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1
Apuntes Tema 7:
Respuesta temporal de componentes pasivos
Contenido 7 Respuesta temporal de componentes pasivos. .......................................................................... 1
7.1 Respuesta de circuitos R-C y R-L ......................................................................................... 2
7.1.1 Introducción ................................................................................................................ 2
7.1.2 Combinación de resistencia y capacidad (R-C) ............................................................ 3
7.1.3 Preguntas de Autoevaluación ................................................................................... 11
7.1.4 Problemas. ................................................................................................................. 11
7.1.5 Combinación de resistencia y bobina (R-L) ............................................................... 13
7.1.6 Resumen .................................................................................................................... 20
7.2 Circuitos derivadores e integradores. ............................................................................... 20
7.2.1 Integradores .................................................................................................................... 24
7.2.2 Derivadores ..................................................................................................................... 27
7.2.3 Preguntas de Autoevaluación .......................................................................................... 29
7.2.4 Resumen .......................................................................................................................... 30
7.3 Series de Fourier ..................................................................................................................... 31
7.3.1 Definición de armónicas ................................................................................................... 32
7.3.3 Gráficos de series de Fourier ............................................................................................ 36
7.3.4 Preguntas de Autoevaluación .......................................................................................... 37
7.3.5 Problemas. ........................................................................................................................ 38
7.3.6 Resumem. ........................................................................................................................ 39
7.4 Bibliografía .............................................................................................................................. 41
7 Respuesta temporal de componentes pasivos.
2
7.1 Respuesta de circuitos R-C y R-L
7.1.1 Introducción
El alumno debe considerar que al aplicar una tensión de corriente continua
mediante un interruptor a los componentes pasivos, la misma se comporta
como si se aplicara una tensión en forma de pulso o escalón ascendente. De la
misma forma, al desconectar el circuito se produce un escalón descendente.
Por ello, cuando se aplica un escalón ascendente o descendente a una
resistencia, la respuesta (corriente o caída de tensión) sigue fielmente a la
fuente que lo aplica, esto se detalla en la próxima figura. Se observa, en la
misma ( a ), que al cerrar LL , escalón ascendente, en forma instantánea se
establece tanto la tensión o caída de potencial como la corriente. De la misma
forma y un instante después, escalón descendente, al abrir LL , también en
forma instantánea desaparece tanto la tensión como la corriente, ( b ).
Ello induce a pensar, que la resistencia no introduce ninguna perturbación a la
circulación de corriente (IR) ni a la caída de potencial (V), dibujadas ambas a
distinta escala. De la misma forma, cuando se aplican estos escalones a
circuitos compuestos por resistencia y capacidad (R-C) y resistencia e
inductancia (R-L), las respuestas que se producen resultan muy diferentes al
E
IR
t
V , I
Cierre de llave Apertura de llave
( b )
E
LL
IR R V
( a )
3
caso de la resistencia. Ello es debido a las características propias del capacitor
e inductancia. Recordemos que el comportamiento de la capacidad es la
acumulación de energía potencial en el mismo, equivalente a la constante de
deformación del resorte, y la inductancia acumula campo magnético
apareciendo la inercia eléctrica equivalente a la inercia mecánica.
Así entonces, el interés de estudiar estas configuraciones circuitales permite
definir circuitos conformadores de ondas o señales que tienen amplias
posibilidades en muchas aplicaciones del equipamiento electrónico. Solamente
para que se entienda esta premisa, se dirá que se puede mediante ellos
realizar las operaciones matemáticas de derivar e integrar con bastante
aproximación.
7.1.2 Combinación de resistencia y capacidad (R-C)
En la siguiente figura, se ha esquematizado un circuito compuesto por una
generador de C.C., una llave interruptora y la combinación de resistencia y
capacitor en serie (R-C). Es importante destacar que la resistencia interna de
la fuente de f.e.m. es cero o muy pequeña ( fuente ideal ). En el instante en
que se cierra la llave se establece la corriente IC. Esta corriente, cesa cuando
“C” se carga. Se estudió en el capítulo correspondiente a componentes pasivos,
que la forma de la tensión de carga, es en forma exponencial, acumulando el
capacitor, energía de campo eléctrico a la que se puede denominar potencial.
La carga total C se produce después de un cierto retardo comandado por la
constante de tiempo τ =RC y la corriente se hace cero. Posteriormente, con C
cargado al valor de E
E R
C
VR
VC
i
Aplicando Kirchoff se tiene :
𝐸 = 𝑉 𝑅 + 𝑉 𝐶
𝑉 𝑅 = 𝑖 . 𝑅
𝑉 𝐶 = 1
𝐶 𝑖 𝑑𝑡
4
Por definición se sabe que : =
con lo que:
Separando variables queda:
Integrando ambos miembros
Llevando la integral del segundo miembro a la forma:
𝐸 = 𝑖 . 𝑅 + 1
𝐶 𝑖 𝑑𝑡 𝐸 = 𝑅
𝑑𝑞
𝑑𝑡 +
1
𝐶
𝑑𝑞
𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝐸 = 𝑅 𝑑𝑞
𝑑𝑡 +
1
𝐶 𝑑𝑞 𝐸 = 𝑅
𝑑𝑞
𝑑𝑡 +
𝑞
𝐶
𝐸 − 𝑞
𝐶 = 𝑅
𝑑𝑞
𝑑𝑡
1
𝑅 𝑑𝑡 =
1
𝐸 − 𝑞 𝐶
𝑑𝑞
1
𝑅 𝑑𝑡
𝑡
0
= 1
𝐸 − 𝑞 𝐶
𝑑𝑞 𝑞
0
1
𝑥 − 𝑎 𝑑𝑥 = ln 𝑥 − 𝑎
1
𝑅 𝑑𝑡
𝑡
0
= 1
1 𝐶 𝐶 𝐸 − 𝑞
𝑑𝑞 𝑞
0
1
𝑅 𝑡
𝑡
0
= 𝐶 − ln 𝐶 𝐸 − 𝑞
q
0
1
𝑅 𝐶 𝑡 − 0 = −1 ln 𝐶.𝐸 − 𝑞 − ln 𝐶 .𝐸 −
1
𝑅 𝐶 𝑡 = ln
𝐶.𝐸 − 𝑞
𝐶.𝐸
− 1
𝑅 𝐶 𝑡 = ln
𝐶 𝐸 − 𝑞 𝐶
𝐶.𝐸
5
Aplicando antilogarítmo se llega a :
Sabiendo que la tensión en el capacitor está dada por : se puede
expresar como :
Haciendo un análisis dimensional del producto se tiene :
Encontraremos el valor al cuál se carga el capacitor para tres valores de la
constante de tiempo.
Cuando se cierra la llave inicia la carga estando en el instante inicial t = 0.
𝑒 − 1
𝑅 𝐶 𝑡
𝐶 𝐸 − 𝑞
𝐶
𝐶.𝐸
= 𝐸 −
𝑞 𝐶
𝐸
𝑉 𝐶 = 𝑞
𝐶
𝑒 − 1
𝑅 𝐶 𝑡
𝐶 𝐸 − 𝑞
𝐶
𝐶.𝐸
= 𝐸 − 𝑉 𝐶
𝐸 𝑉 𝐶 = 𝐸 1 − 𝑒 − 1
𝑅 𝐶 𝑡
" 𝑅 .𝐶 " 𝜏 = 𝑅 .𝐶
𝜏 = 𝑅 . 𝐶 = 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠
𝐴𝑚𝑝𝑒𝑟 .
𝐴𝑚𝑝𝑒𝑟 . 𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠
𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠 = 𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠
𝜏 = 𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 𝝉 = 𝑹 .𝑪 𝑪𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆 𝒕𝒊𝒆𝒎𝒑𝒐
𝑉 𝐶 = 𝐸 1 − 𝑒 − 1 𝑅 𝐶
0 = 𝐸 1 − 𝑒 0 𝑡 = 0 𝑉 𝐶 = 0
𝐶 = 𝑑𝑞
𝑑𝑉
𝑖 = 𝑑𝑞
𝑑𝑡
𝐶 = 𝑖 𝑑𝑡
𝑑𝑉 𝐶 =
𝐴𝑚𝑝𝑒𝑟 . 𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠
𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠
6
Cuando el tiempo transcurrido es una constante de tiempo t = R C.
Cuando el tiempo transcurrido es cinco constantes de tiempo o más t = 5 R C.
Para encontrar el valor de la corriente que circula por el circuito se aplica:
𝑡 = 𝑅𝐶 𝑉 𝐶 = 0,63 𝐸 𝑉 𝐶 = 𝐸 1 − 𝑒 − 1 𝑅 𝐶
𝑅 𝐶 = 𝐸 1 − 𝑒 −1
𝑉 𝐶 = 𝐸 1 − 𝑒 − 1 𝑅 𝐶
5 𝑅𝐶 = 𝐸 1 − 𝑒−5 𝑡 = 5 𝑅𝐶 𝑉 𝐶 ≅ 𝐸
𝑉𝐶 = 1
𝐶 𝑖𝐶 𝑑𝑡 𝐶 𝑉𝐶 = 𝑖𝐶 𝑑𝑡 𝑖𝐶 = 𝐶
𝑑𝑉𝐶
𝑑𝑡
𝑡 = 𝑅𝐶
𝑡 = 5 𝑅𝐶
𝑉𝐶 = 0,63 𝐸
𝑉𝐶 ≅ 𝐸
𝑉𝐶
𝑡
𝑽𝑪
𝑬
7
Como se sabe la tensión en la resistencia por ley de Ohm está dada por :
Cuando se cierra la llave inicia la circulación de corriente y con ello la tensión
sobre la resistencia estando en el instante inicial t = 0.
Cuando el tiempo transcurrido es una constante de tiempo t = R C.
Cuando el tiempo transcurrido es cinco constantes de tiempo t = 5 R C.
𝑖𝐶 = 𝐶
𝑑 𝐸 1 − 𝑒 − 1 𝑅 𝐶
𝑡
𝑑𝑡
𝑖𝐶 = 𝐶 𝐸 0 − 𝑒 − 1 𝑅 𝐶
𝑡 − 1
𝑅 𝐶
𝑖𝐶 = 𝐶 𝐸 1
𝑅 𝐶 𝑒
− 1 𝑅 𝐶
𝑡 𝑖𝐶 =
𝐸
𝑅 𝑒
− 1 𝑅 𝐶
𝑡
𝑉𝑅 = 𝑅 . 𝑖𝐶 𝑉𝑅 = 𝑅 . 𝐸
𝑅 𝑒 −
1 𝑅 𝐶
𝑡 𝑉𝑅 = 𝐸 𝑒 − 1 𝑅 𝐶
𝑡
𝑉 𝐶 = 𝐸 𝑒 − 1 𝑅 𝐶
0 = 𝐸 𝑒 0 𝑡 = 0 𝑉 𝐶 = 𝐸
𝑡 = 𝑅𝐶 𝑉 𝐶 = 0,37 𝐸 𝑉 𝐶 = 𝐸 𝑒 − 1 𝑅 𝐶
𝑅 𝐶 = 𝐸 𝑒 −1
𝑉 𝐶 = 𝐸 𝑒 − 1 𝑅 𝐶
5 𝑅𝐶 = 𝐸 𝑒−5 𝑡 = 5 𝑅𝐶 𝑉 𝐶 ≅ 0
8
Graficando la tensión en el capacitor y en la resistencia al mismo tiempo se
tiene :
Si ahora se interrumpe le excitación dada por la fuente de tensión y se
cortocircuita la fuente se tiene:
𝑉𝑅 ≅ 𝐸
𝑡 = 𝑅𝐶
𝑡 = 5 𝑅𝐶
𝑉𝐶
𝑡
𝑬
𝑉𝑅 = 0,37 𝐸 𝑽𝑹
𝑡 = 𝑅𝐶
𝑡 = 5 𝑅𝐶
𝑉𝐶 = 0,63 𝐸
𝑉𝐶 ≅ 𝐸
𝑉
𝑡
𝑽𝑪
𝑬
𝑉𝑅 = 0,37 𝐸 𝑽𝑹
9
Aplicando el mismo método anterior se tiene:
E R
C
VR
VC
i
Aplicando Kirchoff se tiene:
0 = 𝑉 𝑅 + 𝑉 𝐶
𝑉 𝑅 = 𝑖 . 𝑅
𝑉 𝐶 = 1
𝐶 𝑖 𝑑𝑡
0 = 𝑅 . 𝑖 + 1
𝐶 𝑖 𝑑𝑡 0 = 𝑅
𝑑𝑞
𝑑𝑡 +
1
𝐶
𝑑𝑞
𝑑𝑡 𝑑𝑡
0 = 𝑅 𝑑𝑞
𝑑𝑡 +
1
𝐶 𝑑𝑞 0 = 𝑅
𝑑𝑞
𝑑𝑡 +
𝑞
𝐶
0 − 𝑞
𝐶 = 𝑅
𝑑𝑞
𝑑𝑡 −
1
𝑅𝐶 𝑑𝑡 =
1
𝑞 𝑑𝑞 −
1
𝑅𝐶 𝑑𝑡
𝑡
0
= 1
𝑞 𝑑𝑞
𝑞
𝑞0
− 1
𝑅𝐶 𝑡 = ln 𝑞
𝑡
0
𝑞
𝑞0
− 1
𝑅𝐶 𝑡 − 0 = ln 𝑞 − ln 𝑞0
− 1
𝑅𝐶 𝑡 = ln
𝑞
𝑞0 𝑒 −
1
𝑅𝐶 𝑡 =
𝑞
𝑞0 𝑞 = 𝑞0 𝑒
− 1
𝑅𝐶 𝑡
10
Sabiendo que la corriente es:
Entonces la tensión en la resistencia es:
El signo negativo indica que la corriente circula en sentido contrario.
La tensión en el capacitor está dada por :
El signo positivo se debe a que la corriente sigue circulando en el mismo
sentido.
𝑖 = 𝑑𝑞
𝑑𝑡
𝑖 = 𝑞0 𝑒 −
1 𝑅𝐶
𝑡 . − 1
𝑅𝐶 𝑖 = −
𝑞0
𝐶 1
𝑅 𝑒 −
1 𝑅𝐶
𝑡
𝑉 0
𝑖 = − 𝑉0
𝑅 𝑒 −
1 𝑅𝐶
𝑡
𝑉𝑅 = 𝑖 . 𝑅 = − 𝑉0
𝑅 𝑅 𝑒 −
1 𝑅𝐶
𝑡 𝑉𝑅 = − 𝑉0 𝑒 −
1 𝑅𝐶
𝑡
𝑉𝐶 = 1
𝐶 𝑖 𝑑𝑡 =
1
𝐶 −
𝑉0 𝑅
𝑒 − 1 𝑅𝐶
𝑡 𝑑𝑡 𝑉𝐶 = − 1
𝐶 𝑉0 𝑅
𝑒
− 1 𝑅𝐶
𝑡
− 1 𝑅𝐶
𝑉𝐶 = 𝑉0 𝑒 −
1 𝑅𝐶
𝑡
11
7.1.3 Preguntas de Autoevaluación
1) ¿Qué sucede con la tensión y la corriente en una resistencia? ¿Cómo
están dichas variables?
2) ¿Qué sucede con la tensión y la corriente en un circuito R-L?.
3) ¿Qué sucede con la tensión y la corriente en un circuito R-C?
7.1.4 Problemas.
𝑉𝐶
𝑡
𝑽𝑪
𝑬
𝑽𝑹
CARGA DESCARGA
12
1) En el siguiente circuito se tiene un capacitor de 10 µf y una
resistencia de 20 Ω. Si el tiempo en que se cierra la llave es de 10
seg. ¿A qué valor de tensión se carga el capacitor?
2) En el siguiente circuito se tiene un capacitor de 200 µf y una
resistencia de 2000 kΩ. Si el tiempo en que se cierra la llave es de 1
seg. ¿A qué valor de tensión se carga el capacitor? ¿Cuál es el valor de
la tensión en la resistencia?
3) En el siguiente circuito se tiene un capacitor de 1 µf con una carga de
50 V y una resistencia de 50 Ω. Si el tiempo en que se cierra la llave es
de 2 segundos. ¿A qué valor de tensión se descarga el capacitor?
13
4) Se conecta un condensador de 20 µF a un generador de 200 V a
través de una resistencia de 0,5 MΩ.
a) Hallar la carga del condensador al cabo de 0 seg, 5 seg, 10
seg, 20 seg, 40 seg y 100 seg después de haberlo conectado.
b) Hallar la intensidad de la corriente de carga en esos mismos
instantes.
c) ¿Qué tiempo sería necesario para que el condensador
adquiriese su carga final si la intensidad de la corriente de
carga fuese en todo momento igual a la inicial? Comparar este
tiempo con la corriente de tiempo del circuito.
7.1.5 Combinación de resistencia y bobina (R-L)
Para resolver esta ecuación se aplica:
Integrando ambos miembros en función de su variable se llega a:
𝐸 = 𝑖 . 𝑅 + 𝐿 𝑑𝑖
𝑑𝑡
𝐿 𝑑𝑖
𝑑𝑡 = 𝐸 − 𝑖 . 𝑅
1
𝐿 𝑑𝑡 =
1
𝐸 − 𝑖 . 𝑅 𝑑𝑖
Aplicando Kirchoff se tiene :
𝐸 = 𝑉 𝑅 + 𝑉 𝐿
𝑉 𝑅 = 𝑖 . 𝑅
𝑉 𝐿 = 𝐿 𝑑𝑖
𝑑𝑡
E R
L
VR
VC
i
14
Arreglando el segundo miembro para llevarlo a una integral conocida
Aplicando Barrow:
Aplicando antilogaritmos se tiene:
Despejando el valor de la corriente por el circuito se llega a:
1
𝐿 𝑑𝑡
𝑡
0
= 1
𝐸 − 𝑖 . 𝑅
𝑖
0
𝑑𝑖
1
𝑥 − 𝑎 𝑑𝑥 = ln 𝑥 − 𝑎
1
𝐿 𝑑𝑡
𝑡
0
= 1
𝑅
1
𝐸𝑅 − 𝑖
𝑖
0
𝑑𝑖 1
𝐿 𝑡 =
1
𝑅 − ln
𝐸
𝑅 − 𝑖
𝑡
0
𝑖
0
𝑒 𝑅 𝐿
𝑡 = 𝐸
𝐸 − 𝑅 𝑖
1
𝐿 𝑡 − 0 =
1
𝑅 − ln
𝐸
𝑅 − 𝑖 + ln
𝐸
𝑅 − 0
1
𝐿 𝑡 =
1
𝑅 ln
𝐸
𝑅 − 0
𝐸
𝑅 − 𝑖
1
𝐿 𝑡 =
1
𝑅 ln
𝐸
𝑅
𝐸
𝑅 − 𝑖
1
𝐿 𝑡 =
1
𝑅 ln
𝐸
𝐸 − 𝑅 𝑖
𝑅
𝐿 𝑡 = ln
𝐸
𝐸 − 𝑅 𝑖
𝐸 − 𝑖 𝑅 = 𝐸
𝑒 𝑅 𝐿
𝑡 𝐸 − 𝑖 𝑅 = 𝐸 . 𝑒
− 𝑅 𝐿
𝑡
15
𝑖 = 𝐸
𝑅 1 − 𝑒
− 𝑅 𝐿
𝑡
𝑉 𝐿 = 𝐸 𝑒 − 𝑅 𝐿
𝑡
Haciendo el análisis dimensional de se concluye que:
La caída de tensión en la resistencia está dada por:
La caída de tensión en la bobina está dada por:
Cuando se cierra la llave , t = 0 , la tensión en ambos elementos es :
𝜏 = 𝐿
𝑅
𝑉 𝐿 = 𝐿 𝑑𝑖
𝑑𝑡 𝐿 = 𝑉 𝐿
𝑑𝑡
𝑑𝑖 𝐿 = 𝑉 𝐿
𝑑𝑡
𝑑𝑖 = Volts .
𝑠𝑒𝑔
𝐴𝑚𝑝
𝜏 = 𝐿
𝑅 =
Volts . 𝑠𝑒𝑔 𝐴𝑚𝑝
𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠 𝐴𝑚𝑝
= 𝑠𝑒𝑔 𝜏 = 𝑠𝑒𝑔
𝑉 𝑅 = 𝑅 . 𝑖
𝑉 𝑅 = 𝑅 . 𝐸
𝑅 1 − 𝑒
− 𝑅 𝐿
𝑡 𝑉 𝑅 = 𝐸 1 − 𝑒 − 𝑅 𝐿
𝑡
𝑉 𝐿 = 𝐿 𝑑𝑖
𝑑𝑡
𝑉 𝐿 = 𝐿 𝑑
𝐸𝑅 1 − 𝑒
− 𝑅 𝐿
𝑡
𝑑𝑡 𝑉 𝐿 = 𝐿
𝐸
𝑅 0 − 𝑒
− 𝑅 𝐿
𝑡 − 𝑅
𝐿
A “ “ se lo llama
constante de tiempo.
𝜏
𝑉 𝐿 = 𝐸 𝑒 −𝑅 𝐿
0 = 𝐸 𝑒 0 𝑡 = 0 𝑉 𝐿 = 𝐸
16
Cuando ha transcurrido un tiempo igual a la constante de tiempo del circuito
resulta:
Cuando ha transcurrido un tiempo igual a 5 constantes de tiempo del circuito
resulta:
𝑉 𝑅 = 𝐸 1 − 𝑒 − 𝑅 𝐿
0 = 𝐸 . 0 𝑡 = 0 𝑉 𝑅 = 0
𝑉 𝐿 = 𝐸 𝑒 −𝑅 𝐿
𝐿𝑅 = 𝐸 𝑒 −1 𝑡 =
𝐿
𝑅 𝑉 𝐿 = 0,37 𝐸
𝑡 = 𝐿
𝑅 𝑉 𝑅 = 𝐸 1 − 𝑒
− 𝑅 𝐿
𝐿𝑅 = 𝐸 . 0,632
𝑡 =𝐿
𝑅
𝑡 = 5 𝐿
𝑅
𝑉𝑅 = 0,63 𝐸
𝑉𝑅 ≅ 𝐸
𝑉
𝑡
𝑽𝑹
𝑬
𝑉𝐿 = 0,37 𝐸 𝑽𝑳
𝑉 𝐿 = 𝐸 𝑒 −𝑅 𝐿
5 𝐿𝑅 = 𝐸 𝑒 −5 𝑡 = 5
𝐿
𝑅 𝑉 𝐿 = 0
𝑡 = 5 𝐿
𝑅 𝑉 𝑅 = 𝐸 1 − 𝑒
− 𝑅 𝐿
5 𝐿𝑅 ≅ 𝐸
17
Anulando la tensión de alimentación resulta :
Integrando ambos miembros :
Aplicando antilogaritmo se llega a :
Aplicando Kirchoff se tiene :
0 = 𝑉 𝑅 + 𝑉 𝐿
𝑉 𝑅 = 𝑖 . 𝑅
𝑉 𝐿 = 𝐿 𝑑𝑖
𝑑𝑡
E R
L
VR
VL
i
𝐿 𝑑𝑖
𝑑𝑡 = − 𝑖 . 𝑅
−1
𝑖.𝑅 𝑑𝑖 =
1
𝐿 𝑑𝑡
−1
𝑅
1
𝑖 𝑑𝑖
𝑖
𝑖0
= 1
𝐿 𝑑𝑡
𝑡
0
𝑡
0
𝑖
𝑖 0
− 1
𝑅 ln 𝑖 =
1
𝐿 𝑡
− 1
𝑅 ln 𝑖 − ln 𝑖0 =
1
𝐿 𝑡 − 0
− 1
𝑅 ln
𝑖
𝑖0 =
1
𝐿 𝑡
ln 𝑖
𝑖0 =
− 𝑅
𝐿 𝑡
𝑖
𝑖0 = 𝑒
− 𝑅 𝐿
𝑡 𝑖 = 𝑖0 𝑒 − 𝑅 𝐿
𝑡
18
𝑉 𝐿 = − 𝐸 𝑒 − 𝑅 𝐿
𝑡
La caída de tensión en la resistencia está dada por: = .
La caída de tensión en la bobina está dada por:
Cuando se cierra la llave , t = 0 , la tensión en ambos elementos es :
Cuando ha transcurrido un tiempo igual a la constante de tiempo del circuito
resulta:
𝑉 𝑅 = 𝑅 . 𝑖0 𝑒 − 𝑅 𝐿
𝑡 𝑉 𝑅 = 𝐸 𝑒 − 𝑅 𝐿
𝑡
𝑉 𝐿 = 𝐿 𝑑𝑖
𝑑𝑡
𝑉 𝐿 = 𝐿 𝑑 𝑖0 𝑒
− 𝑅 𝐿
𝑡
𝑑𝑡 𝑉 𝐿 = 𝐿 𝑖0 𝑒
− 𝑅 𝐿
𝑡 − 𝑅
𝐿
𝑉 𝐿 = − 𝐸 𝑒 −𝑅 𝐿
0 = − 𝐸 𝑒 0 𝑡 = 0 𝑉 𝐿 = − 𝐸
𝑉 𝑅 = 𝐸 𝑒 − 𝑅 𝐿
0 = 𝐸 . 1 𝑡 = 0 𝑉 𝑅 = 𝐸
𝑉 𝐿 = − 𝐸 𝑒 −𝑅 𝐿
𝐿𝑅 = − 𝐸 𝑒 −1 𝑡 =
𝐿
𝑅 𝑉 𝐿 = − 0,37 𝐸
𝑡 = 𝐿
𝑅 𝑉 𝑅 = 𝐸 𝑒
− 𝑅 𝐿
𝐿𝑅 = 𝐸 . 0,632
𝑉 𝐿 = − 𝑅 𝑖0 𝑒 − 𝑅 𝐿
𝑡
19
Cuando ha transcurrido un tiempo igual a 5 constantes de tiempo del circuito
resulta:
Estos circuitos, R-C o R-L, para el caso de operar como derivadores, tienen
muchas aplicaciones, siendo una de ellas la necesidad de obtener pulsos
(señales en las cuales el semiperíodo positivo o negativo es muy corto
respecto al negativo o positivo), adecuados para accionar circuitos digitales y
𝑉 𝐿 = − 𝐸 𝑒 −𝑅 𝐿
5 𝐿𝑅 = − 𝐸 𝑒 −5 𝑡 = 5
𝐿
𝑅 𝑉 𝐿 = 0
𝑡 = 5 𝐿
𝑅 𝑉 𝑅 = 0 𝑉 𝑅 = 𝐸 𝑒
− 𝑅
𝐿 5
𝐿
𝑅 = 𝐸 𝑒 −5
𝑉
𝑡
𝑽𝑹
𝑬
𝑽𝑳
CARGA DESCARGA
20
para otras aplicaciones. En el caso de los circuitos integradores, su
aplicación es fundamental cuando se trata de filtrar ruidos o señales no
adecuadas o de lograr valores medios de alguna tensión en particular.
7.1.6 Resumen
En esta sección se considera el efecto en circuitos R-C y R-L al aplicar una
tensión de corriente continua mediante un interruptor, la misma se comporta
como si se aplicara una tensión en forma de pulso o escalón ascendente. De la
misma forma, al desconectar el circuito se produce un escalón descendente.
Cuando se aplica un escalón ascendente o descendente a una resistencia, la
respuesta (corriente o caída de tensión) sigue fielmente a la fuente que lo
aplica.
Al aplicar el escalón ascendente a un circuito serie con una resistencia y un
capacitor, la tensión en el capacitor seguirá una respuesta exponencial
creciente. En cambio al aplicar el escalón ascendente a un circuito serie con
una resistencia y una inductancia, la corriente en la inductancia seguirá la
respuesta exponencial creciente.
En ambos casos se definen constantes de tiempo en segundo, dados por
que es el valor en alcanzar el 63,2% de la tensión final (en el capacitor) o la
corriente final (en la inductancia).
7.2 Circuitos derivadores e integradores.
Estos circuitos, R-C o R-L, para el caso de operar como derivadores, tienen
muchas aplicaciones, siendo una de ellas la necesidad de obtener pulsos
𝜏 = 𝑅. C ( para circuito RC ) 𝜏 = 𝐿
𝑅 ( para circuito RL )
21
(señales en las cuales el semiperíodo positivo o negativo es muy corto respecto
al negativo o positivo), adecuados para accionar circuitos digitales y para otras
aplicaciones.
En el caso de los circuitos integradores, su aplicación es fundamental cuando
se trata de filtrar ruidos o señales no adecuadas o de lograr valores medios de
alguna tensión en particular.
El Circuito derivador realiza la operación matemática de derivación, de modo
que la salida de este circuito es proporcional a la derivada en el tiempo
de la señal de entrada. En otras palabras, la salida es proporcional a la
velocidad de variación de la señal de entrada.
Teniendo en cuenta lo visto anteriormente, y variando la constante de tiempo
con respecto al semiperíodo, se podrán realizar las operaciones de integrar y
derivar, ya sea con RC o RL. El análisis de estas aplicaciones se realizará
exclusivamente con la combinación de RC.
Ello debido a que se fabrica una gran variedad de capacitores prácticamente
con dieléctricos perfectos. En cambio, las inductancias comerciales son muy
limitadas y poseen, aunque pequeña, la resistencia del arrollamiento, además
son más caras que los capacitores.
Cuando se integra o deriva una función rectangular, el resultado obtenido es el
que se expone en la siguiente figura. En ella se puede observar que la
integración matemática es el valor medio de dicha función. Se exponen la
integral y derivada matemáticas de la misma y la integral y derivada
electrónica de una tensión equivalente a la función.
22
𝑦 = 𝑓 𝑥
𝑥
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
x
𝑑 𝑓 𝑥
𝑑𝑥
𝑥
Integral y derivada matemática
Integral y derivada electrónica
𝑦 = 𝑓 𝑡
𝑡
𝑓 𝑡 𝑑𝑡
𝑡
𝑑 𝑓 𝑡
𝑑𝑡
𝑡
23
Se aprecia que la aproximación electrónica es bastante cercana a la
matemática. Lo que si debe tenerse en cuenta es que el valor de la derivada
desde el punto de vista matemático para la función que crece desde cero al
máximo o decrece a cero, (flancos ascendentes o descendentes), es que lo
hace en un tiempo cero. Por ello, la derivada será infinito positivo o infinito
negativo, lo que electrónicamente no puede conseguirse, ya que existe un
cierto tiempo de crecimiento y decrecimiento para los flancos ascendentes y
descendentes de las señales eléctricas. Al tiempo que transcurre desde que la
señal toma una amplitud del 10 % al 90 % de su máxima amplitud se lo
denomina “ tiempo de crecimiento ” y por el contrario al tiempo que va desde
un 90 % a un 10 % de su amplitud se lo denomina “ tiempo de decrecimiento ”
Por ello, la derivada adquirirá la tensión aplicada, tanto para la parte
ascendente como descendente en forma no instantánea. No obstante lo
vertido, la aproximación es suficientemente buena para la mayoría de las
aplicaciones. Otra condición que se debe tener en cuenta es que
electrónicamente, a partir de un mismo circuito RC, cambiando la constante
de tiempo se puede obtener un buen integrador (tensión sobre C) o un buen
90 %
10 %
Tiempo de
crecimiento
Tiempo de
decrecimiento
24
derivador (tensión sobre R) , pero no ambos simultáneamente. Esta premisa,
se produce por la constante de tiempo , que para el caso del integrador con
RC debe ser de varias veces el semiperíodo de la señal a integrar, por lo que la
caída en R se aleja de un buen derivador. Caso contrario, con muy pequeña
respecto al semiperíodo, la integral se aleja, pero es un buen diferenciador.
7.2.1 Integradores
En la figura se ha representado un circuito cuya función será integrar. Para que
ello se cumpla, la constante de tiempo debe ser varias veces mayor que el
semiperíodo de la señal a integrar.
Un valor apropiado es que sea al menos 10 veces mayor. Con ello se logra
que la carga del capacitor alcance un valor muy pequeño y lo haga en la zona
aproximadamente lineal de la exponencial de carga.
En un principio la carga del capacitor es cero y al cargarse en un tiempo muy
corto respecto a la constante de tiempo adquiere muy poca carga.
𝐸
𝑖 𝑒𝑅 = 𝑅 . 𝑖
𝐶 𝑒𝐶 = 1
𝐶 𝑖 𝑑𝑡
𝑅 𝑇
2
𝑇
25
Tomando la descarga del capacitor ( en ausencia de tensión ) y sabiendo que
ahora el capacitor está cargado con 0,95 V se llega a
Al aplicar nuevamente la tensión ahora el capacitor ya ha adquirido una carga
de 0,86 V con la que se comienza a cargar nuevamente llegando a 1,73 V.
Luego se descarga llegando a 1,57 V y así sucesivamente.
𝑉 𝐶 = 𝐸 1 − 𝑒 − 1 𝑅 𝐶
𝑡
𝐸 = 10 𝑉
𝑅 = 500 Ω
𝐶 = 10 𝜇𝑓
𝑓 = 1000 𝐻𝑧 𝑇 = 1 𝑚𝑠𝑒𝑔 𝑇
2 = 0,5 𝑚𝑠𝑒𝑔
𝑅 𝐶 = 5 𝑚𝑠𝑒𝑔
𝑉 𝐶 = 10 1 − 𝑒 − 1 5
0,5 = 0,95 𝑉
10 𝑉
0,95 𝑉
𝑉 𝐶 = 0,95 𝑒 − 1 5
0,5 = 0,86 𝑉
𝑉 𝐶 = 𝐸 𝑒 − 1 𝑅 𝐶
𝑡
𝐸 = 0,95 𝑉
𝑅 = 500 Ω
𝐶 = 10 𝜇𝑓
𝑓 = 1000 𝐻𝑧 𝑇
2 = 0,5 𝑚𝑠𝑒𝑔
𝑅 𝐶 = 5 𝑚𝑠𝑒𝑔
10 𝑉
0,95 𝑉
0,86 𝑉
26
En la siguiente figura ha graficado el comportamiento de la tensión en la
resistencia R y en el capacitor C. En los primeros ciclos, cuando C está
descargado, comienza a cargarse y su valor va aumentando hasta alcanzar la
zona en la que se estabiliza.
Realmente, la tensión adquirida representa la energía media almacenada en el
capacitor, proporcional a la señal de entrada, y por ello equivalente a la
integral. Recordando entonces, por Kirchoff, la suma de la caída en el
capacitor “ ” más la de la resistencia “ ” debe ser igual a la entrada E, lo
10 𝑉
0,95 𝑉 0,86 𝑉 1,73 𝑉
1,57 𝑉
2,37 𝑉
. . .
. .
. . .
. .
. . .
. .
𝐸
𝐸𝐶
𝐸𝑅
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
𝑎 + 𝑏 = 𝐸 𝑐 + 𝑑 = 0
27
que gráficamente se observa y se materializa para la zona estable, donde la
suma de + = valor máximo de la señal y la suma de + = 0 valor cero
de dicha señal.
Por otro lado, de acuerdo a lo expresado en párrafos anteriores, este circuito
es un buen integrador pero no serviría como derivador. Otra premisa
importante, es que para cualquier función repetitiva, independientemente de la
forma que posea, se puede obtener su integral con bastante aproximación.
Finalmente, cabe acotar que también se produce una disminución de la señal
de salida, pero ello se compensa, cuando la aplicación así lo requiera,
utilizando un circuito operacional integrador esquematizado tal como se
observa en la figura. En ella se puede observar, tanto la resistencia como el
capacitor.
En el caso de los circuitos integradores, su aplicación es fundamental cuando
se trata de filtrar ruidos o señales no adecuadas o de lograr valores medios de
alguna tensión en particular.
7.2.2 Derivadores
En la próxima figura se ha esquematizado el mismo circuito del ítem anterior,
ahora se utilizará para realizar la función matemática de derivar. La exigencia
para que efectivamente se realice la derivación, es que ahora la constante de
tiempo debe ser varias veces menor que el semiperíodo de la señal a derivar.
𝑓 𝑡
𝑓 𝑡 𝑑𝑡
𝑅
𝐶
𝐴𝑂
28
Un valor apropiado es que sea al menos 10 veces menor que el semiperíodo.
Con ello se logra que el capacitor se cargue y descargue rápidamente.
Se ha graficado en la figura el comportamiento de la tensión en R y en C.
Nótese que la derivada es la caída en la resistencia, ya que al inicio del impulso
ascendente, el capacitor es un cortocircuito y toda la caída se produce en R,
luego se comienza a cargar C y la corriente disminuye en forma exponencial,
produciendo en R la derivada. Por otro lado y por Kirchoff, E= eC + eR , lo que
se observa gráficamente en la misma figura.
𝐶
𝑅
𝐸
𝑖
𝑒𝑅 = 𝑅 𝑑𝐸 𝑡
𝑑𝑡
𝑒𝐶 𝑇
2
𝑇
𝐸
𝐸𝐶
𝐸𝑅
29
Estos circuitos, R-C o R-L, para el caso de operar como derivadores, tienen
muchas aplicaciones, siendo una de ellas la necesidad de obtener pulsos
(señales en las cuales el semiperíodo positivo o negativo es muy corto
respecto al negativo o positivo), adecuados para accionar circuitos digitales y
para otras aplicaciones.
El análisis de lo visto indica que el valor máximo positivo de la derivada es la
tensión aplicada, y el mínimo, la misma tensión pero negativa. No se debe
descartar que en este caso también para otras señales, puede la derivada
disminuir su valor, por ello y cuando la aplicación así lo requiera, también se
puede utilizar un amplificador operacional como diferenciador para mejorar y
acercarse más a la derivada matemática. En la próxima figura se expone el
esquema circuital necesario para esta aplicación.
También se debe destacar que se pueden realizar derivadas de orden superior
si se conectan en cascada circuitos derivadores.
7.2.3 Preguntas de Autoevaluación
4) ¿Cuál es la constante de tiempo en un circuito R-C?
5) ¿Cuál es la constante de tiempo en un circuito R-L?
𝑅
𝑓 𝑡
𝑑𝑓 𝑡
𝑑𝑡
𝐶
𝐴𝑂
30
6) ¿Se puede obtener un circuito que integre y derive la señal de entrada
al mismo tiempo? ¿Por qué?
7) ¿En qué elemento se encuentra la derivada en un circuito R-C?
8) ¿En qué elemento se encuentra la integral en un circuito R-C?
9) ¿En qué elemento se encuentra la derivada en un circuito R-L?
10) ¿En qué elemento se encuentra la integral en un circuito R-L?
11) ¿Desde qué valor se considera una buena aproximación para
relacionar la constante de tiempo con el semiperiodo en un circuito
derivador o integrador?
7.2.4 Resumen
En esta sección se considera el efecto en circuitos R-C y R-L al aplicar una
tensión de corriente continua mediante un interruptor, la misma se comporta
como si se aplicara una tensión en forma de pulso o escalón ascendente. De la
misma forma, al desconectar el circuito se produce un escalón descendente.
Cuando se aplica un escalón ascendente o descendente a una resistencia, la
respuesta (corriente o caída de tensión) sigue fielmente a la fuente que lo
aplica. Al aplicar el escalón ascendente a un circuito serie con una resistencia y
un capacitor, la tensión en el capacitor seguirá una respuesta exponencial
creciente. En cambio al aplicar el escalón ascendente a un circuito serie con
una resistencia y una inductancia, la corriente en la inductancia seguirá la
respuesta exponencial creciente.
En ambos casos se definen constantes de tiempo, en segundo dados por
para un circuito resistivo capacitivo y ⁄ para un circuito resistivo inductivo.
Es el tiempo en que el valor alcanza el 63,2% de la tensión final (en el
capacitor) o la corriente final (en la inductancia).
31
7.3 Series de Fourier
La forma de onda de la tensión de cualquier señal periódica alterna simple es
puramente senoidal o sinusoidal. Por ello se denomina armónica. Cualquier
otra señal que se aparte de ella, no es armónica, seguramente producida para
alguna aplicación específica, como el barrido del osciloscopio o cualquier otra
forma de onda que no es senoidal, como así también distorsiones que se
producen a las señales senoidales para diferentes aplicaciones o circuitos.
Por ello el conocimiento y análisis de las funciones armónicas en forma
matemática es muy sencillo, ya que su identificación está perfectamente
determinada. Basta como ejemplo que cuando se posee una corriente alterna
armónica la misma queda identificada fijando su valor instantáneo:
ó
y su frecuencia “ f ” , como así también su valor máximo y su valor eficaz.
Cabe citar aquí también que la función coseno también es armónica y su
diferencia con la seno es que están desfasadas 90º. Ahora bien, para distintas
funciones no armónicas, pero periódicas, como por ejemplo una función
rectangular, el problema se complica y su desarrollo y aplicación en forma
matemática es muy difícil. Por ello, el investigador y matemático francés Jean
Baptiste Joseph Fourier desarrolló varias herramientas, entre las cuales se
analizará la que corresponde a series de Fourier trigonométricas, que permite
un estudio de funciones no armónicas en forma simplificada. Esta forma de
análisis responde a que se pueden aplicar funciones trigonométricas
superpuestas y se apoya en el principio de superposición. Es una herramienta
para predecir la respuesta de un circuito lineal a cualquier entrada en forma de
sinusoides. Posee la capacidad de expresar una señal arbitraria como
superposición de senoides ó cosenoides. Por ello, parte de la premisa que
cualquier función no armónica, se puede determinar como una suma de senos
y cosenos representadas por sus armónicos pares e impares. Así entonces, se
𝑒 = 𝐸 𝑚á𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 𝑖 = 𝐼 𝑚á𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡
32
puede definir: que el teorema que se relaciona con esta serie afirma: que una
función periódica f(t) se puede escribir en la forma:
en la cual es la frecuencia angular fundamental y 0 es la componente de
corriente continua de la señal considerada. Los términos 1 + 1
es la componente fundamental.
Por otro lado, los términos: 2 2 , . . . , y 2 2 ,
, son las componentes armónicas; y 2 , 3 ,.. ; 2 , 3 , . . . ,
son las amplitudes de esas armónicas y son inversamente proporcionales a
ellas (recíprocas). En otras palabras: si la fundamental o primera armónica es
1, la segunda es 1
2 ; la tercera
1
3 , la cuarta
1
4 , etc.....
También, la serie se puede escribir en forma generalizada como:
7.3.1 Definición de armónicas
Para la interpretación de esta herramienta matemática, primero se definirá el
significado de las armónicas. Una armónica es una onda senoidal pura, cuya
frecuencia es un múltiplo entero de la fundamental.
Se entiende por fundamental a la frecuencia de la señal NO SINUSOIDAL que
se desea estudiar. En otras palabras, por ejemplo si se dispone de una onda
cuadrada de 100 Hz, la primera armónica o fundamental es de 100 Hz. Las
armónicas múltiplos poseen frecuencias superiores en un número exacto de
veces a la fundamental. Es decir que la segunda armónica es doble de la
fundamental y la tercera es tres veces la frecuencia de la fundamental, etc.
𝑓 𝑡 = 𝑎0 + 𝑎1 cos𝑤𝑡 + 𝑎2 cos 2𝑤𝑡 + … . . + 𝑏1 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 + 𝑏2 𝑠𝑒𝑛 2𝑤𝑡 + … . .
𝑓 𝑡 = 𝑎0 + 𝑎𝑛 cos 𝑛𝑤𝑡 + 𝑏𝑛 sen 𝑛𝑤𝑡
∞
𝑛=1
∞
𝑛=1
33
2da armónica
Resultante
Fundamental
t
Fundamental
3ra armónica
Resultante
t
Fundamental
3ra armónica
5ta armónica
Resultante
t
(a) (b) (c)
Por ello se puede definir a las armónicas de orden par (o simplemente
armónicas pares) como múltiplos pares de la frecuencia fundamental así:
segunda, cuarta, sexta, etc, mientras que las armónicas de orden impar
(simplemente impares) son múltiplo impares de la fundamental: tercera,
quinta, séptima, etc.
Las ondas senoidales componentes de una señal no senoidal o compleja
(cuadrada, triangular, etc.), constituyen el contenido de armónicas de dicha
señal analizada. El estudio de estas ondas complejas en término de su
contenido en armónicas, o componentes senoidales, recibe el nombre de
análisis armónico mediante las series trigonométricas de Fourier.
Para interpretar mejor lo anterior, si se agrega cualquier armónica de orden
par a una senoidal, da origen a una resultante, cuya forma difiere radicalmente
de la senoidal. En la próxima figura (a) se muestra la forma resultante de una
onda que contiene a la fundamental y su segunda armónica. Se observa que
esta resultante se aproxima a una diente de sierra invertida. En la figura (b),
se han superpuesto la fundamental y la tercera armónica, y en la figura (c) se
ha realizado la suma de la fundamental con la impar 3ra y 5ta.
34
Para este caso, debe observarse que la resultante se comienza a parecer a una
función rectangular.
Por otro lado, es importante expresar que la superposición se realiza también
teniendo en cuenta las amplitudes de las armónicas, relacionadas con la
amplitud de la fundamental. Refiriéndose a las series de Fourier, ello está
indicado para cada armónica en los términos y que son los coeficientes o
amplitudes de cada una de ellas, que se relacionan en forma recíproca a la
amplitud de la fundamental como se expresó anteriormente.
De acuerdo a estos ejemplos, se puede comenzar a comprender lo poderosa
que es esta herramienta matemática. A continuación, como ejemplos se
escribirán las series trigonométricas de las señales de tensión cuadradas y
diente de sierra. La serie para la función cuadrada se escribe así:
en la cual: el primer término
2 es la componente de C.C. y los términos
2
, ... son las amplitudes de cada armónica impar representadas por la
fundamental, y las armónicas impares: 3 ,.....
En la figura que se ve a continuación (a), señal cuadrada, se ha representado
la resultante de superponer varias armónicas impares, es decir que solamente
está constituida por señales senos cuyo valor de armónica es impar, los
coeficientes pares de la función seno resultan todos ceros como así también los
coeficientes pares e impares de la función coseno.
𝑒 = 𝐸𝑚
2 +
2 𝐸𝑚
𝜋 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 −
2 𝐸𝑚
3 𝜋 𝑠𝑒𝑛 3𝑤𝑡 +
2 𝐸𝑚
5 𝜋 𝑠𝑒𝑛 5𝑤𝑡 − . . . . . ..
35
Respecto a la señal diente de sierra, figura (b), el análisis armónico indica que
la misma es la suma de los infinitos términos pares e impares de la función
seno (los coeficientes de la función coseno pares e impares dan todos ceros).
En este caso no es la diente de sierra con polaridad normal tal como se utiliza
en el barrido de los osciloscopios. Para que posea polaridad normal la serie
debe comenzar con la función seno con polaridad invertida, o sea −
Ello da como resultado que la serie se escriba como:
Los coeficientes de la serie coseno dan todos cero en el análisis armónico.
Esta función se esquematiza tal como se puede observar en la próxima figura.
Este dibujo se ha realizado solamente con pocas armónicas, pero aplicando el
total de las mismas, la resultante se aproxima con bastante fidelidad a la
diente de sierra. Debe recordarse también, para todas las series, que para
armónicas mayores a la décima, su intervención comienza a ser cada vez
menor. No obstante ello, esta herramienta permite obtener conclusiones que
se deben tener en cuenta y que explican el comportamiento de los circuitos R-
C y R-L a una función impulso.
𝑒 = 𝐸𝑚
2 +
2 𝐸𝑚
𝜋 − 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 −
2 𝐸𝑚
3 𝜋 − 𝑠𝑒𝑛 3𝑤𝑡 + . . . . . +
2 𝐸𝑚
𝑛 𝜋 − 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑤𝑡
𝑎 𝑏
36
Volt
4A/
3A/
2A/
A/
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Armónicas
A
+
0
V
olt
Diente de sierra
Volt
Onda cuadrada
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Armónicas
4A/
3A/
2A/
A/
A
+
0
V
olt
7.3.3 Gráficos de series de Fourier
Una forma muy cómoda de expresar las series de Fourier, es mediante los
gráficos o espectros de frecuencia de las funciones a las cuales se aplica. Así
entonces, se construirán los espectros de frecuencia para la señal cuadrada y
diente de sierra., mostrados en la figura siguiente.
37
Para la onda cuadrada, en la serie de Fourier, representa a la
fundamental. La magnitud o el valor máximo de la primera armónica, es 4
,
donde “A” es la amplitud máxima de un semiciclo, y “” en radianes representa
a 180º del período completo. Si por ejemplo la onda posee una frecuencia de 1
KHz, la primera armónica es una onda seno de 1 KHz con 4
Volt de
amplitud; la tercera armónica es de 3 KHz con una amplitud de 4 3
Volt,
verificándose de forma similar que la quinta armónica es de 5 KHz y tiene una
amplitud de 4
5 Volt. Estos valores se cumplen solamente para una función
cuadrada perfecta.
En cuanto a la diente de sierra, recordemos que la serie tiene armónicos pares
e impares. Aquí nuevamente la magnitud de la fundamental es 4
Volt. La
magnitud de la segunda armónica es ahora 4
2 Volt, de la tercera armónica
es 4
3 Volt y así sucesivamente. Note para ambos casos que las amplitudes
disminuyen gradualmente. Este comportamiento es típico de las ondas que
tienen características agudas de crecimiento o caída, tales como la cuadrada y
la diente de sierra.
7.3.4 Preguntas de Autoevaluación
12) ¿Qué significa la primera armónica de una señal?
13) ¿La señal cuadrada tiene armónicas pares e impares?
𝑎1 cos𝑤𝑡
38
14) ¿La señal triangular tiene armónicas pares e impares?
15) ¿Cómo se relacionan las amplitudes de las armónicas con respecto a
la fundamental?
16) ¿Por qué en un capacitor la reactancia capacitiva (oposición al paso
de C.A.) es cero?
7.3.5 Problemas.
5) Si la constante de tiempo de un circuito R-C es de 10S y es igual
al semiperíodo de la señal de entrada cuyo valor es de 10 Volt. Cuánto
valdrá en el primer semiciclo el valor de tensión en el capacitor?
6) Cuánto será el valor medio de una señal rectangular cuya tensión
máxima es de 15V ?
7) Se desea integrar una señal armónica cuya frecuencia es de 1 KHz.
Cuál será el valor de la constante de tiempo = RC. Por otro lado se
conoce el valor del capacitor que se utiliza el cual es de 0,1F. Cuánto
valdrá R?
8) Se posee un derivador en el cual su constante de tiempo es de 1mS
(un milisegundo). Qué frecuencia deberá tener la señal a derivar?
9) Se desea construir un integrador con una inductancia y resistencia. La
señal de entrada es de 500Hz. Se conoce el valor de R=100 K.
Determine el valor de L.
39
10) Se posee un buen integrador para una señal de 1 MHz.
Determine la constante de tiempo necesaria que debe tener la
constante de tiempo τ.
11) Se posee un derivador para una señal de 50 KHz. Determine la
constante tiempo τ.
12) Si la constante de tiempo τ de un circuito R-C es de 10μS y es igual
al semiperíodo de la señal de entrada cuyo valor es de 10 Volt.
¿Cuánto valdrá en el primer semiciclo el valor de tensión en el
capacitor?
13) Cuánto será el valor medio de una señal rectangular cuya
tensión máxima es de 15V?
7.3.6 Resumem.
El estudio de la respuesta de los componentes pasivos a una función impulso,
que se genera mediante un generador de funciones, permite encontrar
importantes consecuencias en componentes tales como capacitores e
inductancias. Debe recordarse que un capacitor acumula energía potencial y la
inductancia energía cinética. Esto último produce que el capacitor en serie con
una resistencia, o una inductancia también en serie con una resistencia,
pueda conformar la onda entrante de cualquier forma y periódica, y por ello
realizar con bastante aproximación la función matemática de integrar o
derivar. Para el análisis se utilizarán exclusivamente señales cuadradas porque
sus resultados son más explícitos.
La derivada matemática de una función cuadrada pura son pulsos de amplitud
infinita tanto en sentido positivo ( flanco ascendente de la señal ), como
negativo ( flanco descendente ). De la misma forma, la integral produce el
40
valor medio de dicha función representado por una recta. Electrónicamente, los
flancos ascendentes y descendentes de la señal producida por un generador se
realizan en un tiempo finito. Debido a esta consecuencia, la derivación e
integración electrónicas se produce con una aproximación bastante exacta.
Recordemos que = 1
∫ . Esta última expresión indica que la tensión en
los bornes del capacitor , es la integral.
Así entonces, si se combina un condensador en serie con una resistencia, se
tendrá una cierta constante de tiempo = RC. Relacionando esta última con el
semiperíodo de la señal periódica, se podrá integrar o derivar, pero no ambas
a la vez. Si la constante de tiempo es mayor que el semiperíodo, se obtendrá
entre los bornes del capacitor una tensión que representa la energía media del
mismo, produciendo un buen integrador, y si la constante tiempo es menor, se
obtendrá una tensión sobre los bornes de la resistencia, obteniéndose un buen
derivador. Para integrar, es necesario que sea al menos 10 veces mayor que
el semiperíodo = 10
2. Para derivar será necesario que sea al menos 10
veces menor al semiperíodo =
20 . De la misma forma, una combinación en
serie L- R, también integrará o derivará pero ahora la integral se obtiene en
los bornes de la resistencia y la derivada en los bornes de la inductancia;
recuerde =
.
En general, se pueden obtener con cualquiera de los circuitos derivadas de
mayor orden conectando circuitos en serie y además se puede integrar o
derivar a cualquier función periódica. Por otro lado, la mejor interpretación de
las señales rectangulares se puede realizar estudiando estas últimas mediante
las series de Fourier. Esta herramienta matemática permite estudiar cualquier
función no armónica, tal como una cuadrada o diente de sierra, mediante suma
de armónicas seno y coseno, descomponiendo a la señal bajo estudio en la
fundamental y sus armónicos.
Así entonces, la cuadrada es la suma de los infinitos términos “seno” impares,
y la diente sierra de los infinitos términos pares e impares “- seno”. Esto último
41
permite interpretar porqué cuando se aplica el impulso ascendente, la tensión
en los bornes del capacitor es cero. Ello es producto de la reactancia capacitiva
= 1
2 = 0 , ya que “ f ” es prácticamente infinito, y por ello la caída de
tensión es cero. En cambio en la inductancia = 2 = , por lo que la
caída de tensión es máxima (no circula corriente).
7.4 Bibliografía
[1] Knowlton, A. E.; “Manual Estándar del Ingeniero Electricista”;
Editorial LABOR; 1956.
[2] Pueyo, Héctor, Marco, Carlos y QUEIRO, Santiago; “Circuitos
Eléctricos: Análisis de Modelos Circuitales 3ra Ed. Tomo 1”;
Editorial Alfaomega ; 2009.
[3] Pueyo, Héctor, Marco, Carlos y QUEIRO, Santiago; “Circuitos
Eléctricos: Análisis de Modelos Circuitales 3ra Ed. Tomo 2”;
Editorial Alfaomega ; 2011.
[4] Terman, Frederick E.; “Ingeniería en Radio”; Editorial ARBÓ;
1952.
[5] PACKMAN, Emilio; “Mediciones Eléctricas”; Editorial ARBO;
1972.
[6] CASTEJÓN, Agustín y SANTAMARIA, Germán; “Tecnología
Eléctrica”- Editorial Mc GRAW HILL; 1993.
[7] SANJURJO NAVARRO, Rafael; “Maquinas Eléctricas”; Editorial
Mc GRAW HILL; 1989.
[8] POLIMENI, Héctor G.; “Documentos de Cátedra”; 2009.