Revista Olimpica II Trimestre 2008

8/9/2019 Revista Olimpica II Trimestre 2008

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Problemas de Matemtica para

Competencias olmpicas

Sociedad Ramamsem

II TRIMESTRE DEL 2008


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CONTENIDO

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Pgina1. Presentacin 1

2. Solucin a los anteriores Problemas de Competencias no Olmpicas 7

3. Problemas de Competencias no Olmpicas 25

4. CURIOSATO 33

5. Solucin a los problemas anteriores de la columnaOlimpiadas alrededor del mundo.

46

6. Olimpiadas alrededor del mundo 58

7. Lgica y Matemtica Recreativa 60

8. Gua y lecciones de entrenamiento para competencias matemticas. 72

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Sociedad RAMAMSEM

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1. Presentacin.Esta publicacin es realizada por la Sociedad RAMAMSEM y va dirigida a todas aque

personas que deseen explorar una matemtica diferente a la que se ensea en secundaria, y

algo ms !Toda comunicacin o informacin con respecto a los problemas propuestos o solucionpueden ser enviados a

[email protected] [email protected]

Con la eliminacin de las pruebas de tercer ciclo de nuestro sistema educativo por parte dConsejo de Educacin Superior y nuestra posible inclusin en las pruebas PISA y TIMMSdetallamos, a continuacin, qu son, en que consisten, a quienes van dirigidas y cuales son suobjetivos.

PRUEBAS PISA : EDUCACIN DE PRIMERA O SEGUNDA DIVISIN ?PISA ( Programme for Indicators of Student Achievement ) es un estudio internacional

evaluacin educativa de los conocimientos y destrezas de los alumnos a la edad de 15 aocoordinado y realizado a iniciativa de la Organizacin para la Cooperacin y el DesarrEconmico (OCDE).No evala un determinado nivel acadmico, sino lo qu son capaces de hacer los alumnos quhan alcanzado la edad biolgica de 15 aos (edad prxima al final del perodo de escolarizaciobligatoria en la mayora de los pases de la OCDE).Es un estudio longitudinal. Sus pruebas se repiten cada tres aos, en cada uno de ellos seprofundiza especialmente en una de las materias. PISA 2006 en Ciencias y en PISA 2009 materia principal ser de nuevo Lectura. Para realizar la evaluacin, el alumno se someteunas pruebas escritas, que versan sobre conocimientos y competencias en las distintamaterias. Estas pruebas estn acompaadas de cuestionarios de contexto, los cuales recogendatos referentes a la situacin social y familiar del alumnado, la organizacin y clima del cenlos procesos de enseanza-aprendizaje o las actitudes de alumnos, familias y docentes. A s


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vez, los directores de los centros rellenan un cuestionario de preguntas relativo a su centeducativo.Los resultados que se obtienen ayudan a definir un perfil bsico de los conocimientosdestrezas del alumnado de 15 aos.Las pruebas son escritas y la duracin total es de 120 minutos por alumno (30 minutos deprueba se emplean para que el alumno responda el cuestionario de contexto).Como cada alumno slo responde a un cuadernillo, es evidente que ni siquiera se puedecomparar los resultados de los alumnos seleccionados.De un ciclo PISA a otro se mantienen contenidos similares de manera que los resultados secomparables.La prueba PISA proporciona tres tipos principales de resultados:

Indicadores bsicos: que proporcionan un perfil base de los conocimientos y las habilidadeslos estudiantes. Indicadores contextuales: que muestran la relacin que guardandichas habilidades en las principales variables demogrficas, sociales, econmicas educacionales.Indicadores de tendencias: que se derivan del carcter continuo de la recogida de datos muestran los cambios en los niveles y en la distribucin de los resultados.Durante los meses de abril y mayo de 2006 se evaluaron a un total de 375.525 alumnoprovenientes de 14.365 centros educativos de los 56 pases participantes y los resultados solos que se presentan en el siguiente cuadro.Los estudiantes chilenos obtuvieron puntajes que no sobrepasaron los 450 puntos, que si bies cierto distan de los primeros lugares, se sitan por sobre la mayora de los pases dAmrica Latina.

El Estudio Internacional de Matemticas y Ciencias (TIMSS)

Es un proyecto de la Asociacin Internacional para la Evaluacin Educativa (IEA). La IEAuna institucin independiente que coopera con las instituciones nacionales de investigacin la realizacin estudios de evaluacin desde 1959.El estudio TIMSS se realiza cada cuatro aos y proporciona a los pases una oportunidad nipara medir el progreso en la enseanza de Matemticas y Ciencias.


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As mismo, proporciona un recurso para interpretar los resultados e informa de los cambiosla prctica del proceso de enseanza-aprendizaje a lo largo del tiempo.

TIMSS por medio de cuestionarios pregunta a estudiantes, profesorado y miembros de l

equipos directivos acerca de los contextos para aprender Matemticas y Ciencias. Los datos destos cuestionarios proporcionan un retrato dinmico de los cambios en las prcticas educativy son una ayuda para mejorar dichas prcticas e implementar normas.

El modelo curricular de TIMSS tiene tres aspectos:El curriculum diseado.El curriculum aplicado.El curriculum logrado.

Estos representan, por una parte, lo que la sociedad piensa que los estudiantes tienen queaprender de las Matemticas y las Ciencias, y por otra parte, cmo el sistema educativo se hade organizar para facilitar dicho aprendizaje.

Las pruebas de TIMSS se elaboran mediante un consenso internacional contando conexpertos en Didctica, en Matemticas, en Ciencias y en Estadstica.

Los diseadores de la prueba e investigadores, as como la comunidad educativa puedeesperar que los resultados en Matemticas y en Ciencias:

Informen sobre comparaciones de los resultados obtenidos por cada pas y entre pasesy, en unin con otros datos de TIMSS, sugieran las razones para establecer diferencias entreellos.

Mejoren la evaluacin de la eficacia de la enseanza y el aprendizaje en Matemticas yen Ciencias dentro de cada pas.

Descubran los aspectos ms relevantes del progreso en el conocimiento y habilidadesmatemticas y cientficas en 2 curso de la E.S.O.

Proporcionen datos complementarios acerca de los resultados en distintos sistemaseducativos y centros escolares, as como en la mejora de la prctica docente.


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Para finalizar con esta presentacin, en nuestra portada tenemos las conocidaCircunferencias de Miquel.Auguste Miquel public el siguiente teorema en 1838 (descubierto en 1832 por l):

Consideremos tres crculosk, l, m y con un punto comnM y que Sean P , Q y R los otros puntos comunes del, m, k, m y k, l respectivamente. Consideremoscualquier puntoA de la circunferenciak; lo unimos conR y prolongamos hastacortar a la circunferencial en B. Ahora unimos BP y prolongamos hasta cortar elcrculom en C. Entonces, los puntos A, Q y C estn alineados.

Es decir, independientemente de la eleccin del punto A, siempre obtenemos un tringulo.Tambin podemos enunciar el resultado anterior al revs:Si A, B , C son los vrtices de un tringulo yP , Q , R son puntos de los respectivos lados

opuestos, se llaman circunferencias de Miquel a cada una de las circunferencias que pasanpor un vrtice y los puntos intermedios de los lados vecinos:ARQ , BPR y CQP .El teorema de Miquel establece que

Las tres circunferencias de Miquel son concurrentes en un punto Al punto comnM a las tres circunferencias de Miquel se le conoce comopunto de Miquel.

Auguste Miquel era un matemtico francs, quien tiende a no aparecer en la historimatemtica, autor de valiosos teoremas de geometra plana concerniente a crculos poligonos.

en 1838, como regente (profesor adjunto) de matemticas en Nantua, l publica en revista de matemticas de Liouville algunos artclos concernientes a la teorae de lcurvas y las intersecciones de crculos y de esferas.

en 1844 y en 1846, junto con algunos profesores de matemticass del colegio de Castre(comuna francesa) publica una memoria de geometra en tres partes.

Teorema del Cuadriltero de Miquel

Veremos un caso especial del teorema del tringulo de Miquel cuando los puntos sobre llados del tringulo yacen en una recta. stos crean cuatro tringulos, ABC, CDE, BEF y A junto con el cuadriltero ADEB. Trazamos el circuncrculo del tringulo ABC y papreciarse que ste tambin pasa por el punto de Miquel.


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Algo ms interesante, es que los centros de estos cuatro crculos yacen sobre otro crculo cual pasa por el punto de Miquel.

As, el teorema del cuadriltero de Miquel puede escribirse como:

"Si cuatro rectas forman un cuadriltero y los lados se extienden para formar tringulos en dlados adyacentes del cuadriltero, entonces los circuncrculos de los cuatro tringulos paspor el punto de Miquel y los centros de los circuncrculos yacen en otra circunferencia tambin pasan por el punto de Miquel."

Teorema del pentgono/pentagrama de Miquel

Este teorema es escrito usualmente as:

"Si cinco rectas forman un pentgono y los lados son prolongados para formar un pentagramlas cinco rectas se intersecan para formar tringulos en cada lado del pentgono. Trace locircuncrculos de cada uno de esos tringulos. Los nuevos cinco nuevos puntos formados porinterseccin de estos cinco crculos yacen en otro crculo."


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La figura se presenta a continuacin, el crculo en Negro es el crculo obtenido.

Esta es la figura que normalmente se mira en los libros que describen el Teorema dpentgono/pentagrama de Miquel. Pero, en su versin original la figura que se obtiene es siguiente


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2. Solucin a los anteriores Problemas de Competencias noOlmpicas.

Miguel ngel Arias Vlche

Giovanni Buckcanan AguilaKendrick Mitchell MaturMauricio Rodrguez Mata

A continuacin brindamos la solucin de los 30 ejercicios propuestos en la columProblemas de Competencias no Olmpicas de la edicin anterior.

Les recordamos que la forma de resolver cada ejercicio no necesariamente es la nica, a

que invitamos al estimable lector a enviarnos sus soluciones a los mismos.

LGEBRA.

1) Amy, Bart y Carol estn comiendo zanahorias. Amy comi la mitad de las que comi B

ms un tercio de los que comi Carol, ms una. Bart comi la mitad de las que comi Cams un tercio de los que comi Amy, ms dos. Carol comi la mitad de las que comi Amy, mun tercio de los que comi Bart, ms tres. Cuntas zanahorias comieron en total ?(29TH JUNIOR HIGH SCHOOL MATHEMATICS CONTEST, April 27, 2005)SOLUCIN:Sean A, B, C el nmero de zanahorias comidas por Amy, Bart y Carol respectivamente,problema nos indica:


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de donde

con lo que

y se concluye que

2) Determine todas las soluciones( ) y x, para el sistema de ecuaciones

(Canadian Open Mathematics Challenge, November 22, 2006)

SOLUCIN:Sustrayendo 5 veces la segunda ecuacin de 7 veces la primera ecuacin, obtenemos

Sustituyendo21

= x en la primera ecuacin obtenemos 122

521

4=+

yque equivale a

12258 =+ yde donde 2025 = y

por lo que 412= y y concluimos que .21

= y Finalmente,

las soluciones son

21

,21 y .

21

,21


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5) Pruebe que

(FAU/Stuyvesant Alumni Mathematics Competition 20042005)

SOLUCIN:

Sean20042003

20022001

65

43

21

= La y .20052004

20032002

76

54

32

= Lb Claramente, a < b y

2a < .2005

1=ab De donde a < .

20051

6) Pruebe que 014912 >++ x x x x para todo nmero real . x

(Mathematics Competition Department of Mathematics Florida Atlantic University Stuyvesant High School Alumni Association of South Florida, Spring, 2000.)

SOLUCIN:

La desigualdad se satisface si x es negativa. As que probaremos la desigualdad para .0 x Si ,1 x tenemos

.01181314912 >+

+

=++ x x x x x x x

Si ,10

=++++ x x x x x x x x x x x

desde que cada uno de los nmeros 31, x x y 81 x estn entre 0 y 1.


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7) Resuelva la ecuacin: .344121 x x x =

+

+

(Kettering University Mathematics Olympiad For High School Students 2005)SOLUCIN:Efectuando la multiplicacin indicada en el miembro izquierdo de la ecuacin se tiene

de donde

As, la nica solucin es .1= x

8) Sia y b son enteros positivos menores que100, resuelva la siguiente ecuacin:a 2 b 2 = 343.

(Lehigh University / AT&T High School Math Contest, March 27, 1999 )SOLUCIN:La ecuacin original puede expresarse en la forma (a + b )(a b ) = 343, comoa y b son enterospositivos menores que100 entonces a > b, a + b > a b y se obtienen el siguiente sistema deecuaciones: a + b = 49, a b = 7 cuya solucin es (28, 27).

9) Resuelva la siguiente ecuacin: .1232

22 =+

+

x x x x

(Lehigh University / AT&T High School Math Contest, March 27, 1999 )SOLUCIN:Recordemos que an = 1 siempre ser verdadero cuando se cumplan algunas condiciones ocasos, analicemos cada uno de ellos.CASO I: a 0 y n = 0.

.1,20)1)(2(0232 ====+ x x x x x x Estos valores de x satisfacen la ecuacin

original por lo que son soluciones de la misma.CASO II: a = 1 y n es cualquier nmero real.


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12

.212

2222

1142220122122 =

=

==+=+ x x x x x Estos

valores de x satisfacen la ecuacin original por lo que son soluciones de la misma.

CASO III: a = 1 y n es un nmero par.

.12)1(0122122 =+=++=+ x x x x x x Este valor de x satisface la ecuacin

original por lo que es solucin de la misma.

Finalmente, el conjunto solucin de la ecuacin es{ }.2,1,21,1,21 +

10) Determine todos los pares( ) y x, de nmeros reales positivos que satisfacen el sistema

2083 22 =+ xy x x y .10533 22 =+ yx y y

(Lehigh University / AT&T High School Math Contest, March 27, 1999 )

SOLUCIN:

La primera ecuacin puede ser expresada como 208323234 =

+ y x x y la segunda como

.1053323234 =

+ x y y Dividiendo la primera de stas por la segunda se obtiene

8116

34

34=

y

x de donde2783

3243

8116

=

=

= y x con lo que la solucin buscada es (8, 27).


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GEOMETRA

1) En la figura, AB = 4, BC = 3 y ABC = 90 = ACD = DCE = ADE = DAB.

Determine la longitud de AE.(30TH JUNIOR HIGH SCHOOL MATHEMATICS CONTEST, April 26, 2006)

SOLUCIN:Por el teorema de Pitgoras se obtiene AC = 5. Desde que ABC = 90, sabemos que CAB + ACB = 90. Pero tambin CAB + CAD = BAD = 90.Entonces ACB = CAD. Desde que ABC = ACD (= 90), esto significa que los tringulosABC y DCA son semejantes. As,

con lo que DA = 25/3.Desde que CAD = DAE y ACD = ADE (= 90), esto significa que los tringulos ACD yADE son semejantes. As,

y as, AE = (25/3)2 (1/5) = 125/9 .


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2) En el tringuloABC, M es el punto medio de BC, como se muestra en la figura.

Si ABM = 15 y AMC = 30, determine la medida del ngulo BCA.(Canadian Open Mathematics Challenge, November 22, 2006)SOLUCIN:Desde queAMC = 30, entonces AMB = 180 AMC = 150.Desde queABM = 15 yAMB = 150, entonces BAM = 180 ABM AMB = 15.Desde queABM =BAM, entonces BM = MA.Desde que BM = MA y BM = MC, entonces MA = MC, asMAC =MCA.Tambin,MCA = (180 AMC) = 75.Por todo lo anterior,BCA =MCA = 75.

3) Un punto en la circunferencia inscrita en un cuadrado est a 1 y 2 unidades de dos ladconsecutivos del cuadrado. Determine el rea del cuadrado.(Harvard-MIT Math Tournament, March 3, 2001)SOLUCIN:Llamemos al punto en cuestin , A el centro del crculo ,O y su radio .r Considere el tringulo

rectngulo BOA con hipotenusa OAOA : tiene longitud ,r y BO y BA tienen longitudes 1r

y 2r respectivamente. Por el teorema de Pitgoras,22

)2(2

)1( r r r =+ de donde seobtiene 50562 ==+ r r r ya que r > 2. El rea del cuadrado es ( ) .10022 =r


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4) En la figura siguiente,D es el punto medio del arco menorABC , y DE AB . Pruebe queAE = EB + BC .

(FAU/Stuyvesant Alumni Mathematics Competition 20042005)

SOLUCIN:Tracemos AD , BD , CD . Desde que D es el punto medio del arcoADBC , AD = DC . Tambin, DAB = BCD . Rotemos el tringuloDBC sobre el punto D tal que DC coincida conDA.Desde que A = C , B est sobre AB en un punto que llamaremosB tal que AB = BC .Desde que DB = DB , y DE AB , B E = EB . De lo anterior se sigue que,

AE = AB + B E = B E + AB = EB + BC .


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5) Las longitudes de los lados de un tringulo son tres enteros consecutivos. Si el nguinterno mayor mide el doble del ngulo interno menor, determine las longitudes de los lados.(Mathematics Competition Department of Mathematics Florida Atlantic University Stuyvesant High School Alumni Association of South Florida, Spring, 2000.)SOLUCIN:Sea ABC el tringulo en el cual los lados opuestos a los ngulos C B A ,, tienen longitudes

cba ,, respectivamente. Suponga que ,2 AC = tenemos que A Asen AsenC sen cos22 ==

y .2

cos AsenC sen

A = Usando la ley de cosenos y la ley de senos tenemos que

.22

222

a

c

bc

acb=

+ La anterior ecuacin es equivalente a .022)( =

+ cabaab Como

los lados del tringulo son enteros consecutivos tales que ,1,1 +== bcba con lo que

obtenemos la ecuacin 0)5( =bb y de aqu que .5=b Las longitudes de los tringulos son

4,5 y 6.

6) En un tringulo rectngulo,c es la longitud de la hipotenusa,a y b son las longitudes delos otros dos lados,d es la longitud del dimetro del crculo inscrito. Pruebe que

d cba +=+ (Mathematics Competition Department of Mathematics Florida Atlantic University Stuyvesant High School Alumni Association of South Florida, Spring, 2000.)SOLUCIN:El diagrama muestra al incrculo del tringulo rectngulo,con los puntos de tangencia a los lados. Notemosque IXCY es un cuadrado desde que ,CY CX =

y tres de sus ngulos son ngulos rectos.De lo anterior se sigue que


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7) Sea ABC un tringulo de rea 30. SeaD un punto de su interior y seane , f y g las distanciasde D a los lados del tringulo. Cul es el valor de la expresin 5e + 12f + 13g ?

(Concurso Canguro Europeo, Prueba Estudiante Segundo Ao de Diversificado, 2003)SOLUCIN:Notemos que el tringuloABC es rectngulo ye,f,g son las alturas de los tringulosADC , BDC y ABD respectivamente. Luego, (ABC ) = (ADC ) + (BDC ) + (ABD ) de donde obtenemos que125/2 = 5e /2 + 12f /2 + 13g /2 con lo que 5e + 12f + 13g = 60

8) ABC es un tringulo equiltero de lado 2, AD es una altura,MNPQ es un rectngulo, yT esel punto medio deMN . Determine el rea deMNPQ.

(State Invitational Math League Competition, Massachusetts Association of MathemaLeagues, March 31, 2006)SOLUCIN:

Sea x NC 2= haciendo ,3,22, x NP xQP xPC === lo anterior nos brinda que

.3)22()( x x MNPQ = Desde que xTN MN TN == 1,21 y desde que el tringuloTDN

es un tringulo 30 - 60 - 90, tenemos ).1(21 x DN = Desde que ,1= DC ND NC =+

implica que ,312141)1(2

12 ==+=+ x x x x x con lo que .9

34)( = MNPQ


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9) Un octgono regular es inscrito en un cuadrado. Si el radio del crculo inscrito que

muestra en la figura es 246 unidades, determine el nmero de unidades del lado de

cuadrado.

(State Invitational Math League Competition, Massachusetts Association of MathemaLeagues, March 31, 2006)

SOLUCIN:Es claro que cada uno de los tringulos rectngulos en las esquinas del cuadrado socongruentes entre s. Desde que el ngulo interno del octgono es 135 entonces los ngulos

agudos de los tringulos rectngulos miden 45. Siendo x la longitud de cada cateto suhipotenusa medir 2 x con lo que el lado del cuadrado ser ).22( + x

Por otro lado, sabemos que el rea de un tringulo es igual al producto del semipermetro y

radio del crculo inscrito, as )246(2

)22(2

2

+=

x x de donde )246)(22( += x

con lo cual )22(2224 == x y el lado del cuadrado medir

.4)22)(22(2)22( =+=+ x


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10) ABCD es un rectngulo, E y F son los puntos medios de AD y AB respectivamente.

Si 32= EF y ,13=FC determine . AD AB

(32nd Annual Math Competition, April 30, 2004, Canton High School, New England Playoffs)SOLUCIN:Consideremos la figura siguiente

Sean x AB 2= y .2 y AD =

Aplicando el teorema de Pitgoras al tringulo AEF tenemos:

.122)132(22 ==+ y x

Aplicando el teorema de Pitgoras al tringuloFBC tenemos:

.132422)13(2)2(2 =+=+ y x y x

Sustrayendo la primera de las ecuaciones de esta ltima ecuacin obtenemos

.3

1123 == y y

Entonces

.3

353

35212312 ===+ x x x

Finalmente,


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TEORA DE NMEROS

1) Determine todos los enteros positivosa y b tales que

(30TH JUNIOR HIGH SCHOOL MATHEMATICS CONTEST, April 26, 2006)

SOLUCIN:Podemos rescribir la ecuacin como

Ambos a y b son enteros positivos. Ahora, sib fuera mayor que 1 entonces 2ab sera mayorque ,2a as la ecuacin no se podra satisfacer, por ello .1=b La ltima ecuacin se transforma

en 72 += aa cuya solucin es .7=a Por tanto, la nica solucin de la ecuacin inicial es

.1,7 == ba


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2) Pruebe que para cualquier enteron , el producto

es divisible por 8640.

(FAU/Stuyvesant Alumni Mathematics Competition 20042005)SOLUCIN:Escribamos

Desde que el producto dek enteros consecutivos es divisible por !k la expresin

prueba que )(n f es divisible por 5! 3 ! = 24 32 5 (la primera igualdad), 4!!!! 4 !!!! = 26 32 (la

segunda igualdad), y 3!!!! 3 !!!! 3 !!!! = 23 33. Por lo que, claramente, )(n f es divisible por el

mnimo comn mltiplo de estos nmeros el cual es 25 33 5 = 8640.

3) Determine el entero de seis dgitos que empieza y termina en 2 y es tal que es el producto

de tres enteros pares consecutivos.(Harvard-MIT Math Tournament, March 3, 2001)

SOLUCIN:Porque el ltimo dgito del producto es 2, ninguno de los tres nmeros enteros consecutivpares termina en 0. As, ellos terminaran en 2,4,6 4,6,8, de donde se tiene que ellos terminen 4,6,8 ya que 2 4 6 no termina en 2. Sea n el nmero intermedio. Entonces el producto e

,43)2()2( nnnnn =+ as n > ,603

3102003 200000 = pero claramente

n < 3 300000 < 70. As, ,66=n y el producto es 663 4 66 = 287232.


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4) Pruebe que si un nmero primo es dividido por 30, entonces el residuo es otro nmero prio es igual a 1.(Mathematics Competition Department of Mathematics Florida Atlantic University andStuyvesant High School Alumni Association of South Florida, Spring, 2000.)SOLUCIN:Asumamos que el residuo es compuesto y escribamosp = 30k + ab . Es sabido que el residuoab no puede tener factor comn con 30 (excepto 1, claro est) ya quep no sera un nmeroprimo. As,a y b no pueden tener a 2, 3 5 como factor. Sus factores seran al menos 7, yab 49, lo cual no puede ser puesto queab (el residuo) debe ser menor que 30. De donde, loasumidos es falso y el residuo debe ser 1 o un nmero primo.

5) Determine el nmero de enterosn que satisfacen las tres condiciones siguientes: cada dgito den es 1 0, n es divisible por 6, y

0 < n < 710 .(Canadian Open Mathematics Challenge, November 22, 2006)SOLUCIN:Desde que 0 < n < 107, entonces n es un entero positivo con menos de 8 dgitos. Desde que n

es divisible por 6, entonces n es par. Desde que cada dgito de n es 1 0, entonces n debeterminar en 0. Desde que n es divisible por 6, entonces n es divisible por 3, as n tiene la sumde sus dgitos divisible por 3.Desde que cada dgito de n es 0 1 y n tiene al menos 6 dgitdiferentes de 0, entonces la suma de los dgitos de n puede ser 3 6 (esto es, n contiene 3 dgitos iguales a 1). Desde que n tiene al menos 7 dgitos, podemos escribir n en trminos dsus dgitos comoabcdef0 , donde cada uno de a, b, c, d, e, f pueden ser 0 1. Si n contiene 6dgitos iguales a 1, entonces n = 1111110. Si n contiene 3 dgitos iguales a 1, entonces 3 de los 6 dgitos son 1 (y los otros 3 son 0).

nmero de tales posibilidades es .203

6=

Finalmente, el nmero de enteros n que satisfacen

las condiciones dadas son 20 + 1 = 21.


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FUNCIONES O SUCESIONES

1) Si f(2x + 1) = (x 12)(x + 13), determine el valor de f(31).

(Canadian Open Mathematics Challenge, November 22, 2006)

SOLUCIN:Haciendo x = 15 se tiene f(2 15 + 1) = (15 12)(15 + 13) f(31) = 3 28 = 84.

2) Sea s(n) la suma de los dgitos de n. Por ejemplo, s(197) = 1 + 9 + 7 = 17. Ses2(n) = s(s(n)); s3(n) = s(s(s(n))), y as sucesivamente. Determine el valor de s1996(1996).(Mathematics Contest University of South Carolina, December 7, 1996)

SOLUCIN:Desarrollando una va rpida tenemos que

en otras palabras, 7)1996( =k s para todo .2k As, .7)1996(1996 =s

3) Sea f un polinomio tal quef ( x2 + 1) = x4 + 4x2. Determinaf (x2 1).(Concurso Canguro Europeo, Prueba Estudiante Segundo Ao de Diversificado, 2003)

SOLUCIN:Sustituyendo x2 por x2 2 obtenemos f ( x2 2 + 1) = (x2 2)2 + 4(x2 2) de donde, es claro que,f (x2 1) = x4 4x2 + 4 + 4x2 8 = x4 4.


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4) Suponga que f(x) es una funcin tal que, para todo nmero real x,(i) f (x) + f (1 x) = 11 y(ii) f (1 + x) = 3 + f (x).Determine el valor de f (x) + f ( x)

(Mathematics Contest University of South Carolina, December 7, 1996)SOLUCIN: Sustituyendo x por x en (ii) se obtiene: f (1 x) = 3 + f (x).Ahora bien, de (i) se obtiene: 11 = f (x) + f (1 x) = f (x) + 3 + f (x).Finalmente, f (x) + f ( x) = 11 3 = 8.

5) Suponga que .1log54log43log32log)( nnn f = L Determine el valor de

.10

22

=

k

k f

(Mathematics Contest University of South Carolina, December 7, 1996) SOLUCIN:Efectuando un cambio de base 2 podemos rescribir )(n f de la siguiente manera:

as

NOTA: este ejercicio se public en la revista anterior.


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3. Problemas de Competencias no Olmpicas.Miguel ngel Arias Vlche

Giovanni Buckcanan Aguila

Kendrick Mitchell MaturMauricio Rodrguez Mata

En esta seccin se propondrn treinta problemas matemticos. Las soluciones a dichoproblemas aparecern en la siguiente edicin. Desde aqu queremos animarlos a participar eesta seccin, ya que sin su ayuda y colaboracin la iniciativa no tiene ningn sentidNaturalmente estamos abiertos a todo tipo de sugerencias.

LGEBRA.1. Propuesto por K.R.S. Sastry, Bangalore, India. Tomado de la revista Crux Mathematicorwith Mathematical Mayhem de 2007.(a) Los ceros del polinomio P(x) = x2 5x + 2 son precisamente las dimensiones de unrectngulo en centmetros. Determine el permetro y el rea del rectngulo.(b) Los ceros del polinomio P(x) = x3 70x2 + 1629x 12600 son precisamente las dimensionesinternas de un cuarto rectangular en metros. Halle el rea total y el volumen del interior cuarto (donde las ventanas y puertas estn cerradas).

2. Propuesto por Ron Lancaster, Universit de Toronto, Toronto, Canad. Tomado de la reviCrux Mathematicorum with Mathematical Mayhem de 2007.Resolver la ecuacin:

3. Propuesto por Yakub N. Aliyev, Baku State University, Baku, Azerbaijan. Tomado drevista Crux Mathematicorum with Mathematical Mayhem de 2007.Si ,0,, >cba pruebe que


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8. Propuesto por Neven Juri, Zagreb, Croacia. Tomado de la revista Crux Mathematicoruwith Mathematical Mayhem de 2006.Compute la suma

9. Propuesto por Ovidio Gabriel Dinu, Balcesti, Valcea, Rumania. Tomado de la revista CMathematicorum with Mathematical Mayhem de 2005.

Pruebe que si ba , son nmeros reales y ,1= ba , entonces .4133 ba

10. Propuesto por Jos Luis Daz-Barrero, Universitat Polit cnica de Catalunya, Barcelona,Espaa. Tomado de la revista Crux Mathematicorum with Mathematical Mayhem de 2008.Sean ba , y c nmeros estrictamente positivos tales que .3abccba ++

Pruebe que .2222

abccba ++


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GEOMETRA

1. Propuesto por Bruce Shawyer, Memorial University of Newfoundland, St. Johns. Tomad

la revista Crux Mathematicorum with Mathematical Mayhem de 2008.Un cuadrado de lados est inscrito simtricamente en un sector circular con radior y ngulocentral de 60, tal que dos vrtices yacen sobre los lados del sector (radios) y dos vrtice

yacen el en arco del sector. Determine el valor exacto de .r s

2. Propuesto por Edward J. Barbeau, University of Toronto, Canad. Tomado de la revista C

Mathematicorum with Mathematical Mayhem de 2007.Considere la figura siguiente

en donde PTS es un tringulo equiltero yTSRQ es un cuadrado de lado 1. Un crculo pasa

por los puntos ,, QP y . R Determine la medida del radio del crculo.

3. Propuesto por K. R. S. Sastry, Bangalore, India. Tomado de la revista Crux Mathematicorwith Mathematical Mayhem de 2007.Sea ABC un tringulo issceles con , AC AB = y las longitudes de sus lados son enteros con

ningn divisor comn mayor que uno. El incentro I divide a la bisectriz AD tal que .2425

= ID AI

Determine el radio del incrculo del tringulo . ABC


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4. Propuesto por K. R. S. Sastry, Bangalore, India. Tomado de la revista Crux Mathematicorwith Mathematical Mayhem de 2007.En la siguiente figura, la estrella de siete puntos no tiene tres segmentos concurrentes.

Determine la suma .7654321 A A A A A A A ++++++

5. Propuesto por el equipo de Mayhem. Tomado de la revista Crux Mathematicorum wMathematical Mayhem de 2006.

Evale: .902cos32cos22cos12cos oLooo ++++

6. Propuesto por Robert Bilinski, Coll ge Montmorency, Laval, Canad. Tomado de la revistCrux Mathematicorum with Mathematical Mayhem de 2006.En el interior de un cuadrado ABCD se construye el tringulo equiltero ABE y en su exteriorse construye el tringulo equiltero . BCF Pruebe que los puntos ,, E D y F son colineales.

7. Propuesto por Bruce Shawyer , Memorial University of Newfoundland, St. Johns, UTomado de la revista Crux Mathematicorum with Mathematical Mayhem de 2006.Dos crculos congruentes de radio r son tangentes exteriormente. Ellos son tangentesinternamente a los lados de un tringulo rectngulo de lados 3, 4, y 5, con la hipotenu

tangente a ambos crculos. Determine .r


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8. Propuesto por Babis Stergiou, Chalkida, Grecia. Tomado de la revista Crux Mathematicorwith Mathematical Mayhem de 2006.Dos tringulos equilteros ABC y CDE estn sobre el mismo lado de la recta . BCD Si BE interseca a AC en K y DA interseca a CE en , L pruebe que KL es paralela a . BD

9. Propuesto por el equipo de Mayhem. Tomado de la revista Crux Mathematicorum wMathematical Mayhem de 2005.

El dimetro de un crculo mayor es dividido enn partes iguales para construir n crculosmenores, como se muestra en la siguiente figura.

Determine n sabiendo que la razn del rea sombreada al rea no sombreada (formada por

los crculos menores) en el crculo mayor es 3 : 1.

10. Propuesto por Toshio Seimiya, Kawasaki, Japn. Tomado de la revista CrMathematicorum de 1991, problema 1516.

ABC es un tringulo issceles en el cual AC AB = y .90 o


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TEORA DE NMEROS

1. Propuesto por el equipo de Mayhem. Tomado de la revista Crux Mathematicorum w

Mathematical Mayhem de 2006.Pruebe que, si ba +10 es un mltiplo de 7, entonces ba 2 tambin es un mltiplo de 7.

2. Propuesto por el equipo de Mayhem. Tomado de la revista Crux Mathematicorum wMathematical Mayhem de 2006.Determine todas las soluciones ),( ba para la ecuacin ,224 aab = donde a y b son

enteros positivos.

3. Propuesto por el equipo de Mayhem. Tomado de la revista Crux Mathematicorum wMathematical Mayhem de 2006.En qu base 221 es un factor de 1215?

4. Propuesto por el equipo de Mayhem. Tomado de la revista Crux Mathematicorum wMathematical Mayhem de 2005.Determine todos los nmeros de dos dgitos con exactamente 8 divisores positivos.

5. Propuesto por el equipo de Mayhem. Tomado de la revista Crux Mathematicorum w

Mathematical Mayhem de 2005.Los dgitos 1, 2, 3, 4 y 5 son usados cada uno una sola vez para formar un nmero de 5 dgitoabcde , tales que los nmeros de 3 dgitosabc es divisible por 4,bcd es divisible por 5, ycde esdivisible por 3. Determine todos los nmeros de 5 dgitosabcde .


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FUNCIONES O SUCESIONES

1. La sucesin de enteros a1, a2, a3, ... satisface an+2 = an+1 an para n > 0. La suma de los

primeros 1492 trminos es 1985, y la suma de los primeros 1985 trminos es 1492. Determila suma de los primeros 2001 trminos.(3rd AIME, 1985)

2. Si f(n) denota el cuadrado de la suma de los dgitos de n. Si f2(n) denota f(f(n)), f3(n) denotaf(f(f(n))) y as sucesivamente. Determine f1998(11).(6th AIME, 1988)

3. Si A es la sucesin a1, a2, a3, ... , defina A como la sucesin a2 a1, a3 a2, a4 a3, ... . Si ( A) tiene todos sus trminos iguales a 1 y a19 = a92 = 0, determine a1.(10th AIME, 1992)

4. Propuesto por M. Selby, University of Windsord. Tomado de la revista Crux Mathematicode 1991, problema 1489.

Sea ( ) ,347n

n A += donde n es un entero positivo. Determine una expresin simple par[ ] ,1 n An A + donde [ ] x es el mayor entero menor o igual que . x

Nota: [ ] x es conocida como la parte entera de . x

5. Propuesto por K.R.S. Sastry, Addis Ababa. Etiopia. Tomado de la revista CrMathematicorum de 1991, problema 1538.Determine todas las funciones )( x f y = con la propiedad de que la recta que pasa por los

puntos ( ) ( ))(,,)(, q f q p f p sobre la curva interseca al eje de las ordenadas en el punto

( ).,0 pq


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4. CURIOSATO.Miguel ngel Arias Vlche

Giovanni Buckcanan Aguila

Kendrick Mitchell MaturMauricio Rodrguez Mata

Esta columna tiene como finalidad mostrar ejercicios de preparacin o competenolmpicas en fases iniciales que se desarrollan en otros pases.

Estos tipos de ejercicios son de seleccin nica y se procurar brindar la solucin todos los ejercicios que se propongan. Es importante hacer notar que los mismos pueden serv

de preparacin para estudiantes que participan en los distintos niveles de la OlimpiaCostarricense de Matemtica.

Desde hace varios aos se vienen realizando el ciclo de Olimpiadas de Matemticas en PuerRico para los estudiantes de las escuelas pblicas y privadas de la Isla. Este ciclo consiste dvarias competencias por las que pasan los estudiantes para finalmente seleccionar los equipoque representan a Puerto Rico en olimpiadas internacionales de matemticas.En esta columna presentamos los exmenes y soluciones de la Competencia Preolmpica d

Matemticas 2004-2005: Primera Fase, NIVEL I para estudiantes de 4to a 6to grado. seleccionan los estudiantes por grado con las mayores puntuaciones. Este examen econtestado por cada estudiante en su casa o escuela y es enviado por correo a la organizacide las olimpiadas. Los estudiantes con las mayores puntuaciones de todos los grados participen la Segunda Fase de la Olimpiada que consiste de un examen controlado que se administren el Recinto Universitario de Mayagez de la Universidad de Puerto Rico.La mayora de problemas que presentamos en este folleto son ejercicios de olimpiadnacionales e internacionales de varios pases. Esperamos que este trabajo sirva como materiade apoyo a los maestros que entrenan estudiantes para olimpiadas matemticas y que sirvtambin de motivacin y apoyo a los estudiantes que desean enfrentarse a problemas retadoree interesantes que son tpicos de olimpiadas matemticas.


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5. Solucin a los problemas anteriores de la columnaOlimpiadas alrededor del mundo.

Randall Godnez.

Arlene Martnez.Melissa Ramrez.

Carlos Rodrguez.

Presentamos, a continuacin, la solucin de los diez problemas presentados en estmisma columna pero de la edicin anterior. Hemos procurado adjuntar varias soluciones a problemas con el fin de hacer notar que los mismos pueden ser enfocados y resueltos d

diversas formas y que ello es lo que se busca en las competencias olmpicas: favorecer el plendesarrollo de la creatividad del participante al momento de enfrentar los problemas y de ningumanera encajonar su pensamiento.

Al mismo tiempo que se presenta una solucin a determinado problema se adviertcuando ello lo amerita, la teora que se est aplicando en la solucin del mismo con el fin que se cuente con todo el marco terico que se requiera para poder resolver otros problemaque puedan ubicarse en la misma categora o bien que puedan reducirse a ellos.

Cuando se indique que la solucin es oficial lo que se pretende indicar es que esa es lsolucin que se dio en la competencia sealada por parte del comit organizador o bien de sproponente.

Recurdese que ningn problema est completamente cerrado por lo que se les solicita nuestros estimables lectores que nos enven sus comentarios o sugerencias que tengan a

esta columna en particular mediante alguno de los correos indicados en la presentacin.

Pues bien, veamos las soluciones de la columna anterior !!


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1) Beatriz copia del pizarrn el dibujo de la tarea dada por la profesora de matemtica.Los datos del problema son:

Permetro del tringulo ABC = 64 cm AB = AC = 25 cm M es el punto medio del lado AC.

La tarea consiste en hallar la distancia del punto M al lado BC.Si Beatriz resuelve el problema correctamente, cul es el valor que encuentra para distancia?

(XVII Olimpiada Nacional de Matemtica, Paraguay, 2005)SOLUCIN:Consideremos la siguiente figura:

El permetro del tringulo es: P = AB + AC + BC 64 cm = 25 cm + 25 cm + BC BC = 14 cmCalculamos el rea (ABC):

Como M es el punto medio de AC, la mediana BM divide al tringulo ABC en dos tringulosde igual rea. Entonces:

Luego:


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2) En el cuadrado ABCD, el lado mide 10. E es el punto medio de BC y F es el punto medioCD. Hallar el rea de la superficie pintada.

(XVII Olimpiada Nacional de Matemtica, Paraguay, 2005)SOLUCIN:El rea del tringulo ADF es:

Adems: (ADF) = (ADH) + (DHF)En los tringulos ADH y DHF tenemos (ADH) = 2 (DHF) por tener la misma altura y la basedoble que la base DF. Entonces:

En el triangulo ABE ocurre lo mismo, por lo tanto:

El rea pintada es:


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3) Evale la suma:

(Olimpiada Matemtica Canadiense, 1994)SOLUCIN 1:Denotemos con S la suma. Entonces

SOLUCIN 2:Para enteros positivosk definimos

Probaremos por induccin sobrek que:

La suma buscada est dada cuando .1994=k Para .!1

213)1(,1 === Sk Asumimos

)( como hiptesis inductiva para algn ,1k entonces

completando la induccin.


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4) Sea39

9)(

+=

x

x x f . Evale la suma:

(Olimpiada Matemtica Canadiense, 1995)SOLUCIN:

Notemos que:

de donde se tiene que

con lo que

5) Determine todas las soluciones enteras de m3 n3 = 2mn + 8.

(23rd Olimpiada Matemtica de Vietnam, 1985) SOLUCIN:Sea m = n + k. Entonces, la ecuacin inicial se transforma en 3n2k + 3nk2 + k3 = 2n2 + 2nk + 8,as (3k 2)n2 + (3k2 2k)n + k3 8 = 0. Para que existan soluciones reales es necesario que(3k2 2k)2 4(3k 2)(k3 8) o (3k 2)(32 2k2 k3) 0. El primer parntesis es positivo para k 1, negativo para k 0, el segundo es positivo para k 2, negativo para k 3. Concluimos quek = 1 2. Si k = 1, entonces n2 + n 7 = 0, la cual no tiene soluciones enteras. Si k = 2, entonce4n2+ 8n = 0, as n = 0 n = 2. Finalmente, las soluciones son (m, n) = (2, 0), (0, 2).


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6) Determine todas las funciones reales de variable real )( x f tales que

41

)()(2

)(2

)(+ yz f x f

xz f xy f para toda .,, z y x

(29th Olimpiada Matemtica de Vietnam, 1991)

SOLUCIN:

Hagamos x = y = z = 0, entonces 02

)0(21

f , as .21

)0( = f . Haciendo z = 0, entonces

)()( x f xy f para toda ., y x Tomando 1= x tenemos )1()( f x f para toda . x Tomando

x y

1= tenemos )()1( x f f para toda x excepto posiblemente para ,0= x as

)1()( f x f = para toda x excepto posiblemente para .0= x Pero haciendo x = y = z = 1

tenemos 02

)1(21

f , as .21

)1( = f Con lo que21

)( = x f para toda x .

7) El producto de varios nmeros enteros mayores que 0 y distintos entre s, es mltiplo de20062. Determine el menor valor que puede tomar la suma de esos nmeros.(VIII Olimpiada Matemtica de Centroamrica y El Caribe, Panam, 2006)

SOLUCIN:Primero notamos que 2006 = 217 59, entonces 20062 = 22 172 592.A cada conjunto que cumple las condiciones del enunciado y tal que la suma de sus elementes ese menor valor, lo llamaremos unconjunto mnimo .Primero veremos que cadaconjunto mnimo tiene 6 o menos elementos.Consideremos un conjunto mnimo cualquiera. Marcamos algunos de sus elementos siguienlos siguientes pasos:(a) Primero marcamos o bien dos elementos mltiplos de 2, o un elemento mltiplo de 4 (etiene que existir ya que el producto es mltiplo de 20062).


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(b) Luego marcamos o bien dos elementos mltiplos de 17, o un elementos mltiplo de 1(esto tiene que existir por la misma razn anterior).(c) Finalmente marcamos o bien dos elementos mltiplos de 59, o un elemento mltiplo de 5Ntese que los elementos marcados satisfacen que su producto es mltiplo de 20062, y no smarcaron ms de 6 elementos. Adems, la suma de los elementos marcados es menor o iguaa la suma de todos los elementos del conjunto. Dado que este conjunto es unconjunto mnimo ,necesariamente se tienen que haber marcado todos sus elementos, por lo que el conjunto ntiene ms de 6 elementos.Ahora veremos que ninguno de los elementos de unconjunto mnimo es mltiplo de 172:Supongamos que un conjunto mnimo es de la forma{172k; a1; a2; ; an} (con k un enteropositivo).

Consideremos las parejas de nmeros:17k; 15 17k

En total hay 7 parejas, y no hay ms de 6 elementos en el conjunto{172k; a1; a2; ; an}, por loque una de las parejas satisface que ninguno de sus dos elementos est en ese conjunto. Seaa17k; (16 a)17k esa pareja. Consideremos entonces el nuevo conjunt{ a17k; (16 a)17k , a1; a2; ; an}. El nuevo conjunto satisface que el producto de suelementos es mltiplo del producto de los elementos del conjunto original, y por lo tantomltiplo de 20062. Adems, la suma de los elementos de este nuevo conjunto es

Por lo tanto el conjunto original no puede ser un conjunto mnimo, lo cual contradice lo asuminicialmente.


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Usando el mismo argumento, pero con las parejas

se tiene que ningn conjunto mnimo tiene un elemento mltiplo de 592.Ahora veremos que ningn conjunto mnimo tiene un elemento mltiplo de 17 59:Supongamos que algn conjunto mnimo es de la forma{17 59k; a1; a2; ; an} (con k un

entero positivo). Consideremos las parejas de nmeros:

En total son 7 parejas, y el conjunto{17 59k; a1; a2; ; an} no tiene ms de 6 elementos, por

lo que alguna de las parejas satisface que ninguno de sus dos elementos est en{17 59k; a1; a2; ; an}. Sea a 17k; a 59k dicha pareja. Consideramos entonces el nuevoconjunto

El producto de los elementos del nuevo conjunto tambin es mltiplo de 20062, y la sumasus elementos es

Entonces el conjunto original no podra ser un conjunto mnimo, lo cual contradice la suposicinicial.Tenemos entonces que las siguientes afirmaciones son ciertas para cada conjunto mnimo S:(a) Ningn elemento de S es mltiplo de 172.


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(b) Ningn elemento de S es mltiplo de 592.(c) Ningn elemento de S es mltiplo de 17 59.Entonces el conjunto S debe ser de la forma:

(r podra ser 0), donde ninguno de los nmeros x1, x2, , xp, y1, y2, , yq, z1, z2, , zr esmltiplo de 17, ni de 59. Se tiene adems que p 2 y q 2 (para que el producto sea divisibleentre 172 y 592). Por otro lado, como los xi s son distintos, se tiene que x1 + x2 1 + 2 y de lamisma manera y1 + y2 1 + 2.Finalmente se tiene:

Basta entonces con dar un ejemplo de un conjunto tal que el producto de sus elementos emltiplo de 20062 y tal que la suma de sus elementos es 228:

8) Sea ABCD un cuadriltero convexo. Sea I el punto de interseccin de las diagonales ABD. Sean E, H, F y G puntos sobre los segmentos AB, BC, CD y DA respectivamente, tales q

EF y GH se cortan en I . Sea M el punto de interseccin de EG y AC y sea N el punto interseccin de HF y AC. Demuestre que

(VIII Olimpiada Matemtica de Centroamrica y El Caribe, Panam, 2006)SOLUCIN: Ver la figura.


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Note que podemos determinar doce pares de tringulos, ya sea con lados en comn o congulos comunes o bien con dos ngulos congruentes, uno por cada tringulo del par.Estableciendo relaciones entre reas y lados obtenemos:

9) Sean , , ,r s u v nmeros reales cualesquiera. Probar que:

mn{ }2 2 2 2 1, , , .4

r s s u u v v r

(XLI Olimpiada Matemtica Espaola Fase nacional, 2005, (Santiago de Compostela))SOLUCIN:

Supongamos que los cuatro nmeros 2 2 2, ,r s s u u v y 2v r son mayores estrictamente

que 1 .4

Entonces 2 2 2 2 1 1 1 1 ,4 4 4 4

r s s u u v v r + + + > + + + pero esta expresin es equivalente

a2 2 2 2

1 1 1 10

2 2 2 2r s u v

> + + +

que es una contradiccin.


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10) Sean 0 1 2 3 4, , , ,a a a a a cinco nmeros positivos en progresin aritmtica de raznd . Probar que

( )3 3 3 3 32 0 1 3 41 4 4 .10a a a a a + + +

(XLIII Olimpiada Matemtica Espaola Fase nacional, 2007, (Torrelodones))SOLUCIN 1:La desigualdad dada puede escribirse como

3 3 3 3 32 0 1 3 410 4 4 .a a a a a + + +

y sumando 326a a ambos miembros se convierte en

( )3 3 3 3 3 32 0 1 2 3 41 4 6 4 .16a a a a a a + + + +

Por otro lado como 0 1 2 3 4, , , ,a a a a a estn en progresin aritmtica, entonces

( ) ( )0 1 2 3 4 0 4 1 3 2

42 2 2 2 2

4 4 4 4 4 4 4 4

0 1 2 3 4 0 1 2

4 4 4 4 4 4 4 42 2 2 .

0 1 2 0 1 2 3 4

a a a a a a a a a a

a a a a a

+ + + + = + + + + =

+ + = + + + + =

Aplicando la desigualdad de Jensen a la funcin ( ) 3 f t t = , convexa en ( )0, + , con

4 1,0 4

2k k p k

k

=

resulta ( )

4 4

0 0k k k k

k k

f p a p f a= =

o equivalentemente,

( )3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 32 0 1 2 3 4 0 1 2 3 44 4 4 4 41 1

4 6 40 1 2 3 42 16k

a a a a a a a a a a a

+ + + + = + + + +

.

Obsrvese que la igualdad tiene lugar cuando los cinco nmeros son iguales y hemoterminado.

SOLUCIN 2: Llamandoa al trmino central yd a la diferencia, la progresin es 2 , , , , 2a d a d a a d a d + + y

tenemos:


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( )

( )

( )

( )

33 3 2 2 30

33 3 2 2 34

33 3 2 2 31

33 3 2 2 33

2 6 12 8

2 6 12 8

4 4 4 12 12 4

4 4 4 12 12 4

a a d a a d ad d

a a d a a d ad d

a a d a a d ad d

a a d a a d ad d

= = +

= + = + + +

= = +

= + = + + +

sumando:3 3 3 3 3 20 1 3 44 4 10 48a a a a a ad + + + = +

dividiendo por 10 queda

( )3 3 3 3 3 20 1 3 41 4 4 4,8 010 a a a a a ad + + + =

con independencia del valor ded .

Solucin 3:Como se trata de cinco trminos en progresin aritmtica, se tiene0 4 2 1 32a a a a a+ = = + o

tambin ( )( )0 4 2 22 2 .a a a d a d = +

Entonces ( ) ( )33 3 30 4 0 4 0 4 0 4 2 0 4 23 8 6 ,a a a a a a a a a a a a+ = + + = y

( ) ( ) ( ) ( )33 3 31 3 1 3 1 3 1 3 2 1 0 24 3 4 8 6a a a a a a a a a a a a a + = + + = .

Entonces, lo que hay que probar es( )3 3 32 2 0 1 2 2 1 3 21 8 6 32 2410a a a a a a a a a +

cuyo segundo miembro es

( )32 2 0 4 1 36

4 4 ;10

a a a a a a +

trasponiendo trminos, la desigualdad a probar se escribe como

( )2 2 2 2 3 3 2 3 2

2 2 2 2 2 2

3 24 244 4 4 3 3 3 0

5 5 5a a d a d a a d a d +

la ltima desigualdad es cierta y hemos terminado.


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6. Olimpiadas alrededor del mundo.Randall Godnez.Arlene Martnez.

Melissa Ramrez.Carlos Rodrguez.

En esta columna se propondrn nicamente problemas que hayan sido parte dexmenes de competencias olmpicas, nacionales o internacionales, con esto pretendemos quotros tipos de competencias sean abordados en la columnaProblemas de Competencias no Olmpicas (antes denominada problemas propuestos) de esta misma revista.

Es importante hacer notar que los problemas de la OLCOMA que se publican en esrevista corresponden a lo que hoy se considera el nivel C de estas competencias olmpicasque se har referencia a otro nivel cuando ello sea necesario.

1. Resolver la ecuacin sen6x + cos6x = 1/4.(1era Olimpiada Matemtica de Vietnam, 1962)

2. A una conferencia asisten 47 personas. Una mujer conoce 16 de los hombres presenteotra conoce 17, y as sucesivamente hasta la ltima mujer quien conoce a todos los hombrpresentes. Determine el nmero de hombres y mujeres presentes en la conferencia.(2nda Olimpiada Matemtica de Vietnam, 1963)

3. El tringulo ABC (con lados de longitudes BC = a, AC = b, AB = c) satisface:log (a2) = log (b2) + log (c2) log (2bc cos A).

Determine la naturaleza del tringulo ABC.(1era Olimpiada Irlandesa de Matemtica, 1988)


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4. E es el punto medio del arco BC del circuncrculo del tringulo ABC (sobre el lado opudel segmento BC a A). DE es un dimetro. Pruebe que el ngulo DEA es la mitad de ladiferencia entre los ngulos B y C.(1era Olimpiada Irlandesa de Matemtica, 1988)

5. Determine el menor nmero natural cuyo ltimo dgito es 6, tal que si este ltimo dgittrasladamos al inicio del nmero entonces, el nmero obtenido es el cudruplo del original.(4ta Olimpiada Internacional de Matemtica (IMO), 1962)

6. Determine todas las soluciones reales de cos2x + cos22x + cos23x = 1.(4ta Olimpiada Internacional de Matemtica (IMO), 1962)

7. Un tringulo tiene longitudes .,, cba Pruebe que

.cbabacacbcba +++++++ Cundo se da la igualdad?(Olimpiada de la Cuenca del Pacfico (APMO), 1996)

8. Sea cbxax x xP +++= 23)( un polinomio con coeficientes enteros. Suponga que )( xP tiene tres races reales enteras distintas. Pruebe que la ecuacin 01)( = xP no admite unasolucin entera.

(VIII Olimpiada de Matemticas del Estado de Gois, Brasil, 1999)

9. Una funcin f est dada por la siguiente tabla de valores:

Por ejemplo, .1)2( = f Determine el valor de)).))4(

2004

(((( L4 434 421

L

veces

f f f f

(XXVI Olimpiada Brasileira de Matemtica, Primera Fase Nivel 3, 5 de junio de 2004)

10. Una funcin real , f definida en los enteros, satisface

,2)3()2()1()( +=+ nn f nn f

para todo n entero. Determine el valor de ).0( f

(XXVI Olimpiada Brasileira de Matemtica, Primera Fase Nivel 3, 5 de junio de 2004)


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7. Lgica y Matemtica Recreativa. Maynor CastroCarlos Molina

Mauricio RamrezSimn Snchez

Erick SolanoEn esta columna continuamos con la presentacin de diez ejercicios que se ha

presentado en concursos de E.S.O tanto de Espaa como de Argentina y la Olimpiada Thales.Por otro lado, y al igual que en la edicin anterior, al final de los enunciados damos u

solucin a los mismos esperando que sirvan como una gua aunque sabemos que se puedenencontrar otras vas de solucin a cada uno de ellos.

Pues bien, empecemos y que se diviertan !!!

1 Juego (12-14 aos): En Matelandia ... En cada una de las cuatro ciudades que hay en Matelandia hay exactamente el mismo nmerde habitantes. Dicho nmero est formando por cinco cifras distintas y, curiosamente, el nmtotal de matelandeses est formado por esas mismas cifras pero invertidas.Cuntos habitantes viven en Matelandia?

(XVIII O.M. Thales. Fase Provincial. Crdoba. 200

2 Juego (12-14 aos): Lo Deportivo En un grupo de 230 alumnos/as, hay:

15 que practican ftbol, atletismo y baloncesto. 23 que practican ftbol y baloncesto. 36 que practican atletismo y baloncesto. 28 que practican atletismo y ftbol.

61 que practican ftbol. 64 que practican baloncesto. 75 que practican atletismo.

Cuntos no practican ningn deporte?(VI O.M. Galega. 2004)


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3 Juego (12-14 aos):Un Poema

Un collar se rompi mientras

jugaban dos enamorados.Una hilera de perlas se escap:

la sexta parte al suelo cay;la quinta parte en el lecho se qued ;

un tercio, por la joven se salv ;la dcima parte el bien amado recogi,y con seis perlas el cordn se qued.

Dime lector, cuntas perlas tena el collar de los bienaventurados?(VII O.M. de Cantabria. 2003)

4 Juego (12-14 aos): Producto de letras

Deduce los valores que deben tener A, B, C y D para que la operacin pueda efectuarse y del resultado que se indica:

A B Cx C A-------D B A

A B C---------A D C A

(XII O.M. Alicante. Fase Comarcal. 2003


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5 Juego (12-14 aos): Bordeando...

Encuentra la longitud de la trayectoria curvilnea marcada continuamente en grueso.

Los crculos tienen los centros en A, B, C y D.

El radio es el mismo para los cuatro crculos, de 10 cm(XVI O.M. Thales. Fase Regional. Ubeda (Jan). 2000 )

6 Juego (12-14 aos): Lgrima Circular

En la figura se muestran cuatro crculos de radio 1 dentro de un crculo ms grande.

Cul es el rea de la figura sombreada?

(XIV O.M. Fase Semifinal. Albacete. 2003)


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7 Juego (12-14 aos): Discos

Cada uno de los discos de la figura lleva escrito otro nmero en la otra cara. Si lanzamos ldos discos al aire y sumamos los dos nmeros que queden a la vista, solamente podemoobtener estos resultados: 11, 12, 16 y 17.

Qu nmeros pueden ser los que estn ocultos en cada disco? Explica cmo los has hallado.

(XIX Torneo de Matemticas. Primera Fase. Islas Canarias. 2003

8 Juego (12-14 aos): Con la Msica a otra parte.

Un juguete musical tiene tres botones. Apretando uno suena una meloda de Mozarapretando otro una meloda de Beethoven, y apretando un tercero de obtiene una de las dosmelodas anteriores al azar. Cada botn tiene al lado una etiqueta con las letras B, M y B-que corresponderan con las melodas, sino fuera porque nos equivocamos al pegarlas ninguna est en su lugar correcto.Qu nmero mnimo de intentos es suficiente para descubrir la meloda que suena en cadbotn?

( XV O.M. Provincial. Primera Fase. Albacete. 2004


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9 Juego (14-16 aos): Tringulos

Los dos tringulos rectngulos issceles de la figura son congruentes. Si la longitud del lado cuadrado inscrito en la figura de la izquierda es 21 cm, cul es, en cm, la longitud del lado

cuadrado de la derecha?

( II O.M. Provincial. Cuenca. 2004

10 Juego (14-16 aos): El Cuboctaedro

Si cortamos las esquinas de un cubo por el punto medio de las aristas concurrentes en un

vrtice, obtenemos un poliedro que se llama cuboctaedro.

Si la arista del cubo mide 6 cm: Calcular su rea. Calcular su volumen

( III O.M. Regional. Castilla La Mancha. 200


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SOLUCIONES PROPUESTAS

En Matelandia ...

La primera cifra de cada una de las cuatro ciudades, (la decena de millar) slo puede ser un 1un 2; si fuera un nmero superior -al multiplicar por 4-, los habitantes totales de Matelansera un nmero de seis cifras y no de cinco.El primer nmero de Matelandia -decena de millar- ser, por lo tanto, un 4 un 8.Ha de ser 8; si fuera un 4, no coincidiran la cifra de las unidades de Matelandia con la de las decenas millar de los habitantes de cada una de las ciudades.Tenemos en cada ciudad:

2 . . . 8x 4

______ 8 . . . 2

En la multiplicacin anterior, al multiplicar 4 por las unidades de millar no tenemos que llevaninguna: esto slo es posible con cero, o con uno; el dos lo descartamos porque ya lo tenemy han de ser "cifras distintas". Tenemos que poner un 1, y esta ser la cifra de las decenas dMatelandia. [No podemos poner 0 porque al "llevanos tres, no hay ningn nmero qmultiplicado por 4 y sumado 3 nos d 0] Como nos llevamos 3, para obtener 1, llevndoseslo es posible multiplicando por 2 por 7, pero como el 2 ya lo tenemos, debe de ser Lo que nos dice que las unidades de millar de Matelandia tambin ser 7.Tenemos pues:

2 1 . 7 8x 4

______ 8 7 . 1 2


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Vemos que tenemos que "llevarnos tres" en las centenas para que las unidades de millar seun 7. Para que esto sea posible tenemos que multipicar por 8 por 9. Descartado el 8, que ylo tenemos, slo nos queda el 9.87 912 HABITANTES VIVEN EN MATELANDIA.

Lo Deportivo.

No practican deporte 102 alumnos.23 15 = 8 alumnos que practican ftbol y baloncesto.28 15 = 13 alumnos que practican ftbol y atletismo.36 15 = 21 alumnos que practican baloncesto y atletismo.

15 alumnos practican los tres deportes.40 alumnos practican ftbol.35 practican baloncesto.41 practican atletismo.61 (8+15+13) = 25 alumnos que practican ftbol.64 (8+15+21) = 20 alumnos que practican baloncesto.75 (13+15+21) = 26 alumnos que practican atletismo.13 + 21 + 15 + 8 = 57 alumnos que practican dos o ms deportes57 + 20 + 25 + 26 =128 alumnos que practican deporte.230 128 = 102 alumnos que no practican deporte.

Un Poema.

Podemos resolver el problema mediante una ecuacin.Llamamos x al nmero total de perlas del collar. Segn nos dice el problema tendramos:

x = x/6 + x/5 + x/3 + x/10 + 6Buscamos el m.c.m. de 6,5,3 y 10. [m.c.m.= 30]Sustituimos los denominadores por 30 y multiplicamos los respectivos numeradores pormismo nmero por el que hemos multiplicado el denominador para que d como resultado 30


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x = 5x/30 +6x/30 + 10x/30 + 3x/30 + 6x = 24x/30 + 6

Multiplicamos por 3030x = 24x + 18030x - 24x = 180

6x = 180x = 180/6

x = 30Por lo tanto, el collar de los bienaventurados TENIA 30 PERLAS.

Producto de letras.

La letra C debe ser 1 porque A C = Ase ve tambin que C debe ser 1 porque ABC C = ABC.La letra B debe ser 0 porque B + C = C.La letra A puede ser 2 3 -y creo que ambos valores son vlidos. No puede ser ningn nmer

superior a 3 porque al multiplicar AA, el resultado seran dos letras y no una como en lamultiplicacin que tenemos (D).Si le damos a A el valor de 2; El de D ser 4 (A A = D) y 9 si le damos a A el valor de 3.

Bordeando...

Trabajando sobre el dibujo se ve que se pueden hacer tringulos equilteros utilizando lradios y la lnea continua azul. Los arcos rojos de las circunferencias internas corresponden

arcos de 60 al igual que los arcos que "faltan" en las circunferencias laterales. As pues permetro de la figura corresponde a la longitud de dos circunferencias enteras de radio 10 cmL = 2 rL = 2 10L = 20 cm.

Longitud trayectoria roja = 40 cm.


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Lgrima Circular.

rea del cuadrado que contiene (circunscribe) el crculo pequeo = 2 x 2 = 4 cm2.rea del crculo pequeo = 3,14 x 1 x 1 = 3,14 cm2.rea central = 4 - 3,14 = 0,86 cm2

Diagonal del cuadrado anterior = .828,282222 cm==+

Diferencia con el dimetro del crculo pequeo: 2,828 - 2 = 0,828 ; 0,828 : 2 = 0,414Radio del crculo grande = 2 + 0,414 = 2,414 cmrea del crculo grande = 3,14 x 2,414 x 2,414 = 18,298 cm2 rea de Lgrima:(18,298 - 0,86) : 4 = 4,3595 cm2

Discos.

Hay dos combinaciones de dos nmeros con el 10 y dos con el 717 = 7 + 10 ; 16 = 6 + 10 ; 12 = 7 + 5 ; 11 = 6 + 5Por lo que detrs del 7 hay un 6 y detrs del 10 hay un 5Pero tambin puede pasar que17 = 10 + 7 ; 16 = 9 + 7 ; 12 = 10 + 2 ; 11 = 9 + 2Por lo que detrs del 7 hay un 2 y detrs del 10 hay un 9.

Con la Msica a otra parte.

Basta con un solo intento sobre la tecla que tiene escrito B-M. Si esta suena B sabremos que eesta con certeza porque la etiqueta miente. Ahora pensamos sobre la tecla con etiqueta M(suponiendo que la B-M sea B). Sin apretar sabremos que suene cual suene ser B-M ya que suena M no puede serlo por la etiqueta mentirosa y si suena B ya la tenemos identificad

Entonces la tecla con etiqueta B seria M. (En el caso de que B-M fuera M en vez de penssobre M pensaramos sobre B y sera el mismo proceso).


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Tringulos.

En el primer tringulo, el cateto de este es el doble de la longitud del cuadrado, ya que lostringulos pequeos son tambin issceles y rectngulos.

Calculamos el cateto del tringulo grande: 21 + 21 = 42 cmY tambin la hipotenusa: h2 = 422 + 422 h2 = 2 422 h = 242 En el segundo tringulo, que es igual al primero, la hipotenusa tambin ser la misma. Sillamamos x al lado del cuadrado, la hipotenusa ser igual a 3x, ya que los tringulos tambin

son issceles y rectngulos, con lo que: 3x = 242 x = 214 cm.

El Cuboctaedro.

1.- Clculo del rea:a) El rea del cubo es: Ac = 662 = 216 cm2 .b) A esta rea hay que restar el rea de tres tringulos rectngulos e issceles, de modo tal quecada uno de los lados congruentes mide 3 cm, en cada vrtice lo que hace un total de 24tringulos. Calculamos el rea de uno de ellos: A = 33/2 =9/2 cm2 y multiplicando por 24 setiene: At = 108 cm2 .

c) En cada vrtice tenemos que sumar el rea de un triangulo equiltero de lado 33 cm.Aplicando el teorema de Pitgoras hallamos la altura y obtenemos: h = 32 3 /2 cm., luego el

rea ser: A = 9 3 /2 cm2 y multiplicando por 8, AT = 36 3 cm2 . El rea del cuboctaedro ser

igual a: 216 - 108 + 36 3 = 170,35 cm2 .2,. Calculamos el volumen.a) Volumen del cubo: Vc = 666 = 216 cm3 .b) A este volumen hay que quitar el volumen de 8 pirmides, una en cada vrtice, cuya base

tiene un rea de A = 9 3 /2 cm2 y cuya altura es 15 cm. Luego el volumen es: 1/3 93 /2

15 = 9 5 /2 cm3 y multiplicando por 8: VP= 36 5 cm3,

El volumen del cuboctoedro ser: V = 216 - 365 = 135,50 cm3.


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El acertijo de Einstein

Segn cuenta la leyenda (no se ha podido comprobar su autora) lo escribi Einstein cuando eslo un nio, con la idea de que el 98% de la poblacin mundial no lo pudiera resolver (noasusten, en realidad no es tan difcil). Estars t dentro del 2% de los ms inteligentes?

Premisas 1. En una calle hay cinco casas, pintadas de diferentes colores, en una fila de izquierda

derecha. 2. En cada casa vive una persona de diferente nacionalidad. 3. Los dueos de stas cinco casas beben distintas bebidas, fuman distintas marcas de

cigarros y tienen una mascota diferente.La pregunta

Quin es el dueo del pez?Pistas

1. El britnico vive en la casa roja. 2. El sueco tiene un perro. 3. El dans bebe t. 4. La casa verde est a la izquierda de la casa blanca. 5. El dueo de la casa verde bebe caf. 6. La persona que fuma Pall Mall cra pjaros. 7. El dueo de la casa amarilla fuma Dunhill. 8. El hombre que vive en la casa del centro toma leche. 9. El noruego vive en la primera casa. 10. El hombre que fuma Blends vive al lado del que tiene gatos. 11. El hombre que tiene caballos vive al lado del hombre que fuma Dunhill.


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12. El hombre que fuma Blue Master bebe cerveza. 13. El alemn fuma Prince. 14. El noruego vive al lado de la casa azul. 15. El hombre que fuma Blends tiene un vecino que bebe agua.

Cuadro de Respuestas

Casa

Nacionalidad

Bebida

Cigarrillos

Mascota

Unidades de medida. CARTA DE UN AUTOMOVILISTA "FLASHEADO" A 250 KM/H, EN UNA VA LIMITASeor Juez, he visto perfectamente la seal de "70", en negro con crculo rojo, sobre el panel trfico, sin ninguna otra indicacin de unidades mtricas. Usted sabe que la Ley del 4 de Jude 1.837 establece obligatorio el sistema mtrico en ESPAA, y que el decreto n 65-501 dde Mayo de 1.961 modificado (tomado en aplicacin de las directivas europeas), define coUNIDADES DE BASE LEGAL, las unidades del sistema mtrico internacional (SI). Usted pverificar todo esto en la web del gobierno: por lo que en el SI, la unidad de longitud esMETRO, y la unidad de tiempo es el SEGUNDO. Es pues evidente, que la unidad de velociLEGAL es en consecuencia el METRO POR SEGUNDO.No puedo ni imaginar por un momento, que el Ministerio del Interior no est aplicando las ledel Reino. Por lo que 70 metros por segundo corresponderan exactamente a 252 Km/h. LPolica afirma que he sido cronometrado a una velocidad de 250 Km/h, esto no lo pongo

duda. Me encontraba pues 2 Km/h por debajo del lmite autorizado.Le agradezco tome usted buena nota de ello, devulvanme mi permiso de conduccin djenme tranquilo.


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8. Gua y lecciones de entrenamiento para competencias matemticas. Miguel ngel Arias Vlche

Giovanni Buckcanan AguilaKendrick Mitchell MaturMauricio Rodrguez Mata

En esta edicin, damos inicio a la presente columna con el fin de facilitarle a nuestros lectomaterial complementario, ideas y sugerencias para preparar estudiantes para las distintacompetencias matemticas en que participa nuestro pas o bien, facilitarle a las personaautodidactas el material que les permita una mejor preparacin en las competencias en quvayan a participar o simplemente, afinar la destreza a aquellas personas que disfrutan dresolver problemas o ejercicios de matemticas.Ya en la edicin anterior habamos provedo de una pequea gua de entrenamiento (la quoficialmente se utiliza en Espaa para las olimpiadas regionales y nacionales de ese pas) y que haremos ahora ser reforzar dicha gua con algunas sugerencias al enfrentarse aproblemas y, en futuras ediciones, daremos lecciones de entrenamiento donde se expongavarios tpicos, teoras, etc, que se evalan en competencias matemticas de nivel olmpico.

Iniciaremos con el planteamiento de un proyecto de entrenamiento para adolescentes que nopermita articular nuestros esfuerzos y de nuestros estudiantes en la adquisicin de un plan dpreparacin a mediano y largo plazo para la resolucin de problemas de nivel olmpico matemtica.Este entrenamiento nos aportar ideas y sugerencias que nos permitan motivar e inculcar enuestros estudiantes ese gusto (tan venido a menos) por hacer matemtica y de pasoconseguiremos despertar nuestra adormecida pasin por este mundo que alguna vez nosedujo. Claro que podemos adicionar a este material nuestro toque personalizado y que nodiferencia de otros colegas. Esta gua es simplemente eso, una gua!. No pretendemoimponer un modelo o metodologa rgida en la preparacin de estudiantes sino ms bieofrecer una herramienta al alcance de todos.


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INTRODUCCIN Y PRESENTACIN DEL PROYECTO DE ENTRENAMIENTO PAADOLESCENTES EN MATEMTICAS DE CONCURSO.

El objetivo de los talleres o crculos de estudio es que los alumnos aprendan a estudiar cogusto matemticas de concurso. Para ello recomendamos tener en cuenta varios aspectos queconsideramos esenciales y que se convierten en los sub-objetivos.1. Tratar de acostumbrarse a estudiar la teora con tiempo suficiente. Por ejemploa)Que dediquen tiempo a la comprensin de las definiciones y los conceptos,b)Que busquen casos particulares de las definiciones y los conceptos,c)Que imaginen situaciones poco intuitivas que son cubiertas por ellos, etc.Es muy importante que lleguen a darse cuenta que las ideas para resolver muchos problemase encuentran en las demostraciones de los teoremas que estudian (y que podran mirar com

problemas resueltos).2. Los alumnos tienen que saber que es imprescindible retener en la memoria cierta cantidad dinformacin necesaria. Hay otra que quiz no se retenga en la memoria pero que hay que sabbuscar cuando hace falta.3. El criterio clave para saber si se han entendido las matemticas es la resolucin dproblemas, pero adems esta es la meta principal del aprendiz de matemticas de concurso, edecir, el ganar el concurso u obtener una buena posicin en l. Por eso es importante

a) comprender el enunciado,b) concebir un plan de resolucin,c) ejecutarlo con seguridad (cuando se pueda) y con cuidado para evitar al mximo l

errores yd) examinar (revisar)la solucin obtenida.

4. El estudiante tiene que afianzar su capacidad de clculo, de manera que los clculos (que emuchas ocasiones son solo herramientas para otra cosa) no se conviertan en otra dificultams. Se debe inculcar en el aprendiz una actitud de eficacia en su desempeo en solucin dproblemas.5. Los alumnos deben aprender a explicar a otros lo que saben de una forma correcta. Aqu trata de una eficacia comunicativa. Para ello, hay que saber detallar de forma ordenada lpropios razonamientos, citar los resultados utilizados, utilizar el vocabulario preciso, etc.


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6. Hay varias cosas que son recomendables con miras conseguir un buen desempeo ensolucin de problemaso Trabajar a diario: asimilar las matemticas lleva tiempo.o Abordar desde el principio problemas del nivel que se pretende superar. Trabajar en ssolucin antes de preguntar a otros para tener claras las dudas y aprovechar la asesora amximo. Porque adems el asesor huye de quienes preguntan sin saber cul es la duda.o El trabajo individual es indispensable (los exmenes son individuales) aunque complemente con el trabajo en equipo (pero no en el concurso).o Hay que conocer y aprovechar los recursos existentes, Biblioteca, hojas y libros de problemInternet,...

METODOLOGA

Se seguir una metodologa activa. Los materiales escritos (Geometra y TrigonometrFunciones, Lgica y Combinatoria, Teora de Nmeros y lgebra) publicados en cada edicfutura pero debern ser explicados por cada profesor tutor (quien prepara a los estudiantes). profesor tutor entregar las hojas de preguntas y problemas, los cuales debern ser trabajadoprimero individualmente y luego por grupos. En algunos mdulos, la clase consistir enexposicin por parte de los alumnos de los resultados obtenidos y se pedirn por escrito dichresultados; en otros, el desarrollo del tema por parte de los alumnos tendr lugar en la propclase.Se asignar a cada alumno un tutor que de forma ms personal pueda orientar el proceso daprendizaje y resolver las dificultades concretas que cada alumno pueda tener.

EVALUACINMs que evaluacin aqu debera hablarse de monitoreo, pero de cualquier manera, con finde que los mismos aprendices vayan viendo sus avances se asignar una calificacin nnumrica mediante un triple procedimiento: En primer lugar, el trabajo realizado en entrenamientos y asesoras (trabajos escritoexposicin de resultados, etc). Una prueba escrita individual. El informe que sobre el alumno emita el tutor asignado.


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Revista Olimpica II Trimestre 2008

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