 0
Momentum angular planet π kekal sehingga πΏ = ππ£0π0
3πΊππ
2π0β
2πΊππ
π+
ππ£02π0
2
2π2= 0
3π2 β 4π0π + π02 = 0
Sehingga
πmin =1
3π0 dan πmax = π0
d. Misal panjang sumbu minor dan mayor adalah 2π dan 2π serta jarak pusat elips dari
fokusnya adalah π, maka
π =1
2 πmax + πmin =
2
3π0
π =1
2 πmax β πmin =
1
3π0
π = π2 β π2 =1
3 3π0
Atau
2π =4
3π0
2π =2
3 3π0
e. Hasil bagian (c) dan π tidak dipengaruhi oleh π dan π sehingga akan tetap
seperti yang didapat sebelumnya.
Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : [email protected] ID Line : mr_sainsworld Contact Person : 0895701002686
5. Sainsworld adalah suatu dunia impian dimana sains menjadi hal penting bagi
penduduknya. Untuk menghindari pengaruh kehidupan di permukaan bumi yang
semakin waktu semakin buruk, dunia baru ini dibuat melayang di atas permukaan bumi
menggunakan sistem gaya tolak magnet. Namun medan magnet bumi tidak cukup kuat
memberikan gaya tolak untuk membuat dunia ini melayang. Para ilmuwan pun membuat
sautu kumparan raksasa berjari-jari π di permukaan bumi yang terdiri dari π2 lilitan
namun kumparan ini masih bisa dianggap sebagai satu lingkaran saja (luas penampang
kawat cukup kecil dibanadingkan jari-jarinya). Sainsworld berada di atas sebuah cakram
berjari-jari π. Dipinggir cakram ini dipasang suatu kawat yang cukup besar sepanjang
kelilingnya sebanyak π1 lilitan. Massa total sainsworld dan segala isinya serta merta
cakram dan kawat yang melilitnya adalah π. Untuk memberikan kenyamanan pada
penduduknya, sainsworld dibuat melayang pada ketinggian β yang tidak terlalu besar
dari permukaan bumi. Sebelumnya para ilmuwan sudah membuktikan bahwa bumi
berbentuk bola dengan massa ππΈ dan jari-jari π πΈ . Asumsikan ukuran sainsworld dan
kumparan kawat di permukaan bumi cukup kecil dibandingkan ukuran bumi. Asumsikan
jari-jari cakram jauh lebih kecil dibandingkan jari-jari kumparan di permukaan.
a. Pembangkit energi utama di sainsworld adalah dari panel surya, angin, dan nuklir.
Seluruh sumber energi ini menghasilkan daya sebesar π0 yang sedemikian rupa bisa
dibuat konstan sepanjang masa. Sejumlah 20% dari total energi ini digunakan untuk
menghasilkan arus pada kawat yang melingkari cakram sainsworld. Hambatan total
kawat ini adalah π 0. Tentukan besar arus yang mengalir pada kawat (πΌ1)!
πππππ π€ππππ
β
π
π
permukaan bumi
Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : [email protected] ID Line : mr_sainsworld Contact Person : 0895701002686
b. Misalkan besar arus pada kumparan di permukaan bumi adalah πΌ2, tentukan besar
medan magnet pada suatu titik yang berjarak β dari pusat massa kumparan
sepanjang sumbu yang melalui pusat massanya! Dilihat dari atas bumi, arus πΌ2
mengalir searah jarum jam.
c. Berapakah medan magnet pada suatu titik di pinggir cakram sainsworld sebagai
fungsi β!
d. Agar sainworld dapat melayang, berapakah besar arus πΌ2 yang harus diberikan pada
kumparan di permukaan bumi!
e. Suatu ketika, meteor jatuh menuju bumi namun para ilmuwan berhasil
menghancurkannya sebelum menumbuk bumi. Akan tetapi efek pengahancuran
meteor ini menyebabkan sainsworld tersimpang dari posisi kesetimbangannya. Agar
penduduk tetap aman, sainsworld tidak boleh memiliki percepatan yang lebih besar
dari 5π. Untuk mengantisipasi hal ini para ilmuwan membuat suatu peredam
sehingga sainsworld hanya bisa tersimpang maksimal sejauh π¦m dari posisi
kesetimbangannya. Berapakah nilai π¦m agar penduduk tetap aman!
Solusi
a. Hubungan daya, arus, dan hambatan
π = πΌ12π 0 sehingga πΌ1 =
π0
5π 0
b. Dengan Hukum Biot Savart akan diperoleh
π΅ 2 =π0π2πΌ2π
2
2 π 2 + β2 3/2π¦
c. Dari ketiadaan monopol magnet memberikan
πβ π΅π π΅π π΅π
π΅π
π΅2 β
π΅2 β + πβ
π
Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : [email protected] ID Line : mr_sainsworld Contact Person : 0895701002686
π΅ β ππ΄ = 0
ππ2π΅2 β + πβ β ππ2π΅2 β + 2πππβπ΅π = 0
ππ2 π΅2 β + πβ β π΅2 β + 2πππβπ΅π = 0
ππ2ππ΅2 + 2πππβπ΅π = 0
π΅π = βπ
2
ππ΅2
πβ= β
π
2
π
πβ
π0π2πΌ2π 2
2 β2 + π 2 3/2
π΅π = βπ0π2πΌ2π
2π
2 β
3
2
2β
2 β2 + π 2 5/2
π΅π =3π0π2πΌ2π
2πβ
4 β2 + π 2 5/2
d. Agar dapat melayang, resultan gaya yang bekerja padanya harus sama dengan nol
pada arah vertikal
πΉπ¦ = 0
ππΉπΏ βπΊππΈπ
π πΈ + β 2= 0
3π0π1π2πΌ1πΌ2π 2π2β
4 β2 + π 2 5/2 ππ
2π
0
βπΊππΈπ
π πΈ + β 2= 0
Atau
πΌ2 =2πΊππΈπ β2 + π 2 5/2
3ππ1π2π 2π2β π πΈ + β 2
5π 0
π0
e. Jika sainsworld tersimpang sejauh π¦ dari kesetimbangannya
3ππ1π2πΌ1πΌ2π 2π2 β + π¦
2 β + π¦ 2+ π 2
5/2β
πΊππΈπ
π πΈ + β + π¦ 2
= ππ¦
Untuk simpangan π¦ yang kecil bisa dilakukan pendekatan
3ππ1π2πΌ1πΌ2π 2π2β
2 β2 + π 2 5/2β
πΊππΈπ
π πΈ + β 2 0
β3ππ1π2πΌ1πΌ2π
2π2 4β2 β π 2
2 β2 + π 2 7/2π¦ +
2πΊππΈπ
π πΈ + β 3π¦ = ππ¦
π¦ + 3ππ1π2πΌ1πΌ2π
2π2 4β2 β π 2
2π β2 + π 2 7/2β
2πΊππΈ
π πΈ + β 3 π¦ = 0
Frekuensi sudut osilasi sistem
π2 =3ππ1π2πΌ1πΌ2π
2π2 4β2 β π 2
2π β2 + π 2 7/2β
2πΊππΈ
π πΈ + β 3
Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : [email protected] ID Line : mr_sainsworld Contact Person : 0895701002686
Maka
πmaks = π2π¦π = 5π
atau
π¦π =5π
3ππΌ1πΌ2π 2π2 4β2 β π 2
2π β2 + π 2 7/2 β2πΊππΈ
π πΈ + β 3