Rencontres : non-linéaire et bruit1 Quelques méthodes adaptatives de suivi/estimation de...
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Rencontres : non-linéaire et bruit 1
Quelques méthodes adaptatives de suivi/estimation de fréquences
Cédric Duchêne, Yann Prudat, Laurent Uldry et Jean-Marc Vesin
Laboratoire de Traitement des Signaux 1
Estimation de fréquences instantanées de signaux non-stationnaire
Rencontres : non-linéaire et bruit 2
Méthodes adaptatives – Pourquoi ?
Motivations identiques à la théorie de l’analyse temps/fréquence
Localisation du contenu fréquentiel
Exemple : deux signaux différents qui possèdent le “même spectre”
Signal
Densi
té s
pect
rale
de
pu
issa
nce
Rencontres : non-linéaire et bruit 3
Méthodes adaptatives – Pourquoi ?
Problème : interprétation du plan temps/fréquence
Trouver des trajectoires dans le plan temps/fréquence
Rencontres : non-linéaire et bruit 4
Plan de la présentation
1. Introduction
2. Signal mono-composante
3. Signal multi-composantes
4. Extension multi-signaux
5. Perspectives & Conclusion
Rencontres : non-linéaire et bruit 5
Signal mono-composante - Présentation
Méthode inspirée par les travaux de Liao (2005) mais étendue au cas complexe
[ Liao H (2005), IEEE Trans Signal Processing, 53(2), 528-538 ]
Rencontres : non-linéaire et bruit 6
Signal mono-composante - Filtrage
1
1( , )
1 ( )B z n
n z
Fonction de transfert du filtre à l’instant n :
avec un pole en β (n),
0 << β < 1, contrôle la largeur de bande
( )( ) j nn e fréquence centrale
normalisée
Rencontres : non-linéaire et bruit 7
Signal mono-composante - Adaptation
( ) ( 1)xjx n e x n
( ) e xj nx n Si l’entrée est une composante oscillatoire pure :
le signal d’entrée est décrit par
l’équation d’un oscillateur complexe
Si la fréquence centrale du filtre est : ( ) xn
( ) ( ) ( 1) (1 ) ( )y n n y n x n ( ) ( 1).xjy n e y n
la sortie du filtre est définie par équation aux différences
( ) xjn e alors
défini le pole du filtre
Si l’entrée est bruité et que ( ) xn ( ) ( 1)xjy n e y n alors
Idée : écrire ( ) ( ) ( 1) ( )y n n y n e n et chercher
2*( ) min ( )n Arg e n
Rencontres : non-linéaire et bruit 8
Signal mono-composante - Adaptation
On cherche donc une solution à : 2*( ) min ( )n Arg e n
On montre que la solution est unique :
( ) ( ) ( ) ( 1)e n y n n y n avec
2
( ) ( 1)( )
( 1)
y n y nn
y n
Estimation par méthode récursive pondérée avec
néanmoins impossible à déterminer en pratique
2
( ) ( 1) (1 ) ( ) ( 1)ˆ( )( ) ( 1) (1 ) ( 1)
Q n Q n y n y nn
P n P n y n
ˆ ( )
ˆ( )( 1)
ˆ( )xj nn
n en
0 1
l’estimée de la fréquence instantanée est : ˆ ( ) ( 1)x n Arg n
Rencontres : non-linéaire et bruit 9
Signal mono-composante - Résultats
Bruit gaussien, SNR 1 dB
Bruit gaussien, SNR 1 dB
Rencontres : non-linéaire et bruit 10
Plan de la présentation
1. Introduction
2. Signal mono-composante
3. Signal multi-composantes
4. Extension multi-signaux
5. Perspectives & Conclusion
Rencontres : non-linéaire et bruit 11
Signal multi-composantes - Méthode
On suppose maintenant que l’entrée est un signal à p composantes périodiques :
Idée : utiliser un filtre adaptatif pour chaque composante
banc de filtre adaptatif p branches
Problème : les filtres ne sont pas parfaits interférences entre branche (cross-talk)
Solution : placer des filtres coupe-bande devant chaque passe-bande
( )
1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )k
p pj n
k kk k
x n s n b n A n e b n
Rencontres : non-linéaire et bruit 12
Signal multi-composantes - Méthode
1
1
( , ) ( ) 1 ( )p
k k iii k
N z n C n n z
( )( ) ij ni n e
Fonction de transfert :
avec
p-1 zéros au fréquences :
1,( )
p
i i i kn
En pratique, les vraies fréquences sont inconnues
Utilisation des estimées
1,( )
p
ii i k
n
Rencontres : non-linéaire et bruit 13
Signal multi-composantes - Résultats
Bruit gaussien, SNR total 20 dB
Rencontres : non-linéaire et bruit 14
Plan de la présentation
1. Introduction
2. Signal mono-composante
3. Signal multi-composantes
4. Extension multi-signaux
5. Perspectives & Conclusion
Rencontres : non-linéaire et bruit 15
Extension multi-signaux - Méthode
Cas où l’information utile provient de M capteurs
Idée : estimer conjointement les fréquences
instantanées plutôt que de faire les estimations
séparément
Comment : utiliser le même banc de filtre adaptatif pour
tous les signaux, et mettre à jour les paramètres de
manière pondérée en privilégiant les signaux respectant
au mieux le critère d’oscillation
Rencontres : non-linéaire et bruit 16
Extension multi-signaux - Exemple
Rencontres : non-linéaire et bruit 17
Perspectives & Conclusion
Cas mono-composante : analyse de la convergence biais et variance de l’estimation
Cas multi-composantes : comprendre avantages/inconvénients de la méthode
dans le cas réel et dans le cas complexe intérêt d’avoir des largeur de bande variable
(adaptative) estimer le nombre de composantes afin de modifier
la taille du filtre pendant le traitement (naissance et mort de processus)