Relatório Projeto
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DEPARTAMENTODE ENGENHARIAELÉTRICA
– DEE
Relatório do Projeto
Controle do Pêndulo Invertido
BANCADA: 01
EQUIPE: ALLAN CO!A "O#E
$ILIPE #ARQUE PEREIRA #AR!IN
#A!%: &'()&0
#A!%: &0**0+,ALLION LI#A A"UIAR
#A!EU PIN,EIRO DIA
#A!%: &'()(-
#A!%: &'()-1
PRO$EOR: BI#AR. CLAURE !ORRICO
!UR#A: !ER: 10:00 / 1):00
$ortalea / CE
1)0))01(
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1. Introduço
Durante a e4e2u• Linearia• Projeto do6 2ontroladore6%
De66a ;or3a? 6er= ;eita u3a 9reve introdu
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Linearização do modelo matemático
U3 6i6te3a 2a3ado linear 6e a ele 6e a5li2a o 5rin2F5io da 6u5er5o6i
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6e a ele n7o 6e a5li2a o 5rin2F5io da 6u5er5o6i
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g
( x
1
, x2 )=g
(´ x1
, ´ x2)+
dg
d x1
| x=´ x ^
x1
+ dg
d x2
| x=´ x ^
x2
(2)
Momento de inércia da barra do pêndulo
a9endo/6e @ue durante a eta5a da 3odelae3 3ate3=ti2a do 5êndulo 6er= ne2e66=rio ;aer u6o do
3o3ento de inr2ia de 6ua 9arra? 6er= de3on6trado o 2=l2ulo do 3o3ento de inr2ia do 5êndulo%
$iura 0): Barra utiliada no 5êndulo
$onte: &J
Co3 au4Flio da e@ua
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x2 M
L dx=¿
M
L ∫0
L
x
2
dx=
M
L
( L
3
3
)→J =
M L2
3 (3
)
J =∫0
L
¿
Sistemas em mala !ecada
a9e/6e @ue o 6i6te3a e3 3ala ;e2ada dado 5ela 6euinte ;iura:
$iura 0&: Re5re6enta
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C ( s)= G ( s)
1+G (s ) R(s)
!. Pro"#d$%#nto E&'#r$%#nt()
O 5ri3eiro 5a66o? 6er= de62rever o 6i6te3a 3ate3=ti2a3ente e ;aer a6 devida6 linearia
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{ xG=
L
2 sen(θ)
yG= L
2cos (θ)
• A66i3? o movimento horizontal do 2entro de ravidade da haste dada 5or:
m d
2
d t 2 ( L2 sen (θ ))=n(t )
n (t )=m L
2
(−sen (θ )θ́2+cos (θ ) θ́ )( I )
• Da 3e63a ;or3a? o movimento vertical do 2entro de ravidade da haste dada 5or:
m d
2
d t 2 ( L2 co s (θ ))= p ( t )−mg
p (t )=−m L
2 (cos (θ ) θ́2+sen (θ ) ́θ )+mg( II )
• O movimento horizontal do bloco de62rito 5or:
M d
2 x ( t )dt
= f ( t )−n ( t )− Mb ´ x( t )( III )
u96tituindo/6e ( I ) e3 ( III ) ? te3o6:
M ´ x (t )=f ( t )−
[m
L
2
(−sen (θ ) θ́2+cos (θ ) θ́ )
]− Mb ´ x
M ´ x ( t )=f ( t )−m L
2cos (θ ) θ́+m
L
2sen (θ ) θ́2− Mb ´ x( t )( IV )
a9endo/6e @ue o 3ovi3ento de rota
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mg L2
sen (θ )−m ´ x (t ) L2cos (θ )=m L
2
3θ́( t )
θ́(t )= 3
2 L(gsen (θ )−´ x (t )cos (θ ))( )
u96tituindo/6e ( ) e3 ( IV ) ? te3o6:
M ´ x ( t )=f ( t )−m L
2cos (θ )
3
2 L(gsen (θ )−´ x (t )cos (θ ))+m
L
2sen (θ ) θ́2− Mb ´ x (t )
M ´ x ( t )−34
mcos2 (θ ) ´ x (t )=f (t )−3
4mgsen (θ ) cos (θ )+m
L
2sen (θ ) θ́2− Mb ´ x (t )
( M −34 mcos2 (θ )) ´ x ( t )= f (t )−34 mgsen (θ ) cos (θ )+m L2 sen (θ ) θ́2− Mb ´ x (t )(!)
• Linearização das equações do pndulo!
g ( x )=g ( x0 )+ dgdx| x= x0 ( x− x0 ) (1)
g ( x1 , x2 )=g ( ´ x1, ´ x2)+ dg
d x1| x= ´ x
^ x1+
dg
d x2| x= ́x
^ x2(2)
θ́ ( t )= 3
2 L( gsen (θ )−´ x (t )cos (θ ) )( )
$aendo/6e:
θ=θ́ +θ̂
x=´ x+ ^ x
Co3o o 5êndulo deve ;i2ar na 5o6i
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Lineariando a "quação ( ) :
g (θ )=sen(θ)Utiliando/6e 1:
g (θ )=sen (θ́ )+cos (θ́ ) ∙θ̂g (θ )=cos ( θ́ ) ∙θ̂ → g (θ )=θ̂
g ( ́ x , θ )= ́ x ∙cos (θ)Utiliando/6e ):
g ( ´ x , θ )=´ x ∙cos (θ́ )+cos ( θ́ ) ∙ ´̂ x−´ x ∙cos (θ́) ∙θ̂
g ( ´ x , θ )=cos ( θ́) ∙ ´̂ x → g ( ´ x ,θ )=´̂ x
Loo? a "quação ( ) 5ode 6er e62rita da 6euinte 3aneira:
θ́ ( t )= 3
2 L(gθ (t )− ́x (t ))( " )
Onde θ(t ) e6t= e3 torno de 0% endo a 5o6i
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g ( ́ x , θ )=( M −(
3
4
)m ∙
cos2
(θ )) ́ x
Utiliando/6e ):
g ( ́ x , θ )=( M −( 34 )m ∙cos2 ( θ́ ))´ x +( M −( 34 )m∙cos2 (θ́ )) ́̂ x−( 32 m ∙cos (θ́ ) ∙ ´ x ∙ θ̂)g ( ´ x , θ )=( M −34 m) ´̂ x
g ( f )=f Utiliando/6e 1:
g ( f )=´f +
^f → g ( f )=
^f
g (θ )=sen(θ) ∙cos (θ)Utiliando/6e 1:
g (θ )=sen (θ́ ) ∙cos (θ́ )+(cos2 (θ́ )−sen2 (θ́ ) ) θ̂
g (θ )=1
2sen (2θ́ )+cos (2 θ́) ∙ θ̂→ g (θ )=θ̂
g (θ )=θ́2 ∙sen( θ)Utiliando/6e 1:
g (θ )=θ́2 ∙sen( θ́)+ (2θ́∙sen (θ́ )−θ́2∙cos( θ́)) θ̂ → g (θ )=0
Loo a "quação () 5ode 6er e62rita da 6euinte 3aneira:
´ x (t )= 1
M −3
4m
( f ( t )−34 mgθ (t )− Mb ´ x( t ))(!" )
Onde θ(t ) e6t= e3 torno de 0% endo a 5o6i
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s2θ ( s)−
3g
2 Lθ (s )=
−3
2 L s
2 # (s )
θ (s )= −3s2
2 L( s2−3g2 L ) # (s )( " " )
A5li2ando/6e a tran6;or3ada de La5la2e na "quação ( !" ) :
´ x (t )= 1
M −3
4m (
f ( t )−3
4 mgθ (t )− Mb ´ x( t )) L→ s
2
# (s)= 1
M −3
4m (
$ (s)−3
4 mgθ (s)− Mbs# (s))s2 # ( s )+
Mbs
M −3
4m
# (s)= 1
M −3
4m
$ (s)− 3mg
4 ( M −3
4m)
θ(s)
( M −34 m)s2 # (s )+ Mbs# (s)= $ (s)−3mg4 θ(s)
# (s)=
$ (s)−3mg
4
θ (s )
( M −34 m) s2+ Mbs(" " )
• &ontrole do 'ngulo!
Co3o o @ue 6e 5retende ter u3 2ontrole do nulo do 5êndulo e3 rela
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{ θ (s )=
−3 s2
2 L( s2−3g2 L ) # (s )(
" "
)
# (s )= $ (s )−3
mg
4θ (s )
( M −34 m) s2+ Mbs(! " " )
Dividindo/6e a6 e@ua
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θ(s
)=−(
6 s
L (4 M −3m ) s3+4 LMb s2−6 gMs−6 gMb ) $ (s)
Loo? te3o6 @ue a ;un
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-6 s
-----------------------------
13 s^3 + 16 s^2 - 240 s 240
>> sisotoo!(G)
A 5rin2F5io? ;ora3 e62olido6 o6 6euinte 5ar3etro6:
$iura 0': Par3etro6 utiliado6 no 5ri3eiro 5rojeto do 2ontrolador IO!OOL
$onte: Pró5ria
Onde a re65o6ta no do3Fnio do te35o ;i2ou:1(
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$iura 0(: Re65o6ta do 6i6te3a no do3Fnio do te35o 5ara o6 5ar3etro6 do 5ri3eiro 5rojeto do 2ontrolador
$onte: Pró5ria
Per2e9a @ue o erro 9a6tante 5e@ueno e @ue o 6i6te3a e6ta9iliado 3uito ra5ida3ente?
atendendo a66i3 o6 2ritrio6 do 3odelo 5rojetado no #A!LAB% !odavia? @uando i35le3entado na
realidade? e66e 6i6te3a n7o 6e a5li2a? u3a ve @ue ele ae de u3a 3aneira 3uito 9ru62a na tentativa de
2orriir a 5o6i
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De66e 3odo? 9u62ou/6e 5rojetar outro 2ontrolador:
$iura 0*: Par3etro6 utiliado6 no 6eundo 5rojeto do 2ontrolador IO!OOL
$onte: Pró5ria
Onde a re65o6ta no do3Fnio do te35o ;i2ou:
1+
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$iura 0+: Re65o6ta do 6i6te3a no do3Fnio do te35o 5ara o6 5ar3etro6 do 6eundo 5rojeto do 2ontrolador
$onte: Pró5ria
De a2ordo 2o3 a ;iura a2i3a 5ode/6e 5er2e9er @ue o erro 5ara o rei3e e6ta2ion=rio 6er= u3
5ou2o 3aior do @ue o erro do 6i6te3a 5rojetado anterior3ente? e @ue ele 6er= 3ai6 lento no 6entido de
e@uili9rar o 5êndulo% Contudo? e66e 6i6te3a 9e3 3ai6 6uave e ro9u6to? 5odendo 6er e45andido 5ara
al3 do 3undo virtual? ou 6eja? 5odendo 6er de ;ato 6er 2on2retiado no 3undo ;F6i2o? u3a ve @ue o
ruFdo no 6inal ;oi e4tre3a3ente reduido% Al=3 do @ue o ano de6te 2ontrolador 2in2o vee6 3enor do
@ue o do 5ri3eiro 2ontrolador? o @ue torna e6te novo 2ontrolador ainda 3ai6 vi=vel%
1-
-
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O luar da6 raFe6 5ode 6er vi6ualiado 3ai6 a ;rente:
$iura 0-: Luar da6 raFe6 do 6i6te3a e6ta9iliado 5elo 2ontrolador
$onte: Pró5ria
• &ontrole da posição!
)0
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Para u3 2ontrole de 5o6i
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(¿¿ " " " )
(" "" ) →
−2 L(s2−3 g
2 L )3 s
2 =
# (s ) ∙3mg
{ $ (s )− # ( s )[( M −34 m) s2+ Mbs]}∙4¿
−2 L(s2− 3 g2 L )3s
2 ∙4 $ ( s)+4 # (s ) [( M −34 m) s2+ Mbs ] ∙
2 L(s2−3 g2 L )3s
2 = # (s )∙3mg
−2 L
(s2−
3 g
2 L
)3s2 ∙4 $ ( s)={3mg−4 [( M −
3
4 m) s
2+ Mbs] ∙2 L
(s2−
3 g
2 L
)3 s2 }∙ # (s )
−4 (2 L s2−3 g )3 s
2 ∙$ (s )={9mg s
2−[ (4 M −3m ) s2+4 Mbs ] ∙ (2 L s2−3g )3 s
2 }∙ # ( s)−4 (2 L s2−3g )∙ $ ( s)={9mg s2−[ (4 M −3m )2 L s4+8 LMb s3−3 g (4 M −3m ) s2−12gMbs ] } ∙ # ( s )
−4 (2 L s2−3g )∙ $ ( s)=[−(4 M −3m )2 L s4−8 LMb s3+3g (4 M ) s2+12gMbs ] ∙ # (s )
# (s )=( −8 L s2+12g
−2 L (4 M −3m ) s4−8 LMb s3+12 gM s2+12gMbs ) $ ( s ) # (s )=(
4 L s2
−6 g L (4 M −3m ) s4+4 LMb s3−6 gM s2−6 gMbs )
$ (s )
Loo? te3o6 @ue a ;un
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G # (s
)=
4 s2−60
13s4+16 s3−240s2−240s
De66a ;or3a? 5ode/6e utiliar a e@ua
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$onte: Pró5ria
Utiliando/6e do 6o;tGare #A!LAB tentou/6e 5rojetar o 2ontrolador da 6euinte ;or3a:
Command Window
>> " = 4#$%6#&tf([con'([0%3$ 1],[0%31 1])],[0%0# 1 0])
Transfer function:
6%3 s^2 + 330%3 s + 4#$%#
---------------------------
0%0# s^2 + s
>> G = tf([4 0 -60],[13 16 -240 -240 0])
Transfer function:
)8
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4 s^2 - 60
---------------------------------
13 s^4 + 16 s^3 - 240 s^2 - 240 s
>> * = "&G
Transfer function:
22% s^4 + 1321 s^3 - 146 s^2 - 1%$2e004 s - 2%$#2e004
---------------------------------------------------------
0%#41 s^6 + 13%1 s^ + 2%32 s^4 - 23%# s^3 - 240 s^2
>> sisotoo!(*)
Onde tentou/6e e6ta9iliar a 6euinte re65o6ta:
$iura 11: Re5o6ta no te35o do 6i6te3a in6t=vel !entativa de 5rojetar u3 2ontrolador de 5o6i
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=ria6 tentativa6 ;ora3 ;eita6 e n7o ;oi 5o66Fvel o9ter/6e u3 re6ultado 6ati6;atório% De66a ;or3a?
o5tou/6e 5or ;aer u3 2ontrole 3ai6 auto3=ti2o% Ou 6eja? utiliou/6e u3 9lo2o PID? e ele ;e todo6 o6
2=l2ulo6 5ara o 2ontrolador ne2e66=rio 5ara e6ta9iliar a re65o6ta tran6itória%
E 5Tde/6e o9ter a 6euinte re65o6ta:
$iura 1): Re65o6ta no te35o e6ta9iliada PID
$onte: Pró5ria
Onde 5ode/6e 5er2e9er 2lara3ente a e6ta9ilidade do 6i6te3a? no 2a6o? da 5o6i
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$iura 1&: Par3etro6 do PID
$onte: Pró5ria
Onde o 6i6te3a re65on6=vel 5ela 3odelae3 da 6i3ula
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$iura 1': Plata;or3a u6ada 5ara a 6i3ula
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$iura 1(: i6te3a do 5êndulo 6e3 2ontrolador nulo e3 radiano6 da a6te e3 ro4o e 5o6i
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$iura 1*: "r=;i2o6 do 6i6te3a 5ara u3a 5ertur9a
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Per2e9e/6e @ue o 2arrino ;i2a o62ilando e3 torno do 5onto ero? ou 6eja? no 5onto adotado 2o3o
re;erên2ia% Outro ;ato a 6er o96ervado @ue a 5o6i
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$iura )0: "r=;i2o6 do 6i6te3a 5ara u3a 5ertur9a
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$iura )1: "r=;i2o6 do 6i6te3a 5ara u3a 5ertur9a
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$iura )): "r=;i2o do nulo do 5êndulo 5ara u3a 5ertur9a
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*. Con")u+o
Durante a eta5a da introdu
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e6t= e45o6to na $iura 0+? @ue ainda 2ontinua r=5ido% O re6ultado di66o? o 5êndulo 5rati2a3ente i3óvel
6o9 a 5o6i
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"# $ibliogra!ia
1J !ORRICO? B% C% Roteiro de Aulas de Controle–Laboratório Nº 02– Modelagem e Simula!o do P"ndulo #n$estido% $ortalea: DEE/U$C? )01'%
)J !ORRICO? B% C% Slides de Aulas de Sistemas Lineares – Aula& – Sistemas 'istos (omo #nter(one)*esde +,era*es% $ortalea: DEE/U$C? )01'%
&J RENIC. R%?,ALLIDAW? .RANE .% % -.si(a / – 1 ed% LC%
8J O"A!A? .% 3ngenharia do Controle Moderno% Prenti2e ,all do Bra6il? 8X Ed%)00&%