INDICERunge-Kutta, 123 Runge-Kutta, m eto do, 128, 130 S erie de F ourier e som, 47 s eries de...

202 �INDICE REMISSIVOvetor pr�oprio, 95vetores, de omposi ao, 83vetorial, espa� o, 79vizinhan� a tubular, 178volante, media, 162Weirstrass, aproxima ao, 24wirth,N., v

�INDICE REMISSIVO 201sistema sub- determinado, 82sistema.pas, programa, 105,106sistemas equivalentes, 90, 91,96sistemas indeterminados, 82sistemas lineares, 76, 95, 106sol. de equ. lineares, 96, 108sol. de equa . lineares, 77sol. equ. linear, 103solu� ~ao de eq. dif., 126solu� ~ao de equ. difer., 119som e s�erie de Fourier, 47somas de riemann, 2spliexp, 20spline, 141, 153spline- p.u., 152spline-espa o, 153splineK, 20Splines, 124splines, 9, 13, 33, 53, 151splines por onvolu ao, 156splines, espa� o de, 154splines, n�u leo, 173sub-determinado, sistema, 82superior, triangulariza� ~ao, 96,101suporte ompa to, 142suporte ompa to, fun� ~ao, 142suporte de fun� ~ao, 142Taylor, polin^omio, 5taylor, polinomio, 5teor. das distrib., 170teorema da fun� ~ao impl�� ita,118, 119teorema de Green, 74teorema de peano, 138teorema do ponto �xo, 136TeX, xiTexTelmexTel, xitra� o, 74transforma ao linear, 71, 72transla� ~ao, 147transposi� ~ao, 77transposta, 77trapesio, regra, 2, 4triang. fatora ao, 108, 109triangular, matriz, 96, 99, 101,102, 108triangulariza� ~ao de matrizes,95, 96triangulariza� ~ao inferior, 96,108triangulariza� ~ao superior, 96,101, 102trigonom. polin., 41trigonom. s�eries, 41trigonom�etri o, pol., 43, 44trigonom�etri o, polin^omio, 55tubular, vizinhan� a, 178Tutorial, 43unidade aproximada, 170unidade, parti� ~ao, 142, 147unidade, parti� ~ao, 148valor m�edio�, 162vi iado, 162valor pr�oprio, 95vetor, 57, 79

200 �INDICE REMISSIVOpivot, 109, 110Polinômio de Taylor, 63polinômio de Taylor, 5polinômio trigon., 41polinômio trigonom�etri o, 55,56polinômios trigon., 43, 44polinom. interpola� ~ao, 141polinomio de taylor, 5ponto �xo, teorema, 136pr�oprio, valor, 95pr�oprio, vetor, 95pre is~ao, onjunto, 10, 25, 28problema, 120problema, e.d.o., 119pro es. paralelo, 107pro essamento paralelo, 107pro esso de onverg., 153produto es alar, 42, 57produto, determinante, 103programa FatorT, 115programa fourier, 43programa fourier.pas, 45programa sistema.pas, 105, 106programa, otimiza ao, 4projetor e fun� ~ao, 151projetores, 151projetores e part. da unid.,148q-spline dados dis r., 15,20quasi-spline, matriz, 18quasi-splines, 9, 13, 14re ursiva, linguagem, 105re ursivo, programa, 105redundân ia, 80re�namento de parti� ~ao, 52regra de Simpson, 5regra de simpson, 2, 5regra do trap�ezio, 10regra do trapesio, 2, 10regul. por onvol., 172regulari� ~ao por onvolu� ~ao,189, 190regulariza� ~ao por onvolu� ~ao,124regulariza ao p/ onvol., 156Runge-Kutta, 123Runge-Kutta, m�etodo, 128,130S�erie de Fourier e som, 47s�eries de fourier, 45s�eries trigonom., 41series de fourier, 46silva, sebastiao, 170simpson, 6simpson, regra, 2, 5Simpson, regra de, 5sinal, 143, 157, 164, 181sinal diferen i�avel, 144sinal e onvol., 159sinal parab�oli o, 145sinal triangular, 143, 182singular, parte, 111sistema de equa� ~oes , 78sistema homogêneo, 82sistema ortogonal, 85sistema ortonormal, 85sistema redundante, 85

�INDICE REMISSIVO 199linguagem re ursiva, 105linguagens modulares, vLips hiz, onstante, 27, 40lisp, vlittle theorem of Pi ard, 139m�etodo das is�o linas, 134M�ede Euler, 180m�etodo de Euler, 125m�etodo de Gauss, 98m�etodo de Runge-Kutta, 128,130matriz, 64matriz triangular, 99, 101, 102,108matriz de ustos, 61matriz de dados, 78matriz de um quasi-spline, 18matriz de varia� ~ao dos us-tos, 61matriz diagonal, 75matriz es alar, 74, 75matriz ja obina, 59matriz singular, 105matriz triangular, 96matriz, anel, 110matrizes esparsas, 96, 97matrizes, algebra, 66matrizes, fatora� ~ao, 109, 112media volante, 162medida de dira , 170metodo da elimin., 97metodo de Gauss, 96metodo de gauss-jordan, 108metodo iterativo p/ edo, 135modulares, linguagens, vmulti-n�umero, 64n�u leo, 173n��vel, urva, 69n�u leo, 157n�u leo spline, 173n�u leo, operador integral, 157n�umero generalizado, 64numero generalizado, 76operador, 137operador diferen ial e onvolu- ao, 168operador integral, 137ortogonal, sistema, 85ortonormal, sistema, 85Os ila� ~ao , derivada, 175os ila� ~ao e erro, 51, 52otimiza� ~ao -depen. linear, 85otimiza ao, 65otimiza ao de programa, 4p.u. - spline, 152parab�oli o sinal, 145paralelo, pro es., 107paralelo, pro essamento, 107par iais, e.d., 124part. da unid. , projetor,148parte singular, 111parti� ~ao da unidade, 142, 147,148parti� ~ao, re�namento, 52passo a passo, 124peano, teorema, 138Pi ard, little theorem, 139Pi ard, m�etodo de, 123

198 �INDICE REMISSIVOfatora� ~ao de matrizes, 109,112fatora ao triangular, 108, 109fatort, programa, 115fe hado, dis o, 142formata� ~ao de dados, 20Fourier, 43fourier, 41fourier, s�eries, 45fourier, series, 41, 46fourier,programa, 45fun� ~ao a suporte ompa to,142fun� ~ao e projetor, 151fun� ~ao impl�� ita, teorema, 118,119fun� ~ao, extremo, 70fun� ~ao, suporte, 142fun ao de heaviside, 169fun ional linear, 73, 74fun oes, espa os, 42Gauss, m�etodo, 98Gauss, metodo, 96gauss-jordan, metodo, 108gerar um espa� o, 80gradiente, 69grafunXX, 11grau de liberdade, 36, 38Green, teorema de, 74heaviside, fun ao, 169hip�otese de alta diferen ia-biliade, 23homogêneas, equa� ~oes, 79homogêneo, sistema, 82homotetia, 147indepen. linear, 83independên ia linear, 62indeterminados, sistemas, 82inferior, triangulariza� ~ao, 96informa� ~ao , estrutura, viinje ao de energia, 164integral esto �asti a, 8integral, operador, 137intensidade de alor, 142internet, endere� o, xiinterpola� ~ao polinômial, 49,50, 54interpola� ~ao polinom., 141interpola ao polinom., 13intervalo ompa to, 143intestos, 8is�o linas, m�etodo, 134Is�o linas, m�etodo das, 123ja obiana, 69ja obiana de f , 59k-quasi-spline, 13k-spline, 33laborat�orio musi al, 47LaTex, xiliberdade, grau, 36, 38linear transforma ao, 71, 72linear, depên ia, 80linear, dependên ia, 85linear, dependen ia, 80linear, fun ional, 73, 74linear, indepen., 83lineares, sistemas, 95

�INDICE REMISSIVO 197189, 190 onvolu ao e operador difer-en ial, 168 r��ti a do C�al ulo, 15 tan, xi urva de n��vel, 69 ustos, matriz, 61 ustos, varia� ~ao, 61dados amostrais, 20, 32dados dis r. ! q-spline, 15,20dados, aquisi� ~ao, 16, 18dados, formata� ~ao, 20Debian Foundation, xide omposi ao de vetores, 83depên ia linear, 80depen. linear. e otimiza ao,85dependên ia linear, 62, 80,85, 86dependen ia linear, 65, 80derivada da onvol., 167Derivada, os ila� ~ao , 175determinante do produto, 103determinantes, 105diferen ial, 63diferen ial total, 59diferen ial, aprox., 64dimens~ao, 86dira , medida, 170dis o fe hado, 142, 143dis retisa� ~ao, 175distribui oes, teor., 170divergente, 74divisor de zero, 77, 78Donald Knuth, xie.d.o.- problema, 119edo, 117edo, metodo iterativo, 135edp, 118, 124elimina ao, metodo, 97emtex, xienergia, inje ao, 164equ. dif. ordinaria, 117equ. dif. par ial, 118equ. linear, sol., 103equ. lineares, sol., 77equ. lineares, solu� ~ao, 96equ. lineares, solu ao, 108equa� ~ao ara ter��sti a, 95equa� ~oes homogêneas, 79equa� ~oes lineares, sistema, 78equivalen ia de sistemas, 90,91, 96erro, 24erro e os ila� ~ao, 51, 52es alar, matriz, 74es alar, produto, 42, 57es alonamento de sistemas, 95,96espa� o de splines, 154espa� o vetorial, 79espa o de splines, 153espa os de fun oes, 42esparsas, matrizes, 96, 97esto �asti a, integral, 8estrutura da informa� ~ao , viEuler, m�etodo, 180Euler, m�etodo de, 123, 125extremos de fun� ~oes, 70

�Indi e remissivo�-valor m�edio, 1621-spline, 33algebra de matrizes, 66algoritmo, omplexidade, 103alta diferen iabilidade, hip�otese.,23amostrais, dados, 20, 32an�alise espe tral, 46anel de matrizes, 110angulo, 57aprox. diferen ial, 63aprox. e onvol. , 163aprox. polinomial, 13aproxima� ~ao diferen ial, 64aproxima� ~ao por onvolu� ~ao,172aproxima� ~ao linear p.p., 12aproxima ao de fun oes, 9aproxima ao linear p.p., 10aproxima ao polinomial, 9aproxima ao polinomial p.p.,9, 33aproxima ao, Weirstrass, 24aproximada, unidade, 170aquisi� ~ao de dados, 16, 18ba kup, viiibm2font, xi , vCau hy-Riemann, 122 ompa ta� ~ao de arquivos, 5 ompa to, onjunto, 143 ompa to, intervalo, 143 ompara ao: rieamnn-simpson,7 omplexidade do algoritmo,103 omutativ. da onvol., 159 onjunto ompa to, 143 onjunto de pre is~ao, 10, 25,28 onstante de Lips hiz, 27, 40 ontin. e onvol., 165 onverg. ,pro esso, 153 onvol. , regular., 156, 172 onvol. omutativa, 159 onvol. e aprox., 163 onvol. e ontin., 165 onvol. e derivada, 167 onvol. e sinal, 159 onvolu� ~ao, 157 onvolu� ~ao, aproxima� ~ao, 172 onvolu� ~ao, 170 onvolu� ~ao, regulariza� ~ao, 124,196

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194 BIBLIOGRAFIA[10℄ Lan zos, C. Linear Di�erential Operators - Classi s in Ap-plied Mathemati s - 18 - SIAM - 1996[11℄ Lang, S. Analysis II.- Addison-Wesley-Reading Ma[12℄ Linz, P. A ritique of numeri al Analysis.- Bull. of AMS vol 19 no. 2 1989 (407,416)[13℄ Meyer, Y Wavelets Algorithms and Appli ations - SIAM- 1994[14℄ Monagan e Neuens hwanderGRADIENT. Algortithmi Di�erentiation in Maple.Pre-Print - Symboli Computation GroupInstitut f�ur Wissens hftli hes Re hnen- ETH - Z�uri h - Switzerland[15℄ Mar elo P. Nunes Tutorial para o Ensino do C�al ulo - pro-grama tutorial ftp. pd.furg.br/pub/ al ulo - 1996-1997[16℄ Pra iano-Pereira, T. C�al ulo num�eri o Computa ional - In-trodu� ~ao ao Pas al- Editora da Universidade Estadual do Vale do A ara�u - 2000[17℄ Pra iano-Pereira, T. Convolution Splines - 1995 submetidopara publi a� ~ao[18℄ Pra iano-Pereira, T e Ger^onimo, J.R. C�al ulo Diferen iale Integral om apoio omputa ional- Notas mimeografadas - BCE - UEM - 1991[19℄ Rossum,Guido van A tutorial on Python - guido� nri.reston.va.us -ftp.python.org.[20℄ Rudin, W. Real and Complex Variables - Se ond Edition -M Graw-Hill - 1974[21℄ S ilab Group - S iLab - programa para simula� ~oesnum�eri as INRIA - Unit�e de re her he de Ro quen ourt -Projet Meta2 - s ilab�inria.fr - 1996

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192 CAP�ITULO 3. EQUAC� ~OES DIFERENCIAIS ORDIN�ARIAS.

3.7. SOLUC� ~AO DE EQUAC� ~OES LINEARES. 191-2.0 -1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0

-2.0

-1.6

-1.2

-0.8

-0.4

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

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Figura 3.12: Um (n+1)-spline kernel onstruido indutivamente de um n-spline kernel..

190 CAP�ITULO 3. EQUAC� ~OES DIFERENCIAIS ORDIN�ARIAS.-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-9.09

-7.35

-5.61

-3.88

-2.14

-0.40

1.33

3.07

4.81

6.54

8.28

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Figura 3.11: Su ess~ao de regulariza� ~oes de uma fun� ~ao linear por peda� ~oes. Uso deuma su ess~ao de n�u leos om suportes diminuindo de medida.


-9.09

-7.35

-5.61

-3.88

-2.14

-0.40

1.33

3.07

4.81

6.54

8.28

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Figura 3.10: Uma fun� ~ao linear por peda� ~oes e sua regulariza� ~ao por onvolu� ~ao.

188 CAP�ITULO 3. EQUAC� ~OES DIFERENCIAIS ORDIN�ARIAS.-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0.0

2.5

5.0

7.5

10.0

12.5

15.0

17.5

20.0

22.5

25.0

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Figura 3.9: A soma alterada om os valores de f em alguns n�os, produz uma aprox-ima� ~ao P (f) de f .

3.7. SOLUC� ~AO DE EQUAC� ~OES LINEARES. 187-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0.0

1.6

3.2

4.8

6.4

8.0

9.6

11.2

12.8

14.4

16.0

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...........................................Figura 3.8: Alterando a soma de fun� ~oes usando omo oe� ientes alguns valores deuma fun� ~ao dada.


-3.0

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

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Figura 3.7: Uma ombina� ~ao linear de uma fam��lia de fun� ~oes que omp~oe umaparti� ~ao da unidade.


-3.0

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

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Figura 3.6: Uma fam��lia de fun� ~oes que omp~oe uma parti� ~ao da unidade .


0.00

0.83

1.67

2.50

3.33

4.17

5.00

5.83

6.67

7.50

8.33

..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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-1.663

-1.331

-0.998

-0.665

-0.333

0.000

0.333

0.665

0.998

1.331

1.663

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Figura 3.4: fun� ~ao om duas bolhas triangulares.


0.00

0.75

1.50

2.25

3.00

3.75

4.50

5.25

6.00

6.75

7.50

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0.0

8.7

17.5

26.2

35.0

43.7

52.5

61.2

70.0

78.7

87.5

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0.00

0.82

1.63

2.45

3.26

4.08

4.90

5.71

6.53

7.35

8.16

Figura 3.1: Solu� ~ao aproximada, pelo m�etodo de Euler. uma poligonal que aproximauma solu� ~ao parti ular

3.7. SOLUC� ~AO DE EQUAC� ~OES LINEARES. 1792. Resolva o problema y00 = 0; y0(0) = y(0) = 03. Resolva o problema:y00 + 3y0 + y = 0 ; y(0) = y0(0) = 1no intervalo [�5; 5℄.

178 CAP�ITULO 3. EQUAC� ~OES DIFERENCIAIS ORDIN�ARIAS.Dem : Como P (D) �e uma ombina� ~ao linear de de deriva� ~oes de ordens su essivas,estamos onsiderando portanto uma soma de derivadasdk� � gdxke nos basta demonstrar ent~ao quedk� � gdxk = dketadxk � g (3.79)porque depois somaremos as par elas para obter o resultado �nal se este for v�alido.Mais uma redu� ~ao na demonstra� ~ao, se valer a equa� ~ao (eq. 20, valer�a qualquer iteradada mesma. Basta-nos, portanto, demontrar a primeira derivada, que �e (teorema 20) j�ademonstrado. q.e.d.Vamos dis utir a pre is~ao da onvolu� ~ao:Teorema: 25 Aproxima� ~ao uniforme por onvolu� ~ao .j(P (D)� � g)(x) � P (D)g(x)j �e uniformente pe-queno num intervalo fe hado [a; b℄ sendo � um n�u leo om su-porte [��; �℄: Dem : :Como g por hip�otese �e uma fun� ~ao que tem todas as derivadas indi- adas no operador diferen ial L = P (D) ent~ao podemos simpli� ar a nota� ~ao dis utindo:j� � g � gj�e uniformemente pequeno em que g �e uma fun� ~ao ont��nua. Por de�ni� ~ao temos:j� � g(x)� g(x)j == j 1R�1 �(t)g(x� t)dt � 1R�1 g(x)�(t)dtj == j �R�� (t)(g(x� t)� g(x))dtj �= �R�� (t)jg(x� t)� g(x)jdt �� Æ (3.80)em que para qualquer erro Æ podemos es olher � tal que a desigualdade a ima valha pela ontinuidade uniforme de g no intervalo [a; b℄. q.e.d.O signi� ado geom�etri o do teorema anterior sepode expressar dizendo que � � g se en ontra numa vizinhan� atubular de g sobre o intervalo [a; b℄.Exer �� io: 32 Equa� ~oes lineares.1. Para a equa� ~ao y0 = x en ontre uma matriz 50 x 50 quedis retize P (D)� � y = x e en ontre uma aproxima� ~ao dapar�abola que resolve esta equa� ~ao no intervalo [�2; 2℄

3.7. SOLUC� ~AO DE EQUAC� ~OES LINEARES. 177da parti� ~ao onsiderada do intervalo [a; b℄ :n�1Pk=0 �(xi � xk)�xXk � h(xi)n�1Pk=0 aikXk � h(xi)i = 0; :::; (n� 1) (3.78) uja solu� ~ao fX0; :::;Xn�1g �e um onjunto de n� 1 pontos queaproximam f em ima dos n�os fa = x0; :::; xn�1 = bg do inter-valo [a; b℄. A matriz (aik)i;k que obtivemos depende da es olhado n�u le e da parti� ~ao fa = x0; � � � ; xi; � � � ; xn�1 = bg uniformede [a; b℄: Esta dependên ia �e fra a no sentido de que se onsid-erarmos duas su ess~oes de n�u leos onvergindo para Delta deDira os erros entre as respe tivas solu� ~oes diminue a medidaque o ��ndi e da su ess~ao res e. Isto ainda signi� a que a realdependên ia �e do suporte do n�u leo, porque se a medida do su-porte tender a zero, a solu� ~ao aproximada tende �a solu� ~aoexata.Exer �� io: 31Use um programa de omputa� ~ao alg�ebri a parafazer estas experiên ias.1. Considere alguns sinais � sim�etri os em rela� ~ao �a origem.Represente gra� amente � e P (D)� para alguns operadoresdiferen iais lineares.2. Considere P (x) = x2 + 3x + 1 determine a matriz (aik)ik orrespondente a dis retiza� ~ao de P (D)y = sen em [�5; 5℄ om uma parti ao uniforme de passo = 0.1.3.7.2 As demonstra� ~oes .Come� aremos por demontrar a itera� ~ao do (teo-rema 22), p�agina 171.Teorema: 24 Memoriza� ~ao de P (D) via onvolu� ~ao.P (D)(� � g) = P (D)(�) � g:

176 CAP�ITULO 3. EQUAC� ~OES DIFERENCIAIS ORDIN�ARIAS.1R�1 �(x � t)f(t)dt � h(x)bRa �(x� t)f(t)dt � h(x)n�1Pk=0 �(x � a� k�x)f(a + k�x)�x � h(x)n�1Pk=0 �(x � xk)f(xk)�x � h(x)n�1Pk=0 �(x � xk)Xk � h(x) (3.77) om as seguintes justi� ativas:1. omo � �e um n�u leo ent~ao� � f = P (D)� � f � hmemoriza aproximadamente o operador diferen ial;2. a suposi� ~ao de que a f tenha suporte [a; b℄ justi� a a se-gunda integral;3. es revemos om uma soma de Riemann, asso iada a umaparti� ~ao uniforme do intervalo [a; b℄, uma aproxima� ~ao daintegral anterior;4. hamamos xk = a + k�x a oordenada de ordem k deum vetor que tem n oordenadas. S~ao os n�os da parti� ~aouniforme do intervalo [a; b℄;5. hamamos de (Xk)k = (f(xk))k a imagem por f do vetor(x0; � � � ; xk; � � � ; xn�1). Este vetor representa uma aprox-ima� ~ao da ig�onita do problema que estamos resolvendo.O resultado destas transforma� ~oes �e uma equa� ~aolinear se dis retizarmos a fun� ~ao h que �e um dado do problema, onsiderando seus valores em ada um dos n�osfx0; � � � ; xi; � � � ; xn�1g

3.7. SOLUC� ~AO DE EQUAC� ~OES LINEARES. 175que desejamos resolver: P (D)� � f � h (3.75)Observa� ~ao: 40 Tipos de aproxima� ~ao. A es olha de sinais positivos eliminaum problema s�erio de aproxima� ~ao : as os ila� ~oes das fun� ~oes aproximantes e de suasderivadas. Veja o gr�a� o (�g. 3.10) que se en ontra na p�agina 189. Observe que o gr�a� oda fun� ~ao ont��nua tangen ia o primeiro segmento de reta por ima e a seguir tangen iao segmento de reta seguinte, por baixo de modo a representar uma m�edia entre os doissegmentos de reta. Isto se deve �as duas propriedades do n�u leo usado na onvolu� ~ao:1. positivo;2. integral valendo 1.Se vo ê ainda omparar om a aproxima� ~ao obtido om os polinômios trigonom�etri os,veja (�g. 1.8), na p�agina 55, os polinômios trigonom�etri os os ilam em torno da fun� ~aoque eles aproximam. Podemos mostrar mostrar que os polinômios trigonom�etri os s~ao onvolu� ~ao om o n�u leo de Diri hlet que tem apenas a propriedade (2) das enumeradasa ima. Observe que os ilar n~ao hega a ser um defeito, �e devido a esta os ila� ~ao que aaproxima� ~ao, do ponto de vista da integral, dos polinômios trigonom�etri os �e muito boa.O pr�oximo exer �� io representa um laborat�orio paraque vo ê ompreenda de que os ila� ~ao falamos na observa� ~ao an-terior:Exer �� io: 30 Os ila� ~ao da derivada.1. Cal ule \geometri amente" a derivada de um n�u leo, usealguma de�nida no exer �� io 29. Fa� a o gr�a� o do n�u leoe desenhe sua derivada num sistemas de eixos sin ronizado om o primeiro.2. Cal ule as derivadas dos n�u leos (�a) de�nidos no exer �� io29 para a 2 f1; 2; 4; 8; 16g .Para resolver o problema (eq. 3.75) vamos fazeruma dis retiza� ~ao de P (D)� � f:Para simpli� ar a nota� ~ao vamos designar: � = P (D)� e por-tanto � � f = P (D)� � f (3.76)

174 CAP�ITULO 3. EQUAC� ~OES DIFERENCIAIS ORDIN�ARIAS.Se � for um n�spline, a primitiva onsiderada a ima ser�a um polinômiopor peda� os de grau n+1 om lasse diferen iabilidade superior a de � de uma unidade,logo um (n+ 1)�splineFinalmente temos que ajustar o suporte om a mudan� a de vari�avel:� := x 7! 2�(2x)�e uma transforma� ~ao que preserva a integral e diminue a medida do suporte porpor- ionalmente ao oe� iente 2 portanto supp(�) = [��; �℄: q.e.d.O exemplo 3.36, 144 �e uma onstru� ~ao deste tipoem que �0 �e 1-Spline, um n�u leo triangular e portanto � = �1�e um 2-Spline. No gr�a� o (�g. 3.12) o pro esso do (exemplo3.36) se repete agora om um n�u leo-n-spline em lugar de umn�u leo-1-spline, ilustrando o onte�udo teorema.Observa� ~ao: 39 Splines n~ao polinomiais.Alguns autores fazem referên ias a um tipo de splines n~ao polino-miais. A onstru� ~ao do teorema 23 se serve naturalmente para a onstru� ~ao de taissplines, basta que � seja um n�u leo obtido por um pro esso n~ao polinomial e de lasseCn para que o n�u leo resultante do teorema seja de lasse Cn+1. Tais objetos seriamsplines n~ao polinomiais que podem ser usados na onstru� ~ao dos projetores que de�nimosanteriormente. O algoritmo do teorema 23 �e indutivo e pode-mos assim onstruir sinais de diferen iabilidade arbitraria, �nita.Podemos, om uma outra onstru� ~ao alternativa produzir sinaisde lasse C1 usando regulariza� ~ao por onvolu� ~ao , uma vez quea regularidade de um n�u leo se transfere para a fun� ~ao om ela onvoluida. No exer �� io 29 vo ê en ontra ainda outro m�etodoalternativo para onstruir sinais ou n�u leos.Continuaremos do fato de que podemos onstruirsinais om grau arbitr�ario de diferen iabilidade om suporte[� �2 ; �2 ℄ , e � arbitrariamente pequeno. A onstru� ~ao a imaal�em do mais mostra que eles podem ser at�e mesmo (n+1)-Splinea suporte ompa to [� �2 ; �2 ℄ sim�etri os relativamente a origem,portanto sinais de lasse Cn+1.Passaremos agora a uma aproxima� ~ao da equa� ~aodiferen ial linear P (D)f = h (3.74)

3.7. SOLUC� ~AO DE EQUAC� ~OES LINEARES. 173em que � �e uma n�u leo. Como a aproxima� ~ao independe, em erta forma, da es olha da n�u leo9, desde que o suporte tenhamedida pequena, vamos supor, para tornar as oisas mais sim-ples, que supp(�) seja o intervalo [��; �℄, om � pequeno e pos-itivo e � um (n+1)-spline sim�etri o relativamente �a origem.Um tal n�u leo pode ser indutivamente onstruido da seguintemaneira:1)Suponha que �0 seja um n�u leo n-Spline om suporte [��; �℄3)De�na:1) �0(x) = �0(x+ �)� �0(x� �)2) A = 1R�1 �0(t)dt3) �1(x) = 1A xR�1 �0(t)dt4)�1(x) = 2�1(2x) �e um n�u leo(n+1)-Spline. ujo suporte �e o intervalo [��; �℄ (3.73)

Teorema: 23 Exist^en ia de (n+ 1)�Spline.O algoritmo 3.73 onstroi indutivamente n�u leos-splines de ordem arbitr�aria �nita.Dem : Se � for um n�u leo entrado em 0 e om suporte igual a [��; �℄ ent~ao�1 = �(x+ �) � �(x� �) �e uma fun� ~ao om a mesma lasse de diferen iabilidade de �,diferen� a de duas fun� ~oes om suportes disjuntos e positivas, ou uma soma de fun� ~oesde suportes disjuntos e anti-sim�etri as em torno da origem, assim supp(�1) = [�2�; 2�℄:Chamemos de � uma primitiva de �1 = �(x + �) � �(x � �) om ondi� ~ao ini ial menor ou igual a 2�: � ter�a derivada nula para jxj > 2� e omo para estesmesmos valores de x ela ser�a a soma das duas integrais om sinais ontr�arios, ent~ao vaise anular para todo x; jxj > 2�:Assim � �e a suporte ompa to.Se a dividirmos pelo valor da integral teremos um n�u leo:� := �1R�1 �(t)dt :9a aproxima� ~ao independe at�e mesmo de uma unidade aproximada, que �e umasu ess~ao de n�u leos que \ onverge" para Delta de Dira , mas isto pre isa ser demon-strado... tamb�em �e pre iso expli ar o que signi� a \ onverge".

172 CAP�ITULO 3. EQUAC� ~OES DIFERENCIAIS ORDIN�ARIAS.Observa� ~ao: 38 Coe� ientes vari�aveis de um Operador Difer-en ial. Veja que n~ao nenhuma ondi� ~ao espe i� amentene ess�aria sobre a fun� ~ao h na demonstra� ~ao do teorema ante-rior. Tudo que �e ne ess�ario �eque h(x) exista para todo x pelomenos em valor m�edio, portanto h pode ser at�e mesmo umafun� ~ao n~ao - ont��nua.Isto resolve o exer �� io 29.5, se h for uma fun� ~aoa suporte ompa to P (D)� pode ser a suporte ompa to mesmoque � ou alguma derivada sua n~ao o seja. Pode...Usaremos estes m�etodos no pr�oximo par�agrafo nasolu� ~ao aproximada de equa� ~oes diferen iais.3.7 Solu� ~ao de equa� ~oes lineares.Vamos tratar esta quest~ao em duas etapas. Primeirovamos des rever o m�etodo em linhas gerais e hegar a um sis-tema de equa� ~oes que dis retiza a equa� ~ao diferen ial linear quedesejamos resolver. Depois vamos veri� ar a pre is~ao obtida om a aproxima� ~ao.3.7.1 O m�etodo.Nesta se� ~ao vamos usar a regulariza� ~ao por on-volu� ~ao para resolver o seguinte problema:L(y) = g(x) ; y(a) = b (3.71)em que L = P (D) �e um operador diferen ial linear de ordem n.O m�etodo onsiste em dis retizar o problema (eq. 3.71) e assimtransform�a-lo num sistema de equa� ~oes lineares. Este m�etodo�e usado por outos autores, ver Lan zos, [10, ap. 4, pag 172℄,por exemplo. Chegaremos ao mesmo resultado de Lan zos, mas om outra metodologia.O ponto entral �e a equa� ~ao� � g � g (3.72)

3.6. REGULARIZAC� ~AO POR CONVOLUC� ~AO . 171Vamos terminar esta se� ~ao om um teorema quemostra que o m�etodo que temos a nossa disposi� ~ao tem um al- an e bastante amplo na solu� ~ao aproximada de equa� ~oes difer-en iais lineares.Se � for um sinal e f for lo almente integr�avel,ent~ao � � f �e uma fun� ~ao do par^ametro x:(� � f)x = 1Z�1 �(t)f(x � t)dte se multipli armos a integral pela onstante x temos:x(��f)x = x 1Z�1 �(t)f(x�t)dt = 1Z�1 x�(t)f(x�t)dt = [(x�)�f ℄xporque x �e apenas uma onstante multipli ando a integral. Valemos mesmo al ulos para h(x) em lugar de xh(x)(��f)x = h(x) 1Z�1 �(t)f(x�t)dt = 1Z�1 h(x)�(t)f(x�t)dt = [(h(x)�)�f ℄xPodemos assim generalizar o teorema 21 em queusamos apenas oe� ientes onstantes no polin^omio que de�niao operador diferen ial:Teorema: 22 Convolu� ~ao e operadores diferen iais II.Se � for uma fun� ~ao de lasse Cn e se P (D) for umoperador diferen ial de ordem n a oe� ientes vari�aveis ent~aoP (D)(� � g) = P (D)(�) � gse a onvolu� ~ao existir.Estamos enun iando o teorema om uma ampli-tude que ultrapassa as ondi� ~oes em que ele foi enun iado ante-riormente. Veja as observa� ~oes que �zemos em 21. Aqui semprehaver�a uma fun� ~ao a suporte ompa to envolvida na onvolu� ~ao.

170 CAP�ITULO 3. EQUAC� ~OES DIFERENCIAIS ORDIN�ARIAS.. No in�� io do s�e ulo o f��si o inglês Dira inventou a derivadade H0 que hamou de Æ0 riando uma a irrada polêmi a ommatem�ati os por que al�em de tudo ele dizia que a derivada Æ0herdava as propriedades dos n�u leos que representavam uma suaaproxima� ~ao : 1R�1 Æ0dt = 1Æ0 � 0Æ0(0) =1Æ0(x) = 0 ( x 6= 0 (3.70) riando assim o objeto inteiramente ina eit�avel para os padr~oesmatem�a-ti os. Somente por volta de 1945 os matem�ati os on-seguiram expli ar a aberra� ~ao riada por Dira . V�arios matem�ati os hegaram mais ou menos simultâneamente a uma teoria quegeneraliza o on eito de fun� ~ao , in lusive um matem�ati o por-tuguês, Sebasti~ao Silva. A teoria que �e mais onhe ida per-ten e a um fran ês, Laurent S hwarz, se hama Teoria das Dis-tribui� ~oes , na qual ele riando um novo objeto, as distribui� ~oes, lassi� a a delta de Dira , Æ0, omo um exemplo deste novoobjeto. Uma das propriedades da delta de Dira �eÆ0 � f = f:de modo que a delta de Dira �e a unidade relativamente a opera� ~aode onvolu� ~ao e um n�u leo � representa uma aproxima� ~ao dadelta de Dira in lusive neste sentido:� � f � f :n�u leos s~ao quase-unidades relativamente �a onvolu� ~ao. Ogr�a� o (�g. 3.11) na p�agina 190, apresenta o resultado da on-volu� ~ao de uma fun� ~ao om tres n�u leos ujos suportes dimin-uem em medida. Uma su ess~ao de n�u leos om esta propriedadese hama uma unidade aproximada, no sentido de que �e umasu ess~ao que se aproxima da delta de Dira .

3.6. REGULARIZAC� ~AO POR CONVOLUC� ~AO . 1694. Se � for a fun� ~ao de�nida no primeiro exer �� io, proveque se P (D) for um operador diferen ial de segunda ordema oe� ientes onstantes, ent~ao P (D)� n~ao �e a suporte ompa to. Cal ule o suporte de P (D)�.5. Retirando-se a hip�otese a oe� ientes onstantes, prove omum exemplo que P (D)� pode ser a suporte ompa to.6. Se �(x) = ( 0 ( x =2 [�1; 1℄(1� x)3(x+ 1)3 x 2 [�1; 1℄ent~ao 5Pk=�5 �k � 1 ( x 2 [�5; 5℄. Assim (�k)k=1::5 �euma parti� ~ao da unidade de lasse C2. Veri�que que n~ao �ede lasse C3.7. Se �(x) = ( 0 ( x =2 [�1; 1℄(x � 1)4(x+ 1)4 x 2 [�1; 1℄veri�que que (�k)k=1::5 �e uma parti� ~ao da unidade e deter-mine sua lasse de diferen iabilidade.8. Em ada aso a ima, en ontre A tal que 1A� seja um n�u leo.9. Considere um n�u leo � om suporte [�1; 1℄. Prove que�a(x) = a�(ax) �e tamb�em um n�u leo om suporte [� 1a ; 1a ℄desde que a > 0. Fa� a os gr�a� os de �a om a 2 f1; 2; 4; 8; 16g.10. Obtenha gra� amente H0 � �a em que �a est�a de�nida noexer �� io anterior, sendo um n�u leo diferen i�avel. Cal ule(H0 � �a)0 e on lua que se tem assim uma aproxima� ~aopara a derivada de H0 que n~ao existe no sentido usual.Observa� ~ao: 37O �ultimo exer �� io tem um sentido hist�ori o quedevemos ressaltar aqui. Como as fun� ~oes (H0 � �a) s~ao difer-en i�aveis no sentido usual e o resultado da diferen ia� ~ao �e �a e, omo ��f � f , ent~ao a on lus~ao natural �e que (H0��a)0 � H 00

168 CAP�ITULO 3. EQUAC� ~OES DIFERENCIAIS ORDIN�ARIAS. ompa to a demonstra� ~ao e o teorema representam o que pre- isamos. Com indu� ~ao �nita poderiamos generalizar o teo-rema anterior:Teorema: 21 Convolu� ~ao e operadores diferen iais.Se � for uma fun� ~ao de lasse Cn e se P (D) forum operador diferen ial de ordem n a oe� ientes onstantesent~ao P (D)(� � g) = P (D)(�) � gExer �� io: 29 N�u leos, onvolu� ~ao e aproxima� ~ao .1. O programa ompara.pas ompara as derivadas primeirae segunda de uma fun� ~ao de�nida no pr�oprio programa,formalmente, por quo iente de diferen� as, e por onvolu� ~ao,(a) Troque o N�u leo al�� de�nido por outro que seja de lasseC4 e rode o programa para analisar os valores obtidos.(b) Mantendo o n�u leo parab�oli o, in lua na listagem dedados os valores dos dois n�u leos para efeito de om-para� ~ao de dados da segunda derivada.( ) Produza um pro esso estat��sti o om uma olet^anea defun� ~oes para veri� ar se uso de um n�u leo 4-splinegarante melhor resultado no �al ulo da segunda derivada.2. Se �(x) = ( 0 ( x =2 [�1; 1℄(x � 1)2(x+ 1)2 x 2 [�1; 1℄ent~ao 5Pk=�5 �k � 1 ( x 2 [�5; 5℄. Assim (�k)k=1::5 �euma parti� ~ao da unidade ont��nua e diferen i�avel.3. Veri�que que a fun� ~ao � de�nida no item anterior n~ao �ede lasse C2, (duas vezes deriv�avel ontinuamente).

3.6. REGULARIZAC� ~AO POR CONVOLUC� ~AO . 167limh=0 ��g(x+h)��g(x)h == limh=0 1R�1 g(t)�(x+h�t)��(x�t)h dt == 1R�1 g(t) limh=0 �(x+h�t)��(x�t)h dt == 1R�1 g(t)�0(x� t)dt (3.69)mostramos assim:Teorema: 20 Derivada da onvolu� ~ao .Se a onvolu� ~ao ��g existir e se � for diferen i�avelent~ao (� � g)0 = �0 � gA justi� ativa mais simples para a deriva� ~ao sepermutar om a integral �e de que, omo as fun� ~oes integrandass~ao integr�aveis, e o intervalo �e fe hado e limitado, ent~ao as so-mas de Riemann onvergem uniformente, todas, ada uma de-las dominada pela norma da parti� ~ao, logo estas onverg^en iaspreservam o limite da diferen� a de quo ientes representado peladerivada: a derivada do limite �e o limite da derivada.Como a onvolu� ~ao �e omutativa, n�os poderiamoster hegado �a on lus~ao de que(� � g)0 = � � g0desde que tivessemos suposto que g fosse diferen i�avel e omuma pequena modi� a� ~ao na demonstra� ~ao , (por usamos o su-porte ompa to de �). Portanto o teorema n~ao usa o fato deque um dos termos da onvolu� ~ao �e um sinal e assim diz mais:se a onvolu� ~ao existir e uma das fun� ~oes for diferen i�avel, ent~aoa onvolu� ~ao �e diferen i�avel. Entretanto esta nova formula� ~aoexige uma demonstra� ~ao diferente da que �zemos a ima, omoaqui sempre teremos um dos termos da onvolu� ~ao om suporte

166 CAP�ITULO 3. EQUAC� ~OES DIFERENCIAIS ORDIN�ARIAS.�e um n�u leo ontinuamente diferen i�avel.2. Determine a lasse de diferen iabilidade do n�u leo de�nidano exer �� io anterior.3. Veri�que que a fun� ~ao �a(x) = a�(ax) �e um n�u leo de lasse C1 para qualquer valor de a > 0. Fa� a os gr�a� osdesses n�u leos para a 2 f2; 3; 4; 5g.4. (***) Cal ule �5 �H0Vamos ontinuar analisando resultados que justi-� am o t��tulo desta se� ~ao .Suponha que � seja um sinal diferen i�avel. Noblo o anterior de exer �� ios vo ^e tem uma fam��lia deles e in lu-sive um m�etodo para onstruir quantidades inde�nidas de taissinais. Pelo teorema dos a r�es imos �nitos, (Teorema do difer-en ial), se tem:�(x + h)� �(x) = �0(x)h + ox(h) (3.67)em que a fun� ~ao o �e uma fun� ~ao de duas vari�aveis que tem omesmo suporte que � na vari�avel x elimh=0 o(h)h = limh=0O(h) = 0;por de�ni� ~ao da derivabilidade de �, assim��g(x+h)��g(x)h = 1R�1 g(t)�(x+h�t)��(x�t)h dt == 1R�1 g(t)(�0(x� t) +O(h))dt == 1R�1 g(t)�0(x � t)dt+ 1R�1 g(t)Ox(h)dt: (3.68)Como a fun� ~ao O tem limite zero uniformente rel-ativamente a vari�avel x: supx O depende de h e onverge parazero om h, e al�em disto tem mesmo suporte que f ent~ao pode-mos inter ambiar a integral om o limite:

3.6. REGULARIZAC� ~AO POR CONVOLUC� ~AO . 165x 7! 1x n~ao tem esta propriedade no ponto 0. A raz~ao desta�ultima fun� ~ao n~ao ter esta propriedade no ponto 0 reside nofato de que ela n~ao integr�avel em nenhuma vizinhan� a de zero.Da�� tiramos a solu� ~ao da quest~ao : se uma fun� ~aog for lo almente integr�avel ent~ao ela ter�a m�edia em todos osseus pontos. Como � � g(x) = VM�(g)(x) �e o valor m�edio de grelativamente a � no ponto x se tomarmos o limitelimh=0 1h x+hZx�h g(t)dt :teremos o valor instâneo de � � g no ponto x que nada mais �eque � � g(x), isto �e � � g tem omo limite no ponto x o seu valorno ponto x: �e uma fun� ~ao ont��nua. Demonstramos assim:Teorema: 19 Continuidade de � � g.Se g for lo almente integr�avel, ent~ao ��g �e ont��nuapara todo n�u leo �.Vamos ver mais alguns exemplos e resultados quesalientam o fato de que om onvolu� ~oes , i.e. om m�ediasvolantes, podemos onstruir fun� ~oes mais regulares produzindoaproxima� ~ao para outras fun� ~oes . Os exer �� ios do blo o a imaforne em v�arios exemplos. Mesmo assim vamos onstruir umafam��lia de exemplos semelhantes e numa dire� ~ao que depoisser�a de importân ia para os nossos objetivos. Para que vo ênos a ompanhe om mais aten� ~ao lhe propomos que efetue os �al ulos seguintes sob nossa uidadosa assisten ia...Exer �� io: 28 Constru� ~ao de n�u leos ujos suportes de res emem medida. O exer �� io mar ado om (***) n~ao �e di� il, mas ertamente �e trabalhoso...1. Veri�que que a fun� ~aox < �1 ) �(x) = 0x 2 [�1; 1℄ ) �(x) = 1516 (x+ 1)2(x � 1)2x > 1 ) �(x) = 0

164 CAP�ITULO 3. EQUAC� ~OES DIFERENCIAIS ORDIN�ARIAS.tem a medida do suporte ada vez menor enquanto que a am-plitude dos mesmas �e ada vez maior. Isto se faz obviamentene ess�ario para que se mantenha a rela� ~ao de grandeza ne ess�aria�a onst^an ia de 1Z�1 �i(t)dt = 1 :Sinais servem para \injetar" uma pequena quan-tidade energia num sistema, fun ionando omo um pequenoa r�es imo feito. Isto pode ser usado, entre outras oisas, paramedir \taxas de varia� ~ao ". Aqui estamos usando sinais, n�u leos,de suporte pequeno para regularizar fun� ~oes ou para aproxim�a-las.Exemplo: 27 Regulariza� ~ao de fun� ~oes por onvolu� ~ao .No �ultimo blo o de exer �� ios vimos que � �H0 �euma fun� ~ao ont��nua que se aproxima da fun� ~ao de HeavisideH0. Isto �e: � �H0�e uma fun� ~ao ontinua que foi obtida a partir da fun� ~ao des ontinuaH0 em onvolu� ~ao om um n�u leo tamb�em des ont��nuo resul-tando numa fun� ~ao ont��nua que aproxima H0.Podemos tomar arona om este exemplo paraanalisar mais a fundo quando �e que a onvolu� ~ao produz umafun� ~ao ont��nua de uma fun� ~ao des ont��nua. Usando a lin-guagem pitores a de [23℄, quando �zermos uma m�edia volante om um n�u leo � em torno dos ponto de uma fun� ~ao g poder-emos ter uma m�edia apenas se a fun� ~ao g tiver valor m�edio emtodos os seus pontos: 1h x+hZx�h g(t)dt :As fun� ~oes ont��nuas tem esta propriedade. H�afun� ~oes des ont��nuas que n~ao t^em esta propriedade: a fun� ~ao

3.6. REGULARIZAC� ~AO POR CONVOLUC� ~AO . 163Isto demonstra:Teorema: 18 Convolu� ~ao e aproxima� ~ao .Se � for um n�u leo om suporte pequeno, ent~ao� � g � g no sentido de que � � g(x) �e o �-valor m�edio de gnuma vizinhan� a de x.A seguinte lista de exer �� ios mostra que na pro-por� ~ao em que o suporte de um n�u leo � perde medida, a on-volu� ~ao � � f produz fun� ~oes mais pr�oximas de f :Exer �� io: 27 Convolu� ~ao om n�u leos, aproxima� ~ao .1. Considere a fun� ~ao de HeavisideH0 = 1� �(�1;0℄ al ule � �H0 em que � = �[� 12 ; 12 ℄2. al ule � �H0 em que � = (52 )�[� 15 ; 15 ℄3. al ule � �H0 em que � = (102 )�[� 110 ; 110 ℄4. al ule � �H0 em que � = 10�[� 120 ; 120 ℄5. al ule � � � em que � = �[� 12 ; 12 ℄6. al ule � � g em que � = (52 ) � �[� 15 ; 15 ℄ e g = �[� 12 ; 12 ℄Os experimentos que �zemos a ima nos onduzi-ram �a on lus~ao de que � � f �e uma aproxima� ~ao de f tantomelhor quanto supp(�) seja pequeno. Na �ultima sequên ia deexer �� ios se pode tam-b�em on luir que n�u leos (que tenham in-tegral 1 e suporte pequeno) têm que, ne ess�ariamente, assumirvalores muito grandes, por exemplo, a sequên ia de n�u leos�1 = �[� 12 ; 12 ℄ (3.63)�2 = 2:5�[� 15 ; 15 ℄ (3.64)�3 = 5 � �[� 110 ; 110 ℄ (3.65)�4 = 10 � �[� 120 ; 120 ℄ (3.66)

162 CAP�ITULO 3. EQUAC� ~OES DIFERENCIAIS ORDIN�ARIAS.e assim a integralx g7! (� � f)(x) = �Z�� (t)g(x � t)dt�e uma a m�edia ponderada de N valores de f tomados numa �-vizinhan� a de x em que N e � s~ao arbitr�arios. Isto �e es olhendoum n�u leo � podemos al ular om esta integral o \valor m�edioponderado de f" subordinado a um n�u leo � uma vez que a viz-inhan� a de x depende do supp(�). �E algumas vezes interessanteter uma nota� ~ao pre isa para este valor m�edio. Costumamos hamar este valor m�edio que depende de um determinado pesode valor m�edio vi iado pelo peso � em que, naturalmente, � �eum n�u leo.De�ni� ~ao : 17 �-valor m�edio vi iado de uma fun� ~ao .Seja � um n�u leo om suporte [��; �℄, ent~ao aintegral VM�(g)(x) = (� � g)(x) = �Z�� (t)g(x � t)dt�e o �-valor m�edio de g no ponto x.H�a autores, ver [23℄, que des revem a onvolu� ~ao, geometri amente, omo uma m�edia volante, porque �e este oresultado da onvolu� ~ao om um n�u leo, uma m�edia volante em ada ponto. A prin ipal onsequ^en ia destes fatos �e que � � f�e uma fun� ~ao que aproxima f \�a maneira de �" sendo estaaproxima� ~ao tanto melhor quanto o suporte de � seja pequenoporque a m�edia � a melhor lo alizada em volta de ada pontox8. No exer �� io a ima a aproxima� ~ao �e muito pre �ariaporque o suporte da unidade aproximada �e muito grande, temaplitude 1. Veja (�g. 3.11).8Os polin^omios trigonom�etri os s~ao tamb�em uma onvolu� ~ao, om um n�u leo queos ila levemente em torno de zero, um n�u leo que n~ao �e positivo.

3.6. REGULARIZAC� ~AO POR CONVOLUC� ~AO . 161En ontre f �g analiti a e gra� amente e analise a diferen� af � g(x) � f(x):Fa� a om um programa em Pas al, por exemplo, o gr�a� ode f(x); f � g(x); f � g(x) � f(x)3. Veri�que que �[� 12 ; 12 ℄ �e um n�u leo e mostre que se f for ont��nua, ent~ao , se g = �[0;1℄ � f , g(x) �e o valor m�edio def numa vizinhan� a de x.Exemplo: 26 \Solu� ~ao " do �ultimo exer �� io.Consideremos � � f em que � �e um n�u leo, (inte-gral �e 1 e o suporte �e pequeno), �[� 12 ; 12 ℄ �e um exemplo de n�u leo.Vamos a res entar mais uma hip�otese sobre o su-porte de �: supp(�) = [��; �℄ e mostrar que se g = � � f ent~aog(x) �e o valor m�edio de f numa �-vizinhan� a de x.g(x) = (� � f)(x) = �R�� (t)f(x � t)dt �� N�1Pk=0 �(�� + k�x) � f(x+ �� k�x) ��x= N�1Pk=0 �(�� + k�x) ��x � f(x+ �� k�x)Como a integral de � �e 1 ent~ao a soma= N�1Xk=0 �(�� + k�x) ��x � f(x + �� k�x)representa uma m�edia aritm�eti a ponderada dos N n�umerosf(x+ �); f(x + ��x); � � � ; f(x + �� 2�+�x)| {z }Nque s~ao os valores de f nos pontos:x+ �; x + ��x; � � � ; x� �+�x| {z }N 2 [x� �; x + �℄

160 CAP�ITULO 3. EQUAC� ~OES DIFERENCIAIS ORDIN�ARIAS.O teorema 16 n~ao estabele e laramente um dom��niopara a opera� ~ao bin�aria onvolu� ~ao omo seria orreto fazer. O aminho para se onseguir isto seria um pou o longo e suger-imos ao leitor interessado a leitura dum livro de an�alise, porexemplo [11℄ onde se pode en ontrar a opera� ~ao de onvolu� ~aoinserida propriamente num ontexto alg�ebri o. Para nossas ne- essidades seria um exagero onstruir aqui todo este aparatoalg�ebri o. Com o Teorema 16 sabemos que quando �zermos onvolu� ~ao om um sinal ent~ao a outra fun� ~ao pode perten era uma lasse bastante ampla para que a opera� ~ao ainda tenhaum signi ado pre iso. Isto �e tudo que pre isaremos aqui.A lista de exer �� ios seguinte tem a �nalidade dedeixar o leitor habituado om a nova opera� ~ao . �E pre iso lem-brar, entretanto, que a onvolu� ~ao � ou durante anos relegadaa ir unst^an ia de uma opera� ~ao de natureza te�ori a porque �emuito trabalhosa para ser efetuada a m~ao. A onvolu� ~ao en-tre duas fun� ~oes �e sempre feita dentro de programas onde ela �erapidamente efetuada. Use um programa para efetuar as ontasabaixo, e possivelmente fazer uma ou duas a m~ao para sentir oproblema.Exer �� io: 26 Convolu� ~ao .1. Cal ule as onvolu� ~oes abaixo:(a) �[0;1℄ � �[0;1℄(b) �[0;1℄ � �[0;0:1℄( ) 10 � �[0;1℄ � �[0;0:1℄(d) �[0;1℄ � �[�0:1;0:1℄(e) 5 � �[0;1℄ � �[�0:1;0:1℄(f) (�[0;1℄ � �[0;1℄) � �[0;1℄2. Seja f(x) = x2 + 3x+ 1 eg(x) = x+ 1 ( x 2 [�1; 0)g(x) = 1� x ( x 2 [0; 1℄g(x) = 0 ( x =2 [�1; 1℄

3.6. REGULARIZAC� ~AO POR CONVOLUC� ~AO . 159sinal, f � g(x) = 1R�1 f(t)g(x � t)dt = (3.60)= bRa f(t)g(x � t)dt = (3.61)= � x�bRx�a f(x � y)g(y)dy = x�aRx�b f(x � y)g(y)dy (3.62)em que [a; b℄ ont�em o suporte de f . As duas �ultimas equa� ~oes,na sequ^en ia a ima, s~ao as express~oes omputa ionais da on-volu� ~ao, est~ao no ponto de serem olo adas num programa de omputa� ~ao. Basta que g seja lo almente integr�avel para queestas integrais existam, para ada valor do par^ametro x, o quese pode ver laramente das duas �ultimas.Teorema: 16 Convolu� ~ao om um sinal.Se � for um sinal e g for uma fun� ~ao lo almenteintegr�avel, ent~ao � � g est�a bem de�nida.O pr�oximo teorema �e de uso pr�ati o frequente:Teorema: 17 Comutatividade da Convolu� ~ao .Se f � g existir, ent~ao f � g = g � fDem:(f � g)(x) = 1Z�1 f(t)g(x � t)dt = lima=�1b=1 bZa f(t)g(x � t)dt =se t := x � t temos:= lima=�1b=1 � x�bZx�a f(x � t)g(t)dt =observando que x �e uma \ onstante", passando ao limite temos�nalmentelima=�1b=1 � x�bZx�a f(x� t)g(t)dt = 1Z�1 f(x � t)g(t)dt = (g � f)(x) 2

158 CAP�ITULO 3. EQUAC� ~OES DIFERENCIAIS ORDIN�ARIAS.O gr�a� o (�g. 3.10) ilustra o uso das n�u leos.Nele vo ê pode ver uma fun� ~ao des ont��nua, linear por peda� os,e sua onvolu� ~ao om um n�u leo. O resultado �e uma fun� ~ao ont��nua que �e uma aproxima� ~ao da fun� ~ao linear por peda� os.�E isto que se hama de regulariza� ~ao por onvolu� ~ao: a fun� ~aog �e des ont��nua, G = g � f �e ont��nua, e G �e uma aproxima� ~aode g: Na (�g. 3.10), p�agina 189 vo ê pode ver tres gr�a� osobtidos usando-se tres \valores" distinitos para n�u leo, �1; �2; �3de�nidos assim (f �e um n�u leo) :�1(x) = 2f(2x) (3.57)�2(x) = 4f(4x) (3.58)�3(x) = 8f(8x) (3.59)Observa� ~ao: 36 Mudan� a de vari�avel.A opera� ~ao f 7!a f ;a f(x) = af(ax)produz uma nova fun� ~ao a�a elerada em rela� ~ao a fun� ~ao f e ao mesmo tempo a�dilatada,relativamente a mesma fun� ~ao ini ial. Conseq�uen ia disto: af tem a mesma integral quef: As fun� ~oes que formam as parti� ~oes da unidadeno par�a-grafo anterior s~ao exemplos de sinais, mas nem sempreser~ao n�u leos. Sinais ou n�u leos n~ao pre isam ser ont��nuos. H�aexemplos de n�u leos que têm suporte n~ao limitado, mas isto �euma outra hist�oria que n~ao vai nos interessar aqui. Fi a apenas oregistro para que o leitor saiba da possibilidade: a propriedade entral dos n�u leos �e que tenham integral 1 omo se ver�a emseguida, o resto �e ontorn�avel.Um outro exemplo de sinal �e a fun� ~ao ara ter��sti ade um intervalo limitado. Se a medida do intervalo for 1 estesinal ser�a um n�u leo, e neste aso, um n�u leo des ont��nuo.Se na onvolu� ~ao uma das fun� ~oes for um sinalent~ao a integral que de�ne a onvolu� ~ao se restringe a um inter-valo limitado, para ada valor de x: suponhamos que f seja um

3.6. REGULARIZAC� ~AO POR CONVOLUC� ~AO . 157f � g(x) = 1Z�1 f(t)g(x � t)dt (3.54)que de�ne uma nova fun� ~ao , se a integral na (eq. 3.54) for �nitapara todos os valores de x. A onvolu� ~ao entre duas fun� ~oes f �gnem sempre est�a de�nida, por exemplo se f = g = sin ent~aof � g n~ao existe porque a integral n~ao onverge para nenhumvalor de x. Pre isamos de algumas ondi� ~oes sobre as fun� ~oespara garantir esta onvergên ia, uma ondi� ~ao su� iente masn~ao ne ess�aria �e que uma das fun� ~oes que esteja sendo onvolu-ida tenha suporte ompa to.Observa� ~ao: 34 Dom��nio da onvolu� ~ao.Uma quest~ao bastante dif�� il �e pro urar o dom��nio da onvolu� ~ao,quer dizer, um espa� o D de fun� ~oes tal que se f; g 2 D ent~ao f � g est�a de�nida. Emgeral n~ao nos interessa isto a n~ao ser que desejemos estudar as propriedades da opera� ~ao onvolu� ~ao. N~ao �e este o nosso objetivo aqui, om frequên ia se usa a onvolu� ~ao deforma mais amena: g F! G = F(g) (3.55)F(g)(x) = G(x) = 1R�1 f(t� x)g(t)dt = f � g(x) = G(x) (3.56)em que a onvolu� ~ao apare e omo um pro esso intermedi�ario para de�nir uma trans-forma� ~ao sobre outras fun� ~oes. Neste aso o entro da quest~ao �e a fun� ~ao f que representauma esp�e ie de matriz de transforma� ~ao via onvolu� ~ao. No sistema de equa� ~oes a imaa fun� ~ao g foi transformada na fun� ~ao G = f � g:�E sob esta �oti a que estaremos usando a onvolu� ~ao aqui.Um tipo parti ular de sinal para o qual teremosuso frequente �e:De�ni� ~ao : 16 N�u leo.Chamaremos de n�u leo a um sinal uja integralseja 1 e ujo suporte tenha medida pequena.Observa� ~ao: 35 Multi uso da palavra n�u leo.A palavra n�u leo �e usada om signi� ados diferentes em v�arios on-textos. Algumas vezes faz referên ia �a fun� ~ao que atua omo matriz na de�ni� ~ao deum operador integral.N~ao onfundir om n�u leo de um operador integral que ainda �e outra oisa diferente: �e o subespa� o das solu� ~oes nulas de uma equa� ~ao linear. Neste ap��tuloestaremos usando a palavra n�u leo ex lusivamente om o sentido da de�ni� ~ao (def. 16).

156 CAP�ITULO 3. EQUAC� ~OES DIFERENCIAIS ORDIN�ARIAS.Obtivemos assim uma aproxima� ~ao para y0 a qualvamos apli ar o m�etodo integral de Pi ard para obter uma solu� ~aoaproximada: y1 = b+ tZa fn(x)dx (3.53)y1 = b+ tZa fn(x)dx =y1 = b+ tZa Xxk g(xk ; yk)�xk(x)dx = b+Xxk g(xk; yk) tZa �xk(x)dxy2 = b+ xZa (b +Xxk g(xk; yk) tZa �xk(x)dx)dt= b+ b(x � a) +Xxk g(xk; yk) xZa ( tZa �xk(x)dx)dtRepetidas integra� ~oes levam a express~ao :n�1Xk=0 b(x � a)k +Xxk g(xk ; yk) xZa � � � tZa �xk(x)dx : : : dt3.6 Regulariza� ~ao por onvolu� ~ao .Vamos desenvolver neste par�agrafo uma t�e ni aque nos auxiliar�a no pr�oximo ao dis retizarmos um operadordiferen ial linear e portanto na solu� ~ao aproximadas de equa� ~oesdiferen iais lineares. Ela tamb�em representa uma alternativadiferente na onstru� ~ao de splines, ver, [17℄.Dadas duas fun� ~oes integr�aveis f; g em R, de�ni-mos a opera� ~ao

3.5. INTERPOLAC� ~AO POLINOMIAL. 155�e uma solu� ~ao aproximada do (problema 3.48), p�agina 154. Apre is~ao da solu� ~ao se en ontra asso iada ao re�namento daparti� ~ao do intervalo em que est�a de�nida a \vari�avel livre".Observe que se a parti� ~ao da unidade for polinomial ent~ao asolu� ~ao �e do tipo splines om todas as fa ilidades que isto rep-resenta.Exer �� io: 25 Resolva os problemas abaixo usando uma parti� ~aouniforme de malha h := 0:1 no intervalo indi ado e om a ondi� ~ao ini ial dada.1. y0 = e�x2 ; y(0) = 1 ; x 2 [0; 10℄2. y00 = 0; y0(0) = 0 ; y(0) = 0 ; x 2 [0; 10℄3. y0 = x3x6+1 ; y(0) = 1 ; x 2 [0; 10℄3.5.5 Solu ao peri�odi a de y0 = g(t; y).Vamos extender o m�etodo usado na se� ~ao anteriorpara resolver a equa� ~aoy0 = g(t; y); (tk ; yk)tk2�[a;b℄ (3.51)em que ao inv�es de ter uma �uni a ondi� ~ao ini ial, temos umafam��lia de ondi� ~oes ini iais. Um exemplo de problema destetipo �e quando se pro ura uma solu� ~ao peri�odi a para uma equa� ~ao. A ideia onsiste em apli ar o m�etodo de Pi arda uma aproxima� ~ao da derivada obtida por uma interpola� ~ao-Spline seme-lhante a que j�a usamos antes.Consideremos a parti� ~ao da unidade (�tk)tk2�[a;b℄e vamos memorizar em �tk as informa� ~oes da equa� ~ao diferen ialdis retizada: y0(t) �Xtk g(tk; yk)�tk (t) = fn(t) (3.52)

154 CAP�ITULO 3. EQUAC� ~OES DIFERENCIAIS ORDIN�ARIAS.Na literatura ient�� a, os Splines �ubi os s~ao delonge os mais utilizados. A raz~ao disto se podem enumerar:1. O grau �e baixo, o que torna estas fun� ~oes omputa ional-mente on��aveis. Elas di� ilmente saem da faixa de pre- is~ao dos omputadores a n~ao ser, obviamente para grandesn�umeros.2. O fato de serem �ubi os lhes junta uma varia� ~ao de on- avidade que permite ex elente aproxima� ~ao.3.5.4 Solu� ~ao de y0 = g om 2-Splines.Vamos apli ar o m�etodo desenvolvido na �ultimase� ~ao para resolver equa� ~oes diferen iais. Como primeiro passovamos resolver uma equa� ~ao bem simples, mas que tem sua im-port^an ia espe �� a uma vez que nem sempre podemos en on-trar formalmente uma primitiva.Para resolver o problema:dydx = g(x) ; y(a) = b ; x 2 [A;B℄ (3.48)vamos onsiderar uma parti� ~ao uniforme de [A;B℄ om passoh sendo [A;B℄ um intervalo em que o problema tem solu� ~ao ,isto �e g est�a de�nida em todos os pontos deste intervalo. Seexpressarmos g om aux��lio da equa� ~ao 3.41 teremos:g(x) � Xxk2�n[a;b℄�xk(x)g(xk) = Pn(x) (3.49)em que n representa o n�umero de elementos de �n[a; b℄ ent~ao aintegral b+ xZa Pn(t)dt (3.50)

3.5. INTERPOLAC� ~AO POLINOMIAL. 153ne ess�ariamente todos os oe� ientes tem que ser nulos, (porquetodos os somandos s~ao iguais a 1 sobre os n�os da parti� ~ao ), ent~ao on luimos que a fam��lia geradora �e linearmente independente eportanto uma base para o espa� o vetorial em quest~ao que vamosdesignar, muito sugestivamente deEspa� o de k+1-Splines.SP : (3.47)A dimens~ao de SP �e n�umero de elementos de P que por suavez, em onsequên ia da onstru� ~ao que �zemos no par�agrafoanterior �e o n�umero de n�os da parti� ~ao onsiderada no intervalo[a; b℄. Um \pro esso de onvergên ia" 7 � a gerado quandosu essivamente re�namos as parti� ~oes de [a; b℄ e introduzimosassim mais elementos na base SP .Como o objetivo deste par�agrafo era o de es reveruma de�ni� ~ao para Spline vamos agora fazê-lo. Um Spline �e umelemento de um espa� o de Splines, que por sua vez �e a imagemde um projetor asso iado a uma parti� ~ao da unidade onstruida om k + 1� Splines.De�ni� ~ao : 15 Espa� o de Splines sobre [a; b℄.� Uma fun� ~ao polinomial por peda� os de grau k+1 a suporte ompa to ontido em [a; b℄ e de lasse Ck �e um k+1-Splinesobre [a; b℄.� Uma parti� ~ao da unidade subordinada a uma parti� ~ao de[a; b℄ formada de k + 1-Splines gera um espa� o vetorial dedimens~ao �nita SP ujos elementos s~ao k + 1-Splines.� A dimens~ao de SP �e o n�umero de n�os da parti� ~ao onsid-erada sobre [a; b℄.7a onvergên ia que se tem aqui �e semelhante a das somas de Riemann, n~ao se podefalar diretamente de onvergên ia omo das su ess~oes, porque h�a uma quantidade n~aoenumer�avel de su ess~oes onvergentes, se houver onvergên ia.

152 CAP�ITULO 3. EQUAC� ~OES DIFERENCIAIS ORDIN�ARIAS.Como estas onstru� ~oes foram feitas abundamente-mente no ap��tulo anterior, n~ao pre isamos in luir aqui nenhumexemplo, e vo ê sabe n~ao somente que eles existem em qual-quer quantidade e forma e que al�em disto h�a uma pluralidadede m�etodos para onstru��-los, satisfazendo a todos os gostos. Napr�oxima se� ~ao vo ê ainda ver�a um outro m�etodo de onstru� ~aodestes objetos.Uma parti� ~ao da unidade feita om k + 1-Splines�e um objeto muito espe ial: tem m elementos:P = fP1; � � � ; � � � ; � � � ; Pmg (3.43)e om eles podemos onstruir ombina� ~oes lineares:g = �1P1 + � � � ; � � � ; � � �+ �mPm (3.44)que voltam a ser polinômiais por peda� os do mesmo grau omumk + 1 de ada elemento Pi da soma (eq. 3.44)6. A lasse de ontinuidade sendo tamb�em a mesma de ada elemento da soma,g �e uma fun� ~ao polinômial por peda� os, de grau k+1 e de lasseCk. Observe que a equa� ~ao 3.44 �e uma equa� ~ao fun- ional. Se onsiderarmos todos os oe� ientes �i = 0 em3.44 o resultado ser�a a fun� ~ao identi amente zero. Se tomarmosuma ole� ~ao qualquer om m oe� ientes, onstruindo assim afun� ~ao g, ao tro armos todos os sinais dos oe� ientes, resultana fun� ~ao �g que somada a anterior reproduz 0.Vemos assim, que o leitor termine os passos, quea equa� ~ao 3.44 de�ne um espa� o vetorial de fun� ~oes gerado porP = fP1; � � � ; � � � ; � � � ; Pmg: (3.45)Esta fam��lia se hama geradora. Como, se impusermos a ondi� ~aog = �1P1 + � � � ; � � � ; � � � + �mPm = 0 (3.46)6Aqui �e pre iso alterar a de�ni� ~ao de grau, aso ontr�ario a a�rma� ~ao anterior � afalsa. Vamos entender grau omo menor ou igual ao grau omum aos elementos dafam��lia. Assim a fun� ~ao identi amente nula tem grau k + 1... esta �e uma modi� a� ~aotemporânea, para efeito lo al.

3.5. INTERPOLAC� ~AO POLINOMIAL. 151dos gr�a� os est~ao as par elas individualmente representadas, j�amultipli adas pelos oe� ientes f(f�2;�1; 0; 1; 2; 3; 4 ) apli a-dos aos �atomos que produzem o projetor. No outro est~ao osgr�a� os onjuntos de f e de P (f).Neste aso parti ular, parti� ~oes da unidade poli-nomiais, a proje� ~ao �e um Spline que aproxima f . No aso a imaXxk2�[a;b℄�xk(x)f(xk) � f(x)�e um 2-Spline. Se quisermos um 3-Spline basta onstruir umsinal de lasse C2 � om peda� os de polinômio de grau 3.Na pr�oxima se� ~ao onstruiremos os Splines, a�nal.Observa� ~ao: 33 Projetores.A sombra de um objeto tridimensional sobre o solo �e uma proje� ~ao.Esta palavra �e usada muitas vezes om o sentido de uma redu� ~ao da dimens~ao. No asoda sombra, o objeto �e tridimensional e sua sombra �e bidimensional.Ao projetarmos perdemos parte das informa� ~oes, este �e o aso t��pi ode uma aproxima� ~ao. As aproxima� ~oes s~ao des ri� ~oes de objetos em que algumas in-forma� ~oes s~ao perdidas ou simplesmente n~ao se en ontram dispon��veis.Este �e sentido dos projetores em Matem�ati a: bus am um espa� o deobjetos sobre os quais tenhamos dom��nio, por exemplo sejam omputa ionais, e riamnele uma imagem de um objeto que desejamos estudar. �E o que fazem os polinômiostrigonom�etri os, os splines, os polinômios de Taylor.Os polinômios trigonom�etri os aptam aspe tos ondulat�orios das fun� ~oese as projetam num espa� o de ondas. Quanto maior for a quantidade termos, mas pre isaser�a a informa� ~ao. Os splines aptam informa� ~oes sobre o omportamento diferen i�aveldas fun� ~oes, om frequên ia apenas o valor no ponto, e as projetam num espa� o desplines. Quanto maior for a informa� ~ao de valores ponto a ponto das fun� ~oes, maispre isa ser�a a proje� ~ao.3.5.3 Splines.Estamos em ondi� ~oes de de�nir de maneira sim-ples, (depois de tanto material te�ori o...), os Splines.Como dissemos no ap��tulo 3, um Spline �e umafun� ~ao polinômial por peda� os de um determinado grau k + 1e de lasse de ontinuidade Ck. Consequentemente um sinal onstruido por peda� os de polinômio de grau k + 1 que tenhatodas as derivadas at�e a ordem k ont��nuas �e um exemplo dek + 1-Spline.

150 CAP�ITULO 3. EQUAC� ~OES DIFERENCIAIS ORDIN�ARIAS.unidade. Observe que a equa� ~ao 3.41 que foi obtida da equa� ~aonum�eri a 3.40 volta a ser uma equa� ~ao fun ional que pode serainda es rita asssim:g = Xxk2�[a;b℄�xkf(xk) � f (3.42)e voltamos a in entiv�a-lo a fazer um esfor� o para ver a diferen� aentre as duas formas de es rever: a equa� ~ao 3.42 �e uma equa� ~aofun ional, a equa ao 3.41 �e uma equa� ~ao num�eri a.Veja o gr�a� os (�g. 3.8) e (�g. 3.9 em que usamosos oe� ientes:f(�2); f(�1); f(0); f(1); f(2); f(3); f(4) ; f(x) = x2:O efeito da soma, (equa� ~ao fun ional):Xxk2�[a;b℄ f(xk)�xk � f�e uma aproxima� ~ao da fun� ~ao f(x) = x2 que tem pre is~ao totalsobre os n�os f�2; 0; 2; 4g: Se quisermos ter maior pre is~ao bas-tar�a re onstruir a parti� ~ao da unidade om uma rede mais �nade n�os. Nos dois gr�a� os (�g. 3.8) e (�g. 3.9) se pode ver omparativamente os gr�a� os de f e de sua aproxima� ~ao omeste projetor-parti� ~ao da unidade. Observe que os gr�a� os, s~aosemelhantes apesar de haver uma deforma� ~ao que torna dif�� il dever esta semelhan� a. Esta deforma� ~ao, j�a dissemos isto antes,se deve a uma otimiza� ~ao que S ilab faz da tela gr�a� a parao up�a-la toda om o gr�a� o. Esta otimiza� ~ao �e muito omumem todos os programas de omputa� ~ao alg�ebri a ou num�eri ae representa a melhor saida dentre as pou os que se tem parafazer uma boa representa� ~ao de fun� ~oes gra� amente. Em um

3.5. INTERPOLAC� ~AO POLINOMIAL. 1494. Nestas ondi� ~oes a identidade seguinte se veri� a sobre[a; b℄: f � Xxk2�[a;b℄�xk = Xxk2�[a;b℄�xkf = f: (3.39)porque na primeira express~ao da identide a ima, temos oproduto da fun� ~ao f por uma fun� ~ao que �e identi amente1 sobre o intervalo [a; b℄: A segunda express~ao onsiste deapli a� ~ao da propriedade distributiva da multipli a� ~ao rel-ativamente �a adi� ~ao. As duas express~oes oin idem, por-tanto om a fun� ~ao f sobre o intervalo [a; b℄: Uma outraforma de expressar a identidade a ima �e:f(x) � Xxk2�[a;b℄�xk = Xxk2�[a;b℄�xkf(x) = f(x): (3.40)parti ularizando o valor da identidade para ada ponto x 2[a; b℄. A diferen� a entre as duas equa� ~oes �e: a primeira �eidentidade entre fun� ~oes , a segunda �e uma identidade entren�umeros, que o leitor se esfor e para ver esta diferen� a.Na �gura (�g. 3.6) vemos o gr�a� o de algumas dasfun� ~oes duma tal fam��lia, neste aso elas s~ao simples transla� ~oesdo sinal parab�oli o, ver exemplo 3.38, de�nido antes:x 7! �(x � 4) ; x 7! �(x � 2) ; x 7! �(x) ; x 7! �(x + 2)A soma destes sinais translatados se en ontra nogr�a� o, (�g. 3.7), p�agina 186.Se �zermos uma pequena modi� a� ~ao na equa� ~ao(eq. 3.40), p�agina 149 teremos um resultado inteiramente difer-ente: Xxk2�[a;b℄�xk(x)f(xk) � f(x): (3.41)Agora, em vez de somar as fun� ~oes multipli adas ponto a ponto,estamos es olhendo alguns valores de f para servir de oe�- ientes das multipli a� ~oes dos sinais que omp~oem a parti� ~ao da

148 CAP�ITULO 3. EQUAC� ~OES DIFERENCIAIS ORDIN�ARIAS.neste gr�a� o h�a uma fun� ~ao que assume valores positivos e neg-ativos para evitar que S ilab nos impe� a de iden� ar o que a on-te e om a parti� ~ao da unidade5.Estas s~ao propriedades parti ulares de uma lassemais geral de fam��lias de fun� ~oes hamadas de Parti� ~oes daUnidade. A �ultima ondi� ~ao �e espe �� a das apli a� ~oes quenos interessam aqui e em geral �e substituida por uma ondi� ~aomais fra a. N�os vamos trabalhar om estas parti� ~oes da unidade�nitas que ser~ao su� ientes para os nossos objetivos. Consul-tando [11℄ vo ^e en ontrar�a uma des ri� ~ao mais detalhada dasParti� ~oes da Unidade se o seu interesse for ex itado. Umaparti� ~ao da unidade n~ao pre isa ser uma fam��lia �nita de fun� ~oesmas em ima de ompa tos estas fam��lias sempre se reduzem aum n�umero �nito satisfazendo a pen�ultima propriedade lista na(observa� ~ao, 32), p�agina 147. Somas �nitas s~ao derivaveis, in-tegr�aveis et ... se as par elas destas somas o forem, este �e o usodas parti� ~oes da unidade, junto om o fato de que os seus ele-mentos lo alizam os problemas e os valores. Na pr�oxima se� ~aousaremos as parti� ~oes da unidade na aproxima� ~ao de fun� ~oes .3.5.2 Projetores de�nidos om Parti� ~oes da Unidade.Vamos mostrar uma apli a� ~ao das parti� ~oes daunidade.1. Considere o onjunto das fun� ~oes reais f ont��nuas de�nidasno intervalo: [a; b℄ e um intervalo aberto que ontenha[a; b℄: f 2 C([a; b℄) ; [a; b℄ � 2. Seja uma parti� ~ao fa = x0; x1; : : : ; xn = bg de [a; b℄.3. Considere uma ole� ~ao de fun� ~oes (�xk)xk) indexada em�[a; b℄ satisfazendo as ondi� ~oes 32.5S ilab otimiza a janela gr�a� a de modo que n~ao onseguiriamos ver a soma dasfun� ~oes.

3.5. INTERPOLAC� ~AO POLINOMIAL. 147pre isam siquer ser semelhantes, basta que tenham �areas alg�ebri asde sinais ontr�arios.Exer �� io: 24 Transla� ~oes e homotetias de sinais.1. Chame �o a fun� ~ao de�nida no exemplo 3.36, p�agina 144,e �2(x) = �(x � 2) uma transla� ~ao para direita de �. Ver-i�que que �2 + �o �e uma fun� ~ao a suporte ompa to, queseu valor �e exatamente 1 sobre o intervalo [0; 2℄, semprepositiva, se anula fora do intervalo [�2; 4℄.2. Chame �k(x) = �(x � k)k2f0;1;:::;n em que � est�a de�nidana p�agina 144. Veri�que que a fun� ~ao �0 + �2 + �4 + �6�e identi amente 1 sobre o intervalo [0; 6℄, �e positiva, difer-en i�avel, e se anula fora do intervalo ompa to [�2; 8℄.3. Qual �e o suporte de ��2 + �0 + �2 ?No �ultimo exer �� io vo ^e foi levado a onstruiruma fam��lia (��)� de fun� ~oes que satisfazem �a s seguintes ondi� ~oes : Propriedades da fam��lia (��)�.Observa� ~ao: 32 Propriedades dum parti� ~ao da unidade.1. �E uma fam��lia de fun� ~oes positivas e a suporte ompa to.2. Todas as fun� ~oes da fam��lia � am entre zero e 1.3. A soma das fun� ~oes �e a fun� ~ao onstante 1 sobre um inter-valo ompa to da reta.4. Cada uma das fun� ~oes da fam��lia assume o valor 1 em ex-atamente um ponto.O gr�a� o (graf. 3.6) mostra tres fun� ~oes que for-mam uma fam��lia do tipo des rito. No gr�a� o h�a uma fun� ~aoque assume valores positivos e negativos apenas para efeito om-parativo. No (graf. 3.7) se pode novamente ver elementos daparti� ~ao da unidade junto om a soma das mesmas. Tamb�em

146 CAP�ITULO 3. EQUAC� ~OES DIFERENCIAIS ORDIN�ARIAS.5. Considere o sinal �(x) = xR�1 f(t)dt em que f �e a fun� ~aode�nida no (exemplo, 3.38). Mostre que a transla� ~ao �a(x) =�(x � a) �e tamb�em um sinal.6. Mostre a soma de duas transla� ~oes �a + �b �e um sinal.7. Mostre que (x) = �(ax) �e um sinal se � o for e que sea > 1 o suporte de ter�a medida menor do que o suporte de�. Veri�que que se a < 1 a medida(supporte( ) ser�a maiordo que medida(supporte(�). Ver a de�ni� ~ao de suporte,(def. 13) abaixo.8. Use um programa de omputa� ~ao alg�ebri a, (ou fa� a umprograma em Pas al) para al ular somas de transla� ~oes.Veri�que que o sinal da (�g. , 3.2) �ea soma das tres transla� ~oes��a+�0+�a do sinal de�nido no exemplo (exemplo, 3.36).9. * Vo ê pode usar os parâmetros a; b omo bot~oes no for-mato �(ax + b) para obter sinais om suporte do tamanhodesejado e entrado no ponto �ba e in lusive somas destessinais om bot~oes diferentes. Construa um programa emPas al que fa� a isto4.10. *** Vo ê pode fazer que um programa altere os valores dosbot~oes men ionados no exer �� io anterior, ao apertar aste las: !; "; #; A fun� ~ao do TurboPas al para isto se-ria ReadKey e uma ompara� ~ao om o �odigo ASCII dassetas do te lado.Vamos explorar a onstru� ~ao feita no exemplo 3.36para a onstru� ~ao da fam��lia de fun� ~oes que nos interessa.Os tres exemplos na �gura anterior s~ao de fun� ~oesa suporte ompa to. Qualquer fun� ~ao onstruida om triângulos ujas �areas se anulem mutuamente ter�a omo primitiva umafun� ~ao diferen i�avel e a suporte ompa to. Os triângulos n~ao4este m�etodo se en ontra por traz da generaliza� ~ao que as wavelets representam paraas s�eries de Fourier, ou para as transformadas de Fourier. Os \bot~oes" re ebem os nomesde dilata� ~ao e transla� ~ao.

3.5. INTERPOLAC� ~AO POLINOMIAL. 145� e os dois ramos externos en ontram o eixo OX tamb�emtangen ialmente.Sua equa� ~oes s~ao :Um sinal parab�oli o, � .8>>><>>>: x 2 [�2;�1℄ ) �(x) = 12(x+ 2)2x 2 [�1; 1℄ ) �(x) = �x22 + 1x 2 [1; 2℄ ) �(x) = 12(x� 2)2x =2 [�2; 2℄ ) �(x) = 0 (3.38)No gr�a� o (�g. 3.5) abaixo vo ê pode ver tres sinais parab�oli osobtidos om oe� ientes angulares diferentes impostos aos \sinais"triangulares. O exer �� io seguinte prop~oe uma outra maneirade onstruir um sinal diferen i�avel. Na parte �nal do exer �� iovo ê ser�a onduzido a fazer algumas experiên ias \alg�ebri as" om sinais.Exer �� io: 23 Constru� ~ao de um sinal diferen i�avel.1. En ontre os valores dos parâmetros �; �; de modo que aspar�abolas �(x+ 2)2; ��x2 + ; �(x� 2)2se ortem tangen ialmente. En ontre os pontos de tangên iae de�na uma fun� ~ao diferen i�avel que se anule fora do in-tervalo [�2; 2℄.2. Veri�que na onstru� ~ao anterior que � n~ao �e �uni o.3. Veri�que que a fun� ~ao � onstruida no exemplo 3.36 �e iguala onstruida a ima om � = 1.4. Melhore o m�etodo de onstru� ~ao no exemplo 3.36 substi-tuindo os triângulos por dois sinais parab�oli os, um delesnegativo, de modo a obter uma fun� ~ao positiva, de lasseC2, que se anule fora de um intervalo fe hado.

144 CAP�ITULO 3. EQUAC� ~OES DIFERENCIAIS ORDIN�ARIAS.que seu suporte �e limitado e portanto \estar�a entrado em algumponto" do espa� o...A fun� ~ao f onstruida no exemplo anterior, n~ao�e diferen i�avel, mais interessante seria onstruir uma fun� ~aoque se anulasse fora de um intervalo fe hado e o �zesse difer-en i�avelmente, omo pare e ser o aso da (�g. , 3.2). H�a duasmaneiras simples de se o fazer.Exemplo: 25 Constru� ~ao de um sinal diferen i�avel I.Construiremos abaixo uma fun� ~ao f de�nida pordois tri^angulos sim�etri os em torno da origem, omo na (�g.,3.35),um deles negativo, entretanto:8>>><>>>: x 2 [�2;�1℄ ) f(x) = x+ 2x 2 [�1; 1℄ ) f(x) = �xx 2 [1; 2℄ ) f(x) = x� 2x =2 [�2; 2℄ ) f(x) = 0 (3.36)O gr�a� o vo ^e pode ver na (�g. 3.4). Se al ular-mos a integral tRa f(x)dx om ondi� ~ao ini ial a < �2, o resultadoser�a uma integral nula para valores de t > 2 mas positiv ou nulapara qualquer outro valor de t:De�na agora:�(x) = xZ�1 f(x)dx (3.37)�E f�a il veri� ar que� � �e diferen i�avel, sua derivada sendo f ;� que se anula fora do intervalo [-2,2℄.� Seu gr�a� o �e formado por tres ramos de par�abolas que o-in idem tangen ialmente nos pontos (�1; 12), (1; 12) duas aduas;

3.5. INTERPOLAC� ~AO POLINOMIAL. 143Mas as fun� ~oes que se originem de algum fenômeno f��si o, qu��mi oou biol�ogi o podem ter suporte limitado. �E pre iso n~ao onfundir o modelo alg�ebri o querepresenta uma aproxima� ~ao do fenômeno, om o pr�oprio fenômeno... a intensidade do alor se omporta omo f(r) = 1r em que r �e a distân ia da fonte para distân ias n~aomuito pequenas. Entretanto para distân ias muito grandes se pode supor que o alorque atinge um objeto a partir da fonte �e nulo e assim f �e a suporte ompa to. Melhordizendo, os instrumentos que temos para medir, j�a n~ao s~ao mais sens��veis a quantidade alor que emana da fonte. Aqui entraria em uso uma fun� ~ao omo �D(0:r) multipli andoaquela que modela algebri amente a distribui� ~ao de alor em termos da distân ia, f , e ujo efeito ser�a de anular os valores do modelo fora da �area de sensibilidade do aparelhomedidor. O novo modelo ser�a �D(0:r)f:Um intervalo fe hado e limitado �e um onjunto ompa to. Entreoutros onjuntos, que podemos de�nir omo ompa tos, se en ontra um dis o fe hado,D[0; r℄, de entro 0 e raio r:Pre isamos uma fam��lia de fun� ~oes om as seguintespropriedades: ont��nuas, positivas, se anulando fora de um in-tervalo fe hado. Vamos ome� ar om a onstru� ~ao de tais fun� ~oes, que hamaremos sinais.De�ni� ~ao : 14 SinalChamamos de sinal uma fun� ~ao positiva, limitada,integr�avel e a suporte ompa to.No gr�a� o (�g. 3.2) vo ê tem um exemplo sinal.Vamos a seguir mostrar-lhe omo onstruir sinais, algebri a-mente.Exemplo: 24 Constru� ~ao de um sinal triangular.Considere a fun� ~ao f de�nida pelas ondi� ~oes :8><>: x 2 [�2;�1℄ ) f(x) = x+ 2x 2 [�1; 0℄ ) f(x) = �xx =2 [�2; 0℄ ) f(x) = 0 (3.35)f �e ont��nua e se anula fora do intervalo [�2; 0℄.Seu gr�a� o �e \triângulo" sobre o intervalo [�2; 2℄Os exemplos de sinais das �guras (�g.,3.3) e (�g.,3.2)podem induz��-lo num erro de intui� ~ao, ambos est~ao entrados naorigem. A �uni a oisa que �e verdade a respeito de um sinal �e

142 CAP�ITULO 3. EQUAC� ~OES DIFERENCIAIS ORDIN�ARIAS.De�ni� ~ao : 13 Suporte de uma fun� ~ao.Suporte de uma fun� ~ao [a; b℄ f! R �e o menor on-junto fe hado que ontenha fx; f(x) 6= 0g.Exemplo: 23 Fun� ~oes e seus suportes.1. f(x) = x2;R f! R, o suporte de f = supp(f) = R porque, omo f �e um polinômio, o onjunto ff(x) 6= 0g �e um on-junto aberto e o �uni o onjunto fe hado que o ont�em �eR. Qualquer polinômio tem omo suporte o intervalo emque estiver de�nido. Num erto sentido isto signi� a que o onjunto dos zeros de um polinômio �e insigni� ativo.2. Se f = �(a:b℄ for a fun� ~ao ara ter��sti a do intervalo (a; b℄de�nida por �(a;b℄(x) = ( x 2 (a; b℄ 1x =2 (a; b℄ 0ent~ao supp(f) = [a; b℄.3. Se f = �(a;b) a fun� ~ao ara ter��sti a do intervalo aberto(a; b), ent~ao supp(f) = [a; b℄4. Se f representa a intensidade de alor que emana de umafonte em fun� ~ao da distân ia, relativamente a um determi-nado instrumento, supp(f) = D[0; r℄ = o dis o fe hado de entro 0 e raio r, em que r representa a distân ia a par-tir da qual o instrumento mediria omo 0 a quantidade de alor dete tada e 0 �e o ponto onde se lo aliza a fonte de alor.Observa� ~ao: 31 Fun� ~oes a suporte ompa to.Os exemplos a ima, ex eto o �ultimo, deixam uma lara impress~aode que fun� ~oes que tiverem suporte diferente de R s~ao fun� ~oes onstruidas para ter umsuporte espe ial. De fato �e assim, a quase totalidade das fun� ~oes de�nidas por algumpro esso alg�ebri o, e a�� in luindo fun� ~oes omof(x) = 1x ; f(x) = ln jxj;tem omo suporte R.

3.5. INTERPOLAC� ~AO POLINOMIAL. 141Isto denun ia uma vantagem para o m�etodo de Pi- ard se n~ao levarmos em onta que foram feitas 12 itera� ~oes ...ou que os nosso programas s~ao muito ruins.A �obvia on lus~ao dos exemplos que temos a ima�e ainda a mesma que j�a tiramos anteriormente: os m�etodos deaproxima� ~ao deixam a desejar. Entretanto o m�etodo de Pi ardpode permitir que des ubramos a solu� ~ao exata omo o exemploanterior o mostra. O segundo exemplo indi a que isto pode seralgumas vezes dif�� il de se onseguir.3.5 Interpola� ~ao polinomial.Neste par�agrafo vamos dis utir um outro m�etodopara solu� ~ao de equa� ~oes diferen iais ordin�arias bastante difer-ente dos j�a estudados antes. Ele se baseia em Interpola� ~ao poli-nomial ujo estudo se ini iou no C�apitulo 1 e que ser�a aprofun-dado om a introdu� ~ao dos Splines que al�� apenas foram anun- iados. Queremos resolver o problema:dydx = g(t; y) ; y(a) = b; (3.34)e para isto vamosmemorizar os valores da derivada numa familiade fun� ~oes que gozam de algumas propriedades espe iais quetornam isto possivel. Esta fam��lia de fun� ~oes se hama parti� ~aoda unidade e vamos ini iar este par�agrafo om a sua onstru� ~ao.3.5.1 Parti� ~ao da unidade.Vamos de�nir o on eito de suporte que intuitiva-mente signi� a o onjunto que ontem os valores n~ao nulos deuma fun� ~ao. Alguns exemplos abaixo lhe mostrar~ao que esta on eitua� ~ao intuitiva �e falha.

140 CAP�ITULO 3. EQUAC� ~OES DIFERENCIAIS ORDIN�ARIAS.Assimy2(t) = 2 + tR0 g(�; y1(�))d� =y2(t) = 2 + tR0 (2 + 2� � �)d� =y2(t) = 2 + tR0 (2 + �)d� = 2 + 2t+ t22Continuando teremos:y3(t) = 2 + tR0 g(�; y2(�))d� =y3(t) = 2 + tR0 (2 + 2� + �22 � �)d� = 2 + 2t+ t22 + t36= 1 + t+ t22 + t36 + t+ 1 � et + t+ 1onde j�a vemos apare er uma aproxima� ~ao da solu� ~ao exatay = ex + x+ 1:Exemplo: 22 Uma outra ompara� ~ao .Podemos apli ar o m�etodo de Pi ard para resolvera mesma equa� ~ao om a ondi� ~ao ini ial y(�5) = 5 para estab-ele er ompara� ~ao om os resultados do par�agrafo anterior, emque resolvemos este problema.As primeiras ontas j�a se revelam ompli adas enada de n��tido surge omo no exemplo anterior, mesmo sabendoqual �e a solu� ~ao exata...Fazendo uso de um programa de omputa� ~ao alg�ebri a, al ulamos 12 itera� ~oes do m�etodo de Pi ard e assim obtivemos:y12(�4:77) = 6:2924enquanto que o valor obtido om a solu� ~ao exata, mas obvia-mente om aproxima� ~ao al ulada pelo pr�oprio programa om 4 asas de imais, �e 3:9272. O valor neste mesmo ponto usando-sequalquer dos m�etodos anteriores �e 7:4467.

3.4. UM M�ETODO ITERATIVO. 139Teorema: 15 Teorema de Pi ard (the little theorem of Pi ard)Seja g uma fun� ~ao de�nida e ont��nua assim omo�g�x num retângulo R do plano om lados paralelos aos eixos.Dada uma ondi� ~ao ini ial (a; b) 2 Ro existe ent~ao um intervalo(a � h; a + h) ontido na proje� ~ao de R sobre O ~X tal que y0 =g(t; y) ; y(a) = b sendo esta solu� ~ao �uni a.A demonstra� ~ao do teorema Pi ard pode ser en- ontrada em [26℄,p�aginas (424-426). A referida demonstra-� ~ao laramente onstroi a seqên ia (yk) a ima e mostra sua on-vergên ia. �E pre iso um pou o mais de Matem�ati a para mostrarque o modelo omum para este teorema e o de Newton-Raphson�e o mesmo garantindo a existên ia de um ponto �xo: teri-amos que dis utir mais aprofundadamente a topologia do espa� oC([a; b℄). O leitor interessado pode onsultar [25℄,p�aginas (337-339), onde se en ontra o teorema do ponto �xo que justi� a tantoo Teorema de Pi ard omo o Teorema de Newton-Raphson.Observe tamb�em que no Teorema de Peano, (que �eanterior ao teorema de Pi ard), n~ao se tem uni idade da solu� ~ao. Vamos resolver a equa� ~aodydt = g(t; y) = y � t ; y(0) = 2que j�a resolvemos anteriormente, para omparar os resultados.Exemplo: 21 Solu ~ao de dydx = g(x; y) pelo Teorema de Pi ard.Como o m�etodo sugere temos que usar um ele-mento ini ial ao qual apli aremos o operador. Este elementoini ial �e uma fun� ~ao e pode ser a fun� ~ao linear que passa peloponto (0; 2) om derivada g(0; 2) que �e a aproxima� ~ao mais sim-ples e elementar para resolver o nosso problema.

138 CAP�ITULO 3. EQUAC� ~OES DIFERENCIAIS ORDIN�ARIAS.e portanto nos en ontramos literalmente dentro do espirito doM�etodo de Newton-Raphson3: ser�a que existe um ponto �xoy0 tal que K(y0) = y0? Se houver um tal ponto �xo podemoses rever: y0(t) = b+ tZa g(�; y0(�))d�; (3.32) uja derivada nos leva de volta ao problema 3.6:dy0dt = g(t; y0(t)) ; y0(a) = b (3.33)do qual y0 �e a solu� ~ao .Observa� ~ao: 30 Constantes.Pro ure n~ao se onfundir om esta observa� ~ao, mas quando resolve-mos uma equa� ~ao, pro uramos um objeto, uma onstante, que satisfa� a determinadas ondi� ~oes. Nas equa� ~oes elementares se se ostuma dizer que esta onstante resolveuo problema. Da mesma forma uma solu� ~ao de uma equa� ~ao diferen ial, (ou de umaequa� ~ao fun ional), �e uma fun� ~ao determinada, uma onstante. N~ao onfundir omfun� ~ao onstante. A resposta para esta quest~ao �e sim, dada peloteorema:Teorema: 14 Teorema de PeanoSeja g uma fun� ~ao de�nida e ont��nua num retânguloR do plano om lados paralelos aos eixos. Dada uma ondi� ~aoini ial (a; b) 2 Ro = interior de R, existe ent~ao um inter-valo (a � h; a + h) ontido na proje� ~ao de R sobre O ~X tal quey0 = g(t; y) ; y(a) = b.Observe-se que o teorema n~ao fala da existên iade um ponto �xo para nenhum operador. Mas este teorema �euma generaliza� ~ao do que vamos agora enun iar, tendo demon-stra� ~oes prati amente idênti as:3n~ao �e nada evidente, mas a situa� ~ao se assemelha a de uma progress~ao geom�etri aem que o operador K fun iona omo a raz~ao multipli ativa.

3.4. UM M�ETODO ITERATIVO. 137f K7! h ; K(f)(t) = h(t) = b+ tZa g(�; f(�))d�; (3.28)de�nida num espa� o de fun� ~oes e que apli ada a uma fun� ~ao fresulta n'outra fun� ~ao h, em outras palavras temos:K : C([a; b℄) K7! C([a; b℄) ; h(t) = K(f)(t) = b+ tZa g(�; f(�))d�;(3.29)que, para ser verdade, basta que a fun� ~ao g seja ont��nua nointervalo [a; b℄ omo os �al ulos seguintes demonstram:jh(x0)� h(x00)j = j x00Zx0 g(�; f(�))d� j < Cjx0 � x00j )) fjx0 � x00j < � ) jh(x0) � h(x00)j < C�porque a onstante C depende apenas de f; g; x0; x00Observa� ~ao: 29 Operadores.Por v�arias raz~oes, at�e mesmo de pre on eito nosprimeiros dias em que fun� ~oes foram de�nidas sobre outras fun� ~oes,quando uma fun� ~ao se en ontra de�nida num espa� o de fun� ~oes, �e ostume ham�a-la de operador.Posto nos termos da equa� ~ao (eq. 3.29) a equa� ~aoprimitiva (eq. 3.26) pode se es rever assim:y2 = K(y1); y3 = K(y2); : : : ; yk+1 = K(yk); (3.30)ou ainda podemos observar que o operador K est�a sendo iterado:y2 = K(y1); y3 = K(y2) = K(K(y1)); : : : ; yk+1 = Kk(y1);(3.31)

136 CAP�ITULO 3. EQUAC� ~OES DIFERENCIAIS ORDIN�ARIAS.F 0(x) = g(t; y) ) F (t) = b+ tZa g(�; y)d�: (3.25)Esta express~ao �e, no entanto, in ômoda. Comointerpretar y no integrando? Quem resolve isto s~ao os m�etodositerativos: eles onsistem da ideia de ome� ar alguma oisa dealgum lugar, a partir de um ponto ini ial, onstruindo umasu ess~ao e veri� ar depois se podemos des obrir ondi� ~oes quegarantam a onvergên ia da mesma, �e nisto que se baseia om�etodo de Newton-Raphson para determina� ~ao de raizes de umaequa� ~ao . A fundamenta� ~ao te�ori a �nal de tais m�etodos �e oteorema do ponto do �xo, ver [25, Apêndi e, teorema do ponto�xo℄. Vamos re-es rever a equa� ~ao anterior:y2(t) = b+ tZa g(�; y1(�))d�; (3.26) om a suposi� ~ao de que temos alguma sugest~ao y1 que �e aprimeira fun� ~ao de uma su ess~aoy1; y2; y3; : : : ; yk; yk+1; : : :que onvergeria para a solu� ~ao do problema (eq. 3.6), p�agina119. A veri� a� ~ao de onvergên ia de que falamos a ima pode onsistir apenas na demonstra� ~ao de que a su ess~ao onstruidapor este m�etodo �e de Cau hy. Assimyk+1(t) = b+ tZa g(�; yk(�))d�: (3.27)Vamos generalizar mais um pou o, observando quea equa� ~ao (eq. 3.26) representa uma fun� ~ao K:

3.4. UM M�ETODO ITERATIVO. 135O resultado gr�a� o do programa �e uma des ri� ~ao do uxo das �orbitasda equa� ~ao diferen ial de�nida no programa que se en ontrem dentro de um retângulo,tamb�em de�nido no programa.Uma alta densidade de segmentos reta pode impedir a visualiza� ~aodo uxo, assim omo uma baixa densidade poder�a ter o mesmo efeito. Existe umafaixa de densidades ertas, a ser en ontrada experimentalmente, que torna n��tido este uxo para uma determinada regi~ao.Com frequên ia se en ontra este problema de sele� ~ao de uma densi-dade adequada na aquisi� ~ao de dados para interpretar um fenômeno. Vo ê ir�a ompreen-der o que estamos dizendo se rodar o programa algumas vezes.O nome do m�etodo se justi� a porque podemosidenti� ar atravez dele os pontos em que h�a mesmo, iso, o-e� iente angular. Ele tem uma outra importân ia adi ional:permite algumas vezes se ter uma vis~ao do uxo das solu� ~oes .O m�etodo das Is�o linas �e um m�etodo global, o que ontradiz ham�a-lo de m�etodo passo a passo..., porque ele nosforne e o uxo das solu� ~oes numa regi~ao . Observe que a imaes revemos apenas a equa� ~ao diferen ial, sem nenhuma ondi� ~aoini ial. Se �zermos um programa tra� ar pequenas retas om o oe� iente angular g(xk ; yk) estaremos implementandogra� amente o m�etodo de Euler. No dis o vo ê en ontra esteprograma feito: �e a pro edure Iso linas.pas que se en ontra nabibliote a urvas.O leitor deve observar a ausên ia de um gr�a� onesta se� ~ao, ela se deve ao fato de que n~ao onseguimos resolveresta quest~ao om S iLab, [21℄, � ariamos gratos se algu�em nosapontasse esta solu� ~ao. A solu� ~ao em Pas al �e o programa iso- linas.pas.3.4 Um m�etodo iterativo.Uma outra alternativa para resolver o problema3.6 onsiste numa apli a� ~ao quase direta do Teorema Funda-mental do C�al ulo:

134 CAP�ITULO 3. EQUAC� ~OES DIFERENCIAIS ORDIN�ARIAS. om K1 = hgkK2 = hg(xk + h; yk +K1)3.3 O m�etodo das Is�o linas.Em geral este m�etodo �e apresentado assim:1. Seja uma regi~ao do plano em que est�a de�nida a equa� ~aodiferen ial dydt = g(t; y):2. Consideremos uma dis retiza� ~ao de representada poruma parti� ~ao qualquer da mesma, para �xar ideias: umamalha retangular obrindo da qual tomamos apenas osn�os (xk; yk)k que se en ontrem dentro de .3. A solu� ~ao aproximada pelo M�etodo das Is�o linas �e um onjunto de segmentos de reta rk entrado em (xk; yk) de omprimento inferior �a norma da malha e om oe� ienteangular g(xk; yk):4. A ondi� ~ao de que os segmentos de reta sejam de ompri-mento inferior �a norma da malha �e est�eti a. Est�eti a nemsempre �e futilidade, muitas vezes pode representar uma lassi� a� ~ao essen ial. Com esta ondi� ~ao o onjunto destespequenos segmentos de reta d~ao uma vis~ao de onjuntodas solu� ~oes da equa� ~ao diferen ial mostrando o uxo dassolu� ~oes . Rode o programa iso linas.pas referido abaixo enele altere o tamanho dos segmentos de reta para entendermelhor de que est�eti a estamos falando.Observa� ~ao: 28 Interpreta� ~ao dos dados.Um problema b�asi o na modelagem de fen^omenos pode ser fa ilmenteexempli� ado om o programa iso linas.pas. Rode este programa alterando o tamanhodos segmentos de reta rk e possivelmente tamb�em alterando a equa� ~ao diferen ial dada.

3.2. M�ETODOS PASSO A PASSO. 133Uma outra experiên ia ilustrativa pode ser feita om a mesma equa� ~ao e diferente ondi� ~ao ini ial:Exemplo: 20 Solu� ~ao aproximada de y0 � y = x; y(�5) = 5.A solu� ~ao exata desta equa� ~ao �e y = 6exp(5)exp(x)+x+4: Abaixovo ê pode ver alguns pares de dados omparativos feitos omEuler1:Dominio do programa: x -> [-37.9 , 37.9℄ y -> [-19 , 19℄Este programa resolve grafi amente e aprox. a equa ao diferen ialdy/dx = f(x,y) om a pre isao es olhida e ondi oes ini iais dadaspre isao = 0.1 ondi ao ini ial (-5,5).x = -5.0000 y = 5.0000Sol exata: x = -5.0000 y = 5.0000x = -4.9900 y = 5.1000Sol exata: x = -4.9900 y = 4.9503x = -4.8000 y = 7.0900Sol exata: x = -4.8000 y = 4.1124em que se pode ver um erro muito grande. N~ao melhora nadatentar Euler2 ou Euler3. Se tentar usar os programas n~ao seesque� a de substituir na fun� ~ao Teste a express~ao da solu� ~aoexata para a ondi� ~ao ini ial es olhida. Vo ê poder�a en ontrarno dis o o programa RungeK que �e ligeira variante de Euler2.Numa r�apida on lus~ao , vo ê tem aqui uma �uni aequa-� ~ao para a qual, dependendo da ondi� ~ao ini ial, os m�etodosdes ritos olapsam. Seria in orreto sugerir que temos m�etodosnum�eri os de alta pre is~ao para resolver qualquer equa� ~ao ...Entretanto se pode melhorar a aproxima� ~ao dimin-uindo o passo e onsequentemente onsumindo mais tempo.Exer �� io: 22 Modi�que o programa RungeK usando o pr�oximoponto no formato yk+1 = yk + K1 +K22

132 CAP�ITULO 3. EQUAC� ~OES DIFERENCIAIS ORDIN�ARIAS.x = 0.5000 y = 3.1474Sol exata: x = 0.5000 y = 3.1487x = 0.7000 y = 3.7116Sol exata: x = 0.7000 y = 3.7138x = 0.9000 y = 4.3562Sol exata: x = 0.9000 y = 4.3596x = 1.0000 y = 4.7141Sol exata: x = 1.0000 y = 4.7183x = 2.0000 y = 10.3662Sol exata: x = 2.0000 y = 10.3891x = 3.0000 y = 23.9926Sol exata: x = 3.0000 y = 24.0855 erro < 0.1O programa ConvRot que se en ontra no dis o hama a seguinterotina que produz os dados a ima, entretanto ser�a ne ess�ariofazer altera� ~oes nos programas Eulerxx e RungeKxx que seen ontram dentro da bibliote a Curvas. Vo ^e pode en ontrarnovas vers~oes de RungeKXX no dis o, fora da bibliote a Cur-vas. O programa usa algumas fun� ~oes de�nidas na bibliote aCurvas que se en ontra no dis o, omo por exemplo Dfx, Dfyque al ulam aproximadamente as derivadas par iais em rela� ~aoa x ou a y.3.2.3 Pre is~ao da solu� ~ao .O leitor pode ser tentado a aprofundar o m�etodotentando al ular derivadas de maior ordem. Antes faz^e-lo useo programa ConvRot substituindo Euler por Euler2, Euler3.Ver�a que n~ao h�a grande signi� ado em tentar deriva� ~oes demaior ordem. H�a uma propaga� ~ao de erro que torna relativa-mente in�util tentar aproxima� ~oes polinomiais de ordem muitoalta. Em suma, as aproxima� ~oes polinomiais de grau 1 e 2 s~aomuito efetivas al�em de simples. A este respeito ver [14℄, na in-trodu� ~ao se dis ute a diferen� a entre as t�e ni as de diferen ia� ~aoalgor��tmi a ontra a diferen ia� ~ao por diferen� as divididas que�e o m�etodo usado nos nossos programas em Pas al.

3.2. M�ETODOS PASSO A PASSO. 131Vamos a um exemplo num�eri o, mas observe queque programas omo Eulerxx.pas ou RungeKxx podem ofer-e er v�arios exemplos a gosto do estudante que neles pode variartanto as equa� ~oes omo a pre is~ao e assim observar melhor osefeitos destes par^ametros. Vamos a um �al ulo manual, depoisdele in luiremos uma listagem de dados feita por omputador.Exemplo: 19 A equa� ~ao dydx = y � x ; y(0) = 2 .Aqui g(x; y) = y � x. A ondi� ~ao ini ial diz-nosque pro uramos uma urva que passe no ponto (0; 2).Ent~ao�g(t; y)�t + �g(t; y)�y g(t; y) == �1 + y � x = y � (x + 1):Assimf(a+ h) � f(a) + g(a; b)h + g1(a; b)2 h2 = 2 + 2h+ h22Se h = 0:1 ent~ao f(0:1) � 2+0:2+0:005 = 2:205.Os dados abaixo foram obtidos om o programa Euler2.pas emPas al que se en ontra listado mais adiante:Dominio do programa: x <- [-37.9 , 37.9℄ y <- [-19 , 19℄Este programa resolve aprox. a equa ao diferen ialdy/dx = f(x,y) om a pre isao es olhida e ondi oes ini iais dadaspre isao = 0.1 ; ondi ao ini ial (0,2).x = 0.0000 y = 2.0000Sol exata: x = 0.0000 y = 2.0000x = 0.1000 y = 2.2050Sol exata: x = 0.1000 y = 2.2052x = 0.2000 y = 2.4210Sol exata: x = 0.2000 y = 2.4214x = 0.3000 y = 2.6492Sol exata: x = 0.3000 y = 2.6499

130 CAP�ITULO 3. EQUAC� ~OES DIFERENCIAIS ORDIN�ARIAS.equa� ~ao, em que apare em as derivadas par iais de g seja iguala (eq. 3.17), o que nos leva a solu� ~ao seguinte nas vari�aveis�1; �2; �1; �2 : �1 + �2 = 1 (3.21)�2 = 12 (3.22)�1 = �2 = 1 (3.23)portanto:1. existem estes oe� ientes,2. a nova f�ormula que depende apenas do valor ini ial de f ede g3. temos uma aproxima� ~ao om a mesma pre is~ao que a f�ormulade Taylor de segunda ordem:yk+1 � yk + 12g(a; b)h + g(tk + h; yk + g(a:b)h)h22(3.24)usando apenas os valores de g nos pontos da malha.Demonstramos assim a validade do m�etodo de Runge-Kutta, em uma de suas variantes:Teorema: 13 M�etodo de Runge-Kutta.Dada a equa� ~ao diferen ial dydt = g(t; y) e umamalha de pontos em que os valores de g s~ao onhe idos e maisuma ondi� ~ao ini ial (a; b) = (a; f(a)), podemos en ontrar ovalor aproximado de uma solu� ~ao f deste problema no pontoa + h, em que h �e o passo da malha, om a mesma pre is~ao daf�ormula de Taylor de segunda ordem om a f�ormula:f(a+ h) = yk+1 � yk + 12g(a; b)h + g(tk + h; yk + g(a:b)h)h22

3.2. M�ETODOS PASSO A PASSO. 129grau e portanto podemos utilizar este m�etodo em substitui� ~ao aoanterior para obter uma solu� ~ao gr�a� a, ou uma listagem, maispre isa da solu� ~ao aproximada da equa� ~ao diferen ial dada.Por se baseiar num polin^omio de Taylor de se-gundo grau �e que a (eq. 3.17) ofere e mais pre is~ao na aprox-ima� ~ao do valor de f(a+h): Entretanto um problema de ordempr�ati a se imp~oe, (a raz~ao por traz do m�etodo de Runge-Kutta),os dados desta equa� ~ao diferen ial podem ser resultados experi-mentais. Os valores de g, um levantamento de taxas de varia� ~ao,podem ser valores tomados em alguns pontos de uma malha, ea�� n~ao temos uma equa� ~ao alg�ebri a para al ular derivadas par- iais. Re ordando, queremos en ontrar valores aproxi-mados pa-ra uma solu� ~ao f da equa� ~ao diferen ial dydt = g(t; y):Isto ainda quer dizer que desejamos en ontrar f(a + h) em queh �e um passo de uma malha de aproxima� ~ao.Retomando a (eq. 3.17), omo queremos evitarde al ular derivadas par iais2, O Teorema do valor m�edio do �al ulo diferen ial nos traz uma sugest~ao para substituir as derivadaspar iais de g por um quo iente om valores desta fun� ~ao nos ex-tremos de um intervalo. O m�etodo de Runge-Kutta altera estasugest~ao substituindo a diferen� a pelo valor da fun� ~ao al uladaem um �uni o ponto obtido obtido pela introdu� ~ao de novos oe-� ientes e depois a imposi� ~ao de uma igualdade que leve a umaequa� ~ao linear, por ompara� ~ao om (eq. 3.17). Vejamos omoisto se faz:f(a + h) � f(a) + �1g(a; b)h + �2hg(a+ �1h; b+ g(a; b)�2h)h(3.18)� f(a) + �1g(a; b)h + �2h[g(a; b) + �g�t �1h+ �g�y g(a; b)�2h℄(3.19)� f(a) + (�1 + �2)g(a; b)h + (�2�1�g�t + �2�2�g�y g(a; b))h2(3.20)Vamos agora impor a ondi� ~ao de que esta �ultima2Se os dados forem experimentais, n~ao poderemos mesmo al ular derivadas par iais,se a equa� ~ao diferen ial for dada por uma equa� ~ao, alg�ebri a, ent~ao a (eq. 3.17) podeser usada.

128 CAP�ITULO 3. EQUAC� ~OES DIFERENCIAIS ORDIN�ARIAS.x(�5) = 49 e duas poligonais obtidas om passos distintos:2,1.O m�etodo de Euler onsiste, assim da f�ormula de Taylor deprimeiro grau.Usamos apenas polin^omios de Taylor de primeirograu. Nisto se onstitue o m�etodo de Euler. A garantia deaproxima� ~ao que se tem neste m�etodo vem da f�ormula de Taylor.O erro ometido �e medido om o resto desta f�ormula.3.2.2 M�etodos de Runge-Kutta.Mas podemos insistir al ulando agora f 00(a) quesigni� a al ular a derivada de g(t; y) em rela� ~ao a t:d2ydt2 = �g(x; y)�t + �g(t; y)�y dydt (3.14)que se expli a pela regra da adeia em que derivamos em rela� ~aoa t e y: Agora dydt apare e na equa� ~ao ini ial o que nos permitede re-es rever a express~ao omo:d2ydt2 = �g(t; y)�t + �g(t; y)�y g(t; y) (3.15)Temos o valor da segunda derivada em termos dasderivadas pari iais da equ� ~ao g(t; y) dada e podemos retonar af�ormula de Taylor para es revermos um polin^omio do segundograu em h: f(a+ h) � f(a) + f 0(a)h + f 00(a)h22(3.16)f(a+ h) � f(a) + g(a; b)h + (�g(t; y)�t + �g(t; y)�y g(t; y))h22(3.17)Para valores muito pequenos de h o erro destaf�ormula do segundo grau �e ainda menor do que a do primeiro

3.2. M�ETODOS PASSO A PASSO. 127Vamos novamente interpretar f(a + h). Signi� ao valor de uma fun� ~ao des onhe ida no ponto a + h. Dependodos objetivos que se tenha a solu� ~ao do problema pode pararaqui: se o objetivo for:, obter um valor aproximado da fun� ~ao fno ponto a+ h; est�a feito!Exer �� io: 21 1. Use o m�etodo de Euler para en ontrar (a+h,f(a+h)) aproximadamente em ada uma das equa� ~oes abaixo, om h := 0.01:(a) y0 = sen(xy) ; y(0) = 1(b) y0 = x2 + y2 ; y(0) = 1( ) y0 = �xy ; y(0) = 12. Considere uma su ess~ao x0 = a; : : : ; xn formando umap.a. de raz~ao h:= 0.1 e onstrua uma poligonal que resolvaaproximada- mente ada uma das equa� ~oes anteriores omo m�etodo de Euler.O objetivo pode ser mais amplo, entretanto, doque apenas en ontrar um ponto pr�oximo da ondi� ~ao ini ial: sepode desejar um gr�a� o entenda-se: uma listagem �na de val-ores de f nas proximidades da ondi� ~ao ini ial dada, por que umgr�a� o no omputador nada mais �e que uma listagem de pontos om um passo muito pequeno que pode ser alternadamente ap-resentada omo uma listagem de pares de n�umeros. Neste asodesejamos ter o onjunto:f(a; b) = (x0; y0); (x1; y1); : : : ; (xk; yk); (xk+1; yk+1)g (3.13)Basta iterar o pro esso onsiderandoy1 = f(a+ h) = b+ g(a; b)h = b1 omo uma nova ondi� ~ao ini ial e assim al ular y2 = f(a+2h).O pr�oximo gr�a� o, (�g. 3.1) ont�em a solu� ~aoexata da equa� ~ao diferen ial dxdt = �xt om a ondi� ~ao ini ial

126 CAP�ITULO 3. EQUAC� ~OES DIFERENCIAIS ORDIN�ARIAS.-1.644 -1.166 -0.687 -0.209 0.270 0.748 1.226 1.705 2.183 2.662 3.140

-2.41

-1.88

-1.34

-0.81

-0.28

0.25

0.78

1.31

1.85

2.38

2.91

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f(a + h) = f(a) + f 0(a)h = b+ g(a; b)h ) f(a+ h) = b+ g(a; b)h(3.12)N~ao se per a om a nota� ~ao: queremos en ontraruma fun� ~ao f que �e solu� ~ao da equa� ~ao diferen ial e sabemosque f 0(a) = g(a; b) ; b = f(a): Estaremos sempre falando afun� ~ao f que �e solu� ~ao pro urada1.1nem sempre a solu� ~ao de uma equa� ~ao diferen ial �e uma fun� ~ao, a maneira maisadequada de falar �e ham�a-la de urva, aqui h�a um erro suport�avel...

3.2. M�ETODOS PASSO A PASSO. 125Nas express~oes a ima, h representa um erro, oque em programa� ~ao se hama as vezes passo. Podemos assiminterpretar a f�ormula (eq. 3.11), vendo �a direita uma aprox-ima� ~ao do valor de f num ponto pr�oximo de a sendo h o passoes olhido. A express~ao g(t; y) na equa ao 3.4 representa umaf�ormu-la "alg�ebri a" asso iando a um ponto do plano a derivadade uma urva que passa por ele: as equa� ~oes diferen iais repre-sentam urvas ou planos de�nidos atrav�es de uma express~ao emque as derivadas destes objetos geom�etri- os entram envolvidas.O gr�a� o (�g. 3.2) abaixo traz tres urvas, adauma �euma solu� ~ao parti ular de uma equa� ~ao diferen ial. Uma\ urva" �e a solu� ~ao de um problema, �e determinada por umponto que ara teriza a ondi� ~ao ini ial, observe que esta ondi� ~aoini ial tem o mesmo signi� ado numa integral em que apenas umdos limites de integra� ~ao est�a de�nido enquanto que o outro � avari�avel.Exer �� io: 20 1. Resolva as seguintes equa� ~oes diferen iaisexatamente en ontrando a solu� ~ao identi� ada pela ondi� ~aoini ial dada:(a) y0 = 3x ; y(0) = 0 ;(b) y00 = 0 ; y(0) = 0 ; y0(0) = 0 ;( ) y0 = sen(x); y(0) = 0 ;2. En ontre todas as solu� ~oes das equa� ~oes diferen iais doitem anterior, (gra� amente).3.2.1 O m�etodo de Euler.Como usar 3.11 em onex~ao om a equa� ~ao difer-en ial dydt = g(t; y) ; y(a) = b ? Vamos interpretar f(a) omo a ondi� ~ao ini ial dada. Assim x = a ) y = b e portanto temos

124 CAP�ITULO 3. EQUAC� ~OES DIFERENCIAIS ORDIN�ARIAS.em seu estudo as equa� ~oes lineares.O quinto �e o mais interessante e tomar�a mais onosso tempo porque ele �e um m�etodo usado tamb�em para asequa� ~oes diferen iais par iais e representa uma formula� ~ao difer-ente de um mesmo prin ��pio de aproxima� ~ao: elementos �nitos.Para desenvolv^e-lo ome� a-remos por dis utir um m�etodo difer-ente de aproxima� ~ao de fun� ~oes que �e o quadro geral em que se olo am os Splines: a regulariza� ~ao por onvolu� ~ao .Embora itadas diversas vezes a ima, as equa� ~oesdiferen iais par iais n~ao ser~ao estudadas neste texto.A parte �nal destes ap��tulo vai se dedi ar a umtipo parti ular de equa� ~oes diferen iais: as lineares. Nestas apli- aremos o �ultimo m�etodo.3.2 M�etodos passo a passo.Vamos ome� ar estudando tres m�etodos, na ver-dade tres variantes de um mesmo m�etodo porque est~ao todosbaseados na f�ormula de Taylor. Nos desagrada a etiqueta: passoa passo olo ada nestes m�etodos, porque, omo toda etiqueta �erestritiva e algumas vezes envelhe e mais r�apido que as t�e ni asenvolvidas. Vo ^e ver�a algumas raz~oes para esta r��ti a no texto.Como todos os m�etodos usam a F�ormula de Taylor, esta deveriaser a etiqueta.Os polin�omios de Taylor ofere em um m�etodo deapro-xima� ~ao de objetos diferen i�aveis. Relembrando a f�ormula:f(a+ h) = f(a) + f 0(a)h + � � � + f (n)(a)n! hn +Rn(x)(3.10)em que f �e uma fun� ~ao su� ientemente deriv�avel. Se despre-sarmos o erro, o que signi� a substituir f por uma aproxima� ~aosua, es reveremos:f(a+ h) � f(a) + f 0(a)h + � � � + f (n)(a)n! hn (3.11)

3.1. EQUAC� ~OES DIFERENCIAIS. 123uma sonda, ou um sat�elite em �orbita signi� a en ontrar o n��velenerg�eti o pre iso em que uma part�� ula vai � ar em torno de umn�u leo, onsideradas as respe tivas massas e velo idade angulardo sat�elite. Nestes termos se trata de en ontrar uma urva quetangen ie outra: solu� ~ao de uma equa� ~ao diferen ial ordin�aria.Este mesmo problema envolve um outro: ontro-lar a rota� ~ao do sat�elite em torno do seu pr�oprio eixo para garan-tir uma exposi� ~ao maximal de suas �elulas foto-el�etri as �a luzsolar, por exemplo: solu� ~ao de uma equa� ~ao diferen ial par ialpor que o sat�elite deixa de ser uma part�� ula e o problema deixade ser univariado passando a multivariado.Temos assim que resolver equa� ~oes diferen iais oisaque nem sempre onseguimos fazer formalmente, isto justi� afolgadamente nos preo uparmos om m�etodos de solu� ~ao aprox-imada, num�eri a, por que em muitos asos �e tudo o que podemosfazer. Vamos estudar in o m�etodos de aproxima� ~ao :� Os tres primeiros se baseiam na f�ormula de Taylor:{ M�etodo de Euler;{ M�etodo das Is�o linas;{ M�etodo de Runge-Kutta.O m�etode de Euler e o de Runge-Kutta s~ao hamados dem�etodos passo porque podemos obter a solu� ~ao da equa� ~aodiferen ial, aproximadamente no ponto (xk; yk) om aux��liodos valores j�a obtidos anteriormente. Om�etodo das Is�o linas�e umm�etodo global, porque, por exemplo, ignorando ondi� ~oesini iais, pro ura des rever o omportamento das solu� ~oesno dom��nio dado. Ele permite algumas vezes um visual-iza� ~ao do uxo das urvas-solu� ~ao.� O quarto parte de uma apli a� ~ao iterativa do Teorema Fun-damental do C�al ulo �e o m�etodo de Pi ard.� O quinto se baseia nos Splines e se on�na na lass� a� ~aom�etodo de interpola� ~ao polinomial. Aqui nos restringiremos

122 CAP�ITULO 3. EQUAC� ~OES DIFERENCIAIS ORDIN�ARIAS.�u�x � �u�t � 3t+ 4x = 0:Resolver equa� ~oes diferen iais par iais �e mais dif�� ilque resolver equa� ~oes diferen iais ordin�arias, em prin ��pio... ali�as,resolver equa� ~oes diferen iais de qualquer natureza, ordin�ariasou par iais, em prin ��pio n~ao �e f�a il e nem siquer possivel. H�aalguns tipos de equa� ~ao sobre as quais se sabe tudo, mesmo queresolv�e-las expli itamente nem sempre seja algo trivial. Algumasdelas foram resolvidas ao longo de anos e somente aos pou os se� ou laro para os matem�ati os eles ti-nham a sua solu� ~ao omo�e o aso da equa� ~ao de Lapla e:�2u�x2 + �2u�t2 = 0 (3.8) ujas solu� ~oes se hamam fun� ~oes harmôni as e s~ao a parte realou a parte imagin�aria de uma fun� ~ao anal��ti a. Estas �ultimas,por sua vez s~ao as solu� ~oes de uma outra equa� ~ao diferen ialpar ial que tamb�em levou dois s�e ulos para que os matem�ati os ompreendensem que a havia resolvido indiretamente:Equa� ~oes de Cau hy-Riemann.�u�x = �v�y �u�y = ��v�x (3.9)que ainda podemos hamar de um sistema de equa� ~oes difer-en iais par iais de primeira ordem.Podemos fa ilmente demonstrar as rela� ~oes a imaentre fun� ~oes anal��ti as e fun� ~oes harmôni as, mas representaum urso om dura� ~ao de um semestre, dependendo, obviamentedos prerequesitos... em que se des revem 200 anos de hist�oriada Matem�ati a.Seria interessante que �zessemos algumas referên ias on- retas a situa� ~oes em que se usam equa� ~oes diferen iais.Uma �area muito momentosa de apli a� ~oes �e a espa ial. Colo ar

3.1. EQUAC� ~OES DIFERENCIAIS. 121trata-se de uma equa� ~ao diferen ial de segunda ordem, es-tas pre isam de uma ondi� ~ao m�utipla para sua solu� ~ao, eneste aso se fala de ondi� ~oes de fronteira: o in�� io e o�m do intervalo no tempo. O problema �e ent~ao:F 00 = fF (0) = 0F (1) = �1Um outro problema alternativo poderia ser:F 00 = fF (0) = 0F 0(0) = �1em que as duas ondi� ~oes s~ao dadas no ponto t = 0.3. Numa equa� ~ao diferen ial podemos ter express~oes ombi-nando operadores aritm�eti os e fun� ~oes ompondo uma ex-press~ao desde que a�� apare� am as derivadas de uma fun� ~aoque se des onhe e: 3ty00 � 5t2y0 = 04. No exemplo anterior os termos \3t" e \5t2" s~ao oe� ientesda equa-� ~ao , isto �e os dados que se ombinam linearmente om as vari�aveis. Aquela equa� ~ao �e portanto uma equa� ~aoa oe� ientes vari�aveis em oposi� ~ao a equa� ~ao :3y00 � 5y0 = 0que �e equa� ~ao a oe� ientes onstantes.5. Se na express~ao apare erem derivadas par iais se trata deuma equa� ~ao a derivadas par iais, ou equa� ~ao diferen ial par ial.Em oposi� ~ao , as outras em que n~ao apare em derivadaspar iais, s~ao hamadas equa� ~oes diferen iais ordin�arias. Aequa� ~ao seguinte �e uma equa� ~ao diferen ial par ial:

120 CAP�ITULO 3. EQUAC� ~OES DIFERENCIAIS ORDIN�ARIAS.Este onjunto formado pela equa� ~ao mais a ondi� ~aoini ial y(a) = b re ebe omumente o nome de problema. Fare-mos algumas vezes refer^en ias ao problema 3.6 para om isto in-di ar uma equa� ~ao mais uma ondi� ~ao ini ial. No gr�a� o a imatemos tres solu� ~oes de uma equa� ~ao diferen ial, naturalmenteasso iadas a tres ondi� ~oes ini iais distintas. A semi-reta queapare e no gr�a� o oin ide om o ponto ini ial (0; 0) de umadessas urvas, sendo-lhe tangente neste ponto, portanto o oe�- iente angular da reta �e g(0; 0):Esta maneira de falar tem um sentido geom�etri of�a il de expli ar: a solu� ~ao de uma equa� ~ao diferen ial �e um ob-jeto geom�etri o, aqui ser�a sempre uma urva, que passa por umdeterminado ponto: (a; b). Isto �e o mesmo que a determina� ~aoduma primitiva, no C�al ulo univariado:F (t) = b + tZa f(x)dx (3.7)em que o gr�a� o de F passa no ponto (a; b): Teorema Funda-mental do C�al ulo.Exemplo: 18 Alguns exemplos de equa� ~ao diferen ial.1. A equa� ~ao diferen ial a ima se expressa omo F 0 = f . Taisequa� ~oes diferen iais s~ao omuns num urso de C�al uloquando se diz que se deseja al ular a primitiva duma fun� ~ao.2. Um pou o mais dif�� il seria a equa� ~ao diferen ialF 00 = fque dizemos ser uma equa� ~ao diferen ial de segunda ordempor que em sua express~ao se tem derivadas de segundaordem. Para resolver expli itamente esta equa� ~ao difer-en ial, pre isamos de duas ondi� ~oes ini iais, poderia seruma ondi� ~ao ini ial, o ponto ini ial do intervalo do tempoe uma ondi� ~ao �nal, o ponto �nal do intervalo de tempo:

3.1. EQUAC� ~OES DIFERENCIAIS. 119Exer �� io: 19 Teorema da fun� ~ao impli ita.1. Enun ie o Teorema da fun � ~ao impli ita para fun� ~oesR3 7!R:2. Mostre que a hip�otese a ima enun iada �e su� iente paraque uma equa� ~ao diferen ial omo foram de�nidas se possaes rever na forma expli ita dydt = g(t; y):Ao es olhermos es rever a \vari�avel" independente om a letra t estamos tamb�em tomando uma posi� ~ao de indi arque nossas equa� ~oes diferen iais ser~ao dependentes do tempo. �Euma atitude natural que vai de en ontro a grande maioria dasapli a� ~oes em que se expressa om uma equa� ~ao diferen ial umarela� ~ao de varia� ~ao ao longo do tempo de algum fen^omeno.3.1.2 A solu� ~ao de uma equa� ~ao diferen ial.Resolver uma equa� ~ao diferen ial ordin�aria sig-ni� a en ontrar uma urva, algumas vezes o gr�a� o uma fun� ~ao, que satisfa� a equa� ~ao 3.6, no sentido de que a tangente, ou o oe� iente angular do vetor tangente �a urva, ou ao gr�a� o, �edado pela express~ao g(t; y) em qualquer ponto (t; y(t)) da urva.Isto �e muito \vago" entretanto, para se hamar deuma solu� ~ao . Pre isamos de um ponto a partir do qual tra� ar a urva, de modo que o que se estuda s~ao problemas. Um problema�e um par de dados da forma:Um problema.dydt = g(t; y) (3.5)y(a) = b (3.6)em que y(a) = b representa um ponto (a; b) por onde passaa urva-solu� ~ao . Este ponto �e hamado apropriadamente de ondi� ~ao ini ial.

118 CAP�ITULO 3. EQUAC� ~OES DIFERENCIAIS ORDIN�ARIAS. os(xy) seria uma express~ao alg�ebri a...) . Ou seja, umaequa� ~ao diferen ial ordin�aria �e uma equa� ~ao em que se en ontreenvolvida, omo in ognita, uma fun� ~ao t 7! y(t) assim omosuas derivadas at�e uma erta ordem n, e dizemos ent~ao que setrata de uma equa� ~ao diferen ial ordin�aria de ordem n .De modo an�alogo se de�niria uma equa� ~ao difer-en ial par ial omoF (t; x; u; �u�t ; �u�x; : : : ; �nu�tpxq ) = 0 (3.2)que portanto �e uma equa� ~ao em que se en ontra envolvida umafun� ~ao multivariada assim omo suas derivadas par iais at�e uma erta ordem. Neste livro estaremos nos restringindo �a dis- uss~ao das equa� ~oes diferen iais ordin�arias de primeira ordeme segunda ordem. Entretanto o objetivo prin ipal do livro n~ao�e o estudo das equa� ~oes diferen iais e sim as t�e ni as de aprox-ima� ~ao polin^omial. As equa� ~oes diferen iais entram aqui apenas omo um desa�o fas inante de aproxima� ~ao polinomial. No �-nal do ap��tulo nos estenderemos a solu� ~ao aproximada de umaequa� ~ao diferen ial linear de ordem n:3.1 Equa� ~oes Diferen iais.3.1.1 Exemplos e nota� ~ao.F (t; y; y0) = 0; (3.3)que pelo Teorema da Fun� ~ao Impl�� ita podem ser es ritas naforma: dydt = g(t; y) (3.4)desde que �F�y0 6= 0 o que suporemos verdadeiro, em uma ertaregi~ao de�nida pelos par^ametros t; y.

Cap��tulo 3Equa� ~oes Diferen iaisOrdin�arias.Introdu� ~ao .Este livro n~ao se dedi a a equa� ~oes diferen iais eportanto este ap��tulo apenas usa onhe imentos que vo ^e deveter de equa� ~oes diferen iais obtidos em C�al ulo. Nosso objetivo�e o m�etodo polinomial de aproxima� ~ao de fun� ~oes que dis utimosno ap��tulo 1. As equa� ~oes diferen iais s~ao um exemplo de prob-lema ao qual tentamos apli ar o m�etodo polinomial. Na primeiraparte do ap��tulo dis utiremos m�etodos l�assi os de aproxima� ~aopolinomial da solu� ~ao de uma e.d.o. omo m�etodo de Euler, e osm�etodos do tipo Runge-Kuta que se lassi� am omo m�etodospasso a passo. Tamb�em dis utiremos o m�etodo das is�o linasque �e um m�etodo global. Depois nos dedi aremos aos splinese a solu� ~ao aproximada de equa� ~oes lineares de ordem maiorem que se utiliza a teoria das matrizes estudadas no ap��tuloanterior. Uma equa� ~ao diferen ial ordin�aria �e uma rela� ~aodo tipo F (t; y; y0; : : : ; y(n)) = 0 (3.1)em que F �e uma express~ao alg�ebri a, (alg�ebri a est�a aqui tomadoem seu sentido mais amplo, do s�e ulo 19, em que G(x; y) =117

116 CAP�ITULO 2. �ALGEBRA LINEAR COMPUTACIONAL.Teste := False Else inf[i℄[j℄ := aMat[i℄[j℄;j := j+1;End;inf[i℄[j℄ := 1;While j <= dim DoBeginsup[i℄[j℄ := aMat[i℄[j℄;For k := 1 to i-1 Dosup[i℄[j℄ := sup[i℄[j℄ - inf[i℄[k℄*sup[k℄[j℄;j := j+1;inf[i℄[j℄ := 0;End;End;Apete o;ClrS r;WriteLn('Matriz triangular inferior: ');PrintMatriz(inf,'matriz inferior');Apete o; ClrS r;WriteLn('Matriz triangular superior: ');PrintMatriz(sup,'matriz superior');Apete o; ClrS r;Repete o; Resposta := UpCase(Resposta);Until (Resposta = 'N');End.

2.7. O M�ETODO DE GAUSS-JORDAN. 1156. Mostre que se A e B forem duas matrizes n x n ent~aopodemos de omp^o-las em sub-matrizes de ordem jxj, jxk,kxj, kxk ; j+k=n de modo que a multipli a� ~ao A � Bpode ser efetuada usando as sub-matrizes omo se fossemn�umeros. (Fa� a algumas experi^en ias para en ontrar a leide forma� ~ao do produto, introduza uma nota� ~ao adequadapara des rever esta quest~ao ).O seguinte tre ho de programa em Pas al repre-senta o algoritmo para determina� ~ao das duas matrizes triangu-lares do Teorema 2.72:{** programa para fatora ao de matrizes num produtode matrizes triangulares.por Tar isio Pra iano Pereira - DMa - UEM -Projeto: Programas em Pas al para Analise Numeri a- 1994 ***}program FatorT;Uses Tipos, Matrizes,Graph, Crt;Var sup,inf : Matriz;BeginRepeatprojeto := ' Fatora'+ edi+atil+' de Matrizes ';RestoreCrtMode; Mask;EntradaMatriz;WriteLn(' primeira linha da matriz inferior');For i := 1 to dim DoBeginsup[1℄[i℄ := aMat[1℄[i℄;inf[1℄[i℄ := 0;End;inf[1℄[1℄ := 1;WriteLn(' matrizes inferior e superior');For i:= 2 to dim DoBeginWriteLn('Es revendo a linha ', i);j := 1;While j < i DoBeginsup[i℄[j℄ := 0; inf[i℄[j℄ := aMat[i℄[j℄;For k := 1 to j-1 Doinf[i℄[j℄ := inf[i℄[j℄ - inf[i℄[k℄*sup[k℄[j℄;If sup[j℄[j℄ <> 0 Theninf[i℄[j℄ := inf[i℄[j℄/sup[j℄[j℄ElseIf inf[i℄[j℄ <> 0 Then

114 CAP�ITULO 2. �ALGEBRA LINEAR COMPUTACIONAL.A ondi� ~ao de inversibilidade de A �e evidente-mente ne es-s�aria para a solu� ~ao des rita a ima que exige quesii 6= 0. Entretanto o sistema �esuper-determinado: tem maisequa� ~oes que in ognitas portanto, se tiver solu� ~ao ter�a um in-�nidade delas. A indetermina� ~ao reside na possibilidade de siiser igual a zero o que impli a em que iij 6= 0 qualquer. Istomostra que o Teorema 2.72 vale mesmo no aso de matrizessingulares omo est�a enun iado.As equa� ~oes tem que ser al uladas nesta ordemdentro dum programa, o programa abaixo faz isto.Exer �� io: 18 1. Traduza as equa� ~oes 2.72 para um programaem Pas al (ou C ou outra linguagem), veja abaixo parte doalgoritmo em Pas al.2. Fa� a um programa que teste uma matriz quanto a sua in-vertibilidade e aso seja invers��vel a triangularize.3. Mostre que se uma matriz for obtida por permuta� ~oes daslinhas (ou olunas) da matriz identidade ent~ao :(a) seu determinante �e �1.(b) seus elementos ser~ao apenas a unidade apare endo uma�uni a vez numa linha ou oluna mas em toda linha ou oluna h�a uma entrada n~ao nula igual a 1.4. Mostre que, re ��pro amente, se em toda linha ou olunahouver uma entrada igual a unidade sendo as demais en-tradas nulas ent~ao esta matriz �e obtida por permuta� ~ao delinhas (ou olunas) da identidade.5. Considere a sequên ia de n�umeros � = (a1; :::an) todosdiferentes e a matriz A uja olunas sejam as potên ias�0; �1; :::�n�1; �n(entenda �k omo sendo a sequên ia das potên ias k dos el-ementos de � ). Cal ule o determinante de A . (Estabele� auma hip�otese a partir de algumas experiên ias).

2.7. O M�ETODO DE GAUSS-JORDAN. 113superior S em que os elementos da diagonal: sii memorizam odeterminante de uma matriz A dada:I = �� 1 0 0 0i21 1 0 0i31 i32 1 0i41 i42 i43 1 �� S = �� s11 s12 s13 s140 s22 s23 s240 0 s33 s340 0 0 s44 �� ; A = I � S(2.70)A equa� ~ao do Teorema 12 gera um sistema deequa� ~oes que nos permitem en ontrar as matrizes I;S uma vezque A �e dada:s11 = a11s12 = a12s13 = a13s14 = a14i21s11 = a21i21s12 + s22 = a22i21s13 + s23 = a23i21s14 + s24 = a24i31s11 = a31i31s12 + i32s22 = a32i31s13 + i32s23 + s33 = a33i31s14 + i32s24 + s34 = a34i41s11 = a41i41s12 + i42s22 = a42i41s13 + i42s23 + s33 = a43i41s14 + i42s24 + i43 + s44 = a44(2.71)

Se a matriz A for invers��vel, a solu� ~ao deste sis-tema, (agora pensando num sistema n x n), �e da forma:8j = 1::n s1j = a1jj < i iij = aij�Pk<j iikskjsiij = i iij = 1j > i iij = 0j < i sij = 0j � i sij = aij � Pk<i iikskj (2.72)

112 CAP�ITULO 2. �ALGEBRA LINEAR COMPUTACIONAL.E � A � F � �� D 00 0 ��em que E ;F sao matrizes triangulares tendo apenas a unidadesobre a diagonal prin ipal e D �e uma matriz diagonal de ordemk semelhante do ponto de vista de sistema de equa ~oes a matrizmenor de ordem k invers��vel de A, em que k �e o posto de A.Podemos es rever este resultado num outro for-mato. Veri�que que nas igualdades abaixo se tem a fatora� ~aode A omo matrizes triangulares:A = E 0 � (D � F 0) = (E 0 � D) � F 0em que �a esquerda temos a matriz triangular superior E 0 apenas om a unidade na diagonal multipli ada pela matriz triangularinferior D � F 0:Podemos da�� enun iar dois teoremas semelhantesum dos quais �e:Teorema: 12 Uma matriz quadrada A pode ser fatorada numproduto de uma matriz triangular inferior por uma matriz tri-angular superior: A = I � Sde modo que os elementos na diagonal de I sejam apenas aunidade e a diagonal de S memoriza detA.Vamos representar matri ialmente o Teorema 12para deduzir um m�etodo de resolu� ~ao de sistema de equa� ~oeslineares. Vamos nos �xar em matrizes 4x4 para fa ilitar a repre-senta� ~ao esquem�ati a das matrizes. Estaremos ao mesmo tempoestabele endo o formalismo ne ess�ario ao programa FatorT queexe uta a tarefa expressa no Teorema 12.Queremos en ontrar uma matriz triangular infe-rior I apenas om a unidade na diagonal, uma matriz triangular

2.7. O M�ETODO DE GAUSS-JORDAN. 111Exatamente omo se anulam elementos numa ma-triz, podemos anular os blo os B0; C 0 obtendo a matriz-blo os:A � �� D 00 G" ��Vemos assim que tudo se reduz a dis utir o quea onte e om uma matriz n~ao invers��vel G" uja ordem �e o om-plementar relativamente a n da ordem de D .Observa� ~ao: 27 Parte singular de uma matriz.G" representa a parte singular da matriz A. Assim um sistema podeser fatorado de modo a eviden iar a sua parte singular e a sua parte n~ao singular.A parte n~ao singular representa a informa� ~ao �univo a do sistema: ada vari�avel tem uma e uma �uni a solu� ~ao . Na parte singular, se houver solu� ~oes elasn~ao s~ao �uni as. A parte singular de um sistema orresponde a uma equa� ~ao num�eri- a da forma 0x = b que tem solu� ~ao apenas se b = 0 e neste aso tem um n�umero in�nitode solu� ~oes : qualquer n�umero real �e uma solu� ~ao .Como a matriz G" pode ser triangularizada supe-riormente, vemos que ela n~ao pode ter entradas n~ao nulas sobrea diagonal, (do ontr�ario por tro as de linhas e olunas poderi-amos deixar uma tal entrada no anto superior esquerdo de G"e depois agregar mais uma linha e uma oluna �a matriz D oque ontradiz a hip�otese de esta era uma matriz menor de maiorordem invers��vel. Por raz~ao semelhante G" n~ao pode ter nen-huma entrada n~ao nula a ima diagonal t~ao pou o, isto �e G" � 0,assim: A � �� D 00 0 ��As matrizes triangulares superior e inferior na fa-tora� ~ao de A t^em apenas 1 sobre a diagonal. Demonstramosassim oTeorema: 11 (da fatora� ~ao triangular)Seja A uma matriz de ordem n tendo uma matrizmenor de ordem k invers��vel. Ent~ao

110 CAP�ITULO 2. �ALGEBRA LINEAR COMPUTACIONAL.Observa� ~ao: 26 O anel das matriz triangulares superiores.O onjunto das matrizes triangulares superiores �e est�avel sob as opera� ~oesusuais om matrizes: soma de matrizes, multipli a� ~ao de uma matriz por um es alar ouproduto de matrizes. Este onjunto tem assim uma estrutura alg�ebri a, �e um anel.Como tais matrizes podem ter elementos nulos na diagonal, nem todass~ao invers��veis. Podemos mostrar, �e o onte�udo do Teorema 7, que o onjunto de todasas matrizes se en ontra representado neste onjunto das matrizes triangulares superiores.O mesmo se pode dizer do onjunto das matrizes triangualres inferiores.De�ni� ~ao : 12 Pivots da matriz A.Suponha que uma matriz A tem uma fatora� ~aoA = E 0 � D � F 0triangular omo des rito no teorema 10. Ent~ao os elementos dadiagonal de D se hamam pivots de A.Vamos agora extender o Teorema 10. Antes defaz^e-lo observemos que ele representa uma forma fra a do Teo-rema sobre invers~ao de matrizes, uma vez que n~ao obtivemosa identidade, mas sim uma matriz diagonal. Para extender oteorema vamos retirar a hip�otese de inversibilidade de A.SeA n~ao for invers��vel mesmo assim poder�a ter al-guma matriz menor que o seja, basta que n~ao seja nula e haver�apelo menos uma menor de ordem 1 x 1 que seja invers��vel. Va-mos onsiderar a maior, (de maior ordem), das menores n~aoinvers��veis de A. Por tro a de linhas e olunas esta matriz podeser olo ada omo um blo o no anto superior esquerdo de A.Pelo Teorema 10 podemos es rever:A = �� EDF CB G ��em que EDF �e um produto de blo os de a ordo om o Teorema10 por que al�� temos uma matriz menor invers��vel. Ou seja temosa seguinte equival^en ia de matrizes de sistemas de equa� ~ao :A � �� D C 0B0 G0 ��em que o blo o D �e o blo o diagonal es rito anteriormente omaux��lio do Teorema 10.

2.7. O M�ETODO DE GAUSS-JORDAN. 109Chamemos F a matriz triangular superior quememoriza estas opera� ~oes, ompondo om o que j�a obtivemos a ima temos agora:E � A = S ) (E � A) � F = S � F = D (2.69)resultando na matriz diagonal D, pelo lema. q.e.d.Observe ainda que os elementos da diagonal damatriz D no teorema 9 s~ao �uni os a menos de uma onstante:um sistema de equa� ~ao pode ter uma de suas equa� ~oes multipli- ada por um mesmo n�umero sem que isto altere o resultado daequa� ~ao , (o sistema de equa� ~ao assim modi� ado �e equivalenteao anterior). Podemos es olher a onstante que multipli a adaequa� ~ao de tal modo que as entradas nas diagonais de E ;F se-jam apenas 1. Desta forma a matriz D � a bem determinada.Mais do que isto, pelo teorema 8, p�agina 103, temos:det(D) = det((E � A) � F) = 1 � det(A) � 1 = det(A)Os n�umeros que apare em na diagonal de D se hamam pivots , e podemos garantir que s~ao todos diferentes dezero devido a hip�otese de inversibilidade de A, al�em do mais oproduto deles �e det(A).Todas as matrizes envolvidas na express~ao(E � A) � F = D = E(AF) = EAFs~ao invers��veis, (porque o determinante do produto �e o produtodos determinantes). A inversa de uma matriz triangular superior(inferior) �e tamb�em uma matriz triangular superior (inferior).Demonstramos assim um aso parti ular de fa-tora� ~ao triangular de matrizes:Teorema: 10 (Fatora� ~ao triangular de uma matriz.)Se A for invers��vel ent~ao existe uma matriz trian-gular inferior, E e uma matriz triangular superior F tal queE � A � F = D ) A = E 0 � DF 0em que D �e uma matriz diagonal. Os elementos nas diagonaisde E ;F sendo todos 1.

108 CAP�ITULO 2. �ALGEBRA LINEAR COMPUTACIONAL.2.7 O m�etodo de Gauss-Jordan.Vamos dis utir um exemplo que veremos n~ao sernada parti ular assim. Consideremos uma matriz A . PeloTeorema 7 podemos en ontrar uma matriz E invers��vel tal queE � A = S uma matriz triangular superior.Se supusermos al�em do mais que A seja invers��veltodos os elementos na diagonal de S ser~ao diferentes de zero:o su� iente para anularmos todos os elementos da mesma linhaque lhe estejam a direita repetindo o algor��timo ontido no Teo-rema 7 adaptado a anula� ~ao dos elementos das linhas, em vezde anular os elementos das olunas. Estas novas opera� ~oes ser~aoas duais relativamente aquelas que �zemos na demontra� ~ao doTeorema 7, quer dizer, o que �zemos om as linhas, agora fare-mos om as olunas. Em parti ular resulta disto que a matrizque ir�a memorizar as opera� ~oes feitas, F , ser�a uma matriz tri-angular superior. Vamos registrar sob a forma de teorema esteresultado dual:Teorema: 9 Triangulariza� ~ao inferior de matrizes. Toda ma-triz pode ser triangularizada inferiormente e a matriz de trans-forma� ~ao F �e uma matriz triangular superior invers��vel.Dem :Lema: 1 A triangulariza� ~ao inferior de uma matriz triangular superior �e uma matrizdiagonal.Dem : Temos uma matriz S que �e triangular superior, quer dizer que tem apenaszero abaixo da diagonal prin ipal. A primeira opera� ~ao do pro esso de triangulariza� ~aoinferior onsiste em ombinar linearmente a primeira oluna om todas as demais paraanular-lhes os elementos da primeira linha o que n~ao altera os elementos abaixo dadiagonal da primeira oluna que s~ao todos zero. Mas este primeiro elemento da primeira oluna pode ser zero. Se for, passaremos �a primeira oluna que tenha o primeiroelemento n~ao nulo para om ela anular todos os demais elementos da primeira linha e onsequentemente a opera� ~ao de anula� ~ao dos elementos da primeira linha n~ao alteramos elementos nulos abaixo da diagonal. O pro esso se repetir�a su essivamente para anulartodos os elementos da segunda linha �a direita da diagonal prin ipal, que analogamenten~ao ir~ao alterar os elementos abaixo da diagonal prin ipal. Ao �nal de n(n+1)2 opera� ~oes,no m�aximo, teremos anulado todos os elementos �a direita da diagonal prin ipal, sem teralterado os elementos abaixo desta diagonal. Teremos portanto uma matriz triangularsuperior que �e tamb�em �e triangular inferior, logo diagonal. q.e.d.

2.6. SISTEMAS LINEARES: TRIANGULARIC� ~AO DE MATRIZES. 107use o programa anterior para levar este elemento n~ao nulopara a diagonal.3. Melhore o programa anterior para que s�o leve o elementopara diagonal se ele estiver abaixo da diagonal4. Transforme os programas a ima em pro edures e rie umgeren iador para as mesmas.5. In lua no seu "pa ote" uma pro edure AnulaSubDiagonalque anule os elementos de ada oluna que se en ontremabaixo da diagonal, se na diagonal o elemento n~ao for nulo.6. Construa uma pro edure DeterminanteDiagonal que al uleo determinante de uma matriz Triangular.O programa sistemas ont�em uma solu� ~ao paraos exer �� ios anteriores. Nele vo ê pode en ontrar as pro e-dures EntradaMatriz, SupTriangulariza, DeterminanteTriang-Sup, et ....Observa� ~ao: 25 Pro essamento paralelo.Aparentemente o que se pode fazer para tornar mais e� iente asolu� ~ao de equa� ~oes �e divid��-las em blo os e apli ar programa� ~ao paralela, entretantoa entrada de dados ontinuar�a sendo o gargalo do pro esso... Na �ultima se� ~ao vo êver�a que uma matriz pode ser fatorada e divida em blo os o que in lue blo os nulos. Apresen� a de blo os nulos representa independên ia de entre onjunto de vari�aveis. Na lin-guagem de espa� os vetoriais, signi� a que o sistema se refere a sub-espa� os linearmenteindependentes. Esta independên ia linear �e que torna possivel o uso de pro essamentoparalelo. Isto mar a o gargalo referido a ima. S�opodemos apli ar pro essa-mento paralelo a um sistema depois de modi� �a-lo: blo o-diagonaliz�a-lo para que surjamos sub-espa� os linearmente independentes relativamente ao sistema onsiderado.Em programas que gerem sistemas de equa� ~oes ou que fa� am leituraautom�ati a de dados que produzam matrizes, evidentemente que n~ao existe o gargalo daentrada de dados. A pr�oxima se� ~ao ontem algumas ferramentas para apli ar estas ideias,entretanto n~ao apresentaremos nada diretamente envolvido om pro essamento paralelopor as linguagens de pro essamento que usamos n~ao possuem este on eito. Pro essa-mento paralelo, neste livro, �e apenas uma uriosidade.

106 CAP�ITULO 2. �ALGEBRA LINEAR COMPUTACIONAL.O programa sistema n~ao vai t~ao longe. Ele ape-nas analisa se h�a uma solu� ~ao �uni a, e a al ula ou sendo oDeterminante zero veri� a se h�a impossibilidade de solu� ~ao e odiz. Finalmente se o sistema tiver muitas solu� ~oes en ontra umaque tenha algumas oordenadas nulas.O planejamento de um tal programa pode ser oseguinte:Exemplo: 17program sistema;{**** orpo do programa *******}BeginEntradaMatriz;SupTriangulariza;Writeln('Determinante: ',DeterminanteTriangSup(dim,aMat));Write('Matriz triangular superior:',Chr(25));Write('Matriz modifi ada de dados: ',Chr(25));PrintMatriz;If Teste thenBeginWriteLn(' a solu ao eh uni a.');Resolve;EndElseSolu aoPossivel;Read;End. Este �e o orpo do programa sistema que se en- ontra no dis o. Rode o programa para ver omo ele fun iona,na qualidade de usu�ario... e depois tente resolver os exer �� iosabaixo. O programa Sistemas se en ontra no dis o. Se pre isar onsulte-o. Depois omplete o projeto exposto a ima, o resul-tado pode ser in luido no seu pa ote GaPlana... Os exer �� iosabaixo podem lhe servir omo roteiro.Exer �� io: 17 Solu� ~ao de sistemas lineares.O programa Sistema resolve todas estas quest~oes.1. Fa� a o programa PermutaLinha que leia uma matriz e de-pois troque duas linhas da mesma e volte a impr��-la.2. Fa� a um programa Pro uraNaoNulo que leia uma matriz,identi�que em ada linha um elemento n~ao nulo e depois

2.6. SISTEMAS LINEARES: TRIANGULARIC� ~AO DE MATRIZES. 105A rotina DeterminanteTriangSup tem omo fun� ~aoveri� ar se o determinante da matriz triangularizada �e nulo oun~ao para de idir se hama Resolve ou Solu aoPossivel.A pergunta: toda matriz pode ser triangularizada?tem uma resposta positiva no Teorema 7.A primeira tentativa na produ� ~ao de um programapara resolver equa� ~oes lineares pode re air na produ� ~ao de umarotina que al ule determinantes. Com uma linguagem re ursivaisto se torna muito f�a il, Pas al n~ao �e uma linguagem verdadeira-mente re ursiva... omo �e o aso de LISP.Mas al ular determinantes, om linguagens re- ursivas ou n~ao �e sempre muito demorado. Usando-se re urs~aoos programas � ammais bonitos entretanto a mem�oria da m�aquina� ar�a muito mais densamente o upada o que pode at�e tornarinvi�aveis os �al ulos.Cal ular determinantes em toda sua generaliadan~ao �e essen ial e nem siquer de isivo. Na pr�oxima se� ~ao vo ^ever�a omo eles podem ser al ulados indiretamente.Um dos asos mais interessantes, a respeito de de-terminantes de sistemas �e aquele em que o determinante se an-ula... e neste aso o melhor aminho �e o da triangula� ~ao superiorou inferior da matriz. Para isto se opera su essivamente sobreas linhas ou olunas.Se a matriz for singular, isto �e , n~ao tiver inversa,portanto om determinante nulo, se vai ter pelo menos umaultima linha totalmente nula, e o programa pode reorganizar amatriz para que esta linha seja a ultima linha. Se a algumalinha nula orresponder uma linha n~ao nula na matriz de dados,a on lus~ao �e de que o sistema n~ao tem solu� ~ao.O programa deve portanto ter uma pro edure quetroque linhas e analise quando os elementos de uma oluna s~aozeros Se o determinante for zero, mas houver solu� ~ao ,elas ser~ao os elementos de uma reta, de um plano et ... Ent~ao oque se deve fazer �e determinar a dimens~ao da solu� ~ao.

104 CAP�ITULO 2. �ALGEBRA LINEAR COMPUTACIONAL.1. Aplique o programa Sistema abaixo em uma grande var-iedade de sistemas de equa� ~oes .2. Modi�que o programa Sistema para que as matrizes obtidasem ada oper� ~ao-linha seja impressa. Este foi o m�etodousado para onstruir o exemplo desenvolvido a ima.3. Considere uma matriz diagonal, todos seus elementos s~aonulos ex eto os que se en ontram sobre a diagonal prin ipal,eventualmente....� Veri�que que num sistema de equa� ~oes om uma talmatriz, se tem apenas:aiixi = bi:� En ontre a solu� ~ao sob a hip�ose: 8i aii 6= 0:� Pode haver solu� ~ao sem a hip�otese anterior?2.6.1 O programa Sistema.A solu� ~ao de um sistema de equa� ~oes pelo m�etodode substitui� ~ao en ontra um meio natural numa linguagem deprograma� ~ao , em outras palavras ele �e essen ialmente algorit-mi o o que justi� a seus 150 anos imp�avidos de exist^en ia.O programa sistema representa, em Pas al, o m�etodode elimina� ~ao de Gauss. Este programa se onstitue de um onjunto de pro edures que exe utam as tarefas elementares dopro esso, omo tro ar linhas, anular e homogeneisar elementos,et ... Abaixo se en ontra a lista das pro edures e fun tions deque se omp~oe sistema:Pro edure EntradaMatriz;Fun tion Lo alizaNaoZeroSubDiagonal(j:Integer):Boolean;Pro edure PermutaLinha(linha1,linha2:integer);Pro edure HomogeneisaAnula(i,j:integer;bMat:Matriz);Fun tion DeterminanteTriangSup(dim:Integer;bMat:Matriz):Real;Pro edure PrintMatriz;Pro edure SupTriangulariza;Pro edure Resolve;Pro edure Solu aoPossivel;{*** rotina prin ipal *****}

2.6. SISTEMAS LINEARES: TRIANGULARIC� ~AO DE MATRIZES. 103Observa� ~ao: 23 A matriz de transforma� ~ao .A matriz de transforma� ~ao 2.67 �e uma matriz tri-angular inferior, todos os elementos a ima da diagonal prin ipals~ao nulos.Observa� ~ao: 24 Complexidade do algoritmo.Uma outra forma de demonstrar este teorema �e onstrutiva: pro-duzindo a triangulariza� ~ao numa matriz formal, h�a um m�aximo de m � (n+1)n2opera� ~oes invers��veis para serem exe utadas numa matriz nxn. Portanto a matriz ini ialpode ser re uperada por m opera� ~oes inversas: Simboli amenteE = P1 � � � Pmque �e o produto de m matrizes invers��veis.Este n�umero m�aximo de opera� ~oes que se pode ter que fazer paraque um algoritmo seja exe utado, se hama de de omplexidade do algoritmo, no asode triangulariza� ~ao superior de uma matriz o n�umero �e (n+1)n2 , muito menor que a omplexidade do �al ulo do determinante de uma matriz que �e n!: Como podemos usara triangulariza� ~ao para indiretamente al ular determinantes, o uso destes �ultimos � aassim re uperado. Vamos enun iar um teorema que ompleta as ideiasventiladas a ima, sem demonstra� ~ao. Sua demonstra� ~ao poder�aser en ontrada num livro de �Algebra, ver [7℄.Teorema: 8 Determinante do produto. det(AB) = det(A)det(B)Com o teorema 8 podemos al ular fa ilmente odeterminante deM :det(E �M = det(S) = det(E)det(M) omo S �e triangular superior, seu determinante �e o produto dostermos sobre a diagonal prin ipal. Dividindo-se pelo det(E) setem det(M): A omplexidade deste algoritmo �en(n+ 1)2 + n � n(n+ 1)2 � n2214Exer �� io: 16 Solu� ~ao autom�ati a de equa� ~oes.14a omplexidade �e dada por pela su ess~ao simples da lasse de equival^en ia a queperten� a a su ess~ao que traduz o n�umero de opera� ~oes elementares do algoritmo.

102 CAP�ITULO 2. �ALGEBRA LINEAR COMPUTACIONAL.Resolve-se este sistema de traz para frente. A�ultima linha da matriz produz �63w = 87 de onde se tira quew = �2921 . A pen�ultima linha nos d�a:�6z + 3w = �7da qual por substitui� ~ao se on lue que z = 1021 . Da segunda linhavem �3y � 3z + 3w = �5e portanto que y = 421 . Da primeira linha se temx + 2y + 3z � w = 2portanto x = �2521Teorema: 7 Triangulariza� ~ao superior de matrizes.Toda matriz pode ser triangularizada superiormente e a ma-triz de transforma� ~ao �e uma matriz triangular inferior invers��vel.Dem : Que toda matriz pode ser triangularizada equivale a dizer que a equa� ~aosa + tb = 0 sempre tem solu� ~ao em que a �e a entrada sobre a diagonal em uma deter-minada oluna. Se a 6= 0 a equa� ~ao tem solu� ~ao �uni a. Se a = 0 basta es olher t = 0.Se houver alguma entrada diferente de zero na oluna ela pode ser transferida para adiagonal por tro a de linhas. Isto mostra que toda matriz pode ser triangularizada.Resta-nos mostrar que as opera� ~oes efetuadas s~ao resultantes de produto de matrizesinvers��veis, para garantir a inversibilidade da matriz E 2.67. A ima des revemos asopera� ~oes elementares que produzem a triangulariza� ~ao :1. Combina� ~ao linear de duas linhas em substitui� ~ao a uma das linhas.2. Tro a de linhas.�E su� iente mostrar que estas opera� ~oes s~ao invers��veis e represent�aveis omo um pro-duto de matrizes. A tro a de linha na matriz identidade produz uma matriz om deter-minante diferente de zero, portanto invers��vel. O produto desta matriz �a esquerda poruma matriz T qualquer produz a mesma tro a de linhas na matriz T. A opera� ~aosLi + tLj ! Lide ombina� ~ao linear n~ao trivial das linhas Li; Lj om os oe� ientes s; t 6= 0 e substi-tui� ~ao da linha Li por esta ombina� ~ao na matriz identidade produz uma matriz ujodeterminante ser�a s. Como s 6= 0 esta matriz, que �e tamb�em a matriz da trasnsforma� ~ao, �e invers��vel. q.e.d.

2.6. SISTEMAS LINEARES: TRIANGULARIC� ~AO DE MATRIZES. 101Sexto Passo:�� 1 2 3 �10 �3 �3 30 0 �6 30 0 0 �63 �� 2�5�787 �� 1 0 0 0�1 �1 0 01 �5 �3 03 �15 �27 �18 ��(2.66)Anulamos todos os elementos que se en ontravamabaixo da diagonal prin ipal: triangularizamos superiormente amatriz. A matriz:E = �� 1 0 0 0�1 �1 0 01 �5 �3 03 �15 �27 �18 �� (2.67)memoriza o onjunto das opera� ~oes efetuadas. Se apli armosesta matriz �a matriz in ial, o resultado e a nova matriz dos oe� ientes j�a triangularizada:E �M = �� 1 2 3 �10 �3 �3 30 0 �6 30 0 0 �63 �� (2.68)Matri ialmente, melhor, algebri amente, �zemos:M � x = b ) E �M � x = E � b;multipli amos toda a equa� ~ao pela matriz invers��vel E . AgoraE �M sendo uma matriz triangular o sistema E �M � x = E � b�e f�a il de resolver e �e equivalente ao primeiro do ponto devista de solu� ~ao do sistema de equa� ~oes . A matriz detransforma� ~ao E ser invers��vel �e ondi� ~ao sine qua non paraque se tenha a equival^en ia dos dois sistemas.

100 CAP�ITULO 2. �ALGEBRA LINEAR COMPUTACIONAL.�� 1 2 3 �10 �3 �3 30 5 3 �4�2 1 �4 2 �� 2�56�4 �� 1 0 0 0�1 �1 0 02 0 �1 00 0 0 1 �� (2.62)Ter eiro passo: Multipli ar a primeira linha por-2 e a quarta por -1, som�a-las olo ando o resultado na quartalinha: �� 1 2 3 �10 �3 �3 30 5 3 �40 �5 �2 0 �� 2�560 �� 1 0 0 0�1 �1 0 02 0 �1 0�2 0 0 �1 �� (2.63)Conseguimos anular todos os elementos da primeira oluna ex eto o primeiro elemento. As opera� ~oes tamb�em se en- ontram registradas na �ultima matriz. Continuaremos om omesmo pro esso para anular todos os elementos da segunda ol-una, ex eto o primeiro e o segundo, todos que se en ontremabaixo da diagonal prin ipal.Quarto passo: Multipli ando a segunda linhapor 5 e a ter eira por -3, somando-as e olo ando o resultadoem lugar da ter eira linha:�� 1 2 3 �10 �3 �3 30 0 �6 30 �5 �2 0 �� 2�5�70 �� 1 0 0 0�1 �1 0 01 �5 �3 0�2 0 0 �1 �� (2.64)Quinto passo:�� 1 2 3 �10 �3 �3 30 0 �6 30 0 9 �15 �� 2�5�725 �� 1 0 0 0�1 �1 0 01 �5 �3 0�1 5 0 3 �� (2.65)

2.6. SISTEMAS LINEARES: TRIANGULARIC� ~AO DE MATRIZES. 99Considere o sistema:x+ 2y + 3z � w = 2�x + y + 2w = 32x� y + 3z + 2w = �2�2x + y � 4z + 2w = �4 (2.59)que pode ainda ser representado pelo produto de matrizes:�� 1 2 3 �1�1 1 0 22 �1 3 2�2 1 �4 2 �� xyzw �� 23�2�4 �� 1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1 �� (2.60)a res entamos a matriz identidade ao �nal, todas as opera� ~oesser~ao feitas simultaneamente na matriz dos oe� ientes, na ma-triz dos dados e na matriz identidade. Em onsequ^en ia � ar�aregistrado na matriz identidade modi� ada o onjunto das opera� ~oesefetuadas nas matrizes: a matriz resultante �e a omposi� ~ao detodas as opera� ~oes - linha efetuadas.Primeiro passo: Multipli ar a primeira linhapor -1, a segunda pro -1 e som�a-las olo ando o resultado nasegunda linha:�� 1 2 3 �10 �3 �3 32 �1 3 2�2 1 �4 2 �� 2�5�2�4 �� 1 0 0 0�1 �1 0 00 0 1 00 0 0 1 �� (2.61)Observe que omitimos a matriz das \vari�aveis"que aqui n~ao faria nenhum sentido, elas apenas mar am a posi� ~aodos dados. Segundo passo: Multipli ar a primeira linha por2 e a ter eira por -1, somar olo ando o resultado na ter eiralinha:

98 CAP�ITULO 2. �ALGEBRA LINEAR COMPUTACIONAL. omo xn �e onhe ido tem-sexn�1 := bn�1 � an�1nxnan�1n�1 (2.57)se an�1n�1 6= 0. Se an�1n�1 = 0 s�o �e possivel haver solu� ~ao sebn�1 � an�1nxn = 0 tamb�em, e neste aso xn�1 �e qualquer, ( oprograma pode atribuir qualquer valor a vari�avel para en ontraruma solu� ~ao parti ular).O mesmo ra io ��nio ontinua a se produzir omrela� ~ao as demais linhas:xi := bi � nPk=i a1kxkaii ) aii 6= 0 (2.58)porque xk s~ao todos onhe idos desde xn at�e xk; k = i. Se aii = 0o sistema s�o ter�a solu� ~ao aso bi� nPk=2 a1kxk = 0 e se for assim oprograma pode atribuir qualquer valor a xi para en ontrar umasolu� ~ao parti ular. M�etodo de Gauss.Este �e o m�etodo da elimina� ~ao su essiva de Gaussapli ado a um sistema de equa� ~ao j�a triangularizado. Portanto,em s��ntese, para resolver um sistema pelo m�etodo de Gausstemos que:1. Triangularizar a matriz do sistema.2. Resolver o sistema por substitui� ~ao a partir da �ultima equa� ~ao. Sempre analisando se aii = 0Vejamos um exemplo de solu� ~ao de um sistema deequa� ~oes por este m�etodo.Exemplo: 16 M�etodo de elimina� ~ao de Gauss.

2.6. SISTEMAS LINEARES: TRIANGULARIC� ~AO DE MATRIZES. 97tidade de elementos nulos. Zero �e um n�umero muito r�apido deser pro essado por que o upa um byte, todos os outros n�umeros,pequenos ou grandes o upam mais bytes e tomam mais tempode pro essamento. Assim, matrizes esparsas, que ontem umagrande quantidade de zeros s~ao interessantes pela rapidez omque ser~ao pro essadas.M�etodo de elimina� ~ao .As matrizes triangularizadas s~ao um exemplo dematriz esparsa equivalente, do ponto de vista de sistemas deequa� ~oes �a matriz dada. As matrizes mais esparsas que �e pos-sivel obter s~ao as matrizes diagonais, nelas se reduziu ao m��nimopossivel a redund^an ia do sistema: elas representam uma trans-forma� ~ao linear numa base de vetores ortogonais. J�a sabemos,que por um defeito intr��nse o do orpo R, nem sempre �e possiveldiagonalizar matrizes reais. Mas sempre �e possivel triangulariz�a-las. O m�etodo de Gauss onsiste na elimina� ~ao su es-siva das in ognitas at�e que se tenha uma equa� ~ao om uma �uni ain �ognita para resolver. Suponhamos que a triangula� ~ao supe-rior �e aquela em se anulam todos os elementos inferiores a diag-onal prin ipal. A �ultima linha do sistema se reduz a:annxn = bn: (2.54)Assim, se ann 6= 0 ent~ao xn := bnann ; (2.55)Se ann = 0 ent~ao o sistema s�o ter�a solu� ~ao se bn = 0 e neste asoprograma pode atribuir qualquer valor a xn para en ontrar umasolu� ~ao parti ular. A linha imediatamente superior �e ent~ao :an�1n�1xn�1 + an�1nxn = bn�1 (2.56)

96 CAP�ITULO 2. �ALGEBRA LINEAR COMPUTACIONAL.um dos seus pro essadores, ver [24, vol 29, no9 - Novembro 1996, A parallel Climate DataAssimilation Pa kage - Ding, H. Q. e Ferraro, R. D.℄. Este exemplo mostra um problemado otidiano que envolve muitos �al ulo matri iais sobre uma massa muito grande de dadose a ne essiade de se dominarem m�etodos que diminuam o tempo de pro essamento. Em erta forma h�a uma sensa� ~ao de que as otimiza� ~oes puramente matem�ati as j�a foram feitas eseguem-se fazendo as otimiza� ~oes omputa ionais: melhora na arquitetura dos omputadores,que permitam um pro essamento paralelo mais efetivo, nas linguagens para que se adaptemao pro essamento paralelo e distribuido, (dentro em breve ertamente n~ao haver�a diferen� aentre estes dois on eitos do ponto de vista de linguagem de pro essamento, ser�a de pou aimport^an ia onde se en ontra o pro essador, na mesma m�aquina em que se ini iou o pro essoou n'outra m�aquina remota...Gauss publi ou o seu m�etodo h�a er a de 150 anos e nada se onseguiufazer de mais efetivo desde ent~ao . H�a diversas variantes do seu m�etodo que se apli am ombons resultados a asos muito espe �� os de matrizes.Matrizes esparsas.O m�etodo de Gauss onsiste em su essivamenteirem-se eliminando \in ognitas" por um pro esso de somas deequa� ~oes . Na verdade n~ao s~ao as \in ognitas" que se eliminamuma vez que elas nem siquer \existem", e sim os oe� ientes quelhes orrespondem.Matri ialmente falando este m�etodo onsiste natriangulariza� ~ao superior ou inferior da matriz do sistema. Apli am-se �a matriz do sistema as opera� ~oes a ima referidas de \somasde equa� ~oes" de modo a que paulatinamente se anulem todosos elementos da matriz que �quem abaixo da diagonal prin ipal,triangulariza� ~ao superior, ou alternativamente, se anulem os ele-mentos que �quem a ima da diagonal prin ipal, triangulariza� ~aoinferior. Os dois m�etodos, do ponto de vista de uma matrizs~ao equivalentes, mas n~ao do ponto de vista de um sistema omo� ar�a laro ao �nal. Vamos adotar triangulariza� ~ao superior. Anova matriz triangularizada �e equivalente a anterior do pontode vista do sistema de equa� ~oes , ver (observa� ~ao , 19). Comoas altera� ~oes feitas na matriz do sistema s~ao a ompanhadas dasmesmas modi� a� ~oes feitas tamb�em na matriz de dados, vamosobter assim um sistema de equa� ~oes equivalente ao ini ial, isto �e,a solu� ~ao dos dois sistemas, do ini ial ou do novo s~ao as mesmas.Um lasse de matrizes que surge na pr�ati a omfrequ^en ia s~ao as matrizes esparsas: elas tem uma grande quan-

2.6. SISTEMAS LINEARES: TRIANGULARIC� ~AO DE MATRIZES. 95A equa� ~ao ara ter��sti a � a:det(T � �I) = �� os(�) � � �sin(�)sin(�) os(�)� � �� = ( os(�) � �)2 + sin2(�) = 0que n~ao tem raizes reais a n~ao ser quando � = 2k� para k 2 Z:Se uma matriz puder se olo ada na forma diago-nal os elementos da diagonal s~ao as raizes da equa� ~ao polinomialde grau n Det(A � �I) = 0; hamada equa� ~ao ara ter��sti a. As solu� ~oes da equa� ~ao ar-a ter��sti a se hamam valores pr�oprios e os vetores solu� ~ao daequa� ~ao linear asso iada, para ada valor pr�oprio se hamamvetores pr�opriosCon lus~ao, a forma �otima de simpli� a� ~ao de ma-trizes, a diagonal, nem sempre �e ating��vel em sua plenitude.Vamos ver na pr�oxima se� ~ao que sempre poderemos en ontraruma forma triangular e mostraremos l�a as onsequên ias distopara o problema importante de valores pr�oprios.2.6 Sistemas lineares: triangulari� ~ao de ma-trizes.Resolver sistemas de equa� ~oes lineares �e uma tarefa que surge pela frenteem m�ultiplas situa� ~oes em diversos ramos ient�� os representando possivelmente uma dasmais importantes apli a� ~oes da Matem�ati a at�e mesmo pelo seu aspe to elementar. Ao mesmotempo esta �e uma tarefa muito dif�� il por que a sua teoria alg�ebri a �e muito omplexa n~ao sendoa ess��vel a n��vel elementar. Os m�etodos elementares repousam em um n�umero de opera� ~oesque res em muito rapidamente om a dimens~ao do sistema, ( er a de n2 opera� ~oes ). Apesardisto omputadores r�apidos resolvem sistemas de equa� ~oes 100 x100 omo aqueles ne ess�ariosaos problemas que se en ontram no ap��tulo 3, em alguns segundos. Num 386 om 20 MHz defrequên ia, (um m�aquina lenta), resolvemos equa� ~oes at�e 10 x10 instantaneamente, (d�e imosde segundo). Entretanto � a laro que se o n�umero de equa� ~oes res er muito o pro essamentopode � ar muito mais demorado. Na m�aquina a que nos referimos podemos levar algumas en-tenas de segundos, (alguns minutos), para resolver um sistema 100 x 100, entretanto j�a existemhoje omputadores pequenos muito mais velozes que um 386 om 20 MHz de frequên ia...Vale a pena indi ar um problema atual envolvendo �al ulos matri iais,um, que nos to a no dia a dia, �e o problema da modelagem do lima. A agên ia ameri anaNASA tem um entro, o Goddard Spa e Flight Center, em que parte substan ial dos dadosmetereol�ogi os olhidos ao redor do mundo s~ao pro essados. Um blo o de informa� ~oes se ompleta, hegando ao entro, em per��odos de 6 horas e h�a uma estimativa de que estes dadoss~ao pro essados, (lidos e atribuidos os valores �as matrizes de dados e depois efetuadas asdiversas opera� ~oes, muitas das quais matri iais, sobre estes dados), perfazendo assim um �� lode pro essamento que dura entre 4 e 7 horas de trabalho num Cray C90 o upando apenas

94 CAP�ITULO 2. �ALGEBRA LINEAR COMPUTACIONAL.uma solu� ~ao x existir, podemos es rever o sistema, neste asoparti ular omo: Ax = �xou equivalentemente Ax = �Ixem que I representa a matriz identidade e agora subtraindo asduas equa� ~oes: (A� �I)x = 0o que nos leva a dizer que estamos pro urando uma solu� ~ao , x,diferente de zero para a equa� ~ao om matriz A��I e portanto,pela nossa dis uss~ao om determinantes, estamos pro urandosolu� ~ao para a equa� ~ao alg�ebri a (nada �obvio):Det(A � �I) = 0:Como A �e de ordem n, (nada �obvio), ent~ao esta-mos em presen� a de uma equa� ~ao polinomial de grau n que temexatamente n raizes omplexas. Mas se estivermos trabalhando om n�umeros reais o n�umero de solu� ~oes ser�a no m�aximo n: De-pendendo da paridade de n pode n~ao haver nenhuma solu� ~ao ea on lus~ao �e:Teorema: 6Pode haver matriz para as quais a forma diagonalseja imposs��vel.Exemplo: 15 Uma transforma� ~ao linear imposs��vel de diago-nalizar. Considere R2 3 x T7! y 2 R2 de�nida geometri a-mente por: T x d�a uma rota� ~ao de ^angulo � em x. A express~aoalg�ebri a para T �e:Exer �� io:T = os(�) �sin(�)sin(�) os(�) ! (2.53)

2.5. SIMPLIFICAC� ~AO DOS SISTEMAS DE EQUAC� ~OES. 93� Se det(A) 6= 0 ent~ao o sistema tem uma �uni a solu� ~ao quese pode expressar omo x = A�1b� Se det(A) = 0 ent~ao o sistema, se tiver solu� ~ao, tem umain�nidade delas.N~ao �e o objetivo a demonstra� ~ao do teorema 5agora. Ele representa apenas a s��ntese das dis uss~oes que �zemosat�e o momento.Assim as matrizes om determinante nulo gener-alizam o n�umero zero, neste ontexto em que vemos as matrizes omo n�umeros generalizados.Valores pr�oprios, vetores pr�oprios.Cheguemos ao ponto entral. Queremos saber seuma matriz A pode ser diagonolizada. Isto equivale a perguntarse o sistemaAx = 264 a11 � � � a1n� � � � �an1 � � � ann 375 2664 x1...xn 3775 � (2.51)2664 �1 0 � � � 0 0... 0 �k � � � 00 0 � � � 0 �n 37752664 x1...xn 3775 (2.52)Observe que se x = (x1; 0; � � � ; 0; 0) ent~ao se pode-ria ter Ax = �1x: Claro, o vetor x ser�a um aso parti ular desolu� ~ao de uma equa� ~ao . N~ao �e nada �obvio o que diremos agora,mas �e intuitivo: Estamos pro urando n n�umeros,f�1; � � � ; �nge naturalmente vetores x tais que se possa es rever a equa� ~aoAxna forma �x. Se um tal n�umero existir e naturalmente tamb�em

92 CAP�ITULO 2. �ALGEBRA LINEAR COMPUTACIONAL.Na bus a de algor��tmos para transformar um sis-tema em sua forma mais simples, vemos que o m�etodo se on- entra em simpli� ar a matriz.H�a dois grandes tipos de matrizes que se bus aen ontrar: matrizes triangulares ou matrizes diagonais. As ma-trizes diagonais s~ao uma forma parti ular de matrizes trian-gulares. Elas s~ao muito espe iais por muitas raz~oes que aospou os mostraremos, mas obviamente elas tem uma forma obvi-amente simples. Seria ideal se en ontrassemos um m�etodo geralpara diagonalizar toda matriz, ou, olo ado em outras palavras:en ontrar a forma diagonal de uma matriz qualquer. Vamosusar agora os determinantes para des rever de forma bem geralo m�etodo e suas limita� ~oes e sobretudo mostrar que isto nemsempre �e poss��vel.Observa� ~ao: 22 Determinantes.O nosso uso dos determinantes �e ilegal. N~ao de�nimos o que eradet(A) para uma matriz A qualquer. Continuaremos sem o fazer porque �e di� il defaz^e-lo orretamente e deixaremos que o leitor leia a respeito em algum outro livro. Aomesmo tempo o onvidamos para ontinuar usando os determinantes de forma extra-o� ial. Esta nossa op� ~ao permite deixar �Algebra Linear on�nada num ap��tulo de livroquando ela sozinha poderia o upar um livro inteiro.Apenas para poder fazer algumas ontas, digamos que os Determi-nantes s~ao fun ionais de�nidos em n vetores todos de dimens~ao n, ou seja s~ao fun� ~oesde n vari�aveis vetoriais todas elas de dimens~ao n. Isto equivale a dizer que s�o existedeterminantes de matrizes quadradas.Al�em do mais digamos que os determinantes s~ao fun ionais n-linearesde�nidos sobre estas n vari�aveis vetoriais, s~ao fun ionais multi-lineares. �E este o aminhopara de�n��-los orretamente, porisso tomaria tempo.O determinante de uma matrizA de�ne se a fun� ~aoRn 3 ~x A�! A~x 2 Rn�e injetiva ou n~ao. As fun� ~oes injetivas tem solu� ~ao �uni a paraas equa� ~oes que elas de�nem, se tiverem solu� ~ao. Se o deter-minante for zero a fun ao A n~ao �e injetiva podendo ter umain�nidade de solu� ~oes. As alternativas s~ao:Teorema: 5 Solu� ~oes de um sistema linear. Considere o sis-tema linear: Ax = b

2.5. SIMPLIFICAC� ~AO DOS SISTEMAS DE EQUAC� ~OES. 91da outra, e se as oordenadas i; j do vetor de dados n~ao es-tiverem na mesma propor� ~ao , ent~ao o sistema de equa� ~oes�e impossivel.2. ** Generalize o exer �� io anterior: Se o mesmo teste de\dependen ia linear" apli ado a um sub- onjunto de linhasda matriz do sistem ao ser apli ado ao mesmo onjunto delinhas da matriz de dados tiver resultado diferente ent~ao osistema �e imposs��vel. solu� ~ao : a igualdade de vetores representada pelosistema...Observa� ~ao: 20Esta segunda forma de simpli� a� ~ao de sistemas de equa� ~oes difere daprimeira num ponto fundamental: redu� ~ao de linhas da matriz do sistema. Isto equivale asubstituirem-se as linhas tiradas por linhas nulas o que signi� a que a matriz do sistemaequivale a uma matriz ujo determinante �e zero.Determinante de A ser zero signi� a que a equa� ~ao linearAx = b�e uma equa� ~ao indeterminada. As equa� ~oes indeterminadas s~ao generaliza� ~oes das equa� ~oesnum�eri as da forma 0x = bsendo que estas �ultimas s�o tem solu� ~ao quando b = 0 enquanto que as equa� ~oes matri iais om determinante nulo podem ter solu� ~ao quando b 6= 0 mas neste aso o vetor b tem queapresentar a mesma dependen ia linear entre suas linhas que existir entre as linhas da matrizdo sistema. Esta �e a have geral para solu� ~ao de sistemas de equa� ~oes e sua ompleta dis uss~ao. Posta neste termos a dis uss~ao �e simples, mas o que ompli a �e riar um algor��timo que seaplique a um sistema qualquer. �E este objetivo da pr�oxima se� ~ao.2.5.3 Classes de matrizes.Fizemos refer^en ia a ima a dois tipos de equival^en iade matrizes. Isto quer dizer que no onjunto de todas as matrizesh�a pelo menos dois m�etodos de lassi� ar as matrizes.Observa� ~ao: 21 Classi� a� ~ao .Em v�arios momentos, em Matem�ati a, passamos por lassi� a� ~oes . Al-guns asos s~ao t~ao habituais que n~ao os per ebemos omo �e aso da lass� a� ~ao das fra� ~oes. O onjunto de todas as fra� ~oes est�a divido em lasses e n~ao vemos diferen� a entre elementos deuma mesma lasse: 34 ; 68 s~ao tidas omo iguais, na verdade s~ao equivalentes, mas na pr�ati afun iona omo se fossem iguais.Uma dessas fra� ~oes , 34 , �e onsiderada o padr~ao , ou omo se ostumadizer: a vers~ao simpli� ada. Alguns professores prim�arios ometem o absurdo de mar ar omum erro se um aluno deixar 68 em vez de es rever 34 :Podemos, numa ompara� ~ao , dizer que o sistema es alonado na p�agina88 �e uma express~ao mais simples do sistema original. Observe que dissemos uma express~aomais simples em vez de dizer a express~ao mais simples, porque h�a varias express~oes maissimples, h�a v�arias maneiras de se fazerem os es alonamentos.

90 CAP�ITULO 2. �ALGEBRA LINEAR COMPUTACIONAL.Em geral a propriedade \universalidade" �e dada omo subentendida querendodizer que todos os pares de elementos de um determinado onjunto onde uma rela� ~ao estiverde�nida tem que perten er ao dom��nio da rela� ~ao. Consequentemente se ostuma dizer queuma rela� ~ao de equivalên ia � a de�nida pelas tres propriedades: simetria, re exividade,transitividade e vamos aderir a esta pr�ati a ignorando a primeira. A equivalên ia de sis-temas induz sobre o onjunto das matrizes uma rela� ~ao de equivalên ia uma vez que as trespropriedades valem. Uma outra forma de de�nir equivalên ia de matrizes �e: Duas matrizesquadradas, n� n, A;B, s~ao equivalentes se houver uma matriz invers��vel T tal queT A = BTessas duas formas de equivalên ia n~ao oin idem.2.5.2 Dependên ia linear das linhas.A dependên ia linear das linhas �e um outro exem-plo que mostra uma forma diferente de simpli� ar uma matrize por uma raz~ao bem distinta da simpli� a� ~ao que estudamosa ima. O exemplo 13, p�agina 67, mostra que as linhas deuma matriz podem trazer a mesma informa� ~ao repetida: seremlinearmente dependentes.Uma maneira de veri� �a-lo �e o �al ulo do deter-minante da matriz, mas isto pode ser muito ustoso e veremosna pr�oxima se� ~ao, triangulariza� ~ao de matrizes no m�etodo deGauss, que h�a maneiras alternativas de fazê-lo.Se uma linha for um m�ultiplo de uma outra poruma onstante n~ao nula ent~ao uma dis uss~ao simples pode de-terminar se um sistema de equa� ~oes �e poss��vel ou n~ao : a matrizde dados tem que satisfazer a mesma ondi� ~ao de multipli idadeentre as orrespondentes \linhas". A onstante pode ser nula,mas o exemplo � a trivializado...Se pudermos, de alguma forma, determinar quaiss~ao as linhas linearmente dependentes e en ontrar um sub- onjuntodelas que n~ao o seja, o sistema � a simpli� ado pela elimina� ~aodo omplemento deste onjunto de linhas da matriz do sistemae do orrespondente onjunto de linhas da matriz de dados.Exer �� io: 15 Teste de dependên ia linear.1. Prove que se as linhas i; j da matriz de um sistema deequa� ~oes forem linearmente dependentes, logo m�ultiplas uma

2.5. SIMPLIFICAC� ~AO DOS SISTEMAS DE EQUAC� ~OES. 89Simpli� ando, ou melhor efetuando as opera� ~oes om as matrizes, temos:" 3 40 25 # " xy # = " 74� 7 + 3� 8 # = " 752 # (2.49)Ent~ao y = 5225 = 2:08 ; x = �0:44Simpli� amos o sistema substituindo a matriz dosistema primitivo por uma matriz triangular superior. As ma-trizes triangulares e as matrizes diagonais, s~ao mais simples queas outras porque a quantidade de zeros �e superior, ou pelo menosigual a dos n�umeros diferentes de zeros fora da diagonal. Taismatrizes se dizem esparsas e elas s~ao ex elentes para serem us-adas por omputadores uma vez que o trabalho om elas se re-duz quase pela metade. Seus determinantes s~ao f�a eis de serem al ulados: �e o produto dos elementos da diagonal.Mas dissemos que o algebrismo usado era pou opr�ati o, foi uma express~ao infeliz que n~ao retiraremos em re-speito ao leitor... a verdade �e que o exemplo �e pou o pr�ati ouma vez que nos mostrar que podemos fazer uma simpli� a� ~aosem nos induzir em nenhuma pista de omo fazê-lo em qualquer aso.Observa� ~ao: 19 Equivalên ia de matrizes.�E omum dizer-se que as matrizesh 3 40 25 i h 3 4�4 3 i (2.50)s~ao equivalentes. Na verdade os sistemas de equa� ~oes por elas de�nidos �e que s~ao equivalentes.Esta �e uma forma de de�nir \objetos" equivalentes: pela natureza do efeito que eles ausam.H�a outras maneiras de de�nir equivalên ia.Antes de ir adiante falemos de equivalên ia que �e uma forma de gener-alizar o on eito de igualdade.De�ni� ~ao : 11 Dizemos que uma rela� ~ao de equivalên ia,�, se en ontra de�nida num onjunto U se:1. universalidade Se � estiver de�nida para par de elementos do onjunto U:2. simetria Se x � y ) y � x3. re exividade Se x � x for verdadeira.4. transitividade Se x � y e y � z ent~ao x � z for verdadeira.

88 CAP�ITULO 2. �ALGEBRA LINEAR COMPUTACIONAL.Vamos resolver o sistema usando um algebrismomuito art��sti o mas que logo veremos ser nada pr�ati o. A justi-� ativa do que faremos �e seguinte. Se es rever matri ialmenteo sistema temos:" 3 4�4 3 # " xy # = " 78 # = AX = B (2.46)Se multipli armos ambos os membros desta equa� ~aomatri ial pela mesma matriz a equa� ~ao n~ao se altera, velha regrada �algebra:D " 3 4�4 3 # " xy # = D " 78 # � DAX = DB (2.47)Observa� ~ao: 18 Mudan� a de vari�avel.Mas se a matriz D for qualquer, em vez de fazer uma opera� ~ao \�util"poderemos ter feito uma opera� ~ao \destrutiva". Isto �e dis utido em \mudan� as devari�avel" sobre tudo em integra� ~ao a v�arias vari�aveis: �e pre iso que a ja obiana da\mudan� a de vari�aveis" tenha um determinante n~ao nulo: a Ja obiana �e a matriz dasderivadas par iais que se v^e em C�al ulo multivariado, e o determinante representa o adistor� ~ao da medida produzida pela mudan� a de vari�aveis que n~ao pode ser zero aso ontr�ario esta mudan� a de vari�aveis estar�a produzindo uma distor� ~ao irrevers��vel. Amudan� a de vari�aveis est�a representada pela matriz DA matriz que nos interessa �e aquela que efetua a l�assi a elimina� ~aode vari�aveis: se faz uma soma das equa� ~oes de tal modo que possamos eliminar umadas vari�aveis, por exemplo multipli ando a primeira equa� ~ao por 3 e a segunda por 4 esubstituindo a segunda pela soma das equa� ~oes . A matriz que faz isto �e:D = h 1 03 4 iveri�que multipli ando esta equa� ~ao pelo vetor (a; b) que o resultado ser�a (a; 3a + 4b):O seu determinante �e 4 o que signi� a que seu oe� iente de distor� ~ao �e 4. Se vo e for al ular uma integral om esta mudan� de vari�aveis, depois ter�a que dividir o resultadopor 4, ou dentro da integral dever�a apare er a fra� ~ao 14 que �e o inverso do determinanteda Ja obiana. O sistema seguinte �e id^enti o ao primeiro:" 1 03 4 # " 3 4�4 3 # " xy # = " 1 03 4 # " 78 # (2.48)

2.5. SIMPLIFICAC� ~AO DOS SISTEMAS DE EQUAC� ~OES. 873x1 + 4x2 + 5x3 = 03x1 + 5x2 � 6x3 = 07x1 + 6x2 � 8x3 = 02x1 � 2x2 � 3x3 = 04. Qual �e dimens~ao da imagem da matriz usada no item an-terior vista omo transforma� ~ao linear. Qual �e o espa� o desaida ?2.5 Simpli� a� ~ao dos sistemas de equa� ~oes.A simpli� a� ~ao de um sistema de equa� ~oes passapela simpli� a� ~ao da matriz deste sistema. O que seria umamatriz \simples"? Para ome� ar, esta frase sub-entende quepodemos modi� ar os sistemas de equa� ~oes sem alter�a-los sub-stan ialmente. Um exemplo prova isto, exemplos provam a ex-ist^en ia de \ oisas", de \m�etodos", mas depois de analisar umexemplo a gente pode n~ao onseguir en ontrar nenhum m�etodogeral que o justi�que...2.5.1 Multipli a� ~ao por uma matriz n~ao destrutiva.Exemplo: 14 Simpli� a� ~ao de um sistema de equa� ~oes.Considere o sistema de equa� ~oes :r1 : 3x+ 4y = 7r2 : �4x+ 3y = 8que representa a interese� ~ao de duas retas r1 ; r2, ujos oe�- ientes angulares s~ao �34 ; 43 , respe tivamente. Logo as retas s~aoperpendi ulares entre si. A solu� ~ao �uni a do sistema �e o pontode interse� ~ao das retas que depois de algumas ontas on luimosser: (�0:44; 2:08):

86 CAP�ITULO 2. �ALGEBRA LINEAR COMPUTACIONAL.Sugerimos que a dimens~ao de um espa� o orresponde ao n�umero�otimo de oordenadas om que se expressam os seus vetores. Vamos guardar estade�ni� ~ao , ela �e a eit�avel. A teoria dos espa� os vetoriais � a mais ompli ada omesta de�ni� ~ao de dimens~ao , ganhamos em intui� ~ao 13 e porisso a vamos adotar. Noespa� o Rn pre isamos de n oordenadas para es rever os vetores, assim este espa� o temdimens~ao n. Intuitivamente, a dimens~ao �e n�umero m��nimo de informa� ~oes ne ess�ariaspara des rever os elementos de um espa� o, e �e tamb�em o n�umero �otimo.�E o que a onte e om os tres vetores n~ao olineares dois a dois doexer �� io 12, temos tres vetores que �e um ex esso de informa� ~oes para des rever o plano:eles tinham que ser linearmente dependentes que �e a ara teriza� ~ao do ex esso de in-forma� ~oes . Vetores linearmente independentes geram um espa� o que tem pordimens~ao a quantidade desses vetores.A de�ni� ~ao usual de dimens~ao �e: \o n�umero m��nimo de vetores l.i.do espa� o.Exer �� io: 14 1. Como R3 deve ser um espa� o de dimens~ao3, mos-tre que os vetores(1; 0; 0); (0; 1; 0); (0; 0; 1)geram qualquer vetor (a; b; ) 2 R3.2. Veri�que quais dos onjuntos abaixo �e l.i ou l.d. Quandofor o aso elimine vetores para tornar o onjunto restantel.i..1) (1,2,3,0) , (0,3,2,1), (0, 1,1,1) , (1,-1,0,-3)2) (-1,2,3). (0,1,0). (0,0,1) , (0,0,0)3) (-1,2,0). (0,1,0). (1,0,1) , (1,1,1)4) (-1,2,3). (0,1,0). (0,0,1)3. Veri�que que as linhas do sistema de equa� ~oes abaixo s~aol.d. e, eliminando pelo menos uma delas, torne-o mais sim-ples.13de erta forma esta maneira de fazer usa o on eito de isomor�smo, na verdade estamosdizendo que os espa� os isomorfos ao Rn tem dimens~ao n

2.4. INDEPENDÊNCIA LINEAR. 85exatamente para que eles n~ao olo assem \lixo nas informa� ~oes".Mas vo ê vê do exemplo que vetores n~ao pre isam ser ortogonaisentre si para gerar o plano. A ortogonalidade e a ortonormali-dade de v = (1; 0); w = (0; 1) tornam a geometria mais simples.Seria dif�� il repetir os exemplos dados a ima omvetores do espa� o tridimensional. A solu� ~ao �e on retizar o on- eito de independên ia linear.De�ni� ~ao : 10 Independên ia linear.Dizemos que os vetores u1; � � � ; un s~ao linearmente indepen-dentes, se a impli a� ~ao seguinte for verdadeira:�1u1 + � � � + �nun = 0 ) �1 = � � � = �n = 0:Dizemos que os vetores u1; � � � ; un s~ao linearmente depen-dentes, se n~ao forem independentes, isto �e se�1u1 + � � � + �nun = 0n~ao for� ar que �1 = � � � = �n = 0;podendo haver pelo menos um dos �i 6= 0An�alise a segunda parte da de�ni� ~ao , a dependen- ia. Se houver �i 6= 0 ent~ao toda a express~ao pode ser expli i-tada em termos de ui porque podemos dividir por �i e assim uidepende dos outros vetores: o sistema �e \redundante", ui podeser eliminado.Observa� ~ao: 17 A otimiza� ~ao da independên ia linear.Relembre os nossos exemplos industriais, l�a nos referimos a uma linhada matriz de taxa de varia� ~oes sendo m�ultipla de outra, (a forma mais elementar dedepênden ia linear). Se uma linha for linearmente dependente de outras, a informa� ~aoque ela ont�em �e redundante e isto tem omo onsequên ia maior tempo de pro essa-mento de dados que pode ser evitado eliminando-se esta linha.Se um onjunto de vetores for \l.i.", eles geram um espa� o, emoutras palavras eles s~ao o onjunto �otimo para gerar todas as informa� ~oes ontidas nelesmesmos. Se um onjunto de vetores n~ao for \l.i." ent~ao entre os vetores existe algumaredundân ia, logo algum deles pode ser apagado.Vamos usar isto para simpli� ar sistemas de equa� ~oes , quando de-te tarmos que h�a linhas linearmente dependentes na matriz de um sistema de equa� ~oes ,apagaremos algumas delas tornando o sistema mais simples: eliminando as redundân ias.

84 CAP�ITULO 2. �ALGEBRA LINEAR COMPUTACIONAL.(a) v(b) w( ) 2v(d) u= (-4,0); u = (4,0); u = (1,-2)(e) u = (a; b)O �ultimo item do exer �� io anterior �e interessante,vamos resolv^e-lo:� u = (a; b) = �v + �w =� = (��; 2�) + (��; 3�) =� = (�� ; 2�+ 3�) = (a; b)� Queremos al ular � e � e a ima temos um sistema de equa� ~oes:� �� = a ; 2�+ 3� = b� uja solu� ~ao �e, omo dizem os buro ratas, \salvo engano":� � = b+ 2a ; � = �(b + 3a);Exer �� io: 13 Es reva um programa para forne er as oorde-nadas de um vetor qualquer do plano relativamente aos vetoresv = (�1; 2); w = (�1;�3).Observa� ~ao: 16 Pa otes de C�al ulo Num�eri o. Veja que [21℄ e[8℄ s~ao mais do que simples pa otes de C�al ulo Num�eri o, ambos s~ao linguagens muitoevoluidas de programa� ~ao. Com pequenos modi� a� ~oes os programas feitos em Pas alse adaptam a qualquer uma das duas.Se os vetores fossem v = (1; 0); w = (0; 1) as o-ordenadas de u = (x,y) seriam exatamente: x,y. �E porisso quese es olhem estes vetores para gerar o plano, eles n~ao olo am\lixo" na informa� ~ao omo �zeram os vetores v = (�1; 2); w =(�1;�3). S~ao dois vetores unit�arios e perpendi ulares entre si.Lembre-se que dis utimos isto om os oe� ientes de Fourier...usamos um oe� iente 1� para normalisar os vetores senk e osk

2.4. INDEPENDÊNCIA LINEAR. 83O entro da quest~ao , envolvendo os tres vetores uja resultante �e nula se en ontra na quest~ao da independên ialinear. Se a resultante dos tres vetores for nula ent~ao nos pode-mos es rever:u := (x1; y1) v := (x2; y2) u := (x3; y3) (2.42)r := �u + �v + !w = 0 ) (2.43)) �u = �(�v + !w) ) (2.44)u = �(�v + !w)� (2.45) on lus~ao : um dos vetores, no aso a ima preferimos u maspodia ser qualquer outro dos tres, desde que seu oe� iente sejadiferente de zero, pode ser es rito omo ombina� ~ao linear dosoutros dois. Aqui est�a a have daquela quest~ao deixada atraz:gerar o plano. Os dois vetores v; w podem reproduzir qualquervetor do plano, observe que u pode ser qualquer, at�e mesmo ol-inear om algum dos outros dois, neste aso um dos oe� ientesse anula, qual?Exer �� io: 12 Independên ia linear, de omposi� ~ao de vetores.Em todos os itens abaixo, os vetores u; v; w ser~aoos mesmos de�nidos no primeiro item.1. Veri�que que os vetores u = (1; 2); v = (�1; 2); w = (�1;�3)n~ao s~ao olineares dois a dois.2. Cal ule �; �; ! tal que u = � (�v+!w)� .3. Veri�que que se podia ter dito: Cal ule�; � tal que u = �v + �w:Neste aso se diz que � e � s~ao os oe� ientes de u na ombina� ~ao linear de v om w. Na geometria anal��ti a ainda se diz algumas vezes que � �e o oe� ientede u na dire� ~ao de v e � �e oe� iente de u na dire� ~ao de w .4. Cal ule os oe� ientes da ombina� ~ao linear dos vetoresabaixo relativamente ao par de vetores v; w de�nidos noprimeiro exer �� io:

82 CAP�ITULO 2. �ALGEBRA LINEAR COMPUTACIONAL.origem, porque o termo independente �e zero ent~ao eles se inter- eptam num ponto (�; �; !) = (0; 0; 0) que �e uma solu� ~ao dosistema. En ontramos assim uma solu� ~ao e queremos mostrarque h�a mais de uma. O on eito intuitivo de plano resolve aquest~ao , dois planos se inter eptam:1. s~ao paralelos:(a) om interse� ~ao vazia , ou(b) oin identes;2. se interse tam ao longo de uma reta.s~ao as tres possibilidades: f g, uma reta, um plano. Comoh�a uma solu� ~ao ent~ao a interse� ~ao vai ser uma reta ou umplano, em qualquer das duas ir unstân ias um n�umero in�nitode solu� ~oes, q.e.d .O ra io ��nio geom�etri o feito a ima se estende aobjetos de maior dimens~ao , (leia-se, om n�umero maior de oor-denadas), mas as hip�oteses aumentam om a dimens~ao . Sempreque num sistema o n�umero de equa� ~oes for menor que o n�umerode in �ognitas, se o sistema for homogêneo ent~ao h�a um n�umeroin�nito de solu� ~oes . Porque os sistemas homogêneos tem pelomenos uma solu� ~ao, o zero, ent~ao; omo �e indeterminado pelofato de ter o n�umero de in �onitas maior do que o de equa� ~oes,ent~ao ter�a uma in�nidade de solu� ~oes. Se n~ao for homogêneoa an�alise tem que ser ontinuada. Vamos desenvolver abaixo at�e ni a \alg�ebri a" om que estas quest~oes~ao tratadas.O sistema a ima �e um aso parti ular de sistemassub- determinados, n�umero insu� iente de equa� ~oes . Se tratade um sistema homogêneo: matriz de dados �e nula, isto foi quenos permitiu on luir que os dois planos passavam pela origeme porisso havia uma solu� ~ao .Entretanto, se o sistema n~ao for homogêneo estera io ��-nio j�a n~ao mais se apli a e os planos podem ser paralelossem oin idir um om o outro, neste aso a interse� ~ao �e vazia eo sistema ser�a sub-determinado, mas impossivel.

2.4. INDEPENDÊNCIA LINEAR. 813. Prove que se tres vetores n~ao formarem um triângulo omono exer �� io 1, ent~ao eles n~ao podem estar num mesmoplano. Neste aso, qual seria o espa� o gerado por eles.Os on eitos de espa� o e de dimens~ao n~ao � aramde�ni-dos at�e agora. Espa� o vetorial �e uma generaliza� ~ao dageometria. O plano �e um espa� o vetorial de dimens~ao dois.A Me âni a Relativista se passa num espa� o vetorial de di-mens~ao quatro, hamado espa� o-tempo, mas a Me âni a Cl�assi ase passa num espa� o de dimens~ao 3. A melhor maneira de on- retizar estas ideias vem atrav�ez da solu� ~ao do exer �� io 1 dalista a ima, que vamos resolver agora.Vetores doR2 s~ao pares ordenados (x; y) de n�umerosreais. Os dados do exer �� io se traduzem om:u := (x1; y1) v := (x2; y2) u := (x3; y3) (2.35)r := �u+ �v + !w (2.36)r = 0 � r1 = r2 = 0 (2.37)r1 := �x1 + �x2 + !x3 = 0 (2.38)r2 := �y1 + �y2 + !y3 = 0 (2.39) omo u; v; w s~ao dados, ent~ao �; �; ! s~ao as tres in ongnitas doproblema e temos assim um sistema de equa� ~oes om duasequa� ~oes e tres in �onitas. Como o n�umero de equa� ~oes �e menordo que o n�umero de in �ognitas, o sistema �e indeterminado, istosigni� a que n~ao temos dados su� ientes para determinar os val-ores de �; �; ! ou ainda, haver�a mais de uma solu� ~ao para estaequa� ~ao . Para demonstr�a-lo, a maneira mais simples �e arti-� iosa lan� ando m~ao de on eitos geom�etri os. O sistema seexpressa assim: �x1 + �x2 + !x3 = 0 (2.40)�y1 + �y2 + !y3 = 0 (2.41)que podemos interpretar pela Geometria Anal��ti a, omo equa� ~oesde dois planos nas vari�aveis �; �; !. Como os planos passam pela

80 CAP�ITULO 2. �ALGEBRA LINEAR COMPUTACIONAL.2.4 Independên ia linear.Vamos dis utir independên ia linear, que est�a in-timamente ligado om o on eito de dimens~ao. Um exemploini ial deixa as oisas mais laras.Com apenas dois vetores do R2 podemos es reverqualquer outro vetor do plano?A resposta �e \n~ao", se por exemplo este dois ve-tores forem olineares sua ombina� ~oes lineares � am dentro dareta que os ont�em. Ent~ao dois vetores quaisquer n~ao ~ao su�- ientes, talvez, para gerar o plano.Como estabele er uma regra que nos garanta quandodois vetores podem gerar o plano? Possivelmente deveriamos nosperguntar porque �e importante gerar o plano.Observa� ~ao: 15 Gerar um espa� o.Vamos des er um pou o �as origens. A iên ia aos pou os des obriua natureza ��ntima do que havia por traz de um \alfabeto" e a revolu� ~ao que os alfabetostrouxeram para o pro esso de registrar a informa� ~ao : Um \alfabeto" onsegue odi� ar demodo simples a quase totalidade dos \sons" que emitimos quando falamos. Quer dizer queas letras do alfabeto representam os �atomos da linguagem, elas \geram" as palavras de nossalingua. De modo semelhante os algarismos \geram" os n�umeros.Assim �e pre iso des obrir \objetos mais simples" e leis de forma� ~ao el-ementares que nos permitam \gerar" os objetos mais omplexos de um erto universo quenos interessa. �E o que a onte e om os vetores unit�arios i; j; k da me âni a ou da GeometriaAnal��ti a, as part�� ulas elementares para a F��si a ou para a Qu��mi a, as mol�e ulas para aBiologia. Outro on eito que vai junto om a id�eia de \gerar" �e a elimina� ~ao dasredundân ias. No alfabeto da lingua portuguesa se tem redundân ias omo \ edilha" e \s-duplo". Se poderia eliminar um dos dois e ainda expressar de modo adequado as palavrasda lingua que dependam dum ou do outro. Raz~oes de natureza hist�ori a impedem que istoa onte� a e a lingua � a \redundante". As redundân ias n�os as hamaremos aqui de \depen-den ia". Dois vetores olineares n~ao nulos s~ao redundantes para de�nir uma reta, basta umdeles. Nos diremos que eles s~ao \linearmente dependentes". O adjetivo \linearmente" �e t��pi odo tratamento de vetores, dos espa� os vetoriais.A elimina� ~ao das redundân ias deixa mais simples a sintaxe do sistema,mas pode tornar mais abstratas as suas frases no sentido que se afastem de um modelo intu-itivo, fol l�ori o ou hist�ori o.Exer �� io: 11 Dependên ia linear.1. Prove que se u; v; w forem tres vetores do R2 que n~ao se-jam olineares dois a dois, ent~ao podemos en ontrar tres es- alares �; �; ! tal que r = �u+�v+!w forme um triângulo,ou que, na linguagem da F��si a, a resultante r seja nula.2. Construa um algoritmo para resolver o problema anterior.

2.3. SISTEMAS DE EQUAC� ~OES LINEARES. 79Se diz equa� ~ao linear mesmo que o termo indepen-dente n~ao seja nulo. Neste aso h�a um nome para as equa� ~oes emque a matriz de dados �e nula, hamam-se equa� ~oes homog^eneas.Observa� ~ao: 14 Espa� o vetorial, vetores, matrizes.Matrizes e vetores s~ao vetores. Vetor �e um elemento de um espa� ovetorial e isto quer dizer um onjunto munido de duas opera� ~oes , soma e produto pores alar satisfazendo as propriedades habituais dos vetores, veja num livro de �Algebra ade�ni� ~ao pre isa de espa� o vetorial.Queremos resolver equa� ~oes lineares om um granden�u-mero de in ognitas e equa� ~oes . O onhe ido m�etodo deCramer que usa determinantes se torna logo invi�avel omputa- ionalemente pelo grande tempo que exige para fazer as opera� ~oes. A grande maioria das linguagens de pro essamento n~ao tem apa idade num�eri a para al ular produtos que ultrapassem aordem de \30!" ( om trinta fatores). O n�umero 30! tem 33 asas de imais e a maioria das linguagens est~ao estruturadaspara ofere er 16 a 20 asas de imais de pre is~ao . H�a linguagensde programa� ~ao voltadas para \pre is~ao in�nita", LISP �e umadelas12, Pare e que Python, ver [19℄, tamb�em ofere e a possibil-idade de pre is~ao in�nita. Mas o problema do tempo de pro es-samento ontinua ru ial. Um m�etodo extremamente simples eefetivo �e da substitui� ~ao su essiva, de Gauss, mas sua efetivi-dade aumenta se primeiro a matriz do sistema for transformadanuma matriz triangular. Transformada �e uma palavra- have,quer dizer que uma modi� a� ~ao ser�a feita na matriz sem queo sistema de equa� ~oes seja modi� ado no sentido de que suassolu� ~oes sejam preservadas. Nas duas pr�oximas se � ~oes iremosdis utir omo modi� ar uma matriz preservando as solu� ~oes dosistema de equa� ~oes que elas de�nem. As proximas se� ~oes sededi am a ver omo se podem modi� ar equa� ~oes sem alterarsua solu� ~ao.12nas implementa� ~oes de LISP se pode dar a uma vari�avel de sistema o n�umero de asas de imais om pre is~ao exata om se quer trabalhar e um valor negativo signi� aque a pre is~ao �e total, o resto depende da mem�oria que se dispuser na m�aquina... e dotempo que se tenha para esperar.

78 CAP�ITULO 2. �ALGEBRA LINEAR COMPUTACIONAL.2. Multiplique as matrizes A e B dos dois modos possiveis:A = 264 0 1 2 30 0 1 20 0 0 1 375 ; B = 26664 1 1 200 0 00 0 00 0 0 37775 (2.32)veri� ando que numa das multipli a� ~oes , AB ou BA �e nulae que a outra n~ao �e nula.3. Con lua que na multipli a� ~ao de matrizes por a onte er queAB = 0 mas A 6= 0 ; B 6= 0De�ni� ~ao : 9Um par de \numeros" a; b que sejam diferentesde zero mas ujo produto ab = ba = 0, se dizem divisoresde zero. No (exer. 2.32), as matrizes n~ao s~ao um exem-plo de divisor de zero porque AB 6= BA; Para isto veja o(exer.2.33 ).4. Multiplique as matrizes A e B dos dois modos possiveis:A = " 0 01 0 # ; B = " 0 00 1 # (2.33)veri� ando que as matrizes A;B formam um par de divi-sores de zero.Com o que vimos podemos agora onsiderar Ax =b omo uma equa� ~ao matri ial, x habitualmente �e um vetor oluna, tem p oordenadas assim omo b que �e habitualmente hamada de matriz de dados apesar de ser um vetor. Dize-mos ent~ao que temos um sistema de equa� ~oes lineares om pin �onitas, que orrespondem �as oordenadas de x, e n equa� ~oesque orresponde ao n�umero de linhas de A:Ax = 0B� a11x1 + � � � + a1pxp� � �an1x1 + � � � + anpxp 1CA = 264 b1� � �bp 375 = b (2.34)

2.3. SISTEMAS DE EQUAC� ~OES LINEARES. 77�e diferente de (eq. 2.27), por exemplo, as dimens~oes de x ede b tem que ser diferentes. N~ao vamos demonstrar a seguintea�rma� ~ao, ela �e intuitivamente �obvia, mas sua demonstra� ~aotomaria algum tempo:Teorema: 4 Equival^en ia de equa� ~oes lineares. Para toda equa� ~aolinear �a esquerda xtB = bt (2.29)existe uma equa� ~ao linear �a direitaAx = b (2.30)que lhe �e equivalente.A opera� ~ao x 7! xt se hama transposi� ~ao, e xt sediz a transposta de x:Observa� ~ao: 13 H�abitos no es rever equa� ~oes. O Teorema 2.30nos libera para es rever as equa� ~oes lineares no formato a direita, da equa� ~ao (eq. 2.27),que �e o que sempre faremos. Os autores que usam equa� ~oes �a esquerda est~ao ert��ssimosporque todos os vetores � am expressos omo matrizes-linha que o upam menos espa� ode folha de livro e pare em mais naturais no es rever, entretanto a equa� ~oes assumemum aspe to opera ional n~ao usual relativamente ao h�abito elementar de opera� ~ao omos n�umeros. Infelizmente nem sempre podemos resolver umaequa� ~ao matri ial multipli ando tudo pelo inverso multipli a-tivo de A, porque, eis a prin ipal diferen� a om os n�umerosusuais, as matrizes nem sempre tem inversos multipli ativos11.Os n�umeros usuais todos tem inversos multipli ativos om ex e� ~aode zero: a �algebra das matrizes �e um pouquinho mais ompli- ada... o exer �� io seguinte lhe mostra isto.Exer �� io: 10 Divisores de zero.1. Multiplique as matrizes A e B do �uni o modo possivel:A = 26664 0 1 2 30 0 1 20 0 0 10 0 0 1 37775 ; B = 2666664 1 1 20 �30 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0 3777775 (2.31)11h�a v�arias teorias tentando ontornar este problema de invers~ao .

76 CAP�ITULO 2. �ALGEBRA LINEAR COMPUTACIONAL.em Pas al que s~ao de dom��nio p�ubli o para transform�a-lo em Cou n'outra linguagem de seu agrado9.Entretanto vamos nos dirigir a um p�ubli o quepode n~ao ter experi^en ia em programa� ~ao e que se limite a serum usu�ario de programas de omputador. Para estes apontare-mos o uso de programas de �al ulo num�eri o e nos limitaremosa [8℄ e [21℄ que s~ao de dom��nio p�uli o om implementa� ~oes paraLinux mas tamb�em om vers~oes que rodam sob outros sistemasopera ionais.2.3 Sistemas de equa� ~oes lineares.Vamos de agora em diante usar ta itamente asmatrizes fazendo generaliza� ~ao da multipli a� ~ao . Es reveremosexpress~oes do tipo Ax = b (2.27)sem nenhum oment�ario, onsiderando natural que se pense queA; x; b s~ao n�umeros generalizados10, s~ao objetos que se ompor-tam omo n�umeros. As matrizes s~ao n�umeros generalizados!J�a vimos que em express~oes deste tipo se podem usar matrizessendo ne ess�ario ter uidado om as dimens~oes para que taisequa� ~oes se possam es rever. Na equa� ~ao (eq. 2.27) nxm, mxptem que ser as dimens~oes de A; x, respe tivamente, e nxp a di-mens~ao de b, a igualdade obriga a isto. Em geral quando nosdepararmos om uma express~ao do tipo (eq. 2.27), as matrizesx; b ser~ao vetores, matrizes- oluna, quando estiver na forma daequa� ~ao (eq. 2.27). Como o produto de matrizes n~ao �e omuta-tivo, a equa� ~ao xA = b (2.28)9existe uma linguagem de programa� ~ao de dom��nio p�ubli o, pare ida om Pas- al, hamada Python, ver [19℄, om implementa� ~oes para Linux e outros sistemasopera ionais.10h�a uma generaliza� ~ao dos n�umeros reais, non standard real numbers, que nada tem o quever om matrizes e s~ao n�umeros generalizados, re onhe emos aqui um defeito de nomen latura.

2.2. TRANSFORMAC� ~OES LINEARES. 75( ) Mostre que se T for es alar, ent~ao Tx = �x; para qual-quer vetor x:5. matriz diagonal: As matrizes diagonais s~ao a generaliza� ~aomais imediata das matrizes es alares:De�ni� ~ao : 8Uma matriz D, nxn, se diz diagonal se todos osseus termos forem nulos ex eto, possivelmente, os que seen ontrarem na diagonal prin ipal.(a) Veri�que que a matriz nula �e diagonal.(b) Mostre que as matrizes es alares s~ao diagonais.( ) Mostre que as matrizes diagonais omutam entre si.(d) Mostre que as matrizes diagonoais n~ao omutam omas outras matrizes: se D for uma matriz diagonal ent~aose pode ter DA 6= AD:6. prepara� ~ao para o resto do ap��tulo: Alternativamente:� Construa um programa em Pas al, (ou aprenda a usarum) que onsiga ler matrizes pelo te lado ou a partirde dados num dis o. Fa� a o seu programa somar emultipli ar matrizes. Mais para frente o programa de-ver�a aprender a resolver sistemas de equa� ~oes e outrasopera� ~oes matri iais...� Aprenda a usar um programa que saiba manipular ma-trizes, sugest~ao : [8℄, [21℄.Observa� ~ao: 12 Programas, programa� ~ao e matrizes.Vamos deslo ar o entro de aten� ~ao, no que dizrespeito a programa� ~ao para pa otes de �al ulo num�eri o pron-tos. Se sua experi^en ia omputa ional lhe permitir vivamentea onselhamos a que ontinue a onstruir vo ^e mesmos os seusprogramas. Para isto fa� a uso in lusive dos nossos programas

74 CAP�ITULO 2. �ALGEBRA LINEAR COMPUTACIONAL.s~ao os espa� os Rn, um fun ional linear ser�a da formaf : Rn ! R; f(x) = (a1; � � � ; an)266664 x1x2...xn 377775 2 R == a1x1 + � � �+ anxnExemplos de fun ionais lineares s~ao os produtoses alares, in lusive aquele que de�nimos entre fun� ~oes, om aux��liode uma integral na se � ~ao sobre polinômios de Fourier no ap��tuloanterior. Se vo ê se detiver um pou o na an�alise daqueles fun- ionais, ver a f�ormula 1.5, p�agina 42, sua on lus~ao deve ser queeles seguem o mesmo modelo, a integral fun ionando omo ageneraliza� ~ao da soma.Exer �� io: 9 Tipos parti ulares de transforma� ~oes lineares.1. Chama-se Tr(A) a uma fun� ~ao que asso ia uma matrizquadrada �a soma dos elementos de sua diagonal prin ipal.Mostre que que Tr �e um fun ional linear.2. Considere a fun� ~ao vetorial f : Rn ! Rn. Es reva div(f) omo omposi� ~ao de duas fun� ~oes que tenham f omo paramâtro.3. A forma trivial do teorema de Green estabele e a igualdadeentre duas integrais nulas quando apli ada a um gradiente.Es reva a express~ao do integrando matri ialmente.4. matriz es alar: Por de�ni� ~ao temos:De�ni� ~ao : 7Uma matriz �e es alar se for m�ultipla da matrizidentidade por um es alar: �I, em que I �e matriz identi-dade de ordem n e � um es alar.(a) Veri�que que a matriz identidade de ordem n �e es alar.(b) Veri�que que se T for uma matriz es alar, ent~ao TA =AT para qualquer matriz A de ordem n.

2.2. TRANSFORMAC� ~OES LINEARES. 732. Es reva algumas fun� ~oes lineares usando distintas matrizesno que diz respeito a dimens~ao .3. No planejamento de uma ind�ustria se onsideram as vari�aveisx1; � � � ; xn representando os diferentes itens de mat�eria primane ess�arios. A matriz de varia� ~ao de ustos da ind�ustriatem m linhas em que foram registradas as taxas de varia� ~aodos ustos dos diversos itens ne ess�arios �a produ� ~ao:264 �f1�x1 �f1�x2 � � � �f1�xn� � � � � � � � � � � ��fm�x1 �fm�x2 � � � �fm�xn 375 (2.26)O de ente governo do pa��s editou uma medida provis�oriaestabele endo uma s�erie de impostos de�nitivos in idindosobre ompra de produtos industriais prim�arios, a CPIP 8, om valores distintos para ada produto e al�em disto su-jeitos a algumas varia� ~oes de mer ado. Como todo o pro- essamento da industria est�a pronto, ser�a ne ess�ario intro-duzir um produto matri ial para orrigir os ustos que, nat-uralmente, devem ser repassados ao onsumidor. Corrijaa express~ao ini ial da fun� ~ao de planejamento:f(x) = f(a) + J(f)(x � a)introduzindo a matriz dos impostos no lo al adequado.As fun� ~oes lineares transformam vetores em out-ros vetores ou n�umeros. Quando transformam em n�umeros, isto�e, quando a imagem for um n�umero, re ebem um nome espe ial:De�ni� ~ao : 6 Fun ional linear.Se f for uma transforma� ~ao linear uja imagem�e um n�umero se hama fun ional linear.Como os espa� os vetoriais de que tratamos aqui8\C" na sigla do imposto signi� a \ ontribui� ~ao"...

72 CAP�ITULO 2. �ALGEBRA LINEAR COMPUTACIONAL.na nova f�ormula 2.25 a matriz est�a fazendo o papel de n�umeromultipli ando a matriz oluna �x e omo s~ao matrizes de ordens1x4 e 4x1 o resultado desta multipli a� ~ao �e um n�umero real.Vemos desta forma que as matrizes servem parade�nir nos espa� os vetoriais fun� ~oes semelhantes as fun� ~oes doprimeiro grau:f(x) = b+ Ax ; b um n�umero; x; A matrizes nx1; 1xnH�a v�arias ombina� ~oes possiveis de dimens~ao na onstru� ~ao de tais fun� ~oes. A ima hamamos x de matriz quandoo habitual �e hamar de vetor. Veja mais o seguinte exemplo:f(x) = B +Ax ; B;A; x matrizes: nx1; nxp; px1:Se ostuma hamar fun� ~oes do primeiro grau delineares, na verdade deveriam ser hamadas de lineares a�ns.S~ao lineares aquelas om o termo onstante b ou B nulo:f(x) = Ax ; A; x matrizes: nxp; pxk:de�nidas por uma simples multipli a� ~ao. Nestas valem as pro-priedas de linearidade:De�ni� ~ao : 5 Transforma� ~oes lineares. Se f for uma trans-forma� ~ao linear ent~ao1. f(x+ y) = f(x) + f(y) ;2. f(�x) = �f(x) .Os termos \transforma� ~oes lineares" e \fun� ~oeslineares" s~ao sin^onimos, mas h�a quem d^e um signi� ado geom�etri oao primeiro.Exer �� io: 8 Fun� ~oes lineares.1. Veri�que que as propriedades de linearidade valem tantopara f(x) = ax em que a; x s~ao n�umeros, omo para f(x) =Ax em que A; x s~ao matrizes, onvenientemente de�nidaspara que se possa fazer a multipli a� ~ao.

2.2. TRANSFORMAC� ~OES LINEARES. 71Veri�que se �e a melhor palavra �e dum ou do, num ou nona reda� ~ao a ima. Justi�que.2.2 Transforma� ~oes Lineares.A f�ormula 2.24 pode ser es rita om outro aspe to.Vamos supor que f : R4 ! R ent~ao se al ularmos f 0(a) noponto (a1; � � � ; a4) teremos uma matriz linha om 4 entradasformadas pelas 4 derivadas par iais 7 de f :f 0(a) = ( �f�x1 ; �f�x2 ; �f�x3 ; �f�x4 )Usando esta nota� ~ao podemos re-es rever a f�ormula2.24: f(x) � f(a) + ( �f�x1 ; �f�x2 ; �f�x3 ; �f�x4 )26664 x1 � a1x2 � a2x3 � a3x4 � a4 37775 = (2.25)= f(a) + ( �f�x1 ; �f�x2 ; �f�x3 ; �f�x4 )26664 �x1�x2�x3�x4 37775 == f(a) + �f�x1�x1 + �f�x2�x2 + �f�x3�x3 + �f�x4�x4 == f(a) + �f�x1 (x1 � a1) + �f�x2 (x2 � a2) + �f�x3 (x3 � a3) + �f�x4 (x4 � a4)em que vemos a matriz atuando omo um dispositivo operat�oriona de�ni� ~ao de uma fun� ~ao, (uma nova fun� ~ao que �e uma aprox-ima� ~ao de f). Observe que esta esta express~ao �e semelhante �aexpress~ao de uma fun� ~ao do primeiro grau:f(x) = b+ ax ; x; a; b 2 R7 A nota� ~ao de derivadas par iais n~ao deixa ver que as derivadas est~ao sendo al uladasno ponto a, isto ausa di� uldade para o entendimento.

70 CAP�ITULO 2. �ALGEBRA LINEAR COMPUTACIONAL.grad(f)(a;b) �e um vetor perpendi ular �a urva de n��velque passa no ponto (a; b): Con lua que o grad(f) apontana dire� ~ao de r�es imento, (ou de r�es imento) m�aximo def a partir do ponto (a; b):11. *dire� ~ao de res imento m�aximo: Considere um ponto a 2Rn no dom��nio de uma fun� ~ao f e o ��r ulo Ca;r = fx ; d(a; x) =rg tamb�em ontido no dom��nio de f: Veri�que que o seguintealgoritmo determina a regi~ao onde se en ontra o aminhode maior res imento de f :� C�al ulo do valor m�edioV alMed(f)Ca;r = 12�r 2�Z0 f(a+ r os(t); b+ rsen(t))dtObserve que se trata de uma integral univariada per- orrendo a parametriza� ~ao de um ��r ulo.� Determina� ~ao dos pontos a ima da m�edia Gr�a� o dospontos f(x; y) (x; y) 2 Ca;r f(x; y) > V alMed(f)Ca;rg� Determina� ~ao do m�aximo omo fun� ~ao de r nos on-juntos do item anterior. Determina� ~ao dos pontos emque o orra o m�aximo. Determina� ~ao de uma ou mais urvas om os pontos assim en ontrados.12. * Construa um programa que determine urvas de res i-mento m�aximo para uma fun� ~ao bivariada usando o al-gor��tmo da quest~ao anterior. Aplique-o nas fun� ~oes do (ex-er i io , 8).13. *Mostre que se vo ê estiver numa regi~ao montanhosa e noponto a tiver grad(f) = 0 em que f �e a equa� ~ao da mon-tanha, ent~ao:� vo ê hegou ao fundo dum vale.� vo ê se en ontra no topo dum monte.� vo ê se en ontra num passo de montanhas.

2.1. A �ALGEBRA DAS MATRIZES. 69apresentado no texto. Fa� a um pequeno projeto de sim-ula� ~ao industrial usando matrizes omo J(f) em que f �euma amostragem de dados do pro esso industrial.7. Construa um exemplo em que a matriz J(f) representa ataxa de lu ro dos distintos produtos. O vetor a representaa taxa de venda dos produtos. De�na um teto de lu roa eit�avel e a partir deste teto veri�que que �f�xi depende dovalor de ai, mostre omo.8. * urva de n��vel: Se F : � R2 ! R, se de�nem os sub- onjuntos de urva de n��velk = f(x; y) 2 ; F (x; y) = k; k 2 Rg5 En ontre as urvas de n��vel indi ado:(a) F (x; y) = x2 + y2 ; k 2 f0; 0:5; 1; 2g(b) F (x; y) = x2 � y2 ; k 2 f�1;�0:5; 0; 0:5; 1; 2g( ) F (x; y) = (x�3)2+(y+4)2 ; k 2 f�1;�0:5; 0; 0:5; 1; 2g(d) F (x; y) = (x�3)2�(y+4)2 ; k 2 f�1;�0:5; 0; 0:5; 1; 2g(e) F (x; y) = (x�a)2+(y�b)2 ; k 2 f�1;�0:5; 0; 0:5; 1; 2g(f) * F (x; y) = 5(x�2)2+3(y�1)2 ; k 2 f�1;�0:5; 0; 0:5; 1; 2g(g) F (x; y) = 5(x�2)2+2xy�3(y�1)2 ; k 2 f�1;�0:5; 0; 0:5; 1; 2g(h) F (x; y) = xy ; k 2 f�1;�0:5; 0; 0:5; 1; 2g9. *reta tangente �a urva de n��vel. Para ada fun� ~ao do itemanterior, en ontre um ponto (a; b) sobre a uurva de n��vel, al ule a equa� ~ao da reta tangente a ra urva no ponto(a; b) e fa� a os gr�a� os orrespondentes.10. gradiente: Se hama graf(f) a ja obiana J(f) quando f : � Rn ! R: Veri�que6 que grad(f)(a;b), o gradientede f al ulado no ponto (a; b), �e um vetor. Mostre que5este nome vem dos mapas dos top�ografos que indi am assim os diferentes n��veis dosterrenos.6em suma, grad(f) �e um nome para uma ja obiana parti ular.

68 CAP�ITULO 2. �ALGEBRA LINEAR COMPUTACIONAL.mega-n�os a� aos prin ipais, eles ara terizam os pontos entrais de uma dis retiza� ~aoda regi~ao de trabalho;mi ro-n�osa�;� aos se und�arios que � am a uma pequena na dist^an ia dos outros e queservem para al ular derivadas dire ionais aproximadas no n�o prin ipal asso iadoa�.A linguagem est�a um pou o mais omplexa que a usada no ap��tulo anterior porqueestamos tratando de problemas multi-dimensionais, agora tamb�em os ��ndi es tem queter mais oordenadas, em prin ��pio o n�umero de oordenadas das vari�aveis do problema,para fa ilitar uma \vis~ao geogr�a� a" da distribui� ~ao dos n�os dentro da regi~ao de trabalho.\�Indi es" s~ao um sistema de numera� ~ao, da forma omo est~ao sendo usados aqui, suas oordenadas s~ao inteiras indi ando a quantidade total de pontos indexados. Para indexar,por exemplo, os pontos de uma regi~ao do plano usariamos:� 2 f(1; 1); (2; 1); � � � ; (N;1); (1; 2); (2; 2); � � � ; (N; 2); � � � ; (N;N)gque seria a mesma forma dos ��ndi es �, estamos indi ando que h�a N2 mega-n�os e semel-hante indi a� ~ao viria da numera� ~ao dos ��ndi es �:Exer �� io: 7 Matrizes.No dis o vo ^e en ontra o arquivo Sistema.pas que ont�em as rotinas ne ess�arias �a solu� ~ao destes exer �� ios.1. Es reva um programa que re eba pelo te lado matrizes e asmultiplique na ordem em que foram dadas.2. Modi�que o programa anterior para, peguntando ao usu�arioa ordem dos fatores, multiplique as matrizes na ordem in-di ada.3. Construa um exemplo de matrizes A;B tal que A�B 6= B�A4. In lua no seu programa a possibilidade de somar duas ma-trizes om um alarme no aso de as matrizes serem in om-pat��veis para soma. No aso de in ompatibilidade o pro-grama deve perguntar ao usu�ario se as deve somar assimmesmo e ent~ao ompletar linhas ou olunas om zeros demodo a poder efetuar a soma.5. Fa� a seu programa al ular a J(f) usando derivadas aprox-imadas.6. Pesquise e des reva aso real de apli a� ~ao de matrizes emsua �area de forma� ~ao �a semelhan� a do exemplo industrial

2.1. A �ALGEBRA DAS MATRIZES. 67 ada aso omo uma fun� ~ao separada:C1(x) = C1(a) + C 01(a)�x (2.19)C2(x) = C2(a) + C 02(a)�x (2.20)C3(x) = C3(a) + C 03(a)�x (2.21)C1 : R4 ! R ; C2 : R4 ! R ; C3 : R4 ! R (2.22)sendo Custototal(x) = C1(x) + C2(x) + C3(x) (2.23)As tres fun� ~oes de�nidas por produtos de ma-trizes podem ser somadas porque todas tem o mesmo n�umerode vari�aveis, 4, e todas tem o mesmo n�umero de omponentes,1. S�o podemos somar matrizes que sejam exatamenteda mesma ordem.Observa� ~ao: 10 Muitas vezes onhe emos f 0(a) e n~ao f(a):Uma pergunta poderia ser feita: porque olo amos ^enfase em f 0(a)e n~ao em f(a)? O desenvolvimento do ap��tulo anterior em erta forma responde a estaquest~ao. Em geral n~ao onhe emos f mas sim alguns de seus valores e possivelmentealguns valores muito pr�oximos de alguns n�os a� e onsequentemente onhe emos f(a�)e estamos em ondi� ~oes de al ular f 0(a�) sabendo atrav�es de um levantamento dedados f(a�;�) em que �; � s~ao multi-��ndi es, sendo � o multi-��ndi e que ara teriza osn�os prin ipais da rede e � ara terizam os n�os �nos em volta de algum n�o a�, bem asemelhan� a do que �zemos no ap��tulo 1,Conv�em lembrar aqui a f�ormula de Taylor em seu aso mais simplesque �e f(x) � f(a) + f 0(a)(x� a) = f(a) + f 0(a)�x (2.24)em que f �e uma fun� ~ao vetorial e portanto f 0(a) �e uma matriz ja obiana n~ao trivial,(n~ao �e um n�umero omum).Se onhe ermos f(a� e f(a�� , os valores de f sobre os n�os de umarede om um levantamento de dados �no em volta de ada n�o, podemos projetar osvalores de f numa vizinhan� a dos n�os om aux��lio do polin^omio de Taylor.Observa� ~ao: 11 Multi-��ndi es.Quando pre isamos indexar pontos de uma regi~ao , usamos ��ndi es.Algumas vezes pre isamos de ara terizar que alguns pontos tem uma hierarquia difer-ente de outros: n�os prin ipais ou n�os se und�arios. Diferen iamos estes n�os \fun ional-mente" diferentes haman-do-os de:

66 CAP�ITULO 2. �ALGEBRA LINEAR COMPUTACIONAL.isto que uma fun� ~ao f a elera ou desa elera o omportamentode outra g se as duas representam fen^omenos que atuem si-mult^aneamente: duas for� as atuando sobre um mesmo orpo oa eleram se tiverem omponentes na mesma dire� ~ao. Se tiveremmesma dire� ~ao e sentidos ontr�arios podem lhe dar a elera� ~aozero se tiverem mesmo m�odulo. As for� as se superpuseram,dizem os f��si os, se somaram dizemos os matem�ati os. Duasfor� as s�o se podem somar se as suas vari�aveis e omponentesforem em mesmo n�umero:f : Rn ! Rm; g : Rn ! Rmporque atuam sobre objetos do mesmo \espa� o" e representamresultados que se en ontram no mesmo \espa� o".Contrariamente, sef : Rn ! Rm; g : Rn ! Rq ; m 6= qent~ao n~ao se podem somar as fun� ~oes f e g nemf : Rn ! Rm; g : Rq ! Rm ; n 6= q:Como f : Rn ! Rm; g : Rn ! Rm se podem somar, tamb�em sepodem somar as suas derivadas al uladas no mesmo ponto a =(a1; � � � ; an) que ser~ao matrizes nxm porque ambas as fun� ~oestem nm oe� ientes par iais. Da�� tiramos a regra, s�o podemossomar matrizes de mesmas dimens~oes .Poderiamos tentar representar om um fundo in-dustrial o signi� ado da soma de matrizes, o faremos sem grandesdetalhes.Exemplo: 13 A soma dos ustos.No exemplo industrial a ima, onsideramos sepa-radamente o efeito sobre o usto �nal duma a� ~ao de marketing,do usto laboral e do usto da materia prima. Podemos entender

2.1. A �ALGEBRA DAS MATRIZES. 65mxn por outra de ordem nxq n~ao interessando o valor de m e deq.Exemplo: 12 O esquema da ordem das matrizes na multipli a� ~ao.Anxm � Bmxq ! Cnxqem que os ��ndi es se en ontram indi ados em ada matriz.H�a mais alguma oisa que podemos explorar noexemplo a ima: que signi� aria se os oe� ientes que formama linha 3 fossem dependentes dos oe� ientes que formam alinha 2, propor ionais, queremos dizer? Representariam uma in-forma� ~ao in�util e onsequentemente �e ter ustos sem benef�� iosmantê-los no pro esso pois a ter eira oordenada do vetor devaria� ~ao de ustos seria propor ional �a segunda oordenada eportanto poderia ser obtido a partir da segunda por simples mul-tipli a� ~ao. A matriz �otima para esta analise e onômi a, neste aso seria 2x3 eliminando-se uma linha da matriz A e da matrizb: Assim, se uma matriz tiver linhas que dependam linearmentede outras, o problema pode ser simpli� ado eliminando-se as lin-has linearmente dependentes, n~ao todas, obviamente: de ada onjunto de linhas linearmente dependentes entre si se devemeliminar aquelas que fazem o onjunto � ar linearmente depen-dente.Observa� ~ao: 9 Dependên ia linear e otimiza� ~ao. A palavra have aqui �e otimiza� ~ao, se otimizou o ontrole eliminando lin-has linearmente dependentes da matriz que ont�em os dados dopro esso industrial.Come� amos por multipli ar matrizes, a ima o �ze-mos om matrizes 3x4 e 4x1. Falemos agora da soma de ma-trizes. A soma de matrizes traduz um on eito da F��si a hamadode superposi� ~ao. Se A = J(f) = f 0(a) e B = J(g) = g0(a) ese pudermos somar as duas fun� ~oes f; g ent~ao tamb�em podere-mos somar f 0(a); f 0(b): �E um prin ��pio do C�al ulo: se pudermossomar duas fun� ~oes, poderemos tamb�em somar suas derivadas.Os f��si os hamam esta soma de superposi� ~ao signi� ando om

64 CAP�ITULO 2. �ALGEBRA LINEAR COMPUTACIONAL.essas que a abamos de expor. O exemplo serve em sua simpli- idade para ilustrar o produto de matrizes, mostrando que elass~ao um novo tipo de n�umero, um n�umero que ont�em m�ultiplasinforma� ~oes a um s�o tempo: um multi-n�umero.Observa� ~ao: 8 Aproxima� ~ao diferen ial e modelagem.Uma das li� ~oes que podemos tirar do presente ex-emplo �e que a exist^en ia de uma fun� ~ao, omo a fun� ~ao de ustosC, n~ao se d�a diretamente atrav�ez de uma equa� ~ao mas sim tudoo que temos �e sua aproxima� ~ao diferen ial:C(x) � C(a) + C 0(a)dx = C(a) + C 0(a)(x � a) (2.18)a partir do valor ontabilizado de ustos no ponto a e om asinform� ~oes estat��sti as que hegam indi ando as distintas taxasde varia� ~ao J(C) = C 0(a) �e poss��vel determinar-se o usto pre-vis��vel em urto espa� o de tempo futuro. �E ainda interessanteobservar que a palavra \aproxima� ~ao" est�a sendo usada numsentido hist�ori o e fol l�ori o: n~ao existe nenhuma fun� ~ao C paraser aproximada. A aproxima� ~ao diferen ial �e a pr�opria fun� ~ao.A aproxima� ~ao diferen ial representa, desta formauma modelagem da realidade a partir de dados obtidos estatisti- amente. Vimos outra forma de ver o produto de matrizesem que uma matriz �xa de�ne uma fun� ~ao, neste aso dC �e aimagem de dx por uma fun� ~ao uja equa� ~ao �e um produto pelamatriz A. �E tamb�em uma forma de ilustrar a �algebra de ma-trizes mostrando o uso de adi� ~oes e multipli a� ~oes de elemen-tos de dimens~oes distintas, mas ompat��veis. As matrizes s~aoum novo tipo de n�umero, um n�umero que ont�em m�ultiplas in-forma� ~oes a um s�o tempo.Fi ou evidente a regra b�asi a para fazer produtode matrizes: a dimens~ao intermedi�aria entre elas oin ida, nopresente aso o 4. Podemos multipli ar uma matriz de ordem

2.1. A �ALGEBRA DAS MATRIZES. 63O usto da ind�ustria ser�a obtido aproximadamentepor A � dx = 264 a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34 375 � 26664 dx1dx2dx3dx4 37775 = 264 d1d2d3 375 =(2.15)= C 0(a) � dx = C 0(a) � (x � a) = dC (2.16)C(x) � C(a) + C 0(a)(x � a): (2.17)A informa� ~ao taxa de varia� ~ao �e muito �na e pro-duz pequenas varia� ~oes no planejamento permitindo orre� ~oesantes que um erro avantajado produza grandes estragos. Ob-serve tamb�em que �e absolutamente natural primeiro onhe er-mos as informa� ~oes sobre as taxas de varia� ~ao par iais do que onhe er a equa� ~ao da fun� ~ao.A �ultima equa� ~ao, (eq. 2.17) �e a express~ao dopolinômio de Taylor do primeiro grau multivariado que vo� deveobservar que �e exatamente a f�ormula do aso univariado.Uma outra forma de ver o produto de matrizes �e omo fun� ~ao linear, neste aso dC �e a imagem de dx por umafun� ~ao uja equa� ~ao �e um produto pela matriz A = C 0(a): O ve-tor dx representa uma \pequena" varia� ~ao da quantiza� ~ao dosinsumos omprados pela empresa, e obviamente s~ao fun� ~ao deuma pequena varia� ~ao do tempo de planejamento, (um dia ouum mes, dependendo do pro esso in a ion�ario). A forma \nat-ural" matem�ati a para representar as varia� ~oes, seria o tempo omo vari�avel, mas em geral, para uma empresa o que interessano seu planejamento s~ao as unidades de ompra que interna-mente guardam um ompasso om o tempo.Vimos assim surgir o mesmo exemplo de dois mo-dos diferentes os dois exemplos representam a mesma situa� ~ao,aij = �Ci�xj em que C : R4 ! R3 �e fun� ~ao que modela o ustoda e onomia em que se en ontra inserida a empresa em quest~ao ujo universo e onômi o se reduz aqui a quatro vari�aveis. Emgeral um problema e onômi o tem muito mais vari�aveis do que

62 CAP�ITULO 2. �ALGEBRA LINEAR COMPUTACIONAL.des rita a ima linha por linha, representa o oe� iente angularm�ultiplo no instante em que foi olhida: dia ou mes4.Se a33 = 0, isto signi� a que houve uma estabil-idade do usto de distribui� ~ao relativo a x3 porque apenas seestabilizou a demanda deste insumo no produto. Nada garanteque o usto de produ� ~ao relativo a x3 se estabilize e pode at�eaumentar por uma o iosidade que produza na \m�aquina".Uma an�alise similar onduz a que a33 = 0 n~ao garante quea13 = 0: a33 = 0! a23 = 0 �e falso ;a33 = 0! a13 = 0 �e falso ;Este exemplo mostra que as linhas da matriz A podem ser inde-pendentes. Por de�ni� ~ao, duas linhas de uma matriz, ou doisvetores quaisquer, s~ao linearmente dependentes se um for m�ultiplodo outro. Ent~ao, se forem dependentes, uma mesma oordenadan~ao pode ser num deles zero enquanto que no outro �e diferentede zero. A de�ni� ~ao de dependên ia linear n~ao � a t~ao sim-ples para um onjunto om mais de dois vetores, voltaremos emseguida �a de�ni� ~ao de dependên ia linear.AssimA = 264 a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34 375 (2.13)representa assim a matriz das varia� ~oes dos ustos da ind�ustria.Se a fun� ~ao C = (C1; C2; C3) (2.14)for a fun� ~ao de ustos desta empresa, ent~ao A representa a ma-triz de varia� ~ao de ustos e o produto das matrizes 3x4 om oa matriz 4x1 resulta na matriz dC 3x1 que �e o vetor diferen ialde ustos da produ� ~ao da ind�ustria.4observe a fragilidade do on eito \ instantâneo".

2.1. A �ALGEBRA DAS MATRIZES. 61Uma ind�ustria depende de quatro itens, ou in-sumos, b�asi- os na omposi� ~ao de seu produto �nal e des reve om 3 fun� ~oes o seu usto de produ� ~ao:C = 8><>: C1(x1; :::; x4) = usto de insumosC2(x1; :::; x4) = usto de produ� ~aoC3(x1; :::; x4) = usto de distribui� ~ao (2.11)Os itens, em alguma forma quanti� ados, s~ao agoraas vari�aveis no modelo matem�ati o.Estas fun� ~oes n~ao existem na pr�ati a2, pelo menosn~ao sob forma de uma equa� ~ao alg�ebri a, mas um pro esso es-tat��sti o, uidadosamente levado em dia, permite que a empresadetermine as utua� ~oes 3 de mer ado dos pre� os dos produtos as-sim omo as utua� ~oes dos ustos de produ� ~ao e de distribui� ~ao:taxas, par iais, de varia� ~ao de usto dos insumos:(a11 a12 a13 a14);taxas, par iais, de varia� ~ao de usto de produ� ~ao:(a21 a22 a23 a24);taxas, par iais, de varia� ~ao de usto de distribui� ~ao:(a31 a32 a33 a34);Estas taxas de varia� ~ao s~ao olhidas na unidadem��nima de tempo que seja natural para o planejamento da em-presa, digamos, diariamente, numa e onomia de in a� ~ao alta,ou mensalmente numa e onomia de in a� ~ao reduzida. Assim, amatrizA = 264 a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34 375 = 264 �C1�x1 �C1�x2 �C1�x3 �C1�x4�C2�x1 �C2�x2 �C2�x3 �C2�x4�C3�x1 �C3�x2 �C3�x3 �C3�x4 375(2.12)2aqui se repete o que vimos no ap��tulo anterior, onhe emos apenas alguns valoresde f:3leia: \taxa de varia� ~ao"

60 CAP�ITULO 2. �ALGEBRA LINEAR COMPUTACIONAL.que �e uma express~ao semelhante a do diferen ial de fun� ~oes deuma vari�avel: df = f 0(a)dx. Aqui vemos a generaliza� ~ao feitapor Cayley entendendo matrizes omo multi-n�umeros. A matrizJ(f) �e a matriz de todos os poss��veis oe� ientes angulares in-stant^aneos par iais de f relativos a um refer^en ial previamentees olhido. Este produto matri ial pode ser expandido para seobter o que se hama em livros de C�al ulo de diferen ial total:df = J(f)26664 dx1dx2dx3dx4 37775 = 2664 �f1�x1dx1 + �f1�x2dx2 + �f1�x3dx3 + �f1�x4dx4�f2�x1dx1 + �f2�x2dx2 + �f2�x3dx3 + �f2�x4dx4�f3�x1dx1 + �f3�x2dx2 + �f3�x3dx3 + �f3�x4dx4 3775(2.10)aqui uma matriz ujas linhas s~ao diferen iais totais, e observeque agora nesta �ultima equa� ~ao tem-se uma igualdade entre doisvetores- oluna ou matrizes 3x1.O onte�udo do exemplo anterior mostra que asmatrizes se multipli am de forma semelhante omo se multipli- am os n�umeros e na ompara� ~ao anterior temos o produto den�umeros df = f 0(a)dx no aso duma fun� ~ao univariada ou oproduto matri ial df = J(f)dx no aso duma fun� ~ao multivari-ada. Em ambos os asos poderiamos adotar a mesma nota� ~ao,e �e isto que faremos de agora em diante: df = f 0(a)dx passar�aa representar o diferen ial de uma fun� ~ao em qualquer aso, sef for uma fun� ~ao multivariada, f 0(a) representa a sua matrizja obiana al ulada no ponto a, o seu �uni o oe� iente multi-angular, se n~ao for, representa o seu oe� iente angular num�eri o�uni o no ponto a. No primeiro aso, uma matriz, no segundo aso, um n�umero omum.Usamos este exemplo do C�al ulo para mostrar quetem sentido a multipli a� ~ao de matrizes. O pr�oximo exemplopode tamb�em ser des rito om as palavras do C�al ulo e n�os ofaremos em seguida. Ele tamb�em serve para ilustrar o aspe tomulti-fa etado da informa� ~ao ontida nas matrizes.Exemplo: 11 A matriz de ustos de uma ind�ustria.

2.1. A �ALGEBRA DAS MATRIZES. 59Podemos ai ver quatro vetores- oluna ada um omtres oordenadas ou podemos ver tres vetores-linha ada um omquatro oordenadas. As duas maneiras de ver s~ao v�alidas. Asmatrizes gene-ralizam os n�umeros, enquanto que estes ont�emuma �uni a informa� ~ao de uma medida feita, agora as matrizes ont�em v�arias informa� ~oes oriundas de distintas medi� ~oes feitasque podem at�e ser de naturezas diferentes entre si.Exemplo: 10 Matriz dos oe� ientes angulares.Se f : U � R4 7! R3 ent~ao no ponto (a1; � � � ; a4),a matriz J(f) = 2664 �f1�x1 �f1�x2 �f1�x3 �f1�x4�f2�x1 �f2�x2 �f2�x3 �f2�x4�f3�x1 �f3�x2 �f3�x3 �f3�x4 3775representa o oe� iente angular m�ultiplo de f , ada um dosn�umeros �fj�xi representa um oe� iente angular par ial, tamb�em hamado de derivada par ial de fj om respeito �a vari�avel xie al ulado no ponto (a1; � � � ; a4): Esta matriz re ebe o nome dematriz ja obiana de f = J(f).Da mesma forma omo uma fun� ~ao univariadaf : R 7! Rtem um �uni o oe� iente angular num determinado ponto, se fordiferen i�avel, tamb�em f : U � R4 7! R3tem �uni o \ oe� iente angular m�ultiplo" representado pela ma-triz J(f) ja obiana de f no ponto (a1; � � � ; a4) em que estasderivadas par iais foram al uladas. O diferen ial de f no ponto(a1; � � � ; a4) �edf = J(f)dx = J(f) � 26664 dx1dx2dx3dx4 37775 = 2664 �f1�x1 �f1�x2 �f1�x3 �f1�x4�f2�x1 �f2�x2 �f2�x3 �f2�x4�f3�x1 �f3�x2 �f3�x3 �f3�x4 3775 � 26664 dx1dx2dx3dx4 37775(2.9)

58 CAP�ITULO 2. �ALGEBRA LINEAR COMPUTACIONAL.geometria n~ao der mais p�e. Assim, se o espa� o de trabalho for um onjunto de fun� ~oes,por exemplo C([a; b℄) ent~ao [a; b℄ f! R [a; b℄ g! R (2.4)< f; g >= bZa f(x)g(x)dx (2.5)jjf jj =p< f; f > jjgjj = p< g; g > (2.6)ângulo(f,g) = < f; g >jjf jj � jjgjj (2.7) omo �e usual fazer om os vetores na Geometria Anal��ti a. Observe a diferen� a funda-mental entre os dois sistemas de equa� ~oes a ima. No aso dos vetores do Rn de�nimoso produto es alar geometri amente usando o on eito de ângulo que existe omo ideianatural, (in lusive para dois vetores, mesmo do Rn, omo determinam um plano, ângulo�e \geometri o"...). No aso das fun� ~oes1 , vetores do espa� o C([a; b℄), primeiro de�nimoso produto es alar, depois de�nimos ângulo, om aux��lio deste novo on eito. Este �e om�etodo da generaliza� ~ao, se estendem a novas situa� ~oes as id�eias antigas, atrav�es deoutras que sejam naturais na nova situa� ~ao.Mas vamos nos afastar desta linha de trabalho queleva a um ampo que est�a fora do objetivo deste livro. Vamosretomar o produto es alar e vê-lo de uma outra forma. Veja quelhe demos o nome de produto que indi a uma semelhan� a om oproduto entre n�umeros. De fato �e esta semelhan� a que interessa,e o produto es alar de�ne uma forma de multipli ar vetores eoutras entidades pare idas de que trataremos agora.Mais geral que os vetores �e um objeto hamadomatriz, porque os vetores s~ao tamb�em matrizes. Vetores s~aomatrizes de um tipo parti ular, tem uma �uni a linha, ou uma�uni a oluna.Exemplo: 9 Uma matriz 3x2.Considere o esquema formado por 12 n�umeros dis-postos da maneira regular que abaixo se vê.�� 1 2 3 �1�1 1 0 22 �1 3 2 375 (2.8)1veja o pre on eito, primeiro dissemos \fun� ~oes", depois as hamamos de vetores...

Cap��tulo 2�Algebra LinearComputa ional.2.1 A �algebra das matrizes.O on eito de vetor surgiu na F��si a omo muitasdas no� ~oes da matem�ati a. Este on eito f��si o estava ligado auma entidade geom�etri a, asso iada a uma seta, porque tinhaque ter dire� ~ao e intensidade. Esta vis~ao geom�etri a �e primitivae tem que ser generalizada para ser melhor apli ada em distintassitua� ~oes, e, omo sempre, �e um pro esso alg�ebri o, ou formalque produz a generaliza� ~ao adequada.Exemplo: 8 Generaliza� ~ao da geometria.Os on eitos de ângulo, omprimento ou m�odulo, � am todos ge-neralizados pelo on eito de produto es alar de j�a falamos anteriormente no ap��tulo 1quando des revemos o m�etodo de Fourier, ver 1.5, p�agina 42. Al�� os vetores eram fun� ~oese o que �zemos foi al ular-lhes a soma ponto a ponto, �e o que signi� a uma integral queos fran eses hamam de somme. Em Geometria Anal��ti a se de�ne o produto es alar dedois vetores: u = (x1; � � � ; xn) v = (y1; � � � ; yn) (2.1)< u; v >= nXi=1 xiyi = juj � jvj os(�) (2.2)ângulo(u; v) = os(�) = <u;v>juj�jvj (2.3)que �e a forma dis reta equivalente a integral que se en ontra na p�agina 42. A �ultimaigualdade, de natureza geom�etri a, pode ser utilizada para de�nir ângulo quando a57

56 CAP�ITULO 1. APROXIMAC� ~AO DE FUNC� ~OES .-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

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Figura 1.9: Aproxima� ~ao da primeira bissetriz sobre o intervalo [��; �℄ por pol. trig.

1.3. POLIN^OMIOS TRIGONOM�ETRICOS. 55-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-6.17

-4.65

-3.14

-1.62

-0.10

1.41

2.93

4.45

5.97

7.48

9.00

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Figura 1.8: Aproxima� ~ao om um polin. trigonom�etri o de 11 termos.

54 CAP�ITULO 1. APROXIMAC� ~AO DE FUNC� ~OES .-10.00 -8.01 -6.02 -4.03 -2.04 -0.05 1.94 3.93 5.92 7.91 9.90

-10.73

-7.77

-4.80

-1.84

1.12

4.08

7.05

10.01

12.97

15.93

18.89 ..

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-10.00 -8.01 -6.02 -4.03 -2.04 -0.05 1.94 3.93 5.92 7.91 9.90

-10.73

-7.77

-4.80

-1.84

1.12

4.08

7.05

10.01

12.97

15.93

18.89 ..

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Figura 1.7: Interpola� ~ao polinomial l�assi a. Um polin^omio que tem as mesmas raizesque sen:

1.3. POLIN^OMIOS TRIGONOM�ETRICOS. 53-7.0 -5.6 -4.2 -2.8 -1.4 0.0 1.4 2.8 4.2 5.6 7.0

-73.5

-58.8

-44.1

-29.4

-14.7

0.0

14.7

29.4

44.1

58.8

73.5

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Figura 1.6: Splines tangentes a uma reta.

52 CAP�ITULO 1. APROXIMAC� ~AO DE FUNC� ~OES .-6.0 -4.8 -3.6 -2.4 -1.2 0.0 1.2 2.4 3.6 4.8 6.0

-13.34

-10.42

-7.50

-4.57

-1.65

1.27

4.19

7.11

10.04

12.96

15.88

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Figura 1.5: O erro de res e ao se re�nar a parti� ~ao. Neste aso parti� ~ao uniforme denorma 15 : O n�umero de n�os da parti� ~ao determina a ordem do elemento da su ess~ao deCau hy que est�a sendo ontruida.


-13.34

-10.42

-7.50

-4.57

-1.65

1.27

4.19

7.11

10.04

12.96

15.88

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-6.0 -4.8 -3.6 -2.4 -1.2 0.0 1.2 2.4 3.6 4.8 6.0

-13.34

-10.42

-7.50

-4.57

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10.04

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Figura 1.4: O erro res e om a os ila� ~ao.Parti� ~ao uniforme de norma 13

50 CAP�ITULO 1. APROXIMAC� ~AO DE FUNC� ~OES .-4.00 -3.00 -2.01 -1.01 -0.02 0.98 1.97 2.97 3.96 4.96 5.95

-9.97

-7.47

-4.97

-2.47

0.03

2.53

5.03

7.52

10.02

12.52

15.02

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Figura 1.3: Interpola� ~ao polinomial linear e do segundo grau de graf(f); ompolin^omio por peda� os de segundo grau ont��nuo.


-10.0

-7.0

-4.0

-1.0

2.0

5.0

8.0

11.0

14.0

17.0

20.0

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Figura 1.2: Interpola� ~ao polinomial linear e do segundo grau de graf(f) om polin^omiodo segundo grau por peda� os des ont��nuo.

48 CAP�ITULO 1. APROXIMAC� ~AO DE FUNC� ~OES .de omposi� ~ao em ondas, �nalmente servem para aproxima� ~aoque �e o objetivo �ultimo que sempre temos quando quisermostransmitir ou guardar informa� ~oes uma vez que nos ser�a im-poss��vel registrar ou re ompor um fenômeno qualquer em sua ompletitude. Se estas ideias tiverem ex itado sua uriosidade,vo ê poder�a fa ilmente experimentar um pou o om elas. Vejaa pro edure musi a.pas dentro da bibliote a tipos.pas om a qualvo ê poder�a aprender a fazer m�usi a eletrôni a e in lusive ver oefeito de algumas s�eries de Fourier se apli ar o valor de Pn(f) omo argumento da fun� ~ao sound do Pas al. Tenha alguns uidados, n~ao exe ute o programa durante a noite se algu�emj�a estiver dormindo no quarto ao lado : : : alguma vezes isto sepode tornar um in ômodo grave : : :

1.3. POLINÔMIOS TRIGONOM�ETRICOS. 47emplos a sua volta e mais abaixo lhe diremos in lusive omo vo êa poder�a usar omo laborat�orio. Se vo ê ainda puder en ontrarum instrumento de ordas, um viol~ao, experimente e veja o quea onte e om uma de suas ordas quando vo ê quando nela pro-duzir um impulso forne endo-lhe energia. Ela vibrar�a de modoper ept��vel durante algum tempo transmitindo para o ar e �-nalmente para seus t��mpanos vibra� ~oes. Ser~ao prati amente asmesmas vibra� ~oes, apenas elas se ir~ao amorte endo enquanto a orda perde energia para o ar a volta assim omo para a pr�opria aixa do instrumento. A onte e ai algo pare ido om o p�endulo.Num mesmo espa� o de tempo que se repete, as vibra� ~oes voltama se produzir e �e isto que ara teriza uma nota musi al, apenassua intensidade vai diminuindo om a dilui� ~ao da energia paraambiente: ar, aixa de ressonân ia do instrumento, at�e atingiro imper ept��vel para o seu ouvido. Claro que a orda ontin-uar�a vibrando, at�e mesmo om outros tipos de vibra� ~oes vindasdo meio ambiente, dos arros que passem por exemplo, e istopode se en ontrar fora da apa idade de per ep� ~ao do ouvidohumano. Mas que �e uma partitura musi al? �E a \soma",(dizem os matem�ati os) ou a superposi� ~ao, (dizem os f��si os),destas vibra� ~oes provo adas no onjunto das ordas e alteradaspor novos golpes dos dedos sobre as ordas do viol~ao. Cada vezque o m�usi o interfere sobre as ordas, ele altera a equa� ~ao dam�usi a, riando assim harmôni os por peda� os, aqui a parti� ~aodo intervalo de tempo segue o r��tmo da m�usi a, que determinaassim os intervalos em que ada novo peda� o de harmôni os ser�aexe utado. Para de ompor m�usi a, as s�eries de Fourier s~aoinven ��veis, infelizmente pare e que o ouvido humano re omp~oeas vibra� ~oes de uma forma que �e mais ompat��vel om outrostipos de ondas, ver [5, ap 1℄ ou tamb�em [13, ap 1℄, e sendoassim ganhamos, os humanos, em per ep� ~ao se as ondas musi aisforem de ompostas om outros tipos de ondas diferentes dossenk, osk. Infelizmente para as s�eries de Fourier : : :Resumindo, as s�eries de Fourier ou outros tipos de

46 CAP�ITULO 1. APROXIMAC� ~AO DE FUNC� ~OES .Teriamos que dis utir om maiores detalhes qual osigni� ado da onvergên ia representada pela s�erie a ima. Fare-mos isto em algum momento, posteriormente, no ap��tulo 5,entretanto vejamos logo qual �e ideia intuitiva e geom�etri a quese en ontra por traz desta onvergên ia.Para lhe dar uma ideia do que vo ê poderia tervisto se tivesse rodado os programas sugeridos nos exer �� ios, etalvez estimul�a-lo a fazê-lo agora, veja o gr�a� o (�g. 1.9), nelevo ê tem os gr�a� os onjuntos da fun� ~ao identidade f(x) = x edo polinômio trigonom�etri o Pn(f) para n = 11. Os polinômiostrigonom�etri os des revem fenômenos os ilat�orios omo veremosem seguida, ent~ao Pn(f) \os ila" em torno de f . �E isto que de-stroi a \ onvergên ia" num sentido omum e mais intuitivo eque foi ontestado no exemplo de Du Bois-Reymond, entretantodo ponto de vista da energia ontida em f , ou mais exatamenteno fenômeno modelado por f , a aproxima� ~ao �e ex elente. Aenergia est�a representada pela integral de f e agora sim: a in-tegral de Pn(f) se aproxima muito da integral de f no intervalo[��; �℄. Polinômios trigonom�etri os s~ao aproxima� ~ao de fun� ~oesperi�odi as ou ent~ao de uma fun� ~ao , mas apenas sobre um in-tervalo em que ela �e onsiderada omo restri� ~ao de um fun� ~aoperi�odi a, mas do ponto de vista da da quantidade de fenômeno,ou ainda, a integral de f �e bem aproximada pela integral dePn(f). Mas �e pre iso abrir uma ressalva que deixar�a um travoamargo: n~ao estamos apresentando polinômios trigonom�etri os omo um m�etodo para al ular integrais aproximadamente.Para terminar esta breve introdu� ~ao sobre os polinômiostrigonom�etri os vamos men ionar qual �e a sua fun� ~ao espe �� auma vez que dissemos que aproxima� ~oes n~ao �e sua prin ipal �-nalidade. Como eles s~ao somas de os ila� ~oes, senos e em osenosa elerados, ent~ao os polinômio trigonom�etri os des revem bemos fenômenos os ilat�orios. Eles podem usados para analisar a omposi� ~ao das ondas ontidas nestes fenômenos. �E isto quemuitas vezes �e hamado de an�alise espe tral.A m�usi a pode ofere er ex elentes e m�ultiplos ex-

1.3. POLINÔMIOS TRIGONOM�ETRICOS. 458. Modi�que as su ess~oes s1 e s2 dos oe� ientes de Fourier eveja a fun� ~ao que disto vai resultar.9. Tente de�nir uma fun� ~ao a partir do aspe to gr�a� o de suasexperiên ias a ima, e oloque-a em Fourier. Imprima osresultados gr�a� os e ompare.10. Modi�que Fourier para imprimir em papel os oe� ientesde Fourier (do Polinômio Trigon�etri o). Tente des obriruma lei de forma� ~ao e teste o resultado em Fourier.11. Modi�que o programa Fourier para que seja al ulada aderivada aproximada do Polin. Trig. e para que os doisgr�a� os sejam simultaneamente desenhados. Analise o re-sultado, do ponto de vista de varia� ~ao do oe� iente angulardo Pol. Trig. em alguns pontos.12. Veri�que se onsegue des obrir uma fun� ~ao que gera umdeterminado Pol. Trigonom�etri o analisando os gra� os deP e de P' (do polin. trigon. e de sua derivada). Observeque isto nem sempre ser�a possivel e que n~ao se trata de umm�etodo geral de trabalho.De a ordo om os resultados que vo ê onseguiunos exer �� ios a ima, podemos repetir a a�rma� ~ao de JosephFourier feita no artigo apresentado �a A ademia Fran esa deCiên ias, em 1807: \ uma fun� ~ao qualquer, peri�odi a, f , podeser es rita omo ombina� ~ao linear de senk e osk":f(x) = a02 + 1Xk=1 ak os(kx) + bksen(kx): (1.9)Embora isto seja uma verdade, num sentido queFourier mal podia imaginar em sua �epo a, em 1873, Paul DuBois-Reymond onstruiu um exemplo de fun� ~ao ont��nua ujas�erie de Fourier divergia em um determinado ponto, traduzindoem erta forma a des on�an� a da validade da a�rma� ~ao deFourier em uma forma t~ao gen�eri a.

44 CAP�ITULO 1. APROXIMAC� ~AO DE FUNC� ~OES .es alar de�nido por< f; g >= Z 2�0 f(x)g(x)dx: (1.8)e depois in lua o oe� iente 1� na integral e volte a al ularos m�odulos destes vetores. Tente uma demonstra� ~ao formaldos resultados al an� ados.3. Fa� a um programa que al ule as proje� ~oes de f(x) = sen(4x+3)+3x+1 nas dire� ~oes dos vetores senk; k 2 f0; 1; 2; 3; � � � ; 100g.Estes n�umeros, omo na Geometria Anal��ti a, s~ao os oe-� ientes da de omposi� ~ao do vetor f(x) = sen(4x + 3) +3x + 1 relativamente ao onjunto de vetores senk ; k 2f0; 1; 2; 3; � � � ; 100g. N~ao se esque� a de manter presente que estamos trabal-hando dentro de C([0; 2�℄), ou de L2([0; 2�℄) .4. Chame ak aos oe� ientes en ontrados na quest~ao ante-rior. Complete o programa para al ular o vetor g(x) =P10k=0 aksenk(x) e fa� a os gr�a� os de de f e g num mesmosistema de eixos.5. Fa� a um programa que al ule as proje� ~oes de f(x) = sen(4x+3) + 3x + 1 nas dire� ~oes dos vetores senk; osk ; k 2f0; 1; � � � ; 10g. Chame este oe� ientes de ak; bk, respe ti-vamente. Complete o programa para al ular o vetorg(x) = 10Xk=0 aksenk(x) + bk osk(x)fazendo os gr�a� os de f e g num mesmo sistema de eixos.Estes oe� ientes se hamam oe� ientes de Fourier de f .6. Rode o programa Fourier. Ele lhe permite ver um polin^omiotrigonom�etri o ujos oe� ientes est~ao previamente de�nidos omo uma su ess~ao no pr�oprio programa.7. De�na uma das su ess~oes em Fourier omo identi amentezero e veri�que que o resultado �e uma fun� ~ao par ou impar,dependendo de quem �e identi amente zero.

1.3. POLINÔMIOS TRIGONOM�ETRICOS. 43que lhe permitir~ao uma vis~ao omplementar aso vo ê se de idaa ler mais alguma oisa a este respeito. Ou brinque um pou o om estas ferramentas. O programa Tutorial para o Ensino doC�al ulo, ver [15℄ tem rotinas dedi adas ao experimentos omPolinômios Trigonom�etri os tamb�em.A �gura (�g. 1.8) ilustra a aproxima� ~ao do polinômioP (x) = (x + 4)(x � 3) por um polinômio trigonom�etri o om11 termos. Veja que fora do intervalo [��; �℄ a aproxima� ~aon~ao existe. Ou seja, a aproxima� ~ao se d�a apenas no intervalo[��; �℄. Para mais detalhes sobre este assunto, onsulte um livrode C�al ulo. Observe em parti ular a dis repân ia que deixamosde prop�osito quando falamos dos oe� ientes sobre o intervalo[0; 2�℄, mas o exemplo gr�a� o orresponde ao intervalo [��; �℄:N~ao h�a nenhum erro, os oe� ientes de Fourier se podem al- ular em qualquer intervalo, naturalmente a f�ormula deve seradaptada para isto via uma transforma� ~ao do tipo mudan� a devari�aveis.Observa� ~ao: 7 Polinômio trigonom�etri o - nomen latura.A denomina� ~ao de \polinômio trigonom�etri o" fere um pou o o h�abito,mas n~ao est�a errada. polinoômio quer dizer uma express~ao alg�ebri a onstituida de maisde um termo. Aqui os termos s~ao express~oes trigonom�etri as.Os exer �� ios abaixo ont�em algumas experiên iasque n~ao se onstituem de m�etodos seguros para obter resultados.S~ao exemplos de experimentos que se podem fazer para ganharmais intui� ~ao om o uso de Polinômios Trigonom�etri os, sendoex lusivamente este o objetivo delas aqui.Exer �� io: 6 Experiên ias om Polinômios Trigonom�etri os.1. Use um programa de �al ulo de integrais aproximadamentepara veri� ar que senk e osj s~ao ortogonais para quaisquerque sejam k e j.2. Veri�que numeri amente qual �e o m�odulo dos vetores senke osj para v�arios valores de k e j. Primeiro use o produto

42 CAP�ITULO 1. APROXIMAC� ~AO DE FUNC� ~OES .intervalo fe hado e limitada, intervalo ompa to, vamos parti -ularizar o problema para apresentar uma teoria pequena, o in-tervalo base ser�a [0; 2�℄. Para provar isto �e pre iso de�nir nesteespa� o C([0; 2�℄) um produto es alar, o on eito que nos permite al ular os ângulos entre vetores ou os m�odulos destes. Lembre-se do seu urso de Geometria An�aliti a, �e o produto es alar quepermite generalizar os on eitos geom�etri os, ângulo, m�odulo,distân ia a espa� os mais gerais. O produto es alar poderia serde�nido assim < f; g >= Z 2�0 f(x)g(x)dx: (1.5)Duas integra� ~oes onse utivas, por partes, mostramque senk e osj s~ao ortogonais para quaisquer que sejam k e j,(mesmo iguais, neste aso por que a integral sobre o intervalo[0; 2�℄ �e igual a integral sobre o intervalo [��; �℄ e a�� se podeusar o fato de que senk �e ��mpar enquanto que osj �e par).De maneira an�aloga se pode mostrar que senk esenj s~ao mutuamente ortogonais se k 6= j o mesmo se dando om osj e osk . Finalmente rede�nindo o produto es alar a ima sepode dizer que estes vetores s~ao unit�arios:< f; g >= 1� Z 2�0 f(x)g(x)dx: (1.6)A es olha da onstante 1� multipli ando a integralse liga ao fato de que< sen; sen >= Z 2�0 sen2(x)dx = � (1.7)Tem-se assim uma base de vetores ortonormaispara um espa� o vetorial que ont�em o espa� o C([0; 2�℄) . Esteespa� o se hama L2[0;2�℄. Vo ê pode ler mais a este respeito numlivro de C�al ulo Avan� a-do. Vamos lhe sugerir alguns experi-mentos que podem ser feitos om aux��lio do programa Fourier e

1.3. POLINÔMIOS TRIGONOM�ETRICOS. 41t��tulo Trigonometri Series, tem perto de 1000 p�aginas em seus dois volumes. Esta-mos querendo fazer uma introdu� ~ao experimental do assunto, apenas. Se onseguirmosdespertar sua uriosidade, teremos atingido nosso objetivo.O assunto �e hist�ori o. O uso de s�eries trigonom�etri as, (polinômiostrigonom�etri os), para aproximar fun� ~oes talvez esteja no �m dos seus dias uma vez quepossivelmente ser�a substituido por uma nova t�e ni a que lhe robou a metodologia ominova� ~oes signi� ativas: as Wavelets.A base te�ori a para o onte�udo deste par�agrafo ser�a desenvolvidaresumidamente no in�� io do pr�oximo ap��tulo, �e a �Algebra Linear. Talvez fosse bomler, de forma inter alada este par�agrafo e o primeiro do ap��tulo seguinte. Este ont�emv�arios exemplos dos on eitos al�� de�nidos.Em 1822, num artigo apresentado �a A ademiaFran esa de Ciên ias, Joseph Fourier, (1768-1830) a�rmou quetodas as fun� ~oes peri�odi as podem ser de ompostas emm�ultiplosdas fun� ~oes x �! sen(nx)e x �! os(kx) om n; k 2 N.Fourier n~ao poderia entender o al an e do on- eito de aproxima� ~ao que estava enun iando nem os seus on-temporâneos imediatos o poderiam, in lusive os que tentaram riti ar a importân ia dos fatos usados por ele. A revolu� ~aoque Fourier provo ou no desenvolvimento da Matem�ati a omas suas S�eries Trigonom�etri as, hamadas ainda de S�eries deFourier, mas que eram onhe idas de alguns matem�a-ti os an-teriores a ele, omo Euler, (1707-1783) e alguns dos irm~aosBernouilli, s�o puderam ser aquilatadas no s�e ulo atual.As fun� ~oessenk : R �! R;x 7! sen(kx) (1.3)e osj : R �! R;x 7! os(jx) (1.4)formam um sistema de vetores linearmente independentes e or-togonais no espa� o vetorial das fun� ~oes ont��nuas de�nidas num

40 CAP�ITULO 1. APROXIMAC� ~AO DE FUNC� ~OES .O segundo defeito �e que para obter boas aprox-ima� ~oes por interpola� ~ao polinomial, os polinômios tem de sergrau elevado e a�� os seus valores tamb�em ser~ao muito eleva-dos, (ou muito pequenos) o que o upa muito espa� o de mem�oriae onsequentemente muito tempo de omputa� ~ao , ou impre- is~ao nos resultados. A matriz num�eri a dos omputadores �e�xa, ela �e apenas \translatada" na medida em que vo ê pre- isar de n�umeros maiores ou menores. Se os n�umeros foremmuito grandes ou muito pequenos, se perde onsideravelmentepre is~ao.Exemplo: 7 Interpola� ~ao polinomial de Lagrange.O matem�ati o fran ês Lagrange, se diz, onstruiuuma maneira engenhosa de orrigir a os ila� ~ao da interpola� ~aopolinomial omum. N~ao a vamos re onstruir aqui em detalhe,mas ideia �e simples: �al ule o m�aximo da derivada do polinômio,�e a onstante de Lips hiz, e divida o polinômio por esta on-stante. O resultado ser�a um polinômio que os ilar�a no m�aximo om oe� iente angular 1.A solu� ~ao de Lagrange, apesar de engenhosa per-mane e omputa ionalmente ine� iente uma vez que volta a usaro polinômio l�assi o para en ontrar o m�aximo de sua derivada...1.3 Polinômios Trigonom�etri os.Aproxima� ~ao de fun� ~oes ou o item mais geral Teoria da Aprox-ima� ~ao �e um ap��tulo imenso em Matem�ati a e que apenas res e nos dias atuais porsua importân ia natural. Nesta se� ~ao vamos deixar um pequeno testemunho de umdos t�opi os importantes dentro da �area de aproxima� ~ao de fun� ~oes : aproxima� ~ao ompolinômios trigonom�etri os. Embora os polinômios trigonom�etri os produzam aprox-ima� ~oes de fun� ~oes ou de dados dis retos, esta n~ao �e a sua prin ipal apli a� ~ao. Vamosapresent�a-los aqui por duas raz~oes:1. um outro tipo de aproxima� ~ao: Os polinômios trigonom�etri os ofere em aprox-ima� ~ao do ponto de vista da energia do fenômeno ou do ponto de vista da integral.2. uma raz~ao hist�ori a: Os polinômios trigonom�etri os s~ao a base hist�ori a daswavelets. Se podem estudar estas �ultimas sem passar pelos polinômios trigonom�etri os,mas se perde um dado evolutivo e intui� ~ao.Para que vo ê tenha uma ideia da super� ialidade do que trataremos aqui, um doslivros mais famosos sobre o assunto, es rito por Antony Zigmund (1900-1993), sob o

1.2. APROXIMAC� ~AO POLINOMIAL DE FUNC� ~OES . 39(�g.1.7), p�agina 54, os problemas deste m�etodo simples. Opolinômio ujo gr�a� o est�a representado nesta �gura traz omo oe� iente lider 0.0005 do ontr�ario o programa n~ao onseguiriadeixar visiveis os gr�a� os simultâneos do polinômio e do sen:Os polinômios s~ao express~oes relativamente fa eis de se obter,entretanto eles tem uma os ila� ~ao violenta, veja [22℄ a respeito.A determina� ~ao do polinômio que resolve esta quest~aose reduz �a solu� ~ao de um sistema de n vari�aveis, os n oe-� ientes do polinômio om n equa� ~oes obtidas a partir dos npontos dados.De�ni� ~ao : 4 Interpola� ~ao polinomial.Se hama intepola� ~ao polinomial a determina� ~aode uma urva, gr�a� o de um polinômio , passando por um onjunto de pontos dados. Se diz ser o polinômio que interpolaos pontos dados.A de�ni� ~ao a ima �e antiga, hoje se estende o on- eito de interpola� ~ao polinomial aos splines assim omo a qual-quer aproxima� ~ao polinomial por peda� os. Adotaremos esta maneirade pensar quando nos referirmos a interpola� ~ao polinomial. Estaforma estendidade de entender interpola� ~ao oin ide om o on- eito de aproxima� ~ao om que esta palavra j�a foi utilizada desdeh�a s�e ulos passados e assim se re upera a ideia de aproxima� ~ao. Mas os polinômios tem dois defeitos que for� arama bus a de outros m�etodos. O primeiro �e que os ilam violenta-mente quanto maior for o seu grau. Use o programa Grafun enele oloque omo equa� ~ao da fun� ~ao f um polinômio de grauelevado. Se for muito elevado possivelmente o programa nemsiquer vai rodar, (este �e o segundo defeito). Como Grafun n~aofaz nenhuma maquilagem no gr�a� o vo ê ir�a ver algumas \re-tas" surgirem na tela se o gr�a� o for feito no intervalo em que seen ontram as raizes. Isto porque entre as raizes os polinômiosde grau alto os ilam violentamente.

38 CAP�ITULO 1. APROXIMAC� ~AO DE FUNC� ~OES .A solu� ~ao do exer �� io, aso par�abolas, �e:h�a seis equa� ~oes e seis in �ognitas, (o sistema �e determinado):1. P1(a) = f(a)2. P 01( ) = P 02( ) = �P 01(a) = �P 02(b) = �3. P2(b) = f(b)4. P2( ) = f( ) = P1( )observando que na segunda bateria de equa� ~oes estamos usandoa simetria das par�abolas em torno do seu eixo que se re ete emanti-simetria para o oe� iente angular.Se onsiderarmos que � �e uma vari�avel, o sistematem solu� ~oes mas �e sub-determinado (tem o n�umero de equa� ~oesmenor que o n�umero de in �ognitas. A indetermina� ~ao se hamade grau de liberdade por que nos permite diversas solu� ~oes eest�a representado na equa� ~oes a ima na es olha do oe� ienteangular � da reta r que passa por .Voltaremos a este problema inspirado no que fare-mos na pr�oxima se � ~ao.Mas o algoritmo desenvolvido no pro-grama Spline00 lhe permite onstruir 2-splines sendo su� ientein luir nele uma saida de dados para informar ao usu�ario quaiss~ao os oe� ientes al ulados para os polinômios. Como est�a, oprograma resolve o problema apenas gra� amente, ( al ula os oe� ientes, mas n~ao os es reve ...).O onjunto dos oe� ientes dum spline ou quasi-spline, re ebe o nome de matriz de dados do spline ou do quasi-spline, ver (de�ni� ~ao 2), p�agina 18.1.2.4 Interpola� ~ao polinomial l�assi aA interpola� ~ao polinômial tem umamotiva� ~ao sim-ples que justi� a que tenha sido muito popular: se onhe er-mos, por uma raz~ao qualquer, n pontos pelos quais passe o gr�a� ode uma fun� ~ao ent~ao podemos en ontrar um polinômio do graun ujo gr�a� o passa tamb�em por estes pontos. Veja na �gura

1.2. APROXIMAC� ~AO POLINOMIAL DE FUNC� ~OES . 37ponto . Es reva o sistema de equa� ~oes orrespondentes hamando de P1 e P2 aos ar os de polinômio do ter eirograu envolvidos.7. * Enun ie e resolva os problemas anteriores om 3 pontosn~ao olineares no plano em lugar de fa; ; bgOs exer �� ios a ima ofere em de forma geom�etri aum algoritmo para onstru� ~ao de 2-splines, 3-splines in lusivemostrando a in�nidade deles quando submetidos a tres ondi� ~oes om uma ondi� ~ao livre que representa a in lina� ~ao da reta r quepassa por , (solu� ~ao de um dos exer �� ios). Para os 2-splinesos triângulos s~ao is�os eles. Para 3-splines, es alenos. O gr�a� o(�g. 1.6) ilustra estas ideias.O argumento geom�etri o se expli a melhor no asode uma bi-parti� ~ao de um intervalo [a , b℄ em que est�a de�nidaa fun� ~ao f. Ent~ao o 1-spline que aproxima a fun� ~ao forma umapoligonal om tres lados. Qualquer par de triângulos onstruidosnos moldes do exer �� io anterior produz 2 ou 3 splines... Observeque estamos aproximando uma fun� ~ao usando os seus zeros omovalores onhe idos: (a; 0); ( ; 0); (b; 0) s~ao os tres pontos dadosda fun� ~ao f . Ver o gr�a� o a ima. A reta pode ser movimentadafazendo que as \bolhas" orrespondentes �as duas par�abolasaumentem por igual.No aso de 3-splines, �e possivel mover a reta e au-mentar as bolhas de maneiras diferentes porque �e possivel man-ter ondi� ~oes de se ân ia diferentes nos extremos dos intervalos,mantendo o ponto omo ponto m�edio.�E esta propriedade geom�etri a destes polinômiospor pe-da� os, que lhes deu o nome de spline, um instrumentomale�avel de desenhistas para produzir urvas passando numponto om um oe� iente angular es olhido.O exer �� io pode ser algebri amente estendido pararesolver o problema (a; f(a)); ( ; f( )); (b; f(b)) em que agora n~aose sup~oe mais que f(a) = f( ) = f(b) = 0.

36 CAP�ITULO 1. APROXIMAC� ~AO DE FUNC� ~OES .tal instrumento usado por desenhistas para moldar urvas quepassem por pontos determinados no plano).Exer �� io: 5 Ar os diferen iavelmente soldados7.1. Tra e um segmento de reta [a; b℄ bipartido pelo ponto . Isto�e �e o ponto m�edio do intervalo. Tra e uma reta r qualquerobliqua passando por . Mostre que existem exatamentedois triângulos is�os eles formado por retas passando por ae por b e r nos quais se podem ins rever par�abolas diferen- iavelmente soldadas em . Justi�que porque os triângulostem que ser semelhantes. Ver o gr�a� o na �gura (�g. 1.6)2. * Mostre om um argumento geom�etri o que o n�umero dear os de par�abola do exer �� io anterior �e in�nito, se on-siderarmos que o oe� iente angular � da reta r varia.3. * Chame de P1 e P2 aos ar os de par�abola men ionadosa ima e onstrua o sistema de equa� ~oes que resolve o prob-lema alg�ebri amente. Con lua que o sistema �e determinadoe sol�uvel, (n�umero de equa� ~oes orresponde ao n�umero dein �onitas e o sistema tem solu� ~ao ).4. *generaliza� ~ao dos exer �� ios anteriores. Considere um ponto que divida o intervalo [a; b℄ numa raz~ao r qualquer: �ab� =r: Mostre que se r 6= 1 os triângulos men ionados no ex-er �� io 1 n~ao ser~ao semelhantes. Construa as par�abolas,fa� a os gr�a� os.5. Mostre que para um 3-spline as retas que passam pelos pon-tos a e b s~ao tamb�em in�nitas, (falamos agora de ar os depolinômios do ter eiro grau). Mas que o ponto n~ao pre- isa mais ser o ponto m�edio. Qual o grau de liberdade dosistema?6. In lua, no exer �� io anterior, ondi� ~oes sobre o oe� ienteangular nos extremos do intervalo de modo a reduzir o graude liberdade do sistema �a in lina� ~ao da reta que passa no7os exer �� ios mar ados om asteris o s~ao \te�ori os", de ida se lhe onv�em fazê-los.

1.2. APROXIMAC� ~AO POLINOMIAL DE FUNC� ~OES . 35Como �e uma m�edia aritm�eti a, o resultado geom�etri o�e o segmento de reta que une os pontos(aj ; f(aj)) ; (aj+1; f(aj+1)):Em outras palavras, dados n pontos onhe idos de uma fun� ~aof : f(a0); :::; f(an)num intervalo, 1.1 produz a poligonal que une estes pontos.Uma poligonal �e um polin^omio de primeiro grau por peda� ose ont��nua. As fun� ~oes ara ter��sti as �[aj ;aj+1℄ que multipli- am as par elas em 1.1 tem um efeito lo alizador: garantemque nenhuma das fun� ~oes do primeiro grau existam fora do seuintervalo \ ara ter��sti o". Uma outra maneira de es rever estaexpress~ao seria substituir a soma por uma su ess~ao.Este m�etodo para onstruir splines �e muito penoso omo vamos mostrar no pr�oximo pa ote de exer �� ios. No ap��tulo5 veremos uma outra onstru� ~ao de splines que �e menos penosa,obviamente onsiderado que teremos aprendido mais oisas para hegar at�e l�a...Se tirarmos o adjetivo onvexa, que apenas ara -teriza o fato de que os oe� ientes s~ao menores que 1, positivose uja soma �e 1, temos simplesmente uma ombina� ~ao linear,logo resultando nos pontos de uma reta. Desta forma S1 �e umafun� ~ao ujo gr�a� o �e formado de segmentos de reta que ligamos pontos (aj; f(aj)) sendo assim uma interpola� ~ao linear destespontos onhe idos de f: Vemos assim outra forma de entendera interpola� ~ao linear.Um 2-spline asso iado a fun� ~ao f seria uma \soma"de polin^omios do segundo grau lo alizados nos sub-intervalos deuma parti� ~ao usando ondi� ~oes sobre derivadas nos pontos da-dos al�em do valor da fun� ~ao nos pontos. Isto pode ser feito omum pro esso de integra� ~ao su essiva, por exemplo. Vamos evitareste m�etodo aqui. Em vez disto vamos ilustrar geom�etri amentea onstru� ~ao de splines que in lusive justi� am o seu nome, (o

34 CAP�ITULO 1. APROXIMAC� ~AO DE FUNC� ~OES .Para onstruir um spline, basta tomar uma fun� ~ao onstante por peda� os e al ular su essivas primitivas da mesma.A primitiva de ordem k ser�a um (k)-spline. O pre�xo inteiro �eutilizado para ara terizar o grau dos polin^omios que onstituemo spline. Vamos analisar a onstru� ~ao de um algoritmo para onstruir splines.Observemos que se onhe ermos f(a0); :::; f(an)uma amos-tra dos valores de uma fun� ~ao num intervalo [a; b℄; a0 = a e an = b ent~ao o �uni o 1-spline que aproxima estafun� ~ao ser�a a fun� ~ao linear por peda� os de�nida porS1(t) = Pn�1i=0 [f(aj+1)�f(aj)�xj (t� aj) + f(aj)℄�[aj ;aj+1℄(t) == Pn�1i=0 [ t�aj�xj f(aj+1) + (1 � t�aj�xj )f(aj)℄�[aj ;aj+1 ℄(t) (1.1)a segunda linha na equa� ~ao a ima �e da forma:s � f(aj+1) + t � f(aj) ; s; t � 0 ; s+ t = 1 (1.2)em ada sub-intervalo da parti� ~ao onsiderada em [a; b℄. Umasoma deste tipo se hama de uma ombina� ~ao linear onvexados n�umeros f(aj+1); f(aj) ou ainda uma m�edia aritm�eti a pon-derada om pesos s; t. Quem faz o papel dos peso s; t s~ao osquo ientes t�aj�xj porque, omo o tamanho do sub-intervalo emque est~ao t; xj �e �xj .Observa� ~ao: 6 M�edia aritm�eti a ponderada.A forma desta m�edia aritm�eti a �e pou o usual porque os pesos j�a s~aomenores que 1, mas o leitor pode fa ilmente ver que se trata de fato da m�edia aritm�eti a omum e orrente. Comumente se apresentam os pesos omo n�umeros maiores que 1e muito frequentemente omo inteiros, mas se dividem as m�edias pela soma dos pesos,depois... �E bem extranho que os e onomistas usem este m�etodo no �al ulo da in a� ~ao,pesos inteiros, se usassem pesos menores que 1 poderiam onfundir mais fa ilmente aspessoas, omo pare e ser o objetivo pelo menos dos e onomistas a servi� o da lassedominante, se n~ao o fazem deve ser por pura ignor^an ia...

1.2. APROXIMAC� ~AO POLINOMIAL DE FUNC� ~OES . 331.2.3 Splines.Esta se� ~ao se en ontra aqui apenas por uma quest~aode ompatibilidade om o restante do ap��tulo, a�nal falamosde splines e seria in ^omodo nada onstruir a respeito deles. A onstru� ~ao original dos splines , ver [22℄, �e bastante onfusa edif�� il, Aagu vamos lhe apresentar uma onstru� ~ao geom�etri aque in lusive lhe justi� a o nome. No ap��tulo 5 uma outra on-stru� ~ao ser�a feita om uma metodologia diferente e atual e quein lusive onduz rapidamente ao n�u leo da ideia por traz dossplines. Obviamente, ser�a pre iso mais material te�ori o para onseguir uma nova vis~ao destes objetos5, �e pre iso ompletar aideia, os splines n~ao s~ao dif�� eis o que �e dif�� il �e provar as suaspropriedades. Vo ^e pode saltar esta se � ~ao sem nenhum prejuizopara o resto do livro.Por volta de 1950 foram riados os splines, o� ialmente6.Mas foi pre iso hegar a d�e ada de 70 para que eles fossem no-tados omo um objeto interessante, a raz~ao disto �e que sem omputa� ~ao o uso dos splines e mesmo qualquer onstru� ~ao queos envolva �e imprati �avel.De�ni� ~ao : 3 k-Spline. Um k-spline �e uma fun� ~ao polinomialde grau k por peda� os uja lasse de ontinuidade �e Ck�1 .As poligonais que interpolam n pontos no planos~ao um exemplo de 1-spline. O que hamamos de 1-quasi-spline oin ide om os 1-splines.O nome spline vem de um instrumento de arquite-tura onstituido de uma r�egua de borra ha ontendo em seu in-terior uma pe� a de ferro ex��vel e que pode ser en ontrada naslivr�arias ainda hoje. Com esta r�egua se podem tra� ar urvaspassando por uma quantidade qualquer �nita de pontos, isto se hama de interpola� ~ao .5diziam os fran eses, para onven er os alunos a estudarem, il n'y a pas de m�ethodesfa iles pour faires les hoses di� iles, n~ao tem jeito de se fazerem f�a eis as oisas di� eis...6datas s~ao os elementos da hist�oria o� ial, se diz que as wavelets foram o� ialmente riadas em 1985...mas Haar pensava nelas em 1900.

32 CAP�ITULO 1. APROXIMAC� ~AO DE FUNC� ~OES .18. Veri�que que na quest~ao anterior a es olha do intervalo In~ao �e �uni a. Es olha I tal que F (x) = xR�1 f(t)dt seja on-stante fora do intervalo I, e a medida de I seja a m��nimapossivel.19. Duas par�abolas P1 e P2 se ortam no ponto (�12 ; 14) omo mesmo oe� iente angular 12 , isto �e, s~ao tangentes umaa outra neste ponto. Veri�que de quantas maneiras istose pode dar e determine dois ar os de par�abola que sat-isfa� am estas ondi� ~oes e que, al�em disto, tenham on avi-dades diferentes no ponto (�12 ; 14). Fa� a os gr�a� os.20. Construa um quasi-spline diferen i�avel de grau m��nimo paraa fun� ~ao f obtida amostralmente no intervalo de tempo[�5; 5℄ e uja listagem de dados se en ontra no (exemplo, 5 ), p�agina 20.21. Considere o seguinte m�etodo para determinar uma aprox-ima� ~ao quasi-spline de f , no intervalo [a; b℄ no qual se tema parti� ~ao determinada pelos n�os fa = x0; � � � ; xn = bg:� oin idir om f nos pontos xi; xi+1 .� diferen iabilidade nos extremos: ser-lhe tangente nestes pontos.� ondi� ~ao sobre urvatura: sua urvatura no intervalo [xi; xi+1℄ seja dadapelo Teorema do Valor M�edio apli ado �as derivadas de f nos extremos dossub-intervalos.(a) Qual �e o grau do quasi-spline assim obtido?(b) Interprete geom�etri amente o m�etodo e aplique-o nosdados amostrais que de�nem f na tabela (exemplo, 5),da p�agina 20.22. Sabemos que g0(x) = x sin(x) os(x) e que se x 2 f1; 3; 5; 7; 9gent~ao g(x) 2 f0;�0:972553; 0:753933;�0:274230;�1:855043g.En ontre um quasi-spline de grau m��nimo que aproxime ge al ule sua integral no intervalo [1; 9℄.

1.2. APROXIMAC� ~AO POLINOMIAL DE FUNC� ~OES . 31� Max(f);Max(jf �S4j) divido pelo omprimento do in-tervalo de de�ni� ~ao de f.� Analise em parti ular qual �e objetivo do item anterior.13. Modi�que o programa SpliExp para que ele se o upe de todosos levantamentos de dados e lhe fa� a um relat�orio �nal ir- unstan iado, (use o omputador omo um laborat�orio...)Sugest~oes : Use Case of, (veja GaPlana) e fa� a o programa sele ionar assim di-versas equa� ~oes e repetir as experi^en ias para ada uma delas.14. Pro ure adquirir uma rotina que lhe permita ler equa� ~oespelo te lado. Use-a para tornar os seus programas maisinteligentes.15. Construa um quasi-spline de grau 3, P3 para a fun� ~aof(x) = 2 + 13 sin(x=3) + os(3x)2no intervalo [�5; 5℄ om uma parti� ~ao uniforme do mesmoem 10 sub-intervalos.� Seu programa deve imprimir ou gravar em dis o a ma-triz de dados do 3-quasi-spline.� Cal ule a integral de f e de P3 no intervalo dado.� En ontre todas as raizes de f e de P3 no intervalo dado.� Repita o exer �� io om 20 n�os na parti� ~ao e ompareos resultados om os anteriores.16. Estenda a fun� ~ao f(x) = (x + 1)2(x � 1)2 para al�em dointervalo [-1 , 1℄, ontinuamente, por fun� ~oes onstantes.Chame esta nova fun� ~ao de f e veri�que se f 0 ; f 00 s~ao ont��nuas. Fa� a o gr�a� o de f e de f 0.17. En ontre uma onstante k e um intervalo I adequados talque f(x) = os(x) +K se possa estender no omplementarI de I ontinuamente por uma fun� ~ao identi amente nula.Chame esta nova fun� ~ao de f e veri�que se f 0 ; f 00 s~ao ont��nuas. Fa� a os gr�a� os de f e de f 0.

30 CAP�ITULO 1. APROXIMAC� ~AO DE FUNC� ~OES .5. In lua linhas no loop para fazer gr�a� o, para al ular inte-gral, e o m�aximo da diferen� a entre f e o quasi-spline quea aproxima.6. Use o erro da f�ormula de Taylor, erro integral e erro difer-en ial, e ompare om o erro obtido no programa anterior: al ule-os no programa e mande imprimir os dados.7. Modi�que o programa para obter um 4-quasi-spline de maneiraan�aloga na de�ni� ~ao do quarto oe� iente, para que o re-sultado seja de lasse C1.8. Modi�que o programa Spline00 para obter um 6-quasi-splinede lasse C2 re-aproveitando os �al ulos para obter derivadae segunda derivada nos dois extremos do intervalo.9. Use o programa SpliExp, nele de�na alternadamente a2igual a zero ou om sinal alternado e multipli ado por umpequeno fator. Analise os resultados das diversas experiên iaspor ele exe utadas om distintas fun� ~oes .10. Repita as experiên ias anteriores omitindo o fator 1n no �al ulo de a2. Analise os resultados ontra apli a� ~oes emdiversas fun� ~oes . Compare om os asos anteriores.11. Substitua a linha que de�ne a2 por omando l�ogi o que,para ada novo uso do programa, alterne a de�ni� ~ao deste oe� iente de�nindo omo zero ou om sinal alternante. Aimesmo in lua a de�ni� ~ao da mensagem que informar�a aousu�ario se a experiên ia �e feita om onvexidade alternadaou n~ao .12. Repita as experiên ias a ima fazendo uma tabula� ~ao asso- ie� Ponto de Max(f 0);Max(jf � S4j)� Tempo de pro essamento.� Pre is~ao obtida.

1.2. APROXIMAC� ~AO POLINOMIAL DE FUNC� ~OES . 29A �uni a saida �e a hist�oria do fenômeno. Se ela indi ar um valor paraK, a onstante de Lips hiz, ent~ao o erro que nos expomos om os dados ser�a K � jj�jj:Por exemplo, �e imposs��vel refazer as medidas obtidas por um ond�ografo, da varia� ~aodas ondas do mar de um determinado dia. Feitas as medidas �e tudo que se pode ter,entretanto todos na regi~ao sabem qual �e a m�axima varia� ~ao das ondas do mar e portantoK �e onhe ida, e a estimativa pode ser feita om seguran� a.Se os dados podem ser medidos diversas vezes ent~ao existe umasu ess~ao Kn e podemos veri� ar se K � jj�njj ! 0: Se isto for verdadeiro diremos queo experimento �e onvergente o que signi� a que a su ess~ao de Cau hy Pn existe e seaproxima de uma fun� ~ao \ideal" f:A preo upa� ~ao om a ontinuidade na onstru� ~aode modelos �e f�a il de se expli ar om o Teorema de Weirstrass itado a ima: n�os sabemos que as fun� ~oes ont��nuas se podemaproximar por fun� ~oes tamb�em ont��nuas e a nossa hip�otese nosdiz que devemos sempre esperar que os fenômenos sejam repre-sent�aveis por fun� ~oes ont��nuas, e at�e mesmo diferen i�aveis. Osquasi-splines s~ao ont��nuos e, omo s~ao polinomiais, s~ao tamb�em omputa ionais: f�a eis de serem representados num programa de omputa� ~ao . Os exer �� ios seguintes devem onduz��-lo, experi-mentalmente, a ompreender a avalia� ~ao do erro.Exer �� io: 4 1. Introduza uma rotina para al ular o erro en-tre f e o seu quasi-spline e fa� a uma estat��sti a deste erropara diversas fun� ~oes .2. Cal ule por varredura o m�aximo de f 0; e o ponto em queele o orre e ompare om o resultado obtido no exer �� ioanterior.3. Use os oe� ientes de Taylor para en ontrar um quasi-splinede grau dois a partir de uma massa de dados amostraisA = (aij) usando omo aproxima� ~ao de f 00(x) a media dasdiferen� as de segunda ordem dos elementos da oluna damatriz A 2.4. Modi�que o seu programa para obter polinômios de grautres al ulando um quarto oe� iente om a ondi� ~ao dopolinômio ter o valor f(xi+1) no ponto xi+1 portanto for� andoa ontinuidade dos polinômios por peda� os. En ontre umamaneira de resolver a falta de dados nos extremos.

28 CAP�ITULO 1. APROXIMAC� ~AO DE FUNC� ~OES .Dem : Vamos hamar de f : [a; b℄ ! R a fun� ~ao ujos dados amostrais setem e que se deseja aproximar por k-quasi-splines.O m�etodo de Riemann para integra� ~ao e o Teorema da Aproxima� ~aode Weirstrass demonstram a existên ia de uma su ess~ao de k-quasi-splines onvergindopara uma fun� ~ao ont��nua. O m�etodo de integra� ~ao de Riemann tamb�em garante quese f for integr�avel, ent~ao podemos produzir uma su ess~ao de Cau hy que onvirja parabRa f(t)dt usando apenas parti� ~oes uniformes4 . Isto nos permite usar parti� ~oes uniformessem perda de generalidade.Resta-nos demonstrar a ondi� ~ao sobre o erro. Vamos para isto on-siderar duas su ess~oes, Pn;Kn em que� Pn �e o k-quasi-spline asso iado a uma parti� ~ao uniforme om om m + 2n sub-intervalos de medida b�am+2n ;� Kn �e a su ess~ao das onstantes de Lips hiz de ada termo da outra su ess~ao. On�umero m �e a quantida ini ial de sub-intervalos antes que se ini ie um pro essode biparti� ~ao.Como Kn �e uma aproxima� ~ao da onstante de Lips hiz da fun� ~ao fe Pn �e tangente ao gr�a� o de nos extremos de ada sub-intervalo, ent~ao o gr�a� o de fse en ontra ontido em uma vizinhan� a de amplitude Knjj�njj do gr�a� o de Pn:Como Knjj�njj = Kn b� a2n ! 0porque f �e integr�avel, ent~ao ent~ao, dado um erro � podemos en ontrar n tal que Pn seen ontre numa faixa de erro uniforme � em volta de f:q.e.d.Observa� ~ao: 4 Hip�oteses o ultas na demonstra� ~ao do teoremaNo teorema (3) est�a impl�� ita uma hip�otese que na pr�ati a de levan-tamente de dados �e irreal: que podemos ir fazendo re�namentos su essivos da parti� ~aodo intervalo de tempo em que um fenômenos est�a sendo observado.Esta ausên ia de realidade n~ao invalida (teorema, 3), porque esteteorema representa apenas a garantia de que o m�etodo de aproxima� ~ao por quasi-splinesfun iona. Se a �uni a parti� ~ao que pode ser feita �e aquela em que foi feita a aquisi� ~aodos dados, tudo que se pode obter �e uma estimativa grosseira K � jj�jj em que K �e umaestimativa da onstante de Lips hiz e jj�jj �e a norma da parti� ~ao.Observa� ~ao: 5 Adequa� ~ao �a realidade...O que a pr�ati a nos ofere e om frequên ia �e uma simples amostra-gem de dados de f; ou do fenômeno que esta fun� ~ao representa. Este �e o onjunto depre is~ao de que j�a falamos anteriormente, os pontos em que o fenômeno foi quanti� ado.Que pre is~ao podemos ter para estes dados?Frente ao que vimos a ima a resposta �e nenhuma. Um �uni o levan-tamento de dados n~ao ofere e absolutamente nenhuma seguran� a. Somente uma s�erieestat��sti a �e que pode ofere er uma resposta para uma tendên ia.4se uma fun� ~ao for integr�avel, qualquer adeia de parti� ~oes ujas normas tendama zero, produzem uma su ess~ao onvergindo para a integral, em parti ular adeias departi� ~oes uniformes obtidas por bi-parti� ~ao, por exemplo.

1.2. APROXIMAC� ~AO POLINOMIAL DE FUNC� ~OES . 27Esta an�alise sugere que podemos en ontrar umponto, p, e uma vizinhan� a deste ponto v(p); onde se d�a a maioros ila� ~ao de uma fun� ~ao:Teorema: 2 da vizinhan� a de um ponto de alta os ila� ~ao. Sejaf : [a; b℄ ! R uma fun� ~ao ont��nuamente diferen i�avel. Ent~aoexiste uma melhor onstante K tal quejf(x) � f(y)j � Kjx � yje um ponto p numa vizinhan� a do qual se d�a esta os ila� ~aom�axima.Dem : Como f �e ont��nuamente diferen i�avel, podemos es rever a desigualdade doteorema omo jf(x)� f(y)jjx� yj � Ke vemos que se onsiderarmos sempre y pr�oximo de x a express~ao esquerda representauma aproxima� ~ao da derivada f 0(x) portanto a onstante K �e o m�aximo de f 0; que existeporque f 2 C1 por hip�otese. Como por hip�otese tamb�em f 0 �e ont��nua, ent~ao existe pelomenos um ponto p onde este m�aximo se realiza. q.e.d.O teorema fala de uma melhor onstante porquese K 0 > K tanb�em se apli a na desigualdade. Esta melhor onstante se hama onstante de Lips hiz de f no intervalo [a; b℄:A an�alise feita a ima nos onduz a um m�etodosemelhante ao da integra� ~ao no sentido de Riemann que garantequando uma fun� ~ao �e integr�avel e entre estas se en ontram asfun� ~oes ont��nuas. O m�etodo de integra� ~ao de Riemann ria as ondi� ~oes para onstru� ~ao de su ess~oes de Cau hy equivalentes,qualquer uma delas onvergindo para o valor da integral. OTeorema de Aproxima� ~ao de Weirstrass garante a exist^en ia dolimite. Temos, por semelhan� a o Teorema:Teorema: 3 Se f for uma fun� ~ao diferen i�avel de�nida nointervalo [a; b℄, existe uma \su ess~ao de Cau hy" de k-quasi-splines de lasse C1 que se aproximam uniformente de f o errouniforme sendo Kjj�jj em que K �e a onstante de Lips hiz def e jj�jj �e a norma da parti� ~ao � do intervalo [a; b℄:

26 CAP�ITULO 1. APROXIMAC� ~AO DE FUNC� ~OES .6. mas podemos omparar Pn e Pm em que m > n s~ao dois in-teiros e m est�a asso iado om um re�namento da parti� ~aoa que est�a asso iado Pn. Esta �e revolu ion�aria ideia deCau hy, o teste de Cau hy: n~ao pre isamos onhe er o lim-ite, se soubermos que uma su ess~ao �e onvergente, pode-mos en ontrar elementos arbitrariamente pr�oximos do lim-ite, analisando apenas o omportamento da su ess~ao.7. mais um dado para ompletar a an�alise, pre isamos de umm�etodo para al ular o erro, veja a (�g. 1.4) e observe queos erros aumentam na vizinhan� a de 6 e de -4, onde a os- ila� ~ao da fun� ~ao tamb�em aumenta. No intervalo [�2:5; 2:5℄o erro n~ao �e vis��vel a partir do gr�a� o. A fun� ~ao que est�asendo aproximada tem os ila� ~oes ada vez mais fortes amedida que jxj res e:f(x) = 3sen(x2 + 4) + 2x:Quando a fun� ~ao os ila, a derivada res e... �e o aso diame-tralmente oposto ao das fun� ~oes ujo gr�a� o �e uma reta.Temos que estudar o omportamento da derivada, para de-s obrir onde o erro se a entua. Analise tamb�em a (�g. 1.5)onde a parti� ~ao foi re�nada e veja que o erro j�a n~ao �e maisvis��vel a partir do gr�a� o. A vers~ao de polsegped on quepermite esta simula� ~ao �e:fun tion [y℄ = polsegped on(x,den)if or([x<-4 ; x>=6℄) then y = 0else p = (floor(den*x))/den; a=6*p* os(p^2+4)+2;b = den*den*(f(p+(1/den)) - a/den - f(p));y = f(p) + a*(x-p)+ b*(x-p)^2;endend,em que o param�etro den > 1 �e usado para re�nar a parti� ~ao.O �odigo �e do [21℄.

1.2. APROXIMAC� ~AO POLINOMIAL DE FUNC� ~OES . 25m�odulo da diferen� a das duas fun� ~oes. Esta �ultima forma demedir ara teriza a diferen� a de energia entre as duas fun� ~oes.Aqui est�a a di� uldade em usar o Teorema daaproxima� ~ao de Weirstrass, omo vamos saber qual �e o errom�aximo, se todos os valores que temos s~ao pre isos, estamostrabalhando om o onjunto de pre is~ao...Mas as fun� ~oes s~ao objetos que tem valor numain�nidade de pontos e erro aqui pode signi� ar:1. erro em ada ponto de um intervalo;2. mas, ... analisar o erro em ada ponto do intervalo pode n~aoser possivel, ent~ao talvez possamos al ular o erro m�edio,ou o erro m�aximo;3. mas, ... omo analisar os erros se tudo que onhe emos dafun� ~ao s~ao alguns valores medidos nos n�os de uma parti� ~aodo intervalo de tempo em que o fen^omenos foi observado.Ora, se os dados experimentais que tivermos de�nirem to-dos o mesmo oe� iente angular, ent~ao eles se en ontramsobre uma reta e a interpola� ~ao linear de�nir�a uma aprox-ima� ~ao de erro uniforme zero;4. omo �e muito esperar que os dados sejam lineares omoa ima se prop~oe, vamos onsiderar que eles os ilem, isto �eque yi+1 � yixi+1 � xiseja uma su ess~ao n~ao onstante. No intervalo [xi; xi+1℄em que a varia� ~ao for maior, mesmo pelo ra io ��nio lineara ima, �e onde teremos a maior probabilidade de erro, eportanto onde se en ontrar�a a sugest~ao de erro uniforme.Se o experimento puder ser repetido om parti� ~ao mais �na,poderemos lo alizar melhor onde se d�a est�a alta varia� ~ao eassim obter uma estimativa mais pre isa do erro uniforme.5. mas, tudo o que temos �e um k-quasi-spline Pn e n~ao temosnenhuma han e de ompar�a-lo om a fun� ~ao f ;

24 CAP�ITULO 1. APROXIMAC� ~AO DE FUNC� ~OES .en ontra em nossa ole� ~ao de programas.Com esta hip�otese o nosso grau de liberdade au-menta sensivelmente porque as fun� ~oes mesmos as des ont��nuas,podem ser aproximadas uniformente por fun� ~oes de lasse C1 om alguns uidados a serem tomados nas extremidades dosintervalos e nos pontos de salto onde a aproxima� ~ao uniformefalha. O instrumento te�ori o em que nos apoiamos �e um Teo-rema do �m do s�e ulo passado, de Weirstrass, [20, ap 15, pag.336℄:Teorema: 1 Teorema da aproxima� ~ao de Weirstrass.As fun� ~oes ont��nuas se podem aproximar uni-formemente sobre intervalos fe hados, por polinômios.Aqui se en ontra o uidado om os extremos: elestem ser in luidos na determina� ~ao dos polinômios, omo �zemosnos algoritmos des ritos, �e a raz~ao dos intervalos fe hados doTeorema da aproxima� ~ao de Weirstrass.Observa� ~ao: 3 Aproxima� ~ao uniforme.O Teorema da aproxima� ~ao de Weirstrass �e umagarantia de que podemos fazer aproxima� ~oes, entretanto ele n~aonos ofere e um meio de veri� armos os erros de nossas aprox-ima� ~oes. Quando fazemos aproxima� ~oes, pre isamos saber qual�e a margem de erro om que trabalhamos.Vamos logo dis utir o que �e uniforme. Quando al ulamos valores aproximados para n�umeros, existe uma �uni aforma de analisar o erro ometido que na pr�ati a se resume emindi ar a partir de que asa de imal se perde a on�abilidade.Como as fun� ~oes tem valores em todos os pontos de um intervalo[a; b℄, em tese poderiamos al ular o m�aximo dos erros ometidose depois a�rmar que todos os demais erros s~ao menores ou iguaisa este m�aximo. Erro uniforme quer dizer isto, uma margemde erro que vale para todos os pontos em que o fenômenos foimedido. H�a v�arias outras maneiras de medir-se o erro, ou adistân ia entre duas fun� ~oes, uma delas �e o valor da integral do

1.2. APROXIMAC� ~AO POLINOMIAL DE FUNC� ~OES . 23Exemplo: 6 Fun� ~oes que passam por um onjunto de pontos doplano. Marque alguns pontos no plano orrespondentes avalores sobre os n�os de uma parti� ~ao dum intervalo [a; b℄ dado.Quer dizer, para ada n�o xi de uma parti� ~ao �([a; b℄) es olhaum valor yi de modo a ter n pares (xi; yi). Vo ê pode agora de-senhar duas fun� ~oes f; g que sejam fortemente diferentes umada outra mas ambas passando pelos n pontos (xi; yi). Vo ê podeat�e mesmo impor a ondi� ~ao de que tanto f(xi) = g(xi) omof 0(xi = g0(xi) para todos os n�os e ainda assim tê-las muitodiferentes: por exemplo suas integrais di�ram muito. Mas emqualquer dos asos f; g que vo ê tenha desenhado, re�nando aparti� ~ao �([a; b℄) mesmo a aproxima� ~ao linear por peda� os setorna gradativamente melhor.Experimente gra� amente para se onven er. Quemnos garante isto �e o Teorema de Weirstrass que enun iaremosem seguida. Entretanto, existem algumas hip�oteses razo�aveis�as quais podemos aderir, dentro de uma on ep� ~ao mais am-pla de teoria de modelos que se pode dizer que �e a Matem�ati a.Uma delas �e a hip�otese de alta diferen iabilidade dos fenômenos,que num erto sentido se op~oe te ni amente e �loso� amentea da es ola do aos quanto a onstru� ~ao de modelos. Ambasas tendên ias tem bons resultados e r��ti as m�utuas bem fun-dadas... aderir a uma ou a outra termina sendo uma quest~aode gosto pessoal. N�os preferimos admitir que os fenômenos s~aoaltamente diferen i�aveis, sem d�uvida as t�e ni as dispon��veis �- am bem mais onfort�aveis dir~ao os outros om um erto ar desuperioridade, e �e verdade...Hip�otese: 1 Hip�otese da suavidade dos fenômenos.Os fenômenos têm, em quase-todos os pontos, emque podemos med��-los, um omportamento que pode ser mode-lado por uma fun� ~ao de lasse C1:Este exemplo geom�etri o pode ser repetido om-puta ional om qualquer programa spl*.pas dos que vo ê pode

22 CAP�ITULO 1. APROXIMAC� ~AO DE FUNC� ~OES .a ompanha este livro. Vo ê, alternativamente, pode fazer umdownload do arquivo pas.zip em ftp.super.furg.br/pub/ al ulo.Rodando o programa Spline00 vo ê ter�a uma vis~ao on reta de omo se d�a esta aproxima� ~ao de dados obtidos amostral-mente. O programa lhe permite diversas experiên ias para testaro modelo de aproxima� ~ao uma vez que usa fun� ~oes algoritmi- amente bem de�nidas em Pas al e os gr�a� os simultâneos daaproxima� ~ao e da pr�opria fun� ~ao eviden iam, gra� amente, oserros. A partir deste momento n~ao vamos mais garantir-lhe que os programas que se en ontram no dis o, fa� am ex-atamente o que dizemos no texto do livro. Tendo hegado aeste ponto vo ê deve ser onsiderado, omputa ionalmente, umadulto, esta �e a sina de todos n�os, em algum momento nos on-sideram adultos e respons�aveis por nossas pr�oprias a� ~oes ....Nossos programas passam a ser apenas uma base para que vo ê onstrua os seus pr�oprios, se vo ê julgar que ainda pre isa de al-gum apoio. Tamb�em vo ê poder�a fazer uso de programas de sim-ula� ~ao num�eri a que existem, se n~ao quiser fazer os seus pr�opriosprogramas. Neste aso sugerimos [21℄ omo uma ex elente al-ternativa, ou [8℄, ambos s~ao programas de dom��nio p�ubli o epodem ser en ontrados nos lo ais itados na bibliogra�a. Osnossos programas tamb�em se en ontram dispon��veis, o �odigoest�a aberto, em ftp.super.furg.br/pub/ al ulo.Erro na aproxima� ~ao por 3-quasi-splines.Vamos aqui dis utir a margem de erro na aprox-ima� ~ao por quasi-splines. H�a pou os dados para esta dis uss~ao ,se quisermos nos olo ar num ambito muito geral de apli a� ~oes.N~ao teriamos omo dis utir o tamanho de um erro de aprox-ima� ~ao de uma fun� ~ao qualquer. Habitualmente se imp~oem ondi� ~oes sobre a os ila� ~ao da fun� ~ao omo hip�otese para que sepossa garantir alguma forma de aproxima� ~ao. Fa� a vo ê mesmoa seguinte experiên ia:

1.2. APROXIMAC� ~AO POLINOMIAL DE FUNC� ~OES . 21diferen� a entre os dois resultados. In lua tamb�em o �al ulof�ormla da integral e veri�que qual dos m�etodos forne e mel-hor aproxima� ~ao . Repita o teste om fun� ~oes que ten-ham grande os ila� ~ao, por exemplo que tenham um termosin(n � x) ou os(n � x).6. Modi�que o programa anterior para gerar um polinômio omo pontên ias de (x�a) para um valor a dado, �a semel-han� a de um polinômio de Taylor.7. Construa um programa que leia os valores de uma fun� ~aonos n�os de uma parti� ~ao do intervalo [a; b℄ de de�ni� ~ao damesma.8. Melhore o programa anterior para fazer a leitura dos valoresde uma fun� ~ao e al�em disto om passo �no ler valores muitoproximos de ada n�o. En ontre uma solu� ~ao para eventualfalta de informa� ~oes no �ultimo n�o.9. Melhore os programas anteriores guardando os dados numamatriz e gerando polinômios de Taylor de grau tres desen-volvidos em ada n�o al ulando as derivadas aproximada-mente.10. Construa um programa que produza um 3-quasi-spline parauma fun� ~ao dada a partir de uma amostra dos valores destaem n�os de uma parti� ~ao do seu intervalo de de�ni� ~ao ,a r�es idos de mi ro-n�os na vizinhan� a de ada n�o.11. Use os valores �nos pr�oximos dos n�os para al ular umaderivada segunda om diferen� as de segunda ordem, pro-duza um 5-quasi-spline de lasse C2 . Veja as simula� ~oesfeitas em [16, ap. 2, deriva� ~ao aproximada℄ para se on-ven er de que este exer �� io pode representar algo in�util doponto de vista de aproxima� ~ao. �E apenas um exer �� io so-bre polinômios...A solu� ~ao destes exer �� ios se en ontram em parteno arquivo Tipos e nos programas splineK, SpliExp no dis o que

20 CAP�ITULO 1. APROXIMAC� ~AO DE FUNC� ~OES .f(2.0)= 2.250===medi ao finaf(2.1)= 2.33884 f(2.2)= 2.42623 f(2.3)= 2.51220===f(3.0)= 3.07692===medi ao finaf(3.1)= 3.15267 f(3.2)= 3.22727 f(3.3)= 3.30075===f(4.0)= 3.78571===medi ao finaf(4.1)= 3.85106 f(4.2)= 3.91549 f(4.3)= 3.97902===f(5.0)= 4.4Os exer �� ios que se seguem dirigem-no para a onstru� ~ao de quasi-splines. O objetivo maior �e o dominio dat�e ni a envolvida.Exer �� io: 3 Constru� ~ao de quasi-splines para dados amostrais.1. Fa� a um programa que re ebendo quatro n�umeros, produzaum polinômio do ter eiro grau. Desenvolva este polinômionum ponto gen�eri o a e omplete o programa para fazer ogr�a� o na tela.2. Altere seu programa para que ele de um arquivo em dis oos dados omo os do (exemplo 5). Um tal programa estariapronto para onstruir um quasi-spline produzido pela leiturade um aparelho desde que a formata� ~ao dos dados fosse amesma.3. Modi�que o programa Simpson para al ular integrais omum 3-quasi-spline. N~ao se esque� a de tro ar o nome doprograma.4. Modi�que o programa anterior para al ular a integral dafun� ~ao representada pelos dados amostrais (exemplo, 5).Aplique o programa numa fun� ~ao uja integral vo ê saiba al ular e ompare os resultados.5. In lua no programa feito no exer �� io anterior a rotinade �al ulo da integral por Simpson e imprima ao �nal a

1.2. APROXIMAC� ~AO POLINOMIAL DE FUNC� ~OES . 19�E in�util tentar al ular derivadas aproximadas deordem maior que dois. Ver as simula� ~oes feitas em [16, ap. 2,deriva� ~ao aproximada℄ que mostram omo a pre is~ao se degradamuito. Ver [14, introdu� ~ao ℄ em que in lusive um novo on eitose delinea, o de deriva� ~ao algor��tmi a.Uma �ultima observa� ~ao sobre o algoritmo do (ex-emplo, 4). O quase-spline assim de�nido �e ontinuamente difer-en i�avel uma vez que as derivadas �a esquerda e �a direita oin idem, isto om apenas quatro oe� ientes que podem serobtidos de dados omo os da tabela do (exemplo, 5) seguinte.Exemplo: 5 Fun� ~ao de�nida por dados amostrais.Os dados abaixo foram obtidos por um programaem Pas al. Eles representam os valores de uma determinadafun� ~ao nos pontos indi ados omo argumento da fun� ~ao f. Osmega-n�os est~ao aqui representados pelos n�umeros inteiros do in-tervalo onsiderado.Intervalo: [-5.0,5.0℄f(-5.0)= -12.8===medi ao finaf(-4.9)= -12.29412 f(-4.8)= -11.80769 f(-4.7)= -11.33962===f(-4.0)= -8.5===medi ao finaf(-3.9)= -8.14754 f(-3.8)= -7.80645 f(-3.7)= -7.47619===f(-3.0)= -5.42857===medi ao finaf(-2.9)= -5.16901 f(-2.8)= -4.91667 f(-2.7)= -4.67123 \===f(-2.0)= -3.125===medi ao finaf(-1.9)= -2.92593 f(-1.8)= -2.73171 f(-1.7)= -2.54217===f(-1.0)= -1.33333===medi ao finaf(-0.9)= -1.17582 f(-0.8)= -1.02174 f(-0.7)= -0.87097===f(0.0)= 0.1===medi ao finaf(0.1)= 0.22772 f(0.2)= 0.35294 f(0.3)= 0.47573===f(1.0)= 1.27273===medi ao finaf(1.1)= 1.37838 f(1.2)= 1.48214 f(1.3)= 1.58407===

18 CAP�ITULO 1. APROXIMAC� ~AO DE FUNC� ~OES .�e a m�edia das derivadas aproximadas no n�o xj+1, asemelhan� a de a2;j mas agora usando a outra pontado sub-intervalo. Fizemos isto antes, ver (�g. ,1.3), al�� os polinômios eram do segundo grau, e n~ao al ulamos nenhuma m�edia das derivadas porqueusamos deriva� ~ao formal, (exata).De�ni� ~ao : 2 Matriz de dados de um quasi-spline.A matriz mXnA = (aMat[i℄[j℄)i=1::mj=1::nque ont�em os oe� ientes dos segmentos de polinômios obtidospor um algoritmo semelhante ao que temos a ima em que s~aousados as informa� ~oes sobre os valores ou as taxas de varia� ~aode uma fun� ~ao sobre uma parti� ~ao de um intervalo, ser�a aqui hamada de Matriz de dados de um quasi-spline.Falamos de algoritmo semelhante na de�ni� ~ao, porqueh�a muitas maneiras de onstruir-se um polinômio por peda� os.De posse de uma tal matriz se pode re ompor omum programa de omputador o quasi-spline, temos assim ummodelo para a fun� ~ao que teori amente des reve um determi-nado fenômeno.No algoritmo a ima preferimos de�nir um 3-quasi-spline. O re�namente dos dados ainda nos poderia permitiro �al ulo de uma derivada segunda. Bastava para isto que oinstrumento disparasse a fazer re�namentos de distinta ordemde grandeza em ada n�o isto nos permitiria riar um modelona forma de um 4-quasi-spline. As diferen� as de segunda or-dem om os mesmos dados �e tamb�em possivel e n�os usamos estem�etodo nos programas. Entretanto a pre is~ao que se pode on-seguir om segundas derivadas n~ao �e grande e n~ao ompensa oesfor� o de ir t~ao longe. O fato �e que as aproxima� ~oes polino-miais se restringem �as de grau tres na pr�ati a, e a raz~ao nofundo volta a ser a da os ila� ~ao grande de polinômios de graumuito alto.

1.2. APROXIMAC� ~AO POLINOMIAL DE FUNC� ~OES . 17(a) Supondo que o problema �e o des rito a ima, temos umamatriz om 3 dados re�nados em ada oluna: umamatriz 3 � n em que n �e o n�umero de mega n�os, e 3�e o n�umero de mi ro n�os asso iado a ada um dos n�osprin ipais: A = (aMat[i℄[j℄)i=1::3j=1::n(b) O m�etodo onsiste num uso modi� ado da f�ormula deTaylor, faz uso do desenvolvimento de um polinômioem um dado ponto: P(x) = A + B(x � a) + C(x �a)2 + D(x � a)3. Vamos usar polinômios do grau 3para onstruir um 3-quasi-spline de lasse C1:( ) Em ada sub-intervalo [xj; xj+1℄ de�ne-se Pj pori. Pj = (a1;j ; a2;j; a3;j ; a4;j) em que estamos identif-i ando um polinômio pela matriz dos seus oe�- ientes. Rompemos om um h�abito multi-se ularini iando os ��ndi es do polinômio om 1 para oin- idir om a nota� ~ao matri ial dos n�os.ii. a1;j = aMat[1℄[j℄ = f(xj), �e o valor da fun� ~ao noponto ini ial do intervalo.iii. a2;j = P2i=1 aMat[i+1℄[j℄�aMat[i℄[j℄�x02 � f 0(xj), �e a m�ediadas derivadas aproximadas no n�o xj. Estamos usando om�etodo da f�ormula de Taylor para onstruir uma aproxima� ~ao polinomial.A m�edia serve de garantia ontra erros de dados na medi� ~ao e poderia tersido usada tamb�em no �al ulo de a1;j.iv. Para obter ai;3 resolvemos a equa� ~aoPj(xj+1) = f(xj+1) = aMat[1℄[j + 1℄;a semelhan� a do �al ulo de a1;j mas agora usandoa outra ponta do sub-intervalo.v. Para obter ai;4 resolvemos a equa� ~aoP 0j(xj+1) = f 0(xj+1) � P2i=1 aMat[i+1℄[j+1℄�aMat[i℄[j+1℄�x02 ;

16 CAP�ITULO 1. APROXIMAC� ~AO DE FUNC� ~OES .nossa linguagem, f �e uma fun� ~ao ideal que des reveria exata-mente o fenômeno, enquanto que Pn �e a aproxima� ~ao de ordemn que onseguimos para modelar f a partir de alguns dadosque temos ou podemos deduzir de f . O parâmetro n indi ao n�umero de n�os da parti� ~ao do intervalo [a; b℄ onde a fun� ~aoest�a de�nida, este n�umero ser�a om frequên ia n + 2m porque ome� aremos nossas parti� ~oes om um n�umero baixo de n�os edepois faremos su essivas bi-parti� ~oes dos sub-intervalos para irem bus a de mais pre is~ao.Exemplo: 4 Um pro esso de aquisi� ~ao de dados.O pro esso de aquisi� ~ao dos dados pode ser o seguinte:Veja o exemplo 5, p�agina 20 a ompanhando a des ri� ~ao destepro esso.1. Um aparelho monitora um experimento registrando os da-dos a ada intervalo de tempo �x .2. No momento de ada registro, o aparelho faz uma s�eriede medidas a pequen��ssimos intervalos de tempo, por ex-emplo de tamanho �x0 = �x100 , durante tres destes mi ro-intervalos.Mais do que isto �e in�util e anti-e onômi o, porque om pequenas subdivis~oes pode-mos hegar a uma deriva� ~ao aproximada da fun� ~ao que desejamos modelar, entretanto�e irreal onseguir-se derivadas de ordem superior om m�etodos num�eri os. No asomultivariado estes mi ro n�os levantariam oe� ientes par iais de derivada em dire� ~oesdeterminadas sobre um ��r ulo de entro no mega-n�o e em dire� ~oes distintas es olhidassobre este ��r ulo.3. Tem-se, assim, n~ao somente os valores de f em ada umdos mega n�os x mas tamb�em os seus valores na fam��lia demi ro n�os x; x+�x0; x+2�x0; ::: .Isto nos permite al ularuma taxa de varia� ~ao de f na vizinhan� a de ada \megan�o" e assim ter f(x) e f 0(x) para ada n�o x.4. Quatro oe� ientes em ada sub-intervalo �e o su� ientepara onstruirmos um um 3-quasi-spline que sirva de modêlopara o fenôme-no que estamos estudando. Para fazê-lo umalgoritmo �e:

1.2. APROXIMAC� ~AO POLINOMIAL DE FUNC� ~OES . 15Ora, para que fazer uma aproxima� ~ao de uma fun� ~ao que se onhe et~ao bem? nos exemplos do C�al ulo, estas fun� ~oes s~ao apresentadas in lusive om asrespe tivas equa� ~oes ... Da mesma forma, objetos omo os quasi-splines podem pare errid�� ulos ao fazermos uso deles para aproximar fun� ~oes omof(x) = 5sen(x=4) + x=4 + 1:Veja que o programa grafun �e muito mais simples e roda muito maisr�apido que qualquer dos seus similares grafunK, exatamente porque ele usa a equa� ~aoda fun� ~ao f para en ontrar os pontos (x; f(x)) que vai olo ar na tela enquanto que osoutros primeiro al ulam um polinômio em um sub-intervalo, para aproximar a fun� ~aopor este polinômio no intervalo. Obviamente, se onhe ermos a equa� ~ao de uma fun� ~ao ese a linguagem de programa� ~ao que usarmos tiver as fun� ~oes de que ela se omp~oe omoprimitivas algor��tmi as, n~ao tem muito sentido pro urarmos uma aproxima� ~ao para f .N�os j�a a onhe emos !Este pare e ser um grave defeito na apresenta� ~ao dos ursos de C�al ulo...Com grande frequên ia se onstruem m�etodos de aproxima� ~ao que se apli am perfeita-mente a fun� ~oes altamente onhe idas, omo �e o aso dos polinômios de Taylor.A raz~ao desta aparente ontradi� ~ao se en ontra na ne essidade de ex-emplos om os quais se possam testar os m�etodos de aproxima� ~ao , ontrolar se produzembons objetos aproximantes . Se vo ê rodar grafun e os programas grafunK poder�a avaliaro grau res ente de aproxima� ~ao que um k-quasi-spline produz para a fun� ~ao f e in lusivedeve ter observado que, maior k, menor �e a quantidade de n�os ne ess�arios para se obtera mesma boa aproxima� ~ao . Ora esta onstata� ~ao s�o �e possivel se tivermos um elementode ompara� ~ao. Esta �e raz~ao por que apli amos os m�etodos de aproxima� ~ao �as fun� ~oesbem onhe idas. Portanto n~ao est�a errado o C�al ulo nem o C�al ulo Num�eri o, em fazerassim apenas � am in ompletos se n~ao mostrarem que podemos re ompor fenômenos om os modelos estudados. Esta in ompletitude se deve �a falta de ondi� ~oes did�ati as,(de �nan iamento), em que vivemos: sem laborat�orios omputa ionais para o ensino doC�al ulo e de Matem�ati a em geral, o ensino tem que � ar pobre omo est�a, e o nossopa��s ontinuar�a arente de te nologia e de t�e ni os apazes de gerar esta te nologia. Este�e um problema pol��ti o que n�os, os ient��stas, temos que denun iar a ada momento, oualternativamente, a eitarmos a onivên ia.A seguir veremos uma apli a� ~ao mais razo�avel deste instrumento t~aopoderoso que visivelmente produz bôas aproxima� ~oes para as fun� ~oes . A f�ormula deTaylor en ontra aqui diversas apli a� ~oes e voltar�a a ser usada no ap��tulo �nal sobreequa� ~oes diferen iais.Quasi-spline: modelagem a partir de dados dis retos.Invertendo o aminho, agora queremos onstruirum mo-dêlo polinomial para uma massa de dados que podemoster obtido a partir de medi� ~oes feitas por um aparelho. Pre- isamos en ontrar uma fun� ~ao Pn, que des reva quantitativa-mente um fenômeno a partir destas medi� ~oes, em que o ��ndi e nindi a que a fun� ~ao Pn depende de uma sequên ia de opera� ~oese no presente aso foi obtida ao �nal de n dessas opera� ~oes . Em

14 CAP�ITULO 1. APROXIMAC� ~AO DE FUNC� ~OES .veremos algumas formas mais simples desta ideia. A de�ni� ~aoseguinte representa apenas uma simpli� a� ~ao vo abular, omotoda de�ni� ~ao.De�ni� ~ao : 1 quasi-splines.Diremos que Pn �e um k-quasi-splines se for umafun� ~ao polinomial por peda� os de grau k, que signi� a:� Pn �e uma fun� ~ao ont��nua;� de�nida em um intervalo [a; b℄ ao qual est�a asso iada umaparti� ~ao om n n�os;� em ada um dos sub-intervalos desta parti� ~ao Pn oin ide om um polinômio de grau menor ou igual k:A poligonal, fun� ~ao linear a�m por peda� os e ont��nuaque apare eu no primeiro exemplo a ima, �e um 1-quasi-spline,�e tamb�em um 1-spline. O pre-�xo \1" diz respeito ao grau dospolinômios por peda� os usados para onstruir a aproxima� ~ao.Se ne ess�ario, indi aremos a lasse de diferen iabilidade. Osquasi-splines que vamos onstruir aqui s~ao de lasse inferior ouigual a C2. Nos programas grafunK do dis o s~ao produzidosk-quasi-splines aproximando a mesma fun� ~ao :f(x) = 5sen(x=4) + x=4 + 1o que lhe permite uma boa ompara� ~ao entre eles e a aprox-ima� ~ao que eles representam desta fun� ~ao .Cr��ti a do C�al ulo.Vamos fazer uma r��ti a a apresenta� ~ao usual do C�al ulo e mesmodos m�etodos num�eri os. Veja que r��ti a signi� a an�alise, �e o que faremos aqui.Vo ê j�a se deve ter perguntado alguma vez porque al ulamos aprox-ima� ~oes de fun� ~oes que onhe emos muito bem. No C�al ulo, por exemplo, se apontamos polinômios de Taylor, (s�eries de Taylor ...), omo aproxima� ~oes de fun� ~oes bem on-he idas. Para onstruir um polinômio de Taylor �e ne ess�ario onhe er v�arias derivadasda fun� ~ao que se est�a aproximando.

1.2. APROXIMAC� ~AO POLINOMIAL DE FUNC� ~OES . 133. In lua na an�alise do exer �� io anterior, o uso da derivada al ulada algebri amente ou aproximadamente. Fa� a reg-istro do �x usado para o �al ulo da derivada aproximadaem sua estat��sti a.1.2.2 Aproxima� ~ao polinomial por peda� os.Na se� ~ao anterior onstruimos aproxima� ~ao linearpor peda� os e uma aproxima� ~ao do segundo grau por peda� os. omo as fun� ~oes do primeiro grau s~ao polinômios ent~ao j�a demosos primeiros passos na onstru� ~ao de aproxima� ~oes polinomiais.Agora queremos trabalhar om polinômios de um grau qualquer.Mas, por que aproxima� ~ao polinomial por peda� ~oes ? Neste livron~ao trataremos de outras aproxima� ~oes polinomiais, se vo êquer saber a raz~ao , onsulte a pen�ultima se� ~ao deste ap��tuloonde se en ontra uma r��ti a das aproxima� ~oes polinomiais emgeral. H�a diversos livros, ver por exemplo [4℄, que tratam aaproxima� ~ao polinomial om mais detalhes e seria in�util repet��-lo aqui sem nada trazer de novo. Os m�etodos de aproxima� ~aopolinomial perderam terreno para os splines de�nitivamente, ver[22℄. O livro de Larry S humaker �e muito ompli ado e onfuso, omo ertamente teria que ser pela �epo a em que foi es rito,mas representa uma referên ia importante sobre a hist�oria e ospassos mais de isivos na onstru� ~ao da teoria em se baseiam ossplines. Os objetos que vamos ini ialmente onstruir n~aos~ao splines mas se aproximam muito deles e porisso os vamos hamar de quasi-splines. A lasse de ontinuidade de um k-quasi-spline ser�a inferior a k-1, em geral apenas diferen i�aveis,mas n~ao ontinuamente diferen i�aveis, mas ser�a formado depolinômios de grau k. Esta �e diferen� a om os k-splines uja lasse de diferen iabilidade �e Ck�1, isto �e, se P for um k-splineent~ao P �e uma fun� ~ao de�nida por peda� os, ada um dessespeda� os �e um polinômio de grau k e a fun� ~ao pode ser de-riv�avel ontinuamente k � 1 vezes. No ap��tulo 3 � ar�a inteira-mente laro omo onstruir uma tal fun� ~ao . Neste ap��tulo

12 CAP�ITULO 1. APROXIMAC� ~AO DE FUNC� ~OES .que ajuda a ver o efeito gr�a� o que nos interessa mostrar: es olha o intervalo [-50 , 50℄ om um passo 2. Es olha depois distintos valores para o passo. Analise os resultados.Este exemplo mostra quando vo ê es olhe um passo maior, o efeitodas tangentes que, se superpondo, a entuam em ada n�o o erro da aproxima� ~ao tangen- ial de uma fun� ~ao.Esta aproxima� ~ao tangen ial orresponde a um polinômio de Taylorde primeiro grau. O tre ho entral do programa �e :program grafun02 (tre ho)......................................deltay := 2*deltax {* omprimento das tangentes *}Eixos; x := ini io; GotoXY(01,23);Write('f(x) = 5*sin(x/4) + x/4 +1 ');While x < fim DoBeginteta := ar Tan(df(x));s := os(teta)*deltay; t:=sin(teta)*deltay;Reta(x-s,f(x)-t,x+s,f(x)+t);Reta(x,0,x,f(x)); {* reta verti al em ada no' *}x := x + deltax;End;..................................O programa grafun02 se en ontra no dis o. Este n~ao �e um m�etodomuito usado, se vo ê rodar o programa ver�a que o aspe to visual da aproxima� ~ao pode serruim dependendo do omprimento dos segmentos de reta tangentes, mas se os segmentosde reta tangentes forem pequenos o resultado �e uma boa aproxima� ~ao . Tamb�em �e di� ilde�nir uma aproxima� ~ao ont��nua om este m�etodo. A raz~ao de sua in lus~ao aqui �e quea ideia nele ontida ser�a aproveitada mais a frente num m�etodo de solu� ~ao aproximadade equa� ~oes diferen iais.Ao al ularmos aproximadamente a integral de f usando a regra dotrap�esio, este �al ulo orresponde �a soma das �areas dos trap�esios ujas bases s~ao ossub-intervalos [xi; xi+1℄ da parti� ~ao tendo as duas alturas f(xi); f(xi+1).A fun� ~ao assim resultante �e ont��nua, entretanto a sua derivada poden~ao sê-lo, o que representa um defeito da aproxima� ~ao obtida frente a uma hip�otese dealta diferen iabilidade dos fenômenos que �e muito omum ser feita. Temos um modeloque n~ao �e diferen i�avel. Na pr�oxima se� ~ao usaremos polinômios por peda� os de maior emelhoraremos a ontinuidade de nossas aproxima� ~oes.Exer �� io: 2 1. Produza uma vers~ao distinta de grafun fazendoas tangentes se ini iarem no n�o x e se prolongarem ao longodo intervalo [x; x+�x℄ .2. Use um sistema para ronometrar o tempo de omputa� ~aogasto e fa� a um estudo omparativo dos tres m�etodos deintegra� ~ao apro-ximada que dis utimos at�e agora. Use dis-tintas fun� ~oes no seus testes.

1.2. APROXIMAC� ~AO POLINOMIAL DE FUNC� ~OES . 11## omentario: oefi iente b al ula om a formula de Taylor.fun tion polsegped(x)if or([x<-10 ; x>=10℄) then y = 0else p = floor(x); a=9* os(3*p+4)+2; b= -27*sin(3*p+4)/2;y = f(p) + a*(x-p)+ b*(x-p)^2endend e no aso do polin^omio por peda� os ont��tinuo, (�g. 1.3) �e:## omentario: oefi iente b al ulado de modo a produzir## polinomios p.p. ontinuos.fun tion [y℄ = polsegped on(x)if or([x<-10 ; x>=10℄) then y = 0else p=floor(x); a=9* os(3*p+4)+2; b = f(p+1) - a - f(p);y = f(p) + a*(x-p)+ b*(x-p)^2endend A diferen� a reside na de�ni� ~ao do oe� iente b do termo do segundograu. Nos dois asos estamos usando o �odigo do [21℄, um programa doINRIA de dom��nio p�ubli o que segue a sintaxe do MatLab. Com pequenas modi� a� ~oesestas de�ni� ~oes podem ser usadas em Maple tamb�em. Ver tamb�em [8℄.A de�ni� ~ao da interpola� ~ao linear �e:fun tion [y℄ = trapesio(x)if or([x<-10 ; x>=10℄) then y = 0else ini io = floor(x); fim = eil(x); m = f(fim)-f(ini io)y = m*(x+ini io)+f(ini io)endend Em todos os asos usamos a parti� ~ao inteira do intervalo [�4; 6℄ eisto se en ontra re etido na de�ni� ~ao das fun� ~oes a ima.Exemplo: 2 Fun� ~oes lineares por peda� os.Os exemplos que apresentamos a ima om aux��lio do S iLab, vo ^epoder�a exe ut�a-los om aux��lio do TurboPas al.Rode os programas grafun01 e grafun do dis o. O primeiro vaiapresentar-lhe a fun� ~ao aproximada por retas omo des revemos a ima. O segundo apropria fun� ~ao om o intervalo dis retizado de a ordo om a sua es olha do �x . Observea mensagem pedindo o passo deltax que �e diferente nos dois programas.Exemplo: 3 M�etodo de aproxima� ~ao tangen ial.Uma forma diferente de aproximar uma fun� ~ao pode ser pelas tan-gentes tomadas nos n�os da parti� ~ao do intervalo. Se vo e substituir a parte entral doprograma grafun1 pelo tre ho abaixo, o resultado ser�a este. A fun� ~ao que se en ontraal�� de�nida �e f(x) = 5sen(x=4) + x=4 + 1

10 CAP�ITULO 1. APROXIMAC� ~AO DE FUNC� ~OES .intuiva da aproxima� ~ao de fun� ~oes, o seu onte�udo ser�a gener-alizado nas seguin-tes.Considere f : [a; b℄ 7! R. Com frequên ia f �eapenas um nome para uma tabela de dupla de entrada que rela- iona os n�os de uma parti� ~ao do intervalo [a; b℄ om os valores olhidos por um aparelho asso iados a estes n�os. Uma formade aproximar a fun� ~ao f �e a linear por peda� os que j�a usamosa ima dentro da regra do trap�ezio. Na regra do trap�esio, substi-tuimos a fun� ~ao f no sub-intervalo [x; x+�x℄ pelo segmento dereta que passa nos pontos(x; f(x)) e (x +�x; f(x +�x)) ,de modo que o onjunto destes segmentos de reta formam umapoligonal que oin ide om f sobre os n�os da parti� ~ao do in-tervalo. A �area limitada por esta poligonal e o eixo OX �e suaintegral, (da poligonal vista omo fun� ~ao ), e representa umaaproxima� ~ao da integral de f . Este �e o onte�udo da regra dotrap�esio vista sob o enfoque de aproxima� ~oes de fun� ~oes: al u-lamos a integral duma fun� ~ao que �e uma aproxima� ~ao de outrafun� ~ao.Exemplo: 1 Interpola� ~ao polinomial. Fun� ~ao polinomial porpeda� os. Vamos onsiderar f(x) = 3sen(3x + 4) + 2x + 1. Na (�g. , 1.2)e na (�g., 1.3) vo ê en ontra graf(f) junto om o gr�a� o de uma fun� ~ao linear porpeda� os que oin ide om f sobre os n�os de uma parti� ~ao do intervalo [�4; 6℄ om passo�x = 1. Os n�os da parti� ~ao s~ao assim hamados de pontos de pre is~ao e o seu onjuntode onjunto de pre is~ao porque neles se obtem pre is~ao total.No primeiro gr�a� o, os polinômios do segundo grau foram onstruidosapenas onsiderando o m�etodo dos Polinômios de Taylor, isto �e, al ulando os oe� ientes omo as su essivas derivadas de f no extremo ini ial do intervalo. Veja os saltos dedes ontinuidadde que o orrem no �nal de ada intervalo em que Pi(xi+1) 6= Pi+1(xi).No segundo gr�a� o o m�etodo �e o que des revemos om o sistema de equa� ~oes da regrade Simpson. Neste aso se tem Pi(xi+1) = Pi+1(xi) e esta ondi� ~ao foi usada paramodi� ar o m�etodo de Taylor no �al ulo do �ultimo oe� iente.Um defeito do exemplo �e de sugerir que a interpola� ~ao linear n~ao �eboa. O objetivo n~ao �e este, na verdade a interpola� ~ao linear �e t~ao boa quanto as inter-pola� ~oes polinomiais de maior grau, apenas exige geralmente uma parti� ~ao mais �na dointervalo para que uma alta pre is~ao seja atingida, logo maior tempo de pro essamento.Entretanto, nem mesmo isto pode ser onsiderada uma verdade absoluta...A de�ni� ~ao dos polinômios par iais do segundo grau orrespondentea �gura (�g. , 1.2) �e:

1.2. APROXIMAC� ~AO POLINOMIAL DE FUNC� ~OES . 9estendemos a regra de Simpson �as fun� ~oes multivariadas? n�oso �zemos, no �ultimo exer �� io a ima, om a regra do trap�esio.Com os m�etodos do ap��tulo 3 isto ser�a possivel ere-lativamente f�a il.1.2 Aproxima� ~ao polinomial de fun� ~oes .Aproxima� ~ao de fun� ~oes esteve sempre presenteem quase tudo que o estudante fez em C�a ulo, apesar de ertasideias mal expressas que de erta forma n~ao podiam mesmo serapresentadas de outra maneira. Por exemplo, uma per ep� ~aomuito omum que � a no estudante �e de que as fun� ~oes sempretem equa� ~oes, que sempre as podemos derivar ou at�e demonstrarque s~ao ont��nuas. Ora, fun� ~oes s~ao meios de guardar tabelas dedupla entrada em que se asso iam valores de duas naturezas di-versas, omo quando se olo a um medidor el�etri o ou eletrôni opara aptar as varia� ~oes de um fenômenos ao longo do tempo.Depois pre isamos al ular a quantidade do fenômeno o que on-siste em al ular uma integral de dados dis retos: temos que al- ular aproximadamente uma integral. Em outras palavras, temosque al ular a integral de uma fun� ~ao que aproxima a fun� ~ao aser integrada, Vamos reverter o sentido da se� ~ao ini ial, em vezde al ular uma integral aproximada, vamos estudar m�etodos deaproximar as fun� ~oes, depois al ularemos a integral da aprox-ima� ~ao. O m�etodo de aproxima� ~ao polinomial �e a ara ter��sti adeste livro. O material dis utido nas duas primeiras se� ~oesn~ao �e novo. As duas se� ~oes �nais tratam de assunto que ainda�e raro em livros did�ati os: as aproxima� ~oes polinomiais porpeda� os, quasi-splines e splines.Entretanto o nosso estudo de splines neste ap��tulo�e introdut�orio, voltaremos a eles no ap��tulo 3.1.2.1 Aproxima� ~ao linear por peda� os.Esta subse� ~ao �e introdut�oria, desenvolve a parte

8 CAP�ITULO 1. APROXIMAC� ~AO DE FUNC� ~OES .5. Seria obviamente interessante exe utar esta experiên ia di-versas vezes, om fun� ~oes distintas, medindo o tempo gastoem ada aso e analisar os resultados frente a estas vari�aveise a aproxima� ~ao obtida, e on luir qual �e o m�etodo �otimoentre os dois: somas de Riemann ou Simpson. Observe queo passo da Soma de Riemann �nal �e menos de 10 vezesmenor que em Simpson. Entretanto uma divis~ao por 10 j�apode levar para a �area de ris o da pre is~ao no omputador...6. O teste de Cau hy pode ser espe ializado a�m de pararquando as aproxima� ~oes ome� arem a se degradar: se aprox-imar da �area de ris o da pre is~ao do omputador.Exer �� io: 1 1. Cal ule as integrais univariadas dos exer �� iosdo seu livro de C�al ulo usando tanto a regra de Simpson omo a regra do trap�esio. Compare os resultados para umamesma pre is~ao nas parti� ~oes es olhidas.2. Estenda a regra do trap�esio para fun� ~oes multivariadas e al ule as integrais m�ultiplas dos exer �� ios do seu livro deC�al ulo3.3. Crie, om Case of, uma oletânea de fun� ~oes e aplique �asmesmas as regras de Simpson e do Trap�esio assim omoSomas de Riemann, estas om pre is~ao 10 vezes superior.Cal ule para ada fun� ~ao a m�edia das integrais, o desviopadr~ao da m�edia. Fa� a o seu programa analisar automati- amente os resultados e emitir um laudo indi ando qual omelhor m�etodo ex luindo os asos em que o desvio padr~aofor alto, (indi ativo de dado estat��sti o n~ao on��avel). Asolu� ~ao deste exer �� io �e o programa IntEstos (Integral Esto �asti a) que vo ê en- ontra no dis o.O leitor deve observar um defeito neste texto edeve obviamente bus ar uma solu� ~ao para o mesmo: porque n~ao3Observe que a regra do trap�esio �e soma de Riemann al ulada duas vezes om umatransla� ~ao nos extremos...

1.1. INTEGRAC� ~AO . 7End;{*** ini io da rotina prin ipal ***}Begindeltax := 0.1; soma:=0;soma := 0; x:=ini io;Repeat{*** al ulo dos oefi ientes em ada sub-intervalo ***}a0 := f(x); a1 := df1(x,deltax/10000);a2 := ( f(x+deltax) - a0 -a1*deltax )/( deltax * deltax );{** atualizando soma om integrais exatas de polinomios **}soma := soma + a0 + a1*deltax/2 + a2*deltax*deltax/3;x := x+deltax;Until x > fim; soma:=soma*deltax;Write('integral(',deltax:8:8,') = ',soma:8:8);End. Observe que o programa Riem02.pas faz mais doque al ular uma soma de Riemann, ele ont�em um teste tipode Cau hy e portanto ele al ula v�arias somas de Riemann at�eque atingir um erro estipulado. A ima n�os eliminamos o testede Cau hy do tre ho de programa apresentado.Este tre ho de programa pode ser inserido emRiem02. Vamos hamar este novo programa de Simpson.pas,n�os o testamos om a fun� ~ao f(x) = x2 no intervalo [0; 1℄ omum passo ini ial 0.1 tendo obtido o seguinte resultado:1. usando deriva� ~ao exata e om erro na ondi� ~ao de Cau hyde 0.0001 o programa parou depois de 11 itera� ~oes om oresultado 0.333431 orrespondente ao passo 0.00004883.2. usando deriva� ~ao aproximada, veja df1, e om o mesmo erroanterior, o programa parou de depois de 10 itera� ~oes om oresultado 0.33343099 orreespondente ao passo 0.00009766.3. usando apenas soma de Riemann mas om erro 0.00001na ondi� ~ao de Cau hy, o programa parou depois de 14 it-era� ~oes om o valor de 0.33333941 orrespondente ao passo0.00000610.4. N~ao medimos o tempo de pro essamento gasto nos tres a-sos a ima. Isto pode ser feito usan a fun� ~ao GetTime,veja om Ctrl-F1.

6 CAP�ITULO 1. APROXIMAC� ~AO DE FUNC� ~OES .atrav�es das seguintes ondi� ~oes:1. ai;0 = f(xi)2. ai;1 = f 0(xi)3. Pi(xi+1) = f(xi+1)A �ultima ondi� ~ao serve para al ular a1;2 de modoa garantir a ontinuidade da fun� ~ao polinomial por peda� os.Desta maneira estamos substituindo f por umafun� ~ao polinômial por peda� os, que �e ont��nua, quem no-lo garantes~ao as ondi� ~oes (1) e (3). Na regra do trap�esio estavamos sub-stituindo a fun� ~ao f por uma fun� ~ao linear por peda� os, tamb�em ont��nua. Finalmente vamos al ular exatamente a integraldo poli-nômio em ada sub-intervalo [xi; xi+1℄:ai;0�x + ai;1�x22 + ai;2�x33observando que �x pode ser posto em evidên ia para ser mul-tipli ado ao �nal pela vari�avel soma em que, tradi ionalemte,guardamos o valor de nossas integrais. Dentro do programa n~aopre isaremos de tantos sub-��ndi es a n~ao ser que seja prop�ositodo programa forne er a matriz dos oe� ientes da fun� ~ao poli-nomial por peda� os que aproxima f , neste aso vo ê deve usaruma vari�avel de tipo vetorial para guardar os dados2. Se o �uni oresultado que interessar for o valor da integral, bastam-nos tresvari�aveis a0,a1,a2 para fazer o �al ulo em ada sub-intervalo.Veja o algoritmo abaixo:{Tre ho de programa}program simpson;.....{*** al ulo da derivada aproximadamente ***}Fun tion df1(x,delta:Real):Real;Begindf1 := ( f(x + delta) - f(x) )/delta;2uma alternativa que onsome menos mem�oria, mas aumenta o tempo de pro essa-mento, lan� ar os dados num arquivo em dis o.

1.1. INTEGRAC� ~AO . 5A on lus~ao que se tira �e de que se deve tentar otimizar os programas,sim, porque o tempo de pro essamento deles se reduz. Entretanto se deve ter o uidadode do umentar om oment�arios estas modi� a� ~oes para fa ilitar os trabalhos posterioresde manuten� ~ao dos sistemas. O que se perde �e apenas espa� o em dis o, e isto pode ser ontornado om programas de ompa ta� ~ao de arquivos.1.1.2 A regra de Simpson.A regra de Simpson se onstitue da aproxima� ~aode uma fun� ~ao por um polin�omio do segundo grau. No pr�oximo ap��tulo iremos mais longe do que isto quando aproximarmosfun� ~oes por polinô-mios de grau tres ou quatro.A regra de Simpson melhora a regra do trap�esio in-terpolando om um polinômio do segundo grau e al ulando a in-tegral destes polinômios. Se vo ê se re orda da aproxima� ~ao deuma fun� ~ao feita om um Polinômio de Taylor, os polinômios deTaylor de grau elevado, maior do que primeiro grau, memorizama on avidade da fun� ~ao, portanto a aproximam melhor do queretas, onsequentemente se pre isa de um n�umero menor desub-divis~oes do intervalo para onseguir uma boa aproxima� ~ao. Tem-se assim mais rapidez aliada a uma boa pre is~ao .Observa� ~ao: 2 Polinômio de TaylorO teorema de Taylor diz que se uma fun� ~ao f formuito diferen i�avel, at�e a ordem n, digamos, no ponto a interiora um intervalo, ent~aof(x) � f(a)+f 0(a)(x�a)+ f 00(a)2! (x�a)2+ � � �+ f (n)(a)n! (x�a)nH�a v�arias maneiras de se fazer isto, vamos es olheruma que ter�a sua ontinuidade depois.Se onhe ermos a equa� ~ao de uma fun� ~ao e se elafor deriv�avel, o m�etodo de Taylor nos permite en ontrar algunsdos oe� ientes de um polinômio que aproxime f num pontox = a . Vamos usar em parte o m�etodo de Taylor.No intervalo [xi; xi+1℄ vamos de�nir o polinômioPi(x) = ai;0 + ai;1(x � xi) + ai;2(x � xi)2

4 CAP�ITULO 1. APROXIMAC� ~AO DE FUNC� ~OES .importante feita foi na linhasoma := soma + f(ini io);que foi modi� ada para:soma := soma + ( f(ini io) + f(ini io + passo))/2;observe que substituimos o valor da fun� ~ao no ponto f(ini io)pela sua m�edia aritm�eti a om f(ini io + passo).Observa� ~ao: 1 Otimiza� ~ao dum programa.Um dos pontos r��ti os do pro essamento de dados ainda �e o tempode pro essamento. Isto onduz algumas vezes os programadores a eliminarem opera� ~oesin�uteis dentro de um programa. Uma onsequ^en ia nefasta disto �e que os programasse podem tornar ileg��veis porque a l�ogi a do pro essamento � a invis��vel. O tempo quese ganha om um programa que roda mais r�apido pode depois se perder em propor� ~oesmuito maiores em ompreender este mesmo programa posteriormente seja por quem oes reveu ou por seus olaboradores.Uma forma de ontornar este problema onsiste em in luir mensagensexpli ativas dentro das rotinas indi ando o que elas fazem. Estas mensagens v~ao tornaro �odigo mais longo mas ser~ao ignoradas pelo ompilador e assim n~ao ir~ao aumentar otempo de pro essamento.A prin ipal rotina do programa anterior �e:Beginsoma:=soma+(f(ini io)+f(ini io+passo))/2;ini io:=ini io+passo;WriteLn('S = ',soma*passo:9:4);End;que pode ser otimizada. Observe que nela estamos al ulando a soma quase duas vezes,e ainda dividindo por dois! Apenas o ponto ini ial e o �nal n~ao s~ao dupli ados. Ent~ao onseguiremos mais rapidez se1. olo armos de lado estes dois pontos: ini io e �m,2. somarmos o restante,3. ao �nal a res entarmos ao dobro da soma, os dois pontos que faltaram,4. multipli armos a soma assim obtida pelo valor do passo divido por dois.E onomisaremos assim n divis~oes , n somas. Observe a olo a� ~ao demensagens que indi am onde houve otimiza� ~oes .{** rotina otimizada para al ulo medias **}x := ini io + passo; {** se perde o ponto ini ial **}While x < fim - passo DoBeginsoma:=soma+f(x);x:=x+passo;End;{** nao se al an a o ponto final **}{** pontos que faltaram + dobro da soma ***}soma := (2*soma + f(fim) + f(ini io))*(deltax/2);WriteLn(soma);

1.1. INTEGRAC� ~AO . 3-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

-4.90

-2.23

0.43

3.09

5.75

8.42

11.08

13.74

16.40

19.06

21.73

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Figura 1.1: Interpola� ~ao linear do graf(f)WriteLn('S = ',soma*passo:9:4);End;soma := soma*deltax;ReadLn; O segmento de programa a ima foi tirado e mod-i� ado de Riem02 que se en ontra no dis o. Observe que o pro-grama Riem02 faz testes do tipo Cau hy om somas de Riemann,estes testes foram omitidos no tre ho a ima, tamb�em foram tira-dos alguns omandos que melhoram o Lay-Out do programaa�m de que o �odigo � asse mais urto. A �uni a modi� a� ~ao

2 CAP�ITULO 1. APROXIMAC� ~AO DE FUNC� ~OES .ni� ativa da Hist�oria das Ciên ias, mas a iên ia avan� a e deixa algumas oisasmuito bonitas para traz. Certamente � ar�a para os polinômios trigonom�etri osuma fun� ~ao nobre: a de a ompanhar os ne�o�tos em seus primeiros passos pelaan�alise harmôni a e n~ao harmôni a porque, pelo menos por enquanto, as ondasmais naturais para os omputadores ainda s~ao os senos e os osenos, ... porenquanto.1.1 Integra� ~ao .1.1.1 Integra� ~ao aproximada.Nos livros de C�al ulo Num�eri o se itam dois m�etodosde Integra� ~ao aproximada: regra do trap�esio e regra de Simpson.Ambos ne essitam das somas de Riemann para serem exe uta-dos e os dois s~ao um, a generaliza� ~ao do outro, e de uma ertaforma ambos se enquadram nos on eitos do �ultimo par�agrafodeste ap��tulo, omo veremos a seu tempo.A regra do trap�esio se onstitue de aproximara integral de uma fun� ~ao usando uma interpola� ~ao linear damesma sobre os sub-intervalos duma parti� ~ao . Veja a (�g. 1.1)em que uma fun� ~ao fortemente os ilante se en ontra \aproxi-mada" por interpola� ~ao linear.Como a integral de Riemann de uma fun� ~ao do primeiro grau orresponde �a �area dum trap�esio1, este m�etodo se resume ausarem-se as m�edias aritm�eti as entref(x); f(x +�x)numa soma de Riemann. O seguinte tre ho de programa fazisto:soma:=0;While ini io < fim DoBeginsoma:=soma+(f(ini io)+f(ini io+passo))/2;ini io:=ini io+passo;1 laro, um retângulo �e tipo de trap�esio...

Cap��tulo 1Aproxima� ~ao de fun� ~oes .Introdu� ~ao :A de�ni� ~ao matem�ati a de integra� ~ao foi feita om \somas deRiemann" e mesmo a maior parte das generaliza� ~oes que se �zeram do m�etodode Riemann usam somas semelhantes a esta para de�nir o on eito. Mas quandose quer al ular aproximadamente uma integral e atingir uma boa pre is~ao tudoisto submetido a restri� ~ao do tempo de pro essamento, �e pre iso bus ar um n��velmaior de so�sti a� ~ao.H�a dois m�etodos l�assi os de integra� ~ao aproximada: regra dotrap�esio e regra de Simpson e o nosso objetivo �e de olo �a-los dentro do ontextomais amplo de aproxima� ~ao de fun� ~oes. Veremos na parte �nal do ap��tulo queestas duas regras s~ao asos parti ulares de interpola� ~ao polinomial, que ser�a anossa ferramenta de trabalho prin ipal no resto do livro, em espe ial no �ultimo ap��tulo. A parte matem�ati a deste ap��tulo se vai voltar para os m�etodosde aproxima� ~ao de fun� ~oes . Introduziremos aqui uma formula� ~ao fra a de Splinesque hamamos de \quasi-Splines" e apresentaremos uma de�ni� ~ao de Splinesjunto om uma interpreta� ~ao \geometri a" dos mesmos que lhes justi� a o nome.Splines ser~ao tratados algoritmi amente no ap��tulo 3.Terminaremos este ap��tulo om uma introdu� ~ao a um assuntohist�ori o: aproxima� ~ao de fun� ~oes por polinômios trigonom�etri os. Ser�a apenasum registro, n~ao queriamos deixar de men ionar esta vertente que orre s�erio ris ode se tornar assunto de museu, apesar de sua importân ia ient�� a e te nol�ogi a,mas uma nova t�e ni a, que lhe robou o m�etodo, as wavelets, j�a lhe supera as van-tagens em diversas apli a� ~oes. Observe que ser assunto de museu n~ao representauma man ha na reputa� ~ao, a n~ao ser em paises em que o desenvolvimento ultural ai na faixa dos sup�er uos. Nos museus se en ontra a Hist�oria da Humanidade.Os polinômios trigonom�etri os, ou as s�eries de senos e osenos �zeram parte sig-1

xii apli ar na dis retiza� ~ao de operadores diferen iais a o-e� ientes onstantes, aso univariado: equa� ~oes difer-en iais ordin�arias lineares.Os programas em Pas al foram feitos e testados om TurboPas al da Borland, e os programas em Maple foramtestados e rodados no Departamento de Engenharia Qu��mi ada UEM. Todos os programas podem ser usados e modi� adoslivremente, espero apenas que seja feita a devida ita� ~ao .Este livro foi omposto om o pro essador de tex-tos TEX produzido por Donald Knuth, junto om a implementa� ~aopara mi ros EmTEX de Eberhard Mattes, que intermedia TEXvia LaTEX. LaTEX foi produzido por Leslie Lamport. Foi us-ada tamb�em a \ as a" TEXtelmextel que geren ia os m�odulosdo EmTEX, produzido por Andreas Krebs. Os gr�a� os foramtraduzidos para TEX om aux��lio do programa bm2font de Heinri h-Heine-Universit�at D�usseldorf Universit�atsre henzentrum Fried-helm Sowa. Todos estes programas s~ao de dom��nio p�ubli o epodem ser obtidos em algum dos CTAN, Comprehensive TeXAr hive NetWork, que se en ontram em diversos n�os, ver porexemplo em\ftp.dante.de /pub/tex/systems/msdos/emtex" \ftp.dante.de/pub/tex/systems/unix/Latex" \ftp.debian /pub"Sou grato aos autores dos programas.Tar isio Pra iano Pereirae-mail tppereirsuper.furg.brSobral, 5 de agosto de 2001.

xigral que deseje motivar os seus alunos usando omputa� ~ao omo um meio de on retizar os on eitos do C�al ulo.Este �ultimo ponto �e para mim de parti ular im-portân ia, estou onven ido de que o uso de omputa� ~ao noensino de Matem�ati a enrique e fortemente a experiên iado aluno por que permite introduzir uma dinâmi a que gize quadro negro n~ao onseguem mais gerar ante uma novamentalidade gr�a� a que est�a presente em n�os todos. Tome-se omo exemplo o aso dos polinômios trigonom�etri os quepodem ser en ontrados aqui no �nal do ter eiro ap��tulo,�e interessante observar o interesse que se pode sus itar nosalunos pelo simples fato de ver a aproxima� ~ao que eles pro-duzem para uma fun� ~ao e poder dis utir om eles, frenteao video, o tipo de aproxima� ~ao que se obtem do pontode vista da energia do fenômeno aproximado ontra umaaproxima� ~ao ponto a ponto.A segunda parte poderia ser ara terizada omo um urso avan� adode C�al ulo Num�eri o, voltado para teoria da Aproxima� ~ao. 1. No ap��tulo 3 ome� o uma introdu� ~ao sobre teoria deaproxima� ~ao de fun� ~oes . O primeiro passo se voltapara integra� ~ao num�eri a aprofundando o uso de So-mas de Riemann feito no ap��tulo 1. Aqui introduzoquasi-Splines que �e uma forma fra a de aproxima� ~aopolinomial. Splines s~ao tratados no ap��tulo 5. Ter-mino om uma pequena apresenta� ~ao de polinômiostrigonom�etri os.2. O ap��tulo 4 �e uma \�Algebra Linear omputa ional"dirigida para solu� ~ao de sistemas de equa� ~oes .3. O ap��tulo 5 �e se dedi a a solu� ~oes num�eri as de equa� ~oesdife-ren iais. Nele de�no rigorosamente Splines que us-arei para de�nir projetores e om eles resolver aproxi-madamente equa� ~oes diferen iais peri�odi as. Terminoo ap��tulo om regulariza� ~ao por onvolu� ~ao que se vai

x Nesta primeira parte o objetivo prin ipal �e trans-mitir ao leitor os rudimentos de Pas al e quebrar as di� ul-dades ini iais om o aprendizado da linguagem. Espero queposteriormente a esta quebra de gelo, o leitor se en ontreem ondi� ~oes de prosseguir o seu aprendizado de Pas alsozinho. N~ao seria muito real��sti o supor que os alunossaibam Pas al, emmuitos asos at�e mesmo supor que saibamprogramar �e irreal. Mas a ho que �e pre iso for� ar a barra,o venho fazendo om os meus alunos de C�al ulo Num�eri o, om resultados positivos: ao �nal do segundo mes de aulaa maioria deles j�a sabe fazer programas. Os programas res em de n��vel de modo que, se o aluno se empenhar ementend^e-los, � ar�a gradualmente no n��vel dos mesmos. Aolongo do primeiro ap��tulo mantivemos a preo upa� ~ao deexpli ar detalhadamente os programas, mas aos pou os va-mos deixando que o leitor ome e a voar sozinho...obviamente,na ompanhia de um bom livro sobre Pas al e om a ertezade que sempre en ontrar�a a sua volta algum "ha ker", quea menos de alguma emp�a�a t��pi a, poder�a ser-lhe de muitoajuda. Asso io esta introdu� ~ao ao Pas al ao estudoda parte mais elementar de C�al ulo Num�eri o que indenti-� o omo a nume-riza� ~ao das t�e ni as do C�al ulo: integral,derivada, m�aximos e m��nimos, aso univariado e multivari-ado. Todos estes problemas se podem resolver om umat�e ni a b�asi a de programa� ~ao , varredura, mais o a r�es imode alguma t�e ni as matem�ati as auxiliares.Assim esta primeira parte pode tanto represen-tar material para um urso de introdu� ~ao �a i^en ia da omputa� ~ao para estudantes das �areas de exatas ou te -nol�ogi as omo pode representar um urso mais elementarde C�al ulo N�umeri o, ou ainda, espero, material auxiliarpara ser usado pelo professor de C�al ulo Diferen ial e Inte-

ixaprendido os rudimentos de programa� ~ao em Pas al, passarpara Maple, seria sem d�uvida uma saida interessante.Na segunda parte deste livro n~ao estarei usandonenhuma linguagem de programa� ~ao expli itamente. Fareimen� ~ao a programas em Pas al ou Maple onforme for mais onveniente.Este livro tem um dis o ex��vel que o a ompanha.N~ao se esque� a de fazer-lhe um ba kup logo.Vo abul�ario: 1 Ba kup. Ba kup signi� a �opia de reserva.Os dis o de omputador ainda s~ao muito fr�ageis e podem se dan-i� ar om relativa fa ilidade at�e mesmo por quest~oes lim�ati as.Devido a isto �e muito importante ter �opias de reserva de todomaterial que se tenha em dis os e naturalmente guardar tais �opias em lo ais diferentes livres de humidade e de alta temper-atura, e afastadas de ampos magn�eti os.No dis o vo ^e poder�a en ontrar todos os progra-mas que se en ontram listados no livro e at�e algumas variantesdos mesmos. Todos os programas foram testados v�arias vezesin lusive por alguns alunos. Mas ainda podem ter � ado erros,pelo que me des ulpo.O livro se divide em duas partes e de a ordo oma de lara� ~ao de prin ��pios feita a ima.A primeira parte, de desenvolvimento te nol�ogi o b�asi o on-tendo dois ap��tulos:1. O primeiro ap��tulo trata de problemas elementares deapro-xima� ~ao , basi amente faz aquilo que deveria tersido feito num urso moderno de C�al ulo I.2. O segundo ap��tulo j�a representa um v^oo um pou omais alto, trata da solu� ~ao de equa� ~oes da forma f(x) =0 em que f �e uma fun� ~ao \qualquer".

viii ome� o para nela vasar os algoritmos usando o materialaqui apresentado omo exemplos.2. Desenvolvimento ient�� o avan� ado: Computa� ~ao Alg�ebri a.Um outro objetivo, num erto sentido ontra-dit�orio om o anterior, dentro de um livro omo este, �eo desenvolvimento te nol�ogi o avan� ado e de ponta. Comuma linguagem omo Pas al, em geral se usa C, pode ser onstruida uma linguagem apropriada para omputa� ~ao alg�ebri a.Mas de imediato podem os nossos alunos usar uma lin-guagem j�a feita para Computa� ~ao Alg�ebri a: Maple, Math-emati a, MatLab, Derive s~ao algumas das op� ~oes . Deriveem parti ular n~ao �e uma linguagem de programa� ~ao , �e umpoderoso pa ote de Computa� ~ao Alg�ebri a feito em LISP.A ontradi� ~ao se en ontra em que um usu�ariode uma linguagem de omputa� ~ao alg�ebri a nun a ser�aum onstrutor de uma tal linguagem. Ter�a te nologia, masn~ao a vai dominar.N~ao sei resolver esta ontradi� ~ao , mas a red-ito poder ontribuir n'alguma medida para o nosso desen-volvimento se instrumentar os alunos om uma linguagem omo Pas al que est�a a um pequeno passo de C. Mas querotamb�em abrir o aminho para o uso imediato de uma te -nologia avan� ada.Uma ex elente alternativa para Pas al seria Maple.Maple �e um pa ote de Computa� ~ao Alg�ebri a desenvolvidopor professores da Universidade de Waterloo, Canada. Junto om ser um \tutor para matem�ati a ", por que permiteque vo ^e aprenda matem�ati a pelo simples fato de us�a-lo,Maple ont�em uma linguagem de programa� ~ao que reune ara ter��sti as do Pas al junto om om omandos de Com-puta� ~ao Alg�ebri a. Em Maple se pode de�nir uma fun� ~aoe em seguida trabalhar om a derivada da mesma, in lu-sive om derivadas su essivas, por exemplo. Depois de ter

viidentro dos ��r ulos de pesquisas universit�arias, embora hojej�a venha se tornando uma linguagem quase popular, pelomenos um dos seus dialetos: S heme.Com Pas al veiu a ompreens~ao de estrutura dainfor-ma� ~ao . Os dados agora se lassi� am, os problemaspassam a ser resolvidos om os olhos voltados para o tipode objetos em que eles se apli am. Isto abriu o ampo daabstra� ~ao para a arte de programar omputadores: agoran~ao fazemos mais programas apenas para resolver um prob-lema espe �� o que temos objetivamente pela frente. Mesmoquando o �zermos o nosso pensamento logo se volta parauma generaliza� ~ao do programa para que ele possa ser apli- ado em uma lasse de problemas semelhantes. Isto �e on-sequên ia direta da estrutura� ~ao dos dados e dos progra-mas, (programa� ~ao orientada a objeto �e o fato mais re enteneste dire� ~ao ).Se por um lado Pas al �e uma ex elente linguagemdid�a-ti a por onduzir o programador a obter h�abitos regu-lares de es-trutura� ~ao do seu trabalho, por outro lado trazalgumas ompli a-� ~oes que o leitor terminar�a por ver emalgum momento. A forte estrutura que têm os pr�opriosprogramas torna prati amente imposs��vel que um programamodi�que outro programa que �e um ponto have da In-teligên ia Arti� ial. Pas al �e o que se hama de uma lin-guagem fortemente tipada. Fi a isto dito para alert�a-lo,possivelmente vo ê dever�a es olher uma outra linguagemposteriormente, ou possivelmente �que om Pas al para sem-pre omo faz muita gente.Uso o ompilador Pas al da Borland, TurboPas- al, por que estou onven ido de sua ex elên ia entre as im-plementa� ~oes de Pas al que onhe� o. N~ao tenho d�uvidasem sugerir-lhe o uso. Assim, estarei usando TurboPas alem vez de Pas al. Mas o leitor �e vivamente in entivadoa es olher sua pr�opria linguagem de programa� ~ao desde o

visivelmente o uso de m�etodos omputa ionais na dis iplina. Oobjetivo �e duplo:1. Desenvolvimento te nol�ogi o b�asi o.Um pa��s n~ao se desenvolve se n~ao possuir pesquisab�asi a in lusive te nol�ogi a. Nossos estudantes para istotem que ser expostos �as ferramentas b�asi as para produzirpa otes omputa ionais e algor��tmos.Es olhi Pas al omo linguagem para representaros algoritmos. Isto n~ao signi� a, de minha parte, nenhumaindi a� ~ao de que Pas al �e a melhor linguagem para pro es-samento num�eri o. Entretanto n~ao h�a d�uvida que Pas- al �e a melhor linguagem de apresenta� ~ao did�ati a paraalgor��tmos, ela �e usada frequentemente omo uma pseudolinguagem de programa� ~ao . Esta maneira de usar Pas al hega a ter aspe tos rid�� ulos; usa-se Pas al em português olo ando-se o estudante sob duas falsas vis~oes : (1) quepodem adiar inde�nidamente o aprendizado do inglês, (2)lhes ensinam a es rever algoritmos numa linguagem in�utilpara apli ar em omputadores que a�nal seria o objetivo�ultimo dos mesmos.Pas al �e uma l��ngua que foi riada pelo Matem�ati oholandês, N. Wirth, om objetivos did�ati os. Pre isamenteo inverso de aprender a usar um programa que fun ione, oobjetivo �e aprender a fazer programas que fun ionem. Pas- al absorveu o que se en ontrava no ar no in�� io da d�e adade 70, num momento de amadure imento das linguagensde programa� ~ao : se ompreendia que as tarefas na ver-dade n~ao eram atômi as, elas se dividiam em peda� os, oublo os, que podem muitas vezes ter existên ia pr�opria. Foiassim que surgiram as linguagens modulares de que algunsexemplos s~ao Pas al, C, LISP entre outras, possivelmenteestas as mais simples. LISP �e uma linguagem mais velhaque Pas al, mas foi riada om uma �loso�a bem diferentedas suas ontemporâneas tendo � ado om seu uso restrito

vINTRODUC� ~AO .O material ontido neste livro foi testado em três ursos de C�al ulo Num�eri o na Universidade Estadual de Mar-ing�a, e mais re entemente, nos ursos de Engenharia da Univer-sidade Federal de Rio Grande. Gostaria de prestar minha sin erahomenagem aos alunos que parti iparam desta experiên ia omuma ons iên ia lara de parti ipa� ~ao na mesma e que, om suasperguntas r��ti as, muitas vezes me nortearam na determina� ~aodo melhor aminho. A primeira vers~ao do livro tinha o obje-tivo extremamente modesto de representar uma introdu� ~ao aoPas al para pessoas envolvidas om Matem�ati a, somente aospou os se solidi� ou a id�eia de es rever um urso de C�al uloNum�eri o. An�alise num�eri a vem sendo objeto de muita dis- uss~ao assim omo tamb�em a dis iplina mais elementar, o C�al uloNum�eri o, veja-se o artigo de Peter Linz, [12℄, a respeito. Omito de que se poderiam resolver problemas num�eri os ex lu-sivamente om omputa� ~ao j�a se en ontra de�ninhando. Nomomento �e lara a id�eia de que uma \par eria" do homem omo omputador �e a melhor sa��da. Dis ute-se a propriedade dedis iplinas que se originaram numa �epo a em que o uso de om-puta� ~ao mal podia delinear o avan� o atual que veio desembo- ar, entre outras oisas, em Computa� ~ao Alg�ebri a om a qual �epossivel resolver exatamente muitos dos problemas que a An�aliseNum�eri a s�o resolve aproximadamente.Mas �e pre iso tamb�em ombater o pre on eito on-tra \aproxima� ~ao" em que valores exatos, na maioria das vezesinexistentes, s~ao olo ados omo um paradigma de perfei� ~ao em ontraposi� ~ao om aproxima� ~oes \imperfeitas" mas inevit�aveis.Queremos pensar na aproxima� ~ao omo a �uni asolu� ~ao poss��vel e ver a solu� ~oes exatas omo um a idente. Ou,uma outra forma de ver as oisas, onsiste em ver a solu� ~ao omoo resultado de uma simula� ~ao onstruida a partir de um granden�umero de experimentos que foram testando e melhorando aship�oteses. Neste livro assumi o objetivo de aumentar sen-

iv 3.5.1 Parti� ~ao da unidade. . . . . . . . . . . . . 1413.5.2 Projetores de�nidos om Parti� ~oes da Unidade.1483.5.3 Splines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1513.5.4 Solu� ~ao de y0 = g om 2-Splines. . . . . . . 1543.5.5 Solu ao peri�odi a de y0 = g(t; y). . . . . . 1553.6 Regulariza� ~ao por onvolu� ~ao . . . . . . . . . . . 1563.7 Solu� ~ao de equa� ~oes lineares. . . . . . . . . . . . . 1723.7.1 O m�etodo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1723.7.2 As demonstra� ~oes . . . . . . . . . . . . . . 177Bibliogra�a ....................................193�Indi e remissivo alfab�eti o.........196

iii1 Aproxima� ~ao de fun� ~oes . 11.1 Integra� ~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.1 Integra� ~ao aproximada. . . . . . . . . . . . 21.1.2 A regra de Simpson. . . . . . . . . . . . . 51.2 Aproxima� ~ao polinomial de fun� ~oes . . . . . . . . 91.2.1 Aproxima� ~ao linear por peda� os. . . . . . 91.2.2 Aproxima� ~ao polinomial por peda� os. . . . 131.2.3 Splines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.2.4 Interpola� ~ao polinomial l�assi a . . . . . . 381.3 Polinômios Trigonom�etri os. . . . . . . . . . . . . 402 �Algebra Linear Computa ional. 572.1 A �algebra das matrizes. . . . . . . . . . . . . . . . 572.2 Transforma� ~oes Lineares. . . . . . . . . . . . . . . 712.3 Sistemas de equa� ~oes lineares. . . . . . . . . . . . 762.4 Independên ia linear. . . . . . . . . . . . . . . . . 802.5 Simpli� a� ~ao dos sistemas de equa� ~oes. . . . . . . 872.5.1 Multipli a� ~ao por uma matriz n~ao destru-tiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.5.2 Dependên ia linear das linhas. . . . . . . . 902.5.3 Classes de matrizes. . . . . . . . . . . . . . 912.6 Sistemas lineares: triangulari� ~ao de matrizes. . . . 952.6.1 O programa Sistema. . . . . . . . . . . . . 1042.7 O m�etodo de Gauss-Jordan. . . . . . . . . . . . . 1083 Equa� ~oes Diferen iais Ordin�arias. 1173.1 Equa� ~oes Diferen iais. . . . . . . . . . . . . . . . 1183.1.1 Exemplos e nota� ~ao. . . . . . . . . . . . . 1183.1.2 A solu� ~ao de uma equa� ~ao diferen ial. . . 1193.2 M�etodos passo a passo. . . . . . . . . . . . . . . . 1243.2.1 O m�etodo de Euler. . . . . . . . . . . . . 1253.2.2 M�etodos de Runge-Kutta. . . . . . . . . . 1283.2.3 Pre is~ao da solu� ~ao . . . . . . . . . . . . . 1323.3 O m�etodo das Is�o linas. . . . . . . . . . . . . . . 1343.4 Um m�etodo iterativo. . . . . . . . . . . . . . . . . 1353.5 Interpola� ~ao polinomial. . . . . . . . . . . . . . . 141

Copyleft Tar isio Pra iano PereiraEste livro pode ser livremente opiado para usoindividual ou n~ao omer ial, desde que o seja em todo, de apaa apa, e que esta des ri� ~ao do opyleft seja tamb�em mantida.N~ao fazer assim representa um rime ontra os direitos do autor.Para distribuir omer ialmente o livro o autor deveser onta tado, no endere� o tar isio�e-math.ams.orgPereira, Tar isio Pra ianoP496 C�al ulo Num�eri o Computa ional:Teoria da Aproxima� ~aoLaborat�orio de Matem�ati a Computa ional - LMCSobral: UVA, 2001214.pBibliogra�aISBN:85-87906-09-71 - Splines - 2 - Aproxima� ~ao de fun� ~oes3 - C�al ulo Num�eri o Computa ional.I. T��tulo CDD 515.1

Tar isio Pra iano PereiraPhD in Mathemati sC�ALCULO NUM�ERICOCOMPUTACIONALTeoria da Aproxima� ~ao

Publi a� ~oes Eletr^oni asdoLaborat�orio de Matem�ati a Computa ionalUVASobral - Ce

C�ALCULO NUM�ERICOCOMPUTACIONAL.Teoria da Aproxima� ~ao .Tar isio Pra iano PereiraLaborat�orio de Matem�ati a Computa ionalUniversidade Estadual Vale do A ara�uSobral, 5 de agosto de 2001tar isio�e-math.ams.org - fone 55 88 677 42 46

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