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Programmazione Matematica Geometria di Rn Esempi Teoria della PL Forma Standard
Ricerca Operativa
G. Liuzzi1
Lunedı 9 Marzo 2015
1Istituto di Analisi dei Sistemi ed Informatica IASI - CNR
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Programmazione Matematica Geometria di Rn Esempi Teoria della PL Forma Standard
Problema di Ottimizzazione
min(o max) f (x)con la restrizione x ∈ S
dove
f (x) : Rn → R e detta funzione obiettivo
S ⊆ Rn e detto insieme ammissibileSe S = Rn, allora il problema e non vincolatoSe S ⊂ Rn, allora il problema e vincolato
Ottimo globale: un punto x∗ ∈ S t.c. f (x∗) ≤ f (x) (of (x∗) ≥ f (x)) per ogni x ∈ S .Ottimo locale: un punto x∗ ∈ S t.c. esiste una costante δ > 0per cui x∗ e ottimo globale in S ∩ B(x∗, δ).
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Problema di Ottimizzazione
min(o max) f (x)con la restrizione x ∈ S
dove
f (x) : Rn → R e detta funzione obiettivo
S ⊆ Rn e detto insieme ammissibileSe S = Rn, allora il problema e non vincolatoSe S ⊂ Rn, allora il problema e vincolato
Ottimo globale: un punto x∗ ∈ S t.c. f (x∗) ≤ f (x) (of (x∗) ≥ f (x)) per ogni x ∈ S .Ottimo locale: un punto x∗ ∈ S t.c. esiste una costante δ > 0per cui x∗ e ottimo globale in S ∩ B(x∗, δ).
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Problema di Ottimizzazione
min(o max) f (x)con la restrizione x ∈ S
dove
f (x) : Rn → R e detta funzione obiettivo
S ⊆ Rn e detto insieme ammissibile
Se S = Rn, allora il problema e non vincolatoSe S ⊂ Rn, allora il problema e vincolato
Ottimo globale: un punto x∗ ∈ S t.c. f (x∗) ≤ f (x) (of (x∗) ≥ f (x)) per ogni x ∈ S .Ottimo locale: un punto x∗ ∈ S t.c. esiste una costante δ > 0per cui x∗ e ottimo globale in S ∩ B(x∗, δ).
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Problema di Ottimizzazione
min(o max) f (x)con la restrizione x ∈ S
dove
f (x) : Rn → R e detta funzione obiettivo
S ⊆ Rn e detto insieme ammissibileSe S = Rn, allora il problema e non vincolatoSe S ⊂ Rn, allora il problema e vincolato
Ottimo globale: un punto x∗ ∈ S t.c. f (x∗) ≤ f (x) (of (x∗) ≥ f (x)) per ogni x ∈ S .Ottimo locale: un punto x∗ ∈ S t.c. esiste una costante δ > 0per cui x∗ e ottimo globale in S ∩ B(x∗, δ).
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Problema di Ottimizzazione
min(o max) f (x)con la restrizione x ∈ S
dove
f (x) : Rn → R e detta funzione obiettivo
S ⊆ Rn e detto insieme ammissibileSe S = Rn, allora il problema e non vincolatoSe S ⊂ Rn, allora il problema e vincolato
Ottimo globale: un punto x∗ ∈ S t.c. f (x∗) ≤ f (x) (of (x∗) ≥ f (x)) per ogni x ∈ S .
Ottimo locale: un punto x∗ ∈ S t.c. esiste una costante δ > 0per cui x∗ e ottimo globale in S ∩ B(x∗, δ).
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Problema di Ottimizzazione
min(o max) f (x)con la restrizione x ∈ S
dove
f (x) : Rn → R e detta funzione obiettivo
S ⊆ Rn e detto insieme ammissibileSe S = Rn, allora il problema e non vincolatoSe S ⊂ Rn, allora il problema e vincolato
Ottimo globale: un punto x∗ ∈ S t.c. f (x∗) ≤ f (x) (of (x∗) ≥ f (x)) per ogni x ∈ S .Ottimo locale: un punto x∗ ∈ S t.c. esiste una costante δ > 0per cui x∗ e ottimo globale in S ∩ B(x∗, δ).
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Problema Vincolato
min(o max) f (x)con la restrizione x ∈ S ⊂ Rn
Se xi ∈ Z (insieme dei numeri interi) per qualche i , ilproblema e detto (misto) intero
Se xi ∈ {0, 1} per ogni i , il problema e detto binario o diprogrammazione 0/1
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Problema Vincolato
min(o max) f (x)con la restrizione x ∈ S ⊂ Rn
Se xi ∈ Z (insieme dei numeri interi) per qualche i , ilproblema e detto (misto) intero
Se xi ∈ {0, 1} per ogni i , il problema e detto binario o diprogrammazione 0/1
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Problema Vincolato
min(o max) f (x)con la restrizione x ∈ S ⊂ Rn
Se xi ∈ Z (insieme dei numeri interi) per qualche i , ilproblema e detto (misto) intero
Se xi ∈ {0, 1} per ogni i , il problema e detto binario o diprogrammazione 0/1
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Problema Vincolato
min(o max) f (x)g1(x) on b1
g2(x) on b2
. . . on . . .gm(x) on bm
xi ∈ Z per ogni i ∈ Iz ⊆ {1, . . . , n}
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Problema Vincolato
min(o max) f (x)g1(x) on b1
g2(x) on b2
. . . on . . .gm(x) on bm
xi ∈ Z per ogni i ∈ Iz ⊆ {1, . . . , n}
dove
f (x) : Rn → R e detta funzione obiettivo
gi (x) : Rn → R (t.c. gi (0) = 0), bi ∈ Rciascun simbolo on∈ {≤,=,≥}gi (x) on bi e l’i-esimo vincolo del problema
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Problema Vincolato
min(o max) f (x)g1(x) on b1
g2(x) on b2
. . . on . . .gm(x) on bm
xi ∈ Z per ogni i ∈ Iz ⊆ {1, . . . , n}
dove
f (x) : Rn → R e detta funzione obiettivo
gi (x) : Rn → R (t.c. gi (0) = 0), bi ∈ R
ciascun simbolo on∈ {≤,=,≥}gi (x) on bi e l’i-esimo vincolo del problema
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Problema Vincolato
min(o max) f (x)g1(x) on b1
g2(x) on b2
. . . on . . .gm(x) on bm
xi ∈ Z per ogni i ∈ Iz ⊆ {1, . . . , n}
dove
f (x) : Rn → R e detta funzione obiettivo
gi (x) : Rn → R (t.c. gi (0) = 0), bi ∈ Rciascun simbolo on∈ {≤,=,≥}
gi (x) on bi e l’i-esimo vincolo del problema
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Problema Vincolato
min(o max) f (x)g1(x) on b1
g2(x) on b2
. . . on . . .gm(x) on bm
xi ∈ Z per ogni i ∈ Iz ⊆ {1, . . . , n}
dove
f (x) : Rn → R e detta funzione obiettivo
gi (x) : Rn → R (t.c. gi (0) = 0), bi ∈ Rciascun simbolo on∈ {≤,=,≥}gi (x) on bi e l’i-esimo vincolo del problema
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Problema Vincolato
min(o max) f (x)g1(x) on b1
g2(x) on b2
. . . on . . .gm(x) on bm
xi ∈ Z per ogni i ∈ Iz ⊆ {1, . . . , n}
Se f (x) e gi (x) sono tutte funzioni lineari allora il problema edetto
di Programmazione Lineare quando Iz = ∅di Programmazione Lineare mista Intera quando Iz 6= ∅,Iz ⊂ {1, . . . , n}di Programmazione Lineare Intera quando Iz = {1, . . . , n}
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Problema Vincolato
min(o max) f (x)g1(x) on b1
g2(x) on b2
. . . on . . .gm(x) on bm
xi ∈ Z per ogni i ∈ Iz ⊆ {1, . . . , n}
Se f (x) e gi (x) sono tutte funzioni lineari allora il problema edetto
di Programmazione Lineare quando Iz = ∅
di Programmazione Lineare mista Intera quando Iz 6= ∅,Iz ⊂ {1, . . . , n}di Programmazione Lineare Intera quando Iz = {1, . . . , n}
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Problema Vincolato
min(o max) f (x)g1(x) on b1
g2(x) on b2
. . . on . . .gm(x) on bm
xi ∈ Z per ogni i ∈ Iz ⊆ {1, . . . , n}
Se f (x) e gi (x) sono tutte funzioni lineari allora il problema edetto
di Programmazione Lineare quando Iz = ∅di Programmazione Lineare mista Intera quando Iz 6= ∅,Iz ⊂ {1, . . . , n}
di Programmazione Lineare Intera quando Iz = {1, . . . , n}
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Problema Vincolato
min(o max) f (x)g1(x) on b1
g2(x) on b2
. . . on . . .gm(x) on bm
xi ∈ Z per ogni i ∈ Iz ⊆ {1, . . . , n}
Se f (x) e gi (x) sono tutte funzioni lineari allora il problema edetto
di Programmazione Lineare quando Iz = ∅di Programmazione Lineare mista Intera quando Iz 6= ∅,Iz ⊂ {1, . . . , n}di Programmazione Lineare Intera quando Iz = {1, . . . , n}
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Problema di PL
Forma generale di un problema di PL di minimo
min c>xAx ≥ b
dove
c ∈ Rn, A ∈ Rm×n, b ∈ Rm
Nota Bene:
qualunque problema di max puo essere (banalmente)convertito in uno di min (e viceversa)
qualunque vincolo di ≤ puo essere (banalmente) convertito inuno di ≥ (e viceversa)
qualunque vincolo d>x = h puo essere riscritto come
d>x ≥ h−d>x ≥ −h
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Problema di PL
Forma generale di un problema di PL di minimo
min c>xAx ≥ b
dove
c ∈ Rn, A ∈ Rm×n, b ∈ Rm
Nota Bene:
qualunque problema di max puo essere (banalmente)convertito in uno di min (e viceversa)
qualunque vincolo di ≤ puo essere (banalmente) convertito inuno di ≥ (e viceversa)
qualunque vincolo d>x = h puo essere riscritto come
d>x ≥ h−d>x ≥ −h
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Problema di PL
Forma generale di un problema di PL di minimo
min c>xAx ≥ b
dove
c ∈ Rn, A ∈ Rm×n, b ∈ Rm
Nota Bene:
qualunque problema di max puo essere (banalmente)convertito in uno di min (e viceversa)
qualunque vincolo di ≤ puo essere (banalmente) convertito inuno di ≥ (e viceversa)
qualunque vincolo d>x = h puo essere riscritto come
d>x ≥ h−d>x ≥ −h
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Problema di PL
Forma generale di un problema di PL di minimo
min c>xAx ≥ b
dove
c ∈ Rn, A ∈ Rm×n, b ∈ Rm
Nota Bene:
qualunque problema di max puo essere (banalmente)convertito in uno di min (e viceversa)
qualunque vincolo di ≤ puo essere (banalmente) convertito inuno di ≥ (e viceversa)
qualunque vincolo d>x = h puo essere riscritto come
d>x ≥ h−d>x ≥ −h
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PL e Poliedri
Definizione
Un poliedro in Rn e l’intersezione di un numero finito di iperpiani esemispazi (chiusi)
P = {x ∈ Rn : Ax ≥ b,Dx = h}.
Quindi
l’insieme ammissibile di un problema di PL e un poliedro in Rn
P e “limitato” quando non contiene semirette ovvero quando,comunque preso x ∈ P, non esiste d ∈ Rn tale che
x(ρ) = x + ρd ∈ P, per ogni ρ ≥ 0.
Definizione
Un poliedro limitato e detto politopo.
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PL e Poliedri
Definizione
Un poliedro in Rn e l’intersezione di un numero finito di iperpiani esemispazi (chiusi)
P = {x ∈ Rn : Ax ≥ b,Dx = h}.
Quindi
l’insieme ammissibile di un problema di PL e un poliedro in Rn
P e “limitato” quando non contiene semirette ovvero quando,comunque preso x ∈ P, non esiste d ∈ Rn tale che
x(ρ) = x + ρd ∈ P, per ogni ρ ≥ 0.
Definizione
Un poliedro limitato e detto politopo.
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PL e Poliedri
Definizione
Un poliedro in Rn e l’intersezione di un numero finito di iperpiani esemispazi (chiusi)
P = {x ∈ Rn : Ax ≥ b,Dx = h}.
Quindi
l’insieme ammissibile di un problema di PL e un poliedro in Rn
P e “limitato” quando non contiene semirette ovvero quando,comunque preso x ∈ P, non esiste d ∈ Rn tale che
x(ρ) = x + ρd ∈ P, per ogni ρ ≥ 0.
Definizione
Un poliedro limitato e detto politopo.
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Poliedri e insiemi convessi
Definizione (insieme convesso)
S ⊆ Rn e un insieme convesso se per ogni x , y ∈ S e λ ∈ [0, 1]
λx + (1− λ)y ∈ S
Proposizione
Risulta facilmente:
un semispazio chiuso e un insieme convesso;
un iperpiano (intersezione di due semispazi chiusi) e uninsieme convesso;
un poliedro e un insieme convesso.
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Poliedri e insiemi convessi
Definizione (insieme convesso)
S ⊆ Rn e un insieme convesso se per ogni x , y ∈ S e λ ∈ [0, 1]
λx + (1− λ)y ∈ S
Proposizione
Risulta facilmente:
un semispazio chiuso e un insieme convesso;
un iperpiano (intersezione di due semispazi chiusi) e uninsieme convesso;
un poliedro e un insieme convesso.
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Vertici di un poliedro
Definizione (geometrica)
Un punto x ∈ P e un vertice di P quando non esistono due puntiy , z ∈ P tali che
y 6= z
x ∈ (y , z) ovvero
x = λy + (1− λ)z , per qualche λ ∈ (0, 1)
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Vertici di un poliedro
Sia I (x) = {i : a>i x = bi} l’insieme degli indici dei vincoli “attivi”in x
Definizione (analitica)
x ∈ P e un vertice di P quando
rango(
a>i
)i∈I (x)
= n
Quindi, un poliedro P ha, al piu, un numero finito di vertici. Ilnumero dei vertici non puo essere maggiore di(
mn
)=
m!
n!(m − n)!
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Vertici di un poliedro
Sia I (x) = {i : a>i x = bi} l’insieme degli indici dei vincoli “attivi”in x
Definizione (analitica)
x ∈ P e un vertice di P quando
rango(
a>i
)i∈I (x)
= n
Quindi, un poliedro P ha, al piu, un numero finito di vertici. Ilnumero dei vertici non puo essere maggiore di(
mn
)=
m!
n!(m − n)!
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Problema di miscelazione
min 40x1 + 60x2
140x1 ≥ 7020x1 + 10x2 ≥ 3025x1 + 50x2 ≥ 75x1, x2 ≥ 0
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Interpretazione geometrica
E possibile evidenziare, mediante semplici considerazioni digeometria analitica, la regione del piano R2 costituita da punti chesoddisfano tutti i vincoli del problema.
x1, x2 ≥ 0 quindi i p.tiammissibili appartengonoall’ortante positivo
140x1 ≥ 70
20x1 + 10x2 ≥ 30
25x1 + 50x2 ≥ 75
x2
x1
2
1
0.5
0.5 1 2
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Interpretazione geometrica
E possibile evidenziare, mediante semplici considerazioni digeometria analitica, la regione del piano R2 costituita da punti chesoddisfano tutti i vincoli del problema.
x1, x2 ≥ 0 quindi i p.tiammissibili appartengonoall’ortante positivo
140x1 ≥ 70
20x1 + 10x2 ≥ 30
25x1 + 50x2 ≥ 75
x2
x1
2
1
0.5
0.5 1 2
x1 ≥ 70/140
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Interpretazione geometrica
E possibile evidenziare, mediante semplici considerazioni digeometria analitica, la regione del piano R2 costituita da punti chesoddisfano tutti i vincoli del problema.
x1, x2 ≥ 0 quindi i p.tiammissibili appartengonoall’ortante positivo
140x1 ≥ 70
20x1 + 10x2 ≥ 30
25x1 + 50x2 ≥ 75
x2
x1
2
1
0.5
0.5 1 2
x1 ≥ 70/140
20x1 + 10x
2 ≥ 30
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Interpretazione geometrica
E possibile evidenziare, mediante semplici considerazioni digeometria analitica, la regione del piano R2 costituita da punti chesoddisfano tutti i vincoli del problema.
x1, x2 ≥ 0 quindi i p.tiammissibili appartengonoall’ortante positivo
140x1 ≥ 70
20x1 + 10x2 ≥ 30
25x1 + 50x2 ≥ 75
x2
x1
2
1
0.5
0.5 1 2
x1 ≥ 70/140
20x1 + 10x
2 ≥ 30
25x1 + 50x
2 ≥ 75
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Interpretazione geometrica
E possibile evidenziare, mediante semplici considerazioni digeometria analitica, la regione del piano R2 costituita da punti chesoddisfano tutti i vincoli del problema.
studiamo ora il comportamentodi f (x)
∇f = (2, 3)T
40x1 + 60x2 = k eq. di unfascio di rette paralleleortogonali al vettore ∇f
40x1 + 60x2 = 140
40x1 + 60x2 = 120
40x1 + 60x2 = 100
x2
x1
2
1
0.5
0.5 1 2
x1 ≥ 70/140
20x1 + 10x
2 ≥ 30
25x1 + 50x
2 ≥ 75
Δ-
f
40x1 + 60x
2 = 140
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Interpretazione geometrica
E possibile evidenziare, mediante semplici considerazioni digeometria analitica, la regione del piano R2 costituita da punti chesoddisfano tutti i vincoli del problema.
studiamo ora il comportamentodi f (x)
∇f = (2, 3)T
40x1 + 60x2 = k eq. di unfascio di rette paralleleortogonali al vettore ∇f
40x1 + 60x2 = 140
40x1 + 60x2 = 120
40x1 + 60x2 = 100
x2
x1
2
1
0.5
0.5 1 2
x1 ≥ 70/140
20x1 + 10x
2 ≥ 30
25x1 + 50x
2 ≥ 75
Δ-
f
40x1 + 60x
2 = 120
40x1 + 60x
2 = 140
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Interpretazione geometrica
E possibile evidenziare, mediante semplici considerazioni digeometria analitica, la regione del piano R2 costituita da punti chesoddisfano tutti i vincoli del problema.
studiamo ora il comportamentodi f (x)
∇f = (2, 3)T
40x1 + 60x2 = k eq. di unfascio di rette paralleleortogonali al vettore ∇f
40x1 + 60x2 = 140
40x1 + 60x2 = 120
40x1 + 60x2 = 100
x2
x1
2
1
0.5
0.5 1 2
x1 ≥ 70/140
20x1 + 10x
2 ≥ 30
25x1 + 50x
2 ≥ 75
Δ-
f
40x1 + 60x
2 = 120
40x1 + 60x
2 = 140
40x1 + 60x
2 = 100 x*=(1,1)
f(x*)=100
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Pianificazione ottima della produzione
Un colorificio produce 2 tipi di coloranti C1 e C2 utilizzando 3preparati base P1, P2 e P3.La tabella riporta: (a) le quantita (in litri) di preparati basenecessari per produrre un litro di ciascun tipo di colorante; (b) ledisponibilita massime (in litri/mese) di preparati base; (c) il prezzodi vendita (in eur/litro) dei due coloranti.
C1 C2 q.max
P1 1 1 750
P2 1 2 1000
prezzo 7 10
Determinare la strategia ottima di produzione mensile.
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Formulazione matematica del problema
Passo 1: Scelta delle variabili di decisione
x1: indica la quantita in litri/mese di C1 prodotto;
x2: indica la quantita in litri/mese di C2 prodotto;
Passo 2: Funzione obiettivo
max 7x1 + 10x2
Passo 3: Vincoli
x1 + x2 ≤ 750 disp. di P1x1 + 2x2 ≤ 1000 disp. di P2x2 ≤ 400 disp. di P3x1, x2 ≥ 0 non negativita
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Formulazione matematica del problema
Passo 1: Scelta delle variabili di decisione
x1: indica la quantita in litri/mese di C1 prodotto;
x2: indica la quantita in litri/mese di C2 prodotto;
Passo 2: Funzione obiettivo
max 7x1 + 10x2
Passo 3: Vincoli
x1 + x2 ≤ 750 disp. di P1x1 + 2x2 ≤ 1000 disp. di P2x2 ≤ 400 disp. di P3x1, x2 ≥ 0 non negativita
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Formulazione matematica del problema
Passo 1: Scelta delle variabili di decisione
x1: indica la quantita in litri/mese di C1 prodotto;
x2: indica la quantita in litri/mese di C2 prodotto;
Passo 2: Funzione obiettivo
max 7x1 + 10x2
Passo 3: Vincoli
x1 + x2 ≤ 750 disp. di P1x1 + 2x2 ≤ 1000 disp. di P2x2 ≤ 400 disp. di P3x1, x2 ≥ 0 non negativita
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Interpretazione geometrica
E possibile evidenziare, mediante semplici considerazioni digeometria analitica, la regione del piano R2 costituita da punti chesoddisfano tutti i vincoli del problema.
x1, x2 ≥ 0 quindi i p.tiammissibili appartengonoall’ortante positivo
x2 ≤ 400
x1 + x2 ≤ 750
x1 + 2x2 ≤ 1000
x2
x1
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Interpretazione geometrica
E possibile evidenziare, mediante semplici considerazioni digeometria analitica, la regione del piano R2 costituita da punti chesoddisfano tutti i vincoli del problema.
x1, x2 ≥ 0 quindi i p.tiammissibili appartengonoall’ortante positivo
x2 ≤ 400
x1 + x2 ≤ 750
x1 + 2x2 ≤ 1000
x1
400x2=400
750
x2
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Programmazione Matematica Geometria di Rn Esempi Teoria della PL Forma Standard
Interpretazione geometrica
E possibile evidenziare, mediante semplici considerazioni digeometria analitica, la regione del piano R2 costituita da punti chesoddisfano tutti i vincoli del problema.
x1, x2 ≥ 0 quindi i p.tiammissibili appartengonoall’ortante positivo
x2 ≤ 400
x1 + x2 ≤ 750
x1 + 2x2 ≤ 1000
x1
400x2=400
750
x1 +x
2 =750
x2
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Programmazione Matematica Geometria di Rn Esempi Teoria della PL Forma Standard
Interpretazione geometrica
E possibile evidenziare, mediante semplici considerazioni digeometria analitica, la regione del piano R2 costituita da punti chesoddisfano tutti i vincoli del problema.
x1, x2 ≥ 0 quindi i p.tiammissibili appartengonoall’ortante positivo
x2 ≤ 400
x1 + x2 ≤ 750
x1 + 2x2 ≤ 1000x1
400x2=400
750
x1 +x
2 =750500
750 1000
x1 +2x
2 =1000
x2
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Programmazione Matematica Geometria di Rn Esempi Teoria della PL Forma Standard
Interpretazione geometrica
E possibile evidenziare, mediante semplici considerazioni digeometria analitica, la regione del piano R2 costituita da punti chesoddisfano tutti i vincoli del problema.
studiamo ora il comportamentodi f (x)
∇f = (7, 10)T
7x1 + 10x2 = k eq. di unfascio di rette paralleleortogonali al vettore ∇f
7x1 + 10x2 = 0
7x1 + 10x2 = 4000
7x1 + 10x2 = 5250
7x1 + 10x2 = 6000
x1
400x2=400
750
x1 +x
2 =750500
750 1000
x1 +2x
2 =1000
x2 Δ
f
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Programmazione Matematica Geometria di Rn Esempi Teoria della PL Forma Standard
Interpretazione geometrica
E possibile evidenziare, mediante semplici considerazioni digeometria analitica, la regione del piano R2 costituita da punti chesoddisfano tutti i vincoli del problema.
studiamo ora il comportamentodi f (x)
∇f = (7, 10)T
7x1 + 10x2 = k eq. di unfascio di rette paralleleortogonali al vettore ∇f
7x1 + 10x2 = 0
7x1 + 10x2 = 4000
7x1 + 10x2 = 5250
7x1 + 10x2 = 6000
x1
400x2=400
750
x1 +x
2 =750500
750 1000
x1 +2x
2 =1000
x2 Δ
f
7x1 +10x
2 =0
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Programmazione Matematica Geometria di Rn Esempi Teoria della PL Forma Standard
Interpretazione geometrica
E possibile evidenziare, mediante semplici considerazioni digeometria analitica, la regione del piano R2 costituita da punti chesoddisfano tutti i vincoli del problema.
studiamo ora il comportamentodi f (x)
∇f = (7, 10)T
7x1 + 10x2 = k eq. di unfascio di rette paralleleortogonali al vettore ∇f
7x1 + 10x2 = 0
7x1 + 10x2 = 4000
7x1 + 10x2 = 5250
7x1 + 10x2 = 6000
x1
400x2=400
750
x1 +x
2 =750500
750 1000
x1 +2x
2 =1000
x2 Δ
f
7x1 +10x
2 =4000
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Programmazione Matematica Geometria di Rn Esempi Teoria della PL Forma Standard
Interpretazione geometrica
E possibile evidenziare, mediante semplici considerazioni digeometria analitica, la regione del piano R2 costituita da punti chesoddisfano tutti i vincoli del problema.
studiamo ora il comportamentodi f (x)
∇f = (7, 10)T
7x1 + 10x2 = k eq. di unfascio di rette paralleleortogonali al vettore ∇f
7x1 + 10x2 = 0
7x1 + 10x2 = 4000
7x1 + 10x2 = 5250
7x1 + 10x2 = 6000
x1
400x2=400
750
x1 +x
2 =750500
750 1000
x1 +2x
2 =1000
x2 Δ
f
7x1 +10x
2 =5250
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Programmazione Matematica Geometria di Rn Esempi Teoria della PL Forma Standard
Interpretazione geometrica
E possibile evidenziare, mediante semplici considerazioni digeometria analitica, la regione del piano R2 costituita da punti chesoddisfano tutti i vincoli del problema.
studiamo ora il comportamentodi f (x)
∇f = (7, 10)T
7x1 + 10x2 = k eq. di unfascio di rette paralleleortogonali al vettore ∇f
7x1 + 10x2 = 0
7x1 + 10x2 = 4000
7x1 + 10x2 = 5250
7x1 + 10x2 = 6000
x1
400x2=400
750
x1 +x
2 =750500
750 1000
x1 +2x
2 =1000
x2 Δ
f
250
500
7x1 +10x
2 =6000
x*=(500,250)
f(x*)=6000
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Formulazione matematica del problema
max 2x1 − x2
x1 + 4x2 ≥ 8x1 ≥ 2−2x1 + x2 ≤ 4x1, x2 ≥ 0
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Interpretazione geometrica
E possibile evidenziare, mediante semplici considerazioni digeometria analitica, la regione del piano R2 costituita da punti chesoddisfano tutti i vincoli del problema.
x1, x2 ≥ 0 quindi i p.tiammissibili appartengonoall’ortante positivo
x1 ≥ 2
−2x1 + x2 ≤ 4
x1 + 4x2 ≥ 8
x2
x1
8
4
4 8
2
1
2
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Interpretazione geometrica
E possibile evidenziare, mediante semplici considerazioni digeometria analitica, la regione del piano R2 costituita da punti chesoddisfano tutti i vincoli del problema.
x1, x2 ≥ 0 quindi i p.tiammissibili appartengonoall’ortante positivo
x1 ≥ 2
−2x1 + x2 ≤ 4
x1 + 4x2 ≥ 8
x2
x1
8
4
4 8
2
1
2
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Programmazione Matematica Geometria di Rn Esempi Teoria della PL Forma Standard
Interpretazione geometrica
E possibile evidenziare, mediante semplici considerazioni digeometria analitica, la regione del piano R2 costituita da punti chesoddisfano tutti i vincoli del problema.
x1, x2 ≥ 0 quindi i p.tiammissibili appartengonoall’ortante positivo
x1 ≥ 2
−2x1 + x2 ≤ 4
x1 + 4x2 ≥ 8
x2
x1
8
4
4 8
2
1
2
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Interpretazione geometrica
E possibile evidenziare, mediante semplici considerazioni digeometria analitica, la regione del piano R2 costituita da punti chesoddisfano tutti i vincoli del problema.
x1, x2 ≥ 0 quindi i p.tiammissibili appartengonoall’ortante positivo
x1 ≥ 2
−2x1 + x2 ≤ 4
x1 + 4x2 ≥ 8
x2
x1
8
4
4 8
2
1
2
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Interpretazione geometrica
E possibile evidenziare, mediante semplici considerazioni digeometria analitica, la regione del piano R2 costituita da punti chesoddisfano tutti i vincoli del problema.
studiamo ora il comportamentodi f (x)
∇f = (2,−1)T
2x1 − x2 = k eq. di unfascio di rette paralleleortogonali al vettore ∇f
2x1 − x2 = 2.5
2x1 − x2 = 7
2x1 − x2 = 16
...
x2
x1
8
4
4 8
2
1
2
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Interpretazione geometrica
E possibile evidenziare, mediante semplici considerazioni digeometria analitica, la regione del piano R2 costituita da punti chesoddisfano tutti i vincoli del problema.
studiamo ora il comportamentodi f (x)
∇f = (2,−1)T
2x1 − x2 = k eq. di unfascio di rette paralleleortogonali al vettore ∇f
2x1 − x2 = 2.5
2x1 − x2 = 7
2x1 − x2 = 16
...
x2
x1
8
4
4 8
2
1
2
2x1- x
2=
2.5
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Interpretazione geometrica
E possibile evidenziare, mediante semplici considerazioni digeometria analitica, la regione del piano R2 costituita da punti chesoddisfano tutti i vincoli del problema.
studiamo ora il comportamentodi f (x)
∇f = (2,−1)T
2x1 − x2 = k eq. di unfascio di rette paralleleortogonali al vettore ∇f
2x1 − x2 = 2.5
2x1 − x2 = 7
2x1 − x2 = 16
...
x2
x1
8
4
4 8
2
1
2
2x1- x
2=
2.5
2x1- x
2=
7
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Interpretazione geometrica
E possibile evidenziare, mediante semplici considerazioni digeometria analitica, la regione del piano R2 costituita da punti chesoddisfano tutti i vincoli del problema.
studiamo ora il comportamentodi f (x)
∇f = (2,−1)T
2x1 − x2 = k eq. di unfascio di rette paralleleortogonali al vettore ∇f
2x1 − x2 = 2.5
2x1 − x2 = 7
2x1 − x2 = 16
...
x2
x1
8
4
4 8
2
1
2
2x1- x
2=
2.5
2x1- x
2=
7
2x1- x
2=
16
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Interpretazione geometrica
E possibile evidenziare, mediante semplici considerazioni digeometria analitica, la regione del piano R2 costituita da punti chesoddisfano tutti i vincoli del problema.
studiamo ora il comportamentodi f (x)
∇f = (2,−1)T
2x1 − x2 = k eq. di unfascio di rette paralleleortogonali al vettore ∇f
2x1 − x2 = 2.5
2x1 − x2 = 7
2x1 − x2 = 16
...
x2
x1
8
4
4 8
2
1
2
2x1- x
2=
2.5
2x1- x
2=
7
2x1- x
2=
16
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... e su YouTube
esempio di problema inammissibilehttps://www.youtube.com/watch?v=eLVXhxnh7YI
esempio di problema illimitatohttps://www.youtube.com/watch?v=bKd-0sYgDCo
esempio di problema che ammette ottimohttps://www.youtube.com/watch?v=gbL3vYq3cPk
. . .
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Osservazioni
Se P e illimitato (contiene delle semirette) allora il problemaprotrebbe essere illimitato (superiormente o inferiormente)
La soluzione ottima (quando c’e) e sempre un vertice di P
Se P e limitato (cioe, un politopo) e non vuoto, la soluzioneottima esiste necessariamente ed e sempre un vertice di P
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Osservazioni
Se P e illimitato (contiene delle semirette) allora il problemaprotrebbe essere illimitato (superiormente o inferiormente)
La soluzione ottima (quando c’e) e sempre un vertice di P
Se P e limitato (cioe, un politopo) e non vuoto, la soluzioneottima esiste necessariamente ed e sempre un vertice di P
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Osservazioni
Se P e illimitato (contiene delle semirette) allora il problemaprotrebbe essere illimitato (superiormente o inferiormente)
La soluzione ottima (quando c’e) e sempre un vertice di P
Se P e limitato (cioe, un politopo) e non vuoto, la soluzioneottima esiste necessariamente ed e sempre un vertice di P
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Osservazioni
Se P e illimitato (contiene delle semirette) allora il problemaprotrebbe essere illimitato (superiormente o inferiormente)
La soluzione ottima (quando c’e) e sempre un vertice di P
Se P e limitato (cioe, un politopo) e non vuoto, la soluzioneottima esiste necessariamente ed e sempre un vertice di P
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Osservazioni
Se P e illimitato (contiene delle semirette) allora il problemaprotrebbe essere illimitato (superiormente o inferiormente)
La soluzione ottima (quando c’e) e quasi sempre un vertice diP
Se P e limitato (cioe, un politopo) e non vuoto, la soluzioneottima esiste necessariamente ed almeno una e sempre unvertice di P
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Quasi? Almeno una?
Esempio di problema cheammette ottimo ma non su unvertice di P
x2
x1
2
1
0.5
0.5 1 2
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Quasi? Almeno una?
Esempio di problema cheammette infinite soluzioni ottime.Tra queste, almeno una e unvertice di P
x2
x1
8
4
4 8
2
1
2
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Teorema Fondamentale della PL (I)
min c>xAx ≥ b
Teorema
Esattamente una delle seguenti affermazioni e vera.
Il problema di PL e inammissibile, ovvero P = ∅.Il problema di PL e illimitato inferiormente.
Il problema di PL ammette almeno una soluzione ottima.
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Teorema Fondamentale della PL (I)
min c>xAx ≥ b
Teorema
Esattamente una delle seguenti affermazioni e vera.
Il problema di PL e inammissibile, ovvero P = ∅.
Il problema di PL e illimitato inferiormente.
Il problema di PL ammette almeno una soluzione ottima.
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Teorema Fondamentale della PL (I)
min c>xAx ≥ b
Teorema
Esattamente una delle seguenti affermazioni e vera.
Il problema di PL e inammissibile, ovvero P = ∅.Il problema di PL e illimitato inferiormente.
Il problema di PL ammette almeno una soluzione ottima.
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Teorema Fondamentale della PL (I)
min c>xAx ≥ b
Teorema
Esattamente una delle seguenti affermazioni e vera.
Il problema di PL e inammissibile, ovvero P = ∅.Il problema di PL e illimitato inferiormente.
Il problema di PL ammette almeno una soluzione ottima.
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Esistenza dei Vertici
Proposizione
Sia P un poliedro non vuoto. P possiede almeno un vertice se esolo se P non contiene rette
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Teorema Fondamentale della PL (II)
min c>xAx ≥ b
Teorema
Supponiamo che P = {x ∈ Rn : Ax ≥ b} non contenga rette.Allora esattamente una delle seguenti affermazioni e vera.
Il problema di PL e inammissibile, ovvero P = ∅.Il problema di PL e illimitato inferiormente.
Il problema di PL ammette soluzioni ottime ed, almeno una diqueste, e un vertice di P.
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Teorema Fondamentale della PL (II)
min c>xAx ≥ b
Teorema
Supponiamo che P = {x ∈ Rn : Ax ≥ b} non contenga rette.Allora esattamente una delle seguenti affermazioni e vera.
Il problema di PL e inammissibile, ovvero P = ∅.
Il problema di PL e illimitato inferiormente.
Il problema di PL ammette soluzioni ottime ed, almeno una diqueste, e un vertice di P.
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Teorema Fondamentale della PL (II)
min c>xAx ≥ b
Teorema
Supponiamo che P = {x ∈ Rn : Ax ≥ b} non contenga rette.Allora esattamente una delle seguenti affermazioni e vera.
Il problema di PL e inammissibile, ovvero P = ∅.Il problema di PL e illimitato inferiormente.
Il problema di PL ammette soluzioni ottime ed, almeno una diqueste, e un vertice di P.
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Teorema Fondamentale della PL (II)
min c>xAx ≥ b
Teorema
Supponiamo che P = {x ∈ Rn : Ax ≥ b} non contenga rette.Allora esattamente una delle seguenti affermazioni e vera.
Il problema di PL e inammissibile, ovvero P = ∅.Il problema di PL e illimitato inferiormente.
Il problema di PL ammette soluzioni ottime
ed, almeno una diqueste, e un vertice di P.
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Teorema Fondamentale della PL (II)
min c>xAx ≥ b
Teorema
Supponiamo che P = {x ∈ Rn : Ax ≥ b} non contenga rette.Allora esattamente una delle seguenti affermazioni e vera.
Il problema di PL e inammissibile, ovvero P = ∅.Il problema di PL e illimitato inferiormente.
Il problema di PL ammette soluzioni ottime ed, almeno una diqueste, e un vertice di P.
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Forma STANDARD di un problema di PL
min c>xAx = bx ≥ 0n
Ogni problema di PL ammette un equivalente in forma standard
In particolare,
un problema in forma generale
min c>xAx ≥ b
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Forma STANDARD di un problema di PL
min c>xAx = bx ≥ 0n
Ogni problema di PL ammette un equivalente in forma standard
In particolare, un problema in forma generale
min c>xAx ≥ b
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Trasformazione di un problema in forma standard
max c>x min −c>x
a>i x ≥ bi a>i x − si = bi , si ≥ 0si variabile di surplus
a>i x ≤ bi a>i x + si = bi , si ≥ 0si variabile di slack
xi R 0 xi = x+i − x−i , x+
i , x−i ≥ 0
Esempi . . .
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Trasformazione di un problema in forma standard
max c>x min −c>x
a>i x ≥ bi a>i x − si = bi , si ≥ 0si variabile di surplus
a>i x ≤ bi a>i x + si = bi , si ≥ 0si variabile di slack
xi R 0 xi = x+i − x−i , x+
i , x−i ≥ 0
Esempi . . .
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Trasformazione di un problema in forma standard
max c>x min −c>x
a>i x ≥ bi a>i x − si = bi , si ≥ 0si variabile di surplus
a>i x ≤ bi a>i x + si = bi , si ≥ 0si variabile di slack
xi R 0 xi = x+i − x−i , x+
i , x−i ≥ 0
Esempi . . .
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Trasformazione di un problema in forma standard
max c>x min −c>x
a>i x ≥ bi a>i x − si = bi , si ≥ 0si variabile di surplus
a>i x ≤ bi a>i x + si = bi , si ≥ 0si variabile di slack
xi R 0 xi = x+i − x−i , x+
i , x−i ≥ 0
Esempi . . .
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Trasformazione di un problema in forma standard
max c>x min −c>x
a>i x ≥ bi a>i x − si = bi , si ≥ 0si variabile di surplus
a>i x ≤ bi a>i x + si = bi , si ≥ 0si variabile di slack
xi R 0 xi = x+i − x−i , x+
i , x−i ≥ 0
Esempi . . .
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Trasformazione di un problema in forma standard
max 4x1 − x3 + x4 + 2x5
x1 − x2 + x3 ≥ 0x2 + 3x3 − x4 ≤ 10x3− x5 = 7x1 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0, x5 ≥ 0
, x6 ≥ 0, x7 ≥ 0x+
2 ≥ 0, x−2 ≥ 0
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Trasformazione di un problema in forma standard
max 4x1 − x3 + x4 + 2x5
x1 − x2 + x3−x6 = 0 (x6 var. di surplus)x2 + 3x3 − x4 ≤ 10x3− x5 = 7x1 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0, x5 ≥ 0, x6 ≥ 0
, x7 ≥ 0x+
2 ≥ 0, x−2 ≥ 0
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Trasformazione di un problema in forma standard
max 4x1 − x3 + x4 + 2x5
x1 − x2 + x3−x6 = 0 (x6 var. di surplus)x2 + 3x3 − x4+x7 = 10 (x7 var. di slack)x3− x5 = 7x1 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0, x5 ≥ 0, x6 ≥ 0, x7 ≥ 0
x+2 ≥ 0, x−2 ≥ 0
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Trasformazione di un problema in forma standard
max 4x1 − x3 + x4 + 2x5
x1 − x+2 + x−2 + x3−x6 = 0 (x6 var. di surplus)
x+2 − x−2 + 3x3 − x4+x7 = 10 (x7 var. di slack)
x3− x5 = 7x1 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0, x5 ≥ 0, x6 ≥ 0, x7 ≥ 0x+
2 ≥ 0, x−2 ≥ 0
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Trasformazione di un problema in forma standard
min − 4x1 + x3 − x4 − 2x5
x1 − x+2 + x−2 + x3−x6 = 0 (x6 var. di surplus)
x+2 − x−2 + 3x3 − x4+x7 = 10 (x7 var. di slack)
x3− x5 = 7x1 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0, x5 ≥ 0, x6 ≥ 0, x7 ≥ 0x+
2 ≥ 0, x−2 ≥ 0
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Proprieta della forma standard
min c>xAx = bx ≥ 0n
(1)
P = {x ∈ Rn : Ax = b, x ≥ 0n}
P ⊆ Rn+ (ortante positivo);
P non puo contenere rette;
se P 6= ∅, allora P ammette almeno un vertice;
al problema (1) si applica il Teorema fondamentale della PL(II)
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Proprieta della forma standard
min c>xAx = bx ≥ 0n
(1)
P = {x ∈ Rn : Ax = b, x ≥ 0n}
P ⊆ Rn+ (ortante positivo);
P non puo contenere rette;
se P 6= ∅, allora P ammette almeno un vertice;
al problema (1) si applica il Teorema fondamentale della PL(II)
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Proprieta della forma standard
min c>xAx = bx ≥ 0n
(1)
P = {x ∈ Rn : Ax = b, x ≥ 0n}
P ⊆ Rn+ (ortante positivo);
P non puo contenere rette;
se P 6= ∅, allora P ammette almeno un vertice;
al problema (1) si applica il Teorema fondamentale della PL(II)
Ricerca Operativa G. Liuzzi
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Programmazione Matematica Geometria di Rn Esempi Teoria della PL Forma Standard
Proprieta della forma standard
min c>xAx = bx ≥ 0n
(1)
P = {x ∈ Rn : Ax = b, x ≥ 0n}
P ⊆ Rn+ (ortante positivo);
P non puo contenere rette;
se P 6= ∅, allora P ammette almeno un vertice;
al problema (1) si applica il Teorema fondamentale della PL(II)
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Proprieta della forma standard
min c>xAx = bx ≥ 0n
(1)
P = {x ∈ Rn : Ax = b, x ≥ 0n}
P ⊆ Rn+ (ortante positivo);
P non puo contenere rette;
se P 6= ∅, allora P ammette almeno un vertice;
al problema (1) si applica il Teorema fondamentale della PL(II)
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