2

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Profesor: Ronald Gonzales S.

I BIMESTRE

2

IBIMESTRE

Contenido

UNIDAD 1: aplicamos la progresión aritmética en la vida diaria .................................................................................... 3

Sesión 02: sucesiones ...................................................................................................................................................... 4

Test de Aprendizaje ...................................................................................................................................................... 5

Ejercicios ...................................................................................................................................................................... 5

Sesión 03: Progresión aritmética .................................................................................................................................... 6

Practiquemos ............................................................................................................................................................... 6

Analizamos ................................................................................................................................................................... 8

Las legiones romanas perdidas ........................................................................................................................................ 9

SESION 04: CONTEO DE FIGURAS ................................................................................................................................. 10

Ejercicios de aplicación .............................................................................................................................................. 10

Estrella de 8 puntas ....................................................................................................................................................... 13

SESION 05: TRAZADO DE FIGURAS ................................................................................................................................ 14

Ejercicios de aplicación .............................................................................................................................................. 15

UNIDAD 02: .................................................................................................................................................................... 17

SESION 01: planeando unas lindas vacaciones .............................................................................................................. 17

Aprendemos .............................................................................................................................................................. 18

VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO ............................................................................................................ 18

CRITERIOS: ........................................................................................................................................................ 19

OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS .................................................................................................................. 19

Analizamos ................................................................................................................................................................. 20

Practicamos ............................................................................................................................................................... 22

SESION 02: LAS BACTERIAS EN NUESTRA VIDA .............................................................................................................. 25

Aprendemos .............................................................................................................................................................. 26

Analizamos ................................................................................................................................................................. 29

PRACTICAMOS: .......................................................................................................................................................... 30

Bibliografía: ................................................................................................................................................................ 32

SEGUNDOAÑO

3

UNIDAD 1: aplicamos la progresión aritmética en la vida diaria El alcalde de un distrito de Lima va a construir escaleras con bloques de cemento, como se muestra en la figura.

A partir de la situación, responde lo siguiente:

1. ¿Cuántos bloques de cemento se necesitarán para construir una escalera de 240 escalones? 2. Si se agregara un bloque más en cada escalón, ¿Cuántos necesitaran para una escalera de 25 escalones? 3. ¿Cómo quedaría el dibujo de una escalera con 10 escalones con las características de la primera situacion? 4. ¿Los bloques para construir una escalera pueden cambiar de diseño? Realiza un bosquejo de tu idea.

4

IBIMESTRESesión 02: sucesiones Una sucesión viene a ser un conjunto ordenado de elementos que pueden ser números, letras, figuras o una combinación de los anteriores. Estos elementos se caracterizan por seguir una regla de formación y lo que buscaremos en cada uno de los ejercicios es encontrar esa regla de formación.

Ejemplos de sucesiones:

• Numérica : 4 ; 6 ; 9 ; 13 ; 18 ; 24

• Literal : A ; C ; E ; G ; I ; K

• De figuras : ; ; ;

• Combinada :C4 ; D7 ; E10 ; F13 ; G16 ; H19

En el presente capítulo nos ocuparemos de las sucesiones numéricas y literales.

SUCESIONES NUMÉRICAS

En cada uno de los siguientes ejemplos nos ocuparemos de encontrar la ley de formación y el

elemento que sigue.

a. 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; …

Resolución:

4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; ...

+2 +2 +2 +2 +2

El número que sigue es: 12+2=14

b. 2 ; 5 ; 9 ; 14 ; 20 ; …

Resolución:

2 ; 5 ; 9 ; 14 ; 20 ; ...

+3 +4 +5 +6 +7

El número que sigue es: 20 + 7 = 27

c. 5 ; 10 ; 20 ; 40 ; 80 ; …

Resolución:

5 ; 10 ; 20 ; 40 ; 80 ; ...

x 2 x 2 x 2 x 2 x 2

El número que sigue es: 80 x 2 = 160

d. 4 ; 6 ; 12 ; 14 ; 28 ; 30 ; …

Resolución:

e. 5 ; 2 ; 7 ; 6 ; 9 ; 18 ; 11 ; …

Resolución:

f. 7 ; 13 ; 21 ; 31 ; 43 ; 57 ; …

SUCESIONES LITERALES

Son un conjunto ordenado de letras de acuerdo a los siguientes criterios:

• Lugar que ocupa la letra en el abecedario

(no consideraremos "CH" ni "LL")

SEGUNDOAÑO

5

EJEMPLO:

Indicar la letra que sigue en las siguientes sucesiones:

a. A ; C ; F ; J ; Ñ ; …

Test de Aprendizaje Determinar el número o letra que sigue en cada una de las siguientes sucesiones:

1. 2 ; 5 ; 8 ; 11 ; 14 ; 17 ; …

2. 3 ; 6 ; 12 ; 24 ; 48 ; …

3. 128 ; 64 ; 32 ; 16 ; …

4. 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; …

5. 1 ; 8 ; 27 ; 64 ; …

6. 3 ; 7 ; 12 ; 18 ; 25 ; …

7. 3 ; 6 ; 12 ; 15 ; 30 ; 33 ; …

8. 5 ; 5 ; 10 ; 30 ; 120 ; …

9. 360 ; 72 ; 18 ; 6 ; …

10. 2 ; 5 ; 4 ; 6 ; 8 ; 7 ; 16 ; 8 ; …

Ejercicios 1. B ; D ; F ; H ; J ; …

2. C ; F ; I ; L ; Ñ ; …

3. Z ; X ; V ; T ; …

4. E ; F ; M ; A ; M ; …

5. D ; C ; S ; O ; D ; …

6. A ; C ; F ; J ; …

7. A ; Z ; B ; Y ; C ; X ; …

8. B ; A ; F ; C ; J ; E ; …

9. B ; F ; K ; P ; …

10. A ; B ; D ; H ; …

Determinar el número o letra que sigue en cada una de las siguientes sucesiones:

11. 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21; …

a) 31 b) 33 c) 34

d) 35 e) 43

12. 2 ; 4 ; 7 ; 28 ; 33 ; …

a) 89 b) 198 c) 208 d) 189 e) 162

13. A ; D ; I ; O ; X ; …

a) B b) E c) F

d) H e) I

14. C ; D ; Q ; V ; V ; T ; T ; …

a) C b) S c) O

d) N e) X

15. 7 ; 12 ; 19 ; 28 ; 39 ; … a) 46 b) 50 c) 51

d) 62 e) 52

16. 2 ; 3 ; 6 ; 11 ; 18 ; …

a) 27 b) 29 c) 31

d) 25 e) 23

17. 2 ; 4 ; 10 ; 22 ; 42 ; …

a) 56 b) 64 c) 68 d) 72 e) 80

18. 1 ; 1 ; 3 ; 9 ; 5 ; 1 ; 7 ; …

a) 70 b) 42 c) 49 d) 56 e) 84

videíto:

https://www.youtube.com/watch?v=FGoSqeFl5zg

6

IBIMESTRESesión 03: Progresión aritmética

Practiquemos

SEGUNDOAÑO

7

Videíto:

https://www.youtube.com/watch?v=gmlRe-0uJhk

8

IBIMESTREAnalizamos

SEGUNDOAÑO

9

Las legiones romanas perdidas “¡Varo, devuélveme mis legiones!” Esta frase quedo para la posteridad de la Historia de Roma, tras la derrota del ejercito romano en el bosque de Teotoburgo, donde el general al que alude Cesar Augusto perdió nada menos que tres legiones (y sus correspondientes águilas y enseñas) masacradas por los germanos de Arminio.

Aquello ocurrió en el año 9 después de Cristo... pero no era la primera vez que un emperador romano se lamentaba de la pérdida de legionarios y de su emblema más sagrado: el estandarte con el águila.

En la imagen: solo lo seleccionado con verde,

¿Se puede identificar la forma de los escudos?

¿Puede saber cuántos escudos hay en total de la misma forma?

¿Qué estrategia aplicó para responder a las anteriores interrogantes?

10

IBIMESTRESESION 04: CONTEO DE FIGURAS Ejemplo:

0 Hallar el total de triángulos que se pueden contar en la figura mostrada.

Ejemplo:

0 Hallar el total de segmentos en:

Total de segmentos =

Ejemplo:

0 Hallar el total de segmentos en:

CONTEO DE ÁNGULOS

Total de ángulos =

Ejemplo :

0 Hallar el total de ángulos en:

Ejemplo:

0 Hallar el total de ángulos agudos en:

Ejercicios de aplicación

1. Colocar V o F según corresponda:

• Número de segmentos ( )

• Número de ángulos ( )

• Total de segmentos ( )

2. Se tiene :

2)1n(n +

2)1n(n -

2)1n(n2 +

No la respuesta es 6 ni 7 observa

bien

1 2 3 n-1

n

¡RECUERDA! Un ángulo es la

intersección de 2 rayos con un punto inicial llamado VERTICE.

n n-1 3

2 1

¡RECUERDA! Que ángulo agudo

es aquel mayor a 0º pero menor a 90º

R E C T A

SEGUNDOAÑO

11

Responder:

• ¿Cuántos puntos hay?

• ¿Cuántos segmentos se pueden contar?

• ¿El número de segmentos será 10?

3. Halla el número total de segmentos en: a) 10

b) 15

c) 20

d) 25

e) 30

4. Hallar el número total de ángulos en:

a) 10

b) 15

c) 20

d) 25

e) 30

5. Hallar el número total de triángulos en: a) 10

b) 11

c) 12

d) 13

e) 14

6. Hallar el número de cuadriláteros en:

a) 18

b) 19

c) 20

d) 21

e) 22

7. Hallar la cantidad total de segmentos que se cuentan en: a) 200

b) 10

c) 110

d) 202

e) 100

8. Hallar el número total de triángulos agudos que se pueden contar. a) 8

b) 21

c) 23

d) 28

e) 30

9. Hallar el número total de ángulo agudos en: a) 10

b) 20

c) 30

d) 31

e) 32

10. En una avenida se ubican postes espaciados a igual distancia de tal manera que se pueden contar 45 separaciones de postes. ¿Cuántos postes hay en la avenida?. a) 44 b) 45 c) 46

d) 10 e) 11

11. Hallar el número total de segmentos en: a) 7

b) 8

c) 28

d) 36

e) 40

12. Hallar el total de ángulos en: a) 9 b) 8 c) 45 d) 36 e) 90

R O N A

L

A G

U

S

T

O

B

A C

C A R V A L L O

P R

A

C

T

I

C A

R

12

IBIMESTRE13. Hallar el total de triángulos que se puede contar

en:

a) 12

b) 13

c) 14

d) 15

e) 16

14. ¿Cuántos segmentos hay en la siguiente figura?. a) 8

b) 6

c) 48

d) 24

e) 12

15. Hallar la cantidad de ángulos que se observan en el vértice “A”.

a) 12 b) 15 c) 17 d) 21 e) 25

videíto:

https://www.youtube.com/watch?v=latE2Qc6IHo

A

B

C

SEGUNDOAÑO

13

Estrella de 8 puntas

Primer plano de un patrón geométrico islámico talladas en piedra de color claro (una estrella dentro de un círculo) con caligrafía en el lado derecho

En referencia a la estrella:

¿Cuál sería una descripción adecuada para dicha estrella?

¿Habrá alguna manera de dibujar solo la estrella en una hoja de papel, sin levantar el lápiz ni mover la hoja?

14

IBIMESTRESESION 05: TRAZADO DE FIGURAS Ejemplo:

0 La siguiente figura es posible dibujarla de un solo trazo sin pasar por una misma línea 2 veces.

VERTICE

.........................................................................

.........................................................................

.........................................................................

Ejemplo:

Vértice Par

Vértice Impar

Ejemplo:

En la siguiente figura, hallar la cantidad de vértices pares e impares respectivamente.

¡Primero hay que entender

el concepto de vértice!

Es aquel punto donde Convergen un número

de líneas

Es aquel punto donde convergen un número

de líneas

EJEMPLO

SEGUNDOAÑO

15

Vértices pares =

Vértices Impares =

CONDICIONES NECESARIAS

1. La figura es posible dibujarla de un solo trazo si posee sólo VERTICES Ejemplo:

2. La figura es posible dibujarla de un solo trazo si

posee a lo más 2 vértices empezando por

uno de esos puntos y terminando en el mismo punto.

Ejemplo:

3. Si la figura posee más de 2 vértices no es posible dibujarlo de un solo trazo.

Ejemplo:

Ejercicios de aplicación 1. Colocar verdadero (V) o (F) según.

• Un vértice es la intersección de 2 líneas o más. ( )

• Vértice par es aquel donde convergen un número par de líneas. ( )

• Vértice impar es aquel donde convergen 3 líneas, ( )

2. Para que sea posible recorrer una figura sin pasar una misma línea 2 veces. La figura debe tener a lo más ________________________

3. La siguiente figura es posible dibujarla de un solo trazo comenzando desde un vértice y terminando en el mismo vértice.

a) Verdadero

b) Falso

4. La siguiente figura es posible dibujarlo o recorrerlo sin parar por el mismo trazo.

a) verdadero

b) falso

5. La siguiente figura no es posible dibujarla de un solo trazo.

a) verdadero

b) falso

A continuación de las preguntas del 6 al 13 se dan 3 pares de figuras. ¿Cuál de ellas es posible dibujarla de un solo trazo?

6.

a) I b) II c) II y III

I II

III

16

IBIMESTRE d) I, II y III e) I y II

7.

a) Sólo II b) I y II c) III

d) Sólo I e) ninguno

8.

a) I y III b) II y III c) I y II

d) Todas e) II y III

9.

a) Sólo II b) I c) III

d) I y III e) I y II

10.

a) I y II b) III y I c) II y III

d) Todos e) Ninguno

a) I b) I y II c) II y III

d) II e) III

11.

a) I b) III c) I y III

d) II y III e) I y II

12.

a) I y II b) II y III c) I y III

d) todos e) ninguno

VIDEITO:

https://www.youtube.com/watch?v=TBC1Ybhj6oQ

1. ¿Cuántos bloques de cemento se necesitarán para construir una escalera de 240 escalones?

2. Si se agregara un bloque más en cada escalón, ¿Cuántos necesitaran para una escalera de 25 escalones?

3. ¿Cómo quedaría el dibujo de una escalera con 10 escalones con las características de la primera situacion?

4. ¿Los bloques para construir una escalera pueden cambiar de diseño? Realiza un bosquejo de tu idea.

I II

III

I II

III

I II

III

I II

III

I II III

TERMINAMOS LA UNIDAD

SEGUNDOAÑO

17

UNIDAD 02:

SESION 01: planeando unas lindas vacaciones

AREQUIPA-CUSCO-LORETO-ICA

http://www.coloreadibujos.com/dibujos/dibujos-autobus.gif

Óscar es un buen estudiante, sus padres han decidido llevarlo de vacaciones y le dieron a elegir entre cuatro regiones: Arequipa, Cusco, Ica o Loreto. Le han pedido que tome una decisión porque es necesario consultar precios de pasajes y hospedaje. Asimismo, averiguar sobre el clima y lugares turísticos de la zona. Todo ello, para saber si el presupuesto es suficiente.

Arequipa Cusco Ica Loreto Fundación: 15 de agosto de 1540 Lugares turísticos: • Cañón del Colca • Iglesia de la Compañía • Mirador de Yanahuara Temperatura: nov Max 19° C Min 12° C Altitud: 3.399 m.s.n.m Distancia de Lima a Arequipa :1,014.6 km por carretera. Costo de viaje: S/.80

Fundación: 23 de marzo de 1534 Lugares turísticos: • Andahuaylillas • Barrio de San Blas • Maras • Ollantaytambo • Sacsayhuamá • Machu Picchu Temperatura: nov Max 20° C Min 6° C Altitud: 2335 m.s.n.m Distancia de Lima a Cusco: 1.102 km por carretera. Costo de viaje: S/.120

Fundación: 30 de enero de 1866 Lugares turísticos: • Islas Ballestas • Laguna de

Huacachina • Reserva Nacional de

Paracas • Líneas de Nazca Temperatura: nov Max 32° C Min 16° C Altitud: 406 m.s.n.m Distancia de Lima a Ica: 306.6 km por carretera Costo de viaje: S/.20

Fundación: 7 de febrero de 1866 Lugares turísticos: • La Reserva Nacional

de Pacaya – Samiria • Reserva Nacional

Allpahuayo – Mishana • Río Amazonas Temperatura: nov Max 28° C Min 18° C Altitud: 106 m.s.n.m Distancia de Lima a Loreto: 927.77 km por carretera Costo de viaje: S/.100

Responde las siguientes preguntas: 1) De los datos mostrados, ¿cuál es la región que se encuentra a menor distancia de Lima y cuanto es esta distancia?

______________________________________________

2) Considerando la información que brinda el cuadro, ¿cuántos años han transcurrido desde la fundación del Cusco? ____________________________________________

18

IBIMESTRE3) Oscar ha visitado todas estas ciudades, sin embargo, por asuntos de trabajo, debe viajar a una ciudad con temperaturas que

oscilan entre 19° y 23° y que se encuentra a una altitud de 2335 m.s.n.m. ¿qué es lo que debe considerar Oscar al momento de elegir la indumentaria que llevará a dicho viaje?

Aprendemos

Respecto a la situación problemática anterior. Oscar tiene que tomar una decisión y para ello se ha informado y ha elaborado una tabla con algunos datos. Al buscar información encontró algunos términos desconocidos como: a.C, d.C, °C, m.s.n.m, etc…Cuando deseamos expresar las temperaturas de 32° C, es decir, un calor excesivo y temperaturas bajo cero, donde hace mucho frio, entonces pensamos en una forma de representar los estados del clima. Ante casos como los señalados se hace necesario ampliar los conocimientos sobre los números naturales (N) a otro llamado CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS que los representamos por (Z) en este nuevo conjunto se emplea el concepto de números positivos y números negativos.

Importante: el número cero no es ni positivo ni negativo En diversas situaciones de la vida diaria intervienen los números negativos como:

TEMPERATURA SOBRE Y BAJO EL NIVEL DEL MAR Ejemplos:

Cerro de Pasco menos de 8°C Cusco 9°C

Ejemplos: Parapente 65m de altura Un submarino desciende desde la superficie a 20m

ANTIGÜEDAD GANANCIA O PÉRDIDA Ejemplos:

Cultura Kotosh 2300 a.C Cultura Inca 1440 d.C

Ejemplos: Anita ganó el bingo de S/2500 Guillermo perdió S/200

Ejemplo: En el siguiente diagrama ubica el año de origen de la Cultura Kotosh e Inca.

DISTANCIA DE UN PUNTO DE LA RECTA AL ORIGEN El origen es el punto que le corresponde al cero

Importante: la distancia de un punto al origen siempre es positivo

VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO

0 500 10000

1500 2000 500 1000 1500 2000 2500

SEGUNDOAÑO

19

Ejemplo:

NÚMEROS ENTEROS OPUESTOS Dos números enteros son opuestos cuando tienen el mismo valor absoluto, pero diferentes signos. Se encuentran a igual distancia del cero pero en direcciones opuestas de ahí el término opuesto

Importante: no debemos confundir los términos “número negativo” y “el negativo de un número” COMPARACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS En una recta numérica, el valor de los números aumenta de izquierda a derecha.

CRITERIOS: • Un número negativo es menor que cero.

−5 < 0 • Un número pos i t i vo es mayor que ce ro .

8 > 0 • De dos en te ros nega t i vos es mayor e l que t i ene menor va lo r abso lu to .

−4 >− 12 |−4 | < |−11 | • De los en te ros pos i t i vos , es mayor e l que t i ene mayor va lo r abso lu to .

13 > 5 | 13 | > | 5 |

OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS Recuerda que las operaciones se vinculan con los significados aditivos (juntar, separar comparar, igualar). Ejemplos:

Valor absoluto

lenguaje simbólico 𝑎 Se lee valor absoluto de a

El valor absoluto de un número entero positivo es elmismo número.El valor absoluto de un número entero negativo es elmismo número pero con signo positivo.El valor absoluto de cero es cero.

20

IBIMESTREa) Si en un negocio de frutas gano S/. 30 y en otro de verduras gano S/. 60. ¿Cuánto gano en ambos negocios?... La respuesta es S/. 90 ¿verdad?

Como se trata de una ganancia entonces

b) Si en un negocio de frutas pierdo S/. 40 y en otro de verduras pierdo S/. 10. ¿Cuánto pierdo en ambos negocios?...

La respuesta es S/. 50 ¿verdad? Como se trata de una pérdida entonces c) Si en un negocio de frutas gano S/. 3 y en otro de verduras pierdo S/. 10. ¿Gano o pierdo al final y cuánto?... d) Si en un negocio de frutas pierdo S/. 8 y en otro de verduras gano S/. 12. ¿Gano o pierdo al final y cuánto?...

Situaciones

Operación Resultado

a (+30)+(+60) +90 b (-40)+(-10) -50 c (+3)+(-10) -7 d (-8)+(+12) +4

En conclusión:

Analizamos Ejemplo 1: La siguiente figura muestra datos de la ruina arqueológica de Machu Picchu en el cusco

LA REGLA DE SIGNOS

PARA NÚMEROS DE DIFERENTESSIGNOS*Se restan los valores absolutos*Al resultado le agregamos el signodel número de mayor valor absoluto

PARA NÚMEROS DEL MISMOSIGNO*Se suman los valores absolutos*El signo del resultado es el mismode los sumandos

SEGUNDOAÑO

21

http://www.bing.com/images/search?q=cusco&go=Enviar+consulta&qs=ds&form=QBIRMH Relacionar situaciones de la vida real con números enteros: a) Tours con descuento del 30% año -760 b) Llega a los 0º c en las zonas altas +1 983 c) Las mañanas más frías llegan hasta +2 430m 2 grados centígrados bajo cero d) Patrimonio mundial de la Unesco en 1983 0º C e) 2 430 metros sobre el nivel del mar -2º C f) La agricultura se practicó 760 a.C - 30% Ejemplo 2 Las temperaturas en la región de Arequipa en los meses de julio a noviembre fueron aproximadamente:

MES TEMPERATURA (C°) MAXIMA MINIMA

JULIO 13 -3 AGOSTO 12 -5 SETIEMBRE 13 -2 OCTUBRE 14 -3 NOVIEMBRE 15 4

Machu Picchu

FLa

agricultura se practicó

760 a.C

ATours con decuento del 30%

BLlega a los 0 ºC en las zonas altas

CLas mañanas

más frías llegan hasta

2ºC bajo cero

DPatrimonio mundial de la UNESCO

en 1983

E2 430 metros sobre el nivel del

mar

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IBIMESTRE ¿En qué mes se produjo la mayor diferencia de temperatura? Ejemplo 3 La tabla muestra años de referencia en que se desarrollaron algunas culturas peruanas

CULTURAS AÑOS CHIMU 1200 d.C. CHAVIN 1000 a.C. MOCHICA 150 d.C. TIAHUANACO 600 d.C. PARACAS 700 a.C.

Elabora una recta numérica y ubica las culturas según el orden de las fechas.

Ejemplo 4 La familia de Lucero Sánchez cuenta con el siguiente presupuesto:

INGRESO TOTAL S/.4700 Medicinas S/.250

Alimentación S/.1000 Alquiler de vivienda S/. 800

Recibo de luz y agua S/.180 Movilidad S/.400

Otros gastos S/.200 EGRESO TOTAL

AHORRO Como te has dado cuenta, en la tabla hay datos que no se encuentran presentes, el egreso total y el ahorro.

Practicamos 1. Pacaya Samiria es la reserva natural más grande del Perú. En sus aguas encontramos aproximadamente 250 especies de

peces. El bosque de la reserva alberga 800 especies de árboles que sirven de hogar a 330 especies de aves y 13 de monos. Actualmente han desaparecido algunas especies, siendo las más afectadas las aves que ahora son 210 especies ¿Qué cantidad de especies alberga aproximadamente esta reserva? a) 1030 especies b) 1273 especies c) 1212 especies d) 1314 especies

2. Mario Vargas Llosa, hijo ilustre de Arequipa y Nobel de Literatura en el 2010, posee una biblioteca personal que cuenta con 1 663 libros de literatura de ficción, 965 libros de ciencias sociales y 538 revistas. Recientemente donó parte de sus libros a la

0 500 10000

1500 2000 500 1000 1500 2000 2500

SEGUNDOAÑO

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biblioteca que lleva su nombre en Arequipa. Según el bibliotecario hasta el momento se han leído 1971 libros. ¿Qué cantidad de libros faltan leer? a) 565 libros b) 657 libros c) 358 libros d) 216 libros

3. Tres hermanas participan en la actuación del día de la Peruanidad. Para ello, fueron a averiguar el costo de alquiler de los trajes, y obtuvieron los siguientes precios: el de la Amazonía S/.20, de la Sierra S/.30 y de la Costa S/.25, se pidió una rebaja obteniendo un descuento de S/.3 y S/.4 en los trajes de la Amazonía y la Costa. Si cuentan con S/.80. Luego de alquilar un traje cada una ¿cuánto dinero les quedo? a) S/.13 b) S/.17 c) S/.15 d) S/.12

4. Un tour por las Islas Ballestas en lancha tiene un costo de S/.40 por persona. Un grupo de amigos decide realizar este tour teniendo cada uno como presupuesto los siguientes montos:

Antonio S/.50 Juan S/.30 German S/.35 Jorge S/.40

¿Quiénes no podrían realizar dicho tour? ________________________________ 5. Los alimentos deben almacenarse a temperaturas:

Carnes de res y aves Pescados y mariscos Yogurt ,leche Verduras y fruta Oros alimentos congelados

0°C -5°C 4°C 7°C -20°C ¿A menor temperatura que alimentos son almacenados? ¿Y a mayor temperatura cuáles?

6. Germán y su familia deciden visitar una feria gastronómica. Ellos disponen de S/.100 para comprar y consumir distintos potajes. Estos son los precios que encuentran en la feria.

POTAJE COSTO

Causa rellena S/.20 Cuy chactado S/.35 Chancho al palo S/.45 Pollo al cilindro S/.35

¿Cuánto dinero le faltaria a Germán para que pueda consumir los 4 potajes ofrecidos en la feria?

a) S/.20 b) S/.40 c) S/.35 d) S/.45 7. En las costas del litoral peruano encontramos un submarino a 180m de profundidad buscando un banco de peces, al no poder

encontrarlo desciende 64m, pero en esta ubicación tampoco lo encuentra. Si en este instante le informan que el banco de peces se encuentra a 135m sobre él, ¿a cuántos metros por debajo del nivel del mar se encuentran dichos peces? a) 180m b) 244m c) 109m d) 379m

8. La civilización Caral-Supe se desarrolló 3 000 a.C. y fue contemporánea de otras civilizaciones primigenias como la de Egipto (3 150 a.C), India (3 000 a.C) y Mesopotamia. (3 500 a.C). Elabora una recta numérica y ubica en el tiempo las 4 civilizaciones.

9. En el centro comercial Gamarra una comerciante tiene S/.4 640 depositados en un banco aledaño. El día lunes por la mañana retira S/.1320 y por la tarde realiza un depósito de S/.960; el día martes retira por la mañana S/.1850 y por la tarde deposita S/.430 y el día miércoles retira por la mañana S/.770 y por la tarde deposita S/.200. El día jueves, por la mañana. Antes de realizar el retiro ¿Cuánto dinero tendrá ahorrado? a) S/.1320 b) S/.2290 c) S/.1580 d) S/.3132

10. Una línea de aviación peruana realiza un viaje a la ciudad del Cusco, cuando despega se eleva a una altura de 800m, luego de 20 minutos se eleva 400m más y transcurridos 30 minutos debido a las turbulencias desciende 100m. Finalmente logra elevarse 600m más para llegar a su destino y aterrizar. ¿Cuál es la altura máxima que alcanzo este avión en su viaje al Cusco? a) 1600m b) 1700m c) 1550m d) 1690m

11. En un concurso de matemática se precisa lo siguiente: Por cada respuesta correcta se obtiene 7 puntos, y cada respuesta incorrecta resta 3 puntos. Si el participante respondió correctamente 16 preguntas de las 20 propuestas, ¿qué puntaje obtuvo? a) 90 Ptos b) 100 Ptos c) 110 Ptos d) 120 Ptos

12. En el año 2015 las marcas peruanas más destacadas en el extranjero son: D’Onofrio con118 años; Field 151 años, La Ibérica 106 años y la Inca Kola con 80 años. ¿En qué año fueron fundadas dichas empresas? Ordenar en forma creciente.

24

IBIMESTRE13. En las olimpiadas deportivas de la IE “Virgen de las Mercedes” de la ciudad de Lambayeque se realizó la competencia de

lanzamiento de disco donde participaron tres equipos de 4 integrantes cada uno. El equipo ganador se obtiene sumando las distancias que cada integrante del equipo logra al lanzar el disco

EQUIPO A EQUIPO B EQUIPO C Manuel 5m Jorge 6m Pedro 5m Alejandro 4m Antonio 5m Valeria 2m Luis 6m Inés 3m Coco 4m Ana 4m Verónica 2m Sandra 4m

¿Qué diferencia hay entre el equipo que obtuvo el segundo puesto y el que obtuvo el tercer puesto? ____________ Al equipo que quedó en 3er lugar, ¿cuánto le faltó para igualar al equipo ganador? __________________________ 14. El Banco de Lima realiza un muestreo sobre los movimientos económicos de cuatro clientes para premiar al mejor cliente con

un tours a la ciudad del Cusco. . Determina qué cliente fue el elegido. CLIENTES ACTIVIDAD ACTIVIDAD ACTIVIDAD REPRESENT

ACIÓN NUMÉRICA

Antonio Depositó S/.200 Depositó S/.15 000 Depositó S/.1000 Jaime Depositó S/.200 Depositó S/.10 000 Retiró S/.500 Tomasa Retiró S/100 Depositó S/.10 000 Depositó S/.5 000 Jaimito Depositó S/.100 Depositó S/.5 000 Depositó S/.1000

15. Pitágoras de Samos, físico matemático, considerado el primer matemático puro nació en el año 569 a.C y murió a la edad de

79 años aproximadamente. ¿En qué año murió? a) 490 a.C b) 684 a.C c) 490 d.C d) 684 d.C

videíto:

https://www.youtube.com/watch?v=YGArsekAphk

SEGUNDOAÑO

25

SESION 02: LAS BACTERIAS EN NUESTRA VIDA Las bacterias crecen exponencialmente. Esto permite colonizar rápidamente un cierto medio, normalmente vacío. Luego de alcanzar grandes densidades poblacionales, experimentan reducciones en su número e incluso la extinción total debido, por ejemplo, a la falta de alimento o a la acumulación de residuos tóxicos. La disminución del número de bacterias producto de la sobrepoblación también puede ser exponencial y se puede expresar como una potencia de base fraccionaria menor que 1. Responde las siguientes preguntas 1. ¿Qué significa que las bacterias crezcan exponencialmente? ________________________________________________________________________ 2. ¿A qué se llama densidad poblacional? ________________________________________________________________________ 3. ¿Qué es una potencia de base fraccionaria menor que 1? _______________________________________________________________________ 4. ¿Por qué crees que una colonia de bacterias pueda reducirse o extinguirse? _______________________________________________________________________ En un laboratorio se observa que un grupo de bacterias disminuye cada día de forma exponencial. A !

" de su población cada día.

En un principio las bacterias eran 65 536 aproximadamente. Completa la siguiente tabla, que relaciona los días transcurridos con la reducción en la cantidad de bacterias.

26

IBIMESTRE

1.- ¿Cuántas bacterias han muerto el primer día y el tercer día? ___________________________________________________________________ 2. ¿En qué momento la población se puede considerar extinta? ¿Por qué? ____________________________________________________________________

La situación planteada involucra multiplicaciones sucesivas de fracciones que son iguales. "!"#;"!

"#x"!

"#; "!

"#x"!

"# x "!

"#; "!

"# x "!

"#x"!

"#x "!

"#; …

Veamos y repasemos algunos conceptos que nos ayudarán a comprender mejor este tema. ¿Existe otra forma de escribir la multiplicación sucesiva de factores iguales? Observemos si es posible en el siguiente ejemplo:

Multiplicación de factores iguales Se podría escribir como…

%14(

%14(

!

%14( %

14(

%14(

#

%14( %

14( %

14(

%14(

$

%14( %

14( %

14( %

14(

%12(

"

%14( %

14( %

14( %

14( %

14(

%14(

%

%14( %

14( %

14( %

14( %

14( %

14(

%14(

&

En la tabla podemos apreciar que una multiplicación de factores iguales puede abreviarse con una operación llamada Potenciación. ¿Qué entendemos por la operación de potenciación? La potenciación es una multiplicación de varios factores iguales, al igual que la multiplicación es una suma de varios sumandos iguales, (la potenciación se considera una multiplicación abreviada).

Aprendemos:

SEGUNDOAÑO

27

Por tanto: En la nomenclatura de la potenciación se diferencian dos partes, la base y el exponente, que se escribe en forma de superíndice. El exponente determina la cantidad de veces que la base se multiplica por sí misma. Por ejemplo:

"$"#%

= "$"# "$

"# "$

"# "$

"# "$

"# =

¿Cuáles son los signos en la potenciación de números fraccionarios? 1. Si la base es positiva y el exponente par o impar, entonces la potencia es positiva. "#$#"= #

!

$! = !&'!

2. Si la base es negativa y el exponente par, entonces la potencia es positiva.

!−!"$#= $%&

3. Si la base negativa y el exponente impar, entonces la potencia es negativa.

!−!"$!= −#'

&"

¿Qué es la notación científica? La notación científica se estableció como un acuerdo entre los científicos para estandarizar en forma práctica la escritura de números muy grandes o muy pequeños. Se utiliza la potencia de base 10

Veamos un ejemplo:

- Según la teoría de bin bang, el origen del universo fue de 0,000…01segundos(43 cifras decimales) que en notación científica se expresa así:

1 x 10 -43 segundos

1024243

435

5

=

La potenciación es la forma abreviada de una multiplicación de factores

!!""#

= !!"" !!

"" !!

""…!!

""

n veces !!""

Dónde: !!"" = Base

n = Exponente

Un número esta expresado en notación científica cuando está escrito como un producto de una potencia de 10 y un número mayor o igual a 1 y menor que 10.

Con 1 < m <10,

m x 10n

28

IBIMESTRE Completa la tabla expresando los números de la izquierda en notación científica.

Expresión Notación científica 30 000 000 3 x 107 500 000 000 000 000 5 x 1013 7 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 0,0004 4 x 10-4 0,00000001 0,0000000000000006 0,0000000000000000000000000000000000000000000000008

¿Qué propiedades se cumplen en la potenciación? Las propiedades de la potenciación son las que permiten resolver por diferentes métodos una potencia. Estas son: Para todo, a, b, m, n € Q, b ≠ 0 Potencia de exponente 0 Toda potencia de exponente 0 y base distinta de 0 es igual a 1.

Por ejemplo, "#$#(

= = 1, porque la base #$= está afectada por el exponente cero.

Potencia de exponente 1 Toda potencia de exponente 1 es igual a la base

Por ejemplo, "#$#!

=#$

Multiplicación de potencias de igual base Para el producto de dos o más potencias de igual base se coloca la misma base y se suman los exponentes. Por ejemplo

"$"##"$"#$="$

"##)$

="$"#%="$

"

""# = #"$

!(#"

División de potencias de igual base Para la división de dos potencias de igual base se coloca la misma base y se restan los exponentes.

Por ejemplo

!𝑎𝑏$%

=!"

"𝑎𝑏#,"𝑎𝑏#-="

𝑎𝑏#,)-

!()$*= 1, b ≠ 0

"𝑎𝑏#,:"𝑎𝑏#-="

𝑎𝑏#,.-

SEGUNDOAÑO

29

"$"#%:"$

"#$="$

"#%.$

="$"##="$

#

"## = /

!&

Potencia de exponente negativo La potencia de exponente negativo es la inversa de la misma potencia de exponente positivo. Por ejemplo

"0##.#

= "#0##

=

Potencia de otra potencia: Para elevar una potencia a otra potencia se multiplican los exponentes.

Por ejemplo, ."#%##/$

= "#%#&

Analizamos 1. La masa del Sol es, aproximadamente, 330000 veces la de la Tierra. Si la masa de la Tierra es 6 x 1024 kg, calcula la masa del

Sol.

2. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a ?

3. Diego afirma que "− !$##

= - "!$##

lo que Cinthya le respondió que no es cierto ¿Estás de acuerdo con ella? Desarrolla un procedimiento para comprobar si la afirmación es correcta.

4. El triángulo de Sierpinski es una figura geométrica de un tipo especial denominado fractal. Se construye en forma recursiva a

partir de un triángulo equilátero.

494

4

3

-nn

!()$+,

= !)($,

%!()$-&,= !(

)$-,

43

-n 1-n

43

n 7n

30

IBIMESTREEl triángulo de Sierpinski de nivel 1 se obtiene al quitar el triángulo equilátero que resulta de unir los puntos medios de cada lado del triángulo inicial. .

El de nivel 2 se obtiene repitiendo el proceso sobre los tres triángulos que forman el triángulo de Sierpinski de nivel 1.

El de nivel 3 es lo mismo aplicado al nivel 2 y el proceso continúa de forma indefinida. De hecho, el auténtico triángulo de Sierpinski es la figura geométrica que resulta de aplicar este proceso infinitas veces.

Si el área del triángulo inicial es de 1 m2, ¿cuál es el área del triángulo de Sierpinski de nivel 4?

1. Una población de 100 000 insectos decrece por acción de un depredador natural, cada año, con un factor de decrecimiento $"

¿En cuánto tiempo quedará menos de la cuarta parte? a) 2 años b) 3 años c) 4 años d) 5 años

2. Alicia y Lucia participan en un juego, en que cada jugadora parte con un punto y cada vez que gane su puntaje se

duplica y si pierde su puntaje será la mitad de lo que tenía. Alicia gana 6 veces y Lucía pierde 5 veces. ¿Cuántos puntos obtuvo Alicia? ¿Con cuántos puntos se quedó Lucía luego de las 5 jugadas? Expresa cada resultado como una sola potencia.

3. Una tienda está en liquidando sus productos por cambio de domicilio, así que cada semana vende la mitad del stock,

pero no repone ningún artículo. a. Si en un principio había 1024 artículos. ¿Cuántos artículos le quedan luego de dos semanas?

b. ¿Cuántas semanas transcurren hasta agotar el stock?

4. Hallar la mitad de: !%#$+%+ !%

.$+%−!%

"$+%

a) 3 b) 6 c) 4 d) 8

5. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a:

"!$#$." $

!(#$."%

0#$

?

a. "!%0(#$

b. " !!"#$

c. " $#!#$

d. " !%#!(##0

6. Una máquina gasta !"de galón de gasolina por cada 30 horas de funcionamiento. ¿Cuántos galones de gasolina

usará la máquina en 400 horas? a) 10 galones b) 11 galones c) 15 galones d) 20 galones

7. Una rueda avanza !%

"$ metro al dar una vuelta ¿Cuántas vueltas debe dar para avanzar 10 metros?

a) 10 vueltas b) 20 vueltas c) 30 vueltas d) 40 vueltas

PRACTICAMOS:

SEGUNDOAÑO

31

8. Una cinta mide 1,6 cm de ancho y 128 cm de longitud. Para guardarla en una caja que mide 2 cm X 10 cm, debe ser doblada por la mitad en forma sucesiva 4 veces. ¿cuál es la potencia relacionada con el problema? ¿Cuál es el valor de esta longitud de la cinta al término del cuarto doblez?

9. La masa de un virus es 10-21 kg, la de un hombre 70 kg. ¿Cuál es la relación entre la masa del hombre y la masa del

virus? a) 7 x 10-22 % b) 7 x 10 -24 % c) 7 x 1022 % d) 7 x 1024 %

10. El ser vivo más pequeño es un virus que pesa del orden de 10-18 g y el más grande es la ballena azul, que pesa

aproximadamente 138 toneladas. ¿Cuántos virus serian necesario para conseguir el peso de una ballena? 11. Observa la tabla:

%14(

.! %

14(

.# %

14(

.$ %

14(

." %

14(

.% %

14(

.&

4

16

64

256

1024

4096

Usa la tabla para expresar el valor 256 x 4096 como potencia de 4. a. 410 b. 420 c. 430 d. 440

12. Una población de 810 000 insectos decrece por acción de un depredador natural cada año. Completa la tabla y luego

responde.

a. ¿En qué año la población es de 756 000 insectos?

b. ¿Cuántos insectos hay entre el tercer y cuarto año?

c. ¿Después de cuantos años se extinguirá este tipo de insectos?

Topo o Tupu En el Imperio incaico todas las tierras pertenecían al Sol, al inca y al Estado. Estas eran distribuidas de forma que cada habitante contaba con una parcela de tierra fecunda para trabajar. Los varones recibían un topo o tupu (2700 m2, 0,27 Ha, 067 acres) al nacer, mientras que las mujeres recibían tan solo medio topo. No podían venderlos ni heredarlo, ya que no era posesión de ellos, sino del Estado incaico; por ello, cuando una persona moría, sus tierras eran destinadas a un nuevo habitante. A cada persona se le daba tierra para que pudiera alimentar bien a su familia. Esta porción asignada de tierra fue denominada topo. El

Años transcurridos Factor de decrecimiento Tamaño de la población

0 %23(

(

"#$#(

x 810 000 = 810 000

1 %23(

!

"#$#!

x 810 000 = 54 000 2

3

4

32

IBIMESTREcampesino tenía como propios la casa, el establo, los pequeños animales domésticos (perro, cobayos, patos y gallinas sin cola) y el granero, además de los útiles de labranza. fuente: https://historiaenaccion3052.blogspot.com/2010/05/tyema-8-economia-inca.html A partir de esta información, responde las preguntas 13, 14 y 15.

13. Juan Cristóbal tiene un terreno de forma cuadrada de 450 m de lado. ¿Cuántos topos comprende este terreno?

a. 45 topos b. 55 topos c. 75 topos d. 6 topos

14. Juan hereda a su hija $

% de su terreno, el cual es de forma cuadrada. ¿Cuánto mide,

aproximadamente, el lado del terreno que ha recibido su hija? a. 1300 m b. 135 m c. 51,96 m d. 36,74 m

15. El vecino de Juan tiene un terreno cuadrado de 200 m de lado. Si él amplía los lados (pero sin

que el lugar pierda la forma), de modo que el espacio comprende 25 topos. ¿Cuánto medirá el lado del terreno?

Bibliografía:

• Coveñas, N. (2007), 550 Pág. Matemática 2°, Lima –

• Perú, Editorial COVEÑAS S.A.C. Impreso en los

• talleres gráficos QUEBESOR WORLD PERÚ S.A.

• Rojas, A. (2009), 447 Págs. Matemática 2°, Lima –

• Perú. Editorial San Marcos.

• Recursos Didácticos para secundaria:

• https://recursosdidacticos.org/

• Separatas adicionales:

• https://www.cyberdocentes.com/separatas-trilce-segundo-grado-secundaria/

SEGUNDOAÑO

33