Aula 7 - Funções Logarítmicas, Exponenciais e Trigonometricas
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Funções Elementares
Carlas Ferreira
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Definição - Função Exponencial
• Seja a um número positivo deferente de 1. A função
é a função exponencial de base a, sendo auma constante.
O Dm(f) =R e a Im(f) = (0,+).
xaxf )(
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Definição-Crescimento e Decrescimento
Exponenciais
kxayxfy 0)( A função é um modelo para crescimento
exponencial quando k> 0 e para descaimento exponencial
quando k<0. Gráficos de (a) crescimento exponencial, k = 1.5 > 0
e (b) decaimento exponencial, k = –1.2 < 0.
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Figura: y = 2x, y = 3
x, y = 10
x.
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Regras de Exponenciação
• Se a>0 e b>0, as
afirmações a seguir
são verdadeiras para
quaisquer x e y
reais.
0,
)(.
)()(
.
yaa
b
a
b
a
abba
aaa
aa
a
aaa
y xy
x
x
x
x
xxx
xyxyyx
yx
y
x
yxyx
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Definição – Função Logaritmo de
Base a
• A função logarítmica na base a,
é a função inversa da função exponencial
de base a.
O domínio de é (0,+), a imagem de
A imagem de é, o domínio de
xy alog
)1,0( aaax y
xy alog
xy alog
).1,0( aaax y
).1,0( aaax y
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O gráfico de 2x e sua função inversa, log2 x.
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Propriedade dos Logaritmos
Inversas para e
Base a:
Base e:
xa xalog
0,1,0
,log,log
xaa
xaxa x
a
xa
0,log,log
xxexe x
e
xe
...590457182818284,21
1lim
ne
n
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Propriedade dos Logaritmos
Para qualquer número real x > 0 e y>0,
Regra do Produto:
Regra do quociente:
Regra da Potencia: xyx
yxy
x
yxxy
a
y
a
aaa
aaa
loglog
logloglog
logloglog
1log01log ae aa
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• Cada função exponencial é a potencia da
função exponencial natural.
• Formula para mudança de base,
sendo a,b,c>0 e a,c1.
axx ea ln
a
xx
c
ca
log
loglog
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Função Trigonométrica e Suas
Inversas – unidade radiano
y
x
x
y
x
r
r
x
y
r
r
y
cot,tan
sec,cos
seccos,sen
Semi-reta
inicialx x
P(x,y)
y
yr
Semi-reta final
Um ângulo na
posição-padrão
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Semi-reta inicial
x
P(x,y)
y
yr
Semi-reta final
Um ângulo - na posição-
padrão
x
- -yr
cot)cot(,tan)tan(
sec)sec(,cos)cos(
seccos)sec(cos,sen)sen(
y
x
x
y
x
r
r
x
y
r
r
y
P(x,-y)
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Quando r=1
y
x
x
y
xx
yy
cot,tan
1sec,cos
1seccos,sen
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Formulas para conversão
• 1 grau = /180 ~0.02 radianos
• 1 radiano = 180/ ~ 57 graus
Tabela 17 - Valores de sen, con, tg para alguns valores do ângulo
(Grau)
Radians
-180
-
-135
-3/4
-90
-/4
-45
-/6
0
0
30
/6
45
/4
60
/3
90
/3
135
3/4
180
Sen 0 -1 0 1 0
cos -1 0 1 0 -1
tg 0 1 - -1 0 1 - -1 0
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
2
3
2
1
2
2
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
2
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• Período das funções Trigonométricas
• Período : tg(x + ) = tgx
cotg(x + ) = cotgx
• Período 2: sen(x + 2) = sen x
cos(x + 2) = cos x
sec(x + 2) = sec x
cossec (x + 2) = cossec x
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Figura 39: Gráfico das funções (a) cosseno, (b) seno, (c)
tangente, (d) secante, (e) cossecante e (f) cotangente
utilizando a medida em radianos.
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Identidade
• cos2 + sen2 =1
• Dividindo essa identidade por cos2 e
depois por sen2 temos:
• 1 + tg2= sec2
• 1 + cotg2 = cosec2
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Formula para soma dos ângulos e
ângulos duplos
• cos(+)= cos() cos()- sen() sen()
• sen(+)= sen() cos() +cos() sen()
• cos 2 = cos2 - sen2
• sen2 = 2 sen cos
• Lei dos cossenos
• c2= a2 + b2 – 2ab cos
A(b,0)b
B(a cos ,a sen
a
c
a cos x
y
C
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• c2= (acos ( -) +b)2 + (a sen ( -))2
• c2= a2cos2 ( -) +b2 + 2abcos ( -)+ a2 sen2 ( -)
• cos ( -) = -cos
• sen ( -) = sen
• cos2 + sen2 = 1
Logo
• c2= a2cos2 +b2 + a2 sen2 - 2abcos
• c2= a2(cos2 + sen2 ) +b2 - 2abcos
• c2= a2 +b2 - 2abcos
Lei dos cossenos
c2= a2 + b2 – 2ab cos
A(b,0)b
B(a cos (-),a sen(-)
ac
a cos( -)
x
y
C
Triangulo Retângulo
( -) *
= 1
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Inversos da função Trigonométrica
• Seja ,Dm(f) = [-1,1],
Im(f)=[0, ].
• Determinar x sendo que f(x) = /3.
xxf arccos)(
2
1
3cos
arccos3
x
x
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Figura : Gráficos de (a) y = arc cos x, (b) y = arc sen x,
(c) y = arc tg x, (d) y = arc sec x, (e) y = arc cosec x e
(f) y = arc cotg x.
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