Coloration gap sommet identifiante de graphes 12 èmes journée Journées Graphes et Algorithmes...
-
Upload
claudie-xx -
Category
Documents
-
view
111 -
download
4
Transcript of Coloration gap sommet identifiante de graphes 12 èmes journée Journées Graphes et Algorithmes...
Coloration gap sommet identifiante de graphes
12èmes journée Journées Graphes et Algorithmes (JGA’10), Marseille France.
Mohammed Amin TahraouiEric DuchêneHamamache Kheddouci
Université de Lyon 1
Plan
Coloration de graphe
Coloration arêtes
Étiquetage des sommets
Coloration sommet identifiante
Définition
Variantes du problème
Coloration Gap sommet-identifiante
Formalisation
Résultats
Perspectives
2
Colorations de graphe Coloration arêtes
Affecter à toutes les arêtes de graphe G=(V,E) une couleur de telle
sorte que deux arêtes adjacentes n’aient jamais la même couleur.
c :E {0,1,…,k-1}
’ (G) : Le nombre minimum de couleurs à utiliser pour
obtenir une coloration arête.
Théorème de Vizing’s : Δ ≤ ’ (G) ≤ Δ +1
12
(G) =3
3
1
2
3
3
Colorations de graphe Etiquetage des sommets
Sommet-identifiante (Vertex-distinguishing ) L’étiquetage des sommets est appelé sommet-identifiant si chaque
sommet de G est déterminé uniquement par son étiquette.
Sommet adjacent -identifiante (Adjacent vertex-distinguishing )L’étiquetage des sommets est appelé sommet adjacent-identifiant si deux sommets adjacents ne portent pas la même couleur.
Une coloration des arêtes peut induire une coloration sommet-identifiante ou une coloration sommet adjacent -identifiante
Coloration Sommet-Identifiante (Vertex-Distinguishing Edge Colorings)
4
Coloration sommet-identifianteDéfinition
Irregular weighting(Chartrand et al ,86)
1
2 2
3
3
2
6
32
3
5
8
610
7
9
5
Coloration des arêtes qui permette de distinguer
via une fonction de codage c
propreimpropre Tous Les sommets
Sommets adjacentsSommeUnion setUnion multi-set
vertex-distinguishing edge-colorings (Burris & Schelp, 97)
{1,2}
{2,4}{1,4}
{1,5}
{1,2,3}{1,3}1
2 2
4
3
1
5
31 {3,5}
ev
efvc )()(
ev
efvc
)()(
Coloration sommet-identifiante Variantes de problème
Propre impropre Tous Les sommets
Sommets adjacents
Sum Set Multi-set Reference
Irregular weighting
x x x Chartrand et al ,86
vertex-colouring edge-weighting
x x x Karonski et al, 04
VD-coloring x x x Burris & Schelp, 97
Adjacent strong edge coloring
x x x Zhang et al ,02
point distinguishing edge-coloring
x x x Harary & Pltholtan,85
detectablecoloring
x x x Chartrand et al ,06
vertex-colouring edge-partition
x x x Addario-Berry et al 04
General neighbour-distinguishing
x x x Ervin et al, 05
Coloration arête Identifiante Fonction de codage
Coloration Gap sommet-identifianteDéfinition
via une fonction de codage c. Somme Union setUnion multi-set
7
Gap
Coloration des arêtes qui permette de distinguer properNon proper Tous Les sommets
Sommets adjacents
Coloration Gap sommet-identifiante Formalisation
Définition 1 Soit un graphe G=(V, E)Soit f : E → {1,……k} Pour chaque sommet v de G :
7
1 2
9
6
2
2
32
109
10
6 5
7
4
0
1
8
Max
Min
Nombre chromatique gap (G): Le plus petit k tel que G admette une
coloration Gap-sommet-identifiante
Max f(e) v ∈ e - Min f(e) v ∈ e si d(v)>1
f(e) si d(v)=1 c(v)=
Coloration Gap sommet-identifiante Résultats
Bornes inférieures
Théorème 1 Soit G un graphe de n sommets tel que G ne contient aucune composante isomorphe à K1 ou K2
gap(G) ≥ n si (i) δ(G) ≥ 2 ou (ii) Tout sommet de degré au moins égale à 2 possède au moins deux sommets adjacents de degré 1 gap (G) ≥ n − 1 Sinon
4
1
2
3
5
0
1
02
3
2
4
41
1
30
3
3
234
1
32
1
5
5
Bornes supérieures
Conjecture: Pour tout graph connexe G d’ordre n>2 gap(G) ≤ n+1
Coloration Gap sommet-identifiante Résultats
Graphe de degré minimum δ (G) ≥ 2
Théorème 2 (Résultat principal)
Pour tout graphe k-arête-connexe d’ordre n tel que k ≥ 2,
gap(G) = n, si G n’est pas un cycle de longueur =2, 3(mod 4) (a)
gap(G) = n+1 sinon (b)
Coloration Gap sommet-identifiante Résultats
Théorème 3 :
gap(Cn) = n, si n=0, 1(mod 4) (a)
gap(Cn) = n+1 si n=2, 3(mod 4) (b)
Cycle
Coloration Gap sommet-identifiante Résultats
Coloration Gap sommet-identifiante
(a) : gap(Cn) = n Si n=0, 1(mod 4)
gap(Cn) ≥ n gap(Cn) ≤ n ? ? ?
Case (a).1 : n mod 4 =0
n/2 i mod 4=2f(ei) =
(i+1)/2 i impaire
n i mod 4=0
c(vi) =
n-(i+1)/2 i mod 4=1
(n-i)/2 i mod 4=2(n –i-1)/2 i mod 4=3
n-(i/2) i mod 4=0
f(e1)=1
2
4
8
3
4
4
8
7 3
2
6
51
4
0
gapCn) ≤ n ?
Case a.2 : n mod 4 =1
n-1 i mod 4=2f(ei) =
i i paire
n i mod 4=0
f(e1)=1
8
3
9
58
8
7
9
7
5
6
4
3
0
1
2
8
gap(Cn) =n
c(vi) =
n-1 i mod 4=2
n-i+1 i mod 4=0
n –i-1 i mod 4=3
n-i i mod 4=1
Coloration Gap sommet-identifiante
(a) : gap(Cn) = n Si n=0, 1(mod 4)
gap(Cn) > n ? ? ?
Chaque terme f(ei) apparaît deux fois avec le même signe (ou par deux signes différents)
Contradiction !!!!(n (n-1)/2 est impaire Si n=2, 3(mod 4) )
gap(Cn) > n
Coloration Gap sommet-identifiante
(b) : gap(Cn) = n+1 Si n=2, 3(mod 4)
o gap(Cn) ≥ n+1
o gap(Cn) ≤ n+1 ? ? ?
Case (b).1 : n mod 4 =3
n+1 mod 4= 0 (gap(Cn+1) = n+1)
Cn+1 doit contenir deux bords successifs de mêmes couleurs.
8
6
5
gap(Cn) = n+1
1
2
4
3
4
4
8
7 3
2
1
4
0
Coloration Gap sommet-identifiante
(b) : gap(Cn) = n+1 Si n=2, 3(mod 4)
4
gap(Cn) ≤ n+1 ?
Case (b).2 : n mod 4 =2
f(en)= f(en-1)=2, f(en-2)=3 et
1 i mod 4=2Pour 1≤ i ≤ n-3, f(ei) =
n+2-i i paire
2 i mod 4=0
f(e1)=7
1
52
2
6
4
21
0
5
gap(Cn) =n+1
Coloration Gap sommet-identifiante
(a) : gap(Cn) = n+1 Si n=2, 3(mod 4)
3
Coloration Gap sommet-identifiante Résultats
Coloration arête équilibrée
Définition 2Pour chaque sommet v de G=(V, E):
Soit un intervalle I(v)=[Min f(e) v ∈ e , Max f(e) v ∈ e ] Une coloration arête f de G est une coloration équilibrée si seulement si : Pour toute pair u,v de V : I(u) ∩ I(v)≠ Ø
I(v1)=[1,6]
v1
5
3
1
6
5
v2
v3
v4
I(v1) ∩ I(v2) ∩ I(v3) ∩ I(v4) ={5}
Coloration Gap sommet-identifiante Résultats
Théorème 4 :Soit G un graphe avec δ(G) ≥ 2. 1.S'il existe un sous-graphe couvrant H de G tel que δ(H) ≥2 2.S’il existe une coloration arête équilibrée de H tel que gap(H) ≤ k.
gap(G) ≤ k.
Preuve gap(H) ≤ k. Pour toute (u,v) de V:
c(u)≠c(v) et f : coloration équilibrée : x∈ I(u) ∩ I(v)
Pour toute (u,v) ∈ E(G)/E(H), f(e)=x,
gap(G) ≤ k.
3
0
2
2
4
2
1
2
I(v1) ∩ I(v2) ∩ I(v3) ∩ I(v4) ={2}
2
Théorème 5Pour tout graphe 2-arête-connexe G d’ordre n tel que G n’est pas un cycle de longueur =2, 3(mod 4), nous avons
gap(G) = n
Idée de preuve Proposer une coloration arête équilibrée d’un sous-graphe couvrant G’ de G.
Algorithme Polynomial
Coloration Gap sommet-identifiante Résultats
Notations
Au cours de l'algorithme:
Soit Sc l’ensemble courant des sommets codés .
Initialement Sc= Ø.
Un sommet v est inséré dans Sc si et seulement si il est incident à au
moins deux arêtes colorées (e1,e2). On fixe c(v) à |f(e1)-f(e2)|.
Coloration Gap sommet-identifiante Résultats
1
8
7
Sc
N(Sc)
P(u)
vu
Notations
Une fonction N(Sc) retourne l'ensemble des sommets voisins de Sc et
non encore inclus dans l’ensemble Sc.
Pour chaque sommet u de N(Sc), soit la fonction P(u) qui renvoie une
chaine entre deux sommets de Sc qui passe forcément par le sommet u.
Coloration Gap sommet-identifiante Résultats
Algorithme
Input: un graphe 2-arête-connexe G = (V, E) d'ordre n, différent d'un cycle
de longueur 1, 2 ou 3 (mod 4).
Output: une coloration gap sommet-identifiante de G avec n couleurs.
Coloration Gap sommet-identifiante Résultats
Etape 1: Prendre un sous-graphe H de G tel que H est isomorphe à :
Cycle de longueur multiple de 4.
Deux cycles distincts ayant au moins un sommet commun.
Observation
Par hypothése, si G est différent d'un cycle de longueur multiple de 4, Alors Δ(G) ≥3 , le sous-graphe H peut être toujours
obtenu à partir de G.
Coloration Gap sommet-identifiante Résultats
Etape 2: Coloration de sous-graphe H (10 fonctions de coloration)
Par exemple : H est un cycle de longueur multiple de 4
Sc=V(H)
1 i mod 4=2f(ei) =
n-i+1 i impaire
2 i mod 4=0
1
8
7
2
6
6
5
4
Coloration Gap sommet-identifiante Résultats
Principe1. Pour tout sommet v de H : 2 I(v)∈2. Pour toute paire de sommets (u,v) de H, c(u)≠c(v)
Etape 3: Choisir un sommet u ∈N(Sc),
Soit une chaine R=P(u) d’ordre k
Quatre fonctions sont proposées pour la la coloration arête de R selon la valeur k mod
4=0,1,2,3.
Sc= Sc U V(R)
Si |Sc|<|V|
1
8
7
2
6
6
5
4
u5
2
3
Coloration Gap sommet-identifiante Résultats
Principe1. Pour tout sommet v de Sc : 2 I(v)∈2. Pour toute paire de sommets (u,v) de Sc, c(u)≠c(v)
Etape 3: Choisir un sommet u ∈N(Sc),
Soit une chaine R=P(u) d’ordre k
Quatre fonctions sont proposées pour la la coloration arête de R selon la
valeur k mod 4=0,1,2,3.
Sc= Sc U V(R)
1
8
7
2
6
6
5
4
u
Principe1. Pour tout sommet v de Sc : 2 I(v)∈2. Pour toute paire de sommets (u,v) de Sc, c(u)≠c(v)
5
2
3
5
32
2 2
1
0
Coloration Gap sommet-identifiante Résultats
Etape 4:
Pour chaque sommet v de G : 2 I(v)∈
Pour toute paire de sommets (u,v) de G, c(u)≠c(v)
Pour chaque arête non-colorée: f(e) =2
Fin de l’algorithme
gap(G)=n.
1
8
7
2
6
6
5
4
5
2
3
5
32
2 2
1
0
2
2
Coloration Gap sommet-identifiante Résultats
Corollaire 6Pour tout graphe k-arête-connexe d’ordre n tel que k>2, nous avons gap(G)=n
Coloration Gap sommet-identifiante Résultats
Pour tout entier k>2, tout graphe k-arête-connexe contient un sous-
graphe 2-arête connexe couvrant G’ différent d'un cycle.
Selon l’algorithme précédent, G’ admet une coloration Gap sommet
identifiante équilibrée
Coloration Gap sommet-identifiante Résultats
Nous pouvons maintenant conclure que le résultat du Théorème 2 est
une conséquence directe du Théorème 3 et le Corollaire 6.
Théorème 2 (Résultat principal)
Pour tout graphe k-arête-connexe d’ordre n tel que k ≥ 2,
gap(G) = n, si G n’est pas un cycle de longueur =2, 3(mod 4) (a)
gap(G) = n+1 sinon (b)
Coloration Gap sommet-identifiante Résultats
Graphe de degré minimum δ (G) = 1
Théorème 7 :
gap(Pn) = n, si n=2, 3(mod 4) (a)
gap(Pn) = n-1 si n=0, 1(mod 4) (b)
Coloration Gap sommet-identifiante Résultats
Théorème 8 Pour tout arbre binaire complet BT d’ordre n > 3, nous avons
gap(BT) = n − 1.
Théorème 9Soit T un arbre de n sommets tel que T a au moins deux feuilles à une distance égale à 2, nous avons
gap(T) ≤ n.
Graphe de degré minimum δ (G) = 1
Coloration Gap sommet-identifiante Perspective
Conjecture 2 (Graphe de degré minimum δ (G) ≥ 2)
Pour tout graphe G d’ordre n avec un degré minimum δ (G) ≥ 2,
gap(G) = n, si G n’est pas un cycle de longueur =2, 3(mod 4) (a)
gap(G) = n+1 sinon (b)
Conjecture 3 (Arbre)
Pour tout arbre T d’ordre n ≥ 3,
gap(T) = n, si la condition (ii) du Théorème 1 est remplie (a)
gap(T) = n-1 sinon (b)
34
Merci pour votre Merci pour votre attentionattention