A k = area of k th rectangle, f(c k ) – g(c k ) = height, x k = width. 6.1 Area between two curves.
Rede Neural de Backpropagation 1. Seja t k a k-th saída alvo (desejada) e z k a k-th saída...
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Rede Neural de BackpropagationRede Neural de
Backpropagation
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• Seja tk a k-th saída alvo (desejada) e zk a k-th saída computada para k = 1, …, c
• Sejam w os pesos da rede• Seja net a soma ponderada de entradas de um neurônio• Erro de treinamento:
• A minimização do erro só pode ser feita atuando sobre os pesos das conexões da rede
2
c
1k
22kk zt
2
1)zt(
2
1)w(J
Aprendizagem
• Seja tk a k-th saída alvo (desejada) e zk a k-th saída computada para k = 1, …, c
• Sejam w os pesos da rede• Seja net a soma ponderada de entradas de um neurônio
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Notação para a dedução
d
i
d
i
tjjiijjiij xwwxwwxnet
1 00 .
c)1,...,(k )( 1
0
k
d
ijijik netfwxwfz
• Para minimizar o erro é preciso igualar a zero sua derivada em relação aos pesos
• Erro é função de net e net é função dos pesos• Derivando parcialmente (camada de saída)
• k mostra a variação do erro com a unidade (neurônio)
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kj
kk
kj
k
kkj w
net
w
net
net
J
w
J
.
kk net
J
Minimização do erro
• A minimização do erro só pode ser feita atuando sobre os pesos das conexões da rede
• Depois de cada computação de saída de ordem m o erro de treinamento deve ser minimizando modificando esse pesos para a computação de ordem m+1
w(m +1) = w(m) + w(m)• Incremento de peso para redução do erro de treinamento,
que deve ser minimizado• é o coeficiente de aprendizagem
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c
1k
22kk zt
2
1)zt(
2
1)w(J
kiki w
Jw
Atualização dos pesos das conexões
• Erro é função da saída zk e zk é função de net
• como netk = wkt.y
• A regra de aprendizagem ou atualização de pesos entre a camada de saída e a camada oculta é
wkj = kyj = (tk – zk) f’ (netk)yj
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jkj
k yw
net
Conexões com a camada de saída
jkkj
kk
kj
k
kkjkj y
w
net
w
net
net
J
w
Jw
.
)´()()(
)(
)()(2
1 2
kkkk
kkk
k
kkkkk
kkk
netfztnet
netfzt
net
zztzt
netnet
J
A regra de aprendizagem ou atualização de pesos entre a camada oculta e a camada de entrada é semelhante
k mostra a variação do erro com o peso da conexão
7
ji
j
j
j
jji w
net
net
y
y
J
w
J
..
Conexões com a camada oculta
c
kkkjjj wnetf
1
)('
ijkkjjiji xnetfwxw
j
)('
Resumo da atualização de pesos
• Mas • Para os pesos entre a camada de saída e a camada
oculta o incremento é• wkj = kyj = (tk – zk) f’ (netk)yj = (tk – zk) f (netk) (1- f (netk))yj
• Para os pesos entre a camada oculta e a camada de entrada o incremento é
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ijkkjjiji xnetfwxw
j
)('
))(1(*)( kk netfnetf
ijjkkjjiji xnetfnetfwxw )(1)(
Derivadas das funções de transferência
• Para a função logística
• Para a função tangente hiperbólicaf(y) = tanh(y)
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211
1*
1
11
1
1x
x
xxxe
e
eeedx
d
xexf
1
1)(
))(1(*)()´()(
kkkk
k netfnetfnetfnet
netf
yyhy
dy
yd2
22
cosh
1sectanh1
)(tanh(
10
1 2
21
0
1
Camada de entrada 1
Camada oculta 2
Camada de saída 3
bias
w2(0,1)
w3(0,1)
w2(0,2)
w2(2,2)
w2(2,1)
w2(1,1)
w2(1,2)
w3(2,1)
w3(1,1)
0,0 0,0
Exemplo de backpropagation XOR
• Seja net a soma ponderada de entradas de um neurônio• Sejam as camadas numeradas a partir de 1 (entrada)• xc-1(n) entrada no neurônio n da camada c
• wk(i,j) peso da conexão entre o neurônio i da camada k-1 e o neurônio j da camada k
• k(n) parcela a corrigir do nó n na camada k
• w2(0,1) = *x1(0)*2(1) atualização de pesos
• Para conexão com a camada de saída• 3(1) = x3(1)*(1 - x3(1))*(d - x3(1))
• Para conexão com camada oculta• 2(1) = x2(1)*(1 - x2(1))*(w3(1,1)*3(1)+ w3(1,1)*3(2))
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Notação para o exemplo
Camada oculta Neurônio 1: w2(0,1) = 0.341232 w2(1,1) = 0.129952 w2(2,1) =-0.923123 Camada oculta Neurônio 2: w2(0,2) =-0.115223 w2(1,2) = 0.570345 w2(2,2) =-0.328932 Camada de saía Neurônio 1: w3(0,1) =-0.993423 w3(1,1) = 0.164732 w3(2,1) = 0.752621
Entrada inicialx1(0) = 1 (bias)x1(1) = 0 x1(2) = 0
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Exemplo – Inicialização
• Para a camada oculta os resultados da função somadora sãoNeurônio 1: (1 * 0.341232) + (0 * 0.129952) + (0 * -0.923123) = 0.341232Neurônio 2: (1 *-0.115223) + (0 * 0.570345) + (0 * -0.328932) = -0.115223• Aplicando a função de ativação logística temosx2(1) = 1/(1+e^(-0.341232)) = 0.584490
x2(2) = 1/(1+e^( 0.115223)) = 0.471226
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Exemplo – Treinamento Forward
Camada oculta Neurônio 1: w2(0,1) = 0.341232 w2(1,1) = 0.129952 w2(2,1) =-0.923123 Camada oculta Neurônio 2: w2(0,2) =-0.115223 w2(1,2) = 0.570345 w2(2,2) =-0.328932
A entrada para camada de saída será x2(0) = 1 (bias)
x2(1) = 0.584490
x2(2) = 0.471226
Para a camada de saída o resultado da função somadora é Neurônio 1: (1 *-0.993423) + (0.584490 * 0.164732) + (0.471226 * 0.752621)
= -0.542484Aplicando a função de ativação logística temosx3(1) = 1/(1+e^(0.542484)) = 0.367610
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Exemplo – Treinamento Forward (2)
Camada de saía Neurônio 1: w3(0,1) =-0.993423 w3(1,1) = 0.164732 w3(2,1) = 0.752621
O resultado esperado era 0 logo o erro é 0.367610. A diferença a corrigir é dada por No caso em tela 3(1) = x3(1)*(1 - x3(1))*(d - x3(1))
3(1) = x3(1)*(1 - x3(1))*(d - x3(1)) =
= 0.367610 * (1 - 0.367610)(0 - 0.367610) = =-0.085459
x3(1) = 0.367610
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Exemplo – Treinamento Forward (3)
Para os neurônios da camada oculta as diferenças a corrigir sãow3(1,1)3(1) é a diferença a corrigir neurônio 1w3(2,1)3(1) é a diferença a corrigir neurônio 2 2(1) = x2(1)*(1 - x2(1))*w3(1,1)*3(1) = 0.584490 * (1 - 0.584490)*(0.164732)*(-0.085459) = -0.00341902(2) = x2(2)*(1 - x2(2))*w3(1,1)*3(1)2(2) = 0.471226 * (1 - 0.471226)*(0.752621)*(-0.085459) = -0.0160263
x2(0) = 1 (bias)
x2(1) = 0.584490
x2(2) = 0.471226
3(1) =-0.085459
w3(1,1) = 0.164732 w3(2,1) = 0.752621
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Exemplo – Treinamento Backward (1)
• A atualização dos pesos das conexões é dada por sendo o coeficiente de aprendizagem um amortecedor empírico, no caso com valor igual a 0,5.
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Exemplo – Treinamento Backward (2)
w2(0,1) = *x1(0)*2(1) = 0.5 * 1 * -0.0034190 = -0.017095
w2(1,1) = *x1(1)*2(1) = 0.5 * 0 * -0.0034190 = 0
w2(2,1) = *x1(2)*2(1) = = 0.5 * 0 * -0.0034190 0
w2(0,2) = *x1(0)*2(2) = 0.5 * 1 * -0.0160263 = -0.0080132
w2(1,2) = *x1(1)*2(2) = 0.5 * 0 * -0.0160263 = 0
w2(2,2) = *x1(2)*2(2) = 0.5 * 0 * -0.0160263 = 0
w3(0,1) = *x2(0)*3(1) = 0.5 * 1 * -0.085459 = -0.042730
w3(1,1) = *x2(0)*3(1) = 0.5 * 0.584490 * -0.085459 = -0.024975
w3(2,1) = *x2(0)*3(1) = 0.5 * 0.471226 * -0.085459 = -0.020135
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Exemplo – Treinamento Backward (3)
• Valores atualizados dos pesos das conexões w2(0,1) = 0.341232 + -0.017095 = 0,3395225w2(1,1) = 0.129952 + 0 = 0.129952w2(2,1) =-0.923123 + 0 =-0.923123w2(0,2) =-0.115223 + = 0,10720985w2(1,2) = 0.570345 + 0 = 0.570345w2(2,2) =-0.328932 + 0 =-0.328932w3(0,1) =-0.993423 + -0.042730 = 0,9506935w3(1,1) = 0.164732 + -0.024975 = 0,139757035w3(2,1) = 0.752621 + -0.020135 = 0,732485749
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Exemplo – Atualização dos pesos