Relaciones
12
Las relaciones son un subconjunto de producto cartesiano. Las relaciones son condiciones que posee la variable de las abscisas con respecto a la variable de las ordenadas en los pares ordenados Definición N°2: Relación de en Dado los conjuntos y , se llama relación definida de en a cualquier subconjunto del producto cartesiano Por comprensión lo anterior lo podemos expresar como: , es la relación definida de en si, y sólo si (relación). , o bien es decir, EJEMPLO Nº7: a- Si es el conjunto de todos los países y es el conjunto de todos los ríos, podemos definir una relación: Algunos pares de son: 2.2 RELACIONES
Transcript of Relaciones
Las relaciones son un subconjunto de producto cartesiano. Las relaciones son
condiciones que posee la variable de las abscisas con respecto a la variable de las
ordenadas en los pares ordenados
Definición N°2: Relación de en
Dado los conjuntos y , se llama relación definida de en a cualquier
subconjunto del producto cartesiano
Por comprensión lo anterior lo podemos expresar como:
, es la relación definida de en si, y sólo si (relación).
, o bien es decir,
EJEMPLO Nº7:
a- Si es el conjunto de todos los países y es el conjunto de todos los ríos, podemos
definir una relación:
Algunos pares de son:
2.2 RELACIONES
b- Sea
Entonces,
Dos relaciones de en son:
Relación de :
Se llama relación definida en a cualquier subconjunto de .
EJEMPLO Nº8:
1. Sea , las siguientes son relaciones definidas en
es impar
a- Sea luego
Número de subconjunto: subconjuntos.
b.- Sea y ,
Entonces el número de Relaciones de
Notemos que si es un conjunto finito con elementos, entonces el número de
subconjuntos de es Además, si tiene elementos, el El número
de Relaciones que se pueden definir de en es
2.2.1 REPRESENTACION GRÁFICA DE UNA RELACIÓN.
Si una relación está definida en conjuntos numéricos reales, se pueden
representar en el plano cartesiano como lo indican los siguientes ejemplos.
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
x
Y
-1 1 2 3 4 5
-2
-1
1
2
3
4
X
Y
2.2.2 DOMINIO Y RECORRIDO DE UNA RELACIÓN.
Definición Nº3: Dominio
Se llama Dominio de una relación definida de , al conjunto formado por
todas las primeras componentes de los pares ordenados que pertenecen a la
relación.
Dicho por comprensión, esto es:
Figura 2.8 Circunferencia de
centro y radio
Figura 2.9 Primer cuadrante
EJEMPLO N°9:
a.-Sea y la relación
definida por
Los pares ordenados de la relación son:
Luego, el dominio de la relación es:
b.- Sea
Luego, el dominio de la relación es:
Definición Nº4: Recorrido
Se llama Recorrido de una relación definida de , al conjunto de los
segundos componentes de los pares ordenados que pertenecen a la relación.
Dicho por comprensión, esto es:
EJEMPLO Nº10:
a.-Sea y la relación
definida por
Los pares ordenados de la relación son:
Luego, el recorrido de la relación es:
b.- Sea
Luego, el recorrido de la relación es:
2.2.3. RELACIÓN INVERSA
La relación inversa de la relación padre es la relación hijo, y la relación inversa de
la relación hermano es ella misma. La relación inversa de divide es ser múltiplo.
En matemática una relación inversa es solo conmutar, cambiar el orden de la
abscisa con la ordenada. A continuación veremos la definición formal y algunos
ejemplos que muestren una relación inversa.
Definición N°5: RELACIÓN INVERSA
Dada una relación definida de , tiene una relación inversa que denotamos
por , cuyos elementos son los pares conmutados de
Por comprensión, esto es:
Si la relación viene dada por los pares ordenados de la forma , los pares
ordenados de la relación inversa se invierten, es decir, .
Si es una relación definida de , entonces es una relación definida de
en
Entonces
Además, si es la relación inversa de , entonces:
y
El diagrama sagital muestra la relación de en y su relación inversa
de en
EJEMPLO N°11:
a.- En un conjunto de personas consideramos la relación:
La relación inversa es:
b.- Si
La relación inversa es:
Figura 2.1 Representación Sagital de
una Relación Inversa
2.2.4 PROPIEDADES DE LAS RELACIONES DEFINIDAS EN .
Una relación definida en un conjunto puede cumplir las siguientes propiedades:
a) Propiedad Refleja:
Una relación definida en un conjunto , satisface la propiedad refleja si, y sólo si,
para todo elemento de Esto quiere decir que todos los elementos
de A están relacionados consigo mismo.
Para que una relación sea refleja deben estar todos los pares ordenados de la
forma , para todos los elementos del conjunto.
EJEMPLO N°12:
Para y se definen las relaciones siguientes:
Satisface la propiedad refleja:
No satisface la propiedad refleja, pues el par
b) Propiedad Simétrica
La relación definida en un conjunto , satisface la propiedad simétrica si, y sólo
si , entonces .
Una relación cumple la propiedad simétrica si cada vez que se encuentra el par
, entonces necesariamente debe estar el par .
Una relación satisface la propiedad simétrica si, y sólo si,
EJEMPLO N°13:
En . Consideremos las relaciones y .
No satisface la propiedad simétrica pues pero . De hecho,
Satisface la propiedad simétrica; ya que
c) Propiedad Transitiva
Una relación definida en un conjunto , satisface la propiedad transitiva si, y
sólo si, entonces .
La propiedad transitiva indica que si en la relación se encuentran los pares
, entonces también debe estar dentro de la relación el par .
EJEMPLO N°14:
a.- Sea y la relación , verifiquemos que es
una relación que cumple la propiedad transitiva
Luego, la relación es una relación que cumple la propiedad transitiva.
b.- Sea y la relación , verifiquemos si cumple la
propiedad transitiva
Luego, la relación , no cumple la propiedad transitiva.
d) Propiedad Antisimétrica
La relación definida en un conjunto , satisface la propiedad antisimétrica si, y
sólo si . Entonces,
Para todos los elementos del conjunto A se forman los pares ordenados y
los pares de la forma que están en la relación , entonces necesariamente
los elementos son los mismos, es decir,
EJEMPLO N°15:
Sea el conjunto .
Se define como la relación definida en
Cumple con la propiedad antisimétrica.
Sea una relación definida en
No cumple la propiedad simétrica y tampoco cumple la propiedad antisimétrica.
2.2.5 TIPOS DE RELACIONES
Las relaciones que satisfacen algunas de las propiedades se denominan de la
siguiente manera:
a) Relación Equivalencia
Una relación definida en un conjunto , es una relación de equivalencia si, y
sólo si cumple con las propiedades refleja, simétrica y transitiva. Esto es, debe
cumplir las tres propiedades de manera simultánea. Si una de estas no se cumple,
la relación no es de Equivalencia.
EJEMPLO N°16:
Sea y se define una relación por
Los pares ordenados de la relación son:
Luego, la relación es una Relación de equivalencia.
b) Relación de Orden
Una relación definida en un conjunto es una relación de orden si, y sólo si
cumple las propiedades refleja, antisimétrica y transitiva. Esto es, tiene que
cumplir con las tres propiedades de manera simultánea (refleja, antisimétrica y
transitiva), si una de estas no se cumple, la relación no es una Relación de Orden.
EJEMPLO N°17:
Sea y se define la relación
Luego, la relación es una Relación de Orden
