Remember 10

REMEMBER XCod. 959 (26/04/07)

01. Cada aresta de um cubo é aumentada 50%.O aumento percentual da superfície do cubo é:a) 50 b) 125 c) 150 d) 300 e) 750 Sol. ( B )Considerando aresta cubo inicial = a;Sua superfície (Área total= At) = 6 a²;

Aresta aumentada = a + ½ a = 3/2 a = 1,5 a.Nova superfície =6 (3/2 a)² =6(9/4 a²) = 27/2 a²

Aumento em superfície = 27/2 a² - 6 a² = 7,5 a²

Aumento da superfície em percentual = = 7,5 a² / 6 a² = 1,25 = 125%.

02. Pelo ponto G interno ao triângulo ABC desenha-se uma linha paralela à base AB, dividindo-se o em duas partes de igual área. Se a altura com relação à AB tem comprimento 1 então à distância de G até AB é:a) ½ b) ¼ c) 2 - 2 d) ( 2 - 2)/ 2e) (2 + 2)/ 2.

Sol. ( D )Pelo enunciado do problema temos: CG = ?

Considerando ainda figura acima:i) ABC ~ CDEii) Área ABC = 2 CDEiii) Duas figuras semelhantes numa razão k terão suas áreas numa razão k².

Então: => =>

d² -2d + ½ = 0 => d = .

Como GF < 1 => GF = d =

03. Se as diagonais de um quadrilátero são perpendiculares uma à outra, então a figura pode ser sempre classificada como um:a) losango b) retângulo c) quadradod) trapézio isóscele e) n.r.a.

Sol. ( E )a)(F) As diagonais são sempre perpendiculares.b) (F) As diagonais podem ser ou não .

c) (F) As diagonais são sempre perpendicularesd) (F) Não possuem diagonais.e) (V)

04. Se 78 é dividido em 3 partes proporcionais a 1, 1/3 e 1/6, então a parte do meio deve medir:a) 9 1/3 b) 13 c) 17 1/3 d) 18 1/3 e) 26 Sol: ( C )Denominando as partes de: A; B e C e que: A + B + C = 78; temos:

A = 52; B = 17 1/3 e C = 78 1/3.

Logo a parte média é 17 1/3.

05. O valor de (256)0,16. (0,256)0,09 é:a) 4 b) 16 c) 64 d) 256, 25 e) -16

Sol. ( A )Temos então que: (256)0,16. (256)0,09 = (256)0,16+0,09 = (2 8)0,25 = (2 8) ¼ = 2 8/4 = 2 2 = 4.

06. Dada a afirmação verdadeira: se um quadrilátero é um quadrado, então ele é um retângulo, pode-se então dizer do converso e o inverso dessa afirmação que:a) apenas o converso é verdadeirob) apenas o inverso é verdadeiroc) ambos são verdadeirosd) nenhum é verdadeiroe) o inverso é verdadeiro, mas o converso é verdadeiro algumas vezes.

Sol. ( D )Converso (convertido) = “Se um quadrilátero é um retângulo, então ele é um quadrado”.Inverso = “Se um quadrilátero não é um quadrado, então ele não é um retângulo”.Verifica-se então que ambas são falsas.

07. Os lados de um triângulo retângulo são a, a+d e a+2d, onde a e d são ambos positivos. A proporção entre a e d é:a) 1:3 b) 1:4 c) 2:1 d) 3:1 e) 3:4

Sol. ( D )Temos como lados do triângulo retângulo: a, a+d e a+2 d onde a > 0 e b > 0 e perguntado a/d = ?Usando o Teorema de Pitágoras:(a + 2d) ² = a² + (a + d) ² =>a² + 4ad + 4d² = a² + a² + 2 ad + d² =>4d² = a² - 2ad + d² => (2d) ² = ( a – d) ² =>3d = a – d => a / d = 3/1 = 3:1.

08. O valor de x² - 6x + 13 nunca pode ser menor que:a) 4 b) 4,5 c) 5 d) 7 e) 13

Colégio Cascavelense – Prof. Edir Reis Bessa – Remember XINVISTA EM VOCE, ESTUDE NO Cc

1

Sol. ( A )Sendo f(x) = x² - 6x + 13 temos; a = 1; b = -6 e c = 13. Daí então = b² - 4ac = 36 – 52 = -16.

y min = - / 4 a = -(-16) / 4.1 = 4.è o valor mínimo para qualquer valor x.

09. Um fazendeiro divide seu rebanho de n vacas entre seus quatro filhos de modo que um recebe a metade do rebanho, o segundo filho, um quarto, o terceiro, um quinto, e o quarto, 7 vacas. Qual o tamanho do rebanho?a) 80 b) 100 c) 140 d) 180 e) 240

Sol. ( C )Total de vacas: v = ?Se: v/2 + v/4 + v/5 + 7 = v => v = 140.

10. Em um triângulo ABC, com AB = AC = 3,6; um ponto D é localizado em AB a uma distância de 1,2 de A. O ponto D é ligado ao ponto E no prolongamento de AC de tal forma que o triângulo AED é igual em área ao triângulo ABC. Então AE mede:a) 4,8 b) 5,4 c) 7,2 d) 10,8 e) 12,6

Sol. ( D ) Considerando a figura do ABC abaixo, temos:

Pelos dados do problema: AD = 1/3 AB.Como ADG ~ ABF => h/1,2 = H/3,6 => h = H/3.Como os possuem áreas iguais, ou seja:Área ( ADE = ABC) => => ½ h.AE = ½ H.AC => H/3 .AE = H.(3,6) =>AE = 10,8.

11. O logarítmo de 0,0625 na base 2 é:a) 0,025 b) 0,25 c) 5 d) -4 e) -2

Sol. ( D ) log 2 0,0625 = log 2 (54/104) = log 2 (10/5)- 4 = = log 2 2 -4 = -4. log2 2 = -4.

12. Somando-se uma mesma constante a 20, 50 e 100 resulta uma progressão geométrica. A razão dessa progressão é:a) 5/3 b) 4/3 c) 3/2 d) ½ e) 1/3 Sol. ( A) Temos então a P.G. (20+k; 50+k; 100+k).Pela razão: q = a2/a1 = a3/a2 =>

=> k = 25. Logo a P.G é:( 45; 75; 125)Daí então q = 75/25 = 5/3.

13. A média aritmética de um conjunto de 50 números inteiros e positivos é 38. Se Dois números, a saber, 45 e 55, são retirados, a média do conjunto restante é:a) 36,5 b) 37 c) 37,2 d) 37,5 e) 37,52

Sol: ( D )Temos várias maneiras de resolver o problema:

1ª) M.A. = =>

=>

=>

=> x1 + x2 + ...+ x48 = (38 – 2) . 50 = 1800

=> (Nova

MA).

2ª) Temos que: MA =

Para o caso: Soma = 50. 38 = 1900, daí então:

14. Seja S um conjunto contendo o número zero, e os números inteiros pares positivos e negativos. Quais das operações a seguir que, aplicadas a um par de elementos quaisquer do conjunto, produzem apenas elementos do próprio conjunto S? As operações são:( 1 ) soma ( 2 ) subtração ( 3 ) multiplicação( 4 ) divisão ( 5 ) média aritmética ( 6 ) todas

a) soma b) 1, 2, 3 e 4 c) 1, 2, 3 e 5d) 1, 2 e 3 e) 1, 3 e 5.

Sol. ( D )Seja S = {...,-4, -2, 0, 2, 4, ..., 2n, 2n + 2,...} ZVerifica-se que, para:

i) Adição: 2n + (2n+2) = 4n + 2 =2(2n+1) S, n Z.

ii) Subtração: (2n+2) – 2n = 2 S n Z

iii) Multiplicação: (2n+2)2n=4n²+4n = 4n(n+1) S n Z.

A divisão e a Média aritmética com números pares nem sempre são pares.Ex. a) 6 / 4 = 1,5 S; (2 + 6 + 0) / 3 = 8/3 S.


2

15. Em um triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual ao dobro do produto dos catetos. Um dos ângulos agudos desse triângulo mede:a) 15º b) 30º c) 45º d) 60º e) 75º

Sol. ( C)Considere um triângulo retângulo de hipotenusa com medida a e os catetos b e c.Como dado do problema: a2 = 2bc ( i )Usando o Teor. de Pitágoras :a2 = b2 + c2 (ii )Fazendo ( i ) = ( ii ), temos:b2 + c2 = 2bc => b2 -2bc +c2=0 =>( b – c )2 = 0=> b – c = 0 => b = c (catetos iguais) =>Trata-se de um triângulo retângulo isóscele: 90º+2 b= 180º => b = c = 45º.

16. A expressão

quando simplificada, resulta na expressão:

a) b) (x+3) / (x – 3)

c) (x+1) / (x – 1) d) 1 e) 2

Sol. ( D )Fatorando os quatro termos da expressão, temos:

E =

(vamos conservar a 1ª fração e multiplic. inversa da 2ª =>

E =

17. Se onde a e b são constantes e se

y = 1 quando x = - 1, e y = 5 quando x = - 5, então a + b é igual a:a) – 1 b) 0 c) 1 d) 10 e) 11.

Sol: ( E )Atribuindo os valores y = 1 e x = -1 =>

1 = a + b/ (-1) => a – b = 1 ( i )E para y = 5 e x = - 5 => 5 = a + b/(-5) => 5 a – b = 25 ( ii )Formando um sistema com ( i ) e ( ii) temos que a = 6 e b = 5. Daí então: a + b = 11.

18. A média aritmética dos primeiros n inteiros positivos é:a) n/2 b) n²/2 c) n d)(n - 1)/2 e)(n +1)/2

Solo: ( E )Sendo Z*+ = { 1, 2, 3, . . . , n}, onde 1, 2, 3, ..., n formam uma P. A onde a soma de seus termos =

Daí a M. A será:

M A

19. Usando-se 3 pesos distintos de 1, 3 e 9 kg, quantos objetos de pesos distintos podem ser pesados e com os pesos dados colocados em qualquer dos pratos da balança?a) 15 b) 13 c) 11 d) 9 e) 7

Sol: ( B )Trata-se de um problema que podemos resolver de várias maneiras, inclusive por análise combinatória, mas abaixo temos uma solução interessante: #Com um peso pode-se medir 3 massas (1 kg, 3 kg, 9 kg)*#Com dois pesos mede-se 6 massas (4kg, 10kg, 12 kg, 2kg, 8kg, 6kg)**#Com três pesos mede-se 4 massas (13kg, 5kg, 7kg, 11kg)***

-No caso * coloca-se um peso em um dos pratos e a massa a pesar no outro prato.-No caso ** (para 4kg, 10kg e 12kg) coloca-se dois pesos em um dos pratos e a massa a se pesar no outro prato. (para 2 kg, 8 kg e 6 kg) coloca-se uma massa em cada prato e massa a se pesar no prato que contiver o peso de menor massa. -No caso *** (para 13 kg) coloca-se os três pesos num dos pratos e a massa a se pesar no outro prato. (Para 5 kg, 7 kg e 11 kg) coloca-se dois pesos num dos pratos, o outro peso no outro prato e a massa a se pesar no prato "mais maneiro".Daí então: Número de objetos = 3 + 4 + 6 = 13.

20. Se x varia diretamente com o valor de y e com o inverso do quadrado de z. e se x = 10 quando y = 4 e z = 14, então, quando y = 16 e z = 7, o valor de x deverá ser:a) 180 b) 160 c) 154 d) 140 e) 120

Sol: ( B ) Pelos dados iniciais do problema temos:

. Para x=10; y=4 e z =14 =>

10 = 4. 1/14². k => k = 490.Para y = 16 e z = 7 => x = 16. 1/7². 490 =>x = 160.

21. Se p é o perímetro de um triângulo eqüilátero inscrito em um círculo, então a área desse círculo mede:a) p³/3 b) p²/9 c) p²/27 d) p²/27e) p² 3 / 27

Sol. ( C )Na figura o ABC é eqüilátero de lado L e perímetro p = 3L.


3

No triângulo retângulo AOD temos:cos 30º = AD / AO = (L/2)/R = 3/2=>L=R 3=> R = L/ 3.Assim a área do círculo: Ac = R² = (L/ 3)²== (L²/3) = (p²/9)/3=> Ac = p²/27.

22. A linha ligando os pontos médios das diagonais de um trapézio tem comprimento 3. Se a base maior mede 97, então a base menor mede: a) 94 b) 92 c) 91 d) 90 e) 89

Sol. ( C )

23. O conjunto de soluções da equação log 10 ( a² - 15 a) = 2 consiste de:a) dois inteiros b) um inteiro e uma fração c) dois números irracionais d) dois números não reais e) nenhum número, o conjunto de soluções é vazio

Sol. ( A )Aplicando a definição dos logarítmos temos:log 10 ( a² - 15 a) = 2 => a² - 15 a - 100 =0 onde a ‘ = - 5 e a “ = 20.Usando as condições dos logarítmos:i) Para a = -5 => 5² - 15.(-5) = 100 > 0ii) Para a = 20 => 20² -15.20 = 100 > 0Verifica-se então que o solução da equação acima é S = { -5; 20}.

24. Um ajudante de laboratório tem m gramas de solução salina, com m% de sal. Quantas gramas de sal ele precisa acrescentar à solução para que a concentração de sal seja 2m5?a) m / (100 + m) b) 2m / ( 100 – 2m)c) m² / (100 - 2m) d) m² / (100 + 2m) e) 2m / (100 + m)

Sol. ( C )Seja m' a massa de sal inicialmente na solução. Como a concentração de sal é de m% ==> m/100 . m = m' (1)Seja de x gramas o acréscimo de sal para obter a nova concentração que será de: (m'+x)/v (g/ml)Portanto: 2m/100 .(m+x) = m' + x, substituindo o valor de m' encontrado em (1) => m2 +2mx - 100x = 0

=> x(2m-100) = -m2 ==> x=m2/(100-2m), assim a resposta é a opção c.

25. O conjunto de valores de x que satisfazem à desigualdade 3 – x < 4 consiste dos valores x tais que:a) x² < 49 b) x² > 1 c) 1 < x² < 49d) -1 < x < 7 e) -7 < x < 1.Sol. ( D )Temos então: 3 – x < 4 => -4 < 3 – x < 4 =>-4 – 3 < - x < 4 – 3 => -7 < - x < 1 ( -1 ) => => - 1 < x < 7.

26. A base de um triângulo isóscele mede 2.As medianas relativas aos lados de igual comprimento se cortam em ângulo reto. A área do triangulo é:a) 1,5 b) 2 c) 2,5 d) 3,5 e) 4

Sol. ( A )

Como BO =

Usando uma das relações de retângulo no BOC (que é retângulo),temos:

z² = m.n =

Como a altura = AD = h = 3z =

Então: Área =

27. Qual das seguintes afirmações não é verdadeira para a equaçãoix² - x + 2i = 0, onde i = -1.a) a soma das raízes é 2 b) o discriminante é 9c) as raízes são imagináriasd) as raízes são encontradas usando-se a fórmula quadráticae) as raízes podem ser encontradas por fatoração, usando-se números imaginários.

Sol. (A )Na equação ix² - x + 2i = 0 temos os coeficientes: a = i; b = -1 e c = 2i. Então:

a) a soma das raízes = -b/a = 1/i =

= (Falsa)


4

b) o discriminante = b² - 4ac = ( -1)² -4i2i = 1 - 8i² = 9 (Verdadeira)

c)

e x2 = -i .(Verdadeira)d) (Verdadeira) Veja alternativa c.

28. Em um triângulo ABC, AL bissecta o ângulo A e CM bissecta o ângulo C. Os pontos L e M estão sobre BC e AB, respectivamente. Os lados do triângulo ABC são a, b e c. Então

onde k é:

a) 1 b) bc/a² c) a²/bc d) c/b e) c/a

Sol. ( E ) Usando o teorema da bissetriz interna:

No ABC temos a bissetriz CM, então:AC/AM = BC/MB => AM /MB = AC/BC ( i )No ABC temos a bissetriz AL, então:AB/LB = AC/CL => CL/LB = AC/AB ( ii )Usando ( i ) e ( ii ) na igualdade dada, temos: AC/BC = K AC/AB => K = AB/BC = c/a.

29. Num exame de n questões um estudante responde corretamente 15 das 20 primeiras questões. Das restantes ele responde corretamente um terço. Todas as questões são de igual valor. Se a nota de desse estudante é 50%, quantos valores distintos, para n podem existir?a) 4 b) 3 c) 2 d) 1e) o problema não pode ser resolvido.

Sol. ( D )Total de questões = n; reponde correta = 15; erradas = 5; restam = n – 20 das quais: acerta = ( n -20)/3 .Como todas as questões são de igual valor e a nota de desse estudante é 50%, então:Questões corretas = 50% da prova, então:15 + ( n – 20)/3 = n. 50% => n = 50 (Único valor para o nº de questões).

30. O corredor A, dá a volta em uma pista circular em 40 segundos. O corredor B, percorrendo em sentido contrário, cruza A a cada 15 segundos. Em quantos segundos B dá uma volta completa na pista?a) 12 ½ b) 24 c) 25 d) 27 ½ e) 55

Sol. ( B )

O caminho percorrido pelo corredor A : Sa =So +Va.t e pelo corredor B: Sb = Vb.t.O corredor A dá uma volta na pista circular em 40 segundos => 2 R = Va. 40 => Va= /20 m/s => Sa = S0 + ( R/20). t, como So = 0 => => Sa = ( R/20). tPara o corredor B temos: So = 2 R e então:Sb = So + Vb.t => Sb = 2 R – Vb.t.Como para t = 15s, Sa = Sb (ponto de encontro)( R/20). t = 2 R – Vb. t => ( R/20). 15 = 2 R – Vb. 15=> Vb = R/12 m/s.Para o cálculo do tempo de uma volta;Fazendo Sb = 2R ;Vb = R/12 m/s e So = 0 =>Vb = Sb/ t => t = 2R/( R/12)=24 s.

31. Um quadrado de área igual a 40 é inscrito em um semicírculo. A área de um quadrado que seria inscrito no círculo completo de mesmo raio é:a) 80 b) 100 c) 120 d) 160 e) 200

Sol. ( B )

A

B C

DE

FF

ABC D q ua d ra d o d e la d o L

Cálculo do lado quad: Aq = L² = 40 => L = 210No EDC (retângulo), usando o Teorema de Pitágoras: EC² = CD² + DE² => R² = L² + (L/2)² = 5L²/4 => R = 5 2.Para o quadrado inscrito no círculo completo, temos:Diagonal do quadrado = L 2 = 2R =2(5 2) =>L = 10. Daí então a área do quadrado = 10² = 100

32. O comprimento L de uma tangente traçada de um ponto A até um círculo, é 4/3 do raio r. A distância mínima de A até o círculo é:a) 1/(2r) b) r c) (1/2)L d) (2/3)Le) algum valor entre r e L

Sol. ( C )


5

T A

O

BR

x

AT= L = 4/3 R = > R = 3/4 L

R

L

Usando o Teor. de Pitágoras no retângulo OTA temos: (x+R)² = R² + L² => x² +2Rx- L² =0x = -3/4 L 5/4 L => x1 = -3/4 L + 5/4 L = L/2e x2 = -3/4 L - 5/4 L = - 2L (não satisfaz)Daí então x1 = AB = ½ L (Distância mínima)33. Uma progressão harmônica é uma seqüência de números tais que seus inversos formam uma progressão aritmética.Seja Sn a soma dos primeiros n termos da progressão harmônica. Por exemplo, S3

representa a soma dos 3 primeiros termos. Se os primeiros 3 termos de uma progressão harmônica são 3, 4 e 6, então:a) S4 = 20 b) S4 = 25 c) S5 = 49d) S6 = 49 e) S2 = ½ S4

Sol. ( B )Pelos dados temos:Prog. harmônica: (3; 4; 6) logo a Prog. Aritmética é: (1/3; ¼; 1/6) onde a razão r = ¼ - 1/3 = - 1/12.Daí então: a 4 = a 3 + r = 1/6 + ( -1/12) = 1/12.a 5 = a 4 + r = 1/12 + ( -1/12) = 0.a 6 = a 5 + r = 0 + ( -1/12) = - 1/12.Temos então a P. A. (1/3; ¼; 1/6; 1/12; 0 ; -1/12)e daí a P.H (3, 4, 6, 12, 0, -12).Logo: S 4 = 3 + 4 + 6 + 12 = 25;S 5 = 3 + 4 + 6 + 12 +0 = 25;S 6 = 3 + 4 + 6 + 12 +0 +(-12) = 13.Assim S 4 = 25 é a alternativa correta.

34. Sejam r e s as raízes de x² - 3x + 1 = 0. Então a expressão r² + s² é:a) um inteiro positivo b) uma fração positiva maior que 1c) uma fração positiva menor que 1d) um número irracionale) um número imaginário

Sol. ( A )Considerando r e s raízes da equação temos:Soma: r + s = -b / a = -(-3) / 1 = 3. ( i )Produto: r. s = c / a = 1 / 1 = 1. ( ii )Quadrando ( i ), temos:( r + s )² = 3² => r² + 2rs + s² = 3² =>r² + s² = 3² - 2 rs = 9 – 2. 1 => r² + s² = 7.

35. Na equação (x – m)² - (x – n)² = (m – n)², m é um número inteiro positivo fixado. O conjunto de valores x que satisfazem à equação é:a) x 0 b) x n c) x = 0

d) o conjunto de todos os números reaise) nra

Sol. ( E )Desenvolvendo os quadrados e operando os termos semelhantes, obtemos:(x – m)² - (x – n)² = (m – n)² =>x² - 2mx + m² - x² + 2nx – n² = m² - 2mn + n² =>

x(2n – 2m) = 2n² - 2mn = 2n (n - m) => 2(n - m) x = 2n ( n – m ) => x = n.

36. A base de um triângulo mede 80 e um dos ângulos da base, 60º. A soma dos comprimentos dos outros 2 lados mede 90. O lado menor mede:a) 45 b) 40 c) 36 d) 17 e) 12

Sol. ( D )

Considerando AC = h como altura do ABC e o triangulo retângulo CDB, temos:i)tg 60º = CD / BC => 3 = h / x => h = 3 . xii) sen 60º = h / CB => 3 / 2 = 3.x / a => => a = 2x.iii) Temos que AC + CB = 90 => b + a = 90.Passando a usar o ACD (retângulo), temos:AC² = CD² + AD² (Pitágoras) => (90 – 2x) ² = ( 3. x) ² + (80 – x) ² =>8100 – 360x + 4x² + 3x² + 6400 – 160x + x² =>1700 = 200x => x = 17 / 2.Como a = 2x = 17 e b = 90 – 2x = 73.Logo o menor lado do triângulo é = 17.

37. Quando simplificado, o produto;(1 – 1/3)(1 – ¼)(1 – 1/5). . . (1 – 1/n) resulta:a) 1/n b) 2/n c) 2( n - 1)/n d) 2/(n+1)e) 3/ n(n+1)

Sol. (B)Operando cada fator e em seguida simplificando o produto, temos:(1 – 1/3)(1 – ¼)(1 – 1/5). . . (1 – 1/n) = = (2/3)(3/4)(4/5). . . [(n – 1)/n] = 2 / n.

38. Se então x:a) é um número inteiro b) é uma fraçãoc) é um número irracional d) é imaginárioe) pode assumir dois valores diferentes

Sol. ( B )Temos uma equação irracional. Iniciamos isolando, no 1º membro, o termo com radical e em seguida, vamos quadrá-lo.

=> =>

16x² - 10x +1 = 0 => x1 = ½ e x2 = 1/8.


6

Verificação:i)Para x = ½ => 4 . ½ + => 3 = 1 (F)ii) Para x = 1/8 => 4.1/8 + => 1 = 1 (V). Assim temos S = {1/8}.

39. Seja S a soma dos primeiros nove termos da seqüência x+ a, x² + 2 a, x³ + 3 a , . . . Então o valor de S é:

a) b) 50 a -

c) d)

e)

Sol. ( D )A seqüência: x+ a, x² + 2 a, x³ + 3 a , . . . = = ( x + x² + x³ + . . . + x9) + (a + 2 a + 3 a + . . . + 9 a) = S1 + S2.

S1 é uma P.G onde: a1 = x; q = x e a9 = x9, então a soma = Sn =

S2 é uma P.A onde: a1 = a; r = a; a9 = 9a e n = 9.Sua soma Sn =

Logo S1 + S2 =

40. Num triângulo ABC, BD é uma mediana. CF corta BD em E de forma que BE = ED. O ponto F está sobre AB. Sendo BF = 5, BA é igual a:a) 10 b) 12 c) 15 d) 20 e) nra

Sol. ( C )

BE= ED; BF= 5; BA= ?

A

B C

E

G

F D

Formando o paralelogramo FDGB temos:O CDG ~ CAF, pois tomamos o ponto G sobre EC tal que FE = EG para formação do paralelogramo e FG é uma de suas diagonais.Daí então,usando a semelhança: DG/DC = AF/AC => 5/(AC/2) = AF/AC AF = 10.Logo AB = AF + FB = 10 + 5 = 15.

41. No mesmo lado de uma reta são desenhados 3 círculos assim: um círculo tem 4 cm de raio e tangencia a reta, os outros dois círculos são iguais e cada um tangencia a reta e os outros dois círculos. O raio dos círculos iguais é:a) 24 b) 20 c) 18 d) 16 e) 12

Sol. ( D )

Na figura, considere os círculos maiores de raio R e o menor de raio 4 cm. Na figura do retângulo

ABC temos:( R+4)² = R² + ( R - 4)² => R² - 16R = 0 => R’ = 16 e R” = 0 (Não satisfaz)Temos então R = 16.

42. Sejam 3 inteiros positivos a, b e c. Seja D o máximo divisor comum desses 3 números, seja M o mínimo múltiplo comum. Então quais duas das afirmações a seguir são verdadeiras:( 1 ) o produto MD não pode ser menor que abc( 2 ) o produto MD não pode ser maior que abc( 3 ) MD é igual a abc se e só se a, b e c são primos.( 4 ) MD é igual a abc se e só se a, b e c são primos dois a dois (isto é, cada par de números não tem fator comum maior que 1).a) 1 e 2 b) 1 e 3 c) 1 e 4 d) 2 e 3 e) 2 e 4

Sol. ( E )Representando a, b e c em forma de seus fatores primos, então D (que é o MDC(a,b,c)) é o produto de todos os fatores primos comuns onde cada fator possui a menor freqüência comum de ocorrência em a, b ou c. M (que é o MMC(a,b,c)) é o produto de todos os fatores primos não comuns, cada fator tomado na maior freqüência comum de vezes em a, b e c.Logo MD pode ser menor que abc mas não pode ser maior que abc ( 2 ).MD será igual a abc quando não houver fatores comuns ( 4 ).

43. Os lados de um triângulo são 25, 39 e 40. O diâmetro do círculo circunscrito é:a) 133/3 b) 125/3 c) 42 d) 41 e) 40

Sol. ( B )

O ACD ~ EBC e são retângulos e Ê = Â.


7

R

R+ 4R-4

A B

C

A B

C

A

B

C

D

E

4025

39

h

o

o

d = 2R= EC ?;BC = a = 25;AC = b = 40;AB= c = 39; C D= h(a ltura triâ ng ulo ABC )

Logo: AC/EC = DC/CD => 40/2R = h/25 ( i )Cálculo da altura do ABC.Usaremos a fórmula de Harão (Área)Sendo o semi-perímetro = p = (a+b+c)/2 = 104/2 = 52.Temos como área do ABC = (Base x Altura)/2 ,então:(Base x Altura)/2 =

h = 24.Substituindo h em ( i ), temos:40/2R = 24/25 => 2R = d = 125/3.

44. As raízes de x² + b x + c = 0 são ambas reais e maiores que 1. Seja s = b + c + 1. Então s:a) pode ser negativo b) pode ser igual a zeroc) é necessariamente maior que zerod) é necessariamente menor que zeroe) é necessariamente um número entre -1 e 1.

Sol. ( C )Fazendo x1 = m + 1 e x2 = n + 1 (Com m e n inteiros e positivos). Daí então:Soma das raízes = (m+1) + ( n+1) = -b e o Produto = (m+1) ( n+1) = c.Logo s = b + c + 1 = -[(m+1) + ( n+1)] + (m+1)( n+1) + 1 = m.n > 0 , pois m e n são inteiros e positivos .

45. Se (log3 x) (log x 2x) (log2x y) = log x x² então y é igual a:a) 9/2 c) 9 c) 10 d) 27 e) 8

Sol. ( B )Aplicando a propriedade de mudança de base no 1º membro (para base 3) e propriedade da potência no 2º,temos:

Cancelando os termos comuns temos:

46. Um estudante, durante seus d dias de férias, observou que: ( 1 ) choveu 7 vezes, pela manhã ou a de tarde; ( 2 ) quando choveu de tarde, a manhã foi ensolarada; ( 3 ) houve 5 tardes claras; ( 4 ) houve 6 manhãs de sol. Quantos dias esteve o estudante de férias?a) 7 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

Sol. ( B ) Manh.chuvosas___Manh.N.ChTardes chuvosas - a bTardes não chuv. - c eVamos considerar esta tabela de dupla entrada.Então:Dias de férias: d = a + b + c + e;

( 1 ): a + b + c = 7( 2 ) : a = 0( 3 ): c + e = 5 => c = 5 - e( 4 ): b + e = 6 => b = 6 - eUsando ( 2 ); ( 3 ) e ( 4 ) em ( 1 ), temos:0 + 6 – e + 5 – e = 7 => e = 2.Então: d = 7 + 2 = 9.

47. São verdadeiras as seguintes afirmações:I. Todos os calouros são humanos.II. Todos os estudantes são humanos.III. Alguns estudantes pensam.Dadas as quatro afirmações abaixo:(1) todos os calouros são estudantes(2) alguns humanos pensam(3) nenhum calouro pensa(4) alguns humanos que pensam não são estudantes. Então, as sentenças que são conseqüências lógica de I, II e III são:a) 2 b) 4 c) 2 e 3 d) 2 e 4 e) 1 e 2

Sol. ( A )Vamos considerar os seguintes conjuntos estruturados por I; II e III; Humanos = H = {a, b, c, d, e, f}Calouros = C = {a, b, c}Estudantes = E = {a, b, c, d}Pessoas pensam = P = {d, c}Daí então temos, de:

I. C H II. E HIII. P E

E então as afirmações:(1); (3) e (4) falsas; (2) Verdadeira.

48. Dado o polinômio aoxn+a1xn-1+. . .+a n-1x+an

onde n é um número inteiro positivo ou zero e ao

é um inteiro positivo e o resto dos a’s são números inteiros ou zero. Seja h = n + a1 + a2 +. . . + a n . O número de polinômios com h = 3 é:a) 3 b) 5 c) 6 d) 7 e) 9

Sol: ( B )Seja o polinômio:P(x) = aoxn+a1xn-1 +. . .+ a n-1x + an onde n Z+ ; a o Z*+ e { a1; a2; . . . , an} Z.Usaremos uma tabela em que atribuímos possíveis valores a n e aos a’s para determinar os polinômios:Para n = 0 e a0 = 3 => P(x) = 3x0 => h = 0+ 3 =3Para n = 1 e a0 = 2 => P(x) = 2x1 => h = 1+ 2 = 3Para n = 1; a0 = a1=1 => P(x) = 1x1+1 => h = 1+1+1 = 3Para n = 1; a0 = -1; a1 = 1 => P(x) = 1x1- 1 =>h = 1+ 1 + -1 = 3Para n = 2 e a0 = 1 => P(x) = 1x² =>


8

h = 2+ 1 = 3.Temos então um total de cinco polinômios.

49. Seja S a soma da série:

Então o valor de S é:a) 0 b) 2/7 c) 6/7 d) 9/32 e) 27/32

Sol. ( B) Vamos arranjar a série S em três séries, ou seja:S = S 1 + S 2 + S 3, onde:

i)S 1 = que é uma P.G. infinita,

onde:

;

ii) que é

uma P.G. infinita, onde:

iii) que

é uma P.G. infinita, onde:

Daí então, temos:S = S 1 + S 2 + S 3 = 8/7 + (-4/7) + (-2/7) = 2/7.

50. Um clube de x elementos é dividido em 4 comitês de acordo com as duas regras:( 1 ) cada membro deve pertencer a 2 e apenas 2 comitês.( 2 ) dois comitês quaisquer podem ter no máximo 1 membro em comum. Então o valor de x:a) não pode ser determinadob) tem um valor entre 8 e 16c) tem 2 valores entre 8 e 16d) tem um valor entre 4 e 8e) tem 2 valores entre 4 e 8.

Sol. ( D )Uma possível solução é usando as combinações simples, ou seja:

, conforme o

quadro abaixo:Vamos considerar os membros: {a,b,c,d,e,f}

Comitês A B C DMembros a

cb

bed

daf

fec

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