Rayonnement dipolaire (PC*)
Transcript of Rayonnement dipolaire (PC*)
1
http://plateforme.sillages.info
Rayonnement dipolaire
(PC*)
2
http://plateforme.sillages.info
I) Cadre de l’étude :
On considère un ensemble de charges qi, telles que 0i
i
q =∑ , mobiles au voisinage
de l’origine O d’un système de coordonnées. On pose :
O
x
y
z
Ai (qi)
M
r = OM
On souhaite déterminer les champs Er et B
r à grande distance r de O et montrer
que ce système rayonne de l’énergie (contrairement au dipôle statique).
i i
i
p q OA=∑uuurr
Le moment dipolaire de la distribution de charges est :
3
http://plateforme.sillages.info
Hypothèses simplificatrices :
• r >> a : a est de l’ordre de grandeur de l’extension spatiale de la distribution de charges
• vi << c : la particule qi a une vitesse vi non relativiste
zz a cos( t) ; p qa cos( t) u
dza sin( t)
dt
dzc donne a
dt
= ω = ω
= − ω ω
<< << λ
r r
4
http://plateforme.sillages.info
Zone de rayonnement :
L’étude du champ rayonné par ce dipôle à une distance r >> a de celui-ci conduit à distinguer trois zones dans l’espace :
• La zone statique : a << r << λ
(on ne tient pas compte de la durée de propagation)
• La zone intermédiaire : r λ≈
• La zone de rayonnement : r >> λ
On s’intéresse aux champs EM dans la zone de rayonnement, ce qui correspond aux situations les plus répandues.
5
http://plateforme.sillages.info
Rappels sur le potentiel vecteur :
Le potentiel d’une distribution volumique de courants est :
τπ
µd
MA
c
MAtAj
tMAAi
i
i
D
),(
4),(
)(
0
−== ∫∫∫
r
rr
Pour une distribution filiforme, on utilise la correspondance lrr
iddj =τ :
lrrr
dMA
c
MAtAi
tMAAi
i
i
D
),(
4),(
)(
0
−== ∫∫∫π
µ
Pour une répartition discrète :
0( , )4
ii i
i i
A Mq v t
cA M t
A M
µ
π
−
= ∑
r
r
6
http://plateforme.sillages.info
II) Détermination des champs :
1) Expression générale :
On utilise :
( )rot U a grad U a U rot a= ∧ +uuur uuuuuur uuurr r r
On travaille en coordonnées sphériques.
On suppose :
zp pu=r r
On écrit :
0 0
EB rotA et rotB
tε µ
∂= =
∂
ruuur uuurrr r
7
http://plateforme.sillages.info
8
http://plateforme.sillages.info
2) Expression des champs EM à grande distance de l’origine :
Dans la zone de rayonnement (r >> λ)
L’expression du champ magnétique se simplifie en :
0( , ) sin4
rp t
cB M t u
rcϕ
µθ
π
−
=
&&r r
9
http://plateforme.sillages.info
Pour calculer le champ électrique, on utilise :
0 0 2
1∂ ∂= =
∂ ∂
r ruuur r E ErotB
t c tε µ
En utilisant un formulaire mathématique :
Ainsi :
( ) ( )2
1 1sin sin
sin sin
∂ ∂= −
∂ ∂
uuur r r rrrotB r B u r B u
r r rθθ θ
θ θ θ
10
http://plateforme.sillages.info
0: ( , ) sin4
−
=
&&r
p tc
Avec B M trc
µθ
π :
0 0
2 2
cos 12 sin
4 4
= − + −
uuur r r r&& &&&
r
r rrotB p t u p t u
c c r c r cθ
µ µθθ
π π
Par intégration temporelle :
0 0
2
cos 1sin
2 4
= − + −
r r r& &&
r
c r rE p t u p t u
r c r cθ
µ µθθ
π π
En faisant à nouveau la même approximation que pour le champ magnétique, on trouve pour le champ électrique dans la zone de rayonnement :
0
2
0
1( , ) sin sin
4 4
− −
= =
&& &&r r r
r rp t p t
c cE M t u u
r rcθ θ
µθ θ
π πε
11
http://plateforme.sillages.info
3) Approximation locale par une onde plane :
Dans la zone de rayonnement, on constate que les champs Er
et Br
sont
perpendiculaires au vecteur rur
et que :
ru
B Ec
= ∧
rr r
12
http://plateforme.sillages.info
13
http://plateforme.sillages.info
III) Aspect énergétique :
1) Puissance rayonnée par un dipôle :
On calcule le vecteur de Poynting dans la zone de rayonnement :
14
http://plateforme.sillages.info
Puissance rayonnée :
On calcule le flux du vecteur de Poynting à travers la sphère de centre O et de rayon r :
Cette puissance rayonnée ne dépend pas de r (le milieu est non absorbant)
15
http://plateforme.sillages.info
2) Cas d’un mouvement sinusoïdal :
16
http://plateforme.sillages.info
17
http://plateforme.sillages.info
IV) Exemple d’application ; rayonnement d’une particule chargée :
Voir feuille de TD
18
http://plateforme.sillages.info
Complément ; polarisation par diffusion :
A partir de la lumière non polarisée du Soleil, la lumière diffusée dans des directions orthogonales à la direction du Soleil est polarisée rectilignement.
19
http://plateforme.sillages.info
Complément ; grille polarisante :
Les polariseurs du laboratoire d’optique sont des « Polaroïds », constitués de feuilles de plastique transparent fortement étiré dans une direction et rendu
conducteur.