Razni_Zadaci_Testovi

7/29/2019 Razni_Zadaci_Testovi

1/67

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

18 RAZNI ZADACI - TESTOVI

18.1 Analiticka Geometrija

( )

( ) ( )2 2 2

2

1. Kruznica prolazi tockom A 3,1 i ima polumjer 13. Nacrtaj kruznicu ako je srediste

na osi.

Jednadzba kruznice izgleda ovako:

srediste je na osi 0; mora zadovoljavati i .A A

A

r

y

x a y b r y a x y

x y

=

+ = =

+ ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

22 2 22

1 2

2 22 2 2

1 2

13 3 1 13 1 13 9 4

Imamo dva rjesenja, dvije kruznice: 1 2 2 1 3; 1

Trazene jednadzbe kruznice: 1 13 ; 3 13

A b b b

b b b b

f x x y f x x y

= + = = =

= = + = =

+ + = + = 2

( )

( ) ( )

( )

2 2 2

2 2

2. Kruznica ima srediste u tocki S, tri jedinice mjere od ishodista. Ako je tocka A 6,-4 na

kruznici, odredi njenu jednadzbu.

srediste je na osi 0; mora zadovoljavati i .A A

A A

x a y b r x b x y

x a y

+ = =

+ ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 22 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 22

1 2

6 4

Radijus je udaljenost medju tockama S i A:

6 3 4 0 9 4 5 uvrstimo u jednadzbu:

6 4 6 4 25 6 25 19 6

3; 9 Vidimo, imamo dva rjesenja, dvije k

A S A S

r a r

r x x y y

r

a r a a a

a a

= + =

= +

= + = + =

+ = + = = =

= =

( ) ( ) ( ) ( )( )

2 22 2

1 2

1

ruznice sa slijedecim jednadzbama:

3 25 9 25Trazeno rjesenje je . Samo ova kruznica ima srediste na 3.x

f x x y f x x yf x S

+ = + ==

3

Analiticka geom. 1


2/67


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

2 2 2 2

1

2 2 2 2

2

2 2

1

2 2

2

3. Zadane su dvije kruznice. Odredi tocke presjeka.

1 2 64 2 1 4 4 64

5 5 9 10 25 10 25

2 4 59 1

10 10 41 2

100 81 2 8 6 100 uvrstimo u

6

f x x y x x y y

f x x y x x y y

f x x x y y

f x x x y y

xx y y

+ = + + + =

+ = + + + =

+ =

+ =

+ = = = ( )

9

1

2

2 2 2

2 22

2 2 2

2

2 2

1,2

:

100 8 100 82 4 59 2 4 59

6 6

100 1600 64 100 82 5 3636 6

36 72 100 1600 64 2400 192 59 36

100 1480 5476 0

4 1480 1480 4 100 54

2

f x

x xx x y y x x

x x xx x

x x x x x

x x

b b acx

a

+ = + =

+ + =

+ + + =

+ =

= =

9

( )

1 2 1 2

76 1480 0

2 100 200

1480 100 8 100 8 7.47.4 6.8

200 6 6

Kruznice se dodiruju u tocki T 7.4, 6.8

xx x y y

=

= = = = = = =

Analiticka geom. 2


3/67


( ) ( )2 2

4. Koordinatne ose cine tetive kruznice 1 4 65. Izracunaj omjer u kojem osi

sijeku tetive kruznice.

Za tocke i vrijedi 0 jer leze na osi.

Za tocke i vrijedi 0 jer leze na os

A B

C D

x y

A B y y x

C D x x y

+ + =

= =

= =

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2 2

i.

1 0 4 65 1 49 1 7 7, 7

0 1 4 65 4 64 4 8 4, 12

Omjer djelova tetiva izracunamo prema odnosu koordinata:

A A A A B

C C C C D

x x x x x

y y y y y

+ + = + = + = = =+ + = = = = =

6 3Omjer djelova tetiva osi: Omjer je 3 : 4

8 4

4 1Omjer djelova tetiva osi: Omjer je 1: 3

12 3

A

B

C

D

xx k

x

yy k

y

= = =

= = =

Analiticka geom. 3


4/67


( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2

22 2 2

2

5. Odredi jednadzbe tangente na kruznicu 4 5 20 ako je koeficijent smjera

1 1tangente je . Jednadzba tangente je oblika: uvrstimo:

2 2

14 5 20 4 5 20

2

8 162

x y

k y kx l y x l

x y x x l

xx x l

+ =

= = + = +

+ = + + =

+ + + ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

2 222

2 2

22 2 2

2

1,

5 20 0 8 16 2 5 5 204 2

5 52 4 41 84 0; Uvjet da pravac bude tangenta: diskriminanta=0:

4 0 52 4 5 4 41 84 0 64 384 1024 0

6 16 0

cba

x xx x l l

x x l l l

D b ac l l l l l

l l l

= + + + +

+ + =

= = + = + + =

=

( ) ( )

2 1 2

1 2

6 102; 8

2

1 1 1 1

Tangente su: 2; 82 2 2 2

l l

f x y x l y x f x y x l y x

= = =

= + = = = + = = +

( )

( )

( )

2 2

22 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2

6. Zadana je kruznica 9 i tangenta sa nepoznatim koeficijentom smjera. 5.

Odredi jednadzbu tangente.

9 5 5 9 10 25 9 0

1 10 16 0 4 0

10 4 1 16 0 100

x y y kx

x y y kx x kx x k x kx

x k kx D b ac

k k k

+ = = +

+ = = + + + = + + + =

+ + + = = =

+ =

( ) ( )

2 2

1,2

1 2

16 4

64 64 0 9 3

4 4Imamo znaci dvije tangente: 5 i 5

3 3

k k k

f x y x f x y x

= = =

= + = +

Analiticka geom. 4


5/67


( )

( )

2 2

1 2

7. Izracunaj tocku presjecanja hiperbole 12 i pravca 3 12 0.

1 123 12 0 4 12

3

1 124 3 12 36 12 36 0

3

1 16 pravac je tangenta 4 6 4 2 6,2

3 3

T T

xy x y

x y y x xy yx

x x x x x xx

x x x y x T

= + =

+ = = + = =

+ = = + =

= = = = + = + =

18.2 Eksponencijalne i logaritamske jednadzbe

Analiticka geom. 5


6/67


( )1. Bakterije u laboratoriju se razmnozavaju tako da ih je svakog sata dvostruko 1 vise.

Ako ih je u pocetku bilo 100, izracunaj koliko ce ih biti nakon t 5 sati. Izrazi jednadzbu

u opcem obliku.

Pocetn

d =

=

1 5

0

o stanje je 100 bakterija. Nakon sat vremena biti ce dvostruko bakterija:

100 2 200 bakterija. Nakon 5 sati biti ce: 100 2 3200 bakterija.

Opcim brojevima izrazeno razmnozavanje izgleda ovako: 2

t

tN N

= ==

( )2. U jednom drugom laboratoriju, broj bakterija se udvostrucuje svaka 3 sata 3 .

Nakon 6 sati biti ce ih 10,000.

a) Izracunaj pocetno stanje bakterija. b) Koliko ce bakterija biti nakon jedan dan.

c) K

d

d =

6

3

0 0 0

0 2

24

830

oliko je bilo bakterija nakon 1.5 sati.

2 10,000; 3; 6 : ? 10,000 2

10,000Na pocetku, broj bakterija je bio: 2,500

2

Nakon 24 sata: 2 =2500 2 2,500 2 640,000 bakterija

Nako

t

d

t t

t

dt

N N N d t N N

N

N N

= = = = = =

= =

= = =1.5 1

3 20

90

n 1.5 sati bilo ih je: 2 =2500 2 2,500 2 3,535 bakterija

3. Radioaktivni izotop stroncijum S , ima vrijeme poluraspada od 25godina. Izracnaj kolicinu

izotopa nakon 125 godina ako je pocetn

t

dtt N N= = = =

0

125

525

0 5

a kolicina bila 18 .

Masu racunamo po zakonu: 2 : je vrijeme poluraspada

18 182 18 2 18 2 0.5625

322

td

t

t

d

t

mg

M M d

M M mg

=

= = = = = =

80

8

8 0 0

8 1

2

14. Radioaktivni izotop vanadium V ,se nakon 8 dana raspadne na tezinu od .

2

Koje je vrijeme poluraspada izotopa?

1Masa izotopa nakon 8 dana iznosi: 2 odnosno:

2

12 2

2

d

d

mg

M M M

= =

= =8 1

Vrijeme poluraspada izotopa je:2

16

d

d dana

=

=

Ekspon. i logarit. Jed. 6


7/67


5. Jakost svjetlosti u vodi, smanjuje se za 2.5% za svaki metar dubine .

a) Izrazi jakost svjetlosti u zavisnosti o dubini vode .

b) Izracunaj jakost svjetlosti na dubini od 10 .

c) Na kojoj dubini sa

d

I d

m

( ) ( )

( )

( )10

10

jakost svjetlosti smanji na 50%?

a) Smanjenje za 2.5% izrazimo kao 100 1 0.025 100 0.975 :

Jakost svjetlosti u zavisnosti o dubini vode : 100 0.975

) Na dubini od 10 imamo: 100 0.975 77.633%

) Ja

dI d I

b m I

c

=

=

= =

( )

( ) ( )

kost svjetlosti od 50% biti ce na dubini od: 50 100 0.975

log0.550 100 0.975 0.975 0.5 27.378

log 0.975

d

d dd m

=

= = = =

6. Broj mobitela u upotrebi raste po funkciji 130,000 1.45 , gdje je sa oznaceno

vrijeme pocevsi od 1987 godine. a) Nacrtaj graf funkcije za 0 15.

b) Izracunaj broj mobitela u godini 2002. c) Izra

nM n

n

=

Razni_Zadaci_Testovi

Documents

Transcript of Razni_Zadaci_Testovi