Reusumo Logaritimos
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LOGARTMO
DEFINIO
Sendo e b reais positivos (a > 0 e b > 0) e , chama-se logaritmo de b na base a (indica-se ) , o nmero x tal que , ou seja:
Repare que s definimos logaritmos de nmeros positivos, em bases positivas e diferentes de 1.
Observaes:
I) Quando a base do logaritmo omitida, por conveno ela vale 10:
II) O logaritmo de b na base 10 chama-se logaritmo decimal de b: III) O logaritmo de b na base e chama-se logaritmo natural de b, e indica-se por
, onde
Consequncias DIRETAS da definio:
a) b)
dois resultados importantes:
a) b)
O primeiro resultado obtm-se assim:
Fazemos . Aplicando agora a definio, teremos:
. Portanto, O segundo resultado obtm-se assim:
Partimos da identidade e aplicamos agora a definio, para obtermos
Escreva 5 como uma potncia de 3:
PROPRIEDADES DOS LOGARTMOS
Sendo e , temos:
a) b)
c)
c)
d)
e)
f) Sendo e , temos:
g) Cancelamento logartmico:
Na multiplicao de dois logaritmos, se o logaritmando de um deles for igual base do outro, eliminamos esses termos iguais e o produto ser um novo logaritmo com o logaritmando e a base que restaram.
RESULTADO DESCOBERTO POR PALMERIM EM 09/01/2014
Se e , ento . Da que, . Ou seja:Multiplicando-se o expoente da base e o expoente do logaritmando pelo mesmo nmero, o logaritmo no se altera.
Calcular o valor de um logaritmo usando apenas as propriedades.
As propriedades permitem calcular o valor de alguns logaritmos, sem consultar tabelas nem usar calculadoras. A principal estratgia para isso : Transformar o logaritmando e a base em potncias de mesma base, utilizando, quando possvel, a fatorao.
1) Calcule:a)
, satisfeitas as condies de existncia, ou seja, desde que e .b)
= c)
= d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
****** ou ou ou k)
l)
= ****** m)
= ******
2) Resolva as equaes:
Toda vez que a incgnita comparecer no logaritmando ou na base, deve-se proceder a uma verificao das razes encontradas quanto a satisfazerem a existncia do(s) logaritmo(s).
a)
b)
c)
3) Sendo calcule:
a)
b)
c)
Conhecendo o logaritmo de 2 na base 10, utilizando as propriedades dos logaritmos possvel calcular o logaritmo de qualquer nmero que possa ser escrito como produto ou quociente de 2 e 10.
Resolva a equao Primeiramente vamos deixar todos os logaritmos da equao dada na mesma base, ento faamos:
E a gora, a equao original fica: