CONTENIDO

Introducción………………………………………………………………………..

……………………………………..

Fuerzas

distribuidas………………………………………………………………………………………..

………….

Resultante de una carga general

distribuida………………………………………………………….……….

Magnitud de una fuerza resultante

Presión de un fluido

Placa curva de ancho constante

Placa plana de ancho variable

Centro de gravedad, centro de masa, y centroide para un

cuerpo…………………………..……..….

El Centroide

Volumen

Área

Línea

Simetría

Puntos importantes

Procedimiento de análisis

Cuerpos

Compuestos………………………………………………………………………………………

……………

Teorema de Pappus y

Guldinus………………………………………………………………..……………………

Ejercicios…………………………………………………………………………………………….

.………………..……

Bibliografía……………………………………………………………………………….

…………………………………

RESUMEN

En esta monografía se desarrollaran diferentes puntos; el como hallar la

resultante de una carga distribuida, y el centroide de una placa o una línea, o

el centro de masa, se utilizaran teoremas para el desarrollo de centroides y se

aplicaran muchas formulas dadas en esta nomografía para el calculo de la

resultantes de una carga distribuida.

OBJETIVOS

Analizar el concepto de centro de gravedad

Analizar la resultante de una carga general distribuida

Mostrar como se determina el centro de gravedad

Como utilizar el teorema de Pappus y Guldinus

Aplicar el desarrollo de la monografía en algunos ejercicios.

INTRODUCCIÓN

Un cuerpo rígido podía representarse por una sola fuerza W. Esta fuerza,

denominada fuerza de gravedad o peso del cuerpo, debía aplicarse en el centro

de gravedad del cuerpo. De hecho, la Tierra ejerce una fuerza sobre cada una

de las partículas que constituyen al cuerpo. En este sentido, la acción de la

Tierra sobre un cuerpo rígido debe representarse por un gran número de

pequeñas fuerzas distribuidas sobre todo el cuerpo. Sin embargo, en esta

monografia se aprenderá que la totalidad de dichas fuerzas pequeñas puede

ser reemplazada por una sola fuerza equivalente W. También se aprenderá

cómo determinar el centro de gravedad, esto es, el punto de aplicación de la

resultante W, para cuerpos de varias formas. En la primera parte del capítulo

se describen cuerpos bidimensionales como placas planas y alambres que

están contenidos en un plano dado. Se introducen dos conceptos que están

muy relacionados con la determinación del centro de gravedad de una placa o

de un alambre: el concepto de centroide de un área o de una línea y el

concepto del primer momento de un área o de una línea con respecto a un eje

dado. También se aprenderá que el cálculo del área de una superficie de

revolución o del volumen de un cuerpo de revolución está directamente

relacionado con la determinación del centroide de la línea o del área utilizados

para generar dicha superficie o cuerpo de revolución (teoremas de Pappus-

Guldinus). Además, la determinación del centroide de un área simplifica el

análisis de vigas sujetas a cargas distribuidas y el cálculo de las fuerzas

ejercidas sobre superficies rectangulares sumergidas, como compuertas

hidráulicas y porciones de presas.

RESULTANTE DE UNA CARGA GENERAL DISTRIBUIDA.

Distribución de presión sobre una superficie.

Considere la placa plana mostrada en la (figura

primera), la cual está sometida a la función de

carga p = p(x,y)Pa, donde Pa(pascal) = 1N/m2.

Conocida esta función podemos determinar la

fuerza dF que actúa sobre el área diferencial de

A m2 de la placa, localizada en el punto arbitrario

(x, y). Esta magnitud de fuerza es simplemente

dF = [P(x, y) N/m2](dA m2) = [P(x, y) dA]N. Por

tanto, la carga total sobre la placa es

representada como un sistema de fuerzas

paralelas infinitas en número y actuando cada

una sobre un área diferencial separada dA. Este sistema será ahora

simplificado a una sola fuerza resultante F R actuando a través de un punto

único(X,Y) sobre la placa, (figura segunda)

Magnitud de una fuerza resultante.

Para determinar la magnitud de F]V es necesario sumar cada una de las

fuerzas diferenciales dF actuando sobre el área de la superficie total de la

placa. Esta suma puede ser expresada matemáticamente como una integral:

Aquí, p(x, y) dA = dV, o el elemento de volumen diferencial más oscuro la

figura 9-25a. Por tanto, el resultado indica que la magnitud de la fuerza

resultante es igual al volumen total bajo el diagrama de carga distribuida.

Ubicación de una fuerza resultante. La ubicación (X,Y)de F R es determinada

estableciendo los momentos de F R iguales a los momentos de todas las

fuerzas dF con respecto a los ejes y y x respectivos: a partir de las figuras,

usando la ecuación, esto resulta en

Por tanto, se puede ver que la línea de acción de la fuerza resultante pasa a

través del centro geométrico o centroide del volumen bajo el diagrama de

carga distribuida.

Presión de un fluido

De acuerdo con la ley de Pascal, en un punto, un fluido en reposo genera cierta

presión p que es la misma en todas direcciones. La magnitud de p, medida

como una fuerza por área unitaria, depende del peso específico 'Y o de la

densidad de masa p del fluido y de la profundidad Z del punto desde la

superficie del fluido: La relación puede ser expresada matemáticamente como

Donde g es la aceleración debida a la gravedad. La ecuación es válida sólo

para fluidos que se suponen incompresibles, lo cual es el caso de la mayoría de

los líquidos. Los gases son fluidos compresibles, y puesto que sus densidades

cambian considerablemente con la presión y la temperatura, entonces esta

ecuación no puede ser usada.

Para ilustrar cómo se aplica la ecuación, consideremos la placa sumergida

mostrada en la (figura siguiente). Sobre la placa han sido especificados tres

puntos. Como el punto B está a profundidad Z1 de la superficie del líquido, la

presión en este punto tiene magnitud P1 = YZ1. Igualmente, los puntos e

y D están ambos a profundidad Z2; por ello, P2 = 'YZ2.

En todos los casos, la presión actúa normalmente al área superficial dA que se

localiza en el punto especificado. Usando la ecuación, es posible determinar la

fuerza resultante causada por una distribución de presión de un líquido y

especificar su ubicación sobre la superficie de una placa sumergida.

Consideraremos ahora tres formas diferentes de placas.

*En particular, para el agua 'Y = 62.4 lb/pie3, o 'Y = pg = 9810 N/m3 ya que p

= 1000 kg/m3 y g = 9.81 m/52.

Placa plana de ancho constante

Una placa plana rectangular de ancho constante, que está sumergida en un

líquido con un peso específico ɤ, se muestra en la figura (…..a) El plano de la

placa forma un ángulo con la horizontal, de manera que su borde superior está

localizado a una profundidad Z1 desde la superficie del líquido y su borde

inferior a una profundidad Z2'. Como la presión varía linealmente con la

profundidad, ecuación anterior la distribución de presión sobre la superficie de

la placa es representada por un volumen trapezoidal con intensidades P1 =ɤ Z1

a la profundidad Z1 y P2 = ɤZ2 a la profundidad Z2 .Como vimos en la sección

anterior, la magnitud de la fuerza resultante F R es igual al volumen de este

diagrama de carga y F R tiene una línea de acción que pasa por el centroide e

del volumen. Por consiguiente, F R no actúa en el centroide de la placa, sino en

un punto P llamado el centro de presión.

Como la placa tiene un ancho constante, la distribución de carga también

puede ser vista en dos dimensiones, figura(b). Aquí, la intensidad de la carga

es medida como fuerza/longitud y varía linealmente desde W1 = bP1 = bɤ Z1

hasta W2 = bP2 = bɤ Z2.

Placa curva de ancho constante

Cuando la placa sumergida es curva, la presión que actúa normalmente a la

placa cambia su dirección de manera continua, y por tanto, el cálculo de la

magnitud de F R Y su ubicación P es más difícil que para una placa plana. En

las figuras (….a) y (…b) se muestran vistas tri y bidimensionales de la

distribución de carga, respectivamente Aquí puede usarse la integración para

determinar FR y la ubicación del centroide C o centro de presión P.

Sin embargo, existe un método más simple para calcular l a magnitud de F R Y

su ubicación a lo largo de una placa curva (o plana) con ancho constante. Este

método requiere cálculos separados para las componentes horizontal y vertical

de FR' Por ejemplo, la carga distribuida que actúa sobre la placa curva DB en la

(figura siguiente) puede ser representada por la carga equivalente mostrada

en la figura (…..)

Aquí la placa soporta el peso del líquido wf contenido dentro del bloque BDA .

Esta fuerza tiene magnitud Wf =(ɤb)( áreaBDA) y actúa a través del centroide

de BDA. Además, se tienen las distribuciones de presión causadas por el líquido

actuando a lo largo de los lados vertical y horizontal del bloque. A lo largo del

lado vertical AD, la fuerza FAD tiene una magnitud igual al área bajo el trapecio

y actúa a través del centroide CAD de esta área. La carga distribuida a lo largo

del lado horizontal AB es constante ya que todos los puntos que se encuentran

en este plano están a la misma profundidad desde la superficie del líquido. La

magnitud de FAB es simplemente el área del rectángulo. Esta fuerza actúa a

través del centroide CAB del área o punto medio de AB. Sumando las tres

fuerzas presentes en la figura (…) resulta:

Placa plana de ancho variable

La distribución de presión que actúa sobre la superficie de una placa

sumergida con ancho variable se muestra en la figura (ultima fig.). La fuerza

resultante de esta carga es igual al volumen descrito por el área de la placa

como su base y a la distribución de presión linealmente variable como su

altura. El elemento sombreado que muestra la figura 9-30 puede usarse si se

elige la integración para determinar este volumen. El elemento consiste en una

franja rectangular de área dA = x dy' localizada a una profundidad z por debajo

de la superficie del líquido. Como una presión uniforme p = ɤz (fuerza/área)

actúa sobre dA, la magnitud de la fuerza diferencial dF es igual a dF = dV = p

dA = ɤz(x dy'). Integrando sobre todo el volumen se obtiene la ecuación 9-13,

es decir,

En la ecuación 9-14, el centroide de V define el punto a través del cual actúa

FR' El centro de presión, que se encuentra sobre la superficie de la placa justo

debajo de e, tiene coordenadas P(X,Y' ) definidas por las ecuaciones.

Este punto no debe confundirse con el centroide del área de la placa.

CENTRO DE GRAVEDAD, CENTRO DE MASA, Y CENTROIDE PARA UN CUERPO

Centro de gravedad. Un cuerpo rígido está compuesto de un número infinito de

partículas, y si los principios usados para determinar las ecuaciones 9-3 son

aplicados al sistema de partículas que componen un Cuerpo rígido, resulta

necesario usar integración en vez de una suma discreta de términos.

Considerando la partícula arbitraria ubicada en (X, Y, Z) y con peso dW, las

ecuaciones resultantes son

Para aplicar estas ecuaciones apropiadamente, el peso diferencial dW debe ser

expresado en términos de su volumen asociado dV. Si 'Y representa el peso

específico del cuerpo, medido como un peso por volumen unitario, entonces

dW = 'Y dV, y por tanto

Aquí la integración debe ser efectuada a todo el volumen del cuerpo.

Centro de masa

La densidad p, o masa por volumen unitario, está relacionada mediante la

ecuación 'Y = pg, donde g es la aceleración debida a la gravedad. Sustituyendo

esta relación en las ecuaciones y cancelando G en los numeradores y

denominadores, se obtienen ecuaciones similares (con p remplazando a 'Y) que

se pueden usar para determinar el centro de masa del cuerpo.

El centroide

Es un punto que define el centro geométrico de un objeto. Su ubicación puede

ser determinad a partir de fórmulas similares a las usadas para encontrar el

centro de gravedad del cuerpo o centro de masa. En particular, si el material

que compone un cuerpo es uniforme u homogéneo, la densidad o peso

específico será constante en todo el cuerpo, y por tanto, este término saldrán

de las integrales y se cancelará a partir de los numeradores y denominadores

de las ecuaciones. Las fórmulas resultantes definen el centroide del cuerpo ya

que son independientes del peso del cuerpo y dependen sólo de la geometría

de éste. Consideraremos tres casos específicos.

Volumen

Si un objeto es subdividido en elementos de volumen dV la ubicación del

centroide C(x, y, z) para el volumen delobjeto puede ser determinada

calculando los "momentos" de los elementoscon respecto a cada uno de los

ejes coordenados. Las fórmulasresultantes son

Área

De manera similar, el centroide del área superficial de un objeto, como una

placa o un cascarón, se puede encontrar subdividiendo el área en elementos

dA y calculando los "momentos" de esos elementos de área con respecto a

cada uno de los ejes coordenados, esto es.

Línea

Si la simetría del objeto, tal como la de una barra delgada o la de un alambre,

toma la forma de una línea, el equilibrio de los momentos de los elementos

diferenciales dL con respecto a cada uno delos ejes coordenados resulta en

Recuerde que al aplicar las

ecuaciones es mejor elegir un sistema coordenado que simplifique tanto como

sea posible la ecuación usada para describir la frontera del objeto. Por ejemplo,

las coordenadas polares generalmente son más apropiadas para áreas que

tengan fronteras circulares. Los términos X, y, z en las ecuaciones se refiere a

los “brazos de momento” o coordenadas del centro de gravedad o centroides

del elemento diferencial usado. De ser posible, este elemento diferencial debe

elegirse de manera que tenga un tamaño diferencial o espesor en sólo una

dirección. Cuando se hace así, sólo es requerida una integración simple para

cubrir toda la región.

Simetría

Los centroides de algunas formas o perfiles pueden ser parcial o

completamente especificados usando condiciones de simetría. En los casos

donde la forma tenga un eje de simetría, el centroide de la forma se encontrará

a lo largo de ese eje. Por ejemplo, el centroide e para la línea mostrada en la

debe encontrarse a lo largo del eje y, puesto que para toda longitud elemental

dL a una distancia + x a la derecha del eje y hay un elemento idéntico a una

distancia -x a la izquierda. Por tanto, el momento total para todos los

elementos con respecto al eje de simetría

Se cancelará; esto es, Jx dL = O, por lo que x= O. En los casos donde una

forma tenga dos o tres ejes de simetría, se infiere que el centroide se

encuentra en la intersección de esos ejes

Puntos importantes

• El centroide representa el centro geométrico de un cuerpo. Este punto

coincide con el centro de masa o con el centro de gravedad sólo si el material

que compone al cuerpo es uniforme u homogéneo.

• Las fórmulas usadas para localizar el centro de gravedad o el centroide

simplemente representan un balance entre la suma de momentos de todas las

partes del sistema y el momento de la "resultante" para el sistema.

• En algunos casos, el centroide se ubica en un punto fuera del objeto, como

en el caso de un anillo, donde el centroide está en el centro del anillo. Además,

este punto se encontrará sobre cualquier eje de simetría del cuerpo.

Procedimiento de análisis

El centro de gravedad o centroide de un objeto o forma puede ser determinado mediante simples integraciones usando el siguiente procedimiento.

Elemento diferencial.

• Seleccione un sistema coordenado apropiado, especifique los ejes

coordenados, y luego elija un elemento diferencial para la integración.

• Para líneas, el elemento dL es representado como un segmento diferencial de

línea.

• Para áreas, el elemento dA es generalmente un rectángulo de longitud finita

y ancho diferencial.

• Para volúmenes, el elemento dV es o un disco circular con radio finito y

espesor diferencial, o bien, un cascarón con longitud y radio finitos y espesor

diferencial.

• Localice el elemento en un punto arbitrario (x, y, z) sobre la curva que define

la forma.

Tamaño y brazos de momento

• Exprese la longitud dL, el área dA,o el volumen dV del elemento en términos

de las coordenadas de la curva usada para definir la forma geométrica.

• Determine las coordenadas o brazos de momento X, y, z para el centroide o

centro de gravedad del elemento.

Integraciones.

• Sustituya las formulaciones para X, y, z Y dL, dA,o dV en las ecuaciones

apropiadas y efectúe las integraciones.

• Para efectuar la integración, exprese la función en el integrando en términos

de la misma variable aplicada al espesor diferencial del

• Los límites de la integral son definidos a partir de las dos ubicaciones

extremas del espesor diferencial del elemento, de manera que cuando los

elementos son "sumados" o la integración es efectuada, la región completa

queda cubierta.

CUERPOS COMPUESTOS

Es la unión de varios cuerpos simples conectados, las cuales pueden ser rectangulares, semicirculares, etc. Un cuerpo de esta índole a menudo es seccionado o dividido en sus partes componentes si se conoce el peso o la ubicación de estas partes es posible eliminar la necesidad de integración para conocer el centro de gravedad del cuerpo entero. El método para esto requiere que se trate a cada componente como una partícula. Ya que debemos considerar un número finito de pesos tenemos las siguientes formulas:

X=ƩaWƩW

Y= ƩbWƩW

Z=Ʃ cWƩW

En este caso x, y, z representan las coordenadas del centro de gravedad del cuerpo compuesto.

a, b, c representan las coordenadas del centro de gravedad de cada parte componente del cuerpo.

ƩW es la suma de los pesos de todas las partes componentes del cuerpo, o simplemente el peso total de cuerpo.

Cuando el cuerpo tiene densidad o peso específico constantes, el centro d gravedad coincide con el centroide del cuerpo. El centroide para líneas, áreas y volúmenes compuestos puede encontrarse usando la misma fórmula solamente debe cambiarse la W por L, A y B respectivamente.

PROCEDIMIENTO DE ANALISIS:

PARTES COMPONENTES:

Mediante un croquis divide el cuerpo u objeto en un número finito de partes componentes que tengan formas más simples.

Si una parte componente tiene un agujero o una región geométrica que no contenga material, entonces considérala sin el agujero y a este como una parte componente adicional con peso o tamaño negativos.

BRAZOS DE MOMENTO:

Establezca los ejes coordenados sobre el croquis y determine las coordenadas a, b y c del centro d gravead o centroide de cada parte.

SUMATORIAS: Determine x, y, z aplicando la ecuación del centro de gravedad o la

fórmula del centroide ya dada. Si un objeto es simétrico a un eje su centroide se encuentra sobre

este eje.

TEOREMA DE PAPPUS Y GULDINUS

Estos teoremas fueron formulados primero por el geómetra griego Pappus

durante el siglo III después de Cristo y fueron replanteados posteriormente por

el matemático suizo Guldinus o Guldin (1577-1643), se refieren a superficies y

cuerpos de revolución. Una superficie de revolución se genera mediante la

rotación de una curva plana con respecto a un eje fıjo. Por ejemplo en la figura

siguiente se puede obtener la superficie de una esfera rotando un arco

semicircular ABC con respecto al diámetro AC; se puede producir la superficie

de un cono rotando una línea recta AB con respecto a un eje AC y se puede

generar la superficie de un toroide o anillo rotando la circunferencia de un

círculo con respecto a un eje que no interseca a dicha circunferencia.

Un cuerpo de revolución se genera mediante la rotación de un área plana

alrededor de un eje fıjo. Como se muestra en la fıgura siguiente, se puede

generar una esfera, un cono y un toroide rotando la forma apropiada con

respecto al eje que se indica.

Teorema I:

El área de una superficie de revolución es igual a la longitud de la curva

generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centroide de dicha

curva al momento de generar la superficie.

Demostración: Considérese un elemento dL de la línea L (figura siguiente) que

rota alrededor del eje x. El área dA generada por el elemento dL es igual a 2πy

dL. Por tanto, el área total generada por L es A=∫ 2πydL.

A=∫ 2πyL.

Donde 2πy es la distancia recorrida por el centroide de L (figura anterior). Se

debe señalar que la curva generatriz no debe cruzar el eje sobre el cual rota; si

lo hiciera, las dos secciones, una a cada lado del eje, generarían áreas que

tendrían signos opuestos y el teorema no podría aplicarse.

Teorema II:

El volumen de un cuerpo de revolución es igual al área generatriz multiplicada

por la distancia recorrida por el centroide del área al momento de generar el

cuerpo.

Demostración Considérese un elemento dA del área A, el cual se rota con

respecto al eje x (figura siguiente). El volumen dV generado por el elemento dA

es igual a 2_y dA. Por tanto, el volumen total generado por A es V=∫2 πydA y,

puesto que la integral y dA es igual yA. Se tiene

V=2πyA

donde 2πy es la distancia recorrida por el centroide de A. Es importante señalar

que el teorema no puede aplicarse si el eje de rotación interseca al área

generatriz. Los teoremas de Pappus-Guldinus proporcionan una forma sencilla

de calcular las áreas de superficies de revolución y los volúmenes de cuerpos

de revolución. En forma inversa, estos teoremas se emplean para determinar el

centroide de una curva plana cuando el área de la superfıcie generada por la

curva es conocida o para determinar el centroide de un área plana cuando el

volumen del cuerpo generado por el área es conocido.

Algunos centroides de áreas de figuras conocidas

Centroide de líneas de formas conocidas

Ejemplo de desarrollo de centroides:

Problema 1: Para el área plana mostrada en la figura determine la ubicación

de su centroide.

Desarrollo.

Se realiza una tabla donde se separan areas conocidas para poder trabajar y

desarrollar el problema.

Después de realizar la tabla se dividen la sumatoria de “x” sobre la sumatoria

de AREAS (A mm2) para hallar el centroide en “X”, y para hallar el centroide en

“Y” se divide la sumatoria de “y” sobre la sumatoria de AREAS (A mm2). (LAS

ECUACIONES DE CENTROIDE).

El centroide se encuentra:

Problema 2: la figura mostrada esta hecha a partir de un pedazo de alambre

delgado y homogéneo, Determine su centroide de gravedad.

Lo primero que se realiza antes de desarrollar el problema anterior es escoger

o separar segmento por segmento y en este caso tenemos 3 segmentos AB, BC

,CA; después hallamos su longitud y su centroide en “x” y en “y”, los cuales los

colocamos en una tabla como en el problema anterior.

Después se realizan sumatorias de áreas, de distancias por longitud tanto en el

eje “x” como en el eje “y”, y se dividen para hallar el centroide (las ecuaciones

de centroide).

BIBLIOGRAFIA:

HIBBELER, R. C.

Mecánica vectorial para ingenieros. Estática.

Décima edición

PEARSON EDUCACIÓN, México, 2004

ISBN: 970-26-0501-6