REGULACIJA ULTRASENZITIVNOSTI LINEARNO

SKLOPLJENIH PROTEINSKIH KASKAD

Seminar iz fizike na dvopredmetnem študijskem programu Fizika (stari program)

Aleš Vunjak

Mentor: asist. dr. Rene Markovič

Maribor, 2016

i

VUNJAK, A.: Regulacija ultrasenzitivnosti linearno porazdeljenih proteinskih kaskad

Seminar iz fizike, Univerza v Mariboru, Fakulteta za naravoslovje in matematiko, Oddelek za

fiziko, 2016.

Povzetek:

V seminarju je obravnavana ultrasenzitivnost mitogensko aktiviranih proteinskih kaskad.

Podrobneje bodo predstavljeni mehanizmi, ki vplivajo na senzitivnost odzivanja sistema na

določeno zunanjo stimulacijo. Nazadnje vpeljemo še pozitivno povratno zanko in proučujemo

vhodno–izhodno karakteristiko tristopenjske proteinske kaskade.

Ključne besede: mitogensko aktivirana proteinska kaskada, ultrasenzitivnost, Hillov

koeficient, bistabilnost, pozitivna povratna zanka.

Abstract:

In the seminar we investigate ultrasensitivity of the mitogen activated protein cascades. We

study which features of the system affect its sensitivity to some external stimulation. Finally,

we introduce a positive feedback loop and study the input-output characteristic of a three

tiered cascade.

Keywords: mitogen activated protein kinase, ultrasensitivity, Hill coefficient, bistability,

positive feedback loop.

ii

Kazalo

1 Uvod ........................................................................................................................................ 1

2 Matematični model .................................................................................................................. 1

3 Ultrasenzitivnost ...................................................................................................................... 4

4 Hillov koeficient N stopenjske kaskade .................................................................................. 6

5 Regulacija ultrasenzitivnosti s pozitivno povratno zanko ....................................................... 8

6 Zaključek ................................................................................................................................. 9

1

1 Uvod

Signalizacija v bioloških sistemih poteka na različnih velikostnih redih in preko različnih

mehanizmov. Omogoča preživetje živih bitij ter skrbi za njihovo prilagojenost znotraj

habitata [1]. Osnovni člen te kompleksne signalizacijske verige je celica. Njena avtonomnost

je omogočena s celično membrano. Celična membrana je neprepustna za večino kemikalij in

je opremljena z receptorji, ki delujejo kot senzorji. Senzorji nenehno spremljajo okolico celice

in v kolikor zaznajo kakšno spremembo, se informacija preko receptorjev na celični

membrani prenese v znotrajcelični prostor [2, 3]. Zaradi tega se v celici sprožajo receptorsko

specifične znotrajcelične signalne poti [4]. Tako se raznoliki znotrajcelični signali procesirajo

na nizu linearno sklopljenih mitogensko aktiviranih proteinskih kinazah, na t.i. proteinski

kaskadi [5]. Običajno so kaskade sestavljene iz treh nizov proteinskih kinaz. Njihova osnovna

struktura je v veliki večini evkariotnih celic primerljiva. Kljub veliki podobnosti lahko zaradi

razlik v funkcionalnosti povratnih zank proizvedejo veliko množico raznolikih bioloških

odzivov [6]. Ena od lastnosti znotrajcelične signalne poti, ki je tema številnih raziskav, je

njihova bistabilnost in ultrasenzitivnost. Sama bistabilnost daje mehanizmu lastnosti stikala.

Občutljivost stikala, da preide iz neaktivnega v aktivno stanje, je povezana s stopnjo

ultrasenzitivnosti kaskade.

V seminarju se bomo podrobneje posvetili vlogi pozitivne povratne zanke na odzivne lastnosti

kaskade. Proučili bomo njen vpliv na ultrasenzitivnost ter na s to lastnostjo povezano

bistabilnost proteinskih kaskad.

V nadaljevanju bo najprej predstavljen matematični model (poglavje 2), s katerim bomo

numerično simulirali eno proteinsko kinazo. Podrobneje bo predstavljen tudi pomen

posameznih parametrov na dinamične lastnosti modela. Temu sledi predstavitev pojma

ultrasenzitivnosti ter njene kvantitativne mere (poglavje 3). Pokazali bomo, da je v sistemu

niza linearno sklopljenih proteinskih kinaz možen ultrasenzitiven odziv le v primeru, ko imajo

posamezne proteinske kinaze že same po sebi ultrasenzitiven odziv (poglavje 4). Prikazali

bomo tudi vpliv Hillovega koeficienta posamezne proteinske kinaze na vhodno–izhodno

karakteristiko proteinske kaskade. Nazadnje bomo v kaskado dodali pozitivno povratno zanko

ter pokazali, kako vpliva na ultrasenzitivnost (poglavje 5).

2 Matematični model

V naših simulacijah predstavlja proteinska kinaza osnovni znotrajcelični signalizacijski

gradnik. Znotraj posameznega gradnika potekata procesa fosforilacije in defosforilacije, ki

skupaj določata koncentracijo aktivnih proteinskih kinaz. Koncentracija aktivnih proteinskih

kinaz 𝑖-te stopnje (𝑧𝑖) se s časom spreminja kot [7-9]:

𝜕𝑧𝑖𝜕𝑡

= 𝑧 𝑖 = 𝑘on ,𝑖𝑧𝑖−1𝑛𝐻 𝑧tot ,i − 𝑧𝑖 − 𝑘off ,𝑖𝑧𝑖 , (1)

2

kjer je 𝑘on ,𝑖 aktivacijska in 𝑘off ,𝑖 deaktivacijska konstanta, 𝑧tot ,𝑖 je skupna koncentracija

aktivnih in neaktivnih kinaz. Indeks 𝑖 zavzema vrednosti med 1 in 𝑁, kjer je 𝑁 končno število

proteinskih kinaz, ki sestavljajo proteinsko kaskado. Koeficient 𝑛𝐻 je Hillov koeficient, ki bo

podrobneje obravnavan v naslednjem poglavju. Znotrajcelično signalno pot aktivira določen

vhodni signal 𝑧𝑖−1. V primeru primarne kinaze, t.j. za 𝑖 = 1, predstavlja vhodni signal

koncentracija (𝑥) signalnih molekul, ki jo regulirajo receptorji na celični membrani. Zaradi

aktivacije se skupna koncentracija prostih neaktivnih kinaz, ki je na začetku enaka 𝑧tot ,𝑖 ,

prične manjšati. S tem se veča koncentracija aktivnih kinaz. Hitrost fosforilacije kinaze

določa konstanta 𝑘on ,𝑖 . Istočasno poteka tudi proces defosforilacije, kjer aktivne kinaze

prehajajo nazaj v neaktivno stanje 𝑧 𝑖 . Hitrost deaktivacije določa konstanta 𝑘off ,𝑖 .

Predpostavili bomo tudi, da se skupna koncentracija neaktivnih in aktivnih proteinov znotraj

posamezne kinaze ne spreminja. Zato velja, da je 𝑧tot ,𝑖 = 𝑧𝑖 + 𝑧 𝑖 . Ker so posamezne

proteinske kinaze linearno sklopljene, aktivacija 𝑖-te kinaze sproži podoben proces v sosednji

kinazi. Ta aktivacijski plaz nato poteka vse do končne, 𝑁-te proteinske kinaze. Shematski

prikaz delovanja sistema je prikazan v obliki pretočnega diagrama na sliki 1.

Slika 1. Signalna struktura 𝑁–stopenjske linearno sklopljene proteinske kaskade. Vhodni signal 𝑥 je

koncentracija signalnih molekul, konstante 𝑘on,1 do 𝑘on ,𝑁 so aktivacijske in 𝑘off ,1 do 𝑘off ,𝑁 deaktivacijske

konstante posameznih proteinskih kinaz. Koncentracije neaktiviranih kinaz so označene z 𝑧 1 do 𝑧 𝑁 in

koncentracije aktiviranih kinaz z 𝑧1 do 𝑧𝑁 .

Stacionarno stanje sistema je doseženo, ko je aktivacijski tok po velikosti enak

deaktivacijskemu toku. Takrat velja, da se koncentracija aktivnih proteinskih kinaz več ne

spreminja s časom, zato je 𝑧 𝑖 = 0. Če omenjeno upoštevamo v enačbi (1), lahko določimo

koncentracijo aktiviranih proteinov (𝑧s,𝑖) v stacionarnem stanju sistema ob dani koncentraciji

vhodnega signala (𝑧𝑖−1):

𝑧s,𝑖 =𝑧tot ,𝑖𝑧𝑖−1

𝑧𝑖−1 + 𝐾𝑖 , (2)

kjer smo vpeljali konstanto 𝐾𝑖 , ki podaja razmerje med aktivacijsko in deaktivacijsko

konstanto:

𝐾𝑖 =

𝑘off ,𝑖

𝑘on ,𝑖 .

(3)

3

Enačba (2) in enačba (3) kažeta, da je stacionarna koncentracija aktivnih proteinov odvisna

tako od koncentracije signalnih molekul, kot tudi od časovnih konstant 𝑘on ,𝑖 in 𝑘off ,𝑖 . Indeks 𝑖

bomo namerno izpustili, ker se bomo osredotočili zgolj na eno proteinsko kinazo.

Da bi bolje ponazorili vpliv količin 𝑥, 𝑘on in 𝑘off na dinamiko sistema, smo s programom

Berkeley Madonna numerično integrirali enačbo (1). Za vhodni signal 𝑥 je bila uporabljena

stopničasta funkcija, ki jo lahko zapišemo kot:

𝑥 =

0 ; 0 ≤ 𝑡 < 𝑡0

𝑥0 ; 𝑡0 ≤ 𝑡 < 𝑡0 + ∆𝑡 0 ; 𝑡0 + ∆𝑡 ≤ 𝑡

, (4)

kjer je 𝑡0 čas, ob katerem signal 𝑥 hipno naraste na vrednost 𝑥0 in ∆𝑡 časovni interval, v

katerem je vrednost vhodnega signala enaka 𝑥0.

Vpliv časovnih konstant 𝑘on in 𝑘off na dinamiko spreminjanja koncentracije aktivnih

proteinov je prikazan na sliki 2. Slika 2a prikazuje časovni odziv ene proteinske kinaze ob

različnih vrednostih časovne konstante 𝑘off in konstantni vrednosti 𝑘on = 1 μMs −1.

Opazimo lahko, da ob prenehanju vhodnega signala manjše vrednosti parametra 𝐾 izzovejo

podaljšanje časa, ki je potreben za prehod kinaze iz aktivnega v neaktivno stanje. Istočasno

manjšanje parametra 𝐾 vodi tudi k večji koncentraciji aktivnih proteinov. To je tudi v skladu

z napovedjo (glej enačbo (2)).

Slika 2b prikazuje odziv ene proteinske kinaze, kjer so bile uporabljene različne vrednosti za

𝑘on ob konstantni vrednosti 𝑘off = 1 s−1. Opazimo lahko, da se čas, ki je potreben, da

proteinska kinaza doseže stacionarno stanje, z večanjem konstante 𝐾 v splošnem daljša.

Hkrati lahko tudi v tem primeru opazimo vpliv parametra 𝐾 na koncentracijo aktivnih kinaz v

stacionarnem stanju. Le-ta se z večanjem parametra 𝐾 zmanjšuje.

Slika 2. Vpliv konstante 𝐾 na dinamiko spreminjanja koncentracije (𝑧) aktivnih kinaz v odvisnosti od časa (𝑡) ob

vklopu stopničastega vhodnega signala 𝑥0. a) 𝑧(𝑡) za različne vrednosti 𝑘off ob konstantni vrednosti

𝑘on = 1 μMs −1. Črna črta: 𝐾 = 1 μM, rdeča: 𝐾 = 0,2 μM in modra: 𝐾 = 0,02 μM. b) 𝑧(𝑡) za različne 𝑘on ob

konstantni vrednosti 𝑘off = 1 s−1. Modra črta: 𝐾 = 0,5 μM, rdeča: 𝐾 = 2 μM in črna: 𝐾 = 10 μM.

4

Nazadnje smo opravili še numerično simulacijo, kjer na kinazo vodimo tri različno velike

stopničaste vhodne signale. Razmerje med 𝑘off in 𝑘on je zmeraj enako 1 μM. Rezultati so

prikazani na sliki 3. Opazimo lahko, da čas, ki je potreben, da sistem doseže stacionarno

stanje, ni odvisen od velikosti vhodnega signala. Prav tako od velikosti vhodnega signala ni

odvisen deaktivacijski čas. V splošnem je možno opaziti, da večji vhodni signal povzroči tudi

večjo koncentracijo aktivnih kinaz v stacionarnem stanju.

Slika 3. Časovni potek spreminjanja koncentracije (𝑧) aktivnih kinaz za tri različno velike stopničaste vhodne

signale 𝑥. Razmerje med 𝑘off in 𝑘on je zmeraj enako 1 μM. Črna črta: 𝑥0 = 1 μM, rdeča: 𝑥0 = 1,2 μM in modra:

𝑥0 = 1,9 μM.

Do sedaj smo predstavili, kako parametra 𝑘on in 𝑘off ter velikost vhodnega signala 𝑥0

vplivajo na dinamiko ene proteinske kinaze. V nadaljevanju bomo podrobneje predstavili

senzitivnost ene proteinske kinaze ter linearno sklopljenih proteinskih kinaz. Zapisali bomo

matematični izraz, s katerim kvantificiramo senzitivnost in predstavili pojem

ultrasenzitivnosti.

3 Ultrasenzitivnost

S pojmom senzitivnosti opredeljujemo, kako občutljiv je dan sistem na zunanje vzbujanje.

Običajno uporabljena mera, s katero kvantificiramo to lastnost, je Hillov koeficient [10].

Hillov koeficient odraža stopnjo kooperativnega vezanja molekul, ki je pogojena z

nelinearnim procesiranjem signala [11]. Omenjena nelinearnost je v našem matematičnem

modelu, ki je zapisan v enačbi (1), vključena z eksponentom 𝑛𝐻 , ki ga določimo z

enačbo [10]:

𝑛𝐻 =

log10 81

log10 𝑥90/𝑥10 . (5)

V enačbi (5) je 𝑥90 vrednost vhodnega signala, pri katerem izhodni signal v stacionarnem

5

stanju doseže 90% vrednosti največjega možnega izhodnega signala. Z 𝑥10 je označena

vrednost vhodnega signala, pri katerem izhodni signal v stacionarnem stanju doseže 10%

vrednosti največjega možnega izhodnega signala [10]. V kolikor je vrednost 𝑛𝐻 = 1, je

potrebna 81-kratna porast vhodnega signala, da se koncentracija aktiviranih proteinov poveča

iz 10% na 90%. V primerih, kjer je 𝑛𝐻 = 1, govorimo, da je sistem senzitiven. V primerih,

kjer velja 𝑛𝐻 < 1, govorimo o nekooperativnem vezanju molekul. V primerih, kjer je 𝑛𝐻 > 1,

je odziv sistema močno kooperativen in govorimo o ultrasenzitivnem odzivu.

Numerično določimo 𝑛𝐻 sistema tako, da za različne konstantne vrednosti vhodnega signala x

simuliramo dinamiko sistema. Pri vsaki uporabljeni vrednosti pustimo sistemu dovolj časa, da

doseže stacionarno stanje, kjer velja 𝑧 𝑖 ≈ 0. V teku simulacije sproti spremljamo, pri katerih

vrednostih vhodnega signala je stacionarna vrednost izhodnega signala približno enaka 10%

in 90% vrednosti največjega možnega odziva. Dobljene rezultate prikažemo v obliki

vhodno–izhodne karakteristike. Na abscisno os nanašamo vrednost vhodnega signala in na

ordinatno os doseženo stacionarno vrednost odziva sistema. Primer tipične

vhodno–izhodne karakteristike in shematski prikaz določanja Hillovega koeficienta sta

prikazana na sliki 4. Zaradi velikega razpona uporabljenih vrednosti vhodnega signala je

abscisna os v logaritemskem merilu.

Slika 4. Tipična vhodno–izhodna karakteristika izhodnega signala ene proteinske kinaze v odvisnosti od

velikosti vhodnega signala. Vodoravni črtkani črti ponazarjata 10% in 90% odziv sistema, navpični črti

ponazarjata ustrezni vrednosti vhodnega signala. Graf prikazuje krivuljo za primer 𝑛𝐻 = 1.

V splošnem velja, da večja kot je vrednost Hillovega koeficienta, manjša sprememba

vhodnega signala je potrebna, da sistem preide iz neaktivnega v aktivno stanje. S tem postaja

sistem tudi vse bolj bistabilen in hitreje preklopi iz neaktivnega v aktivno stanje. Bistabilnost

sistema v okviru obravnavane tematike razumemo kot lastnost sistema, ki ima dve stabilni

stanji. V prvem so vsi proteini v kinazi neaktivirani. V drugem je koncentracija aktiviranih

proteinov največja možna. Sama ultrasenzitivnost kinaze ni pogojena s hitrostjo aktivacije in

deaktivacije. Da bi omenjeno prikazali, smo za različne vrednosti parametra 𝐾 izračunali

vhodno–izhodno karakteristiko. Vrednost eksponenta 𝑛𝐻 v enačbi (1) smo postavili na 1.

Rezultati simulacije za tri različne vrednosti parametra 𝐾 so prikazani na sliki (5a). Opazimo

6

lahko, da se v splošnem krivulja z večanjem parametra 𝐾 premika proti levi, vendar se

strmina krivulje ne spreminja.

Primer vhodno–izhodne karakteristike proteinske kinaze za različne vrednosti Hillovega

koeficienta je prikazan na sliki 5b. Rezultati so dobljeni z numeričnim integriranjem enačbe

(1), kjer smo za eksponent 𝑛𝐻 uporabili vrednosti 0,5, 1,0 in 2,0. Rezultati zelo lepo

prikazujejo, da se z večanjem vrednosti eksponenta 𝑛𝐻 krči interval vrednosti 𝑥, kjer

proteinska kinaza prehaja iz neaktivnega v aktivno stanje. Tako je potrebna manjša porast

vhodnega signala, da sistem preide v aktivno stanje, kar se odraža v večji strmini krivulje.

Slika 5. Izhodni signala (𝑧) ene proteinske kinaze v odvisnosti od vhodnega signala (𝑥). a) 𝑧(𝑡) za različne

vrednostih 𝐾 in 𝑛𝐻 = 1. Črna črta: 𝐾 = 0,1 μM, rdeča: 𝐾 = 1 μM in modra: 𝐾 = 10 μM. b) 𝑧(𝑡) za različne

vrednosti Hillovih koeficientov 𝑛𝐻 in 𝐾 = 1 𝜇M. Črna črta: 𝑛𝐻 = 0,5, rdeča: 𝑛𝐻 = 1,0 in modra: 𝑛𝐻 = 2.

V nadaljevanju bomo predstavili dinamiko 𝑁 stopenjske proteinske kaskade. Posebej se bomo

posvetili vplivu kaskadnega mehanizma na senzitivnost končne kaskade za primer, ko je

𝑁 = 3.

4 Hillov koeficient N stopenjske kaskade

V prejšnjem poglavju smo prikazali, kako Hillov koeficient vpliva na odzivnost ene

proteinske kinaze. V splošnem nastopajo kinaze v obliki niza linearno sklopljenih proteinskih

kinaz, čemur pravimo proteinska kaskada. Vrednost Hillovega koeficienta proteinske kaskade

je v splošnem enaka produktu Hillovih koeficientov posameznih proteinskih kinaz [12]. Tako

se stopnja senzitivnosti v vsakem členu te znotrajcelične signalizacijske verige veča, v kolikor

je 𝑛𝐻,𝑖𝑛𝐻,𝑖−1 > 1. Senzitivnost se manjša, če velja 𝑛𝐻 ,𝑖𝑛𝐻,𝑖−1 < 1.

Da bi ponazorili to lastnost, smo za dva primera numerično izračunali vhodno–izhodno

karakteristiko proteinske kaskade za 𝑁 = 3. V prvem primeru smo vsem proteinskim kinazam

dodelili Hillov koeficient 𝑛𝐻,𝑖 = 1,5 in v drugem primeru vrednost 𝑛𝐻,𝑖 = 0,8. Dobljene

7

vhodno–izhodne karakteristike so prikazane na sliki 6. V primeru, kjer so bile vrednosti

Hillovih koeficientov enake 1,5 (glej sliko 6a), lahko opazimo, da se strmina krivulje z vsako

naslednjo kinazo povečuje. To pomeni, da se veča tudi Hillov koeficient. Prav tako se pričetek

faze naraščanja krivulje z vsako naslednjo kinazo sproža pri nižjih koncentracijah vhodnega

signala. Odziv sistema postaja vse bolj podoben stikalu.

V primeru, kjer so bili Hillovi koeficienti posameznih kinaz enaki 0,8 (glej sliko 6b), je

možno opaziti ravno nasprotno. Strmina krivulje se z vsako naslednjo kinazo zmanjšuje.

Zanimivo je, da se vsaka naslednja kinaza tudi v tem primeru prične odzivati pri vse nižjih

koncentracijah vhodnega signala. Vendar potrebno povečanje velikosti vhodnega signala, da

se kinaza popolnoma aktivira, narašča.

Slika 6. Izhodni signal (𝑧) proteinske kaskade za 𝑁 = 3 v odvisnosti od vhodnega signala (𝑥). a) 𝑧(𝑥) za

𝑛𝐻 = 1,5. Črna črta: 𝑖 = 1, modra: 𝑖 = 2 in rdeča: 𝑖 = 3. Ultrasenzitivnost kaskade se v tem primeru poveča.

b) 𝑧(𝑥) za 𝑛𝐻 = 0,8. Črna črta: 𝑖 = 1, rdeča: 𝑖 = 2 in modra: 𝑖 = 3. V tem primeru se ultrasenzitivnost kaskade

zmanjša.

Hillove koeficiente posamezne stopnje za oba primera smo določili tudi numerično in jih

primerjali s teoretično pričakovanimi vrednostmi. Rezultati so zajeti v tabeli 1. Iz rezultatov

lahko tudi sklepamo, da s kaskadnim mehanizmom ne moremo doseči ultrasenzitivnega

odziva, kadar je Hillov koeficient posameznih kinaz enak 1. V nadaljevanju bomo predstavili,

kako lahko tudi v takšnem primeru ultrasenzitiven odziv vendarle dosežemo.

𝑛𝐻 = 1,5 𝑛𝐻 = 0,8

𝑖 𝑛𝐻,teo 𝑛𝐻,num 𝑛𝐻,teo 𝑛𝐻,num

1 1,500 1,502 0,800 0,800

2 2,250 2,215 0,640 0,620

3 3,375 3,322 0,512 0,500

Tabela 1. Teoretične vrednosti Hillovih koeficientov (𝑛𝐻 ,teo ) in numerično pridobljene vrednosti Hillovih

koeficientov (𝑛𝐻,num ) za posamezne stopnje proteinskih kinaz.

8

5 Regulacija ultrasenzitivnosti s pozitivno povratno zanko

V bioloških sistemih so pogoste pozitivne povratne zanke [10]. V splošnem se pri povratni

zanki del izhodnega signala določene kinaze v proteinski kaskadi vodi nazaj na vhod določene

kinaze. Za primer tristopenjske proteinske kaskade bomo opazovali njeno

vhodno–izhodno karakteristiko, če ji dodamo pozitivno povratno zanko. Povratno zanko

bomo uvedli med izhodom končne kinaze in vhodom primarne kinaze, kakor to prikazuje

slika 7. Zaradi dodane povratne zanke se del izhodnega signala na končni kinazi prišteje k

vhodnemu signalu primarne kinaze.

Slika 7. Signalna struktura 3 stopenjske proteinske kaskade s pozitivno povratno zanko. Vhodni signal je 𝑥,

konstante 𝑘on ,1 do 𝑘on ,3 so aktivacijske in 𝑘off ,1 do 𝑘off ,3 deaktivacijske konstante. Neaktivirane kinaze so

označene z 𝑧 1 do 𝑧 3, aktivirane kinaze pa z 𝑧1 do 𝑧3.

Tristopenjska kaskada, ki v osnovi ni ultrasenzitivna, to lahko postane, če vsebuje pozitivno

povratno zanko. V ta namen je potrebno matematični model, zapisan v enačbi (1), nadgraditi.

Dinamiko posamezne kinaze zapišemo kot [13]:

𝜕𝑧1

𝜕𝑡= 𝑘𝑜𝑛𝑥 1 +

𝑧3

𝑧𝑡𝑜𝑡𝑓 𝑧𝑡𝑜𝑡 − 𝑧1 − 𝑘𝑜𝑓𝑓 𝑧1, (6)

𝜕𝑧2

𝜕𝑡= 𝑘𝑜𝑛 𝑧1 𝑧𝑡𝑜𝑡 − 𝑧2 − 𝑘𝑜𝑓𝑓 𝑧2, (7)

𝜕𝑧3

𝜕𝑡= 𝑘𝑜𝑛𝑧2 𝑧𝑡𝑜𝑡 − 𝑧3 − 𝑘𝑜𝑓𝑓 𝑧3, (8)

kjer je 𝑓 jakost pozitivne povratne zanke. Večja kot je njena vrednost, večji del izhodnega

signala se vodi nazaj na vhod, kjer se prišteje k obstoječemu vhodnemu signalu 𝑥.

Vhodno–izhodna karakteristika, dobljena s simulacijo, je predstavljena na sliki 8. Vidimo, da

se z večanjem jakosti pozitivne povratne zanke strmina krivulje povečuje. Zaradi tega je

kaskada vse bolj ultrasenzitivna, kar povečuje občutljivost izhodnega signala v odvisnosti od

vhodnega. Poudariti je treba, da je vrednost Hillovega koeficienta posameznih proteinskih

9

kinaz pri tej simulaciji enaka 1, zato same po sebi nimajo ultrasenzitivnih lastnosti. Pokazali

smo torej, da s pozitivno povratno zanko dosežemo, da sistem iz enega stabilnega stanja

preide v drugo stabilno stanje pri tem manjši spremembi vhodnega signala 𝑥, čim večja je

jakost pozitivne povratne zanke. Sistem tako postaja vse bolj bistabilen.

Slika 8. Izhodni signal (𝑧) za proteinsko kaskado s pozitivno povratno zanko pri 𝑁 = 3 (slika 7) za različne

jakosti povratne povezave 𝑓 v odvisnosti od vhodnega signala 𝑥. Črna črta: 𝑓 = 1, rdeča: 𝑖 = 10 in modra:

𝑖 = 100. Hillov koeficient posamezne proteinske kinaze je enak 1.

6 Zaključek

V seminarju smo obravnavali znotrajcelično signalizacijo, ki jo v izvršilnem delu sestavlja t.i.

mitogensko aktivirana proteinska kaskada. Predstavili smo shemo in osnove delovanja takšne

kaskade ter za izvedbo numeričnih simulacij uporabili relativno preprost matematični model.

V nadaljevanju smo za proteinsko kaskado pokazali, da se njena senzitivnost lahko poveča le,

če za produkt Hillovih koeficientov velja 𝑛𝐻,𝑖𝑛𝐻,𝑖−1 > 1. Nazadnje smo v proteinsko kaskado

vezali pozitivno povratno zanko in pokazali, da je tudi v intrinzično senzitivnem sistemu

(𝑛𝐻,𝑖𝑛𝐻,𝑖−1 = 1) možno izzvati ultrasenzitivnost, ki jo je možno regulirati z jakostjo povratne

zanke. Dodana vrednost ultrasenzitivnosti je tudi v tem, da omogoča izločanje šuma iz

vhodnega signala in njegovo ojačenje [13]. Obe lastnosti dodatno zagotavljata robustno

prehajanje med aktivnim in neaktivnim stanjem, oziroma ohranjanje enega izmed zasedenih

stanj.

Zanimivo bi bilo izvesti analizo vpliva bolj kompleksnih sklopitvenih struktur na dinamiko

sistema. Takšen pristop bi nam omogočal vpeljavo tako pozitivnih kot negativnih povratnih

zank in zaradi tega bolj poglobljeno razumevanje interakcij, ki potekajo v tej znotrajcelični

signalizacijski poti.

10

Literatura in viri

[1] C. Adami, C. Ofira in T. C. Collier, Evolution of biological complexity, PNAS 9, 4463–

4468 (1986).

[2] Home science tool, Cell Anatomy. Pridobljeno 2. 5. 2016, iz

http://www.hometrainingtools.com/anatomy-of-a-cell-science-teaching-tip/a/1203/.

[3] R. A. Bowen, Hormones and control system. Pridobljeno 2. 5. 2016, iz

http://www.vivo.colostate.edu/hbooks/pathphys/endocrine/basics/hormones.html.

[4] J. W. Kimball, Kimball's Biology Pages. Pridobljeno 2. 5. 2016, iz

http://users.rcn.com/jkimball.ma.ultranet/BiologyPages/W/Welcome.html.

[5] G. Pearson, F. Robinson, T. B. Gibson, B. E. Xu, M. Karandikar, K. Berman, M. H. Cobb,

Mitogen–activated protein (MAP) kinase pathways: regulation and physiological functions,

Endocr. Res. 22, 153–83 (2001).

[6] N. I. Markevich, J. B. Hoek in Boris N. Kholodenko, Signaling switches and bistability

arising from multisitep fosphorylation in protein kinase cascades, J. Cell Biol. 164, 353–359

(2004).

[7] R. Heinrich, B. G. Neel in T. A. Rapoport, Mathematical models of protein kinase signal

transduction, Mol. Cell. 9, 957−970 (2002).

[8] M. Chaves, E. D. Sontag in R. J. Dinerstein, Optimal length and signal amplification in

weakly activated signal transduction cascades, J. Phys. Chem. B. 108, 915311–15320 (2004).

[9] J. Nakabayashi in A. Sasaki, Optimal phosphorylation step number of intracellular signal-

transduction pathway, J. Theor. Biol. 233, 413–421 (2005).

[10] S. Choi, Introduction to systems biology (Humana Press, Totowa, New Jersey, 2007).

[11] Q. Zhang, S. Bhattacharya in M. E. Andersen, Ultrasensitive response motifs: basic

amplifiers in molecular signalling networks, Open Biol. 3, 130031–19 (2013).

[12] B. N. Kholodenko in M. R. Birtwistle, Four–dimensional dynamics of MAPK

information–processing systems, Wiley Interdiscip. Rev. Syst. Biol. Med. 1, 28–44 (2009).

[13] J. E. Ferrell in S. H. Ha, Ultrasensitivity part III: cascades, bistable switches, and

oscillators, Trends Biochem. Sci. 39, 612–618 (2014).