Resoluções dos Exercícios do Volume 2 de Matemática … 2 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL...
Transcript of Resoluções dos Exercícios do Volume 2 de Matemática … 2 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL...
TEMA 2 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL II
2.1 Funções exponenciais e logarítmicas
1.
1.1
652165236520 12
0
N
O número inicial de indivíduos é 652.
1.2
89836525,3 12
5,3
N
Ao fim de 3 horas e 30 minutos existem, aproximadamente, 898 indivíduos.
1.3 Para qualquer instante t tem-se
tNtN
tttt
336523336523652365212 123121
1212
12
c. q. d.
2.
a) 2
22
2
1
4
1 b) 3
2
3
123
1
23 33
3
1
9
1
c) 2
55
33
1
3.
a) 3
34
4
1
64
1 b) 5
2
5 33243 c) 4
410
10
1
10000
1
d) 5232 .
4.
a) 4
1
3
13
x
x b) 24332 x
x
c) 64433 333 xx
d) 3
4
3
14333 11 xx
5.
Da observação do gráfico vem que:
3
4
4
31
4
3
100
7575,075,01 111 a
aaaaf
6.
Por observação do gráfico constata-se que o gráfico representado a verde (f) é o único que
pode representar uma função exponencial de base positiva inferior a 1. Então, este gráfico
corresponde à expressão
x
y
1 .
O gráfico a castanho é o único que pode representar a função simétrica de uma exponencial de
base maior do que 1. Então, a expressão da função que pode ser representada por este gráfico
é xy 2 .
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 2
Potências com o mesmo expoente positivo são tanto maiores quanto maior for a base. Assim, a
base da função g é, necessariamente, superior à base da função j. Então, xy 4 é a
expressão analítica de g e xy 2 , a de j.
7.
a) Da tabela sabe-se que:
3644
364
36436442 4
22
4
2
42 aaa
baba
bababff
339
433
49
4364
42
2
2
2
2 aabaa
aba
aba
ab ,
Então, como 0a , vem 9
4b e 3a .
32639
46 6 f , 29163
9
48 8 f .
b) Da tabela sabe-se que:
144
110
11014102 4
22
4
2
42 aaa
baba
bababff
10
1
10
110
10
110110
102
2
2
2
2aa
aba
aba
ab , Então, como
10
10
10
10
10
1
10aab como 0a , vem 100b e
10
10a .
1,010
1
10
1100
10
101006
3
6
f , 01,0
10
1100
10
101008
4
8
f .
8.
8.1 42
20482048220483
9
33 kkkH . Então 233 224 rrrH .
Assim, 131072225 17253 H
8.2 A área de uma coroa circular cujo raio difere de um quilómetro é dada em função de r por
rrrrrrrA 21211 2222
De acordo com o modelo, o número de habitantes nessa coroa circular é dado, em função de r
por
rrrrrrrrrHrH3
228222222222221 3252353235323213
Portanto, a densidade populacional em cada coroa circular, de acordo com o modelo, é dada
em função de r por
rrD
r
2
228 3
.
8.3
r 1 2 3 4 5 6 7 8
rD 24 114 652 4056 26550 179723 1246083 8795877
Este modelo não parece ser adequado. O número de habitantes por quilómetro quadrado
cresceria de forma exponencial quando nos afastássemos do centro da cidade. O normal seria,
a densidade populacional diminuir quando nos afastamos, de forma significativa do centro da
cidade.
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 3
9.
a) 32112512515625125 211 xxxx . 3S ;
b) 100101,033100
30033003100 01,001,001,0 xxxxx . 100S ;
c) 10625322532 7777497222 xxxxxxxxx
646401081062 22 xxxxxxx
64;64 S
d) 003033 222 xxxxxx eeeeeee . Impossível em R . S ;
e) 12
1212
4
91201222122 212
xxxxxxxx
;
1S
f) 0011 21 xxx
x
xxx eeeeeee
eeeee
2
41101
22 eee
eeeee xxx
2
11
2
11
2
21122 ee
eee
eeee
e xxx
0112
11
2
11
xxeee
eee
eee xxxx .
1,0S
10.
13337213322
372
312
732
11 yyyx
yx
yx
yx
1
242
13315351333214 y
x
y
x
yyyy;
1,2S
11. Para determinar o(s) ponto(s) de interseção dos dois gráficos faz-se:
2622
32222 233
xxxx
xxgxf
x
xxx .
,2S .
12.
a) 0232242 233 xxxxxxx; ,0S .
b)
2
3,03220646455255 226434 22
xxxxxxxxxxx.
c) 038353281 225328
5328 2
2
xxxxee
ee xx
xx
Cálculo auxiliar:
3
13
6
10080383 2
xxxxx .
,
3
13,S
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 4
d) 0826208264 2 xxxx . Fazendo xy 2 , obtém-se, 0862 yy
Cálculo auxiliar:
420862 yyyy . Como o coeficiente do termo de grau 2 é positivo, tem-se,
420862 yyyy . Assim, voltando à variável x vem,
214222 xxxx .
2,1S
e) 4
9937333332793 93793242331223 xxxxxxxxxxx
4
9,S .
f) 2,2040420242022 222222 xxxxx xxxx
2,2S
13.
Cálculo auxiliar:
01033 xee xx
2
322084 32 xxx
Quadro de sinais
x 0 2
3
33 xe - 0 + + +
84 x - - - 0 +
84
33
x
xe + 0 - n.d. +
,
2
30,0
84
33x
ex
x
.
,30,S
14.
14.1 Sabe-se que: Rxx ,09 e que x9 assume todos os valores do intervalo ,0
quando x varia em R . Então, 669 xxf e xg assume todos os valores de ,6
quando x varia em R . Então, ,6'gD .
Analogamente, Rxx ,03 , logo, Rxx ,3 1 e Rxx ,223 1 e 23 1 x assume
todos os valores reais superiores a 2 quando x varia em R . Portanto, ,2'gD .
14.2
a) 8133832333
813823
3
8138 21 xxx
x
x
xxg
2193336
32436308133633 2
xxxxxxx
;
2,1S
b) 04333023690 21 xxxxxgxf
Fazendo xy 3 , tem-se 1404304333 22 yyyyxx .
Então, 01343043332 xxxx 013 x , porque, Rxx ,043 .
Ora, 013013 xxx.
,0S
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 5
c) 2
3323302790
23
2790
21 32
1
xx
xg
xf xx
x
x
,
2
3S
14.3 6lim
xfx
(a reta de equação 6y é assíntota horizontal do gráfico de f em )
2lim
xgx
(a reta de equação 2y é assíntota horizontal do gráfico de g em ).
15.
15.1 Sabe-se que: 9130 ff
Então,
1
3
3
33
93
_____
9
3
9
3
1 b
a
aaaa
a
a
a b
b
b
b
b
.
Os valores de a e b são 3 e 1, respetivamente.
15.2
a) A reta de equação 2y será assíntota do gráfico de h de 2k , uma vez que o gráfico de h
é obtido do gráfico de f pela translação associada ao vetor de coordenadas k,0 .
b) Para que h tenha um zero, a equação 0 kxf tem de ter uma solução, ou seja, a
equação kx 13 tem de ter uma solução. Como 03 1 x , para todo x real, a equação
kx 13 só é possível se 0k , ou seja, 0k .
c) Como o gráfico de h é obtido do gráfico de f pela translação associada ao vetor de
coordenadas k,0 , o contradomínio de h é ,k . Então, 1k .
d) 6333030 kkkfh . Então, o valor de k é -3.
16.
O gráfico de q é obtido por uma reflexão do de g em relação a Oy, pelo que uma possível
expressão analítica de q é xexq .
O gráfico de h pode ser obtido do de g por translação associada ao vetor de coordenadas
1,0 , portanto, uma possível expressão analítica para h é 1 xexh .
O gráfico de f pode ser obtido por reflexão, de eixo Oy, do gráfico de g. Então, uma possível
expressão analítica é xexf .
O gráfico de p é obtido por translação do gráfico de f associada ao vetor 0,3 , pelo que uma
possível expressão analítica para p é 33 xx eexp .
17. Sabe-se que 02,0 QtQ , ou seja, 2,02,0 00012,00
00012,00 tt eQeQ .
Determinado, na calculadora gráfica, o ponto de interseção da curva definida pela equação tey 00012,0 com a reta de equação 2,0y , obtém-se
Portanto, há 41034,1 anos, aproximadamente, a quantidade de
carbono 14 da amostra era igual à quantidade de carbono 14 na
planta viva, ou seja, a amostra tem, aproximadamente, 13,4 mil
anos.
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 6
18.
a)
14
13
28
2628
28
26
28
261
280
1
0
BBB e
A
e
A
eA
eA
R
R
Intersetando a curva definida pela equação xey com a reta de equação 14
13y obtém-se
Então, o valor aproximado de B é 0,074.
b) 2
11428
2
1 074,0074,00 eeQtQ t
A semivida da substância é, aproximadamente, 9,367 horas, ou
seja, 9 horas e 22 minutos.
19.
19.1 Intersetando o gráfico de f, definida em R por xxf 15,1 , com a reta de equação 2y
obtém-se:
Observa-se, assim, que a solução da equação 215,1 x
é, aproximadamente, 5, ou seja, são necessários 5 anos
para que, com uma inflação de 15 %, o preço dos
produtos duplique.
19.2 Se atualmente custa 8 euros, daqui a sete anos custará 28,2115,18 7 euros.
20.
20.1 Para encontrar a solução da equação
63000tP , determina-se graficamente a interseção
do gráfico de P com a reta de equação 63000y . A
abcissa do ponto de interseção é, aproximadamente,
22,1. Observa-se, assim, que é durante o 22.º dia que
a população atinge os 63000 indivíduos.
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 7
20.2
Como 02lim 1,0
t
t, tem-se que 7680002,164000lim
tP
t
Então, a população tende a estabilizar nos 76800 indivíduos.
21.
a)
As abcissas dos pontos de interseção da curva
definida por xy 2 e da curva 2xy são 77,0
(valor aproximado), 4 e 16. Assim, do gráfico
observa-se que a solução da equação 22 xx é
,164;8,0S
b)
A abcissa do ponto de interseção da curva
definida por xey e da curva 2xy é 7,0
(valor aproximado).
Assim, a solução da condição 2xex
;7,0S
c)
A abcissa do ponto de interseção da curva
definida por xy 3 e da curva 2xy é 7,0
(valor aproximado).
Assim, a solução da condição 23 xx
;7,0S
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 8
22.
a) x
ex
xl im (limite notável e>1.
b) 011
limlimlim
2
22
x
ee
xxe
xxxx
x
x (
2l im
x
ex
x limite notável e>1.
c) 03
1lim xx
. (
x
x3lim e o inverso de um infinitamente grande é um infinitésimo).
d)
55
2lim
2lim
xx
x
x
x
x (
5
2lim
x
x
xlimite notável);
e)
x
x
5lim porque 1
5
;
f) x
x
x
x
2lim
2
1lim , fazendo xy tem-se 02lim2lim
y
y
x
x.
Note-se que dizer x é o mesmo que dizer que y , uma vez que xy
23.
a) 26636636log 26 yy yy . Então, 236log6 ;
b) 122 22
2
1log5,0log
yyy . Então, 12log 1
2 ;
c) 01101log10 yy y . Então, 01log10 ;
d) 2339
13
9
1log 2
3
yy yy . Então, 29
1log3
e) 31212121212log 33123 yy
yy
. Então, 312log3 12 .
24.
a) 243322 553log3log5 22
b) 151522 17log15log15log7log5 7227
c) 110log10log 05
1log5
3
d) 1164log 2log2log64
33
e) 4222
13
2
11131113log11log169log121log
25.
a) 5551251\1251\1255125log
xRxxRxx
x. 5 125S
b) 3
11\
81
11\
81
1
81
1log4
4
xRxxRxx
x .
3
1S
c) 2
903222log 2
3 xxxx .
2
9S
d) 792812181log 2 xxxx . 79S .
26.
a) 3
1
6
1
255555log 6
1
2665
xx
x
xx
.
3
1S .
b) 03099lnln 222 xxxxx ; 3,3S ;
c) 433813
181log 4
3
1
yy y
y
. 4S
d) 2
5
2
1005052100052352log mmmmm .
2
1005S .
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 9
27.
a) 12log123 3 xx 12log3S ; ou 4log1 3S
b) 2
2ln2ln222 xxe x
,
2
2lnS , ou 2lnS ;
c) 6ln6020620232 1 xeee xxxxxxx , 6lnS ;
d)
2
15206252052
2
62526 2
02
xxxx
x
xxx
13log2232 2 xxxx ; 3log,1 2S .
28.
28.1 Como a função é estritamente decrescente, é, necessariamente, injetiva, pelo que admite
inversa.
28.2
a) Por definição de inversa sabe-se que 111 xgxg . Graficamente observa-se que
o objeto que tem por g imagem 1 é 0, ou seja, 011 g
b) Analogamente, 111 g .
28.3 O gráfico de 1g pode ser obtido por reflexão do gráfico de g tendo como eixo de reflexão
a reta de equação xy .
29.
29.1
O gráfico de g é o transformado do gráfico de f pela translação 2,0 a
: Figura B
O gráfico de h é o transformado do gráfico de f pela translação 0,2b
: Figura D
O gráfico de i é o transformado do gráfico de f por reflexão de eixo Ox: Figura A
O gráfico de j é o transformado do gráfico de f por composição da reflexão de eixo Oy com a
translação 1,0a
: Figura C.
29.2
,0gD ; ,2hD ; 0,iD ; ,0gD .
30.
,404: xRxDf ; RDg (função polinomial).
,44,4:: 2xRxRxDxgDxRxD fggf
4ln4ln 2 xxgxgfxgf
Então, Rgf ,44,: definida pela expressão analítica 4ln 2 xxgf
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 10
31.
31.1 Do gráfico sabe-se que 29 f , ou seja, 2929log aa , com 1\Ra . Portanto,
3a .
31.2 Se xfxh 1 e ,0fD , então, 1,hD
32.
a) ,202: xRxDf ;
b) 3,03: xRxDg ;
c) RRxD xh 02: ( 02 x é uma condição universal em R )
d) 3,309: 2 xRxDi .
e)
,02
1,02
1:
xRxDh
Cálculo auxiliar:
02
10
2102
1
xx
x
x
x
x 2
1 0
x21 - 0 + + +
x - - - 0 +
x
x21 + 0 - n.d. +
33.
a) 1,0 gg DD
2
13ln3ln1233
3
1212
y
yyxeyye
y xx
.
Assim, 1g é a função de domínio ,0 definido pela expressão
2
13ln1 x
xg .
b) 1 hh DRD
33 102021022log3
2log3
yy
xxxxy
xy .
Então, 1h é a função de domínio R definida pela expressão 31 102
x
xh .
34.
a)
0
1
lnlim
1
lnlim
x
xx
x
x
x
b)
000ln
lim1
limlnln
limln
lim
x
x
xx
xe
x
ex
xxxx
c) 0001
limln
limln
lim1
lnlimlnlim
x
ex
x
e
x
x
x
exex
xxxxxxx
x
x
35.
a) 110log21
210log21log210log21log7log30log
;
b) 24log25
100log25log100log 2222
;
c) 6888 6log32loglog3log 88
2
88
;
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 11
d) 4999 4log4
12log
4log12log 99
99
e) 277 2log2log1log 777 .
36.
a) 15log53log3log5log3log2
10log12log10log 33333333
b)
2ln2
4ln2ln
4ln2ln4lnln2ln4ln3
3333 eee
e
c)
6
10log6log10log2log3log01,0
01.001,0
37.
a) baa 2log4log4log 222
b) bbaa
0log1log
1log 222
c) 2
5
2
312log
2
1log2log8log5,0log
8
5,0log 3
221
2222
bbaaa
38. Dizer que x49log3 é o mesmo que dizer que x23 7log , ou seja,
27log3
x .
Então:
a) 2
17log3log73log21log 3333x
b) x
49log
7
343log
7
1log343log 3333
c) 24
27log2
19log7log
9
7log 33
2
1
33
x
39.
a)
3 23
3
2
32
1
lnlnlnlnln3
2ln3ln
2
1
zy
xzyxzyx
b)
npnm
npnmpnnnpnnm
a
aaaaaaa
2
2
log
logloglog2
1loglog2log
2
1log
c)
33
1
1log
1log
1log
3
1log1log
3
1
x
x
x
x
x
xxx
40.
(A) Falso. Por exemplo 2
3
4log
8log
2
2 e 12348log 22 loh .
(B) Verdadeira, se m >0. Propriedade 1.
(C) Falso. Por exemplo, 12log93log 33 e 3219log3log 33
(D) Verdadeira, se 4x . Propriedade 2.
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 12
41.
a) 853logloglog yxxy aaa
b) 156loglog2logloglog 22
yxyx
y
xaaaaa
c) 1171039logloglog9log3 3 zxxzxZ aaaa
d) 5
4106
5
1loglog2
5
1loglog
5
1loglog 2
5
12
52
zxzx
z
x
z
xaaaaaa
42.
a) 4
1
8
27log
8
1
10log
49log10log
8
149log10log
8
1 27
7
777
b) 6398log915log15log
8log915log8log9 22
2
2215
43.
a) 1log
log
log
log
log
loglogloglog
a
c
c
b
b
acba
a
a
a
a
a
aacb
b) 0loglogloglog
log aaa
b
abbb
c
c
c) 4log2log
log2loglog 22 b
b
aba a
a
aab
d) 121loglog 2 ab ab .
44.
xfxxxx
xxg2
1log
2
1
2
log
3log
log
9log
loglog 3
3
23
3
3
39
Como RDD gf , a igualdade é válida para todo Rx c.q.d.
45.
a) Como só definimos logaritmos de números positivos tem-se ,1D .
154121log 24 xxx , como ,115 , o conjunto solução da equação é
15S
b)
,
5
1,
3
7,
5
1D
482731573log15log 99 xxxxxx
4S
c) ,3,3,3D
251692log33log43log3log 2242222 xxxxxx
55 xx . 5,35,5 S .
d) RD
01log2log 2 xx , fazendo xy log , vem:
2
11
4
91012 2
yyyyy
Assim,
1010
11010
2
1log1log 2
1
1 xxxxxx .
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 13
Ambas as soluções são números reais positivos.
Portanto,
10,10
1S
e)
,
2
7030
72
2: x
x
xRxD
13
72
2log13log
72
2log3log1
72
2log 22222 x
x
xx
x
xx
x
x
0
72
20902
72
652
72
32 22
x
xx
x
xx
x
xx
4507202092 xxxxxx 5,4S
f) 2,17,2, D
xxxx 17log4log2log17log12log 44242
xxx
xxx 468log2log24log
468log2log468log2log 22
2
2242
886446844468log2log 222
22 xxxxxxxx
8S
46.
46.1 xxxx
xxxxf 2222
2
222
2 log3log8log8log8
loglog8log
. C. q. d.
46.2 32025loglog38 522 xxxxx .
A abcissa do ponto de interseção do gráfico de f com a reta de equação 8y é 32.
47.
47.1 30,895log10log5log105log 99 . Então, o vinagre tem pH 8,3.
47.2 Uma solução é básica se o seu pH for superior a 7.
0107log7log 7 xxgxx .
Um solução é básica se a concentração de iões for inferior a 37 /10 dmmol .
47.3 8108log8log xxx . Então a concentração de iões da água do mar é
38 /101 dmmol .
47.4
2
2
1
1
2
1
2212121 101002log2loglog2loglog2
x
x
x
x
x
xxxxxpHpH
48.
48.1 Sabe-se que 0430 hh , ou seja,
2
1
8
1148
8
114
3log
014log
30log 2
2
2
b
a
b
a
ba
a
ba
ba c. q. d.
48.2 Pretende-se determinar t tal que 2th , ou seja, 822
182
2
18log 4
2
ttt
.
São necessárias 8 horas para que a altura no reservatório seja igual a 2 metros.
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 14
49.
O ponto A tem coordenadas 3,22,2 eefe
3ln22ln22 eeeef
O ponto B tem coordenadas 32ln, ea , sendo a tal que 32eaf .
3323233 2lnlnlnlnln2ln22ln eeaeeeaeeeaeaf
eaeaeae 33 32
Tem-se então, que a base menor e a base maior, do
trapézio, têm medida de comprimento, 3AC e
32ln eBD e a altura relativa a estas bases tem medida
de comprimento eeeCD 23 .
Então a área do trapézio é:
32
166
333
2ln2ln2ln2
1
2
2lnln
2
2ln3eeeeeee
eee
e
50.
a) ,log: 100 3 xxRxD
110 333 xxx logloglog
33110 33333333 xxxxx loglogloglogloglogloglog
,, 33 DS
b) ,: 101xRxD
3
1433433231 2222 xxxx loglogloglog
,,
3
1
3
1DS
c) ,: 00130 xxRxD
,,
loglogloglog
6
131
6
131
0131313013 223
2333
x
xxxxxxxx
,,,
6
131
6
131
6
131DS
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 15
d) ,,: 22042xRxD
,,loglog.
33095454 22
5
12
5
1 xxxxdec
,,,, 3333 DS
e) 404 2 \: RxRxD
0808016416416444 22
22
22
2
,
logloglog
x
xxxxxx
40808 \,, DS
51. a)
110
100
222
2
xxx
xxRxD
logloglog
,log:
b)
0010100
1100
2222
22
xxxxxx
xxRxD
ln
,,ln:
52.
0
RD
122104242224412
441244124412
1
22
22
222
2222
2
,
logloglogloglogloglog
ttttt
tttttt
Então, 1220 ,S
831122 , e 0,83 anos é, aproximadamente, 10 meses.
Assim, conclui-se que a cidade Alfa tem menos habitantes do que a cidade Beta
durante o primeiro ano e 10 meses, aproximadamente.
53.
a) 323020 555 xxx eee , então, 3,fD
b) RDg
c) 133301 101 xxx , então, ,1hD
54. 54.1
a) 9818800 )(T
A temperatura inicial é 98 oC.
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 16
b) 451809518012 12 ,)(T
Ao fim de 12 minutos, a temperatura era, aproximadamente, 45 oC.
c)
51608430
8432680
7
80
709512518095180 0951
,
,log,, , tttt
A temperatura é de 25 oC, ao fim de 26 minutos e 51 segundos, aproximadamente.
54.2 18180180951
8018095180
tt
t
t ,lim,lim
A temperatura ambiente é de 18 oC.
55. 55.1
644226422
6640 101010100
10 ,,,, ddd
Então, 2091010 3222
644
,
,
d .
A distância da Terra à Estrela Polar é, aproximadamente, 209 parsecs.
55.2
dMm
MdmMdmdm
dm
dd
M
MM
mMm
log
log,log,loglog,
log,
,
,,
,,,
15
554022401040
1040
101010
10010
4022
402
2
402
240
24040
56.
Recorrendo à calculadora, obtém-se uma representação gráfica de C e determina-se
uma das interseções do gráfico de C com a reta de equação 1y .
3960650 ,
Após 6 horas e 39 minutos, a concentração é inferior a 1mg/L, ou seja, deve efetuar a
administração seguinte às 15 horas e 9 minutos.
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 17
57.
57.1 4068753570160020 68753 peppp ,,ln,ln,,
O peso do Zoe é, aproximadamente, 40 kg.
57.2 Sejam 1p e 2p os pesos dos dois cães. Sabe-se que 21 21 pp , , então,
0302116021160
16021160160020160020
22
222121
,,ln,lnln,ln,
ln,,ln,ln,,ln,,
pp
pppppApA
58.
58.1 111010 kQ klog
58.2 0
RD
91901
901
1
101
1
100
1
100
ttt
t
t
ttttQ log)(
O recipiente fica vazio ao fim de 9 horas.
59.
59.1 0
RD
6260
5
5
1260
5
14015040 260260
,
lnln,)( ,, tteetv tt
Demora 6 segundos, aproximadamente.
59.2 5005050
505050260
260
tt
t
t ee
,
, limlim
A velocidade terminal é de 50 m/s. 60.
60.1 240120 23
8 log)(;log)( BA
A cidade A tinha 1000 habitantes e a cidade B, 2000.
60.2 0
RD
24452445244
8
523
445234452
2222
2
2823
8
ttttttt
tttttBtA
loglogloglog
log
loglogloglog)()(
A cidade A é a mais populosa a partir do 2.º ano.
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 18
61.
61.1 148118642011
998121
8653148
14800360,
,
,,)(
,
ep
A população seria de 9,9 milhões.
61.2
22664
1650360
64
165
5622086208121
8673
8121
8653
0360
0360
03600360
,ln,
,,,,,
,,
,
,,
,
,
,,
tte
eee
t
t
tt
818372261864 ,,
Em 1837, a população era de 3,7 milhões.
62.
62.1 Utilizando valores com três casas decimais, obtém-se:
tetN
47607841821
894724,,
,)(
62.2
100077504760
0077502548353008947243007841821
894724 47604760
4760
tt
eee
tt
t
),ln(,
,,,,
, ,,
,
Ao fim de 10 dias.
Mais exercícios
(Pág. 48 a 51)
Escolha múltipla
63.
1
2
1
13
10
11
a
b
ba
ba
f
f
)(
)(
Resposta: B
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 19
64.
11
12212242
1 2211
1
)(g
xxxxxx
x
Resposta: B
65.
ttP 210291 ,,)( é a população da Índia, em milhares de milhões, em função de t
(número de décadas após o início do século).
4817612102912 2 ,,,)( P
Resposta: C
66.
f é estritamente crescente em
2
3
2
1, .
Então, como 86442
324
2
1 3
fef , o contradomínio de f é 82, .
Resposta: D
67.
1321222222242 3212122121212 bababababa
Resposta: C
68.
033
10031030
3
3103
3
10 22
1
bbbbbb
b
bbbb
Como f é crescente tem-se 1b , ou seja, 3b .
Resposta: B
69.
4250224
1251222048
204820480
2505050
xx
km
xxx ,
)(
,,,
Resposta: D
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 20
70.
23232 3aaaa aa loglog
Resposta: A
71.
3
1
9
3
133
2
2
2
a
b
aaa
ab
ab
ba____
log
Resposta: D
72.
225 5log pp
2222222254254100 52
55555 ploglogloglogloglog
Resposta: D
73.
101 aCBC ,
2
1
2
11
111
aaÁrea
ABaAaag a ,log)(
Resposta: A
74.
3992
12
1
9 xxxxlog
Resposta: C
75.
11
10
b
b
babbaabbaabbaabba loglog
Sabe-se que 0a , então, 01
b
b e como 0b conclui-se que 1b .
Resposta: B
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 21
76.
0410610616
06
2222
2
xxxx
RxRxD
logloglog
:
2222 ,, DS
Resposta: A
77.
eeeef 22 212 lnlnln
Resposta: B
78.
01
100 bb
aababba logloglog
Resposta: A
79.
6939
3331071010710
1079
1076
1073
2
xx
xxxloglog
80.
6
5333 6
5
33
3322
3 loglogloglog yxyxyx
Resposta: B
81.
9
90999
12
22
332
3332
33
S
xxx
xx
xxxxx
RD
logloglogloglogloglog
Resposta: D
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 22
Resposta aberta
82.
a)
yex
yeeyeeyeey
e
e xxxx
x
x
22
222
3
4
3
44343
43ln
yexf
2
1
3
4ln)(
22
303
41 e
xeRxD
f,:
b) 013
213
23
213
223
xx
xxx
xy
x
xy
yyylog
13
21
xxg )(
00131 \: RRxD x
g
83.
83.1 13618030 30020 ,)()( , ef
Consegue digitar, aproximadamente, 36 palavras por minuto.
83.2
020
16
3
16
3020
16
3
16
1316518065 020020020
,
ln
ln,,,,
tteeetf ttt
84020
16
3
,
ln
Deve praticar pelo menos 84 horas.
83.3 80080808080 020
t
xe ,lim
Aumentando o número de horas de prática, o número de palavras por minuto que uma
pessoa consegue digitar, de acordo com este modelo, aproxima-se das 80 palavras
por minuto.
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 23
84.
a)
0
13431404304333439 2
3
21
x
yyyy xx
y
xxxx
x
0S
b) 5252
45425 2log xx
x
xxx
52logS
c) ,: 0002 xxRxD
3132121212 2233333 xxxxxxxxxx logloglogloglog
D 3
1S
d)
1
2243934903650439
53
9
1
03543053
43345334
3
53
222
3
24
2224
22
222231
1
1
2
x
xyyyy xx
y
xx
xx
x
xxxx
x
x
x
1S
e) RRxD xx 013079 22:
2393273927
039
4
81
14347943479
1347913279
2
3
2222
22
222
22
22
22
xxyy
yy
xx
y
xxxx
xxxx
xloglog
logloglogloglog
32,S
85.
a)
2142224208608264 2
2
xxyyyy xx
y
xx
x
21,S
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 24
b) RD
010 xx exxxe lnlnln
0101
10
xee
xx
xx
ln
x 0 1
xln n.d. - 0 +
1xe 0 + + +
1xexln n.d. - 0 +
10,S
c) ,,: 13130132xRxD
413134131344
44016313113 2223
,,,,,
,log
S
xxxx
d)
,,:2
3
2
10
4
32 xxRxD
21024
5
4
3
4
5
4
345
4
325
4
3
22
22
2222
222
2
,
logloglogloglogloglog
xxxxx
xxxxxx
2
2
3
2
11
2
3
2
121 ,,,,,S
e) RD
522222 2251323232 xxxxxxx logloglogloglog
,, 2
32
10S
f) RD
222 2121023023 exexxxyyyyxxxy
lnlnlnlnln
,, 20 eeS
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 25
86.
xxxAxxP lnln, 5
O ponto de ordenada máxima tem coordenadas 292572 ,;, e, então, a abcissa de P
para a qual a área do retângulo é máxima é 2,57.
87.
O nível máximo foi 35 e o nível de ácido úrico foi superior ao permitido durante 4
meses e meio, ou seja, no intervalo 9541 ,;, .
88.
88.1
a) 0502504250 2503 ,,, , eA mg/L
b)
312030
202020
0202022024
3070
7037037033
,,
ln
)()(
,,
,,,
ttttete
et
eeteetetettBtA
t
t
t
tttttt
1960310 ,
As concentrações voltam a ser iguais ao fim de 2 horas e 19 minutos.
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 26
88.2
Através da análise dos gráficos, conclui-se:
A concentração do medicamento no sangue do Carlos ultrapassa os 7,5 miligramas
por litro de sangue em 0,3 miligramas, no máximo.
A Ana deve ser a primeira a tomar nova dose do medicamento, cerca de 4 horas antes
do Carlos.
89.
76272670424242 22
2
log
xyyyy xx
y
xx
x
727 72
2 loglogg
As coordenadas do ponto de interseção são 772 ,log .
90. a)
0036010
363749
377249
363749
37724937724936374937724910 1010 ,
ln
)(
rreeA rr
A taxa de crescimento foi de 0,4% , aproximadamente.
b) 23809126313110 10010 ,)( eA
A população da cidade do Porto em 2011 será de 238091 habitantes,
aproximadamente.
91. 91.1
5
3
15
3
45
31
44
30
a
kk
k
k
f
f
aa
a
loglog
log
)(
)(
91.2
Determinar )( 21 g é determinar o valor de x tal que 2)(xg .
125
124513103122 3
55 xxxxxf loglog)(
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 27
92. 92.1
2350 m =2,35 km
76101352 352120 ,,),( eP
A pressão atmosférica é, aproximadamente, 76 quilopascal.
92.2
85120
2
1
2
1
2
1
101
101
2
1 120
120
120120
,,
ln
)()( ,
,
,,
xee
ehPxhP x
h
xh
Quando a altitude aumenta cerca de 5,8 quilómetros, a pressão atmosférica diminui
para metade.
Autoavaliação 4
(Pág. 52 e 53)
Grupo I
1. 4869224 C
Resposta: A
2. 11
7
28
1128
7
)(
)(|
AP
ABPABP
Resposta: C
3. 33091 292, xxex
Resposta: C
4. cbbaba aaaa 32323232 loglogloglog
Resposta: D
5. 82233
63363 3 lnlnlnln)ln()ln( eee
e
eeeeeA
Resposta: B
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 28
Grupo II
1.
11
111
10
)()()()()()(
)()()()(
)()(
)(
)(
)(
)()|(
)(
BAPBPAPBAPBPAP
BPAPBAPAP
BPAP
AP
BAP
AP
BPABP
AP
Como 1 )( BAP é uma condição universal, a desigualdade verifica-se.
2.
1.º 2.º Par Ímpar
Par 3 pontos 2 pontos
Ímpar 4 pontos 3 pontos
2
1
2
1
2
123
4
1
2
1
2
142
)(
)()(
XP
XPXP
ix 2 3 4
)( ixXP
4
1
2
1
4
1
3. 3.1
5% da quantidade inicial é 0050 Q, .
758241210
050050050050 1210
01210
00 ,,
,ln,,,)( ,,
teQeQQtQ tt
O fóssil terá aproximadamente 24 758 anos.
3.2
783512010 101210 ,)( , eQ
A quantidade de carbono 14 é, aproximadamente, 35,78.
4.
4.1
11
2
121221 yy exexyxyx )ln()ln(
11
2
1 yexf )(
RDf
1
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 29
4.2
3
4003402 ,: xxRxD
32
4432
3423423423421
exex
xexxexxxexx )ln()ln()ln()ln(ln)ln()ln(
3
4
32
4,
eS
4.3
Pretende-se encontrar os valores de x que verificam a condição 2
xxf )( .
Basta, então, determinar as abcissas dos pontos de interseção do gráfico de f e da
função definida analiticamente por: 2
xy .
As coordenadas dos pontos A e B são, respetivamente, 1020 ,;, e 693397 ,;, .
2.2 Teoria dos limites
93.
Os limites resultam diretamente da observação da representação gráfica de g:
a) -2
b) 0
c)
d) -1
e) 0,5
94.
a) 3031
3
nlim
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 30
b) 6231
21
3
nnlim
c) 11
11
nn
nlimlim
d) 32113
22
11
12
nnnlim
95.
a) Por exemplo, n
an1
1
b) Por exemplo, n
bn1
2
c) Por exemplo, n
cn1
d) Por exemplo, n
dn1
96.
a) Considerando uma sucessão nu tal que: 01 \Ruu nn
012
11
2
1
n
nn
u
uuf
Então, 01
)(lim xfx
.
b) Considerando uma sucessão nu tal que: 01 \Ruu nn
112
11
2
1
n
nn
u
uuf
Então, 11
)(lim xfx
.
c) Considerando uma sucessão nu tal que: 0\Ruu nn
2
10
2
1
2
1
2
1
2
1
nn
nn
uu
uuf
Então, 2
1
)(lim xf
x.
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 31
97.
a) 22nlim
b) 21
2
nlim
c) 23
212
32
2
nlim
d) 51
32
11
2
32
n
lim
98. 98.1
a)
31
3n
lim
b)
3
23
2nlim
c) 31
3
nlim
d) 3
1
3
21
23
21
2
n
lim
98.2
Como nw tem-se que:
12
13
nwf n limlim
98.3
Não, porque a definição de Heine aplica-se a todas as sucessões, no domínio de f,
que tendam para e não apenas a um caso particular.
99.
a) Como 3na ,
então,
)(limlim xfanfx 3
b) Como 3na ,
então,
)(limlim xfanfx 3
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 32
c) Como na ,
então, 2
)(limlim xfanfx
100. 100.1
100.2 Por exemplo, 2nxn
100.3
a)
202
2
12
n
lim
b)
25
2n
lim
c) 04242
12 2
2
n
lim
d) 822325
23
nlim
100.4 Não existe, porque: )(lim)(lim xfxfxx
22
101.
Considere-se uma sucessão nx tal que 11 nn xNnx , , então,
31
13
1
3
nnn
xxxf )( , ou seja,
)(lim xfx 1
Considere-se uma sucessão ny tal que 11 nn yNny , , então,
32 nn yyf )( , ou seja, 31
)(lim xfx
.
Assim, não existe )(lim xfx 1
porque )(lim)(lim xfxfxx
11
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 33
102. a)
b)
103.
a) Considerando uma sucessão nu , tal que: 00 \Ruu nn
2
1
6
1
2
1
6
13
nn
nn
uu
uuf
Então,
x
x
x 6
13
0
lim .
b) Considere-se uma sucessão nx tal que 11 nn xNnx , , então,
2
1
12
1
2
nnn
xxxf )( , ou seja,
1
2
1 xx
lim
Considere-se uma sucessão ny tal que 11 nn yNny , , então,
2
1
12
1
2
nnn
yyyf )( , ou seja,
1
2
1 xx
lim
Assim, não existe 1
2
1
xxlim , porque,
1
2
1
2
11
xx xx
limlim
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 34
104.
a) Considerando uma sucessão nu tal que: aun e Rkkxf )(
kkuf n
Então, kkax
lim .
b) Considerando uma sucessão nu tal que: aun e xxf )(
auuf nn
Então, axax
lim .
105.
a) 4
39
8
69
13
22
3
x
xx
xlim
b)
51
5
1
12
2
2
x
x
xlim
c) 12
12
2
1324
0
x
xx
xlim
106.
a) 361032 4
2
xx
xlim
b) 2
1
3
344
3
1
x
xx
xlim
107.
a) 660000
)(lim)(limlim xgxfxgfxxx
b)
x
x
xx
x
x
xxfxgxfg
x
xxxxx
21
21
20
22
lim
limlim)(lim)(lim)(lim
c) 5
9
1
5
9
3
3
3
)(lim
)(lim
)(limxg
xf
xg
f
x
x
x
d) 3
55
3
1
111
)(lim)(lim)(lim xgxfxgf
xxx
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 35
e)
22233
)(lim)(lim xgxgxx
108.
a)
0
34320 x
x
xlim
b) 01
0
2
12
1
x
x
xlim
c)
0
3
2
1
2 x
x
x
lim
d)
0
4
3
4
3 xx
lim
e)
0
6
9
22
3 x
x
x
lim
f) 011
xxlim
109.
a) 22
4
00
xxf
xxlim)(lim
b) 04
2
4
xxf
xxlim)(lim
c)
0
4
2
4
22 xxf
xx
lim)(lim
0
4
2
4
22 xxf
xx
lim)(lim
Não existe )(lim xfx 2
, porque )(lim)(lim xfxfxx
22
.
110.
a)
)(lim)(lim)(lim xgxfxgfxxx
b)
0
3
3
3
3 )(lim
)(lim
)(limxg
xh
xg
h
x
x
x
c)
)(lim)(lim)(lim xhxfxhfxxx
d)
0
1
3
3
3 )(lim
)(lim
)(limxf
xg
xf
g
x
x
x
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 36
e)
1
1919
2
22
xxxxxxhf
xxxlimlim)(lim
111.
a)
323 3 xxxxxlimlim
b)
336531 323 xxxxxxlimlim
c)
666 323 xxxxxlimlim
112.
a)
323 53 axxxaxxfxxxlimlim)(lim se 0a
b)
323 53 axxxaxxfxxxlimlim)(lim se 0a
113. a)
0
7
34
7
34
34
34
3434
34
2222
22
22
2222
22
xxxx
xx
xx
xxxx
xx
xx
xx
limlim
limlim
b)
06
6
6
6
6
6
66
6
22
22
2
22
2
xxxx
xx
xx
xxxx
xx
xx
xx
limlim
limlim
c)
4382 34 xxxlim
d)
434 4 xxxxxlimlim
e)
0
22212
02
0 x
x
xx xx
limlim
f)
0
15
9
33
9
3
3 2
2
32
3 x
xx
xx
x
xx
limlim
114.
a)
eeeee x
x
xx
x111 limlim
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 37
b)
0x
x
x
x
ex
x
xexe
x
x
x
x
x
x
lnlim
lnlimlnlim
115.
a)
111
10a
b
xx
xx
xx
x
xx
x a
ba
a
baba limlimlim
b)
111
10b
a
xx
xx
xx
x
xx
x b
ab
b
abba limlimlim
116.
a) 03
12
3
xxlim
b) 5
3
5
3
5
3
25
13
xxx x
x
x
xlimlimlim
c) 055525
4
3
4
3
xx
x
x
x
xxxlimlimlim
d)
33
7
3
7
123
357 2
2
4
2
4 x
x
x
xx
xx
xxxlimlimlim
117.
a) 03
122
2
2
2
bx
ax
xbx
xax
xxlimlim , se 00 \Rba
b)
2
2
2
2
3
12
bx
ax
xbx
xax
xxlimlim , se 0 bRa
c) 23
122
2
2
2
bx
ax
xbx
xax
xxlimlim , se ba
b
a22 ( se 0 ba , tem-se
também 2
)(lim xhx
)
118.
a) 2
1
23
11
23
11
23
1
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
e
e
ee
ee
e
elimlimlim
b)
1010
2
3
2
133
2
33 22 x
xx
x
xx
xx
xlimlimlim
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 38
119.
a) 00022
xx
x
x
x
xx
lnlim
lnlim
b)
2
1
203
1
23
11
23
11
23
1
2
13
x
xx
x
xx
xx
xx
x
xx
x
xxxx lnlim
lnlim
lnlim
lnlim
c)
3
1
13
11
13
11
13
11
13
11
13
11
13
1
22
22
22
22
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
x
x
xx
xxxx
limlim
limlimlimlim
d)
3
1
13
11
13
11
13
11
13
11
13
11
13
1
22
22
22
22
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
x
x
xx
xxxx
limlim
limlimlimlim
e)
22
4
411
4
411
4
41
4
41
4
41
4
41
4
4
4
4
4
4
44
4
222
2
22
2
22
2
xxx
x
xxx
x
xxx
x
xxx
x
xxx
x
xxx
x
xxx
xxx
xxx
xxxxxx
xxx
xxx
xxxx
xxx
limlimlim
limlimlimlim
limlimlim
120.
a)
8
5
4
5
44
45
16
205
4424
xxx
x
x
x
xxxlimlimlim
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 39
b)
2
1
1
3
23
11
13
23
1
253
112
2
1
x
x
xx
xx
x
xx
xxxlimlimlim
Cálculo auxiliar:
13
20253 2 xxxx
c)
21
1
11
1
11
12
1
12
2
12
2
12
23
1
x
x
xx
x
xx
xx
xxx
xxxxlimlimlimlim
Cálculo auxiliar:
1 -1 -1 1 1 1 0 -1
1 0 -1 0
d)
0
21212223
04
04
2
0 x
x
x
xx
x
xx
xxx
limlimlim
121.
Para que o limite seja um número real, 2 tem de ser um zero de 22 kxx , ou seja,
36202222 kkk .
122.
a)
10
1
265
1
2651
1
2651
2625
2651
265265
1
265
1
1111
x
xx
x
xx
x
xx
xx
x
x
x
xxxx
.lim
limlimlimlim
b)
2
1
4
2
62
2
622
22
622
42
622
62
622
6262
2
62
222
222
xxxxx
x
xxx
x
xxx
xx
xxx
xxxx
x
xx
xxx
xxx
limlimlim
limlimlim
c)
0
11
02
02
0 xx
x
x
x
xxx
limlimlim
0
11
02
02
0 xx
x
x
x
xxx
limlimlim
Então, 20 x
x
xlim .
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 40
d) 04
0
2
42
2
x
x
x
lim
123. a)
0
1
2
1
22
2
22
2
22
22
2
2
2
222
22
22
xx
xxx
x
xxx
x
xxx
xx
xx
xxf
x
xxxxx
lim
limlimlimlim)(lim
12422
422
2
422
2
8 2
2
2
2
2
2
3
22
xxx
xxx
x
xxx
x
xxf
xxxxx
limlimlimlim)(lim
Cálculo auxiliar:
1 0 0 -8 2 2 4 8
1 2 4 0
Como: )(lim)(lim xfxfxx
22
não existe )(lim xfx 2
b)
233
2
8x
x
x
x
xxf
xxxxlimlimlim)(lim
c)
01
2
21
2
21
2
2
2
2
22
2
22
2
22
22
2
222
x
x
xx
xx
xx
x
xx
x
xxx
x
xxx
x
xxx
xx
xx
xxf
xxxx
xxxxx
limlimlimlim
limlimlimlim)(lim
124.
a) 105
5
5525
5
1
55
2
5
x
x
xxx
x xxxlimlimlim
b) 100
x
x
x
x
xx
limlim
100
x
x
x
x
xx
limlim
Não existe x
x
x 0lim
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 41
c) 011
2
2
x
ee
xxxxx
limlim
d)
2
0
1212
x
x
xxx
x
xx lnlnlim
lnlnlim
125. 125.1
a) 022 2
x
xp
x
)(lim , se o grau de p for inferior a 2.
b) Se 22 2 x
xp
x
)(lim não é um número real, isso significa que é ou , ou seja, o
grau de p tem de ser superior a 2.
125.2
a) Por exemplo, 23xxp )( .
b)
44
16
12
16
112
116
112 111
)(lim
)(lim
)(
)(lim
xxx
x
xx
xp
xxx.
Por exemplo, 1616 xxp )( .
126.
a) 11
3
3
3
3
n
n
nn
nlimlim
b) 525 6 nnn limlim
c)
2
1
11
1
1
11
1
1
11
1
2
22
22
2
22
2
n
nn
n
nn
nnn
nn
nnnnn
nnn
lim
limlimlimlim
d) 3
1
03
1
33
31
333
313
3
3
3331
ee
e
ee
e
e
en
n
nn
nn
nn
nn
limlimlim
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 42
127.
127.1 31
)(lim xfx
Não existe )(lim xgx 1
e 11
)(lim xhx
.
127.2 A função f é contínua em 1x .
127.3 Não garante porque, por exemplo, existe )(lim xhx 1
mas h não é contínua em
1x
128.
a) 2x
b) Não existem.
c) 2x
d) 2x e 2x
129.
a) A função não é contínua nem à esquerda nem à direita de 2x
b) Não existem pontos de descontinuidade
c) A função não é contínua nem à esquerda nem à direita de 2x
d) A função é contínua à direita de 2x e contínua à esquerda de 2x
130.
00
011
1
0
2
02
2
00
00
)(
limlimlim)(lim
lim)(lim
f
x
x
xx
x
xx
xxf
xxf
xxxx
xx
Então, f é descontínua em 0x mas é contínua à esquerda nesse ponto.
131.
a) )(lim 12
1
1
322
2
1f
x
xx
x
, então, f é contínua em 1x .
b) 4
1
2
1
24
4
24
22
4
2
4444
xxx
x
xx
xx
x
x
xxxx
limlimlimlim
)(lim 4624
gxx
g é descontínua em 4x e contínua à esquerda nesse ponto.
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 43
c) )(limlim 0100
hx
x
x
x
xx
100
x
x
x
x
xx
limlim
h é descontínua em 0x e contínua à direita nesse ponto.
132.
4
2
22
2
4
2
2
2
x
xx
x
x
xxlimlim
af )( 2 e, então, para que f seja contínua em 2x tem-se 4a
133.
Gráfico (B).
A função representada graficamente em (A) não é contínua em 1x .
A função representada graficamente em (C) não é contínua à esquerda em 4x .
A função representada graficamente em (D) não é contínua à direita em 3x .
134.
Para 51 x , a função é contínua pois é polinomial.
Para 85 x , a função é contínua pois é racional.
Para 5x ,
173455
xxfxx
lim)(lim
)(lim)(lim 57
10
2
2
55
fx
xxf
xx
Então, f é contínua em 581 \, e é contínua à direita em 5x .
135.
333
00
kxxgxx
lim)(lim
0
9
3
93
2
00 xx
xxg
xx
lim)(lim
Como
)(lim xgx 0
, a função é descontínua em 0x seja qual for o valor de k.
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 44
136. 136.1
A função h não é contínua porque é descontínua em 2x pois,
)(lim)(lim xhxhxx
22
.
136.2
Por exemplo,
20
211
xse
xsexj )(
136.3
24
22
432 2
xsep
xsex
xx
xgh )(
282322
2232
222
xxx
xxxxgh
xxx
limlim)(lim
ppxghxx
4422
lim)(lim
Se gh é contínua, então, 7284 pp .
137.
a) Para 1x , f é contínua porque é o quociente de funções contínuas.
Para 1x , f é contínua porque é a soma de funções contínuas.
Para 1x ,
2
1
1
1
11
1
11
11
1
1
1111
xxx
x
xx
xx
x
x
xxxx
limlimlimlim
)(lim 111
feex x
x
Então, f é contínua em 1\R e contínua à esquerda em 1x .
b) 10,\RDg
Para 10 xx , g é contínua porque é o quociente de funções contínuas.
Para 0x , g é contínua porque é o quociente de funções contínuas.
Então, g é contínua.
c) Para 0x , h é contínua.
Para 20 x , h é contínua porque é constante.
Para 32 xx , h é contínua porque é o quociente de funções contínuas.
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 45
Para 0x ,
242
0
xx
lim
220
x
lim
h é contínua em 0x porque )()(lim 020
hxhx
.
Para 2x ,
)(lim 2222
hx
0
3
65
322
2
2 xx
xx
x
lim
h é descontínua em 2x e contínua à esquerda nesse ponto.
Então, h é contínua em todos os pontos do seu domínio 3\R , exceto no ponto
2x
138.
a) Seja 1
x
xxi e xexj )( , então, ijf . Como i e j são contínuas, então, f é
contínua.
b) Seja xxxi 42 e xxj ln)( , então, ijg . Como i e j são contínuas então g é
contínua.
c) Seja eexi x 2 e xxj log)( , então, ijh . Como i e j são contínuas então h
é contínua.
139. 139.1
333
333
093
9
3093
9
22
22
xxsex
xsexxf
xsex
x
xxsex
x
xf )()(
Para 33 x , f é contínua, porque é polinomial.
Para 33 xx , f é contínua, porque é polinomial.
Para 3x , f é contínua, porque, 033
)()(lim fxfx
.
Então, f é contínua.
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 46
139.2
3 \RDf
63
63
3
3
x
x
x
x
lim
lim
Não existe nenhum prolongamento de f a R contínuo, porque não existe )(lim xfx 3
.
139.3
a) Por exemplo,
36
3
xse
xsexfxg
)()(
b) Por exemplo,
36
3
xse
xsexfxg
)()(
140.
a)
0
54
9
27
0
54
9
272
3
32
3
3 x
x
x
x
xx
lim;lim
Não é possível um prolongamento contínuo a R .
b)
2
9
3
93
33
933
9
27 2
3
2
32
3
3
x
xx
xx
xxx
x
x
xxxlimlimlim
Cálculo auxiliar:
1 0 0 -27 3 3 9 27
1 3 9 0
Um prolongamento pode ser, por exemplo:
3
932
x
xxxi )(
141. 141.1
a) Uma solução.
b) Duas soluções.
c) Uma solução.
d) Nenhuma.
141.2
a) Verdadeira, porque f é contínua e fD84, .
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 47
b) Falso. Se, por exemplo, 56,k não existe kcgc )(:,51 .
142.
A função f é contínua em R (soma de funções contínuas), em particular, é contínua
em 21, .
7641 ,)( ef
41582 2 ,)( ef
)()( 2101 ff
Pelo Teorema de Bolzano a equação 10)(xf é possível em 21, .
143.
Apenas a afirmação d) é verdadeira porque está nas condições do Teorema de
Bolzano. Relativamente às outras afirmações nada se pode concluir sobre a
veracidade das mesmas.
144.
A função g é contínua em R , então, também é contínua em 31, .
Sabe-se que 01 )(g e 03 )(g , então, )()(
)( 32
31 g
gg .
Pelo Teorema de Bolzano, a equação 2
3)()(
gxg é possível no intervalo 31, .
145.
A função h é polinomial e então é contínua em 23 , e em
2
2
3, .
3232
93
2
3
321323
)(
)()(
hh
hh
Tem-se, 023 )()( hh e 022
3
)(hh
Pelo Corolário do Teorema de Bolzano h admite pelo menos um zero em cada um dos
intervalos dados.
146.
Mostrar que os gráficos de f e de g se intersetam num ponto de abcissa pertencente
ao intervalo 21, é provar que a equação )()( xgxf é possível no intervalo 21, .
Seja h a função definida por: )()()( xgxfxh
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 48
A função h é contínua em R (diferença de funções contínuas), em particular, é
contínua em 21, .
12522
4511
2
0
,log)(
log)(
eh
eh
021 )()( hh , então, pelo Corolário do Teorema de Bolzano, h tem pelo menos um
zero em 21, , ou seja, a equação )()( xgxf é possível no intervalo 21, .
147.
Seja h a função definida por: )()()( xgxfxh
A função h é contínua em ba, pois é a diferença de funções contínuas.
0
0
)()()(
)()()(
bgbfbh
agafah
Então, 0 )()( bhah .
Pelo Corolário do Teorema de Bolzano, h tem pelo menos um zero em ba, , ou seja,
a equação )()( xgxf é possível no intervalo ba, .
148.
f é contínua em 21, .
03125020625006250312513751
37513125100803125110375120251
3751251103751202515051
51251202515051601
5115051122601
,,;,,,
,;,,),(;,),(;,),(
,;,,),(;,),(;,),(
,;,,),(;,),(;,)(
,;,),(;,)(;,)(
fff
fff
fff
fff
O zero com erro não superior a 0,05 é: 32
43
2
375131251
,,
149.
Seja g a função definida por )()()( 1 xfxfxg .
A função g é contínua em 10, , pois é a diferença de funções contínuas em 20, .
)()()()()()()(
)()()(
)()(1001211
0100
02ffffffg
ffg
ff
Então, como )(0g e )(1g são simétricos e não nulos, tem-se, pelo Corolário do
Teorema de Bolzano, que g tem pelo menos um zero em 10, , como se pretendia
demonstrar.
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 49
150.
150.1 A função T é contínua, porque é a soma de duas funções contínuas (a função constante
e o produto de uma polinomial e uma exponencial), pelo que, T é contínua em qualquer
intervalo do seu domínio, em particular é contínua no intervalo 13,8 .
Por outro lado,
92,1681,0158 815,02 eT e 404,17131,01513 1315,02 eT ,
pelo que,
13178 TT .
Então, pelo Teorema de Bolzano, existe pelo menos um 13,8c tal que 17cT , ou seja,
existiu um instante, entre as 8 horas e as 13 horas, em que a temperatura foi igual a 17 ºC.
150.2
A temperatura atinge os 17 graus às 8 horas e 24 minutos (valor arredondado à unidade de
minuto).
151.
151.1 2\RDf
151.2
Em 2\,0 , a função é contínua porque é racional.
Em 0, , a função é contínua porque é a composta de duas funções contínuas (uma
logarítmica e uma exponencial). Note-se que 2ln02 xex e
0,0,2ln, .
No ponto 0 temos 01ln2ln0 0 ef , 02
0
2
4limlim
3
00
x
xxxf
xx e
02ln2lnlimlim 0
00
eexf x
xx. Então, 0lim
0fxf
x
, pelo que f é contínua no ponto
0.
Portanto, f é contínua em qualquer ponto do seu domínio, ou seja, é uma função contínua.
151.3
Sim, basta fazer 82 f , uma vez que:
2
22lim
2
22lim
2
4lim
2
4limlim
22
2
2
3
22 x
xxx
x
xxx
x
xx
x
xxxf
xxxxx
82lim2
xxx
.
151.4
Como a função f é contínua em 2\,0 e 2\,05,3 , pode-se concluir que f é
contínua no intervalo 5,3 . Tem-se ainda que 153 f e 355 f , pelo que,
3205 ff .
Então, pelo teorema de Bolzano, conclui-se que a equação 20xf tem pelo menos uma
solução no intervalo 5,3 . C.q.d.
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 50
151.5 Dizer que os gráficos de f e g se intersetam num ponto de abcissa pertencente ao
intervalo 0,1 é o mesmo que dizer que a equação 0 xgxfxgxf tem pelo
menos uma solução nesse intervalo, ou seja, a função gf tem aí um zero.
A função gf é contínua porque é a diferença de duas funções contínuas e 0,1 é um
intervalo do domínio de gf .
Por outro lado, 0122,02ln1 11 eegf e 0100 0 egf .
Então, pelo Teorema de Bolzano, gf tem pelo menos um zero no intervalo 0,1 , o que
permite afirmar que os gráficos de f e g se intersetam num ponto de abcissa pertencente a
esse intervalo.
152.
Se f é contínua em ba, , então, é contínua em qualquer intervalo badc ,, .
Por outro lado, se dc , ou dfcf , ou dfcf .
No primeiro caso, tem-se que a média aritmética das imagens é
cfcfcf
2, ficando
provado que esta é um valor da função.
Se dfcf , tem-se, dfcf ou dfcf .
Se dfcf , tem-se
cfcfcfdfcf
22 e
df
dfdfdfcf
22;
Se dfcf , tem-se
cfcfcfdfcf
22 e
df
dfdfdfcf
22;
Tem-se então que se dfcf ,
dfdfcf
cf
2
ou
cfdfcf
df
2
.
Pode-se, então, concluir, pelo Teorema de Bolzano, que a equação
2
dfcfxf
tem pelo
menos uma solução no intervalo badc ,, , ou seja, para quaisquer c e d pertencentes ao
intervalo ba, , a média aritmética das suas imagens pertence ao contradomínio de f.
153.
A função g é contínua em 5,0 porque é a diferença de duas funções contínuas neste intervalo
(f e a função identidade).
00000 ffg ( 4,30 f ) e 0555 fg ( 45 f , pelo que 15 g ). Pode-
se, assim, concluir que 050 ff .
Então, pelo Corolário do Teorema de Bolzano, g tem pelo menos um zero em 5,0 . C. q. d.
154.
154.1 3limlim
xgxgxx
, porque g é ímpar.
154.2 Como a função é contínua em R , não muda de sinal em intervalos em que não se anula.
Assim, como 3lim
xgx
, 22 g porque – 2 é um ponto fixo, 222 ggf ( f é
ímpar) e 3lim
xgx
, tem-se que f é positiva em 10, e em 10,0 e anula-se em -10,
0 e 10. Assim, o conjunto-solução da condição 0xg é 10,010, S .
155.
Se – 3 e 5 são o mínimo e o máximo absoluto, então, existe um a e um b pertencentes ao
domínio de f tais que de 3af e 5bf e para qualquer x do domínio de f 53 xf .
Dado que f é contínua em R , f é contínua em ba, .
Então, pelo Teorema de Bolzano, a equação kxf tem solução em ba, , qualquer
5,3k , pelo que a função f assume todos os valores deste intervalo.
Portanto, o contradomínio de f é o intervalo 5,3 .
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 51
156.
157.
a)
xhx 2
l im b)
xhx 2
l im c)
xhx 2l im
d)
xhx 2l im e) 1lim
xh
x f) 1lim
xh
x
158.
a) 4lim2
xhx
b)
xhx 2
l im c)
xhxl im d) 0lim
xh
x
159.
a) 4\ RDf
Como f é contínua, por ser racional, a existir uma assíntota será a reta de equação 4x ,
dado que – 4 é o único ponto de acumulação do domínio de f que não lhe pertence.
0
11
4
13limlim
44 x
xxf
xx e
0
11
4
13limlim
44 x
xxf
xx
Então, a reta de equação 4x é a única assíntota vertical do gráfico de f.
b) 2\RDg
0
2
2
2limlim
22 xxg
xx
Como g é contínua, a reta de equação 2x é a única assíntota vertical do gráfico de g.
c) 3,3\ RDh
6
1
3
1lim
33
3lim
9
3limlim
33233
xxx
x
x
xxh
xxxx
0
6
9
3limlim
233 x
xxh
xx
0
6
9
3limlim
233 x
xxh
xx
A função h é contínua porque é racional, portanto, a reta de equação 3x é a única
assíntota vertical do gráfico de h.
d) 1\,0 hD
0
3
1
3limlim
11 xxh
xx
0
3
1
3limlim
11 xxh
xx
A função h é contínua porque é o quociente de duas funções contínuas, portanto, a reta de
equação 1x é a única assíntota vertical do gráfico de h.
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 52
160.
a)
Falso. Por exemplo se 92 xxp ,
63lim3
9lim
3lim
3
2
33
x
x
x
x
xp
xxx, portanto a
reta de equação 3x não é assíntota do gráfico de f.
b)
Falso. Por exemplo, 1
12
x
xf é racional não polinomial e não admite assíntotas verticais
pois é contínua em R .
c) Verdadeiro.
d) Falso. Por exemplo, definida por 4
13
x
xxf é contínua e tem uma assíntota vertical. A reta
de equação 4x .
e) Falso.
A função definida por
12
11
1
xse
xsexxf tem domínio R e tem a reta de equação 1x
como assíntota.
161.
161.1 A função f é contínua em 2,0 , porque é a diferença de duas funções contínuas (uma
exponencial e o quociente de uma constante e a raiz da função identidade).
A função f é também contínua em ,2 , porque é a diferença de duas funções contínuas
(uma polinomial e uma logarítmica).
22loglimlim22
xxxfxx
Então, g é descontínua em 2x .
A função g é contínua em 2\,0 , descontínua 2x , mas contínua em 2x à esquerda.
161.2
0
13
13limlim 0
00 xxf x
xx
22loglimlim22
xxxfxx
2
292lim
2
fxf
x
Então, o gráfico de f tem duas assíntotas verticais, as retas de equação 0x e 2x .
2loglimlim xxxfxx
Portanto, o gráfico de f admite apenas duas assíntotas paralelas aos eixos coordenados.
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 53
161.3
162.
a)
3
1\RDf
3
1
3lim
13limlim
x
x
x
xxf
xxx e
3
1
3lim
13limlim
x
x
x
xxf
xxx.
Então, a reta de equação 3
1y é assíntota horizontal bilateral do gráfico de f.
b) 1,1\ RDg
01
limlim1
2limlim
22
xx
x
x
xxg
xxxx e 0
1lim
1
2limlim
2
xx
xxf
xxx
Então, a reta de equação 0y é assíntota horizontal bilateral do gráfico de f.
c) ,3hD
01
3
2limlim
xxh
xx
Então, a reta de equação 0y é assíntota horizontal do gráfico de f, quando x .
d) RDi
01
lim
1limlim
2
2
x
ee
xxi
x
x
xxx e
0limlim
2
xxx e
xxi .
Então, a reta de equação 0y é assíntota horizontal do gráfico de f, quando x .
e)
,01,01
:x
xRxDf
01ln1
lnlim1
lnlimlim
xx
x
xxj
xxx e 01ln
1lnlimlim
xxxj
xx.
Então, a reta de equação 0y é assíntota horizontal do gráfico de f, quando x e
quando x .
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 54
163.
a)
Como
0
22lim
2 xfx e
0
22lim
2 xfx, então, a reta de equação 2x é assíntota
vertical bilateral do gráfico de f
2. Por outro lado,
f
2 é uma função contínua, porque é o
quociente de duas funções contínuas e 2\2 RD
f
. Portanto, a reta de equação 2x é a
única assíntota vertical do gráfico de f
2.
0
22lim
xfx e
3
2
lim
22lim
xfxf
xx
.
b) 0\RDh e h é uma função contínua, porque é a soma de duas funções contínuas (f e
uma racional).
Por outro lado,
0
1limlim
1limlim
200200f
xxf
xxfxh
xxxx ( 0lim
0fxf
x
,
porque f é contínua). Então, a reta de equação 0x é a única assíntota vertical (bilateral) do
gráfico de h .
0
1lim
2xxf
x e 303
1lim
2
xxf
x. Então, a reta de equação 3y
é a única assíntota horizontal do gráfico de h.
164.
A reta de equação 2 xy é assíntota do gráfico de f , se 02lim
xxfx
ou
02lim
xxfx
02
4lim
2
4lim2
2lim2
2lim2lim
2222
xx
xxx
x
xx
x
xxxf
xxxxx
Então, a reta de equação 2 xy é assíntota do gráfico de f. C. q. d.
165.
165.1 A função g não pode ser contínua, porque não pode ser contínua em 1x , uma vez
que:
xgx 1l im .
165.2
166.
a) Verdadeira.
b) Verdadeira.
c) Falsa. Exemplo: a função de domínio ,0 de expressão analítica xxf ln admite uma
assíntota vertical (a reta de equação 0x ) e
xxfxx
lnlimlim .
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 55
d) Falsa.
Por exemplo:
e) Falsa. Por exemplo, a função real de variável real definida por x
xg1
é contínua e a reta
de equação 0x é assintota do seu gráfico.
167.
a) A função f é uma função racional e o domínio de f é R . Então, a função f é contínua em R
pelo que o seu gráfico não tem assíntotas verticais.
Como f é o quociente de duas funções polinomiais do mesmo grau, tem-se que:
1limlim2
2
x
xxf
xx e 1lim
2
2
x
xxf
x. Então, a reta de equação 1y é assíntota
horizontal bilateral do gráfico de f e a única assíntota deste gráfico.
b) A função f é uma função contínua (porque é racional) de domínio 1\R e
0
1
1limlim
2
3
1 x
xxg
xx. Então, a reta de equação 1x é a única assíntota vertical
do gráfico de f.
Assíntotas não verticais:
1lim
2lim
1limlim
3
3
23
3
2
3
x
x
xxx
x
xx
x
x
xgm
xxxx
e
22
lim12
2lim
12lim
2
2
2
233
2
3
x
x
xx
xxxxx
xx
xb
xxx.
Com cálculos análogos colocando no lugar de , conclui-se que:
1lim
x
xgm
x e 2lim
xxfb
x
Portanto, a reta de equação 2 xy é assíntota do gráfico de g quer em , quer em .
c) A função h é contínua de domínio R (produto de duas funções contínuas ─ uma afim e uma
exponencial), pelo que o seu gráfico não tem assíntotas verticais.
Assintotas não verticais:
Tem-se que
0limlimlim
x
x
x
xxe
x
xe
x
xhm e
011
limlimlimlim
x
ee
xxexhb
xxxx
x
xx.
Então, a reta de equação 0y é assíntota do gráfico de h em
x
x
x
xxe
x
xe
x
xhm l imlimlim . Então, o gráfico de h não tem assíntotas não
verticais em .
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 56
d) A função i é continua em 0, , porque é uma função exponencial e contínua no intervalo
,0 por ser o quociente de duas funções contínuas (uma logarítmica e uma polinomial).
322limlim 0
00
eexi x
xx e
200
lnlimlim
x
xxi
xx.
Então, a reta de equação 0x é a única assíntota vertical do gráfico de i.
Assíntotas não verticais:
Tem-se que
02
limlim2
limlimxx
e
x
e
x
xim
x
x
x
x
xx
e 0001
limln
limln
limlim2
xx
x
x
xxi
xxxx.
Então, a única assíntota não vertical do gráfico de i é a reta horizontal de equação: 0y
168.
168.1 A função f é contínua em R , porque é a soma de duas funções contínuas (uma
constante e o produto de duas contínuas ─ uma quadrática e uma exponencial). Então, o seu
gráfico não tem assíntotas verticais.
Tem-se também que
0lim1
lim1
limlim2
x
xx
x
xxxe
xx
ex
x
xfm
O que significa que o gráfico de f não tem assíntota não vertical em .
Por outro lado, 0
1limlimlim11limlim
2
222
y
ee
y
e
xexxf
yyyyxyxx
x
xx.
Portanto, a única assíntota do gráfico de f é a reta de equação: 0y
168.2
a) 0\01: RxfRxDg
Cálculo auxiliar:
0001 2 xexxf x
b) 0ln0lnln0ln0 222 xxxexxexxxg xx
1112 xxx 1,1S
Os zeros de g são – 1 e 1.
169.
Como l é contínua em ,0 , que é o seu domínio, o seu gráfico não tem assíntotas verticais.
005,0limlim 10
x
xxexl
A reta de equação 0y é assíntota horizontal do gráfico de l em , o que significa que
quando a profundidade tende para a luminosidade tende para 0.
170.
A resposta correta é a (D).
A (A) não pode ser, porque se a reta de equação 2y fosse assíntota do gráfico de g, ter-
se-ia
0lim x
xgm
x.
A opção (B) não está correta, porque a função representada não é contínua em R .
A (C) também não é a opção correta, porque, a ser esta a resposta, ter-se-ia
0lim
x
xgm
x.
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 57
171.
171.1 A função g é contínua em R , porque é o produto de duas funções contínuas em R (a
função f e a função identidade). Então, o gráfico de g não tem assintotas verticais. Como a reta de equação xy é assíntota do gráfico de f, quer quando x , quer quando
x , tem-se
xfx
xxf
xxl imlim e
xf
x
xxf
xxl imlim , portanto, o
gráfico de g admite assíntotas não verticais em nem em .
Portanto, o gráfico de g não tem qualquer assíntota. C. q. d.
171.2
a) Como
1lim x
xf
x, tem-se
4031
13limlim
13lim
xx
xf
x
xxf
xxx
b)
xfxl im , porque a reta de equação xy é assíntota do gráfico de f quando x
171.3
Como a função f é contínua em R , também h é contínua em R . Assim, o gráfico de h não tem
assíntotas verticais.
Assíntotas não verticais:
2012
6limlim2
62limlim
xx
xf
x
xf
x
xhm
xxxx
66026lim2lim262lim2lim xxxx
xxfxxfxxhb
Analogamente,
2lim
x
xhm
x e 62lim
xxhb
x.
Portanto, a reta de equação 62 xy é assíntota do gráfico de h, quer quando x quer
quando x .
172.
a) Dado que a função g tem uma assíntota não vertical, o domínio de g é R e
3
3lim
x
xxg
x. Tem-se
0lim3
3limlim3
3lim
x
xg
x
x
x
xg
x
xxg
xxxx
Então, a assíntota não vertical do gráfico de g tem declive nulo, ou seja, é uma reta horizontal.
b)
x
xgxg
xxh
22 e
0lim
x
xg
x, tem-se que xh
x l im é infinito. Portanto, o gráfico de
h não admite assíntotas horizontais.
Mais exercícios
(Pág. 108 a 111)
Escolha múltipla
173. Opção (D).
Como o polinómio 29 x é positivo entre as suas raízes, tem-se
0
2
9
2lim
23 xx.
174. Opção (D).
0
lim
11lim
33
xfxf
xx
e
0lim
11lim
33
xfxf
xx
, portanto, xfxf xx
1lim
1lim
33 , pelo
que não existe xfx 3l im
.
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 58
175. Opção (B).
O gráfico de f é uma hipérbole que tem como assíntota a reta de equação 2x , pode
observar-se que
xfx 2
l im . Por outro lado, a função g é uma função afim, pelo que,
como se observa no gráfico, xgx 2
l im é um número real positivo. Então,
0lim2
xf
xg
x
176. Opção (D).
A função é contínua em 1, , porque é constante neste intervalo, e contínua em ,1
porque é logarítmica. 11lim1
fxfx
e 1ln1lnlimlim11
kkxxfxx
.
Ora, para que f seja contínua o xfx 1l im
tem de existir e 1lim1
fxfx
. Então, para que f seja
contínua, a igualdade 11ln k tem de ser verdadeira. Portanto, 2ek
177. Opção (D).
Como 232 ff e f é contínua no intervalo 2,2 , o teorema de Bolzano garante que
existe pelo menos um 2,2c tal que 3cf , ou seja, fD'3 .
178. Opção (D).
Como Nnn
,01
, 01
n e 2lim
0
xf
x, tem-se que 2lim nuf .
179. Opção (C).
Como f é contínua em R , é contínua em qualquer intervalo de números reais.
11 f ; 025,1 ef , 026,1 6,0 ef , 027,1 7,0 ef e 022 ef .
O único intervalo onde o Teorema de Bolzano permite garantir a existência de, pelo menos, um
zero é aquele cujas imagens, por f, dos extremos têm sinais contrários, ou seja, o intervalo
2;6,1 .
180. Opção (A).
Ora, para que f seja contínua o xfx 1l im
tem que existir e 1lim1
fxfx
.
31 af e
01lim1
1lim
1
12limlim
1
2
1
2
11
x
x
x
x
xxxf
xxxx.
Então, 303 aa .
Portanto, a função f é contínua em 1x , se 3a .
181. Opção (A).
2lnlnlimlim 22
exxsexex
; 2ef e 2111ln1lnlimlim
exxsexex
. Então, s
é contínua no ponto e.
182. Opção (C).
en
u
n
n
11limlim e
n
nn
uf
11ln . Então, 1lnlim euf n
183. Opção (A).
Como
xfx 2
l im , 2lim2
xfx
e f é contínua em 2,2\ R , então, a reta de equação
2x é a única assíntota vertical do gráfico.
Se 2lim
xfx
, então, a reta de equação 2y é assíntota horizontal do gráfico de f .
Se 0lim
xxfx
, então, a reta de equação xy é assíntota obliqua do gráfico de f.
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 59
184. Opção (A).
Se RDg e a reta de equação 1y é assíntota do gráfico de g, então, 1´lim
xgx
.
Portanto,
0
1´lim
xx e
xg.
185. Opção (B).
Como o declive da reta r é
101
10
m e r é assíntota do gráfico de f, tem-se
xl im .
Então,
011lim1lim´lim
x
xf
x
xfx
xxx
186. Opção (A).
Se a bissetriz dos quadrantes ímpares é assíntota do gráfico de f em , então,
1lim x
xf
x
. Analogamente, se a bissetriz dos quadrantes pares é assíntota do gráfico de f em , então,
1lim
x
xf
x.
Então, as retas de equações 1y e 1y são, respetivamente, as equações das assintotas
horizontais do gráfico de g em e .
Por outro lado, sabe-se que f é contínua e 00 f . Então,
x
xf
x 0l im e
x
xf
x 0l im ,
ou seja, a reta de equação 0x é assíntota do gráfico de g.
Resposta aberta
187.
a)
13
1lim
34
4lim
127
4lim
4424
xxx
x
xx
x
xxx
Cálculo auxiliar:
4301272 xxxx
b) 03
lim2
6lim
2
36lim
4
3
4
3
xx
x
x
x
xxx
c)
xx
xx
xx
xx
x
x
x
x
xxxx 15
22
lim1
5
22
lim15
22lim
15
22lim
22
2
22
5
2
05
02
15
22
lim1
5
22
lim22
x
x
xx
xx
xx
d)
55lim
55
55lim
55
5555lim
55lim
0000 xx
x
xx
x
xx
xx
x
x
xxxx
10
5
52
1
55
1lim
0
xx
e)
0
232lim
34
2lim
22lim
22222
2
33 a
ax
aaxx
xx
aaxxax
ax
aaxx
axaxax
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 60
f) 00202
lim23
lim2
lim3
lim23
lim
2
23
x
exe
x
xx
exxxxxxx
x
x
g) 3ln3
1lnlimln3lnlimln3lnlim 3
e
xxxxxxxx
x
xxx
h) 2483
8
1
32
1
lim424
34
24
lim42
432lim
22
x
xx
x
xx
xx
xx
x
i)
000ln
lim3ln
lim3ln
lim xxxx e
x
xx
x
188.
188.1
A função f é contínua em 60,0 e em ,60 , porque é exponencial nestes intervalos.
Então, sendo contínua em 60t , tem-se que tftftt
6060
l imlim e 60lim60
ftft
6005,0
60
05,0
60606026lim28020limlimlim t
t
t
tttAtftf
246302628020 08 AAA
188.2
Pretende-se encontrar as soluções da equação 11tf com 60t (o pudim entra no frigorífico
aos 60 segundos).
4
126224122246 6005,06005,06005,0 ttt
100406005,0
260
4
1log6005,0 2
tttt .
Então, para que o pudim fique igual a 12 graus Celsius, é necessário que este esteja 40
minutos no frigorífico.
189.
189.1
O xfx 3l im
existe se xfxfxx
33
l imlim .
2393lim63limlimlim 2
3333
aaaxxxxfxf
xxxx.
Portanto, o valor de a para o qual existe xfx 3l im
é – 2.
189.2
Um prolongamento de f contínuo em R pode ser definido por:
33
3
xse
xsexfxg
190.
A função f é contínua em 0, , em 3,0 e em ,3 , porque é racional em qualquer destes
intervalos.
Então, para ser contínua, é necessário que seja contínua nos pontos 0 e 3.
Assim, para que f seja contínua no ponto 0.
88lim8
lim164
limlim0
2
0
2
00
t
t
tt
t
ttf
xxxx
0limlim00
fBBAttfxx
.
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 61
Então, f é contínua no ponto 0 se 8B .
E para que seja contínua no ponto 3:
32
33lim83
65
9limlimlimlim
32
3
3333 tt
tttA
tt
ttBAttftf
ttttt
51882
2
3lim83
3
AA
t
ttA
x
Portanto, f é contínua se: 5A e 8B
191.
191.1
A função C é contínua em ,0 , porque é exponencial, portanto, é também contínua em
6;5,3 . 2,18855,35,15,3 5,325,0 eC e 0082,265,16 625,0 eC .
Então, pelo Teorema de Bolzano existe pelo menos um instante entre as 10 horas e 30 minutos
e as 13 horas em que a concentração do medicamento foi igual a 2,1 mg/mL.
191.2
01
61
lim25,0
5,125,0lim5,1lim5,15,1limlim
25,025,0
25,0
x
ee
x
e
ttetC
xxxxtxtt
t
tt
191.3
183,7430,1613,8
A concentração de medicamento no sangue atinge o valor de 1,5 mg/mL, aproximadamente,
1,43 horas após a sua administração e, aproximadamente, 7,183 horas depois, ou seja, 7
horas e 10 minutos, volta a tomar valores inferiores a 1,5 mg/mL. Portanto, o medicamento foi
eficaz.
192.
a) Assíntotas verticais:
A função f é contínua por ser racional e tem domínio 1\ R .
0
1
1limlim
2
2
11 x
xxf
xx
Portanto, a reta de equação 1x é a única assíntota vertical do gráfico de f.
Assíntotas horizontais:
11limlim12
limlim2
2
2
2
xxxx x
x
xx
xxf e também 1lim
xf
x.
Portanto, a reta de equação 1y é assíntota horizontal do gráfico de f em e em
b) Assíntotas verticais:
A função g é contínua por ser racional e tem domínio R . Então, o gráfico de g não tem
assintotas verticais.
Assíntotas não verticais:
33lim
3lim
2
53limlim
3
3
83
3
xxxxx x
x
x
x
x
xgm
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 62
08
lim8
lim2
xx
x
xx
Analogamente,
3
3lim
2
53limlim
3
3
83
3
x
x
x
x
x
xgm
xxxx
Portanto, a reta de equação xy 3 é assíntota oblíqua do gráfico de g, quer em quer em
.
c) Assíntotas verticais:
A função h é contínua porque é o quociente de duas funções contínuas (uma polinomial e a
raiz quadrada de uma polinomial) e tem domínio ,33, .
33
93lim
9
93lim
9
3limlim
2
32
2
3233 xx
xx
x
xx
x
xxh
xxxx
06
0
3
9lim
2
3
x
x
x e
0
6
9
3lim
23 x
x
x
Então, a reta de equação 3x é a única assíntota vertical do gráfico de g.
Assíntotas horizontais:
222
22 9
1
31
lim9
1
31
lim9
1
31
lim
9
3limlim
xx
xx
xx
xx
xx
xx
x
xxh
xxxxx
19
1
31
lim
2
x
x
x
222
22 9
1
31
lim9
1
31
lim9
1
31
lim
9
3limlim
xx
xx
xx
xx
xx
xx
x
xxh
xxxxx
19
1
31
lim
2
x
x
x
Portanto, as retas de equações 1y e 1y são assíntotas horizontais do gráfico de h em
e em , respetivamente.
8
8lim
8
8353lim3
8
53lim3lim
22
33
2
3
x
x
x
xxxx
x
xxxgb
xxxx
08
8lim
8
8353lim3lim
22
33
x
x
x
xxxxxgb
xxx
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 63
d) Assíntotas verticais:
A função j é contínua, porque é a diferença de duas funções contínuas (uma polinomial e uma
logarítmica) e tem domínio ,0 .
000ln
lim01
1ln
lim2limln2limlim10000
y
y
x
xxxxxxj
y
xyxxxx
Então, o gráfico de j não tem assíntotas verticais.
Assíntotas não verticais:
202
lnlim2
ln2lim
ln2limlim
x
x
x
x
x
xxx
x
xjm
xxxx
xxxxxxxxjbxxx
lnlim2ln2lim2lim
Portanto, o gráfico de j não tem assíntotas.
193.
a) Assíntotas verticais:
A função f é contínua, porque é racional e tem domínio 1,1\ R .
0
5
1
4limlim
2
2
11 x
xxf
xx;
0
5
1
4limlim
2
2
11 x
xxf
xx
0
5
1
4limlim
2
2
11 x
xxf
xx;
0
5
1
4limlim
2
2
11 x
xxf
xx
Então, as retas de equação 1x e 1x são as únicas assíntotas verticais do gráfico de f.
Assíntotas horizontais:
1lim1
4limlim
2
2
2
2
x
x
x
xxf
xxx e 1lim
1
4limlim
2
2
2
2
x
x
x
xxf
xxx.
Portanto, a reta de equação 1y é assíntota horizontal do gráfico de f, quer em quer em
.
b) Assíntotas verticais:
A função f é contínua, porque é racional e tem domínio 6\R .
0
3
6
3limlim
66 xxg
xx;
0
3
6
3limlim
66 xxg
xx
Então, a reta de equação 6x é a única assíntota vertical do gráfico de g.
Assíntotas horizontais:
06
3limlim
xxg
xx e 0
6
3limlim
xxg
xx
Portanto, a reta de equação 0y é assíntota horizontal do gráfico de f, quer em quer em
.
c) Assíntotas verticais:
A função f é contínua, porque é o quociente de duas funções contínuas e tem domínio 0\R .
0
1
4limlim
00 x
exh
x
xx;
0
1
4limlim
00 x
exh
x
xx
Então, a reta de equação 0x é a única assíntota vertical do gráfico de g.
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 64
Assíntotas horizontais:
x
exh
x
xx 4limlim e 0
0
4limlim
x
exh
x
xx
Portanto, a reta de equação 0y é assíntota horizontal do gráfico de f em .
d) Assíntotas verticais:
Cálculo auxiliar:
00 xxxeeee xxxx
A função f é contínua, porque é o quociente de duas funções contínuas e tem domínio 0\R .
0
22limlim
00 xxxx eex ;
0
22limlim
00 xxxx eex
Então, a reta de equação 0x é a única assíntota vertical do gráfico de g.
Assíntotas horizontais:
00
22limlim
xxxx ee
xi e 00
22limlim
xxxx ee
xi
Portanto, a reta de equação 0y é assíntota horizontal do gráfico de f, tanto em como em
.
194.
194.1
A função g é contínua no intervalo ,1 , porque é o quociente de duas funções contínuas; é
contínua no intervalo 1,4 , porque é polinomial; é contínua no intervalo 4, , porque é
racional.
Por outro lado, tem-se:
0
6
4
6limlim
44 xxg
xx e 41712535limlim
44
gxxg
xx.
Então, g é descontínua em 4x , mas contínua em 4x à direita.
235limlim11
xxgxx
; 21lim
1
11lim
1
1limlim
1111
x
x
xx
x
xxg
xxxx e
21351 f . Então, g é contínua em 1x
Portanto, g é contínua em 4\ R e contínua à direita em 4x
194.2
Assíntotas verticais:
Como a função é contínua em 4\ R e
xgx 4
l im , a reta de equação 4x é a única
assíntota horizontal do gráfico de g.
Assíntotas horizontais:
04
6limlim
xxg
xx. Então, 0y é assíntota horizontal do gráfico de g em .
1lim
1
1limlim x
x
xxg
xxx.
O gráfico de g não tem assíntotas horizontais em
Assíntotas oblíquas:
0
1
1
11
lim1
11
lim1
1limlim
x
x
xx
xx
xx
x
x
xgm
xxxx .
Portanto, o gráfico de g não tem assíntotas oblíquas.
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 65
194.3
Seja h a função definida no intervalo 2,1 , por 3xxgxh . Tem-se 021 h e
0722 h e a função h é contínua em 2,1 , porque é a diferença de duas funções
contínuas neste intervalo. Então, pelo Teorema de Bolzano, existe pelo menos um zero de h no
intervalo 2,1 , ou seja, a equação 3xxg tem pelo menos uma solução nesse intervalo.
194.4
Obtêm-se na calculadora as curvas que representam parte
dos gráficos da restrição da função g ao intervalo ,1 e da
função definida por 3xxh .
Determina-se o ponto de interseção das duas curvas, sendo a
abcissa deste ponto a solução da condição 13 xxxg .
Assim, o valor da solução da equação, arredondado às
décimas, é 1,3.
195.
Se a 12 xy é equação da assíntota oblíqua de f e o domínio de f é R , então,
2lim
x
xf
xe 12lim
xxf
x
Assim, tem-se:
321lim11limlimlim
x
xf
x
xf
x
xfx
x
xgm
xxxx
12lim3lim3lim
xxfxxfxxxgbxxx
.
Portanto, a reta de equação 13 xy é assíntota oblíqua do gráfico de g.
196.
Seja g uma função de domínio 1,0 definida por 1 xfxfxg .
Como 20 ff , 100 ffg e 01211 ffffg , então, 010 gg .
A função g é contínua porque f é contínua.
Portanto, pelo Corolário do Teorema de Bolzano existe pelo menos um 1,0c tal que
0cg , ou seja, existe pelo menos um 1,0c que verifica a igualdade 1 cfcf . C. q. d.
197.
197.1 A função t é contínua em 30,0 e em ,30 , porque é racional em qualquer destes
intervalos.
57520
1275402limlim
2
2
3030
xx
xxxt
xx e 5
60
30030 t , então, t é contínua em 5x .
Assim, pode concluir-se que t é uma função contínua e, portanto, porque tD40,20 , é
contínua em 40,20 .
197.2
Como t é contínua e o seu domínio é o intervalo ,0 , o seu gráfico não tem assíntotas
verticais.
Como, 22
lim7520
1275402limlim
2
2
2
2
x
x
xx
xxxt
xxx, a reta 2y é assíntota horizontal
do gráfico de t, o que significa que, à medida que o número de dias de treino vai aumentando,
o tempo de prova tende para 2 minutos.
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 66
198.
198.1
Se MN , então 0MN e, portanto,
0102,5102,5limlim 77
eetP tMN
xx
O que significa que, sendo a taxa de natalidade inferior à taxa de mortalidade, a população
tende a extinguir-se.
198.2
Do início de 1970 ao início de 2000, decorreram 30 anos. Então, a afirmação enunciada traduz-
se por:
2
1ln56,730
2
1102,5
2
1102,50
2
130 56,730756,7307 MeePP MM
58.72
1ln
30
156,7
2
1ln
30
156,7
MM .
A taxa de mortalidade é, aproximadamente, 7,58.
Autoavaliação 5
(Pág. 112 e 113)
Grupo I
1. Opção (D).
O acontecimento «As quatro cápsulas não terem todas a mesma cor» é contrário ao
acontecimento «Todas as quatro cápsulas terem a mesma cor».
O número de casos possíveis «As quatro cápsulas terem a mesma cor» é 410
420 CC (
fazer conjuntos de quatro cápsulas retiradas das 20 douradas ou fazer conjuntos de quatro
cápsulas retiradas das 10 verdes).
O número de casos possíveis é igual ao número de conjuntos de quatro cápsulas retiradas
das trinta existentes, ou seja, 430 C .
Então, a probabilidade de as quatro não terem todas a mesma cor é igual a
430
410
420
430
430
410
420
1C
CCC
C
CC
2. Opção (C).
Simetria da curva normal em relação à reta x , sendo que, neste caso, 0 .
3. Opção (D).
A função f é contínua em R . Então, f é contínua em 1;5,0 , em 2;1 ,em 5,2;2 e em 3;5,2 .
Tem-se ainda 431,05,0 f , 718,21 f , 468,92 f , 931,145,2 f e 381,233 f .
Portanto, pelo Teorema de Bolzano a equação 20xf tem pelo menos uma solução no
intervalo 3;5,2 .
4. Opção (C).
Como a reta de equação 1y é assíntota do gráfico de f em , tem-se que
1lim
xfx
, então,
110
1
1lim
xx e
xf.
5. Opção (A).
A sucessão nu é um infinitésimo negativo ( 0
1
n). Então, nuflim .
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 67
Grupo I
1.
Considere-se os acontecimentos I: «Ser fluente em Inglês» e E:«Ter pelo menos 5 anos de
experiência».
É dado que:
85,0IP
22,0| IEP
12,0| IEP .
Pretende-se calcular EIP | .
187,085,022,0| IPIEPIEP
15,085,011 IPIP
018,015,012,0| IPIEPIEP
132,0018,015,0 IEPIPIEP
319,0187,0132,0 IEPIEPEP .
Então, a probabilidade pedida é
586,0319
187
319,0
187,0|
EP
IEPEIP .
Assim, o valor percentual, arredondado às unidades, da probabilidade pedida é 59%.
2.
2.1 017,2915017,4407 AA NN . O aumento foi de, aproximadamente, 29 nenúfares.
2.2
03010506000
501
150
71
120 2,04,0
4,02,0
tt
ttbA eeee
tNtN
impossível
2,02,02
40
1
5
1
40
1
5
103010506000
2,0
tt
eyeeyyyy
t
82,0
5
1ln
5
1ln2,0
tt .0
Foram necessários 8 dias, aproximadamente.
2.3
Como
120071
120
71
120limlim
2,0
ttA
t etN
e
1500501
150
501
150limlim
4,0
ttB
t etN
Como 4,0270
120 5,0
270
150 , a percentagem de nenúfares do lago A seria, aproximadamente
44,4 % e do lago B, 55,6 %.
3.
3.1
Como 101
1
1
1limlim
100
xxx
e
xh e 01
1
1
1limlim
100
xxx
e
xh , não existe
xhx 0l im
. Portanto, h é descontínua em 0x qualquer que seja o valor de k.
3.2
Para que h seja contínua à esquerda em 0x , é necessário que 0lim0
fxhx
, ou seja,
2ln211 kee kk
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 68
3.3
Como h é contínua em 0\R , porque é o quociente entre uma função constante e uma
exponencial, ambas contínuas em 0\R , o gráfico de h não tem assíntotas verticais neste
conjunto.
Por outro lado 1lim0
xhx
e 0lim0
xhx
pelo que o gráfico h não tem assíntotas verticais.
Assíntotas horizontais:
2
1
1
1
1
1limlim
01
e
e
xh
xxx
e 2
1
1
1
1
1limlim
01
e
e
xh
xxx
.
Portanto, a reta de equação 2
1y é assíntota horizontal do gráfico de h tanto em como
em .
2.3 Cálculo diferencial
199.
a)
02,02
53.. 3,5
fffvmt
b)
60,232
02.. 2,0
fffvmt
c)
05,313001908102
1012.. 12,10
fffvmt
200.
11212
5121
02
021... 1,0
aa
afffvmt
201.
a) Por exemplo, 5,2
b) Por exemplo, 6,3
c) Por exemplo, 6,3
d) Por exemplo, 9,8
202.
a)
33
03
ssvm
b)
h
hhh
h
hh
h
shs
hhh
93693
2
lim
9333
2
lim33
lim
2
0
2
00
55lim5
lim5
lim00
2
0
h
h
hh
h
hh
hhh
A velocidade no instante 3t é 5m/s.
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 69
203.
a) 2222lim
1
2221lim
1
242lim
1
1lim1' 2
1
2
1
3
11
xx
x
xxx
x
xx
x
fxff
xxxx
Cálculo auxiliar:
1
2 0 -4 2
2 2 -2
2 2 -2 | 0
b)
0
3lim
3lim3lim
0lim0'
0
2
0
2
00
x
x
xx
x
x
x
x
x
gxgg
xxxx
c)
2
124lim
2
312312lim
2
912lim
2
2lim2'
22
2
22 x
xx
x
xx
x
x
x
hxhh
xxxx
414lim2
xx
204.
204.1
As coordenadas do ponto A são: 1,00,0 f e as do ponto V são:
3,22,22
,2
f
a
bf
a
b.
Então, o declive da reta AV é 202
13
m e a equação da reta é 12 xy .
204.2
O ponto V de coordenadas 3,2 e o ponto de coordenadas 1,4 .
205.
205.1 Os pontos comuns à secante e ao gráfico de g são 0,00,0 g e 1,22,2 g .
Assim, o declive da reta secante é 1m e a sua equação é xy
205.2
11
1lim
1lim1lim0'
000
xxx
x
x
x
x
gxxx
205.3
A equação da reta tangente ao gráfico de g no ponto de coordenadas 0,0 é xy .
206.
206.1
h
aahaha
h
afhafaf
hh
44limlim'
22
00
h
hah
h
aahahaha
hh
422lim
4442lim
2
0
222
0
42422lim
422lim
00
aah
h
ahh
hh
206.2
A tangente ao gráfico de g é horizontal nos pontos do seu domínio onde a derivada se anula.
20420' aaaf .
Então, o ponto do gráfico de f onde a tangente é horizontal é: 4,22,2 f
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 70
207.
207.1
A reta t tem declive
221
06
m e t é tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 1.
Então, 21' f
207.2
O declive da reta normal no ponto de abcissa 1 é 2
1
2
1
m .
Então, a equação reduzida da normal é bxy 2
1, com
2
13
2
16 b , ou seja,
2
13
2
1 xy
207.3
a)
3
21'
3
1
1
1lim
3
1
13
1lim
33
6lim
111
f
x
fxf
x
fxf
x
xf
xxx
b)
2211'111
lim1
1lim
1
11lim
61lim
00020
fh
fhf
hhh
fhf
hh
hf
hhhh
208.
208.1
A função h pode ser definida por:
362
362
xsex
xsexxh
Então, h é contínua quer em 1, quer em ,1 , porque é polinomial em qualquer destes
intervalos. Por outro lado, 306662limlim33
fxxhxx
Portanto, h é contínua em R , que é o seu domínio.
208.2
A função h não é derivável em: 3x
De facto:
2
3
32lim
3
62lim
3
3lim3'
333
x
x
x
x
x
hxhh
xxx e
2
3
32lim
3
62lim
3
3lim3'
333
x
x
x
x
x
hxhh
xxx.
209.
209.1
A função f é contínua no intervalo 0, , porque é uma função racional, e também contínua
em ,0 , porque é o quociente de duas funções contínuas (a raiz da função identidade e a
função identidade).
Por outro lado, xxx
x
x
x
xxx
1limlimlim
000. Portanto, f não é contínua em 0x .
209.2
Assíntotas verticais:
Porque a função f é contínua em qualquer ponto do seu domínio exceto em 0, tem uma única
assíntota vertical cuja equação é 0x .
Assíntotas não verticais:
Como 01
limlim xx
x
xx, o gráfico de f tem uma assíntota horizontal em e pode ser
definida pela equação 0y .
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 71
1lim
1lim1
1
limlim2
2
2
2
2
x
x
xx
x
x
x
x
x
xfm
xxxx;
1lim1
1lim
1
1lim
1
1lim
222
x
x
x
x
x
xxxx
x
xb
xxxx.
Então, a reta de equação 1 xy é assíntota do gráfico de f em .
209.3
0f não existe, porque f é descontínua em: 0x
209.4
2222
2222lim
22
22lim
2
2
2
lim2
2lim2
2222 xxxx
xxxx
xx
xx
x
x
x
x
fxff
xxxx
2222
22lim
2222
24lim
2222
22lim
2
2
2
22
2 xxxx
xx
xxxx
xx
xxxx
xx
xxx
8
2
24
1
22
1lim
2
xxx
2
22 f
A equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 2 é:
4
23
8
2
2
22
8
2 xyxy
210.
210.1 A função h tem derivada em 3x , pelo que h é contínua nesse ponto.
210.2 Sabe-se que o declive da tangente ao gráfico de h no ponto 2,3 é: 2
12 hm
Então, a equação da reta tangente é da forma bxy 2
1.
Como 2
5
2
323
2
12 bb , a equação reduzida da reta tangente é
2
5
2
1 xy .
210.3
a) 3
5
3
12
1limlim
1lim
333
xxh
xxh
xxx. ( 23lim
3
hxh
x, uma vez que h é
contínua em 3x ).
b)
4
3
2
1
2
3
3
3lim
1
3lim
13
33lim
13
333lim
3333
x
hxh
xxx
hxh
xx
hxh
xxxx
211. Resposta (C).
(A) A derivada em 3x seria superior a 1;
(B) A função h não teria derivada em: 3x ;
(D) A função h não seria contínua em: 3x .
212.
a)
h
hhx
h
xxhxhhxx
h
xxhxhxxf
hhh
2
0
222
0
22
0
12lim
2limlim
1212lim0
xhxh
A função derivada de f tem domínio R e é definida por: 12 xxf
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 72
b)
2000 3
2
3
2lim
3
222lim
3
2
3
2
limxxhxxhxh
hxx
h
xhxxg
hhh
A função derivada de g tem domínio 0\R e é definida por: 23
2
xxg
c) Para 1x , tem-se:
22
lim5222
lim5252
lim000
h
h
h
xhx
h
xhxxh
hhh
Para 1x , tem-se:
xxhxh
hhx
h
xhhxx
h
xhxxh
hhhh60636lim
36lim
323lim
33lim
0
2
0
222
0
22
0
Para 1x :
60636lim
36lim
3213lim
313lim1
0
2
0
22
0
2
0
hh
hh
h
hh
h
hh
hhhh
e
0
442lim
222lim
3512lim1
000 h
h
h
h
h
hh
hhh.
A função h não é derivável em: 1x
A função derivada de h tem domínio 1\R e é definida por:
16
12
xsex
xsexh .
213.
a
h
ah
h
axahax
h
baxbhxa
h
xfhxf
hhhh
0000l imlimlimlim . C. q. d.
214.
a) Para 0x , utilizando as regras de derivação, vem: 3 xf e para 0x 1 xf
0
993lim
453lim0
00 x
x
x
xf
xx. Então, f não é derivável em: 0x
Portanto, a função derivada de f tem domínio 0\R e
03
01
xse
xsexf
b)
2
332
2
323
xsex
xsex
xg
Então,
2
32
2
32
xse
xse
xg
Repare-se que:
2
2
3
3
32
lim
2
3
23lim
2
3
2
3
lim2
3
2
3
2
3
2
3
x
x
x
x
x
gxg
g
xxx
e
2
2
3
3
32
lim
2
3
32lim
2
3
2
3
lim2
3
2
3
2
3
2
3
x
x
x
x
x
gxg
g
xxx
Portanto, a função derivada de g tem domínio
2
3\R
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 73
215.
A representação gráfica de f sugere que o seu gráfico é definido por duas semirretas obliquas
de declives
253
951
m , se 3x , e
1
5
502
m , se 1x e um segmento de
reta horizontal no intervalo 2,3 . Portanto, a função derivada é definida por:
21
230
32
xse
xse
xse
xf
216.
Se kxgxfkxgxf .
Se ambas as funções são deriváveis, tem-se:
xgxfxgxfkxgxfkxgxf 0 C. q. d.
217.
a)
122623212232312 222 xxxxxxxxxxxf
114182461246 222 xxxxxxx
b) 24183432343434343434 xxxxxxxxxg
c) 2223 3xxxxxxxxxxxxxxxxxxxh
218.
A função derivada de h é definida por: xxh 4 . Então, as abcissas dos pontos do gráfico
de h onde a reta tangente é paralela à reta de equação 14 xy serão aquelas cuja
derivada é igual a 4 , ou seja, 1444 xxxh .
Então, o ponto de tangência é 1,1 .
Tem-se, então, que a equação da reta tangente é bxy 4 em que b é tal que:
5141 bb .
Portanto, a equação da reta tangente é: 54 xy
219.
219.1 A função g é contínua em 1x , porque existe 1g .
219.2 O declive da reta pedida é 11 gm . Então, a equação da reta tangente ao gráfico
de g no ponto de abcissa 1 é bxy , onde 312 bb , ou seja, 3 xy
219.3
32 xxf , 51 f e 41 f
a) 415111
gfgf
b) 6412511111
fggfgf
c) 1941514531413143
gfgf
220.
a)
124411 43243424244 xxxxxxxxxxxxxf
xxxxxxxxxx 2468224444 35753757
b) 832832383 227239229
xxxxxxxg
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 74
c) 127261212121234124 3332333
xxxxxxxxh
d)
1211312121112 2333 xxxxxxxxxi
18136221123121 222 xxxxxxxx
221.
Para que m seja derivável em 1x , é necessário que seja contínua nesse ponto.
Então, como 11lim1
mxmx
, é necessário que: abbamxmx
111lim1
.
Por outro lado, é necessário também que: 1'1' mm
21lim
1
11lim
1
1lim
1
1lim1
11
2
11
xx
xx
x
x
x
mxmm
xxxx
a
x
xa
x
aax
x
aax
x
mxmm
xxxx
1
1lim
1lim
1
11lim
1
1lim1
1111
Portanto, tem-se 2a e 1b .
222.
22 13113 xxxxf
10130 2 xxxf
01 f
Então, o ponto onde a tangente ao gráfico de f é horizontal tem coordenadas 0,1 .
223.
a)
23
223
23
2332
12
23161232
12
23121223
xx
xxxxxx
xx
xxxxxxxxxf
23
234
12
5213122
xx
xxxx
b) 332422
44122
121
x
x
xxx
x
xxxxg
c)
2222 1
2
1
2
1
1111
1
1111
1
1
1
1
xxx
xx
x
xx
x
x
x
xxh
2222
1
8
1
2
1
2
x
x
xx
d)
3
22
4
3
4
22
3
26186
3
132363
3
1313236
x
xxx
x
xxxx
x
xxxxxi
33
218
x
x
e)
4
2
2
2
2
22
1
16
1
2
1
13
1
1111
1
13
1
1
1
13
x
x
xx
x
x
xx
x
x
x
x
x
xxj
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 75
f)
23
33
3
3
3
2
23
4
13
918134
13
29131
4
x
xxx
x
x
xx
xxx
x
xl
223
36
233
63363
13
4296
13
9183412
xx
xx
xx
xxxxx
224.
224.1 Se o gráfico de f admite tangente no ponto de abcissa 2, então, f é derivável em 2x e,
consequentemente, contínua nesse ponto.
A função g é contínua porque é racional e 2 pertence ao domínio de g, então, g é contínua em
2x .
Portanto, a função f + g é contínua em 2x , porque a soma de duas funções continuas num
ponto é contínua nesse ponto.
224.2 O declive da reta t é
52
144
m , pelo que, 92 f . 42 f
22 3
3
3
131
xx
xxxg .
25
3
32
32
2
g
Então,
100
93
16
5
894
25
3
2
22222
2
f
gffg
f
g
224.3
2
3
3
3
622222
2
2 xxx
xxxxgxgxxh
30152
3
2 2
2
xx
x
x e 3\' RDh
225.
4
22
4
222
4
2 222121
xa
xa
xa
xaxxaxa
xa
xxaxaxf
01101
011
1102
2
24
2
aaaa
a
aa
af
Portanto, os valores de a para os quais a reta de equação xy é tangente ao gráfico de f são
– 1 e 1.
226.
Se g é uma função quadrática, é definida por um polinómio de segundo grau da forma
cbxaxxg 2 , com 0a .
baxxg 2 .
Como g é uma função afim, tem contradomínio R e é injetiva, então, a equação 1 xg tem
uma única solução em R . ( a
bxbaxxg
2
1121
)
Portanto, existe um e um só ponto do gráfico de g onde a reta tangente é paralela à bissetriz
dos quadrantes ímpares.
227.
Equação da reta tangente:
2222
33
22
22
9
34
9
24364
9
12294
x
x
x
xxxx
x
xxxxxf e
25
682 f
A equação da reta t é, então, 25
101
25
68 xy
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 76
Equações das assíntotas verticais:
0
17
9
12lim
2
2
3 x
x
x ;
0
17
9
12lim
2
2
3 x
x
x. 3x é equação de uma das assíntotas
verticais do gráfico de f
0
17
9
12lim
2
2
3 x
x
x ;
0
17
9
12lim
2
2
3 x
x
x. 3x é equação da outra assíntota
vertical do gráfico de f.
Equações das assíntotas horizontais:
22
lim9
12lim
2
2
2
2
x
x
x
x
xx e 2
2lim
9
12lim
2
2
2
2
x
x
x
x
xx.
2y é a equação da assíntota horizontal do gráfico de f.
Coordenadas do ponto A: Interseção da reta t com a assíntota horizontal.
68
5150101682
25
101
25
68 xxx ; A
2,
68
51
Coordenadas do ponto B: Interseção da assíntota horizontal com a assíntota vertical de
equação 3x . B 2,3
Coordenadas do ponto C: 5
61
25
1013
25
68 ; C
5
61,3
Cálculo da área: 8
153
2
25
61
68
513
ABCA
228.
a) RRxRxRxDxfDxRxD gffg 2:: .
222 xfg exfxfgx
b)
,202
12::
xxRxDxfDxRxD gffg
2
3log
2
1
xxgxfgxfg
229. Por exemplo:
a) 33 xxf e x
xg1
b) 2xxf e 32 xxg
c) xxf e 12 xxg
d) xexf e xxxg 24
230.
a) Sejam g e h as funções r. v. r. definidas por 932 xxxg e 3 xxh . Então,
32 xxg e 1 xh
xf 923621332 xxxxhxhgxhg
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 77
b) Sejam g e h as funções r. v. r. definidas por x
xxg
2 e xxh . Então,
22
22
xx
xxxg
e
xxh
2
1 .
xf xxxx
xhxhgxhg1
2
122
231.
A derivada de g pode ser definida por:
2
2
2
2 112
x
x
x
xxxxg
. Então, 0
1
111
2
2
g .
Por outro lado, como a tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa 1 é definida pela
equação 208 xy , tem-se que 81 f e, porque a ordenada do ponto de tangência é
122018 y , 121 f .
a) 161202811111
fggfgf
b) 18
1438
144
143812111
gffgfg
232.
a) xx
xxxf21
133
212
2321
b) x
xx
x
xx
x
x
x
xxx
xxxxxxxxf
5
2
5
2
5
2
4
2
12
2222222
233.
233.1
a)
783
33
3
25...
25
5,2
ff
fvmt
b)
189543
33
3
710...
710
10,7
ff
fvmt
c)
63183
33
3
69...
69
5,2
ff
fvmt
233.2
3
26
33
1273
33
333
3
...3
3,
x
x
x
xx
xxxf
xfxf
fvmt
234.
a) xx exexf 33 33
b) xxeexexxeexxg xxxxx 422422 2222
c)
24
3414
24
143414
24
143414
1
14
1
414
1
41
x
xxe
x
exxe
x
exxexh
xxxxx
d)
2
213
2
2132131313613
222
x
xe
x
xxxe
x
xexi x
x
x
x
x
x
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 78
e) 3ln345325 22 xxxxxx eeeexj
f) 10ln1010ln10
xexe eexlxx
235.
A derivada de f pode ser definida por: 2ln322ln832 8383 xx xxf
O declive da reta pedida é 64ln2ln62ln323 f e o ponto de tangência tem
coordenadas 2,3
Então, a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de f em 3x é 64ln322ln6 xy
Cálculo da ordenada na origem: 64ln3264ln32 bb
236.
1312 2222
xxeexxxeexxxxexf xxxxx C. q. d.
0000 20 ef 110300 20 ef
Então, a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de f no ponto de coordenadas 0,0 é:
xy .
237.
a) A função derivada de f tem domínio 1\' RDf e
21
2
x
xexf
x
.
Cálculo auxiliar:
22 1
2
1
1
x
xe
x
exexf
xxx
b) xexg 3 se 0x e 2
1
xxg se 0x .
200
1lim
11
lim0x
x
x
xgxx
, pelo que g não tem derivada em 0x .
Então, a derivada de g pode ser caracterizada por:
0
1
03
2xse
x
xsee
xg
x
238.
a) 2
11
2
11lim
2
1
2
1lim
00
x
e
x
e x
x
x
x
b)
x
e
x
e
xxx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
1lim2
1lim2
12lim2
122lim
22lim
2ln
0
2ln
000
1
0
Fazendo 2lnxy , vem 2ln
yx , e dizer que 0x é o mesmo que dizer que: 0y
Então, 2ln212ln21
lim2ln2
2ln
1lim2
1lim2
00
2ln
0
y
e
y
e
x
e y
y
y
y
x
x
c)
110
11
1
1lim
1lnlim
1
1lnlim
1lnlim
00020
xx
x
xx
x
xx
x
xxxx
d)
2
11
2
11lnlim
2
1
6
1ln3lim
6
1lnlim
00
3
0
x
x
x
x
x
x
xxx
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 79
239.
Fazendo kxy dizer que 0x é o mesmo que dizer que 0y .
Então, 11
lim1
lim00
y
e
kx
e y
y
kx
x (limite notável). C. q. d.
240.
a) 2
3
12
13
2
1lim2
3
1lim3
22
1
33
1
lim1
1lim
2
020
3
030
2
3
02
3
0
x
e
x
e
x
e
x
e
e
ex
xx
x
xx
x
x
xx
x
x
b)
4
1
4
1lim
4lim
1
22lim
1
22lim
1
4lim
0
0
02222
2
2
y
e
y
e
yy
e
xx
e
xy
y
y
yyxyxxxx
c)
x
ea
x
ea
x
aa
x
aa
x
aa ax
x
hax
x
hx
x
hxh
x
hhx
x
1lim
1lim
1lim
1limlim
ln
0
ln
0000
aay
eaa
a
y
ea h
y
y
hy
y
h
axyln
1limln
ln
1lim
00ln
d)
2
11
2
11lnlim
2
1
2
1lnlim
326
23lnlim
26
2lnlim
00033
y
y
y
y
y
y
x
x
yyyxyx
e)
11ln
lim1
11ln
lim1
lnlim01
y
y
x
x
x
xx
y
xy
xx
f)
2
1
1
1
2
1
2
1lim
1lnlim
2
1
2
1
1ln
lim2
1
22
1
1ln
lim1
1lnlim
2
020
0202020
x
e
x
x
x
e
x
x
x
e
x
x
e
xx
xx
xxxxxxx
241.
241.1
2
2
2
2
2
2
2
2 112
22lim
2
11
121
lim2
1
2
1lim2eex
exex
x
ee
eex
x
ee
x
fx
x
x
x
x
x
x
x
2
2
2 112
22lim
eex
exexx
x
x
2
2
222 112
2lim
112
2lim
eex
exe
eex
xx
x
xxx
2
222
222 112
222lim
11
1lim
eex
eeexe
ee x
x
xxx
2
222
222 112
122lim
11
1
eex
eexe
ee x
x
x
2
22
22
2
222 112
12lim
112
2lim
1
1
eex
ee
eex
xe
ex
x
xxx
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 80
2
22
22
2
222 112
12lim
11lim
1
1
eex
ee
ee
e
ex
x
xxx
2
1lim
11
2lim
11
1 2
22
2
222
2
22 x
e
ee
e
e
e
e
x
xxx
2
1lim
1
2
11
1 2
0222
2
22
2
22 x
e
e
e
e
e
e
x
x
22
2
22
2
22
2
22 1
11
1
2
11
1
e
e
e
e
e
e
e
241.2
21
22
ef
22
2
22
2
22
2
222
2
1
22
1
22
1
1
1
22
1
1
e
e
e
ex
e
ey
ex
e
ey
22
2
22
2
1
4
1
1
e
ex
e
ey
241.3
Assíntotas verticais:
A função f é contínua em 0, , porque é o quociente de duas funções contínuas (a função
identidade e uma exponencial). É também contínua em ,0 , porque há a diferença de duas
funções contínuas (duas exponenciais).
011limlim 2
00
xx
xxeexf
11
1
1lim
1
1limlim
0
00
x
ee
xxf
x
x
xxx
O gráfico da função f não tem assíntotas verticais.
Assíntotas horizontais:
0limlim 2 xx
xxeexf
00
1
1
1lim
1limlim
x
e
x
e
xxf
xxxxx
A reta de equação 0y é assíntota horizontal ao gráfico de f em e esta é a única
assíntota do gráfico de f paralela aos eixos coordenados.
242.
a) 3 23
12
3
1
3 21lim
21lim ee
nn
nn
b) 32
2
2
2
2
11lim
21lim
11
21
lim1
2lim
e
e
e
n
n
n
n
n
n
n
nn
n
c) 3
131
22
1
2 3
13
31lim
31lim
31lim
22
ee
nnn
nn
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 81
243.
a) 2
1ln2
1
1lnlim2
11lnlim
2
11lnlim 2
1
e
xxxx
x
x
x
xx
b)
441lnlim
4lnlimln4lnlimln4lnlim
e
xx
xxxxxxxxx
x
xxxx
244.
2
11
2
11lnlim
2
1
2
1lnlim
12
ln
lim2ln11ln
lim100
2
00
y
y
y
y
h
h
h
hf
yyhy
hh
245.
a)
xxx
xxf
1
2
2
2
'2
b)
12
34
12
1234
12
12
236
12
12
2123
12
12
3
23
23
23
3
2
323
3
2
32
3
3
xx
xx
xx
xxx
x
x
x
xxx
x
x
x
xxx
x
x
x
x
xg
xx
x
xx
x
xx
xx
23
2
2
34
12
34
12
34
c) xx ex
xexh1
ln
d) 3ln1
22
x
xxi
e)
10ln1
222
10ln1
12
10ln1
122
10ln1
1
2
2
222
222
2
2
22
222
2
2
2
2
x
xx
xe
exxe
e
x
e
xexe
e
x
e
x
xjx
xx
x
x
xx
x
x
246.
3
3ln23
13ln23ln
222
x
xxxx
xxxxxxh
440432
232ln222
2
h
01ln42 h
Então, a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa – 2 é xy 4 .
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 82
247.
1
1ln11
11ln1
x
xxx
xxxf
321ln12 f
21ln222 f
O ponto Q tem coordenadas 2,2 , o ponto R tem coordenadas 2,0 e a reta tangente ao
gráfico de f em Q é 43 xy
462232 bbb
3
4043 xx
Então, o ponto P tem coordenadas:
0,
3
4.
Portanto, a área do trapézio é 3
102
2
3
42
.
248.
Se fDxxu ,0 , então, xuexu ln .
Assim,
xu
xun
nexunee
nexu xuxunxunxun lnlnlnln ln
xuxunxuxu
xun
xu
xunxu n
nn
1 . C. q . d.
249.
a) 3 2143
4
x
xf
b)
4 24 222
22
4 92
22
43
32
22
32
3
334
36
34
36
34
233
x
x
xx
xx
x
xx
x
xxxf
250.
a) Como
ax
afxf
axl im e
0lim
max
afxf
ax, então, f não tem um extremo relativo
em ax .
b) Como
0lim
max
agxg
ax e
ax
agxg
axl im , então, g tem um mínimo relativo em
ax .
c) Como
ax
ahxh
axl im e
ax
afxf
axl im , então, h não tem um extremo relativo
em ax .
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 83
251.
252.
a) 23
3
1
2
x
xxxf
12001020
1
20 3233
23
3
xxxxxx
x
xxxf
x -1 0 3 2
xf - n.d. - 0 + 0 -
f
A função f é decrescente em 1, , em 0,1 e em ,23 e crescente em 3 2,0 .
00 f é mínimo relativo e 3
42
33 f é máximo relativo.
b)
Rx
xx
xf
,0
11
1
22. Então, a função f é estritamente crescente em R .
c)
21
21
xse
xsexf
1
2
2lim
2
2lim
22
x
x
x
fxf
xx e
1
2
2lim
2
2lim
22
x
x
x
fxf
xx
Portanto, f é decrescente em 2, , crescente em ,2 e tem um mínimo relativo 02 f ,
que é também o mínimo absoluto.
d) xexxf 1
x -1
xf - 0 +
f Min.
A função f é decrescente em 1, , crescente em ,1 e tem mínimo absoluto:
e
f1
1
e) ,1fD e 1
1
xxxf . Então, porque fDxxf ,0 , f é monótona crescente.
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 84
253.
253.1 A função N é contínua porque é uma restrição de uma função exponencial a 0R , então,
é contínua no intervalo 3,2 .
770765.572210002 22
5
eN e 770776.104310002 32
5
eN
Então, pelo teorema de Bolzano existe pelo menos um 3,2t para o qual 770tN , ou
seja, entre a segunda e a terceira semanas, o número de doentes atingiu os 770.
253.2
2
5
2
3
2
51000 xxetN t
Como 0t , tem-se:
2
500
2
50
2
50
2
510000 2
3
2
5
2
3
2
5
2
3
ttttttttetN t
x 0
2
5
xN' 0 + 0 -
N Min Máx.
Então, o número máximo de pessoas afetadas foi 8112
5
N , valor aproximado, por
arredondamento, às unidades.
254.
0ln
202
2
2
2
xsex
x
xxsex
xf
x -2 0 1
xf - n.d. - n.d. + 0 -
f Máx.
A função f é decrescente em 2, , em 0,2 e em ,1 e crescente em 1,0 .
Tem um máximo relativo, 11 f .
255.
255.1
O ponto de tangência é 1,1 e o declive da reta tangente. 21
0ln21
2
fm
Então, a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 1 é 32 xy
255.2
2ln2
22
x
xxxfxh
12ln2
02ln2
022
xx
x
x
xxh
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 85
x 0 1
xh' + 0 -
h Máx.
A função h é decrescente em 1,0 , crescente em ,1 e tem máximo absoluto em: 1x
256.
xexxf 22
22020 2 xxexxf x
Como ,22,0 xxf e 2,20 xxf , f tem um máximo
relativo em: 2x e um mínimo relativo em: 2x
2
2222
efAD
e 22DC .
Então, a área de [ABCD] é 22
82422
222
eeDCAD
257.
257.1
As coordenadas do ponto P são xex , e as do ponto Q 0,2x , uma vez que o triângulo
[OPQ] é isósceles.
Então, o triângulo [OPQ] tem base igual a 2x e altura igual a xe .
Portanto, a área do triângulo é dada, em função de x, por xx
xeex
xA
2
2C. q. d.
257.2
xexxA 1
1010 xexxA x
x 0 1
xA' + 0 -
A Máx.
O máximo valor que a área pode assumir é: e
A1
1
258.
A expressão 12123 2 tttx permite obter a velocidade em cada instante t e a sua
derivada, 126 ttx , a aceleração nesse mesmo instante.
Então, a aceleração no instante 5t é: 1812565 x
259.
86583 21
ttttx e 1018209 2
2
ttttx
120861810188621 ttttttxtx
Os dois móveis têm a mesma velocidade no instante 1t .
260.
a) 6126632 223
xxxxxxf
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 86
b) 32
22
1
2
1
2
1
22
xx
xx
x
xxxg
c) xxx eee
xxh11
11
d) 10ln
1
10ln
1loglog
xxxxxi
261.
a) 00 h
b) 00 h
c) 000 hh
d) 000 hh
262.
São verdadeiras as afirmações: a) porque 0 xf , d), porque se 0 xf , então, f’ é
crescente e e), porque, sendo 'f crescente tem-se que: 5,2,02 xfxf , pelo que f é
crescente.
263. Associando o sinal da segunda derivada com as concavidades do gráfico da função
conclui-se que: a função f com III, a função g com I a função h com IV e a função j com II.
264.
a) A segunda derivada de f pode ser definida por: xxxxxf 61234 223
2
1006120 2 xxxxxf
x 0
2
1
xf + 0 - 0 +
f P.I P.I
O gráfico de f tem concavidade voltada para cima em 0, e em
,
2
1, tem concavidade
voltada para baixo em
2
1,0 . E tem dois pontos de inflexão 1,0 e
16
15,
2
1.
b) A segunda derivada de g pode ser definida por 2218822
xeexxg xx
2
2
2
202102180 222
xxxxexg x
x
2
2
2
2
xg - 0 + 0 -
g P.I P.I
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 87
O gráfico de g tem concavidade voltada para baixo em
2
2, e em
,
2
2, tem
concavidade voltada para cima em
2
2,
2
2 e tem dois pontos de inflexão
e
e4,
2
2 e
e
e4,
2
2.
c) A segunda derivada de h pode ser definida por:
3,32
,33,2
3,32
3,2
xse
xsexh
xsex
xsexxh
Então, o gráfico de h tem concavidade voltada para cima em 3, e em ,3 ,
concavidade voltada para baixo em 3,3 e não tem pontos de inflexão.
d) A segunda derivada de i pode ser definida por: 32
2
22 1
26
1
2
x
x
x
xxi
3
3
3
30
1
260
32
2
xx
x
xxi
x
3
3
3
3
xf + 0 - 0 +
f P.I P.I
O gráfico de f tem concavidade voltada para cima em
3
3, e em
,
3
3, tem
concavidade voltada para baixo em
3
3,
3
3. E tem dois pontos de inflexão
4
3,
3
3 e
4
3,
3
3.
e) A segunda derivada de j pode ser definida por 22
2
21
22
1
2
x
x
x
xxj .
110
1
220
22
2
xx
x
xxj
x 1 1
xj - 0 + 0 -
j P.I P.I
O gráfico de j tem concavidade voltada para baixo em 1, e em ,1 , tem concavidade
voltada para cima em 1,1 e tem dois pontos de inflexão 2ln,1 e 2ln,1 .
265.
265.1
Tem-se que 10 f e 4400 0 ef . Então, a equação reduzida da reta tangente ao
gráfico de f no ponto de coordenadas 1,0 é 14 xy
265.2
624242
xexeexxf xxx
30620 xxexf x
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 88
x -3
xf - 0 +
f P.I
Então, o gráfico de f tem concavidade voltada para baixo em 3, , voltada para cima em
,3 e um ponto de inflexão cuja abcissa é -3.
266.
A segunda derivada de f pode ser definida por baxbxaxxf 2623 2
.
Sabe-se que 01 f e 21 f , porque f é duas vezes derivável em R e 2,1 é ponto de
inflexão do gráfico de f.
Então, 026 ba e 2 ba .
1
3
23
3
2
3
a
b
aa
ab
ba
ab.
Portanto, os valores de a e b são, respetivamente 1 e 3.
267.
Pretende-se determinar os valores de x para os quais
5 xf , ou seja, 53
3ln2
x
xxx .
Determinando a interseção do gráfico de f’ com a reta de equação 5y , obtém-se o valor aproximado
da abcissa de B, que, aproximado às centésimas, é
3,73.
268.
269.
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 89
270.
270.1
A função f é crescente em 2,0 , decrescente em ,2 e tem um mínimo relativo em 0x e
um máximo relativo em 2x .
270.2
.
271.
271.1
271.1.1
x
x
x
lnlim
0, então a reta de equação 0x é assíntota vertical do gráfico de f.
Como f é contínua, esta é a única assíntota vertical do gráfico de f.
271.1.2
A derivada de f pode ser definida por: 2
ln1
x
xxf
, 0x
exxx
xxf
1ln0
ln10
2
x 0 e
xf ' + 0 -
f Máx.
Então, f tem um máximo relativo que é: ee
eef
1ln
271.2
Na calculadora obtém-se parte do gráfico de f
e parte da reta de equação 12 xy ,
determinam-se as coordenadas dos pontos de
interseção das duas curvas. As abcissas
destes pontos são as soluções da equação
12 xxf .
Portanto, os valores aproximados às décimas
das soluções desta equação são 0,2 e 12,2.
272.
a) 2,2\ RDf
004
02
xx
xxf . Então, 0 é o único zero de f.
Interseção com os eixos: 0,0
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 90
xfx
x
x
xxf
44 22, 2,2\ Rx . Então, f é uma função ímpar.
Assíntotas verticais e continuidade:
A função f é contínua.
0
2
4limlim
222 x
xxf
xx e
0
2
4limlim
222 x
xxf
xx
0
2
4limlim
222 x
xxf
xx e
0
2
4limlim
222 x
xxf
xx
Então, as únicas assíntotas verticais de f são definidas pelas equações: 2x e 2x .
Assíntotas horizontais:
01
limlim4
limlim22
xx
x
x
xxf
xxxx e porque f é ímpar 0lim
xf
x.
Então, a reta de equação 0y é assíntota horizontal do gráfico de f em e em .
Monotonia e extremos:
22
2
22
2
4
4
4
24
x
x
x
xxxxf
Como 2,2\,0 Rxxf , a função f é decrescente em 2, , em 2,2 e em ,2 .
A função f não tem extremos relativos.
Concavidades do gráfico de f e pontos de inflexão:
32
2
22
2
4
122
4
4
x
xx
x
xxf
x 2 0 2
xf - n.d. + 0 - n.d +
f n.d. P.I. n.d.
O gráfico de f tem concavidade voltada para baixo nos intervalos 2, e 2,0 ,
concavidade voltada para cima nos intervalos 0,2 e ,2 e tem um ponto de inflexão de
coordenadas 0,0 .
RDf .
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 91
b) RDg
Zeros:
xx
xxxxxxxxxg3535
002530025302530 232335
Pontos de interseção com os eixos: 0,0 ;
0,
3
35;
0,
3
35
Paridade:
xgxxxxxxxg 353535 253253253 . Então, g é ímpar.
Continuidade e assíntotas verticais:
A função g é contínua em R . Então, o seu gráfico não tem assíntotas verticais.
Assíntotas não verticais:
Como é uma função polinomial de grau 5, o seu gráfico não tem assíntotas não verticais.
Monotonia e extremos:
24 7515 xxxg
5500515075150 2224 xxxxxxxxg
x 5 0 5
xg + 0 - 0 - 0 +
g Máx. Min.
A função g é crescente em 5, e em ,5 , decrescente em 5,5 , tem um
máximo relativo 5505 g e um mínimo relativo 5505 g
xxxxxg 150807515 324
2
10
2
100
2
50052300150600 223 xxxxxxxxxxg
x
2
10
0
2
10
xf - 0 + 0 - 0 +
f P.I. P.I. P.I.
O gráfico de g tem concavidade voltada para baixo em
2
10, e em
2
10,0 ,
concavidade voltada para cima em
0,
2
10
,
2
10 e três pontos de inflexão,
8
10175,
2
10, 0,0 e
8
10175,
2
10.
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 92
RDg
c) RDh
xxx
xxh ln1
ln
xxxh ln0 Impossível. A função h não tem zeros.
Assíntotas verticais e continuidade:
A função h é contínua.
xxxhxx
lnlimlim00
. A reta de equação 0x é a única assintota vertical do gráfico
de h.
Assíntotas não verticais:
101ln
lim1ln
1limln
lim
x
x
x
x
x
xxm
xxx
xxxxbxx
lnlimlnlim
O gráfico de h não tem assintotas não verticais.
Monotonia e extremos:
x
x
xxh
111
10101
0
xxx
xxh
x 0 1
xf ' - 0 +
f min.
A função h é decrescente no intervalo 1,0 , crescente em ,1 e tem mínimo absoluto
11 f , que é também mínimo absoluto.
Concavidades do gráfico e pontos de inflexão:
Rx
xxxh ,0
111
2.
Então, o gráfico de h tem concavidade voltada para cima.
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 93
,1hD
d) 0\RDi
Zeros:
0000
1
xxexxi x
A função i não tem zeros e o gráfico de i não interseta nenhum dos eixos coordenados.
xx xexexi
11
. A função i não é par nem ímpar.
Continuidade e assíntotas verticais:
A função i é contínua porque é o produto de uma afim e da composta de duas funções
contínuas (uma racional e uma racional).
y
e
x
exexi
y
y
xy
x
x
x
xxl im
1limlimlim
1
1
0
1
00
0limlim
1
00
x
xxxexi .
A reta de equação 0y é, então, a única assíntota vertical do gráfico de i.
Assíntotas não verticais:
1limlimlim 0
11
ee
x
xe
x
xim x
x
x
xx
y
e
x
eexxxexxib
y
y
xy
x
x
x
x
x
xx
1lim
1
1lim1limlimlim
01
111
11
lim0
y
ey
y
e
1limlimlim 0
11
ee
x
xe
x
xim x
x
x
xx
y
e
x
eexxxexxib
y
y
xy
x
x
x
x
x
xx
1lim
1
1lim1limlimlim
01
111
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 94
11
lim0
y
ey
y
1 xy é a equação da assíntota oblíqua ao gráfico de i quer em quer em .
xex
xxi
11
1101
0
1
xxex
xxi x
x 1 0
xi + 0 - n.d. +
i Máx. n.d.
A função i é crescente em 1, e em ,0 , decrescente em 0,1 e tem um máximo
relativo e em 1x .
3
1
x
exi
x
x 0
xi - n.d. +
i n.d.
O gráfico de i tem concavidade voltada para baixo em 0, , concavidade voltada para cima
em ,0 e não tem pontos de inflexão.
,0, eDi
273.
Da observação do gráfico da função h percebe-se que esta é decrescente em a,0 e em
,c e é crescente no intervalo ca, . Então, a função derivada de h não pode ser positiva
em a,0 e em ,c nem negativa no intervalo ca, . A única função que está nas condições
referidas é a representada no gráfico (II).
Como o gráfico de h tem concavidade voltada para cima em b,0 e voltada para baixo em
,b , a segunda derivada de h não pode ser negativa no primeiro intervalo nem positiva no
segundo. O gráfico que se encontra nestas condições é o gráfico (I).
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 95
274.
274.1
Para qualquer número real x, tem-se xgeexg xx 22
.
Então, g é uma função par.
274.2
A função g é contínua em R , pelo que o seu gráfico não admite assíntotas verticais.
Como g é par, xgxgxx
limlim e 0limlim2
x
xxexg .
Portanto, a reta de equação 0y é assíntota horizontal do gráfico de g quer em quer em
.
274.3
A função derivada de g pode ser definida por: 2
2 xexxg .
00202
xexxg x
x 0
xg - 0 +
g Max.
Então, 10 g é o máximo absoluto de g. C. q. d.
275.
A função derivada de f , para cada valor de a, pode ser definida, em 0\R , por:
2
2x
axxf
2
4
20
2020
33
2
3
2
aax
x
ax
x
axxf
.
Como 0\,02 Rxx , tem-se que: 2
40
3 axxf e
2
40
3 axxf , portanto,
a função derivada de f anula-se em 2
43 ax e muda de negativa a positiva neste ponto, pelo
que tem um mínimo relativo nesse ponto.
Zeros de f:
a axx
ax
x
axxf
000
32
Assíntotas verticais:
F é contínua, 0,0
lim 2
0
ase
a
x
ax
x ou 0,
0lim 2
0
ase
a
x
ax
x e
0,0
lim 2
0
ase
a
x
ax
x ou 0,
0lim 2
0
ase
a
x
ax
x.
A reta de equação 0y é a única assíntota vertical do gráfico de f.
Assíntotas não verticais:
2
2
l imlimx
ax
x
x
ax
mxx
e
2
2
l imlimx
ax
x
x
ax
mxx
O gráfico de f não tem assíntotas horizontais.
Sentido da concavidade e pontos de inflexão:
3
22
x
axf
333
300220
220 axaxxax
x
axf
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 96
0a 0a
276.
276.1 A função f é contínua, tem domínio 3,3\ R e é par dado que, para qualquer
3,3\ Rx
xf
x
x
x
xxf
2
2
2
2
9
2
9
2
Por outro lado,
0
19
9
2limlimlim
2
2
333 x
xxfxf
xxx e
0
19
9
2limlimlim
2
2
333 x
xxfxf
xxx
Então, as retas de equações 3x e 3x são as únicas assíntotas verticais do gráfico de f.
Assíntotas horizontais:
Se a função f é par, então, 22
lim9
2limlimlim
2
2
2
2
x
x
x
xxfxf
xxxx.
Assim, a reta de equação 2y é assíntota do gráfico de f quer em quer em .
276.2
2222
33
22
22
22
2222
9
36
9
4436
9
2294
9
2992
x
x
x
xxx
x
xxxx
x
xxxxxf
C. q. d.
276.3
Como 3,3\,0922 Rxx , 3\0,0 xxf e 3\,00 xxf .
Então, f é decrescente em 3, e em 0,3 , crescente em 3,0 e em ,3 e tem um
mínimo relativo que é 00 f .
276.4
,22,'fD .
277.
a) xxex
xex
xexg lnlnlnlnlnlnlnln)(
321
11
11 2222
b) RDg
Rx
xxg ,)( 0
1 , então, g é crescente.
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 97
c)
01
1
2131
22
2
2
2
2
2
bbee
bxey
ee
egm
exxxxg
)(
lnln)(
A equação reduzida da reta tangente é: xey 2
278. 278.1
eRxxRxD \ln: 010
278.2
0
1
1
0
1
1
x
x
x
x
ex
ex
ln
lnlim
ln
lnlim
Então, a reta de equação ex é assíntota vertical do gráfico de f.
278.3
222 1
1
1
1
1
11
1
xxx
x
xx
x
xx
xxxf
lnln
lnln
ln
lnln
)(
eRxxf \, 0 , então, f é crescente em e,0 e em ,e e não tem extremos.
279.
279.1
11011 2 \: RxxxRxD
Para 1x , f é contínua porque é o produto de funções contínuas.
Para 1x , f é contínua porque é racional.
Para 1x :
3
1
6
11
16
1
66
1
112
1
1
1
xxx
x
x
x
fexe
xxx
x
x
limlimlim
)(lim
Então, f é descontínua em 1x , mas contínua à direita nesse ponto.
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 98
279.2
Na alínea anterior concluímos que a reta de equação 1x não é assíntota vertical do
gráfico de f.
0
12
1
66
0
12
1
66
21
21
x
x
x
x
x
x
lim
lim
A reta de equação 1x é a única assíntota vertical.
066
1
66
0
22
1
xx
x
x
x
x
exe
xxx
x
x
x
x
limlimlim
limlim
A reta de equação 0y é assíntota horizontal do gráfico de f.
280.
Através do estudo do sinal de f obtemos os intervalos de monotonia de f que
coincidem com o esboço do gráfico apresentado.
x 2 5
)(xf - 0 + 0 -
f
m M
Através do estudo da monotonia de f obtemos o sinal de f e, consequentemente, o
sentido das concavidades de f que também coincide com o gráfico apresentado.
x
2
7
f
)(xf + 0 -
f
281. 281.1 281.1.1
202 ln\: ReRxD xf
0
12
2
12
0
12
2
12
2
2
xx
xx
e
e
ln
ln
lim
lim
Como f é contínua, a reta de equação 2lnx é a única assíntota vertical do seu
gráfico.
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 99
2
3
2
12
22
12
xx
xx
e
e
lim
lim
As retas de equação 2y e 2
3y são as assíntotas horizontais do gráfico de f.
281.1.2
Rxxg
xxg
xxg
,)(
)(
)(
0
5
2
15
2
Então, o gráfico de g tem a concavidade voltada para baixo.
281.1.3
505005505505
,,,ln
lim,ln
lim
x
x
x
xx
xx
281.2
Pretende-se encontrar os pontos cujas abcissas verifiquem a seguinte equação:
xxg )(
As coordenadas dos pontos do gráfico de g cujas ordenadas são iguais às abcissas
são: 631631 ,;, e 945945 ,;, .
282.
21 xAP
O custo, em milhares de euros, em função de x é dado por:
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 100
xxxxxC 2040150220150 22 )(
Para determinar o custo mínimo:
21
21214251250120500
1
1205020
12
250
2222
2
2
2
xxxxxxxxC
x
xx
x
xxC
)(
)(
Verificação:
000121
21220
21
21250
2
x 0
21
212
2
)(xC - 0 +
C
m
Para obter o custo mínimo, o ponto P deve estar a 21
212km do ponto C, ou seja, a
aproximadamente 436 metros de C.
283. 283.1
80514
5141513 ,
,
),ln(),( P
O nível de poluição era de 0,8mg/L.
283.2
Se, quando o purificador foi desligado, o nível de poluição começou a aumentar
imediatamente, basta determinar o nível de poluição mínimo nesse dia.
11110
1
11
1
111
1
22
ettttP
t
t
t
ttttP
ln)(
ln)ln(
)(
t 0 e-1 24
11 tln - - 0 + +
21t + + + + +
)(tP - - 0 + +
P
m
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 101
43607180
71811
,
,e
O purificador foi desligado há 1 hora e 43 minutos.
284.
1010
3
111
3
1
3
1
xxxxf
x
x
xxxxf
)(
ln)(
x 0 1
1x - - 0 +
3x 0 + + +
)(xf n.d. - 0 +
f n.d.
m
3
11 )(f é o único mínimo de f.
285. 285.1
A altura do 1.º poste é: 150 eef
A altura do 2.º poste é: 22530 eef )(
A diferença de altura entre os dois postes é 22255030 122 ,)()( eeeeff
Então, a diferença é de 22,2 metros.
285.2
Para descobrir o ponto mais próximo do solo, tem de determinar-se o mínimo da
função.
10110101050500
5050
110101110101
110101
xxxeeeexf
eexf
xxxx
xx
,,,,)(
,,)(
,,,,
,,
x 0 10 30
)(xf - - 0 + +
f
m
A distância ao 1.º poste do fio mais próximo do solo é 10 metros.
286.
Para saber a altura a que a bola passa pela rede, basta determinar ),( 49h :
90312130
4918
3
4949 ,,,
,ln
,),(
h
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 102
Então, a bola passa por cima da rede sem lhe tocar.
Para averiguar se a bola cai no campo do adversário, basta considerar a função j,
prolongamento de h ao intervalo 300, .
9112823 ,,
9,4+11,9=21,3 (limite do campo adversário)
612130
32118
3
321321 ,,
,ln
,),(
j
Como j é contínua em 32149 ,;, e 032149 ),(),( jj , pelo Corolário do Teorema de
Bolzano j tem um zero em 32149 ,;, , ou seja, a bola bate no chão dentro do campo
adversário.
Exercícios globais
(Pág. 174 a 179)
Escolha múltipla
287.
50204042424 040040 ttCCCtD tt ,)( ,,
50 meses são 4 anos e 2 meses.
Resposta: C
288.
,,: 210232 xxRxD
3003223123 2222 ,log xxxxxxx
3210 ,, S
Resposta: C
289.
1525210 5555 xloglogloglog
Resposta: D
290.
0
1
1 )(
)(lim
xg
xf
x
Resposta: D
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 103
291.
100
66
5055
22
0
1
0
)(
lim
lim
f
kek
kkek
x
x
x
x
Então, 210565 2 kkkk
Resposta: B
292.
f é contínua em 41, e 71 )(f e 74 )(f .
Resposta: B
293.
)()(
)()(
)()(
232
4122
1122
gg
fg
fg
Resposta: D
294.
Se 12 xy é assíntota para , então, 2 x
xf
x
)(lim e 12
xxf
x)(lim .
01222242
xxf
x
xfxxf
x
xf
xx)(
)(lim)(
)(lim
Resposta: D
295.
RDf
0
2
2
2
22 xxf
xx
lim)(lim , então, admite uma assíntota vertical )( 2x .
2
1
242
20
2
22
2
2
2
x
x
x
xxe
x xxxlimlimlim , então, admite duas assíntotas
horizontais )(2
10 yey .
Resposta: D
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 104
296.
Se 23
1 xy é assíntota para , então,
3
1
x
xf
x
)(lim
33
11
)(lim)(lim
xf
xxh
xx, então, a assíntota horizontal tem equação: 3y
Resposta: D
297.
Retas paralelas têm o mesmo declive, e como o declive da reta tangente é igual à
derivada da função no ponto de tangência, tem-se:
22313 ln)( xeexf xx .
Resposta: A
298.
23xxf )(
12232 2 )(fmt
Resposta: C
299.
xxf 2 )( , 11 )(f e 11 )(f
21 )(fms , então, 32 xys :
21 )(fmr , então, 32 xyr :
Então, o ponto de interseção tem coordenadas (0, 3).
Resposta: B
300.
3120 ºtgmt , então, 31 )(g .
Resposta: A
301.
Se 0 )()( xhxh , então, ou h é decrescente e o seu gráfico tem a concavidade
voltada para cima, ou h é crescente e o seu gráfico tem a concavidade voltada para
baixo.
Resposta: B
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 105
302.
Sabe-se que 53242 )(f e que:
452
422
4200
h
hf
h
fhff
hh
)(lim
)()(lim)(
Resposta: D
303.
Sabe-se que 00 )(f e 10 )(f , então, se xxxf 2)( , verificam-se as duas
condições.
Resposta: A
304.
Pela análise do gráfico de f, sabe-se que não existe derivada num ponto de abcissa
positiva k. Para pontos de abcissa inferior a k, a derivada é constante e positiva, e
para pontos de abcissa superior a k, a derivada é constante e negativa.
Resposta: B
305.
Pelo estudo da variação da função, conclui-se que: 00 )(f e 06 )(f , então,
060 )()( ff .
Resposta: D
306.
Estudando o sinal de f e a monotonia de f tem-se:
x 0 4
)(xf + 0 - 0 +
f
Resposta: C
307.
Estudando o sinal de f e a monotonia de f tem-se:
x 0 4
)(xf - 0 + 0 -
f
m M
Então, f(0) é um mínimo relativo de f.
Resposta: C
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 106
Resposta aberta
308. 308.1
35141
22214110000141500010000 141 ,
,ln
lnlog,,)( , ttQ tt
Serão necessários 5,3 anos, aproximadamente.
308.2
911061
2220612061 06100 ,
,ln
lnlog,, , tQQ tt
Serão necessários cerca de 11,9 anos.
308.3
Seja 8110000 xxf )( , pretende-se determinar x de modo que: 15643)(xf .
A taxa de juro teria de ser 5,752 %.
309.
aaC 2, , aB 20, , aaD 222 , e aA 220,
2
22
2
2 aa
ABCaABBC
A
33222
3206062232
22
2
2
2
22
log
a
xxxxaa
aa
x
aaaa
a
310.
a) Sabe-se que:
7
3
03
51
01
51
b
a
a
ba
f
f
)(
)(
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 107
b) RxaxRxxf ,, 030 2 , ou seja, Rba 0 .
c)
2
00
20
00
bf
f
)(
Então, 2 bRa .
311.
311.1
cc
c
t
PP
t
PPtPPtcPP
1111 00
00
loglogloglogloglogloglog
P
Pc
t
P
P
cPPtctcPP t0
1
0
001
11 loglog
log
loglogloglogloglog
311.2
74
13
5040
,,
P
Obter-se-á, aproximadamente, 4,7.
311.3
0507
9
10
18
207 ,
ln
ln
log
c
312. 312.1
Sabe-se que:
2
1
50
2
1
50
2550
50
5025
7525
501
750
25
ln)(
)(k
b
e
b
e
b
be
b
T
T
T
kkk
a
312.2
250
250250
2
12505375025537 2
1
2
1
,ln
,ln,lnln,,,)(
lnln
tteetTtt
Ao fim de 2 minutos.
312.3
25050255025 50
t
te ,lnlim
À medida que o tempo decorre, a temperatura do corpo tende a igualar a temperatura
ambiente.
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 108
313.
A função g é contínua em 21, .
0113221222
011121
)()()()()()(
)()()()(
fffffg
fffg
Então, 021 )()( gg .
Pelo Corolário do Teorema de Bolzano, a função g tem pelo menos um zero. 314. a)
mxnmxx
nxxmxxxxnxmxxx
nm
nmmnnmnm
11
1111
1
11111 .
mn
mxxx
mxnmxxxf nm
10
00100 11)(
Como 10
mn
m e m é par, tem-se necessariamente que:
x 0
mn
m
1
1mx - 0 + + + + +
11 nx + + + + + 0
mxnm + + + 0 - - -
)(xf - 0 + 0 - 0
f
m M
Embora, não se conheça a variação de f em ,1 , prova-se que, se m for par, f tem
um mínimo em 0x .
b) Analogamente, se n é par, tem-se, necessariamente:
x 0
mn
m
1
1mx 0 + + + + +
11 nx + + + + + 0 -
mxnm + + + 0 - - -
)(xf - 0 + 0 - 0 +
f
M m
Embora não se conheça a variação de f em 0, , prova-se que, se n for par, f tem
um mínimo em 1x .
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 109
315.
222
2
)()()()()()()()(
)()()(
xfxfxfxfxfxfxfxg
xfxfxg
Como f e f são positivas, tem-se que Rxxg ,)( 0 , ou seja, o gráfico de g tem a
concavidade voltada para cima.
316. 316.1
Assíntotas verticais:
0
822
3
0 x
x
xlim
A reta de equação 0x é assíntota.
Como a função é contínua em 0\R , não existem mais assíntotas verticais.
Assíntotas não verticais:
66
81268126
18126
2
2
2
2
2
23
3
3
3
23
x
x
x
xxx
x
xxxxxfb
x
x
x
xxx
x
xfm
x
xxx
xxx
lim
limlim)(lim
limlimlim
Analogamente, 1 x
xf
x
)(lim e 6
xxf
x)(lim .
A reta de equação 6 xy é assíntota.
316.2
3
2
4
22
4
22
4
322
4
3223
4242
2232222322
x
xx
x
xxx
x
xxxx
x
xxxx
x
xxxxxf
)(
316.3
420420 xxxxxxf )(
x -4 0 2
22x + + + + + 0 +
4x - 0 + + + + + 3x - - - 0 + + +
)(xf + 0 - n.d. + 0 +
f
M n.d.
5134 ,)( f é máximo relativo e é o único extremo de f.
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 110
316.4
651
5
1151
bb
bxy
fefm )()(
A equação reduzida da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 1 é:
65 xy
317. 317.1
45114150 ,ln)( h
A parede A tem, aproximadamente, 5,4 metros de altura.
317.2
511150111004080
1110
408
1110
1024
2
22
xxxxxxxxh
xx
x
xx
xxh
)(
)(
x 0 5 10
408 x - - 0 + +
11102 xx + + + + +
)(xh - - 0 + +
h
m
A altura da rampa é mínima a 5 metros de cada uma das paredes.
317.3
364151151054155 22 xxxxh lnln)(
364151151054155 22 xxxxh lnln)(
Então, )()( xhxh 55 o que significa que pontos equidistantes do meio da rampa (à
esquerda e à direita deste) estão à mesma altura. 318. 318.1
5
15
21
5
2
3202
5250
215
20200240
exxxx
xxexexxh
xx
lnln
ln)(
Os zeros são:
5320 eln,
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 111
318.2
A função h é contínua em 43, .
4218164
6746123
5
3
5
1
,)(
,)(
eh
eh
)()( 344 hh
Então, pelo Teorema de Bolzano, a equação 4)(xh é possível em 43, .
318.3
ehm
xeexeexh
xxxx
645
5
4242
5
224
15
21
5
21
5
21
5
2
)(
)(
eh 10205 )(
ebbee
bxey
205641020
64
Então, a equação reduzida da reta é: exey 2064
319. 319.1
Para 0x , f é contínua porque é racional.
Para 0x , f é contínua porque é a composta de funções contínuas.
Para x=0:
00
02
02
4
0
3
0
)(
lnlim
lim
f
e
x
xx
x
x
x
f é contínua em x = 0 e, então, é contínua no seu domínio.
319.2
Assíntotas verticais:
822
22
2
22
2
4
222
3
2
xx
x
xxx
x
xxx
x
xx
xxxxlimlimlimlim
Como f é contínua em 2\R , o seu gráfico não admite assíntotas verticais.
Assíntotas não verticais:
2
3
2
3
2
4
x
x
xx
xxm
xxlimlim
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 112
22
022
lnlnlim
lnlnlim
x
x
x
x
eb
x
em
O gráfico de f admite uma única assíntota de equação: 2lny
319.3
Para 0,x , x
x
e
exf
2
)(
002000 xeexxf xx)( . Impossível.
Rxxf ,)( 0 , então, f é decrescente em 0, .
319.4
0
021021002
0020202202
2
22
x
xeexyyxyy
xeexeexxexxxf
xx
ey
xxxxx
x
ln)(
0S
320. 320.1
A função f é contínua em R , então, o seu gráfico não admite assíntotas verticais.
Assíntotas não verticais:
3434343
01
43
4343
1
2
22
2
x
e
e
xexb
x
exe
x
xx
exm
x
xxx
x
x
xxxx
x
x
limlimlim
limlimlim
04
343 2x
x
x
xxe
xx
exm limlim
Então, o gráfico de f admite uma única assíntota de equação: 3y
320.2
2002040
2448
2
22
xxxxexf
xxexexexf
x
xxx
)(
)(
x 0 2 xe4 + + + + +
22 xx - 0 + 0 -
)(xf - 0 + 0 -
f
m M
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 113
30 )(f
3 é o único mínimo relativo de f.
320.3
2
1
2
1014
004004004
0040034300
2
222
22
xxxx
xxxeexxexe
xexxxexxxxg
xxxx
xx
lnlnlnln
lnln)(
Os zeros de g são:
2
1
2
1, .
321.
22121
22
11
0
2
0
2
0
y
e
x
e
x
e y
y
x
x
x
x
limlimlim
Mudança de variável:
-yx
xy
00
2
então
3
11
3
21
3
2
3
13
3
2
3
132
000
y
y
x
x
x
xx
yxx
lnlim
lnlim
lnlim
Mudança de variável:
00
3
yx
xy
então
20 )(f
f é descontínua em: 0x
322. 322.1
0250
50
0
601
1500000Rt
e
etv
t
t
,)(,
,
, então, v é crescente.
v é contínua em 0
R , então, o seu gráfico não admite assíntotas verticais.
50000601
5000050
tt e ,
lim
A reta de equação 50000y é assíntota do gráfico de v.
Conclui-se que, à medida que o tempo decorre, o número de vendas cresce
aproximando-se dos 50000 computadores vendidos.
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 114
322.2
28602
060103050003505050
,ln
,)( ,,,
t
eeetv ttt
28,a
Ao fim de 8,2 meses, a velocidade de crescimento das vendas atinge o seu máximo.
323. 323.1
f é crescente em 32, e em 63, ;
f é decrescente em 24, .
323.2
x -4 2 3 6
)(xf 0 - 0 + 0 + +
f
m
)(2f é o único mínimo relativo de f.
323.3
x -4 -1 2
5 3 6
f
)(xf - + - n.d. +
f
O gráfico de f tem a concavidade voltada para cima em
2
51, e em 63, e voltada
para baixo em 14 , e em
3
2
5, .
323.4
2
51 xx ;
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 115
324.
Analisando o gráfico de f :
Conclui-se que:
f é crescente em 3570 ;, e decrescente em 5700 ,; .
570,f é um mínimo relativo.
325. 325.1
11
2
1
0
2
2
y
e
x
e y
y
x
x
limlim
Mudança de variável:
-yx
xy
02
2
então
3
3
1
1
2 lnlnlim
x
x
x
Como, f é contínua em 20 \, , o seu gráfico não admite assíntotas verticais.
325.2
f é contínua em
2
10, , pois é o quociente de funções contínuas.
2
130
322
2
3
1
2
1
1932
10
2
3
2
ff
ef
ef
)(
,
,)(
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 116
Então, pelo Teorema de Bolzano, 3)(xf é possível em
2
10, .
325.3
Em ,2 , 1
112
x
xxf
ln
)ln()(
xxxex
xxxxxf
201
20101120 2 )(ln)ln()(
,,)( 20 xxf
Então, f é crescente em ,2 .
326. 326.1
g é contínua em R , pois admite derivada finita em todos os pontos, então, é contínua
em 32, .
032 )()( gg
Pelo Corolário do Teorema de Bolzano, g tem pelo menos um zero em 32, .
326.2
x 0 1 2 3 f(x) n.d. - 0 + + + + +
652 xx + + + + 0 - 0 +
)(xg n.d. - 0 + 0 - 0 +
g
O gráfico de g tem a concavidade voltada para cima em 21, e ,3 , e voltada para
baixo em 10, e 32, .
Existem três pontos de inflexão de abcissas 1, 2 e 3.
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 117
Autoavaliação 6
(Pág. 180 e 182)
Grupo I
1. Seja M: «Estar no projeto “Mantém a tua escola limpa”»
T:«Estar no projeto “Tolerância é cultura”»
8
3
16
6
)(|
TP
TMPTTMP
Resposta: B
2.
5
2705050
7030
)(,,)()(,)()()()(
,)(,)(
APAPAPBAPBPAPBAP
BAPBAP
Resposta: B
3.
81010
1 8
8
loglogpH
Resposta: D
4. 220
04
m
A equação da assíntota é 42 xy
02222
x
xg
x
xxg
xx
)(lim
)(lim
Resposta: B
5.
x 0 3
gf + 0 - 0 +
g
M m
Resposta: A
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 118
6.
axf
axxf
2
32
)(
)(
Então, 0a .
Resposta: D
7.
22
2
1
2
2
2
1
22
2
42
22
)(
)()(lim
)()(lim
)(
fx
fxf
x
fxf
f
xx
Resposta: D
Grupo II
1.
BAPBP
BAP
BP
BAP
BP
BBBAP
BP
BBAP
BP
BBAPBBAP
|)(
)()()()(|
2. 2.1
3537 C
Pode fazer 35 saladas.
2.2
7
2
47
25
C
Cp
3. 3.1
40110322
522312318020080231
20080
825
2000
1103
103103
103
xx
xf
f
x
xx
x
,
,)(
)(
,
,,
,
Tinham passado 40 dias.
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 119
3.2
Sejam:
I: «Estar infetado»
P: «O teste dar positivo»
5030 )(f frangos infetados.
Total de frangos: 450 + 50 = 500
Sabe-se que:
9010500
50,;,)( IPIP
096010960960 ,,,,| IPPIPP
810909090 ,,,,| PIPPIP
Numa tabela:
P P Totais
I 0,096 0,004 0,1
I 0,09 0,81 0,9
Totais 0,186 0,814 1
Então, 99508140
810,
,
,| PIp
4. a)
Assíntotas verticais:
xxx
lnlim 230
A reta de equação 0x é a única assíntota vertical do gráfico de f porque f é contínua
em R .
Assíntotas não verticais:
xxxxb
x
x
x
xxm
xx
xx
lnlimlnlim
lnlim
lnlim
2323
32323
Não existem assíntotas não verticais.
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 120
b)
3
20
2323
xxf
x
x
xxf
)(
)(
x 0 3
2
23 x - - 0 +
x 0 + + +
)(xf n.d. - 0 +
f
n.d. m
3
2f é o único mínimo de f.
c)
2
100210 ,: xxRxD
xxxxx
xxxxxxxxxx
01212
0202121212323
22
2lnlnlnlnlnlnln
A condição é impossível.
5.
Se a reta de equação 12 xy é assíntota do gráfico de f, então,
012
xxfx
)(lim
Basta mostrar que: 052
xxgx
)(lim
012524
52252252
yyfyyf
yyfxxfxxg
yy
yxx
)(lim)(lim
)(limlim)(lim
Mudança de variável:
yx
xy
então
2
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 121
Autoavaliação 7
(Pág. 183 e 185)
Grupo I
1.
25134
12
4
11
8
10
4
11
8
1
8
11
2
14
,
aa
Resposta: C
2.
1352
1239
1339 13
C
CCp
é a probabilidade de obter no máximo uma carta de paus.
O acontecimento contrário é obter mais do que uma carta de paus.
Resposta: C
3.
14405 !A24
Resposta: B
4.
4
2
0
0022
2
1
12 2
2 a
b
a
bbb
baba
ba
b
b
a
a
____
___
log
log
Como 00 ba , então, 4a .
Resposta: B
5.
A função f é crescente, então, 0 )(xf , e o seu gráfico tem a concavidade voltada
para cima, então, 0 )(xf .
Resposta: B
6.
11
0
00
x
xxgug
u
xxn
n
lnlim)(limlim
Resposta: B
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 122
7.
002 )()()()()( afbhafafhafh
Resposta: D
8.
O valor médio é a abcissa do máximo de f, ou seja, o zero de f .
100 xxf )(
Resposta: A
Grupo II
1.
1.1 20036
25 CC
Podem formar-se 200 grupos.
1.2
5
4
200
41 2
5
C
p
2. 2.1
10
131212 222
)(
)(
fm
xxexxxeexxxexf xxxx
00 )(f
A equação reduzida da reta é: xy
2.2
410
453213 22
xxxf
xxeexxxexf xxx
)(
)(
x -4 -1 xe + + + + +
452 xx +
0 - 0 +
)(xf + 0 - 0 +
f
O gráfico de f tem a concavidade voltada para cima em 4 , e em ,1 e
voltada para baixo em 14 , .
Existem dois pontos de inflexão de abcissas: -4 e -1.
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 123
2.3
A função f é contínua em R , então, o seu gráfico não admite assíntotas verticais.
0
01
111
1
222
1
2
2
yyy
y
yxy
x
x
y
y
y
yyy
y
yxy
x
x
x
x
x
x
x
x
e
y
e
yyyexxeb
ey
e
ee
yyexe
x
xxem
xex
xxem
limlimlim
lim
limlimlimlim
limlim
A reta de equação 0y é a única assíntota do gráfico de f.
3. 3.1
53200
19,
log
d
3.2
6311082115
5 82
,,loglog
jjj
Existem, aproximadamente, 631 indivíduos.
4. a)
Assíntotas verticais:
011
0
)(
limxfx
0
11
0
11
)(lim
)(lim
xf
xf
ax
ax
Como f
1é contínua em aR \ , a reta de equação ax é a única assíntota vertical.
Assíntotas horizontais:
bxfx
11
)(lim
A reta de equação b
y1
é assíntota horizontal.
Assim, a função f
1tem exatamente duas assíntotas.
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 124
b)
Se f é estritamente crescente, então, Rxxf ,)( 0 .
aRxxf
xfx
f\,
)(
)()(
0
12
Então, f
1 é estritamente decrescente em qualquer intervalo do seu domínio.
5.
Seja: 02 acbxaxxg ,)(
Se a reta tangente é perpendicular à reta de equação 32 xy , então, o seu declive
é: 2
1 .
a
bxbaxxg
baxxg
4
21
2
12
2
1
2
)(
)(
O ponto
a
bg
a
b
4
21
4
21, é o único onde a reta tangente é perpendicular à reta
de equação: 32 xy
DESAFIOS ∙ Matemática A ∙ 12.º ano ∙ © Santillana‐Constância 125