Reglubók í stærðfræðiunglingar.weebly.com/uploads/1/3/8/8/13886682/reglubok.pdfEf brot er...

Reglubók í stærðfræði 8-10 bekkur

© Brynjar Marinó Ólafsson, 2. útgáfa 2012

Reglubók í stærðfræði

Árangur í stærðfræði ræðst m.a. af því að þekkja reglur OG

kunna að nota þær.

Með því að hafa þessa bók við höndina þegar þú reiknar lærir

þú vonandi smám saman að þekkja reglurnar.

Æfingin hjálpar þér svo að læra að nota þær.

Á endanum ræðst árangur þinn í stærðfræði á því hve mikla

vinnu ÞÚ ert tilbúin(n) að leggja á þig. Menn uppskera

yfirleitt eins og þeir sá.



Tölur og talnareikningur

Um tölur

+ og −

Tölur teljast pósitífar/jákvæðar t.d. 1 2 3 ... eða negatífar/neikvæðar t.d. −1 −2 ...

Mínus og mínus hlið við hlið, verður að plús t.d. 3 – (−2) = 3 + 2 = 5

Plús og mínus hlið við hlið, mínusinn ræður t.d. 3 + (−2) = 3 – 2 = 1

Mínus•mínus = plús t.d. (−3)•(−2) = 6

Plús•mínus = mínus t.d. 3•(−2) = −6

Mínus/mínus = plús t.d. (−6)/(−2) = 3

Plús/mínus = mínus t.d. 6/(−3) = −2

Ferningstala er tala sem sett hefur verið í annað veldi. T.d. er 9 ferningstala því þá

hefur 3 verið sett í annað veldi 32=9. (Hægt er að raða tölunni upp í ferning)

Ferningsrót (kvaðratrót) er sú tala ferningstölu sem sett hefur verið í annað veldi. t.d.

er 3 ferningsrót af 9 því að 32=9. Notast má við √ merkið á vasareiknum. (Er í raun

hliðarlengd tölu sem raðað hefur verið upp í ferning)

Staðalform er tala á bilinu (1-10)•10veldi. Veldið segir um hve mörg sæti komman

færist. t.d. 45000000 = 4,5•107.

Ef talan er minni en 1 þá er veldið negatíf tala. t.d. 0,0064 = 6,4•10−3.

Frumtala er náttúrleg tala sem er bara deilanleg með 1 og tölunni sjálfri.

Frumþáttun er þegar tala er skrifuð sem margfeldi af frumtölum.

T.d. er talan 12 frumþáttuð 2•2•3.

Við margföldun tveggja róta má setja undir eina rót t.d baba

Við deilingu tveggja róta má setja undir eina rót t.d b

a

b

a

Tölugildi tölu er fjarlægð tölunnar frá núllpunkti talnalínu. |a| = a |–a| = a

Hlutleysa í samlagningu er 0. Talan er hlutlaus því a + 0 = a

Hlutleysa í margföldun er 1. Talan er hlutlaus því a•1 = a

Samlagningarandhverfa er sú tala sem hægt er að leggja við tölu til að fá út

hlutleysu. Samlagningarandhverfa a er –a því að a + (–a) = 0.

Margföldunarandhverfa er sú tala sem hægt er að margfalda tölu með til að fá

hlutleysu. Margföldunarandhverfa a er 1/a því að a•1/a = 1.



Víxlregla er a + b = b + a

Tengiregla er (a + b) + c = a + (b + c)

Dreifiregla er a(b + c) = ab + ac

Um mengi

Mengi er upptalning á tölum eða örðum hlutum, sett fram

á mengjamynd eða innan slaufusviga. A={1,2,3,4}

Stak kallast það sem er í menginu t.d. er 2 stak í menginu A hér að ofan.

Talnamengi sem oft er stuðst við í dæmum stærðfræðinnar eru: N = náttúrulegar

tölur, Z = heilar tölur, Q = ræðar tölur, R = rauntölur.

Sammengi mengja A og B eru þau stök sem eru í A eða B. Skrifað A U B

Sniðmengi mengja A og B eru þau stök sem eru í A og B. Skrifað A ∩ B

Hlutmengi. Mengi A telst hlutmengi í B ef öll stök í mengi A er einnig að finna í B.

A er hlutmengi í B

Önnur mengjatákn:

Um tíma og hraða

Tíma má skrá klst(0-23):mín(0-59):sek(0-59),sekúndubrot(0-99)

Hraða þríhyrningurinn: tímihraði

vegalengd

m/s breytt í km/klst, margfaldað með 3,6 t.d. 5 m/s•3,6 = 18 km/klst

km/klst breytt í m/s, deilt með 3,6 t.d. 25 km/klst : 3,6 = 6,9 m/s



Um brot

Tugabrot er t.d. 0,25 Almennt brot er 4

1 t.d.

niðri nefnari

toppnumá teljari

Tugabrot geta verið endanleg t.d. 0,25 og óendanleg t.d 0,33333333...

Lotubundið tugabrot er tugabrot með endurteknu mynstri í aukastöfunum. T.d.

0,178178178178... Sagt er að lotan sé 178.

Jafngild brot gefa sömu niðurstöðu. Hafa verið lengd eða stytt t.d. 25,08

2

4

1

Ef brot er lengt þarf að margfalda nefnara og teljara með sömu tölu.

Ef brot er stytt þarf að deila í nefnara og teljara með sömu tölu.

Til að finna hluta af heild t.d. ¼ af 12 þá er hægt að margfalda teljara með tölunni og

deila með nefnara 1•12/4 = 3, þannig er ¼ af 12 jafnt og 3.

Blandin tala er heil tala og brot t.d. 4

32

Gott getur verið að breyta blandinni tölu í almennt brot ef slíkt kemur fyrir í

dæmum t.d. 4

11

4

32

Gott getur verið að breyta heilli tölu í almennt brot ef slíkt kemur fyrir í dæmum.

Allar tölur má skrifa sem brot með því að setja 1 í nefnara.

1

x x

1

145145

1

77

Við samlagningu og frádrátt verður að vera sami nefnari. Oft þarf að lengja annað

eða bæði brotin til að fá sama nefnara en eftir það eru teljarar lagðir saman.

T.d. 6

5

6

2

6

3

3

1

2

1

Minnsta samnefnara (MSN) má finna með því að skrifa upp „margföldunartöflu“

nefnaranna eða með því að frumþátta og setja í mengi. Skoða svo sammengið.

Við margföldun má margfalda saman teljara og margfalda saman nefnara og stytta í

lokin. Oft er þægilegra að stytta áður en margfaldað er saman.

15

8

35

24

3

2

5

4

Við deilingu skal byrja á að snúa síðara broti við og vinna svo dæmið eins og

margföldun. 10

3

2

3

5

1

3

2/

5

1



Hlutföll og prósentur

Hlutföll

Hlutföll oft skráð 2:5 eða 1: XX.

Hlutföll milli talna þá er annarri deilt í hina. Sú sem talin er upp á undan er sett fyrir

ofan strik. T.d. er hlutfallið milli 24 og 36 skráð 24:36 eða 2:3 eða 3

2

36

24 eða jafnvel

sem tugabrotið 0,66...

Ef skipt er t.d. í hlutföllunum 3:4 þá eru hlutarnir alls 7 (3+4=7) og byrjað er að

deila með 7 til að fá stærð eins hluta.

Einslögun

Hlutfall milli einslægra hliða er alltaf jafnt í einslaga myndum.

Mælikvarði á korti t.d. 1:10.000

raunlengd = lengd á korti • mælikvarði

kortalengd = lengd í raunveruleika / mælikvarða

Mælikvarði = mynd : fyrirmynd

Prósentur

Procent (%) = af hundraði og því er 35% = 35/100 = 0,35

Promille (‰) = af þúsundi og því er 35‰ = 35/1000 = 0,035

Breytiþáttur er tala sem gefur til kynna hækkun eða lækkun frá 100%

T.d. ef hækkun er 15% þá er breytiþáttur 100% + 15% = 115% = 1,15

T.d. ef lækkun er 15% þá er breytiþáttur 100% − 15% = 85% = 0,85

3 mikilvægar reglur

%heild

hluti

gamla

mismunur eytingprósentubr

urBreytiþáttðGamalt ver

Nýtt verð



Vaxtareikningur

innistæða eftir x mörg ár = innlögð upphæð•(breytiþáttur)x

vextir hluta úr ári = innlögð upphæð•vaxtaprósenta•360

dagafjöldi

Algebra

Reikniröð 1) svigar 2) veldi 3) • og / 4) + og –

Líkir liðir eru sömu bókstafir í sama veldi og þá má leggja saman t.d. 2x + 3x = 5x

eða 2x2 + x2 = 3x2. Ekki má leggja saman ólíka liði t.d. x + y eða 2x2 + 3x.

Í lagi er að margfalda saman líka liði (t.d. x•x = x2) og líka má margfalda saman ólíka

liði (t.d. x•y = xy eða x2•x3 = x5 )

Margfaldað er inn í sviga, þá þarf að margfalda allt inni í sviganum með því sem

stendur fyrir framan svigann. T.d. 3(x + 2) = 3•x + 3•2 = 3x + 6.

Muna að 3(x + 2) er í raun 3•(x + 2) rétt eins og 2x er í raun 2•x.

Margfalda saman sviga.

Ef eingöngu er plús (+) fyrir framan sviga þá má taka svigann í burtu og svo leggja

saman líka liði t.d. 12 + (8 + x) = 12 + 8 + x = x + 20

Ef mínus (–) er fyrir framan sviga þá skal víxla öllum formerkjum inni í sviganum og

svo leggja saman líka liði t.d. 12 – (8 – x) = 12 – 8 + x = x + 4

Þáttun

Einstaka liði má frumþátta líkt og tölur t.d. 6x4 = 2•3•x•x•x•x

Margliður (margir liðir með + eða – á milli) skal þátta í sviga og reyna að gera í

eftirfarandi röð:

1. Taka út fyrir sviga t.d. 6x + 12 = 6(x + 2)

2. Þátta með samokareglu a2 – b2 = (a + b)(a – b)

3. Þátta með ferningsreglu a2 + 2ab + b2 = (a + b)(a + b) eða (a + b)2

a2 − 2ab + b2 = (a − b)(a − b) eða (a − b)2

4. Þátta með prófun t.d. x2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3)



Veldareglur

ax•ay = ax+y (ab)x = ax•bx (ax)y = ax•y a0 = 1

yx

y

x

aa

a x

xx

b

a

b

a

x

x

aa

1

Jöfnur og ójöfnur

Svar við jöfnu á að vera á forminu x = tala.

Leysum jöfnu skref fyrir skref:

1. Ef nefnari er í jöfnu skal margfalda alla liði með MSN til að losna við nefnarann.

2. Einföldum t.d. með því að margfalda inn í sviga eða leggja saman líka liði.

3. Einangra óþekktu stærðina x = tala. Það er gert með því að beita andstæðri

reikniaðgerð við það sem losna skal við, báðum megin. T.d. ef x + 2 = 10 þá gerum

við −2 báðum megin og fáum x + 2 – 2 = 10 – 2 sem verður x = 8.

Ójöfnur eru leystar á sama hátt og jöfnur NEMA ef margfaldað eða deilt er með

neikvæðri tölu báðum megin við ójöfnumerkið þá skal snúa merkinu við.

Ræðar stæður

Ræðar stæður án + eða – má þátta með frumþáttun og stroka út það sem er eins í

teljara og nefnara. T.d. 5

2

53

32

15

6 223 yx

yx

yyxxx

xy

yx

Ræðar stæður með + eða – skal þátta í sviga og svo stroka út það sem er eins í

teljara og nefnara. 4

2

)4)(4(

)4(2

16

822

xxx

x

x

x

Samlagning, frádráttur, margföldun og deiling með ræðum stæðum er unnið eins og

almenn brot. Dæmi um slíkt væri 24

3 x

n



Um gröf

Hnit punkts er sett fram í sviga með tveimur

tölum. Fyrri talan táknar færslu eftir x-ás,

aftari talan táknar færslu eftir y-ás. T.d. er

hnit punktsins A=(1,5) og B=(−1,1).

Fyrsta stigs graf (x-ið er í fyrsta veldi)

t.d. y = 2x + 3 er alltaf bein lína.

hallatala = 2 skurðpunktur við y-ás (0,3)

Hallatala: Talan sem stendur hjá x-inu kallast hallatala og ræður hve mikill halli er á

línunni. Einn reitur til hægri og ... reitir upp/niður.

Skurðpunktur við y-ás:Talan sem stendur ein og sér segir hvar grafið sker y-ásinn á

grafinu.

Til að reikna hallatölu út frá tveimur punktum er:

Til að setja fram jöfnu út frá tveimur punktum skal fyrst reikna hallatölu og svo nota

annan punktinn til að setja inn í formúluna (hnitin sett í stað x og y í formúlunni):

y = hallatala•x + skurður við y-ás

Annars stigs graf (x-ið er í öðru veldi) t.d. y = x2 + 3x – 4 er alltaf fleygbogi.

Ef – er fyrir framan x2 t.d. y = –x2 + 3x + 2 þá teygir fleygboginn sig niður (fýlukall)

Annars t.d. y = x2 + 3x + 2 teygir fleygboginn sig upp (broskall)

xábreyting

yábreyting

xx

yyhallatala

12

12



Rúmfræði Horn

Hornasumma þríhyrnings = 180° Heill hringur 360°

Grannhorn samtals 180° Topphorn alltaf jafnstór

Einslæg horn eru horn sem hafa oddapunkt á

ólíkum línum (hér línum l og k) en bæði hornin

hafa hægri EÐA vinstri arm á sömu skurðlínu

(hér lína m)

Hornin u og a eru einslæg.

Einslæg horn eru jafnstór EF línurnar l og k eru samsíða

Hornasumma marghyrninga er (n−2)•180 þar sem n er fjöldi horna

Regla Pýþagórasar a2 + b2 = c2.

(c er alltaf langhliðin, hliðin á móti 90° horninu)

Flatarmál (cm2, m2 ...)

Rétthyrningur blF Þríhyrningur 2

hgF

Hringur 2rF

þU

Bogi er hluti af ummáli hrings. Afmarkast af tveimur geislum með hornið v á milli sín.

360

vþBogi

Geiri er hluti af flatarmáli hrings. Afmarkast af svæði milli tveggja geisla með hornið v

á milli sín.

360

2 vrGeiri

Yfirborðsflatarmál er flatarmál allra hliða á yfirborði lagt saman.



Rúmmál (cm3, m3, lítrar ...)

Um alla rétta strendinga (lok og botn eru eins í laginu og samsíða) gildir að:

rúmmál = grunnflötur•hæð

R = G•h misjafnt er svo hvort grunnflöturinn er rétthyrningur, hringur ...

Rúmmál (R) Yfirborðsflatarmál (Y)

Strendingar

hGR þar sem G er þríhyrningur, ferhyrningur, fimmhyrningur ...

Finn flatarmál á hverri hlið, legg allt saman

Sívalningur

hGR

þar sem G er hringur

Y = botn + lok + möttull þar sem möttull (M) er:

hþM

Pýramídi

3

hGR

þar sem G er t.d. þrí- eða

ferhyrningur

Finn flatarmál á hverri hlið, legg allt saman

Keila

3

hGR

þar sem G er hringur

Y = botn + möttull þar sem möttull (M) er:

lrM

Kúla

3

4 3rR

24 rY



Um metrakerfi

kíló- hekta- deka- METRI desi- senti- milli-

Ef breytt er milli lengdareininga (t.d. m -> cm) þá segir taflan hvað færa skal

kommuna um mörg sæti

Ef breytt er milli flatarmálseininga (t.d. m2 -> cm2) þá segir taflan hvað færa skal

kommuna um mörg sæti, framkvæma skal flutning kommunnar tvisvar sinnum.

Ef breytt er milli rúmmálseininga (t.d. m3 -> cm3) þá segir taflan hvað færa skal

kommuna um mörg sæti, framkvæma skal flutning kommunnar þrisvar sinnum.

Tengsl milli rúmmáls í föstu formi og vökva er

1 dm3 = 1 lítri 1 cm3 = 1 ml

Tölfræði og líkindi Meðaltal er summa allra talna deilt með fjölda talna

Miðgildi er talan í miðjunni eftir að búið er að raða tölunum eftir stærðarröð. Ef tvær

tölur eru í miðjunni þá skal finna meðaltalið af þeim.

Tíðasta gildi er það gildi sem oftast kemur fyrir.

Dreifing segir á hvaða bili talnasafnið er.

Tíðnitafla er tafla þar sem gildin eru skráð og þar fyrir aftan er sagt hve oft gildið

kemur fyrir.

Hlutfallsleg tíðni er gefin upp í prósentum. Hlutfallsleg tíðni er tíðni ákveðins gildis

deilt með heildartíðninni.



Skífurit – sýnir t.d. skiptingu Línurit – sýnir t.d. þróun

súlurit – sýnir t.d. skiptingu stuðlarit – sýnir ákv. bil.

Líkur á atburði eru gefnar upp sem almenn brot EÐA tugabrot EÐA prósenta. Eru

alltaf á bilinu 0-1 (0-100%)

möguleika ldiHeildarfjö

umer spurt sem þess Fjöldiatburði áLíkur

OG = • Ef hægt er að orða spurningu þannig að OG komi fyrir þá skal margfalda

saman líkurnar á atburðunum t.d. ef lukkuhjóli er snúið tvisvar, hverjar eru líkur á að

fá gulan OG svo rauðan.

EÐA = + Ef hægt er að orða spurningu þannig að EÐA komi fyrir þá skal leggja

saman líkurnar á atburðunum t.d. ef teningi er kastað, hverjar eru líkur á að fá 1 EÐA

slétta tölu.

Uppröðun á mismunandi hátt.

Fjöldi möguleika = fjöldi möguleika1•fjöldi möguleika2•fjöldi möguleika 3•...

Reglubók í stærðfræðiunglingar.weebly.com/uploads/1/3/8/8/13886682/reglubok.pdfEf brot er...

Documents

Transcript of Reglubók í stærðfræðiunglingar.weebly.com/uploads/1/3/8/8/13886682/reglubok.pdfEf brot er...