RE[ENJA - masfak.ni.ac.rs · Te prinudne sile su normalne, na raspon konzola, komponente...
24
MA[INSKI FAKULTET UNIVERZITETA U NI[U KATEDRA ZA MEHANIKU Ispitni rok: decembarski (10 decembra) 2001 Predmetni nastavnik: Prof. dr. Katica (Stevanovi}) Hedrih, akademik Akademije nauka visokih {kola i univerziteta Ukrajine, akademik Akademije nelinearnih nauka - Moskva Predmetni asistent: Julijana Simonovi} dipl.ma{. ing Napomena: Kopirawe teksta re{ewa zadataka je dozvoqen samo za li~nu upotrebu studenata.. Autorska prava pripadaju predmetnom nastavniku i saradniku. PISMENI DEO ISPITA IZ PREDMETA ELASTODINAMIKA ELASTODINAMIKA RE[ENJA TRE]I ZADATAK: 2 B 1 B 1 B 1 B 2 B 2 B c c N D B A C E -(M+m) 1 y & & -(M+m) 2 y & & -(M+m) 3 y & & ( ) 02 2 2 cos ϕ + Ω t F ( ) 03 3 3 cos ϕ + Ω t F ( ) 01 1 1 cos ϕ + Ω t F l/2 l/2 Slika 3 F=mrΩ 2 Fcos(Ω t+ Fsin(Ω t+ r ϕ ϕ=Ω t+ Slika 3a Tekstom zadatka su preporu~ene slede}e smene: ( ) c m M v i i 2 Ω + = , 3 , 2 , 1 = i , c c c k 11 0 1 α = = , c mr h i i 2 Ω = . Zadati sistem motora masa po M , sa ekscentri~nim (devijacionim) materijalnim ta~kama jednakih masa po m , koje rotiraju ugaonim brzinama i Ω , 3 , 2 , 1 = i , , kao {to je zadato tekstom zadatka, mo`emo zameniti sistemom materijalnuih ta~aka masa po m M + , na slobodnim krajevima svake od konzola, na koje dejstvuju odgovaraju}e spolja{nje prinudne sile: () ( ) i i i i t F t F 0 cos ϕ + Ω = , 3 , 2 , 1 = i ., koje poti~u od centrifugalnih sila devijacionih svojstvava materijalnih ta~aka koje rotiraju i gde je 2 i i mr F Ω = , vidi sliku br. 3a.. Na osnovu ove analize devijacionih svojstava masa i motora, realni sistem zadat tekstom zadatka mo`emo zameniti ekvivalentnim nehani~kim oscilatornim modelom prikazanim na slici br. 3, koji se sastoji iz tri jednake materijalne ta~ke masa po (m+M) , koje prinudnno osciluju na krajevima lakih elasti~nih konzolnih nosa~a, koji su me|usobno spojeni zavojnim oprugama krutosti svaka po c , i pod dejstvom prinudnih sila () ( ) i i i i t F t F 0 cos ϕ + Ω = , 3 , 2 , 1 = i .. Te prinudne sile su normalne, na raspon konzola, komponente centrifugalnih sila ekscentri~nih materijalnih ta~aka masa po m, dok su njihove komponente u pravcu raspona neva`ne za oscilatorna svojstva sistema, pod pretpostavkom da ne dolazi do longitodinalnih oscilacija konzola, donosno da su one zanemarljive, ve} da uzimamo u razmatranje samo transverzalne oscilacije.
Transcript of RE[ENJA - masfak.ni.ac.rs · Te prinudne sile su normalne, na raspon konzola, komponente...
MA[INSKI FAKULTET UNIVERZITETA U NI[U KATEDRA ZA MEHANIKU Ispitni rok: decembarski (10 decembra) 2001 Predmetni nastavnik: Prof. dr. Katica (Stevanovi) Hedrih, akademik Akademije nauka visokih kola i univerziteta Ukrajine, akademik Akademije nelinearnih nauka - Moskva Predmetni asistent: Julijana Simonovi dipl.ma. ing Napomena: Kopirawe teksta reewa zadataka je dozvoqen samo za li~nu upotrebu studenata.. Autorska prava pripadaju predmetnom nastavniku i saradniku.
PISMENI DEO ISPITA IZ PREDMETA
ELASTODINAMIKA
ELASTODINAMIKA RE[ENJA
TRE]I ZADATAK:
2B
1B
1B
1B
2B
2B
c
c
N
D
B A
C
E
-(M+m) 1y&&
-(M+m) 2y&&
-(M+m) 3y&&
( )0222 cos ϕ+Ω tF
( )0333 cos ϕ+Ω tF
( )0111 cos ϕ+Ω tF
l/2 l/2
Slika 3
F=mrΩ2 Fcos(Ω t+
Fsin(Ω t+rϕ
ϕ=Ω t+
Slika 3a
Tekstom zadatka su preporu~ene sledee smene:
( )cmMv i
i
2Ω+= , 3,2,1=i ,
ccck
11
0 1α
== , cmrh i
i
2Ω= .
Zadati sistem motora masa po M , sa ekscentri~nim (devijacionim) materijalnim ta~kama jednakih masa po m , koje rotiraju ugaonim brzinama
iΩ , 3,2,1=i , , kao to je zadato tekstom zadatka, mo`emo zameniti sistemom materijalnuih ta~aka masa
po mM + , na slobodnim krajevima svake od konzola, na koje dejstvuju odgovarajue spoljanje
prinudne sile: ( ) ( )iiii tFtF 0cos ϕ+Ω= , 3,2,1=i ., koje poti~u od centrifugalnih sila devijacionih
svojstvava materijalnih ta~aka koje rotiraju i gde je 2ii mrF Ω= , vidi sliku br. 3a.. Na osnovu ove analize
devijacionih svojstava masa i motora, realni sistem zadat tekstom zadatka mo`emo zameniti ekvivalentnim nehani~kim oscilatornim modelom prikazanim na slici br. 3, koji se sastoji iz tri jednake materijalne ta~ke masa po (m+M) , koje prinudnno osciluju na krajevima lakih elasti~nih konzolnih nosa~a, koji su me|usobno spojeni zavojnim oprugama krutosti svaka po c , i pod dejstvom prinudnih sila
( ) ( )iiii tFtF 0cos ϕ+Ω= , 3,2,1=i .. Te prinudne sile su normalne, na raspon konzola, komponente centrifugalnih sila ekscentri~nih materijalnih ta~aka masa po m, dok su njihove komponente u pravcu raspona neva`ne za oscilatorna svojstva sistema, pod pretpostavkom da ne dolazi do longitodinalnih oscilacija konzola, donosno da su one zanemarljive, ve da uzimamo u razmatranje samo transverzalne oscilacije.
Ako konzole AB, CD i EN predstavimo kao zavojne opruge ekvivakentne krutosti: 11
1α
=ec , gde
je 11α uticajni koeficijent pomeranja slobodnog kraja konzole usled dejstva jedini~ne sile u tom preseku:
[ ] ( )21
2/
0 21
32/
0
2
2
2
1
2111 7
241)2/(1)(1
BBBBBBB
+=++== ∫ ∫∑ ∫ =l l
k k
Xf
k
ldzzdzzldzzMα ,
onda se ovakav sistem svodi na model ekvivalentnog lan~anog sistema, koji je prikazan na slici 3a.
ec
(M+m)
c
c
(M+m)
(M+m) ( )0222 cos ϕ+Ω tF
( )0333 cos ϕ+Ω tF
( )0111 cos ϕ+Ω tF
ec
ec
y1
y2
y3
Slika 3a
Taj lan~ani sistem ima tri stepena slobode kretanja i za generalisane koordinate biramo translatorna, transverzanla pomeranja, upravna na raspone konzola, materijalnih ta~aka masa po (M+m)i, i=1,2,3, y1, y2 i y3. Izraz za kineti~ku energiju, tako dobijenog ekvivalentnog sistema ima sledei oblik homogene kvadratne forme generalisanih koordinata:
( ) ( )23
22
21
23
22
21 )(2)(
21 yyymMEyyymME ksks &&&&&& +++=⇒+++=
pomou koje sastavljamo matricu inercijskih koeficijenata
+=
11
1)( mMA
Izraz za promenu potencijalne energije sistema, pri izvo|enju sistema iz ravnote`nog polo`aja je:
( ) ( )
( )⇒−−+++++=
⇒+−++−+=
322123
22
21
23
223
22
212
21
22)1()2()1(221
21
21
21
21
yyyykykykycE
ycyycycyycycE
ps
eeeps
Prethodni izraz je tako|e homogena kvadratna forma generalisanih koordinata, i pomou nje sastavljamo matricu kvazielasti~nih koeficijenata u obliku: .
+−−+−
−+=
110121
011
kk
kcC
Lagrange-eove jedna~ine druge vrste za generalisane koordinate yi, i=1,2,3, u matri~nom obliku su:
( )( )( )
+Ω+Ω+Ω
=
+
0233
0222
0111
3
2
1
3
2
1
coscoscos
ϕϕϕ
tFtFtF
yyy
yyy
CA&&
&&
&&
Sada, reenja pretpostavimo u obliku:
( )
( )
( );cos
;cos
;cos
3
10333
3
10222
3
10111
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
+Ω=
+Ω=
+Ω=
i
ii
i
i
ii
i
i
ii
i
tCy
tCy
tCy
ϕ
ϕ
ϕ
~ime smo se ograni~ili samo na tra`enje partikularnih, trofrekventnih re~enja, koja odgovaraju ~isto prinudnim oscilacijama sistema, uz isklju~ivanje trofrekventnog re`ima sopstvenih oscilacija sistema. To je mogue pod odredjenim po~etnim uslovima, ili uz pretpostavku da su te oscilacije zanemarljivih
amplituda u odnosu na prinudne. Pomou pretpostavljenog reenja sistem Lagrange- ovih jedna~ina druge vrste daje:
( ) ( )
( )( )( )
+Ω+Ω+Ω
=+Ω
+Ω−∑=
=333
222
1113
13
2
12
coscoscos
cos
o
o
oi
ioii
i
i
i
i
tFtFtF
tCCC
ϕϕϕ
ϕCA
ili
( ) ( )
( )( )
( )
+Ω+
+Ω+
+Ω=+Ω
+Ω−∑=
=333
222
1113
13
2
12
cos00
0cos
0
00
coscos
o
o
oi
ioii
i
i
i
i
tFtF
tFt
CCC
ϕϕ
ϕϕCA
Prethodni sistem jedna~ina mo`emo transformisati na sledei oblik:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )33
3
22211
13
13
2
1
cos00
cos0
0cos
00cos ooo
i
ioii
i
i
i
i th
thth
tCCC
v ϕϕϕϕ +Ω
++Ω
++Ω
=+Ω
+−∑=
=
CA
Iz poslednje matri~ne jedna~ine metodom jednakih koeficijenata uz izraze za ( )oiit ϕ+Ωcos , 3,2,1=i , dobijamo tri nezavisna, nespregnuta, sistema nehomogenih algebarskih jedna~ina po
nepoznatim skupovima po tri nepoznate amplitude, iC1 , iC2 i iC3 , 3,2,1=i u sledeim oblicima:
( )
=≠
=
+
+
=
+−jizajiza
jegdeh
hh
CCC
v ij
i
i
i
i
i
ii
i
i
i 10
00
0
0
00
3
322
1
1
3
2
1
δδδδCA za 3,2,1=i
odnosno
( )
=
−001
13
12
11
1
h
CCC
v AC , ( )
=
−0
0
223
22
21
2 hCCC
v AC i
( )
=
−
333
32
31
3 00
hCCC
v AC
Da bi prethodni sistemi nehomogenih algebarskih jedna~ina imali reenja koja su kona~na potrebno je da determinante svakog od prethodnih sistema nehomogenih algebarskih jedna~ina budu razli~ita od nule:
( ) 022 ≠Ω−=Ω AC iif za 3,2,1=i ,
odnosno:
0110
121011
)( 2
≠−+−
−−+−−−+
=−=
Ω+=
i
i
i
ii
i
kk
k
cmM
fν
νν
νν AC ;⇒ kkk iii ≠+≠+≠ 321 ,1,3 ννν
za 3,2,1=i . Rezonantne vrednosti broja obrtaja motora nastaju za vrednosti kru`nih frekvencija:
)()(
;)()(
)()1(;
)()3(
)()3( 2
322
21 mM
cmM
kcmMcc
mMck
mMcc
mMck e
rezie
rezie
rezi +=
+=Ω
++
=++
=Ω++
=++
=Ω ,
gde je: 3,2,1=i .
Nepoznate amplitude iC1 , iC2 i iC3 prinudnih oscilacija odre|ujemo pimo~u Cramer-ovog pravila iz prethodnih sistema jedna~ina za 3,2,1=i :
I. Prvi skup nepoznatih amplituda prinudnih, jednofrekventnih oscilacija, koji odgovara i jednofrekventnim oscilacijama, kada radi samo prvi motor na prvoj konzoli:
` [ ] [ ]
))(1)(3(13)32(
))(1)(3(1)2)(1(
110120
01
)(1
)( 111
21
211
111
111
1
1
1
11
111 vkvkvk
kkkvvhvkvkvk
vkvkh
vkvk
h
vvC C
−−+−+++++−
=−−+−+−−+−+
=−+−
−−+−
∆=
∆∆
=
[ ]
))(1)(3(45)232(
111
2111
1 vkvkvkvkh
C−−+−+
−−+=
( )( ) )(1)3(
1
100101
01
)(1
)( 111
11
1
11
11
212 vkvkvk
vkh
vk
hvk
vvC C
−−+−+−+
=−+
−−−+
∆=
∆∆
=
))(1)(3(010021
11
)(1
)( 111
11
11
11
313 vkvkvk
hvkhvk
vvC C
−−+−+=
−−+−
−−+
∆=
∆∆
=
II. Drugi skup nepoznatih amplituda prinudnih, jednofrekventnih oscilacija, koji odgovara i
jednofrekventnim oscilacijama, kada radi samo drugi motor na drugoj konzoli:
( )( ) )(1)3(
1
11012
010
)(1
)( 222
22
2
2222
221 vkvkvk
vkh
vkvkh
vvC C
−−+−+−+
=−+−
−−+−
∆=
∆∆
=
( ) )(1)3()1(
10011
001
)(1
)( 222
222
2
2
2
22
222 vkvkvk
vkh
vkh
vk
vvC C
−−+−+−+
=−+
−−−+
∆=
∆∆
=
( )( ) )(1)3(
1
01021
011
)(1
)( 222
2222
2
22
323 vkvkvk
vkhhvkvk
vvC C
−−+−+−+
=−−+−
−−+
∆=
∆∆
=
III. Trei skup nepoznatih amplituda prinudnih, jednofrekventnih oscilacija, koji odgovara i jednofrekventnim oscilacijama, kada radi samo trei motor na treoj konzoli:
))(1)(3(11
120010
)(1
)( 333
3
33
333
131 vkvkvk
h
vkhvk
vvC C
−−+−+=
−+−−−+
−
∆=
∆∆
=
( )( ) )(-1k)3(
-1k
10101
001
)(1
)( 333
33
33
3
33
232 vkvvk
vh
vkh
vk
vvC C
−+−++
=−+
−−−+
∆=
∆∆
=
[ ]))(1)(3(4
5)232(
10021011
)(1
)( 333
233
3
3
3
33
333 vkvkvk
vkh
hvk
vk
vvC C
−−+−+−−+
=−−+−
−−+
∆=
∆∆
=
Pomou prethodno odre|enih amplituda pojedinih prinudnih harmonika, sada mo`emo napisati zakone prinudnog oscilovanja motora na slobodnim krajevima oprugama, medjusobno vezanih konzola, za slu~aj kada svi motori rade istovremeno razli~itim frekvencijama i razli~itim po~etnim fazama obrtanja materijalnih ta~aka debalansa:
( ) [ ] ( ) ( ) ( )))(1)(3(
cos))(1)(3(
cos)1())(1)(3(4
cos5)232(
333
0333
222
02222
111
0112
111 vkvkvk
thvkvkvk
tvkhvkvkvk
tvkhty
−−+−++Ω
+−−+−+
+Ω−++
−−+−++Ω−−+
=ϕϕϕ
( ) ( ) ( ) ( )))(1)(3(
cos)1())(3)(1(
cos)1())(1)(3(
cos)1(
333
03333
222
0222
22
111
011112 vkvkvk
tvkhvkvkvk
tvkhvkvkvk
tvkhty−−+−+
+Ω−++
−−+−++Ω−+
+−−+−+
+Ω−+=
ϕϕϕ
( ) ( ) ( ) [ ] ( )))(1)(3(4
cos5)232())(3)(1(
cos)1())(1)(3(
cos
333
0332
33
222
02222
111
01113 vkvkvk
tvkhvkvkvk
tvkhvkvkvk
thty
−−+−++Ω−−+
+−−+−+
+Ω−++
−−+−++Ω
=ϕϕϕ
Za slu~aj kada su sve po~etne faze obrtanja debalansa motora jednake, mo`e se uzeti u
razmatranje slu~aj kada su one jednake nulipa je:
( ) [ ] ( ) ( ) ( )))(1)(3(
cos))(1)(3(
cos)1())(1)(3(4
cos5)232(
333
33
222
222
111
12
111 vkvkvk
thvkvkvk
tvkhvkvkvk
tvkhty
−−+−+Ω
+−−+−+
Ω−++
−−+−+Ω−−+
=
( ) ( ) ( ) ( )))(1)(3(
cos)1())(3)(1(
cos)1())(1)(3(
cos)1(
333
333
222
22
22
111
1112 vkvkvk
tvkhvkvkvk
tvkhvkvkvk
tvkhty
−−+−+Ω−+
+−−+−+
Ω−++
−−+−+Ω−+
=
( ) ( ) ( ) [ ] ( )))(1)(3(4
cos5)232())(3)(1(
cos)1())(1)(3(
cos
333
32
33
222
222
111
113 vkvkvk
tvkhvkvkvk
tvkhvkvkvk
thty−−+−+Ω−−+
+−−+−+
Ω−++
−−+−+Ω
=
Za slu~aj kada radi samo jedan motor na prvoj, drugoj ili treoj konzoli, a ostala dva motora ne rade, onda su zakoni oscilovanja na sistemu konzola redom: I. Prvi motor radi, druga dva ne rade:
( ) [ ] ( )tvkvkvk
vkhty 1
111
211
1 cos))(1)(3(4
5)232(Ω
−−+−+−−+
=
( ) ( )tvkvkvk
vkhty 1
111
112 cos
))(1)(3()1(
Ω−−+−+
−+=
( ) ( )tvkvkvk
hty 1111
13 cos
))(1)(3(Ω
−−+−+=
U ovom slu~aju mogua je dinami~ka apsorbcija na broju obrtaja prvog motora,
mMck
A +±+
=Ω2
53221
tj. kada je:
2532
1±+
=kv A .
Tada prvi motor radi, debalans izaziva prinudne oscilacije sistema, ali oklop motora prinudno miruje na prvoj konzoli. II. Drugi motor radi, ostala dva ne rade:
( ) ( )tvkvkvk
vkhty 2222
221 cos
))(1)(3()1(
Ω−−+−+
−+=
( ) ( )tvkvkvk
vkhty 2
222
222
2 cos))(3)(1(
)1(Ω
−−+−+−+
=
( ) ( )tvkvkvk
vkhty 2222
223 cos
))(3)(1()1(
Ω−−+−+
−+=
Dinami~ka apsorbcija sistema, kada drugi motor radi, a prvi i trei miruju je mogua pri frekvenciji:
( )mM
ckA ++=Ω 12
2
koja je istovremeno i sopstvena frekvencija slobodnih oscilacija sistema, kada bi trebalo o~ekivati pojavu rezonancije, a ne apsorbcije. Tada slobodan kraj druge konzole miruje, kao i sam oklop drugog motora, iako motor radi. Ne javlja se porast amplituda oscilovanja, iako je frekvencija pobude jednaka frekvenciji sopstvenih oscilacija sistema. Tada se, tako|e se javlja i «dinami~ka apsorbcija na toj rezonantnoj frekvenciji« na slobodnom kraju prve i tree konzole, na kojoj se nalaze prvi i trei motor, koji ne rade, ali oklopi motora na tom broju obrtaja drugog motora nemaju rezonantne oscilacije, iako je trebalo o~ekivati da je sistem u rezonanciji na toj frekvenciji. III. Trei motor radi, ostala dva ne rade:
( ) ( )033333
31 cos
))(1)(3(ϕ+Ω
−−+−+= t
vkvkvkh
ty
( ) ( )033333
332 cos
))(1)(3()1(
ϕ+Ω−−+−+
−+= t
vkvkvkvkh
ty
( ) [ ] ( )033333
233
3 cos))(1)(3(4
5)232(ϕ+Ω
−−+−+−−+
= tvkvkvk
vkhty
U ovom slu~aju mogua je dinami~ka apsorbcija na broju obrtaja treeg, kao i kod prvog motora,
mMck
A +±+
=Ω2
53223
tj. kada je:
2532
3±+
=kv A .
Tada trei motor radi, debalans izaziva prinudne oscilacije sistema, ali oklop motora prinudno miruje na treoj konzoli. Ovo je trebalo i o~ekivati, jer se radi o sistemu sa osobinama simetrije.
PRO[IRENJE ZADATKA NA PETOTOFREKVENTNE PRINUDNE OSCILACIJE. U posebnom slu~aju kada su motori na drugoj i treoj konzoli isti kao i u prethodnom razmatranju,
a na prvoj konzoli rade istovremeno tri manja motora osnovnih masa 3/M i debalansa u obliku
materijalnih ta~aka masa po 3/m koje se obru ugaonim brzinama s1Ω , 3,2,1=s , sa po~etnim
uglovima s01ϕ model oscilatornog sistema je prikazan na sledeim slikama i predstavlja osnovu za analiti~ku analizu prinudne dinamike po analogiji sa prethodnim postupkom analiti~kog resavanja prethodno postavljenog zadatka. Po analogiji sa prethodnim zadatkom zakon prinudnog oscilovanja krajeva konzole su sada ne trofrekventni nego petofrekventni i opisuju se sledeim izrazima:
Slika br. 3 b* Slika br. 3 c*
( ) [ ] ( ) ( ) ( )))(1)(3(
cos))(1)(3(
cos)1())(1)(3(4
cos5)232(
333
0333
222
022223
1 111
0112
111 vkvkvk
thvkvkvk
tvkhvkvkvk
tvkhty
S
S SSS
SSSS
−−+−++Ω
+−−+−+
+Ω−++
−−+−++Ω−−+
=∑=
=
ϕϕϕ
( ) ( ) ( ) ( )))(1)(3(
cos)1())(3)(1(
cos)1())(1)(3(
cos)1(
333
03333
222
0222
223
111
011112 vkvkvk
tvkhvkvkvk
tvkhvkvkvk
tvkhty
S
S SSS
SSSS
−−+−++Ω−+
+−−+−++Ω−+
+−−+−+
+Ω−+=∑
=
=
ϕϕϕ
( ) ( ) ( ) [ ] ( )))(1)(3(4
cos5)232())(3)(1(
cos)1())(1)(3(
cos
333
0332
33
222
022223
1 111
01113 vkvkvk
tvkhvkvkvk
tvkhvkvkvk
thty
S
S SSS
SSS
−−+−++Ω−−+
+−−+−+
+Ω−++
−−+−++Ω
= ∑=
=
ϕϕϕ
gde su:
( )cmMv s
s
21
1Ω+
= , cmr
h ss 3
21
2
1Ω
= , 3,2,1=s , ( )
cmMv i
i
2Ω+= , 3,2=i ,
ccck
11
0 1α
== , cmr
h ii
22Ω= .
U posebnom slu~aju kada motori na drugoj i treoj konzoli ne rade, a na prvoj konzoli rade istovremeno tri manja motora osnovnih masa 3/M i debalansa u obliku materijalnih ta~aka masa po 3/m
koje se obru ugaonim brzinama s1Ω , 3,2,1=s , sa po~etnim uglovima s01ϕ zakoni prinudnog oscilovanja krajeva konzola su sada trofrekventni i opisuju se sledeim izrazima:
( ) [ ] ( )∑=
= −−+−++Ω−−+
=3
1 111
0112
111 ))(1)(3(4
cos5)232(S
S SSS
SSSS
vkvkvktvkh
tyϕ
( ) ( )∑=
= −−+−++Ω−+
=3
111
011112 ))(1)(3(
cos)1(S
S SSS
SSSS
vkvkvktvkh
tyϕ
( ) ( )∑=
= −−+−++Ω
=3
1 111
01113 ))(1)(3(
cosS
S SSS
SSS
vkvkvkth
tyϕ
2/l 2/l
s1Ω
3Ω
2Ω
1B
1B
1B
2B
2B
2B
rmMpoputa ,3/,3/3
rmM ,,
rmM ,,
c
c
AB
C D
E N
s=1,2,3 ec
(M+m)
c
c
(M+m)
(M+m) ( )0222 cos ϕ+Ω tF
( )0333 cos ϕ+Ω tF
( )∑=
=
+Ω3
10111 cos
s
ssss tF ϕ
ec
ec
y1
y2
y3
VIZUELIZACIJA OSCILATORNIH PROCESA U MEHANI^KOM SISTEMU
KONZOLA I TRI MOTORA Na slikama koje slede prikazana je povr frekventnog polinoma u funkciji parametara k i v sistema, odnosa krutosti opruga i konzola i bezimenzionog parametra broja obrtaja motora.
N 40:= i 0 N..:= j 0 N..:=
ki 0 0.25 i⋅+:= v j 0 0.25 j⋅+:=
f k v,( ) k 1+ v−( ) k 3+ v−( )⋅ k v−( )⋅:=
Mi j, f ki v j,( ):= M
M
Na sledeim slikama prikazani su dinami~ki koeficijenti pojedinih harmonika prinudnog oscilovanja u funkciji bezdimenzionog parametra broja obrtaja pojedinih motora, a za razli~ite odnose krutosti konzola i zavojnih opruga. To su ustvari amplitudno-frekventne karaktersitike stacionarnih re`ima oscilovanja linearnog sistema u okolini rezonantnih vrednosti broja obrtaja pojedinih motora.
k 1:=
C1 k v,( )2 k⋅ 3+ 2 v⋅−( )2 5−
k 1+ v−( ) k 3+ v−( )⋅ k v−( )⋅[ ]:= C2 k v,( )
k 1+ v−( )k 1+ v−( ) k 3+ v−( )⋅ k v−( )⋅[ ]
:=
C3 k v,( )1
k 1+ v−( ) k 3+ v−( )⋅ k v−( )⋅[ ]:= f k v,( ) k 1+ v−( ) k 3+ v−( )⋅ k v−( )⋅:=
1 0 1 2 3 4 5 6 7
25
15
5
5
15
2525
25−
C1 k v,( )
f k v,( )
71− v
1 0.13 0.75 1.63 2.5 3.38 4.25 5.13 6
10
6
2
2
6
1010
10−
C2 k v,( )
f k v,( )
61− v
1 0.13 0.75 1.63 2.5 3.38 4.25 5.13 6
10
6
2
2
6
1010
10−
C3 k v,( )
f k v,( )
61− v
k 2:=
C1 k v,( )2 k⋅ 3+ 2 v⋅−( )2 5−
k 1+ v−( ) k 3+ v−( )⋅ k v−( )⋅[ ]:= C2 k v,( )
k 1+ v−( )k 1+ v−( ) k 3+ v−( )⋅ k v−( )⋅[ ]
:=
C3 k v,( )1
k 1+ v−( ) k 3+ v−( )⋅ k v−( )⋅[ ]:= f k v,( ) k 1+ v−( ) k 3+ v−( )⋅ k v−( )⋅:=
1 0 1 2 3 4 5 6 7
25
15
5
5
15
2525
25−
C1 k v,( )
f k v,( )
71− v
1 0.13 0.75 1.63 2.5 3.38 4.25 5.13 6
10
6
2
2
6
1010
10−
C2 k v,( )
f k v,( )
61− v
1 0.13 0.75 1.63 2.5 3.38 4.25 5.13 6
10
6
2
2
6
1010
10−
C3 k v,( )
f k v,( )
61− v
k12
:=
C1 k v,( )2 k⋅ 3+ 2 v⋅−( )2 5−
k 1+ v−( ) k 3+ v−( )⋅ k v−( )⋅[ ]:= C2 k v,( )
k 1+ v−( )k 1+ v−( ) k 3+ v−( )⋅ k v−( )⋅[ ]
:=
C3 k v,( )1
k 1+ v−( ) k 3+ v−( )⋅ k v−( )⋅[ ]:= f k v,( ) k 1+ v−( ) k 3+ v−( )⋅ k v−( )⋅:=
1 0 1 2 3 4 5 6 7
25
15
5
5
15
2525
25−
C1 k v,( )
f k v,( )
71− v
1 0.13 0.75 1.63 2.5 3.38 4.25 5.13 6
10
6
2
2
6
1010
10−
C2 k v,( )
f k v,( )
61− v
1 0.13 0.75 1.63 2.5 3.38 4.25 5.13 6
10
6
2
2
6
1010
10−
C3 k v,( )
f k v,( )
61− v
k 1:=
C12 k v,( )k 1+ v−( )
k 1+ v−( ) k 3+ v−( )⋅ k v−( )⋅[ ]:= C22 k v,( )
k 1+ v−( )2
k 1+ v−( ) k 3+ v−( )⋅ k v−( )⋅[ ]:=
C32 k v,( )k 1+ v−
k 1+ v−( ) k 3+ v−( )⋅ k v−( )⋅[ ]:= f k v,( ) k 1+ v−( ) k 3+ v−( )⋅ k v−( )⋅:=
1 0 1 2 3 4 5 6 7
25
15
5
5
15
2525
25−
C12k v,( )
f k v,( )
71− v
1 0.13 0.75 1.63 2.5 3.38 4.25 5.13 6
10
6
2
2
6
1010
10−
C22k v,( )
f k v,( )
61− v
1 0.13 0.75 1.63 2.5 3.38 4.25 5.13 6
10
6
2
2
6
1010
10−
C32k v,( )
f k v,( )
61− v
Na sledeim slikama prikazani su, za razli~ite parametre sistema, kimenati~ki dijagrami - grafi~ki prikazi zavisnosti elongacija trofrekventnog re`ima oscilovanja slobodnih krajeva konzola i oklopa motora za razli~ite vrednosti parametara sistema, me|usobnog odnosa broja obrtaja motora i odnos krutosti konzola i zavojnih opruga. Na ordinatnoj osi je odgovarajua elongacija , a na apscisnoj osi bezimenzioni parametar koji karakterie proticanje vremena. Na svokoj slici su dati odgovarajui izrazi pomou kojih je u MathCad sastavljeni odgovarajui grafici elangacija preseka konzola, odnosno motora.
k12
:= p 2:= q 3:= v 2:=
C1 k v,( )2 k⋅ 3+ 2 v⋅−( )2 5−
k 1+ v−( ) k 3+ v−( )⋅ k v−( )⋅[ ]:= C2 k v,( )
k 1+ v−( )k 1+ v−( ) k 3+ v−( )⋅ k v−( )⋅[ ]
:=
C3 k v,( )1
k 1+ v−( ) k 3+ v−( )⋅ k v−( )⋅[ ]:= f k v,( ) k 1+ v−( ) k 3+ v−( )⋅ k v−( )⋅:=
y1 k v, p, q, t,( ) C1 k v,( ) cos t( )⋅ C1 k v p2⋅,( ) cos t p⋅( )⋅+ C1 k v q2
⋅,( ) cos t q⋅( )⋅+:=
y2 k v, p, q, t,( ) C2 k v,( ) cos t( )⋅ C2 k v p2⋅,( ) cos t p⋅( )⋅+ C2 k v q2
⋅,( ) cos t q⋅( )⋅+:=
y3 k v, p, q, t,( ) C3 k v,( ) cos t( )⋅ C3 k v p2⋅,( ) cos t p⋅( )⋅+ C3 k v q2⋅,( ) cos t q⋅( )⋅+:=
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
654321
123455
6−
y1 k v, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
y3 k v, p, q, t,( )
151− t
k 1:= p 1:= q 1:= v 1.3:=
C1 k v,( )2 k⋅ 3+ 2 v⋅−( )2 5−
k 1+ v−( ) k 3+ v−( )⋅ k v−( )⋅[ ]:= C2 k v,( )
k 1+ v−( )k 1+ v−( ) k 3+ v−( )⋅ k v−( )⋅[ ]
:=
C3 k v,( )1
k 1+ v−( ) k 3+ v−( )⋅ k v−( )⋅[ ]:= f k v,( ) k 1+ v−( ) k 3+ v−( )⋅ k v−( )⋅:=
y1 k v, p, q, t,( ) C1 k v,( ) cos t( )⋅ C1 k v p2⋅,( ) cos t p⋅( )⋅+ C1 k v q2
⋅,( ) cos t q⋅( )⋅+:=
y2 k v, p, q, t,( ) C2 k v,( ) cos t( )⋅ C2 k v p2⋅,( ) cos t p⋅( )⋅+ C2 k v q2
⋅,( ) cos t q⋅( )⋅+:=
y3 k v, p, q, t,( ) C3 k v,( ) cos t( )⋅ C3 k v p2⋅,( ) cos t p⋅( )⋅+ C3 k v q2
⋅,( ) cos t q⋅( )⋅+:=
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
6
4
2
2
4
66
6−
y1 k v, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
y3 k v, p, q, t,( )
151− t
k 1:= p 3:= q 4:= v 1.3:= k 1:= p 3:= q 5:= v 1.3:=
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
3
2
1
1
22
3−
y1 k v, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
y3 k v, p, q, t,( )
151− t
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
3
2
1
1
22
3−
y1 k v, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
y3 k v, p, q, t,( )
151− t
k 1:= p 3:= q 5:= v 1.23:= k 1:= p 3:= q 5:= v 2.33:=
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9101112131415
4
2.4
0.8
0.8
2.4
44
4−
y1 k v, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
y3 k v, p, q, t,( )
151− t
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415
4
2.4
0.8
0.8
2.4
44
4−
y1 k v, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
y3 k v, p, q, t,( )
151− t
k 1:= p 3:= q 4:= v 1.4:= k 1:= p 3:= q 4:= v 1.5:=
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415
2
1.2
0.4
0.4
1.2
22
2−
y1 k v, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
y3 k v, p, q, t,( )
151− t
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415
2
1.2
0.4
0.4
1.2
22
2−
y1 k v, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
y3 k v, p, q, t,( )
151− t k 1:= p 3:= q 4:= v 0.5:= k 1:= p 3:= q 4:= v 0.1:=
1 1 3 5 7 9 11 13 15
8
4.8
1.6
1.6
4.8
88
8−
y1 k v, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
y3 k v, p, q, t,( )
151− t
1 1 3 5 7 9 11 13 15
24
12
12
2424
24−
y1 k v, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
y3 k v, p, q, t,( )
151− t
k 1:= p 3:= q 4:= v 0.3:= k 1:= p 3:= q 4:= v 0.4:=
1 1 3 5 7 9 11 13 15
7
3.5
3.5
77
7−
y1 k v, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
y3 k v, p, q, t,( )
151− t
1 1 3 5 7 9 11 13 15
7
3.5
3.5
77
7−
y1 k v, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
y3 k v, p, q, t,( )
151− t
k 1:= p 2:= q 3:= v 0.4:= k 1:= p 2:= q 3:= v 4.13:=
1 1 3 5 7 9 11 13 15
7
3.5
3.5
77
7−
y1 k v, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
y3 k v, p, q, t,( )
151− t
1 1 3 5 7 9 11 13 15
7
3.5
3.5
77
7−
y1 k v, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
y3 k v, p, q, t,( )
151− t
k 1:= p 3:= q 2:= v 3.8:= k 1:= p 3:= q 2:= v 3.7:=
1 1 3 5 7 9 11 13 15
2
1
1
22
2−
y1 k v, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
y3 k v, p, q, t,( )
151− t
1 1 3 5 7 9 11 13 15
2
1
1
22
2−
y1 k v, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
y3 k v, p, q, t,( )
151− t
k 1:= p 3:= q 2:= v 3.6:= k 1:= p 3:= q 2:= v 3.5:=
1 1 3 5 7 9 11 13 15
2
1
1
22
2−
y1 k v, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
y3 k v, p, q, t,( )
151− t
1 1 3 5 7 9 11 13 15
2
1
1
22
2−
y1 k v, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
y3 k v, p, q, t,( )
151− t
k 1:= p 3:= q 2:= v 3.4:= k 1:= p 3:= q 2:= v 3.3:=
1 1 3 5 7 9 11 13 15
2
1
1
22
2−
y1 k v, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
y3 k v, p, q, t,( )
151− t
1 1 3 5 7 9 11 13 15
2
1
1
22
2−
y1 k v, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
y3 k v, p, q, t,( )
151− t
k 1:= p 3:= q 2:= v 3.00:= k 1:= p 2:= q 4:= v 1.3:=
1 1 3 5 7 9 11 13 15
3
2
1
1
22
3−
y1 k v, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
y3 k v, p, q, t,( )
151− t
1 2.88 6.7510.63 14.518.3822.2526.13 30
3
2
1
1
22
3−
y1 k v, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
y3 k v, p, q, t,( )
301− t k 1:= p 2:= q 4:= v 1.5:= k 1:= p 2:= q 4:= v 1.6:=
1 2.88 6.7510.63 14.518.3822.2526.13 30
3
2
1
1
22
3−
y1 k v, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
y3 k v, p, q, t,( )
301− t
1 2.88 6.7510.63 14.518.3822.2526.13 30
5
3
1
1
33
5−
y1 k v, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
y3 k v, p, q, t,( )
301− t
k 1:= p 2:= q 4:= v 3.5:= k 1:= p 3:= q 9:= v 1.5:=
1 2.88 6.7510.63 14.518.3822.2526.13 30
1
0.5
0.5
11
1−
y1 k v, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
y3 k v, p, q, t,( )
301− t
1 2.88 6.7510.63 14.518.3822.2526.13 30
2
1
1
22
2−
y1 k v, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
y3 k v, p, q, t,( )
301− t
k 1:= p 5.8:= q 16.99:= v 1.5:=
1 1 3 5 7 9 11 13 15
2
1
1
22
2−
y1 k v, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
y3 k v, p, q, t,( )
151− t
k 1:= p 5:= q 7:= v 1.5:=
C1 k v,( )2 k⋅ 3+ 2 v⋅−( )2 5−
k 1+ v−( ) k 3+ v−( )⋅ k v−( )⋅[ ]:= C2 k v,( )
k 1+ v−( )k 1+ v−( ) k 3+ v−( )⋅ k v−( )⋅[ ]
:=
C3 k v,( )1
k 1+ v−( ) k 3+ v−( )⋅ k v−( )⋅[ ]:= f k v,( ) k 1+ v−( ) k 3+ v−( )⋅ k v−( )⋅:=
y1 k v, p, q, t,( ) C1 k v,( ) cos t( )⋅ C1 k v p2⋅,( ) cos t p⋅( )⋅+ C1 k v q2
⋅,( ) cos t q⋅( )⋅+:=
y2 k v, p, q, t,( ) C2 k v,( ) cos t( )⋅ C2 k v p2⋅,( ) cos t p⋅( )⋅+ C2 k v q2
⋅,( ) cos t q⋅( )⋅+:=
y3 k v, p, q, t,( ) C3 k v,( ) cos t( )⋅ C3 k v p2⋅,( ) cos t p⋅( )⋅+ C3 k v q2
⋅,( ) cos t q⋅( )⋅+:=
k 1:= p 5:= q 7:= v 1.5:= k 1:= p 5:= q 7:= v 1.5:= k 1:= p 5:= q 7:= i 1:= v1 1.4:= k 1:= p 5:= q 7:= v1 1.6:= k 1:= p 5:= q 7:= i 1:= v2 1.3:= k 1:= p 5:= q 7:= v2 1.7:= k 1:= p 5:= q 7:= i 1:= v3 1.2:= k 1:= p 5:= q 7:= v3 1.8:=
1 1 3 5 7 9 11 13 15
5
2.5
2.5
55
5−
y1 k v, p, q, t,( )
y1 k v1, p, q, t,( )
y1 k v2, p, q, t,( )
y1 k v3, p, q, t,( )
151− t
1 1 3 5 7 9 11 13 15
10
5
5
1010
10−
y1 k v, p, q, t,( )
y1 k v1, p, q, t,( )
y1 k v2, p, q, t,( )
y1 k v3, p, q, t,( )
151− t
1 1 3 5 7 9 11 13 15
6
3.6
1.2
1.2
3.6
66
6−
y2 k v, p, q, t,( )
y2 k v1, p, q, t,( )
y2 k v2, p, q, t,( )
y2 k v3, p, q, t,( )
151− t
1 1 3 5 7 9 11 13 15
2
1
1
22
2−
y2 k v, p, q, t,( )
y2 k v1, p, q, t,( )
y2 k v2, p, q, t,( )
y2 k v3, p, q, t,( )
151− t
1 1 3 5 7 9 11 13 15
3
2
1
1
22
3−
y3 k v, p, q, t,( )
y3 k v1, p, q, t,( )
y3 k v2, p, q, t,( )
y3 k v3, p, q, t,( )
151− t
1 1 3 5 7 9 11 13 15
3
2
1
1
2
33
3−
y3 k v, p, q, t,( )
y3 k v1, p, q, t,( )
y3 k v2, p, q, t,( )
y3 k v3, p, q, t,( )
151− t k 1:= p 2:= q 4:= v 3.5:= k 1:= p 2:= q 4:= v1 1.6:= k 1:= p 2:= q 4:= v2 1.5:= k 1:= p 2:= q 4:= v3 3.2:=
1 1 3 5 7 9 11 13 15
5
2.5
2.5
55
5−
y1 k v, p, q, t,( )
y1 k v1, p, q, t,( )
y1 k v2, p, q, t,( )
y1 k v3, p, q, t,( )
151− t
1 1 3 5 7 9 11 13 15
2
1
1
22
2−
y2 k v1, p, q, t,( )
y2 k v2, p, q, t,( )
y2 k v3, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
151− t
1 1 3 5 7 9 11 13 15
2
1.33
0.67
0.67
1.33
22
2−
y3 k v, p, q, t,( )
y3 k v1, p, q, t,( )
y3 k v2, p, q, t,( )
y3 k v3, p, q, t,( )
151− t
k 1:= p 3:= q 2:= v 3.5:= v1 3.6:= v2 3.7:= v3 3.8:=
1 1 3 5 7 9 11 13 15
2
1
1
22
2−
y1 k v, p, q, t,( )
y1 k v1, p, q, t,( )
y1 k v2, p, q, t,( )
y1 k v3, p, q, t,( )
151− t
1 1 3 5 7 9 11 13 15
6
3.5
1
1.5
44
6−
y2 k v1, p, q, t,( )
y2 k v2, p, q, t,( )
y2 k v3, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
151− t
1 1 3 5 7 9 11 13 15
1
0.67
0.33
0.33
0.67
11
1−
y3 k v, p, q, t,( )
y3 k v1, p, q, t,( )
y3 k v2, p, q, t,( )
y3 k v3, p, q, t,( )
151− t k 1:= p 2:= q 3:= v 0.4:= v1 4.13:= v2 2.1:= v3 3.7:=
1 1 3 5 7 9 11 13 15
25
12.5
12.5
2525
25−
y1 k v, p, q, t,( )
y1 k v1, p, q, t,( )
y1 k v2, p, q, t,( )
y1 k v3, p, q, t,( )
151− t
1 1 3 5 7 9 11 13 15
6
3.5
1
1.5
44
6−
y2 k v1, p, q, t,( )
y2 k v2, p, q, t,( )
y2 k v3, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
151− t
1 1 3 5 7 9 11 13 15
6
4
2
2
4
66
6−
y3 k v, p, q, t,( )
y3 k v1, p, q, t,( )
y3 k v2, p, q, t,( )
y3 k v3, p, q, t,( )
151− t
k 1:= p 3:= q 4:= v 0.4:= v1 4.13:= v2 2.1:= v3 3.7:=
1 1 3 5 7 9 11 13 15
25
12.5
12.5
2525
25−
y1 k v, p, q, t,( )
y1 k v1, p, q, t,( )
y1 k v2, p, q, t,( )
y1 k v3, p, q, t,( )
151− t
1 1 3 5 7 9 11 13 15
6
3.5
1
1.5
44
6−
y2 k v1, p, q, t,( )
y2 k v2, p, q, t,( )
y2 k v3, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
151− t
1 1 3 5 7 9 11 13 15
6
4
2
2
4
66
6−
y3 k v, p, q, t,( )
y3 k v1, p, q, t,( )
y3 k v2, p, q, t,( )
y3 k v3, p, q, t,( )
151− t
k 1:= p 3:= q 4:= v 0.3:= v1 0.2:= v2 0.1:= v3 0.5:=
1 1 3 5 7 9 11 13 15
25
12.5
12.5
2525
25−
y1 k v, p, q, t,( )
y1 k v1, p, q, t,( )
y1 k v2, p, q, t,( )
y1 k v3, p, q, t,( )
151− t
1 1 3 5 7 9 11 13 15
2
1
1
22
2−
y2 k v1, p, q, t,( )
y2 k v2, p, q, t,( )
y2 k v3, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
151− t
1 1 3 5 7 9 11 13 15
5
3.33
1.67
1.67
3.33
55
5−
y3 k v, p, q, t,( )
y3 k v1, p, q, t,( )
y3 k v2, p, q, t,( )
y3 k v3, p, q, t,( )
151− t k 1:= p 3:= q 4:= v 1.3:= v1 1.4:= v2 1.2:= v3 1.5:=
1 1 3 5 7 9 11 13 15
5
2.5
2.5
55
5−
y1 k v, p, q, t,( )
y1 k v1, p, q, t,( )
y1 k v2, p, q, t,( )
y1 k v3, p, q, t,( )
151− t
1 1 3 5 7 9 11 13 15
3
2
1
1
22
3−
y2 k v1, p, q, t,( )
y2 k v2, p, q, t,( )
y2 k v3, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
151− t
1 1 3 5 7 9 11 13 15
3
2
1
1
2
33
3−
y3 k v, p, q, t,( )
y3 k v1, p, q, t,( )
y3 k v2, p, q, t,( )
y3 k v3, p, q, t,( )
151− t
k 1:= p 3:= q 4:= v 3.618:= v1 1.384:= v2 2.0:= v3 4.6:=
1 1 3 5 7 9 11 13 15
3
1.5
1.5
33
3−
y1 k v, p, q, t,( )
y1 k v1, p, q, t,( )
y1 k v2, p, q, t,( )
y1 k v3, p, q, t,( )
151− t
1 1 3 5 7 9 11 13 15
2
1.2
0.4
0.4
1.2
22
2−
y2 k v1, p, q, t,( )
y2 k v2, p, q, t,( )
y2 k v3, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
151− t
1 1 3 5 7 9 11 13 15
2
1.33
0.67
0.67
1.33
22
2−
y3 k v, p, q, t,( )
y3 k v1, p, q, t,( )
y3 k v2, p, q, t,( )
y3 k v3, p, q, t,( )
151− t
k 1:= p 3:= q 4:= v 2:= v1 40:= v2 10:= v3 50:=
1 1 3 5 7 9 11 13 15
0.25
0.13
0.13
0.250.25
0.25−
y1 k v, p, q, t,( )
y1 k v1, p, q, t,( )
y1 k v2, p, q, t,( )
y1 k v3, p, q, t,( )
151− t
1 1 3 5 7 9 11 13 15
0.002
0.0012
4 .10 4
4 .10 4
0.0012
0.0020.002
0.002−
y2 k v1, p, q, t,( )
y2 k v2, p, q, t,( )
y2 k v3, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
151− t
1 1 3 5 7 9 11 13 15
2 .10 5
1.33 .10 5
6.67 .10 6
6.67 .10 6
1.33 .10 5
2 .10 50.00002
0.00002−
y3 k v, p, q, t,( )
y3 k v1, p, q, t,( )
y3 k v2, p, q, t,( )
y3 k v3, p, q, t,( )
151− t k 1:= p 3:= q 4:= v 6.2:= v1 12.2:= v2 3.1:= v3 8.1:=
1 1 3 5 7 9 11 13 15
3
1.5
1.5
33
3−
y1 k v, p, q, t,( )
y1 k v1, p, q, t,( )
y1 k v2, p, q, t,( )
y1 k v3, p, q, t,( )
151− t
1 1 3 5 7 9 11 13 15
0.12
0.072
0.024
0.024
0.072
0.120.12
0.12−
y2 k v1, p, q, t,( )
y2 k v2, p, q, t,( )
y2 k v3, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
151− t
1 1 3 5 7 9 11 13 15
0.5
0.33
0.17
0.17
0.33
0.50.5
0.5−
y3 k v, p, q, t,( )
y3 k v1, p, q, t,( )
y3 k v2, p, q, t,( )
y3 k v3, p, q, t,( )
151− t
k 1:= p 3:= q 4:= v 8.2:= v1 16.2:= v2 4.2:= v3 29.1:=
1 1 3 5 7 9 11 13 15
2
1
1
22
2−
y1 k v, p, q, t,( )
y1 k v1, p, q, t,( )
y1 k v2, p, q, t,( )
y1 k v3, p, q, t,( )
151− t
1 1 3 5 7 9 11 13 15
0.005
0.003
0.001
0.001
0.003
0.0050.005
0.005−
y2 k v1, p, q, t,( )
y2 k v2, p, q, t,( )
y2 k v3, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
151− t
1 1 3 5 7 9 11 13 15
5 .10 4
3.33333 .10 4
1.66667 .10 4
1.66667 .10 4
3.33333 .10 4
5 .10 40.0005
0.0005−
y3 k v, p, q, t,( )
y3 k v1, p, q, t,( )
y3 k v2, p, q, t,( )
y3 k v3, p, q, t,( )
151− t
k 1:= p 3:= q 9:= v 3.2:= v1 6.2:= v2 12.2:= v3 36.1:=
1 1 3 5 7 9 11 13 15
2
1
1
22
2−
y1 k v, p, q, t,( )
y1 k v1, p, q, t,( )
y1 k v2, p, q, t,( )
y1 k v3, p, q, t,( )
151− t
1 1 3 5 7 9 11 13 15
0.003
0.0018
6 .10 4
6 .10 4
0.0018
0.0030.003
0.003−
y2 k v1, p, q, t,( )
y2 k v2, p, q, t,( )
y2 k v3, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
151− t
1 1 3 5 7 9 11 13 15
0.0025
0.00167
8.33333 .10 4
8.33333 .10 4
0.00167
0.00250.0025
0.0025−
y3 k v, p, q, t,( )
y3 k v1, p, q, t,( )
y3 k v2, p, q, t,( )
y3 k v3, p, q, t,( )
151− t
y3 k v, p, q, t,( ) C31 k v,( ) cos t( )⋅ C32 k v, p,( ) cos t p⋅( )⋅+ C32 k v, q,( ) cos t q⋅( )⋅+:=
y2 k v, p, q, t,( ) C21 k v,( ) cos t( )⋅ C22 k v, p,( ) cos t p⋅( )⋅+ C23 k v, q,( ) cos t q⋅( )⋅+:=
y1 k v, p, q, t,( ) C11 k v,( ) cos t( )⋅ C12 k v, p,( ) cos t p⋅( )⋅+ C13 k v, q,( ) cos t q⋅( )⋅+:=
f3 k v, q,( ) k 1+ v q2⋅−( ) k 3+ v q2
⋅−( )⋅ k v q2⋅−( )⋅:=
C33 k v, q,( )2 k⋅ 3+ 2 v⋅ q2
⋅−( )2 5−
k 1+ v q2⋅−( ) k 3+ v q2
⋅−( )⋅ k v q2⋅−( )⋅
:=
C23 k v, q,( )k 1+ v q2
⋅−( )k 1+ v q2
⋅−( ) k 3+ v q2⋅−( )⋅ k v q2
⋅−( )⋅ :=
C13 k v, q,( )1
k 1+ v q2⋅−( ) k 3+ v q2
⋅−( )⋅ k v q2⋅−( )⋅
:=
f2 k v, p,( ) k 1+ v p2⋅−( ) k 3+ v p2
⋅−( )⋅ k v p2⋅−( )⋅:=
C32 k v, p,( )k 1+ v p2
⋅−( )k 1+ v p2
⋅−( ) k 3+ v p2⋅−( )⋅ k v p2
⋅−( )⋅ :=
C22 k v, p,( )k 1+ v p2
⋅−( )2
k 1+ v p2⋅−( ) k 3+ v p2⋅−( )⋅ k v p2⋅−( )⋅ :=C12 k v, p,( )
k 1+ v p2⋅−( )
k 1+ v p2⋅−( ) k 3+ v p2⋅−( )⋅ k v p2⋅−( )⋅ :=
f1 k v,( ) k 1+ v−( ) k 3+ v−( )⋅ k v−( )⋅:=C31 k v,( )1
k 1+ v−( ) k 3+ v−( )⋅ k v−( )⋅[ ]:=
C21 k v,( )k 1+ v−( )
k 1+ v−( ) k 3+ v−( )⋅ k v−( )⋅[ ]:=C11 k v,( )
2 k⋅ 3+ 2 v⋅−( )2 5− k 1+ v−( ) k 3+ v−( )⋅ k v−( )⋅[ ]
:=
v 0.0002:=q 8:=p 4:=k 1:=
k 1:= p 3:= q 5:= v12
:=
2 k 1:= p 2:= q 3:= v 0.01:=
1 1 3 5 7 9 11 13 15
5
2.5
2.5
55
5−
y1 k v, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
y3 k v, p, q, t,( )
151− t
1 1 3 5 7 9 11 13 15
4
2
2
44
4−
y1 k v, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
y3 k v, p, q, t,( )
151− t
k 1:= p 2:= q 9:= v 0.002:= k 1:= p 9:= q 18:= v 0.002:=
1 1 3 5 7 9 11 13 15
4
2
2
44
4−
y1 k v, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
y3 k v, p, q, t,( )
151− t
1 1 3 5 7 9 11 13 15
4
2
2
44
4−
y1 k v, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
y3 k v, p, q, t,( )
151− t
k 1:= p 9:= q 18:= v 0.02:= k 1:= p 4:= q 8:= v 0.02:=
1 1 3 5 7 9 11 13 15
4
2
2
44
4−
y1 k v, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
y3 k v, p, q, t,( )
151− t
1 1 3 5 7 9 11 13 15
5
2.5
2.5
55
5−
y1 k v, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
y3 k v, p, q, t,( )
151− t
k 1:= p 5:= q 7:= v 0.0002:= k 1:= p 4:= q 8:= v 0.0002:=
1 1 3 5 7 9 11 13 15
3
1.5
1.5
33
3−
y1 k v, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
y3 k v, p, q, t,( )
151− t
1 1 3 5 7 9 11 13 15
5
2.5
2.5
55
5−
y1 k v, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
y3 k v, p, q, t,( )
151− t
1 1 3 5 7 9 11 13 15
3
1.5
1.5
33
3−
y1 k v, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
y3 k v, p, q, t,( )
151− t
k 1:= p 5:= q 13:= v 0.0002:= k 1:= p 5:= q 43:= v 0.0002:=
1 1 3 5 7 9 11 13 15
3
1.5
1.5
33
3−
y1 k v, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
y3 k v, p, q, t,( )
151− t
1 1 3 5 7 9 11 13 15
3
1.5
1.5
33
3−
y1 k v, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
y3 k v, p, q, t,( )
151− t
1 1 3 5 7 9 11 13 15
3
1.5
1.5
33
3−
y1 k v, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
y3 k v, p, q, t,( )
151− t
k 1:= p 5:= q 43:= v 0.02:= k 1:= p 13:= q 113:= v 0.00002:=
1 1 3 5 7 9 11 13 15
3.5
1.75
1.75
3.53.5
3.5−
y1 k v, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
y3 k v, p, q, t,( )
151− t
1 1 3 5 7 9 11 13 15
3
1.5
1.5
33
3−
y1 k v, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
y3 k v, p, q, t,( )
151− t
1 1 3 5 7 9 11 13 15
3
1.5
1.5
33
3−
y1 k v, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
y3 k v, p, q, t,( )
151− t
k 1:= p 113:= q 13:= v 0.00002:= k 1:= p 113:= q 3:= v 0.00002:=
1 1 3 5 7 9 11 13 15
3
1.5
1.5
33
3−
y1 k v, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
y3 k v, p, q, t,( )
151− t
1 1 3 5 7 9 11 13 15
3
1.5
1.5
33
3−
y1 k v, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
y3 k v, p, q, t,( )
151− t
k 1:= p 13:= q113
:= v 0.0002:=
2
k 1:= p 113:= q171
:= v 0.0002:=
1 1 3 5 7 9 11 13 15
3
1.5
1.5
33
3−
y1 k v, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
y3 k v, p, q, t,( )
151− t
1 1 3 5 7 9 11 13 15
3
1.5
1.5
33
3−
y1 k v, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
y3 k v, p, q, t,( )
151− t
0 0.38 0.75 1.13 1.5 1.88 2.25 2.63 3
3
1.5
1.5
33
3−
y1 k v, p, q, t,( )
30 t
1 0.25 0.5 1.25 2 2.75 3.5 4.25 5
3
1.5
1.5
33
3−
y2 k v, p, q, t,( )
51− t
1 1 3 5 7 9 11 13 15
3
1.5
1.5
33
3−
y3 k v, p, q, t,( )
151− t
0 0.38 0.75 1.13 1.5 1.88 2.25 2.63 3
3
1.5
1.5
33
3−
y1 k v, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
y3 k v, p, q, t,( )
30 t k 1:= p 1:= q 1:= v 2.5:=
1 1 3 5 7 9 11 13 15
4
2
2
44
4−
y1 k v, p, q, t,( )
y2 k v, p, q, t,( )
y3 k v, p, q, t,( )
151− t
