Universidade Estadual de CampinasFaculdade de Engenharia Mecânica

Pós Graduação em Engenharia Mecânica

IM458 - Tópicos em Métodos Numéricos: Métodos Numéricos em Mecânica dos Fluidos

Alfredo Hugo Valença Morillo

Modelo físico de um salto de Bungee Jumpingcom solução utilizando método de Rounge

Kutta.

CAMPINAS2015

SUMÁRIO

SUMÁRIO

1 Introdução 1

2 Hipóteses e Modelo 22.1 Queda Livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Movimento Restringido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Rounge Kutta 63.1 Rounge Kutta 4ª Ordem para 2 Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2 Rounge Kutta 4ª Ordem para 3 Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4 Resultados 8

5 Conclusão 12

6 Referências 13

1 Introdução

A prática do Bungee Jumping virou comum nos últimos anos, quando A. J. Hackett, umamante por esportes radicais resolveu saltar da Torre Eiffel preso pelo tornozelo à uma corda elás-tica em 1987.

O próprio Hackett desenvolveu a corda para os saltos, mas muito antes disso, já existia aprática deste esporte. Já em 1954, dois jornalistas da revista National Geographic, foram até a ilhade Vanuatu, local onde o esporte era praticado, como uma espécia de ritual local. Nesta ilha, ascordas eram de cipós (HACKETT, 2015).

O Bungee Jumping, que iniciou como um esporte nada segundo, com tornozelos amarradosem cipós, agora é um esporte que preza pela vida do atleta. Para isto, existem modelos para descre-ver o comportamento do elástico sob um salto a enormes alturas.

Este trabalho possui como principal objetivo desenvolver um modelo que descreva a trajetóriae velocidade do saltador, e para solucionar a equação diferencial que descreve o problema, seráutilizado o método de Runge Kutta.

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2 Hipóteses e Modelo

Para desenvolver o modelo, foram assumidas algumas hipóteses, as mais importantes foram:

∘ Modelo em 1 dimensão, o saltador irá percorrer uma trajetória totalmente vertical, foi des-prezado efeito de ventos laterais, e foi considerado a a pessoa cairá verticalmente ao iniciaro salto.

∘ Foi considerado que a corda elástica possui um efeito de amortecimento viscoso, fazendouma aproximação do coeficiente de amortecimento. Se este efeito fosse desprezado, o salta-dor poderia ficar minutos em movimentos verticais.

∘ Desprezou-se o efeito da massa da corda.

∘ Considerado densidade do ar e do corpo humano como constantes.

∘ Utilizado um modelo já existente para aproximação da área de contato entre o ar e o corpohumano.

∘ O coeficiente de arrasto foi considerado constante para todas as velocidades.

Primeiro passado para o desenvolvimento deste trabalho foi criar uma equação diferencialpara descrever o problema. O ponto de partida foi a segunda equação de Newton, que diz:

∑𝐹 = 𝑚𝑐

𝑑𝑦2

𝑑2𝑡(2.1)

sendo 𝐹 as forças externas, 𝑚𝑐 a massa do corpo (pessoa que está saltando), 𝑦 a posição da pessoano sistema de coordenadas e 𝑡 o tempo.

Para formulação da equação diferencial, foi considerado dois momentos. O primeiro seriadurante a queda livre, ou seja, antes da posição do saltador chegar ao comprimento da corda, nestemomento a corda não estará sob tensão, o corpo estará sob queda livre. No segundo momento,existirá efeito da corda, sendo assim, será acrescentado termos ao somatório de forças, neste casoo corpo estará sob queda com movimento restringido.

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2.1 Queda Livre

Em um sistema de 1 dimensão, sendo ela a direção vertical. Foi considerado os valores posi-tivos os vetores com direção para cima. Sendo assim, o somatório de foças externas fica:∑

𝐹 = −𝐹𝑝 + 𝐹𝑣 + 𝐹𝑒 + 𝐹𝑑 (2.2)

sendo 𝐹𝑝 a força peso que agirá sobre a pessoa, 𝐹𝑣 a força virtual que ocorre devido a separação dacamada limite no fluido (ar), 𝐹𝑒 a força de empuxo sobre o corpo e 𝐹𝑑 a força de arrasto. Os sinaisadotados para descrever a Eq 2.2 foram adotados para descrever a direção do vetor das forças emrelação a direção da coordenada adotada.

Estas forças podem ser descritas da seguinte forma:

𝐹𝑝 = 𝑚𝑐𝑔 𝐹𝑒 = 𝑚𝑓𝑔

𝐹𝑣 =12𝑚𝑓

𝑑𝑦2

𝑑2𝑡𝐹𝑑 =

12𝑑𝑦𝑑𝑡|𝑑𝑦𝑑𝑡|𝐴𝑐𝜌𝑓𝐶𝑑

(2.3)

onde 𝑚𝑐 é a massa do corpo, 𝑚𝑓 a massa deslocada do fluido, 𝑔 é a aceleração da gravidade, 𝐴𝑐

seria uma aproximação da área superficial de um corpo humano, 𝜌𝑓 é a densidade do fluido e 𝐶𝑑 ocoeficiente de arrasto.

Ao analisar-se as equações descritas na Eq. 2.3, encontra-se duas variáveis ainda desconhe-cidas, que seriam 𝐴𝑐 e 𝑚𝑓 , a segui consta as aproximações adotadas para estes valores.

𝑚𝑓 = 𝜌𝑓𝑚𝑐

𝜌𝑐𝐴𝑐 =

𝑚𝑐ℎ𝑐

3600(2.4)

sendo 𝜌𝑐 a densidade aproximada de uma pessoa e ℎ𝑐 a altura do saltador.

Este modelo da área superficial do ser humano foi retirado do artigo online escrito por Silva(2015).

Ao unir as equações descritas acima, deve-se ter cuidado no sinal do termo. A Eq. 2.2 nos dizque a força peso possui sinal contrário as demais 3 forças. Porém, deve-se observar que a gravidade

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e a posição 𝑦 são vetores que durante queda livre, sempre possuirão valores negativos, pois estãoem direção oposta à coordenada adotada. Unindo todas as equações conclui-se que durante a quedalivre, a equação diferencial que descreve o problema é:

𝑓1

(𝑑𝑦

𝑑𝑡

)=

𝑑𝑦2

𝑑2𝑡=

1

𝑚𝑐 +𝑚𝑐𝜌𝑓2𝜌𝑐

[(−𝑚𝑐 +𝑚𝑐

𝜌𝑓2𝜌𝑐

)𝑔 +

1

2

𝑑𝑦

𝑑𝑡

𝑑𝑦

𝑑𝑡

𝑚𝑐ℎ𝑐

3600𝜌𝑓𝐶𝑑

](2.5)

Tem-se na Eq. 2.5 uma funçao que depende apenas da velocidade(𝑑𝑦𝑑𝑡

)e que descreve com-

portamento do corpo em queda livre.

2.2 Movimento Restringido

Para o segundo momento, ele terá início ao ser aplicado uma tensão sobre a corda. Do conhe-cimento clássico de vibrações amortecidas, tem-se a seguinte expressão:

𝑚𝑐𝑑𝑦2

𝑑2𝑡= 𝑐

𝑑𝑦

𝑑𝑡+ 𝑘𝑦 = 0 (2.6)

onde 𝑐 é um coeficiente de amortecimento e 𝑘 a rigidez elástica.

Da Eq. 2.6 aproveita-se estes dois termos, e soma-se eles à Eq. 2.5. Isto ocorre pois o soma-tório de forças externas da Eq. 2.2 ganha duas novas ações, provenientes da corda. Concluindo quea função que descreve fica:

𝑓2

(𝑑𝑦

𝑑𝑡,𝑦

)=

𝑑𝑦2

𝑑2𝑡=

1

𝑚𝑐 +𝑚𝑐𝜌𝑓2𝜌𝑐

[(−𝑚𝑐 +𝑚𝑐

𝜌𝑓2𝜌𝑐

)𝑔 +

1

2

𝑑𝑦

𝑑𝑡

𝑑𝑦

𝑑𝑡

𝑚𝑐ℎ𝑐

3600𝜌𝑓𝐶𝑑 + 𝑐

𝑑𝑦

𝑑𝑡+ 𝑘(𝑦 + 𝐿)

](2.7)

a 𝑓2, diferente da 𝑓1 possui duas variáveis indefinidas. O termo 𝐿 foi adicionado à equação devidoà vibração ocorrer em torno do comprimento da corda.

Para utilização do método de Rounge Kutta é necessário definir uma terceira função, para o

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caso de movimento restringido, esta função é:

𝑓3 =𝑑𝑦

𝑑𝑡(2.8)

Será apresentado a seguir o método de Rounge Kutta.

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3 Rounge Kutta

Para solucionar o modelo apresentado no capítulo 2, será utilizado o método numérico deRounge Kutta. Este método discretiza a função em passos de tempo (ℎ), repetindo a até um instantepré determinado.

Para o modelo proposto, serão necessários duas formas distintas de resolver por RoungeKutta, já que a primeira função depende de apenas uma variável e a segunda função depende deduas variáveis.

3.1 Rounge Kutta 4ª Ordem para 2 Variáveis

Todas as equações foram adaptadas da apostila escrita por Ismail e Moura (2012).

Segue as equações necessárias para a solução através do método de Rounge Kutta de 4ªordem:

𝑣𝑛+1 = 𝑣𝑛 +ℎ6(𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4)

𝑡𝑛+1 = 𝑡𝑛 + ℎ(3.1)

os índices que acompanham as variáveis 𝑣 e 𝑡 representam cada instante do passo. de início elessão pré determinados, dependendo da condição inicial. Para o caso do Bungee Jumping, a condiçãode contorno é que: 𝑣(𝑡) → 𝑣(0) = 0. sendo assim 𝑣1 = 0 e 𝑡1 = 0.

Seguem abaixo, o que realmente seria a equação de Rounge Kutta, as constantes necessáriaspara efetuar Eq. 3.1.

𝑘1 = 𝑓1 (𝑡𝑛, 𝑣𝑛)

𝑘2 = 𝑓1(𝑡𝑛 +

ℎ2, 𝑣𝑛 +

ℎ2𝑘1)

𝑘3 = 𝑓1(𝑡𝑛 +

ℎ2, 𝑣𝑛 +

ℎ2𝑘2)

𝑘4 = 𝑓1 (𝑡𝑛 + ℎ, 𝑣𝑛 + ℎ𝑘3)

(3.2)

Observando a Eq. 2.5, percebe-se que 𝑓1 depende apenas da velocidade (𝑣), que por definição,

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é a derivada da posição no tempo(𝑑𝑦𝑑𝑡

). Por este motivo, ao utilizar a Eq. 3.2 deve-se apenas ignorar

a parte das equações que dependam de 𝑡.

3.2 Rounge Kutta 4ª Ordem para 3 Variáveis

Estas equações, como no caso anterior foram adaptadas da apostila de Ismail e Moura (2012).

Neste caso, a posição depende da velocidade e do tempo, então a condição inicial ficaria daseguinte forma: 𝑦(𝑣,𝑡) → 𝑦(0,0) = 0, com estas informações, já se torna possível utilizar a soluçãode Rounge Kutta.

𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 +ℎ6(𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4)

𝑣𝑛+1 = 𝑣𝑛 +ℎ6(𝑙1 + 2𝑙2 + 2𝑙3 + 𝑙4)

𝑡𝑛+1 = 𝑡𝑛 + ℎ

(3.3)

As constantes de Rounge Kutta ficam da seguinte forma:

𝑘1 = 𝑓3 (𝑣𝑛)

𝑙1 = 𝑓2 (𝑦𝑛, 𝑣𝑛)

𝑘2 = 𝑓3(𝑣𝑛 +

ℎ2𝑙1)

𝑙2 = 𝑓2(𝑦𝑛 +

ℎ2𝑘1, 𝑣𝑛 +

ℎ2𝑙1)

𝑘3 = 𝑓3(𝑣𝑛 +

ℎ2𝑙2)

𝑙3 = 𝑓2(𝑦𝑛 +

ℎ2𝑘2, 𝑣𝑛 +

ℎ2𝑙2)

𝑘4 = 𝑓3 (𝑣𝑛 + ℎ𝑙3)

𝑙4 = 𝑓2 (𝑦𝑛 + ℎ𝑘3, 𝑣𝑛 + ℎ𝑙3)

(3.4)

Com estas equações foi possível solucionar o modelo desenvolvido. Segue no próximo capí-tulo os resultados.

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4 Resultados

Utilizando o Software Matlab, foi desenvolvido um programa para solucionar o modelo apre-sentado no capítulo 2, utilizando o método do capítulo 3.

Em primeiro momento foi definido as diversas variáveis do problema. Segue na tabela abaixoos valores.

Tabela 4.1: Definição das variáveis utilizadas para obtenção dos resultados.

Variável Valor Unidade𝑚𝑐 70 kg𝜌𝑐 1010 kg/m3

𝜌𝑓 1,204 kg/m3

𝑔 -9,81 m/s2

ℎ𝑐 1,75 m𝐶𝑑 0,5 -𝐿 15 m𝑐 12,78 N.s/m𝑘 300 N/m

Observa-se na Tab. 4.1 que todas as unidades se apresentam no sistema internacional.

Para verificar se modelo de queda livre estava condizente, inicialmente foi testado ele semlimitá-lo pelo comprimento da corda, procurando determinar qual seria a velocidade quase cons-tante que o corpo cairia depois de certo tempo. Consta na Fig. 4.1 o resultado obtido.

Na Fig. 4.1 conclui-se que aconteceu o que era previsto, após um determinado instante detempo, neste caso, 80 s, a velocidade tendeu a uma quase constante. O valor apresenta-se negativopois o vetor velocidade está em direção oposta à consideração da coordenada. O valor de aproxi-madamente 250 km/h é condizente com a velocidade máxima que corpo humano alcança em quedalivre. Segundo a revista Mundo Estranho da editora Abril, a velocidade máxima de uma pessoa emqueda livre é de aproximadamente 245 km/h (MUNDO ESTRANHO, 2015)

Após esta verificação, foi limitado que a solução de Rounge Kutta, no primeiro caso, para quefosse interrompido quando 𝑦𝑛 alcançasse comprimento da corda (−𝐿), negativo pois os valores de𝑦 sempre serão negativos neste problema.

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Figura 4.1: Gráfico da velocidade em função do tempo de um pessoa caindo em queda livre.

O equação que descreve a posição para queda livre, seria a integração dupla no tempo da 𝑓1,como descrito abaixo. ∫ 𝑡

0

∫𝑓1.𝑑𝑡.𝑑𝑡 (4.1)

Porém, para resolver esta integral foi utilizado o método trapezoidal disponibilizado peloMatLab, onde foi integrado a velocidade em relação ao tempo. Esta integração foi realizada a cadapasso de tempo.

Após 𝑦 alcançar módulo equivalente ao comprimento da corda, o modelo passaria para asegunda parte. A solução seria a de movimento restringido, utilizando Rounge Kutta de 3 variáveis.

Seguem nas Figs 4.2 e 4.3 os resultados obtidos.

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Figura 4.2: Gráfico da posição em função do tempo em um salto de Bungee Jumping.

Figura 4.3: Gráfico da velocidade em função do tempo em um salto de Bungee Jumping.

Na Fig. 4.2 é possível perceber que 60s são suficientes para o saltador parar no espaço, queseria em 15 m, comprimento da corda. Existe pequeno erro devido a solução ser numérica, este erro

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pode ser resolvido diminuindo-se o passo. Em todos os casos deste trabalho foi utilizado um passode 0,1.

Já no gráfico de velocidade, na Fing. 4.3, como, deveria acontecer, a velocidade fica em 0após determinado tempo.

Por curiosidade, caso não houvesse sido considerado o amortecimento que a corda natural-mente existe, o arrasto não seria suficiente para parar a corda, somente após minutos ou horas.Segue gráfico da velocidade para este caso.

Figura 4.4: Gráfico da velocidade em função do tempo em um salto de Bungee Jumping despre-sando amortecimento da corda.

Observa-se na Fig. 4.4 que levaria muito tempo para velocidade alcançar valores próximos a0.

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5 Conclusão

Neste trabalho é possível perceber a eficiência do método de Rounge Kutta. Os resultados semostraram condizentes com o que ocorreria em um salto real com os parâmetros adotados.

Interessante observar que a maior dissipação de energia para o caso do Bungee Jumping

ocorre devido ao amortecimento da própria corda. porém é interessante considerar efeitos que fluidodo meio exerce. Procurando sempre tornar a prática do esporte mais segura possível.

Para trabalhos futuros, poderia ser considerado a variação do coeficiente de arrasto, verifi-cando qual impacto isto traria ao resultado. Também seria interessante considerar efeitos bidimen-sionais, como a interferência do vento no salto e o fator de que o saltador não possui queda inicialem linha perfeitamente vertical.

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6 Referências

HACKETT, A.J. History settle in for the story. 2015. Acessado em 03-09-2015.URL: http://www.ajhackett.com/cairns/media/history/the-story/

ISMAIL, K.A.R. e MOURA, L.F.M. Métodos numéricos em mecânica dos fluidos, 2012. Apostiladesenvolvida junto à Faculdade de Engenharia Mecânica - UNICAMP.

MUNDO ESTRANHO. Qual a velocidade máxima que uma pessoa atinge em queda livre? 2015.Revista Mundo Estranho. Editora Abril. Acessado em 28-08-2015.URL: http://mundoestranho.abril.com.br/materia/qual-a-velocidade-maxima-que-uma-pessoa-

atinge-em-queda-livre

SILVA, M.N.P.D. Área da superfície de um corpo humano. 2015. Brasil Escola. Acessado em28-08-2015.URL: http://www.brasilescola.com/matematica/Area-superficie-um-corpo-humano.htm

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