Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono convesso? fine.
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Quanto vale la somma degli angoli interni di
un poligono convesso?
fine
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Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono
convesso?
triangolo
fine
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Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono
convesso?
triangoloS = 180°
Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono
convesso?
fine
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Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono
convesso?
triangoloS = 180°
quadrangolo
Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono
convesso?
fine
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Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono
convesso?
triangoloS = 180°
quadrangoloS = 180° x 2
Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono
convesso?
fine
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Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono
convesso?
triangoloS = 180°
quadrangolo S = 180° x 2
pentagono
Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono
convesso?
fine
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Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono
convesso?
triangoloS = 180°
quadrangoloS = 180° x 2
pentagonoS = 180° x 3
Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono
convesso?
fine
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Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono
convesso?
triangoloS = 180°
quadrangoloS = 180° x 2
pentagonoS = 180° x 3
esagono
Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono
convesso?
fine
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Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono
convesso?
triangoloS = 180°
quadrangoloS = 180° x 2
pentagonoS = 180° x 3
esagonoS = 180° x 4
Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono
convesso?
fine
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E in generale?Se il poligono ha M vertici?
triangoloS = 180°
quadrangoloS = 180° x 2
pentagonoS = 180° x 3
esagonoS = 180° x 4
fine
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Congettura:In un poligono convesso con M vertici la somma degli
angoli interni è S = 180° x (M - 2)
triangoloS = 180°
quadrangoloS = 180° x 2
pentagonoS = 180° x 3
esagonoS = 180° x 4
fine
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Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono
convesso?
Un’altra strategiaper generare la stessa congettura
fine
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Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono
convesso?
Triangolo
S = 180°
fine
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Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono
convesso?
Triangolo
S = 180°quadrangolo
S = 180° x 4- 180° x 2
fine
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Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono
convesso?
Triangolo
S = 180°quadrangolo
S = 180° x 4- 180° x 2
pentagono
S = 180° x 5- 180° x 2
fine
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Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono
convesso?
Triangolo
S = 180°quadrangolo
S = 180° x 4- 180° x 2
pentagono
S = 180° x 5- 180° x 2
M-gono
S = 180° x M- 180° x 2
= 180° x (M-2)
E quindi:
fine
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Congettura:In un poligono convesso con M vertici la somma degli
angoli interni è S = 180° x (M - 2)
Come possiamo dimostrare che la congettura vale per ogni M?
fine
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COMMENTOC’è differenza tra le due strategie?
(in vista della dimostrazione)
“vertice”uso asimmetrico dei
verticiil ‘nuovo’ vertice deve
essere ‘ben’ collocatol’esempio ‘generico’ è
dinamico su M (suggerisce il passaggio da M a M+1 vertici)
“punto interno”uso simmetrico dei
verticiil ‘nuovo’ vertice può
essere ‘ovunque’l’esempio ‘generico’ è
statico su M
fine
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Peano ci aiuta con ilPrincipio (o Metodo) di Induzione
Matematica(Assioma dell’Induzione)
Il metodo si compone di due passi:1. Verifica che la proprietà vale per un numero naturale (di solito, si prova per M = 0 o M = 1)2. Dimostra che se la proprietà vale per un numero naturale m allora la proprietà vale per il successivo di m, cioè m+1
L’assioma afferma che:Se sono soddisfatte queste due condizioni, allora la proprietà vale per ogni numero naturale (a partire dal primo per cui è stata verificata, di solito 0 o 1 ).
fine
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Applico nel nostro caso ilPrincipio (o Metodo) di Induzione
Matematica1. Verifico che la proprietà vale per il numero naturale 3 (il primo della tabella)
nel triangolo la somma degli angoli interni èS = 180° x (3 - 2) = 180° OK
E ora, il secondo passo!
fine
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2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale m allora la proprietà vale per il successivo di m, cioè m+1.
Questo è un poligono con m vertici.La somma S degli angoli interni è:S = 180° x (m - 2)(per ipotesi)
fine
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2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale m allora la proprietà vale per il successivo di m, cioè m+1.
Questo è un poligono con m vertici.La somma S degli angoli interni è:S = 180° x (m - 2)(per ipotesi)
Aggiungo un vertice(m + 1).S = 180° x (m - 2)
fine
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2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale m allora la proprietà vale per il successivo di m, cioè m+1.
Questo è un poligono con m+1 vertici.
S = 180° x (m - 2)
fine
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2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale m allora la proprietà vale per il successivo di m, cioè m+1.
Questo è un poligono con m+1 vertici.
Posso ritagliare un triangolo.
S = 180° x (m - 2)
fine
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2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale m allora la proprietà vale per il successivo di m, cioè m+1.
Questo è un poligono con m+1 vertici.
Posso ritagliare un triangolo.
S = 180° x (m - 2)
fine
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2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale m allora la proprietà vale per il successivo di m, cioè m+1.
Questo è un poligono con m+1 vertici.
180° + 180° x (m - 2) = 180° x (m - 1) = 180° x [(m + 1) - 2]
S = 180° x (m - 2)
fine
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2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale m allora la proprietà vale per il successivo di m, cioè m+1.
Questo è un poligono con m+1 vertici.
180° + 180° x (m - 2) = 180° x (m - 1) = 180° x [(m + 1) - 2]
S = 180° x (m - 2) E’ fatto anche
il secondo passo!
fine
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Allora l’assioma garantisce che la formula per la somma degli angoli interni
S = 180° x (M - 2)vale per un poligono con un numero M qualsiasi di vertici
180° x (M - 2)
………………...
fine