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Ricerca Operativa
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Ricerca Operativa
Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzionetramite strumenti automatici di problemi di decisionecomplessi.
In tali problemi la complessità è determinata dall’ampiezzadello spazio delle scelte possibili.
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Problema di decisione : componenti
Dati - tutto ciò che è noto a priori e non è sotto ilcontrollo del decisore
Variabili - le quantità sotto il diretto controllo del decisore
Vincoli - condizioni che limitano le possibili scelte deldecisore
Obiettivo - criterio attraverso cui le scelte del decisorevengono confrontate
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Un (banale) esempio
In casa con voi avete:
una borsa del valore di 25 Euro
una macchina fotografica del valore di 100 Euro
un libro del valore di 10 Euro
Potete portare fuori di casa al massimo un oggetto. Voleteportare con voi il massimo valore possibile
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Un (banale) esempio - continua
Dati - i valori dei tre oggetti
Variabili - per ogni oggetto dovete decidere se portarlocon voi oppure no
Vincolo - potete portare con voi al massimo uno dei treoggetti
Obiettivo - il valore che portate con voi, da massimizzare
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Variabili
Borsa =
{
NO non porto la borsa con meSI porto la borsa con me
Simile per Macchina Foto e per Libro.
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Scelte possibili
Borsa Macchina Foto Libro
NO NO NO
SI NO NO
NO SI NO
NO NO SI
SI SI NO
SI NO SI
NO SI SI
SI SI SI
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Scelte accettabili
Borsa Macchina Foto Libro V alore
NO NO NO 0
SI NO NO 25
NO SI NO 100
NO NO SI 10
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Un esempio più complesso
Farina Acqua Medicinali UtilitàTIPO I 10 10 30 14TIPO II 30 20 10 5TIPO III 20 40 5 4
Disp.max 5100 8000 1805
Problema: individuare quanti pacchi di ciascun tiporealizzare, tenuto conto delle disponibilità massime dirisorse, in modo da massimizzare l’utilità totale dei pacchirealizzati.
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Un esempio più complesso - continua
Dati - i valori nella tabella
Variabili - per ogni tipo di pacco dovete decidere quantipacchi di quel tipo realizzare
Vincoli - non superare la disponibilità massima di risorsedisponibili
Obiettivo - il valore di utilità totale, da massimizzare
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La programmazione matematica
Problemi di decisione come quello precedentementedescritto possono essere riformulati in modelli diProgrammazione Matematica. Un modello diProgrammazione Matematica è una traduzione delproblema di decisione in linguaggio matematico
Variabili - ad ogni variabile viene associata una variabilematematica (ad esempio x1, x2, . . . , xn se abbiamo n
variabili)
Vincoli - I vincoli vengono espressi tramite equazioni edisequazioni in cui compaiono variabili e dati delproblema
Obiettivo - L’obiettivo viene tradotto in una funzionematematica delle variabili del problema
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Prog. Matematica : il problema generico
max (o min) f(x1, . . . , xn)
gi(x1, . . . , xn) ≤ 0 i ∈ I1
gi(x1, . . . , xn) ≥ 0 i ∈ I2
gi(x1, . . . , xn) = 0 i ∈ I3
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Il modello dell’esempio
Dati - i valori numerici nella tabella
Variabili - xi =quantità di pacchi di tipo i che decidete direalizzare (i = 1, 2, 3)
Vincoli -
10x1 + 30x2 + 20x3 ≤ 5100 (disp. max farina)
10x1 + 20x2 + 40x3 ≤ 8000 (disp. max acqua)
30x1 + 10x2 + 5x3 ≤ 1805 (disp. max medicinali)
x1, x2, x3 ≥ 0 quantità di pacchi non negativa
Obiettivo -
14x1 + 5x2 + 4x3
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Modello matematico dell’esempio
max 14x1 + 5x2 + 4x3
tenuto conto che10x1 + 30x2 + 20x3 ≤ 5100
10x1 + 20x2 + 40x3 ≤ 8000
30x1 + 10x2 + 5x3 ≤ 1805
x1, x2, x3 ≥ 0
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La Programmazione Lineare
La generica forma dei problemi di ProgrammazioneMatematica comprende una grande varietà di problemi acui corrispondono livelli di difficoltà molto diversi e anchetecniche risolutive molto diverse. Qui ci concentreremo suuna importante sottoclasse di problemi di programmazionematematica che si incontra in molte applicazioni pratiche, laclasse dei problemi di Programmazione Lineare (abbreviatacon PL nel seguito).
max (o min)∑n
j=1cjxj
∑nj=1
aijxj ≤ bi i ∈ I1
∑nj=1
aijxj ≥ bi i ∈ I2
∑nj=1
aijxj = bi i ∈ I3
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Caratteristiche dei modelli di PL
Proporzionalit a Il contributo di ogni variabile xj
nell’obiettivo e nei vincoli è direttamente proporzionaleal valore della variabile.
Additivit a I contributi delle diverse variabili si sommanotra loro sia nell’obiettivo che nei vincoli
Continuit a Le variabili xj possono assumere tutti i valorireali.
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Importanza della PL
I programmi lineari sono molto importanti per almeno treragioni:
molti problemi reali (tra cui, come abbiamo visto, quellointrodotto in precedenza) hanno come modellomatematico proprio un programma lineare;
sono più semplici da risolvere rispetto ad altri modellidove compaiono termini non lineari. Per i programmilineari esistono delle procedure molto efficienti dirisoluzione (come l’algoritmo del simplesso chedescriveremo in seguito).
Le tecniche di risoluzione di problemi più difficili sibasano spesso sulla risoluzione di sottoproblemi di PL(lo vedremo bene nella Programmazione LineareIntera).
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I problemi di PL in forma canonica
In forma scalare:
max∑n
j=1cjxj
∑nj=1
aijxj ≤ bi i = 1, . . . ,m
xj ≥ 0 j = 1, . . . , n
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Prodotto scalare tra vettori
Vettore di dimensione n
p = (p1 · · · pn)
Dato un altro vettore di dimensione n
q = (q1 · · · qn)
Il prodotto scalare tra i due vettori è un valore scalare:
pq =n∑
j=1
pjqj
Esempio:
p = (2 3 6) q = (3 8 7) pq = 2 ∗ 3 + 3 ∗ 8 + 6 ∗ 7 = 72Ricerca Operativa – p. 19/67
Proprietà
Siano p,q1,q2 ∈ Rn e α, β ∈ R. Allora:
p(αq1 + βq2) = α(pq1) + β(pq2)
Esempio:
p = (2 3 6) q1 = (1 2 5) q2 = (6 0 3) α = 2 β = 3
αq1 + βq2 = 2(1 2 5) + 3(6 0 3) = (2 4 10) + (18 0 9) = (20 4 19)
p(αq1 + βq2) = 2 ∗ 20 + 3 ∗ 4 + 6 ∗ 19 = 166
pq1 = 2 ∗ 1 + 3 ∗ 2 + 6 ∗ 5 = 38 pq2 = 2 ∗ 6 + 3 ∗ 0 + 6 ∗ 3 = 30
α(pq1) + β(pq2) = 2 ∗ 38 + 3 ∗ 30 = 166Ricerca Operativa – p. 20/67
Generalizzazione della proprietà
Dati i vettori p,q1,q2, . . . ,qt ∈ Rn e gli scalariα1, α2, . . . , αt ∈ R, si ha che
p[α1q1 + α2q2 + · · · + αtqt] = p
[t∑
i=1
αiqi
]
=t∑
i=1
αi(pqi)
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Prodotto matrice-vettore
Data una matrice A di ordine m × n (m righe e n colonne)
a11 . . . a1n
......
...am1 . . . amn
ed un vettore p di dimensione n
p = (p1 · · · pn)
Il prodotto matrice-vettore è un vettore di dimensione m lacui componente i è il prodotto scalare tra la i-esima riga diA e il vettore p:
n∑
j=1
aijpj
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Prodotto vettore-matrice
Data una matrice A di ordine m × n (m righe e n colonne)
a11 . . . a1n
......
...am1 . . . amn
ed un vettore q di dimensione m
q = (q1 · · · qm)
Il prodotto vettore-matrice è un vettore di dimensione n lacui componente j è il prodotto scalare tra la j-esimacolonna di A e il vettore q:
m∑
i=1
aijqiRicerca Operativa – p. 23/67
Esempi
A =
[
7 6 3
2 4 8
]
p = (3 8 7)
q = (4 5)
Ap = (7 ∗ 3 + 6 ∗ 8 + 3 ∗ 7 2 ∗ 3 + 4 ∗ 8 + 8 ∗ 7) = (90 94)
qA = (4 ∗ 7 + 5 ∗ 2 4 ∗ 6 + 5 ∗ 4 4 ∗ 3 + 5 ∗ 8) = (38 44 52)
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PL in forma canonica
Introduciamo i seguenti vettori:
c ∈ Rn: vettore di dimensione n con componenti cj ,j = 1, . . . , n, ovvero:
c = (c1 c2 · · · cn);
x ∈ Rn: vettore di variabili di dimensione n concomponenti xj , j = 1, . . . , n, ovvero:
x = (x1 x2 · · · xn);
ai ∈ Rn, i = 1, . . . ,m: m vettori di dimensione n concomponenti aij, j = 1, . . . , n, ovvero:
ai = (ai1 ai2 · · · ain).
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PL in forma canonica
Osservando che
cx =n∑
j=1
cjxj
e
aix =n∑
j=1
aijxj
abbiamo la seguente rappresentazione vettoriale per unproblema di PL in forma canonica:
max cx
aix ≤ bi i = 1, . . . ,m
x ≥ 0
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PL in forma canonica
Si consideri la matrice A ∈ Rm×n che ha tante righe quantisono i vincoli del problema (m) e la cui i-esima riga è ilvettore ai e del vettore b = (b1 · · · bm) ∈ Rm di dimensionem con componenti bi, i = 1, . . . ,m. Osservando che
Ax = (a1x . . . amx)
possiamo scrivere la rappresentazione matriciale del problemadi PL in forma canonica:
max cx
Ax ≤ b
x ≥ 0
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Esempio degli aiuti umanitari
Il vettore c = (14 5 4)Il vettore di variabili x = (x1 x2 x3)I vettori ai, i = 1, 2, 3
a1 = (10 30 20) a2 = (10 20 40) a3 = (30 10 5)
Il vettore b = (5100 8000 1805)La matrice A
10 30 20
10 20 40
30 10 5
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PL canonici≡ PL generici
Osservazione Ogni problema di PL in forma generica puòessere trasformato in uno equivalente in forma canonica.
Trasformazione da min a max
min cx = −max −cx
Trasformazione vincolo ≥ in vincolo ≤
aix ≥ bi ⇔ −aix ≤ −bi
Trasformazione vincolo = in due vincoli ≤
aix = bi ⇔ aix ≤ bi, aix ≥ bi ⇔ aix ≤ bi, −aix ≤ −bi
Ricerca Operativa – p. 29/67
PL canonici≡ PL generici
Sostituzione variabile ≤ 0 con variabile ≥ 0 Data xi ≤ 0,effettuare il cambio di variabile xi = −x′
i, dove x′i ≥ 0
Sostituzione variabile libera in segno con due variabili ≥ 0Data xi libera in segno, effettuare il cambio di variabilexi = x
′′
i − x′i, dove x′
i, x′′
i ≥ 0
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Un esempio
Si trasformi il seguente problema di PL in forma generica inun problema di PL in forma canonica
min x1 + x2 + x3
x1 + 2x2 − x3 ≤ 3
x1 + 4x2 + 5x3 = 5
x1 − 2x2 + x3 ≥ 3
x1 ≥ 0
x2 ≤ 0
x3 libera in segno
Ricerca Operativa – p. 31/67
Insiemi convessi
Un insieme C ⊆ Rn si dice convesso se
∀ x1,x2 ∈ C ∀ λ ∈ [0, 1] : λx1 + (1 − λ)x2 ∈ C,
ovvero se dati due punti qualsiasi in C, il segmento che licongiunge è anch’esso completamente contenuto in C.
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Insiemi limitati e chiusi
Un insieme C si dice limitato se esiste una sfera di raggiofinito R che lo contiene.
Un insieme C si dice chiuso se contiene la sua frontiera.
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Semispazi e iperpiani
Si definisce semispazio in Rn l’insieme di punti che soddisfauna disequazione lineare in Rn:
n∑
j=1
wjxj ≤ v
(in forma vettoriale: wx ≤ v).
Si definisce iperpiano in Rn l’insieme di punti che soddisfaun’equazione lineare in Rn:
n∑
j=1
wjxj = v
(in forma vettoriale: wx = v).Ricerca Operativa – p. 34/67
Poliedri e politopi
Si definisce poliedro l’intersezione di un numero finito disemispazi e/o iperpiani. Se il poliedro è limitato esso vienechiamato politopo.
Ricerca Operativa – p. 35/67
La regione ammissibileSa
La regione ammissibile Sa di un problema di PL in formacanonica
Sa = {x ∈ Rn : aix ≤ bi, i = 1, . . . ,m, x ≥ 0}.
è un poliedro.
Semispazi e iperpiani sono insiemi chiusi
L’intersezione di un numero finito di insiemi chiusi è uninsieme chiuso
⇓
I poliedri (e quindi Sa) sono insiemi chiusi
Ricerca Operativa – p. 36/67
Convessità
Siano x,y ∈ Sa, ovvero
aix ≤ bi i = 1, . . . ,m x ≥ 0,
eaiy ≤ bi i = 1, . . . ,m y ≥ 0.
Per ogni λ ∈ (0, 1) e per ogni i ∈ {1, . . . ,m} avremo:
ai[λx + (1 − λ)y] =
= λ︸︷︷︸
>0
aix︸︷︷︸
≤bi
+(1 − λ)︸ ︷︷ ︸
>0
aiy︸︷︷︸
≤bi
≤
λbi + (1 − λ)bi = bi.
Ricerca Operativa – p. 37/67
Continua
Inoltre:λ
︸︷︷︸
>0
x︸︷︷︸
≥0
+(1 − λ)︸ ︷︷ ︸
>0
y︸︷︷︸
≥0
≥ 0.
Quindi:λx + (1 − λ)y ∈ Sa.
⇓
La regione ammissibile Sa è un insieme convesso.
Ricerca Operativa – p. 38/67
Limitatezza e illimitatezza
La regione ammissibile Sa può essere:
= ∅
max x1 + x2
x1 ≤ −1
x1 + x2 ≤ 1
x1, x2 ≥ 0
un poliedro limitato (politopo)
max x1 + x2
x1 + x2 ≤ 1
x1, x2 ≥ 0
Ricerca Operativa – p. 39/67
Continua
un poliedro illimitato
max x1 + x2
x1 − x2 ≤ 0
x1, x2 ≥ 0
Ricerca Operativa – p. 40/67
Ricapitolando ...
... la regione ammissibile Sa di un problema di PL è unpoliedro e come tale è un insieme chiuso e convesso.Inoltre, può essere un insieme vuoto, un insieme limitato(politopo) oppure un insieme illimitato.
Ricerca Operativa – p. 41/67
Vertici di Sa
Si definisce vertice di Sa un punto x ∈ Sa tale che nonesistono due punti distinti x1,x2 ∈ Sa, x1 6= x2, tali che
x =1
2x1 +
1
2x2.
ovvero x è il punto medio del segmento che congiunge x1 ex2.
Ricerca Operativa – p. 42/67
Alcuni risultati
Teorema
Dato un problema di PL in forma canonica, se Sa 6= ∅, alloraSa contiene almeno un vertice.
Osservazione
Sa ha sempre un numero finito di vertici.
Ricerca Operativa – p. 43/67
Raggi
Nel caso Sa sia un poliedro illimitato possiamo ancheintrodurre le definizioni di raggio e raggio estremo.
Si definisce raggio di Sa un vettore r tale che
∀ x0 ∈ Sa ∀ λ ≥ 0 : x0 + λr ∈ Sa,
cioè la semiretta con origine in x0 e direzione r ècompletamente contenuta in Sa per qualsiasi punto x0 ∈ Sa.
Ricerca Operativa – p. 44/67
Raggi estremi
Un raggio r di Sa si definisce raggio estremo di Sa se nonesistono altri due raggi r1 e r2 di Sa con direzioni distinte,ovvero
r1 6= µr2 ∀ µ ∈ R,
tali che
r =1
2r1 +
1
2r2.
Osservazione
Sa ha sempre un numero finito di raggi estremi.
Ricerca Operativa – p. 45/67
Teorema di rappresentazione diSa
Teorema Sia dato un problema di PL in forma canonica conSa 6= ∅. Siano v1, . . . ,vk i vertici di Sa e, nel caso in cui Sa
sia un poliedro illimitato, siano r1, . . . , rh i raggi estremi diSa. Allora
x ∈ Sa
se e solo se
∃ λ1, . . . , λk ≥ 0,k∑
i=1
λi = 1, ∃ µ1, . . . , µh ≥ 0
tali che
x =k∑
i=1
λivi +h∑
j=1
µjrj .
Ricerca Operativa – p. 46/67
Ovvero ...
... i punti in Sa sono tutti e soli i punti ottenibili come sommadi
una combinazione convessa dei vertici di Sa
una combinazione lineare con coefficienti non negatividei raggi estremi di Sa
Quindi un numero finito di oggetti (vertici e raggi estremi) mipermettono di rappresentare tutto l’insieme Sa.
Ricerca Operativa – p. 47/67
L’insieme delle soluzioni ottimeSott
Insieme soluzioni ottime
Sott = {x∗ ∈ Sa : cx∗ ≥ cx ∀ x ∈ Sa},
Sott ⊆ Sa, quindi Sa = ∅ ⇒ Sott = ∅.
Ricerca Operativa – p. 48/67
Una, nessuna, infinite
Osservazione
Se Sott è un insieme finito e non vuoto, Sott contiene un solopunto.
Dimostrazione Per assurdo sia Sott un insieme finito econtenga più di un punto. Siano x1,x2 ∈ Sott, x1 6= x2, duepunti distinti di Sott.
Ricerca Operativa – p. 49/67
Continua
Per l’ottimalità di x1 e x2 si deve avere cx1 = cx2.
Per la convessità di Sa e x1,x2 ∈ Sa:
λx1 + (1 − λ)x2 ∈ Sa ∀ λ ∈ (0, 1),
Per la linearità della funzione obiettivo ∀ λ ∈ (0, 1):
c[λx1+(1−λ)x2] = λcx1+(1−λ)cx2 = λcx1+(1−λ)cx1 = cx1.
Quindi:λx1 + (1 − λ)x2 ∈ Sott ∀ λ ∈ (0, 1)
cioè tutto il segmento che congiunge x1 e x2 è contenuto inSott, il che contraddice la finitezza dell’insieme Sott.
Ricerca Operativa – p. 50/67
Le diverse forme possibili diSott
Caso 1 Sa = ∅ ⇒ Sott = ∅.
Caso 2 Sa 6= ∅ e politopo.Politopo è insieme chiuso e limitato, funzione obiettivo èlineare e quindi continua ⇒ (Teorema di Weierstrass)Sott 6= ∅.Sono possibili due sottocasi.
Caso 2.1 Sott è costituito da un solo punto.
max 2x1 + x2
x1 + x2 ≤ 1
x1, x2 ≥ 0
Ricerca Operativa – p. 51/67
Continua
Caso 2.2 Sott è costituito da un insieme infinito e limitato dipunti.
max x1 + x2
x1 + x2 ≤ 1
x1, x2 ≥ 0
Ricerca Operativa – p. 52/67
Continua
Caso 3 Sa 6= ∅ e poliedro illimitato. Sono possibili quattrosottocasi.
Caso 3.1 Sott = ∅ in quanto l’obiettivo è illimitato, ovveroesiste una sequenza infinita di punti {xk} di Sa lungo cuila funzione obiettivo cresce a +∞. Formalmente:
∃ {xk} : xk ∈ Sa ∀ k e cxk → +∞ k → +∞.
max x1 + x2
−x1 + x2 ≤ 0
x1 − x2 ≤ 1
x2 ≥ 1
x1, x2 ≥ 0Ricerca Operativa – p. 53/67
Continua
Caso 3.2 Sott è costituito da un solo punto.
max −x1
−x1 + x2 ≤ 0
x1 − x2 ≤ 1
x2 ≥ 1
x1, x2 ≥ 0
Ricerca Operativa – p. 54/67
Continua
Caso 3.3 Sott è costituito da un insieme infinito e limitato dipunti.
max −x2
−x1 + x2 ≤ 0
x1 − x2 ≤ 1
x2 ≥ 1
x1, x2 ≥ 0
Ricerca Operativa – p. 55/67
Continua
Caso 3.4 Sott è costituito da un insieme infinito e illimitato dipunti.
max x1 − x2
−x1 + x2 ≤ 0
x1 − x2 ≤ 1
x2 ≥ 1
x1, x2 ≥ 0
Ricerca Operativa – p. 56/67
Un lemma
Lemma
Dato un problema di PL in forma canonica, se Sott 6= ∅,allora per ogni raggio estremo r di Sa si ha:
cr ≤ 0.
Ricerca Operativa – p. 57/67
Dimostrazione
Per assurdo supponiamo esista un raggio estremo r taleche
cr > 0
Sott 6= ∅ ⇒ Sa 6= ∅.
Sia x0 ∈ Sa. Per definizione di raggio avremo che
∀ λ ≥ 0 : x0 + λr ∈ Sa.
Valore funzione obiettivo in punti x0 + λr:
c(x0 + λr) = cx0 + λ cr︸︷︷︸
>0
→︸︷︷︸
λ→+∞
+∞
Allora Sott = ∅ in quanto l’obiettivo è illimitato sulla regioneammissibile, il che contraddice Sott 6= ∅.
Ricerca Operativa – p. 58/67
Teorema fondamentale della PL
Teorema
Dato un problema di PL in forma canonica, se Sott 6= ∅,allora Sott contiene almeno un vertice di Sa.
Ricerca Operativa – p. 59/67
Dimostrazione
Siano v1, . . . ,vk i vertici di Sa e, nel caso in cui Sa sia unpoliedro illimitato, indichiamo con r1, . . . , rh i raggi estremi diSa.
Se Sott 6= ∅, sia x∗ ∈ Sott.
Per assurdo supponiamo che
v1, . . . ,vk 6∈ Sott
da cui:cvi < cx∗ i = 1, . . . , k
Ricerca Operativa – p. 60/67
Continua
Per il teorema di rappresentazione di Sa, x∗ ∈ Sa implicache
∃ λ∗1, . . . , λ
∗k ≥ 0,
k∑
i=1
λ∗i = 1, ∃ µ∗
1, . . . , µ∗h ≥ 0
tali che
x∗ =k∑
i=1
λ∗i vi +
h∑
j=1
µ∗jrj .
Quindi:
cx∗ = c
k∑
i=1
λ∗i vi +
h∑
j=1
µ∗jrj
Ricerca Operativa – p. 61/67
Continua
Per la linearità della funzione obiettivo
cx∗ =k∑
i=1
λ∗i (cvi) +
h∑
j=1
µ∗j(crj).
Dal lemma precedente:
crj ≤ 0 j = 1, . . . , h.
Ricerca Operativa – p. 62/67
Continua
Quindi:
cx∗ =k∑
i=1
λ∗i (cvi) +
h∑
j=1
µ∗j
︸︷︷︸
≥0
(crj)︸ ︷︷ ︸
≤0
.
da cui:
cx∗ ≤k∑
i=1
λ∗i (cvi).
Ricerca Operativa – p. 63/67
Continua
Da cvi < cx∗, ∀ i segue che:
cx∗ ≤k∑
i=1
λ∗i (cvi)︸ ︷︷ ︸
<cx∗
<
k∑
i=1
λ∗i (cx
∗).
NB: lo strettamente minore vale perchè almeno uno dei λ∗i è
strettamente positivo in quanto la loro somma deve esserepari a 1.
Quindi:
cx∗ < (cx∗)k∑
i=1
λ∗i = cx∗.
il che è assurdo.Ricerca Operativa – p. 64/67
Un commento
Il teorema fondamentale della PL è alla base dellaprocedura di risoluzione che descriveremo, l’algoritmo delsimplesso.
Infatti, tale algoritmo ricerca la soluzione ottima cercando dispostarsi ad ogni iterazione in modo intelligente da unvertice all’altro di Sa. Per modo intelligente si intende chel’algoritmo tenta di spostarsi ad una data iterazione da unvertice a uno con valore della funzione obiettivo maggiore.
Ricerca Operativa – p. 65/67
Problema 1
Sia dato il problema di PL in forma canonica
max cx
aix ≤ bi i = 1, . . . ,m
x ≥ 0
e sia x ∈ Sa tale che
aix < bi ∀ i, x > 0.
Si dimostri che
x ∈ Sott ⇔ Sa = Sott
Ricerca Operativa – p. 66/67
Problema 2
Siano vi, i = 1, . . . , k, i vertici della regione ammissibile Sa
di un problema di PL. Si supponga che Sott 6= ∅ e che tutti ivertici abbiano lo stesso valore dell’obiettivo, ovvero
cvi = cvj ∀ i 6= j
Si dimostri che:
a) Sa = Sott se Sa è un politopo;
b) può essere Sa 6= Sott nel caso Sa sia un poliedro illimitato.
Ricerca Operativa – p. 67/67