Quante sono le diagonali di un poligono convesso? fine.

Quante sono le diagonali di un poligono convesso?

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Quante sono le diagonali di un poligono (convesso)?

M d3 0

fine


M d3 04 2

fine


M d3 04 25 5

fine


M d3 04 25 56 9

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M d3 04 25 56 9e poi?

37 ?1115 ?M ?

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Quante sono le diagonali di un poligono (convesso)?Proviamo a produrre una congettura?

3 3

3

3

3

3

3 x 6 = 18

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Quante sono le diagonali di un poligono (convesso)?Proviamo a produrre una congettura?

3 3

3

3

3

3

3 x 6 = 18ma ogni diagonale

è contata due volte!Quindi sono18 : 2 = 9

fine


E in generale?

3 3

3

3

3

3

3 x 6 = 18ma ogni diagonale

è contata due volte!Quindi sono18 : 2 = 9

fine


E in generale?

3

3

M (M - 3)ma ogni diagonale

è contata due volte!Quindi sono

d = M (M - 3) : 2Ci sono M vertici

e da ciascuno escono (M-3)

diagonali

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CONGETTURASe M è il numero dei vertici,il numero delle diagonali è

d = M (M - 3) : 2

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CONGETTURASe un poligono ha M vertici il numero delle diagonali è

d = M (M - 3) : 2Abbiamo una bella congettura.

Se fossimo sicuri che è valida, potremmo affermare (senza disegnare) che

un poligono con 37 vertici ha37 x 34 : 2 = 37 x 17 = 629

diagonali

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CONGETTURASe un poligono ha M vertici il numero delle diagonali è

d = M (M - 3) : 2Abbiamo una bella congettura.

Se fossimo sicuri che è valida, potremmo affermare (senza disegnare) che

un poligono con 37 vertici ha37 x 34 : 2 = 37 x 17 = 629

diagonaliCome possiamo dimostrare che la congettura vale per ogni M?

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Peano ci aiuta con ilPrincipio (o Metodo) di Induzione

Matematica(Assioma dell’Induzione)

Il metodo si compone di due passi:1. Verifica che la proprietà vale per un numero naturale (di solito, si prova per M = 0 o M = 1)2. Dimostra che se la proprietà vale per un numero naturale m allora la proprietà vale per il successivo di m, cioè m+1

L’assioma afferma che:Se sono soddisfatte queste due condizioni, allora la proprietà vale per ogni numero naturale (a partire dal primo per cui è stata verificata, di solito 0 o 1 ).

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Che idea ‘sta sotto’ ilPrincipio (o Metodo) di Induzione Matematica?

Usiamo alcune metafore: la proprietà si propaga da un numero al

successivo

fine


Usiamo alcune metafore: la proprietà si propaga da un numero al

successivo

e così via

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Usiamo alcune metafore: è come quando spingo una tessera del domino

che fa cadere via via quelle che la seguono

0 1 2 3 e così via

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Usiamo alcune metafore: è come quando spingo una tessera del domino

che fa cadere via via quelle che la seguono

0 1 2 3 4 5 e così via

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Applico nel nostro caso ilPrincipio (o Metodo) di Induzione

Matematica

1. Verifico che la proprietà vale per il numero naturale 3 (il primo della tabella)

il triangolo non ha diagonalid = 3 (3 - 3) : 2 = 0. OK

2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale m allora la proprietà vale per il successivo di m, cioè m+1.

Fatto questo, sarà certo che la formula d = M (M - 3) : 2

vale per un poligono con un numero qualsiasi di vertici M ( 3).

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Procedo con il passo 2

2. Dimostro che se un poligono con m vertici ha

m (m - 3) : 2 diagonali allora un poligono con m + 1 vertici ha

(m + 1) [(m + 1) - 3] : 2 diagonalicioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1).

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2. Dimostro che se un poligono con m vertici ha

m (m - 3) : 2 diagonali allora un poligono con m + 1 vertici ha (m + 1) [(m + 1) - 3] : 2 diagonalicioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1).

m (m - 3) : 2diagonali

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2. Dimostro che se un poligono con m vertici ha m (m - 3) : 2 diagonali allora un poligono con m + 1 vertici ha (m + 1) [(m + 1) - 3] : 2 diagonalicioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1).

Qui ci sono m (m - 3) diagonali


Disegno un altro vertice(m +1)°

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Quante sono le diagonali?

Qui ci sono m (m - 3):2diagonali


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Quante sono le diagonali?Quelle di prima: m (m - 3) : 2



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Quante sono le diagonali?Quelle di prima: m (m - 3) : 2Quelle da (m +1)°: m - 2



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Quante sono le diagonali?Quelle di prima: m (m - 3) : 2Quelle da (m +1)°: m - 2il segmento 1m: 1


Qui ci sono m (m - 3) : 2diagonali

m (m - 3) : 2

diagonali

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In tutto sono:m (m - 3) : 2 + (m - 2) + 1 =[m (m - 3) + 2 (m - 1)] : 2 =

[m2 - 3m + 2m - 2] : 2 =[m2 - m - 2] : 2 =

(m + 1) (m - 2) : 2



m (m - 3) : 2

diagonali

fine




In tutto sono:m (m - 3) : 2 + (m - 2) + 1 =[m (m - 3) + 2 (m - 1)] : 2 =

[m2 - 3m + 2m - 2] : 2 =[m2 - m - 2] : 2 =

(m + 1) (m - 2) : 2 =(m + 1) [(m + 1) - 3]: 2



Fatto!La proprietà vale per ogni

M !!!

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