RECUPERO LE ESPRESSIONI CON LE QUATTRO … · } Applica la proprietà del prodotto di potenze con...
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I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI Recupero
Copyright © 2010 Zanichelli editore SpA, Bologna [6821 der] Questo file è una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini, Anna Trifone e Graziella Barozzi
Semplifica le seguenti espressioni.
RECUPEROLE ESPRESSIONI CON LE QUATTRO OPERAZIONIIN N
COMPLETA1Semplifica la seguente espressione:
{[10 � (2 � 2)] � [16 � (3 � 2)]} � 3 � (4 � 2).
{[10 � (2 � 2)] � [16 � (3 � 2)]} � 3 � (4 � 2) �
� {[10 � (…)] � [16 � (…)]} � 3 � (…) � Esegui le operazioni nelle parentesi tonde.
� {[…] � […]} � 6 � Esegui le operazioni nelle parentesi quadre.
� {… � …} � 6 � Esegui le operazioni nelle parentesi graffe
� … � 6 � … e scrivi il risultato
PROVA TU2Semplifica la seguente espressione:
{[(24 � 6 � 3) � 5 � 3] � (9 � 2 � 15) � 3 � 10} � 2.
{[(24 � 6 � 3) � 5 � 3] � (9 � 2 � 15) � 3 � 10} � 2 �
� {[(24 � …) � 15] � (18 � …) � 3 � 10} � 2 �
� {[… � 15] � … � 3 � 10} � 2 �
� {… � … � 3 � 10} � 2 �
� {… � 3 � 10} � 2 �
� … � 2 �
[4 � (7 � 3) � 5 � (6 � 2)] � 3 � 10 [6]
[(2 � 4 � 7) � (2 � 8 � 2) � 5] � (6 � 2) � 5 [5]
(12 � 8 � 5) � 5 � (6 � 4 � 9 � 1) [1]
{[2 � (4 � 8)] � [16 � 4 � 2]} � 3 � (5 � 2) [12]6
5
4
3 [(12 � 3) � 4 � 2 � (3 � 1)] � 4 � 3 [7]
12 � (3 � 4) � (2 � 3) � 5 � [6 � (7 � 1 � 5)] [8]
{[(13 � 8 � 6) � 3] � (7 � 3 � 8 � 1)} � 2 [4]9
8
7
[5 � (5 � 4 � 4 � 4) �9] � {4 � (32 � 8 � 4) � [(6 � 4) � 12] � 4 � 4} [11]
[3 � (6 � 2)] � [(13 � 7 � 10) � 2] � 12 � [2 � (10 � 2)] � 3 [0]11
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I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI Recupero
Copyright © 2010 Zanichelli editore SpA, Bologna [6821 der] Questo file è una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini, Anna Trifone e Graziella Barozzi
Traduci in espressioni le seguenti frasi e calcola quanto valgono per i valori di a e b indicati a fianco.
«Al triplo di a aggiungi il doppio della differenza tra b e a.» a � 4, b � 7. [18]
«Al quintuplo di a sottrai la somma tra il doppio di b e a.» a � 3, b � 2. [8]
«Moltiplica il doppio di a per la somma di a e b e poi sottrai il triplo di b.» a � 3, b � 2. [24]
«Dividi la somma di a e b per il doppio di a.» a � 1, b � 5. [3]
«Moltiplica la somma di a e b per il doppio di a e poi aggiungi il triplo di b.» a � 2, b � 1. [15]
«Dividi il doppio di a per la differenza tra a e b.» a � 3, b � 1. [3]
«Moltiplica la differenza tra a e b per il doppio della loro somma.» a � 4, b � 3. [14]
«Sottrai il doppio di b dal prodotto del quadruplo di a con b.» a � 3, b � 5. [50]
«Dividi la somma di a e del doppio di b per la differenza tra a e b.» a � 4, b � 2. [4]11
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RECUPERODALLE PAROLE ALLE ESPRESSIONI IN N
COMPLETA1Traduci in espressione la frase: «Aggiungi b al doppio di a e poi sottrai il triplo di b».Calcola il valore dell’espressione per a � 4 e b � 2.
«doppio di a»: 2 � a «triplo di b»: … b Traduci le parti della frase.
2a … b … b Scrivi l’espressione.
2 � … � … � 3 � … � Sostituisci i valori di a e b.
8 � … � 6 � 4. Esegui i calcoli.
PROVA TU2Traduci in espressione la frase: «Sottrai b al triplo di a e poi aggiungi il quadrato di b».Calcola il valore dell’espressione per a � 2 e b � 3.
triplo di a : … quadrato di b : … … a … b � …
3 � … � 3 � … � … � 3 � … � 12.
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I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI Recupero
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Semplifica le seguenti espressioni.
(33)3 � (33)2 � [(36)2 � (33)4] [27]
{[(23)4 � (22)3] � (23)3} � (23 � 2)2 [2]
{[(34)5 � (35)4] � (34)2} � [3 � (32)3] [3]
66 � 46 � (32 � 82) � 84 [81]
[26 �66 � (32 � 42)] � 64 [16]
[(63 � 23 � 43)] � [(23)3 � (22)3] � 33 [8]
[(58 � 54)2 � (57 � 52)] � 512 � 15 [6]
(44 � 43)0 � 4 � 43 � 42 � (53 � 52) [3]
[(35 � 34) � 32]2 � [(46 � 44) � 4]2 � (32 � 42)3 [1]
(25 � 42)3 � 23 � [(63 � 32) � 25] � (22)3 � 20 [12]12
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RECUPEROESPRESSIONI E PROPRIETÀ DELLE POTENZE IN N
COMPLETA1Semplifica la seguente espressione:
(23)2 � (22)2 � [(23)4 � (26)2] 5.
(23)2 � (22)2 � [(23)4 � (26)2] 5 �
� 26 � 2… � [2… � 2…] � Applica la proprietà della potenza di potenza.
� 2… � [2…] � Applica la proprietà del quoziente di potenze con la stessa base.
� … � 1 � … Sviluppa le potenze ed esegui la moltiplicazione.
PROVA TU2Semplifica la seguente espressione:
[(26 � 24) � 3] � [(64 � 63) � (62 � 63)] � (22 � 1).
[(26 � 24) � 3] � [(64 � 63) � (62 � 63)] � (22 � 1) �
� [2… � 3] � [6… � 6…] � (4 � 1) �
� [… � 3] � 6… � 3 �
� … � … � 3 � …
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I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI Recupero
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Determina il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti numeri naturali.
5; 35; 21. [M.C.D.: 1; m.c.m.: 3 � 5 � 7 � 105]
40; 24; 8. [M.C.D.: 23 � 8; m.c.m.: 23 � 3 � 5 � 120]
18; 36; 45. [M.C.D.: 9; m.c.m.: 180]
15; 21; 25. [M.C.D.: 1; m.c.m.: 525]
9; 15; 63. [M.C.D.: 3; m.c.m.: 315]
16; 24; 36. [M.C.D.: 4; m.c.m.: 144]
8; 24; 48. [M.C.D.: 8; m.c.m.: 48]9
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RECUPEROIL MASSIMO COMUNE DIVISORE E IL MINIMO COMUNE MULTIPLO
COMPLETA1Determina il M.C.D. e il m.c.m. di 9, 36, 96.
9 3 36 2 96 2 Scomponi in fattori primi.3 3 18 … 48 21 9 … 24 …
3 3 12 …1 6 …
3 31
9 � 3…
36 � 2… � 3… M.C.D.(9, 36, 96) � …
96 � 2… � 3 m.c.m.(9, 36, 96) � 2… � 3… � …
PROVA TU2Determina il M.C.D. e il m.c.m. fra 18, 24, 112.
18 2 24 2 112 29 3 12 2 56 23 … 6 … 28 …1 3 … 14 …
1 7 71
18 � 2 � 3…
24 � 2… � 3112 � 2… � 7
M.C.D. (18, 24, 112) � …m.c.m.(18,24,112)�2… �3… �…
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I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI Recupero
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Semplifica le seguenti espressioni.
[(� 2) � (� 3) � (6 � 3) � (� 3) � 2] [1]
[2 � (� 4) � 16 � (� 8) � 7] � (� 1) � 5 [� 6]
{[(� 10 � 4) � (� 3) � 3] � (� 8)} � (� 6 � 4) [� 4]
16 � [(� 8 � 6) � 2 � 16 � 2] � (� 2 � 1) [4]
(� 5 � 1) � (5 � 6) � 2 � 3 � [2 � 9 � (� 2 � 1)] [� 9]
(� 18) � 3 � 8 � 12 � (� 6) � (7 � 3 � 10) � 8 � 2 [� 11]
(�4 � 1) � (4 � 5) � 2 � 3 � [2 � 8 � (� 3 � 1)] [� 5]
{[(� 10 � 6) � (� 2) � 2] � 8} � 15 � [(� 4 � 6) � 2 � (15 � 3)] � (� 3) [� 3]
3 � 4 � {3 � [2 � (1 � 3) � 7] � (10 � 7) � (� 13 � 3)} [� 8]11
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RECUPEROLE ESPRESSIONI CON LE QUATTRO OPERAZIONIIN Z
COMPLETA1Semplifica la seguente espressione:
(3 � 5) � {3 � [8 � (4 � 2) � 7] � (13 � 7) � (� 13 � 2)}.
(3 � 5) � {3 � [8 � (4 � 2) � 7] � (13 � 7) � (� 13 � 2)} �
� … � {3 � [8 � … � 7] � (…) � (� 11)} � Esegui le operazioni nelle parentesi tonde.
� … � {3 � [� 5](…) � 11} � Esegui le operazioni nelle parentesi quadre.
� … � {3 � (� …) � 11} � Moltiplica il numero in parentesi quadra con quello in parentesi tonda.
� … � {3 � … � 11} � Applica la regola dei segni.
� … � {…} � � 7. Esegui le operazioni nella parentesi graffa e scrivi il risultato.
PROVA TU2Semplifica la seguente espressione:
[7 � (� 12 � 7 � 6 � 8) � (� 3 � 7 � 4)] � (� 14 � 6) � (� 4).
[7 � (� 12 � 7 � 6 � 8) � (� 3 � 7 � 4)] � (� 14 � 6) � (� 4) �
� [7 � (…) � (…)] � (…) � (� 4) �
� […] � (…) � (� 4) �
� (…) � (� 4) �
� …
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I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI Recupero
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Semplifica le seguenti espressioni applicando le proprietà delle potenze.
RECUPEROLE PROPRIETÀ DELLE POTENZE IN Z
COMPLETA1Semplifica la seguente espressione:
[(� 3)2]2 � {[(� 3)2]3 � [(� 3)2]2 � [(� 3)4]2}.
[(� 3)2]2 � {[(� 3)2]3 � [(� 3)2]2 � [(� 3)4]2} �
� (�3)4 � {(�3)… � (� 3)… � (� 3)…} � Applica la proprietà della potenza di potenza.
� (� 3)4 � {(� 3)… � (� 3)…} � Applica la proprietà del prodotto di potenze con la stessa base.
� (� 3)4 � (� 3)… � Applica la proprietà del quoziente di potenze con la stessa base due volte.
� (� 3)… � � 9. Calcola la potenza.
PROVA TU2Semplifica la seguente espressione, applicando le proprietà delle potenze:
[(� 21)3]2 � [34 � (� 3)2] � (� 7)5.
[(� 21)3]2 � [34 � (� 3)2] � (� 7)5 �
� (� 21)… � 3… � (� 7)5 �
� (…)… � (� 7)5 �
� � …
[(� 12)6 � (4)6]4 � (� 3)21 [� 27]
[(� 16)4 � 84]6 � (� 2)22 [4]
[214 � (� 7)4]3 � (� 3)9 [� 27]
{[(64)3 � (6)4]2 � 64}0 [1]
(43 � 42)2 � (� 3)3 � ( � 1 � 2)2 [19]
(� 32)4 � [(� 12 � 4)2 � (� 3)4] � 30 [8]8
7
6
5
4
3 {[23 � (10 � 8)2] � (6 � 4)3} � (� 2) [� 2]
{[(� 4)3]2 � [(� 4)2]3}0 � {[(� 6)3 � (� 3)3]} [� 7]
[(� 4)2]3 � [(� 4)2]2 � (� 44)2 [16]
[(� 2)3 � (� 2)2 � (� 2)4]3 � (32 � 3 � 1) [� 13]
(6 � 2)3 � 43 � (� 2 � 1)3 � (� 3) [� 1]
(4 � 5)3 � [(� 3)2 � (� 2)2 � 18]4 � (4 � 2)3 [ � 3]14
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[(18 � 7 � 2)3 � 42]3 � (� 3 � 1)2 � 1 [3]
(23 � 22) � (� 5 � 5 � 3 � 13 � 3) � (22 � 32) � (� 6)2 [� 7]
[(� 4)4 � (� 4)3 � (� 4)6]2 � (23 � 22 � 9) � (44 � 42 � 20) [� 4]17
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I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI Recupero
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Traduci in espressioni le seguenti frasi e poi calcola i valori delle espressioni per i valori di a e b indicati a fianco.
«Moltiplica la differenza tra a e b per il triplo della loro somma.» a � 4, b � � 3. [21]
«Sottrai il quadruplo di b dal prodotto del doppio di a con b.» a � 3, b � � 5. [� 10]
«Dividi la somma del doppio di a e di b per la somma tra a e b.» a � � 4, b � 2. [3]
«Al triplo di a aggiungi il quadrato del doppio di b.» a � � 3, b � 2. [7]
«Al doppio del quadrato di b sottrai il quadruplo di a.» a � 3, b � � 2. [� 4]
«Dividi il doppio della somma di a e b per il quadrato di b.» a � � 6, b � � 2. [� 4]8
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RECUPERODALLE PAROLE ALLE ESPRESSIONI LETTERALI IN Z
COMPLETA1Traduci in espressione la seguente frase: «Aggiungi al triplo di a il doppio del quadrato di b e poi sot-trai il quadruplo di a».Calcola il valore dell’espressione per a � � 5 e b � � 2.
triplo di a: 3a Traduci le parti della frase.
quadrato di b: b…
doppio del quadrato di b: …b2
quadruplo di a: … a
3a � …b2 � … a Scrivi l’espressione.
3 � (…) � 2 � (…)2 � 4 � (…) � Sostituisci i valori di a e di b.
� � … � 2 � … � … � Esegui i calcoli.
� � … .
PROVA TU2Traduci in espressione la seguente frase: «Sottrai il quadrato di b al cubo di a poi aggiungi il quadratodella differenza tra a e b».Calcola il valore dell’espressione per a � � 2 e b � � 4.
cubo di a: a …; quadrato di b: b …; differenza tra a e b: … � …;
quadrato della differenza tra a e b: (a � b)….
a … � b … � (a � b)….
(� 2)… � (� 4)… � (� 2 � …)… �
� � … � … � 4 � …
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I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI Recupero
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«Aggiungi il quadrato di b alla differenza tra il triplo di a e b». a � � 2, b � � 3. [6]
«Sottrai alla differenza tra a e il doppio di b il quadrato di a». a � � 2, b � � 4. [2]
«Dividi la somma tra a e il doppio di b per il quadrato di a». a � � 2, b � � 3. [� 2]
«Dividi il triplo di a per b, poi aggiungi il doppio di b». a � � 5, b � � 3. [1]
«Aggiungi al quadrato della somma di a con b il cubo della differenza tra a e b e poi sottrai a».
a � � 3, b � � 1. [65]
«Aggiungi al quadrato della differenza tra a e b il triplo del cubo di a».
a � 3, b � 1. [85]
«Sottrai al doppio del quadrato della somma tra a e b il quadrato di b».
a � 3, b � 2. [46]
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I NUMERI RAZIONALI Recupero
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RECUPEROLE ESPRESSIONI CONTENENTI SOMME ALGEBRICHE
COMPLETA1Semplifica la seguente espressione:
� 3 � �2 � ��13� � �
32� � 2�� �
13��� �� �
12� � �
13��.
� 3 � �2 � ��1
3� � �
3
2� � 2�� �
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1
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1
3��� ��� 3
6
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…
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1
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1
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� � 3 � ��12 � …
6
� …��� �
1
6� �
� � 3 � �…
6� � �
1
6� �
��� 18 �
6
… � 1�� Esegui le operazioni tra frazioni.
� � �…
6� �
� � �1
3�.
Esegui le operazioni tra frazioninelle parentesi tonde.
Togli le parentesi tonde cambiandoeventualmente i segni.
Esegui le operazioni tra frazioninella parentesi quadra.
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I NUMERI RAZIONALI Recupero
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Semplifica le seguenti espressioni.
�3 � �2
3��� ��
3
2� � �
4
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4
1
7
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4
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10
9
8
7
6
5
4
3
PROVA TU2Semplifica la seguente espressione:
��1
2� � �
4
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1
2� � �
1
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1
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…
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I NUMERI RAZIONALI Recupero
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RECUPEROLE ESPRESSIONI CON LE QUATTRO OPERAZIONI
COMPLETA1Semplifica la seguente espressione:
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3� � �
6
5� � �� �
1
1
8
0��� � ���
1
1
4� � �
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2
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1
8
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1
1
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6
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1
4
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4
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5� � �� �
…
…���� ���1 � …
14
� 14�� � ��4 � …
15
� 6����
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3� � �
…
…�� � ���
…
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1
0
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3
…�� � �� �
…
…��� Esegui la sottrazione nella prima parentesi quadra.
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3� � �� �
…
…��� � �
…
3� � (� 7) � � �
7
3�. Trasforma la divisione in moltiplicazione.
PROVA TU2Semplifica la seguente espressione:
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1
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1
8
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5
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8
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6
3� �
� … � �3
2� � �
1
6
3� �
� … � �1
6
3� �
��… �
6
13�� …
Esegui le operazioni nelle parentesi tonde esemplifica in croce la prima moltiplicazione.
Esegui la prima moltiplicazione e semplificain croce nella seconda parentesi quadra.
2
I NUMERI RAZIONALI Recupero
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Semplifica le seguenti espressioni.
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6
5� � �� �
1
1
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2
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11
10
9
8
7
6
5
4
3
1
I NUMERI RAZIONALI Recupero
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RECUPEROESPRESSIONI E PROPRIETÀ DELLE POTENZE
COMPLETA1Semplifica la seguente espressione:
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5� � �
1
9
0� � �
5
3�� � �� �
1
4
5���2
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3
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4� � 2.
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5� � �
1
9
0� � �
5
3�� � �� �
1
4
5���2
� �� �4
3
7��2
� �1
4� � 2 �
� ���24 � …
30
� …�� � �� �
1
4
5���2
� �� �4
3
7��2
� �1
4� � 2 � Esegui le operazioni dentro le parentesi tonde.
� ���…
30�� � �� �
1
4
5���2
� �� �4
3
7��2
� �1
4� � 2 � Trasforma la divisione in moltiplicazione.
� ��…
8��2
� �� �4
3
7��2
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4� � 2 �
� ��…
…��2
� �1
4� � 2 � Calcola la potenza ed esegui le operazioni.
� �…
64� � �
1
4� � 2 � �
… � 1
6
6
4
� …�� � �
1
6
0
4
3�.
PROVA TU2Semplifica la seguente espressione:
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3����9 � �
1
2���2
���5
2��2
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2��4
���3
2��2�� �
9
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��5 � �2
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1
2���2
���5
2��2
����3
2��4
���3
2��2�� �
9
4� �
����…3
� 2�����…�
2
1���2
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2��2
���3
2��…
� �9
4� �
���…
3� � �
…
2��2
���5
2��2
� �9
4� � �
9
4� �
���…
3� � �
1
2
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���5
2��2
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���…
3��2
���5
2��2
�
���…
3� � �
5
2��2
�
���…
3��2
� …
Esegui la moltiplicazione e applica la proprietàdel prodotto di potenze con lo stesso esponente.
2
I NUMERI RAZIONALI Recupero
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Semplifica le seguenti espressioni applicando le proprietà delle potenze.
1 � ���3
2��3�2
� ����3
2��2�1
� �� 1 � �1
3��4� [2]
���5
3��5
� ��5
3��2�2
� ��1 � �2
3��2�6
� 1 ��1
9
6��
��� �1
2� � �
3
4� � �
1
3��2
� �� 1 � �3
4��2� ��
1
9��
���1
5� � �1 � �
3
5��2
� �1
2��3
� ��3
4��3� [1]
��1 � �1
6��2
� ��5
6��3
� ��1
1
3
2� � �
1
4��3� ��
2
3
5
6��
��� �1
2� � �
1
4��2
� �� 1 � �1
2��2�� 2 ��
1
4��
���1
5� � �
1
2��3
� ��3
8� � �
5
4� � �
1
2��3� � �1 � �
1
5�� ��
1
2
6
5��
��2
3��2
� ���4
3��3
� ��4
3���� �� �
3
4��3
� ��� �3
4��3�2
� �� 1 � �1
4���4 �� �
1
2��
���4
5� � 2�4
� �� �3
5���4� � �( � 2)�4 � �� �
1
2��3��3
� 1 [� 1]11
10
9
8
7
6
5
4
3
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I NUMERI RAZIONALI Recupero
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RECUPEROLE ESPRESSIONI LETTERALI
COMPLETA1Traduci in espressione la seguente frase:
«Dividi la differenza tra i �4
9� del quadrato di a e i �
1
2
6
5� del quadrato di b per il quadrato dei �
2
3� di a».
Calcola il valore dell’espressione per a � � �4
9� e b � �
5
4� .
quadrato di a: a 2 �4
9� del quadrato di a: �
4
9� … Traduci le parti della frase.
quadrato di b : b 2 �1
2
6
5� del quadrato di b : �
…
25� b 2
�2
3� di a: �
2
3� a quadrato di �
2
3� di a: ��
2
3� a�…
��4
9� a 2 � �
…
25� b2� � ��
2
3� a�…
Scrivi l’espressione.
��4
9� � �� �
9
4��2
� �…
25���
5
4��…� � ��
2
3� � �� �
…
9���2
� Sostituisci i valori di a e b.
� ��4
9� � �
…
16� � �
1
2
6
5� � �
…
25�� � �� �
…
2��2
�
� ��…
4� � 1� � �
…
4� �
� ��9 �
4
…�� � �
…
4� � Esegui la sottrazione tra frazioni dentro la parentesi quadra.
� �5
4� � �
…
4� � �
5
4� � �
…
9� � �
5
9�. Trasforma la divisione in moltiplicazione.
PROVA TU2Traduci in espressione la seguente frase:
«Aggiungi ai �2
3� di a il cubo della differenza tra �
1
3� di a e i �
5
7� di b. Eleva il risultato ottenuto al numero
intero � 1».
Calcola il valore dell’espressione per a � � �9
4� e b � � �
1
7
0�.
�2
3� di a: �
2
3� a ; �
1
3� di a: �
…
1� a; �
5
7� di b: �
…
7� b ;
Eleva al quadrato i valori dentro le parentesi tonde ed esegui lamoltiplicazione tra frazioni nella seconda parentesi quadra.
Esegui le moltiplicazioni semplificando in croce ed elevaal quadrato il valore dentro la seconda parentesi quadra.
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I NUMERI RAZIONALI Recupero
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Traduci in espressioni le seguenti frasi e calcola quanto valgono per i valori di a e b indicati a fianco.
«Dividi il quadrato di �3
4� di a per il quadrato di �
1
3
6� di b.» a � �
1
3� , b � �
4
3� . [1]
«Dividi il quadrato della differenza dei �2
3� di a e �
1
4� di b per il cubo del doppio di a.» a � � �
3
4� , b � 2 .
�� �2
8
7��
«Calcola il doppio del quadrato della differenza fra la metà di a e i �2
3� di b.» a � � �
1
2� , b � � �
3
4� . ��
1
8��
«Dividi la somma tra i �4
9� del quadrato di a e i �
3
2� del quadrato di b per il doppio di a.»
a � � 3, b � �1
2� . �� �
3
4
5
8��
«Sottrai alla somma di a e b la terza parte del cubo di a.» a � � �1
2� , b � �
3
2� . ��
2
2
5
4��7
6
5
4
3
differenza tra �1
3� di a e i �
5
7� di b: �
1
3� a � �
…
7� b ;
cubo della differenza: ��1
3� a � �
…
7� b�…
.
L’espressione cercata è ��2
3� a ���
1
3� a � �
…
7� b�…��…
Calcoliamo il valore dell’espressione per a � � �9
4� e b � � �
1
7
0� :
��2
3� �� �
…
4�����
1
3��� �
9
4��� �
5
7��� �
…
10���3��…
�
��� �…
2� ��� �
…
4� � �
…
1��3��…
�
��� �…
2� ���� …
4
� 2��3��…
�
��� �…
2� � �
…
1���…
�
���� …
64
� 1���…
�
��� �…
64���…
�
��� �…
64��…
� …
3
I NUMERI RAZIONALI Recupero
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«Dividi il cubo dei �3
4� di a per il cubo dei �
1
3
4� di b poi moltiplica per i �
4
7� di b elevati al numero intero � 2.»
a � � �2
9�, b � �
1
4�. �� �
1
7��
«Dividi il quadrato della somma di �1
5� di a e �
1
3� di b per la quarta potenza dei �
2
5� di b e poi sottrai i �
2
9� di a.»
a � �1
2�, b � �
3
2�. ��
8
3��
9
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1
GLI INSIEMI E LA LOGICA Recupero
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Dati gli insiemi A � {x � x è una lettera della parola «contadino»} e B � {x � x è una lettera della parola «appen-dino»}, determina A � B e A � B. Dai la rappresentazione per elencazione e mediante l’opportuno diagram-ma di Eulero-Venn.
Dati gli insiemi A � {x, y, z}, B � {x, y, z, t, v, u} e C � {z, t, l, m}, determina:
(A � C) � (B � C) e (A � C) � (B � C).
Dati gli insiemi A � {x � x � N e x è divisore di 24} e B � {x � x � N e 2 � x � 12}, determina A � B e A � Bper elencazione.
Dati gli insiemi A � {x � x � Z e � 2 � x � 2} e B � {x � x � N e x � 5}, determina A � B e A � B per elenca-zione e mediante l’opportuno diagramma di Eulero-Venn.
6
5
4
3
RECUPEROL’INTERSEZIONE E L’UNIONE
COMPLETA1
Dati gli insiemi A � {x � x � N e x è divisore di 15} e B � {x � x � N e x è divisore di 20}, rappresentaper elencazione gli insiemi A � B e A � B.
A � {1, 3, ………}
B � {1, 2, 4, …………}
A � B � {1, …}
A � B � {1, 2, 3, 4, ………………}
PROVA TU2
Dati gli insiemi A � {x⏐x � N e 7 � x � 12} e B � {x⏐x � N, x è dispari e x � 10}, determina gli insie-mi A � B e A � B mediante la rappresentazione per elencazione.
A � {7, 8, …, …, …}
B � {1, 3, …, …, …}
A � B � {…, …}
A � B � {1, 3, 7, 8, …, …, …, …}.
Rappresenta A per elencazione.
Rappresenta B per elencazione.
Scrivi A � B: l’insieme degli elementiche appartengono sia ad A sia a B.
Scrivi A�B, cioè l’insieme degli elementi che appartengono ad A, oppure a B.
1
GLI INSIEMI E LA LOGICA Recupero
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RECUPEROPROPOSIZIONI E TAVOLE DI VERITÀ
COMPLETA1Date le proposizioni
A: «7 è un numero dispari»,B: «4 è divisore di 15»,C: «5 è un numero pari»,
attribuisci a ciascuna il suo valore di verità. Scrivi a parole le seguenti proposizioni composte e assegnaa ciascuna il valore di verità: (A ∧ B) ∧ C; B → C�; (A ∨ B�) ∧ C.
A: vera; B: …; C: … .
(A ∧ B) ∧ C: «7 è un numero dispari … 4 è divisore di 15 e ………».
A B C A ∧ B (A ∧ B) ∧ C
V … … F …
B → C�: «… 4 è divisore di 15, …
… non è un numero pari».
B C C� B → C�
… F V …
(A ∨ B�) ∧ C: «7 è un numero pari …
4 …… divisore di 15 …
5 è un numero pari».
A B B� C A ∨ B� (A ∨ B�) ∧ C
V … V … V …
Attribuisci il valore di verità ad A, B, C.
Scrivi a parole (A ∧ B) ∧ C.
Compila la tavola di verità.
Compila la tavola di verità.
Compila la tavola di verità.
Scrivi a parole (A ∨ B�) ∧ C.
Scrivi a parole B → C�.
PROVA TU2Date le proposizioni
A: «6 è il doppio di 2»,B: «5 è divisore di 12»,C: «M.C.D. (6, 10) � 2»,
attribuisci a ciascuna il suo valore di verità. Scrivi a parole le seguenti proposizioni composte e assegnaa ciascuna il valore di verità:
(A ∨ B) ∧ C�; A → (B ∧ C); (A��∧��B�) ∨ C.
2
GLI INSIEMI E LA LOGICA Recupero
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Date le proposizioni A: «2 è un numero primo», B: «6 è divisore di 10», C: «10 è multiplo di 5», attribuisci aciascuna il suo valore di verità. Scrivi a parole le seguenti proposizioni composte e assegna a ciascuna il valo-re di verità; (A ∧ B�) ∨ C; (A� ∨ B) ∧ C; A → C�.
Date le proposizioni A: «l’erba è verde», B: «il pentagono ha 6 lati», C: «il cubo ha 6 facce», attribuisci a cia-scuna il suo valore di verità. Scrivi a parole le seguenti proposizioni composte e assegna a ciascuna il valoredi verità; (A� ∧ B�) → C; A� ∨ (B → C); A ∧ (B� ∨ C�).
Costruisci le tavole di verità delle seguenti proposizioni composte:
A → B�; A� ↔ B; A��→��B�.
5
4
3
A: falsa; B: ……; C: …… .
(A ∨ B) ∧ C�: «6 è il doppio di 2 ……… 5 è divisore di 12, ……… M.C.D.(6, 10) ……… è 2».
A B C A ∨ B C� (A ∨ B) ∧ C�
F … … F F …
A → (B ∧ C ): «……… 6 è il doppio di 2, allora 5 è divisore di 12 ……… M.C.D.(6, 10) è 2».
A B C B ∧ C A → (B ∧ C )
F … … F …
(A��∧��B�) ∨ C: «………… che 6 è il doppio di 2 ……… 5 è divisore di 12 ……… il M.C.D.(6, 10) è 2».
A B A ∧ B A��∧��B� C (A��∧��B�) ∨ C
F … F … V …
1
I MONOMI E I POLINOMI Recupero
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RECUPEROLE ESPRESSIONI CON I MONOMI
COMPLETA1Semplifica la seguente espressione:
�1
4� ab � ab3 � ��� �
1
3� a2b2�3
� �2
9� a4b2�.
�1
4� ab � ab3 � ��� �
1
3� a2b2�3
� �2
9� a4b2��
� �1
4� ab � ab3 � �� �
2
1
7� a…b… � �
2
9� a4b2�� Esegui la potenza e calcola il prodotto degli esponenti.
� �1
4� a…b… � �� �
2
1
7� � �
2
9� a…b…�� Esegui la moltiplicazione, sommando gli esponenti, e la
divisione, calcolando la differenza degli esponenti.
� �1
4� a…b… � �� �
…
…� a2b4�� Semplifica in croce nella parentesi quadra.
� �1
4� a2b4 � �
…
…� a2b4 � Elimina la parentesi quadra.
��…
1
�
2
…� a2b4 � �
…
12� a2b4. Somma i termini simili.
PROVA TU2Calcola la seguente somma:
x 2 � (� x) � 3ab � (� 4x 2 ) � 5ab � x.
x 2 � (� x) � 3ab � (� 4x 2) � 5ab � x �
� x 2 � … � 3ab … 4x2 � 5ab � x �
� x 2 � … � 3ab … 4x2 � 5ab � x �
� (1 � …)x 2 � (� 3 � …) … �
� � …x 2 � … ab.
�
2
I MONOMI E I POLINOMI Recupero
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PROVA TU3Semplifica la seguente espressione:
(� 2ab2 )2 � 5a 6b � (� 10a 6b3).
(� 2ab 2)2 � 5a 6b � (� 10a 6b 3) �
� � … a 2b … � 5a 6b � (� 10a 6b 3) �
� … … a 2�…b …�1 � (� 10a 6b 3) �
� � … a …b … � (� 10a 6b 3) �
� � … � �1
1
0� a …�6 b …�… �
� � … a 2b ….
PROVA TU4Semplifica la seguente espressione:
�� �1
3� a 2b4�2
� �� �2
3� ab�3
���1
2� ab2� � (� 3b)3.
�� �1
3� a 2b 4�2
� �� �2
3� ab�3
���1
2� ab 2� � (� 3b)3 �
� � �1
9� a …b … � �� �
…
27� a …b …� ���
1
2� ab 2� � (� …b …) �
� �1
9� a …b … � … a…b … �
� ��1
9� � …�a…b … �
� �…
9� a…b ….
Semplifica le seguenti espressioni.
(� 3a2b2)2 � �1
2� ab(� 3ab)3 �� �
2
9� a4b4�
a2b2 � �3
5� a2b�� �
2
3� b � b � �
7
6� b� ��
1
2� a2b2�
�3ab � �5
6� ab � �
1
3� ab� � (25a) � �
1
2� b �� �
1
3� b�
(� 2a2b2 � 5a2b2 � 6a2b2) � �� �1
2� a2b � �
1
6� a2b� [9b]
(� 2b)4 � b2 � �7
4� a2b4 � �� �
1
2� ab�2
[9b2]
4ab � (� 4ab) � (� 2a2b)3 � (� 2ab)2 � 1 [� 2a4b]
�� �2
3� a2�2
� �� �2
3� a�3
� �4
3� a3b2 � �� �
1
3� ab�2 ��
2
2
1� a�11
10
9
8
7
6
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I MONOMI E I POLINOMI Recupero
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�3
4� ax 2��
5
2� a � �
7
6� a� � �a2x � �
2
5� a2x��� �
2
3� x � x � �
7
6� x� ��
3
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1
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4
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1
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1
2
5
6� ay 2�13
12
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I MONOMI E I POLINOMI Recupero
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RECUPEROLE ESPRESSIONI CON I POLINOMI
COMPLETA1Semplifica la seguente espressione:
x4 � ��1
3� x2 � y�(x2 � 3y).
x4 � ��1
3� x2 � y�(x2 � 3y) �
� x4 � ��…
…� x4 � x…y… � x2y � …y…�� Esegui la moltiplicazione.
� x4 � ��…
…� x4 � …y2�� Somma i monomi simili.
� x4 � �…
…� x4 … …y2 � Elimina le parentesi tonde.
� �2
3� x… � …y2. Somma i monomi simili.
PROVA TU2Semplifica la seguente espressione:
(2b � 3b2 � 1) � (3b � 5b2 � 1) � 2b(b � 1).
(2b � 3b 2 � 1) � (3b � 5b 2 � 1) � 2b(b � 1) �
� 2b � … � 1 � 3b … 5b 2 … 1 � 2b… � … �
� � … b � …
Semplifica le seguenti espressioni.
(a � 2b2) � (4b2 � 2a) � 2b(4 � 3b) [� 2a � 8b]
2a(a � b) � 2b(a � 3b) � 6b2 [2a2]
2b[a(a � b) � b(a � b) � a2 � b2] [4ab2]
ab�a � �1
4� b�� �
1
2� ab�a � �
1
2� b� ��
3
2� a2b�6
5
4
3�2
3� a2 � 2a�3b � a � �
a3� � �
b2�� [2a2 � 5ab]
[3a2 � (4a � 1)(a � 1)] � 2a(3a � 1) [a2 � a � 1]
(y2 � 3) � (5y2 � 1) � 2y (2y � 2) [� 4y � 4]
(6x � 2x 2 � 1) � (2x � 1)(x � 1) [3x]10
9
8
7
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I MONOMI E I POLINOMI Recupero
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RECUPEROI PRODOTTI NOTEVOLI
COMPLETA1Semplifica la seguente espressione:
(b � 2)(b � 2) � (b � 2)2.
(b � 2)(b � 2) � (b � 2)2 �
� (b… � …) � (b… � 4b � …) � Calcola il prodotto notevole e sviluppa il quadrato.
� …� � 4 � b…� � 4b � … � Togli le parentesi cambiando i segni ai termini del secondo polinomio.
� � … � 4 … . Somma i termini simili o elimina gli opposti.
PROVA TU2Semplifica la seguente espressione:
(x � a)(x � a) � (x � 2a)2.
(x � a)(x � a) � (x � 2a)2 �
� (x … � a…) � (x 2 � … � 4a2) �
� x …� � a… � x 2� � … � … �
� � … a 2 � …
PROVA TU3Semplifica la seguente espressione:
(2t � 1)3 � (t 2 � 2t � 1)2.
(2t � 1)3 � (t 2 � 2t � 1)2 �
� (8t 3 � 3 � … � 1 � 3 � 2t � 1 � 1) � [t 4 � 4t 2 � … � 2 � t 2 � … � 2 � t 2 � (…) � 2 � … � ( � 1)] �
� (8t 3 � … t 2 � 6t � …) � (t 4 � 4t 2 � … � 4t … � 2t 2 � 4t) �
� 8t3 � … t 2 � 6t � …�� t 4 � 4t 2 � …�� 4t … … 2t 2 … 4t �
� … t 3 � t 4 � … t 2 � 10t.
Semplifica le seguenti espressioni utilizzando i prodotti notevoli.
(a � 2b)(a � 2b) [a2 � 4b2]
(a � 2)(a � 2) � 4 [a2]
��1
2� a � 3b���
1
2� a � 3b�� 3b2 ��
1
4� a2 � 6b2�6
5
4
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(3a � 2b)2 [9a2 � 12ab � 4b2]
(a � 2b)2 � 4ab [a2 � 4b2]
��1
2� a � b�2
� 2ab ��1
4� a2 � 3ab � b2�
(a � 3)(a � 3) � (a � 3)2 [� 6a � 18]
(2a � 1)2 � (2a � 2)(2a � 2) � 5 [4a]
(a � 2b2 � 3)2 [a2 � 4b2 � 9 � 4ab2 � 6a � 12b2]
�a2 � �1
2� ab � b2�2 �a4 � �
1
4� a2b2 � b4 � a3b � 2a2b2 � ab3�
��1
2� a � b � �
1
3��2 ��
1
4� a2 � b2 � �
1
9� � ab � �
1
3� a � �
2
3� b�
�2a � �1
2��3 �8a3 � �
1
8� � 6a2 � �
3
2� a�
(3a � 2b)3 [27a3 � 8b3 � 54a2b � 36ab2]
��1
2� a � �
2
3� b�3 ��
1
8� a3 � �
2
8
7� b3 � �
1
2� a2b � �
2
3� ab2�
(a � b)3 � (a � b)3 � 6ab2 [2a3]
(a2 � a � 3)2 � (a2 � a � 3)2 [� 4a3 � 12a2]
(t � 5)2 � (5 � 2t)(5 � 2t) � 10t [� 3t 2 � 50]
(2x � 1)2 � (x � 1)(x � 1) � (x � 2)(x � 2) [4x 2 � 4x � 4]
(a2 � a � 1)2 � (a � 1)3 � a3(a � 1) [5a � 4a2]
(x � 2)3 � (x � 3 � x 2)2 � (x3 � x4 � 1) [6x � x 2]23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
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I MONOMI E I POLINOMI Recupero
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RECUPEROLA DIVISIONE FRA POLINOMICON LA REGOLA DI RUFFINI
COMPLETA1Esegui la seguente divisione, applicando la regola di Ruffini:
(2b3 � 4b2 � 6b � 2) � (b � 1).
(2b3 � 4b2 � 6b � 2) � (b � 1)
� 2 � 4 � … …
� …
� 2 � 4 � … …
� … � 2 � … � …
� 2 … � 12 � 10
Q � � 2b… � … b � 12, La riga in basso rappresenta i coefficienti del quoziente Q.
R � … . Il numero in basso a destra rappresenta il resto R della divisione.
PROVA TU2Esegui la seguente divisione, applicando la regola di Ruffini:
(2x3 � 5x 2 � 6x � 1) � (x � 2).
(2x3 � 5x 2 � 6x � 1) � (x � 2)
Q � 2x… � 9x � …;
R � … .
Esegui le seguenti divisioni di polinomi, applicando la regola di Ruffini.
(3a2 � 2a � 5) � (a � 3) [Q � 3a � 7, R � 26]
(t 4 � 2t 3 � t � 1) � (t � 1) [Q � t 3 � t 2 � t, R � 1]
(3x2 � 5x � 7) � (x � 3) [Q � 3x � 4, R � 5]5
4
3
Predisponi lo schema inserendo in alto solo icoefficienti del polinomio 2b3 � 4b2 � 6b � 2,dopo aver notato che questo è completo e ordi-nato. Separa il termine noto. In basso a sinistrascrivi il termine noto di b � 1 cambiato di segno.
Abbassa il primo termine, cioè 2, e moltiplicaloper � 1. Scrivi il risultato sotto al � 4. Poi calco-la la somma algebrica e scrivila in basso. Ripetiil procedimento sempre moltiplicando per � 1.
� 2 � 5 … � 1
� … … 18 …
� 2 � 9 … 25
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I MONOMI E I POLINOMI Recupero
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(2x3 � 5x2 � 3x � 1) � (x � 2) [Q � 2x2 � x � 1, R � 3]
(2x4 � 5x3 � 2) � (x � 1) [Q � 2x3 � 3x2 � 3x � 3, R � � 1]
(2a4 � 6a2 � 2a � 1) � (a � 2) [Q � 2a3 � 4a2 � 2a � 2, R � 3]
(3b4 � 7b2 � 3b � 1) � (b � 2) [Q � 3b3 � 6b2 � 5b � 7, R � 13]
�c3 � c � �1
2�� � (c � 1) �Q � c2 � c � 2, R � �
3
2��10
9
8
7
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LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI E LE FRAZIONI ALGEBRICHE Recupero
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RECUPEROLA SCOMPOSIZIONE MEDIANTERACCOGLIMENTO E PRODOTTI NOTEVOLI
COMPLETA1Scomponi il seguente polinomio:
b3 � 3b2 � 4b � 12.
b3 � 3b2 � 4b � 12 �
� b…(… � 3) � 4(… � …) � Raccogli parzialmente.
� (… � …)(… � 4) � Raccogli il fattore comune fra parentesi.
� (… � …)(… � 2)(… � 2). Utilizza la differenza di quadrati.
PROVA TU2Scomponi il seguente polinomio, raccogliendo a fattor comune:
3a3b � 27ab.
3a3b � 27ab �
� 3a … (a… � …) �
� 3a … (a � …)(a � …).
COMPLETA la seguente tabella.
POLINOMIO SCOMPOSIZIONE POLINOMIO SCOMPOSIZIONE
x2 � 9 (x � …)(x � …) x2 � y 2 � 1 � 2xy � 2x � 2y (x … y � 1)…
a2 � 4a � 4 (a … 2)… y 3 � 8 (y � …)(y 2 � … � 4)
x 3 � 3x 2 � 3x � 1 (x � …)… x 2 � 5x � 6 (x � …)(x � …)
COMPLETA la seguente tabella.
POLINOMIO SCOMPOSIZIONE POLINOMIO SCOMPOSIZIONE
9x2 � 4 …… 1 � 8a3 (1 � 2a)……………
8 � 12b � 6b2 � b3 (………)3 x 2 � 4xy � z 2 � 4y2 � 2xz � 4yz …………
4
3
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LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI E LE FRAZIONI ALGEBRICHE Recupero
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�4
9� a2 � b2 ���
2
3� a � b���
2
3� a � b��
x 2 � 10x � 25 [(x � 5)2]
9a2 � 12ab � 4b2 [(3a � 2b)2]
a4 � 2a2 � 1 [(a2 � 1)2]
x3 � �3
2� x2 � �
3
4� x � �
1
8� ��x � �
1
2��3�
�1
8� x3 � �
2
1
7� y3
���1
2� x � �
1
3� y���
1
4� x2 � �
1
6� xy � �
1
9� y2��
4x2 � 4xy � 2ay � y2 � a2 � 4xa [(2x � y � a)2]
a2 � 36 [(a � 6)(a � 6)]
�2
1
5� a2 � �
4
4
9� b2 ���
1
5� a � �
2
7� b���
1
5� a � �
2
7� b��
�1
4� x2 � xb � b2 ���
1
2� x � b�2�15
14
13
12
11
10
9
8
7
6 4a2 � 2ab � �1
4� b2 ��2a � �
1
2� b�2�
4x2 � �4
3� xy2 � �
1
9� y4 ��2x � �
1
3� y2�2�
a3 � �2
8
7� ��a � �
2
3���a2 � �
2
3� a � �
4
9���
� x3 � 1 [(� x � 1)(x2 � x � 1)]
3a2 � 6a � 18 [3(a2 � 2a � 6)]
2x2 � xy � 12x � 6y [(2x � y)(x � 6)]
12a3 � 12a2 � 3a [3a(2a � 1)2]
a3 � a2b � 4a2 � 4ab � 4a � 4b [(a � b)(a � 2)2]
3a3y � 3b3y [3y(a � b)(a2 � ab � b2)]
2a3 � 4a2b � 6a2b2 [2a2(a � 2b � 3b2)]
2a � b � 4a2 � 2ab [(1 � 2a)(2a � b)]26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
COMPLETA la seguente tabella.
POLINOMIO SCOMPOSIZIONE
a2 � 6a � 9 (a …3)…
x 3 � 3x 2 � 3x � 1 (x … 1)…
a2 � b2 � 1 � 2ab � 2a � 2b (a … b … 1)…
x 3 � 27 (x � … )(x 2 … 3x � …)
x 2 � 3x � 2 (x � … )(x � … )
x 2 � x � 6 (x � … )(x � …)
Scomponi in fattori i seguenti polinomi.
5
1
LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI E LE FRAZIONI ALGEBRICHE Recupero
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RECUPEROLA SCOMPOSIZIONE MEDIANTEIL TEOREMA E LA REGOLA DI RUFFINI
COMPLETA1Scomponi in fattori il seguente polinomio, applicando la regola di Ruffini:
x3 � x2 � x � 3.
P(x) � x3 � x 2 � x � 3.P(1) � (1)3 � (1)2 � (1) � 3 � 0. Cerca tra i divisori di � 3 quello che annulla il polinomio
quando lo sostituisci alla x.
1 1 … � 3
1 … 2 3
1 2 … …
x3 � x 2 � x � 3 � (x � 1)(x… � 2 … � …). Scrivi il polinomio x 3 � x 2 � x � 3 come prodottodi (x � 1) e del quoziente della divisione.
PROVA TU2Scomponi in fattori il seguente polinomio, applicando la regola di Ruffini:
P(a) � a3 � a2 � 3a � 3.
P(a) � a3 � a2 � 3a � 3P(1) � (1)3 � (1)2 � 3(…) � 3 � … � 0P(� 1) � (� 1)3 � (…)… � 3(…) � 3 � …
1 … 3 …
� 1 � 1 0 …
1 … … 0
a3 � a 2 � 3a � 3 � (a � …)(1a 2 � … a � …) � (a � …)(a 2 � …).
Il polinomio è divisibile per (x � 1). Calcola il quoziente(x 3 � x 2 � x � 3) � (x � 1) mediante la regola di Ruffini.
Scomponi in fattori i seguenti polinomi, applicando la regola di Ruffini.
x 3 � 2x 2 � 3x � 6 [(x � 2)(x 2 � 3)]
a3 � 2a2 � 2a � 1 [(a � 1)(a2 � a � 1)]
x3 � 4x2 � 5 [(x � 1)(x2 � 5x � 5)]5
4
3 x2 � 7x � 12 [(x � 3)(x � 4)]
x3 � x2 � 2x � 8 [(x � 2)(x2 � x � 4)]
x4 � 8x � x3 � 8 [(x � 1)(x � 2)(x2 � 2x � 4)]8
7
6
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LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI E LE FRAZIONI ALGEBRICHE Recupero
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RECUPEROLA SEMPLIFICAZIONE DELLE FRAZIONI ALGEBRICHE
COMPLETA1Determina le condizioni di esistenza e semplifica le seguenti frazioni algebriche:
a) ; b) .
a) �a2
abb
4
6
c3� �
C.E.: a � 0 ∧ … ∧ … Determina le condizioni di esistenza ponendo ogni fattore a denominatore � 0.
� ��…
b…
c3� Dividi numeratore e denominatore per i fattori comuni.
b)�x3 �
x3
3
�
x2
2
�
x2
3
�
xx� 1
��
��x(
(
…
…
�
�
2
…
x…
)3
)���
x(
(
…
…
�
�
…
…
)
)3
2
�� Scomponi in fattori numeratore e denominatore.
C.E.: x � … � 0 → x � … Determina le C.E.
� ��…
…
� 1� Dividi numeratore e denominatore per il fattore comune.
x(… � 1)2
��(… � 1)3\
a\b6/…
�a2\ b4c3
x3 � 2x2 � x��x3 � 3x2 � 3x � 1
ab6
�a2b4c3
PROVA TU2Determina le condizioni di esistenza e semplifica le seguenti frazioni algebriche:
a) �x
x4y
2y3z
5
2� ; b) .
a) �x
x4y
2y3z
5
2� �
C.E.: x � 0 ∧ … ∧ …
��x
x4…
2yy
5
3
…
z 2�� �x
y…
…
z 2� .
b) �
� �(2a � …)(… � 9b 2 � …)���
(4a 2 � …)…
8a 3 � 27b 3
���16a 4 � 72a 2b 2 � 81b 4
8a 3 � 27b3
���16a 4 � 72a 2b2 � 81b4
� �
C.E.: (2a � … � 0 → a � …) ∧ �… � 3b � 0 →→ … � �
3
2� b�
� �
� .… � 9b 2 � …
���(2a � …)… � (… � 3b)
(2a � …)(… � 9b 2 � …)���
(2a � …)… � (… � 3b)2…
(2a � …)(… � 9b 2 � …)���
(2a � …)… � (… � 3b)…
2
LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI E LE FRAZIONI ALGEBRICHE Recupero
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Determina le condizioni di esistenza e semplifica le seguenti frazioni algebriche.
�3
1
5
0
aa
2
xx
2
y�; �
2ay2
�
y2by
� . �a � 0 ∧ x � 0, �7
2
axy
� ; y � 0, a � b��8x
x
2 �
�
8
aa2
� ; �a2 �
2a4
�
a �
4
4� . �x � a, 8(x � a); a � � 2, �
a �
2
2��
�a2 �
a3
2
�
a8
� 4� ; �
axx�2 �
2x2
�
x �
a �
1
2� . �a � 2; x � � 1, �
ax �
�
1
2��
�a2b
a�
2b9
�
b �
9b6ab
� ; �aa
2
2
�
�
1
4
6
ayy
2� . �b � 0 ∧ a � � 3, �aa
�
�
3
3� ; a � � 4y, �
a �
a4y��
�x2
x�2 �
12
7
xx
�
�
3
6
6� ; �
2b2
b�
3 �
6b2
�
7
18� . �x � 1 ∧ x � 6, �
xx
�
�
6
1� ; b � 3, �
b �
2
3��7
6
5
4
3
1
LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI E LE FRAZIONI ALGEBRICHE Recupero
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RECUPEROLE ESPRESSIONI CON LE FRAZIONI ALGEBRICHE
COMPLETA1Semplifica la seguente espressione:
�x � 1 � �2
xx�
�
1
2�� � ��x 2
x� x�� .
�x � 1 � �2
xx�
�
1
2�� � ��x 2
x� x���
� ��x…
� 1� � �
2
xx�
�
1
2�� ��
x(…
x� 1)�� Scomponi il denominatore x2 � x e scrivi x � 1 come frazione.
Campo di esistenza: Determina le C.E. delle frazioni che compaiono.
x � 1 � 0 → x � …; x � 0; x � 1 � 0 → x � …
� � � ��x (…
x� 1)��
��x2 � …
x�
�
2
1
x � …���
x(…
x� 1)�� Calcola i prodotti indicati ed elimina la parentesi tonda.
��x2 �
x2
�
x �
1
…���
x(…
x� 1)�� Somma i termini simili nella prima frazione.
��(x
x�
�
…
1
)…
���x(…
x� 1)�� �
xx�
�
…
1�. Scomponi x 2 � 2x � 1 e semplifica i numeratori
con i denominatori.
(x � 1)(…) � 2x � …���
x � 1
PROVA TU2Semplifica la seguente espressione:
�a �
a1
� � �a �
1
1� � �
a2
2
�
a1
� .
�a �
a1
� � �a �
1
1� ��
a2
2
�
a1
��
� �a �
a1
� � �a �
1
1� ��
(a � …
2
)
a(a � …)��
C.E.:
a � 1 � … → a � …a � … � 0 → a � …
� �a(a …) � 1(a … 1) � 2a���
(a � 1)(… � 1)
� �
��(a
a�
2�
1)
2
(
a…
�
�
1
1)��
� �
��a…
�
�
…
1� .
(a � …)…���(a � 1)(… � 1)
a2 …� a � …� � 1 � 2a���
(a � 1)(… � 1)
2
LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI E LE FRAZIONI ALGEBRICHE Recupero
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PROVA TU3Semplifica la seguente espressione:
�x � 2 � �x �
5
2�� � �
xx
2
�
�
3
4� .
�x � 2 � �x �
5
2�� � �
xx
2
�
�
3
4� �
� ��x �
1
2� � �
x �
5
2�� ��
(x � …
x �
)(x3
� …)��
C.E.:
x � … � 0 → x � …x � 3 � 0 → x � …
� � � ��(x � …
x)
�
(x3
� …)��
��x 2 �
x�
…
2
� 5���
(x � …
x)
�
(x3
� …)��
��x
x
2
�
�
2
…���
(x � …
x)
�
(x3
� …)��
� � �
� (x � …)(x � …).
(x � …)(x � …)��
x � 3
(x � …)(x � …)��
x � 2
(x � 2)(x � …) � 5���
x � 2
PROVA TU4Semplifica la seguente espressione:
��4x2
y�
2 �
4x1
� 1��2
� (2x2 � x)�2 � (y3 � 1)3 .
��4x2
y�
2 �
4x1
� 1��2
� (2x2 � x)�2 � (y3 � 1)3 �
��(y �
(2x1)
�
(y1
�
)…
…)��
…
��(2x 2 �
1
…)…�� [(y � …)(y 2 � y � 1)]… �
� ��(y �
(2x1)
�
(y1
�
)…
…)��
…
��x …(2x
1
� 1)…�� (y � …)… (y 2 � y � 1)… �
C.E.: y � � … ∧ x � … ∧ x � �…
1�
� ��x …(2x
1
� 1)…�� (y � …)…… (y 2 � y � 1)… �
�(2x � 1)… (y � 1)(y 2 � y � 1)…
����x …(y � …)…
(2x � 1)……
���(y � 1)… (y � …)…
3
LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI E LE FRAZIONI ALGEBRICHE Recupero
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Semplifica le seguenti espressioni.
�4
1
b� � �
3
2
b� � �
12
1
b� �� �
3
1
b� ; b � 0�
�b
a�
b2
1� � �
aa�2b
1� ��aa
�2b2
b� ; a � 0 ∧ b � 0�
�2a
12b� � �
3a2
b2� ��3b6a
�2b
42
a� ; a � 0 ∧ b � 0�
x � �2
xx�
�
1
1� ��x
2 �
x �
x �
1
1� ; x � 1�
�a �
a1
� � �a �
2
2� � �
a �
1
1� ��a �
a2
� ; a � 2 ∧ a � 1��xx
�
�
2
1� � �
xx
�
�
1
2� � �
x �
1
1� ��x �
3
2� ; x �� 2 ∧ x �� 1�
��2
1
a2� � �2
1
b2�� � ��a1� � �
b1�� ��b2
�
aba
� ; a � 0 ∧ b � 0 ∧ a � � b��a � 1 � �
2
a�
�
2
1
a�� � �
2
1
a� ��a2
�
a1
� ; a � 1 ∧ a � 0��a � �
ba
2
�� ��1 � �ab�� [a � b; a � 0 ∧ a � b]
�1 � �4 �
aa
�� � ��a2� � 1� ��4
2
�
aa
� ; a � 0 ∧ a � 4 ∧ a � 2���aa
2
�
�
4
4� � a� � �
a1 �
�
a4
� [4; a � � 4 ∧ a � 1]
��a1� � �
a �
1
1�� � �1 � �
2aa� 1�� ��
a1� ; a � 0 ∧ a � � 1 ∧ a � � �
1
2��
�a � �a �
a1
�� � �1 � �a
2
�
a1
�� � ��a1
2� � �a2� � 1� [1 � a; a � � 1 ∧ a � 0]
��4
1
x 2� � �4
1
y 2�� � ��2
1
x� � �
2
1
y�� � 4xy [2(y � x); x � 0 ∧ y � 0 ∧ x � � y]18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
1
LE EQUAZIONI LINEARI Recupero
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RECUPEROLE EQUAZIONI NUMERICHE INTERE
COMPLETA1Risolvi la seguente equazione numerica intera:
�3(x
4
� 3)�� �
3
2� (x � 2) � �
6 �
4
3x� .
�3x �
4
…�� �
3
2� x � … � �
6 �
4
3x� Esegui le moltiplicazioni.
m.c.m. (4, 2) � … Calcola il m.c.m. tra i denominatori.
… ��3x �
4
…�� �
3
2� x � …�� ��6 �
4
3x��… Elimina i denominatori moltiplicando
i due membri dell’equazione per il m.c.m.
3x � … � … � … � 6 � 3x Applica la regola del trasporto.
3x � … � 3x � 6 � … � … Riduci i termini simili.
… x � …
equazione … Determina la soluzione.
PROVA TU2Risolvi la seguente equazione numerica intera:
x �1 � �3
x��� (3x � 2)(3x � 2) � (3x � 1)2 � �
1
3� x (2 � x).
x � �x3
…
� � 9x … � … � 9x … � 6x � … � �2
3� x � �
1
3� x …
x � … x � �2
3� x � � … � …
3 ��3x � …
3
x � 2x���
� …
3
� …�� 3
� ��
…
…
x� � �
�
…
…�
x � � �…
…� .
2
LE EQUAZIONI LINEARI Recupero
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Risolvi le seguenti equazioni.
3(x � 2) � 9 � 7(x � 3) [x � 6]
�1
2�(x � 2) � 3(x � 1) � 2 � x [x � 0]
�(x �
2
3)���
(2 �
4
x)�� �
2 �
4
x� [x � 5]
2(3x � 2) � 2(4 � x) � 4(2x � 3) [impossibile]
(x � 1)(x � 1) � (x � 1)2 [x � � 1]
3 � (x � 2)(x � 2) � (x � 2)2 � 6x �x � � �5
2��
4(3 � x) � 4x � 4(3 � 2x) [indeterminata]
[x(x � 1) � (x � 2)2] � 2(x � 1) [x � 2]
(x � 2)(x � 1) � 2x (x � 2) � 1 � x 2 �x � �3
5��
�1
4� [x (x � 1) � (x � 2)2] � �
1
3� (x � 2) [x � 4]12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
1
LA GEOMETRIA DEL PIANO Recupero
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RECUPEROLE OPERAZIONI CON I SEGMENTI E CON GLI ANGOLI
COMPLETA1
Dati i segmenti AB, CD, EF in figura, disegna il segmento GH � �1
2� AB � �
2
3� CD � EF.
Disegna �1
2� AB.
Disegna �2
3� CD.
Disegna i due segmenti consecutivi �1
2� AB � �
2
3� CD
e ottieni il segmento LH.
Sottrai da LH il segmento EF e ottieni GH.
PROVA TU2
Dati i segmenti AB, CD, EF in figura, disegna il segmento MN � AB � �1
2� CD � �
1
3� EF.
A B C D E F
A B......
......
C D
L H
L H
......
E F
C D E FA B
A B
C D
E F
M......
M............
2
LA GEOMETRIA DEL PIANO Recupero
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Dati gli angoli � e � in figura, disegna l’angolo ottenuto dalla seguente espressione:
a) � � 3� � �1
2� �;
b) � �1
3� � � 2�.
Disegna due segmenti AB e CD.Disegna poi, se possibile:a) CD � AB, CD � AB;
b) �1
5� AB � �
1
3� CD;
c) �2
3� CD � �
3
7� AB.
Disegna un angolo acuto � e uno ottuso �.Disegna poi, se possibile:a) � � �, � � �;
b) �1
3� � � �
1
2� �;
c) �2
9� � � �
3
4� �.
Disegna due angoli � e �, con � � R^
.Disegna poi, se possibile:a) � � 3�;
b) 2� � �1
2� �;
c) � � 2�.
Dati gli angoli � � �2
3� R
^e � � �
3
4� P
^, allora:
a) � � � � … P^
;b) � � � � … R
^.
Disegna gli angoli.
Dati gli angoli �, � � �4
5� � e � � �
4
3� �, allora:
a) � � � � … �;b) � � � � … �.Disegna tre angoli che verifichino le relazioni precedenti.
8
7
6
5
4
3
α β
1
LA GEOMETRIA DEL PIANO Recupero
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RECUPEROI TEOREMI SUI SEGMENTI E SUGLI ANGOLI
COMPLETA1Considera due segmenti adiacenti AB e BC tali che AB sia il doppio di BC. Detto M il punto medio diAB, dimostra che AM è congruente a un terzo di AC.
Disegna i due segmenti, tenendo presenteche AB è il doppio di BC.
Traccia il punto medio di AB e indicalo con M.
Ipotesi 1. AB e BC adiacenti; Scrivi l’ipotesi.2. AB � 2 …;3. AM � … .
Tesi AM � �…
1� … . Scrivi la tesi.
Dimostrazione Scrivi la dimostrazione.AB � … � AC Utilizza l’ipotesi 1.AM � … Scrivi l’ipotesi 3.
da cui AB � … AM.
AB � 2 … Utilizza l’ipotesi 2.2BC � 2 … Applica la proprietà transitiva della congruenza.BC � … . Se sono congruenti i doppi di due segmenti,
sono congruenti anche i segmenti.Quindi
AM � … � … Sfrutta il risultato ottenuto insieme all’ipotesi 3.AM � MB � BC � … Somma i segmenti congruenti fra loro.
da cui
AM � BM � �…
1� … .
PROVA TU2Considera due segmenti adiacenti AB e BC tali che BC sia un quarto di AB. Detto M il punto me-
dio di AB, dimostra che AM è congruente a �2
5� AC.
Ipotesi 1. AB e BC adiacenti
2. BC � �1
4� …
3. AM � …
Tesi AM � �…
5� …
A B C
A B C......
A B C
...
A B C
2
LA GEOMETRIA DEL PIANO Recupero
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Considera due segmenti congruenti e adiacenti AB e BC. Indica con M il punto medio di AB. Dimostra che
MC � �1
2� (BC � AC).
Disegna un segmento BC e sul suo prolungamento dalla parte di C scegli il punto E tale che CE � �1
2� BC. Di-
mostra che BE � �3
2� BC.
Disegna due segmenti adiacenti AB e BC. Indica con M il punto medio di AB, con N il punto medio di BC econ O il punto medio di AC. Dimostra che MN � AO.
Disegna due rette a e b che si intersecano nel punto O. Traccia per O le bisettrici degli angoli. Dimostra chetali bisettrici formano quattro angoli retti.
Gli angoli � e � sono adiacenti; � è congruente ad � e consecutivo di �. Dimostra che � e � sono opposti alvertice.
8
7
6
5
4
PROVA TU3
Sono dati tre angoli consecutivi aO^
b, bO^
c, cO^
d tali che aO^
c � bO^
d. Dimostra che aO^
b � cO^
d.
Ipotesi 1. aO^
b, bO^
c, … angoli ……;2. aO
^c � ….
Tesi aO^
b � ….
DimostrazioneaO
^c � … per ipotesi …;
aO^
c � cO^
b � bO^
d � cO^
b perché ……;aO
^b � ….
a
c
....
....
O
DimostrazioneAB � … � AC.
AM � �…
1� AB,
da cui AB � … AM.
BC � �…
1� AB,
da cui AB � … BC.
Pertanto
… AM � … BC,
da cui
AM � 2 … .
Quindi
AM � MB � …
AM � MB � BC � …,
da cui
2BC � … BC � BC � AC,
cioè
… BC � AC → BC � �…
1� AC.
Poiché AM � 2BC, allora
AM � �…
2� AC.
1
I TRIANGOLI Recupero
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RECUPEROI CRITERI DI CONGRUENZA
COMPLETA1
È dato il triangolo ABC di base AB. Prolunga AB, dalla parte di B, di un segmento BE � AB e prolunga CB,sempre dalla parte di B, di un segmento BF � CB. Dimostra che i triangoli ABF e CBE sono congruenti.
Ipotesi 1. ABC ……; Scrivi le ipotesi.2. BE � …;3. BF � ….
Tesi … � CBE. Scrivi la tesi.
DimostrazioneI triangoli ABF e …… hanno: Osserva gli elementi congruenti nei due triangoli ABF e CBE.
● AB � … per ……………; Utilizza l’ipotesi 2.● CB � … per ……………; Utilizza l’ipotesi 3.● AB
^F � … perché ………. Individua gli angoli opposti al vertice.
I triangoli sono ……… per il … criterio di congruenza. Applica uno dei criteri di congruenza.
A B
F
C
E
PROVA TU2
Dato un triangolo ABC, prolunga il lato AB, dalla parte di B, di un segmento BD � BC e il lato CB di unsegmento BE � AB. Dimostra che i triangoli ABC e BDE sono congruenti.
Ipotesi 1. ABC ……;2. AB � …;3. CB � ….
Tesi ABC � ….
DimostrazioneI triangoli ABC e … hanno:
AB � … per …………;BC � … per …………;AB
^C � … perché ………….
I triangoli sono ……… per il … criterio di congruenza.
AB
C
D
E
2
I TRIANGOLI Recupero
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Sui lati a e b dell’angolo aO^
b prendi rispettivamente due punti A e B tali che OA � OB e successivamente al-tri due punti C e D (esterni ai segmenti OA e OB) tali che AC � BD. Unisci D con A e C con B e dimostrache il triangolo CBO è congruente al triangolo ADO.
Disegna due rette a e b che si intersecano nel punto E. Sulla retta a traccia un segmento AB in modo che Esia il suo punto medio e, analogamente, sulla retta b traccia un segmento CD � AB in modo che E sia ancorail suo punto medio. Unisci A con C e B con D. Di che natura sono i due triangoli ACE e BDE? Sono con-gruenti? Motiva la risposta.
Date due semirette r e s di origine O, disegna la bisettrice dell’angolo di vertice O, da esse formato. Prendi ri-spettivamente su r e s due punti A e B tali che AO � OB e uniscili con un punto C della bisettrice. Dimostrache i triangoli BOC e AOC sono congruenti.
Disegna un triangolo ABC e le mediane AM e CN. Prolunga CB di un segmento BE � BM e prolunga AB diun segmento BL � AB. Indica con F il punto medio di BL. Dimostra che i triangoli NML e AFE sono con-gruenti.
Due triangoli ABC e A′BC sono situati da parti opposte del lato comune BC, e il lato BC è bisettrice degli angoliAB
^A′ e AC
^A′. Dimostra che AB è congruente ad A′B.
7
6
5
4
3