Pythagorastól Hilbertig

7/28/2019 Pythagorastól Hilbertig

http://slidepdf.com/reader/full/pythagorastol-hilbertig 1/292

A BÚVÁR KÖNYVEI XVII.



EGMONT COLERUS

PYTHAGORASTÓL HUBEA MATEMATIKA TÖRTÉNET ÉNEK KORSZAKA I ÉS M ESTE R

A MIT A MA TEMA TIKA TÖRTÉNETÉRŐLMINDENKINEK TUDNIA KELL

O TO D I K E Z E R

F R A N K L I N - T Á R S U L AT B U D A P E S T



E MŰ ER ED ET I CÍME :

V ON P Y T H A G O RA S B I S H I L B E RT

A FORDÍTÁS WlNKLER JÓZSEF PÉTER MUNKÁJA

A SZERZŐTŐLA FRANKLIN-TÁRSULA T KIA DÁSÁBA N M EGJELEN T:

A Z E G Y S Z E R E G Y T Ő L A Z I N T E G R Á L I G23 . -25 .ezer

A P O N T T Ó L A N É G Y D I M E N Z I Ó I G6 .- 8 . ezer

7 3 7 3 ,F R A N K L I N - T Á R S U L AT N Y O M D Á J A .



E L Ő S Z Ó .Majdnem érthetetlen számomra, hogy csak alig néhán

esztendő tel t el am ióta az első, m atem atik át népszerűsíkísérletemet, az «Egyszeregytől az integrálig)) c. könyvútjára bocsájtottam. Az a visszhang, amelyet e könyvevalam int a kb. egy évvel később m egjelent «A pon ttó l négy dimenzióig* című művem Európa számos országábkeltett, úgyszólván kötelességemmé tette, hogy eleget tegya hatalmas matematikus tömeg kívánságának. Hisz művepéldányszáma minden nyelven sok tízezerre rúg!

A láza ttal említem e számot és öröm mel, a belőle kövekező szellemi érdeklődés m ia tt. De m int em lített em , mékötelezettség érzésével is. Bizonyos, sok kitűnő könyvet értekezést írtak má r a m atem atika történetérő l. Könyveolvasói és kritikusai (kísértést érzek, hogy az utóbbiakmint előmozdítókat, terjesztőket említsem) nem egysz

kifejezték óhajukat, hogy szeretnék, ha a «keletkező tudmány* leírásával is foglalkoznám, és pedig nem csak a sgorú tudomány kívánalmainál és lehetőségeinél könnyebnépszerűsítőbb módon, hanem figyelembe véve bizonyáltalánosabb kultúrtörténeti szempontokat is. Hisz erengem állítólag az a körülmény is képesít, hogy szerzővagyok kultúrhistóriai-szellemtörténeti szintéziseknek.

Vonakodve és kételkedve vállaltam, meg kell vallanoma rám bízott feladatot.

A z elmúlt évben teh át akarva-n em akarva ki kellett m élytenem a már régebben megkezdett, a matematika történtér e vonatkozó tanu lm án yaim at. Másodrendű m unk ávameglevő matematikatörténetek alapján ugyanis nem akatam a «korszakokat» megírni. Hasson rám, amennyire cslehet, a m atem atika hőseinek ered eti műveiből áradó alkoa keletkezéstől és a felfedezéstől megrészegült izzó lehele

A magamra vállalt és a tudományos kutatás feltételeit

sokszor megközelítő kívánalmak és szigorítások ellenére stételeztem fel magamról, mélyenfekvő elvi okokból, ho



6

népszerű matematika könyveim harmadik kötetében tudmányos működést fejtettem ki. Célom, most éppen úgmint a múltban, a tudomány előcsarnokában a tudománszomjazókat oktatni s az igazi tudomány élvezete felé vezeútjukat egyengetni.

E könyv a közönség még szélesebb rétegéhez fordumint két elődje, pedig tapasztalatom szerint azok olvastábora is igen különféle kor- és foglalkozási csoportokbtevődött össze. Miként a zene, a matematika is a szó lenemesebb értelmében vett emberi dolog. Rang, méltósákor, nem, származás közömbös számára, és azon igyekszhogy Isten akaratához és a legőszintébb, leghajthatatlanaigazsághoz, am enn yire em bertől telik , közel jusson . Déppen úgy küzd a földi gőg, az intellektuális merészség az apokaliptikus kétkedés ellen is, hisz egyrészt az égrtörőkneli mennydörgő állj-t kiált, másrészt viszont évezredfejlődésével bebizonyította, hogy mindig megújuló kultúrámindig új alakban építik tovább a szellem eme legfelső birdalmát s hogy egymás felé nyújtott kezük csak az utolsemberrel végződő lánccá kapcsolódik össze.

Szinte két rétegben építettem fel ezt a könyvet, hoga fejlődés m enetét , úgy am int azt a régi egy iptom iak, mezotámiaiak és indusok kora óta ismerjük, a legszélesebb körszámára is hozzáférhetővé tegy em . A m atem atikától táválló,vagy kevéssé gyakorlott olvasó ugorja át a szórványosan előforduló matematikai képleteket, foglalkozzék csupa ku ltú rtö rté net i, életrajzi és filozófiai leírásokkal. Ezesem könnyűk mindenkor, de a formulákkal írt matematikellenségei számára megvan az az előnyük, hogy hétköznanyelven íródtak.

Igényesebb olvasót nem akartam megfosztani attólhogy fejtegetéseimet példákkal ne fessem alá. Ezeket lehtőleg úgy választottam ki, hogy jellemzők és könnyen érhetők legyenek. A fejlődő tudom án y leírásának eleve mevan az az előnye, hogy fokról-fokra építi fel a tudást.

Mindezek u tán nem k ell hangsúlyoznom, hogy ez a könyönmagában is zárt egész, és hogy ilyennek íródott, nohmegírása ugyanabból a szellemből fakadt, mint két elődjéés segítőtársként áll melléjük.

EGMONT COLERTJS,



ELSŐ FEJEZET.Pythagoras .

Matematika mint tudomány.

Képzeljük, hogy a hatodik évszázadban vagyunk Kristus születése előtt. És képzeljük el, hogy megvan az a metehetségünk, hogy láthatatlanul mindenütt jelen lehetün

Ne legyenek terveink, hogy merre utazzunk varázsszőnygünkön. Csak a vágy vezessen, a szeszélyeink. És a látottmeg a gondo lataink, váljanak mon da tok ká , illeszkedjenszép sorjában képekké.

Dús béke terpeszkedik el a fáraók országán. A kelefelől eljövendő viharnak még a hangja sem hallatszik. Hacvalaki nem tulajdonít túlzott fontosságot a perzsákkfolytatott ágas-bogas tárgyalásoknak. Miért is kellene ngyon komolyan venni? Az Egyiptomi Birodalom négyeéves története alatt soha sem pihent a diplomácia. S titkfátylába burkoltan, akár a Sphinx, terül el az ország, teljpompájában.

Évről-évre elárasztja a Nilus pa rtja it, iszapot ho rdvúj életet éb resztve tö rli el a gondosan kim ért mesgyék je leAlig futottak le a habok, már számtalan földmérő siet iszapos terepre még ficánkoló halak és békák közé, cövekevernek le, mérőzsinó rt feszítenek közéjük és szám olnaSzámolnak éjjel-nappal, s rövidesen ismét megkapja mindbirtokos a maga földjét.

H atalm as építmén yek fejedelmi nyug alomm al tekintenle a nyüzsgő sokaságra. Csillogón szürke, tükörsima felszíéles szélű piramisok. Eikító-tarka hieroglifákkal telis-telerajzolva. Miért állnak ezek a pramisok oly yalószínűtlen szbályossággal, geometriai rendszerességgel sorakozva? S mnem maradnak el a templomok tartócölöpei, az obeliszkeaz oszlopok, a csa tornák g átja i és a gabonasilók kivitelüfinomságában a piramisok mögött?



8

Megtudjuk a titok n y it já t : építészek ügyessége eztámogatják őket a zsinórhúzók és a geometerek, akik vastpapírusztekercsekről leolvasott képleteket alkalmaznak. Volyan eljárásuk, amellyel derékszöget tudnak kitűzni. Tudjhogyha zsinórból olyan háromszöget feszítenek ki, amelynoldalai sorban.3, 4 és 5egység hosszúak, s csúcspontjaihelyét cövekkel rögzítik, akkor a 3 és 4 egység hosszú ollak találkozásánál bizonyosan derékszöget kapnak. De elemi dolog. Már az egyiptomi geometerek számára is éezredes örökség. Ma már többet is tudnak Kemi szente

földjén. Olyan eljárást ism ernek , am elynek neve évezredmúlva trigonometria lesz. Vagy legalább néhány részét merik. Még pedig a cotangens szögfüggvényt. Eövidetudják azt, hogy a derékszögű háromszög befogói és az eghegyes szög közt határozott összefüggés van. Az egyik bfogó beve «pir-em-musz». Fülükbe jutott ez a görögöknde rosszul hallották és ebből torzították a piramis szóDe ez m ár később tö rt én t. M ost még K risztu s születése ela hatodik évszázad elején vagyunk. S nemcsak remek épményeit bámuljuk meg Egyiptomnak, hanem rendezeállamszervezetét, virágzó kereskedelmét, igazságszolgáltasát és pénzügyeit is.

Ugyan hogyan is csinálják a számolómesterek, akik oa termés halma körül, álldogálnak és kiosztják a halmelőre rögzített arányok szerint az egyes tulajdonosok kömég mielőtt csak egyetlen egységneka, súlyát lemérték volna?Eljá rást eszeltek ki erre is. H alom szám ításnak nevezi

Nagyon bonyolult felosztási feladatoktól sem riadnak vissArányos osztás, hármasszabály, egyismeretlenes egyenlesz annak később a neve, am i i t t először szolgálja az embérdekeit. Van még sok'más is ez áldott ország földjén, amnem tudunk áttekinteni, amibe nem tudunk behatolni .

De tudjuk, hogy egy évezredeken keresztül vezető repükezdetén vagyunk. Semmilyen varázs sem tartóztathaKelet felé szállunk, csodás dolgok at meséltek nekünk arram it o tt — szintén évezredek óta — a kaldeusok műveln

A Tigris és Eufrates ke ttős folyam országa, amelynemost a perzsák az ura i, szintén ősrégi ku ltúrájú vidék . Szurok és akkádok, asszírok és babiloniak gondolkodtak, h



9

coltak, szántottak és keveredtek itt. És mindegyik különékírású jegyeket karcolt cseréptáblákba. B ak társz ám ra. ilyen táblácskák ezrein és ezrein szám oltak. De i t t a szám ísok végső célja,.a pénzgazdálkodás, sőt szállítmánybiztsítás gyakorlati céljait kivéve, nem annyira a külső elredezkedésre irányult, mint Egyiptomban. Babylonban körülötte, a kettős folyam országában, az ég felé irányulna tekintetek. A kaldeusok az ismert világ legjobb csillagásA nap- és holdfogyatkozásokat előre kiszámítják, bíráljés szerkesztik a naptárt, pontosan ismerik a bolygók pály

és a szögeket, ahogy a csillagzatok kelnek és lenyug szanGömbháromszögtannal foglalkoztak és szögméréssel gömb felszínén, s erre a célra az égboltozatot úgy használtm in t egy gömb belsejét, ök osztják a kö rt 360 fokra, szárendszerük alapszáma 60, és bonyolult műveleteket végeznigen nagy számokkal, sőt négyzet- és köbszámokkal iVájjon összeköttetésben voltak keleti szomszédaikkal, indusokkal, és legtávolabbi szomszédaikkal, a kínaiakkal

De ne költsünk meséket itt. Csak annyit tudunk, hogaz indusok óriási számokkal számolnak, s az elképzelhetlennel határos számok részére is vannak számneveik. Aősrégi Mahabharata eposz 24.1015 istent említ és GautamaBuddhának állítólag 600,000 millió fia volt. De Benarpiacán fülelve hallhatunk egy mesét, amely szerint hajdaz ősidőkben csata volt a majmok közt, s ebben 1040 majomvett részt. Mekkora szám ez? Évezredekkel később kiszm íto ttá k , hogy ennyi majom, még akkora gömbben sem féel,amelynek átmérője a naprendszer átmérőjével (a N ep tupályájának átmérőjével) egyenlő. Hiszékenyek, nagyvonlúak és élénk képzeletűek ezek a régi indusok. S noha ilyzabolátlan a fantáziájuk, vagy éppen azért, egyik igazsága másik után fedezik fel. ök is ismernek olyan fogást mia Nílus-völgy zsinórhúzói. Csupán a derékszög kitűzéséhasznált háromszögük oldalainak hossza nem 3, 4 és 5 egség, hanem 5, 12 ós 13. Ezzel a szerszámmal oltárok alarajzát tűzik ki, s ez sokszor háromszögekből, rombuszokbés négyzetekből összeállított sasokhoz hasonlít.

Abban az időben, amelyben most repülünk, a szorgalmkínaiak számolótáblákat használnak, rajtuk drótra fűzö



10

golyók sorakoznak. S egészen messze távol, nyugaton, amerikai kontinensen, az eddig meglátogatott népektteljesen'függetlenül, a nagyműveltségű maják jól kigondszámrendszerükkel rendben tartják államukat és közigagatásukat, kereskedelmüket és naptárukat.

De a Földközi-tenger pa rtjain közben nag y Teremtéfolyik, csodás születés van folyamatban. A világos kék tgerből álomszerűén kiemelkedő szigeteken, ahol a dombollak tüzes bort érlelnek és a szárazfoldöo, Miletosban, rózsák városában leküzdhetetlen vágy fog el egyesekeA ko rtársak bám uló szeme egy szerre Görögország hét bölfölé fordul, s a bölcsek egyike a miletosi Thales. Földiéi mfiatal korában a szellem és tudás fényes csillagának tartjDe ő hírét veszi, hogy van régebbi, mélyebb, tisztább böcseség is. Hajóra száll, világgá megy. Oda megy, ahonnlegtöbbet vár. A Nílus-deltában görög települések vannaGörög segédcsapatok állanak a fáraók szolgálatában. Necsoda, hogy oda visz Thales útja. Barátságosan, atyai módoktatják őt az egyiptomi papok. Persze nem titkaikrCsak meg m utatják neki, hogy kell egyszerűbb dolgokmegmérni és kiszámítani. De Thales szinte megrészegszá tudásvágytól. Szelleme repülni kezd. És az egyiptomi ppok kevósbbé csodálják felfedezéseit, mint azt a nekik tjesen idegen szemléleti és általánosítási módot, amellyel ifjú hellén a feladatokat m egragad ja.

Ott áll a sivatagban a nagy piramisok lábánál. Egyiegyiptomi pap mosolyogva megkérdi, hogy vájjon milymagas lehet Kufu király piramisa (a Cheops-piramis). Thagondolkozik. Majd az t feleli, ho gy nem becsü lni fogja piramis magasságát, hanem megméri. Szerszámok és segéeszközök nélkül. Azzal lefekszik a homokba és megméri satestének hosszát. Mit akar ezzel elérni, kérdi a pap. Memagyarázza : ((Egyszerűen testem megmért hosszának egyvégére állok és megvárom, míg árnyékom egyforma letestem hosszával. Eb ben a pillanatban Kufu piramisotoknavagy amint a hellének mondják a Cheopsnak az árnyékhossza ugyanannjd lépés lesz m in t ^ magassága*. De ma pap, elképedve a megoldás egyszerűségétől, fontolgathogy nincs-e hiba az okoskodásban, Thales már folytatja



11

«De ha azt ak arod, hogy a m agasságot bá rm ely órában mmérjem, akkor qzt a vándorbotot beszúrom ide a homokbíme,árnyéka fele lehet magasságának. Elég ügyesek vagytok, hogy pontosan meg tudjátok mérni. S a bot hosszárnyéka hosszával összevetve a piramis árnyékának hossból osztással vagy sokszorozással mindenkor meghatározhjátok az építmány magasságát.*

I ly módon ejti bám ulatba a miletosi Thales az egyiptomkat. De szüló'városában megméri a tengeren közeledő' hajtávolságát is. Csak egy irányzó berendezésre van szükséés ismernie kell helyének magasságát a tenger színe fölöhárom szögek hason lóságát használja fel, mivel a legegysrűbb «viszonyokat és arányosságokat* már vizsgálatai körvonta. De ez még nem minden. Mélyebben fekvő dolgot fezett fél, sokkal fontosabbat. Már tudja, hogy a félkörbrajzolt szög, vagyis az a szög, amelynek szárai egy átmékét végpontján mennek keresztül és amelynek csúcsa a fkör kerületénvan, mindig derékszög. Ezzel utat tört, amelyút a jövőben, sőt már a közeli jövőben sok új dolog fefog vezetni. De nem elégszünk meg ezzel az utalással, félbszakítjuk v ilágutazásunka t és részletesen kifejtjük vélemny ün ke t. H a egy olyan szellemi képességekkel m egá ldoférfi, mint a miletosi Thales, azt látja, hogy egy és ugyaazon átfogó fölé a félkörbe számtalan derékszögű háromszöget lehet rajzolni, akkor csodálatos, hogy nem teszi fmagának azt a további kérdést, milyen az összefüggés befogók közt és milyen a viszonyuk a közös átfogóhoz. Hmajdnem bizonyosra vehetjük, hogy hallott Egyiptombarról a háromszögről, amelynek oldalai 8, 4 és 5 egység hoszúak. Vagy nem hallo tt volna Thales ezekről a háromszögeről? Nincs róla tudomásunk. Csak annyit tudunk, hogy Samos szigetéről való Pythagoras ennek a miletosi Thaiesna tanítványa volt. S hogy mit jelent ez a név e problémávkapcsolatban, az tisztán állhat mindenki előtt, aki a gemetria elemeiről már hallott. Később még szó lesz errőIg az csak akkor, m iutá n repülésün ket még egy kissé folta ttu k . A samosi P ythag oras a hatodik században élt K riszelőtt, mint azt már többször említettük, s ennek tudomántörténeti fontosságára is hamarosan rátérünk. Fiatal koráb



12

Pythagoras hosszú utakat tett. Később egész mondakszövődött utazásai köré. Bizonyosnak látszik, hogy jáEgyiptomban. Mondják, hogy hosszas fáradozás után fevették az egyiptomi papi rendbe, s a papok teljes kiképzében részesült. Sőt többet is mesélnek. Amidőn Krisztelőtt 525-ben Kambyses meghódítja Egyiptomot, Pythagoregyiptomi papként szintén fogságba kerül és mint ilyeelhurcolják Babylonba. Innen állítólag Persepolisba, sIndiába is elkerült. Végre megszabadul és állítólag visszaSamosba, de hálátlannak m utatko zó hazáját azonnal ism

elhagyja.Ezt mesélik később. Tudományosan igazoltnak azonbacsak egyiptomi tartózkodását tekinthetjük. Kétségtelen mhogy érettebb korában Dél-Itáliába költözik, ott ekkoélik virágkoru ka t a görög gy arm atváro sok ; ezt a földnevezték akkoriban Nagy-Görögországnak. Itt volt ebba korban a hellén műveltség és ku ltúra súlypon tja. Em lítspéladkéut Sybaris, Kroton, Metapontion nevét. Pythagora dór eredetű Kro ton t, a legkiválóbb atléták városá t vlasztja lakóhelyül, itt alapítja meg esoterikus, titokzatoiskoláját, amelynek papi jellege erőjen emlékeztet az egytom iakra és babiloniakra. Az iskolából hamarosan titkotár su lat, szekta fejlődik. H atalm uk meglepően gyorsan nvekszik. Sybarist elpusztítják, állítólag azért, m ert lakói msértették Pythagorast. Itt is sok mesére és titokzatosságbuk kan unk . Végül elpusztul az iskola is, mivel ariszto kratikszervezete miatt sok az ellensége és titokzatossága jó cépont minden támadásnak. Hogy ez Pythagoras életébtörtént-e, nem tudjuk. Kevéssé valószínű, noha Pythagoréletét nem Krotonban, hanem Metapontionban végezte.

A szám unkra fontos körülm ények közül a következőkhnem fór kétség : a pythagorasi szekta a matematikával vafoglalkozást helyezte működésének középpontjába. És ilyvagy amolyan formában fennállt két évszázadon keresztEredeti titkos jellege majdnem lehetetlenné teszi, hogy mkülönböztessük, mit is fedezett fel maga Pythagoras és mfedeztek fel tanítványai. De mivel minket csak a kezdet, alapvetés érdekel, ezért mi, miként az iskola, minden fefedezést a nagy samosinak fogunk tulajdonítani, hisz óri



13

befolyása érthetetlen volna, ha nem alkot úttörő jelent

ségűt.Ezzel immár annyira jutottunk, hogy meg tudjuk mgyarázni eddigi célzásainkat a hatodik század fontosságárEbben az időben történt matematikai téren a «görög csoda Nyugat megszületése szellemtudományi szempontokbólEz az állítás nem a g örögökért rajongó ókor ku tató vágálma. Ez szigorúan bizonyítható, ennek már a régiek tudatában voltak, és véleményüket rövid, lakonikus szvakkal ki is fejezték.

Kissé elébe kell vág nunk az esem ényeknek. Midőn ugy aa hellének nagy századainak egészen valószínűtlen mamatikai eredménye már látható volt vagy már legalább kifejlődni látszott, akkor Aristoteles, a mindentudó, kívnatosnak tartotta a matematikai fejlődés történetének rözítését. Tanítványa, Eudemos vágott neki e feladatnak,fáradozásainak nagy töredéke Proklos Diadochos, egy Kritus u tá n az ötödik században é lt filozófus révén ránk m araEz a «matematikus-jegyzék» (amely eddig úgyszólván mintörténeti vagy más forrásból táplálkozó kritikának helállt) Pythagorasról a következő súlyos szavakat tartamazza : íü tán uk1 Pythagoras változtatta az e tudáságazattal(matem atikával) való foglalkozást valódi tud om án ny á, amenyiben alapját magasabb szempontból ' tekintette és tételaz anyagtól függetlenül és értelmi alapon vizsgálta. Ugyacsak ő volt, aki az irracionális elméletét és a kozmikus tesszerkesztését feltalálta.*

E fontos hely m inden szavát meg fogjuk fontolni. Egyelőmegrendít minket az a megállapítás, hogy csak Pythagorvolt az, aki a m atem atiká t a «tudomány» színvonalára emeva gy a matematikus-jegyzék szavait hívebben követvvalamely tudományt megelőző állapotból tudománnyá «vtoztat ta».

Mit jelent ez? Mit jelent, éppen olyan szerző szájábóaki az imént számolt be ThalesrŐl? Nem hallott ő Egyiptoról, Babylonról, Indiáról? Nem kísérelt meg ő is, hozzán

1 T. i. a miletosi Thales és egy bizonyos Mamerkos után. Az utóbbnak csak a nevét ismerjük.



14

hasonlóan, képzeletben egy világutazást? Vagy hellén nezeti hiúság töltötte el ezt az Eudemost? De miért másolle ezt a részt a neoplatonikus Proklos nyolc századdal későminden széljegyzet nélkül? Olyan időben, amikor már mden kójutazó olcsó pénzen tájék oz ód ha tott a régi Eg yip tomatematikájáról?

Ne törjük a fejünket. Döntsük el úgy a felvetett kérdéhogy csakugyan létezett a «görög-csoda», és a matematikjegyzék nem mond mást, mint a tiszta igazat. Semmiképpsem könnyű a szellemtudománynak ezt a rohamos változáérthetővé tenni. Talán magától Pythagorastól is távol áa tudományos forradalmárkodás. Bizonyára nem fejtettecéljaként iskolájában : «Most pedig a matematikából végtudományt csinálok. Eddig az egész céltalanés tervszerűtlen,mindenkor csak a gyakorlat szempontjai után igazodó pogatódzás volt». így beszélhetett Kant a filozófiáról —persze csak miután az addigi filozófiát az addigi matematival összehasonlította. De P yth ag ora s, hazatérvén Göröországba a Kelet kábító vidékeiről, bizonyosan nem akamást, mint az ott tanultakat előadni. Sokfélét elhallgattelőtte, gondolhatta. Tehát meg kell találnia az ott tanultmagyarázatát, okait. Tanítványok tettek fel kérdésekeerről-arról, szent tud ásv ág ytó l űzve. 8 egyszerre—ez a Nyuszületése — tükröződni kezdett az idegen népektől ellestudás egy más szellemi szerkezetben, megtört a hellén szlemi géniusz lencséjén és gyűlni kezdett.A rendszerező hellénszellem elkezdte az «anyag» feldolgozását, és «függetleértelm i alapon való» vizsgá latát. Mi ez m ár m eg int? H omeri egy görög, egy ilyen «szemmel-néző» nép fia, Egyiptés B abylon hűvösfejű számolóinak «anyagiasságát» m etagadni, és az immateriálist, a nem érzékit, az intellektuálelőtérbe hozni? Nem, annyira nem egyszerű a helyzet, mEudem os, az aristo telian us, gondolja. Nem csupán a szellemválás hozta lé tre a «görög csodát*. Még inkáb b azt m on dhnók, hogy a görög népnek pusztán optikai tulajdonságai v

tak azok, amelyek mindezt lehetővé tették. A hellének tvezéseiben és kutatásaiban első helyen nem; az okoskodásállott , hanem valamely gyors áttekintés. Bizonyos, a görgök ajándékoztak meg a logika tudományával is, de ők ajá



15

dékoztak még a plátói ideával is, minden létező ősi képévés ők aj ándék ozták nekünk azóta soha el nem ért szobrástiakat és plasztikájukat. És ezek a képességek működteközre a ((matematika tudományának)) megszületésénél Minden céltól távol, csak önmagára támaszkodva, a viláösszhangját keresve, keletkezik P yth agora sban a logikszemléleti ós esztétikai szempontból egyaránt kielégím atem atika ideálja, amely a megismerés ha tárait meghaladvallásos-misztikus területekre nyúlik. A következekben láfogjuk, hogy a helléneknek ez az esz tétikai tudom ányideáljx

miként teszi lehetővé a görög tudomány teljes fejlődésómajd miként akadályozza azt és pusztítja el végül. H yállítások látszólag ellenmondanak önmaguknak. De ez cslátszat. Mert minden rendszer magában viseli kiteljesüléhatárait .

Miben állt tehát — most már kevésbbó általánosan — új «tudománynak» döntő újdonság a?A tudomány, szó szerint,összegyűjtött, egyesített, szabályba foglalt tudás. Jó, de hegy esített tudás volt A hmes számolókönyve is a harm adévezredből Krisztus előtt, és az volt a sok cseréptáblkönyvtár Mezopotámiában? Miért nem volt az valódi tudmány? Minden rangsorolás és értékelés nélkül szeretnőkhelyen megállapítani, hogy technika és tudomány közt mészakadék tátong. Alkalmazott vagy alkalmazásra szánt tuda technika. Tanácsok, receptek, eljárások gyűjteményamely minden további indokolás nélkül az alkalmazó kezékerül. Persze Pythagoras előtt is volt valami tudomány-fa számolni tudás, számoló-technika mögött. De a hellénekmegelőző matematika nem is kereste az alapokat, megelégdett azzal, amit rapszodikusan, összefüggéstelenül taláami a gyakorlatban megfelelt és közelítésben pontos voÉs mindenek előtt sohasem volt kutatásának központja általános érvényűre való törekvés. Minden egyes halomszámítási feladat (egyenlet) megoldásával külön gyötörtmagukat Egy iptom ban és eszükbe sem ju to tt , hogy. hason

1 Das a«theT;Í3che W issenschaftsideal der H ellén en. Íg y neve zi P ierBoutroux «Das Wissenschaftsideal der Mathematíker* című alapvető münek német fordításában.



16

vagy analóg feladatok számára közös szabályt keressenMég kevésbbé jutott valakinek eszébe, hogy valamennegymáshoz hasonló feladat számára egységes írásmódszerkesszen. Csak sokkal később elmondottak során látjmajd, hogy mekkora «mulasztást» jelent ez.

így tehát a «matematikus-jegyzék» még a miletosi Thainek sem adta meg a szigorú tudományosság minősítésnoha elismeri, hogy «egyes dolgokat érthetőbben, másokáltalánosabban tárgyalt)). Félreértések elkerülésére meg kitt jegyeznünk, hogy az egyiptomiak és a babyloniak sevoltak teljesen híján az elméletnek. De elméletük, amennyma meg tudjuk ítélni, nem spekulatív, nem deduktív, hnem próbálg ató és indu kt ív jellegű v olt. Szélső esetbevalamely matematikai probléma «általános érvényűségsok egyes megoldásból következtették, ha ilyesmire egyállán vállalkoztak. De úgyszólván soha sem következtettaz általánosból az egyes esetre. Pedig ez a sajátsága a mamatikának, még pedig alapvető sajátsága, hogy kutatásmján ak a második, ded uk tív úto n kell jár ni a, hogy valóbanmagasba jusson s belőle a gyakorlat számára is alkalmeszközt kovácsolhassunk.

Eszközt mondtunk. Tehát a matematika valóban csupáeszköz? Igen, adott esetben azzá lesz. Mert ha teljesen ctalan, akkor csak a szellem játéka, «szellemi sport», ahoma mondani szokás. Az olympiai játékok görögjétől ilyen szellemi sport bizonyára nem állt nagyon távol. nemcsak Pythagoras emelte ki igen erősen a matematiktanulmányok tisztán nevelő hatását. Amint az atlétikai gkorlatoktól adott testi felkészültség sem marad végeredménben öncél. Nem lehet mindig jobban és jobban felkészülúgyhogy végül maga a felkészültség okozzon örömöt. E m ögmindenkor egy egész nép felemelkedésének gondolata reja felkészültség-készenlét ideálja. És ezzel könnyen és hmonikusan feloldódik az «öncélú-tudomány» és az «eszktudomány» közt látszó ellentét; úttörők kis csoportja, sze

vágytól űzve, elfelejti, hogy mire valók az eszközök. Aeszköz maga, önmagáért, mindenkori szerzője agyánaszellemi és intuitív mélységeiből való elvek szerint, lehetöké letes fokra fejlődik. H aszná lja, aki akarja és akin



17

kell. B izonyos, hogy az illető n ép , vag y csoport arzenálnak fegyverkészlete ezzel is szaporodott.

Ez a fejtegetés látszólag ellene mond P ythagorakövetői ti tok tartá sán ak . De ez a tito k tar tá s nem vonakozott mindenre, hanem elsősorban eljárásokra és mébizonytalan eredményekre. A nagy felfedezéseket akkor nyilvánosságra hozták, olyan eredmények kivételével, amlyek a misztikus kultusz céljait szolgálták, vagy amelyevéleményük szerint, inkább ártottak, mint használtak tud om án y fejlődésének. B árhogy is volt : tag ad ha tatlahogy egy részben titokban tartott tudomány nem azongyakorlati szabályokkal. S most nézzük végig, hogy milyrohamléptekben haladnak a felfedezések már első, görszármazású képviselőjüknél.

A miletosi Thales, aki eredetileg alkalmasint kereskedlehetett és csak igen előrehaladott korában szentelte maga matematikai tanulmányoknak, az igaz tudományhovezető átmenetet inkább még csak sejtette, mintsem mevalósította ; viszont P ythago rasban m indaz, am it mesterétThalestó'l tanult, rögtön úttörő jelentőségű eredményesorozatával olvad össze utazásainak tanulságaival. Újításközül beszéljünk először a legismertebbről, az ú. n. Pythgoras-féle tételről, hisz nélküle tágabb értelemben vematematikát elképzelni sem lehetne. Nem akarunk itt túlsgosan messzire előre nyúlni, de megemlítjük, hogy e tétnélkül alig képzelhető el a geometria bármely ága s a gemetrián alapuló felsőbb mennyiségtan sem fejlődhetett vol

Mindenki ismeri a tételt, tudja, hogy minden derékszögű háromszögben a derékszöggel szemben fekvő old(az átfogó) fölé rajzolt négyze t egyenlő a másik ké t old(a ké t befogó) fölé rajzolt négyzet összegével. A Schopehauer álta l felvetett kérdésre, hogy m iér t áll fenn ez aösszefüggés, éppoly kevéssé lehet válaszolni, mint a töbhasonló kérdésre. Százféleképpen be lehet bizonyítani, hoigaz. H iáb a, a «miért» mégis rejtély m arad. A geom etr

idomok tulajdonságai a lényegükből következnek, az idofogalmából, amelyet magunk alkottunk. Éppen oly értemetlenek ezek a kérdések , m in th a azt kérdeznők : létenek-e «valóságban» derékszögek. Ily módon felfogott «va

2 Ooleras; P ythagoras.



18

ságban», szigorúan véve, nem «léteznek» szögek, m eszögek kiterjedéstelen csúcsa és végtelenül vékony vonanyagi világban nem m atatk ozh atik. A geometria valamenalakzata csak agyunkban létezik; ez szellemvilág, önmagban hordja törvényeit, függetlenül a tapasztalattól, és éppezért tiszta formák birodalmaként bármely «valósághokapcsolva igaz és igaz ma rad . H árom szögre vonatkozó téteegyaránt, száz százalékban, érvényesek, ha a háromszállócsillagokból van, vagy fából, fémből, kó'ból vagy akkenyér tésztábó l készült. E s akkor is, ha vonalakból. De e

csak mellékesen említjük meg.Pythagoras volt tehát az első, aki a tétel érvényességminden háromszögre kimo ndta, m ert az addig Eg yiptom bcsak a 3, 4, 5 oldalarány ra (tehá t 32+ 42= 52, azaz 9+16=25) .In diában pedig csak az 5 ,12 ,13 oldalarán yra (tehát 52+ 1 22== 132, azaz 25+144=169) volt ismeretes. No meg a megfordítására, hisz ebből ind ulta k ki tulajdonképpen Eg yiptoban és Indiában. E két országban, tudjuk, azt mondták, hoderékszög keletkezik, (vagy derékszögű három szöget kapunha az oldalak aránya ez meg ez. Pythagoras viszont amondta, hogy minden derékszögű háromszögben, vagyminden, de minden egyáltalán létező derékszögű háromszöben fennáll a már említett négyzetes összefüggés, a befognégyzetek összegének és az átfogónégyzetnek egyenlőséMiletosi Thales tétele segítségével közös átfogó fölé felrajzhatnék azt a végtelen sok derékszögű háromszöget, amelyben a derékszög csúcsa a kör kerületén van. Bármennyieltérő is e háromszögek alakja, a kör átmérője fölé rajzonégyzet területe mégis mindenkor egyenlő a másik két oldfölé rajzolt négyzetek összegével. S most már azt hisszüa legkételkedőbbek előtt is világos, mennyire eltér ez aáltalános érvényű térvény a magukban véve használható helyes egyiptomi és indiai különleges esetektől. Pythagotétele, noha a valóságos mérést éppen lehetővé teszi, teljesfüggetlen minden konkrét hosszmértéktől. Mérések alapja kiindulópontja, nem pedig következménye vagy eredményAz addig kezdetleges «eszközből» szinte mindenre hasznható gép lett. És most már bízvást feltehetjük a kérdéshogy mekkora vájjon az átfogó, ha a két befogót ismerjük



19

a=5 és b—7. A?a2+ 62 összeg tehát, számokkal 52+ 72==25+49=74. De ez nem négyzetszám, nincs egészszám«négyzetgyöke», mert 82=64, viszont már92= 8 1 . Jelentősnehézség, de ezzel itt még nem akarunk foglalkozni. Pythgoras tehát mindjárt annak a módját is kereste, miként lehkorlátlan számban olyan számhármast találni, amelyekaz az-\-W,=<? összefüggés érvényes és a,b és c mégis egészszám. Páratlan számra ő maga megtalálta a megoldáspáros számra csak századokkal később találta meg nagtanítv án ya , P latón. P ytha go ras m egoldása, mai írásmódd

a következő : haa pára tlan szám, tehát a = 2 n + l , akkor6=2w2+2ra és az átfogó c=2w2+2«+l. Legyen <j=9, vagyiso = 2 . 4 + l , a k k o r 6 = 2 . 42+ 2 . 4 = 4 0 és c = 2 . 42 + 2 . 4 + l = 4 1 .És valóban 92+ 4 02= 4 1a, vagyis 81+1600=1681.1

E P ythagoras-féle képletből könnyen adódik n = l helyetesítéssel az egyiptomi, w=2 helyettesítéssel pedig az indháromszög. Pythagoras valószínűleg tudta, hogy a számhármasokat bármely egész számmal megszorozhatja, anélkhogy ez a számok megoldásjellegén változtatna. Hisz a leegyszerűbb rajzról is kitűnik már, hogy a rajz lényegén hosszegység megkétszerezése, megbáromszorozása, megnészerezése stb. mit sem változtat. így (3.3)2+(3 .4 )2=(3 .5 )2számok megint egészszámú oldalakból álló háromszögadna k ; 8 1+ 1 4 4 = 2 2 5 egyenlőség bizonyítja állításunk hlyességét.

Feltesszük a kérdést: miként oldotta meg Pythagoraazokat a határozatlan egyenleteket, amelyek ezekre az ere

ményekre vezettek? Talán ismert már valamilyen betűszámtant? Vagy tudásához az egyiptomi halomszámításorévén jutot t?A második lehetőség fennáll, az elsőt feltétlenülel kell utasítanunk. De van egy harmadik lehetőség is éezzel bizonyos okok miatt igen alaposan kell foglalkoznunBeszámolnak ugyanis arról, hogy már Pythagoras és tan

1 Érdekessége miat t í r juk már ide Platón képletét , melyben pároszámbó l ind ulu nk ki . Legyen 2m páros szám , akkor a három oldalt a 2«*— 1 és »

s+ l számok adjá k. Tehát2n—8 esetén a másik két szám 15és 17. így 8*+152=17» vagy 64+225=289 .

P ersze a ké t képlet (P ythag orasé és P latoné) eg yü tt sem adja meaz összes ú. n. Pythagoras-féle számhármast.(A ford.)

?•



20

ványai is gyakorolták az «egymáshoz illesztés)) művészetéismeretes volt előttük az egymáshoz illesztés mindháromódja : a parabolikus, a hiperbolikus és az elliptikus. Egáltalán ne gondoljunk itt — hangsúlyozzuk — az általujól ismert parabola, hiperbola vagy ellipszis görbékre. Ezgörbefogalom sokkal később fejlődött ki a pergai Apolloninál és éppen abból, amiről itt szó van. De most még netartunk ott. Az egymáshoz illesztés művészete, amely göföldön sajátosan magas fokra fejlődött, az átalakítás művszetéhez hasonló, ahhoz az ügyesséhez, amely geometr

idomokat más alakú, de ugyanakkora területű idomokalakít át. A matematika történetének újabb kutatói ezt műveletet találóan «geometriai algebrának)) nevezték e1

És ez az algebra csakugyan lehetővé teszi úgynevezett nézetes vagy másképpen vegyes másodfokú egyenletek álcázmegoldását.

Messze túl vezetne könyvünk keretein e módszer részltesebb 'ismertetése, mivel ez, m in t egyenletek megoldásászolgáló módszer, csak a görög matematikában fordul el2

Mégis kötelességünk, hogy legalább egy egyszerű péld(egy parabolikus egymáshoz illesztést) bemutassunk és mmagyarázzunk . A z világos, hogy a szorzást téglalapnak tekhetjük, a és& szorzata az a-szorb és ez a szorzat egya és boldalú téglalap területe. Ebből a szorzás megfordíthatósáis következik (kommutativitás), hisz a téglalap területermészetesen fc.a-val is egyenlő. Ez szemmel látható, egységnégyzetek berajzolása után a sorok leszámolásábrögtön kitűnik. Bonyolultabb feladatok megoldását is mlehet kísérelni. Osszuk ugyanis ketté egy téglalap oldala(helyesebben tekintsük azokat összegeknek), akkor azt talju k , hogy (a-f &)(c+á)=ac+&c-{-aá'+&á'. E lég , ha az oszpontokon keresztül az oldalakkal párhuzamos egyenesekhúzunk és a segédvonalak behúzásával keletkezett négterület mérőszámát leolvassuk. És az általánosa.b szorzatot

1 Elsősorban Z euthe n. (Gesohichte der M ath em atik in*- A ltertumund im M ittelalter.) '

* Valahányszor mégis felbukk an, az arab okn ál, vagy Eu róp ába n, középkorban és az újkor elején, mindenkor csak a görögök utánzásmarad és reminiszcencia jellegű.



21

valóban«ábtéglalaps-nak nevezték Görögországban, ugyanúgy, ahogy aza.a-t, vagyis a2-t ma is«a négyzetének mondjuk.1 Egy szorzat azonban mindenkor újból szám, vagannak tekinthető'. Később ugyan látni fogjuk, hogy Vieés több más újabbkori matematikus helyteleníti, hogy görögök a számokat hol vonalnak, hol pedig területnetekintették. De erről később lesz szó. A görögök számácsak az volt fontos, hogyha sikerült valahogy egyn számotkéta és h tényezőre bontani, akkor azt aza és b oldalú tégla-

1. ábra-

lappal ábrázolhattuk. Tehátn—a.b. Ezt a téglalapot megis rajzolhatjuk. H a mo st ezt azn számot valamelyd számmal(=távolsággal) el akarjuk osztani, akkor, mondjuk, ab oldalt d-vel meghosszabbítjuk és ad-hezegy téglalapot illesztünk)).Úgy ahogy az ábrán látható. Megrajzoljuk a dj távolságot is, végpontjaB, B és E pontokon keresztül az átlótés azt meghosszabbítjuk mindaddig, amíg aza meghosszabbítását metszi. Ezen aG ponton keresztül párhuzamosthúzunk a fe-vel, míg ez azax meg hosszabbítását D-ben metszi.Az így keletkezett új, nagyÁBGDtéglalapot az átló két-

1 Az előbbi kifejezés még Descartestiél ja előfordul, sőt szórványosakésőbb is.



22

egyenlő háromszögre osztja. Ezek mindegyike egy-egy téglapból(ab,ill. dq)és két-két háromszögből (Ax és A2, ül.A i és A2) áll. Mivel Ax és A i , valamint A2 és A2 szemmelláthatóan egyenlő, ezért, azab téglalap is egyenlő az új,«odaillesztett»dq téglalappal. De haab=dq, akkor -r—2>vagyis az osztandón szám á-vel osztva az eredményq.

De ez csak egyike a parabolikus egymáshoz illesztészámos felhasználási módjának. Egyab=cx alakú lineáris

[ fJ +f )^ f3 +. . . . . .+fn .1= n232. ábra .

egyenletet is megoldhatnánk vele. Ügyis fogalmazhatnékfeladatot, hogy azab téglalap négyzetté alakítandó át, sezzel azab=x2 tiszta másodfokú egyenlet megoldására jutnánk stb. Csak annyi bizonyos, hogy a problémák, amelykel Pythagoras és első tanítványai foglalkoztak, egyáltalnem voltak egyszerűek.

Ez a benyomásunk csak erősbödik, ha Pythagoras számtanát, aritmetikáját közelebbről szemügyre vesszük. Ismetes, hogy Pythagoras az egységet, az 1-et nem számnakhanem minden szám ősének tekintette. Abból az alapelvb



23

kiindulva, hogy minden dolognak a lényege a szám, naggfejlesztették a számmisztikát és a kutatások során sokféa számokkal kapcsolatos összefüggésre jöttek rá. De mmielőtt ehhez hozzáfognánk, még egy fogalmat kell tisztnunk, amely a számelméletben is szerepelni fog. Azt az imot, amely minden «egymáshoz illesztéssé])) kapcsolatbszerepet játszott (pl. az 1. ábrán azABDFEG)«gnomon»-nak nevezték. Pythagoras iskolája már az első időkben mkísérelte, hogy az egységnégyzethez, amint a 2. ábrán lható, derékszögű egyenló'szárú gnomokat illesszen. Ezzarr a a feltűnő összefüggésre jö ttek rá , hogy a pára tlan Számösszege, bármeddig folytassuk is az összegezést, mindenknégyzetszámot ad . Tehát l+3=4=22 , l + 3 + 5 = 9 = 32 ,l + 8 + 5 + 7 = 1 6 = 42 s tb ., végül 1 + 3 + 5 + . . .+ (2 .ra—l)=w2,és itt n az egymáshoz illesztett gnomonok számánál1-gyelnagyobb számot jelent.

A természetes számok összegezését, 1 + 2 + 8 + 4 . . . pontokból alkotott háromszögként ábrázolták, ennek az 1 vo

az egyik csúcsa és ezért a természetes számok összegezésorán adódó számokat háromszögszámoknak nevezték. Ilynek voltak pl. 28 vagy 55. Foglalkoztak még az úgynevez«barátságos számpárokkal» is (ilyenek pl. 220 és 284), minegyikük egyenlő a másik valamennyi osztójának összegévmivel

2 2 0 = 1 + 2 + 4 + 7 1 + 1 4 2és

2 8 4 = 1 + 2 + 4 + 5 + 1 0 + 1 1 + 2 0 + 2 2 + 4 4 + 5 5 + 1 1 0 .«Tökéletes számok* viszont azok voltak, amelyek valamenosztójuk összegével egyenlők. Ilyen például

6 = 1 + 2 + 3vagy 2 8 = 1 + 2 + 4 + 7 + 1 4 , .v a g y 4 9 6 = 1 + 2 + 8 + 1 6 + 3 1 + 6 2 + 1 2 4 + 2 4 8 .

De mindez csak példája legyen annak, hogy Pythagora

és tanítványai miként foglalkoztak számelmélettel (aminLeg endre ót a működésüket nev ezhe tnők). De m i volt a céljezekkel a számösszefüggésekkel? Ezt is tudjuk: a számobirodalmának harmóniáját ós ezzel a világmindenség ha



24

móniáját akarták áttekinteni. Hyen irányú vizsgálataikba zenében tapasztalható harmonikus összefüggések csmegerősítették őket, főképpen azok, amelyek egy monoch(egyhúrú hangszer) rezgő húrhosszának meglepő arányaibnyilvánultak. Eöviden, a világmindenség egész számoktör tén ő felfoghatóságában tetszelegtek ós azt hitték , hoa lét végső talányai megfejtésének nyomára jutottak. egyetlen módon, am ely a hellén szellemnek megfelelhiánytalan harmónia, t iszta világosság és áttekinthetősalakjában.

Ekkor tűnt fel, éppen a legfelsőbb, legnagyobb jelentségű felfedezésekből kiindulva, hirtelen egy ördögi hataloamely ezt a szép álmot irgalmatlanul elpusztította ; s akkmég csak nem is sejtették, de nem is sejthették, hogy eznem kívánt, szinte alvilági felfedezés teszi szabaddá az uszédítő matematikai fejlődés felé. Ez volt az irracionáfelfedezése.

A hellének felfogását erről a felfedezésről az Euklidelemeinek tizedik könyvéhez írt egyik régi scholion mutameg, am elye t az újabb időkben a m ár említett^ filozófuProklos Diadochos megjegyzésének tartanak. így szó«Azt mondják, hogy az az ember, aki az irracionális szemlétét rejtekéből a nyilvánosságra hozta, hajótörésnél pusztel. És pedig azért, mert ami kimondhatatlan és aminenincs képe, annak örökké rejtve kellett volna maradniÉppen ezért a szentségtörőt, aki az elevennek ezt a képvéletlenül megérintette és felfedte, nyomban eltemették körül folyjak őt a hullámok*.A kinek e sorokat olvastán ne m fut végig a hideg a há táannak nincsen érzéke a misztikum iránt. Egy szörnyű őfenyegetés hangja süvölt e szavakból, amilyennek csak pféták adtak hangot, ha egész népük eéljait, ideáljait éjövőjét látják végveszélyben. A részvétnek nincs szavaszerencsétlen iránt, az elérzékenyülésnek nincs hangjA legszentebb ellen vé te tt , el kell ném ítani, meg kell semm

síteni, képletesen a «teremtés» helyén, vagyis a semmikell visszaűzni, amelyből jött. Ott folyjak körül örök hulmok, s ta rt sá k fogva örök ké. A z élet ősmélységeit é rin tetahová nem szabad vissza tekinten ünk. M ert előre kell néznü



25

és az élet ajándékát azért kaptuk, hogy a kimondhatatlanés képnélkülitől, az ősi kaotikus mélységekből felemelkejünk a tisztaság, a harmónia, a kozmosz, a szférák zenévilágába. A Tartaros maradéka, az alogon, az irracionámaradjon féltett t i tka a tudás kevés papjának, tartsák titktörhetetlenül, nehogy iszapja, újból előtörve, az emelkednehezen tört útját járhatatlanná tegye.

Talán a leghellénebb minden legendák közt ez a legenda ti to k kifecsegőjér'e m ér t isten i bü nte tésérő l szóló. De a titaránylag hamar, nyilvánosságra jutott és a tudománynaszámolnia kellett vele. De a tudomány sem adta meg magElkeseredett harcot vívott visszavonulás közben. Sőt még sem szűnt meg a harc az irracionális ellen, még a legutóbévtizedekben is vo ltak hősi kísérletek , megkö tésére és rendezésére.

Pythagoras számára először a legváratlanabb helyebukkant fel. Ott, ahol a legnagyobb szabályosságot kellevolna várnunk. Még pedig a derékszögű egyenlőszárú hároszög, vagy am i ugyan az, a négyzet átlója vizsg álatánál. Miit t a ké t befogó eg ya ránt 1 és 1, így az átfogó négyzete mivel1 2 +1 2 =2, és az átfogó, modern írásmód szerintY~%>azaz négyzetgyök 2. S hiába keresün k, — ezt m ár P yth agois tudta — olyan egész vagy tört számot, amely önmagávmegszorozva, 2-t ad na. Ma felírjuk :| /¥"= 1*4142135624. . .és po ntokat írunk a végére. Ezek a pontok jelölik az t, honincs vége a tizedestörtnek és nincs szabály, nincs tisztvagy vegyes szakaszosság, amelylehetővé ten né , hogy akárgondo latban is végére jutha ssu nk . A -j/lí szám , vag y ereménye alogos, ki nem mondható. Ez és a többi ilyen semmnemű szabályba nem fogható szám képnélküli, amint amár az Euklides könyvéhez írt scholion is mondja. Képe lefeljebb az élőnek magának, amely szintén irracionális, tehgúnyt űz minden ratio-ból, minden taglaló, rendszerező érlemből. És mégis i t t fekszik a derékszögű egyenlőszárú hároszög átfogója, a négyzet átlója, simán, zártan, magától érttődőn, mintha mi sem különböztetné meg a többi távolsától . Talán valójában nincs is hossza, nincsenek végpontjaiVégei szakadozottak, vagy rojtosak ? Nem, bizonyosan neSőt azonnaj akadt még yalami, valami sokkal barátságtaj



26

na bb is : válasszuk a négyzet átló ját egységnek, akk or ha táro zo tt távolsá g, hossza egészszám, 1. De mekko rák eka nég yze t oldalai, (a derékszögű egyenló'szárú háromszszárai) ? Ekkor bizonyos, hogy (ismét mai szokások szerírva) l*=x2 + x2, tehát l2= 2 a ;2 ós x2= ~ = - i - - Ebből

x=i / —= —-==.vagy racionális nevezővel írva' " . DeV " 1/2 2

ha j/^2 irracionális, akkor a fele is az. Mi történt itt? Aelőbb racionális befogók le ttek irracioná lisak? Tu dták m indjárt, hogy m i tö rté n t. M agában véve egyik távolssem irracionális. Nem racionális és nem irracionális. Dsem egész, sem pedig valamilyen törtszám segítségével nhasonlíthatók össze, tehát egymáshoz képest irracionálisinkommenzurábilisak, összemérhetetlenek.

De a minden irányba elinduló geometriai kutatás máállomásain is jelentkeztek irracionális tulajdonságok. Cso

latos módon, éppen a legszabályosabb részeken. így külösen az egyenlő oldalú háromszögben, (az oldal és a magasviszonya), a szabályos hatszögben és különösen a szabályötszögben. Az utób bina k első ábrázolója és ku tatója bizonyPythagoras iskolája, sőt talán maga Pythagoras. Ismerethogy az ötágú csillag, amelyet később boszorkánylábnakneveztek, mintegy címere, ismertetőjele volt Pythagorkövetőinek.

De a szabályos sokszögek ismeretéből kényszerű és egben hasznos átmene t ve ze tett a testta nh oz , a sztereometrhoz. A matematikus-jegyzék még általunk nem magyarázhelye szerint Pythagoras a «kozmikus-testekkel» is foglkozott és ez nem jelen t m ás t, m in t a szabályos testek , poliérek felfedezését. A görögök plasztikus látásának távolról svoltak akkora nehézségei, mint amekkorát a történelemkutatás sokszor emleget, ha valószínűtlennek mondja, hoe felfedezés ilyen régi korból származik. Sok ásatásnál tal

tak azóta soklap (test) modelleket, (ma így mondanók), mványból, bronzból. Azonkívül senki sem tagadhatja, hogykocka, a tetraéder és az oktaéder már a régi Egyiptombais ismeretes volt, legalább is ismereteseknek k ellett lenniö



27

Felfedezni való tehát nem maradt, csak az ikozaéder, amlyet húsz szabályos háromszög határol ós a tizenkét ötszötől határolt dodekaéder. Éppen ez utóbbinak a felfedezéállhatott nagyon közel a szabályos ötszög felfedezőihez, sJamblichosnál azt olvashatjuk, hogy egy bizonyos Hippasonak, Pythagoras iskolájából, sikerült először dodekaédegöm bbe írn i. Ezt a felfedezését az iskola minden hagyománellenére nyilvánosságra hozta és istentelensége miatt a tegerbe veszett. Tehát ismét «istenítélet» a «geometria elleelkövetett bűn» miatt. Jambliehos, aki Krisztus születésu tá n ólt és ír t, hozzáfűzi, hogy H ipp aso s, közlésével, a felfezés dicsőségét megszerezte ugyan, de a dicsőség tulajdonképpen azé, akinek még a nevét sem merik kiejteni, vagymagáé a nagy Pythagorasé. E nyilatkozatból számunkraz következik, hogy a régiek a dodekaéder srömbbe írásugyan Hippasosnak, de felfedezését mégis Pythagorasnatulajdo nították. _ .

De fűzzünk még egy szót a szabályos tes tek «kozmikusjelzőjéhez. Ez a név valószínűleg P yth ag ora s koránál későbidőből származó, a világot atomisztikusan felépítő elképzléssel függ össze. Az elemek e szerin t legkisebb részecskékbállnak, a tűz tetraéderekből, a levegő oktaéderekből, a víikozaéderekből és végül a föld, m in t elem, hexaederékbőkockákból. De mivel ebben a magyarázatban a dodekaédnem kapott helyet, azt mondták, hogy utóbbi a mindensének mintegy tervrajza, körvonala.

H a ez utóbbi kozmologikus világképe t kissé naivnak é

egyben mesterkéltnek tartjuk is, nem szabad elfelejtenünkhogy legújabb elképzelésünk az anyag szerkezetéről egyáltlán nincs olyan ég és fpld távo lságban e ttő l az első, bá torta latudományos világmagyarázat-kísérlettől. Elemeink különféleségét m i is, legkisebb részeik, atomjaik különféleségévmagyarázzuk. Nieís B ohr «atom-modelljében», de méginkáSchrödinger és H eisenberg elméletében bizonyos geom etriképet adunk atom jainknak. De ez á képünk nem statikuós alakhoz-kötött, mint a régi helléneké, hanem kvantitatí(az elektronok száma) és dinamikus (elektronpályák).

Most immár nagyjából láttuk a legfontosabb részét-annakam it P ythagoras és tanítvány ai alkottak. Több az, m int am



28

egy futó p illantás észrevenne, és több min t am it a későbbgon doltak , azok, akik oly sokra viszik, ha az alap egyszkifogástalan. De ez t a szilárd alapo t nem csak abban látjuhogy a m atem atika felemelkedett d eduk tív, teh át az általánból az egyes esetre következtető tudománnyá. És itt ismközömbös, hogy az általános tétel felfedezése induktiv úttörtént-e. Mert a matematika számára nem a kísérlet t i lohenem a kísérletnél való megállás. Tehát nemcsak az áltanosítás a Pythagoras-iskola érdeme. Eószletekben is elmúltatl an alapokat ra kt ak le ós ezzel bebizo ny ították , hogy reszerük nem csak terv, programm, hanem maga a ((felfedeművószete» ós ez vitte őket fokról-fokra feljebb. Igaz, Pytgoras tétele a következő évezredekben m agáb an is ugródesle tt, éspons asinorum,szamarak hídja. De belőle nőtt ki azonnal ez a barátságtalan új számfajta, az irracionális. És maaz a körülmény, hogy Pythagoras iskolája, noha eleinte csmisztikus-kultikus formában, számelmélettel kezdett foglkozni, döntő jelentőségű a matematika felemelkedése szepontjából. Mert éppen ez a kutatás alapozta meg a sorokkés sorozatokkal való foglalkozás lehetőségét. És m eglepő östalálkozása a dolgoknak az a körülmény, hogy ezek a sorvoltak hivatottak később arra, hogy hídként szolgáljanaa racionális par tról az irracionálisnak még meg nem hó dítokimondhatatlan, képnélküli partjára.



MÁSODIK FEJEZET.

E u k l i d e s .Matematika és filozófia.

Vitruvius meséli az építészetről szóló mű vének bevezeté

ben a következő'jellemző an e k d o tá t: «A ristippus philosopSocraticus, naufragio cum eieetus ad B hodieiisium littis am advertisset 'geometrica schem ata d escripta, exclamaviad comites ita dicitur : Bene speremus, hominum enim vtigia video.» Fo rdítsuk le ezt a részt szabad on, bogy tá rgy uszempontjából igen tanulságos szimbólum-tartalma világsan kiemelkedjék. Tebá t A ristip pu s, Sokrates* köve tője vatanítványa, hajótörés után Bhodos szigetének partjára vedött. Itt homokba rajzolt geometriai ábrákat vett észre állítólag ekkor, társaihoz fordulva, örömmel kiáltott f«Beménykedhetünk, ember kezenyomát látom!»

Fűzzük hozzá, igaz ember kezenyomát. A hellén számányilvánvaló volt : nem barbár lakott i t t . Bössz embernnincsenek «schemata geometrica», geometriai ábrái. A kulember képe ragyogott a geometriai ismeretből feléje és keznyoma a geometriai rajz volt.

Ez az eset állítólag Platón idejében történt, vagyis min

egy 400 évvel Krisztus születése előtt. Tehát varázsszőnygünkkel nem téren, hanem időn kell keresztül sietnünk, homegláthassuk mindannak a lényegét, ami Pythagorastkiindulva, a görög csoda fénylő csúcsára vezetett. Ezt erjedő, előretörő, átmeneti időt a matematikába betörő fizófiával jellemezzük, noha nem hiányzik belőle sem a mam atik a önálló fejődése, sem pedig az önálló m atem atik ai tesítm ény. De a sok eredmény m ellett sem ér te volna el a végmagasságot, ha a hellén szellem más része riem csatlakozhozzá részben megtermékenyítő, részben pedig bomlaszhatásával.



30

Nagy-Görögország ugyanazon dé lítáliai részén, ahol P y tgoras iskolájának több maradványa mélyenjáró, titok fálába burkolt kutatásait folytatja, egy filozófiai iskola is kekezik,az eleai filozófusok iskolája, amely alapítója, Parmendes,a nagy filozófus után Zenonban végül a karrikatúra fehajló képviselőt talál. Az utóbbi nem volt matematikus, smiként Cantor mondja, inkább a matematikus ellentéte, szkepszisével, semmilyen paradoxontól vissza nem riakételkedésével olyan vitát indít meg, amely napjainkig húdik el, a nélkül, hogy bárm ikor nyu gvó pon tra tud na ju t

ö nyúlt először az emberi szellemben rejlő nagy ellentétehez, a határtalan oszthatóság és folytonosság, valamintnyugalom és mozgás antinómiájához. De még mielőtt Zenról beszélnénk, vissza kell nyúlnunk : már a miletosi Anamandrosról azt állítják, hogy ő vezette be a végtelen fogalma tudományba. Pythagoras és a pythagoreusok a számsozatok vizsgálatával és az irracionális felfedezésével mély pillantást nyújtottak a végtelen, a soha be nem fejezhető feAz alogon^t, a kimondhatatlant, igaz, háttérbe szorítottelutasították. Kijelentették, hogy igaz, minden számnak mfelel valamilyen na gyság v agy táv olság , de nem m inden naságnak vagy távolságnak egy szám. De mit ért az ősi alaproblémának ilyen mellőzése? Az irracionális már utat tmagának, már létezett, akár elismerték a hellén gondolkodteljesjogú kategóriájának, akár nem.

Még Zenon előtt élt egy, a geometriát jól ismerő filozófuA naxagoras, aki a folytonosság elvének a legélesebb fogal

zását ad ta . A naxagoras k ije le n ti: «A kicsinyek közt ninlegkisebb, mert mindig van, ami még kisebb.. . de a nagyközt is van még valami, ami mindenkor még nagyobb.* alig húsz évvel Anaxagoras születése után ismét egy úttöszületett , Dem okritos, A bderába n, az ókor kétes, Rátót-hvárosában, amelyről a legbolondosabb és legostobább meséhíresztelték Az «abderita» Dem okritos mégis elsőrangú csilként vonul be a világtörténelembe. Mondhatnók, ő volt materializmus első felfedezője és ugyancsak ő adott az atofogalomnak, mint a végső, oszthatatlan legkisebb résznelső és egyben maradandó értelmezést. Demokritos nagjelentőségű matematikus is volt, — mint annyian máso



81

Egyiptomban is járt — és matematikai téren tőle származegy felfedezés, — furcsa szeszélye a tudom án y tö rtén eténe kamely homlokegyenest ellentmond atomisztikus filozófiának,ö határozta meg ugyanis a gúla és a kúp köbtartalmáazáltal, hogy e teste ke t igen vékony szeletekre vá gta és enalapján kijelentette, hogy köbtartalmuk egyenlő a velüegyenlő alapterületű és magasságú hasáb, illetőleg hengköbtartalmának harmadával. Ez a magában véve feltétlenhelytálló kijelentés — éppen ezt akartuk fentebb mondaniatomisztikus alapon lehetetlen. Mert nem elegendők ehh

vékony lemezek, han em legvékonyabb, és még anná l is vényabb metszetek, különben nem kapunk sima gúlát, hanegy lépcsőzöttet, nem kap unk sima kúp ot, han em szintén lcsőzö ttet, amelyet a sima testekhez — akár gú la, aká r kú pnem hasonlíthatunk. De bármi is a helyzet Demokritos ffedezése körül, vagy azé az Ánaxagorasé körül, aki politifogolyként Athén fogházában állítólag elsőnek szerkesztáb rá t a kör területének mérésére, bizonyos, ho gy a filozófuvitája a matematika legmélyebb kérdései körül fellángoS m ost kell előhívnunk az eleata Zenon t, hogy nekünk a m amu latságos m ódján bem utassa minden m élyreható m atmatikai igyekezet meddőségét. Zenon ellensége volt a pithgoreusoknak. Nem tudjuk, hogy miért. De tegyük fel, honem személyes, hanem csupán tárgyi szempontok vezettéDe minthogy ellenségük volt, azt kellett először megbontanamit ezek legszentebbnek tartottak, a számfogalmat. Étámadását igen jól megalapozta. Egyszerűen minden sokas

létezésének lehetőségét tagadta. Minden sokaság, így kövke zte t, egységekből épül fel. Egy ség azonban, — m ár m iolyan, amely ezt a nevet csakugyan m egérdem li,— csak akklétezhet, ha oszthatatlan. De ami oszthatatlan, annak ninkiterjedése, hisz különben osztható. De ha így az egységnnincs kiterjedése, akkor az valójában a semmi. De a semmsokszorozhatjuk, ahányszor csak akarjuk, mégis mindig cssemm ire ju tun k. íg y tehá t nem létezik sokaság. De ugyaní.azt is állíth atn ék , hog y az egység végtelen na gy . Mert ha a svagy sokaság valóban létezik, akkor részeinek távol kell egm ástó l feküdniük. Eészei közé akkor újabb részeket iktaha tunk , és ezeknek is van k iterjedésük, és így a végtelenség



82

Bármeddig folytatjuk is ezt az eljárást, mindenkor csak újrészekre bukkanunk, újabb egységekre, amelyeknek van terjedésük, tehát végtelen sok részből állnak, de ezeknekvan kiterjedésük, s így toy áb b . Tehát m inden egység végtenagy, mivel végtelen sok, magában is kiterjedt részből áDe az a kétségbeejtő tényállás még nem elegendő, hogy niegység és nincs sokaság, tehát nincsenek nagyságok és ncsenek számok sem, és hogy mind az egységek, mind a soságok magukban is végtelen nagyok, de még mozgás selétezik. Mielőtt egy kilőtt nyíl céljához ér, útjának felét kelőször megtennie, e fél ú tn ak ismét felét és így tov áb b . Lehogy m inden ilyen félút az egész ú tn ak -r>-pr> -r—> -——> s tb .részéből tevődik össze, s ekkor végtelen sok, mindinkákisebbedő, de mégis létező útdarab összege. Ekkor azonba nyílnak már a legkisebb tekintetbe jövő út megtételérevégtelen időre van szüksége, vagy is o tt m arad az íjra feszíhúron. De lehet, hogy az útrészek tovább nem osztható

vagyis semmik. De semmiknek még oly nagyarányú összezéséből sem származhat valami. Ez esetben is ott maradnyíl a húron. Hasonló okokból nem érheti utol soha a gyolábú A chilles a tekn ősb éká t, ha ann ak m ár valam i előnye vMert amíg Achilles végigfutja a béka előnyét, addig az újelőnyhöz jut, és így tovább, az idők végtelenségéig, de eAchilles éppen olyan kevéssé éri meg, mint a teknősbéka.

De Zenon, az eleata sokkal világosabb értelmű volt, semhogy arra az ellenvetésre, hogy a nyíl valójában mégis elszés Achilles csak utoléri néhány szempillantás alatt a teknbékát, ne ezzel a jóval későbbi mondással feleljen : «Ez ma tények baja». Inkább rikító színnel akart azokra a «ténleg» fellépő nehézségekre rávilágítani, amelyek egy kezdegy végső egység, egy oszthatatlan rész feltételezésének ellszegülnek. És ezen mit sem változtat az a körülmény, hogykyrenei Theodoros időközben bebizonyította, hogy mindnem négyzetszámból vont négyzetgyök irracionális.

De már Anaxagorasról szólva utaltunk arra, hogy ez nagy filozófus a kör négyszögesítésével is foglalkozott. Vájez magában álló, kiragadott probléma volt, vagy pedig állános jelentőségű kérdés? Csupán az időrendet nézve, már



83

kellene a hellének h árom nagy problémájáról beszélnünka kör négyszögesítéséről, a kocka kétszerezéséről és a szharmado lásáról. De halasztást kérünk tárgy alásuk ra.A következő fejezetben fogjuk ism er te tn i. Ebb en a fejezetben mproblémákra kell szorítkoznunk, különben Buklides külöleges helyzete nem ju tn a kellőképpen kifejezésre.

Csupán annyit jegyezzünk meg, hogy már ebben az idben is keletkezett sok minden, ami egy Archimedesnek, eApolloniosnak tetteit előkészíti. Euklides érdemei szempojából az a legfontosabb, hogy belátták : nem elegendő mamatikai feltaláló szellem és plasztikus látás a matematikfellendítésére. P edig ez volt az eszményük a legem elkede ttszellemeknek. A matematika, hogy teljes, igazi tudománnlegyen, egy időre a filozófia ellenőrzése alá került. Az erilyen eltolódását elsősorban Zenon okozta, mértéktelen, nagyon találó támadásokat intézve a matematika hihetelenül törékeny és könnyen sebezhető alapjai ellen.

De még mielőtt tovább mennénk, egy közbevetett, rövide nagyon fontos megjegyzést. H allottuk, hogy a régi gö

. gök, és elsősorban a pythagoreusok, számelméletüket aritmtiká nak nevezték és ezt az elnevezést m inda rra kiterjeste tté k , ami abban az időben algebra-jellegű volt. A számolkonkrét számokkal, ami az egyiptomiak és babyloniak (valamennyi nem görög nép) matematikai főfoglalkozása vohellén földön nem ismerték el tudománynak. Ennek számvizsgálás volt a neve, nagyrabecsült ügyességük volt a szávevőknek, de nem volt tudomány. Ez a lebecsülés, amelyn

okát kell adnunk, sokkal súlyosabb bosszút állt a hellématematikán, mint a gyakorlati , mérő geometriának, a gedéziának elválasztása a szellemi világban egyedül rangélvező, szigorú, tudományos geometriától. A geometria sam ely föld-«mérést», -«kimérést» je lent , he lyte len és anachnizmus. Thales ós a pythagoreusok bízvást alkalmazhattminden mellékgondolat nélkül, az egyiptomi szokásokhés módszerekhez kapcsolódva a görög m atem atik ára , pedlegfeljebb idom-, alak-, vag y arány la ttan lehe tett volna a nehogy nevével is kifejezze azt, amit akart, illetve nem akaTávol áll tőlünk, hogy magunkat nevetségessé tegyüés egy tudomány megalkotóit egy elnevezés helytelen me

8 Colerua: Pytbagoras.



34

választása miatt bírálgassuk. Csak utalunk rá, hogy tévedseknek útját álljuk. Jobban érdekel minket az a körülménhogy a görög matematika, két főágában, a számok és száértékek tanában (tehát az aritmetikában és az algebrábavalam int a móretek és viszonyaik tan áb an , (tehát a gemetriában) nem tűrt meg gyakorlati vonást, vagy éleseben fogalmazva, nem tűrte, hogy bármelyiket is gyakorlvonás éktelenítse el. Csak a gondolat világában szabamatematikával foglalkozni, csak oda való, a tapasztalvilágából száműzték, amennyiben tudomány névre ta

igényt. Ezáltal volt biztosítható legmagasabb fokú általánervónyűsége, általánosít óképessége ás esztétikus-harm oniegysége és ez az igazolása egy ilyen fokú puritanizm usnamely éppen az olyan é letrevaló népnél feltűnő', m int amila görög volt. De éppen ezáltal mellőzött nem egy olyproblémát, amelyet csupán a gyakorlat vethetett volna fés így fosztotta meg önmagát bizonyos rugalmasságtól átfogóképességtől. Ez a klasszikus formák öncélú tisztasának problémája ; amivel itt találkozunk, az alaknak és tartalom nak a problémája, am elyet a most ism erte tett ekészületi kor végén A ristoteles fejt ki a maga teljes nagságában. És ehhez járul még egy további, mély és talánypro blém a: az egyes ku ltú rt ényezó'k együttműködésénkérdése. Mert amíg Egyiptomban a matematika csupásegédeszköze volt építészeti és közigazgatási téren egy ftétlenül nagykultúrájú közösségnek, és amíg Babylonbaés ennek elődeinél is ink ább csak tám ogatta az életet és

misztikát, addig a görögöknél megalapította saját világA matematika hellén földön önállósult, elkezdte a vezeemberek egész gondolkodását átalakítani, felsőbbrendtudománnyá)) lett, mint a filozófia, amely szükségképpmindenkor «felsőbbrendű tudományt). S a matematika századokban ismételten összeütközésbe jut vetélytársáva filozófiával. H allatlan szellemi kínok köz t születik meg«euklidesi ember». így nevezi Oswald Spengler azt az embtípust;, amely olyan nagyra becsüli a formát, hogy szineltiltja a gyakorlatban majdnem leginkább használhattudomány gyakorlati alkalmazását, de ezzel viszont az észázadok során olyan m agasságra fejleszti, am ilyen t azó



35

is csak a XIX. század végén ért el. Tévedhetetlenül halanak ezen az úton , semm i sem tú l jelen ték telen , és sem mi stúlságosan nehéz, ha a célhoz ve ze t. És H ellasnak e po litiklag igen mozgalmas és viharos századaiban, amelyekbenperzsák rohama páncélos és kardot forgató művészek, fizófusok és matematikusok seregén törik meg, amelyekba testvérharc a peloponnesosi háborúban legvéresebb orgiüli, s amelyekben Platón pártütő' tanítványa, Aristoteleez az óriásszellem, Makedónia lenézett hegyvidékeiről vafélvad királyt tanít, aki azután Nagy Sándor néven szé

zúzza kelet és dél, A ethiopia ha tá rá ig terjedő', korhad t ku ltországait, — ezekben a viharos, de igazán nagy időkbfejezi be a filozófia a ráb ízo tt m ate m atik a m eg tisz tításáP heid ias és P raxiteles szobrászati és A ischylos, Sophokés Euripides drámai remekműveivel egyidőben.

Platón akadémiájának állítólag az volt a feladata, hoggeometriához nem értők ne lépjenek be. És Aristoteles lícmában a geometria elemeinek ismeretét természetesnetek inte tték . Sőt tová bb : ma ga P latón állíto tta fel azt köve telést, hogy csak akkor tek inthe tő geom etriai szekesztés kanonikusnak , ha körző és vonalzó segítségével véghajtható. Ma már tudjuk, ez azt jelenti, hogy a feladaaritmetikai megfelelője legfeljebb négyzetes, vagyis vegymásodfokú egyenletre vezethet. De Platón nem elégedmeg ennyivel. Tanult a pythagoreusoktól, tanult iskoltársaitól, így Theaitetostól és kortársaitól, így EudoxostKözülük az előbbi fejtette ki az irracionalitás elméletteljes általánosságában.

1

így tehát az akadémia kapujáraírt követelést egyáltalán nem tekintette szóvirágnak vaszellemes megjegyzésnek. Annál kevésbbé, mert a matmatika történetében először ő hozta a kutatás előtérbe úgynevezett «analitikus módszert», amelynek lényege, hoa megoldottnak tekintett geometriai problémából visszafekövetkeztetve az idomok tulajdonságait a maguk általánoságában kutatja. És ha a szabályos soklapokat, szabálytesteket platóni testeknek nevezik is, ez mégis inkább testek természetfilozófiai értékelésével és alaposabb vizgálatukkal függ össze, mint felfedezésükkél.

1 Eudoxosról a következő fejezetben lesz részletesen szó.



86

Mint már említettük, P latón után akinek a matemat

filozófiai ós kritikai irányú művelésére buzdító szavai tványai lelkében termékeny talajra hulltak, Stagira nafia, A ristoteles lépett a porondra és az emberi gondkodás csúcspontját jelentő' művet alkotott. Szerkezetématematikától leste el, de vissza is adta neki, vezérfonálkés kutatásra vonatkozó útmutatásként.A logika tudományának megalapozására gondolunk ezzel, a platóni dialógusban, amelyeket ma is teljesen eleveneknek, korszerűknérzünk. A ristoteles, akinek szelleme, P latonétól eltérnem annyira a szintétikus-deduktív, mint inkább az indugondolkodás felé hajlott, kutató ós gyújtó' volt egyszeÉppen ezért buzdított mindenféle kompilációk készítésA matematika területén is. így történt, hogy tanítvánEudemos megírta a matematikának azt az érdekes történeamelynek Proklos révén fennmaradt töredékei «a matmatikusok jegyzéke* néven felbecsülhetetlen értékűek.

Nagy Sándor világhódító hadjáratainak viharai elült

Nagy Sándor bevégezte üstökösszerű pályafutását. A győzött kelet kiszívta erejét és korai végét okozta. Ésdiadochusok felosztották maguk között a világot, az örséget. A keletkező' világ ismét jóllakott nyugalomban heés közepén uralkodik, Alexandriában, Ptolemaios Soterelső görög származású egyiptomi király. A legmagasaműveltség központja még mindig Athén, még nemes vsengésben virágzik Platón akadémiája és Aristoteles ppatetikus iskolája. Nagy-Görögország is csak veszélybforog, de még nem szorongatják. De már a szellem súpontja mégis Alexandria felé tolódik. Ott II. PtolemaPhiladelphos uralkodása alatt a szellemnek nagy csarnoépülnek, ott keletkezik a Museion, kutatóintézet, könyvés alapítvány egyidőben. A Museion tudósai mentesminden személyes gondtól, a kelet és Egyiptom mindtudása akadálytalanul és hiánytalanul ömlik feléjük. Écsarnokokban ezer és ezer papirusztekercs, amelyekre

másolók szorgos kezei mindazt feljegyezték, amit a tumány addigi fejlődésében világszerte elért.E csarnokokon keresztül lépdel Krisztus születése el

mintegy 300 évvel egy csendes ember. Honnan jött, n



37

tudjuk. Azt sem tudjuk, hogy mikor született és mikhalt meg. Életében csak egyszer mondott valamit, és udvaroncoknak ettől is égnek meredt minden hajuk száAmidőn ugyanis Ptolemaios Philadelphos király megkdezte tőle, nincs-e egyszerűbb és könnyebb útja a mamatika megtanulásának, mint az ő «elemei», büszkén vszolt : «Királyok számára sincs külön út a matematikábaP tolemaios Philadelphos nem haragudott meg. Valószíleg nevetett. Nem jóindulatból. Mert az első Ptolemaiokitűntek ugyan gátlásmentes élvezethajhászásukkal, rokgyilkosságaikkal és hasonlókkal, de tékozló mecénás vtukkal is. H atalmukat a jelen és az örökkévalóság előtt earánt meg akarták alapozni és ehhez nem az Egyiptoörökkévalósághoz szokott földjén ősidőktől szokásos pimisokat használták, hanem a kevésbbé költséges művésket, filozófusokat és matematikusokat. Euklides-szel e szdékuk remekül sikerült. A már említett «Elemek» a bibután a legnagyobb példányszámban sokszorosított művenyugati kultúrkörnek és óvatos becslés szerint csak nyotatásbantöbb,mint1500 kiadást ért meg, amelyek közt nemegy szédítőn nagy példányszámmal tűnik ki.

Könyvekről beszélünk. E vonatkozásban is nagy a vátozás a görög matematika kezdete óta. Thales vagy Pytgoras semminemű írott művet sem hagyott maga utáviszont most, néhány évszázaddal később, hemzsegnek ilyen feljegyzések. Sőt, a geometria «Elemei»-nek egész slétezett már Euklides előtt is. De egyetlen ilyen gyűjtemésem maradt ránk. Ez csupán történelmi véletlen? VájjEuklides csupán egy volt a sok közül, akinek a szerencvéletlen megadta írásainak, puszta fennmaradása által örökkévalóságot? Semmi esetre sem! Ismét, mint már P ytgoras esetében is, egy Pallas Athéné ugrott ki teljes fegverzettel Zeus fejéből. Az «Elemek» annyira újak, teljesvéglegesek és megtámadhatatlanok voltak, hogy — amma mondanók — rögtön megjelenésük után a legnagyofeltűnést keltették. Ezért sokszorosították őket az átlagmeghaladó számban, ezért lettek a tanulmányok alapjáva művelt emberek közkincsévé, úgyannyira, hogy akksem tűntek el a szellemi életből, amikor a föld remegett



88

új népek vették át a klasszikus ókor örökségét. Euklid

elemei jelen tették az örökség legnagyobb ak tívu m át.Ed dig csak külsőségekről szám oltunk b e : Euk lideéletrajzát mondtuk el, amely csupán egy anekdotából egy bizonytalan évszámból áll. S beszámoltunk egy könysikerről, amelynek indokoltságát állítottuk ugyan, de amlyet egyáltalán nem kell csupán szavunknak hitelt advmegokoltnak tekinteni. Ezért itt az ideje, hogy a dololényegére térjünk.

Jól megfontolt szándékosság vezetett, amikor a göröfilozófusok vitá ját en ny ire előtérbe ho ztuk. A szelleheves vérm érsékletű, elkeseredett lovagjai álta l felderítés megtisztított, de megint zivataros, görög eredetű kultatmoszféra az alexandriai időszak elején m ás t követelt legbiztosabb tudománytól*, mint alkalmilag meglepő kdéseket és éppen annyira elképesztő megfejtéseket. De {(matematika szégyenének* megszüntetését is követelte, szen egyáltalán nem emelkedett attól a matematika teki

télye, hogy még a komédiaírók is a Zenon-féle paradoxonhoz hasonló támadások kal m ul atta t ták a tömeg eket. Kvetelte annál inkább, mivel a matematika nemzeti eszmévolt, a magasabbrendű kultúra, a civilizáció, az embersbizonyítéka. H ogy an lehet ezzel a ha talm as feladattal mbirkózni? E rr e csupán az A ristoteles logikája álta l kijelút állt ny itv a. És ez : való di tudom án y felépítése legszigrúbb rendszerességgel. Tehát nem eredetieskedő gyűjtővagy tudósok által, akik a matematikával mint külsőségszerint csoportosított kuriózumgyüjteménnyel bánnánaNem, az első, legmélyebb gyökerekből kell mindennek nőnie, az alapkövektől felépülnie a bölcseségkedvelő szemláttára, lépésről-lépésre, és az egyik igazságnak szüksészerűen kell a másikból következnie. Majd lesz még későidő a H a to n által m egk ívánt analízisre. Elsőbb m ég, dduktív úton, a matematikai tudás lépcsőzetes összesítésészintézisére van szükség.

Euklides ezt az addig megoldhatatlannak látszó óriáfeladatot oly módon oldotta meg, hogy építménye évszázdokon keresztül ellenállt minden bírálatnak, ha azok necsupán rossz hangulat eredményei voltak, mint Schopenha



39

ellenvetései, vagy pedig nem voltak eleve a matematikcélkitűzéseire vonatkozóan tévedésben. És Euklides olmódon oldotta meg feladatát, hogy csak a tizenkilencedszázad utolsó évtizedének fejló'dése tudta elérni és általánsítan i m űv ét, de ezzel az általánosítással is inkább igazo ltmint támadta. Eöviden, Buklides elemei fölé mottókéníihatnók egy könyv címét, azt, amelyet páter Saccheri, nem-euklidesi geom etria egyik előfutárja ad ott, kissé mértelemben könyvének: «Euclides ab omni naevo vindicatus». M ag ya ru l: «A minden szepló'től m eg tisz títo

Euklides.*De csak mellékesen említsük meg, hogy Euklides volaz alapítója és elsó' igazgató ja az alexandria i nagy matematikus-iskolának ; hogy még más nagyszabású m űv et írt (Porisma, Data), könyvet írt a kúpszeletekről is és métö bb m á s t ; és személyes felfedezései alapján is megilleó't a nagyon nagy matematikus rangja. Még a látszatát ikerülni akarjuk annak, hogy ő csupán gyűjtő és rendszerelett volna, noha ez a teljesítménye is halhatatlanná tennhisz a matematika egészének alapjaira vonatkozik.Most azonban, hogy kissé elevenebb bep illantás t nyerjünlapozzuk futólag végig Euklides «Elemeit». Görögül «Stoichea címük, és tizenhárom könyvre oszlanak. Élükön áll a hírEuklides-féle «axiomarendszer», az úgynevezett magyaráztok, követelmények és alapelvek összessége. E csoportokdefinícióknak, posztulátum oknak és axióm áknak is neveziós sokat vitatkoznak azon, hogy miben különböznek egy

mástól. Az axiómák vagy alapelvek bizonyára általánovagy általánosan elfogadott vagy minden ember számárközös ismeretek, amelyek nem szorulnak bizonyításra, dnem is bizon yíthatók . M inden, még oly bonyolult b izonyítának is ez axiómákra kell vezetnie, mint végső okokra. Hoaz egész nagyobb minden részénél (9. axióma) vagy, hogkét egyenes soha sem határolhat teret (felületet), szükségképpen éppen annyira alapja minden matematikai és geometriai fejtegetésnek, mint az a követelmény (2. posztulátum),hogy egy véges egyenes folytonosan meghosszabbítható,vagy pedig, hogy bármely középpontból, bármekkorasugárral rajzolható kör (3. posztulátum). Az egész geo



40

metria éppen így definíciószerűen feltételezi, hogy a ponak nincs része (1. definíció), a vonalnak csak hossza v ade szélessége nincs (2. definíció), vagy, hogy m inden szderékszög, amelynek mellékszöge egyben tükörképe is (definíció).

Ebbó'l a 35 definícióból, 3 posztulátumból és 12 axiómból1 építi fel, mint már említettük, Eúklides az egész matmatikát, bár a tárgyalás további folyamán még nagyszámdefiníciót fűz az eddigiekhez, de újabb axiómát vagy potulátumot nem.

A z első" kön yvben három szögekről, párhuzam os vonalról és parallelogrammákról van szó és Pythagoras tételéneuklidesi bizonyításával végzó'dik. Itt még azt akarjuk mjegyezni, hogy a még ma is használatos bizonyítási módamely állításból, bizonyításból ós záróformulából áll, (querat demonstrandum=amit bizonyítanunk kellett), Eúklidalkalm azta először következetesen. Szerkesztéseknél a m onígy h an g zi k : «A .mit szerkesz tenünk kellett*. A m ásodkönyv gyakran alkalmazza a «Magister Matheseos»-t (ínevezték később Pythagoras tételét) és mivel nagyszámátalakítási feladatot tartalmaz, tulajdonképpen geometralgebra, olyan, amilyent már Pythagorasnál megismertüA továbbiak plan imetriával foglalkozó könyvek, a harm aés a negyedik a k ör tan t tarta lm azz a, a hú r- és érintősoszögek tanát, ós végül az ötödik könyvvel, amely az arnyosság tanát ismerteti és a hatodikkal, amely az idomohasonlóságával foglalkozik, zárul az első rész. Külön kemelendő az addig ismert tételek Eúklides által történnagyfokú általánosítása. Eészletekbe nem bocsátkozhatunde nem mellőzheztjük, hogy a hatodik könyv 31. tételéne utaljunk. Ez teljes általánosságban mondja ki azt a tétehogy egy derékszögű háromszög befogóira rajzolt hasonidomok területének összege egyenlő az átfogóra rajzolt, előbbiekhez hasonló idom terüle tével. Ez a teljesen általá nEúklides által kétféleképpen is bebizonyított tétel Pyth

1 Legújabb számolási mód szerint 23 definíció, 5 posztulátum é8 axióm a va n, de a beosztás i lyen m ódosítása nem válto ztat a dolglényegén.



41

goras tótelének jelentős általánosítása. Ezzel az is bebinyult, hogy a befogók fölé rajzolt két holdacska1 területénekösszege egyenlő az átfogó fölé rajzolt holdacska területéHa, Euklidesnél a planimetriai ismeretek ilyen kiszéledését megcsodáljuk, akkor a következő 7—10. könyv binyosan még nagyobb bámulatba ejt. Az, ami itt szemüláttára felépül, nem kevesebb, mint egy széleskörű száelmélet, kezdve a törzsszámok és összetett számok mekülönböztetésén, a közös mérték és közös többszörös fogmán keresztül, annak bizonyításán keresztül, hogy végte

sok törzsszám létezik, egészen az irracionális és inkommzurábilis fogalmáig. Egy újabbkori kutató, Nesselmaszerint az «Elemek»-ben lefektetett, magasabbrendű irracnálisokon tizennyolc évszázad alatt sem tudtunk túljut

Ez érthető is, hiszen Euklides a 1 /öVh^b (lA a± j/l>)típusú kifejezéseken különféle átalakításokat hajtott véglényegében algebrai írásmód nélkül, tehát javarészt ge

metriai úton. Nesselmannak ez a kijelentése találó cáfolegy széles körben elterjedt tévhitnek, amely szerint rémúlt idők nagy szellemei naivak voltak, csak azért, mnéhány évezreddel korábban éltek, vagy mert talán egészmást akartak, mint amit mi mai emberek akarunk.

Miután Euklides a számelmélettel végzett, a11—13.könyvben a térbeli geometriára tér át és azt is szintetikmódon építi fel. Ezt nem tárgyalja olyan kimerítőn, mia síkgeometriát, ós ez a körülmény mind a mai napig érezhatását az oktatásban. De a sztereometriában is csodálatoaz eredményei; görbevonalú felületeknél, pl. a gömbnmár a végtelennel való számolás (infinitézimál-számítmódszereit használja az úgynevezett exhausztiós eljáralakjában. De erről a következő fejezetben akarunk csbeszélni. H ogy az ókor néhány kompilátora szerint euklidesi könyvek végső célja és betetőzése a kozmikus tes(szabályos poliéderek) vizsgálata lett volna, azt csak mel

1 V. ö.szerzőAz egyszeregytől az integráligc. könyvének 4 3. áb rájával,a 229. oldalon, afcola chiosi H ippo krate s egyik holdacska-szerkesztéselátható.



42

kesén említsük. Csak annyi bizonyos, hogy Euklidesnél mkényszerítő erejű bizonyítéka merü l fel annak, hogy csöt szabályos test létezhetik, (a tizenharmadik könyv 1tételéhez fűzött jegyzetben) és ezt nagyon elegáns módmutatja be. Eégi jó ismerősünk, Proklos, más helyen sokvilágosabban ír. Abból, hogy Euklides állítólag Platófilozófiájának híve volt, arra következtet, hogy a platószabályos testek ismerete volt az «Elemek» végcélja : «Emeknek» nevezzük mindazokat a dolgokat, amelyek «elmélhozzájárul más dolgok megértéséhez, ós amelyek segítségvel e más dolgok nehézségeinek megoldása sikerülhetEöviden: az Elemek teszik lehetővé, hogy a matematikmás részein úrrá legyünk. Az Elemek tehát nem királyszámára készült utat jelentenek, hanem inkább az egyetlszéles, hadak útját, amely hegyen-völgyön át a matematikhoz vezet. így adódik Euklides nyomán a matematikhárom fokozatú felépítése axiomatikából, az elemi tételvizsgálatából és a további matematikából, amelynek terülnem határolható el és nem is szűkíthető. így tehát a matmatika alapjait Euklides örök időkre megvetette, kövekezésképpen művét csak bővíthetjük, de soha új alapoknem helyezhetjük. így vélekedett még Immánuel Kant a «Tiszta ész kritikája* második kiadásához írt híres elszavában , 1787-ben. Ez vo lt az «euklidesi» világ , «euklidematematika, amelynek uralmát a XIX. század elejéig késégbe nem vonták, noha az egyik axióma (a 11. axiómvagy más elnevezés szerint az 5. posztulátum) már a régörögöknek sok fejtörést oko zott. Sőt nagyjelentőségű modmatematikusok, akik Euklides szellemébe teljesen bele tudélni magukat, azt állítják, hogy maga Euklides is csak nalelkiismeretfurdalások közepette ír ha tt a le ezt az axió m át. ísz ól : «H a egy egyenes két m ásikat m etsz, és velük olybelső szögeket alkot, amelyeknek összege az egyenes egyoldalán kisebb mint két derékszög, akkor az a bizonyos kegyenes, a végtelenségig meghosszabbítva azon az oldalmetszi egymást, amelyiken a két derékszögnél kisebb összeszögek fekszenek.*

Az iskolából tudjuk, hogy geometriánk legnagyobrésze ezzel a tétellel áll vag y bukik. Mert például az a tét



43

hogy a háromszög belső szögeinek összege 180°, azaz derékszög, a párhuzamosok axiómája nélkül nem bizonyható.És már a régi görögök, akik a gömbháromszögekknagyon ügyesen bántak, észrevehették volna, hogy a göfelszínén, ahol csak egymást metsző «egyenesek» (legnagykörök) léteznek, a háromszög belső szögeinek összege csugyan mindenkor eltér a 180 foktól ós mindenkor nagyoannál.1

De vissza az euklidesi világba! Tér- és időbeli helyzetüszámára — és ez Alexandria, Krisztus születése előtt aés 8. században—• a matematika B uklides által került előszörteljes biztonságba a filozófia oldaláról jövő bomlasztáveszélyeitó'l. Tudományunk újjászületve, salaktalanul állvilág bámuló szemei előtt. Nyitva áll az út a határtalafejlődéshez, égig érő tornyok építése lehetővé vált, mert alapok mélyen gyökereznek a gondolkodás ősi törvényeiba logikában, és egyúttal a tiszta szemléletben, a hárommér«euklidesi» térben.

* A gömb felszínén «egyenesen» m ind en ko r k ét po nt legrövidebösszekötő vonalát, tehát legnagyobb kört kell értenünk, feltéve, hogyafelszínt elnem hagyjuk. De ilyen általánosításokig a régi görögök nemiutottak el.



H A K M A D I K F E J E Z E T.

A r c h i m e d e s .Matematika és valóság.

Egy új, keletkező világhatalom lép a porondra akkoamikor Nagy Sándor ha djárata i u tá n a hellénség a viláuralom utolsó szép álmaiból ébredezni kezd. A Kr. e. 21évben Oannae m elle tt H an nib ál 50,000 vitéz róm ai légnáriust győz le. Fordulópontja ez a római történelemneitt egy nemzet győzelme vagy pusztulása felett már nemszellemi, hanem csupán a morális értéke dönthet. Eómán— úgy látszik — mindene elveszett. De összeszedi utolfegyverfogható fiait, felfegyverzi templomokból összeszedócska, zsákmányolt fegyverekkel és két évvel később M. Ol

dius Marcellus konzul a Cannae mellett majdnem teljeselpusztult sereg maradványaival már Syracusa előtt álhogy megrendszabályozza Karthágó szövetségesét. De rómaiakat üldözi a balsors, negatív csoda esik meg itt iMidőn Marcellus Syracusát a ten ge r felől akarja m egtám advas kezek és csőrök nyúlnak ki a falakról, beleakaszkodna hajókba, felemelik és azután elejtik őket. És a szétzúzohajóoldalakra, amelyeknek gerendáiba fuldoklók kapaszkonak , óriási szikladarabok olyan zápora zúdul, am ilyen t embkéz még nem idézett elő. Még a legöregebb veteránok elsápadnak. H a csak egy kötélvég , vagy eg y da rab deszmutatkozik a falakon, már menekülnek a legionáriusoszörnyű félelmükben. Mert szívesen harcolnak emberekkvag y ha kell, H annib ál harc i elefántjai ellen, de haragistenek, vag y százkarú óriások ellen' több é soha. A zonbvezérük, a nagy Marcellus konzul gondoskodik arról, hogyszörnyű csodára magyarázatot kapjanak. És megtudja

hogy egyetlen ember küzd ellenük, egy magányos, hetvenkéyes aggastyán. Archimedes a neye ; ő a legnagyobb hell



46

matematikus, egyike ama hóbortos, világtól elferdült férfnak, akiknek lényét a római kemény, valóságban gyökereészjárása még kevésbbé tudja megérteni, mint a számászintén rejtélyes foglalkozását betűkkel és vonalakkVarázslat ez? Oktalanul gúnyolódtakés nevettek eddig ezekena fajankókon? Most látják, amikor komolyra fordult a dohogy oktalanul. Most, amikor vasból készült varázskarmnyújtóznak a falakon át és úgy hullanak a kövek, minthaVezúv és az Etna egyszerre okádnák a föld belsejét.

Es A rcbimedes, éppen ez az A rchimedes, a leghóbortos

a görög földró'l származó valamennyi geometer közt. Mindfogságba került syrakusaiak mesélték, olyanok akik meséikfogságukon akartak könnyíteni. Archimedes állítólag roka királyi családnak és családja is gazdag volt.De álmodozásával mindent eltékozolt. H át csoda, ha tönkremegy az olyember, akit rokonainak kell szelíd eró'szakkal a fürdőhurcolni, mert erről éppen úgy megfeledkezik, mint az kezésről? S mikor végre megfürdött, akkor amíg^ illatkenőcsökkel kenik, szakadatlanul vonalakat rajzol a homoés érthetetlen szavakat mormol. Sőt, egyszer, állítólag, anszült meztelenül rohant végig Syrakusa utcáin, és egyfolyban kiabálta, hogy «Heureka! heuréka!» Vájjon mit «taláAzt, hogy az aranyműves becsapta a királyt és az arankoszorút nem készítette színaranyból? Erre állítólag abbjö tt rá , hogy a fürdő kicsordult, amikor beleült. H át ez,istenekre, nem nagy felfedezés. Csak az bizonyos, hogy ezArcbimedes vagy bolond, vagy démon vagy mind a ket

A római parasztokat, ezekből áll a légió, az izgatosyrakusaiak meséi nem vigasztalják meg. Ellenkezőleg. Mhisznek csak igazán a varázslatban és a rémben. És mikvégre két év múlva, csellelés rohammal kezükre ju t Syrakusa,gyilkolva és rabolva rohannak végig a város utcáin, vadabbmint máskor, mert minden útkanyarulatnál újabb archimdesi kísértetek felbukkanásától tartanak.

Közben egy légionista egy látszólag lakatlan házba lébe.A kertben ül egy aggastyán és a homokba vonalakatrajzol.Miért ne rajzolna? Igaz, ma kissé zajos a város. De ilyzaj gyakran volt az elmúlt két évben. És a feladat nem thalasztást. Archimedes fel sem néz. Csak azt látja, hogy e



46

láb lép vonalai közé. «Ne zavard köreimet!)) mondja barátgosan. De a légionista kard ja abban a pillanatban véget véletének.

T u d ta a kato na , hogy A rchimedesi öli m eg? A «varázslakarta elpusztítani, hogy a légiót és Bómát megmentshabár Marcellus konzul meghagyta, hogy Archimedekíméljék?

Marcellus nagyon haragudott, amikor a tettről hallotTiszteletadással temettette el és síremléket emelt nekE síremlék évszázadokra feledésbe merült, bozót és tüsktakarták el. Cicero kutatta fel újra, megtalálta rajta a hegerbe í rt gömböt és ezzel bebizo ny ította a világnak, hoArchimedes nem csupán a mondákban, hanem valóban élt. Tegyük hozzá : olyan ember, akinek démoni lelkeknnagyobbat a szellemtörténet alig tud felmutatni. Annyidöntő jelentőségű, annyira új, annyira a jövőbe való vomindaz, amihez csak nyúlt, amit alkotott.

Varázsszőnyegünkkel azonban vissza kell szállnunk olyidőkbe, ahol már egyszer jártunk, hogy ennek az óriásnőseit megkeressük.

Az eleatákról, a Parmenides által alapított filozófiiskoláról már hallottunk. Ez volt az az iskola, amely lefőbb princípiumnak az örök valót, a nyugvót tekintettés m inden keletkezőt lá tsza ttá fokozott le. E z vo lt az iskola, amelynek Zenon szofista paradoxonai, majd hoazt nem mondjuk, m ár k arika túrái voltak. H abá r azoka tévedéseket, amelyek ezekben a szellemi bukfencekbrejlettek, alaposabb szellemek hamarosan eloszlatták helyes értékükre szállították le, az eleai bölcseség magmégis mélyen belegyökeredzett a hellén filozófiába, mivalapjában nagyon illett a harmónia időtlen népének jeleméhez. És az eredeti eleai felfogás folytatódik a platótanban az örökkévaló ideálokról, a lét ősképeiről, aárnyékszerű, tisztátlan valóságról. A z önmagában nyugörökkévalóság alaphangulata innen terjed messze túl Aris

telesen, míg végül geo m etriai téren Euklides tisztá n sttiku s, világos és m ozd ulatlan m atem atikájába n találja mkiteljesülését. Euklides számára a kör egyáltalán nem körző egj fordulatának az eredm énye, sem egy m ár el-



47

vontabb eredménye egy körsugár, egyik végpontja köreredeti helyzetéig megforgatott távolság mozgásának, hnem minden olyan pont összessége, amelyek távolsága ekijelölt ponttól (az úgynevezett középponttól) egyformAz eleaták módján nem a kör keletkezése, hanem a kör lnyer kifejezést. Bonyolultabb görbék esetén még feltűnőez a különbség. Jellemzőn jegyzi m eg A . Czwalina A rchimekutató, hogy Archimedes az általa felfedezett és róla elnevzett spirálist következőképpen írja le : «Ha egy kezdőponkörül egyenletes sebességgel forgó félsugár, töb b fordul

után eredeti helyzetébe visszatér és a félsugáron egy poa kezdőponttól elindulva egyenletes sebességgel mozog, akez a pont spirálist ír le». Euklidesnek viszont, mondja Czwlina, ha önmagához hű ak ar m aradn i, következőképpen kella maga statikus módján ugyan azt a spirálist leírnia : «Legyadv a egy félsugár és ra jta kívül egy p on t. Vizsgáljuk minazon pontok összességét, amelyekre nézve a félsugár vépontjától mért távolságuk úgy aránylik az adott pontnaa félsugár végpontjától mért távolsághoz, mint a félsugelfordulásának szöge aránylik az említett távolság szögéhe

Üzen a példán az euklidesi előadási mód határai világosan láthatók. Minden keletkezőnek logikai és világnézkizárása az előadás merevségét és áttek inthetetlensé gé t hozmagával, mihelyt bonyolultabb problémáról vagy definíciró l van szó. De a különbség ebben nem merült ki . Mélyebbelrejtettebb helyen kell keresnünk. Ezért varázsszőnyegünkismét Parmenideshez kell visszatérnünk.

Már említettük, hogy a való filozófiája nagyon megfelea harmóniakedvelő hellén szellemnek. A görögök gyűlölta p art tala nt , h atártalan t, alaktalant. S nem ak artak olyadolgokat érinteni, amelyek az emberi méreteken túlnyúlvtulajdonképpen az istenekre tartoztak. Prometheust ismivel emberit meghaladó dolgokra tört, kovácsolt láncokötik a Kaukázushoz, és Zeus keselyűi szaggatják a tehetetlen t i tán máját .

Vájjon jelképszerű az, hogy a nyugvást hirdető Parmemdes-szel majdnem egyidőben, a hellén birodalom másikVégén, Ephesosban, egy férfi kezdett tanítani, aki nem csakülsőleg volt köze] a K aukázushoz? A ki felszabadította H e



48

lasban a prometlieusi tüzet vagy legalábbis megadta az apot a felszabadulásához? H erak leitos volt a neve , s m ár ókorban a «sötét H erakleitosnak» m ondták , nem csupán bölségei epigrammatikus rövidségű fogalmazása miatt, hanlegalább ugyanannyira tanainak tartalma miatt is. Ezek a rög szellem ama másik lényét tükrözték, amely néha felszíkerült és a nehezen megalkotott kozmoszt, a nehezen kvívott harmóniát megingatta. Herakleitos az eleaták valóval az örök keletkezés t állítja szem be. «Minden folyik» «az ellenkezés minden történés atyja» legfó'bb alapelv

amelyek az örök nyugvót szakadatlanul változóvá teszés a valót megfoghatatlan, árnyszerű átmenetté süllyesza múlt és jövő közt. De ez a tan is, akárcsak az eleai, dönhatással van a m atem atik ára . H isz m aga a vonal, herakleitszemmel nézve, már nem szomszédos, de különálló pontgyöngysora többé, hanem egy haladó pont nyoma és miilyen, folytonos. De ezzel bizonyos módon a tiltott, csak istenek által felfogható végtelen is belekerült a geometriámert egy kontinuumnak, hogy valóban folytonos legyemegszámlálhatat lanul1 sok pontból kell állnia.

De nem csak H erakleitos ta na i kísérték azt az idóamelynek euklidesi tökéletességhez vezetó' útját már láttA.z irracionális sejtelmes m eg látásán kívü l e századokbkülönösen Krisztus eló'tt az ötödik században állították az ú. n. három klasszikus problémát, amelyek megoldásnehézségeivel hirdették a matematikai kutatások titkáés amelyek a végső' és teljes harmónia lehetősége iránt kségeket tám as zto ttak. Első a sorban a szögharmadolás prlémája, második a delosi probléma, vagy a kocka-kétszereamely még szent, misztikus borzalmat is ébresztett. Súlybajban, járványoktól tizedelve a delosiak a delphoii jóshehez fordultak segítségért és ott azt a felvilágosítást kapthogy az isten haragját csak delosi oltára megkétszerezéséengesztelhetik meg. De az oltár kocka alakú volt, és skísérlet után rájöttek, hogy a probléma körző és vonalsegítségével meg nem oldható. Ez nekünk ma már mindj

1 A végtelen halmazok «számosságáról», a halmazelmélet érteimeseben, itt még nem beszélünk.



49

érthető,mivel a kockakétszerezés azzs=2a? alakú, harmadfokú egyenlet m egoldásával függ össze, körzővel és vonalval ped ig legfeljebb másodfokú egyenletek oldhatók meA harmadik probléma a kör négyszögesítése volt, amellymint említettük, állítólag már Anaxagoras foglalkozott.

Nincs módunk e három probléma megoldására irányusokféle és szellemes kísérlete t ism er te tn i, noha ezek, szögezle, igazi,. komolyan veendő' megoldásokat szolgáltattakEmlítsük meg csupán, hogy e megoldásokkal kapcsolatbegy «mozgásgeometria» alakult ki, amely mindig újabb újabb és mindig bonyolultabb görbéket fedezett fel.1

De most egy új titok mutatkozott, amely a kör-négyszögesítéssel kapcsolatban lett nyilvánvaló. A matematikusegyik részének meggyőződése szerint görbevonallal határidomokés testek te rüle t és kö btarta lom mérése szükségképpeirracionális, tehát csak közelítően pontos eredményre vezviszont a másik rész csak az addigi módszerek tökéletlenséhibáztatta. Pontosabb mérésnek racionális eredményre kvezetnie. A véletlen hozta m agá val, hogy a második véleméa chiosi H ippo krates holdacskáinak szerkesztésével tám ahoz és igazoláshoz ju to tt . H ippokratesnek ugyanis sikerholdacskáinak, tehát minden oldalról görbe vonallal határidomoknak, területét egy derékszögű háromszöghöz visznyítva racionális mérőszámmal kifejezni. De a derékszöháromszöget az akkori geometerek már könnyű szerrel tuták ugyanakkora területű négyzetté átalakítani, tehát ezzelőször sikerült egy görbe vonalakkal határolt idom «négszögesítése*. így már senki sem állíthatta, hogy az ilyeidomok területe lényegénél fogva csak irracionális számmfejezhető ki.

De azok a nag y remények, amelyeket H ippo krates ejárása mindazokban keltett, akik csak kvadraturával foglakoztak, semmiképpen sem akartak valóra válni, és így ismolyan eljáráshoz kellett folyamodni, amely magán visela megvetett «végtelen» bélyegét. Az atomisztikus álláspo

1 I lyen v olt példáu l a híres «quadratrix» (görög nevén «tetragonizonsa»am elyet H ipp ias szerk eszte d m eg és am ely egy haladó és egy forgó m ozgeredője.

4 Colerus: Pythagorais.



50

híve, D em okritos, m int em lítet tük , a gúla és a kúp kötar tal m át, az ugyanakko ra alap területű hasáb , illetve henköbtartalm ána k h arm adáva l egyenlőnek találta azáltal, hovalam enn yit véko ny szeletekre vá gta . Ez az eljáráha helyes, tagadhatatlanul végtelen kis mennyiségekkvégzett művelet volt. De a kvadratura és kubatura számáismertek egy másik eljárást is, am ely abban állt, hogy a gövonalakkal határolt területet egyenes vonalú idomokktöltötték ki, és az így berajzolt idomokat összegezni igyektek. H a nem ak ar ták , hogy ez az eljárás csak közelítés mradjon, akkor akarva, nem akarva végtelen sok tagot kellösszegezniök. De miként lehet ezt végrehajtani? Nem lea végtelen sok tag összege mindenkor végtelen nagy, ha összeadandók még oly kicsinyek is? Probléma halmozódproblémára, ellentmondás ellentmondásra. De Hippokranoldacskáival elért eredménye nem azt bizonyítja-e, hoaz ilyen eljárásnak eredm ényre kell vezetnie? K va dr aturacionális eredménnyel másképpen elképzelhetetlen.

Az ingadozó fogalmak közt megint egy óriási szelleteremtett rendet, akit eléggé nagyra nem is becsülhetünhisz eredményei mind a m ai na pig érvényesek és kielégítmaradtak. Eudoxos, Platón kortársa, egy csapásra meszüntette a «végtelen» és «véges» közt fennálló különbséazzal, hogy a «tetszésszerint kicsi» fogalmát bevezette ezzel az úgynevezett határátmenetet logikai szempontbmegalapozta. Kimondta ugyanis : «Ha valamely mennyisnek elvesszük a felét, vagy többet, mint a felét, és ezt eljárást elegendő sokszor ismételjük, akkor mindig eljuthtunk olyan mennyiségekhez, amely kisebb bármely hozhasonló, adott mennyiségnél*. Eudoxos nyomán tehát addmehetünk a tetszésszerint kicsi felé, ameddig csak akaruA dott feltételek melle tt, am elyet ma konvergencia-feltétnek mondanánk, a mennyiségek sorozata mindinkább nulhoz ta r t. Ma Eudoxos tételé t így írnok : lim % . a2. . . a „ = 0 ,ha ax, a 2 , . . . , On <,-^r és tud juk , ho gy ez a sor csakugyan konvergens. összege véges eredményt ad, mert tagjainak nvekvő szám át kellőképpen kiegy enlíti csökkenésüké A sozatnak és a belőle adódó sornak véges határértéke va



51

a, sorozaté 0, a soré egy véges szám. Eudoxos követeléminden inkább, mint száraz elmélet. Euklides ugyaniazzal bizonyítja be, hogy két kör területének aránya ámérőik négyzetének arányával egyenlő, hogy mindketttetszésszerint nagy oldalszámú sokszögnek tekinti. Mert amár bebizonyította, hogy körbe írt hasonló sokszögek terletének arán ya egyenlő a körátmérők négyzetének ará ny ávAnnak bebizonyítására, hogy a kör csakugyan tetszés szernagy oldalszámú sokszögnek tekinthető, a sokázög oldalés a kör közt maradó szegmentum háromszögekkel töltenki, és ezek a háromszögek megfelelnek Eudoxos követeményének, vagyis nagyságuk minden előírt méretnél kisebtehető. Ezzel «kimerítjük» a kör területét. Kimeríteni ltinul a. m. exhaurire, ezért ezt a bizonyításmódot a tizenhetedik században «exhausztiós bizonyításinak neveziExhausztiós bizonyítást Euklides másodszor ott alkalmaahol bebizonyítja, hogy két egyforma magasságú háromoldalú gúla köbtartalmának aránya egyenlő alapterületearányával. Eudoxosról ezen kivül azt is olvashatjuk, hogDemokritosnak a gúla és kú p köbtarta lm ára vona tkozó fefedezését végérvényesen exhausztiós eljárással bizonyítot

Noha a hellének Eudoxos módszerében egy logikailajól megalapozott infinitezimális eljáráshoz jutottak, mégsej u to t t . eszükbe az eljárást általános ítani. A z exhausztióbizonyításmódo t, m in t, Euklidesszel kapcsolatban lát tuminden egyes esetben külön alkalmazták, és a többi kvadrturát és kubaturát lehetőleg olyan eljárással oldották meamelyet az igazi geometriai eljáráshoz méltóbbnak tartot tak.

De térjünk vissza fejezetünk hőséhez, akiről az iménmegírtuk, hogy Kr. e. 212-ben, 74 éves korában egy durvrómai katona megölte. Utolsó küzdelme városáért mélszimbólumot rejt. Megmutatja, hogy a hellén matematikgőgös magányából csak akkor fordult a valóság felé, amikmár késő vol t. «A djatok egy pon tot a földön kívül és kiemela földet sarkaiból)) mondta ugyanez a Archimedes büszkéés szét tudott még zúzni néhány római hajót, de magát énépét már nem tudta megmenteni a pusztulástól. Mi lehetulajdonképpen az a valóság, amelytől a matematika egy

4*



52

szer távoltartja magát, s amelyhez másszor közeledni tuVizsgáljuk most ezt.

Szellemünk számára kétféle formai lehetőség kínálkozhogy az ered eti chaosból meg terem tse m agának a kozmoEz a ké t szemléleti mód K an t sze rint a té r és az idő. A k eeg yü tt adja a m ozgást. És az élőnek része va n m indk ettőbA régi hellének hajlamosak voltak arra, hogy a térnek,szemünkkel látott világnak vizsgálatát helyezzék előtérKétségbeesetten igyekeztek, hogy a világról, mai szavakélve, «pillanatképeket» kapjanak, és ezeken vizsgálták összefüggéseket. Ép ítésze t és szobrászat ennek a szemlélnek művészi kifejező form ái. H erakleitos hívei, a «panrhei» (minden folyik) fanatikusai a történés «filmjét» akarcsak látni ós mindent, ami van, keletkezése szemszögébakartak megérteni. Alaptermészetük dinamikus, hisztorikHisztorikus, nem a történelemkutatás szempontjából, hanm int fejlődéstörténeti világszem lélet. Az eleata álláspont tzott hangsúlyozása elvezet a valóságtól, valamiféle nivánába, Herakleitos iskolájának következetes promethevonása viszont a haladás őrületéhez és felszínességhez vezAz életet azonban, amelynek törvénye a pythagorasi iskoszerint az irracionális törvénytelensége, egyik iskola setudja teljesen kielégíteni. A boldogságnak, az «euousia»-njobban megfelel talán a való. Az élet ellenkezéseinek inkáaz őrjöngő teremtés.

Ilyen lelki összetétel következtében mulasztotta el görög matematika, egészen Archimedesig, hogy a mechakán, mint hídon keresztül a technika valóságáig hatoljonoha a lehetőséget mindenkor magában viselte. Ezt a hiánévszázadokon keresztül tudta pótolni az egyes ember teés szellemi képességeivel. De am iko r H ellas Eóm án ak lényes szervezőképességével és magasabbfokú közösségértével került szembe, akkor rögtön kiderült, mint Syrakuostrománál, hogy a hellénség a formák euklidesi tisztságának ideáljáért feláldozta m ag át. M ár késő v o lt ; az egymint Archimedes, már nem tudta a katasztrófát megakadályozni. Mert ettől kezdve használja fel Eóma viláuralmi törekvéseinek támaszául, eleinte csak lassan és félértve, a görög szellemet.



53

De ne legyünk igazságtalanok. Mert egy Archimedesncsak azért sikerült végeredményben a matematikát a valságba átültetni)), mert a megtámadhatatlan euklidesi alpokon építhetett tovább.

Miben különbözik Arohimedes minden elődjétől? Miéérezzük minden gon dolatát és te tt é t anny ira újszerűnekEzt az érzést prometbeusi gondolkodása kelti, amely mindvonalon, minden területen érvényre jut. Minden balvélrűényt félretesz, hogy úrrá legyen a «valóságon». De ez «valóság» hajtja, űzi m indig tov áb b , m ert n em tű r szemlélőtartózkodást tiszta formáknál és arányoknál. A természeben nagyon ritkák a még csak közelítően szabályos geometidomok. Minden testszerű és a testek szabálytalanok. Ezekaz alaktalanságokat mindenféle csellel kell megközelítena szabálytalanok számára módszert kell szerkesztem, vagymeg kell találni az u ta t és módo t, ho gy u rai legyü nk a görbnek és alaktalannak. Az ilyen problémák a gondolkodást irracionális és infinitezimális felé hajtják, mivel a mértéegyenes, ezért minden görbét rektifikálni (kiegyenesítenkell, minden görbével határolt területet négyszögesíteni, minden ilyen testet kobozni. De itt nem lehet büszkén etérni a számítástól, ha a dolog mélyére akarunk jutni.

A rchimedes helyt állt valam ennyi követelménynek. Eg yivolt minden idők legtüneményesebb számolóművészeineJól tudja hogy ait érté ke 3 és 3 ^ kö zö tt van, (ezt

az értéket rövidítve3 -==-és 3 -=-- számokkal vezette be amatem atikába ) és éppen ilyen jól isme ri a négyze tgyökvo náazt, hogy / 3 4 9 5 Í Ö ~ 591-i- vagy j / F ~ - | J ~ - ^ . (I tta ~ jel azt jelenti, hogy az eredmény csak közelítésbehelyes.)

Syrakusában, Gelon király udvaránál egyszer szóbakerült, hogy a görögök rendszere, amellyel a számokat írjnem alkalmas nagyon nagy számok leírására, és ezzel kacsolatban a beszélgetés elkalandozott a végtelenség felfelfelé és lefelé egyaránt. Közben Archimedes a végtele



54

kicsi példájaként tal án az exhausz tiót, va gy egy fogy

geometriai sort em líth ete tt, amelyek, mint például a1 3 1 .1> ~r> ~TF~>-FT-• • 1S> ham arosan a megkülönböztethetetlen4 16 64kicsi sötétjében vesznek el. De mi a helyzet a végtelen naterén? Van-e erre is példa, mint a csökkenő idomok, hároszögek? Nincs példa. Ilyen számokat csak a természetblehet találni, kiálthatott fel valaki. Sicilia partjain a homoszemek bizonyára megszámlálhatatlanok, bizonyára végtea számuk.

Néhány nappal később Gelon király levelet kapottamelynek kezdősorai a következők vo ltak : «Vannak, akazt hiszik, ó Gelon király, hogy a homokszemek számvégtelen. Nem a Syrakusa körül található homokra gondolsem pedig a Siciliában másfelé találhatóra, hanem mindhom okra, am i csak szárazföldön, legyen az lakott vag y laklan, találh ató . Mások nem hiszik, hogy ez a szám ha tárta lviszont az a véleményük, hogy még soha sem volt e szám

nagyobbról szó. S ha ezek az emberek akkora homokhegyképzelnek el, mint az egész föld, s betemetve gondoljáhomokkal a tengereket, ós minden mélyedést, és kiegészítolyan magasra, mint a legnagyobb hegyek, akkor annál töben lesznek, akik azt hiszik, hogy nincs szám, amely ezthomok mennyiséget felülmúlná. Én azonban geometriai útbebizonyítom, ó k irály , úg yh ogy te is egyet értesz mavelem, hogy a Zeuxipposhoz intézett írásomban előforduszámok közt vannak olyanok is, amelyek nemcsak az előbmódon elképzelt föld homokszemeinek számát múlják felhanem am a homokm ennyiséget is, amely csak a világmindségben férne el».

Archimedes beváltotta szavát. Kimutatta, hogy könnyúgynevezett «oktádokat» alkotni, ezek a tízes rendszer szácsoportjai, az első a myriád (10000) második hatványáitehát 108-ig terjed. A második oktád kezdete1 08+ 1 , vége1016, a harmadik vége 1084 és így tovább,10800-000*000 -ig,ez pedig olyan szám, amelyben az 1 után 800.000,000 nuvan. Ezzel végződik az első periódus, de erre felépíthetőmég továbbiak is, sőt ez új szó és új elnevezés feltalálásávismét egységgé is tehető, és így tovább a végtelenségi



55

Tegyük fel, hogy egy homokszem a mákszem tizedrészamelyből 40 megy egy ujjszélességre (kb. IV4 cm). A fökerü lete 40,000 km és feltesszük, hogy a nap a földtől 2millió kilométerre van (a valóság csupán 150 millió km) s a naprendszerünk csak apró, tö rt része a világyegyetem neúgyannyira, hogy sugara a földpálya sugarához úgy aránylmint az utóbbi a földéhez, akkor a világegyetem sugara 9billió kilométer volna. Ez, mint ma mondanók, majdnem efényév. De ez a göm b m ár 1063 homokszemmel teljesen megtelnék, pedig ez a szám az első periódus legelejéről,

hetedik oktádból való.Maradjunk meg itt egy kis időre. Az első, ami feltűninekünk, hogy Archimedes prometheusi-forradalmár szellenem riad vissza attól, hogy Eratosthenesnek, <d3éta úrnak1

az alexandriai könyvtár nagynevű könyvtárosának «lakoföldjét* elhagyja és a samosi A ristarchos-szal a csillagovilágába merészkedjék. A ristarchos m ár e lhagy ta a gecentrikus rendszert és a heliocentrikusát fogadta el, a nélkhogy az ókorban hitelre talált volna. Csak Kopernikus Galilei fejlesztették tová bb A ristarchos rendsz erét. A rcmedes maga a geocentrikus álláspontot fogadta el. De neutasította el teljesen Aristarchos véleményét, valószínűlazért, mivel a mozgások relativitásáról átfogó képe voMeglep továbbá e «homokszámlálásban)) a nagy számok olykedvelése, amely a régi indusokra emlékeztet. I lyen szertelseggel a számok terén az ókorban többé nem találkozun

De Archimedes számoló művészetét a homokszámítá

egyáltalán nem meríti ki. Sőt a kör rektifikációja és kvaraturája sem, amelynek eredményeit (ezek az eredmény0*6 ezrelékre pontosak!) m ár em líte ttük. Más tudósok ugyaáltalánosabb számolási feladatokat vetettek fel, amelyekalgebraiaknak nevezhetnénk. Ilyen például a spirális terülenek meghatározásával kapcsolatban másodrendű számta

1 Állítólag ez volt Eratosth enesn ek min tegy gún yne ve, mivel ő minden téren a második legnagyobb tudósa volt az ókornak. Az első rangjelentőa megjelölését tiszteletből a múlt nagyjainak oartották fenn. Tőlszármazik a még ma is egyetlen módszer, amellyel a törzsszámokat mlehet keresni.



56

3orok összegezése. Népszerűbben: négyzetszámok összeképletének m eghatározásáról va n i t t szó. Tehá t az 1 + 4 + 9 + 1 6 + 25 + 36 + . . . + ra2 összegről. H ihe tetlen ül éles-elméjfí bizonyítással találja meg Archimedes az eredménamely a mai l2 + 2a + 33 + • • . + n2=-|-ra.(w + l) .(2w + l)képletnek felel meg . Épp en így kö nnyűszerrel összegea parabo la területén ek m egha tározásánál fellépő 1 +—r- +

1 1 44- -5-r-+-sr + • • • sor*- Ké tes, hog y A rchimedes egv nvilván-

lo b4valóan konvergens sor végtelen sok tagjá nak összegére gond

volna olyan értelemben, ahog y m i azt az s = 3 kép

lette l felírjuk. Ezzel a fen ti 1+ - T + - T Í T + - - -sorra az4 lo

1 4s = r— =- j -ered m ényt kap juk . A.z exhausztiós eljárásj 1 Ó

TB udoxos óta szándékosan kerüli a végtelen kicsi fogalmInk áb b' az t mond ják, hogy a parabolaszelet «kimerítésháromszögekkel, amelyeknek sorában m inden háromszög ejének negyede, bármeddig folytatható. Mert még oly kmennyiséghez is található az eljárás folytatásával még kiseháromszög . És archim edes azt mondja, hogy a fenti sösszege, (tehátn tag véges összege) a mindenkor legkisebb4háromszög területének harmadával kisebb, mint -~-. Vag

ö4 1 / 1 \»

s„=-x Q " \ X / ' ^ miv el így mégis mindenkor maradkülönbség, ha még oly kicsi is az, lehetetlen, hogy a hároszögek összege a parabola terü letén él nagyobb legyen. Dabból, hogy ez a különbség minden előírt mértéken túcsökkenthető, következik, hogy a parabolaszelet terüle

4sem lehet kisebb az eredeti háromszög területének -j-ánó

Pontosabban fogalmazva; egyik sem lehet kisebb a másikn



57

tehát a ké t terüle t egyenlő. Vagyis a parabolaszelet terüle4

az első háromszög területének -5-a.öDe Archimedes nem állt meg a kör, parabola, spirál

területének meghatározásánál. Merész, lángeszű exhaustizeljárásokkal meghatározza, a tudománytörténet szerint el

4.szőr, a göm b felszínét és köbta rtalm át , a 4 r2s és — r3jr kép-

oleteket. írásaiban a sr számot természetesen nem úgy neve

mint mi szoktuk. Csak az érthetőség kedvéért használjua mai írásmódot. Ehhez tartjuk magunkat akkor is, amikfelírjuk, hogy Archimedes a következő aránylat felállításvolt a legbüszkébbVx: V2: Va = - |r3j r : - | rsn : 2r*7t= 1 : 2 : 3 ,és ez a kúp , a gömb és a henger köb tartalm ának a v iszonyha a kúp és a henger alapkörének átmérője és magasságegyaránt a gömb átmérőjével egyenlő.

De még itt sem állt meg. Ö határozza meg először aellipszis területét is,T—abn,ha a ésba féltengelyek.A konoi-dokról és szteroidokról ír t művében megállapítja a forgáparaboloid (konoid) és a forgási ellipszoid és hiperbolo(szferoid) köb ta rta lm át . Ez m inden hozzáférhető görbérés e görbékkel előállítható m inden forgási tes tre kiterjeinfinitezimális geometria, amelynek tervszerűségét csak elvakult doktriner tagadhatja.

Más kérdés, hogy milyen úton jutott Archimedes hatamas felfedezéseihez. E rrő l J. L. H eiberg dán A rchimedekutató egyik 1906-ban talált szerencsés lelete ad felvilágsítást. Ebben a H eiberg és Zeuthen által megfejtett palimpsestusban maga A rchimedes írja egészen nyílta n Eratostheneshez: «Sok minden, ami előzőleg a mechanika álismertté vált előttem, utóbb a geometria útján bizonyítányert, m inthogy ama módszerrel még bebizonyítva nem v okönnyebb ugyanis, ha ezzel a módszerrel1 képet kaptunka problémáról, a bizonyítást megtalálni, mint nélküle eg

ideiglenes elképzelést felfedezni.* E bizonyítvány mellefT. i. a mechanikaÍTal.



mamelyet maga Archimedes állított ki, nem lehet szó nélkelmenni. Mert ez bizonyítvány a matematikai felfedezésáltalában is. A matematikának csak az utólagos, rendszeeló'adása mondható fejló'déstörténeti szempontból szintetiknak, axiómákon, definíciókon és posztulátumokon alapunak. A z egyes igazságok felfedezése ana litikus vagy mechkus úton történik, sőt esetleg ((matematikai kísérlettelamilyent Pythagorasnak is tulajdonítanak. És nagyon vaszínű, hogy A rchimedes a mechanikus köbtartalom számításnál először mérleggel dolgozott, s a geometriai bizonyít

csak azután eszelte ki. Ez mit sem von le érdemeiből, migeometriai bizonyításai a szintetikus szigorúság és teljessmintapéldáiként maradtak az utókorra. Igaz, a matemtikai felfedezésnek van még más módja is. Ezt OswaSpengler mágikus módnak nevezné. Leibniz igaz kabbanak, «cabbala vera»-nak mondja. De nem helyén való mhogy erről beszéljünk, minthogy sem Archimedesnél, shellén földön nem fordul elő. Itt még csak a mechanika émozgásgeometria (spirális, forgási tes t stb.) tört be az eukli«nyugvó» matematikába.

De a mechanika egyik fejezete az, amely Archimedóta a matematika és fizika közt, furcsa átmeneti alakkémegmaradt és amelynek ma is igen nagy a jelentőségA lényegében A rchimedestől megalapozott és már általa ntökéletességre emelt statikára gondolunk, a nyugvó testegyensúlyáról szóló tanokra. Nem lehet eléggé világoskifejezni, hogy matematikai statika végtelenre vonatkomegfontolások nélkül elképzelhetetlen. Már a súlypont msem csupán egy testnek, megtámasztása szempontjábótekintetbejövő pontja, hanem az a fikció, amely szerint egész test súlya ebben a kiterjedéstelen pontban egyesüÉs egyensúly is csak akkor lehetséges, ha súly létezik. Mmaga Archimedes egyetlen fogással túlteszi magát ezentermészetesnek látszó követelésen. Nehézségnek alávettestek minden tulajdonságát, ilyenek a súlypont, súlyvonegyensúly stb. geometriai idomok számára is megköveteMinthogy kiterjedéstelen idomnak nincs tömege, tehsúlya sem lehet, ezért ez a fogás nagyobb jelentőségű merészebb, mint amilyennek ma érezzük. Évezredek foly



59

mánhozzászoktunk ahhoz az elképzeléshez, amely feltételezhogyegy fából készült háromszög (ez természetesen egy nagyon alacsony hasáb) mindinkább vékonyodik, míg mondjupapírvékonyságú lesz. S még továb b fogyasztjuk vas tagságés közben azt vizsgáljuk, hogy milyen tulajdonságai maranak meg változatlanul, vastagságától függetlenül. Ám jóa súlypont változatlan, illetve ránézetben ugyanazon a helymarad, bármennyire csökkentem is a vastagságot. Ugyaneálla súlyvonalakra is, és a súly- és súlymegoszlási v iszonyokrösszehasonlítva ugyanolyan vastagságú más testekkel. H a

súlyés testszerűség már teljesen eltűnt, ha a test geometriafogalommá lett, akkor ezek az összefüggések maradnak kezemben maradékként. Noha óriási absztraháló erő kevégeredményben ahhoz, hogy súlytalan árnyak egyensúlyról*vagy «súly»-pontjáról beszélhessünk. B árhogy forgassuis a dolgot, infinitezimális meggondolások nélkül fennmaraz ellentét és a «valóságban» nem létezó', geometriai idomoanalógiája is sántít. A geometriai idomok csak alakok, nagságra vonatkozó szabályok, viszont statikai megfontolásosúlyos tömeg nélkül, testi mivoltuk nélkül, minden értelmket elveszítik.

Bárhogy áll is a dolog, Arehimedes igen merész fogásokal átkutatta a mechanikának ezt a részét. Tisztában volaz emelő törvényeivel, idomok egyensúlyát infinitezimáleszközökkel vizsgálta, és úttörő volt a hidrosztatikábanis az «Archimedes-féle törvény))1 felfedezésével, de megállapította a testek fajsúlyának fogalmát is, valamint az úszá

nelyzet és úszási stabilitás (a metacentrum magasságatörvényeit. Mechanikai tudása olyan óriási volt, hogy nemcsak a «végtelen csavart* tudta vízszállításra felhasználnnemcsak királyának, Hieronak tudta azt az örömet megszerezni, hogy egy nehéz hajót egyedül vízre bocsássonhanem, mint már említettük, szülővárosát is két évig tudtvédeni a rómaiak ellen.

De mindez, noha kétségtelenül megmutatná genialitásánem tenné őt az ókor legnagyobb matematikusává. Mermint matematikus termékenysége egyszerűen kimeríthete

Űszó test és kiszorított víz súlyának egyenlősége.



60

len volt. És elsősorban óriási volt hajlékonysága, ha szabezt így m ondani. H ogy a kör terüle te egyenlő olyan hároszög területével, amelynek alapja a kör kerülete, magassápedig a kör sugara, éppen olyan mesteri, mint annak az axióm ának a felállítása, hogy az egyenes a legrövidebb két pont között. És csak a legújabb időkben méltányoltáérdeme szerint A rchimedesnek egy másik, axioma-jellegmegállapítását. Ez az axióma minden mérésünk alapja azt mondja, hogy bármelyAB távolságnál nagyobb előállítható egy kisebbAC távolság kellőszámú többszörözésével.Ez tréfának hangzik, vagy valami útszéli igazságnak. Pedkiderült, hogy ez és csakis ez az axióma teszi geometriánk«archimedesi» típusúvá, és «nem-archimedesi» geometrtípusok egyáltalán nem ellenmondók, vagy lehetetleneVégül Archimedes a stereometriát is nagy mórtékbenfejlesztette a 13 Archimedes-féle vagy fél-szabályos test (poéder) meghatározásával és vizsgálatával. Ezeket szabály3, 4, 5, 6, 8, 10 és 12 szögek határolják, s e testek közül tínek kétféle, háromnak pedig háromféle szabályos sokszhatároló lapja van.

Évezredek elmultával mutatkozik Archimedesnél az igemberi szellemi nagyság törvénye. Ö maga nagymestevolt az exhausztiónak. De m űv ét, bárm ennyire kicsinelátszik is külsőleg, terjedelemre mégis alig lehet «kimerítenMég kevésbbé érthető az a csoda, hogy zárt kultúrákbismét és ismét kiemelkednek emberek, akik a jövő, még msem született kultúráiba nyúlnak bele. Ez azonban «örökértékek teremtésének a legaktuálisabb és legdinamikusabfogalma, a valódi teljesítmények potenciális halhatatlanságMert a nyugati népek fausti szelleme majdnem tizennyoszázaddal később ott folytatja, ahol a római katonai yak düa titán köreit megzavarta.



NEGYEDIK FEJEZET.Perga i Apo l lon ios .

Matematika mint virtuozitás.

A tudo m ány nak és a művészetnek fejlődósét két te remszellem mozgatja.A kettőt éles határ választja el egymástól,sokszor ellenségek, egymással késre menő párthívekkel veskörül magukat, de sokszor okot adnak bölcs ós éleseszű képzelések kialakulására arról, hogy mi is a «valódi» tudmány és a «valódi» művészet lényege.

Elképzelhetetlenül nehéz megállapítani, hogy miben klönbözik egymástól e két típus, minthogy, minden élőhhasonlóan, számtalan árnyalat és átmenet van közöttüEnnek következtében hibás minden merev fogalmazás. Mémeg kell kísérelnünk a szélső megjelenési formák magyazását, mert különben a szellemi és művészi fejlődés legfotosabb úttörőit nem tudnók megérteni.

Bizonyos — és ez az első különbség köztük, — hogy egyik típus, mint Archimedes, noha ismeri a legtisztábformaadás varázsát, a valóságot mégsem csak a forma vazsával, hanem a t ar tal om segítségével is le akarja gy űrnTudni akar. A legvégső mélységig. És egy pillanatra senyugszik e művében. Dacos türelmetlenséggel rohan inkáegyik ismerettől a másikhoz, s műve ezért nem egyszer befejezetlenség, ugrásszerűség, összefüggéstelenség bélyeviseli magán. A másik típus viszont sokszor egyetlen művben nyilatkozik meg, amelyet utolérhetetlen tökéletességfejlesztett, s amely úgy válik el szerzőjétől, mintha magábvaló élete volna, s ezzel a mű, szin te magá tól, örökkéva lósátesz szert.

Beszéljünk, mint később történt, klasszikus vagy romatikus m ag ata rtás ró l, jellemezzük a különbséget velencei k

fejezésekkel mint: fúria és morbidezza, vagyis őrjöngő elő



62

törésként vagy szinte beteges, páraszerű lágyságként, beszjün k ta rtalo m ró l és formáról, dinam ikáról és statikáról, létés keletkezésről, harmóniáról és formák feloldásáról, istnyugalomról és titánok dühéről, euklidesi és fausti lélekavag y apollói és diónysosi ha jla m ró l: bizonyos csupán, hoez a két típus megvan minden kultúrában. Pontosan értsmeg : Archimedes ós Apollonios viszonya olyan, mint Leibés Euler, Wagner és Mozart, Lionardo da Vinci és EaffaTintoretto és Tizian viszonya.

Nem relativizmus, ha azt állítjuk, hogy mindkét típuszükséges a fejlődéshez, s mindkettőnek, a maga helyéugy anan nyi az örökérvén yű tar tal m a s egy aránt a vilámegértés új kategóriáit tárják fel, s ez G. Simmel szerijellemző a lángészre. Éppen ezért nagyon vitatható aaz állítás, hogy csak a forma örökkévaló? Örökkévaló aami változatlanul megmarad az időkőn keresztül, vagy ami a haladás részének vagy fokozatának bizonyul késővagy pedig az ami olyan mélyen belevésődött a kultúrábegészen a szavakba és a gondolkodásba, hogy létezéséről mtudo m ást sem veszünk. A form alisták az első. az új tar talmhozók a második hatást érik el, de ezzel persze nem akarjegyiktől a tartalmat? a másiktól a formát elvitatni. Itt mára leghatalmasabb csúcsteljesítményekről van szó.

Mindezt csak azért akartuk rögzíteni, hogy elválaszhassuk egymástól Archimedes és Apollonios lángelméjArchimedesi sokan mondják az ókor legnagyobb matematisának, sőt néha minden idők legnagyobb matematikusánis. Apolloniost viszont már a késői antik korok is a «nageometer» jelzővel illetik, és e nevét évszázadokon át válzatlanul megőrizte. Tehát az egyik csupán nagy, a másviszont legnagyobb úttörő volt? Vagy talán Apolloniközepes másoló volt, összefoglaló, kompilátor? Archimeviszont sokkal szélesebb látókörű eredeti felfedező?

Később látn i fogjuk a ké t korszakalkotó elme ha tás át mmatematikánkra. Mindketten közreműködtek kialakításábS azt állítják, hogy Archimedes a végtelennel kapcsolafoga lma inkat, A pollonios viszon t a koord ináta fogalmalapozta meg, m in dkettő nélkülözhetetlen feltétele «felsőmatematikánk* kiépítésének.



tía

Ha az ítéletek és értékelések nem egyértelműek, akkhelyes, ha a kérdésnek alaposabban utánanézünk, mert meleve félreértések és eltérő kultúrkritikai álláspontok tömevárható. Tehát eddigi szokásainknak megfelelően lássuk eször Apollonios történeti helyzetét, hogy művének jelenségéhez hozzászólhassunk.

Apollonios ifjabb kortársa volt Arehimedesriek. Minte40 éves lehetett, amikor Archimedesi megölték. Ebben időben már jelentős teljesítményt mondhatott magáénaApollonios jellegzetes alexandriai volt, Buklides első tan

ványainak a tan ítván ya és életének nagy részét A lexandrban, a Museionban tö ltö tte . A lighanem csak idős korábköltözött Pergaiba. Nincs életrajza, amint általában formavirtuózoknak nem szokott lenni, nincs sorsa, am efelrázna, vagy megragadna. Élt, alkotott, meghalt. Ilyeemberek belső harcairól vívódásairól, viharairól rendszernincs tudomásunk. Titkos törvény uralkodik itt, éppen úgmint Euklides, Eaffael, Tizian, Euler, Aristoteles esetébeEz a típus tekintélyes, nagyrabecsült, élte nyugodt, tisztsokszor szerény, s az embereket elsősorban műveik érdekés elfelejtik m ögö tte az alkotó t ; s maga az alko tó semigyekszik a világ ilyen álláspontján változtatni. Csak azélép előtérbe, hogy a forma megzavarói, a dinamikus-promtheusi alkotók műveinek magában, vagy pedáns és puritkövetőik segítségével határt szabjon. De esetleg olyan béktermészetű, hogy még ezt is mellőzi és megmaradt a maformavilágában.

Bizonyos csupán, hogy Archimedes eget ostromló rohnását Apollonios nem követi. Gsak annyit hallunk, hogApollonios halk, de valahogyan mégis bántó módon támaArchimedes kutatásait, s erre válaszolt állítólag Archimeéppen olyan halk, de szinte ironikus hangon az úgynevez«ökörfeladattal». Apollonios ugyanis an számára jobb közelítést talált, mint Archimedes, és amidőn a homokszámnyilvánosságra kerültek, szintén könyvet írt a nagy számoról és ebben bírálta Archimedes periódus-rendszerét. Ekk¥i. Hultsch szerintx Archimedes az ökörfeladattal meg

1 En zyk lopa died erklas sische n Altertmnswissenschaft , 1896. II . kö t•Archimedesi címszó.



64

akarta mutatni, hogy van olyan feladat, amely még Aploniosnak is komoly nehézséget okoz. Legújabb kutatásszerint az egyenletrendszer megoldása olyan számokra vezamelyek tizes rendszerben csak 200,000 jeggyel írhatók

Említettük, hogy Apollonios tulajdonképen nem folta tt a A rchimedes m atem atikáját. Ez t nyom atékosan hansúlyoznunk kell. Apollonios nem törődött azzal, hogy kölötte ren g a föld, hogy az ő ko ráb an folyt le a róm aiak döküzdelme a világuralomért, és hogy a görögök külső hatalmegsemmisült. Nem keltette fel Syrakusa lángoló jele, n

ébresztette fel Archimedes feltalálói működése, hanem fotatta a hellén matematikát, az eleai-euklidesi geometriát tökéletessé fejlesztette. De nem zárkózott el teljesen aújítások elől, sőt ellenkezőleg a számelméleti ismeretekbannyira előrehaladt, hogy számírásunk helyértékrendszeréhasonló ismeretek közelébe jutott.

De korszakalkotó virtuózteljesítménye mégis az a nyohíres könyv a kúpsze letekről, amelyek m ajdnem teljesen rámaradtak, s amelyek olyan bámulatos tökéletességet mutnak, hogy a görög matematika naivitására vonatkozó bvéleményünk utolsó nyomainak iö el kell tünniök. Az «axandriai» alakja sajátos kulturfogalom. Euklides, Eratostnes, Apollonios képe elegendő alakjának megrajzolásáhoKutatásaik üvegszerű átlátszósága, áttekintésük világufölött, tökéletességük kozmoszuk határain belül aligha érhutói .Az alexandriai művének azt a látszatot kellett keltenihogy elérte a tudás csúcsát, és nem maradt már elérheutána. De az ilyen teljesítmények nagyszerűségükön kívveszélyesek is a kultúra további emelkedésére. Mert későkide rült, hogy a tökéletességbe ve te tt alexandriai hit mennyire csalóka volt. Igaz csak az emberi alkotókedv egypihenője után, amely századokon és kultúrkörökön nyúkeresztül, míg végre oly irányokból, amelyeket addig jártatlanoknak tartottak, tört fel váratlanul az új fejlődé

Apollonios tehát, mint mondottuk, — néhány jelentételen engedményről nem szólván — a matematika naghellén, euklidesi hagyományaiba kapcsolódott bele, nemckülsőleg, hanem egészen mélyen és a másodrendű görbmásképpen kúpszeletek különleges területén ért el százado



6S

keresztül túl nem baladott tökéletességet. Igaz, a kúpszelemár Platón Akadémiájában is segédeszközök voltak a kokétszerezés feladatának megoldásánál, és már Euklides tárgyal*3 őket egyik elveszett könyvében. De az a körülményhogy A rcbimedes még Menaecbmos (IV. század Kr.e.) jelöseit használja, világosan megmutatja, hogy még Euklides állhatott Apollonios ismereteinek magaslatán. Menaecbmós minden követője, A rchimedesi beleértve, még nem vteljesen tisztában a kúpszeletek keletkezésmódjával és szonyaival, úgyhogy ennek megfelelően a parabolát olykúp egyik alkotójára merőleges sík metszeteként definiálamelynek nyílásszöge derékszög. A fenti metszet tomnyílásszöge kúpon hiperbolára, hegyes nyílásszögű kúpviszont ellipszisre vezet. S a parabola, hiperbola és ellipskifejezéseket sem használták, hanem csak «a derékszögű metszete* stb. elnevezésekről beszéltek. Ez minden, nohkúpszeletek sok tulajdonságát ismerték, sőt már Platidejében voltak szerkezetek ilyen görbék (elsősorban pabolák) rajzolására. Megvolt tehát a parabbla-körző és ismretesek voltak e görbének különféle tulajdonságai.

Apollonios mindjárt könyve elején annyira általánosítoa kúpszeletek tanát, amennyire abban az időben egyáltalehetett. Egy egyenest, amelynek egyik pontját rögzítetteamelyet mindkét irányban tetszés szerint meg lehet hosszbítani, egy kör kerületén csúsztat végig, mindaddig, ameredeti helyzetébe vissza nem tér. Ezzel forgási kúpot állítelő,sőt kettőskúpot, s azonnal megmutatja, hogy egyetlehegyes nyílásszögű kúp metszeteként négy különféle göadódhat : kör, ellipszis, parabola és hiperbola. Az, homelyik görbe keletkezik, csupán a sík és a kúp alkotójánhajlásszögétől függ. Ezzel meghatározta a kúpszeletek mimáig érvényes, egyetlen kúp különféle metszeteként vakeletkezési módját. De a görbék keletkeztetésének ez a mohatnók észszerű módja nem az egyetlen elképzelhető mKúptól teljesen függetlenek e görbéknek mértani helyké

való keletkeztetései, amelyek a görbék planimetriai tulajdságaiból adódnak, s amelyeknek ismerete a geometriai gebra ősrégi feladatai kapcsán, Pythagorasig követhető nmon. A «mértani hely» fogalmának megértéséhez jegyezz

6 Colcrua: P ythagoios.



66

meg, hogyéz már régen ismeretes volt a hellén geometriábanés távolságok vagy viszonyok összességét jelenti. Valamegörbének mértani helyként való felfogása az eleai, statikfelfogásmódból ered. így a kör mindazon pontok geometrhelye, amelyek egy adott ponttól, a középponttól egyentávol vannak. És a szögfelező mindazon pontok mértahelye, amelyek egy szög száraitól egyenlő távolságra vanak s tb.

Természetesen vannak lényegesen bonyolultabb feltétleknek megfelelő mértani helyek is ; ilyent már bemutattu

akkor, amikor Czwalina nyomán leírtuk az archimedespirálisnak euklidesi nyelven fogalmazott definieióját. Ezmár eljutottunk addig, hogy megmondhassuk : a kúpszeleA polloniostól ka ptá k m ai nevü ket és hogy miként juto ttezekhez a nevekhez. De azt is taglalni fogjuk, hogy a perApollonios volt a koordináta geometriának úgyszólván efelfedezője.

Eh hez azonban vissza kell nyúlnunk a területek egymához illesztésének ama három módjára, amelyet már Pythgoras is ismert, illetve amelyet állítólag ő fedezett fel. Az efeladat, a parabolikus felület-egymáshozillesztés azt követhogy az adottAB vonalra úgy illesszünk egy téglalapot,hogy annak területe egy megadott idom, mondjuk azEDoldalú négyzet területével egyenlő legye. Tehát fennáll következő összefüggés a területek közt:ED2 = AB.AD.Ha most azAB távolságot állandónak tekintjük, g-valjelöljük és vá ltoza tlanu l m eg tartjuk, viszont azED távol

ságot változtatjuk, akkor azAD távolságnak is változniakell, hogy fenti követelésünk teljesüljön. Jelöljük azADtávolságotx, a DE távolságoty betűvel, tehátAD = xésDE = y, akkor feltételünk azy2 = qx összefüggés, és ezpontosan megegyezik a parabola ma használatos, derékszökoordinátákkal felírt csúcsponti egyenletével. Bizonyos okból maq helyet 2p-t írunk, de ez a lényegen nem változtasemmit, hiszq és 2p egyaránt állandó.

De minden félreértés elkerülésére rögzítsük már ezen helyen: Apolloniosnál szó sincs általános értelemben vkoordinátákról, amelyek tengelykeresztként vagy vonatkzási rendszerként, minden idomtól függetlenül létezne



68

kentve (elleipsis, defectus) adja aDXEX fölé rajzolható négyzetté1 egyenlő terü letűA1Djl1J1 téglalapot. Tekintve, hogyBXCXHXJX és AXFXBXGX hasonlósága biztosítva van azáltal,hogy aJx pont aBÍF1 átlón fekszik, fennáll a következőa r á n y l a t :

CXJX: BXCX = FXGX: BXGX

Ebből és a rajzból következik, hogy

r 7 _BiQi-FiGi _. AXDX.AXBX

° ^ ~ BXGX ~ AXFXFeltevésünk szerint tehát

E&t = AXBX • AXDX-AXDX ^ ^

Ismét azA1B1=q, AxDx=x, DxEx=y és végül AxFx=sjelöléseket használvay2—qx—x — és ez egy ellipszis csúcs-

ű

ponti egyenlete.Vizsgáljuk végül a hiperbolikus összeillesztés néven imert feladatot. Ennél azA^B^G^Dn̂égyszöghöz még hozzákell tenn i (hyperbo le) azAZB2G2FZ négyszöghöz hasonlóBZG2HZJZ téglalapot, hogy azÉZDZ fölé rajzolt négyzettelegyenlő területűAZHZJZI>Z tégla lap keletkezzék. A z előbbifeladathoz képest csak egy előjel változott meg, tehát

^ 5 1 =A2B2.AZDZ + A2DZÁ ^ ' ^

Ez a többlet (hyperbole, excessus) a hiperbola egyenleadja, ha az előbbi feladathoz hasonló módon bevezetjük x, y, qés s jelöléseket. A h iperbola csúcsponti egyenlete teháy*= qx -\-x— .

De ez Apollonios kúpszeletvizsgálatainak csak a kezdeEzenkívül megtalálja a kúpszeleteknek majdnem valamenfontos tulajdonságát, ismeri a hiperbola másik ágát, tistáb an van az érintőik kel, gyú jtópon tjaikkal, hasonlósáviszonyaikkal, sőt két görbe metszéspontjával is, stb. Ső



69

•csak a XIX. században naggyá fejlődött projektív geomenéhány tételének is elébe vág.

Dy tudástömeg láttán nem csodálkozhatunk, hogy isma hiperbola aszimptotáit is és hogy azok tulajdonságvizsgálja. Tudjuk, az aszimptoták olyan egyenesek, amelyhez görbék mindinkább közelednek anélkül, hogy a végben elérnék vagy metszenék őket.

Történeti tanulmányunk jellegének megfelelően mellnünk kell Apollonios érdemeinek részletes ismertetését,megkeU mutatnunk, hogy a kúpszeletek ismerete miért olynagy jelentőségű a matematikára, hogy felfedezésüket kszakalkotónak mondhassuk. De ehhez a görbékről áltaban, a kúpról pedig részletesen kell beszélnünk.

A felületes, mélyebb összefüggéseket nem ismerő szemmeg tudja érteni, ha valaki olyan görbével foglalkozik, ma kör. Ez végre is a szabályosság ideálja, és százféle mó'kapcsolódik a természetbe. Különösen olyan kutatók smára, akiknek meggyőződése szerint minden égitest alagömb,pályájuk pedig kör. A technika, az építészet is minuntalan körrebukkan.Tengelyek, kerekek, árbocok, oszlopok,színházak ülésrendje,1 hogy csak a legegyszerűbbeket említsük, köralakot mutat. Ehhez járul még a körző. Sok mdent le kell rajzolni megvalósítás előtt. S a rajzoláshkörzőt és vonalzót használtak, tehát már a rajzolás mókövetkeztében, rejtve vagy nyíltan majdnem mindenütt szerepel. De nem mellőzhetjük itt azt a kérdést, hogy nbefolyásolja-e lényegesen még ma is, a rajzolás és későbforgó szerszámgépekkel történő megvalósítás a technikáaz alak megválasztását, elfedve és elnyomva más, esetkedvezőbb vagy hatásosabb alakot?

Ez világos. De mire való ez a nagy igyekezet, amellymás görbéket vizsgáltak? Nem volt ez csak a hellén matemkusok geometriai terjeszkedési kedve? Vagy mélyebbek az összefüggések? Feleletünk : van itt több más összefüg

1 Ezzel a problémával az ókorban igen alaposan foglalkoztak. Geometriai eszközökkel vizsgáltá kés állítólag ezzel kapcsolatban fedezcék fel,hogy a körben v alam en ny i, egy húro n fekvő ke rü leti szög egye nlő . De eb viszont az következik, hogy köralakú színházban valamennyi néző egforma szög alatt látja a színpadot.



70

is, néhányat már előbb bemutattunk. Különös, összetarfejlődés folyamán éppen Apollonios kúpszelettanában talkozott két matematikai gondolatsor. Még pedig a négyzeegyenletek megoldásának problémája, amelyet Pythagofejlesztett ki, mint «geometriai algebrát)) az összeilleszmódszerével és a három ((klasszikus probléma* egyike, ammásodiknál magasabb fokú egyenletek megoldását kívánezt Platón iskolájának kora óta kúpszeletek metszésévoldották meg és végeredményben a kúpszeletek felfedezésvezetett. Ehhez járult még a folytonos arányokról szótan és a mértani helyek elmélete ; az utóbbiban a függvéfogalomnak egyelőre statikus felfogása rejlett. Mert egilyen vagy olyan feltételnek megfelelő görbe, vagy egy gebrai feltétel, amelynek ez vagy az a mértani hely felmeg, lényegében nem egyéb, mint egy függvény és a hoztartozó képgörbe, különösen, ha csak az egyik mennyisétekin tjük függetlenül változónak , és a másika t tőle függőntekintjük.

De nehogy hamis elképzelésekre vezessük olvasóinkahangsúlyozzuk, hogy még több alapvető, óriási lépésre vszükség, míg ezek a mély összefüggések tisztán és világosmeglátszanak. Ta gadh atatla n viszont, hogy A pollonioműve ezeknek a dolgoknak a csíráit már tartalmazta émegvalósította az algebra és geometria egymáshoz kapcslását, noha ez nem mutatkozhatott teljes mértékben, miva hellén algebra maga geometriába volt burkolva. De ebbaz a különös helyzet adódott, hogy a geometriai megjelnésű algebra és a valódi geometria közé még egy tisztágeometriai réteg ékelődött, s ez gyakran meglepő felfedezsekre vezetett. Nagy a különbség ugyanis a görög és a mgeometriai analízis kö zö tt. Mi maiak — erről még részlesebben is szó lesz — algebrai, szimbolikus betűjelölésmódukal egy függvényt írunk fel, és a geometriai ábrázolás lászólag végtelen távolában kapjuk meg a hozzátartozó képApollonios viszont felrajzolja — vegyünk konkrét példát az ellipszist és ebbe olvasztja bele a megfelelő összeilleszfeladat algebrai-geometriai rajzát, amikor is az első rajgeometria, a második algebra jellegű. Ezzel ugyan veszendőmegy az algebrai algoritmus, a gondolkodási gépezetnyuj-



71

totta előny, de éppen ezáltal tudta az egyik idom geometrivonatkozásait a másik idom geometriai vonatkozásaivakadálytalanul összekapcsolni és ezzel új Összefüggésekfelfedezni.

De ez a tényállás magában véve nem jellemző akúpszeletekre. Mert ugyanez a módszer, igaz, alig áthidalható nehézségekkel, magasabbrendű görbékkel is eképzelhető.

H át mi az a fontos körülm ény, amely valam ennyi görbközül éppen a kúpszeleteknek biztosítja ezt a különlegekorszakalkotó jelentőséget? Jó, tudjuk, hogy úgyszólván merítik a másodfokú egyenletek ábrázolásának birodalmEzt már Apollonios megállapította a görbék definíciójban. Hozzátesszük, hogy sokkal később felismerték kozmijelentőségüketis,hog y ilyen a bolygók és az üstökösök pályája,forgó égitestek körvonala és az elhajított siilyos földi tepályája. De ez még nem minden. A kúpszeletek eddig neemlített főfontossága az ember érzékeinek mélyéből kövkezik. Az embert tapasztalatainak megszerzésében elssorban szeme befolyásolja. És a szem be érkező fénysugara kétszerdomború lencse fénytörésének szabályai szerikúpot adnak. B fénykúp által hozzánk közvetített optikvalóság minden képe számunkra kúpszeletként mutatkozminden perspektíva és projekció alapja a kúpnak és meíszó-síkjának viszonya. És így nem túlzás, ba látott világunk«kúpszeletvilágnak» nevezték.

ílyen ismeretek kezdetét, amelyek a maguk egészükbecsak a XIX. században, a «projektív» vagy «új» geometriábontakoztak ki, már Apolloniosnál is megtaláljuk, mertmár sugárnyalábokkal dolgozik és taglalja összefüggésüka kúpszeletekkel.

Nagyon helytelen te hát A pollonios kúpszelet-taná t «speclis kutatássá* bélyegezni, olyanná, amelynek csak alárendjelentősége vagy artisz tikus érdekessége va n. Igaz, m űartisztikus, sőt virtuóz teljesítmény. Ez a m ű tudtu nk k

az első és a maga koráig a legátfogóbb összefoglalása a mamatikai vizsgálatnak. De a tárgy a, m int előadni igyekeztünezen felül m érhe tetlen ós dö ntő fontosságú. I lyen még akkis, ha nem vesszük figyelembe azokat a m ate m atik át fe



72

lesztő köv etkezm ényeket, am elyek A pollonios sejtéseinrendszeres vizsgálata és felkutatása során adódtak.

Nem mellőzhetünk még egy fontos pontot. Ez az aszimpto ták vizsgálata. Tudjuk, aszim ptota a kúpszeletek tanban az a két egyenes, amely bizonyos előírt módon rajzható a hiperbolához, ahhoz végtelenül közeledik, de sem nmetszi, sem nem érinti a hiperbolát. Hyen egyenesek puslétezése, akár Apollonios fedezte fel azokat, akár már előis ismerték őket, két módon is megingatta az euklideszellem épü letét. Először azzal, ho gy a hellénség által an ny

tilalmazott és háttérbe szorított végtelen-fogalom újbnapirendre került. Jó, itt is lehet szépítve «tetszésszerinmegközelítésről beszélni. De hol végződik ez a tetszésszermegközelítés? É s a geom eterek teljesen tu da tá ra ébre dtehogy a hiperbola és a parab ola ny ito tt görbék, amelyek végtelenbe vesznek el, amelyek alakjának törvényszersége m ind enütt ism eretes, de maga az alak nem . És femerült még egy' másik veszélyes megfontolás is. Ez a páhuzamosok posztulátumára vonatkozott. Mert a vonalaegy harmadik nyugtalanító fajtája tolakodott azok közévonalak közé, amelyek eg ym ást m etszik és azok közé, amelegymástól állandó távolságra maradtak, tehát egymást nmetszették. Ezek a vonalak nem metszették egymást, nem is maradtak egymástól ál landó távolságra. A páhuzamosok posztulá tum ána k euklidesi fogalmazásában kvonal biztosan elvárható metszésének egymáshoz való köledésük volt a megnyugtató jellemzője, az állandó távols

egymástól a nem-metszést, a párhuzamosságot jelentetDe az aszimptoták révén egyszerre kiderült, hogy a közedós esetén sem kell feltétlenül metszésnek bekövetkeznIgaz, fel lehet ez ellen hozn i, ho gy Euklidesnél két egyenesitt viszont egy egyenesről és egy görbéről van szó, tehezek más törvényeknek engedelmeskednek, mint két egynes. De az aszim ptoták súlyos nyu gtalanságot keltettekés ez a párhuzamosok axiómáját évszázadokon keresztújból és újból vita tárgyává tette. Mert ez a posztulátum, és it t ismét re jte tt összefüggés van — valam iképpen ellemond a szemléletnek, a nélkül, hogy általában számot adnáróla. A szem világa, a «kúpvilág», ahogy előbb nev eztü



73

nem ismer párhuzamosakat. Senki, aki a világot szeméismeri meg, még nem látott «valóságban» párhuzamosokbármennyire furcsán hangzik is ez. Párhuzamos egyeneléte csak követelés, csak fikció, de nem szemmel láthatény. B izonyos : létezhetnek, távolságméréssel ellenőriztők és igazolhatók, éppen úgy mint ahogy lehetséges vovasúti sínpárt vezetni a végtelenségig, hacsak végtelen hés idő rendelkezésre állna. De ez kívül áll az észlelés lehe

Pergaiból származó Apollonios, a «nagy geometer» ó-hellén mesterek közt a matematika virtuóza, akivel antik matematika hőskora tulajdonképpen lezárul, e virtzitáson kívül a matematikának egynél több alapvető prolémáját vetette fel. S ha ő bizonyos szempontokból a gögeometriának zárókövét tette is le, éppen ez a vélt zárólett, mint az elkövetkező haladás megmutatta, ismét taköve a későbbi magasabb fejlődésnek.



Ö T Ö D I K F E J E Z E T.

D i o p h a n t o s .Matematika, mint írásmód.

i 'anulmányunk nem akarja a fejlődést a maga folytonoagában bemutatni, sőt ellenkezőleg, csak a legfontosabidőszakok bemutatására törekszik. Mégis szóvá kell tennüazt az általános kultúrtörténeti tényt, hogy miért csak észázados megszakítással következik vagy következhet egy tudomány további emelkedése.

Kortárs gyakran nem tudja ezt az űrt észrevenni, vagmegérezni. Mert feldolgozásra, bővítésre, általánosításra krülnek a nagy felfedezők által felvetett problémák. S meeshet, hogy fennálló hiányokat töltenek ki, és ehhez líjafelfedezésekre van szükség, olyanokra, amelyek minőségbnem m aradnak el a klasszikus idők k orszakalkotó felfedezémögött, csupán a tudomány általános helyzete folytán mnem korszakalkotó jelentőségűek. Ez az epigonok általánproblémája. Az epigon megjelölés nem csupán kisebb tehséget jelentj hanem gyakran az elkésett születés.szerencslen véletlenét. A z a körü lmény, hogy egy saját ha táraezernyi tényező beha tása folytán átlépni nem tud ó ku ltúkörön belül m ár nincs tenn ivaló, számos esetben nem egyén hibájára és tehetetlenségére, hanem inkább basorsára magyarázható.

De ilyen bonyolult és áttekinthetetlen kérdésekben, amlyekhez még olyan történelemmorfológiai kutatások szükségesek, hogy van-e kultúráknak ifjú-, érett-, és aggkonem lehet általános érvényű kijelentéseket tenni a nélkühogy a történeti tényeken erőszakot ne kövessünk el. Idtartozik az a kérdés is, hogy a fejlődés fokozatai népekhvagy kultúrkörökhöz kötöttek-e. De mit jelent a kultúrkö



75

ha nem élő népeken alapul? Nem csak Oswald Spenglemások is sokat írtak erről a kérdésről. De nem merülhetüszéleskörű vizsgálatokba főfeladatunk veszélyeztetése nélkMásrészt viszont nem mehetünk el szó nélkül az Apollonikövető időszak matematikai dekadenciájának váratlan tneménye mellett. Mert kétségtelen, hogy matematikai jeletőségű korról Diophantosig nem lehet szó.

Elesén fogalmazva meg kell állapítanunk, hogy a Kr. második századtól egészen a Kr. u. harmadik századig matematika egyetlen kivétellel csak a régiek örökségén

kezelésével foglalkozott. És ekkor is csak görögök voltaakik e feladatra vállalkoztak. A róm ai m atem atika nem jtekintetbe. A klasszikus Eóma népe harcos jogászokból áa nem jogi tanu lságot bizonyos fokig lenézi, na gy ha talm ászakértőket hozat a világ minden tájáról, ha technikaépítészeti vagy katonai okból szükséges. A római világulom nagy időszaka, a pun háb orúk végétől a Caesarokorának végéig, matematika szempontjából egyike a lemeddőbbeknek. E gy kivételt em lítettü nk . Ez a trigonometria fejlődése ós erről még lesz szó.

Szálljunk mégegyszer varázsszőnyegünkre és térjünvissza Apollonios kúpszeletvizsgálataihoz. Világos, hogy Archimedes által megkezdett alapos foglalkozás a görbékel, amely Apollonios-szal folytatódott, ösztönzést adovalamilyen szabály szerint görbült vonalak további vizgálatára, íg y fedezték fel K r. e. a második században Nikmedes a conchoist, a kagylógörbét, amelynek előállításá

Nikomedes conchois-körzőt is szerkesztett. Mivel itt, az anlízis kifejezéseivel élve, másodfokúnál magasabb fokú görről van szó, amelynek egyenletét ma(x^-\-yz)(x—a)z=ézxz

alakban írjuk, ezért ez használható volt a szögharmadolproblémájának és a delosi problémának megoldására. Alkmas erre Diokles cissoidá jais, amelynek egyenlete(a—x)y2=xs

Cissoida is felrajzolható mechanikusan cissoida-körzővHa még megemlítjük, hogy egy Perseos nevű geometerspirálisokkal foglalkozott ebben az időben, akkor felsorotuk a görbék tanának haladását Archimedes és Apollonikora óta.

További jelentős alakja a klasszikust követő kornak a



76

alexandriai H eron . H eron elsősorban gyakorlati ember vfizikus és földmérő ós ha talm asan fejlesztette a m értékgemetriát. Tőle származik az a híres képlet, amellyel az oldlakból kiszámítható a háromszög területe.

A már említett trigonometria, amely az ismertté vábabyloni, chaldeus alapokon, a gömbtannal karöltve indfejlődésnek, első na gy tud ós át H ippa rcho sban , a samoA ristarchos utódjáb an talá lja m eg. Ö fedezi fel többek ka stereografikus projekciót, amely az éggömböt egyik sarból vetíti az egyenlítő síkjára. Ekkor változatlanok mara

nak a szögek és a körök.A gömbtan az alexandriai Menelaos munkálataivalfejlődik tovább, a Kr. e. első században, míg végre OlaudiP tolemaios lesz, K r. u . 140 kö rül, nagyjelentőségű fejlesztIgazságtalan volna, ha azt a szinte pá ratla n tökéletességamelyet a göm btan és a trigon om etria P tolemaios m unkáibelért, nem tekintenő k korszakos jelentőségűnek. E nagy mtem atiku sna k, és csillagásznak, akinek világképe másévezredet befolyásolt, főműve, a «Megalé syntaxis» (naösszefoglalás) vagy arabul az «Almagest», olyan nagy beben volt, hogy a mű egy példányának kiszolgáltatása a kaltus és Bizánc közt kötött valamelyik békeszerződésnek egfő pontja volt. Ma is számtalan kifejezést használunk, amenek megalkotója Pfcolamaios volt. Kör és szögfelosztásáa részeket ő «partes minutae primae» és «partes minutsecundae*1 néven nevezi. Innen származik, egyáltalán nemkövetkezetes szóhasználattal, a minutum (perc) és secund(másodperc) elnevezés, hisz helyesen legfeljebb primum secundum szavakat kellene használni.

S ha mégsem tudjuk magunkat rászánni, hogy a trigonmetriát a fejlődés különálló fejezetének tekintsük, ez azvan , mivel ez csupán a m értékgeom etriának jól elhatárfejezete és így szigorúan véve na gy részével nem a tiszhanem az alkalmazott m atem atikához tartozik . H atalmgyakorlati jelentőségét vitatni nem lehet, nem is vitat

senki, épp oly kevéssé, mint azt a körülményt, hogy alapja szögfüggvények, Pythagoras tételével egyetemben a f1 Elsőrendű apró részek és másodrendű apró részek.



11

sőbb matematika alapjaihoz tartoznak. De keletkezéséneoka nem ez utóbbi volt, tisztán gyakorlati célok szem eltartásával fejlesztették naggyá, és ezért nem befolyásolönmagában véve korszakalkotó módon a matematikai godolkodás fejló'dését. H aladt a maga gyako rlati útján , m ia csillagászat segédtudománya, s végül, meglehetősen hamtovább már nem fejleszthető tökéletességet ért el.

Nem csoda, hogy az ókori klasszikus időket követő kmatematikájának gyakorlati irányzata mindinkább előtérbe hozta ismét magát a számolást. A számolás rossz hlassankint, észrevétlenül mindinkább megszűnt, és mHeron olyan kiterjedt számításokat ír le könyvében, hokönyvét később példatárrá dolgozzák át. A végrehajtoszámítások szükségessége még világosabban látszik Ptomaiosnál. Használható trigonometria kiterjedt számadatnélkül nem képzelhető el, és ezért alkotta meg Ptolemaialapvető, nagyarányú táblázatát, a «húrok táblázatátEz V2 fokos beosztással 0°-tó l90°-ig terjedt, és feladatamegegyezett a mai szögfüggvény-logaritmustáblák feladaval. A körmérőn szám megközelítő értéké t is ism erte , szerintew =3+ W+ -3Sö- =3W= 8-1 4 1 6 6 6- - -és ez a helyea

314159265.. . értéktől csak a negyedik tizedesjegyben tel, tehát nem nagyon kényes gyakorlati céloknak megfel

Az új életre kelt aritmetikával való foglalkozást az aúgynevezett új-pythagoreusok folytatták, közülük került a geresai Nikomachos, Krisztus utá n a II . században. Ugyehhez az iskolához tartozott a smyrnai Theon, ugyanabba ko rban, aki szintén az ar itm etik át fejlesztette és olyképleteket alkalmazott, amelyeknek alapján feltehető, hoismerte a lánctörteknek gyökvonás céljára való használat

Már m inden jel egy új korszak kezdetét jelezte, de történelem folyása az előre láthatótól eltérő volt. Igaez az új korszak Diophantos személyével megkezdődöDe ezzel ki is merült, s évszázadokra, sőt egy egész évezreelmerült a történelem színpadának süllyesztőjében.Dev még mielőtt megkíséreljük megérteni Diophantoteljesítményének lényegét és azt, hogy mivé fejlődhetvolna, el kell merülnünk az aritmetika és az algebra lénye



78

nek és az ezzel szorosan összefüggő számírás módszerénmegismerésében. Utóbbival kezdjük, mivel elsó'sorban ilymódon kerülünk szembe a szám okkal. A görög számírmódot fogjuk ismertetni, mivel az összes többi ókori nlegnagyobbrészt még a helléneknél is rosszabb számírámódot használt. Jobbat nem is fejlesztett ki egyik nép segészen Diophantos koráig.

Görögországban, Kr. e. az ötödik századtól kezdve olyszámírásmód fejlődött ki, amely az ábécé betűit használnéhány idegen nyelvből vett jellel kiegészítve, a számok í

sára. A jelek a következők vo ltak : l = a ',* 2 = / ? ' ; %=?';4=<J'; S = e ' ; 6 = q ; (ez a sémi vav be tű) ; 7 = C ; 8 = j /9 = $ ' ; 10=t'; 2 0 = * ' ; 30=A '; s tb . Látha tó, hogy a számjelként alkalmazott betűkhöz fent, jobbra, megkülönbötetésként egy ékezetet, vesszőt írtak. A mi többjegyű szmainkat összegként írt ák , a jelek nagy ságu knak megfelsorrendben következtek úgy, hogy miként minálunk, baról jobbra haladva a nagyob b megelőzze a kisebbet. Ilyekor elhagyták az ékezetet, s helyette az egész szám fövízszintes von alat húz tak . T eh át, mivel 300 jele r', vo345 rjíi alakban íródott. Ebben a rendszerben a nulla nékülözhető volt, mivel a mi nullával végződő számainknönálló jelek feleltek meg. Az ezresek jelölésére az 1—9 smok jeleit használták, megkülönböztetésül balra, lent láttel őket ékezettel. Tehát 7000=,C; vagy 9000=,??. Myriádkat, vagyis tízezreseket is le tudtak írni, de nem akarunmélyebben a részletekbe belemerülni.

Lássuk inkább a számok ilyen írásmódjának elvi kövekezményeit. A görög írásmó d, noha tagad hatatlanok előnyei m ás, pl. a róm ai, írásm óddal szemben, nem volt eléhajlékony eszköz a számoló kezében. Ezzel az írásmóddszorzást és osztá st, gyökvonásról nem is szólva, csak ngyon nehézkesen lehetett elvégezni. De még sokkal súlyosavolt a második körülmény. Egy nép, amely a természetszámokat betűkkel jelölte, nem jöhetett arra a gondolatrhogy betűk kel általáno s szám okat jelöljön, és ez a k örülméhelyesebben ez a történelmi véletlen, végzetes volt az egégörög matematikára. S alig akad gondolkodó ember, akifejlődése láttán fel'nem teszi a kérdést, hogy mivé fejlő



7y

betet t vo lna ez a görög m atem atika, ha hozzá méltó a lgebtámogatja.

De legutóbbi célzásunkat részletesebben is ismertetnünkell. H isz m ár nem egyszer volt alkalm unk a görögök kivalgebrai teljesítményét említeni. Mit jelent ilyen körülmnyek közt ez a sajnálkozás az algebra hiányán? Formadolgokról van i t t szó, kifejezési m ódról, va gy a különbsmélyebben rejlik? Bizonyára a második feltevés a helyegehol sem állítottuk, hogy a görögök betűkkel számoltavolna, mindenkor csak «geometriai algebrájukról)) beszéltü

Ezen a fokon mindent röviden algebrának mondunk, háltalános számokkal való számolásra vonatkozik. És ailyen algebrának a fejló'désében — Nesselmann nyomámondjuk — három fokozat van. Elsó' fokon a «szóalgebrcsak nyelvi eszközöket alkalmaz. Ennek a lehetó'ségét görögök már Pythagoras óta ismerték. Ezen az első" foktehát m indazt, am it képletnek nevezünk, szavakkal kell kijezni. Ilyesformán : «a három szög te rü le te mind enk or egyeaz alap, szorozva a fél magassággal, vag y a fél alap , szoroza magassággal, vagy az alap és magasság szorzata osztvkettővel.)) Más példa : «A kör kerülete egyenlő az átmérmegszorozva egy 3 =-r és 3 =^- közt fekvő számmal.)) I lymódon azonban egyén leteket is lehet tárg ya lni és megoldaLegyen például a feladat, hogy keressük azt a számot, amehez 15-öt kell adnun k, hogy6 négyze tét kap juk . Ma így írjuk :15 -f£ =3 6, és a megoldásÍC=36—15,vagyis 21 . Szándékosanválasztottunk nagyonegyszerű példákat, de tudjuk, hogy agörögök nem riadta k vissza bonyolult egyenletrendszereknilyen pl. Arehimedes «ökörfeladata», pusztán szavakkal vmegfogalmazásátólsem.E biztosan létezett szóalgebrát lényegesen egyszerűs ítette a geom etriai szerkesztés, az összeilletés,görbék metszése, st b . E módszernek egy, igaz egyetlennagy előnye van . Geometriai eszközökkel nehézség nélksimán, egyértelmű vonalként kaphatjuk meg egyenlete

irracionális m egoldását is, am i aritm etikai eszközökkel nevolna lehetséges. H a teljesen eltekintünk az egyenletegeometriai megoldásának nagy, sőt sokszor áthághatatlanehézségeitől és attól, hogy ehhez különös intuitív tehets



80

is kell, fennmarad még az a hátrány, hogy ilyen eszközöa számrendszer negatív, vagy imaginárius számokkal vkibővítése teljesen lehetetlen, sőt az ilyenek tárgyalásásem lehet szó. Továbbá, hogy a dimenziók száma is lehelenné teszi másodiknál magasabb fokú egyenletekrevaló alkalmazását, hacsak kúpszeletek, vagy esetleg magasabbregörbék, conchoisok, cissoidák metszését nem alkalmazzDe ennek is volna határa, amelyen alig lehetne túljutni

De történetkritikai szempontból és külsőleg nézve métöbb, mint csodálatos, hogy az algebra második foka, amnek kezdetei a halomszámításban már az egyiptomiak eismeretesek voltak és amelyet innen a hellének is bizonyismertek, még Alexandriában sem fejlődött tovább. Haz egyiptomiaknak már Ahmes fáraó idejében külön hierofájuk volt az ismeretlen, a keresett nagyság jelölésére, néhány operációs jel, az összeadás, a kivonás jele számárAz összeadást az írás irányába haladó lábak jelölték, a vonást ugyanilyenek, de az ellenkező irányban haladva

Azt a rendszert, amely algebrai tételeknél, ilyenek a kletek, vagy az egyenletek, a mondatszerkezetet, tehát a vakba öltöztetést elvben még megtartja, de egyes gyakvisszatérő nagyságot, fogalmat, operációs jelet már rövtéssel jelöl, szinkopált algebrának nevezzük.

Most már eljutottunk addig, hogy Diophantosnak ókorban magában álló újításával foglalkozhassunk. Ez iskpéldája a szinkopált algebrának, és Diophantos művén mlátszik küzködése az új kifejezésmóddal, ami az új írásmnem teljesen következetes alkalmazásában nyilvánul mNincs tudatában, legalább is úgy látszik, rendszere jelenségének, és valószínűleg csak azt hiszi, hogy csupán muntakarít meg és az áttekinthetőséget növeli. Azt sejti, hfélig öntudatlanul egy hallatlan pontossággal dolgozó ((gdolkodó gép» birtokába jutott, de semmiesetre sem láttateljesen világosan. Az algebra ilyen nagyon fontos alapvkérdéseiről még szó lesz ebben a fejezetben, de lássuk e

Diophantos rendszerét.Kutatásainak fő területe az egyenletek vizsgálata és moldása. Minthogy azonban minden egyenletben a főszerea kereskedő nagyság (melyet ma pl. a;-szeljelölünk),az «isme-



81

retlen» játssza, Diophantos először ennek jelölésére kerröv idítést. Az ismeretlen első ha tv án yá t, jobb híján, rövid<a szám* (arithmos) néven nevezi. És a sigma betű szóvéalakjával írja le, amelyhez fent, jobbról ékezetet tesz. Tehnála az ismeretlen jele g'. H a a többesszám át aka rja jelölakkor így írja : es- Elágaznak a vélemények, hogy miéválasztotta éppen ezt a betűt. Egyesek azt állítják, hogkénytelen volt ezt választani, minthogy a görög ábécé össztöbbi betűje természetes számok megjelölésére volt lefoglalMások szerint aza és q összevonása a g,a ésq pedig az arithmos szót ké t kezdőbetűje. A z ismeretlen magasabb ha tvá nszámára azonban Dipohantos már nem talált olyan betűamely természetes szám jeleként ne lett volna használatbaÚgy segít tehát magán, hogy a hatvány nevének kezdőbetjéhez jobbra fent egy második kisebb betűt ír, és ez a beminden előforduló ese tben az w bet ű . Tehá t a2 jelölése§*-(dynamis=négyzet) ,xs jele xe (kybos=kocka), a:4 jeledd*(dynam odynamis = a négyzet négyzete),*;5jeleőx1 (dynamo-kybos = négyzetszer kocka), és végüla6^*** (kybokybos),kockaszor kocka). Tovább nem ment. Viszont ama törtemegjelölésére, amelyeknek számlálója az egység, nevezőpedig az ismeretlen valamelyik hatványa, szintén van jelés ez ide sorakozik a fenti jelölésekhez. A. tört jelölésére a J-jel mellé még egy, a görög% (chi) betűhöz hasonló jelet ír,

1 1 1tehá t - 3 (dynamoston) jele£"*, — (kyboston) jele x4**, —4

X SC SC

(dynamodynamoston) jeledő**, stb . A z első ha tvá ny reciprokértékének, — ne k a neve arithm oston . Az ismeretlenelső hátaiványa, vagy ennek reciprok értéke mögé csak az együtthamegjelölése került, te hát 15a; jele ss<^. De m ivel egyenleteben állandók is előfordulnak , ezeket félreértések elkerülévége tt, külön m eg kell jelölni, főképpen azé rt, mivel az össadásnak nincs külön jele és minden összegezés mint puszegymás mellé írás jelentkezik. Ez a megkülönböztető jel p (my) betű, amely mellé fönt egy kiso (omikron) kerül, ígyju8, és ennek jelentése «egység» (monas). "léhát 23a2-f 14 jelölésed^pcpPtő.

De ezzel még nem merültek ki Diophantos szimbólumafi CnlRTiia: Pv th ae or as .



82

A kivonás jelét is ism eri, ez a jel egy m egfo rdított pszi betű: ([>.Ez állítólag a «leipsis» szónak ligaturája (összevont rövitése),ezzel Diophantos a «hyparxis», összeadás, ellenkezőja kivonást jelölte. Végül némely helyen az «egyenlő» (ieisin) helyett egyszerűen azt (iota) betűt találjuk. Ez a«némely helyen* korlátozó megjegyzés nagyon fontos. Emeg fogjuk látni néhány Nesselmann által közzétett eredpéldán. A következő például egy egyenlet:

es°l aga t p°l taoi elatvseo í s T a fiováat T e.

adószerűit a következőt je le n ti : «10 ismefetlen, íme, és egység annyi, mint 11 ismeretlen és 15 egység», tehát mírásmódunkkal 1 0 x + 3 0 = ll a ;+ 1 5 . Felhívjuk a figyelmarr a , hogy az ism eretlen je le m ellett fent az «oi» és «ois» bevannak, a hímnemű nominativus és többesszámú dativjelölésére. Olyasféle ez, mint a napok megjelölésére a számhoz írt kis betűk, pl. augusztus 8án. Diophantos továbbáfenti példában a «monas» szót először nominativusban rödíti, de másodszor dativusban teljesen kiírja. Végül netaláljuk a fenti példában az egyenlőség «jelét», helyette egyenlő (isoi eisin) szavakat teljesen kiírja. Ebből látjuhogy mennyire foglya még Diophantos minden gondolatarégi szóalgebrának, s m ennyire csak rövid ítést jelent számszimbolikája, ugyanúgy, amint a rövidítések gyakran elforduló szavakkal vagy végződésekkel kapcsolatban a mamatikán kívül is szokásosak voltak. Az eredeti szöveg mhelyen két többtagú (polinom) hányadosát olymódon írle, hogy a mi törtvonalunk helyére a «moriou» szó kerü1

s mindaz, ami e szótól jobbra van, a tört nevezőjét jelenMaga a kifejezés a következő :

$CC Xstípstse xő fioQÍoo dafjPcfi ÁeíípetssCés a mi algebrai írásmódunkon a következőt jelenti

'Jx2 24a:—., , „ =—. A z írásm ód m egin t nem téliesen következe tea ' ' + 12 —7a; 8 J

A kivonás<f> jele helyett kétszer is kiírja a teljesXeíípsc szót,azoi2 együtthatójaként az egységeta külön kiírja. Diophantos

Máshelyen Diophantos az «en morioo szavakat is használja.



8g

írásmódjának következetes alkalmazásával tehát felírunk e

e célra általu nk szerkesztett példát és ez tarta lm azza Diophantos által különböző helyen alkalmazott összes rödítést. Ez a példa a következő egyenlet:

és ez Diophantos szerint felírva a következő :őx^e'fífifi0} [XOQÍOUs'etf> [j°@ c xx^xs yPa).

Ebben m ár nem fordul elő szó, a tö rt e t jelölő m oriou kivétevel, noha ennek egy felfordítottrl betű nagyon kézenfekvőszimbóluma lehetett volna. Némiképpen következetes alkmazás esetén Diophantos már igen fejlett algebrai írásmódal rendelkezik, persze el kell tekintenünk a számok írásátmivel a helyértékrendszer még ismeretlen.

De kerülni akarjuk a filológiai kicsinyességet, éppúgmint Diophantos vizsgáztatását. Csak egy nagyon fonto

kérdésnek akartu nk a végére járni . Ezt általában az algebjelentősége kérdésének mondhatnók, különösen pedig aalgebrai írásmód kérdésének. Nem tréfa ugyanis, hanem töténelmi tény, hogy a régi görögök geometriai algebrájánajelentését később fejtették meg, mint a hieroglifákat, nohDiophantos és a késői arabok lényegükben már az újkoefejón érthetők voltak.

Először tehát az algebra jelentőségének kérdését kell fevetnünk, de ez már feltételezi azt a további kérdést, hogmi az aritmetika jelentősége a matematikai gondolkodásbahisz az előbbi az utó bb ibó l fejlődött k i. Filozófiai fogalmazban a probléma alapja a fogalom és a szemlélet különbségKant kifejezéseivel élve, azt mondhatjuk, hogy az ész a foglomalkotás képessége, míg a szemlélet a látott dolgokat bitosítja számunkra. Az ész úgynevezett diszkurziv képesséez azt jelenti, hogy eredményeinek elérésére a dolgok egymutánjára van szüksége, viszont a szemlélet úgyszólván idő

len és egyetlen pillantással ny erhető . De ezenfelül az ész valbirodalma a taglalás, a felosztás, a szemlélet viszont szinttikus,összerakó képesség. Már Zenon paradoxonainak tárgyalása alkalm ával szó vo lt ilyesmiről. V alódi folytonosság

e*



84

csak szemlélet" tu d m eg m uta tn i. Egy vonal, egy felület, etest szemléletszerííen folytonos, kontinuus dolog. De ha a dolgot az ész segítségével akarom felépíteni, akkor a véelemekig kell visszanyúlnom, az elemi építőkövekig, az amokig. Az atomok azonban mindenkor valahogy megszámhatok, még akkor is, ha azt állítom, hogy számuk végtel

De nem m erü lhe tün k el i t t m élyebben ilyen filozófiai megondolásokban, mert akkor súlyos anachronizmus vétségesnénk. Még csak Diophantosnál ta rtu nk , és nem a m odeismeretelméleti kritikánál, vagy halmazelméletnél. Csupazt akarjuk megállapítani, hogy a szám és a számosság éműködés ered m ény e és az is észműködés, ha ezeket a számkat különféleképpen összefüggésbe hozzuk egymással.A szemlélet működése viszont az alakra vonatkozik, tehát mindaramit tulajdonképpen geometriának nevezünk. Magától értődő,hog y az ész és a szemlélet ne m lép sehol egy m ástól fügetlenül, tisz tán , kev eretlen ül m űköd ésbe, hisz K an t szerinfogalmak szemlélet nélkül üresek és a szemlélet fogalmak nkül vak. A végtelen önmagában véve elképzelhetetlen fogmában is rejlik valami ködös szemlélet, és a háromszög kis magán viseli a csúcspontok számának, ezek összekötéséfogalmi elemeit.

Egy matematikai problémában a fogalmi és szemléletelemek különféle a rá nyb an kev eredhetnek. És éppen a m eglepő, hogy a fogalmak látszólagos üressége és a szemllátszólagos megvak ulása különösen alkalmas ar ra , hogy mmatikai erőket mozgásba hozzon. Geometriai tényeket pusvázzá tud un k halvá ny ítani és számokat szimbólumokkal úfelöltöztetni, hogy más , m in t a legáltalánosab b számfogalne is maradjon belőlük. De éppen ez az algebra lényege. Nszámokkal, azaz konkrét számokkal foglalkozunk többé, nem számokkal általában, vagy amint másképp is mondhnók : számhelyettesekkel. Keresünk egy ilyen és ilyen smot, vagy egy ilyen és ilyen négyzetszámot. Nem ismerjmég, mert ha ismernó'k, nem kellene keresnünk. De még

előtt megtaláltuk volna, már nevet adtunk neki, már számlunk vele olyan szabályok szerint, amilyeneket egyébkécsak valódi számokra alkalmaznánk, összeadunk, kivonuszorzunk, osztunk ezekkel a még ismeretlen számokkal, né



85

zetre, íi-edik hatványra emeljük Őket, gyököt vonunk bellük. Röv iden, úgy bánu nk velük, m in tha term észetes számvolnának.

Mindaz, am it eddig elmond tunk, gondo latban is lejátszóhatnék. Ez fogalmi, logikai működés, és nem kell, hogy csaz ő céljait szolgáló, írásmód is kísérje. És valóban ez volgörögök helyzete az algebra terén egészen Diophantosi«6ondoltak» algebrát, «beszéltek» algebrát, de nem <ártaalgebrát, vagy ha le is ír tá k , a leírás akkor is csak közönséghétköznapi nyelven történt. És maga Diophantos is, mi

már láttuk, az egyszerű rövidítés és az önálló szimbólum íközt levő fokon kezd te el az a lgebrá t «írni». Miként lehet teés m ikén t kell az alge brá t írn i? A zt feleljük, hogy az algebszimbólumokkal és parancsokkal írjuk, és hogy így nem cpán gyorsírási, hanem sokkal mélyebben rejlő szempontoból írjuk. Bizonyos : nem lebecsülendő előny, hogy rövid(a-\-b)2~a2+2ab-\-b2 alakban írh ató a köve tkező hosszúszövegű tétel: egy kéttagú kifejezés második hatványegyenlő a tagok négyzetének és a két tag kétszeres szorzanak összegével. Ezzel időt , át tekin tést és az egész szerkezetbep illantást n yerün k. A z így nyer t kifejezést ismét négyzeemelhetjük, ha mondjuk így írjuk :f(a2-\-b2)-\-2ab]2. És megkapjuk az ere dm én yt: először(a2+b2)2+2.2ab(a?+b2)+(2abz(alakban, amit könnyen kifejthetünka i+2a 2b2+¥+áa sb+-$-4abs-\-áa2b2 alakba, ésebből az egynevű tagok összevonásával aza?+4:azb+6a2b2+áabs+bi alakot kapjuk. Ilyen művelet szavakban kifejezve már súlyosan terhelné képzelőteh

ségünket, a szimbolikus írásmóddal viszont csak némi figymet igényel, és valamelyes tiszta írást, hogy a hibákat ekerüljük. De még sokkal több történik itt. A szimbólum(ezek az álta lán os szám ok jelei, az a és ab,vagy Diophantos-nál a g) ós a parancsok vagy operátorok vag y operációs szibólumok ( + , —, = , stb.) szinte önálló életre kelnek. A lgritmu ssá, gondolkodó géppé kapcsolódnak, s nincs má r m ászükség, mint hogy néhány nagyon egyszerű szabálynengedelmeskedve használjuk őket. Az izolált fogalmak öműködően gondoskodnak minden egyébről, hiba lehetősénélkül és a végén ott találjuk az eredményt. De Diophantidejében még itt sem tartunk, noha ő, az általa teremte



86

eszközökkel eljuthatott volna idáig. Legfőbb érdeme, honála kezdetét v e tte egy algebrai írásmó d, egy úgynevez«notáció», de nem egy algoritmus. A notáció nélkül terméstesen algoritmus sem létezhet. De utóbbi kifejló'déséhez mhosszú az út, mint a következő' fejezetben látni fogjuk. sem mond ennek ellent, hogy Diophantos egyik helyen eértelmű általános szabályt ad egyenletek megoldására. Amondja : «Ha egy feladattal kapcsolatban olyen egyenlejutunk, amely ugyan egynemű általános kifejezésekből áde oly módon, hogy az együtthatók a két oldalon eltérőakkor addig kell egyneműt egyneműbó'l levonni, amíg egylen taggal egyenlő egyetlen tag nem marad. De ha az egyoldalon, vagy mindkét oldalon levonandó mennyiségek vannak, akkor a levonandókat mindkét oldalhoz hozzá kadni, mindaddig, amíg mindkét oldalon csak összeadandmaradnak. Ekkor ismét addig kell egyneműt egyneműblevonni, amíg a két oldalon egyetlen taggal egyenlő egyettag nem marad.» öantor megjegyzi e hellyel kapcsolatbhogy ez egy egyenletnekaxm=bxn alakra való visszavezetésétjelenti, aholm és n egymástól különböző egészszámok, ésegyikük nulla is lehet. Ez a szabály, mondja tov ább á Cantannyira egyértelmű, hogy hozzá hasonlót az ókorban ritktalálunk.

Cantorra hivatkozunk itt, igazolni azt az állításunkahogy Diophantos még nem találta fel az algoritmust, általános gondolkodó gépet. Mert egyébként feltűnik Diophantos által megoldott feladatokon az a szinte valszínűtlen személyes virtuozitás, amellyel ő minden feladhoz hozzányúl. De a feladatokat külön-külön kezeli, és nfoglalja; az összetartozó dolgokat általános szabályokbaNem állított fel tehát, mint egyszer Descartes a görög mamatikusokról mondja, általános érvényű módszer szerint sbályokat, csupán azokat szedegette össze, amelyekkel véllenül találkozott. .

Megjegyezzük tehát mégegyszer, hogy Diophantos —bár egy pillanatig sem vonjuk kétségbe lángelméjét — fejdéstörténeti szempontból csupán az algebrai notáció, írámód úttörőjének mondható, habár az egyenletek, különöspedig a határozatlan egyenletek, megoldására számos péld



87

egészen új módszereket vezetett be. Lássuk most valamivközelebbről ezt, a notáció feltalálásával vetekedő jelentősémőködését az egyenletek terén.

De előbb még egy megjegyzést, Diophantosnak nem avolt fontos, különösen határozatlan egyenletek esetén, hovalamely egyenletnek valamennyi megoldását megtalálLegtöbbször megelégedett egyetlen megoldás megadásávMég kevésbbé igyekezett azon, hogy csak egészszámú megoldsokat keressen. Az erre vezető eljárást csak fordítója, Bacde Méziriac teremtette meg a XVII. században. Ezt azékell hangsúlyoznunk, mert ma az iskolai oktatás ós a tudmány csak akkor nevezi «diophantosinak» a határozatlaegyenletet, ha egészszámokkal megoldható, illetve ezeket egészszámú megoldásokat illeti a «diophantosi» jelzőveDiophantos maga, műveiben mindenütt, csak pozitív, racinális megoldást követel. Irracionális mennyiséget, görölévén, nem tekin t számnak, a ne ga tív mennyiségeket illetőpedig, az egész ókorhoz hasonlóan, eszébe sem jutott, hoazokat is szám okk ént, vagy egyenletm egoldásokként fogael. Hisz geometriai szempontból, különösen a görög geometria szempontjából, semmi értelmük sem volt. De nelégedjünk meg csupán ezekkel az utalásokkal. így külöleges érdemeit nem látnók kellő megvilágításban. Ezeegyáltalán nem kicsinyek, sőt néha határozottan csodálatrméltók. Hiszen különösen egy nehézséggel kellett állandóküzdenie. Ez a nehézség úgyszólván a «nyersanyagbólvagy szerszámainak h iányosságából kö ve tkezett. Mivel s betűn kívül más, számot nem jelentő betűt ismeretlen jellésére nem talá lt, kény telen m indenko r egyetlen ism erelennel dolgozni. Segíthetett volna ugyan magán, ha máábécéből vesz kölcsön je le t. De ez neki, a görögnek, bizonynem tetszett, hisz a régi hellének még az idegen szavakat kerülték.

Főművének címe «Arithmetika» és számokra vonatkozáltalános megjegyzéseken kívül egyenletek megoldásávfoglalkozó példákat tartalmaz. Az első' könyv 39. példápéldául azt kívánja, hogy két adott számhoz keressünk egharmadikat úgy, hogy a három számból kettő-kettőnek aösszege a harmadikkal szorozva olyan három számot adjo



88

amelyeknek különbsége állandó. Bizony bonyolult feltételDiophantos a következőképpen okoskodik : Legyen az adkét szám 8 és 5, a kerese tt p edigx, (Diophantosnál természetesen s). így a három szorzat3 ( Í E + 5 ) ,5ia;+3) és #(3+5).Ezek közül az első szorzat,Bx-\-15,nem lehet a legnagyobba második 5 r + 1 5 a legnagyobb vagy a középső lehet, harmadik, 8*, egyaránt lehet a legnagyobb, a középső vaa legkisebb. Minthogy különbségeik a feltételek szeriegyformák, a legnagyobb ós a legkisebb összege egyenlőközépső kétszeresével, (mai írásmód szerint: ha %—d=a2,és az—á=a3 akkor os1+as3=2aí2). Legyen most 5z+15 alegnagyobb,8x a középső a három közül, akkor(5x-\-15)-\-+(Sx-{-lS)=2.8x,vagyis 8a;+30=16x. Ha viszont 5r+15 alegnagyobb, de 3a;+15 a középső, akkor( 5 O ; + 1 5 ) + 8 Í C = ==^3a;-f-15), és ebből1 3£ + 15 = 6a ;+ 3 0. H a végül 8a; a legnagyobb és 5a;+15 aközépső, akkor 8a;+(3a;-|-15)=2(5a;-fl5)vagyis U x-\-lb=10a;-|-30. H a most a háro m egyenletetkülön-külön m egoldjuk, az eredm ény sorbanx=15/4 ,x = 1 5 / 7és a;=15. Mind a három megfelel a követeléseknek. E példból világosan látható, hogy Diophantos lényegében hároegyenlettel, de külsőleg csak egye tlen ismeretlennel dolgoz

De hogy lássuk, milyen virtuozitással bánt Diophantoaz akkoriban igen bonyolultnak számító határozatlan egyletekkel, bemutatjuk, Zeuthen átírásában, a Diophantosngyakran előfordulóyz=a 2£z-\-bx-\-c ós í/2=aa2+&a;+c2egyenletek megoldási módját. Azelsőt Diophantos úgy oldjameg, hogy azy=ax-\-zhelyettesítést alkalmaz, a másodiknála helyettesítésy=zx-\-c.Az első esetben a helvettesítés után(ax-\-zf=a?Jcz-\-bx-\-c, vagyisa?j?-\-'2axz-\-zi—a2xz-{-~bx-\-c,ebből 2axz-\-zz=bx-\-c, és ebből2axz—bx=c—zz, vagyis

x{2az—b)—c—z2 és végeredményébenx=— -. Külön-2ÍOJZ—o

bözőz értékek m ost m ár gyo rsan és biztosan adn ak racionálx értékeket, a;-ből pedig adódnak a megfelelő,y értékek.Legyen pl. az eredeti egyenlet a;2=16a;2+3a;+10, akkor azy=&x-\-zhelyettesítést kell alkalmaznu nk. A fentiek szerint(4a;+«)2 = 1672+3a; - f l0 , 16a ;2+ 8 TO +2̂=16a ;2+3a ;+10)8 ^ + «2= 3 a;+ 10 és ebből z =5 =-.



89

Ha most olyan z értéket választunk, hogy az eredmény

ne legyen negatív, mondjuk z=2, akkor x= __ g = -j3"-

A hozzátartozó y=(4x+z)= \j^ + 2j = — j ^ = -^.

jj a ezt az eredeti egyenletbe behelyettesít jük, akkor

(£)-»•&)•+-4+>•2500 576 234 1690

tehát l g 9 - 1 6 9 + 1 6 9 + 1 6 9

és ennek helyessége nyilvánvaló. Analóg módon történik amásodik egyenlet megoldása is. Zeuthen megjegyzi, hogyma is ilyen helyettesítéseket alkalmazunk, hogy irracionálisdifferenciálokat racionálisakká alakítsunk át. TermészetesenDiophantosnál az egész lényegesen bonyolultabbnak látszik,mivel ő csak egy ismeretlent alkalmaz és így minduntalanközbenső' egyenleteket kell beiktatnia. Főképpen az zavarjaaz olvasót, hogy különböző egyenletekben az ismeretlen jele,noha jelentése is különböző, mindenkor s (illetve négyzetéé d).Annál csodálatosabb a biztosság az alkalmazásban. Már elsőpéldánkon tapasztalhattuk ezt a nehézséget, ahol a háromegyenletben az x mindenkor mást jelentett. Ha ez egyetlenhatározatlan egyenletben fordul elő, akkor még fokozottabbmértékben növeli a nehézségeket.

Lássuk végül a Diophantos egyetlen harmadfokú egyenletét, mai írásmódunkkal: (x—l)8=(x+l) %-\~2. Kiszámítvag?—3a, 3+3a;—l=i 2+2;r+l+2 és Diophantos szokásainakmegfelelően átalakítva a; 3+u;=4t 2+4. 0 ugyanis mindenkorúgy alakítja egyenleteit, hogy csak pozitív értékek forduljanak elő. De adot t esetben ez további átalakításra nyújtlehetőséget: X{J.Z+l)=4(a;2+l) és ebből osztással x=é eredmény adódik. A másik két megoldásról, amelyek példánkban képzetesek, természetesen nem esik szó.

De Diophantosnak ez az egyenletek megoldásában mutatkozó és majdnem kalandosnak mondható, ügyessége magyarázza meg későbbi hatását. Egyenletei felállításával kap-



90

esolatban gyakran messzebbmenő számelméleti igazságobukkan. Bájon például, hogy akkor is négyzetet kapunk, a derékszögű háromszög átfogójának négyzetéhez a befogkétszeres szorzatát hozzáadjuk, vagy belőle levonjuk. Teha2+&2-|-2a& mindenkor négyzet, ami algebrai szempontbtermészetesen teljesen érthető', hisz a fenti kifejezés neegyéb, m int{a±bf. Itt azonban mint a derékszögű háromszög oldalai közt fennálló újabb összefüggés jelentkeziFelfedezi továbbá, hogy 65 kétféleképpen állítható elm int két szám négyzetének összege, még pedig mint (16+4

és (1+64 ). 65 viszont 5 és 13 szo rzata , ezek mindegyike sztén két szám négyzetének összegeként írható. Algebránnyelvére lefordítva ez a következő összefüggéseket jelen(a2+b2). (cz+d2)^(ac—bd)2+(ad+bc)2==(ac+bd)2+(ad—bc)2.Bájon végül Diophantos arra is, hogy minden négyzet tszés szerint sok m ódon bo ntha tó másik két négyzeösszegére. Legyen ugyanisü2 a felbontandó négyzetszám, x2 az egyik,(mx— a)2 a másik rész ; m it t teljesenszabadon választható. Akkor a2 = x2 + m2x2 —2amx+ a2,ebbőlx*(m2 + 1 ) = 2amx,ós x (m2 + 1 ) =2úsm.Végülx == —2 _r-j-- A. másik négyzetszám eb bő l:{mx—a) =

=m 2 , 1 — a = a „ ,J . Valóban ö2= ———.a +\mz + 1/ \m-+ 1/ \m% + 1 /+ 1— TTTT' i ' "^"a P^"1^ 2 =225 számot akarjuk felbontani, és azm = 3 értéke t választjuk, akkora2 = 225 == 92 + 1 22 = 81 + 1 4 4 . H a az m = 5 értéket választjuk,akkor a2 = 225 = ( _ ) + ( - ^ =- j — = 225.

Ezek a számelméleti megismerések később a XVIIszázad szám elmé let-kutatóira, különösen Fe rm atra , nagyösztönzően hatottak.

Bármennyire érdekes volna, nem akarjuk már az olvasDiophantos művének részleteivel terhelni. Csak be akartuőt mutatni. Mert puszta véleménnyel nem ábrázolható hellén kor egyetlen nag y , igazi alge bratu dósa. Az a körülm é



19

hogy egyetlen maradt, történelmi szempontból egy bomlfélben levó' kultiíra keretein belül elfoglalt helyzete alapjérthető'. Nem volt utódja, követője, mert a hellénség teremereje kimerült. És talán még inkább azért nem, mert művelhagyta a hellének által addig követett utakat.

Tudományunk történetében minden esetre magában álljelenség. Magában is egy egész korszak. Mert elsőnek alkomeg a szimbolikus írásmódot és ezzel ledöntötte a szó-agebra ós a geometriai-algebra korlátait.



H AT O D I K F E J E Z E T.

Alchvarizini.Matematika, mint gondolkodó gép.

Varázsszőnyegünk most saját, szülőföldjére visz. H irtel

az ezeregyéjszaka világában vagyunk, a nagy AlmansH aru n al Ea sid, A lmamun kalifák városáb an. A város nB agd ad, ós az álom szerű gyorsasággal felvirágzó ku ltúmost, a nyolcadik és kilencedik század batárán nem öregeegy évszázadnál. Mert csak a népvándorlás viharai utkovácsolta az izlám kötőereje az add ig semm ibe sem v ecsavargó, a sivatagban csillagos éjszakákon egymásnak meket mondó nomád népből egy hatalmas és nagyrabecsükultúrnemzetet .

A nyug ati világban minden meg vá ltozo tt : MerovingoKarolingok, Pippin, Nagy Károly. Az utolsó, félig üres, szlemétől rég elhagyott filozófus iskolák kapui Kr. u. a hatoszázadban végleg bezárultak, az alexandriai könyvtárak fosztve leégtek . Elfajult hellénség ól még mereven, m in t aranyos mozaik, egy csalfasággal, kegyetlenséggel, parázsággal és félműveltséggel telt birodalomban : Bizáncban.

A klasszikus ku ltúra elmerülése előtt még két m atem atikemelkedett fel magasabb röptű geometriai gondolatokhDe ők sem korszakos jelentőségűek, inkább gyűjtők és visstekintő k, noha a lángelme szikráját m agukban viselik. Egkük Pappos, a másik Proklos Diadochos. A matematitörténetének leírásából egyikük sem hiányozhat, mert önáku tatáso k is fűződnek nevü khö z. A történelem megemlítaz alexan driai Theont és szerencsétlen lán yá t, H yp at iá t úgyszólván az egyetlen nőt, aki ősi idők óta helyet érdemki a m atem atika történ etéb en . Julianus császár, a hitehag yvédelmet nyújtott a filozófus iskoláknak a mindenfelől elő



93

törő kereszténységgel szemben, és a műveltebb osztályakkor még egyáltalán nem tértek volt meg. Sőt még évtizdekkel Julianus halála ut án sem. H yp atia pogány volt, nagy becsben állt magas tudományos rangja folytán mégynesios ptolemaisi püspök előtt is. Még alexandriai Oresta császári prefektus is jóin du lattal volt irán yá ba n. De meesett, hogy éppen ez a prefektus utasította vissza Cyrillpüspök hierarchiai követeléseit . H yp ati át gy anú sítottáazzal, hogy befolyást gyakorolt a pre fek tusra . Ezé rt a cscselék darab okra té p te . A lexandriának ugyan az a nag

városi csőcseléke volt ez, amely 20 évvel korábban, vallsosság örve alatt, Theodosius parancsára a pogány templmokat elpusztította és elvakult rablásvágyában a Serapitemplomot, az alexandriai könyvtár utolsó menedékét fegyújtotta és földig lerombolta.

Szimbólumként h at H yp atia halála és szimbólum , hogykor a szellemi nagyság korának emlékeit szétrombolta. Deszellemvilágnak éppen ezen a helyén kezdődik az arabok h

vadhatatlan érdeme. Varázsszőnyegünk visszavisz, ismétkalifák székhelyén vagyunk, ott, ahol nemcsak a Seherezadálltak becsben. Az arab kultúra nagyon férfias jellegű voés így nagyon hajlott a m atem atik a felé. Tüzes igyekezetta most beérkezett nép fanatizmusával gyűjtik Hellas öröségét, a kéz iratokat. De nem csak görög papirusoknak vnagy értékük Bagdadban. Új-perzsa pehveli szövegeszanszkrit szövegek kezdik a könyvtárakat megtölteni, fodítók serege fáradozik Euklides, Archimedes, MenelaoPappos és főképpen Ptolemaios «syntaxis»-ának arab fortásán. Ezt az utábbit azután századokig csak «Almagesnéven emlegetik. A z iskolák tanm en ete, — mivel a ma tmatika közkincs lesz — Euklidesszel kezdődik és az Almgesttel végződik. Közben a tud om án y egy m ás alk atú nlelkén tükröződik, egy matematikai és logikai tehetséggmegáldott szellemen, de amelynek legfó'bb jellemvonása Oswald Spengler által «mágikusnak» nevezett irány voA görögség a szemlélet világában m ozogva harm ón iát kesett, viszont a mágikus lélek a gondolkodás terének szerketét ke reste . Valam i ha llatlanu l hideg , de csillogó külső' rakdo tt erre a világ ra. Minden kép és fogalom, alkotá s és fog



94

mazás éles lesz, mint egy kis rekesznyílással felvett és igkeményen másolt fénykép. És ebben a szellemi magatartban nem jelent törést, ellenmondást, ha a kedély e melltarka mesékben keres menedéket. Mert Aladdin csudalápája is kertekbe vezet, ahol csiszolt drágakövek lógnak a ágakon. E ku ltú rábó l azonban hiányzik a festészet és a képművészet. A z életből m indazt száműzik, am i irracionálLegalább is a lá th ató világból, s m aradván yai legbelülrefantázia ós a varázslat világába szorulnak.

Kimondtuk a varázslat szót. Mert a mágikus jelentés

nem csupán a világkép racionális zártságában rejlik, vahelyesebben a világgondo latéban, han em va n egy elletésötét kísérője is. Ahol a szemlélet véget ér, ott a forma mgött a chaos bukkan elő. Ahol azonban a ratio, a tudattevékenység árnyékba borul, ott az őrület leselkedik, a bzalom, a va rázslat. A z a va rázslat, amely nem más, m int ész birodalm át ha tárain tú l, a még fel .nem ku ta to tt fekiterjesztő, félig hiábavaló igyekezet.

A matematika e kabbalisztikus-mágikus igyekezetnemindenkor segítségére volt. Mindenki, aki csak mélyebbelmerül benne, meglepődik és egyben megijed attól a segségtő l, amelyet a meg ismerésben nyú jt. M ert csak a matmatika a «cabbala vera», ahogy Leibniz egy évezreddel ksőbb nevezte. Eredményei úgy ugranak elő sokszor, váratnul az emberi elme legmélyéről, hogy már maga Platón studta mással magyarázni, mint «anamnézissel», visszaemkezéssel, íg y a m atem atika nem egyéb, m int az emberrveleszü letett szellemi képesség feltámasztása. De nem csaz a varázslat, ha hosszas, passzív szemlélődés után összfüggések villannak fel, — minden geometer jól ismeri ezt állapotot, — ha egész idomcsoportok szinte mozogni látsznak, rendeződni kezdenek, hogy végül nem is sejtett ereményeket hozzanak napvilágra. Éppen olyan kabbalisztikaz a vezetés, amelyet az algebrában és aritmetikában a«eszköz» magához ragad, és amellyel igazi bűvészinasnbizonyul. És az eszköz vezetésével olyan szakadékok feljutunk át, amelyeknek mélyébe gondolat soha sem hatoamelyeknek fenekét gondolatainkkal soha el nem érhetjüDe a kabbalisztikus művészetek legmagasabb foka a hely



95

notációból eredő algoritmus, az algebra és aritmetika gondkodó gépe a maga szimbólum-varázslataival.

Egészen a tizenkilencedik századig nem tudták, hoghonnan származik az algoritmus szó, noha Leibniz óta áltlánosan használták. A logaritmus eltorzult alakjának godolták, bizonyosnak látszo tt azonban, hogy a görög arithm(szám) szóval valamilyen összefüggésben van. Csak aorientalisták fejtették meg a rejtélyt, megcáfolva egyben aa bálhiedelmet is, hogy Algoritmi varázslathoz értő, legendindiai király vo lt. K ide rü lt, hogy élő em ber, a kalifák id

jének nagy matematikusa volt, Kr. u. 800 körül élt és Mhammed ibn Musa A lchvarízmi volt a neve. A lchvarizmcsupán azt jelenti, hogy Perzsia keleti részéről, Khorasstartományból (ezt utóbb Khanat Chivanak is neveztékszármazott. Muhammed Alchvarizmi 800 és 826 közt kmatematikai könyvet írt, egyik ezek közül számolókönyv, ennek latin fordítása az «Algoritmi dicit» (Algoritmi mondszavakkal kezdődött. A másik kön yv azonban geniálalgebra, címe «Aldzsebr Valmukabbala» (ez nagyjából ajelenti, hogy helyrehozás, szembeállítás). A cím ar ra vonkozik, hogy akkor «helyrehozott» egy egyenlet, ha már cspozitív tagokat tartalmaz. Szembeállítás viszont azt jelenhogy egyforma nagyságok az egyenlet két oldalából levohatók, onn an elhagyhatók. Gü nther szerint Spanyolorszában a mórok ha tása al at t, az alge brista szó még Cervantkorában is használatos volt, hisz Don Q uixotet, midőn lováleesett, egy algebristához viszik, hogy kimarjult tagjai

helyrehozza.Csodás véletlene a tudomány történetének az a körülmény, hogy Alchvarizmi, különféle időpontokban kétszer elnyerte az örökkévalóságot. Művének címéből a betű szám tneve fejlődött ki, noha, mint látni fogjuk, Alchvarizminefogalma sem volt a betűsz ám tanró l; az első fokon, a szóalgebrán nem jutott túl. Eltorzult vezetékneve viszont matematika egyik legmélyebb és legáltalánosabb fogalmjelenti, éppúgy, mintha valamilyen algebrai fogalmat Gautiszteletére «Braunschweigi»-nek neveznénk.

De hogy a megnevezést és az algoritmus fogalmát magákellőképpen méltányolhassuk, látnunk kell, hogy legelősz



96

hol fordul elő a szó. A zután , B agdad látogatóihoz mémódon fel kell szállnunk varázsszőnyegünkre, amely ezútnem visz m ink et tú l az ezeregyéjszaka biroda lmának ha táraA zt m ár e láru ltuk , ho gy hol fordul elő előszór a szó : egy smolókönyv kezdetén. Mi ennek a számolókönyvnek a ttalm a? Valami, am i nek ünk m ár teljesen magától értetődaz alapműveletek, amelyeket ma már minden gyermek elemi iskolában megtanul. Kiegészítve még két, azóta mjelentőségét veszte tt alapm űvelet te l: a kétsizerezés és felealapműveletével. Igaz, mi ezeket a műveleteket már magu

tól értetődőknek ta rtj uk . De ennek az oka teszi őket éppvarázslatosakká . Ezek ugy an is, és ez a lényegük, a legtökletesebb és legáttekinthetőbb rendszeren alapulnak, amelya szellemtörténet egyáltalán ismer: a számok helyértérendszerén . A szellemvilágban nincs semm i, ami ahhoz a fogalomjelhez hasonló volna, amellyel a nyelvektől függlenül,, mindenkitől érthetőn, könnyen, tévedhetetlenül egyértelműen felírhatjuk a számokat a legkisebbtől a csillgászat legnagyobb szám aiig és még azokon is tú l. Talán csa kémia szimbolikája hasonlítható hozzá, noha az utóbbinjeleit és elveit valamilyen szellemi forradalom kikezdhetna helyértékrend szert v iszont soha. De ezzel még nem merki a helyértékrendszernek, — és ez egyáltalán nem szükséképpen tizesrendszer — varázsereje. Eb ből úgyszólván fotonosan szárm aznak az előnyök . Ez az első rendszer, amegyerekesen egyszerűvé tesz bonyolult szám ításokat, és mgából a ren dszerből következnek az ellenőrzési módok

pró bák. Ezá ltal lesz ez az első igazi gondolkodó gép , amenek kezelését minden elem ista ismeri, de amelynek szerekeés kerekei távo lról sem olyan egyszerűek, m int ahogy a laikgondolná. A ki ojyan egyszerűnek ta rt ja , az járjon előbGausshoz iskolába, ismerkedjék meg a maradékrendszerekkós a törzsszámkutatás problémáival. De ezt csak mellékesemlítjük.

Alchvarizminek jutott tehát az a történelmi feladat, hogaz indiai, tízes alapú h elyértékren dszert egy számtankönyvösszefoglalja és ez az a kön yv , amelynek elejére ő maga, vaegyik fordítója az «Algoritmi» nevet helyezte.

De lássuk most kissé közelebbről ezt az algoritmust, a



07

elsőt,amellyel találkozunk, s a legtökéletesebbet az összealgoritmus közt. Legyen tiszta képünk érdemeiről és arróhogy az egyes kultúrkörök mivel járultak hozzá keletkezséhez.

Öolebrooke angol gyarmati tisztviselő úttörő és érdememunkálatai óta, aki 1816-ban tárta fel az indus matematikérdemeit, ós akinek műve alapvető nemcsak a nyugati, hnem az indiai ku tatók szám ára is, tud juk , h ogy a régi hindunem egy módon járultak hozzá a matematika fejlődéséheCsapongó, zabolátlan fantáziával kevert matematikai teheségük nagy felfedezésekre ké pe síte tte őket, és ezek közt a legnagyobb helyértékrendszer. Természetesen az algebrnak is éltek o tt nagyérdem ű tudósai, m int A ryab ha tta (Kr. 476),Brahmagupta (Kr. u. 7. század) és Bhaskara (Kr. u. 12század), önállóan felfedezték a határozatlan egyenletemegoldásának módját, sőt az algebra harmadik fokáig, tiszta szimbolikus írásmódig is elhato ltak. De m űv ük , számírás módjától eltekintve, nem járult hozzá az általánfejlődéshez és ezért jelentőségük nem korszakalkotó, hanecsak epizód jellegű. Mitsem változtat ezen az a körülménhogy Bhaskara helyesen becsüli meg az-^- tört értékét, mondván : «Memaél inká bb csökkentjük az osztó érték ét , anninkább növekszik a hányados. H a hat ár tala nu l kicsi az oszakkor határtalanul nagy a hányados. De amíg megmondhatjuk, hogy szám értéke ez és ez, akkor még nem növekdett határtalanul, mert mindig megadhatunk egy még nagyobb számot. A hányados te h á t1 meghatározhatatlannagy, és ezért joggal nevezhető végtelennek.))

H a az infinitezimális szám ítás ilyen érett ism erete á medtáció meseországából, India iskoláiból, már abban az időbeljut hivatott nyugati szellemekhez, másképpen alakulhatovolna a világtörténelem. De nem így történt. S a nyugat XIX.századig mitsem hallott arról, hogy Brahmagupta töbismeretiént színekkel kü lön bö ztete tt meg, az indiai algeb

egyébként is költői jellegének megfelelően. B haskara pédául művének Lilavati című fejezetében így ír a számolá1 H a az osztó végtelenül kicsi , vag yis 0.

7 Colerus: Fythagoras.



?8

m űv észe téről: «Csillogó szemű szép leányzó, mondd mnekem, hisz ismered a megfordítás művészetét, hogy melaz a szám, amely 3-mal szorozva, az eredmény3/4-ével növelve,7-tel osztva, a hányados harmadával csökkentve, önmagával megszorozva, 52-vel csökkentve, majd négyzetgyvonás után8-cal növelve és tízzel osztva eredményül 2-t ad?»H a L ilavati valóban szép leány vo lt, és nem , miként a törnészek vélik, a számolóművészet allegorikus alakja, és ismis a «megfordítás művészetét», akkor is kissé elborult vocsillogó szeme, míg a feladat következő' megoldását megtaláMert a megoldás menete a kö ve tke ző : (2.10—8)

2-f 52 = 196 ;

/ Í 9 6 = 1 4 ; ésí 1 4 . 1 - i . 7 .—j: 3 = 2 8 ; mivel a m egoldáshoz a szavakban megadott műveleteknek mindenkor a mfordítottját kell elvégezni, a megadottal ellenkező sorren

gben. Csakugyan, ha kipróbáljuk : 28.3 = 84. H ozzá 84 -vagyis 63 összesen 147. Következik 147 : 7 = 21, ábből•5—21 = 7, marad 14, önmagával szorozva az eredmény 196o196 — 52 = 144, ennek négyze tgyö ke 12,8-cal növelve azeredm ény 20, és ennek a tizede valóban 2. Még költőibbkövetkező fe lada t: «Egy méhraj ötöde egy kadam a-virágszáll, harm ada pedig egy silindha virág ra. A két szám klönbségének háromszorosa egy kutuja virága felé veszi úts csak egy méh maradt fenn a levegőben, lebegve, mert e

formán csábította egy jázmin és egy pandamus édes illaMondd meg, ó gyönyörű asszony, mennyi volt a méheszáma ?» A méhra j bizony nem v olt nagy . Jelölje a méh

C fj CG í X 3J \

számátx, akkor # = -= - +"Ö "~ H " Ö F ) • 8 + 1» vagyis3a!+5a;+6a;+15=15a;, és ebből a;=15.

De nem a példák a fontosak. Vissza kell térnünk az indhelyértékrendszerhez. Ma m ár nem kétséges, hogy indtalálm ány , hab ár keletkezésének ideje bizony talan. B izoncsupán, hogy már Alchvarizmi kora előtt nagy mértékbfejlett vo lt. Természetesen, m in t m ár m on do ttuk , a helértékrendszernek nem csupán az a jelentősége, hogy kény



99

j0es számírást tesz lehetővé. Jellegzetesen algoritmikus aztulajdonsága, hogy lehetővé teszi műveleteknek addig ismretlen könnyűséggel való elvégzését, és ez a könnyűségszorzásnál és osztásnál m uta tkozik elsősorban. Nem merhetünk az elmélet részleteibe. Csak annyit jegyzünk mehogy a helyértékrendszer lényegében csökkenő kitevők szrint rendez ett hatvá nyso r. En nek alakja

a> étt+a>i0^-1-\ \-an-Zg2+an-ig1+a«9u

és a0,. •• o» az együtthatók,g°,... g*a g alapszám hatványai. Tizesrendszerbeng° —10° = 1 ésg

n

= 10*. H a mostaz együtthatókat helyes sorrendben írjuk, akkor a «hel"értékük* megmutatja, hogy az alapszám melyik hatványval kell m indegy iküket megszorozni. A 3457 számban aezerszer annyi, mint a 72,553 számban. így elegendő bármszám leírásához tíz számjegy, igaz, hogy ezek közé tartoza zérus is. Ezt találták fel legkésőbb és Indiában az «üre(sunga) a neve. Csupán a zérussal záródik le a rendszemert ez jelöli az alapszám egyes hatványainak hiányáDe éppen a zérus, a nulla indiai találmány, ugyanúgy, miaz alapszám ha tvá ny ain ak (10, 100, 1000 stb .)10£0-ig terjedően külön névvel való megjelölése. A nullá t az araboal sifr-nek nevezték, valószínűleg Egy iptom ba n ford íto ttákígy indiai nevé t. Ebb ől a szóból szárm azik a francia chifés a német Ziffer szó is.

Szó volt a helyértékrendszer algor itmikus tulajdonságaról. Ig az, a görögök is szoroztak és osz tottak . A róm aiak iDe ők kénytelenek voltak a szorzás disztributiv törvényszerint a részletszorzatokat valóban kiszámítani és azokösszegezni éppen úgy, mintha polinomokat (többtagú kifezéseket) szoroztak volna egy m ással. Tehát a 320 és 47 szmokat így szorozták egymással:

(300 X 40) + (20 X 40) + (300 X 7) + (20 X 7) == 12,000 + 800 + 2100 -f 140 = 15,040.

Szándékosan választottunk nagyon egyszerű példát, amelya 320 végén álló nulla csak tovább egyszerűsít, mivel ígkét részletszorzatot még m eg tak arí to ttunk . De képzeljük hogy a 932,581x764,922 szorzást kellene ilyen módon e



100

végeznünk, vagy még törteket is tartalmaznának a tényezőtermészetesen közönséges tö rte k alakjában. Ebből érth ethogy abban az időben egy pagyobb szorzás (osztásról neis szólván), amelyet ma minden elemista kényelmesen evégez, matematikusok vagy számolóművészek számára vafeladat volt.

Az indusok viszont röviddel a helyértékrendszer teljekiépülése után felismerték a rendszerben rejlő algoritmikelőnyöket ós lehetőségeket. P éldak ént, hogy m iként hajto ttvégre a műveleteket, álljon itt egyik módszerük, amelyet

«villámszerünek» nevezték,hz osszeszorzanaö számokat egy

5. ábra .

négyzet vagy téglalap széléfe írták, a szerint, hogy benna számjegyek száma egyforma vagy különböző volt. Vegyaz általánosabb esetet, a téglalapot, és szorozzuk össze 2976 és a 435 szám okat. A helyé rtékre való tek inte t nélkkiszámítjuk a 4x2, 4x9, 4X7, és 4x6 részletszorzatokaezeket beírjuk az első sorba úgy azonban, hogy az egyesa szaggatott vonallal rajzolt átló jobboldalára, az alsó hároszögbe, a tízesek viszont a baloldalra, a felső háromszög

kerü ljenek . Tízeseknél nagy ob b helyérték nem fordulhelő,m ert az elképzelhető legnagyobb ró szletszorzat:9 X 9=81 .Látjuk, itt csak a «kis egyszeregyről van szó. A másod



101

sort az első mintájára a 8x2, 3x9, 3x7, 3x6 szorzatokktöltjük meg, és így tová bb , a téglalap teljes megtö ltéséiami példánkon az 5x2, 5x9, 5x7, 5x6 részletszorzátobeírásával már megtörténik. Most már csak a párhuzamszaggatott vonalak közt álló számok összegezése van hátós ezt jobb ról balra haladva kell vég reha jtanun k. Tehelőször 0, azu tán 5 + 3 + 8 , azu tán 5 + 3 + 1 + 1 + 4 , azu tá0 + 4 + 7 + 2 + 8 + 2 ós így tovább , az u to lsók 8 + 3 és 0. Akeletkező tízeseket természetesen tovább kell vinnünk, összeadásnál szokásos módo n. A z ered ményt a tégla lap aszélére írjuk.Nekünk távolról sem olyan csodálatos ez a «villámszermódszer, mint amilyen a régiek számára lehetett, hisz neka disz tribu tív részletszorzatokkal ke llett vesződniök. Igaitt is disztributív részletszorzatok keletkeznek, de ezek helyórtékrendszer következtében teljesen eltűnnek a szmoló tud atáb ól. A számolónak it t nincs egyéb teendője m ihogy szolgai módon figyeljen a négyzetekre és az átlókra ékis egyszeregy kereteiben mozgó műveleteket hajtson végMinden egyebet elvégez az algoritmus, a gondolkodó géamelynek fogaskerekeit a helyértékrendszer rejti: még végső összeadásnál is, ahol a számoló csak an nyit m ond, ho5 + 3 + 8 = 1 6 , marad 1 ós leírja a 6 számot. Nem fontos, hoaz egyest, tízest, százast vagy ezrest jelent, nem kérdezzüerre nem is gondolunk. Egy szerűen hozzáadjuk a követkeoszlop összeadandóihoz és ez az egész. H a o tt csak nullállnak, akkor egyszerűen leírjuk. Sőt tovább megyünk. Mcsak «a következő magasabb helyértékű» oszlopra sem godolunk . Ez az oszlop egy hellyel messzebb ba lra v an , ésszámolás során jobb ról balra kell ha ladn un k. Ez a szabáMinden egyébbel foglalkozzanak a számelmélet tudósai, ez öröm et okoz nek ik. És ez a helyzet ma is a négy alap m űlettel. Majdnem m indenki m egtan ulta m ár gyerm ekkorábés kifogástalanul, sőt sokszor vir tuó z módon alka lmazza. alig tudja minden ezredik ember, hogy tulajdonképpen mitcsinál. H isz a Leibniztől feltalált számológép sem m ás , maz íro tt algoritmus mechanikus másolata. Vágjunk elébkissé a dolgok menetének és jegyezzük meg, hogy az algritmus használatának négy fokozata van. Az első a fejb



102

való számolás, de ez csak kivételesen nagy képzelőerővmegáldott emberek számára való. Második a papíron, írban való számolás. H arm ad ik a kézi m eghajtású számológennél bizonyos részletműveleteket egy fogantyú forgatásámajd egy másik szerkezeti rész tová bb tolásával kell véghajtanunk . A negyedik az au tom atik us számológép, ezcsak a számokat kell beállítanunk, majd a műveletnek mfelelő gombot lenyom ni és á villann ya l haj to tt gép az algritmus minden egyéb műveletét elvégzi. Ilyen automatikmunka bizonyos szempontokból az algoritmus végső cé

8 egy algoritmus kisebb vagy nagyobb értékét éppen azaz alapon bírálhatjuk el, hogy mennyire közelíti meg au to m atá t. De it t nem csak a gondolkodás ökonómiájafontos. Ez is szerepet játszik, de sokszor csak másodsorbFontosabb, hogy a feladatok bonyolultságának növekedével az algoritmus önálló áttekintési és rendszerező elvkéjut szerephez, s mint ilyen, már említettük, szakadékokvisz keresztü l, amelyeknek mélységeibe az em beri elme le nhatolhat. Látni fogjuk ezt később az imaginárius számokkkapcsolatban és az infinitezimális számítás Leibniz szertörténő írásmódjánál.

Varázsszőnyegünk túlszáll velünk határo kon. A lighaneazért , m ert hazájában nagyo n is tud atá ra jut o tt hatalmánaSzálljunk le tehát róla egy időre és menjünk Alchvarizműhelyébe, lássuk, hogy a számtan oktatásán kívül foglkozott-e a matematika más ágával is. Szó volt már arróhogy az arabok algebrával foglalkoztak, sőt maga az algeb

szó is A lchvarizmi egyik művének címéből származik. Lapgassunk most ebben a műben és lássuk, miképpen bánA lchvarizmi egyenletekkel. Tropfke k itűnő m űvéből veszük a példák egyikét és pedig az a;2+21=10a; vegyes másodfokú egyenlet megoldását. Alchvarizmi a következőkmondja (az a;2 és az x megjelölésére a később «census» és«radix» szavak kal fo rd ított kifejezéseket h as zn ál ja ): «a ;2+21==10o; az t jele nti, ho gy , ha egy szám négyzetéhez 21-et hozadsz, az összeg egyenlő a szám tízszeresével. A szabály kívánja, hogy felezd meg az a>ek számát, ez 5. Szorozd mönm agával, ez 25 . Vond le azt a bizonyo s, a nég yze ttel eg yemlített 2Í-et, marad 4. Vonj ebből gyököt, ez 2, vond l



103

ezt a 2-t azx-ekszámának feléből, vagyis 5-ből. Marad 3,Ez a kerese tt négyzetnek a gyöke, a négyzet 9. H a aka roadd a 2-t azx-ék szám ának feléhez, ez 7. Ez azx, négyzete x2=49. H a egy feladat téged ehhez a norm ál-alakhozvezet, akkor vizsgáld előbb az összeadás útján kapott eremény helyességét. H a nem helyes, akkor a kivonás sem lekétséges. És a háro m normál-alak közü l, am ely kn él azx-ekszámának felezéséről szó van, csak ennél az egynél megendett a megoldás összeadással és kivonással. Vedd figyelemtováb bá, hog y nem lehetséges a megoldás, ha megesik, midaz #-ek számát felezed és négyzetre emelsz, hogy az eremény kisebb, mint az az állandó tag, amelyet aza;2-tel egyesíteni ke llett. H a egyenlő az állandó tagga l, akko r azx egyenlőaz a;-ek számának felével, növelés és csökkentés nélkül.*

Szószerint idéztük ezt a szövegrészt, nemcsak azérhogy mintát adjunk az «Aldzsebr Valmukabbala» szövegébhanem azé rt is, hogy megismerjük rajta az arabo k algebrjának tulajdonsá gait. Először is azt látjuk , hogy az arabo

működése formai szempontból Diophantoshoz képest vissfejlődést jelen t. A szimbolikus írásm ódnak Diophantosynkopált algebrájában mutatkozó kezdetei ismét helyadtak egy tisz ta szó-algebrának. Tar talm i szempontból viszhaladás mutatkozik az algoritmus felé. Mert Alchvariz

megoldásmódja, amely ami£ = „ ± 1 / ( H ) — c k ép letü nk nekfelel meg , teljesen e red eti és az ar ab szellem sajátja . Gör

mintára geometriai bizonyításokat isfűzött hozzá. De eztiszta algebrai előretörését ismét visszavetette. Mert e minem tudta a második, negatív megoldást elfogadni, ame

számunkra akkor adódik, ha\f l-^-l —c nagyobb mint-jp Alchvarizminél tehát csak akkor van a vegyes másodfoegyenletnek két megoldása, ha mindkettő pozitív, mint

fenti példában. Azonkívül az-= 1 / (-—-I —c megoldást

előnyben részesíti az — + 1 / I— j —c megoldással szeiíH



104

ben, mert azt valamiképpen természetesebbnek tartja. Indiában felfedezett negatív megoldást semmiképpen startja megoldásnak. Lehetetlennek tartja az imaginárius moldást, vagyis ha c nagy ob b, m in t I— I . Ez az «impossibi(lehetetlen) szó kíséri az imaginárius számokat még tömint egy évezreden keresztül, míg végül Descartes a kvésbbé tagadó imaginárius szóval helyettesíti.

Nincs okunk, hogy mélyebben elmerüljünk az arab mamatika részleteiben, noha bizonyára nagyon érdekes volMiben áll teh át az arabok korszakalkotó jelentősége? K utás korszaka ez, vagy csupán az oktatásé, vagy esetleg csgyűjtő és fordító munkáé, amelyet az a véletlen hívoéletre, hogy a kalifák háziorvosai nestoriánus keresztényvoltak, ezek az orvosok magukkal hozták és terjesztetta görög m űve ltséget? Vag y pedig a keleti és ny ug ati araba Sevilla, Granada és Toledo mór főiskolái koráig terjeévszázadok alatt csakugyan alkottak maradandót, olyaami túlmegy az indusoktól és görögöktől kapott öröksgükön?

E rr e a kérdésre nem kön ny ű a felelet. A nnál nehezebmert a tudománytörténet bizonysága szerint öröklött tudfelhasználása és alkalmazása hatásában korszakalkotó jeltőséget ny erh et. Le he t, hogy a hírnév sokszor érdemtelennju t, nevek és kifejezések m aradandó sága tévút ra vezethDe az a körü lmény, hogy szám aink at «arabs» számoknak vezzük, hogy szókincsünk az algebra, algoritmus, alhidazenit, nadir, almukantarat, zérus szavakat nem nélkülözhes hogy az égbolt arab nevű csillagokkal van tele, minÁlkor, Mizar, Beteigeuze, Eigel, Algol, Aldebaran, Pomha ut, T oliman, Ko cha b, Eas-A lhauge, Zuben el schemahogy csak néhányat említsünk, alighanem többet jelenm int jog talanu l bitoro lt szerzőséget, vag y puszta közvetíérdemet.

Tag adhatatlan, hogy az arabok tudom ányu nk anyagáho

magához a tartalomhoz aránylag kevés új dologgal járulthozzá. Csupán a geometriát gazdagították a görögökhöz pest, főképpen a trigonometria és az asztronómia teréPormai szempontból viszont felismerték az algebrában



105

az aritmetikában rejlő gondolkodó gépet, s noha nem őtalálták fel, mégis ők szabadították ki a geometria gyámkodásának korlátai közül. H ideg, racionális hajlamaiknmegfelelően a megismerés gondolkodási részét juttattjogaihoz a szemlélettel szemben. Tehetséges, szorga lmés érdeklődő matem atikusok v oltak . A z izlám terjeszkedés tér ítő elveinek megfelelően nagyszab ású iskolaren dszfejlesztettek ki, amelynek kereskedelmük fokozott jelenséget biz tosíto tt. Tűzzel-vassal tö rte k , ut at ku ltúráju knmindenfelé és véres hód ító útjaikon nyom on kö ve tte ők

m atem atikai tudá suk . De gy ako rlati ós terjeszkedő hajlamsem tették őket mérnökökké, vagyis nem támadták megmatematika fegyverével a természetet, hogy azt, titkafelfedve, gépekkel szolgálatukba ha jtsák. Mágikus ha jmaik a matematikát rejtvényekbe vezették, kabbalisztikvarázslatokba és asztrologikus jellegű asztronómiába. Megtitok és megfejtés lett a szám, a számok viszonya a világhés egym áshoz, m iként a pythag oreusok nál. A. kabb ala kapta azt a mágikus hangzást, amelyet ma is tulajdonítuneki. És a legvilágosabban látó arab koponyákban derenhetett már a sejtés, hogy a gondolkodó gép, az algoritmmágikusabb, mint maguk a számok. Matematika tanításhoz ós terjesztéséhez azonban szabályok kellenek. Szabálypedig általánosításokra vezetnek. Az általánosításnak azban feltétele az összefüggések po ntos ism erete. És ezekfokozatok szükségképpen odavezetnek, hogy a matematiegyik fokon bűvészinassá lesz. Az eszköz gondolkodik e

szerre helyettünk, és olyan területekre ragad el, amelyeknlétezését nem is sejtettük. S ezzel a matematikából igazafféle «szézám, nyílj meg» lesz. .

Ismét elragadott a varázsszőnyeg, noha csak gondolatakat vi tt e előre az időben . Mert még sok külső és belső, smélyes és szerkezeti, véletlen és szükségszerű dolognak ke ltörténnie, míg az új matematika megszületésével egyidőba külvilág is megváltozott. Mert éppen akkor, amikor e

másik mélységes hit küzdő seregeit világgá küldte, abbanidőben, amikor a keletkező kultúröntudatuktól űzött keretes lovagok győzve vagy elpusztulva küzdenek az arab sivtagban, akkor kezdenek gótikus tornyok az ég felé emelke



106

és gótikus ívek elmosódni a félhomályban, sejtetve egy rinamentot, amely a valódi renaissancetól eltérőn, a szelleegészének újjászületését jelenti. Miként a kaukázusi népminden nagy kultúrája, ez a keletkező' kultúra is félszigjellegű vo lt. Kis-Ázsia, Görögország és Eóm a félszigete u«Európa félsziget* kezdte meg küldetését.

Minden készen állt, a csírák életképesek voltak, noha ültetó'ik már meghaltak vagy elpusztultak, vagy pedvégső küzdelemiket vívt ák . Minden készen állt. A gótikfausti szellem megkezdhette működését. Mert már felvirra népek hajnala, és nemzetek friss, érintetlen ereje váolyan működésre, amelynek ideális eló'futárjai a kereszhad járatok és a gótiku s dóm ok. A Grál-lovag me gkapsebét Klingsortól, a varázslótól, s a seb nem heged be. mágikus szellem e sebbel a fausti szellemet az örökös felfetörekvés vágyával tölti meg.



H E T E D I K F E J E Z E T.

L e o n a r d o d a P i s a .Matematika, mint kezdet.

Világmozgató tervek között, csaták és keresztes hadjáratok között, száműzetés és felemelkedés között tartudvarát P alermób an a^ legtragikusabb sorsú H ohenstaufcsászár : II. Frigyes. Áll az ünnep, susognak, beszélgetnmintha valami nagy esemény t vá rná nak. Valóban nagy emény vá rható ? Senki sem tud ja. Csak anny it sejt m indenhogy a császár annak tart ja . Mert a vá rható küzdelem nedalnokverseny, nem lovagi torna, nem hőstettek elbeszéléhanem — verseny harmadfokú egyenletek megoldásárA palermói Ján os m ester ad feladatokat egy előkelő idgennek és az idegen azokat alighanem tökéletesen megfeMert az idegen Leonardo da Pisa, az ismert világ legnagyoalgoritmikusa. Igaz ugyan, hogy főműve az ellenfél zászlahordja, mert címe: Az abacus könyve (Liber abaci).

Kétségtelen, Sicilia földjén még a mesevilágban élünA császári szeszély Syrakusa tirann usa inak ud va rán ál fotatott beszélgetésekre emlékeztet, a Ptolemaiosok udvaráarra az indiai királyra, aki a sakk feltalálójának azt a hírbúzaszem-problémát feladta, és a nagy Abassidák, AlmansH arun al R asid, A lmamun ud va ri szokásaira. Sejtjük tehhogy II. Frigyes hol vette a példát szokatlan cselekedetéhDe ki ez a Leonardo da P isa Mi tö rt én t időközben nyugata m atem atika terén ? M ert, hogy ilyen sok évszázad tenessók el matematika nélkül, az legalább is valószínűtle

De még m ielőtt a palermói verseny ta rta lm áv al foglakoznánk, lássuk előbb amaz út állomásait, amely a matmatika feltámadásához vezetett. Sok mindenre utaltunmár. Most részletesebben foglalkozunk vele, habár ezznémiképpen túllépjük feladatunk határait. Mert itt nem ko



108

szakalkotó dolgokról lesz szó, sőt ellenkezőleg, arról a koramelyben a matem atika P yth ag ora s óta legmélyebbsüllyedt.

Azt, hogy a régi rómaiak mit sem tettek a matematikterén, azzal jellemeztük, hogy mély hallgatással mentünkmellettük. De éppen a rómaiak voltak azok, akiknek hataörökségét az európai nem zetek átv ett ék . S kevesebbet hatak utódaikra, mint Zeuthen megjegyzi, mint a régi egytomiak vagy hellének. Boethius, egy Kr. n. 480—524 kélt előkelő keresztény római, akit Theodosius császár politokokból kivé gez tetett, ír t egy m atem atika-köny vet, és volt minden, amit a korai középkor kitermelt. Ez is csNikomachos (Kr. u. II. sz.) átdolgozása, és semmivel svi tte előre a m etm atik át. Nem is vihe tte, m ert nag yon sm indent félreértettek ebben a ko rban . így az ábrázoszámokban (háromszög-, piramisszámokban stb.), amelylényegükben sorozatok vo ltak, a megfelelő idomok terütének, i lletve kö btartalm ána k mérőszámát lát tá k. A mi mBoethius művén kívül megmaradt, az csak a római agrimsorok (földmérők) különféle számolótáblázata, amelyeknnagy rÓ3ze hib ása n volt m áso lva, és m ár csak azért sem hha to tt term éken yítőn a m atem atika fejlődésére. A régörögök nagy öröksége azonban két, térben és politikábegymástól messzefekvő helyen feküdt, két helyen, ahol em ástól lényegesen különböző módon bá ntak vele : B agdban és Bizáncban.

H ab ár a bizánciaknak b irtok áb an v olt a régi görögöknmajdnem valamennyi matematikai könyve, al ig jutoeszükbe valamelyiket tanulmányozni, továbbfejlesztésüknem is szólván. Nem tör őd tek a kincsekkel, a m atem atikérzék évszázadról évszázadra csökkent, a matematikusjátékokkal vesződtek, sőt tudásuk érthetetlenül visszafejdött : így a körmérő jr számról is azt hirdették, hogy értékisebb, mint 3.

De nem így az ara bo k. Tudjuk m ár róluk , hogy egy if

nép éhségével estek neki a görögök tudásának, sokban mkö nn yítették és az ind iai bölcseséggel fűzték össze. Későidők arab tudósai korszakalkotó léptekkel haladtak. Kr. a X. században Alkarchi, az aritmetika tudósa kibővíte



10S

.a Diophantos-féle notációt, és arra a forradalmi lépésr

gzánta el magát, hogy az irracionális mennyiségeket is szmoknak tekintse. Ugyanezen a szinte modern vonalohaladt tovább a XII. században Alchaijami. Nála válik eször tudatossá az egyenletek geometriai és aritmetikai fefogásának szétválasztása. Átlátja, hogy a dimenziók számkövetkeztében legfeljebb a harmadik hatvánnyal kapcsolairracionális mennyiségek ábrázolhatók közvetlenül, magasbak csak összetett viszonyok segítségével. Ugyanebben évszázadban működik «Nyugati A rábiában* azaz spanyföldön, Sevillában a nagy Dsabir ibn Aflah, akit Gebernis neveznek, ö hata lmasan fejleszti a g öm bhárom szög tavele együtt működik a kongeniális Abul Vafa, akinek trignometriai (tangens) táblázatai jóval meghaladják Ptolematáb láz ata it. Ezek a táb lázatok ugyanis 10 percró'l 10 perc

adják a szögfüggvényeket s hibájuk kiseb b, m in t -5 . Ilyenhelyzetben csupán az érdekló'désnek, nem pedig a lehetőgeknek a kérdése volt a nyugati matematika életrekeltéMert az eddigi eredmények megvoltak, Bizáncban szinipaumifikálva, az araboknál viszont tovább fejlődött, élő tum ány kén t. S amikor a nagy Scotus Erigena a m atem atimélyebb művelésére buzdít, szavai még úgyszólván csgyermeki fülekhez ju tn ak . S az a bűbájos m ágia, amely arabok matematikáját belepi, éppen annyira buzdít a mamatika mélységeinek vizsgálatára, mint amennyire elriatőle.

De a népek közvetlen érintkezése azután döntő jelentségű lett. Az arabok, mórok vagy bárhogy nevezzük is őkitt voltak, a maguk fizikai valóságában, SpanyolországbSzicíliában, és a Nyugat más részein. Főiskoláik Cordobban, Toledóban, Sevillában ápo lták a m ate m atik át. S a nygat két mozgalma további érintkezést biztosított: egyik va há rom hatalm as köz társaság, Velence, Genova és P ikeleti kereskedelme, másik pedig a keresztes hadjáratok.

E történelmi időpontban törté nt , hogy Leonardo da P iakit Bonacci fiának, vagy összevonva Leonardo Fibonacciis hívtak, atyja foglalkozása következtében (konzuli tisviselő féle volt) sokat utaz ot t a Fö ldközi-tenger vidékén



110

m ár ifjúkorában az arabo k tan ítván ya le tt. S miutáépp úgy min t P ythag oras Eg yipto m ba, Szíriába, Göröországba, Szicíliába és a Provenceba vezető útjai során lákörét lényegesen kiszélesítette, alkalmassá vált, hogy nyugati kultúrában a matematika ébredésének szinte jeképe legyen. Teljesen függetlenül attól, hogy korszakalkomódon tovább tudja-e már fejleszteni a matematikávagy sem.

De még mieló'tt e kérdés taglalásához fognánk, meg kemlítenünk az abacisták és algoritmikusok harcát, amemeghonosította nyugaton a matematikával való foglalkozE harc vagy vita két számolásmód körül forgott, a vonalvaló számolás és a tollal való számolás körül, mint ahogy később m on dtá k. Szélső esetbe n az abacus, a vonal, vag y.számolódeszka, — amely máig is fennmaradt az olyan «smológép» formájában, am elyen a gye rmekek, drótokon golkat tologatva, a számtan első elemeit megtanulják — szószélső esetben az abacus egy tábla, amelyen vonalak válasják el a 10 ha tván ya inak oszlop ait. Nullára it t nincs szüksaz oszlop üres marad, ha, mint 750 vagy 3009 esetében, evag y több hely nincsen szám mal elfoglalva. A számoljegyekkel törté nik . Erede tileg an ny i jegye t te ttek a megfeloszlopba, amennyit a 10 odavaló hatványának együtthatómutatott. Fenti példák esetén tehát a százasok oszlopábhetet, a tízesekébe ötöt, az egyesekébe egyet sem, vagy 30esetén hármat az ezresekhez és kilencet az egyesekhez, a szasok ós tízesek oszlopa viszont üres m ara d t. Sok szám etén a számolásnak ez a módja nagyon áttek inthetetlen né vezért egyszerűsítésül különböző értékű jegyeket kezdtek hanálni amelyek mindegyike az 1—9 terjedő számok egyikévo lt megjelölve. Ezzel az abacus már közeledett az algormushoz, és ez a közeledés a harmadik fokon vált nagyofeltűnővé, amikor az oszlopokba m ár nem jegy eket helyezel,hanem a számok at ír tá k beléjük. Ne bocsátkozzunk résletekbe, csupán azt állapítsuk meg, hogy mindkét iskola ngyo n jófejű em bereke t m on dh ato tt hívének. Nagy abacisvolt pl. Gerbert, a későbbi II. Szilveszter pápa.

A z algoritmikusok győz tek . A ké t «párt» (így is nevehetnők őket) vitája sok számolással kapcsolatos kérdést h



111

zott felszínre és a nyugati matematikusok számára olyügyességet és hajlékonyságot szerzett, amely később sement veszendőbe. H isz a «pártprogram m» a főelveken kítovábbi feladatokat is ta rta lm az ot t és többek közö tt gyövonásra is kiterjeszk edett. A számolásnak a görögökhöz sonló megvetése a középkorban egyáltalán nem mutatkzott, mivel mindjárt a kutatások kezdetén, késői arab példnyomán, az aritmetika és a geometria teljesen egyenranvolt. Ezt az állítást nem cáfolja meg az sero, hogy az armetikának bizonyos logikai elsőbbséget tulajdonítottak.

Felvetettük a kérdést, hogy Leonardot a nagy, úttörmatematikusok közé szám íthatjuk-e. Felfedezett ő új kagóriákat a matematikai gondolkodásban és kutatásbanErre a kérdésre csak nemm el felelhetünk. De nagyon tehséges,sőt talán geniális matematikus volt, akinek művébehelyenkint új ismeret is felvillan. íg y pl. am ikor egyenletnegatív gyökét is megoldásnak tekinti, s megjegyzi, hoaz ilyen megoldásnak, mint «vagyonnak» sok értelme nvolna, de mint «adósságnak» bizony megvan az értelmAkkor is csodálkozunk, amikor meghalljuk, hogy a palerm«versenyen» Johannes mester állítólag a harmadfoka?+2x2+10as=20 egyenlet megoldására szó lította fel. Leonardo pedig megadta a megoldást; szerinte közelítésbx=l° 22 ' 7~ 42 '" 8 3 ^ 4V 4 0V I; de nem mondta meg, hogy

22miként szám ította ki. I t t 1° egy egészet jelent, 22' a — tö rt7

7" a -^r-r törtet és így tovább hatvanados törtekben. Leg-újabb számítások kimutatták, hogy a Leonardo által meadott érték kicsi, de közte és a helyes érték közt a különbskisebb, mint3 1 1 0 4 0 0 0 Q 0 0•

A r r a i s e s a k utalunk, hogyLeonardo az első a m atem atik a tör tén eté be n, aki «házinyfeladatával kapcsolatban sorozatot rekurzív képlettel admeg. Ez a feladat ugyanis azt a kérdést teszi fel, hoghány pá r házinyulun k születik egy év a lat t a következfeltételek mellett: minden pár havonta egy új párt hoz világra, s utóbbiak a m ásodik hó naptó l kezdve szintén sz



112

porodnak. Feltesszük, hogy egy pár sem pusztul el évközb

A z első hó nap végén te hát az első pár és az általuk viláhozott pár nyulunk van. A második hónap végén még epár kerü l az előzőkhöz. A ha rm ad ik hónap végén m ár említetteken kívül két pár nyulunk van, mert a másodpár is szaporodott. Egész évre ebből a következő sorozadódik : 1, 2, 3, 5, 8, 18, 21, 84, 55, 89, 144, 233, 37s ennek minden számát azar+i=ar-\-ar—i összefüggés adjameg. Az a3 + 1= 5 tagot teh át az a3- j -a3_i=3+2 összegkéntkapjuk meg. A 21 pedig 8+13 összeadásból adódik.

H ab ár L eonardo da P isa az em lítettekn él lényegesen bnyolultabb feladatokat is megoldott, habár a határozott határozatlan egyenletek megoldásának is mestere volt, vamint az egyszerű és kettős regula falsi-nak, a gyökvonásnés még sok más m atem atikai és geom etriai ismeretet is sajának mondhatott, mégis elsősorban történelmi helyzeindított bennünket arr.a, hogy működését korszakosnamondjuk, ö az új idők első teljes érték ű m atem atik usa, e

példája az előtte elért eredmények visszaverődésének késő-középkori nyugat másképpen kialakult lelkében, ö e minden népét egyformán képviseli, noha művében a «lanépekhez* szólés szám ukra akarja feltámasztani a m atema tikaeltemetett művészetét.



N Y O L C A D I K F E J E Z E T.Nicole d i Oresme.

Matematika és természet.

Mielőtt tovább mennénk, egy lényegbevágó megjegyzékellten nü nk . Ez a megjegyzés eg ya rán t vonatkozik a közékorra és az újkor elejére. A tén yá llás rövid összefoglalá

amelyről szó lesz, a m atem atika történ etén ek majd m indleírásában megtalálható és csak a legfontosabb korszakokismertető leírásnak is rá kell mutatnia, hogy mi az az eszme, ami az általános helyzet következtében a nyugat ktúrájába behatolt .

Láttuk, hogy a hellén matematika, pártfogó istennőjéhePallas Athénéhez hasonlóan teljes fegyverzettel pattant Zeus fejéből, s féltett művészetként, úgyszólván teljes tiszságában maradt meg. Ettől lett erős és nőtt nagyra, de ívesztette el kapcsolatát a való élettel, megmerevedett elpusztult. De ez te tt e teljesen individuális jellegűvé, lénygével az úttörőkhöz kapcsolódott, akik papjai módjára szgálták.

Hasonló jelenséget, a matematikának szinte klasszikkorá t figyelhetjük meg az újkorban is . De lényeges különségek is m utatk oz na k. Más a fejlődés, ha semmiből ktudományt teremteni és más a továbbfejlődés, amely a r

eredményekből kiindulva azokat csak a saját, másképpen állított lelkéhez idomítja.El kell ismernünk, hogy külsőleg sok minden ismétlődö

ami m ár a klasszikus óko rban m eg tö rtént. De az ismétlődrészben az előző fejlődés közvetlen hatás ára ut a l. Négy hamas kultúrkör, olaszok, németek, franciák, angolok mukálkodnak, egymástól lényegesen eltérő külső és belső körmények közt tudom ány unk újjáalkotásán, összekötő kapoként állt fölöttük eleinte a római egyház, később azonban

8 Colerus : P ythagoras.



114

katolicizmus ós protestantizmus ellentétének szétválaszhatása érvényesült, ha egyelőre a filozófiának 'később namértékben kifejlődő hatásától eltekintünk. Ehhez járumég a kiterjedt iskolarendszer, amely vallási és szociáhatások alatt állt

Mindezzel csak arra akarunk utalni, hogy elkövetkezleírásainkban inkább a korszakokra kell figyelemmel lennüsemm int a személyekre M ert nem a legnagyobb m atem atisok voltak mindenkor azok, akiktől az új származott. Künösen áll ez arra az «előkészületi időre*, amely kb. Dese

tesig terjed.Ezt a megjegyzést el ke llett m ond anu nk, nehogy az olvham is képe t kap jon . S ne csodálkozzék senki azon, hogy Regiomontanusnak, vagy egy Peuerbachnak a nevét csmellékesen említjük, ugyanakkor, amikor sokkal kevésbátfogó szellemű matematikusokat korszakok jelképeikjellemezünk. De ők, Descartes kivételével, nem képvisekoruknak, inkább csak példák, fellobanó fények. Azt mohatnók, hogy onnan, ahol most tartunk, egészen Carteskoráig nem egyesek dolgoztak, hanem dolgozott az egész S a matematika sokféle erő hatására nőtt naggyá, s ezekerők minden népekre más-más mértékben hatottak.

Már itt helyénvaló, hogy ezeket a fejlesztő erőket szeüg yre veg yük . Olasz földön, m int m ár a Leonardo da Ppéldáján láttuk, a kereskedelem két módon is előnyös hatsal vo lt a m ate m atika fejlődésére. Nem csak mozgékonysáutasforgalma és népeket összekötő ereje mozdította elő támogatta a matematikai igyekezetet, hanem a maga körésajátos feladatokat is adott neki. Könyvelés, érmeszámítkamatszámítás, földrajz, csillagászat, aritmetikai ismerenélkül elképzelhetetlen, különösen akkor, ha jól számoarab ok kal állunk szem ben és a feladatok is mindinkább bonlultak lesznek.

A kereskedelem külső hatásáho z tár su lt ham arosan a fzófia belső hatása, amely nem utolsó sorban vallási érzés

ből faka dt. Oxford, P ar is, B ologna egyetemeinek megapítása után, — ezek Leonardo da Pisa korában már nagybecsült intézmények voltak — új szellemkultúra keletkezamelyet később a humanisták, kissé lebecsülő hangsúlly



115

skolaszticizmusnak neveztek. De rögtön kimutatjuk, hotalán a filozófiának éppen e köreiből származtak a legfotosa bb , ősztökélő hatások a m atem at ika fejlesztésére. Es fog derülni, hogy a természettudomány, amely rövidebvagy hosszabb ideig a skolaszticizmus ellenlábasának tatotta magát, legfontosabb fegyvereit félig öntudatlanul éppettől a skolaszticizmustól kapta.

Ép pen arró l a problémakörről van it t is szó, amellyel mA rchimedesszel kapcso latban találkoz tunk. A folytonosságvégtelen fogalmáról és egy új fogalomról, amely m ár a «fautalajból sarjadt, a függvény fogalmáról.Visszatérünk tehá t Leonardo da P isa ko ráb a, a K r .u. X Iszázadba. A pisainak még életében nagy ve télytá rsa tám aa német Jordanus Nemorarius személyében. Jordanus domnikánus szerzetes volt. Széles körben nagyhatású művénrészleteibe nem bocsátkozhatunk. Csupán háromszögekr(de triangulis) írt művének bevezetéséből származó néhásort veszünk közelebbről szemügyre, hogy meglássuk, me

nyire eltávozott már a «fausti» szellem görög és arab példképeitől és m enn yire önálló le tt . Definíciókat olvasha tunot t, amelyekről az t hihe tnők , hogy a X I X . századból szármnak, Dedek indtől va gy B olzanotól. K övetkezőképpen definJo rd an u s: «íblytonosság határhelyek megkülönböztethtetlensége, kapcsolatban elhatárolás lehetőségével*. «Apaz egyszerű folytonosság rögzítése.* «Szög keletkezik ké t ftonos alakzat találkozásánál folytonosságuk egyik végpontjá

B árm it kifogásoljunk is , ilyen definíciók elképesztők tizenharmadik század elején, mert arra vallanak, hogy infinitezimális gondolat minden törvénytelenségével és nhézségével együtt mennyire elő volt már készítve a skolatikusokn ál. S ilyen skolasztikus volt Jo rdan us . H isz állítóa párizsi egyetemen tanított .

Nem csökken csodálkozásunk, ha egy ferences barászavára figyelünk, aki csak néhány évvel később tanítoAngliában, Oxfordban. Thomas de Bradwardina (Bredw

din) ez a szerzetes, akinek nevét rendesen B radw ardinu s alban említik és aki a leghatalmasabb doktorok közt a «Doeprofundus» nevet érdem elte. Ezek a nagy dok torok szina hét görög bölcsre emlékeztetnek. Em lítsünk néhány a

8*



116

akik több-kevesebb kapcsolatban vannak fejtegetéseinkk

Eoger Bacon volt a «Doctor mirabilis», Aquinoi Szent Tama «Doctor angelicus vagy universalis*, Duns Scotus a «Dtor subtilis», B aim undus Lullus a «Doctor illuminatus», OccVilmos a «í)octor invincibilis vagy singularis».

«Mólyenjáró» do kto runk , B radw ard inus te há t, aki Caterbury érsekeként halt meg 1349-ben pestisben, többközt egy művet írt a folytonosságról (Tractatus de continuEbben sok olyan tétel van, amelyről azt hihetnők, hogylegmodernebb halmazelméletből származik. A folytonofelosztja maradandóan folytonosra (continuum permanenilyenek a vonalak, felületek, testek, viszont a haladó folynos (continuum successivum) az időben, vagy m ozgás álvalósul meg. Ilyen tételeket találunk: «Indivisibile equod nunquam dividi potest. Punctum est indivisibisituatum .s M ag ya ru l: «Oszthatatlan az, am it m ár nem lerészeire bo ntan i. P on t a helyével m egha táro zott oszthatatlaT ov áb bá : «Az idő oszthatatla n része a pillanat.* «A m

gás az egymásután következő folytonos, amelyet az időbmérünk.* E zu tán a kezdet és a vég prob lémáit vizsgáa «Doctor profundus*. Ezáltal szükségképpen oly végtelenkapcsolatos megfontolásokhoz jut, amelyek egy hihetetleéleselméjű antith esisben végződnek. Különbséget tesz ugyakath etiku s ós syn kath etiku s végtelen közt. Kathetikus vaegyszerűen végtelen egy mennyiség, ha nincsen vége. Sykathetikus viszont akkor, ha minden véges mennyiséghrendelhető egy véges, de nagyobb mennyiség, a nélkül, hoa növekedés valaha megszakadna. Legújabb időkben e kfogalom számára a «transfinit» és «infinit» kifejezéseket alkták, különösen a halmazelméletben, ahol végtelen halmazszámosságát röviden «transfinit rendszám nak* nevezik. jelenti továbbá Bradwardinus, hogy folytonos nem keletkhetik végesszámú oszthatatlan mennyiségből, de végtelszámúból sem. Csupán végtelen sok oszthatatlant tartalmMiiden végtelen folytonos sok hozzá hasonló folytonosb

tevődik össze, vég telen sok sajátos atomja van. Egy vondarab tehát végtelen sok vonaldarabból, egy felület végtesok felületből, ós egy te st végtelen sok testb ől. Ugyaabban az oszthatatlan helyzetben nem lehet egyszerre tö



117

osz tha tatlan (pontban pont) és ez a kijelentés nem egyé

mint a testek áthatatatlanságának matematikai-filozófia fogmazása.Minden matematikusnak be kell látnia, hogy ezek a k

jelentések, amelyek Zenonra és Aristotelesre emlékeztetnsőt talán ezek hellén filozófiájához kapcsolódnak, egyáltanem skolasztikus értelmetlenségek, mint gondolkodni lusta empiristák oly szívesen állítják. Mert gyakorló ménök is fennakad néh a egy-egy infinitezimális paradoxo noha nem akarja, hogy valamely függőhídja ilyen «skolastikus bogarászás» miatt leszakadjon.Tragikus törvénye a tudomány történetének : a «kémekszívesen használják, de megvetik». Mire való az állandó vsengés a deduktív és induktív gondolkodás elsőbbségééÉppen a most következő idő fogja megmutatni, hogy csmindkettő együtt tette lehetővé azt a hatalmasan felfeívelő görbét, amelyen a következő századokban, az európnépek «fausti» szelleme emelkedett, míg végül eddig so

sem sejtett mértékben még külsőleg is rányomhatta a világa maga képét.Igyekeztünk megmutatni, hogyan vitte előre a keresk

delem és a filozófia az új nyug at m atem at ikáját . De a keretény népek lelkéből még egy ősrégi, talán Indiából szármaörökség bukkant elő hatalmas erővel. Az a mély vágy, homegismerje a term észetet, párosulva azzal a ta lá n m ost kelkezett erős akarattal, hogy uralkodjék ezen a természetés leigázza.

Tudjuk , hogy A ristoteles , röv iden a «filozófus», a szóbaforgó századok gondolkodását nem csak befolyásolta, hanszinte árny ékb a bo ríto tta . Stag ira fiának ez a ha tása nekorlátozódott a logikára ós a filozófiára. Más területekre átcsap ott, különösen a term észettud om ány ok ra. Már utatunk arra , hogy e századokban a termész et m élyebb m egismrésére irányuló szenvedélyes vágy fogta el az embereket s nem szűn t meg az elkövetkező századok al at t sem. É rt h e

hogy e vágyra ott kerestek kielégülést, ahol a legnagyobés végérvényes tek inté lyt sejtették. És ezt talá lták meAristotelesben. Csak utalni tudnnk arra, hogy itt a formfogalma hatalmás szerepet játszott, s hogy e fogalom lény



118

gérŐl hatalmas vita folyt a ferencesek és dominikánusok köés ebben legfőbb képviselőik Duns Scotus és Aquinoi SzTamás voltak. B mélyreható kutatásokból alakult ki véga «forma» jelentése a természetvizsgálat számára, amelytalán a «mérhető természeti tünemény» szavakkal tudnávisszaadni. De miképpen ábrá zolh ató e formák fokozata, «intensio»? Erre az egyetemeknek egy másik, a «Eormszélessége és hosszúsága» című ta n tá rg ya ad feleletet, «i Kr. u. a tizennegyedik században, a bécsi és kölni egyetetantervében már a baccalaureatushoz kötelező tárgyak jegzékében olvashatjuk.Messzire vezetne, ha azt vizsgálnék, hogy ez csupárégebbi tradíció foly tatását jelenti-e, vagy ped ig már OresmNicole tan ítása ina k h at á sá t. Ö kb . 1323 és 1382 közt élt előbb tanítványa, később tanára, végül pedig elöljárója va párisi College de Navarre-n ak. -Lisieux püspökekén t hmeg. Művének címe «Tractatus de latitudinibus formaru(Értekezés a «formák» «szélességéről») s legnagyobb mért

ben felkelti érdek lődésünket. Még akkor is, ha elfelejtjühogy ez az érdeklődés a kortársak közt is megvolt, közta könyv eleinte kéziratban, a könyvnyomtatás feltaláláután pedig négy egymást gyorsan követő kiadásban terjeE «szélességek» ugyanis nem jelentenek mást, mint az eláltalános, koordinátákat.

Térjünk vissza ism ét «formáinkhoz». H yen forma példáa hőfok és e forma változása az időben tö rtén ik. Miként ábzolható és vizsgálható a változás módja, vagy Oresme szri n t «a szélesség foka»? Milyen álta lán os képet nyújt végrea változá s ha ladá sa? Nekünk ma e kérdésre adan dó válaegyszerűnek és magától értetődőnek látszik, hisz, mint elázgörbénél, az időegységeke t egyenlő távolság okk ént mnők fel egy vízszintes vonalra s az egyes időpontokhoz ttozó hőmérsékleteket a vízszintes vonalra merőleges távságokként ábrázolnók. De tov áb bá feltennők, hogy az egfolyam at lefolyása «folytonos» s e fikció alapján az egy

«ordináták», tehát a hőmérsékletek végpontját görbévkötnők össze.Két különböző dolog rejlik ebben az eljárásban. Eg yrés

egy méreteiben felfogható tünemény lefolyásának grafik



119

ábrázolása. Másrészt azonban egy függőség, egy összefüggmegállapítása az idő és mért nagyság közt. S harmadszoha kiderül, hogy a mérés időpontja és a mérés eredménközt nem csupán az a formális összefüggés áll fenn, hogy és ez a hőmérséklet ehhez és ehhez az időponthoz tartozhanem kikutatható, hogy a hőmérséklet változása törvénszerűen függ a mérés időpontjától, a lázgörbe napi lefutásnak, vag y egy egész betegség lázgörbéjének megfelelőeakkor előttün k áll az, am it tulajdonképpen függvénynenevezünk. Egy független vagy önkényesen választott men

nyiség, az idő, összefügg egy másik, tőle teljesen és egyértműen függő mennyiséggel, a hő m érsé kle ttel. De ezzel «görbe» már lényegesen több, mint a lefolyásnak egyszeábrázolása, m ár egy törv ényn ek kifejezésévé válik. Matmatikai szempontból már csak egy lépés van hátra : maga törvényt megtalálni. Vagyis a görbe menetét matematikkifejezéssel rögzíteni és megfogni.

Vizsgáljuk azt, hogy Oresme mennyire jutott e gondolasoron, hisz még ma is közkeletű mese, hogy Pescartes a kordináta fogalmat szinte a semmiből te re m te tte . A X I X . szad tör ténelm i ku tat ás a m egcáfolta ezt a ríiesét, a nélkühogy ettől Cartesius érdeme számottevően csökkent vol

Oresme a már említett értekezésében kifejtette, hog«az események mérve (latitudines formarum) sokféle válzásnak van alávetve, és ez a sokféleség nehezen különbötethető meg, ha szemléletüket nem vezetjük vissza geometidomok szemléletére.)) Oresme kijelentése a fentebb elmodottakat figyelembe véve egészen elképesztő, Nem tartalmkevesebbet, mint a mérhető természeti tünemények ábrázlására vonatkozó ígéretet. Most már az eseményeinket léthozó két körülményt részben «hosszúságnak» (longitudrészben ped ig «szélességnek» (latitudo) tek in thet jük . A hoszúság vízszintes vonal, megfelel az abscisszáüknak, a szélség viszont a mindenkori ord iná ta. A z egym ást követő ornáták különbsége a «szélesség foka».

Oresme nagyon mélyen behatolt kutatása i tárg yá ba . Eismeretei tová bb i beosztásából is lá that juk . I sm er «szélesstelenséget* és «határozott szélességet*, a szer in t, hogy az ilhelyen az ordin áta nulla, vag y ha táro zo tt érték ű. Egé



120

terminológiát teremt a változás módjának leírására, az emény állandóságának kifejezésére, a változás állandóságávagy vá ltozására . A mit ő «excessus graduum » néven emaz m ár a változás mé rték e. H a változik az «excessus», akaz ordináták végpontjai már nem egyenesen fekszenehanem görbén. A változás ilyen változására Oresme pélis mutat, e szerint a «szélességek» úgy változnak, mint 0,2, 4, 7, I l i 16 st b . A nulla persze helytelen.

H a még hozzátesszük az t, hogy Oresme «figura» ala tt az idomot érti, amely a hosszúságból keletkezik, ha hozvesszük a két szélső ordinátáját a tartománynak, valama görbét, akkor jó fogalmunk va n az igazi koordináta-gm etria kezdeteiről. '

Oresme, ha nem is tudatosan, még mélyebben behatoaz új módszer álta l hirtelen feltáruló titkok ba . H a ugyaa «tigura» például egy, a «hosszúság» fölé rajzolt félkör voakkor feltűnnék, hogy a széleken, ahol a félkör emelkekezd, illetve a ((hosszúsághoz* visszatér, a «szélességek» i

gyorsan nőnek, illetve csökkennek. Ez a növekedés, vaúgy is mondhatnók : a növekedés üteme, tempója, mininkább csökken, és a «szélesség» legnagyobb értéke kömajdnem eltűnik.

Oresme e felismerésében bukkan fel először az (érinproblémája)) és a (differenciálhányados*. Ez mostani fokotunkhoz mért eszközökkel megmagyarázva, olyan szemlémódot jelen t, am ely va lam ilyen esemény Jefolyasát görbéábrázolja és ezt a görbét különbözőképpen hajló érintőburko lva képzeli el úg y, ho gy m inden po ntra jellemzőgörbének rajta keresztülmenő érintője.

De mint mondottuk, évszázadokig nem jutottak túl eza sejtésen. És még Descartes kész koordináta-geometriának is m ás elemek egész sorával ke llett bővüln ie, míg valóinfinitézimális-geometriává lehetet t. Oresmenél teh át a promának inkább filozófiai, mint matematikai oldalát kvizsgálnunk. De szúrjunk közbe előbb va lam it. Feltűn

hogy a «hosszúság» és «szélesség» szakkifejezéseket éppen használjuk, mint a földrajz vagy a csillagászat. E tudomnyokban ugyan is a földfelület valam ely pon tjának (mondegy városnak) vagy valamely csillagnak a helyét szint



121

^hosszúságával* ós «szélessógével» ad ják meg . Oresm e «lontudo» és «latitudo» kifejezéseit bizonyára innen kölcsönözMert m ár a K r. u. tizedik századból ismeretesek csillagpályolyan ábrázolásai, amelyek elkészítéséhez az égboltozatelőször síkra ve títet ték , s e síkba rajzo lták bele a hosszúsés szélesség alapján u tólag a csillagpályákat. De ez a közbve tett megjegyzés azonna l visszavezet ered eti problémánhoz. És lehetővé teszi hogy Oresme érdemének lényegét mtassuk. Mert lényeges a különbség, ha egy pályát ábrázolugörbével, vagy pedig az időben lefolyó inten zitásv áltoz ások

Mert ha a második, igen absztra kt, meggondo lást általánsítjuk, akkor szükségképpen a függvény fogalmához jutunMindent, aminek csak nagysága vagy fokozata van, motérbeli vagy időbeli megoszlásával, «szélességek» segítségévábrázolhatunk. Minden változáshoz egyszerre tartoz ik eg«figura», egy a görbéivel ós koordinátáival határolt felülés —- továb bi álta lános ítás — mind en «figurának» megfeegy változás.

A «latitudo formarum* valami döntő módon líjat vitbele a nyugati kultúrába, ez egy egészen új számfogalommint Oswald Spengler mondja, aki a függvényt «fausti szának* nevezi. E bámulatos fogalmazást it t még nem tudjuértéke lni, de ham arosan meglátjuk, hogy ez a fogalom magban foglalja az eleai és herakleitosi világnézet áthidalását.függvény — bocsánat a hasonlatért — átkapcsoló, amemindenkor lehetővé teszi, hogy m eglevőt keletkezővé és kelkezőt meglevővé alak ítsunk át . A megismerésnek éppe

annyira statikus, mint dinamikus segédeszköze, s annyialkalmas eszköz a természetnek és törvényszerűségeinevizsgálatához, m in t semm i más előtte . De az összefüggésteljes érvényesülésére még évszázadokig kellett várni, noOresmenél a készülő szerzsám olyan matematikus kezébvolt, aki e korban m ár tö rt hatván ykitev őke t alkalmazoós ismerte jelentőségüket.

És ez a szellemi előrenyomulás, amelyhez a germán népa végtelen misztikus borzalmával, a román népek pedig analitikus ábrázolás szigorú forma-fantáziájával járultahozzá, még a következő, tizenötödik században sem szűmeg. Méltón csatlakozik a nagy szerezetesekhez Nicola



122

Cusanus bíboros, aki Kuesben, a Mosel partján születeAtyja Crypffs vagy Erebs nevű szegény halász volt, s a kora egyik legnagyobb szellemévé növeked ett. Cusanua tettek embere, aki egy személyben volt jogász, teológkövet Bizáncban, államférfi, hadvezér és kiküldött a baszsinaton és még sok egyéb is, csak mellékesen foglalkozmatematikával. Igaz, hogy mindenben, amihez hozzányúnagyot alkotott. Számunkra szigorú matematikai íráskevésbbó korszakalkotó jelentőségűek, mint azok a bepilltások és nyilatkozatok, amelyeket a végtelen fogalmánnehézségeivel kap cso latban tőle ka ptu nk . Két különöáttekin thetetlen , de bizonyára m élyen járó írásában — cím«Docta ignorantia» és «De Beryllo» — matematikai-filozóftá rg yú gondolatait fejtegeti. «Docta ignorantia», «tanutudatlanság)) szimbolikus cím, amely Cusanus alapfelfogátükrözi. Szerinte az ellentétek összekapcsolása m inden tudforrása. Később az ismeretszerzésnek ezt a módszerét «koincidenciák művészete)) néven is említi, és ez abban hogy látszólag ellentétes dolgok számára közös magasabren dű fogalmat kell ta láln i. íg y koincidál a legkisebb a lnagyobbal, mert folytatásuk saját irányukban lehetetleígy koincidál egy végtelen egyenes a háromszöggel és a krel. Mert ha egy háromszögnek egyik oldala végtelen hosszakkor a másik kettőnek is végtelennek kell lennie, hiösszegük nagyobb, mint az első oldal. De a végtelen mha tár, aminél nagy obb nincs. így tehá t ha egy háromszegyik oldala végtelen, akkor mindhárom oldalának egegyenesen kell feküdnie. Ugyanez áll a rra a kö rre , amemindinkább növekszik, míg végül mint végtelen kör elvesgörbü letét. M indke ttőnek össze kell esnie, koincidálnia kaz egyenessel.

A «De B eryllo» cím is képletesen é rten dő , m er t it t a lájavítására szolgáló domború vagy homorú csiszolású kövjelent. Volna csak egy szellemi beryllünk,•—• véli Cusanus —amely egyszerre mutatja meg a legnagyobbat és a legkise

bet, akkor megismerhetnők minden dolog titokzatos eredeE művében Cusanus főképpen a legkisebb és a folytonosproblémáival foglalkozik lényegében oly módon, ahogy már Bradwardinussal kapcsolatban megismertük.



123

Bármennyire érdekes volna is e fontos és igen szubtilkérdésekkel alaposabban foglalkozni, mégis csak azt emlíjük röviden, hog y valószínűleg Cusanus az első a m atem atitörténetében, aki a kört nyíltan és szépítgetés nélkül végtelsokoldalú sokszögnek mondja.1

Bizonyos, hogy ilyen megállapítások megint felszínrhozzák mindazt a nehézséget, amely már a régi görögökBadoxos óta a «tetszés szerint» nagy és kicsi fogalmához az exhaustiós eljáráshoz v ezette. De a szöges ellentét és enna koincidencia-módszerrel való áthidalása ismét új szempotokhoz vezet. S nem tudjuk elhallgatni v éleményünkehogy éppen a legújabb geometria, végtelenben fekvó' pontjval, egyeneseivel stb. alig tér el Cusanus felfogásától, nemhogy ellenmondana neki. S ma is lélek nyugalommal dolgzunk végtelen n ag y körökkel, amelyeknek görbülete nullés végtelen sokoldalú sokszögekkel, amelyek körök. Melehetősen közömbös., hogy ezt az eljárást Y aihingerre l fikcnak vagy Cusanusszal koincidenciának mondjuk-e. És kzömbös az is, hogy ilyen esetben a «határátmenet» elmosdottságát és homályosságát emlegetik. Közömbös ugyanmagasabb szempontból. Mert ha egyesek azt állítják, hoglegyen a sokszögnek mégannyi oldala, törtvonalként külöböznie kell a lényegénél fogva minden helyén töretlen, göbült kör vonalától, akkor mások viszont azt felelhetik, hoa végtelenben mások a szabályok, m in t a végesben. S egsokszögoldalnak egyszer egész terjedelmében össze kell esna körkerület egyik pon tjával.

Hyen vizsgálatoknál az aktuális és potenciális végtelekülönbségét nem kerülhetjük el. És rábukkanunk a folytnosnak ós a diszkrétnek (különállónak) fogalmára, valamiaz osztha tóság és az ato m közt fennálló antin óm iára. VégKanttal együtt be kell látnunk, hogy eszünk egyik nézethtúl hosszú, a másikhoz tú l röv id. De bá rm en ny ire fontos ez,nem ez a legfon tosabb. "Úgy látsz ik fon tosabb — nyilváezt bizonyítja tud om ány unk tör tén ete — H erakleitos szav

v «Quanto autem polygonia aequal ium laterum plurium fueri t anglomra, ta nt o similior eirc ulo ; circulus ea im si ad polygonas a tte ndest infinito rum angulorum .»



124

amely szerint minden történés atyja az ellentét, és Cusanszava, az ellentétek áthidalásának termékenységéről.

Befejezésül bízvást mondhatjuk, hogy két, törvényt netisztelő fogalom volt az a robbanóanyag, amely eruptmódon átalakította teljes belső és külső világképünkeEgyik volt a függvény, amely a meglevőt a keletkezővel egsíti, a másik a koincidencia, amely végest végtelenné, vételent végessé tud tenni.

E két, tisztán nyugati-fausti, sőt különlegesen germáés francia ered m ény , hogy teljesen kifejlődhessék, megtestvéries módon fogott össze az algoritmus mágikus kabbalisztikus kategóriájával, amely végső fokon indiszellem term ék e. . /

A következő fejezet megmutatja majd, hogyan folyt ez a végső roham s hogyan tárult fel egyszerre a legközelecsúcsra vezető út.



K I L E N C E D I K F E J E Z E T.Vi e t a .

Matematika mint szimbolika.H a a hellénsóg m atem atiká járó l azt állítjuk, hogy szin

belső problémaként jutott addig hogy további fejlődésiiem volt többé módja, akkor az újkor matematikájáról akell mondanunk, hogy bőven kapott kívülről buzdításEzzel távolról sem állítjuk azt, hogy az új nyugat matematikája nélkülözte a tépelődő munkatársakat. De az úvilágnak más céljai nem kívánták egy tudomány magábzárt puszta tökéletességét. Ez ösztönözte a matematikmindig újabb és újabb «tettekre», a legnagyobb felfedezésehez kívülről jövő feladatok adtak lökést, és ezek a feladat«valószei-ubbet» vo ltak, m in t a koekakétszeiezés, szöghaimdplás és körnégyszögesítés három klasszikus problémája.

Volt is ezekben a Cusanus és Descartes közt eltelt századokban, vagyis a tizenötödik századtól a tizenhetedik százelejéig eltelt időben, bőven, fontos, «valószerű» felfedezés

Eagadjuk ki először azt az eseményt, amelyik számunka legfontosabb. 1458-ban Bizánc elfoglalásával elesett antik tradíció utolsó mentsvára és a bizantin tudósok nygatra vándoroltak, magukkal hozva nyugatra rengeteg meértett és meg nem érte tt klasszikus tudá st. A hum anizmusa renaissance ezzel óriási, új feldolgozásra váró anyaghjutott, a matematika terén különösen sok olyan ókori mkerült elő, amelyet addig csak arab fordítások nyomán, vaegyáltalán nem ismertek. De megint nemcsak ez a külskörülmény játszott szerepet, hanem a renaissance és az akövető idő szellemi beá llítása is, m er t ennek a ha tása voaz antik matematika átvétele, beolvasztása, «recepciójaE mindmáig is tartó recepció lefolyását más helyen fogjumegvizsgálni.

De külsőségek szempontjából még két eseménynek vo



126

hatása a matematika terjedésére és emelkedésére és ezek

már meglevő mozgalmakat nagymértékben meggyorsította köny vn yo m tatás feltalálása és a Föld felfedezése Columés követői által. S m íg a könyvnyo m tatás Luca P aciouművének 1494-ben történt kiadásával a matematika, külnösen az aritm et ika fejlődését m ozdí to tta elő, addig a Föalakja a hatalmasan megnövekedett terület keletkező geogfiája, a hajózás és a vele kapcsolatos csillagászat újabb újabb kérdéseket hozott felszínre, s közülük nem egy mamatikai természetű volt. A kérdések száma még rohamosban erősödött, midőn a Föld felfedezését az égbolt kutatákövette, és Kopernikus és Galilei megteremtették az úheliocentrikus világképet, amely elfoglalta az addig érvénpfcolámaiosi világkép helyét. Megjegyezzük még, hogy ezaz újítások nem szorítkoztak asztronómiai kategóriák elképzelésére, hanem ezen kívül a fizikát és matematikátúj, dinamikus pályákra szorították, olyanokra, amelyek m atem atikai tárg ya lás t nemcsak lehetővé tet ték , hane

egyenesen megkívánták.Ismét meg kell itt állapítanunk, hogy nem akarjuk, dnem is tudjuk m indaz t a n agy és értékes eredm ényt leíramely e századokban keletkezett, hisz nagyrészük korszaalkotónak csak feltételesen mondható. S ha mégis, akkor svolt egyes ember működéséhez kötve hanem szükségszerűa tudomány egészének fejlődéseként következett be.

B korszakot elsősorban az aritmetikával és algebráv

való beható foglalkozás jellemezte. Az elméleti és gyakorcélokra felhasznált számolás az algor itm ussal való foglalkzásra kóny sze rített, s ne túlozun k, ha azt állítjuk, hogyszázadokban keletkezett valamennyi matematikaijel,amelyetma is használunk. Legalábbis az egyszerűbbek.

De még mielőtt az aritmetika fejlődése felé fordítanéfigyelmünket, em lítsük meg, hogy a renaissance ké t naművésze sejtette meg a geometria egyik új ágának alapjaEzt az ágat csak a XVIII. század végén karolták fel újra fejlesztették magas fokra. Leonardo da Vinci és AlbrecDürer volt ez a két művész, akik mint festők, mérnökök építészek először foglalkoztak a geometriai perspektíva kutásával és az ábrázoló geometriával. De ezt csak melleslemlítjük.



127

Az aritmetika mesterei, akikről már említést tettünk, következők voltak: a német Michael Stifel, a francia Chuquet,és négy furcsa olasz, Ferro, Cardano, Tartaglia és FerrarAdam Biese és Rudolff viszont számolóművészek és pedaggusok voltak.

Stifelés Chuquet jelentős eredményeket értek el. Szembeállítottak egy számtani sort egy mértani sorral és ezzel nálutaláljuk meg a logaritmus első nyomait. De az olaszoknavalami sokkal fontosabb sikerült, ök tették meg ugyanis aelső lényeges lépést az an tik m atem atika ha tára in tú l

amidőn sikerült nekik harmadfokú egyenletet gyökjelesegítségével megoldani.Mélyenfekvő oka van, hogy miért beszélünk «róluk»

többeszámban. Az eredeti felfedező ugyanis állítólag aegyébként ismeretlen Ferro. Minden egyéb egy olyan elsőbségi vita ködébe burkoltan maradt ránk, amihez hasonló tudomány történetében talán nem is fordul elő. A részleteBoccaccio novellát, vagy egy rokokó-kalandor emlékiratajuttatják eszünkbe. Tömegesen fordulnak elő benne gúnyiratok, röplapok , szidalmazások, hiva taltól való megfosztásoSzerződések és kihívások. A z igazságot sohasem lehete tt eszén pontosan megállapítani, de a legújabb kutatás szeriúgy látszik, hogy az eredmény nagyobb része az esküszegCardano érdeme, s a dicsőségből az egyébként geniális Tatagliát csak a kisebb rész illeti meg. íg y a harmadfokú egyelet megoldására szolgáló végképletet Cardano-képlet névszokták emlegetni, noha ez még akkor sem teljesen helye

ha az elsőbbség-vitától teljesen eltekintünk. Cardano levzetéséből szükségszerűen következő végképlet ugyanis egkésőbbi kiváló aritmetikustól, Bombellitől származik. Aolyan egyenletek megoldása, amelyekben az ismeretlen elforduló legmagasabb hatványa a harmadik illetve negyedhatvány, vagyis röviden a harmad-, és negyedfokú egyenletek megoldása nemcsak magábanvéve volt nevezetes fefedezés, hanem e megoldásokkal kapcsolatban olyan eljársokat alkalmaztak, amelyek később általánosítva igen nagfontosságra tettek szert. A helyettesítés elvéről van itt szalgebrai kifejezéseknek más, egyszerűbb vagy bonyolultabkifejezésekkel való kicseréléséről. Mindenki, aki csak kis



128

ért az algebrához, tudja, hogy az egyébként hozzáférhetet•x6

+5a;3

— 1 4== 0 hatodfokú egyenletet azzal lehet megoldan i, hogy, benne azx3 helyett az úju ismeretlent írjuk,x3 helyébeu-t helyettesítünk, és az úju2 + 5u—14 = 0

egyenletet oldjuk meg. Ennek, tudjuk,— ± 1 / -j- + 14a megoldása, v agy is % = 2 ésÜ2 = — 7. A hatodfokúegyen letet teh át visszavezettük egy vegyes másodfokegyenletre, «redukáltuk» az egy enletet. Most m ár csak ÍÍJ = x3 és uz = x3 tiszta harmadfokú egyenleteket kellmegoldani, vagyisx = -^ ux — ^f%és x = j / —u 2 = f—7noha ez még újabb megfontolásokat igényel.

Ilyen fogások már az ókorban, különösen Diophantoelőtt, ismeretesek voltak. Gardano kora tehát nem találta a helyettesítés elvét. Nem akarjuk- azonban az alkalmelmulasztani, mert az ú. n. Cardano-féle megoldás ilyehelyettesítéseknek egész hálózata és e megoldásmódhnéhány megjegyzést akarun k fűzni. A vegyes harmadfoegyenletre fogunk e közben szorítkozni és minden levezetmodern írásmóddal írunk, noha ez Cardano idejében megyáltalán nem létezett. Akkor még, néhány rövidítésteltekintve tiszta szóalgebrát alkalmaztak. Mostani beszémódunkkal megállapítjuk tehát, hogy minden vegyes hamadfokú egyenlet az a3 + GKE2 -+-bx-} -c = 0 alakra hozhatóés itt a, b, cbármely számot jelenthet. Ez az alak eddigminden megoldási kísérletnek ellenállt, és ebben , m int ham

rosan kiderül, a négyzetes tag, vagyis azaz2

volt elsó'sorbanhibás.E tag kiküszöbölésére Cardano (tekintet nélkül aelsőbbségi v itá ra , mind enk or őt fogjuk említeni)x helyébe azyy —) kifejezést he lye ttes íti. A mű veleteket végrehajtv

fi fí fi tyft OJ

az eredményys— Sz/2-g- + 32/— — --^ + ay2 ^ +fí fit) / (i \

+ -gT +yh j j~ + c = 0 v a g y összevonva y3+ \b - j y - \ -

( 2a3 ab \-— — +ej = 0 tehát egy olyan egyen let, amelybenaz ismeretlennek már csak a harmadik és első hatványa f



129

dalelő. Tehát általábany*+ py -f q = 0 alakú, mertp ós g

csak az a, 6 és c értékeiből tevődik össze. Egyszerűen pírtunkib— -^-1és g-t f-^—"TT+ c)ü e lye t t- Cardano moste másodfokú tagtól mentes egyenlet megoldására egy újalátszólag értelmetlen helyettesítést alkalmaz, az ismeret« helyébe két új ismeretlent vezet be, az« + Ü = J /egyenlőséggel Behelyettesítve azy^+py+q—0egyenletből azu* + Bv?v + 3uvz + v3 - j -Vu + Pv + 2 = 0 egyenletet kapjuk. Ezt rendezve azu3'-{- v3 + q+ (u+ v)(Buv -f- p) = 0egyenlet keletkezik. Minthogy minden további nélkül ftehetjük, hogy(Buv + p) = 0 akkor az is következik, hogytta _}_u» -f- g = 0. Két egyenletünk van most, két ismeretle

ignel. Deha (Buv + p)= 0, akkor8M»= —p ésÍ;= ——- ezt

„a OM

a második egyenletbe helyettesítve w3— -078 +2 = 0. Haezt az egyenletet még «s-nal megszorozzuk, akkor azutJru3q — ^5-= 0 egyenletet kapjuk. Olyan hatodfokú

27egyenlet áll tehát most előttünk, amely vegyes másodfoegyenletre redukálható, mivel benne az ismeretlen csupánn-dik és 2»-edik hatványon fordul elő. Ismét helyettesínünk kellene,u3 helyett mondjuk r-et írni, de ezt mostcsak gondolatban végezzük el és közvetlenül felírjuk, ho

«*=—f ±J / (T)2+(fT

ós ebbő1 &^=-<L-^egyenlőséget figyelembe vévevs——q -f -L ^.y í- j -f \t\

vagyisi3 = —-|- =F1 / [-A + (Ir) N i n c s ^ ^ m á s hátra,minthogy visszamenjünk az úton, amelyen jöttünk. Követsünk szerint teháty=u+v= 1 / - - | ± 1 / (-f-f +( f f +

+ { / — - f - T l / í-|-) + (ír) • Meg kell mindenesetre je-'1 ílotarna; "Pvthaeorafi.



130

gyezniink, hogy sem Cardanonál sem Bombellinél nem dulnak elő az előjelek az általunk használt módon. Külösen a négyzetgyökjel előtt álló előjelek nem, mert még Bbelli is csak a + előjelet írja az első tagban szereplő, és aelőjelet a második tagban szereplő négyzetgyökjel elé. E«gyökpoIinomot» még tovább kellene visszavezetnünk, filembe véve p ésq értékét, valamintazx=y—— helyettesi-

otest. Megjegyezzük még, hogy már Cardano és társai is lalkoztak a gyökpolinom képzetessé válásának kérdéséveeme nehézség elkerülésére különféle újabb helyettesítéseszeitek ki. Cardano bukkant továbbá arra az eddig figyelkívül hagyott körülményre, hogy egyés ugyanannak az egyenletnek három megoldása van. Tudta továbbá azt is, hoghelyettesítések nem mindig vezetnek célhoz, hogy van«irreducibilis» esetek is.

Be ezzel elvben megvolt a harmadfokú egyenletek tiszalgebrai eszközökkel, tehát gyökjelekkel való megoldés mit sem változtat ezen a körülményen az, hogy a logamusok meghonosodása óta, Girard nyomán az ilyen egyletek megoldására, a számítások egyszerűsítése céljáiakább trigonometriai eszközöket alkalmaznak.

De a speciális kérdésen kívül minden mélyebben gondkodó matematikust azóta a helyettesítés elvének kérdfoglalkoztatta. Miért, mikor és miként lehet algebrai kifzéseket egyszerűen másokkal helyettesíteni? Mi marad vzatlan és mi változik az ilyen eljárás következtében? Harosan kiderült, hogy itt formáról és hasonlóságról van De a formaáflandóság és invariánsok kérdését ezen a fomég nem lehetett megérteni, hisz a transzformáció fogacsak a koordináta-geometriával kapcsolatban világosomeg teljesen. De erre is csak majd a XIX. század algebrnak megbeszélésével kapcsolatban térhetünk ki. Egyelmeg keíl azzal elégednünk, hogy a harmadfokú egyenletekapeisolftiban megismertük a probléma súlyát és jelentősAz emberi szellem ismét új varázseszközt kerített kezébnem fog addig nyugodni, amíg azt sokkal magasabb foneaa {epesztette.

Ezt a hatalmas lépést Vieta tette meg, a geniális aritmet



181

és algebrista, akit csak azért fogunk mindenkor algebristánnevezni, mert korszakalkotó működésének súlypontja errtérre esett. Minden szempontból nagy matematikus voMeglepő, hogy nem volt szűkebb értelemben vett szakemjogász volt, ügyvéd, mindenféle állami ügyekkel foglalkoés többek közt megfejtette a spanyolok egyik 500 jelet ttalmazó titkos írását. Ezáltal vált lehetővé, hogy a franca velük hadban álló spanyolok minden sürgönyét nehézsnélkül elolvassák. Vieta eredetileg hugenotta volt, de ismtelten változtatta hitét és így is mindenkor Eohan védenmaradt. A francia király titkos tanácsosa lett, 20,000 taörökséget hagyott hátra, minden könyvét saját költségnyomatta ki, mindenfelé ajándékozta azokat, barátainaismerőseinek ós egyébként is szelíd kedélyű ember volt. hónapokig vendégül látta házában egyik tudományos ellfelét, sőt hazautazása költségeit is megfizette.

Az emberiség azonban, mindé szimpatikus vonáson, tvalami egészen különös dolgot köszönhet neki. (5 volt ugyanis és csakis ő, aki az algebrát a harmadik, szimbolifokra emelte. Művében, amelynek címe ((Bevezetés az antikus művészetbe (In artem analyticam isagoge), az 15évben először a homogenitás elvét mondja ki, tisztán és vgosan, amelyet ugyan a klasszikus hellén kor matematikuki nem mondva mindenkor betartottak, de a melyre Herés Diopbantos már nemigen ügyeltek. Eöviden azt monez az elv, hogy csak szigorúan egynemű mennyiségeket leösszehasonlítani, tehát helytelen például, ha testeket, feleteket ós vonalakat hozunk egymással összefüggésbe. Eaz elvet Vieta betűszámtanában következetesen keresztviszi. Mint már mondottuk, ő volt az első, aki az algebszavakba burkolását mellőzi, és latin nagybetűket hasznászámításokhoz. A magánhangzók az ismeretlen, a másshangzók az ismert nagyságok szimbólumai. Figyelemméltó a «nagyság» szó. Még Vieta sem helyezi át teljesegyértelműen az algebrát a számok birodalmába. A szemletes,geometriai «nagyság» fogalma még hozzátapad valahobetűihez. «Per species seu rerum formas» számol velütehát mint «térbeli alakzatok látható jeleivel*. Megmaradfelfogásánál, noha nem érzi magát kötve a geometriai dim

**



132

ziófogalomtól és nyugodtan számol még kilencedik hat

nyokkal is. Nehezen dönthető el, hogy mi játszódik le Vieta méretű matematikus fejében ennyire egybe nem vdolgok láttán. Sejtelme lett volna többméretű geometriról? Vagy elég volt neki a homogenitás elve, hogy megtiháromnál több dimenzió esetén is a különnemű nagysáegymáshoz kapcsolását? Vagy a betűnagyságok magasdimenzióit nem is tekintette magasabb tér-dimenziónmivel Cardano nyomán, helyettesítéssel, a természetes hádimenzióra redukálhatok? Nehezen lehet e kérdéseket eldteni,éppen oly nehezen, mint azt a kérdést, hogy vájjon emai geometer a háromnál magasabb dimenziószámú geomriát valóban létezőnek képzeli-e. A matematika történetémindeddig a matematikai formák gondolat- és szemlétartalmát többé kevébbé tudatosan tologatták át az armetika oldaláról a geometria oldalára és viszont. A helléés tanítványaik számára az algebra üres árnyékvilág, a matematikus számára viszont a geometria csak egyike

«csoportokka]», «hasonlóságokkal», «halmazokkal», «formkal» és ^invariánsokkal)) foglalkozó magasabb rendű tudománagyszámú alkalmazási területeinek.

De ne vágjunk elébe az eseményeknek. Vieta tehát töletesen elválasztotta az aritmetikát, a konkrét számoláa «számtant» «logistica numerosas néven a «logistica specinak elnevezett betűszámtantól, jóllehet a közönséges számkal való algoritmikus, gépies számolást, ahol lehetett, vi tte a betűszámtanra is. A német eredetű + és— jelet mármindenkor használja, de a mai írásmód többi kapcsoszimbóluma még hiányzik, vagy más jeleket alkalmaz heltük. A törtvonalat Vieta már úgy alkalmazza mint mi, égyökvonásra is van saját jele. Nem ismeretlenek előtte tötagú kifejezések összefogására a gömbölyű és a szögletes zjelek.

Bízvást mondhatjuk, hogy Vieta volt az első, aki mamatikai komplexumokat formulákká foglalt össze operá

jelekkel, szimbólumokkal. Új öntvénve még nem volt mea salaktól, ilyen volt például a hatványok szavakkal vjelölése. De az öntvény olv fényesen, félreismerhetetlecsillog a salak alatt, hogy a «matematika gyorsírása*, v



183

helyesebben a «matematika esperantoja*, vagyis a tisztfogalom-és szimbolum-írás a Vieta korát követő 150 év alamár majdnemteljesen a mai fokra fejlődött ki. A moderírásmód, vagyis a latin, dűlt(kurzív)kisbetűk használataalgebrai mennyiségek jelölésére Thomas H ar io t (1560—162oxfordi professzortól származik, aki ezt propagálta, valószínűleg lord Napier hatása alatt «Artis analiticae praxiscímű művében.

Álláspontunknak megfelelően meg kell még Vietáróemlítenünk, hogy a «koefficiens» (együttható) szó is az szókészletéből származik. Egy geometriai feladatban fordelő «longitudo coefficiens» «együttható hosszúság, távolsáösszefüggésében. Koefficiens értelme Vieta szerint teháolyan távolság , amelynek szerepe van m ennyiségek alakításban. Gondoljuk el azt az esetet, hogy egy(A+B) oldalúnégyzethez még egy téglalapot kell hozzátennünk. Enneszintén(A-\-B)az egyik oldala, a másik viszont legyenD.Az új idom területe tehát összesen(A+B)2+D(A+B). I t tD a koefficiense az(A+B) távolságnak. Közben Vieta a«homogenitás-elvnek» megfelelően úgy képzeli, hogy a(Já + B )?csak akkor öszegezhető az(A-{-B)-vél,ha utó bbi aDkoefficiens folytán szintén terület kiterjedésű lesz. Különbvonalat kellene terü lethez a dn i, am i m egengedhetetlen.

Vieta más, szintén igen magas matematikai kvalitásairónem akarunk beszélni. Azt is csak röviden említjük, hogalgebristák és aritm etiku sok egész iskolája munkálkodoaz «Ars magna», a «nagy művészet» (így nevezte már Carda

is) fejlesztésén. Raimundus Lullus (Bamon Lull, Kr. uXIII . század)óta, azáltalános tudományideálja, egy olyanmódszer, amely' a gondolkodást teljeBen gépiesíti, állandóa tudósok szeme előtt leb eg ett . Ezek a félig -meddig misztiktörekvések, amelyek az algebra «artium ars», «művészeteművészete» megjelölésében is m uta tko ztak, természetesen német-római bitrodalomban is jelentkeztek. Olyan férfiaművelték ezt mint Eegiomontanus és Peuerbach, valamint*«0ossisták» iskolája. Cossista egyértelmű az algebristávaA szó a causa vagy cosa szóból származik, jelentése «dologDe az_ ismeretlennek «dolog» szóval való megjelölése Indalgebristáitól származhat, akik az ismeretlent szintén egyszerűen ezzel a szóval jelölték.



T I Z E D I K F E J E Z E T.

J ó s t B ü r g i .Matematika mint táblázat.

Varázsszőnyegünk szédítő módon rángat minket előrehátra. Előadásunkat ezért azáltal kell szabályosabb pályáirányítani, hogy új problémát hozunk előtérbe, olyant, amegyenesen áttekinthetetlen jelentőségű. Még egy másodoka is van annak, hogy miért akarunk ezzel a kérdéssbehatóbban foglalkozni. Mert itt a tudomány egyik felütességével találkozunk, amelytől még sok, egyébként nagykitűnő m atem atikakö nyv sem m entes . A logaritmusra gdolunk, amely oly sok matematikát tanuló diák rémálm

Egészen természetes lett volna, ha a logaritmust szinrendszeres kutatással fedezik fel. Az alapműveletek renszeres vizsgálata megmutatta volna, hogy még további alművelet is lehetséges. Az összeadás építő (thetikus) művetének megfordítottja a kivonás lebontó (lytikus) műveleugyanígy megfelel a szorzásnak az osztás. Ez a kettősség mtovábbmegy, mert a hatványozás és gyökvonás ugyaneztkétoldalú szerkezetet mutatja. De még egy kérdés tehető Ismeretes lehet egy hatvány alapja és ismeretlen a kitevTehát azax kifejezésben aza bármely természetes szám,10, 500 vag y akár 7324. H a mostax = b és a 5 is ismert,akkor be láthatjuk, hogy it t a hatványozás másik megfortásá ról va n szó. Ez a kettősség it t abból adódik, hoga hatványozás nem kommutatív művelet. Összeadásnx-\-a=b és a-{-x=b,éppen ezért közömbös, hogy melyikethasználjuk. Ugyanúgy van a szorzásnál is,a.x=b ésx.a=b.Nem így a hatv ány ozás. Egészen m ás t jelent azx" = bés aza? = b egyenlőség. Az első hatvány, a második exponenciális függvény. A zax — b megfordítása a gyökvonás,



135

tehátx=^b. De ori az a* =b megfordítása? Ha azt írjak,

kogy a—fT akkor semmire sem megyünk. Most merülcsak igazán fel a kérdés, hogy miként határozzuk meg x értékét ?

Hamarosan visszatérünk erre is. De egyelőre megállólegutóbbi kérdésünknél, mivel más volt a történelmi fejlőútja mindaddig, amíg a probléma általános jellegét át netekintették. És éppen ez a furcsa módon való közeledésprobléma magvához, felfedezéstörténeti szempontból nagyérdekes. Mert a valóság, még a matematikában is Columútját választja. Columbus sem azt mondta elutazásako«Mbst pedig elindulok és felfedezem A merikát.* Nem is gdolt egy még ismeretlen világrészre, csupán az Indiába vezutat akarta megrövidíteni. Majdnem ugyanígy történt logaritmus felfedezése is.

A titok első nyomai Archimedeshez vezetnek és számtmeg mértani sorok összehasonlításából származnak. Vilásabb már az összefüggés Michael Stifelnél és Ohuquetnél, miként Stifel, geniális matematikus volt. Szóval egy szátani és egy mértani sor összehasonlítása a lényeg, és eStifel «arithmetica integra» c. művében már ilyen formábtaláljuk meg:. . . _ 5 _ _ 4 _ 3 _ _ 2 — 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 . . .

- I T e i l I 1 2 4 8 16 32 64 128 256.. .

Stifel megjegyzi: «Egész könyvet lehetne e számok csolatos -tulajdonságairólírni,de i t t meg kell elégednem ennyivelés behunyt szemmel kell mellettük elmennem.* Más helymindenesetre kissé kinyitja szemét, mert megjegyzi: «számtani sorban végzett összeadás a geometriai sorban szzásnak felel meg, éppen úgy kivonás az egyikben osztásna másikban. A számtani sorban végzett közönséges szora mértani sorban önmagával való szorzássá (hatványozáslesz. A számtani sorban végzett osztásnak a mértani sora gyökvonás felel meg, például a felezésnek a négyzgyökvonás.*

De ezzel már az 1544. évben teljes egészében kifejezé



186

jutott a logaritmus elve, vagyis az a fontos lehetőség, hoalapm űveletek fokát szükség szerint eggyel leszállíthassuH ogy világosabban lássuk, próbá ljuk ki Stifel második átását az általa megadott számokon. Tegyük fel, hogy 8.32 szorzást kell elvégeznünk. Csak azt kell megnéznünhogy milyen számok állnak felettük a számtani sorbaA 3 és 5 számokat össze kell adnunk, az eredmény 8. De8 alatt, a geometriai sorban a szorzás eredménye olvashat256. Természetesen kettőnél több tényezőt is vehetünk

Legyenek ezek -r^-, -^p, 2 és 256. A szám tan i sorban nek16 Símegfelelő' számok összege (— 4 ) + ( — l ) + l + 8 = 4 , és a 4 ala

azonnal leolvashatjuk a 16 eredményt. Osztás helyett kvonást kell végeznünk. íg y 128 : 32 egyenértékű a 7— 5kivonással, és a 2 alatt o tt áll az ere dm én y: 4. A hatványovalamely szám önm agáva l való ismételt szorzásának is tekihető,a számtani sorban, miként Stifel is mondja, önmagávvaló ismételt összeadássá, vagyis szorzássá válik. így tehpl. 43 a 2+2+2=6 vagy egyszerűbben a 3 .2=6 művele t tetalálható meg, az eredmény mindkét esetben egyformáa 6 al at t olvasható 64. Gyökvonás osztás által törté ni256 negyedik g yöké t megkapjuk , a 8 : 4 = 2 m űvelettel ebből a gyök 4.

Ez a varázslat magában véve nem rejtélyes, különöseha sorainkat így írjuk fel:. . . — 4 ,— 3,— 2,— 1 , 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, . . .

. , , q-4

-, g-»,q~\ q~\q°, q\ f. g3

, g*, g», g6

, q\ g8

, . . . .Eő gtön látjuk, hog y a szám tan i «sor» nem m ás, m int a h aványkitevők sorozata és a számolásunk nem volt egyéb, mhatvány okk al végzett néhány m űvelet. Mertq5-q~2=g5—2=g3,vagy g3-g*=gs+4=g7, vagy g8: g2= g8-2= g6, ós (g3)2=g3-2=g6

végültfq*=q**=q*stb.Ezért nevezik ma is azam.an.ar...=am+n+r+- össze

függést röviden a hatvány logaritmikus tulajdonságánamert ebből valamennyi más tulajdonság levezethető. De eaz általános fokot, főképpen a még fejletlen algebrai írásmkövetkeztében, nem érték el azonnal. Stifel felfedezését



187

későbbi algebristák mégis felkarolták és átvették, így külnösen Jacob és így ju to tt Jós t B ürgi tudo m ására is, aéppoly geniális matematikus, mint gátlásokkal terhelt, bgaras ember volt. De majdnem ugyanakkor támadt ez gondolat egy skótnak, Merchiston urának, lord John Napinek (latinosan Neperus) fejében is. Ezzel a logaritmus iskopéldája lett az újítások kettős felfedezésének, ami későbbiszamara okulásul szo lgálh ato tt vo lna. És ak ko r ezek nekezdtek volna a tényállás vizsgálata nélkül olyan elsőbbsévitát, amely a vitatkozóknak és a tudománynak egyará

kárára volt. Mellékesen megjegyezve, a log aritm us felfedezkörül n em volt semm inemű vita . Csak az utó ko r, beleértvetankönyveket is, teljesen félreismerte a felfedezés lényegvalamint Napier és B ürgi érdem eit a felfedezés kö rül.

Kezdjünk hozzá, tehát rendszeresen ismerjük meg, hogmik voltak a problémák a tizenhetedik századforduló körüMár egyszer meg jegyeztük, ho gy éppen a germ án népek volazok, akik azt fejlesztették ami a matematikában a számlással kapcsolatos. És az algoritmikus számolás érvényrjutása, a számolás és a műveletek lényegének megismeréellenére is mindinkább áttekinthetetlenek és bonyolultalettek a szükséges számítások. Gondoljunk csak Ludolf vCeulenre, akinek 1596-ban sikerült Archimedes eredménymessze túlszárnyalva an számértékét a kö rbe ír t 1,073.741,284oldalú sokszög segítségével 35 tizedesre meghatározni. Ez érték :n = 3-14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 . .A csillagászat, asztrológia, trigonometria, a k-iterjedt kere

kedelmi könyvvitel, az államszámvitel egyaránt azt mutatták, hogy szükséges a számítások megkönnyítése és potosságuk növelése. Stifel és Jacob úgyszólván újjal mutattárra a forrásra, am ely e célra a szám tani és m érta ni sorokbrejlett. Mindezt még növelte a tizedes törtek használatánaelterjedése és a szorzás és osztás műveletéhez való segékönyvek. Ezért és csakiő ezért fogott Bürgi és Napier, mikelérkezett az ideje, munkához. Ma már tudjuk, helyesebbetudnunk kellene, hogy B ürg i volt előbb az új segédeszköbirtokában. De ő, állítólag idő híjján, nem engedte nyilvánosságra hozni, úgy, hogy a nagy Keplertől kapta a szemrhány ást, hogy «szellemi gye rmekét cserbenha gyta, ahelye



188

hogy a nyilvánosság számára felnevelte volna*. így jáel, mert ő «cunctator», habozó volt és «secretorum suorucustos», vagyis saját titkainak őre.

De miként jutott Bürgi «haladvány-táblázataihoz», amlyek piros és fekete szám aikka l ugyan azokat a szolgálatotették, mint a mai logaritmusok? Nos, ő éppen Stifel ksorát1 nézegette és megfontolta, amit ez róluk mondottJó matematikusként két dolgot ismert fel azonnal. Előszhogy csak akkor használhatók az ilyen sorok a gyakorlatbha tagjai lehetőleg sürün következnek egymásután. Mert olyan m értan i sorb an, am elyben a tagok az 1, 2, 4, 8 , 1 6sorhoz hasonlóan következnek egymás után, a hézagoktagok közt egyre nagyobbak lesznek, így pl. a 25.37 szorzsem lehe tne velük vé gre ha jtan i. Nem is szólva a még nagytagok pl. 1024 és 2048 vagy 2048 és 4096 közt maradó hégokról. Másrészt azt is lá tt a B ürg i, am it elődei is tu d ta k mhogy a logaritmikus tulajdonság nem szorítkozik 2 alahatván yok sorára, han em kiterjed bárm elyq hányadosúmértani sorra. Ezt már teljesen általánosan mi is láttuNéhány feltételt azonban be kellett tartani. A számtani scsak a 0 értékkel, a mértani pedig csak az 1 értékkel kezdhetett, hogy a logaritmikus tulajdonság épségben maradjA növekedés fokozatainak is lehetőleg kicsinek kellett lennhogy a tagok lehetőleg sűrűn következzenek egymás utáez a gyakorlati használhatóság szempontjából volt fonthogy mindkét sorban lehetőleg minden szám megtalálhalegyen. P élda ként, hogy meglássuk m iről van i t t tulajdoképpen szó, olymódon írtu nk fel két so rt, hogy a m értasorban minden tag l-01-szer akkora, mint a megelőző. Egyszerűség kedvéért és azért, hogy a tizedeseket elkerüljüminden tagot megszoroztunk egy millióval.

1 Mai szóhasználattal nem sorok voltak ezek, csupán sorozatok. Ditt mindenkor sorokról fogunk beszélni, mert akkor, és még azután sokáig , így nevezték ők et. Sorra és sorozatra egy arán t jellemző az ú.«képzési törvény», amely szerint felépülnek. De míg a sorozat tagjai esegymás mellett állnak, addig a sorok tagjai összeadandók.



139

0 1 2 81.000,000 1,010,000 1.020,100 1.080,301

4 5 6 71.040,604 1.051,010 1.061,520 1.072,135

8 91.082,857 1.093,685

Mindenki meggyőződhetik arról, hogy e soroknak is megvan a logaritmikus tulajdonságuk, ha a helyértéket megfelelően figyelembe vesszük. Jóst B ürg i haladvány táb lázataban még kisebb lépésekkel halad, amelyeket majdnem mikrszkopikusaknak lehetne nevezni. És ezt két módon érte eA számtani sort megszorozta tízzel, a geometriai sor tagjainaa lépése pedig1*0001 volt. Ezáltal a 0-hoz tartozó érték100.000,000 volt, a 10-hez tartozó 100.010,000, a 20-hotartozó pedig 100.020,001. A z 1 és 10 közt fekvő számokarányosan kellett beiktatni, közelítőleg feltételezve, hogy mértani sor emelkedése e számközben arányos a számta

sor emelkedésével. A számtani sor számait piros számoknnevezi, mert a táblázatban piros színnel lettek nyomtatvA többi szám neve fekete szám . Ma a piros számokat logarmusoknak mondjuk, a feketék a numerusok, vagy rövidea «számok».

Noha B ürgi haladv ány táblázatait a logaritmusszámítámódján kitűnően lehetett használni, e táblázatok a szó mértelmében mégsem voltak logaritmusok, mert ő nem tördött a rendszer alapszámával és sokszor teljesen kívülállokokból kerekítéseket végez.

Lord Napier méginkább a gyakorlat követelményei alapján indult el. Nem mélyedhetünk el «Mirifici logarithmoruoanonis constructio» című, 1619-ben, Edinburghban megjeletáblázatának igen bonyolult kiszámítási módjában, csak aállapítjuk meg, hogy «csodatevő logaritmusaidnak táblázanem a természetes számok logaritmusait, hanem a sinuszámértékeinek logaritmusai tartalmazta, tehát elődje vo

a mi szögfüggvénylogaritmus-táblázatainknak . Eg yéb kénBürgihez hasonlóan, szintén két sorral dolgozik, de ezeellenkező irán yb an emelkednek. A rendszer alapszám áról ne



140

beszól, mógkevósbbé természetes logaritmusról. Rendsz

alapszám ának értéke kb —11 —-^ 10~U

I vagyis valamivelkevesebb a természetes logaritmusok e=2#718281828459.. .alapszám ának reciprok értékénél. Kétségtelen csupán, hoNapier táblázatai voltak legelső ilyennemű táblázatoamelyek nyomtatásban is megjelentek, valamint az, hoNapier a feltalálója a logaritmus szónak. A logaritmuskeletkezését két sor szinkron mozgásaként képzelte el, miegy folyásaként (fluxio), tehát mechanikus-dinamikus módEbből következett a két sor pontonként történő egymáshorendelése, ho gy az ism er t viszonyok előálljanak. E «fluxió»-amely Olaviustól származhat, találjuk meg mindenesetNewton végtelen-felfogásának egyik előfutár já t. Meg kmég végül említenünk: már lord Napier buzdított arrhogy a 10 számot kell logaritmusrendszer alapszámakéfelhasználni, am it a vele jób ará tságb an levő H enry B rigoxfordi professzor meg is fogadott. Köztudomású, hogy legnagyobbrészt a B riggs-féle loga ritmussal számolunk, amnek, mint mondottuk, alapszáma egyezik számrendszerüalapszámával, vagyis 10. Ebből előnyöknek egész sora kövkezik, ilyen a logaritmusok felbontása karakterisztikára mantisszára. Minden Briggs-féle logaritmus ezek szerint részből áll, egy egészszámból, amely megadja a numerus lmagasabb értékű jegyének helyértékét, és egy tizedestöből,a mantisszából,1 amely a számértékre jellemző. 3*84510a 7000 logaritmusa, 7 log ari tm usa 0-84510, 0*007 logaritmviszont 0-84710—3.E felfedezések a tizenhetedik század elején nagymértében tökéletesítették a számolást, lehető vált azonban olyhatv ányok és gyökök k iszám ítása is, amelyekre addig nemgondolhattak. Ki tudta volna addig 7*5342719848 vagy375-722n érték ét kiszám ítani? A logaritmusok használatafolytán az ilyen és hasonló feladatok algoritmikus játékokegyszerűsbödnek. Noha a táblázatokat állandóan javított

r,1 Wallis nyomán nevezik így, noha ő még mantisszán általábatózedes törtet értett.



141

ég habár az exponenciális függvényax = í és aza alapúlogaritmus,x=°logl, közt fennálló összefüggést csak Leon-hard Euler tisztázta a XVIII. században, mégis mindjeleinte minden működésbe jött, ami lényeges volt. Az alritmus, a gondolkodó gép új, hallatlanul finom és hatás'alkatrésszel gazdagodott, olyannal, amely egyszer táblázafoglalva örök időkön át feltárja csodálatos (mirifica) móda számok világát.

Nem is sejtették még abban az időben, hogy az új szmolási mód, végső szerkezetében, mint «logaritmus naturáaz e számmal együtt szinte tengelye lesz az infinitézimászámításnak. Még senki sem gondolt arra, hogy a logaritmfüggvény lesz a híd, amelyen át vezet az út látszólag moldhatatlan integrálfeladat megoldásához. A rra sem gondtak, hogy milyen jelentősége lesz ennek aze számnak a ka-matoskamatszámításban és a valószinűségszámításban.

De sokat végeztek. Finomították a szerszámot, javította táblázatokat, tanulmányozták az interpoláció lehetőséghogy a táblázatokat teljesen sűrűvé tegyék és hozzáfogKeplerrel élükön olyan problémák megoldásához, melyea csillagászatés természettudomány szűnni nem akaró sorbanvetett fel és amelyeknél a hozzáértés és pontosság maximméra van szükség.

De ugyanebben az időben már számtalan szikra izzoaz alig elégett örömtüzek hamuja alatt, amelyek rövidesuj lángra keltve messze látható fénnyel jelezték a matemaleghatalmasabb korszakának kezdetét. Mert most kezdő

Nyugat földjén a matematika nagyszerű hőskora.



TIZENEGYEDIK FEJEZET.Desca r t e s .

Matematika mint módszer.Még mielőtt belépnénk ebbe a hőskorba, nem mulas

hatják el, hogy a Nyugat sokszor idézett «fausti szelleméne beszéljünk. Tudjuk, az az értelem, amelyre gondoluha itt a «fausti» kifejezést használjuk, Oswald Spengtől származik, akinek nagy matematikai tudása lehettette,hogy az egyes kultúrák szerkezete főszimbolumánamatematikát tekintse. Történeti szemlélődésünk során sonló eredményre jutottunk, láttuk, hogy milyen sokfmódon tükröződik a matematika különböző népekben, skezetekben vagy ezek egyes lángeszű képviselőinek lelkéEzért jogosnak gondoljuk, ha változékonynak mondjuk

amit Boutroux a «matematikus tudományos ideáljának*vez. Ezzel azonban nem akarjuk azt mondani, hogy kökeztetéseinkben magunkévá tesszük aztUntergang des Alend-landeso lapjain leírt jövőt. De it t nem helyén való, hoezeket a kérdéseket feszegessük.

Csak azt jelentjük ki, hogy hamarosan meglátjuk, milerők fejlesztik a matematikát és hogy mennyire különbölehetnek az eredmények, mennyire különbözőknek kelleredményeknek lenniök aszerint hogy a kutatás mögött akarat esztétikus, mágikusan alakító vagy fausti törtető jellegű. A kulturakarat, ha szabad e kifejezést hasznunk, a külső cél kitűzésének módja, nagy szerepet játminden találmánnyal, minden felfedezéssel kapcsolatbA régi kínaiak évezredek óta ismerik a puskaport, ismea benne rejiő hatalmas feszítő erőt is, — és kizárólag tjátékokhoz használták:. Gyerekesség ez, ethikai felfogás, egyszerűen ostobaság? Nagyon nehéz eldönteni. Bizon



143

Cgapán, hogy a kínai szellem középpontját nem harcias gdolatok foglalták el, különben feltűnt volna nekik az a hlom, amely kezükben volt, s történelmüket is másképpalakíthatták volna.

A régi hellénekkel kapcsolatban is bemutattuk, hogy etudományos ideálnak áldozták fel magukat, s nem soksegített rajtuk, ha egy-egy prometheusi szellem át akatömi a geometriához fűződő szigorú előírásokat.

A fausti népek mások. Fölöttük még a tudomány törnetének kezdetén sem lebegett barátságos múzsák fénvilága, a múzsáké, akiket akkor szolgáltak helyesen, művészi-harmonikus világukat a földön adaequat módutánozták. A hellének számára sohasem volt ellenmondsohasem érezték zavarónak, ha a képzelettől nimfákkalfélistenekkel benépesített forrás mellett, vagy egy csenberekben a homok «emberi kéz nyomával*, geometriai rajkal volt tele. A tiszta arányok geometriája éppen úgy billett a «szférák harmóniájába*, mint a zene, vagy a te

élvezet. A tö rte tőt, kísértőt, a csábítót elzárta egy «meágán* (semmiből sem túlsókat), és az első keresztényördögének «peirastes» (kísértő) volt a neve, éppen olyanutasító értelemmel, mint a görögöknél.

Fausti kozmoszunkat egy világ választja el ettől. Benmisztikus, homályba borult gótikus termekben «Nostradaódon könyve* mellett halálfej és sok más lidérc bújik mA küszöbön egér rágja a pentagrammot, mert itt a geometrajz már nem az emberi kéz barátságos nyoma, hanem ördög előretörése ellen védő kabbalisztikus szimbólum. fenyegetődző, ingerkedő, de mégis segítő ördög ott leselkmár az ajtó etótt.A szobában pedig doktor Faust elmélkedik,lelke kettősségével, a végtelen legnagyobb mélységein ésinnenső világ meghódításán, és diszharmónia diszharmóután űzi őt égi tájakról öngyilkossággal határos elkeseredéA gótikus-fausti szellemnek mélységes szimbóluma aznéhány szó, amelyet Conrad Ferdinánd Meyer a nagy ülr

H uttennel monda t: «Vagyis : nem vagyok kiagyalt kön.hanem ember vagyok, ellentmondásaival.* Embernek lefausti nyelven éppen annyi, mint polárisnak tenni. És polvagy diszharmonikus, az ugyanaz. Nem a statikus elszak



144

ságnak, hanem a poláris erőktől mozgatott felfeléhajtottnak értelmében. Mert, oh, mindenütt két lélek lakik az ilemberek keblében. És az«oh» csak a gyenge emberke utolsó,szomorúan-megértő ágaskodása a felismert elkerülhetesors ellen.

Ilyen lélekben nem tükröződhet ugyanúgy a matematimint a hellén vagy az arab lélekben. Másképpen kellszületnie is : harcban és izgalomban. És azt látjuk, hogy fiatal lovastiszt, akinek lelke csordulásig tele van mélysévallási kérdésekkel, kétségekkel, igazságokkal, tervekke

megvilágosodásokkal, nyeregben ülve, cseh földön vívlovascsaták közepette jö tt tisztába problémáival,és a magyarországi téli szálláson olyan művet ír, amelyhez hasonlót ismer a tudománytörténet. Boutroux azt mondja e felfederől,hogy lényege«eló're látniés megmutatni, hogy koordinátákrendszeres alkalmazása olyan nagyerejű és általános módsjelent, amilyent a matematika eddig nem ismert. Olymódszert, amely minden eddigit megszüntetni és felülmúhivatott, és amely a függvény fogalmának segítségével összes térrel és idővel kapcsolatos tudományt forradalmasés megújítja.»

Mi már tudjuk, hogy ez mit jelent. Tudjuk, hogy imegint Oresmei Nicole «formái» bukkantak fel, ós látjhogy a franciák ajándékozták meg a világot e formák, a rel és idővel kapcsolatos természeti jelenségek ábrázolásálehetőségével. A franciákban a fausti vágy antik formkészséggel párosult. Mert nemcsak Descartes, (róla van

állandóan szó, ő volt a fiatal nemes lovastiszt) jött rákoordináták alkalmazásának módszerére. Lángeszű hontársa, Éermat, hasonló utakon járt már. Miért áll tehmindenkor Descartes előtérben? Történelmi igazságtalanez? Mindenki, aki csak konyít a matematikához, tudja, hmég ma is vastag könyveket írnak Fermatról, a számelméhatalmas tudósáról. A Permat-tétel még ma is megoldatprobléma, megoldására hatalmas díjat tűztek ki (habár a díj az első világháború után elértéktelenedett). Teljeski kell vizsgálnunk Descartes érdemeit, ha e történelmi kdést egészen meg akarjuk érteni. De előbb egy másik körménnyel kell foglalkoznunk, amelyet «a görög geomet



145

recepciója* néven akarunk említeni. Ez olyan szellemtörtéjelenség, amely még ma sem ért teljesen véget.

A jogtudomány története — ezt fenti elnevezésünk mgyarázataként mondjuk el — beszámol arról, hogy a renasance korában és közvetlenül utána a régi római jog gyönylezárt rendszere feltartóztathatatlan áradatként borítotel Európaszer te a középkor helyi jogszokásait. Ezt az örséget nem annyira ,a múlt jogának érezték, ellenkezőleegyenesen a jóvő jogát látták benne. Ilyen érzése lehetvolna a XVI. században valakinek a technikával kapcsolban is, ha valamely csoda folytán egy a XIX. századból vkompendium kerül a kezébe. Tudjuk, hogy a «jog recepcióalapjában megváltoztatta a Nyugat polgárságának képét politikájátis.A zt is tudjuk, hogy még ezen a téren sem fejeződött be a fejlődés, hisz éppen napjainkban á római jogvaló,részben tudatos, részben öntudatlan eltérés jelei m utakoznak. Számos más okon kívül az is megmagyarázhatja a jelenséget, hogy talán már magunk is kezdjük elérni a kultúrtörténeti érettséget, amellyel ezt a római jogot malkották. De sajnos, ennek taglalása sem tartozik ránk:Csak azt akarjuk megállapítani, hogy van olyan jelensamely párhuzamos az «ógörög matematika recepciójávaÉrdekes törvénye az ellenmozgás, amelyre tudtommal eda matematika történetének irodalma még nem utalt kevilágossággal, noha éppen ez a körülmény — mint mindlátni fogjuk — a modern matematika keletkezésére ós jlemére vonatkozóan nagyon sok útmutatást nyújt.

Emlékszünk, hogy időrendben először Euklides működutána Árchimedes, majd A pollonios és végül Diophantos.is megemlítettük, hogy a szellem négy hőse közül, mindféle kerülő úton, először Diophantos hatolt be a Nyugat datába. Meziriac fordította le és kommentálta, Permat pesokféle számelméleti kutatásra talált benne ösztönzést.A nagygörögök közül tehát az utolsó recipiálódott, meglepő módelőször, ö t követte az utolsó előtti, A pollonios, akinek műmint rövidesen látni fogjuk, Descartes és Permat koordingeometriájának lett kiindulópontja. Csak Apollonios utaz infinitezimális geometria felfedezésével lett Árchimeteljesen érthető és a recepció-sor utolsó tagjának telj

10 Colerus: Pythaetoras



146

szellemi feldolgozása szem ünk elő tt, még ma is, folymatban van.

H ogy félreértéseknek és állításaink k önnyű cáfolatánelébe vágjunk, megjegyezzük : nem azt állítjuk, hogy Eukdest vagy Archimedest nem ismerték a középkorban, vaaz újkor elején. A recepció fogalmát szűkebben és egybmélyebb értelemben használjuk. Csak akkor ismerjük el eszellemi kozmosz recepcióját, ha minden következményéegyütt szerkezetileg felszívódott, vagy egyenértékű módfeldolgozódott. Ily en értelem ben az általun k em lített recepc

egyben a recipiált kibőv ítését jelentik , sőt esetleg szabadlást hatása alól.A fausti szellemnek minden mélység-keresése melle

bizonyos könnyelmű és merész vonása is van, s ezek nélkmeg sem tudna lenni. A görög matematika első befogadátehát megismerésének időszaka, nem volt sokkal több, mfélig- és félreértések sorozata, valahányszor nem egészelemi dologról volt szó. De éppen ez a félig megértett állaphatalmas ösztönzést jelentett. Minden részletbe be akartha tolni, sokszor messze tú llő ttek a célon és ezáltal újat fedtek fel. Igaz, nagyon rendszertelenül és filozófiai meg logigátlásoktól nem akadályozva. De amikor a XVII. százaelején már eredmények egész sora állt készen és közülünem egy messze meghaladta az ókori eredményeket, akka rég i hellének szellemét részben áh íta tta l az elért eredményellenőrzésére akarták felhasználni, de részben kiindulópotokat és hiányosságokat kerestek bennük, amelyeken tová

építeni ül. amelyeket megszüntetni lehetne. És ekkor a réírásokat mindinkább m egértve, gy akra n mély ám ulatba estés hajlamosak lettek a görög műveket az elért saját eredmények ellenére is formai és tartalmi mintaképeknek tekiteni. Ügy vélték, igyekezni kell, ha tartalomban nem isszerkezetben azonban feltétlenül hozzájuk hasonlóvá válEz a folyamat ma is tart. Mert mindaz, ami a «szigorúságkövetelményével kapcsolatos, nem egyéb, m int görög miták ho z, különösen ped ig Euk lideshez idomuló igyekeze

De a fausti szellem megtagadta volna önmagát, ha agörög gondolkodás kategóriáinak tagadhatatlan alaki és tatalmi felvétele után nem keletkezett volna helyenként ige



147

erős lázadó hangulat a nyomasztó görög behatás ellen. HJast úgyszólván egyszerre kellett befogadni és szétzúzni. éppen itt a mélyreható különbség Fermat és Descartes köfetw&tszámelméleti színezetű egyenletproblémákból —jattunk ilyeneket Diophantosról szóló fejezetünkben — saszámelméletének megalkotásához jut. Itt tehát fellázad piophantost túlhaladva, korszakalkotó lesz. A geometriábazonban, noha felfedezi a valódi koordinátákat, csak godozója a görögöknek, a szó szűkebb értelmében «recipiáa geometriát tekinti a matematika megingathatatlan tenglyének ós nem akar mást, mint a geometriát az algebra aritmetika eszközei segítségével támogatni.

Descartes álláspontja egészen más. ö nemcsak tisztálogikai szempontból tartja az algebrát és az aritmetikátgeometriánáleló'bbre valónak, hanem ezek tárgyi szempontbólis fölérendeltek. Mennyiségtani tartalmuk sokkal általánosajellegűós «többek közt» a geometriára is alkalmazható. És ea «többek közt» a punctum saliens. Mert ez a felfogás madta a görög értékelésnek a kegyelemdöfést. A geometmegszűnt a matematika királynője lenni, a geometriai jellematematika helyére az algebrai jellegű lépett.

Mivel legutóbbi állításunk bizonyára kissé meglepő azonkívül is egészen egyszerű problémákról van szó, meg állnunk kis időre Cartesius felfogásának ismertetésénél anis inkább, mert művének címe meglepő módon «GeometrHagyjuk tehát őt magát szóhoz jutni. Descartes a «Gemetria* (1637) első könyvének elején a következőket ír

«A geometria minden problémája könnyen alakítható olyan kifejezéssé, hogy azután csak bizonyos egyenes vonaismerete legyen szükséges a probléma megszerkesztéséhÉs amint a teljes aritmetika csak négy vagy öt alapművelből épül fel, az összeadás, kivonás, szorzás, osztás ós gyövonás műveletéből, ez utóbbi pedig szintén bizonyos faosztásnak tekinthető: éppen úgy a geometriában sem kmást tennünk, ha azt akarjuk, hogy keresett vonalak á

alakítása ismert eredményre vezessen :más vonalakat kell hozzájuk fűznünk, vagy belőlük lvonnunk ;

ha pedig adva van valami, amit én azért, hogy a szá10*



lék

mokkái közelebbi kapcsolatba hozzam, egységnek fogokvezni és amit általában teljesen szabadon választhatumeg, továbbá még két másik vonal — negyedik vonalat keresnünk, amely úgy aránylik kettő közül az egyikhmint a másik az egyeéghez, az a szorzás művelete;

vagy pedig — negyedik vonalat kell keresnünk, ameúgy aránylik kettő közül az egyikhez mint az egység a mához, ez az osztás művelete.

Vagy pedig — egy, két, vagy több középarányost kkeresnünk az egység ós valamilyen vonalak közt, úgy enégyzet-, vagy köbgyökvonás művelete stb.S nem fogok félni a ttól, hogy az aritmetikából kölcsönfenti elnevezéseket bevezessem a geometriába, csak azhogy érthetőbb legyek.

Meg kell it t még jegyeznem, hogy a2 vagy fc3 vagy hasonlóalatt csak egyszerű vonalakat értek, és csak azért nevezezeket négyzeteknek vagy köböknek, stb. hogy az algebrászokásos kifejezéseket használjam.*

Vizsgáljuk meg tehát ezeket a mindjárt Descartes Gemetriájának* elején olvasható szavakat kissé közelebbrTartalmuk forradalmibb, mint ahogy azt első pillanatbgondolnók. Mert bennük már kifejezésre jut a legfontoskoordinációs elv : az az elv, amely minden számhoz etávolságot rendel, tekintet nélkül arra, miként jött létrea szám. Aza mennyiség távolsággal jelölhető, az (a+b)összeg vagy az(a—b) különbség éppenúgy, de éppúgy aza.b.c.d.. . szorzat is vagy aza : b hányados. De ez még nemminden. Aza

2

, a3

, a* vagyan

is hosszúságnak mondható ésminden fokú gyök is. Ezzel megszabadult a geometria gebrai feladatától. Megdőlt a dimenziófogalom, helyesebaz a korlát, amelyet a dimenzió fogalma minden geometalgebra útjába állított. A homogenitás elve már csak fiés csak formálisan létezik. Mindennemű mennyiség egyfodimenziójú, mert már csak számvonalakkal dolgozunk.az ismeretlenek minden hatványa is csak távolság, illetegyelőre csak határozatlan pontja a számvonalnak. Mi mnem érezzük Descartes algebrai hőstettét olyan nagyszabnak, mert módszere már átment a vérünkbe. De ez egyelcsak algebrai hőstett volt, amely a másik hőstettet, a koo



149

^ t a geometriát lehetővé te tte. És igazat kell adnunk Zeuthjiek, amikor azt állítja, hogy Descartes után lett a matematikézműiparból nagyüzemmé. S ez még csak a «Geometria»nem a «0alcul du Monsieur Dascartes». Még visszatérünerre az írásműre, amelyben az elmondottak még világosabbolvashatók.

Dascartes forradalmi tettét nagyon helyesen értékeltJíóhány oldallal tovább azt mondja : «... Ezt a régiek úglátszik nem vették észre, mert különben sajnálták volnafáradságot, hogy róla annyi vastag könyvet írjanak, oly

nokat, amelyekben már tételeik rendszeréből is kiderül, honem voltak ama helyes módszer birtokában, amelyből tóteleik következnek, s csak azokat szedegették össze, amlyekre véletlenül rátaláltak.* Más helyen pedig : «Itt futóazt szeretném megjegyezni, hogy a régiek aggályai az armetika kifejezéseinek geometriai használata ellen (ez csonnan származhatott, hogy nem voltak kellőképpen tiszban a két tudományág összefüggéseivel) a kifejezésmóbizonyos homályosságára és nehézkességére vezettek...*

A második idézet Apolloniosra illetve Papposra vonkozik. Az ítéletek bizonyára túlságosan kemények. B izonyrészben túl is lőnek a célon. De csak azt akartuk velübizonyítani, hogy mennyire tisztában volt Descartes tettén-jelentőségével. A görögök, ismételjük, Descartes szerint nvoltak a «helyes módszer* birtokában. Nem látták az algeés geometria azonosságát. Nem építettek ezért szintetikúton az algebrából egy általános érvényű form atant, ame

a dimenziónak és a térnek sajátos, tartalmi kérdéseitől nkorlátozva olyan magasságig tonyosulhat, ahogy csak jesik. De ha egyszer a kombinatorikus és algoritmikus varáerők következtében teljesen általánosan felépültek a formakkor mindig megvan a mélyen az ilyen általános algebalatt fekvő aritmetikai és geometriai szabályokhoz vavisszatérés lehetősége. Mindkettő puszta alkalmazási terletté sülyed.

Noha Dsscartes maga nem fogalmazta ilyen élesen vélményét,mégis kivehető mindez közvetlen követőinek kommtáraiból. A cartesiánus Erasmus B artholin a következőírja a «Geometria» 1659. óvj kiadásának előszavában : «K



Ü50

detben szükséges és hasznos volt, ha segítséget kerestünktiszta gondolkodás-képességünk számára; a geometerábrákhoz menekültek, aritmetikusok számjelekhez, másmás segédeszközökhöz. De ez az eljárás, úgylátszik neméltó a na gy szellemekhez, olyanokhoz, akik igény t tartana nagy tudós névre. Ilyen nagy szellem volt DescartesÉs a már említett «Calcul»-ben Descartes minden konkszámtól vagy rajztól mentes algebra felállítását kísérelte m

Fűzzük itt még hozzá, hogy Descartes, külsőleg, úgszólván teljesen azt az írásmódot «notációt» használja, ammindmáig használatos. Mert Leibniz-cel kapcsolatban láfogjuk, hogy sokszor matematikai összefüggések ismeretéfontossága adott körülmények közt háttérbe szorul az egyértékű notáció fontosságával szemben. Azért van ez ígmert a matematika mégis csak valamilyen lullusi gondolvarázslat, s a szellemek csak akkor jelennek meg, ha a helvarázsigével idézzük őket.

Descartes tehát nem kisebb célt tűzött módszere el

mint hogy legelemibb feltevésekből újjáépíti az egész mamatikátj s ezek a feltevések nem geometriaiak voltak, mEuklidesnél, hanem algebraiak. E módszerből a geometriánegyszer, valahogyan, kész eredményként kell kiadódnia.

H angsú lyozn i kíván juk, ho gy ez a rem ény , teljes áltanosság szempontjából túlzott volt. Nagyrészt helyes vougyan, számunkra ma már magától értetődő, hogy mindalgebrai formát görbekéntx és minden görbét algebraiformaként értelmezhetünk. De ez az azonosság csak a leújabb időben, elsősorban H u b er t óta , tek inth ető teljesbizonyítottnak. Miként akarja Descartes, matematikájamelyben minden szám egy vonal, felépíteni? Erről is ponfelvilágosítást ad. Azt mondja : «Ha meg kell oldani vamilyen problémát, akkor azt először is már befejezettntek intjü k és m inden , a szerkesztéshez szükségesnek látsvonal számára, tehát az ismeretlenek és többiek számáeg ya rán t, jelöléseket veze tünk be . A kkor, a nélkül hogy ism

1 A görbe szó it t teljesen általános értelemben használjuk. H a valm ilyen formában k ettőn él töb b v áltozó va n, akkor természetesen felülevagy testet , vagypedig még magasabb rendű alakzatot jelent.



151

vagy ismeretlen vonalak közt különbséget tennénk, olyan srendben, amint a vonalak kölcsönös összefüggése a legtermszetesebb módon megkívánja, átkutatjuk a feladat nehéségeit mindaddig, amíg megtaláltuk a módját, hogy egy-ugyanazt a mennyiséget két különböző módon állítsuk eEz egyenletre veze t, m er t a két előállítási módban a mefelelő mennyiségek azonosak. A nnyi ilyen egyenlete t ktalálnunk, ahány ismeretlen vonalunk van ; ha nem tuduannyit találni, noha nem hagytunk ki semmit abból, amifeladatban megvan, akkor a feladat nem teljesen hatá

rozo t t . . . *B helyen az az egyértelmű követelés a fontos, hogy fkell tételezni a probléma befejezettségét, és hogy addig kvizsgálni a «vonalak» összefüggését, am íg egy vag y töbegyenlet felírásához megtaláltuk az eszközöket. Mindketalapvető követelménye az analitikus geometriának és aanalitikus módszernek általában. Bizonyos tételek, kapcslatok, összefüggések ismerete nélkül nem tudjuk átvizsgáőket és nem tudu nk egyenleteket felírni. Ez a Descartes álaz algebrában képviselt szintetikus ideálnak éppen az ellekezője. Ugyanis mindké t módszert alka lmazni kell. Engedkell, hogy az algoritmus vezessen, amíg kiépül a formáknegy lehetőleg hiánytalan világa, amelyet visszafelé analikusan átvizsgálunk. Vegyük példának az összesy = a±xa +-{-a2a;a -f- UgX -f- a4 alakú egyenletet. Eájövünk, hogy mindegyik ((harmadrendű görbét» jelent és tiszta algebrai útomeg találjuk e görbéknek általános és közös tulajdonsága

például azáltal, hogy feltesszük a kérdést: hány metszépontja van egy ilyen görbének egyy=b1£C+?)2 alakú egyenessel. Mert erre választ kapunk tiszta algebrai, algoritmikuúton, ha két ismeretlenes egyenleteknek tekintjük a kékifejezést. De ha fordítva, egy görbe egyenletét akarjuk mehatározni, olyan görbéét, amelynek csupán mechanikuelőállításmódját ismerjük, akkor mindenféle tétel, arány ssegítségével kell olyan összefüggéseket keresnünk, amelyenek a görbe minden pontja megfelel. Mégpedig két egyéként eltérő kifejezés egyenlőségeként, «egyenleteként».De meg kell állapítanunk, hogy a «koordináta» szó

, Descartes még nem használja. E z t a szót a X V I I . száz



152

kilencvenes éveiben alkotta Leibniz annak jelölésére, amDescartes «alapvonalnak» mond. De maga Descartes a Descartes-félének nevezett derékszögű koordinátarendszis nag yo n rit ká n haszn álta, ö mindenféle ferdeszögű, a szemünk számára nagyon bonyolultnak látszó koordinátáalkalmaz. Az egymáshoz rendelés, a koordinálás sem törtnála, mint már mondottuk, a mai értelemben. Ez azonnkiderül a «Geometria» második könyvéből, amelyben a görket beh atób ban vizsgálja az analitikus lupéval és ahmagasabb ós magasabb rendszámú görbék «vógtelen sorábeszél és rendsz ám uk at egyenle tükb en előforduló legnagyhatványkitevőbő l szárm aztatja. M ert,m on dja ,«.. .ahhoz,hoa természetben egyáltalán előforduló összes (görbét) össfoglalhassuk és sorban csoportokba oszthassuk, legjobb, azt emeljük ki, hogy geometriainak mondható görbe, vagminden olyan görbe, amely szigorú és éles mérték alkalmasát teszi lehetővé, és egyenes pontjai közt szükségképpolyan összefüggéseknek kell fennállnia, amely egy és csaegy egyenlettel jellemezhető teljesen és ez a görbe az elsőlegegyszerűbb csoportba sorolandó ha egyenlete csupánkét határo zatlan mennyiségből alko tott tég lala po t1 vagypedig az egyik négyzetét tartalmazza (ehhez az első csopohoz csak a kör, parabola, hiperbola és ellipszis tartozik),második csoportba tartozik viszont akkor, ha egyenlete a határozatlanban (mert kettőre van szükség, hogy egyik pviszonyát a másikhoz leírhassuk) avagy legalább egyikükbharm ad- vagy negyedfokú, a harm adik ba akkor, ha az egylet ötödik vagy hato dik ha tv án yt ta rtalm az s tb . és így a vtelenig.»

Ez az alapvető részlet néhány kiegészítő megjegyzésszorul. Már említettük, hogy Cartesius tisztában volt azzhogy a mindig összetettebb görbék sorozata határtalaAkkor «összetett» azonban egy görbe, ha előállítása mindkább távolodik a körzővel ós vonalzóval való előállíthatságtól. Ennek bemutatására Descartes egy szerkezetet ír

amelyet a következőkben mi is bemutatunk.A z Y pont forgáspont, amely körül azY3Í szár azY2,

' A- tn. a két ismeretlen BZorzata.



153

helyzetéből, a nyíl irányában kifordítható.A szárakon tetszésgzerinti számú vonalzó csúszik, amelyek a kiindulási helyben olymódon fekszenek egymáson, hogy aB, C, D, E, F, GésH pontok azA ponton egybeesnek. Ha most a nyíl irányában forgatunk, akkor a vonalzók a megmaradt szabadsfokuknak megfeleló'en eltolódnak, és aB, D, Fés H pontokkülönböző' görbéket írnak le, amelyek mindegyike «efokkal összetettebb mint a megelőző*. AB pont kört ír le.S bár nem tárgyalhatjuk a fenti szerkezet adta problémá

6. ábra.részletesen, mégis meg kell állapítanunk, hogy Descartegörbéket dinamikus illetve phoronomikus úton keletkeznek képzelte. A ma már feledésbe ment phoronomia kifejelvont mozgástant jelent. Descartes azt is mondja más helhogy fokszámukra való tekintet nélkül minden görbét be a geometriába vonni «feltéve, hogy egy folytonos mozgáleírtnak tekinthetők, vagy több, egymás után követkeolyan mozgás által, amelyek mindegyikét a megelőző teljmeghatározza ; mert ilyen módon mindenkor határozott pet kaphatunk az ilyen vonal méreteiró'].» Továbbá ú



154

véli, hogy a régi görögöket csupán egy történelmi véletlriasztotta el magasabbrendű görbék vizsgálatától, mivelőször a spirálist és a qu ad ratr ixe t á llíto tták elő phoronomeszközökkel és azokat vizsgálták. De ezek a görbék cs«olyan két, egymástól különböző mozgással állíthatók eamelyek nincsenek egymással pontosan mérhető kapcsolban*. Mai nyelven tehát nem írhatók le algebrai függvénykel,vagyis transcendensek. De ezt gondolták minden, a kúszeletek fokszámát meghaladó görbéről is, noha nem igazezért nem folytatták a kutatásokat.

Fent idézett helyhez csupán azt kell még hozzáfűznünhogy Descartes azért vonta össze a harmad- és negyedfovalamint az ötöd- és hatodfokú görbéket egy csoportbmert megfelelő átalakítással mindig módja van a negyefokot harmadfokká, a hatodfokot ötödfokká redukálni. Mmár általában nem használatos ez a Cartesius-féle csoportotás,és a fokszámot, mint már említettük, a görbe egyenletben előforduló legmagasabb kitevővel tekintjük egyenlőn

Descartes továbbá azt mondja egy másik helyen, hogazért választja az egyenest, hogy «pontjaira vonatkoztahassa egy görbe vonal pontjait.* Égy pontot választ továbezen az egyenesen, ós ettől mint kiindulóponttól kezdena szám ítás. «A zt m ondom — folytatja — hogy m indk etválasztom, mert egészen tetszésem szerint vehetem fm in d k e ttő t; m ert megfelelő választással elérhető, hogy egyenlet rövidebb és egyszerűbb legyen, de az is könnybebizonyítható, hog y m indig u gyanaz t a vonalfajtát k apo

akárhogyan történt is a választás*.A zért beszéltettük olyan sokszor és olyan részletesemagát Descartes-ot, hogy mindenkinek fogalma lehessarról, mennyire tisztában volt ő maga módszerének lényegvel. Gyakran olvashatunk olyan leírást, amely a tényekpozitív vagy negatív irányban meghamisítja. Vagy aztulajdonítják Descartes-nak, hogy nem volt elődje, a semmből teremtette ideáit, vagy azt állítják, hogy a mai értelemben vett analitikus geometriát csak megsejtette. Saját szavszerint egyikről sem lehet szó. Ismeri elődjeit egészen Apolniosig, de éppen olyan pon tosan tud ja azt is, hogy filozófiával összefüggésben valami újat is alkot. «Geometriája» vég



15 5

az analízist teljesen algoritm us módjára fogja fel, és az analalátámasztására szintetikus úton az egyenletek olyan elmletét építi fel, amely magában véve is érdekes. Világosalátja közben, hogy az egyenlet fokszámából következik gyökök száma1 és ezek negatívak v ag y (így mondja) «hamisak»is lehetnek. Mellékesen bevezet i a «reális» és «imagináriukifejezéseket is és felfedezi a róla elnevezett előjelszabálA «Geometria» végén azt is mondja, hogy nem volt szándévastag könyvet írn i, ellenkezőleg azon igyekezett, hogy keszóval sokat mondjon. Módszerével — mondja körülbelül

a geom etria valam enny i magasabbproblémáját m eg lehetoldani, hisz a matematikában nem nehéz, az első lánszemek ism erete alapján a több it megta lálni. «És remélem,fejezi be — hogy unokáink nemcsak azért lesznek hálásnekem, am it it t kifejtettem, hanem azé rt is, am it szándékokihagytam, hogy nekik a felfedezés örömét meghagyjam.)

Az utolsó mondat párját aligha találjuk meg a tudomántörténetében. Mert feltótlenül becsületes, szubjektív óobjektív szempontból egyaránt. Descartes egyedül álluralkodó szellem, grandseigneur a tudomány legfelső részben is. Műveiből szinte egy arisztokratának bőbeszédűsiránt érzett ellenszenvét érezzük ki. Ismeri a dolgokatisztá ba n va n velük és ez kielégíti.Mi köze másnak gondolataihoz? Ez a gondolkodás — «cogito, ergo sum» — a világ lének bizony ítéka. De ka ton atis zt is, ism eri a kötelessésúlyát. Noblesse obiige. Beszélnie kell. Tehát elmondjalegfontosabbat, a különlegest, a megismótelhetetlent. De csegyszer, legalábbis a m atem atika te rén. H isz az egész «Gmetria» csak függeléke egy sokkal hatalmasabb kinyilatkotatásának, a «Discour sur la methode»-nak. Nem érdeklikfelfedezések vagy eredmények, csupán az eszközök tökéletetése.És a «Geometria» megjelenése után közvetlenül a kövekezőket írja Mersenne-hez : «A geom etriával kapcso latbne várjon tőlem többet. Jól tudja, hogy már régen irtózomvele való foglalkozástól.* Más tervei vannak. «Ha valafigyelmesen vizsgálja gondolataimat — írja a «Eegulae» könyvében — hogy egy a matematikától lényegesen elté

* E z a z <talgebra a>5aptétele». Elsőnek Girard m ondta k i 1629 be



156

tudomány lebeg szemem előtt. A matematika inkább burlata lehetne, mint része*. Ez az utolsó vallomása sokelárul. Mert ez igazolja mindazt, amit Descartes-ban korszalkotónak tartunk, ha a szakszerűtől elvonatkozva kismagasabb szférába emeljük: Dascartes az első, tetteineteljesen tudatában levő megalapítója egy általános matmatikának, amelyet «eszközös matematikának* is mondhnánk. A matematika célhoz vezető út, módszer, burkoleszköz. S e gépet ki kell építeni, finomítani kell, csiszoltökéletesíteni^ hogy minden «fordu!atszámra» képes legy

Algoritmus és írásmód, a legáltalánosabb forma vizsgálaaritmetika és geometria testvéri egyesülése azok a követmények, amelyek Dascartes-nak a kezd etet jelentik a tov ábhaladáshoz. De a gép tengelye, amely körül az egész foroa koordinátatengely. Ez teszi lehetővé, pontról pontra vavonatkoztatással az egyenes meggörbítését és a görbe kegyenesítését. S habár — gondolja Descartes — görbe egyenes viszonya sohasem lesz teljesen tisztázható, mégkezünkben a gép, amellyel a probléma közelébe férkőzhetüMert az egyenes adja az egységet, híd lesz a mértékszámhés ezzel magához a számhoz is. Ettől kezdve két végteltávol fekvő szféra tükröződik egymásban, kölcsönzi egymnak sajátos erőit és lehe tőségeit. A «gondolat» és a «kiterjeszférái ezek, hogy a filozófus Descartes szavaival éljünFogalom és szemlélet, mondanók ma. így lesz a magasabrendű algebrai formából egyszer szám, máskor idom. És eismételt, szakadatlan és újra kezdhető átugrás vezet a

algoritmustól a görbéhez és a görbétől az algoritmushoz. ezzel minden «forma», minden természeti jelenség leírhatómatematikai eszközökkel megfoghatóvá válik. És a dinamiból a statikába mehetünk vissza ós a nyugalomból a mogásba.

De egy helyen Descartesnál már ismét új világok csírámutatkozik, amelyet ő maga is ilyennek érez. Mert azt mo nd«A zt hiszem mindaz t előhoztam , am i görbe vonalak eleismeretéhez szükséges, ha még általában kifejtem a módszeamely szükséges, hogy egy görbe bármely pontjához olyegyenest húzhassunk, amely derékszögben metszi a görbS ki merem mondani, hogy ez nem csak a legáltaláiiosabb



lő?

leghasznosabb feladat, amit csak ismerek, hanem ez az, ama geometriában mindenkor tudni vágytam». Ezzel teljáltalánosságban feltárult az érintők, normálisok problémámégpedig analitikus-geometriai formában. Descartes tudhogy nem unalmas játékról van szó. Mert átható pillantásval látnia kellett, hogy az érintő k, a normálisok szabják ma görbék törvényei. Ezért akarja a normális egyenletét görbe minden pontjában ismerni. Mert ezzel megvan a.érintő is, és az érintő hajlásszöge a koordinátákkal vagy alapegyenessel. Megint egy gépez e t: az érin tő egyenletében

egyik változó helyébe valamilyen szabadon válasz tott értéteszünk és megkapjuk a görbe megfelelő pontjában az érinek és a vízszintes tengelynek a hajlásszögét. De eddilegalábbis kifejezetten, nem jut el Descartes kutatásai sorIlyen meggondolások számára csak a feltételeket teremti més pusztán algoritmikus eszközökkel azon igyekszik, hoelhárítson az útból minden nehézséget.

Befejezésül válasszuk el Descartes módszerét az előzkoordinátás kísérletektől. Descartes tette meg az utolslépést e kérdés különleges fejlődése útjá n. Szabadon válaszmeg alapvonalait, koordinátatengelyeit, szabadon válaszmeg a kezdőpontot, és az analizálandó idom ot pon tról-pona koordinátatengelyekre vonatkoztatja. A koordinátategelyek azonban már burkolt számegyenesek, amelyek mindszámot jelenthetnek, mert a számok immár mindenkor volak, bármilyen számításból keletkeztek is. összegek, külöségek, hatványok és gyökök csak számok, mindenkor csszámok. De ezzel bármely, tetszőleges, két ismeretlenalgebrai egyenlet hosszúságok összefüggésének rendszerélesz, tehát a megválasztott koordinátarendszerre ekvivaleés egy-egyértelmű módon leképezhető. Fordítva, mindidom és görbe, bármennyire bonyolultan keletkezzék iak árh án y mozgásból tevődjék is össze tisz tán phoronomszempontból, egyenlet alakjába öltöztethető és az egyenhiánytalanul tartalmazni fogja a görbe törvényeit. De miv

m egtaláltuk a számnak és formának m integ y közös nevezőa hosszúságot, most már szabad a két, egymástól ég és fötávolságban levő birodalomban tovább építeni, szabaösszetenni vagy felbontani, a megfelelő törvények szeri



158

Az egyenlettel az aritmetika és algebra módszerei szerszámolhatunk, éppen úgy, mintha csupán számok köfennálló összefüggéseket jelentenének. Az idomokkal kaplatban olyan szerkesztéseket végezhetünk, amilyeneketgeometria törvényei megengednek! Mindenkor, bármehelyen és bármely állapotban, a két birodalom egymásfüggetlen kezelése mellett is meg kell maradni az egyezésha csak a görbe és az egyenlet kapcsolata eredetileg helés teljes volt. Janns-fejű algoritmus keletkezett tehát, ketgépezet, kényszerített összefüggéssel. És Descartesnak e

hőstette uralkodik, mint tudjuk, «analitikus geometria* néa matematikai gondolkodáson mind a mai napig. Sőt:kettős algoritmus lett az eszköz, amellyel, az eszközt a fizban, mechanikában és technikában alkalmazva, a Nyuembere megváltoztatta Föld bolygónk arculatát.



TIZENKETTEDIK FEJEZET.Gottfr ied Wilhelm Leibniz.

Matematika mint kozmosz.H a e fejezet számára egész könyv állna rendelkezésünk

fáradság nélkül meg tudnók tölteni. Az a szédítő iramamellyel a matematika a tizenhetedik században, a mindefelforgató politikai események közt előretört, páratlaa tud om án y történ etéb en . H a kiemeljük a politikai esményeket, nemcsak a harmincéves háborúra gondolunXIV. Lajos rablóhadjáratai, és az a hatalmas küzdelemamely Anglia és Hollandia közt a tengeri hatalomért mindtengeren folyt, szintén betö ltik ezt a századot és a m atem atvezéregyéniségei, mint Jan de Witt, szintén részt vesznbennü k. íg y H udde is, aki A m sterdam polgármesterségérárót hazafias kötelességét fontosabbnak érzi, mint matm atika i geniejét ós így önként válik ki a na gy m atem atikussorából. Ilyen elhatározások elé került Leibniz és Newton a század végén a törökök betörése Európába, a Keletről omló árada t a ny ug ati m atem atikának éppen te tő alá k erüépületeit elmosással fenyegette és azzal, hogy újabb évszádokra iszappal temeti be az egészet.

De kiderült, — és ezt «hősi törvénynek* mondhatjuk, —hogy nagyon szűk keretek közt érvényes csak a közmondá«inter arma silent musae». Még a lírára, még idillek ecselésére sem igaz, hogy múzsái hallgatnak a fegyverzajbaLegkevésbbé érvényes, a tudomány történetének tanúsászerint, szellemi téren, ahol igazi férfiak működnek. És idtartozik elsősorban a matematika tudománya. A kultútörténete könnyebben igazolná azt a tételt, hogy nagy esmények hullámaira rezonál a nagy alkotók lelke és felélékülve rezeg velük . S m iként a nag y idők asszonyai sem vonki magukat természetes hivatásuk alól és boldogan adna

az emberiségnek új embereket, nehogy a történelem vég



160

érjen, éppen úgy megfeszítik a férfiak is végső erejükcsaládért és hazáért, mindegyik a maga helyén, hogy saviláguk győzedelmes uralmához hozzájáruljanak.Nyomós okai vannak, hogy Leibniz-cel kapcsolatbilyen gondolataink támadnak. Mert vele megint olyan emlépett a porondra, aki tudatosan indult el, hogy szétszakínépét újból a magasba segítse. És Leibnizen újból megmtatkozik, mint tudományunk elején P ythagorason, hoégő nemzeti érzés a legkiterjedtebb és legáltalánosabb navilági érvényesülést foglalhatja magában, sőtkell is magábanfoglalnia ; mert csak az az ember, aki gátlástalanul engemeskedik személyisége törvényeinek, aki lényének minerejét összefogja, tud ^magából olyan szellemet árasztaamely — miként Goethe Schillerről mondja — előbb vutóbb leküzdi az eltompult világ ellenállását.

De ne vágjunk elébe az eseményeknek, mert Leibneredményeinek és jelentőségének megértésében a problémáltalános helyzetének megismerése fontosabb, mint bármmás matematikus esetében. A nnál is inkább, mert kortárkezdve két évszázad nagyon átlátszó okokból azon igyekehogy Leibniz alakját és művét elhomályosítsa. De erre sterjeszkedhetünk ki e helyen, szűkre kell szabnunk mondvalóinkat. Azzal akarjuk először jellemezni a tizenheteszázad matematikájának helyzetét, hogy emlékezetünkidézzük Descartes gúnyos kijelentéséta görög matematikusok«vastag könyveiről* és azt, hogy szemükre vetette, honem rendszeres kutatással jutottak eredményeikhez, hancsak útközben szedegették fel azokat. Alig egy emberöltkésőbb Leibniztől halljuk, hogy mennyire korlátolt Descaúr geometriája, a legfontosabb problémák egyáltalán nolyan egyenletektől függnek, mint amilyenekre Descarteegész geometriája visszavezethető és így tovább. Már«Descartes úr» kifejezés is megmutatja, hogy milyen rövolt a fejlődés ideje. Leibniz úgy vitatkozik Descartes-mintha az még élne.S végül annyira megy, hogy azt mondja :«Nem tudtam elfojtani a nevetést, midőn azt láttam, hő (a Cartesius-tanítvány Malebranche) az algebráta tartjaa tudományok közt a legnagyobbnak és legfenségesebbn

Értve ezalatt a véges mennyiségek algebráját.



161

Ne taglaljuk itt azt, hogy mennyire túllőtt a célon Descartes is, Leibniz is. Az itt elmondandókból úgyis ki foderülni. De mutassunk rá, hogy mennyire szubjektiven érezez a két úttörő a fejlődés ütemét. És látjuk, hogy azt mindtúlzás nélkül «rohamosnak» mondhatjuk. Mert különben éhetetlen volna, hogy az egyik kigúnyolja elődjei egész teljsítményét, a másik viszont alig negyven év múlva csanevetni tud ezen a szellemi forradalmon.

Azon kell tehát majd igyekeznünk, hogy pontosan leírjuk m ind azt, ami ú j, és m indazt am i összekötő jellegű ebba felfedező korszakban. H isz ez volt ta lán a legterm ékenyeaz összes addig eltelt korszakok közt. De ehhez nagyon székörre kell kiterjeszkednünk. Igaz, csak abból a szempontbamely Leibniz-cel és a végtelen matematikájával, az infintézimálszámítással van kapcsolatban. Különben lehetetlvolna ezt a számolásmódot megértenünk és Leibniz tette invilágraszóló jelentőségét sem tudnók helyes világításba hlyezni. /

Archimedesről szóló fejezetünkből tudjuk, hogy a vételennel való foglalkozás hellén földön sem volt ritkaság hogy ez A rchimedes által hihetetlen lendü letet v et t.. Ezlendület nem vezetett általános módszerhez, magukban álproblémák megoldásába fulladt és nem bővült lényegesenoha az antik kor Krisztus utáni idejében Pappos, ötödkönyvében, izoperimetrikus problémákig jut el. Ezek pedbizonyos fokig rokonai azoknak a mai feladatoknak, amelyegy függvény szélső értékeit keresik.

Beszéltünk az ókori matematika recepciójáról is. És ais mondottuk, hogy ez úgyszólván fordított időrendben fole. Ez az állításunk fennáll, mivel Leibniz és Newton tekinhető Archimedes receptorának vagy modern megfelelőjénIgaz, e recepciónak nem jelentéktelen története is van, ezzel akarunk most foglalkozni. A nnak okát is meg fogjtudni, hogy az elődöket miért nem tekinthetjük Archimedszel egyenrangúnak, őket ugyanis Demokritos-szal, legfjebb azonban Eudoxos elődeivel tekinthetjük spengleri érlemben kulturszinkronoknak.

Első helyen Galileit és tanítványait kell említenünkMásodik helyen Keplert, noha elsősorban vele fogunk fogl

11 Colerus: P ytliagoias.



162

kőzni. Utaljunk arra, hogy az új, infinitezimális matematmegszületésénél-a csillagászat és a fizika is közreműködIgaz, e kalkulus egyik különleges válto zatán ál, amelyinkább -a végtelen-problém a phoronomikus-dinam ikus fogásának mondhatnánk, s amely Isaae Newtonban talámeg legragyogóbb képviselőjét. A fausti szellem ez oldalámár> Oresmei Nicolevel, B radwardinusszal, Cusanusskapcsolatban megismerkedtünk, «formák» olyan leírása mozgások olyan analízise, amely mindig határos volt a nygaton is jól ismert Zenon paradoxonaival. Keplert, ezt

furcsa csavargó géniuszt külsó' körülmények hozták e probmákkal kapcsqlatba. Az 1612. év Linznek és az egész szoszédos Dunavölgy bortermő vidékeinek különlegesen gazdszüretet hozott. És midőn Kepler e konjunktúrából — mígy neveznők — magának is hasznot akart húzni és a folymon felfelé odavontatott hajóról olcsó pénzen néhány horbort akart vásárolni, akkor csodálkozva látta, hogy a hordtartalmának meghatározására az eladó egy beosztott ruddugott le a hordó nyílásán, és a bor felszínének a szembelevő dongától mért távolságából számította ki a hordó tatalmát. Kepler tudta ugyanis, hogy a Eajna vidékén hordók t ar ta lm át korsókkal mérték meg, vagy pedig, ha ilymérőrudat használtak, akkor mérések sorozatára volt szüség a hordó űrta rtalm án ak m eghatározására. H árom napokoskodott a forgási testn ek tek inthe tő hordók űrta rtalm ánmeghatározásán, és megoldotta a feladatot. Közben — legenda szerint — más szempont is érdekelte. Alig tudtugyanis, hogy a nagy mennyiségű bort hova tegyék. ÉKepler azt remélte, hogy sikerül majd olyan hordóalakszerkeszteni, amelynek felülete ugyanakkora, tehát ugyaannyi anyag felhasználásával készül, de űrtartalma nagyolesz, mint a használatos hordóknak. Ennek persze sok előnlet t volna, hisz a donga faanyaga és a kád árm unka akkorigon drága volt, aminthogy ma is igen drága. De meggyőzdött arról, hogy a «dolia Austriaca», az ausztriai hordóalakja megközelíti a lehető legjobbat, és mindenesetre lénygesen jobb, mint a Eajna vidékén használatos hordóké. Ekésetette a következő kijelentésre: «Quis neget, naturainstinctu solo, sine etiam ratiocinatione docere geometriám



163

Jfl tagadhatja, hogy az emberi természet maga, mindfejtörő, racionális megfontolások nélkül is, tanítja a geomriai igazságokat? így kellene ezt a meglepő kijelentést szadon lefordítanunk, és Kepler megjegyzi még valahol, he közben az embert kizárólag a szeme (szenimértéke) ékészült tárgy szépsége irányítja. Tehát az intuíció és esztikus arány- és formaérzék szinte természetet* követelméa geometriai feltaláló szellemnek. Kétszeresen meglepőkijelentés, mivel attól a Keplertől származik, akit az utószívesen tekint hideg, száraz számolónak és kőkeméracionalistának. Nem mulaszthatjuk el itt azt a megjegyzhogy lépten-nyomon meglepetésben van részünk, ha minhivatott vagy kontár történetírót kikapcsolva, szelletörténeti kérdésekben magukat a forrásokat vizsgáljuÉrthető , hogy pártoskodók gyűlölete vagy fcedvezése elzítja a jellemzéseket ós ingadozóvá teszi a történelmet. egy ilyen ingadozó történetírás egy egész nerűzetet kimozhat jövője irányvonalából különösen akkor, ha a démKeplert száraz racionalistának, a tettek eniberót, a fauLeibnizet pedig begyepesedett könyvmolynafe, sőt a libefelvilágosodás vezetőjének rajzolja. Nagy szellemek minkor komplex természetűek, sőt irracionálisak, különben nérthetnék meg világuk szintén komplex, irracionális szerktét. Műveikben tehát könnyen akadhatunk nagyon elthipotéziseket alátámasztó részletekre.De a történelmipszichológus számára vannak kiváltságos, előnyben résztendő részletekis.Ezek olyan kitételek, amelyek egy csapásravillámszerűén megvilágítják a hős világnézetének sötét terét, és amelyek éppen egyértelműségük következtébalkalmatlanok a magyarázgatásra. Egy megátalkodintellektualista sohasem állíthatta volna Keplerhez hasonazt, hogy maga a természet taníthat maximiim-feladat moldására. Erről legfeljebb azt lehetne mondani, hogy túmódon intuicionális vagy metalogikus felfogás.

De félbe kell szakítanunk módszer-vitánkat, bármily

érdekes volna is a folytatása. Megállapítjuk tehát, hogy'Kler többé nem tudott a boroshordók problémájától szabadós végül 161ő-ben, Linzben kinyomatta korszakalkotó m«Nova Stereometria Doliorum Vinariorum, accesü Sfce«*



164

metriae Archimedae supplementum» címmel. Előzőleg azban egy túlbölcs augsburgi kiadó megtagadta a mű kiadámondván, hogy egy ilyen úgyszólván kompromittáló témmég egy nagyon híres ember sem emelhet tudományszínvonalra. Ez a «boroshordók új sztereometriájao amecíme szerint az archimedesi sztereometria kiegészítője, mcáfolva az augsbu rgi kiadó vélem ényét, do liometria névörök életű lett. Tartalma nagyszerű. Nem kevesebb mint A rchimedes által még nem ism ert forgási tes t kub aturávégzi el Kepler, s a testeknek sorban alakjuknak megfeleneveket is ad: az almaalakú, a citromalakú, az olajbogalakú s tb . Művének tov áb bi részében azutá n a boroshordókfoglalkozik, és problém ája term ész ete maximum feladatohoz vezeti. Itt Oresmei Nicolenél is határozottabban rájar ra a kö rülm ényre, hogy egy függvény változása a maximközelében mindinkább megszűnik.

I t t sem időzhetünk sok áig, figyelmünket e kor másimarkáns személyisége felé kell fordítanunk, a jezsuita Boventura Cavalieri felé, aki professzor Bolognában és itt aki 1635-ben híres művét ((Geometria indivisibilibus connuorum nova quadam ratione promota» címmel. Galitanítványa volt és ((az oszthatatlanok geometriája* nafeltűnést keltett. Igaz, hogy már a kortársak is azt mondtróla, hogy megérdemelné a «sötétség» nagydíját, ha ilyegyáltalán kiosztásra kerülne. Már láttuk egyszer, hogyko rtá rsak a «sötét» jelzővel illette k va lam it. H erakleitossesett meg. És meglepő módon, majdnem ugyanabban összefüggésben, vagyis a folytonosnak, a kontinuumndinamikus fogalmazása miatt. Igaz, ma is el kell ismernünoha az infinitezimális számításoknak két évszázada vmögöttünk, hogy Cavalieri műve nem lehetne példaképevilágos fogalmazásnak. Ez an ny ira megy , hogy a legfőfogalmat, az ((oszthatatlan elemeket)) —így kellene ma az«indivisibilia» kifejezését fordítani — sehol sem definiálja,ezáltal az összes, nagyon merész következtetése szinte levegőben lóg. Miért tette ezt? mindmáig titok, amelyet soféleképpen akar tak megfejteni anná l is inkáb b, mivel Cavaleredményei, módszerétől eltérően, nagyon is helyesek és eértelműek. Vannak történettudósok, akik azt hiszik, hog



165

Cavalieri, szerzetes lévén, a Galilei körül lejátszódott esemnyek hatása alatt nem mert olyan elméletet teljesen leírnamelyet — esetleg — forradalminak tarthattak volna. De merüljünk el ilyen bonyolult történelmi részletkérdésekbecsupán arról számolunk be, hogy a tárgy még az akkori idszámára is igen nag y nehézségeket re jte tt. É s hogy a renasance óta szokássá vált több értéket tulajdonítani a találkonyságnak mint a logikus szigorúságnak. Ez megegyezmindazzal, amit a görögök recepciójáról mondtunk. A fauút jobban hasonlít a prometheusihoz és dionysosihoz mint

euklidesi vagy apolloniosi úthoz.Oavallieri tehát minden geometriai idomot vonalak vagsíkok összességének tek in te tt, a sze rint, hogy síkidom ról v atestről volt szó. A «summa omnium...» egy bizonyos «folyáltal keletkezik, ós ez az egyik pá rhuzam os vonalat a m ásikbaz egyik párhuzamos síkot a másikba viszi át. Egy későbművében Cavalieri a felületeket képszerűén szövetekkel, testeke t pedig könyvekkel hason lítja össze. A z o sz tha tatlelemek geometriája hetedik könyvének első mondatábaazután előírja, hogy síkbeli és térbeli idomok tartalma csakkor egyforma, ha a két, egyforma magasságban készümetszet egyenlő hosszúságot illetve egyforma területet aEz Cavalieri híres alapvető tétele, amelyet már az iskolábtanulunk és amely minden térfogatmérésnek alapja. Dtulajdonképpen minden területmérésé is. Évszázados hasnálata során úgyszólván teljesen elvesztettük azt az érzéküket, a,mely megmutatná, hogy ez az elv nem csupán eg

infinitezimális megfontolást jelent, hanem logikai veszélyis vannak és önmagában véve paradox is. Ezt rögtön melátjuk abból a támadásból, amelyet Guldin intézett Cavaliellen. Az a Guldin, akiről a «Guldin-szabály»x a nevét kapta,noha ezt a szabályt nem ő fedezte fel, han em m ár a klasszikókorban is ismeretes volt. Guldin tehát a következőket hozfel Cavalieri ellen. Eajzoljuk meg egy tetszésszerintiABCháromszögben aBD magasságot. Ez a háromszöget két,egymástól általában nagyon különböző derékszögű három

1 «A forgási test kö bta rtal m a egyenlő a létrehozó idom területéneés súlypon tja útján ak szorzatával.*



166

szögre bontja. Húzzunk az alappal párhuzamos vonalakathúzzunk az alapra m erőlegeseket azokon a pontokon áamelyekben az előbbi párhuzamosok azAGés BG oldalakatmetszik. Ezek a merőlegesek akkor páronként egyenlőminthogy párhuzamosak közé rajzolt párhuzamos egyenesEzt az eljárást, ha végtelen sok párhuzamost húzunk aalappal, végtelen sokszor ismételhetjük , és végül azt találjhogy azABD háromszög ugyanazokból az oszthatatlanrészekből áll, mint a vele egyáltalán nem egyenlőBGDháromszög. Ezzel önm agában megdől az egész «summomnium linearum» elven alapuló következtetési módszGavalieri 1647-ben «Exercitaciones geometricae sex» címválaszol ezekre ós más ellenvetésekre és a fentebb részletesleírt támadással kapcsolatban megjegyzi, hogy kifejezettelőírta : az «oszthatatlanoknak páronként egyenlő távolsában kell lenniök, hogy a területek egyenlők legyenek*. Dea vita elriasztó jel a végtelenvizsgálatok éjszakájában. Mamennyire helyes Cavalieri válasza, annyira cáfolhatatlGuldin kifogása is. A ktuá lis végte len feltételezésével ant inIhiák közé kerülünk, és az ilyenek áthidalására hivatohalmazelméletben a legújabb időben Zermello, Hausdorff mások vizsgálatai még sokkal súlyosabb paradoxonokbukkantak.

Helyszűke ós e mű természete következtében nincmódunk a rra , hogy az infinitezimális m atem atikának akárcféligmeddig teljes történetét leírhassuk. Azzal a megjegyzékell beérnünk, hogy Kepler és Cavalieri után sem tűnt elprobléma a matematikusok napirendjéről. Ellenkezőleegyéni teljesítményeknek majdnem szakad atlan lánca kacsolódik az általunk említett kezdeményezőkhöz és EermPascal, James Gregory, Wallis neve e problémakörrel vakapcsolatban. Ki kell emelnünk, hogy a «határátmeneproblémáját, vagyis a véges mennyiségektől a végtelenhezvissza vezető átmenet problémáját teljes Szélességében angol Wallis tekintette át ós oldotta meg.

Másrészt azonban meg kell állapítanunk, — és ez aegyik főoka annak, hogy nem bocsátkozunk az egyes külöálló teljesítmények ismertetésébe —, meg kell tehát állaptanu nk , hogy ezek töb bn yire csupán különálló teljesítmény



167

voltak, és a végtelen-analízisnek csak egyik oldalát vizsgá ltéspedig az integrálszámítást. Vagyis azokat a feladatokamelyek terület, köbtartalom és ívhosszúság számításárszóltak. Tehát nem jelent semmit, ha azt halljuk, hogy Netonnak és Leibniznek nem kellett az infinitezimális számítfelfedezni, hisz az már készen állt. Igaz, az integrálszámíötlete megvolt. Annál is inkább, mert megvolt már Arcmedesnél is. De mégis több az, mint felszínes különbséNewtonig és Lebnizig egész kötetek kellettek néhány konkintegrál kiszámításához, ó'k néhány szóba összefoglalhateljes és általános módszert állítanak fel, amely lehetőteszi, hogy minden ilyen probléma megoldásához hozzáfohassunk. Lényeges különbség előtt állunk ismét, és ez nagjából megfelel a Descartes és Apollonios «koordinátái» kmutatkozó különbségnek.

Már néhányszor használtuk a «Newton és Leibnizi) kifezést, éppúgy, mintha közös felfedezésről volna szó. De ezaz «és» szócskával a tud om án y tör tén eténe k egyik lebonyolultabb elsőbbségi versengését érintjük. Még a leújabb időkben is voltak a m atem atika történe tének egyébkkomolyan veendő búvárai, mint pl. Eneström, akik nehisznek a pioritás-vita eldöntöttségében és szívesen fennttanák azt a rossz fényt, amely két évszázadon át Leibnizsugárzott. Kettőzött óvatossággal és pontossággal kell fejezetünket folytatnunk, hogy kiemeljük mindazt, amvalóban lényeges és hogy kimutassuk az elsőbbségi viértelmetlenségét. De ehhez nem elegendő a probléma helzetének ismerete, a Leibniz-cel kapcsolatos személyes körményeket is pontosan ismernünk kell.

Leibniz 1646-ban, két évvel a harmincéves háborúbefejező westfáliai béke előtt, tekintélyes egyetemi tanfiaként született Lipcsében. Kora ifjúságában már hihetetlszellemi képességekről tett tanúbizonyságot, s mivel ezeknszülővárosában nem tudott elismerést szerezni, ezért az barátságosan befogadó Nürnbergben promoveált a jogtud

mányok doktorává. Itt ismerkedett meg báró Boineburggaz államférfival, és ez az ismeretség döntő befolyással vsorsára. Először az ő személyes szolgála tába áll, majd Managyhercegének, Boirieburg uralkodójának szolgálatába,



168

1672 márciusában mainzi diplomáciai küldetéssel Párizsutazik. O tt hamarosan bekerül a szellemi élet gyújtópontjámegismeri a matem atiku s és fizikus H uygens-t, olvasPascal ós Descartes írásait, sőt egyik angliai útja alkalmáneves angol matematikusok ismeretségére is ssert tesz. Bmennyire ha to tta k is e külső körülmények szellemi kialakusára, mégis, véleményünk szerint, lelkének belső szerkezvolt az, ami felfedezéseinek csodáit létrehozta. Az idő mérett a végső algoritmikus rohamra, különösen Leibniz szmára, aki már ifjúkorában egy <<általános karakterisztikáró

logikai kalkulusról álmodott, amely általános gondolkogépként lehetővé teszi, hogy kérdésekre szinte automatikusválaszt kaphassunk. A «cabbala vera», a ftlullusi művészvezessen minke t, az «ars inveniendi», az «ars combinatoriTehát a felfedezésnek és a kombinációnak különleges művszete. Itt látjuk első ízben az algoritmikus ideált a magteljességében, teljesen öntudatosan felépítve. És olyan szívtervszerűséggel, amelyet hamarosan nemegy tett igazol.

Tehát mégegyszer ós olyan világosan, ahogy csak leheA gyermekkorból alig kinőtt Leibniz egyáltalán nem mamatikusnak készül. Teljesen általános tudásszomj gyötri, egy teljesen külső tettvágy, amely ráveszi, hogy Lengyeország sorsába beleavatkozzék, és amely arra bátorítja, hoa német biztonság érdekében a napkirálynak, XIV. Lajosnegyiptomi expedíció tervét terjessze elő. Leibniz ebben időben majdnem kizárólag filozófus és jogász, és talán mfizikus, történész, kémikus és teológus. De a tudás sokolda

sága, a kész tud om ány ism erete nem elégíti ki. Miként GoeFaustja, felüti «Nostradamus ódon könyvét*,és * ahogy aztudásvágyát varázslattal kapcsolja össze, úgy keresi az ifLeibniz az igazi kabbalát. Iskolázva, a klasszikus és skolatikus műveltség birtokában Eaimundus Lullus szellemidézi, akinek műveiben felfedezni véli a követendő utaFe ltétlenül lehetséges — ez Leibniz meggyőződése — az össe'gyszerű dolog kombinációjából az összetetteket megkaps ennek megvan az az előnye is, hogy a felfedezés ilyen sztetikus, összerakó útján semmi sem kerülheti el a figyelmVilágos, hogy Leibniz, mielőtt Parisba ment, a matemtikának csak elemeit ismerte. Sőt, ez is beigazolódott, val



169

ban csak az első elemeit. így tehát több mint érthető, hogP árizsban egy szellemi bódulat fogja el midőn m eglátjhogy mennyi minden áll tervei számára készen. A mélyematem atika , különösen Cartesius algebrája, a logaritmu sok ,analízis, a sorbafejtésre irányuló törekvések, Öavalieri oszthtatlanad az imaginárius számok kinyilatko ztatásként ha totak rá . R ájött, hogy j / i + y Z T í j 4 . | / 1 - ^ / ^ 8 = J /T,ós ő maga számol be arról a felfedezői ijedségről, amelyekkor érzett. Tiszta egyszerű szavakkal mondja el ő magazt az ane kd otát, hogy m iként m uta tta meg ezt az ered

mény t H uygensnek és hog y az hogy csodálkozott rajtDe a szavak mögött érezhető az izgalom remegése, amelyez az eredmény Leibnizben keltett. Mert itt élete céljának igazolása állt szeme előtt. Az algoritmus, a gondolkogép elvégezte azt, hogy két, mai nevén komplex gyöösszege, tehát két teljesen ér thete tlen és elképzelhetetlekifejezés eg yü tt irracionális, de tag ad ha tatla nu l megfoghaeredményt adjon.

Mint már mondottuk, nem állhatunk meg részletkérdésenél. Csak azt akarjuk megjegyezni, hogy Leibniz az algorimust magát háromféle módon fejlesztette. Először a számogép feltalálásával, amelynek lényege még a mai számolgépeknek is az alapja. Igaz, az első ötlet nem tőle származezen a téren, hanem részben Pascal gondolatait folytattGépe azonban biztosan sokkal tökéletesebb vo lt, mint P asműködésre képtelen szerkezete. A számológép gyakorljelentőségétől itt teljesen eltekintünk. Csak azt hangsúlyozuk, hogy Leibniz algoritmus-vágyának mintegy vasból fogaskerekekből álló jelképe volt. B gépben is rejtett kobinációs művészet végezte a számolás műveletét, egyszermindenkorra szerkesztett fogaskerekek zúgtak benne. Kérés megoldás közt önműködő szerkezet vo lt, az algoritmus hívo lt. Ez az első siker, amely szemmel lá th atóan igazolta aamire Leibniz törekedett, új tettekre tüzelte. Egy másodsokkal bonyolultabb mechanizmussal tett kísérletet, és ennaz a feladata, hogy a régiek exhaustiós módszerének armetikai mása legyen. Az irracionális és transcendens számilyen megbolygatása, amelyeknek már tizedes törtekkel igyekeztek közelébe jutni, csak sorok segítségével volt leh



170

sóges. És így teljesen Leibniz gondolatmenetébe vág, megalkotja a sorok algoritmusát, ahol ilyen problémábukkant. És ismeretes, noha itt másirányú elsőbbségi ignyekkel léptek fel, hogy párisi tartózkodása alatt fedefel a ma is róla elnevezett végtelen sort. Az úgynevezLeibniz-sor az arcustangens függvény sorbafejtésébóT kekezik hax=l, és a következő' értéket adja «/4 számára:— = 1 — s - +-£ W" Ez a sor ugy ann gyakorlati meg-határozásának céljára nem alkalmas, de ez mit sem változazon a körülményen, hogy a sor mély bepillantást ad e füvény szerkezetébe.

Már ismételten használtuk a függvény szót. Ez a fogalovolt a harmadik feladat, amelyre párisi tartózkodása alLeibniz algoritm ikus fáradozása irán yu lt. Az érdemes Leibkutató, Dietrich Mahnke «Zur Keimesgeschichte der Leibnsehen Differentialreohnung»című művéből vesszük a következőket. Leibniz m ár 1673-ban elju to tt addig , hogy «Methotangentium inversa seu de functionibus* című nagy értekzésében felismerte a megfordított érintő-feladat valamintkv ad ratura és rektifikációs feladatok egyenértékűségét, a kettőt együtt infinitezimális összegezési feladatokkészembe állította az infinitezimális különbség feladat jelleközönséges érintő-feladattal. Itt már bevezette a «functionfaciens* vagy röviden «functio» (függvény) kifejezést is, vmily törvény szerint változó mennyiségek megjelöléséIlyenek például az érintők, normálisok, subtangensek vamás hasonló vonalak, amelyeknek valamilyen «functio»-jva n a görbével kapcso latban. P éldául érintik a görb ét, melegesen állnak rá stb. és míg a görbével együtt haladnaviszonyuk változik a görbe ordinátájához és abseisszjához.. . Ezt mondja Mahnke. Mi pedig most lehetőleérthetően igyekszünk ezt a nagyon érdekes leírást taglal

Leibniz tehát már 1673-ban tudta, hogy a végtelenkalkulus két különálló problémakörből áll. A «megfordíto

és a «közönsóges» érintő-feladatból. A megfordított érinfeladat egyenértékű a kvadraturákkal és rektifikációkkal,közönséges pedig a végtelen kis mennyiségek különbségeinképzésével. Mit jelen t ez? H og y erre á kérdésre fejelhessü



171

vissza kell emlékeznünk a koordináták felfedezésére, helysebben feltalálására. Ilyen vonatkozási rendszerben a görbegy egyenlet fejezi k i,és kétféleképpen tehetjü k fel a kérdést —amint ezt már Eoberval megtette, — ha a görbét az érintőbszárm aztatjuk . Kérdezhetjük egy részt, hogy vájjon milyaz az általános érvényű törvény, amelynek az érintő engedmeskedik, és milyen az egész görbére érvényes egyenleamelyből minden helyen, a görbe minden pontjában, tehaz abscisszának, az a>nek minden értéke mellett, meghatárható. Ez az általános érintő-törvény Leibniz szerint aritmetikai szempontból infinitezimális különbségek megharozását kívánja, mivel a görbe valamely pontját a rákövekezővel vagy megelőzővel kell összemérnünk, hogy képlekapjunk. Tegyük fel továbbá, hogy a görbe mindenütt foltonos és szabályos menetű — ez elengedhetetlen feltétel akkor a szomszédos pontok összehasonlítása az irányváltotörvényét szinte a görbén legördülő érintő törvényekéadja meg. H a most elképzeljük és ez a «megfordított» é rinprobléma, hogy már ismerjük azt a törvényt, amelyből mindenkori érintő, illetve annak hajlásszöge nyerhető, akkmegfelelő számolási eljárással az érintő egyenletéből a mismeretlen görbeegyenlet megállapítása is lehetővé fog válEz ntóbbit nevezzük ma a primitív függvénynek. Az mLeibniz geniális m eglátása, hogy az az eljárás azonos a k va dtúrához vagy rektifikációhoz szükséges eljárással, mert ezprobléma megfogalmazásából nem következik.

S noha Leibniz világosan felismerte a kérdés lényegémégis néhány évbe telt, amíg elgondolásait meg tudta vasítani. De a megvalósítás itt sem volt egyéb, mint egy algoritmusnak, vagy legalábbis egy új notációnak feltalálávagy összeállítása. De még egy további körülmény is mekönnyítette munkáját. Matematikai tehetsége következtébaz elhuny t P ascal ba ráta i felkérték, hogy tekintse át a h agytékot ós rendezze sajtó alá. E közben kezébe került egy ras ez a sinus függvénynek az első szögnegyedben való vis

kedését ábrázolta. Ez a rajz Leibniz felfedezésre hajlamlelkében az úgynevezett «karakterisztikus háromszöggáltalánosait, és ezt mutatja a következő ábránk.

Leibniz gond olatmenete it t a következő . H a egy érin



172

az A pontban érint egy görbét, akkor aB és G pontokbanmár jelentős távolságra van tőle. Ha most olyan derékszháromszöget szerkesztünk, amelyben aB ós0 pont az átfogókét végpontja és amelynek befogói a koordinátatengelyekpárhuzamosak, akkor ez a háromszög hasonló egy másiks ez utóbbi azA ponthoz tartozó normálisból, az abscisza-tengely egy részéből és egy, az ordinátatengellyel párhuzaegyenesből áll. A 7. ábrán ez az utóbbi háromszög vastag

7. ábra .vonalai révén jól látható. Tehát röviden: a vonalkázoháromszög ós a vastagvonalú háromszög hasonlók. Tegyfel, hogy aB és G pont a nyilak irányában azA pont feléta rt . E ttő l a vonalkázott háromszög mind kisebb lesz, a néhogy alakját változtatná. Vagyis hasonló marad a vastavonalú háromszöghöz. De a zsugorodásnak nincs hatáAB és G addig közelednek egymáshoz, ameddig csak akarjus nem tudjuk azt a pillanatot meghatározni, amelybelvesznek szem elől azáltal, hogy azA, Bés Gegy pontbaesnek össze. A vonalkázott háromszög — így teszi



178

magának Leibniz a kérdést — ezzel megszűnt? Igennel felhetünk erre a kérdésre, m inthog y ér thető m ódon nem létezháromszög akkor, ha három csúcsa összeesik és nincs meglehetőség oldalainak meghúzására. De az is nehezen képzhe tő el, hogy ez eltűnés egy csapásra m egtörténjék, hisz enna vonal feltételezett folytonossága ellenemond. Nem vollogikusabb, más szempontból, ha azt tóteleznó'k fel, hogyháromszög eltűnt ugyan szemünk elől, de tulajdonságai fenmaradtak? Hisz már a görögök kora óta tudjuk, különöspedig Euklides óta, hogy az arányok függetlenek az abszonagyságtól. Nos tehát, a vonalkázott háromszög aránymindenkor ugyanazok voltak, bármennyire összezsugorodis, mint a vastagvonalú háromszög arányai, hiszen a kéháromszög hasonló. Szabad tehát azt feltételeznünk, s Leibniz felfedezésének koronája, hogy bár eltűnt a vonalkzott háromszög, arányai a vastagvonalú «karakterisztikuháromszögben m egm aradtak,na gy méretekben, jól mérhetőMost tehát az érintő törvényét a görbe bármely pontjszámára kifejezhetjük a karakterisztikus háromszög oldaviszonyaival, vagy am i ugy anaz, az érin tő hajlásszögénvalamilyen szögfüggvényével. De miként lehet ezt a törvénáltalában megtalálni, vagyis mi ennek az összefüggése görbe egyenletével? Leibniz itt a differenciaszámítást alkmazza és ezt építi ki határátmenet segítségével differenciszámítássá. És alapnak elegendő egyetlen képlet, amelyLeibniz-képlet néven ismer a tud om ány tör tén ete . H a elkézeljük ugyan is, hogy az abszcissza nő tt, akkor azy, vagyisaz ordináta szintén nőtt valahogyan, feltéve, hogy emelkegörbét vá lasz tottunk példának . Eső görbével a levezetkissé másképpen alakulna, de a lényeg mit sem változnéMegállapítjuk tehát, hogy ha azx értékét egy végesAxértékkel növeljük, akkor azy értéke is egy végesAyértékkelnövekszik. Ennek ábrázolására egy rajzot készítünk, ameközeli rokona a karakterisztikus háromszögnek. Ebből láhatjuk, hogy véges növekmény esetén csak a P ésB pontokonkeresztülmenő metsző egyenesa hajlásszögét kapjuk meg,ha a szög tangensét, mintAy és Ax hányadosát felírjuk.De Aynem m ás, m int a függvény értéke azx+Ax helyen,levonva belőle az függvények azx helyhez tartozó értékét,



174

minthogy azy=f(x)függvény a növekményeket tekintetbevéve azy+Jy=f(x+dx)alakba megy át. Mondhatjuk tehát,

.. j. ., 4y f{x+Ax)—f(x)a .hogyaz a szög tangense,tga — -r = — -p—í-^-1. Szavak-41 J-t ÍÍJJ

ban: ha a megnövekedett függvény értékéből az eredfüggvényértéket levonjuk és az eredményt azx növekményével elosztjuk, akkor a P ésB pontokon keresztülmenő metszőegyenes hajlásszögének tangensét kapjuk. De minthogy n

8. ábra.

a P ésB ponton átmenő metsző egyenesre, hanem az érintővagyunk kíváncsiak, végtelen kisdx növekményt kell felvennünk. Most tehát már nem a metszőa hajlásszögét,hanem az érintőa' hajlásszögét keressük, de ezt éppen olyankönnyen és gyorsan kaphatjuk meg, mint véges különbséesetén. Mert ebben az esetben sem lehet más a szög, m

az érintőnekés a pozitíva;-ek tengelyének a tangens függvénynyel jellemzett hajlásszöge. De tg a'=-=^-, ésdy, teljesenalgoritmikus úton a következő egyenletekből határozh



175

meg:y=f(x), y+dy—f(x-\-dx).Ezekbőlf(x)+dy=f(x+dx)ós, ,, , i \ t, \ , ,.., dy , f(x+dx)—f(x)dy=f(x+dx)—f(x),es vegul-JL = iga' = n £ — IAJ - .

Kicsit elébe vágtánk az eseményeknek, hisz Leibniz nilyen jelöléseket használt. De azelső felfedezésre vonatkozótényeket lényegükben helyesen írtuk le, habár későbbi ímódot használunk. Amint mondottuk, a Leibniz-képlea «közönségeg» órintőféladat megoldást nyert s már csakegyes szabályokra van szükség, hogy ezt a képletet helyealkalmazzuk. Egyszerű példán világítjuk meg a kérdéLegyen adva azy—xz—7 parabola és keressük az érintőszabályát, vagyis a differenciálhányadost* a görbe minegyes pontjában. A Leibniz képlet szerint

dy _ [(x+dx)*-7]-[x*—7] _dx dx

[x2+2xdx+(dx)2—7] — [s2—7]rö í ö ü "

A zárójelek felbontása utándy _ á2+ 2xdx+ (dx)2—7—x2+ 7 _ toedx+ (dx)3dx dx dx

Most kerül sor az úgynevezett határátmenetre, vagyis azoa megfontolásokra, amelyek végtelen kicsi mennyiségektörténő számolásokkal kapcsolatban fontosak. Mert fekifejezéseket véges növekményekkel, differenciahányadoként éppenígy megkaphattuk volna, és ekkor az eredméAv—- = 2x-\-Jx,a metsző egyenes hajlásszöge. Most kétféúxképpen hajthatjuk végre a határátmenetet. Vagy már eleikizárólag differenciahányadosokkal számolunk ós végül jelentjük, hogy%x-\-áx végtelen kis növekmény esetén, vagyisha áx összezsugorodikdx nagyságúra, egyszerűen 2a; lesz,mert véges mennyiség nem változik, ha végtelen kicsit ad

hozzá. Vagyis—- =2a;. Vagy pedig kezdettől fogva differenciálokkal számolunk és a-5—^—-képletben a(daf



176

tagról kijelentjük, hogy «másodrendű végtelen kicsi» ós úaránylik adx-hez,mint dx az a;-hez. így tehát egyszerűenelhagyjuk, és ezáltal a következőt ka pju k: ^ Ü —L =_

2xdx= —;— = 2a:. Vagyis ug yanaz az eredmény . Leibniz egysezeket a felsőbbrendű kicsinyeket azzal akarta képszerűten ni, hogy e lm on dta : A z égbolt úgy aránylik a Földhöm int a Föld egy porszemhez, és a Föld továbbá úgy arányliporszemhez, mint a porszem a mágneses részecskéhez, noutó bb i az üvegen is keresztülm egy . (Ma elektront mondanáhe lye tte). Leibniz sze rint az égbolt azx,a Föld adx,a porszema (dx)a és,a mágneses részecske(dx)s. Feltétlenül elegendő,ha az égbolt mellett a Földet még figyelembe vesszük. A pszemre és a mágneses részecskére is figyelemmel lenni anértelmetlenebb, mivel már a Föld, adx is végtelen kicsi azégbolthoz képest.

Most félbe kell szakítanunk a speciális algoritmus ismtetését. Csupán annyit állapítunk meg, hogy Leibniz röv

idő alatt nemcsak az egyszerűbb függvényeket és az ilyenből álló kifejezéseket tu d ta differenciálni, hanem P arisbmár felsőbbrendű differenciálhányadosokat, tehát differenchányadosok differenciálhányadosait is kiszámította. Ezfizikai szempontból nagyon hasznosak, mert az út-idő füvény el§ő differenciálhányadosa sebességet, a második gysulást jelent. A felsőbbrendű differenciálhányadosok széérték meghatározásoknál nélkülözhetetlenek.

A felfedezések történetének szerencséjére Leibniznmegvolt az a szokása, hogy kutatásainak jelentős állomásajegyzetet k észített és e jegyze tlapokra a dátum ot is gondorávezette. Ebből tudjuk, hogy még Parisban, 1675. októ29-én teljesen tisztába jött kalkulusa jelentőségével. Ezennapon ugyanis a következőket jegyzi fel: «Hasznos leCavalieri összegei helyett tehát .valamennyiy összege'kifejezés helyett mostantól kezdve azfydx kifejezést írni.Itt megmutatkozik végre a kalkulus új fajtája, az, amely

összeadásnak és szorzásnak megfelelője. H a viszont a do t| ydy =- |- kifejezés, akkor azonnal kínálkozik a másik



177

feloldó művelet, az, amelyik a <M-~j kifejezést újból y-

alakítja. Mert amennyirea / j e l a dimenziók számát növeli,annyira csökkenti azt ad jel. A z / j e l egy összeget jelent, aá viszont különbséget*.

Ez a felismerés megalapozta az infinitezimális algoritmuez hamarosan meghódította az egész világot, és azóta is öm arad t ez a világuralom . Nehéz eldön teni, hogy Leibniz a dom ány melyik ágában vo lt a legnagyo bb. De az vitán föáll,hogy egészen különleges geníe volt a helyes és egyenértém atem atika i írásmód terén. Új fogalmak és új jelek beveztését mély, valószínűleg fel sem fedhető titokzatosság borítB fogalmak és jelek közt kevés az olyan, amely annyihelyes, annyira fedi a kívánalmakat, hogy általánosan hasnálatba kerül. De ha viszont valamelyik használatba kerüakkor olyan kitartó, mintha természetes dolog volna, nepedig puszta konvenció. A titok kis része azonban mégmegfejthető, legalábbis az, ami az új «jeleket» illeti. Ezeknugyan is bele kell illeszkedniük a hag yom án yba , -illeniök kematematikai kozmoszhoz alakra és esztétikai szempontokbis. Egy megelevenedett organizmusra — és ilyen a matemmatika is, — nem lehet önkényesen mesterséges szervekaggatni vagy esetleg azt követelni, hogy valamely «parancegyetlen pontocskával kellőképpen meg legyen határozvha végrehajtásához bonyolult és szokatlan műveletek szüségesek. Az a «parancs», amelyet az a3 jel ad, nagyon átlátszó.Emlékeztet a 3a:-re, de a feljebb írt 3 szám kellőképpen mis különbözteti aZx=x-\-x-\-xkifejezést azx

2

=x.x.x kifejezéstől. De hogyan képzelhette volna el a XV I I . század em bhogy Newtonx jelölése olyan bonyolult dolgot jelentsen,m in t a differenciálhányados képzése? H át még azx amelynekintegrálás a jelentése. Ma is előfordul még, hogy fejletechnikával készült könyvekben, amelyek Newton jelölémódját m int történelm i érdekességet közlik, lemarad a pontx betű fölül, vagy nem teljesen beavatottak csak nyomávagy papírhibának nézik. De még sokkal súlyosabb az kifogás, hogy Newtonnál a számítás szerkezete nem látszmeg, egyá ltalán nincs betek intésünk az algoritmus működsébe.Leibniznél ez mindenkor megvan.

12 Colerua: Pythagorai*,



178

Szabadjon éppen ezért ezt a notációt egy jelentősen eszerűsítő, de a szigorú álláspont alapján joggal támadhmódon ismertetni.Ami hibát közben elkövetünk azt rövidesenismét jóvá fogjuk tenn i. De — és ez a«de» döntő fontosságú,azt állítjuk, hogy a végtelennek népszerű módon szokáelképzelése a szemléletnek az a maradványa amely az algmus tisztán fogalmi, de magában véve mégis meglehetőáttekinthetetlen mivoltát könnyen érthetővé teszi. Nfogunk tehát többé végtelen kis mennyiségeknek csupviszonyáról beszélni, hanem valami bűvös mikroszkópegyenként megnagyítjuk és differenciáloknak mondjuk őSzámunkra adx egy hosszúság,dy hasonlóképpen, és azintegráljel, ami nem egyéb mint egy megnyújtott S bearra utal, hogy az integrálás valami folytonos, egymáfolyó infinitezimális összeget jelent. Ezzel a kalkulusról anal áttekintő képet kapunk. Legyen adva azf(x)=-~

dxegyenlet, amelyrőlmég azt sem kell tudnunk, hogya függvénynek differenciálhányadosát, deriváltját jelenti-e, vagy sA kkor az egyenletek szabályai szerint írhatjuk :f (x) dx=dy.De már tudjuk, hogy egy egyenlet nem változik ha mindoldalán ugyanazt a műveletet hajtjuk végre. Határozzuktehát, hogy Cavalieri nyomán a «summa omnium linearuműveletet végezzük. Mivel Leibniz «hasznosnak» tartja, ezt fogjuk írni: Omnia %=Omniaf(x) dx,hanem egyszerűen,ezt jdy=yjf'(x)dx. Valamennyidx összege nem más mintaz y növekményeinek összege 0-tól a;-ig, tehát a tartomávégpontjának ordinátája. EzértJdy=Jf'(x)Üx.De továbbáy=f(x) az eredeti függvény. Ezérty=jf'(x)dx vagyis adifferenciálhányados integrálja az a függvény, amelybődifferenciálhányados keletkezett. És itt adx, amely azintegrált mintegy lezárja, furcsa szerephez jutott. Mert nemegyéb,mint az a tényező, amellyel a differenciálhányadegyes értékeit megszorozva, á terüle tetadó,összeadandó téglalapokat kapjuk. Adx tehát mintegy a lépés nagysága, atávolság az ordináták közt. Eddig szándékosan elhallgathogy a differenciálhányados maga nem egyéb, mint a7.ábrán



mlátható összezsugorodott «vonalkázott» háromszög befogóiviszonya. Az infinitezimális méretű háromszög átfogója adarab,amelyben az ív és az érintő összeesnek. Vagyis a görrektifikációs darabja. Legyen ennekdsa jele és akkor P ytha-goras tételével:{d£f={d,xf+{flyf. Ebbőlds=f (dx)z+(dy)*valamennyidsösszege pedigfds és ez a görbe ívhosszú-sága. Ha tehátds= \f(dx)*+(dy)z akkor az ívhosszúságs = J V(dx)z+(dy)z de it t még sokféle meggondolásra volnaszükség.

Ez tehát az összefüggés a differeneiál- és integrálszámtás közt akkor, ha a differenciálhányadosból indulunk Ha viszont, miként Leibniz tette világhírű jegyzetébaz integrálból indulunk ki, ós megadottnak tekintjük \ydx=\ összefüggést, akkor azt találjuk, hogy 4^-)»vagyis az integrálás eredményének differenciálhányadismét azy-t adja, vagyis azt, ami az integrál jele alatt állt

Nem feladatunk, nem is szándékunk itt az infinitezimászámításról tankönyvet írni. Csupán azt akartuk bemutahogy milyen egyszerűen és milyen természetesen leheLeibniz írásmódját a már meglevő algoritmusba beépítenhogy milyen áttekinthető volt ez az írásmód. A differensehol sem tudott megszökni. Megnagyítva mindenkor bemaradt a számításban, tehát állandó megfigyelés alatt vÉs Leibniz-cel alig fordult elő, hogy hibásan számolt vo

P edig ez Newtonnal gyakran megesett azx,~x jelű magasabbdifferenciálhányadosok használata közben, mivel szemévirtuozitása sem volt elég ahhoz, hogy ura lehessen gépeznek. Newton végtelenszámítása úgy viszonylik Leibnizémint a szóalgebra az algoritmikus módon írt algebráhEzt nem lehet az évszázadok során eléggé gyakran isméthogy Newton és Leibniz elsőbbségi küzdelmének értevagy értelmetlensége kellőképpen kiemelkedjék. Teljeeltekintve attól, hogy felfogásaik közt más, lényegbeveltérések is vannak.Még mielőtt Leibniz matematikai kozmoszának áttektéséhez fognánk, számoljunk be történetíró módjára e he

12*



180

még arról, hogy Leibniz 1684-ben az általa alapított «AEruditorum» folyóiratban nyilvánosságra hozta differenciszámítását, és annak alkalmazását maximum-minimufeladatok megoldására. E munkában vezeti be véglegesenkettó'spontot az osztás jelölésére. Leibniz csak kilenc évvefelfedezés után szánta el magát módszere nyilvánossághozatalára, ekkor is csak azért, mert barátja, a geniális, kalandor-szerű gróf Walter Ehrenfried Tschirnhaus melkezdte a bizalmasan tudtára adott eredményeket sajátjkén t közölni. S e közben , igaz , sokszor zsákutcába ju to

Tschirnhaus egyébként nem volt mindennapi ember. Csupkissé gyenge jellem volt. Tó'le származik a harmadfokegyenletek egyik legjobb megoldásmódja. De mindezt csmellékesen jegyeztük meg.

Nos,Leibniz módszerének nyilvánosságra jutása mindörökre felfedte a végtelen analízis titkát. Geniális munktársak, így két Bernoulli, Varignon, l 'Hospital magukótették a kalkulust, és néhány év alatt annyira kiépítettéhogy hatalmas teljesítményük még ma is bámulatra mélA végtelen analízis minden irányba, még a legbonyolultavariációszámítás irányába is eró'sen fejlődött, noha az alapsem voltak még teljesen készen. És alig tudjuk megértehogy a Bernoulliak miként számították ki a legbonyolultaintegrálokat is. A variáció-szám ítás — em lítsük m eg melle— nemcsak görbék egyes pontjainak maxim um-m inimutulajdonságait vizsgálja, hanem egész görbék ilyennemtulajd onság ait. A z úg yn evezett «brachistochron» feladlyennemű probléma. Ez a probléma, amelyet Johann B

noulli ad o tt fel a m atem atikusok nak , a következő ': Keresenaz a görbe, amelyen egy, csupán a nehézségi erőnek aláveanyagi pontnak mozognia kell, hogy egy függó'leges síkbmagasabban fekvő pontból ugyanennek a síknak mélyebbde nem függőlegesen az első alatt, fekvő pontjába legrövididő al at t jusson el. A feladatot Leibn iz, l 'H osp ital, Newtona két Bernoulli külön-külön megoldották, és egyöntetűarra az eredményre jutottak, bogy a görbe egy ciklois.

Jákob Bernoulli azt is felfedezte, hogy valamely görbe egében csak akkor felehet meg a brachistochron feltételnek, minden része külön-külön megfelel ennek.



181

Nem csoda, hogy a módszernek azonnal ellenzői is jelenkeztek, noha Leibniz kalkulusa nem is egyszer, és nemutolsó sorban, például az úgybevezett «firenzei feladattakapcsolatban, beb izonyította helyességét. Viviani, egy Galitanítvány felszólította ugyanis Leibnizet, hogy oldjon megy feladatot, amellyel ő maga már archimedesi elvek szerfoglalkozott. Leibniz az új kalkulus segítségével azonnugyanarra az eredményre jutott sőt Jákob Bernoulli azt bebizonyította, hogy a feladatnak végtelen sok megoldávan. A feladat egy kupola és egy henger metszéséről szólt

e metszés következtében négy ablak keletkezik a kupoláA feladat az, hogy a megmaradó kupolafelszín racionászám legyen. A fent em lített tám adáso kb an, am elyeket molyan eredmények sem tudtak elhallgattatni, mint a «firenfeladat* megoldása, nagy szerepe volt sok, szándékos akaratlan félreértésnek. Ezek azután az elsőbbségi vita sorhihetetlenül megnőttek. Leibniz a kortársak szemében valacsaló, szellemitolvaj,sarlatán volt. Az udvari aranycsinálók,intrikusok, kalandorok egyike. Tekintve, hogy a barokkorbsok ilyen volt, nem használt Leibniznek semmiféle címkitüntetés vagy megtiszteltetés. «Végtelen-paradoxonokifejezés hallatán a német-angol nemzeti ellentétre gondoltvagy a whigek és toryk harcára. S el kell ismernünk, hogyromán népek hamarabb álltak Leibniz mellé, hamarabb szgáltattak neki igazságot, mint honfitársai. Csak a halakadályozta meg Leibnizet abban, hogy hátralevő életB écsben, vagy még inkább P arisban emigránsként töltseEz a terv, megvalósulása esetén a legtalálóbb válasz levolna egyes nemzetek magatartására.

Mint már többször említettük, nem feladatunk^ hogy infinitézimálszámítást behatóan ismertessük. De másrésemlítenünk kellett néhány alapelvét, mert különben éppezen a téren nem tudtuk volna Leibniz érdemeit kellő vigításba helyezni. A néhány kiragadott részhez hozzáfűzzmég, hogy az integ rálás jelét Leibniz v ezette be , de a«integrál» szó Jákob B ernoullitól származik. A két mamatikai nagyhatalom, Leibniz és Bernoulli megegyeztugyanis, hogy a jövőben a Leibniz által használt jel, da Bernoulli által használt integrál elnevezés alkalmazan



182

a m atem atikáb an. Ez a megállapodás érvényes m a is egész világon.

Mielőtt még Leibniz matematikát fejlesztő továbbérdemeit említenők, amelyek tulajdonképpen működéshozták azt amit mi ^matematika, mint kozmosz* kifejezésértünk, előbb még egy ma is nagyon elterjedt félreértést ktisztáznu nk . M égpedig a zt, hogy Leibniz, filozófiai naiv itásbvagy híres (szintén gyakran félreértett és félremagyarázomonád-tana alapján csak úgy va ktá ba n használta differencjait, és ezek szerepe olyan matematikai atom-féle volt. Tehő tudtán kívül a végtelenanalízis olyan hibáiba és ellenmodásaiba keve redett bele, amelyek m ég az eleai Zenon tám asaitól is megdőltek volna.

Nem állítjuk, hanem bebizonyítjuk, hogy az ellenkezőigaz. Bizonyos, hogy Leibniz gyakran igen hozzávetőlegebeszélt, hogy igen új fogalmait (a filozófiában kevésbbé jármatematikusok közt is) népszerűsítse. De az ilyen beszénem tudományos értekezés, ez inkább a pedegógia és tud

mányos politika körébe tartozik. Midőn a már említefizikus ós matematikus, Varignon, (ő fogalmazta meg előszteljesen általánosan az erőparallelogramma-tételt) baráságosan felhívta a figyelmét azokra az ellenvetésekre és támdásokra, amelyek őt Franciaországban egyik kijelentényomán érték, akkor 1702. február 2. kelttel a követkefélre nem érthető választ adta : «Nagyon hálás vagyok önnuram, és országa tudósainak is, mert megtisztelnek azzhogy megjegyzéseket tesznek egy levelemre, am elyet ebarátomhoz válaszként intéztem, a ,Journal de Trevouxoldalain differenciál- és összegkalkulusaimmal kapcsolatbmegjelent ellenvetésekre. Nem emlékszem már pontosankifejezésekre, amelyeket használtam, szándékom volt azoban megmutatni, hogy a matematikai analízist nem kekapcsolatba hozni metafizikai vitákkal, tehát nem szükségazt állítani, hogy a természetben vannak olyan vonalaamelyek, a közönségesekhez képest, szigorúan végtel

kicsik, vagy hogy vannak olyanok, amelyek végtelen sokshosszabbak mint e közönséges vonalak. Tehát e szubtilvitakérdések elkerülésére, hisz fejtegetéseimet mindenszámára érthetővé akartam tenni, megelégedtem azzal, ho



188

a végtelent az összehasonlíthatatlánnal magyarázzam, teféltételeztem olyan nagyságokat, amelyek össze nem hasoható módon nagyobbak vagy kisebbek a mi mennyiségeinkEzen a módon ugyanis az össze nem hasonlítható mennségek sokféle fokozatát kapjuk, ha egy hasonlíthatatlakicsinyt, valahányszor egy hasonlíthatatlanul nagyobb mhatározásáról van szó, a számításnál figyelmen kívül hahatunk, így tehát egy mágneses részecske, amely az üveis áthatol, egy homokszemmel, ez megint a földgolyóvaföldgolyó pedig az égboltozattal nem hasonlítható össEzért állítottam fel előzőleg az ,A cta Eruditorum'-ban néhsegédtételt, az összehasonlíthatatlanról, amelyek egyformalkalmazhatók a szigorúan vett végtelenreés azokra a mennyiségekre, amelyek egy másikhoz képest figyelmen kívül hhatók.

Figyelembe kell azt is venni — folytatja Leibniz e lev— hogy az összehasonlíthatatlan kis mennyiségek, még nszerű értelmükben sem állandók és határozottak, sőt mi

olyan kicsinek vehetjük őket, ahogy csak akarjuk, geomemegfontolásokban ugyanaz a szerepük, mint a szigorúvett végtelen kicsinyeké. H a ugyanis valamely ellenfeltételeink helyességét tagadni akarja, akkor kalkulusunk mutatja, hogy tévedésünk kisebb mint bármely meadható mennyiség, mert módunk van a,z összehasonlíthalan kicsinyt — minthogy ezt olyan kicsinek választhatjahogy csak akarjuk — e célból kellőképpen csökkenteni.lehet az, amit ön a kimeríthetetlenen gondol, és kétségtelebben rejlik az infinitézimálszámításunk szigorú bizonyítAz a legnagyobb előnye, hogy közvetlenül, szemmel hatóan ós a felfedezés valódi forrásait feltáró módon adja amit a régiek, köztük Archimedes, kerülő úton, közvebizonyításokkal értek el. ök azonban, ilyen kalkulus híjbonyolultabb esetekben nem tudtak helyes eredménelérni, noha ismerték a felfedezés alapjait. így tehát a vtelen és végtelen kicsi vonalakat — mégha a metafizi

szigorúságot tőlük megtagadva reális dolgoknak tekintis őket — gondtalanul használhatjuk olyan ideális fogaloként, amelyek a számítást megrövidítik úgy, mint a községes analízis úgynevezett imaginárius gyökei, pl."[/—2,



184

Hiába mondjuk ezeket imagináriusoknak, mégis hasznossőt sokszor teljesen nélkülözhetetlenek reális nagyságoanalitikus kifejezésére. így például lehetetlen segítségünélkül egy olyan egyenes analitikus kifejezése, amely eszöget há rom egyenlő részre osz t. Éppen így nem lehe tnetranszcendens görbék kalkulusát felírni, a nélkül, hogeltűnőfélben levő különbségekről beszéljünk, s itt egyszsmindenkorra be lehetne vezetni, az összehasonlíthatatlkicsi fogalmát, a helyett, hogy korlátlan csökkenésre képmennyiségekről beszéljünk. Éppen így képzelünk el háro

nál több dimenziót, és hatványokat, amelyeknek kitevőnem közönséges szám; csak azért, hogy olyan fogalmakalkossunk, amelyek a számítást megrövidíteni hivatottaés amelyeknek realitás az alapja.

De nem szabad azt gondolni, — folytatja Leibniz —hogy e magyarázat a végtelen tudományát lebecsüli fikciókra vezeti vissza, mert mindig megmarad — hoiskolásán fejezzem ki magam — egy synkategoremtikus végtelen1, így mindig igaz marad például, hogy

2 r = T + T+T + "8"+

16 + 3 2 * "V a g y Í S eSy e n 1 0 olj&n

törtek végtelen sorával, amelyben a tagok számlálója csupnevezőjük pedig geometriai sorként emelkedik. B sorbmégis csak közönséges számok fordulnak elő, és sohasem fel egy végtelen kis tört, amelynek nevezője végtelen naszám. . . »

Azért idéztük e levél messze túlnyomó részét, mert necsak kérdésünkben foglal egész világosan állást, hanem etúlmenve, Leibniz matematikai-filozófiai álláspontját is jlemzi. Ilyen szavak után már csak a rosszindulat állíthaLeibniz filozófiai naivitását vagy könnyelműségét.

Természetesen korlá tlan szám ban lehe tne az ilyen bizonlat-szerű idézeteket kivá lasztan i. De csak még egy, az aktuávégtelent legalább ugyanannyira elutasító helyet ragaduki. Ezt Gerhardt adta közre és így szól: «a végtelen kic

1 Ez azonos a «potenciális» végtelennel, amely határtalan haladásbkeletkezik.



185

va gy végtelen nagy minden kor tetszésszerint kicsinek, vatetszés szerint nagynak tekinthető, úgyhogy a kifejezés mdenkor csak egy összességet, egy fajtát jelent, de semmesetre sem egy ,utolsó' tagot e fajtán belül».

De térjünk vissza az integrálás kérdéséhez, amelyről malig beszéltünk. Csak arra utaltunk, hogy ezt a művészetulajdonképpen nem kellett feltalálni, minthogy bizonyformában m ár a régi hellének is alkalm azták . I gaz, ezt m inhangsúlyozni kell, csak egyes esetekre. Végtelen kicsi, tszésszerint kicsi mennyiségek, oszthatatlanok, differenciál

vagy bárhogy nevezzük is ezeket, összegezésére nem voáltalános módszerük, mégkevésbbé ilyen számításokhoz valgoritmusuk. Annál nagyobb volt az igyekezet, hogy ezt algoritmust megtalálják. Sajnos — és erről már az első útörők ham arosan meggyőződhettek, — ilyen algoritmfelállítása alig áthidalható nehézségekbe ütközik. A kivonlytikus művelete egyértelmű, az osztás már próbálgatákíván, a gyökvonás mégtöbbet, sőt ha a gyökkitevő töbmint 3, akkor csak különféle bonyolult fogással lehetségA logaritmus kiszámításának nehézségeit nem érezzük, eredmények már táblázatként állnak rendelkezésünkre. Dekövetkező fokozatnál kezdődik a nehézség. A követkelytik us szám ítási mód a differenciálás. Ez m agában vévbonyolult lehet, ha összetettebb függvényekről van szó, elvi akadályok nem merülhetnek fel. Ez nagyon kellemeHisz a thetikus műveletek (összeadás, szorzás, stb.) szintkönnyen kezelhető ((gondolkodó gépek». A nnál nag yobb v

a csalódás, mikor kiderült, hogy az integrá lás, amely lényeben thetikus művelet, nem osztozik az építő műveletek ilytulajdonságában, sőt inkább, algoritmikus szempontbólytikusnak mutatkozik és még köztük is áttekinthetetlensével tűnik ki. H isz egy integrá l megoldásánál vagy kiértékelénél az a kérdés, hogy melyik volt az a függvény, amelynekintegrál jele mögött álló függvény a differenciálhányadoDurván olyan ez a kérdés, mintha azt követelnék, hogmondjuk meg, minek a hányadosa 729 vagy minek a szorz(a;2—3a;+19). Sokszor van tám pont a felelethez, máskonincs. Mesterfogásokat kell alkalmazni, kerülő utakat válatani .De az integ rálást algoritmikus szempontból sohasem



186

szabad mindenkor alkalmazható gépnek tekinteni. Vilá

azonban, hogy van mód arra, hogy a feladat közelébe kőzzünk, így például eleve tudjuk, hogy az integrációs áldótól eltekintvefxmdx = n-a ;m + 1 De minthogy továbbáJ V1 + xm+xr + ...)dx = jxndx + jxmdx + Jxrdx -fvilágos, hogy bonyolult integrál is könnyen megoldhatósikerül az integrandust hatványsorba fejteni. Ily hatványesetében, mégha végtelenis,összetartását feltételezve, tetszésszerinti pontosságú közelítő' megoldást kaphatunk. Azx változó együtthatói itt nem játszanak szerepet, mivel állandként mindenkor az integrál jele elé helyezhetők. így pél

J"(ÚKP" + lxm + .. ,)dx = afxndx + bfxmdx + ...De már Stifel kiderítette , hogy sorfejtésekben a kombi

torikának igen nagy a szerepe. így például egy binom hanyának sorbafejtése nem más, mint sokszoros szorzás ennek következtében a hatványok együtthatói kombitorikus úton határozhatók meg.

Az említett összefüggésekre való tekintettel, de általáis úttörő jellegű volt sir Isaac Newton felfedezése, mid1676-ban rájött, hogy az(a-\-b)e a kitevő minden értékemellett binomiális sorba fejthető. E felfedezés korszakalkfontosságára való tekintettel bemutatjuk, hogy miként jeszthető ki a binomiális sorbafejt.és tört kitevőkre, vaggyökvonásra.1 Legyen a binom(a-{-b)9 és itt aQ valóditört. Ezt átalakíthatjuk. Tegyük fel, hogy a>&, és emelki ct-t. Az eredmény U íl- j ) =ose 11 H j . Minthogy

most a > 6 , — is valódi tö rt , jelöljük ezt x-szel, és ne tőretjünk többé az ae -val. Legalábbis egyelőre. Az tehát mofeladatunk, hogy az(1 + x)e binomot sorba fejtsük. Minthogy Newton maga is homályban hagyta módszereit és c

1 Egészszáraú kitevőre lásd szerzőnek Az egyszeregytől az integrál0. kötetét, 2S4. old. J



Í87

az eredményeket közölte, írjuk mindazt, ami következmodern alakban. Tehát, így következtetünk, ha a binomitétel negatív és törtkitevős hatványokra is kiterjesztheakkor (1 +x)e = \ (fps- A f e l ső határt óvatosságból egye-

oló're üresen hagytuk.De azért, hogy a kezdet még világosabblegyen,írjuk aQhelyébe, hisz az úgyis valódi törtet jelent, az.— értéket. Nincs más hátra, mint hogy a sorx°, x1, x2, x3 —

tagjainak együtthatóit meghatározzuk. Egy nehézség mindesetre adódik. I n J ' l í j ' l o ) ' " * alakú binomiális együthatókat kell kiszámítanunk, pedig ezeknek még semmifértelmük sincs. Mert a kombinatorika lényegébó'l követkehogy ( I egészszám, hisz a p a kombinálandó elemek szám

az r pedig a kombináció osztályszáma. így például Iaz öt elemből alkotható harmadosztályú kombinációk szám

5 4 8jelenti és az értéke v* ' . ííines más hátra, ki kellbőv1 . 4 . 0

tenünk az algoritmust, érvényesnek kell tekintenünk magbanvéve értelmetlen műveletekre. Lehet, hogy találunk olmesterfogást, amely átvezet ezen a nehézségen. Megkísé

jük tehát Newton nyomán a nehézség áthidalását.Haladjunk lépésről lépésre. Tudjuk, hogy 1^1 mindenk

ugyanannyi, mint IQ J és 1*1 = 1. TovábbáH )= 0. Ezzelmegtaláltuk a kételső együtthatótós minthogyx°=l és a;1—a-rögtön felírjuk:



188

Mostazt kell megtalálnunk, hogy általában miként számít

ható ki ("**") értéke. Felhasználjuk azt az összefüggést, hogy/g \ _ gCg-1) ( g -2 ) — (g-fc+ 1)\kj Fi '

Tehát(l)= — A W J '->vagy a számláló minden tényezőjét w-nel,a nevezőt pedigaz n megfelelő, »* hatványával szorozva

í^\ = Hl-n)(l-2n)...[l~(k-l)n}\k) «*•*!

Már ez a képletis arra mutat, hogy végtelen sort fogunkkapni, minthogya számláló tényezőinek abszolút értékeállandóan növekszik, nemúgy mint egész számú kitevesetén. Mert ekkora csökkenő tényezők egyike nulla leszésezzela sor megszakad. Emeljükki mosta (—l)*-1 tényezőt,ez ugyanazt jelenti, mintha minden egyes tényezőt —1-gymegszoroztunk volna. Ekkoraz eredmény:

MA > - l ) ( 2 t t - l ) - [ ( f c - i ) n - i ]W nk.M { >

Ezt még továbbis átalakíthatjuk,

( i r \ — ^—^2n ~1 3 w ~ X ( f e - l ) w - l ( - l ) * ^1

\k/ n 2n ' Sn '" (k—l)n n.klés így megkapjuka binomiális sort tört kitevőkre:

a-̂ .i + -i. + i.|[(i4)(i-i)...

V (k~i)n) k\ 1



189

A zx ebben feltétlenül kisebb m in t 1, különben a sor nemösszetartó.

Ez nagyon bonyolultnak látszik, pedig gyakorlatban lefeljebb egy kis figyelmet kíván. így például

és

( i+xy = fTT =̂ i +Y x—I * » + ^3— •Látjuk, hogy a sorok alternálók, vagyis a második tagtkezdve a tagok előjele váltakozva -f- és —.

Leibniz a binomiális tételt kombinatorikus úton továbfejlesztette és végül a polinomiális téte lre ju to tt , amekettó'nél több tagú kifejezések hatványozását tette lehetővDe ezzel itt nem foglalkozhatunk. Csupán arra akarunrámutatni, hogy a tizenhetedik század hősei kezén a matmatika különböző ágai miként kapcsolódtak össze. Az antikus geometria az algebrának és a geometriának testvéregyüttműködése. Ebből fejlődött ki az érintőprobléma vele a differenciál és integrálszámítás, a függvény fogalmaa vógtelenanalízis ezekkel kapcsolatos számtalan más probmája. Ilyenek például a függvények szélső értékének mehatározása, területek, köbtartalmak, felületek, ívhosszúságszámítása és a variációszámítás, vagyis adott maximuvagy minimumfeltételeknek megfelelő függvények felkeresKerü lőú ton , a sorfejtéseken, különösen pedig a binomiásoron keresztül az integrálszámítás a kombinatorikávke rü lt kapcsolatba, és ez a kapcso lat m indig szorosabbnbizonyult, sőt a magasabb differenciálhányadosokra is kitje d t. U gyanebben az időben Leibniz genieje, egyik l 'H ospihoz intézett levélben, a determinánsok elméletének alapjvetette meg, s a determinánsok később a matematika lehatalmasabb eszközei közé emelkedtek. Itt csak annyemlítünk róluk, hogy Leibniz volt a felfedezőjük, részletsebben más összefüggésben később lesz róluk szó. De ez selegendő. Az alig felfedezett logaritmus a legváratlanahelyen tört be az infinitózimálszámításba, megvetette ott



190

lábát és a felsőbb matematikának mintegy alapja lett.Az

egyszerűjxm

dx= —-j-r:Xm+1

integrálási képlet alkalmazásasorán hamarosan váratlan folytonossági hiányra bukkantAz algoritmus mindenm értékre, pozitívraés negatívra,egészre és törtre egyaránt helyes megoldást adott, pl.:

jxzdx—-j-x i; Jxidx=YT^x 1 + i =-^-afi;

Ja ; -4

=-—a; -8

stb.1 1 1viszont az far~1áo;= f-da; eredm énykén t j-dx=-—~x~1+1=

1 1= - Í C0 = T - - 1 ,tehát végtelen, vagyis lehetetlen eredménytszolgáltatott. Ezígy nem lehet helyes. Itt az algoritmus felmondtaa szolgálatot.De hamarosan rájöttek, hogyaz

- primitív függvénye «logx, vagyis f- áx=*logo;, tehátX 1 * 3 /

azelog x differenciálhányadosa- . Ismét hatalmas felfedezés,amelya matematikai kozmosz távolfekvő részeit köti össz

E néhány példa csak arraa mozgalomra mutassonrá ,amelyben Leibnizélt és amely Leibniz körül forgott,ésnéhány évtized alatt megteremtette mindazt, ami azótaanyugati-fausti világot átalakította.Ma nehezen tudjukazakkori idők szellemi m ám orát elképzelni. A késői baro kk arokokó laza társaságaibana matematikáról folyik a társalgás,s nem csaka nemes l'H os pi ta l gróf foglalkozik infinitezimálszámítással.ö csupán leghatalmasabb népszerűsítője,ésáttekinthető, részletes tankönyve majdegy évszázadigalapjaaz e tárgyra vonatkozó tanulmányoknak. Mindenütemlegetika láncgörbe megoldásának problémáját,— ez isLeibniz érdeme— amely egy szabadonfüggő lánc alakját,illetve az általa elfoglalt görbe egyenletét adta. Emlegetiabrachistochron feladatot,a «firenzei problémát*, (ezeket máremlítettük),a traktrix-görbét, amelyik úgy keletkezik, hogymondjukegy zsebórátaz asztalra teszünkés azt, lánca



191

végét egy egyenesen végighúzva, vonszoljuk. Az óra köpontja akkor mindinkább közeledni fog a <(vezéregyenesha nélkül, hogy azt valaha is elérné. Ezt a traktrix-görszintén Leibniz vizsgálta, és vele a Gauss-Bolyai-Loegevszkij-féle nem-euklidesi geometriával kapcsolatban foújból találkozni.

Csak utalásokra szorítkozhatunk. Futólag említjük, hoLeibniz a «helyzetgeometriát» is áttekintette, és világszavakkal elválasztotta a mórtékgeometriátói. Csak isméthangsúlyozhatjuk, hogy írásmódja, (notációja) mindenmintaszerű volt. ö látta át először az indexek jelentőségéezekről sokszor ismételte, hogy nem tekintendők számokEz egy olyan gondolat, amely úttörő jelentőségű a kombtorika és ezzel a determinánsok elmélete számára és erre szó kerül később.

Leibniz árnyéka meglátszik a következő századok fejdésén és még ma sem tudjuk egészen pontosan, hogy háhagyott írásaiban, amelyek sajnos, nagyrészt mindmáig kerültek nyilvánosságra, nem rejlenek-e nyíltan vagy rejaz elkövetkező századoknak is utat mutató elméletek. arról is csak később lesz szó, hogy ma is félig kifejlődmatematikai felfedezések káoszának közepette vagyunk

Most, a fejezet végén vessünk még egy futó pillantáLeibniz és Newton áldatlan elsőbbségi vitájára. Ez csártott a tudománynak, mert Leibniz sok felesleges energpazarolt rá, és a kissé mogorva Newtont annyira vitte, hdühében az egyész végtelenanalízist elátkozza.

Tagadhatatlan, ma már tudjuk, hogy Newton és Leibnegymástól függetlenül felfedezték ugyanazt a matematitényállást és helyesen alkalmazták. Newton foronomikués dinamikusan fogta fel és a fizikára alkalmazta. Fluxióés fleuensről beszél, a fluxiótx, a fluenstx jellel jelöli. Ténytovábbá, hogy időrend szempontjából, Newton korábbismerte az infinitézimálszámítást, mint Leibniz, valószínűmár 1665-ben. Leibniz viszont egészen más úton, logiku

kombinatorikus eszközök révén, valamint véges differencvizsgálatával jutott el kalkulusához. Nem az volt a célhogy ő maga jól ismerje a tényállást, és jól tudja alkalmahanem algoritmizálni akarta, teljes kalkulussá fejleszte



192

Ezt lényegében 167S. október 28-án meg is valósította 1684-ben nyilvánosságra is hozta. Ebben az időben viszNewton még nem lépett felfedezésével a nyilvánosság elé

Ne szóljunk a vitáról többet. Az a körülmény, hogy egész világ, be leértv e az angolszászokat is , kizárólag és kivnélkül Leibniz írásmódját használja, objektív szempontbm ár eldö ntö tte a v itá t. Mert i t t nem is a felfedezett dolog ma lényeges. Hisz az nagyrészt már ismeretes volt akkamikor a két vetélytárs a porondra lépett. Fontos, lényegcsupán az, hogy miként lehet a problémából és annak rémegoldásaiból az átlagember számára is megtanulható áttekinthető' algoritmust csinálni úgy, hogy az a fejlődésnse álljon útjában. Ezt azonban csak Leibniz valósította ma két nag y ve tély társ közül. New ton viszont örökértékfizikai elméletein kívül inkább a sorok és a valószínűsészámítás terén teremtett korszakalkotót .

Egyáltalán nem tudjuk Leibniz nagyságát a maga medöbbentő mivoltában felfogni. Úttörő volt mint jogásteológus, történész, feltaláló, fizikus, természetkutató, glógus, vegyész, politikus, nyelvész és «mellékesen» minmatematikus. A filozófus Leibnizról és a lírikus Leibniznem is szólunk, hisz köztudomású, hogy ő «elsősorban» fizófus volt. Mi volt ő tehát «elsősorban»? Majd minden sztudomány története azt állítja, hogy csak lassanként jövürá, hogy Leibniz éppen «ebben» a szakmában volt a lenagyobb.

Nem akarunk dönteni. Megállapítjuk csupán, hogy egilyen értékelés érthetővé teszi azt a felfogást, hogy bennefausti szellem a szó szoros értelmében véve is olyan univzális lángésszé sűrűsödött, amilyent a világ nem látott, seazelőtt, sem azóta. Mert csak ebből az egyesített tudásbfejlődhetett ki a matematika mint kozmosz. Szakszemponem homályosította el világképét. S lángesze mögött hatmas, maradéktalan hazafisága állott és megingathatatlahite Istenben; a harmincéves háború pusztításain felüemelkedő optimizmusa barátjává és tanácsadójává tette Savoiai Jenő hercegnek, Nagy Péter cárnak, XIV. Lajosna porosz királyoknak és királynő knek, Lipót és Károly némcsászároknak és a Welf hercegeknek.



198

Leibniz nemcsak a maga személyében jelentette a némmatematika dicsőségét, hanem meghonosította a mamatikát német földön, talán azáltal, hogy feltárta a fauszellem legmélyét is.

Nem akarjuk bármely nyugati-fausti nemzet matematiérdemeit bármiben is kisebbíteni. Hamarosan teljes fényben fogjuk mindegyiket látni. De meg kell mondanunk, hLeibniz óta a német nép egyenrangú maradt a többi mamatikai nagyhatalommal, sőt sokszor felül is múlta azokNémet érdem marad minden esetre, hogy Leibniz után megy Euler, egy Eiemann, egy Weierstrass, egy Grassmakerülhet ki fiai közül, és mindenekfölött a «princeps matmaticorum», a matematikusok királya, Carl Friedrich Gaakit matematikai nagyságában csak Archimedesihez hasohatunk.

18 Colerus: Fythaftoras



T I Z E N H A B M A D I K F E J E Z E T.

J e a n Vi c t o r P o n c e l e t .Matematika mint varázstükör.

H a valak i csak valam elyes t is foglalkozott Leibniz-és New ton-nal, ha m ar rájön, hog y a történelm i tények e szellemóriással kapcsolatban messze felülmúlnak mindvárakozást. Éppen ezért mindaz, amit művünkben elmoh a tt u n k és am it el szab ado tt m ond anun k, rövid utalásnem volt több.

De Leibniz utá n még sokkal bony olultabb tudom ántörténeti tényekkel kerülünk szembe, annyira, hogy ezeknéhá ny szót kell szentelnünk. Mi, mai emberek, — le kírnunk ezt a banális megállapítást — alig kétszáz év távla

ból szemléljük az imént elmondott eseményeket. Mondugyan, hogy a matematika Descartes óta a kézműipar álpotából nagyiparrá fejlődött, az egész világhelyzet továbis szinte megsokszorozó fogaskerék-szerkezetként hatott ez a tud om án y iparosodását hatván yoz ott mértékben fokoMi m agu nk viszont mégsem fejló'dtünk emberfeletti embs nem mondhatjuk, hogy nincsen másunk a szellemtörténben . S egyá ltalán nem tud ha tjuk , hogy nem dobjákel egykor az iparsze rűen előállított m atem atikán k szelleta rta lm át , m int egy elmúlt időből ittm ar ad t, divatjamúholmit. Eöviden : az elmúlt két évszázad történelmi távlnak kevés ésa jövendöléshez szükséges prófétai extrapoláció tehetsége is hiányzik belőlünk.

Minthogy azonban a matematika fejlődésének koráéljük még ma is, — legalábbis így gondolják a jelenkor lmegfontoltabb és legtehetségesebb matematikusai — ezérLeibnizet követő korok leírása legfeljebb hangulatkép-jell

lehet, annál is inkább, mivel Leibniz örökségét sem tudj



196

még minden következményével együtt kellő mértékben érkelni. A klasszikus örökség néh ány része már közkincs. Visz|z is bizonyos , hogy az egésznek a bővítésével még neJrttik el a lehetőségek határát.

Vállalkozásunkat azonban még egy második, sokkal súlysabb körülmény is akadályozza. B átra n m eg tehe ttük , hoolvasóinkat a fejlődés során az infinitizémiálszámítás kellközepéig vezessük. Le kellett írnunk, hogy miként fejlődtaz alapműveletek, az összeadásból a szorzás, ebből a hatvnyozás és mikén t alaku lt ki végül az integ rálá s. A fejlődtúlsó oldala, a kivonás, osztás, gyökvonás, logaritmuskeresdifferenciálszámítás sem idegen má r szám unkra . Nem mulatottuk el, hogy utaljunk a számfogalom bővülésére, a termszetes számokon keresztül a képzetes számokig. Többé-kvésbbé megbarátkoztunk a végtelennel kapcsolatos problmákkal és a különféle paradoxonokat maguktól értetődkísérő jelenségeinek tar tju k . A magu nk m éretei közt értjaz algoritmus, a rendszer jelentőségét. Nem csodálkozunha a sorokból szinte egy új számfogalom bukkan elő, éppígy a függvényekb ől; viszont azt is tud juk , hogy a soro.eleinte megközelítési kísérletek voltak és a függvények tövényszerű összefüggéseket foglaltak képletbe. De a későbalgoritmikus fejlődés hamarosan elmosta ezeknek az igvilágos és aránylag könnyen érthető fogalmaknak a határaMert számítási kényszerűségtől hajtva, egyszerre mindemegfordítottak, a kész adatok lehetséges keletkezési módkeresték, véletlenül adódott nagyságokat tőlük távolessorozatokként értelmeztek. Vagyis a he lyett, hogy valamegyök értékét a binomiális sor összegének tekintenék, inkámindén irracionális számot sornak tekintenek és azontsorként bánnak vele. Máskor pedig mérési eredményekbadódó számok sorozatára egyszerűen ráfogják, hogy ordná ták , vag yis függvényértékek s megkísérlik ennek alapjösszekötésüket valamilyen törvény segítségével. A fügvény fogalma ezáltal igen nagy mértékben kibővül, meígy minden, bármilyen módon keletkezett szám esetleg füvény és minden ma tem atikai összefüggést függvénynemondhatunk.

Ez a haladás, valamint a matematikai fogalomalkotá18*



196

bonyolódása a matematikához közeledni szándékozó, ágos műveltségű embert nagyon zavarja, sőt elriasztja ésmég kevésbbé vezet a modern matematika labirintusába oPtolemaios Philadelphos által kívánt «királyi út».

Előre kellett mindezt bocsátanunk, nehogy az olvacsalódást érezzen az utolsó fejezetek miatt. Minden igyzetünkkel azon leszünk, hogy el tudjuk fogni a titkoknak alább valamely sarkocskáját, de a dolog természetébó'l kökezik, hogy a legmodernebb matematikáról csak általánosban szólhatunk, arról is csak olymódon, hogy már ismdolgokhoz kapcsolódunk és egyszerűbb dolgokat «helyesítünk be» a bonyolultabbak helyére. De ez a fenntartágeometriára érvényes a legkisebb mértékben. Annál inkérvényes a «felsőbb matematika* további részére és a vtelenanalízisre.

Az alkalmazás minden módja arra mutat, hogy a difrenciál- és integrálszámítás elterjedésével oly hatalmas fver került az ember kezébe, amilyen semelyik korábbi szakban nem volt. Ezzel a fegyverrel neki lehetett vágnvalóság folytonos birodalmának, a lét «kontinuumának»függvónyszerkezetű keletkezésnek, röviden minden «fignak» és «formának». Az egész tizennyolcadik század eba racionalisztikus bódulatban telt el, végérvényes és álszerű biztonsággal emelkedő világuralommal kecsegtetteembert. Az «értelem istennője* csábítóan mosolygott és mdig újabb és újabb előretörésre biztatott.

Eészletesen le sem írhatók azok a korszaktöredékek, amlyekben a legnagyobb szabású matematikai lángeszek műktek. Közéjük tartoztak a B ernoullik,— ez a család egész matematikus-dinasztiává fejlődött — Leonhard Euler, LagranLegendre, D'Alernbert, hogy csak a legkiválóbbakat emsük. És a század végén a lángeszű Hindenburg körül egiskola alakultki,amely az emiitett polinomiális tételt alapulvéve,a matematikát tisztán kombinatorikus alapon igyekezett felépíteni. Eöviden az algebrának és az algoritmusDescartes által bevezetett és Leibniztől megalapozott uraa fejlődés végeláthatatlan útjának látszott. Mellékesen közvetve említsük meg, hogy Gábriel Gramer 1750-ben Leibtől függetlenül, másodszor is lefekteti a determinánsok ta



197

Később meglátjuk, hogy ez az algebra és algoritmikus irázatnak a csúcspontját jelenti.

Ezért írhatta a nagy Laplace 1799-ben&> híres «Exposi-tion du systéme du monde» című művében a következőkematematikáról: «Az algebrai analízis hamaíosan elfeledtvelünk kutatásaink legfőbb tárgyát, elvoiit kombinácifelé vezet és csak legvégül tér vissza tárgyunkhoz. De az analízis módszereire bízzuk magunkat, akkor hála e mszer általános érvényének és annak következtében, hoáltala következtetéseket mechanikus műveiletekké alak

hatunk át, oly eredményeket érünk el, amelyek a geometrszintézis számára hozzáférhetetlenek. Az algebrai analítermékenysége akkora, hogy elég a különleges feladatokáltalános érvényű nyelvére lefordítani és a puszta kifejezmódból már tömegesen nőnek ki az új és váratlan igazságMinden más nyelvből hiányzik ez az elegáns kifejezésmóamelyet ennél látunk, ha a kifejezések hosszú sorát írjuk fés ezek valamennyien kapcsolatban vannak egymással ugyanabból az alapötletből származnak. A század matmatikusai biztosak fölényükben és éppen ezért serényen mkálkodnak az analitikus módszer uralmának bővítésén korlátainak ledöntésén.*

Ezt mondja Laplace. Látjuk, hogy ő még teljesen bennél a tizennyolcadik század algoritmikus-racionalisztikbód ulatában és le akarja bo ntan i a m atem atika teljealgebraizálódásának útjá t álló végső ko rlátok at is . A«analízis» vag y (analitikus módszer» term észe tesen Laplaszámára algebrát és csakis algebrát jelent.Szegezzük le mégegyszer, hogy a tizennyolcadik százaérdeklődésének előterében úgyszólván kizárólag az algebjellegű, algoritmizált végtelenséganalízis volt és legjobbbonyolult integrálproblémák megoldásának és a variáciszámítás fejlődésének tudott örülni. Már maga Leibniz, egész mozgalom megindítója, megjegyzi «Ars inveniendi» feltalálás művészete) című művében : «A geom eterek gyaran kevés szóval be tudnak bizonyítani valamit, amineszámolással való bizonyítása nagyon hosszadalmas volnaaz algebra útja feltétlenül célhoz vezet, de nem mindenkorlegjobb út.» Már utaltunk arra, hogy ugyanaz a Leibniz



198

«helyzetgeometriára» gondolva, olyan önálló és nagyjövfeladatokat látott a geometria számára, amelyek algebúton csak nehezen hozzáférhetők.Nem is nagyon csodálatos, ha Pascal hagyatékának fdolgozójában ilyen gondolatok támadnak. Leibniznél kisszellem is elcsodálkozott volna azokon a Pascalnál találhutalásokon, amelyek még járatlan irányba mutattak. Dakkora volt a zaj az infinitezim álszám ítás és a vele kapcsolkoordinátageometria körül, hogy ezek az utalások és terva tizennyolcadik század végéig meg nem hallottak maradt

Néplélektan szempontjából nagyon érdekes, hogy a gemetriának most következő korszaka is kizárólag francia szlem terméke. De hogy ezt részletesen is kimutathassuk, szjunk ismét varázsszőnyegünkre és vigyen ez bennünket Leniznél régebbi korba, Lyon városába. Ott élt a tizenhetedszázad első felében egy fiatal építész, a neve GirarDesargues. Sok más nagytudású matematikushoz hasonlóő is kissé bogaras term ész etű volt. í r t egy nagy on mélyejáró művet, amelynek körülbelül a következő a címe : «Aesemények vázlata, amelyek megtörténnek, ha egy klip esíkka l találkozik.*1 De mivel ő, m in t má r em lítettük , nagyonbogaras volt, úgy találta helyesnek, hogy művét különálapokra nyomassa, gombostűfejnyi betűkkel. De még ez svolt neki elég. Felfedezéseit ezenkívül még dagályos nyelzet is rejtette, mert geometriai fogalmaknak botanikai neket adott és folyton virágokról, törzsekről, ágakról és haslókról beszélt.

Ezeket a lapokat bará taina k küld te meg, de kü ldött belük híres matematikusoknak is. Igazán nem csodálatos, hezek nem tudtak mit kezdeni ezzel az új dologgal, ameráadásul ilyen zavaros formában jutott tudomásukra. M

en tudományban, így a matematikában is, minden, korbsok volt a zavarosfejű sarlatán, és bizony gyakran nagynehéz az újdonságot a nagyravágyástól és hóborttól mekülönböztetni. Desargues megtett minden tőle telhetőt, hoőt is ilyen lézengő szerencsevadásznak tartsák. Csak néhigen nag ytudá sú ember, így ÍY rm at, Descartes, P ascal, v

1 B rouillon projet d'un e atie iu t aux évenem ents ctea rencontres d'upone aveo un plán. (1639.)



199

magának a fáradságot, hogy áttö rjön a lyoninak ezen a m amatikai-botanikai bozótján és egészen a lényegig hatoljoMíg azonban az első kettő annyira elmerült a koordinátgeometria fejlesztésében, hogy bár felfogták a lényeget, nhaladhattak a Desargues által kijelölt úton, addig a harmdik, a geniális B laise P ascal m ár 16 éves ko rában elha tárohogy Desargues felfedezéseit tovább fejleszti.

De még mielőtt ezzel foglalkoznánk, lássuk Desargulegfőbb eredményeit legalább vázlatosan. Érthető, hogy étészi működése során gyakran kerültek útjába a perspektíproblém ái. A perspektíva problémája — amellyel gyak orszempontból előtte is már többen foglalkoztak — az ő feben egészen matematikai jelleget öltött és ezzel valódi tudmánnyá lett. Két alapvető kérdés lebegett szeme előtt, ez a két kérdés a tizenkilencedik században emelkedett künös fontosságra. A pergai Apollonios még az egyes kúpsztek tulajdonságait vizsgálta, ő viszont folytonosan váltotatta a kúpot metsző síknak és a kúp tengelyének hajlászögét, a derékszögtől a párhuzamosságig, sőt azt az eseis vizsgálta, amelyben a sík a kúp tengelyén ment keresztós rá jö tt, hogy a tulajdonságok egész sorozata változatlmarad akkor is, ha a sík hajlásszöge változik. Ezek teha kúpszeletek közös tulajdonságai. A második kérdés, melyel Desargues foglalkozott, az a szakadék, amely az egymmetsző egyeneseket a párhuzamosoktól elválasztja. H amrosan rájött, hogy az egymást metsző és a párhuzamos egyneseknek több a közös, mint az eltérő tulajdonsága. Sőt pspektíva szempontjából gyakran azonosnak kell a ketttekintenünk ; ez világossá válik mindenki előtt, ha elképzjük, hogy perspektívában, helyesen választva a nézőponta párhuzamosak gyakran látszanak egymást metsző egyenseknek. De ez bizonyos szenpontokból a kú p és henger azonságára vall és felbukkan egy paradox fogalom, amely mhallatlan termékeny lesz a geom etriában. E z«a végtelen távolipont» és általában a «végtelen távoli elemek* fogalma. A phuzamos egyenesek a végtelen távoli pontban metszik egmást s ezáltal metsző egyenesekké lesznek. A henger olysugárnyaláb lesz, amelynek sorozója egy végtelen távoli p oDe párhuzam osokon nincs két végtelen távo li pont a szeri



200

hogy jobbra vagy balra hosszabbítjuk meg az egyenest. Ngyon furcsán hangzó feltevés, de minden párhuzamos sugsornak (a síkban), és minden párhuzamos sugárnyalábnaktérben) csak egy közös végtelen távoli pontja van. Amihogy a napsugarak is párhuzamosaknak látszanak és mégsjut eszünkbe, hogy két Napból származnak.

Csak akkor derült ki, amidőn az idó' már erre megérehogy a végtelen távoli pont fogalma és az idomok perspekvikus alakváltozástól független közös tulajdonságainak ffedezése egészen új geometriát teremtett. Egyelőre Desargcsak nevetségesnek látszott, akárcsak az a híres tétele, amszerint k ét tetszés sze rinti, perspektivikus h elyzetű hároszögnek megfelelő oldalai egymást egy egyenesen metszCsupán Pascal vizsgálta tovább a kúpszeleteket Desargumódszerével és hamarosan egy annyira varázslatosnak látalapvető tételre bukk an t, hogy az t még maga P ascal is csotevőnek nev ezte. És jog ga l, me rt P ascal tételéről, éppenúgy,mint Desargues tételéről csak a tizenkilencedik század végderült ki, hogy hídként kötik össze az algebrát a geometrval s rajtuk keresztül lehet csak a logika sérelme nélkül egyiktől a másikhoz eljutni. Erről később lesz szó. Itt csegy furcsa véletlent kell em lítenü nk . Desargues em lített főmvét kétszáz évi lappangás után 1845-ben Michel Chasles,híres geometer és matematika történetének kutatója talámeg a Szajna-parton, egy könyvkereskedő ládájában. Ekkazonban Poncelet és v. Staudt már újra megalapozta az «vagy projektív* ge om etriá t.

H allo ttuk , hogy a nag y Laplace a tizennyolcadik százutolsó évében igen meleg hangon emlékezett meg az algebalgoritmus mindenre kiterjedő hatalmáról. Annyira lelkedett, hogy mindenki azt hihette, nincs már más út a matmatika fejlesztésére, mint az algoritmikus algebra, az infitézimálszámítás, koordináták és függvények. De ebben időben két esemény történt, melyek egyikéről most rögtszó lesz, a másikat csak a tizenötödik fejezetben fogjuk mtatni, mert az már az ifjú Gauss működésével kapcsolatAz 1798. évben Gaspard de Monge, egy lángeszű geomea francia hadsereg kitűnő műszaki tisztje, nyilvánossághozta évtizedes kutatásai eredményét. E mű volt az első t



201

jes és kimerítő ábrázoló geometriai tankönyv. Ezt a tudmányágat általában csak a matematika alkalmazott formának tekintik, de oly sok a kapcsolata a tiszta matemtikávhogy akkor sem m ehetnénk el ném án első ismertetése m ellha történetesen Poncelet nem lett volna de Monge tanítvánés tisztelője. Mellékesen megjegyezve, a sors e korban mden francia matematikust hihetetlen kalandokba kergeteMagának de Monge-nak, a híres Ecole normálé és Ecole potechnique megalapítójának az a kétes dicsőség jutott osztárészül, hogy forradalmár tengerészeti miniszterként őhajtatta végre a halálos ítéletet XVI. Lajoson. Napóleon almagas állást kapott, de a nagy korzikaival együtt bukott visszavonulva töl tö tte .hátralév ő éveit.

Tanítványa Jean Victor Poncelet szintén műszaki tisvolt a francia hadseregben. Ezzel együtt vonult 1812-bOroszország ellen és sok bajtársával együtt Krasnoje melfogságba került. Azon a hideg télen, amelyen a higany a mérőben megfagyott, gyalog kellett a Volga-menti Saratovelmennie, ahová betegen és összetörve érkezett meg. Ancsodálatosabb e férfi lelki nagysága, hogy az élelmezéskapott néhány kopekből durva papírt és tollat tudott venTintát lámpakoromból magának kellett csinálnia, hisz véeredményben élelmezésre is kellett a pénz. Ezekkel a szánmas eszközökkel vázolta fel későbbi főműve a lap jait. Ez a Desargues ós P ascal munká lataihoz kapcsolódik, noha Pcelet az elsőnek művét nem ismerte közelebbről. Előszavban ugyanis arról panaszkodik, hogy mennyire nélkülöDesargues főművét, ugyanazt a művet tehát, amelyről memlítettük, hogy Chasles 1845-ben találta meg újra.

Poncelet 1814-ben tért vissza hazájába, Metzbe és 182ben befejezte főművét, amelynek címe «Traité des propriéprojectives des figuresD. (Értekezés idomok projektívtulajdonságairól.) Műve korszakalkotó a matematika történeben, de hazájában egyáltalán nem talált megértésre. Ez értetlenség akkora volt, hogy a francia akadémia megtaga

felfedezése kiadását, úgyhogy ezek Németországban, Crelle's Journal-ban jelentek meg. Ez a véletlen azonbjavára vált a matematikának, mert Németországban kogeniális szellemek egész csoportja, elsősorban Steiner



202

v. S taud t fogott m unk áho z. Ezek fejlesztették azu tán projektív geo m etriát a m ai tökéletességéig.

Ne vágjunk a dolgok elébe, halljuk inkább magától Pocelettó'l, hogy mit tekintett feladata lényegének. «Vizsgjunk», mondja, «valamely idomot olyan-általános, sőt binyos szempontból határozatlan helyzetben, amilyent az ida rendszer részei közt fennálló törvényeknek, feltételeknösszefüggéseknek (ezeket az idom definíciója már megharozza) sérelme nélkül elfogla lha t; tegyük fel tov áb bá , hoilyen feltételek közt megismertük az idomnak egy vagy töm etriku s vag y projek tív tulajdon ságát. H a most azonos tételek közt az eredeti idomot tetszés szerint kis mértékbmegváltoztatjuk, vagy az idom bizonyos részeinek folytonde egyébként tetszésszerinti mozgását engedjük meg, nemvilágos akkor, hogy mindazok a tulajdonságok és összefügsek, amelyek az első rendszerben érvényesek voltak, alkmazhatók maradnak a belőle fentiek alapján adódó új renszerben is?»

B szavak félreérthetetlenül azt a «helyzetgeometriát» kötelik, amelyet már Leibniz is sejtett. A méret és az alak elnik a geometriából, csupán árnyékszerű «összefüggések» «tuIajdonságok» maradnak meg, amelyek magukban vévagy csoportosan is, érzéketlenek a rendszer minden torzlásával és változásával szemben. Ilyen, helyzetre vonatkotételeket fedezett fel Desargues és Pascal is, Leibniz és Euis sokat te tt ezen a tére n. Ezek közé tarto zik a híres, pol

derekről szóló Euler-féle tétel: «Lap plusz csúcs egyenlőplusz kettő». Ez érvényes, néhány, a mindennapi geometrban alig előforduló esettől eltekintve, minden soklaprA francia Carnot is az idom okn ak olyan rendszerét állítoössze, amely az eddigi geo m etriai idom okk al a «teljes» idomcsoportját állítja szembe. Négy pont például teljes négyszöad , ha az összes oly an egyenest meg húzzuk, amely ezen a npont közül kettőn-kettőn keresztülmehet. E teljes négszögnek te há t 4 sark a ésI 9.) = 6 oldala van. Négy egyenesviszont U l = 6 po ntb an m etszhe ti egym ást, st b .1

1 Bészletesebben lásd többek közt szerzőtől: A ponttól a négydimenzióig o. könyv 58. oldalán.



203

Idomoknak elemeikből, tehát pontokból, egyenesekbsíkokból való felépítése szintetikus jellegű. Ezért nevezgyakran a projektív geometriát szintetikus geometriának Megteremtésének legmélyebb oka az volt, hogy a túlságonagyra nőtt analitikus geometria terjeszkedésének és az egmatematika aígebraizáíódásának és aígoritmizáíddásánazzal ak arta k h at ár t szabni, hogy a geometria szám ára is btosítják az algoritmus előnyeit. Merész rohammal vissza akták szerezni a geometria hatalmi helyzetét. Ezzel csakugyúj csodák világába jutottak, de végül — tragikomikus — új geometria elkezdett kivetkőzni geometriai mivoltából ma határozottan felismerhetők rajta egy bizonyos, álcázoalgebra vonásai. Közben Lullus sok álma megvalósult, a lszebb ezek között «a dualitás elve», amelyet Poncelet fedefel és 1822-ben hozott nyilvánosságra. Néhány évvel későPoncelet-től függetlenül Gergonne is felfedezte és közzéte

Ez a bűvös elv, amelynek most egy meglepő példáját fojuk leírni, lehetővé teszi, hogy fogalmak nevének puszta mváltoztatásával, illetve felcserélésével új geometriai tételeállítsunk fel. Csupán a «metszés» és «összekötés», «pont»«egyenes» kifejezéseket kell felcserélnünk, hogy új tételebukkanjunk . H a tud juk , hogy egy s íkban ké t «egyenes» emást egy «pontban» «metszi», akkor ezt a tételt «duáljára»fordítva, rögtön kijelenthetjük, hogy a síkban két «pontegy «egyenes» «köt össze*. Ilyen egyszerű geometriai tétenél a dualitás elvének működése magátólértetődőnek lszik és egyáltalán nem meglepő. De hogy mennyire csalóez a látszat, azt az a körülmény is bizonyítja, hogy Pashíres hatszögtételétm ár 1640-ben felfedezte, ennek duáljétviszont Brianchon csak 1806-ban, tehát 166 évvel későfedezte fel. H a m ár P ascal ism erte volna a du alitás elvakkor ez a 166 ev két percre rövidülhetett volna. A «Pasctételnek» különleges alakja, amelyre szükségünk lesz, íhangzik :

Legyen két egymást metsző egyenesünk (ezekhez számtód nak természetesen a végtelen távo li po nt ra vonatkozó mállapodásunk alapján a párhuzamosok is). A két.egyenes jegxésg.Ag egyenes há rom tetszés szerint vá lasz tott pontja legyAv B j és Cj. Válasszunk ag egyenesen is tetszésünk szerint



204

három pon tot :A, Bés G. Kössük m ost össze azA ésBv vala*mint azAt és B pontokat, a két összekötő egyenes metszéspontja legyenCa Kössük azután össze aB és Gt valaminta Bt és G pont okatebből azAt metszéspontot kapjuk. H avégül aC és At valamint aGx és A pontokat kötjük össze,akkor megkapjukBt metszéspontot. Legnagyobb meglepetésünkre észrevehetjük, hogy a három metszéspont,As, Ba ésGt egyetlenga egyenesen fekszik. Jegyezjük meg itt, hogyilyen feladatok megrajzolásához bizonyos áttekintő képség és ru tin szükséges. Ig az ugy an , hogy a tétel m inden esérvényes, de a gy ako rlatban meg eshet, hogy ha a pontokügyetlenül választjuk, akkor nem elég nagy a rajzlap a m

9. ábra.

széspontok megtalálására. Ezzel természetesen a rajz nagyáttekinth etetlenn é válik. Gyakran tám ad ták is e m iatt a pjektív geometriát és azt mondták : ez a geometria nyugodtfeltételezi, hogy minden «metszés» valóban megvalósíthaA «valóban» kifejezés alatt természetesen a megrajzolás letőségé t kell érte ni. De ha olyan von alakat kell húznu nk , amlyek csak 150 méter távolságban adják a keresett metszépo nto t, akkor a szerkesztés a gyako rlatban úgyszólván haszvehetetlen.

De ne ijesszen el minket ez a magában véve nem teljese

jogosulatlan bírálat és csodálkozásunk se legyen kisebb, a következő néhány percben a dualitás elve segítségével szi166 évet ugrunk. E célra csak az ((összekötés* és «metszévajamint a «pont» és «egyenes» fogalmait kell felcserélnü



205

hogy a Pascal-tétel dualját, Brianchon tételét kimondhaNe bíbelődjünk sokáig az elmélettel, próbáljuk meg a gyalatban. A következő új tételt kell kapnunk : Van két ptunk : Px és P . Mivel a Pascal-tételnél két egyenesünk vog% és g. A Pascal-tételnél három-három(Av Blt Cx és A,É, G)«pontot» egy-egy «egyenes» «kötött összeg most tekét «pontunkban» (Px és P ) három-három «egyenes»(av \ ,Oy és a, b, c)«metszi egymást». Kutassunk tovább.A Pascaltételnél «összekötöttük» a «pontokat», tehát a Brianch

10. ábra .

tételnél a három «egyenest» páronként «metszésbe» kell nunk, mégpedig ugyanolyan rendszer szerint, mint a Pastételnél, tehát aza ésbx, % ésb ; béscv \ ésc,végülc és a,Cj ésa egyeneseket kell egymással metszésbe hoznunk. Dezzel még csak a Pascal-tétellel kapcsolatos szerkesztésösszekötő egyeneseinek duális megfelelőjét találtuk mMit csináltunk előbb ezután? Az «összekötő egyenesek

metszésbe hoztuk egymással. Mit kell tehát most tennüA «metszéspontokat» «összekötni». így kapjuk azat, bs és Ojegyeneseket. A dualitás elvét szigorúan követve, csak gdolatokkal játszva, a Pascal-tétel három «metszéspont



206

Ás, Ba és Cs helyett a Brianchon-tételnél három «ÖsszekötŐegyenest»,as, ba és cs kaptunk. Most levonhatjuk a dualitáselvéből a végső kö vetk ezte tést is . H a ugyanis a P ascal-téhárom «metszéspontja» ugyanazon az «egyenesen» fekszakkor a Brianchon-tétel három tösszekötő egyenesének* Pt ponton kell keresztülmennie. Valóban, ha megrajzoljuaz ábrát, csodálkozva láthatjuk új gondolkodó gépünk cshatatlan, biztos működését.

De a dualitás elve még sokkal nagyszerűbb, mintsem eza példán mutatkozott, mert nemcsak a sík «pontját» és «eg

nesót» kapcsolja egymáshoz a dualitás tétele. Bűvös gépühatalma még sokkal messzebb terjed és ennek is bemutatjmindjárt néhány példáját. A dualitás elméletének egyik főtele például a köv etkező : «Minden síkidom egy cen trikidom m etszete és m inden cen trikus idom egy síkidom vetüleEzt a nagyon szabatosan fogalmazott tételt kissé érthetőbkell ten nü nk . Nem mo nd több et és nem mond kevesebbm in t hogy a sík és a sugá rnya láb egym ás «duális megfelede ez az alapigazságok közé tartozik és egyben alapja a szgeo m etriájának. Mert a szemünk látósug arai (központnyaláb) mindenütt, ahová csak elérnek, «metszésbe jutnaegy síkkal, az egy síkra vo na tkoz tatott világgal s ha e kévilág ú tjá t vissza, a szem felé köve tem , akkor a fénykú«sugárnyaláb», nem más, mint ennek a világnak a vetítéA látósugaraknak a szemben történt kereszteződése utánduális folyamat mégegyszer lejátszódik. Mert most a szefenéken keletkező kép a nyaláb metszete.

Ezé rt és ilymódon tud juk csupán a láth ató világnak a kétetszésünk szerint bárm ely síkon előállítani, m ert a szmaga, az ú. n. centrális perspektíva törvényei szerint «rajzvagy «fest». Centrális perspektíván olyan projekciót kell énünk, amelynél a vetítősugarak központos nyalábhoz ttoznak. Ez az oka, hogy csupán centrális perspektívával éállított kép egyezik azzal a képpel, amelyet a külvilág kéként szemünk révén megszoktunk. S ezért hat minden «palel» perspektívával előállított kép többé vagy kevésbbé tmészetellenesen. És ez egyúttal annak a rejtélynek is a mfejtése, hogy miért nem látunk «valóságban» párhuzamegyeneseket. A centrális perspektíva ugyanis nem ismer p



207

huzamosokat. Szigorúan véve egyáltalán nem ismer ilyefA gyakor latban csak nagyobb hosszúságú párhuzamosokmutatkozik ez a hatás, mint pl. egy templomtorony élevagy pedig a távolban elvesző vasúti síneken. De fenti elmleti korlátozások ellenére a gyakorlatban megszoktuk, hominden műszaki tervet, rajzot, sőt a geometriai idomok narészét is parallel perspektívában ábrázoljuk. Ez onnan szmazik, hogy képzeletben a teret tisztán parallel perspekvikus tulajdonságokkal ruházzuk fel és szemünk álláspojáról valamint annak projektív tulajdonságairól nem veszütudo m ás t. De legyünk tisztában azzal, hogy e közben egy msik «valóságot», a nézés valóságát mellőzzük, vagyis eztvalóságot teljesen kikapcsoljuk. E hhez jár ul még egy másokörülmény is, és ezt itt meg kell említenünk. A különfégeometriai idomokkal kapcsolatban még egy feltevéssélünk, noha ez csak ami világunkból származó tapasztalaton alapul. Minden geometriai idomot ugyanis merev tenek gondolunk. H a nem tud nánk fából, fémből vagy kőb

golyót, kockát, báromszöget, kúpot, gúlát, oktaédert stelőállítani és háromszöget, négyzetet csak nedves itatópapírból, testeket pedig csak száraz homokból vagy valasűrű folyadékból tudnánk csak készíteni, akkor aligha szerhettük volna meg geometriai ismereteinket. Mert a fénysurak egyenesvonalú terjedése magábanvéve aligha lett volelég egy ekkora gondolatépítmény megteremtéséhez. Feltlenül gondolkodóba ejtenek ezek a Poincaré-tól és Dingltől származó megjegyzések. De másrészt viszont nem szabazt a következtetést levonnunk, hogy a geometria kizáróla «tapasztalatból» keletkezett. Mert nagy a különbség a fogmaknak tapasztalatból és a tapasztalattal kapcsolatban vakeletkezése közt, mint ezt már Kant is kimutatta. Legfeljeannak kijelentésére van tehát jogunk, hogy geometriai mószerünk merev testek elképzelhetősége és világunkban valétezése folytán fejlődött éppen ilyen médon. De ebből kövkezik az is, hogy miért képzeljük el a <cvalóságos teret» és

benne levő tárgyakat túlnyomórészt parallel perspektívábatehát a valóságos látással meg nem egyező módon.De kitérésünkkel vétkes módon félbeszakítottuk a dual

tás elvének vizsgálatát. M ondottuk , hogy csupán a pon t



208

egyenes közt fennálló dualitásra volt szükségünk, amiB rianchon tételét a P ascal-tételből levezettük. Ez termésis,mivelhogy a dualitás megfordítható, ú. n. egyegyérteegymáshozrendelés. Ugyanezekkel az eszközökkel a Patételt is levezethettük volna a Brianchon-tételbó'l. Mintétel szinte duális tétele tükörképének mondható. De hesebb,ha nem vesszük túlságosan szószerint ezt a tükrözéMert a duális tükör bizonyos értelemben torzító tükör. Mden alapalakzatot az ellenkezőjére fordít át. Helyesebb vvele kapcsolatban «varázstükörről» beszélni. De még megjegyzést: naagától értetődik, helyesebben magától lene értetődnie, hogy annak a tételnek, amelyből kiindulduális tételt felírjuk, bizonyítottnak kell lennie. Ne teksük magunkat felfedezőnek, ha valamely teljesen indoklan geometriai állításhoz a dualitás elve segítségével a dutéte lt felírjuk. P ascal tétele be volt bizonyítva, tehát Bchonnak, ha ismeri a dualitás-elvet, fel sem kellett voönállóan tételét fedeznie és be sem kellett volna bizonyítFoglaljuk tehát össze kijelentéseinket a következőkben valamely projektív geometriai tétel helyes és kellőképbebizonyítottuk, akkor a dualitás elve segítségével nemca hozzátartozó, megfelelő tételt lehet azonnal kimondhanem feleslegessé vált utóbbinak külön bizonyítása is. téve természetesen, hogy a dualitás elvét helyesen alkalmtuk és a különböző cseréket kifogástalanul végeztük. Dtiszta, világos és áttekinthető írásmód it t teszi a legjobb gálatot.

A következetesen kiépített s mindinkább kibővített ímód valósította meg azt, amint már említettük, hogy a jektív geometria geometriai burka egyszerre eltűnt és algoritmus maradt hátra. Ez az oka annak, hogy ma mvannak olyan geometriai könyvek is, amelyekben vonés rajzok helyett csak betűk, indexek és kombinatorikai letek láthatók. Tehát a szintetikus geometria győzelmeanalitikus felett tulajdonképpen világraszóló kibékülé

kiegyezéssé vált, és kiderült, mint a tudomány történsorán már annyiszor, hogy két különféle úton, nagyon elvidékeken keresztül haladva jutottunk ugyanoda és köznagyon sok új tudással gazdagodtunk.



209

Minden elméleti változáson kívül az új geometriának m

egy tisztán gyakorlati előnye is van. Számtalan, különöskúpszeletekre vonatkozó szerkesztést tesz lehetővé, legkülbözőbb perspektív torzításokkal, még pedig körző hasznlata nélkül. A «pusztán vonalzóval való» szerkesztés egyaz «új geometria* nagy eredményeinek. De még egy nahorderejű lehetőség fejlődött ki ebből a geometriából. Mihogy általa minden idom általános felépítési törvénye tanmányozhatóvá és az általános kombinatorikus algoritmusnalárendelhetővé vált , Grassm ann, Schlafli és mások meg tták szüntetni geometriánknak három dimenzióra való klátozo ttságá t. H a a nulla dimenziónak legegyszerűbb idom«simplexe» a pont, az egy dimenzióé vonaldarab, a távolsakkor a síkban, az Z?2-ben, a két dimenziós térben az a legegyszerűbb idom, amelynek nem lehet átlója. AzB2 simplexe,az Sz tehát a háromszög, illetőleg háromolda l. L J csúcsa lg ) oldala, illetőleg L J oldala és U ) csúcsa va n. A zaz 3 old

és 3 csúcsa. A z i?3-ban úgy kap juk meg az$3-at ha megfontoljuk, hogy egy Z?a teret csak 4, nem egy síkban fekvő ponthatároz m eg. Kombinatorikus értelemben ezt L j pon tntek inthetjük , amelyet (o) egyenes és L J lap köt össze, mikét pont mindenkor egy egyenesen, három pont pedig esíkon fekszik és ezeket nevezzük a pontok összekötő egye

sének, illetőleg síkjának. Az í?3 simpkxének tehát 4 csúcsa,6 éle és 4 lapja van. Ez a te trad er . Most foly tathatjuk kövkeztetésünket és kijelenthetjük, hogy az E4-ben, tehát a rettege tt negyfdik dimenzióban, asim plex az Lj , lg), lg),.[Atörvényszerűségnek engedelmeskedik, minthogy az eddigalapján négydimenziós teret öt pont határoz meg. Láttuugyanis, hogy az i?0-meghatározásához egy pont, azE1 meghatározásához két pont, az i?2-éhez három pont, az 2?3-éhozpedig négy pont kellett, tehát általában az í?n meghatározásához (ra+í) pont szükséges. Kombinatorikus képleteinből tehát az következik, hogy a négydimenziós simpl

14 Colerua : PythagorftBi



210

5 csúcsból, 10 élből, 10 lapból és 5 ha táro ló tes tbő l vagy «sből» áll. Általában azt mondhatjuk, hogy azn dimenziós sim-plexet az ( j j . í 2 ) * " ( w ) kiépí tési mód teljesenmeghatározza.

De még többet is mondhatunk. A modern geometria algritmusa lehetővé teszi, hogy akárhány dimenziós terekblevő testek kapcsolatait tanulmányozhassuk. Van példáolyan «metszési törvénye amely lehetővé teszi, hogy akhányméretű térben akárhánydimenziós idomok metszéséndimenziószámát m egha tározzuk. H a ugyanis két idom m éndimenziószáma kisebb, mint az őket magukban foglaló d dimenziószám a, ak ko r érvényes a következő összefügg

(á+1) =(n+1) + (w+ 1) - (n. m+1),vagyis d — n-\-m— n.més n. ma metszési idom dimenziószáma. H ad, mésn ismert,akkor wra=ra+v»—d. Mellékesen tegyük fel a kérdést, miegy egyenesnek és egy síknak a metszésidoma a térbeVagyis egyR^nék és egy í?2-nek az 2?3-ban. A képlet szerintw ra=l-l-2 — 3 = 0 , tehá t a metszésidom egyR0, vagyis egypont és ez szemmelláthatóan igaz. A négydimenziós térbké t sík az wm =2-J-2 — 4 = 0 összefüggés szerint,egy egyenesés egy test pedig az ? i w = l + 3 — 4 = 0 összefüggés szerszintén egy pontban metszi egymást, noha ezt semmiképpsem tudjuk elképzelni. Az ötdimenziós térben két test nm = 3 + 3 — 5 = 1 összefüggés sze rint egy egyenesbemetszi egymást, két egyenes pedig aznm = 1 + 1 — 5= — 3szerint egy pontban metszheti egymást, éppúgy, mint mszokott ff3-unkban, de, a nega tív eredmények általános értelme szerint, kitérő is lehet. Kitérhetnek, keresztezhetegymást egy általunk is ismert módon, de azonkívül még kszámunkra elképzelhetetlen módon is. Az i?7-ben már kétest is keresztezheti egymást, az 2?6-ban pedig metszésidomukegy pont.

A többdimenziós geom etria a tizenkilencedik század eglegnyugtalanítóbb eredménye, mivel kristálytisztán és méáttekinthetetlenül áll szemünk előtt. Bízzunk jobban az alritm usba n, m int a szemléletben? Merészkedjünk ki pusz tán



211

«ész szárnyain* az Én-be, amelynek csupán az i?8-ból kombina torikus eszközökkel ex trapo lált törvény eit ism erjük? Nhány matematikus arról biztosít, hogy ebben nincs semmisztikus, hogy ez éppen olyan veszélytelen és ártalmatlmint az a4, a5 stb. kifejezések és hogy nem egyéb, mint csak«számítás», amelyet egyáltalán nem kell elképzelnünk. Mincsupán logikus térben, gondolattérben, vagy későbbi nevkonfigurációs térben, vagy esetleg csupán egy kombinatoritérben van. ((Tapasztalathoz*, «valósághoz» a többdimenztereknek semmi közük. Még az sem biztos, hogy tapasztalterünk háromdimenziós. Az is lehet, hogy dimenziótlan vametadimenziós.

Itt már csak utalhatunk a dolgokra, mert a fejlődés leújabb koráig jutottunk el. Nem merünk itt semmiféle döntről beszélni, inkább ama sejtésünknek adunk kifejezést, hoa dimenzióprobléma, amely csak a projektív geometria ismretében vált igazán mozgékonnyá, még sokféle szempofigyelembevételével fejlődik tovább, mert tovább kellfej

lődnie, és ekkor a filozófiai és ismeretelméleti álláspont nfog utolsó szerepet játszani.Ne zárjuk le a fejezetet, bármily izgalmas maga a pr

blém a, a nélkül, hogy a dimenzióelmélet mega lapítójánaGrassmann személyének néhány szót szenteltünk voln1809-ben született Stettinben, teológiai és filológiai tanulmnyokat folytatott , a matematikában viszont autodidakvolt. Noha matematikát nem hallgatott soha, 1840-ben méletette a kiegészítő tanári vizsgát e tárgyból is, minthogtanárként ezt akarta előadni. 1844-ben megjelent «LineaAusdehnungskhre» című művét nem méltatták figyelemCsak amikor mint szanszkrit filológus (Wörterbuch zuBigveda), mint német népdalok kiadója, mint lapszerkes.már érvényesült, akkor tűntek fel, éppen Helmholtznak, elektromos áramra, színelméletre és akusztikára vonatkokutatásai, ö segítette azután a matematikust a megérdemelismeréshez, ami most már annál is könnyebb volt, me

már más matematikusok is foglalkoztak hasonló kutatásokal. Grassmann tanári pályája mártírium volt, tanítványelőtt nem volt tekintélye-, nem engedelmeskedtek neki, eadásai zajba fulladtak. Főképpen az ért, m ert ' Grassmann j14*



212

lemé csak jóságot, szerénységet és barátságos vonásokattalmazott.

Mint már mondottuk, e lángészből és különcségből östett furcsa ember megérte gondolatai igazolását és elismsét, fellendülésüket, sőt személyes hírnév is osztályrésjutott neki.

Kissé melankolikusan végződik ez az emberekben és talomban oly mozgalmas fejezet. Más összefüggésben szó lesz néhány, itt felvetett problémáról. És ott is alkmunk lesz néhány tragikus sorsú embert megismerni, mia tudományunk legmagasabb problémáinak érintése,.mihajdan Hellasban, ma is a hatalmas istenek haragját híki maga ellen.



TIZENNEGYEDIK FEJEZET.E Va r i s t e G a l o i s .

Matematika, mint általánosítás.Az a körülmény, hogy egyenletek minden fajtája és re

szere mindenkor kedvence volt a matematikai kutatásnmár csak azért is érthető, mert úgyszólván sehol sem mukozik meg annyira az algoritmus varázshatalma, mint épezekben. Valami ismeretlen. És nem használ a gondolkomegtalálására. Gondolatmenetek és számok, összefüggéés kísérletek csak zavart keltenek és csődöt mondanak. Ekelőveszünk valami silány papírlapot, kezünkbe vesszükceruzát, «felírjuk» az egyenletet és minden továbbit bizalmai és kíváncsian rábízunk az eljárás-automatára. És mkapjuk az eredményt olyan pontossággal, amint csak kívá

Nem, sajnos, nincs így! Nem kapjuk meg mindig eredményt, mert minél magasabb az egyenletnek a «fokannál nagyobbak a nehézségek és végül csalódunk a fegyben, amelyet már büszkén tartottunk kezünkben. Igfelírtuk az egyenletet. H a megoldottuk, megfelel kérdésünHacsak ez a «fokszám» minden továbbit lehetetlenné ntenne.

Eddigi kutatásainkból tudjuk, hogy nagyon hamar fbukkan ez az akadály.A harmadfokú egyenlet és még inkábba negyedfokú, különböző bonyolult kerülő utakkal oldhcsak meg és még ezek a megoldások is csődöt mondanak«irreducibilis» esetekben. De fizikai és technikai problémákbanegyáltalán nem lehet az ismeretlennek eleve előírni, hoegy esetleg életbevágó fontosságú problémában hányahatványon forduljanak elő. Segélykérően fordul a fizi

vagy mérnök a matematikushoz. És ez sajnálkozva vonogvállát, hacsak a véletlen nem ad neki lehetőséget valamil



214

mesterfogáshoz, hogy vele a magasabb fokú egyenletet moldható fokszámra visszavezesse.

De ebben a sötét ügyben, e matematikai botrányba(igaz,, ez csak egyike tudom ányu nk botránya inak) az vollegrosszabb, hogy még azt sem tudták, vájjon a megoldlehetetlensége vagy pedig csak tehetetlenségük zárja elmagasabb fokú egyenletek m egoldásához vezető u ta t.A tizenhetedik ós tizennyolcadik században nem egyszer remélthogy a jövő hamarosan világosságot hoz ezen a téren is. annál valószínűbbuek látszott, mivel Euler sok új fénny

világította meg az egyenletek világát és Cramer, Lagrangkésőbb pedig Cauchy igen sok új, az egyenletek tanára vonkozó adatot fedezett fel. Az «algebra alaptételéről* nem szólva. Ez ugyanis azt mondja, hogy minden egyenletnannyi megoldása van, amennyi az egyenletben az ismeretlegmagasabb hatványkitevője. Ez a tétel, amelyet mindenksejtettek, sőt néha alkalmaztak is, először 1629-ben Giranál fordul elő pusz ta állít ásként, Descartes és az őt kövealgebristák többé-kevésbbé feltételezik, d'A lembert 174ban igazolja és végül Gauss a tizenkilencedik század első tizedeiben többféle bizonyítással vitathatatlanná teszi.

Hagyjuk most az egyenletek tanának elvi ismertetésécéljainknak megfelelő mértékben ismerjük már, fordítsinkább figyelmünket két olyan életrajzra, amelyek hőseit mdenkor az egyenletek mélyebb megismerésével együtt fogem legetni. A két hős Niels H enr ik Ábel és Eva ris te Gal

Ábel a norvégiai Einhöben, 1802-ben született. Az ottalelkész fia volt és a sors már abban a korban háromszorosmegbélyegezte, amikor más ember még pirospozsgás archancúrozik a hóban és jövendő boldogságról álmodoziSzegénység, epilepszia és melancholia kísérték egész életegy olyan életen keresztül, amely hatalmas teljesítményellenére sem volt igazi élet. Észak fiának gyenge keblébmégis fékezhetetlen démoni vágy izzott s az különösen mam atikai tér re hajto tta és lehetővé te tt e , .hogy az ifjú embautodidakta létére is mélyen behatoljon tudományunkrejtelmeibe. Már 1822-ben Christiania egyetemének hallgatős 1823-ban azt hiszi, hogy egy világraszóló felfedezés vé«gy kis fénysugarat hoz borús életére. A zt h it te ugyanis, h



215

a matematika történetében elsőnek sikerült neki az ötödfoegyenletek általános megoldását megtalálni. A következő belső tragédiája alig képzelhető. Sejtjük csupán, hogy lázéjszakákon jön rá «felfedezése» fokozatos bomlására és arhogy remélt szerencséje is vele együtt tűnik el örökre semmiségbe. Kétségbeesetten méri 1824-ben ő maga saelméletére a döntő csapást. Bebizonyítja, ezúttal szintelőször a történelemben, hogy ötödiknél magasabb fokegyenletek általában gyökjelekkel nem oldhatók meg, sorsa ezzel újból kedvező lendületet vesz. «Illetékes helyazonnal felismerik e látszólag negatív tény nagy jelentőségHisz ez mindörökre határt szab a kutatásnak, feleslegestesz hiábavaló fáradozásokat. íg y egy kicsi, de mégis számtevő ösztöndíjhoz jut. Új reménysugár dereng Ábel szemelőtt, Berlinbe utazik Crelle-hez. Ez alapította meg 1826-ba híres Orelle's Journalt, a matematikai értekezések hírorgánumát, de mint szervezőnek matematikai téren egyéként is igen nagyok az érdemei. Ebben a Journalban tesközzé Ábel az ötödfokú egyenletekre vonatkozó alapveku tatá sa it, valamint a binomiális sor konvergenciájára vonkozó kutatásainak eredményét. Utóbbiban Cauchy ereményei is befolyásolták. Ábel még 1826-ban Parisba utaza már akkor is világhírű Cauchy látogatására, akit ő a távból is mestereként tisztelt. Cauchy jelleme azonban uoksznem állt arányban teljesítményeivel és gonosz természeténnem egyszer tanújelét ad ta . Nem fogadta Á belt. Ehhez foghtragédiát kigondolni is nehéz. Ösztöndíjának, korrepetálhonoráriumainak nehezen összekuporgatott utolsó filléreiutazott Ábel Páriába és éppen ott talált zárt ajtókra, ahoőt érdeklődésén kívül még nagy szellemi vonzalom is vitDe még ez sem törte meg végleg a szerencsétlen ifjút, nobetegsége is egyre súlyosbodik. Lángesze még egy óriási tevisz véghez. Felfedezi és nyilvánosságra hozza a róla enev ezett A bel-féle té te lt, amely az elliptikus integrálok Euféle összeadási tételének általánosítása. Itt csak annyi jgyezzünk meg, hogy elliptikus integrál kb. azt jelenti, hoaz integrandus bonyolult irracionális kifejezés, mint a kvetkező két példában :



216

A gyakorlat sokszor vezet ilyen integrálokra, megoldásnehézsége már régóta ismeretes volt, ezért gyakoriak vola megoldásukra irányuló kísérletek. Ábelnek még az ilyintegrálok inverziójának megoldása is sikerült, és vele egymegoldotta az elliptikus integrálokkal szorosan összefüglemniszkáta-osztásnak problémáját is. Ebben az időben Ákomplexszámokkal is foglalkozik.

P aris ból hazaté rve Ábel Gausst is fel ak ar ta ke resnakinek híre akkor m ár tetőp on tján volt. De Oauchyval ttapasztalatai annyira bátortalanná tették, hogy hirtelen g

aások fog ták el és ezek egészen a félelemig fokozódtak. H albetegen menekül vissza Christianiába, ahol rövid ideig éheés fázva bolyong, hogy valami szerény álláshoz jusson. Siktelenül. 1829-ben halt meg. Néhány nappal halála utáérkezett Christianiába az az anyagi ós szellemi szempontis nagyjelentőségű levél, amely őt Berlinbe hívja és a halo1880-ban a francia Akadémia is díjjal tünteti ki.

Nem fűzünk megjegyzést ahhoz a pokolhoz, amelybe a lángész ártat lanul jutott . Kis jóakarattal tudhatták volróla, hogy lángész. A Crelle's Journal minden olvasójántudnia kellett, s ezek voltak azok a bizonyos szakköröA nagy emberek legrejtélyesebbjének, Gaussnak is tudkellett, hisz róla halála után kiderült, hogy ő a tizenkilenceszázad f lső évtizedeiben, teh át m ár húsz éve, saját ku tatáalapján ism erte Ábelnek úgyszólván minden felfedezését, elha llgatta azok at. De mindenek felett tu d ta Jacobi, aki, tjesen ártatlanul, valószínűleg oka volt Ábel korai halálán

Vele versenyzett ugyanis Ábel az elliptikus integrálok méletének felépítésében, tudva, hogy ő is foglalkozik veés ebben merítette ki végső erejét. De ne hullassunk farizekönnyeket, mert mindannyian segítettünk már méltatlanés hagytunk cserben érdemeseket s némely embernek azsorsa, hogy noha kellőképen értékelik őket, mégsem száel magát senki érdekükben valamilyen tettre.

Ábeléhez hasonló ba lsors sú jto tt egy másik ifjúrais.Enneksorsa legalább ugyanolyan tragikus, mint Ábelé, de az katasztrófáját nem külső, hanem belső okok idézték eParis mellett Bourg-la-Eeine városban 1811-ben születegy gyermek, a neve Evariste Galois, s már 1823-ban el k



217

lett hagynia a szülői házat, hogy bevonuljon a «Louis

Grando kollégium negyedik osztályába. Alig volt EvariGalois 15 éves, már megnyilvánultak rendkívüli matematiképességei. Ezek olyan nagyszabásúak voltak, hogy már ntörő dö tt a tankönyveivel, hanem elm erült a m atem atika akismert klasszikusainak, elsősorban Lagrange műveinek nulmányozásában. Picard, akinek ezeket és a további adakat is köszönhetjük, azt állítja, hogy Galois alighanem m17 éves korában nagyjelentőségű matematikai felfedezésbirtokában lehetett. Sajnos, Galois fiatalkorából szármaírásai, amelyeket az Akadémia elé terjesztett, elvesztek.Igen nagy volt abban az időben a már említett pári«Ecole polytechnique» híre. Azt is említettük már, hogy az iskolát De Monge, a hadimórnökkari tiszt alapította. Nhány évtizedes fennállása elég volt ahhoz, hogy Franciaorskormányzása matematikusok és mérnökök kezébe kerüljOlyan körülmény ez, amelynek még a mai Franciaországbis megvan a hatása, mert egy «technokráciának» más a jelle

mint egy «jusztokráciának» vagy egy olyan <<literatokrácnak», amilyen az évezredek folyamán Kínában fejlődöhatalmas méretűvé.

Egészen term észetes, hogy egy Galoishoz hasonló fiatember magától értetődőnek tartja, hogy pályáját az Ecopolytechn ique hallgatójaként kezdje. Tizennyolcéves koráb1829-ben felvételi vizsgára jelentkezik ott, de kétszer is mbukik, mert megtagadja az általa nevetségesnek és felelegesnek tartott kérdésekre, ilyen pl. logaritmusok számtelmélete, a feleletet.Egy Galois megbukik a felvételi vizsgán matematikábegy olyan ember, akitől abban a korban a legnagyobbakcsak tanu lhatta k volna : ezzel m egkezdődött a tragéd iáPicard azt állítja, hogy nagyon szomorú módon fizette ma fiatal ember lángesze á rá t. A mily m értékben fejlődtek mmatikai képességei, ugyanolyan mértékben borult el jelleis,pedig az egykor vidám és nyílt volt; hatalmas fölényén

érzése exaltált gőggé fejlődött.Galois mélyen megbántva a szintén De Monge által alpított Ecole normálé hallgatója lesz. De ezt az iskolát el kell hagynia egy éven belül «illetlen magaviselet* mia



218

Ezzel azonban megszakadt az utolsó polgári kapcsolata

Galois a politikára veti magát, elfogják, több hónapot ta «Sainte Pelagie» fogház rácsai mögött, de a matematiilyen események kö zepe tte sem tévesz ti szeme elől. Á vékatasztrófa előzményeiről nincsenek pontos adataink ; cssejthetünk egyet-mást, ha egy régi metszeten megnézzmakacs, szinte oroszos vágású arcát. És akkor azt hisszühogy ezt a nagyon fiatal te st e t, ezt a keskenyvállú fiút a belakozó démon szinte széjjelszaggatta. Valamilyen szerelmhistóriából indult ki állítólag az a veszekedés, amely vépárbajra vezetett. Talán egy másiknak a menyasszonyfelesége, szerelmese ke dv elté meg túlságosan az ifjút. TalCsak az bizo nyos, hogy Galois nem von ta ki mag át férkötelessége alól, noha tu d ta , h ogy az ő lángesze pótolhta tla n . E párbaj áldo zata le tt, 1832. május 31-én, am ikor mhuszonegyéves sem volt.

A zutolsó éjszakán,halála,előtt, amelyetügyMiszik, megsejtett, levelet írt barátjához, Chevalierhez. A szellemtörté

egyik legmegrázóbb okmánya ez a levél, hisz e matematiértekezés minden sora mögül a Pusztító csontos ujjai és üszemgödrei villannak elő és a fogalmazás kétségbeesett szszavúsága arra az igyekezetre vall, amely&iutolsó órákbanakarja kicsikarni mindazt, aminek megérlelésére még esetévek kellettek volna.

De it t se érzelegjünk, ne bánkódjunk olyan em berérak i büszkén, gőgösen h al t meg és «végrendeletében» sad hangot engedékenységnek vagy gyengeségnek. ÉppGalois bizonyítéka, fénylő példája annak, hogy a matm atik a, ha a közönséges m ér téke t meghaladja, férfiak doa szó legjobb értelm ébe n. A m atem atika istentisztelhivatás, megvilágosodás, és egyben Isten közelsége és valóság bódulata. Jaj annak, aki a világ mozgatóerejcsupán sallangnak, száraz semminek, vagy tudósok hóbornak nézi. Megragadja majd egyszer e kozmikus hatalom egvégső fuvallata és száraz falevélként sodorja a történele

szemétdombjára. Biztos és világos, hogy nem foglalkozmindenki matematikával és nem is kell vele minednkinfoglalkoznia. De az is kétségtelen, hogy a matematika tadása •bűn a szellem, a kultúra és az emberiség emelkedé



219

ellen. E szavakkal tar toztu nk P yth ag oras , A rchiniedeLeibniz és Galois szellemének.

De tegyük most félre a bátor ifjú földi balsorsát, és aoly korán elhunytnak üstököshöz hasonló pályafutását, hoannál világosabban kiemelkedjék mindaz, ami a matematiban Galois működése következtében hatalmassá, sőt talkorszakalkotóvá fejlődött. S az ifjú hírnevének emlékművaranyos betűkkel fénylik a felírás : «csoportelmélet». Kevemond nekünk egyelőre ez a szó, pedig mindazt magábfoglalja, am i ma a m atem atik a legfelső fokát jelen ti. És ébresztette a legnagyobb szellemekben, így Os-wald Spengben is, azt a gondolatot, hogy ezzel az elmélettel a matmatika felül nem múlható általánosságra tett szert és örökmegmerevedett. Már itt megjegyezzük, hogy nem osztjuk a felfogást, mert tudománytörténeti tapasztalatok szerinincs a megismerésnek ilyen «végső állapota*. Viszont ugyúgy hangsúlyoznunk kell azt is, hogy az «általánosság» fejezés a legnagyobb mértékben érvényes a csoportelméle

Ennek kifejtése azonban nem könnyű kereteink közötIsmét egész kötetet kellene írnunk, ha azt akarnók, hogy elmélet leírása félig-meddig teljes és tudományos szempoból hibátlan legyen. De a korlátok ellenére is kötelességünnek érezzük, hogy ne dobálódzzunk csupán nevekkel és szkifejezésekkel úgy, ahogy azt néh ány tud om án ytö rténe tteszj.É s m ost éppúgy, m int eddig, töb bre becsüljük valam i havány ismeret megszerzését a teljes tudatlanságnál. Annálinkább, mert az ilyen vázlatos ismertetés gyakran buzdía tehetséges érdeklődőket, hogy művészetünk mestereitszigorú, pontos és teljes tudást szerezzenek.

A m odern ma tem atika szám ára a csoport fogalma éppolyan alapvető jelentőségű és termékeny fogalom, mint a mérték, a nagyság, a függvény fogalma. Csak elvontabbáltalánosabb, mint a felsorolt kategóriák. Ezért csak lassés tapogatódzva igyekszünk célunkhoz jutni. Nagyon kevemond nekünk egyelőre az a kijelentés, hogy csoportnanevezzük a dolgok olyan ren dszerét, amelynek van nak binyos «csoporttulajdonságai». Miféle «rendszer» és mifé«dolgok»? Azt feleljük, hogy a csoportot alkotó dolgok nageltérők lehetnek, H am arosan pontosabban is megfogalmaz



220

ezt, de lássunk előbb néhány példát a matematikából. Te((matematikai dolgok rendszerét*. Mert tulajdonképpen nis szükséges, hogy matematikai «do!gok» legyenek. Denöveljük azavart,jelentsük ki, csak úgy felületesen, hogypéldául csoport a természetes számok összessége. Valamelogaritmus szintén. Vagy a teljes elemi geometria. Vagyösszes,n elemből alkotható permutációk. Vagy összes, bzonyos alakú egyenlet, például az összes algebrai egyentehát azok az egyenletek, amelyekben csak algebrai jefordulnak elő. Vagy valamennyi szám, amely bizonyos szmal osztva ugyanazt a maradékot adja, stb.E csoportelméletnek egyáltalán nem csupán az a célhogy megállapítsa, vájjon a dolgok rendszere hozzátartozvalamely csoporthoz vagy sem. Inkább annak pontos mérveit keresi, hogy csakugyan csoporttal van-e dolgumert ettől függ megint az is, hogy bánhatunk-e az egéssmint csoporttal, tehát kapcsolatba hozhatjuk-e más csoptokkal és hogy egyik csoport belsejében fennálló összefüsekből következtethetünk-e a másik csoport összefüggéseE gondolatok szemléltetésére egy számunkra is hozzáférhpéldát, még pedig a logaritmusok példáját vesszük eHigyjük el minden további bizonyítás nélkül, hogy a ranális számok, és logaritmusaik csakugyan egyaránt cportot alkotnak. Mindkettő bizonyára végtelen csopominthogy végtelen sok racionális szám van és végtelen a nekik megfelelő logaritmus is. A számok, illetve a logmusok a két csoport «elemei». A csoportelmélet szerintelső csoporttulajdonság az, hogy van előírás, amely a csovalamely8 elemét és egy másikT elemét egyértelműen összekapcsolja, vagyis egyST-tdefiniál. Az összekapcsolás módjaegyáltalán nincs meghatározva, továbbá az S és aT azonoselemet is jelenthet. A két elemet tehát összeadhatjuk, vonhatjuk, szorozhatjuk stb . és ekkor— ez a második csoporttulajdonság — az összekapcsolás eredményének ismétcsoportba tartozó elemnek kell lennie.A racionális számoknález a tulajdonság egész közönséges. Két racionális szszorzata ismét racionális szám. Két logaritmus összege islogaritmus. Példáinkban meghatározott összekapcsolási dokat vettünk figyelembe. Ez természetesen megengedh



msó't adott esetben szükséges is. Az asszociatív tulajdonskövetkező csoporttulajdonság. E szerint(ST)Uugyanaz,mintS(TU),vagyis az elemeket a kapcsolásnál tetszésszerinkomplexumokká vonhatjuk össze a nélkül, hogy az eredmváltoznék. ígypl.(3 • 5) • 8 ugyanaz, mint3 • (5 • 8),és (log 3 ++log 5)+log 8 ugyanaz, mint log 3+(log 5+log 8). Nköveteljük, hogy a kommutativitás is csoporttulajdonlegyen, mert éppen a nem kommutatív csoportok igen dekesek. A zt mondtuk : «nem követeljük*. A rra akarezzel utalni, hogy a csoportfogalom nem a természettel avalami, hanem egy definícióval megállapított dolog, amakárcsak egy axiómarendszer, más fogalmazású is leheDe nem bocsátkozhatunk most mélyebben ilyen igen nyolult, a matematika alapjait érintő vizsgálatokba. Inka negyedik csoporttulajdonságot vesszük szemügyre. Ezkívánja, hogy legyen a rendszerben egy egységnek neveelem, amelynek az a különleges sajátsága, hogy az elkapcsolási módot alkalmazva, a csoport minden elemét tozatlanul hagyja. Ilyen pl. racionális számok szorzással összekapcsolásánál az egység (1). Mert minden racionszám eggyel szorozva ismét ugyanazt a racionális számadja. Az összeadás útján összekapcsolt logaritmusok esaz egység, általánosan fogalmazva, az alap nulladik hatvának a logaritmusa, vagyisaloga° amelynek értéke mindenkor0. H a az alap10,akkor mindig igaz, hogy log 10°+ logn== l o g l + l o gn=logn. Végre az ötödik és egyben utolsócsoporttulajdonság azt követeli, hogy legyen a csoportminden8 elemhez egy olyan tulajdonságú inverz elemamely az előírt kapcsolási móddal az elemből az egysécsinálja. Ezt néha a reciprok elemnek is nevezik. Racionszámok szorzásánál ez az inverz elem a szám reciprok értMert3 • - Ö - = 1 ,és ez megfelel követelésünknek.Az összeadás-osal kapcsolódó logaritmusok esetében az inverz elem —lon,mert logn-\-(—log n)=0, vagyis az «egység», az "log a°.

Felületesen szemlélve mindaz, amit elmondtunk, unalmjátéknak vagy káros körokoskodásnak (circulus vitioslátszik. Vagy legjobb esetben valamely rendszer logikvizsgálatának. Annyit elárulhatupk azonban,—többet saj



mnem lehet — hogy a fent előadott csoporttulajdonságokoncsoportdefiníeiókon egy egész algoritmus épült fel, amlehetővé teszi, hogy egy előttünk ismert és számunkra hozférhető csoport tulajdonságaihói egy más csoport tulajdság aira köv etkez tethessün k. H a ug yanis ké t csoport «izoroakkor hennük az összekapcsolási mód ugyanaz és elemolymódon rendezhetők, hogy az egyik csoport két vagy telemének összekapcsolásából adódó eredmény ugyanazohelyen áll, mint a másik csoport megfelelő két vagy töelemének összekapcsolásából adódó eredmény. De ha állapíthatjuk meg, miként a mi racionális számokról és loritmusokról szóló példánkban, hogy az egyik csoportbanösszeadás analóg helyen adja az eredményt, mint a szora másik csoportban és viszont, akkor egy transzformációvan szó és meg lehetünk győződve, hogy ez az összefügfeltétlenül fennmarad. Lehetséges az az ellenvetés, hogylogaritmikus tulajdonságok* teljesen «általánosan» is bizonhatók, nincs tehát szükség csoportelméletre a bizonyításhEbben az esetben helyes ez az ellenvetés. De csak azért, vel a példát elemeinek ismert volta miatt választottuk ím eg. Szám talan m ás vizsgálatnál és transzformációnál visznem jogosult. Nem jogosult pl. már azoknál az átalakításnál sem, amelyeket röviden «szubsztitucióknak» is nevezés amelyek néhány példáját Diophántos és Cardano egyleteivel kapcsolatban ismertük meg. Mert csak a csopoelmélet segítségével vált lehetségessé, hogy némely esetszinte megjósoljuk azt, hogy az egyenletek milyen tranformációja fog célhoz vezetni és milyen nem. Sokszor tmészetesen hallatlanul nehéz az egyes esetre a csoporttudonságot megállapítani. Vannak viszont tételek és mószerek, amelyek lehetővé teszik, hogy bizonyos tulajdoságokból a csoporttulajdonságok létére következtethessünoha ezek a tulajdonság ok első pillan atra egyáltalán nhason lítanak az álta lun k felsorolt öt csoporttulajdonságh

Eöviden, a csoportoknak egész algoritmusa épült már ós nem csupán a konkrét csop ortok ra. M egteremtették «absztrakt csoport» foga lmát, ennek is megvan a maga alritm usa és ezzel megvizsgálhatjuk a csoportok legáltalánosszerkezetét is. Egyenesen szédítő az absztrakciónak az



-223

m agas foka, ame lyre e közben szükség van , m er t az algebés geometria fölé először egy második általánosabb építmékerül, amely azokat csoportelméleti szempontból magábfoglalja. De e fölött ha rmadik rétegk én t te rü l el a legáltanosabb absztrakt csoportelmélet, amely a geometriák, egyletek és modulrendszerek nyalábjával úgy bánik, mint alsóbb algebra a konkrét számokkal.

Varázsszőnyegünkön majdnem a legújabb időkig száltunk. A csoportelméletnek az a fejlődése, amelyre utaltucsak Galois után következett be Camille Jordán, Sophus Lés Félix Klein működése nyomán, hacsak a legfontosaneveket akarjuk említeni. Vissza kell azonban most térnüfejezetünk tragikus hőséhez, Evariste Galois-hoz, aki utoföldi éjjelén C hevalierhez ír t levelében le rakta a csopoelmélet alapjait, kemény, sokszor szinte titokzatos szavakks arra kérte barátját, hogy levelének tartalmát ne csak nyvánosságra" hozza, han em közölje külön Gaussal és Jacoval is. Nem azért — mondja Galois — hogy megállaptásaihelyesség ét elbírálják, hanem azok rendkívü li hordermiat t ,

Galois, mint Lagrange és Cauchy tanítványa, (közülüutóbbi már bizonyos csoportelméleti kérdésekkel is folalkozott) az egyenletek taná tól ju to tt a csoportelmélethGaloisnak tudom ása volt Ábel «redm ényeiről, tu d ta , honincs remény negyediknél magasabb fokú egyenletekngyökjelekkel való megoldására. Kivételes esetek termszetesen megoldhatók, még pedig azok az esetek, amelyeksikerü l ügyes mesterfogással v ag y transzform ációkkal egyenlet fokszámát negyedik vagy még alacsonyabb fokleszállítani. Ezt a lehetőséget általában nem lehet valameegyenleten eleve felismerni, még kevésbbé lehet egy ilyátalakítás lehetetlenségét csak félig-meddig megbízhatóis állítani. Itt fogott Galois munkához és az út, amelyet mta to tt , anny ira alap vető és geniális, hogy Galois nevét mdenkor a legnagyobb matematikusoké közt kell említeFeltette ugyanis általában a kérdést, hogy milyeneknekell egy w-ed fokú egyenlet együtthatóinak lenniök, hogyegyenlet redukcióval megoldható legyen. Az ismeretlen hványaitól nem füghet a megoldhatóság, mivel az ismeret



mugyanolyan hatványai, de különböző együtthatók esetegyik esetben lehetséges a redukció, a másikban nem. Galois a csoportelméleti vizsgálati módot ott találta fel, aa legbonyolultabb, mégpedig a permutációs csoportokoEgy permutációs csoport biztosan véges. Mert véges száelembó'l csak véges szám ú perm utác ió alkoth ató . A. lehetspermutác iók száma ? i !=1 .2 .3 . ..n. Permutáció két dolgotjelent. Eló'ször az elemek megtörtént átcsoportosítását, ebaz értelemben 1243 egy permutációja a kezdeti 1234 pmutációnak. De az áthelyezés műveletét, tehát a «permutá

műveletét* szintén, nevezhetjük perm utációnak . E másoértelemben használja a csoportelmélet a permutáció fogalmés a szó általánosabb értelmében vett szubsztitúciónak nevezi. Helyezzük most az egyik sorrendet a másik helyéakkor az első helyeken bekövetkezett változások a pemutációs csoport elemei, de közben identikus permutációkelőfo rdulhatnak , vagy is 123-ból ismét 123 lesz. Ugyanazszámjegyeknek két permutációját, mondjuk azt, amelyik123 csoportot 312-vé és azt, amelyik a 123 csoportot 132változtatja, azzal kapcsolhatjuk össze csoportelméleti szepontból, hogy egymásután végezzük el őket. Az első pm utáción ál az 1 helyébe 3, a másodikn ál a 3 helyébe 2 keha mindkettőt egymásután végrehajtjuk, akkor az 1 helyé2 kerül. Az elsőnél továbbá 2 helyébe 1 kerül, a második1 helyébe 1, összesen tehá t a 2 helyébe 1 k e rü l; végül ahelyébe 2 és a 2 helyébe 8, összesen tehát a 3 helyébe 3 keE kapcsolás eredménye a csoport új eleme, ismét a 123 p

mutációja még mindig 213. Hasonló módon folytathatnés a folyam atot megfelelő írásm óddal egyszerűbbé , biztosaés áttekinthetőbbé tehetnők. De a részletek ismertetémessze meghaladná kerete inket, úgyhogy csak szakkönyveutalhatunk. Azt azonban megállapíthatjuk, hogy mint ulásaink mutatják, permutációkból is alkothatok valódi csportok, olyanok, amelyek valamennyi csoportsajátsággal rdelkeznek. Evariste Galois pedig — ez volt előbbi fejtegtéseink célja — tetszéssze rinti egyenlet egy üttha tóinak pmutációit vizsgálja és ezáltal egy egyenletből az egyenletegész csoportját fejleszti ki. A szubsztitúciókat, a permutáckat továbbá abból a szempontból vizsgálja meg, hogy lehe



225

belőlük alcsoportokat kapni. Ez a vizsgálat volt az egésznfőcélja, mert egy ilyen alcsoport tartalmazhatja egy egyenmegoldható formáját. H a tov ábbá felfedezhető az, hogyfőcsoport miként állítható elő bizonyos alcsoportjaiból, akez a probléma megoldását jelenti. Ismételjük kissé világsabban : az első lépés valamely egyenlet együtthatóiból kotható permutációs csoport felírása. A második, ennalcsoportokra való bontása s ezek közül egyik vagy másegyütthatók eltűnése következtében, legfeljebb negyedfoegyenletre vezet. A harmadik lépés az a kísérlet, hogy ez

ből az alcsoportokból bizonyos segédkomplexumok segségével összeállítsuk a főcsoportot. H a ez sikerül, akkm-edfokú egyenlet (m>4) olyan egyenletekre redukálhaamelyik gyökvonással megoldható.

Nehéz elképzelni, hogy miként tudta a még alig 21 évifjú az addig alig kifejlődött csoportszerkezeteket a legnezebb oldalukról annyira áttekinteni, hogy még gyakorlatbis alkalmazni tudta őket. S minden szellemi alkotással folalkozó számára ijesztő ama teljesítmény elképzelése, amviszálykodások, politika, fogság, szerelem és párbaj könéhány hónap alatt annyira jutott , hogy pontosan mefogalmazhatóvá vált. És a levélnek csupán az első részét tmeg a csoportelmélet, második részében legalább ugyaannyira csodálatos megállapítások foglaltatnak az elliptikintegrálokról, azokról, amelyeknek végleges megoldása cEiemanntól és Weierstrasstól származik.

A levél végén egyszerűségükben is annyira megrázszavak állnak, hogy ide kell iktatnunk őket. B szavakkövetkezők : «De nincs már időm és e hatalmas terülevonatkozó gondolataim még nem fejlődtek ki teljesen. E velet ki fogod nyomatni a ,Bevue encyclopédique' hasábjÉletemben sokszor mertem olyan javaslatokkal előállamelyekben még nem vo ltam biztos ; de m indaz, amit leírtam, már majd egy éve megvan, habár csak a fejembés nagy on is érdekem , hogy ne tévedjek, nehogy azzal gya

síthassanak, hogy olyan tételeket fejtek ki, amelyeknek nismerem tökéletes bizonyítását. Meg fogod kérni Jacobit Gausst, hogy mondják meg véleményüket, nem tételeiigazságáról, hanem fontosságukról. Ezek után remélem, le

15 Colerus: P ythagoras.



mnek emberek, akiknek előnyére válik, ha e zűrzavaros sorokibetűzik. Forró szeretettel ölellek.. .»

Ezek az utolsó szavak, melyeket az oly korán elhunyt örökkévalóság számára mondott. Összes művei, Picard adásában, csupán egy vékony, 61 oldalas kötetet tesznek De tettei a matematika általánosítása terén oly hatalmlépést jelentenek, hogy joggal mondhatjuk őt Ábel mella modern algebra első megalapozójának.

Már említettük, hogy a csoportelméletet különösen Jordépítette tovább. Közben azonban korábbi felfedezések tö

irányban fejlődtek s ezek is fegyvereket szolgáltattak algebra általánosításához. E felfedezések közül egyiket sztén említettük már, mégpedig a determinánsokat. E nagszabású algoritmus alapelveit Leibniz egyik l'Hospital-hintézett levelében már tisztán és világosan kifejtette, s úglátszik, jelentőségükk elis teljesen tisztában volt. Levele végénugyanis azt írja : «Itt látjuk azt, amire már utaltam, hogyalgebra tökéletesítése a kombinációktól függ». De Leibnvagy idő híján, vagy pedig mert a végtelen analízist sürgsebbnek és fontosabbnak tartotta, nem építette ki sokígérő algebrai-kombinatorikus felfedezését, úgyannyira, hidevágó érdemei teljesen feledésbe merültek. Ennek kövkeztében Gábriel Cramer 1750-ben újból ugyanarra a ffedezésrejutott s annyibó l tek inthe tő jogosan a determinánfelfedezőjének, hogy minden későbbi kutató az ő műve nmán indultel.Elsősorban Lap lace, Lagrange, Gauss és CauchyA legutolsó használja először a «determmáns» kifejezé

csodálatosképpen egy idő múlva felhagy vele és helyette«fonction alternée» elnevezést alkalmazza.Csak Carol Gustav Jacob Jacobi tette 1841-ben megjele

művében («Über die Bildung und die Eigenschaften dDeterminanten») ezt a matematikai kategóriát a matmatikusok közkincsévé.

Később egy angol matematikus, Sylvester, aki a deteminánsok elméletét az invariánsok elméletévé általánosítoazt m on dta róluk : «Mi is alapjában véve a determinánselmélete? Algebra felett álló algebra ez, számolási eljáramely lehetővé teszi számunkra, hogy kombináljuk s elő



227

megmondjuk algebrai műveletek eredményét ugyanúgamint az algebra segítségével megtakaríthatjuk az aritmetegyes műveleteinek végrehajtását)).

E hivatott szájból származó szavakra újból fel kell figynünk, amint hogy felfigyeltünk akkor is, mikor a csopoelmélet közelebbről szemügyrevéve az algebra algebrájánbizon yu lt. Mindenki feltehet m os t a ké rdé st, aki eddicéljainkat ismeri, mik azok a rejtélyes determinánsok. Eárulhatjuk róluk azt is, hogy a Cramer és Jaeobi közt eltidőben a legjelentékenyebb matematikusok számára bizonfajta titkos vagy magántudomány szerepét játszotta.H ogy e kérdésre felelhessünk, egy kis kitéré st engedümeg m agu nknak . Leibniz óta, szám ítás közben, egy áhida lhatatlan akadályra bu kk ant minden algebrista. H a eegyenletrendszert akartak megoldani, amely nem is túlsegyenletből állt, akkor az úgynevezett megoldásrendszerolyan bonyolultakká váltak, hogy egész oldalakat metöltöttek és számtalan hibalehetőséget rejtettek. De htetszésszerinti számú egyenletet akartak megoldani, tehn egyenlet általános megoldását keresték, akkor nem voalgoritmus és nem volt írásmód, amely erre képes lett volpedig legkülönbözőbb algebrai és geometriai okok miakerestek ilyen általános megoldásokat.

A kere sett segédeszköz éppen a dete rm inán s fogalma voEnn ek bem utatásá ra, a nélkül, hogy a szám talan részlkérdésbe is belemerülnénk, egy egyszerű példán bemutatja gondolatmenetet. Legyen két egyenletünk, jelölje ezek/n és /2. Ké t lineáris, kétism er etlenes egy enletről va n szóEzek a következők :

/ i —auxi + ^ a3* + H —0/a = <h&i.+ a2xc2 + cs — 0

H am arosan ki fog derülni, hogy m iért írtun k az egy ütthamellé kettős indexet. Nem «a tizenegy* és «a tizenkettő)) srepel az egyenletekben, hanem«a egy-egy» ésm egy-kettői)

s tb .A k et tős index első száma a «sort» a másod ik szám a peaz «oszlopot» jellöli. A kettős indexek általános szkémtehát a következő:

15*



228

11, 12, 13, 14, . . . In21, 22, 23, 24, . . .2n31, 32, 33, 34, . . . S Í I

ni, n% nB, ná . nnEgyenleteinkre átvive o53 (a öt három) azt jelenti, hogy arendszer ötödik egyenletének harmadik ismeretlenéhez tozó együttható van előttünk.

Fentieket feltételezve foglalkozzunk most egyenleteikel. H a az egyik ismeretlent azzal küszöböljük ki, hogyelső egyenleteta22-yel, a másodikat pedig —a12-vel megszorozzuk, illetve az elsőt asl-gyel, a másodikat pedig —eggyel, ezután az egyenleteket összeadjuk, akkor az egyenlmegoídásrendszereként a következőket kapjuk :

„ _a

2 2c

l ~a

1 2c

3 A0 „a

l lc

l ~a

2 1C

2% la2 2 —a12a2X a l la 2 2 —ataaSSl

Már itt feltűnik, hogy mind a két nevező ugyanaz, vagaiia22—thsfizi.-H a ez a kifejezés nulla volna, akkor nem volnaz egyenleteknek megoldásuk. Ezért tehát ez a kifejezéslemző az egyenletrendszerre, determinálja, vagyis a reszer «determinánsa». De a determinánsok elméletének ez egyik feladata, valamint a determináns névnek nyelvtmagyarázata. A determinánsok sajátos írásmódja és tiskombinatorikus jelentőségük felismerése minden továbba kulcsa. E rendkívül fontos mennyiség írásmódjakén

n 12 jelölést találták fel és ennek, mint minden operáciÖSja OS22I

utasításnak, megvannak a saját szabályai. Esetünkben eszerűen az átlókat kell összeszorozni és az első átlóaua22szorzatából levonjuk a másik átlóa-^a^szorzatát.

Eészletekbe persze itt sem bocsátkozhatunk. Csak annközlünk, hogy a determinánsoknak egész algebrája fejlőki. Ebben az ilyen vonalak közt álló rendszerek «számokkszerepelnek, összeadhatók, kivonhatók, szorozhatok,



229

differenciálhatók is. Van azonkívül sok olyan szabály és téis, amely lehetővé teszi, hogy determinánsok különféletulajdon sága it azonnal felismerjük. K ön ny ű töb be k között afelismerni, hogy mikor nulla egy determináns értéke, aesetünkre nézve azt jelentené, hogy az egyenletrendszernnincs megoldása. De hogy az olvasó legalább felületesen mgyó'zó'dhessék arról, hogy miként használhatók a determinsok egyenletrendszerek megoldására, írjunk ide egy nagyegyszerű szám példát. Legyen pl. a következő' ké t egyenletü

3sr + 4y + 1 = 05x + 2y +6 = 0Oldjuk meg ezeket determ inánso k segítségével. H a el tudképzelni az általános index szkém át, akk or tud juk , hogy első egyenlet 3 és 4 együtthatója aza^ és &z a^,a másodikegyenlet 5 és 2 együtthatója azazl és a a22. Tudjuk akkor

3 41azt is , hogy a determinán s K o és értéke 3 .2 — 5. 4= — 1De ez még csak annak a biztosítéka, hogy a rendszer meoldható. A végleges megoldás

1 4 3 16 2 , 5 6

I S B- T T es »=— s T "5 2 5 2

minthogy a számlálókat is determinánsok alakjában ka

hatjuk, ismét meghatározott szabályok szerint. Ezek a fefelírt megoldásokból kiolvashatók. Itt sem bocsátkozhaturészletekbe, csak a végeredményt írjuk ide. Eszerint

_ - 2 2 _ 22 , 13 13x-~~^u~~U es y~ -u~w

Helyességükről fenti egyenletekbe helyettesítve meggyőzhetünk.

Mindehhez még néhány általános szót akarunk hozzfűzni. A determinánsok fogalmával és alkalmazásával lehségessé válik, hogy tetszésszerinti szám ú isme retlent ta rtmazó egyenletrendszer megoldását egyszerűen felírhass



280

I tt mindenkor csak lineáris egyenletekrő l lehet szó, vagolyan egyenletekről, amelyekben valamennyi ismeretlen caz első ha tvá ny on fordul elő. De a determ inánso k alkalmazfelfedi a szóbanforgó egyenletrendszerek legmélyebb szkezetét és átmenet adódik a már említett permutációs cportokhoz, valam int az általáno s csoportelmélethez és inaz úgynevezett invariáns-elmélethez. Egy determináugyanis azzal lesz «iuvariánssá», hogy egy egyenletrendsteljes megoldásrendszerére jellemző, és egyforma szerkezdeterminánsokkal rendelkező egyenletrendszerek egész c

portjának sok közös tulajdonsága van. Determinánsokkvégzett műveletek eredményéből pedig következtethetüa kombinált egyenletrendszer tulajdonságaira. Az algebram ár nem egyenletekkel és egyenletrendszerekkel foglalkohanem egyenletrendszerek csoportjaival, amelyeknek elmeghatározott tulajdonságai vannak.

De ezzel az eredménnyel az algoritmus és a notáció általánosság olyan magas fokát érte el, amelyet felülmúmár alig lehet. Kronecker írásmódjában egy w-edfokú dtermináns jele |aifc|,i és h az 1, 2, 3. ..n értékeket veheti fel.Egy n egyenletből állón ismeretlenes egyenletrendszertma egyszerűen így írunk 2a * #fc = c4; (i, fe = 1,2,8. . .m).

fcTermészetesen nem az a m egdö bbeu tő, hogy így írunk , noegy ilyen «gyorsírást» alkalmazó matematikai könyv tanmányozása már igen éles matematikai szemet és fület kívTulajdonképpenaz acsoda, hogy nyugodtan számolunk ilyen

egész matematikai világot magukban rejtő gondolkodó gépkel,mintha csak közönséges számok volnának. Aki ismerikalkulust és kellőképpen uralkod ik ra jta , az egy tetszés szeválasztott koordinátarendszer valamennyi egyenletével egyenletcsoportjával éppoly könnyen és kényelmesen smol, mint bármely más algoritmussal, sőt arra is képes, homegmondja, mit fog az egyenletrendszereknek egy egész cportja egy másik koordinátarendszerben művelni. Tudhogy mily tulajdonságok nem változnak e transzformácnál és hogy melyek változnak meg. Ilyen, majdhogy azt mdanám, jóslatok adott esetben alapvető fontosságúak lehnek' a fizikában, sőt a m atem atik áb an is, m intho gy ezegyenletrendszerek óriási csoportjait kapcsolhatják egym



231

hoz vagy választhatják el egymástól. Böviden, a csopo

és determinánselm élet, amelyekhez a projek tív geom etriacsatlakozo tt (noha eredetileg az algebraizálás ellentétekéind ult, de végül maga is algebrává le tt) , kifejlődött a formnak egy igen általános elmélete, amelyben az absztrakciónalig van h atára. Ezzel Leibniz ötle te közel v it t a legfelsőkabbalához, a legáltalánosabb kalkulus megvalósításáh

Mindezekhez azonban még egy további diszciplína társamelyet bizonyos szempontokból szintén egy «matematifeletti matematikánaki) m ondhatun k : a halmazelm élet. fejezetben előforduló sokféle tárgy közül ezt lehet tallegvilágosabban leírni, noha azok a nehézségek, melyfejlődésének útjában állanak, madjnem áthidalhatatlano

Varázsszőnyegünket nagyon igénybe kell vennünk, hpontosan akarunk tájékozódni. Térben, időben és a fogalmközt kell vele ide-oda szállnunk, mert a halmazelmélet manem minden matematikai témával kapcsolatban van. A ((hmaz* a gondolkodásnak éppen olyan kategóriája m in t a szá

nagyság, fok vagy csoport. írjuk ide Georg Cantor-nak,halmazelmélet megalapítójának klasszikus definícióját: «Hmaznak nevezzük szemléletünk vagy gondolkodásunk jmegkülönböztethető tárgyainak (ezeket nevezzük a halmelemeinek) összefoglalását egy egésszé)).

E gy század katon aság k atonák halmaza. H a ezek helysen vann ak felszerelve, akkor m agu kkal viszik fegyvereknesizm apároknak, acélsisakoknak ekvivalens ha lm azá t és ttényeknek egy nagyobb halmazát. Minden töltény puskapszemcsék halmazát tartalmazza s ez ismét nagyobb, minttöltény ek száma. De mindezek «véges», tehá t eg yú ttal termszetesen «megszámlálható» halmazok. Ilyen halmaz mindrésze kisebb, mint az egész halmaz és általában van értela rész és egész, valamint a nagyobb és kisebb fogalmánaDe a m atem atikában, m int jól tudjuk, ism ételten bukkan uolyan halmazokra, amelyek végesnek egyáltalán nem monha tók. De ezeknek nem kell feltétlenü l megszám lálhatatlan

nak lenniök. Mert «a megszámlálhatóság» nem egy működamelynek a fogalomból következően végének kell lennA természetes számok sorozatában minden w-hez azonnal képzelhető egy (n-j-1) és minden (?i-j-l)=m után következ



232

egy (m +1 ) s tb . E zt a végtelenséget, a tetszés szerint folythatóságot vagy potenciális végtelenséget már számos válzatb an m egism ertük . Tisztán logikusan el tudjuk képzelmint a számlálás következményét. De mind pszichológim ind pedig transzce ndens szempontból e potenciális végteség eredetét Kant nyomán a térnek, vagy pedig különösenidőnek tiszta szemléletéből szárm aztath atjuk és tudjuk , homár Zenon néhány olyan paradoxonra bukkant, amely eba végtelenségből ered. Minden sorként megadott szám, tepl.egy irracionális szám, egy exhausztiós levezetésen alapu

konvergáló szám vagy p edig a kontinu um felépítése ugyana rejtélyt adja fel nekünk. De új szempontok csak növelik a rejtvényt, a kontinuummal kapcsolatban, valamint a kovergenciával kapcsolatban is. Mindkét esetben a végerem ény végtelen sok részbő l sz inte szem ünk elő tt épül fel és aösszegében vagy a geometriai idomban az aktuális, vagy jes,vagy lezárt végtelen, vagy röviden egy csakugyan vételen halmaz van a kezünkben. Csak utalunk arra, hogy előadásnak fenti módja ellen irányuló támadások sohsem fnak elhallgatn i. Szemünkre fogják, vetn i, hogy egy «rész» cakkor lehet végtelen kicsi, ha végtelen sok ilyen rész összmindenkor kisebb marad az egységnél, vagyis az eredmékevesebb, mint az elképzelhető legkisebb valóságos egysH a elismerjük is, hogy ez az álláspon t relatíve jogosult, válaszolhatjuk a szigorú logikusoknak, hogy ilyen szigosággal a végtelenségek egész zűrzavarába kerülünk, amelvégleg belefulladunk, vagy legalább is megismerés szempo

jából tehetetlenek leszünk. Az emberi ész ugyanis a végtekérdésében egész más álláspontot foglal el, mint az intuícAz észnek el kellene utasítania minden magasabbrendű inftezimális meggondolást s meg sem szabadna kísérelnie, hoa logika burkából a «határérték fogalmának)) vagy «hatátmenet fogalmának» posztulálásával szabaduljon. Ninmegdöbbentőbb az ész számára, mint Leibniznek az a mismert megállapítása, hogy egy olyan konvergens sorba

mint -jr- + — -f--— . . . sohasem találunk olyan tagot, amely£1 4 Ovalóban végtelen kicsi. Minden tag na k végesnek kell maradha még oly kicsi is, tehá t m inden konvergens sor — alighan



233

ez a legélesebb «contradictio in adiecto» — divergens volmert véges mennyiség végtelen sokszor egymáshoz adva tmészetesen végtelen. F en ti meggondolásnak azonban éppannyira «természetesen» érvényes az ellenkezője is, de einkább az intuíció vezet m inke t, mer t a logika m inden apagikus bizonyítás ellenére is kissé hatá roza tlan m arad .

Tudjuk továbbá azt is, hogy már a skolaszticizmus, elssorban Bradwardinus, Aquinoi Szent Tamás és Cusanumélyen behatoltak ezekbe az antinómiákba. Ezek az annómiák a modern logika, logisztika, «als-ob-filozófia» és aelvkutatás igyekezete ellenére a kérlelhetetlen és dogmákmegvető szemlélő számára, mostan éppenúg™, mint hajdan,a matematikai «Credo, quia absurdum» jelentőségével bnak, — és fűzzük hozzá — helyesen, mert csak e metalogiszempontokból tárulnak fel tekintetünk számára a megismrés új területei.

A halmazelmélet és a csoportelmélet büszke és keménlogikus területei tartoznak — ne ijedjünk meg — ezekhez

metalogikus területekhez. Mert a modern fizikával egyezek tették a logikát Procrustes-ággyá. Eöviden azt monhatjuk , hogy egy új m éta- va gy ko ntralog ikus felfedezés uazzal mentik meg a logikát, hogy különös gondosság nél«megnyujtják» és azután büszkén kijelentik, hogy az új tannagyszerűen összeférnek a logikával. Ezáltal lett — érről mszó lesz a legutolsó fejezetben — a tizenkilenced ik száz«a nyú jth ató mérővesszők évszázada*. De térjünk visszahalmazelmélethez. Milyen a logikai értelme annak az apodtikus kijelentésnek, hogy bizonyos körülmények között a regyenlő az egésszel? és hogy végtelen sok ilyen rész összism ét nem lehet nag yobb , m in t az egész? H étköz nap i értelben vett logika számára mindez teljes értelmetlenség, sőrültség, a józan észnek ellentéte.1 Ezek a lehetőségek azonban rögtön megszüntetik a teljes elemi matematika biztoság át, ha logikai szem pontbó l elfogadhatóknak mondjőket. Most jön azonban a mesterfogás : egyszerűen kiterje

1 Végtelen halmazok esetén «ekvivalenciáróli» és «különböző számoságról* szokás beszélni, hogy az egyenlőség illetve a nagyobb és kisefogalma megkerülhető legyen. De ezt, ha akarjuk, a logika nyújtása amentesítő alibi kísérleteknek is nevezhetjük.



234

tik a logikát, elhatárolják ezeket a területeket, amelyekezek a «törvényszörnyek» érvényesek és egy szörny ű és idémérővesszőnyujtás és általánosítás segítségével a véges tvényeit az aktuális végtelen kozmoszának alárendelt jeltőségű különleges eseteinek mond ják. Mindez ellenmonnélkül elképzelhető a tizenkilencedik század elején élt Bzano működése óta. «Paradoxien» című művének 14. ponban megállapítja B olzano, hog y ha valaki P rága vag y P eklakosságára gondol, akkor nem gondol egyúttal minden eglakóra is, éppoly kevéssé szabad, fűzzük hozzá mi, egy vtelen «pontság» (pontha lmaz) elképzelésével minden egyes ptot gondolatban üldözőbe venni.

Számunkra Bonzano kijelentése egyenesen bizonyítéannak, hogy mind e dolgokban «metalogikáról» van szó :örökös összehasonlítgatás, a végesből a végtelen felé törekextrapolálás, az egyes eseteknek, az alkotórészeknek szánkos elmosódottsága intuitív optikus eljárás, amelyet mégóleselméjű circulus vitiosusokkal sem lehet megcáfolni. Ge

Oantor maga elméletét feltétlenül tisztán logikusan gondoel.Eleinte ugyan keveset törődött a filozófiával, ezt azonbkésőbb skolasztikus műveltségű szerzetesekkel való érikezéssel alaposan kip óto lta, és itt bu kk an t A quinói SzTa m ásra és az ő «aktuális végtelenjére*. Távol áll tőlünhogy a halmazelmélet gen ialitását kétségbevonjuk, vagy pecsökkentsük Cantor óriási érdemeit. Csak azt érezzük, titán történeti szempontból, hogy ezen a téren ismét világszóló jelentőségű szellemi döntés küszöbén állunk, amelymatematika fejlődésében rövidebb-hosszabb idő múlva kszakalkotó jelentőségű lesz. Matematikai jellegűvé váliklogika vagy logikai jellegűvé a matematika? Ez a kérdmagva és az euklidesi, mágikus és fausti szellem ellentétéa kérdése az, hogy m ikén t foglalunk á llást ebben a problémban, helyesebben probléma-csoportban. De erre a hatalmváltozásra is csak uta lha tun k, noha m a még m indkét lábukal benne vagyunk, nehogy hűtlenek legyünk eredeti f

adatun kho z. Térjünk a tá rg y ra : egy halmaz, amelyet mdefiniáltunk, véges lehet, miként egy gyufaskatulya gyufáia halmaza v agy a tízezerig terjedő páros számok halmaVagy pedig az1—79-ig terjedő törzsszámok halm aza. A z ilyen



235

véges halmazok mindenkor megszámlálhatok.1 Vannak azonban végtelen halmazok is, amelyek megszámlálhatok és épeme halmazok kedvéért teremtették meg a halmazelméletA természetes számok halmaza megszámlálható. Ez termszetesen nem jelenti az t, hogy egy em ber meg tudja számláhanem csupán azt, hogy a megszámlálás elvben lehetségEz az elvi számlálási lehetőség an ny ira m agátó l értetődő', hötéves kislánykám is azt mondta : «Csak a jó Istenke tua végéig szám oln i; me rt ó' örökké él». De az összes többi vtelen halmaz is megszámlálható, ha lehetséges minden elem

hez egy természetes számot egyegyértelműen hozzárendeIlyen például az összes párosszám, az összes törzsszám, összes 3-mal, 5-tel, 13-mal, 79-cel osztható szám. Világhogy az összes ilyen halmaz részhalm aza a term észetes számhalmazának, amelyhez egy ú. n. «transzfinit rendszámot* rdelhetünk. De rögtön előáll az a szörnyűség, hogy mindilyen részhalmaz, durván azt mondhatjuk, ugyanakkormint a természetes számok összességének a halmaza. Váztunk pontosan megmutatja ezt a szörnyűséget:

1, 2, 8, 4, 5, 6, 7, 8, . . .oo2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, . . . o o1, 8, 5, 7, 9, 11, 13 , 15 , . . . oo3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 , 24, . . . oo

13, 26, 39, 52, 65, 78, 91 , 104, . . . o o stL.Minthogy a «nagyobb», «kisebb», «rész» és «egész» fogalelvesztette értelmét, Cantor bevezette a halmaz «számossának» fogalmát, a számosságra csoportokat állított fel és eket transzfinit rendszámokként indexekkel különböztetmeg egy m ástól. A z új szám jele£ (alef) és indexet k ap , teh átX0; Ki, Ka-••&*». Valam ennyi fent i példánk azü0 típushoztar tozik.

Sokáig azt hitték, hogy a racionális számok halmaza neszám lálható, tehát nem tartozik aza0 csoportba. Cantor azonban bebizonyította, hogy ez a hiedelem téves. Gondoljuk

ugyanis, hogy az összes racionális számot akövetkezőképpenírjuk fel:1 És, mint mondani szokás, csakugyan meg is számoljuk őket.



286

1 — - >2 3 >-4 5 • 6 7• • • stb./ / / / /

i./ *./ *./ L /A / A A...stb2 2 2 2 2 2 2 '

* / / / /

i / L/ A / L/ A A l... stb

3 3 3 3 3 3 3D-

/ S /

L/ L/ A / A A A A...stb4 4 4 4 4 4 4

1 / 2 / 3 4 5 6 7

5 >/5 T T T T T " -S t b-Világos ebből, hogy a nyilak mentén haladva, úgy számlha tun k, hogy egyetlen elképzelhető racionális szám sem m aki,sőt a szkémában sok racionális szám többször is előfordf , , 2 3 xi. . 5 10 15 20 .,íg y p l . : 1 ,T T s tb . es -g-, ^ - ^ ^ st b .

Könnyű bebizonyítani, hogy a következő alakú algebkifejezések halmaza is megszámlálható :

A halmazelmélet legsúlyosabb problémája ma is min

azon számok halmaza, amelyekből a kon tinuum összerakhBizonyos, hogy az irracionális számok halmaza, amelyeracionális számokhoz hozzá kell tennünk, hogy a folytonságot megtöltsék, helyesebben létrehozzák, nem-megszámható . A reális számok halmaza teh át nem tartoz ik az x0t ípusba. Hova tartozik tehát? Ez még nem világos, és skutató e m iat t hajlandó volna a számosság fogalmát elejte

De,sajnos, itt sem mélyedhetünk el a részletekben, ezécsak néhány, a halmazelméletből adódó paradoxont említüfel. Ilyen például Eussel híres paradoxona ; az olyan halmzok halmaza, amely nem tartalmazza sajátmagát elemké

De az újabb időkben H ausdorff és még mások is más hmazelméleti paradoxonok egész sorát fedezték fel, főképp



237

a geometriában, s ezek sokszor fantasztikus eredményekvezetnek. Bebizonyítható például ilymcdon, hogy a Nap szszedhető és almanagyságúra rakható azután össze, a nélkhogy belőle bármit elvettünk vagy bármit hozzátettünvagy bármit összenyomtunk volna.

A geometriai «sokaság», így nevezte eredetileg Cantora halmazokat, már Grassmann és Eiemann óta nagy szepet játszik a matematikában. Minden kiterjedt dolog eleépítőkövéről van itt szó. Azt hitték, és a ((közönséges embész» szám ára term észetes is, hogy a vona l pontjainak a száa felület pon tjainak szám ához, illetve a tes t pontjainak számhoz úgy aránylik, mint oo1, oo2 és oo3. E halmazok számosságának tehát a különböző fokú végtelennek megfelelőkülönbözőnek kellene lennie. A halmazelmélet tagadja a különbözőséget és minden dimenzióban a pontok számácsak egyféle számosságát ismeri. Nagyon barátságtalankövetkező antinómia is. Tegyük fel, hogyegy közönségesDescartes-féle koordinátarendszerben azx tengelyen az egy

séget mikron-nagyságúnak, azy tengelyen viszont néhánybillió fényévnek választottuk. Azx irányban a pontok száma«természetesen» ugyanaz, mint azy irányban, különben nemvolna lehetséges az egyértelmű egymáshozrendelés és lehelen volna a számpárok alak ítása. Milyenek m ár mo st eza ponto k? Ésszel elképzelhető, hogy itt is pon tokról van sEzeknek ilyenformán «természetesen» azy irányban jelentősen m egnyúlt valam iknek kellene lenniök. H elyes, végtehalmazokról van szó és a végtelenséggel szemben eltűnnolyan nevetséges különbségek, miüt mikron és fényév. DItt nincs de. Mert ha hirtelen felcseréljük a két koordinátengely léptékét, akkor sem történik semmiféle hatalmas vtoz ás, sőt halmazelméleti és ana litikus szem pontból egyáltasemmi sem történ ik. Még a legegyszerűbb transzformáció s

Eöviden, fausti szempontból a kabbala és a gótikus csúcívek megint testvériséget fogadtak és elmerülnek a sejtémesén barátságtalan félhomályban. A logista nem ijed mSzámol, szétválogat, bírál, elhatárol, fölényesen mosolyogmondja, hogy türelmetlen gyermekekhez hasonlóan viselknek azok, akik az ilyen gondolkodó-gépre tartozó dolgomögött mindig valami szemléleteset keresnek. Semmit se



238

szabad elképzelni, mert ez már matematikán kívüli vágykal való fertőzöttséget jelent vagy pusztán gyerekessé

Merev, rideg keretei közé szorítva, a halmazelméletalgoritmussá fejlődött és fejlődik, és a számelmélet, függvelmélet és integrálelmélet alátámasztására használják, egy hirtelen fordulat és már az egész matematikának, a logikának is felsőbb, összefoglaló tudományává válik.A csoportelmélethez hasonlóan felsőbbrendű tudomány lesz bea gondolkodás általános kategóriája.

De mindenfelől villogtatja felénk sárkányfogait, ha szaezt a kifejezést használnunk, és minden pillanatban várjuk, hogy megszólal egy mennydörgő hang:«Du gleichstdemGeist, den dubegreifst, nicht mirh

Mert az intuíció nemcsak gyermekeknek való, az csúteljesítményeiben isteni eredetű. Újra felmerül az a sökérdés, hogy mi halandók elhagyhatjuk-e büntetlenül aoikouméne», a lakott föld határaités hogy szabad-e a határokon túl, az istenek birodalmában bolyonganunk. Bün

lenül olyan értelemben, hogy nagyon kérdéses, szabad-logikát földi, mágikus felfuvalkodottsággal kijavítanunktörténetesen szükségünk van reá. Vagy nem fausti kötelegünk inkább az, hogy éppen akkor mellőzzük a logika kiigtását, ha mélyebb alapok közelléte válik érezhetővé ? Purmatematikus megijed az «érezhető» szótól. Goethe vilkategóriáinak felemlítése sem látszik itt helyénvalónmivel Goethe vitathatatlanul nem-matematikus szellem vnoha sokan igyekeznek állítólagos matematikai érzébizonygatni.1

De ez a korlátozás mitsem változtat azon, hogy ugyana Goethétől származó szerkezet a matematika területérkiterjedhet, sőt ki is kell terjednie. Nem vaktában mondezt, Poincaréhoz, Boutroux-hoz hasonló szellemű kivnémet matematikusok, például Bieberbach legújabb ktásai szintén ebben az irányban haladnak s nem mindebagyja magát becsapni azzal, hogy a «logika nyújtásai) n

1 A nem matematikus Goethéről elmondott véleményünket nyomtékosan bizonyítja színelmélete, mert ez mintapéldája a mennyiségi szepontokat teljesen figyelmen kívül hagyó, pusztán minőséget tekinfizikának.



289

mán egy hamisított logikájú matematika keletkezik. Emjük ki ismételve : úgyannyira jogosult azt állítanunk, hovan a matematikának olyan birodalma, amelyet felfedenünk , nem pedig feltalálnunk kell. H a egyszer felfedeztüakkor logikai vagy logisztikai vag y bárm ilyen eszközzel művhetjük, általánosíthatjuk, formalizálhatjuk. De olyan naez a birodalom s annyi sohasem látott csodával van telhogy egy figyelmes történetíró sohasem képzelhette, sonem is fogja elképzelni tu dni az t, hogy m ár teljesenfelfedtük, vagy hogy egyáltalán teljesen felfedezhető. Újra mújra ki fog nőni a pompás matematikai építmények kövközül az örök fejlődés füve, rombadőlnek az épületek és vások, belepi őket a hamu, míg egyszer új építőművészek sohasem lá to tt stílusú épületeket emelnek és ezekben msohasem hallott nyelvjárások fognak megszólalni.

Az algoritmus és az általánosítás, hogy újból a matematika nyelvén beszéljünk, hallatlan tömegeket tud összfoglalni. De minden «számfeletti szám» mögött mindenk

meg fogjuk találni azt a közönséges számot, amely lehetőteszi, hogy előbbiekkel egyáltalán számoljunk. Az algoritmós az általánosítás csupán segédeszközei a kutatásnak akkis, ha vad bűvészinasoknak mutatkoznak néha. Ma mákevésbbó hisszük, mit a nagy Laplace idejében, hogy a mamatikát az algoritmus segítségével iparszerűen lehet átkta tn i, A legjobb, legnagyobb m atematikusok saját vitathtatlan tapasztalatukból tudják, hogy új matematikai ismreteket nemcsak számítással szerezhetnek, hanem a legngyobb felfedezések sosem hallott dallamként egyszerre bukannak fel olyan mélységből, melybe a felfedező sohasefog lejutni vagy bevilágítani tudni.

A tautologisták és a panlogikusok puritán igyekezetükel matematikai kozmosz megmerevedését és bevégződésigyekszenek elérni, a Spenglerhez hasonlóan bukást jósopróféták pedig a atem atikai ku tat ás t kétségbeesésbe akaják kergetni. Nem becsmérlő hangsúllyal mondjuk ezt, cs

pán megállapítjuk. De mindkét irányzattal nemcsak a vallsos és a fausti érzés ellenkezik, hanem úgyszólván az ősi biogiai törvény is annyira, hogy ezen a téren a materializmumaterialis ta eszközökkel is le lehetn e .győzni. De jegyezz



240

még meg, félreértések elkerülése végett, hogy a matematinak tisztán instrumentális panlogikus kezelését feltétlenmaterialista jellegűnek kell mondanunk, mert az a gondom ás világszem léletbe nem kapcsolódhatnék bele ellenmodásoktól mentesen, de — és legyen ez fejezetünk békülékbefejezése — a m atem atik a logizálása és a logika m atem atifogalmazása nagymértékben hozzájárul tudományunk elmlyítéséhez, ha a növekedésnek nem túlzásait, haneín inkágyümölcsit tek intjük. A m atem atika birodalmában mnéh ány olyan tarto m án yo n kell átvándorolnunk , amelyeben a tizenkilencedik században hatalm as forradalmajáts zó dtak le, de állapítsuk m eg, noha ezzel elébe vágua dolgoknak, hogy az «algebra és általánosítási) tartomáurai rende t ter em tet tek és m inden készen áll, a túlvilágrjövő vendégek és követek méltó fogadására.



T I Z E N Ö T Ö D I K F E J E Z E T.

C a r l F r i e d r i c h G a u s s .Matematika, mint világutazás.

Azzal fejeztük be legutóbbi fejezetünket, hogy mé

néhány matematikai tartomány bejárása hátra van. Könvünk szempontjából érvényes ez az ígéret, helyesebben határozás. De nem érvényes Gauss számára. Mert az a hóakihez most illő tisztelettel közeledünk, nemcsak e tartmányok egyikének u ra, hanem a kétségbe nem vont «princmathematicorum», a matematika egész birodalmának fedelme. Folt, árnyék nem homályosítja el ezt a különleglegelsó'rendű csillagot, ezt az alakot, aki Leibnizhez, Goethez, Kanthoz hasonlóan az emberiségnek, minden nemzetnés minden idó'knek legnagyobbjai közé tartozik.K an t egy szegény nyergesm este r fia volt, és az ifjú Gauelső életévei is egy kó'míves szerény házában te ltek el. De naz apa nemcsak kőmíves volt, hanem «vízmester» is, teholyasvalaki, aki szökőkutak építésével is foglalkozott. Ga1777-ben Braunsehvreigben született, fentnevezett atyja odavaló vo lt. ö maga meséli, hogy élte első éveiben előtan ul t meg számolni, m int beszélni. A zután rokonaih

«betűkért» kezdett könyörögni és egyszerre csak már tudírn i és olvasni a nélkül, hogy valaki meg tu d ta volna m ondhol tanulta ezt meg. Hétéves korában került elemi iskoláitt közel száz osztálytársa volt és semmivel sem emelkedki közülük. Tehetségét kilencéves korában egy véletlen honapfényre. Tanítója, B üt tne r, azt a feladatot adta akkortanulóknak, hogy adják össze az 1-tŐl 60-ig terjedő számoAki készen van, tegye palatábláját a nagy asztalra, egyia másikra, hogy a tanító meg tudjon győződni munkájugyorsaságáról és az eredmény helyességéről. Alig telik

16 Colerus: P yttagoraiü



242

néhány pillanat a feladat elhangzása ó ta, az apró Gaum ár felugrik, az asztalhoz siet és leteszi pa latáb láját. A ta nkezében a korbács, sajnálkozva néz a sápadt kis kölyökJó ,legyen úgy, ahogy ő akarja . Majd elveszi a vesszó' a kedvaz ilyen tréfáktól. Jókora idő múlva, amikor már valamentábla az asztalon fekszik, sorban előveszi azokat a taníés ennek nyomán dicséretet és rovásokat oszt. Majd elfelte tte m ár az első táb lát . H og yan ? m ikén t? H isz erre a táblnincs más felírva, mint a végeredmény, 1830. Hogyan cná lta ezt ez a tök m ag ? Kívü lről tu d ta volna véleflenaz eredményt? Gauss azonban egyszerűen elmondja, hogondolatban a legnagyobb számot írta a legkisebbik alá,legnagyobbat megelőzőt pedig a legkisebb után követkealá, és így tovább. Ezt ír ta tehát:

1, 2, 8, 4, 5, . . . , 3060, 59, 58, 57, 56, .. . , 3161, 61, 61, 61 , 61 , . . . 61

Ezután kettőt-kettőt összeadott és a harminc egyforma erményt összeadta, helyesebben a 30x61 szorzás eredményből kapta meg a végösszeget. Háromszor hatvanegy az 1szorozva tízzel, az 1830. Ez volna olyan nehéz? B üttnleteszi vesszőjét és olyasmit tesz, amiért szobrot érdemelGauss számára Hamburgból hozat matematikai tankönyés rövidd el ezután ny íltan kijelenti, hogy Gauss nem tan ulm ár tőle sem mit. De így m ent a dolog tov ább is. A göttingtechnológia és egyetem sem tudott az óriási szellemnek vam it nyú jtan i, m er t ő, akárcsak Galois, tizenötéves k orábmár Newtont, Eulert és Lagrange-ot tanulmányozta. Mnincs tizenkilencéves, amikor a körosztási egyenletet ffedezi (erre még visszatérünk) és később maga mondja, hofelfedezésén csak «mérsékelt örömet» érzett. E melancholiöröm hatása alatt legjobb barátjának, Bolyai Farkasnajándékozza a történelmi jelentőségű palatáblát, amelym atem atikai pályafutása kezde tét ve tte . De rögtön újafeladatokat keres. Már tanulóéveiben megírja a matematitörténe tének egyik legjelentősebb m űv ét, címe «DisquisitioA rithmeticaes, ez 1801-ben jelenik meg. A z öreg Lag ranmaga úgy nyilatkozik e rrő l, hogy általa Gauss a legelső ma



243

matikusok sorába emelkedett. Huszonhároméves koráGauss már tagja a szentpétervári akadémiának, huszonötkorában pedig az egész világot bámulatba ejti.A «Ceres» nevűkisbolygót röviddel felfedezése után, a csillagászok elvtették szemük elől és nem tudták, hogy lehetne újból mtaláln i. Ekkor a matematika ifjú fejedelmeleül íróasztalához,számításai megtöltenék néhány lapot és azután kijelenhogy meghatározta a «Ceres» pályáját. Itt és itt kell a csillagnak lennie. Keresni kezdték és rögtön megtaláltGauss azonban ezzel világcsoda lett és az államok versenkezdtek érte. Csak azért, hogy otthontartsák, kineveztémég fel sem épült göttingeni csillagvizsgáló intézet igazgjává. Mint ilyen működött élte végéig, 1855-ig.

Életpályájának ez a rövid vázlata. Három tulajdonskapcsolódott egymással Gauss szellemében, akárcsak Armedesében, és ez a három együtt tette őt ilyen naggyá. Útekint le a matematikára, mintha az térkép volna, csak mkell fejteni jeleit, hogy legtávolabbi vidékeit összeköthes

Prometheusi szellemként azt is tudta azonban, hogy nöncél a matematika. S miként Siegfried, ő sem elégedett mkardjának kovácsolásával. Ezzel a Nothunggal le akagyőzni a földet és az eget. Ezáltal azonban az alkalmazmatematika úttörője lett, különösen a geodéziában, fiziban és csillagászatban. Harmadszor, ez is Archimidesre lékeztet, nincs szüksége segítségre még a legbonyolultabbfárasztóbb számításokhoz sem. Éppen olyan szorgalmaszámol közönséges számokkal, mint integrálokkal, kompváltozókkal vagy görbült terekkel. Vagy pedig valószínűsgörbékkel és kongruenciákkal. Felmér egy óriási háromszösarkai Brocken, Hohenhagen, Inselsberg városok, csak azhogy hibaelmélettel végzett számításokból kiderüljön, vájaz a tér, amelyben élünk, sík-e vagy pedig görbült. És amlegrejtélyesebb: legfontosabb felfedezéseit, ezt már NiHenrik Ábellel kapcsolatban is olvashattuk róla, titokbtartja és nyugodtan nézi, nem úgy mint Newton, hogy má

is felfedezik és nyilvánosságra hozzák felfedezéseit. Sáradozó szavakkal meg is dicséri őket. De mikor egyszer mkérdeztéktőle,hogy miért nem hozta nyilvánosságra az általajól iamert nem-euklidesi geometriát, azt felelte, hogy fél

16*



244

«boiotiaiak lármájától)). K ételkedni merünk e szavak objeigazságában, noha Gauss mondta őket. Gaussnak nem kele kiabálástól félnie, hisz élte hatvan évén keresztül mindmértékadó kritikus hódolattal és csodálattal, irigység nélkkegyét keresve, szinte térdrehullva hajolt meg előtte. Afélt inkább, hogy a legnagyobb mélységekből származó titnak, amelynek ő is csak véletlenül jött nyomára, elárulával megbontja a szférák harmóniáját, hogy olyan erőket hmozgásba, amelyet ember már nem tudna fékentartani. magunk a «Gauss-rejtélyt» főpapi cselekedetnek tartjuk, is

félelemnek és moralitásnak, a szó legnemesebb értelmébmélységes németségnek, amely számára a világ érdeke ftosabb minden egyéni szempontnál. Gauss semmiesetre smondható bogarasnak. Csupán olyan bölcs volt, hogy nakart olyan dolgokat megmozgatni, amelyek ideje még nérkeze tt el. H a más, saját erejéből, rá jö tt egyik-másik ti tk áakkor ez annak a jele volt számára, hogy mégis megérettidő.S mivel ő igazán tudta, hogy milyen nehéz az új ismreteket megszerezni, azért írja Bolyainak Farkas, amidennek fia felfedezi a nem-euklidesi geometriát, s ezzel a viszemében övé lesz a felfedezés dicsősége: «Ezt a Bolyaaz ifjú geometert, elsőrangú lángésznek tartom*. Mi azonbhozzáfűzzük, hogy Gausst túláradó szívvel és legmélyehódolattal legelsőrangú jellemnek tartjuk és ez talán töbmint a legnagyobb genialitás:

Korszaktörténetünk keretein belül nincs módunk e férteljes egészében méltatni. De vigasztalódjunk azzal, hoGau ss, tudo m ány os szem pon tból, köztünk él és m indenk i smára, aki a matematikába behatol, nem egy módon hozzférhető. Tehát arra fogunk szorítkozni, hogy legfontosafelfedezéseire utalunk és azokat a már ismételten alkalmazmódon, saját méreteinkhez idomítjuk, miközben igyekezfogunk már ismert dolgokhoz kapcsolódni. Először Gaussnlegkorábbi korszakalkotó felfedezését, a körosztási egyenlevesszük szemügyre. Bocsássuk előre, hogy Gauss egyike v

a számelmélet legnagyobb tudósainak. Éppen ezzel a tárgkörrel foglalkozik az 1801-ben megjelent «DisquisitionArithmetieae» című műve is. Ezt a címet szabadon így fordh a tn ék le : «A számok b irod alm ára vonatkozó vizsgálatok



245

Wesselnek, a norvég földmérőnek sikerült először 1798-banélkül, hogy Gauss tu do tt volna róla, az ima ginárius számanalitikus leírása. Ezeket, tudjuk, eddig «lehetetleneknetartották vagy legfeljebb a képzelet teljesen ábrázolhatatltermékeinek. Megemlítjük Wesselt, nehogy egy lángestettének dicsőségétől megfosszuk. Korszakalkotóvá azonbcsupán Gaussnak, közel az előbbivel egyidőben tö rt én t ffedezése vált. Alig tudjuk ma azt a helyzetet elképzelamellyel az ifjú Gauss szem bek erült, hisz m inden középiskmatematikakönyvből és lexikonból rövid ós tömör leíráskaphatjuk az imaginárius és komplex számok ábrázolásánAz egész tizennyolcadik században még nagyon gyanakonéztek az imaginárius számokra, mert ezekkel számolva, mnagy matematikusok is súlyos hibákat követtek el. Végmár egyik sem merte a matematikai kísérletek világáéjól megalapozott hírét kockára tenni. Igaz, felfedeztemindenféle rejtélyes do lgo t. De Moivre m ár 1738-bakim on dta, hogy egy kom plex szám w-edik ha tvá ny

(cosa+i sina)n

= cosna+i sinna. Euler a következő ÖSSZe-függést ismerte fel: i*=e2 és végü l B ernoulli és D'A lembertfelfedezik, hogy komplex számokon algebrai műveletekvégezve ismét kom plex szám ot kell ka pn i. Mellékesen mjegyezv e De Moivre képlete err e nagyo n is közism ert pél

Az- imag inárius és kom plex számok b irodalm a azé rt mékellemetlen kísértetvilág maradt. Törvényei megfoghatalanu l és ellenőrizhetetlenül úg y folytak szét a merész behatkeze köz ött, m inth a kísértetek fátylai u tá n kapkod na azokat igyekeznék megragadni. De a matematika egytartományában nem lehetett ezt a «szellemvilágot» elkerülMégpedig az egyenletek elméletében. M ert ha érvényes «algebra alaptétele*) (w-edfokú egyenletnek mindign megoldása van), akkor nem lehet a komplex-megoldásokat kerü lni. Természetesen az£C"=1,azazxn— 1=0 típusú egyenleteknél sem. Ilyen egyenleteknek legfeljebb két megoldáreális szám, mégpedig + 1 és— 1 , ha azn páros, az összestöbbi megoldás szükségképpen komplex. Gaussnak sikerümint már mondottuk, zseniális módon megtalálni a komplgzámok egyik analitikus geometrjai ábrázolási módját, Ez



246

a számok az ilyen ábrázolási mód szerint nem számegyeneshanem számsíkon fekszenek. A11.áb rán ez a kom plex «szám-sík» van előttünk, részletes magyarázatát «Az egyszeregyaz integrálig* című könyvü nkben találhatjuk meg. H a < E » — 1 = 0egyenlet megoldásait egy számsíkra felrajzoljukakkor a számoknak megfelelő pontok, egyenesekkel összkötve, szabályos n-szöget adnak. Alig lehet leírni, hogy mlyen mágikus csudát jelent ez a felfedezés. Legyünk tisztáb

11. ábra .

azzal, hogy mi is történik : reális és komplex számok csportja, amelyek együttvéve az egyenlet megoldását jelentegy kétméretű analitikus geometriai ábrázolásmódban szbályos sokszöget adnak és ezzel a sokszög körül írt körtnrészre, illetven egyforma középponti szögre osztják. A rit

metika, algebra, analitikus geometria, trigonometria és fügvénytan kapcsolódik össze itt az elemi geometriával. Memost vizsgálható és előre megmondható, hogy milyen szbályos w-szög szerkeszthető körzővel és vonalzóval. Még



247

legnagyobb kortársak is csodálkoznak, amikor Gauss bbizony ítja, hogy a szabályos tizenhétszög körzővel és vonalival- megszerkeszthető, m er t azx"—1=0 egyenlet akkorvezethető vissza négyzetgyökvonásra,1 ha n törzsszám és2f t+ l alakul, it t pedig ak m aga is 2* alakú. E követelménytfigyelembevevő ha s=0, akkor w=3, ha8=1, akkor w=5és ha s = 2 , akkor n = 1 7 s tb . Természetesen a képletből adón nem mindenkor törzsszám.

A z ifjú Gauss m ár e te tté ve l is a «három nagy A» meterének bizonyult: az aritmetika, algebra és analízis meterének.Ismét csak utalunk a dolgok lényegére, ha megmondjuhogy az egyenletek m ellé egy egészen új , algo ritm ikus jelleművelettípust állított . Ezta=b (modn) alakban írja és akövetkezőképpen olvasandó : «a kongruens íi-vel moduló A kongruenciáknak lényegében egy csoportelméleti gondoaz alapja, mert egy számnak e művelettel nem egyenlősfolytán felel meg egy másik, csupán «szerkezeti azonossáfolytán, ha szabad ezt a kifejezést használnunk. így példá19 kongruens 40-nel modulo 7, vagyis 19=40(mod 7), mihogy mindkét szám maradéka7-tel osztva egyaránt 5, vagyisa közös 7 modulusra vonatkozóan egyformán viselkedne

A kongruenciákkal kapcsolatban egyszerű példaként vizgáljuk meg számelméleti szem pontból az úgyneveze tt kilenpróbát, amelyet már a régi Görögroszágban és Indiában ismertek és amelyet minden matematikus nagyon titozatosnak tartott. Tudjuk, hogy a tízes rendszerben maradvtizenegyespróba is létezik. Nem tízes rendszerben, ha aalapszámg, van (g—l)-es és (gf+l)-es próba is.

Legyenz egy tízes rendszerű számz—Oml0OT+... +a010°.Ezt a következőképpen alakíthatjuk á t :

am1 0"l- fam_11 0W Í-1+.. . a11014-a010°-aT O— am_a—... —-%+Maradék

+ " W + % - i +• • • + a i + a o

1 Tudvalevő, hogy körz6vel és vonalzóval való szerkeszthetőségneez a feltétele.



248

A szögletes zárójellel összefogott kifejezés tov áb bá egyeam (10™ — 1) + am_x ( 1 0 " -1 —1) + . . . +ax (101 — 1); és(10m-/*_ 1 ) = (101—1) (1 0"1-" -1 + . . .+1 0° ), ós i t t(j. mind-*egyik egész számot jelentheti 0 és(m—1) között. Ebbőlaz összefüggésből kid erü l, hogy az szám szögletes zárójellel összefogott része fe ltétlenü l osztható a (1 01—1)=9számmal.

De ez az am+«m—1+-• . + « i + a on e m más> mint az számszámjegyeinek az összege, minthogyan a 10 hatványainakaz eg yü tth ató it jelöli, vagyis azok at a számjegyeket, amelya z szám leírásához szükségesek. Jelölje a számjegyek összeS(z),akkor vagy azt írjuk, hogy aO T+ a sm_ i + . . . +a0=S(z),vagy pedig Gauss szerintz=S(z)(mod9), mivel az egészzszám és szám jegyeinek összege 9-cel osz tva feltétlenugyanazt a «kilences maradékot)), az (am+m_ i + . . . + a0)összeget adja. Maradékot kapunk természetesen akkor ha a zt mondjuk : «8 : 9 = 0 m ara d 8». Mindebből az is kderül, hogyz=S(z) mod (g—1), hag a rendszer alapszáma.

Eddigi levezetésünket ugyanis minden változtatás nélkül hatványai helyettg ha tván yaiv al is végezhettük volna. Teháta rendszer alapszámától teljesen függetlenül.

Minthogy pedig számjegyek összegét kifejező szám jegnek összege kongruens az először említett számjegyösszegezért kongruens m agáva l az ered eti B zámmal is. Eb ből adóa 9-es próba következő szkémája :

Összeadás :1 ,K ivo ná s: ] ' ~~S (a) = a8(b) = bS(a)±S {b) = [a±b=c] = S (c).

Szorzás :a.b = c.

S (a) = aS{b) = bS(a).S(&) = [a.&=c] = S(cx



249

Osztás :a — b.q -\-r.ö T

q = —r— (r = maradék).S(a)=a8{b) = bS(q) = qS(r) = r

S(q)—S(r)=a— r ; a — r = b.q;S(a) — S(r) = S{b)S(q); S (a)= S [b) S (q) + S (r)1

Hogy tisztábban lássunk, ideírunk minden alapműveleegy-egy Számpéldát.

Összeadás :a + b+ c = á{SS a számjegyek összegében jelenti a számjegyek összegét).

a = 16S8 S(o ) = 18SS(a)= 9 \b = 1224 8{b) = 9 SS (b) = 9 1 9 ; 19 = 10 (mod 9).

c = 37 8{e)= 10 SS (c)= 11d = 2899 8 (d) = 28 SS (d) =10

Szorzás: a.b~c.a = 1726 S<o) = 16 S S (a) = 71 ^ .4 2 = 6 ( d «fc= 321 S(b)= 6 SS(&) = 6 }4 ^ ' ^ - ° i m o a y ;'c = 554.046 S (c) = 24 S S (c) = 6

Osztás : a :b = q maradék : r.a = fc.g + r.

a = 4647 S (a ) = 21 S S (a) = 3& = 215 S(&) = 8SS (b) = 8 3 = 8 . 3 + 6 (mod 9).2 = 21 S(<?) = 3 S S ( g ) = 3 30r = 132 S (r) = 6 S S (r) = 6

1 M inden kongruenciához képzeljük hozzá a «mod(g—1)» kifejezéstEsetleg az t, hogy «mod 9>>, ha kifejezetten a. 9-es prób ára gondolun



250

A kilencespróba példájával megkíséreltük, hogy a szám

elmélet nagyszerűségének egy kis sugarát megmutassuk most legalább utalni fogunk Gaussnak híres «négyzetes ciprocitás» törvényére. Ez ismét egyike legfontosabb tételnek és szintén a «Disquisitiones Arithmeticae» című műben olvashatjuk. Számelméleti fontossága rendkívüli, maGauss illette a «Theorema Aureum» és «Theorema Eundmentale» névvel. Ez a tétel Legendre írásmódjával a kvetkezőU L)L^-)=(-lfr--^F- ós ittU -) = +l azt jelenti, hogyq egy négyzetszám maradéka lehet modulóp.I — ) = —1 viszont azt jelenti, hogyq nem lehet maradékaegy négyzetszámnak, modulop. A reciprocitás törvénye aztis követeli, hogyp és q egymástól különböző páratlan törzsszámok legyenek. Azt is meg akarjuk jegyezni, hogy modcsak 1 lehet négyzetes maradék, mod 5 viszont 1 és 4, mopedig 1, 2 és 4, mod 11 viszont 1, 3, 4, 5, 9 stb., minthoa négyzetes maradékok szinte periodikus jellegűek és eperiódusban, szimmetrikus elrendezésben mindig ugyanaza maradékok lépnek fel. H a 02 értékkel kezdjük, akkorpé ldáu l mod 7 következő lesz a periód us : 0, 1, 4, 2, 4, 1, 0 és mod 11 p é ld áu l: 0, 1, 4, 9, 5, 3, 3 , 5, 9, 4, 1, Tehát52-nek mod 7 négyzetes maradék a 4, m inthogy 25 : 7maradék 4 ós a c2=g(modp) feltétel akkor teljesül, ha, mintmár említet tük,I — 1 = 4 - 1 -De ne időzzünk it t tov áb b, csakazt em lítsük, hogy Gauss egy m ásik, <AJgebra» című főműben bebizonyítja az algebrának már ismételten említett altéte lét. Gauss a bizo ny ítást többször és egymástól lényegeeltérő módon vezeti le. E gy másik nagy teljesítménye a hipgeometrikus sorok felállítása. Ennek az a nagy jelentőséhogy ez a sor számos más sort foglal magában különlegesetként. Képzési törvénye a következő :

, « ( q + l ) ( « + 2 ) | g ( / H - l ) 0 ? + 2 ) •, ,+ i-a-3-r-(r+i)(r+2) ' '



251

Legyen konkrét példakénta = 2, $ —5 és y = 3, akkor

F ( 2 ,5 , 3 ; s) = 1 + —x + ^-x2 + 1 4 x3. . .

De it t sem időzhetünk . Tud juk, hogy Gauss emlékéneáldozunk, ha azokra a dolgokra térünk rá, amelyeket élevégéig sem hozott nyilvánosságra. Tudjuk azt is, hogy mmár aligha akadnak «boiotiaiak», akik kiabálnának, ha neeuklidesi geometriáról beszélünk. Ma már másféle «boiotiaiélnek. Ezek történelmi és matematikai szempontból is félképzett emberek, akik azt hiszik, hogy mindezeket a dolgkat a legújabb idők fizikájával kapcsolatban találták feAzt hiszik, hogy most találták fel a mozgások relativitásamelyet pedig már Newton is jól ismert, az imagináriuszám okat, a görbült te reket és a többdimenziós geom etriákvagyis azokat, amelyekben a dimenziók száma<Z>3.Deezzel nem akarjuk támadni az új fizikát, amely a tizenkilencedik század folyamán a m ate m atik át szin te állandóhajszolta előbbre és előbbre. A nnál kevésbbé, mivel maGauss is, vagy H am ilton és még sok m ás út tö rő m atm at ikus na gy é rdem eket szerzett az elméleti fizikával kacso latban , sőt sokszor maguk is fizikusok volta k. Ép peezért nem szabad a felfedezéstörténetet ilyen éles formábelhomályosítani, mert a gondos vizsgálat többnyire neigazolja a modern fizikusok forrásidézeteit sem . De a nafizikusok az új idők boiotiai népe számára a valóság nehésúlyú bajnokai és meglehet, hogy jobb az igazságot késégbevonni, mint egyszerűen elsiklani felette.Már em lítettük , hog y Eu klides a párhuzamosok posztlátumának bonyolult fogalmazását adta és ez a fogalmazlényegesen eltért a többi axiómáétól. A régi hellének ébmatematikai szellemének alighanem feltűnt ez az egyenlenség, ehhez járu lt m ég az a zavar is, am elyet az a szimptofelfedezése okozott, ahogy ezt már szintén említettük. Ezmár korán megkezdődött a kutatók igyekezete, hogy rend

teremtsenek e zavaros helyzetben és a fáradozások két irávettek. Egyrészt egyszerűsíteni akarták a párhuzamosoposztulátumának formáját és a többi alaptételhez hasonlóak artá k te n n i; másrészt meg próbálták bebizonyítani, ez pe



252

nem jelent mást, minthogy meg akarták fosztani axiómjellegétől. Magyarázzuk meg itt kissé a kifejezések haszlatát. Euklides szótválasztja a geometriai idomokra vonkozó alaptételeket (posztulátumok), és a tiszta nagyságvisnyokra vonatkozó alaptételeket (axiómák). Mivel azonbmodern álláspont szerint az ilyen megkülönböztetésnek nisemmi jelentősége, számunkra ugyanis egy axióma mindkor olyan állítást vagy megállapítást tartalmaz, amelyntovábbi bizonyítása felesleges (mivelhogy ezek az alaptétejelentik minden bizonyítás kiindulópontját), ezért a köv

kezőkben a posztulátumokat és a szűkebb értelemben vaxiómákat egyaránt axiómának fogjuk nevezni; így tehpéldául mindenkor a párhuzamosok axiómája kifejezést fju k használn i. Tehát még egyszer : egyszerűsíteni akarta párhuzamosok axiómáját. Proklos (Kr. u. 410—485) is akarta ós így fogalmazta meg : «Ha aza egyenes keresztülmegy a P po nto n és párh uzam os p-vel, akkor nincs még olyan, a-tól különböző párhuzamos, amely ezen a P ponkeresztülmenne». Vagy a töb bi axiómából aka rták levezeés ezzel közönséges levezetett tétellé akarták lefokozni. e közben szabályszerűen és téve dh etetlen biztossággal kirült, hogy a párhuzamosok axiómájának minden ilyen «binyítása* valam ilyen há tsó ajtón egy, Euklides többi axiómközt meg nem talá lható axióm át csempész be és ezekről a csempészett axiómákról előbb-utóbb kiderült, hogy ekvivasek a párhuzam osok axióm ájával. A tizenkilencedik szávégén, illetve a huszad ik század elején két geom eter : M. P a

és Baldus bebizonyították, hogy a párhuzamosok axiómápótolhatjuk többféle más axiómával és ezek mindegyialkalmas arra, hogy belőle, Euklides többi axiómáit felhanálva, a párhuzamosok axiómáját levezessük. Ezzel a phuzamosok axiómája valóban levezetett tétellé válik. Ilyhe lyette sítő axióma példáu l a következő is : «Egy hároszögben a szögek összege mindenkor ké t derékszöggel egyen«van két nem egybev ágó hasonló háromszög*, «valamely egnesnek ugyanazon oldalán fekvő és az egyenestől egyfortávol levő pontok szintén egyenesen fekszenek* stb.

Abból is láthatjuk, hogy milyen zavar uralkodott ebba kérdésben, hogy a tizenkilencedik század végéig számos g



253

metriai tankönyvben a párhuzamosok axiómájának bizny ítását* olvashatjuk és ezt a bizo nyítást a szerzők még gymekkorukból hozhatták magukkal. A modern kutatás fénben természetesen ezekről a bizonyításokról is kiderült, hologikai szempontból hiányosak és rejtett feltételezéseket ttalmaznak. Ki is maradtak azóta a tankönyvekből.

Csak mellékesen említjük meg, hogy görög, arab, olasnémet, angol, francia és magyar tudósok foglalkoztak a phuzamosok axiómájával és hogy több, mint 250 komolyveendő értekezést ismerünk e tárg yról, úgyhogy végül mrezignált álláspontot elfoglalva, óvtak mindenkit az ilykísérletektől. Mert nem is egyszer csakugyan m eg törtéhogy rendkívül tehetséges matematikusok éleslátásukat egy hosszú élet minden erejét a párhuzamosok rejtélyénmegfejtésére pazarolták ós h iáb a elfecsérelt életüket méséges kétségbeeséssel végezték. Ilyen sors érte például Gaba rát ját, B olyai Fa rk as t, akinek még az a trag iku m is osztárészül ju to tt , hogy fia, B olyai Ján os a legelsők közt v olt, aa rejtvényt megfejtették és az apa nem értette meg és neismerte el a megfejtés helyességét.

De vissza kell térnü nk a chronologikus sorrend hez. B e kar ró l számolnunk, hogy a lángeszű jezsu ita, Gerolamo Saccha nyelvtannak, filozófiának, vitázó hittudománynak, aritmtikán ak , algebrának, geom etriának st b . tan ár a a páviai egtemen, közzétett egy értekezést, amelyben, durván mondfeltételezi a párhuzamosok axiómájának helytelenségét a feltevést ad absurdum igyekszik cáfolni. Ez az apagogikbizonyítás aránylag könnyen sikerült neki, a «tompaszöghipotézisével)) kapcsolatban. A «hegyesszögek hipotézisévkapcsolatban látszólagos bizonyítások tévútra vezetik Saccrit, úgyhogy végül azt a következtetést vonja le, hogy Eukdest minden szeplőtől megtiszította. Ebből következik művnek címe is : <ű3uclides ab omni naevo vindicatus». Említsmeg itt utólag, hogy mik is azok a fentemlített hipotéziseH a ugyanis egy négyszöget vizsgálunk, amelynekAB alapjára merőlegesen állnak az egyenlő hosszúnak feltételezeAD és BC oldalai, vagyis az alapon fekvő két szöga és §egyenlő és derékszög, akkor bebizonyítható, a párhuzamsok axiómájától függetlenül, hogy a fennmaradó két szö



2&4

f és ő egyenlő egym ással. De nem bizonyítható be, a párhuzamosok axiómája nélkül, hogy derékszögek.

De Saccheri óta problémánk nem került többé nyugvpo nt ra , sőt fejlődése szinte drám ai jellgűvé vált. J. H . Labert (1728—1777) mindkét hipotézist megvizsgálva, elémessze jutott kutatásaiban ; szerepelnek bennük a 180 fonál nagyob b szögösszegű gömbháromszögek is ; tud atábvolt, hogy a párhuzamosok tétele és a háromszög 180 fokszögösszege ekvivalens, ő már a képzetes gömböt is emlG. S. Klüger (1739—1812) és a nagy Legendre (1752—18is beleütközik e problém ába , de a párhuzamosok tételé t miketten érvényesnek tekintik, bár kételkednek benne, hoa prio ri igazság volna. A geometria nagy forradalma íGaussal kezdődik, aki — B olyai Farkashoz írt leveléből kirül — már 1799-ben foglalkozott a párhuzamosok tételévBolyai Farkas maga is egész életén át foglalkozott a probval,de végül be kelle tt látn ia fáradozásainak céltalanságés Euklides igazát. És ekkor kezdődik a tudománytörtén

legkülönösebb felfedezésegyidejűsége, am elye t, nehogy zaros legyen, szkematikusan kell leírnunk.a) Gauss maga, mint már említettük, hamarosan rájö

a titok nyitjára. Olyan ellenmondásmentes geometriát étett fel, amelyben a párhuzamosok tétele nem érvényes a háromszög szögeinek összege kisebb, mint 180°.

b) Lényegében ugyanerre a geometriára ju to tt egy Schwekart nevű jogász ; tudomására hozta Gaussnak és dicsérekapott érte.

c) Schweikart veje, Taurinus, e témáról írt értekezésé1825-ben nyilvánosságra hozza. Ebben a hegyesszög éstompaszög hipotézisét is vizsgálja, sőt az imaginárius gömről is beszél. De ug yanabba a hibába esik, min t Saccheri, úhogy végül Euk lides tételének kizárólagos helyességét hi rd

d) Csak Bolyai János, a magyar mérnökkari tiszt épki a Gauss-félével teljesen azonos nem-euklidesi geometr1823-ban. (A háromszög szögeinek összege szerinte kisemint 180°), de csak 1832-ben hozza nyilvánosságra.e) A többiektől teljesen függetlenül1 jutott az orosz

1 H a eltekintünk a ttól, hogy Gauss egyik tan ítvá ny a kollégája voaz orosznak az egyetemen és így esetleg említhette neki, hogy Gausspárhuzamosak tételével foglalkozik.



255

I. N. Lobacsefszkij (1793—1856) ugyanarra a geometriá1826-ban és felfedezését előterjesztette a kazáni egyetemn(«Kazáni értekezés»). Nyilvánosságra 1829—1840 közkerült. Lobacsefszkij határozottan egyenértékűnek mondgeometriáját Euklidesével.

f) Teljes általánosságban a lángeszű Bernhard BiemanGauss tanítványa és későbbi göttingeni professzor készíteelő 1854-ben a forradalom végleges győzelmét. H abilitácdolgozata «Über die H ypo thesen die der Geom etrie zugrunH egem (A geom etria alapvető hipotézisei) s amelyet Ga

végighallgatott, mindhárom geometria(2 = 2R, 2 < 2E,2 > 2B ) ismeretét tanú sítja.g) A végső győzelmet B eltram i és F. Klein munk álko

dása hozza ; ők ke tte n kim utatjá k, hogy van csupa valpontból álló, állandó negatív görbületű felület (az állítólag«imaginárius gömb* szintén állandó negatív görbületű), ezkívül lényegesen egyszerűsítették és tökéletesítették a gemetria világszemléletét.

Egyáltalán nem lehet feladatunk, hogy behatóan vizsgájuk e különleges felfedezések történetét, inkább az ismerkritikai következményekkel foglalkozunk. Eészletekre vonkozóan többek között «A po nttó l a négy dimenzióig)) cíkönyvünkre utalunk.

Csupán azt a kérdést vetjük fel, mi volt annak a kövekezm énye, hogy belá tták : a párhuzam osok kérdése azéáttekinthetetlen, mert azt az eddigi módon fel sem szabvetni. Hirtelen megtudták, hogy elképzelhetők olyan gemetriák, sőt bizonyos szempontokból meg is valósíthatóamelyekben nem húzható egy ponton át adott egyenesspárhuzamos egyenes, vagy kettő is húzható. Igaz, hogy az «egyenes» fogalmát archimedesi értelm ében kell vens mindazt «egyenesnek» kell tekinteni, ami az adott felüle«két pon t legrövidebb összekötővonala». H a tehát egy «gbült tér», mondjuk a görbült í?a, a göm bfelület, egy sík, vagyisnem görbült, euklidesi J23-ba van beágyazva, akkor ebbőla szem pontbó l a nem -euklidesi té r «egyenese» «görbült». csupán ebből, a nem-euklidesi geom etrián kívül álló szempoból.H a egy hosszújáratú hajóskapitány P lym outhb ól NewYorkba vezeti hajóját, akkor úgy jut oda «egyenes» úto



256

ha egy gömbi legnagyobb körön vezeti. Vagyis, Mohrmakifejezésével élve, egy nem-euklidesi ^-vonalon. Belátjuhogy ez a bűvészkedés a látszólagos ellenmondásokkal «józan emberész* számára gyanússá teszi a nem-euklidgeometriákat. De kérdéssel vághatunk vissza, mert mi vezezt az emberi észt, ha józan óhajt lenni? Alighanem a logtörv én ye i. H a te hát A rchimedes óta «egyenesnek» két plegrövidebb összekötő vonalát nevezzük, és egyáltalán nköveteljük, hogy ez az összekötés feltétlenül az euklideE2-ben, tehát síkban történjék (a síknak ezt a tulajdonság

mellékesen megjegyezve, szintén külön meg kellene állapnun k), akkor számu nkra nem m arad más hátr a, m int hoazt az alakzatot nevezzük «egyenesnek», amely a definícnak megfelel. H a az «egyenes» szó zav ar, akkor használjnyugodtan a «0-vonal» «geodetikus vonalt) vagy legrövidösszekötővonal kifejezést, vagy bármilyen mást. A dolognem ez a látszólagos összeférhetetlenség a lényege, hanem sokkal feltűnőbb szimmetria. Kiderül ugyanis, hogy a phuzamosok axiómájától eltekintve, Euklides minden axmája a nem-euklidesi geometriákban is ellenmondásokm entesen érvényes és hogy m inden olyan szerkesztést, amnek nem feltétele a párhuzamosok axiómája, bármely gm etriá ba n egyformán v égezhetünk el. Ezé rt volt szó az utóévekben nem is egyszer az «abszolút geometriáról*, értve alatt valamennyi geometriai axióma és tétel összességamelyek a geometriára nézve invariánsak, vagyis szinte érketlenek az illető geometria szerkezetével szemben.

A térben és időben történt matematikai utazásunk sorbizony már jócskán eltompultunk az általánosításokkal különféle antinómiákkal szemben. De a tapasztalat azt mtatja, hogy a nem-euklidesi elvekkel kapcsolatban még azis türelmetlenek és dühösek lesznek, akik jószívvel mebocsátják a többi antinómiát. Itt olyasmi kerül ugyanszóba, am i aacommon sewse»-nek nemcsak mint észnek, hanemm in t szemléletnek is ellenmond. Ka ntig azt hitték, sőt a m

matikában kellőképpen nem tájékozott filozófus körökbma is az t hiszik, hogy geo metriánk a prio ri a háromdimenzeuklidesi, egyenes térhez van kötve. Tehát ez a természeadott valami, más «valóság» csupán fantaszták álma, va



2fí7

legjobb esetben a panlogika híveinek tisztán racionalisztikkonstrukciója. Ezek, a fogalmakkal bűvészkedve, csupkörbe forognak ; ráadásul még az ismertből kiindulva, öröaz ismeretlen felé extrapolálnak. Mert a szemléletnek cso tt , az ismeretlenben lehetnek olyan törvén yei, amelyannyira eltérnek a mi szemléletünktől, hogy miattuk leheségeink átlépésének puszta kísérletét is üres metafizikjátéknak kelljen bélyegeznünk.

Ilyen ellenvetésekre, különösen a legújabb idők fizikájákapcsolatban, sokféle válasz adható. Néhányan — köztG. Simmel — kijelentik : a geo m etria kiterjesztése egyá llán nem érinti Kant értelmében vett a priori elvét. Hisz tjes mértékben érvényben hagyjuk ezt az axiomatikára éslogikára vonatkozóan, sőt éppen azáltal hajlunk meg e «szségesség* és «általános érvényűség» elő tt, hogy feladjuk a phuzamosok posztulátumának egyoldalúan lefektetett pozícját és ezzel az általánosítással megszabadítjuk a geometrbelső gyengeségétől, sőt egyik belső ellenmondásától. A

a tapasztalatot illeti, az B2-ben körzővel és vonalzóval egyaránt kipróbálhatjuk a szférikus nem-euklidesi geometra gömbfelületen, és a pszeudoszférikusat a pszeudoszféra feletén. Éppen úgy, mintha az euklidesi geometriával iskofalitáblára rajzolnánk. Az viszont nagymértékben kétséghogy azJE?3-nak, m in t tap asz tala ti térnek euklidesinek kell-elennie ahhoz, vag y sem, hogy életünket és ismereteinke t letővé tegye. Ma már a földünket sem tekintjük sík lapnanoha a mindennapi életben úgy járunk el, mintha az volnLehet, hogy térérzékünk is csak egy ilyen «mintha» (als oMit jelentene számunkra, tesszük fel a kérdést, ha kifinmodott mérési eljárásaink valaha azt mutatnák, hogy miden háromszög szögének összege valamivel több vagy kesebb,mint 180°? Semmi sem változnék, feleljük azonnaA csillagászat és az elméleti fizika már úgyis nem-euklidgeometriákkal dolgozik, mindennapi életünk számára pedaz euklidesi geometria, miként eddig, kielégítő megközelít

sel érvényes maradna. És ha még ezt a megközelítő érvénységét is elvesztené? A gondolkodásnak ilyen forradalm átátéltük már valamilyen formában ; és nem betegedtük beamikor megtudtuk, hogy a kör négyszögesítése megvalós

17 Colerus: Pythagoras.



258

ha tatla n. De a té r görbültségével kapcsolatban még olynag yság rend ű eltérésről sem lehet szó, m int a% eltérése valódiértékétől és a modern fizika feltevése szerint bizonyos teleteken az euklidesi geometria érvényessége egyáltalán nlehet kétséges.

Semmi esetre sincs azonban egyelőre kísérlettel alátámatott okunk arra, hogy elhagyjuk az euklidesi geometrszűkreszabott kereteink közt. De fel kell készülnünk arhogy egyszer reális értelemben is felmerül a térgörbültsfeltételezésének szüksége. Teljesen eltekintve attól, hogy muta ko n is szabad ulhatun k a dilemm ából. M indenkor leheges ugyanis gö rbü lt terekn ek többd imenziós «euklidesi» tévaló «beágyazása»és az euklidesi geom etriának projektív almazása. Ilyen gondolatmenetből adódik a «megegyezésvagy «konvencionalista» álláspont, amelyet bizonyos értelben H en ri P oincaré képvisel, ö ugy anis az alkalmazangeometriát nem «igazsága», hanem kényelmessége*, alapválasztja meg. Ezzel az «igazság» kérdése teljesen kikapcsdott. Azt hisszük ugyan, hogy maga Poincaré sem képviegész szélsőségesen ezt az álláspontot, mert gátolja őt ebbintuicionizmusa, amely nem bízik a puszta «helyességbevagy is a logikai szem pon tból való «megtámadhatatlanságba

Egyelőre hagyjuk abba ezt. Csak annyit fűzzünk méhozzá, hog y a nem -euklidesi geom etriák fejezete véleményszerint még távolról sincs lezárva, noha hatalmas lépést jeltett a matematikai kozmosz meghódítására. De ezen a téris inkább előbb, mint utóbb még nagy meglepetések érhnek, mert a matematikának néhány forradalmi tartománmiután megvívta a maga belső harcát, magasabbrendű össfoglalást kíván és ez épp annyira alapvetően megváltozthatja mai helyzetét, mint ahogy megváltozott az érinérte lm e az infinitézimálszámítás k övetkeztében. Csak az dikedhet azzal, hogy már mindent felfedeztünk, aki lelkéb«alexandriai», őszinte kutatók sok helyen mutatnak m«fehér foltokra* a matematika térképén és ezek a ki nem ku

tott területeket jelzik. De ha már nem is volna ilyen fehfolt, akkor is könnyen lehetséges, hogy a m atem atikán ak mbékés területein a járt utaktól távoleső völgyekben még nem bányászott kincsek hevernek.



259

Nehogy teljesíthetetlen reményeket ébresszünk, kijelejük e helyen is, hogy itt nem a szögharmadolásnak körzőés vonalzóval való megszerkesztésére vagy a racionális szmal kifejezett négyzetgyök kettó're gondolunk, mert ezesemilyen új matematika nem fedezheti fel, hacsak túl nteszi magát mindennemű logika szabályain.

De nyíltan kimondjuk, mi, akik a történet szemüvegkeresztül nézzük a fejló'dést, semmi áron sem vagyunkhajlandók ahhoz a véleményhez csatlakozni, amelyet gyakhallunk. Ahhoz a véleményhez, amely szerint a matema

elérkezett lehetőségeinek határához. Éppen olyan nehelátható az, hogy zsákutcába ju to tt , mint ennek az ellenkezLehetséges, hogy míg ezeket a sorokat írjuk, valahol egy Galois vagy Gauss ülaz íróasztalánálés most alakítja ki a mégcsak számára érthető hieroglifáit egy új kalkulusnak, ésaz összes általunk ismert területet ismét csak különleges eként foglalja magában. De az is lehet, hogy egy sokkal ágóbb tudomány — Lullusnak, Descartesnak, Leibniználma — öleli magába a matematikát és új értelmet ad nAz sem lehetetlen, hogy a matematikáról derül ki hirtehogy tudomány felett álló tudomány és gondolkodásának magasabb formáiból fog egyik-másik ilyen «általános mmatikává* átalakulni.

A jelek sokasodnak. Elkövetkeznek a tettek is.

17*



TIZENHATODIK FEJEZET.B e r n h a r d R i e m a n n .

A matematika mint szellemvilág.Az emberiség egyik legrégebbi és legnagyszerűbb ál

abba az országba vezet, ahol mindaz egészen tökéletaminek itt a földön csak töredékeit vagy távoli visszfénláthatják. Nem kisebb ember, mint Platón adott mélysékifejezést ideái tanában a «vágy ősmitoszának». Az idtanát annakidején az«eleai» bölcseség csúcspontjának mondtuk és utaltunk arra, hogy az ideákban a lét, az örök vtestestül meg, amelyhez az örökös fejlődésnek alávetett vság fokozatosan közeledhet, de amelyet soha el nem érEbből a szempontból az ideák tana ismét valami dinami

prometheusi vonást kap, mert minden vágy, minden tudszomj az ideák felé űz, akár elveszett paradicsomnak, apedig távoli, elérhetetlen célnak tartja is azokat.

A tizenkilencedik századnak volt egy olyan birodalmeghódítása fenntartva, amely valamelyest emlékeztet tón ideáinak birodalmára. A matematika e szellemvilágmár utaltunk. Most azonban túlmegyiink ezeken az utsokon és bizonyos mértékig felfedjük a képét. Közben néhpillantást vethetünk majd ama mágikus kulisszák mögéamelyek mögött mindaz lejátszódik, amit matematikánnevezünk. A szellemvilágon keresztül vezető utunk közfelejtsük el, hogy lehet hűvösen, logikusan, józanul is szlélni mindazt, ami kutatóutunk során csodának látszik. hogy részünk lehessen ebben az élményben, ismét nakerülőt kell tennünk.

Az algoritmus, a notácio, a szimbolika s a különlegkalkulus lényegéről már nincs mit mondanunk, láttuk m

e matematikai eszközöket évezredes fejlődésük során. M



261

közelebbről szemügyre kell vennünk az algoritmusnak egy

különleges oldalát és néhány szót kell szólnunk a számolnak valamint a számtípusoknak tulajdonságairól.Az algoritmusok általánosítására irányuló kísérletek kö

ben különös és egyben meglehetősen zavaró tüneményekm utatk ozta k. H a a természetes számok birodalmáb an smításokat végeztünk, akkor azonnal csalódást is érezhettüés ez arra kényszerített, hogy túllépjük e birodalom határaA természetes számok eredeti típusához mindig újabb újabb számtípust kellett «adjungálnunk», magyarul: hozzfűznünk. A litikus m űveletek legkisebb általánosítása milyesmire kén yszerített . H ab-t kell kivonnunk a-ból,a és hterm észetes számok, akkor m ár a fc>a feltétel elegendőtermészetes számok tartományának felrobbantására. Vag«hamisnak» tekintjük az eredményt, Descartesig ez voltszokás. Vagy el kell szánnunk m agu nkat ar ra , hogy bevezesaz «egészszámok» átfogóbb jellegű típusát. E;z már magábfoglalja a pozitív (természetes) egész számokat és a nega

egészszám okat is. A z osz tás más módon robb antja fel természetes számok rendszerét. Az a követelés, hogy ekisebb természetes számot egy nagyobbal osszunk, a valótörtek fogalmához vezet. Ezek még pozitívok és negatívis lehetnek, ha az osztáshoz nemcsak a természetes, haneáltalában az egész számokat használjuk. De ezzel már szátartományunkat valamennyi racionális szám tartományábővítettük ki. E számtípus tagjai egymáshoz mindig racinális viszonyban állanak. Böviden, a racionális számok ttományában az osztás elvben mindenkor elvégezhető. A kvetkező , magasabb litikus művelet a gyök vonás, új p roblémad fel és új számtípust szolgáltat, amely messze túllépi imént nagynehezen elhatárolt racionális tartomány határaA gyökök legnagyobb része az irracionális számok birodalmhoz tartozik, s ezeknek kimerítő leírása statikus eszközöklehetetlen . A z irracionális számok megfogásához dinamikeszközök szükségesek és legjobb esetben egy sor képzési t

vényét fedezhetjük fel, amellyel egy irracionális szám valóértékét oly mértékben megközelítjük, ahogy csak neküntetszik. Vagyis a hibát bármelyik kívánt határ alá csökkenhetjük. A gyak orlatb an, ahol úgyis csak a m egközelít



262

matematikáját használjuk, ezt a lényeges megkülönböztetsokszor érzékelni sem tudjuk és valahol abbahagyjuk tizedesjegyek kiszámítását, akár racionális, akár irracionászámról van szó. Nem törődünk azzal, hogy a félbeszakíelvben nem egyforma jellegű. Elméletileg azonban meg kállapítanunk, hogy az irracionális számok bevonása művleteink közé a számforgalom leghatalmasabb kiterjesztéjelenti. Mert bebizonyítható, hogy minden két egymáshvég telenü l közel eső racionális szám kö zött vég telen sok racionális számnak kell lennie. A halmazelmélet kifejezésvel élve, számosságuk már meg nem számlálható, transzfirendszámuk indexrendje mindmáig nincs meghatározvA számfogalom e legújabb kiterjesztésével, az irracionászámok «adjunkeiójával» a számtartományunkat a reászámok tartományává bővítettük ki és ebben helyet fogvalam enny i pozitív és ne ga tív egész szám, valamenny i pozós negatív törtszám és valamennyi pozitív és negatív irracnális szám.

De az egyenletek algoritmusa hamarosan felfedte, hoa gyökvonás műveletét nemcsak pozitív számokra alkalmha tjuk . Meg kel litt még azt is jegyezn ünk , hogy e problémnak akkor is fel kellene merülniök, ha a műveleteket tiszkombinatorikus úton alkalmazzuk valamennyi számtípusIlyen vizsgálatnál nem csupán a negatív számok osztáskellene nagyítóüvegünk alá vennünk, hanem a belőlük vható gyököket is. Az egyenleteket tehát nem elvi, hanetisztára történeti szempontból említettük meg, minthoaz egyenletek megoldásával kapcsolatos gyökvonások vezeelőször a «lehetetlen» vagyis «imaginárius» számokra. Mitudunk már egyet-mást ezekről az imaginárius számokróla velük való bánásmódról, tudjuk, hogy az algebra alaptétalapjában véve abból következik, hogy az w-edik gyöknéppenn különböző érték e va n, és ezek részben imagináriusoilletőleg komplexek.

A rra is uta ltun k m ár, hog y D'A lembe rt, Euler és más

felfedezték azt a rendkívül fontos körülményt, hogy a koplex, vagyis az(a-\-bi)alakú számokon végzett alapműveletek sohasem lépik túl a komplex számok tartományánha tá ra it, H a összeadjuk, kivonjuk , szorozzuk, osztjuk, h



263

ványozzuk a komplex szám okat, vag y gyököt vonunk belőlmindig újra komplex számot kapunk. Később azután mműveleteket is végeztek komplex számokkal. Megismerta komplex számok logaritmusát, a szögfüggvényeket is alkmazták a komplex számokra s eközben is mindig legfeljekomplex számokra volt szükség, úgyhogy végül ki kelljelenteni, hogy ezekkel elértük a számok birodalmánahatárát. Gauss és Oauchy már eljutottak idáig. Éppen ígGrassm ann és még mások is. De fe lvetődött az a gondolathogy feltétlenül meg kell-e maradni a Gauss által elképzkomplex számsíkon vagy pedig megvan-e a lehetőség a tékiterjeszkedve aza-\-bi-\-cjalakú hiperkomplex-számok részére. Az idevágó vizsgálatok hamarosan kimutatták, hoghá rom tag ú hiperkomplex számok aszimetriájuk követketéb en csak nehezen és körülm ényesen kezelhetők és semmielőnyük sincs. Ezért szánta el magát — mondjuk el előre Sir W illiam E cw an H am ilton , a tizenkilencedik század eglegnagyszerűbb, de legmakacsabb szelleme arra, hogy bvezesse a matematikába a quaterniókat, aza-\-li-\-cj-^-dkalakú számokat. Ezekről később lesz szó.

Már e fejezet elején is uta ltu nk ar ra , hogy e közbenfejlődéstörténeti és fejlődéspszichológiai szempontból rendkíérdekes helyzet következett be. Gauss és Cauchy bizonyfokig itt is vezetőszerepet játszott. Mert amint a konkvistádorok távoli, újonnan meghódított területekről visszanézhazájukat új megvilágíiásban kezdik látni és az új orszkincsei alapján az «óvilág» sok berendezkedésében egy mrégebbi világ elmorzsolódott és tökéletlen maradványafedezik fel, úgy néztek vissza a komplex szellemvilág kokvisztádorai mindarra, ami a számoknak Dorádója alamaradt. S közben kiderült, hogy a reális számok birodalmgyakran csakugyan nem több, mint csökevényes maradvánegy eredeti, tökéletesebb, szimmetrikusabb világnak. Ez trégebbi világot itt a szellemvilágban szinte a kezünkkel elérhetjük, mintha csak a matematika platóni ideáinak bir

dalmában volnánk. És mikor azután az is kiderült, hogy ősi mintaképek viselkedéséből egy ed dig hozzáférhetetlmódon következtethetünk az alsóbb világ számainak viskedésére, sőt viszonylagos könnyűséggel kimutathatóvá v



264

az is, hogy még nagy matematikusok is miért halmozthibát-h ibára, akkor ezzel tov ábbi emelkedés ha talm as kapny ílt meg. Fo rm ák új világához veze tett ez a kapu és olysokoldalú és oly jelentőségteljes lett ez a világ, hogy a tizkilencedik század végének egyik nagy matematikusa eztszámot röviden a ((függvénytan századának)) nevezte.

Kimondtuk azt a szót, amelynek tartalmához eddig cslassan igyekeztünk közeledni. Itt ugyanis ismét arra kénszerülünk, hogy közvetett leírással nyújtsunk valamelyes tekintést a matematika legkevésbbé hozzáférhető és le

kevésbbé népszerű te rü le té re : a «komplex változók* elmletéb e, vagyis a szűkebb értelem ben v e tt «függvényelméletb«Püggyónyelméleten» általában a matematikának ig

nag y részét kellene értenü nk , m er t ugy an mit nem tekinhetünk végeredményben függvénynek? Már a tizenkilenceszázad elején elhagyták a függvényfogalom klasszikus értmezését és annyira kibővítették, hogy ez az általánosítmajdnem egyértelmű volt egy megváltoztatással. Dirichugyanis úgy változtatta meg a függvényfogalom értelmhogy egy reálisx változónak egya, b tar tományban vagyintervallumban vett függvénye alatt azony mennyiségetkell értenü nk , amelynek azx m inden e tartom ányh oz tartozóértékéhez csak egyetlen, meghatározott értéke tartozik, ezt az értéket azx teljesen meghatározza vagy általa megtalá lha tó ; és az közömbös, hogy számítással, geom etrszerkesztéssel megfigyeléssel vagy más eszközökkel.így például egy tizedestört, amelynek jegyeit kockadobások útj

kapjuk meg, függvénye a dobásokx számának, stb. A legáltalánosabb értelemben vett függvénytannak tehát a fügvényeknek e szinte határtalan sokaságában kellene rendtere m ten ie, osztályoznia kellene ők et, tulajdonság aikat kellkikutatnia, kalkulusukat megvizsgálnia stb. De a függvénfogalom ilyen általánosítása következtében a függvényfolom definícióját a szűkebb értelemben vett függvényelmélben is olyan mértékben ki kellett terjeszteni, hogy e birodlomban — mint ezt például Knopp1 is mondja — általánosérvényű törvényekkel és tételekkel uralkodni már nem leh

«Funktionentheorie9 (Göschen kiadás).



265

Knopp így folytatja : «Az tehát a feladatunk, hogy a felteleket, megfelelően választott módon, úgy szűkítsük mehogy a függvények összességéből egy különlegesebb, azonsokkal értékesebb függvényosztály váljék ki, értékesebm atem atikai és term észe ttudo m ány i használhatóságukat kintve. E szűkítő követelmények a folytonosság és differciálhatóság követelményei lesznek.))

Szándékosan idézzük e mondatokat egy egészen újkeletankönyvből, mert megmutatják, hogy a kutatók álláspona függ vény elméletben anna k felfedezése ó ta alig vá ltozoFolytonosság és differenciálhatóság «értékes» tulajdonságmert csak az ilyen függvények hozzáférhetők az infinitezimszám ítást alkalmazó m atem atika szám ára. Mert ez a lényegbár nagyon mélyenjárók és bonyolultak azok az eszközöamelyek ehhez a meggyőződéshez vezetnek, mihelyst "cskis mértékben is nem-elemi függvényekről van szó. Az finitezimális vizsgálat bővelkedik rejtett nehézségekben szakadékokban, lépten-nyomon készen kell állnunk függvnyek különleges viselkedésére és egy függvény kimeríismerete általában csak akkor lehetséges, ha komplex, ővag y ideális állapotában vizsgáltuk m eg. írjun k ide W ieleitn1

nyomán egy egyszerű példát, amely az exponenciális, illelogaritmusfüggvényre vonatkozik. Euler 1748-ban fedezte a következő összefüggést:eia= cos a-fi sin a. Ismeretes,hogy s in a = 0 , ha a = 0 , ±%, ± 2? r,. . . ±WJT,és cos a—l,ha a a rc-nek páros számú többszöröse. Itt arc a 180° ím érték ét jelenti, am int az az analízisben álta lában szokásEzek szerinte

2nni=l, mivel haa—2nnakkor sin a=0 éscos a=l. Legyen adva aze valamilyen hatványa, mondjuk

em akkor helyette bármikor az ew+2»*, em+í«í> általábanem+2nai értékeket írhatjuk , m er t ettől nem változik. Meem+2nrtí=em_ e2n»{ gs mint már lá t tuk,e2nrti —l. H a fenti«hatványt» exponenciális függvénynek tekintjük, tehát kitev őt tekintjük változónak, akkor kiderü l, hogy az exponciális függvény kom plex tar tom án yb an végtelen sokértelmH a azonban most azem=a exponenciális egyenlet logaritmusá t

1 «Der Gegenstand der Mathematik im Lichte Ihrer Enfrsyjckhing(Mathem atiseh-pliysikalische B ibliothe k),



266

vesszük, akkor fentiek alapján és a logaritmus lényegébkövetkezően nem csupán az "log a = n megoldást kapjuhanem éppen olyan joggal ezelog a= m +2 wJ ri megoldást isés ittn valamely 0 és ±00! özött fekvő egész számot jelent.A szellemvilágban teh át mindena számhoz végtelen soklogaritmus tartozik, noha ezek között csak az az egyetlreális,amelyet mi, közönséges halandók «a logaritmusnaknevezünk.

De a komplex területekre átmenve, a sorok elméletébeis hasonló kitérjeszkedésekre '> kkanunk. Az általunk ismert

1 1 1sorok , m int példáu l az 1H\- — ~\—5 + ••• típusú fogyógeometriai sorok kizárólag a számvonalon mozognak, geomtria i ábrázolásuk ezen tö rténik . Ezen a vonalon van a ha térték ük , a k onvergenciapontjuk. Ez u tóbb i például a

1 1 1 "1 +-jr- +-T- +-Q - + . . . sor szám ára a számegyenes 2 pontA 4 oA konvergens kom plex sorok egész másképpen viselkedn

Komplex számok különleges sajátságának megfelelően az ilsorok szétterülnek a számsíkon és a konvergenciapontbennek megfelelően konvergenciakör lesz. Kissé sántí tó haslattal azt mondhatnók, hogy a komplex számsíkot két szilátöltésen futó, egym ást keresztező úthoz hasonlítjuk. H a mmaradunk a reális vagy tiszta képzetes számok birodalmábakkor minden szám ítási folyamat ezeken a szilárd utakjátszódik le. De ha a két számfajta keverékével van dolguvag yis kom plex szám okkal, akkor a kom plex számsík mindirán yb an süppedő ingov ányáb a ju tu nk és ez kvadránsszerűterül el a kereszteződő utak közt.

Már ismételten említettük, hogy nincs módunk itt olyatárgyat előadni, amelynek lelkiismeretes ismertetéséhez egkötet kellene, még akkor is, ha csak legfontosabb részetérünk ki. Ismét arra kell szorítkoznunk, hogy «pedagógszubsztitúció)) segítségével néhány példát mutassunk bamelyek felsőbb régiókba visszatranszformálva mutatjcsak tárgy un k igazi nehézségeit. H allottuk m ár, hogy fotonosság és differenciálhatóság egy függvényosztály jellemés fontos sajátságai. Ezzel az osztállyal van az «életben



267

többnyire dolgunk. «Életen» itt fizikát, technikát, geodézicsillagászatot, meteorológ iát s tb . kell érte nü nk A z infitezimális számítás tudományának kezdetén e két tulajdoságot a függvény lényegéből következő ismertetőjelnek ttották, de legalább is határozott volt az a meggyőződés, hoez nem k ét különálló tulajdonság H a tu d tá k , hogy egfüggvény folytonos, akkor differenciálhatónak tekintettéha differenciálható volt, folytonosnak. De ha megvolt akaz egyik, akár a másik tulajdonsága, akkor képgörbéjénfeltétlenül volt érintője, mert a differenciálhányados neegyéb, mint az érintővel összefüggő projekciók bizonymatematikai kifejezése. Annál nagyobb volt a csodálkozamidőn Weierstrass véget vetett e szép álomnak. Mert Eiemann és Weierstrass által megállapított függvénytanemcsak fenti tulajdonságokra vetett új fényt, hanem aztbebizonyította, hogy folytonosság és differenciálhatóság kegymástól független tulajdonság. Vannak tehát olyan fügvények, amelyek folytonosak és mégsincs differenciálhán

dosuk, tehát nincsen érintőjükx

Geometriai szempontból aligelképzelhető dolog ez. Ma már azt is tudjuk, hogy a folytonés differenciálható függvények csak kis szigetét jelentik e tulajdonsággal nem rendelkező függvények óceánjánMeg kell jegyeznünk, hogy logikai szempontból ez a körmény nem annyira a függvényfogalom lényegének eredmeghatározásából, mint inkább annak kiterjesztéséből kövkezik és hogy itt magasabb szempontból álokoskodásról vszó. De ezt nem írhatjuk a matematika terhére, mert csaa függvény fogalmának ilyen kiterjesztése te tt e lehetővhogy a régi értelemben vett függvény fogalmát teljesen határoljuk és biztosítsuk és még a szükséges, úgyszólvklasszikus függvények birodalmában is találjunk olyan dgo ka t, és abnorm itások at, amelyeknek mélyebb összefügései csak a komplex függvényekre kiterjesztett birodaloban találhatók meg.

De példákat ígértünk, hogy legalább fogalmat adjunazokról a mélységekről, am elyekrő l e fejezetben szó va n .

1 Látni fogjuk, hogy vannak olyan helyek is, ahol van differenciáhányados és még sincs érintő,



268

példáulaz y=xa függvényt kellene vizsgálnunk, akkor rögtön

be kell látnunk, hogyez — oo-től + ° ° - ig terjedő tartom ány -1 -3ban folytonos.E függvény differenciálhányadosay'=—x 8

ha y kisebb vagy nagyobb, mint0. Ha x—0, akkora differenciálhányadosy' = oo. Függvényünknek tehátvan diffe-renciálhányadása,ez azonbanegy bizonyos meghatározotthelyen nem véges. B onyolultabba helyzet,ha az úgynevezett

aNeil-féle parabolát,y—x3 vizsgáljuk,ez — oo és +oo köztszintén folytonos.B görbének ugyanisaz x=0 helyenvanúgynevezett elülső vagy jobboldali differenciálhányadoennek értéke +°°>és van hátsó vagy baloldali differenciálhányadosa, ennek értéke viszont —oo. Ezena helyen tehát,noha folytonosa függvény, nincs érintője. Ugyaneza helyzetaz y=\ x | függvényeknél is, amelynekaz # = 0 helyena jobboldali differenciálhányadosa-f i , a baloldali viszont — 1 ,tehát ismét nincs érintő, nohaa függvény folytonosés differenciálható. Vannak azonban, mintmár mondottuk, mindenütt folytonos, viszont seholsem differenciálható függvényekis, de nincs módunk ezekkeli t t foglalkozni.De befejezésülmég egy kis példa: A komplex mennyiségekbevezetéséig joggal hitték, hogyaz y = - r r~a *uggv6oyfolytonos. Közelebbi vizsgálatnál azonban rögtön kiderühogye függvénynekaz x=±i értékénélkét szakadásavanés a függvény értékeitt a végtelenben növekszik, mivel

1 1 . 1. , , • » = r • ?V—la = - ; — T -= OO,X= — i eseten1-M a i + 1/ ( _ l )2 » ' x 1—1ugyaneza helyzet.

Világosaz is, hogy ezeknekés hasonló messzebbmenővizsgálatoknak rendkívülia jelentőségükaz integrálok szempontjából is. A zis világos továbbá, hogye jelentőségük megmaradegy olyan területenis, amelyaz integrálkalkulus legfőbb alkalmazása:a differenciálegyenletek elméletében.Olyan egyenletet nevezünk differenciálegyenletnek, amelynemcsaka változók, mondjuk* ésy fordulnakelő, hanemdifferenciálhányadosokis, pl.: y' és y" stb. Az elméleti fizika



269

m inde n részén találkozun k ilyen egyenletekkel. Természjelenségek leírására szolgálnak, mivel differenciálegyenlesegítségével egész tartományok viszonyait tudjuk rögzíteH yen egyenletek megoldásában az utolsó lépés esetleg az istelten átalakított egyenlet mindkét oldalának integráláEzzel a differenciálegyenletet közönséges többváltozós füvén yre vezettük vissza.Mi játssza e problém ákban , amelyekhez sokszor még súlyosbításként a parciális differencihány adosok szereplése is járul, a főszerepet? A függvéa differenciálás és az integrá lás. H ogyan tu do m ezeket a te

leteket kellőképpen megközelíteni? Ismét csak a függvnyekkel kapcsolatos lehetőségek kimerítő ismeretével.Azt hisszük, hogy már sejti az olvasó, hogy mi is lény

gében a függvénytan célja és meggyőződött arról, hogy halos komoly dolgokról van benne szó és nem matematikak ro batá k m uta tvá ny airó l. De nem fejezzük b e ezt a fezetet, amíg nem nyitottunk kaput egy nagyszabású kiláfelé oly vidéken, amely szoros kaocsolatban van a mai dimikus fizikával. De egyúttal elkezdjük leírásunk életrarészét is és néh ány szót szólunk Sir William Row an H am iltról, aki 1805-ben, Dub lin váro sába n szü letett. Már mo ndtróla, hogy makacs term észetű lángész vo lt. P edig majdntöb b volt. Egyike volt tud om ány un k, helyesebben nagy m űszetün k isten i megszállottjainak. H am ilton tízéves korábm ár kívülről tu dta H om erost és ezután arab ul és szanszkrkez dett tanulni. Néhány évvel később má r tizenhárom nyvet tu d o tt. K öltött is és jó ba rátja volt W ordsw orth. Hszonhárom éves korában a Dublin mellett fekvő Dulsing clagvizsgáló megtisztelő igazgatói állását tölti be, címe «EoA stron om er of Ireland» s ebben az állásában ha láláig (18megmarad. Egész életében nem lett hűtlen a költészethsem. De sajnos, az alkoholhoz sem, amelyet annyira kedvhogy állítólag egy éjjel kötéllel kellett a távcsőhöz kötnho gy le ne zuhanjon. A matem atika, a filozófia, költészetalkohol mámora következtében végül elborult elméje, úghogy élte utolsó éveiben különös vagy talán teljesen abnmális volt. Természetesen nem akarjuk az ő életét érvkéfelhozni, csupán megállapítjuk, hogy dionysiosi módon éalkotott és halt meg. Mert szándékai még sokkal hatalm



270

sabbak voltak, mint óriási tettei, úgyhogy ő a matematszellemvilágának legnagyobb prófétái közé tartozik.

H amilton első, «konjugált függvényekről)) szóló mű183S-ben jelent meg.. Filozófiai szempontból ebben Knyomán igyekezett haladni és a számfogalmat az idő szléletmódjából akarja levezetni. Ezt fejezi ki a követkmondata is : «A térbeli mennyiség fogalma csak a különkérdésével jut be képzeletünkbe, ezzel vált lehetségessmérés művelete.» A közönséges komplex számokat ebben aértekezésében számpároknak tekinti. Ez az értelmezés

azóta sem merült feledésbe, mert analitikus tárgyalásunagy mértékben megkönnyíti.Fizikai témákra kell áttérnünk, hogy legalább valam

mondhassunk azokról a «quaterniókról», amelyek Hami

12. ábra .

közléseiből (1853-ban és 1866-ban) ju to ttak be a matemaköztudatba. Leibnizről szóló fejezetünkben említettük, hVarignon fedezte fel az erőparallelogramma-tételt. E téteszi lehetővé két erőkomponens eredőjének meghatározá



271

illetve valamely erőnek a két komponensre bo ntását. Hm ost a komplex számot nem a szokott m ódon ábrázoljuhanem sarkkoord ináták segítségével, akkor minden kompszám hely ett egy úgynevezett vek tort kap unk . A vektolyan irányított egyenesdarab, amelynek hosszából, irányból és az abszcisszatengellyel bezárt szögéből a komplex szminden meghatározó adatá t leolvassuk. H a két ilyen vektösszeadunk, akkor a keletkező rajz teljesen megfelel az eparallelogramma képének. Komplex számmal végzett mvelet tehát dinamikus folyamatoknak pontos képe és kompműveletek eredménye bizonyos körülmények között azonmechanikai vizsgálatok és átalakítások eredményével. Mamatikai fogalmazásban az(x-\-iy)J

r{aJrib) = (x-\-a)+ÍQ/+&)

összeadás a síknak(a-\-ib)darabbal való, párhuzamos eltolását jelenti. Az(x-\-iy).(a-\-ib)—(x-i-iy)()ei'P szorzás a síknakf szöggel való forgását je lent i, a ko ord ináták kezdőpontjkörü l, miközben minden távo lság az 1 :Q arányban megnyú lik. Ez teh át egy hasonlóságot me gtar tó transzformácés egyben forgás, vagy röviden egy úgynevezett forgónyujtás .

A z úgyneveze tt «vektoranalízis», vagy is az ilyen irán yí ttávolságokkal való számolás időközben a matematikának fizikának ha talm as működési terüle tévé fejlődött, m ivel ilyen tárgya lási móddal a legtöbb mechanikai és egyéb termszeti jelenséget hihetetlen mértékben, közvetlenül és egysrűen lehet matematikailag leírni. H am ilton maga vezette a vektorfogalm at a m atem atikába egy 1845-ben, a Q uarteJou rnalb an megjelent értekezésében. Később minden koplex mennyiséget a tisztán szám szerű skaláris és az irány ítvektoriális részre bo ntot t. E megkülönböztetésnek érthemódon igen nagy a jelentősége minden vektorokkal való smításban, minthogy a mennyiség skaláris részére más számlási szabályok érvényesek, mint a vektoriális részre.

A sokszor em lített quaterniókt-\-ix-\-jy-\-kzalakú hiper-komplex számok, ezekben í a skaláris ésix-\-jy-\-kza vektoriális rész. Elsősorban mozgások (forgónyujtások és mtöbb más) térbeli leírására szolgálnak és meghatározásuhoz négy koordinátára van szükségünk. A quaterniókkvaló számolás szabályai igen bonyolultak és csak anny



272

említünk meg, hogy szorzásuk nem kommutatív műve

tehát két quaternio szorzatának, a tényezők sorrendjémegfelelően, két különböző értéke van. Félix Klein, akeddig is sok adatot köszönhetünk «Vorlesungen über die wicklung der Mathematik im X IX. Jahrhundert* című mben körülbelül azt mondja, hogy a quatemiók akkora feltűkeltettek Angliában, hogy Dublin iskoláiban egészen Crszerű jelentőségük volt. Kezelési módjuk olyan elegánfizika bizonyos problémáira olyan szimmetrikus módon amazhatók, hogy ennek a módszer bizonyos túlbecsülékellett vezetnie. így megalakult Angliában 1895-ben«Yilágszövetség a quaterniók fejlesztésére* és ez kutacéljaként a «quaterniós függvónyelméletet» tűzte ki. Ea matematikában forradalmi eredményeket vártak, sőt bnyos szempontokból világrejtélyek megoldódását. E vizsgtok végre arra vezettek, hogy van egy olyan quaterniósgebra, amelyben az algebra alaptétele nem érvényes és amben van egy harmadfokú egyenlet, amelynek minden lé

quaternio megoldása.Ma még nem derült ki, hogy hova vezet a matematikáez az útja. H amilton quaternióinak látható sikere alkalzásuk Einstein relativitáselméletében, mert ezeknek kösheti ez az elmélet bizonyos értelemben lekerekített megjnési formáját.

Meg kell tehát állapítanunk, hogy a matematika szellvilága több, különféle módon ragadta magához az uralmás matematikai és matematikai-fizikai tartományok feés ősképek világaként, valamint vektorok világaként hojárul a függvényelmélet és a vektoranalízis megalapításáDe a legújabb időkben a halmazelmélet és a csoportelma függvényelmélettel és a vektoranalízissel talált kapcsolúgyhogy valóban egy óriási matematikai világ van keletkfélben. Ennek kisegítő területei még a többdimenziós, neuklidesiés projektív geometriák, de ezek is számos kapcsolban vannak egymással.

De legfőbb ideje lassanként, hogy megemlékezzünk azról a férfiakról, akik a komplex változók elméletének, ta szűkebb értelemben vett függvénytannak alapjait lerakEzek Bernhard Riemann és Carol Weierstrass, akiket F



278

Kiéin, ő maga is elsőrendű matematikus, a következőképpje lle m ez : «B iemann ragyo gó intuíciója férfi. Széleskölángesze minden ko rtá rsá n felülemeli. H a valami felkeérdeklődését, akkor az alapokból indul ki, nem zavarják a hagyom ányok és nem ismeri el a rendszerekből adódó kötelményeket. Weierstrass elsősorban logikus elme; lassarendszeresen, lépésről-lépésre halad. H a valamihez hozzáfakkor lezárt eredményre törekszik.)) Csak annyit fűzünk mhozzá, hogy a két német úttörőnek, akiknek a világ a tizekilencedik század leghatalmasabb matematikai haladásköszönheti, élete is hajlamaiknak megfelelően alakult. Vapedig hajlamuk életpályájuk képe volt.

E iem an n atyja, akárcsak Ábelé, vidéki lelkész vo lt. maga 1826-ban született. Az isteni gondviselés, amelybjám bo ran h itt , nem egész negyven földi évet a do tt nek i, sa negyven év is alig elképzelhető szenvedések sorozata vElőször anyját veszti el, 1855-ben aty ját és nő vé rét, 1857-bá ty já t, 1864-ben másik n ő v é ré t: ez a sorsa egy epilepszcsaládnak ós ez a sors ham arosan őt is megragad ja. 1862-bmegnősül. Alig egy hónapra az esküvője után már mehártyagyulladás veri le lábáról, és ez már a vég kezdetMegéli még gyermeke születésének örömét, a gyermek 18ban P isa városáb an lá tta meg a n apvilágot. Eltének hároutolsó éve zűrzavaros álomhoz hasonló, É bárom év narészét Olaszországban tölti, de 186S-ben visszamenekül mkája helyére, Göttingenbe és megkísérli, hogy egy tél munjával mentse azt, ami még menthető. Nyár elején.hirtelúgy érzi, hogy mindennek vége. Mégegyszer fellángol élak ara ta s Olaszországba aka r eljutni. Ek ko r az A usztriávvív ott há bo rú zárja el ú tjá t. Kasselbaa felszedték a sínekMégis délre akar ju tn i. Lovaskocsival, gyalog . Júniu s 28végre megérkezik a Lago Maggiore mellé és július 20-mint egy szent hal meg Selascaban az Intra mellett, a ViPisoni kertjében. Utolsó napjáig dolgozott. A rendelkezésálló tizenöt évet véglétekig kihasználta hatalmas gondolat

nak felépítésére.Ahová csak nyúl, sosem látott fényben csillan fel a matmatikai kozmosz. 1854-ben íródott habilítációs irata «Übdie H ypothesen , welche der Geom etrie zug rund e liegén»,érett

Í8 Colerus: P ytbagoras.



274

tudásának klasszikus terméke, amelynek még a halálh

közelálló Gamssra is mély hatása volt. De már 1851-bbenyújtotta doktori értekezésként; «Grundlage:a für eimegemeine Theorie der Eunktionen einer komplexen Grösés ez az értekezés semmiféle visszhangot sem keltett, nmindaz benne van, ami a modern matematika haladámegalapozza, B iemannak az volt a sorsa, hogy elhanyaják, noha a hivatalos pályafutásában egyáltalán nem marel, hisz aránylag fiatalon már professzorrá nevezték kCsendes, ezoterikus, mély módszerének a következményehogy a kilencvenes évek lexikonaiban még hiába keresnevét. Nagyon megrendítő' ez a körülmény. De ennek véoka annyira az általa tárgyalt és kikutatott anyagban rejhogy tetteit még csak félig-meddig népszerűen sem tudleírni. A zzal kell megelégednünk, hogy megemlítsük a «mann-féle felületet*. Ez a matematika egyik legkiválófelfedezése, amely lehetővé teszi igen bonyolult függvénábrázolását is és ezáltal olyasmit tesz megfoghatóvá, ami

küle örökké tiszta absztrakció maradt volna.Weiergtrassal kapcsolatban sem sokkal jobb a helyzetünoha e férfinek megadatott, hogy gondolatait hosszú évfolyamán megérlelje. 1815-ben született •Münster vidékOstenfeldeben. Eleinte B onnban jogászkodott. Élete" mgalmas volt, bár sokszor szegényes, 184r2-től 1848-ig a nyugatporoszországi Deutsch-Crone gimnáziumában tanár, 18481851-ig a keletporoszországi Braunsbergben levő CollegH oseanum tanára, 1854-ben nyeri el KönigsBergben a tiletbeli doktori címet és 1856-ban a matematika professzoráhívják meg B erlinbe. Ott ad elő majd harminc évig egyrevekvő hallgatóságnak és 1897-ben hal meg. Az volt a skása, hogy alig adott ki valamit nyomtatásban, megkötelte , hogy előadásait jegyezzék és még a jegyzetek sokszsítását sem engedte meg.

ífint már említettük, Weierstrassnak köszönhetjük a füvényelmélet kerek lezártságát és azt az ismeretet, hogyfolytonos és differenciálható függvények csoportja csak sziget a függvények óceánjában. Ezenkívül a hatványsorovizsgálta és ezeket függvényekké alakította át.

Nem akarjuk ezt a fejezetet lezárni addig, amíg nem u



275

ttrnk volna arra, hogy mivel is foglalkozik hozzávetőlegea sokszor emlegetett függvényelmélet. E célból átlapozegy modern, függvényelméletról írt könyvet és megállajuk, hogy alapfogalomként a sík pontjaira vonatkozó hmazelméleti vizsgálatok és egy komplex változó függnyeire vonatkozó definíció, valamint a folytonosságra ésdifferenciálhatóságra vonatkozó vizsgálatok szerepelnek beEzt követik az úgynevezett integráltételek, ezek között fohelyet foglal el Cauchy egyik tétele; ezt a konvergencvizsgálatok követik, valamint analitikus függvények hatvásorba való fejtésének vizsgálata, majd transzcendens füvények és úgynevezett szinguláris helyek vizsgálata kökezik. Meg kell itt jegyeznünk, hogy~ analitikus függvénvégtelenben való viselkedésének vizsgálata a szinguláhelyek vizsgálatának körébe vág. Ezek teszik az elméáltalános alapjait. Különleges elmélet foglalkozik mostegyértelmű függvényekkel, idetartoznak a periodikus füvények, és a többértelmű függvényekkel, amelyeket mgyököket és mint logaritmusokat már megismertünk. utóbbi függvényeket a Eiemann-féle felületen is ábrázol

Természetesen egy ilyen kis lapozgatásnak nincs töjelentősége, mint valamelyes biztatásnak vagy utalásnafüggvényelmélet gyakorlati jelentőségére. A zonban e bonlult függvények fizikai jelentősége alkalmazásaik követktében igen nagy. De elemi ismertetésük és megtanulásolyan nehézségeket okoz, hogy ali -ran egyelőre reményezoterikus jellegük megváltozására.

Lezárjuk tehát ezt a fejezetet a nélkül, hogy mélyebb hatolást mernénk megkísérelni. Ismét hangsúlyozzuk cpán, hogy ma a «matematikai szellemvilág)) uralkodik a mmatika alacsonyabb tájain és teljesen lezárja a számok vgát. Ebből természetesen nem szabad arra következtetnühogy ezen a téren új felfedezések lehetetlenek. Hisz tudjmaguk a komplex számok voltak azok, amelyeknek évezdeken keresztül kijárt a «lehetetlen», «impossibilis» jelző

18*



T I Z E N H E T E D I K F E J E Z E T.

D á v i d H i l b e r t .

Matematika és logika.

Megkíséreltük, hogy a matematika legutóbbi évszázadbtö rté n t fejlődésére n éhán y fénysugara t vessünk. E közba lángeszű felfedezések tömegéből néhányat ki tudtunemelni. Ezeket a történész iskolázott szeme korszakalkotónak va gy korszakok kezdetének lá tt a . Mégis azon fogunk migyekezni, hogy még magasabb álláspontot foglaljunk azáltal, hogy a már eddig hallottakat egyszerűsítjükValamely tárgy átvizsgálásának belső törvénye ugyanihogy először a különlegességek, a különbségek, az eltéréuralko dnak, mivel álta láb an a részleteken keresztül jutumagukhoz tárgyainkhoz. Csak lassan ós nagy fáradtsárán lesznek a mélyebb összefüggések láth ató k, eltűnna különbségek és a csúcson tiszt a és világos kilá tás tárelénk.

A «részletek összevonásának törvényes, ezt a nevet ahatnék neki, seholsem működik olyan hatásosan, mint efejlődő tudom án yb an . Ezer helyen fejlesztik a részle tek

kísérelnek meg új u ta ka t, új áttö rések et. I ly áttörésnvalaki új fo rrás ra, új t elér re bukkan . Vájjon összefüggnezek a szomszéd völgyben felfedezett erekkel? Milyen vrendszerhez tartoz ik a forrás? H ova folyik a pa tak ? Eövdebb u ta t találtun k I nd iába vag y egy új A merikát fedetü nk fel? Sem a for rás , sem a telé r, sem a világrész nem ilyen kérdésekre feleletet. Sokszor'évszázadokba telik, mminden összefüggést megismerünk. Sokszor halálos bűnntartják a kutatást, mint például az irracionális számok estén, míg vógül évezredek múlva kijelenthetó'vó válik, ho



277

az irracionális szám fogalma nélkül a folytonosság értelmlen és a számsík az irracionális számok nélkül legjobb eben pontrács maradna.Nemcsak a föld, hanem a szellemi kozmosz is valahogkörben forog. Lehet, hogy spirálison mozog, amely, a szehogyan nézzük, a középpontot, mindenagyobb ívekben kemeg, vagy mind szorosabban öleli körül s aligha van mmatikus, aki a kétségbeesés óráiban ne tenné fel magána bús kérdést, hogy vájjon a matematika világa nem hasonegy óriási szappanbuborékhoz. B iztos, gyakran kidüllemellét a matematikus, rámutat a hatalmas eredményekamelyek az ember karját a legtávolabbi spirálködökignyújtották meg és amelyek az embernek a varázsló s próféta talmát adják meg. De vájjon csakugyan ilyen hosszú az ember karja? Nem szörnyű önámítás az egész? Minfoglalkozunk a komplex változók elméletével, ha már görcsös felszínű tölgyfa köbtartamának meghatározásaszinte lehetetlen matematikai eszközökkel?

El kell ismernünk, hogy alaptalan az érzelmek ilykáosza. De a dolog megint egyszer nem egyszerű. Mha egy polgárember órájára néz, ezután bekapcsolja rádkészülékét, hogy a sportjelentésből automobil- és repüvilágrekordokat hallva, örvendezhessen, akkor szubjtív szempontból becsületesen jelenthetiki,hogyő matematikanélkül jutott ebbe a kedvező helyzetbe és számára a felsmatematika csak humbug. Igaz, arról a csekélységről mfeledkezik közben, hogy mások matematika segítségéteremtették meg számára ezt a «jólétet». Kezdve az óramelyre ránézett. Ilyen értelmetlenséggel nem vitázutovább, csak arra gondolunk, hogy nagy matematikuselméjében is felmerülhet néha az egyszerű embernek egyilyen gondolata. Vajúdnak a hegyek és egy kis egér szüleIlyennek látják a kutatók is sokszor az egész fáradozásués a kételkedés ilyen időszakából származhatik B runschwnak, a kiváló francia matematikusnak a felkiáltása: «Ün

pillanat számomra, ha matematikának két területe egymsal kapcsolatba kerül». Mert akkor, fűzzük mi hozzá, remhető,hogy megint megbomlott a zavar csomójának egyrésze.



278

Olvasóink panaszkodhatnak, ha nem matematikuso

hogy az utolsó fejezetekben mind bonyolultabbá váló mamatikai szenzációkkal egészen elborítottuk őket. Nagy tédés! Szinte atyai érzéssel tartottuk tőlük távol, amennyirlehetett, a részletek ijedelmeit, csupán a csúcsokról vetettüszéles országokra egy-egy pillantást, országokra, amelyekcsúcsokról nézve békésen pihennek a napfényben. H a bepünk ezekbe az országokba, ot t rög tön hatalm as zaj, tolongfelkelés, vad kiáltozás fogad. A z utcá k, amelyekbe m eneküakarunk, mind járhatatlanabbak és kanyargósabbak, mia krétai labirintus útjai. Sok mindent elhallgattunk. Semmsem mondtunk a magasabbrendű felületekről, hallgattunk

13. ábra.

nem irányítható terekről, amelyekben a világot megkerüla jobboldalon találnánk szívünket, míg az indulásnál helybmaradt barátunk szíve a helyén, a baloldalon maradt volmeg. Ilyen különleges tér legegyszerűbb példája az ismMöbius-féle szalag. Ezt egy darabka papírból könnyen össragasz tha tjuk és ra jta egyetlen folytonos ceruzavonássmindkét oldalán nyo m ot ha gy ha tun k. Ezt ábrázolja képüis,'megmutatja, hogy a világ megkerülése közben a jobb- baloldal felcserélődik. E gy úg ynevezett B eltrami-féle felülakó meg sem értené ezt , m er t nek i nincs fogalma a hamadik dimenzióról.A rról a nagy izgalomról sem számoltunk még be, amelya geometriai felfedezésekből eredtek. így például a spektruós pro tuberancia-v izsgálatairól híres Zöller asztrofizik



279

véletlenül meghallotta Félix Kleintől, hogyaz R3-ban a csomóka topológia vizsgálati körébe tartoznak, tehát lényegükfogva érzéketlenek a torzítások iránt. Az B4-ben viszontaz ilyen csomó pusztán torzítás segítségével kibonthaKlein nagyon csodálkozott azon, hogy milyen örömmel gadta Zöller ezt a közlést. De egészen kétségbeesett, amimeghallotta, hogy Zöller ezután a hírhedt és később lelepzett Slade nevű amerikai médiummalés okkultistával társult,hogy csomók felbontása révén bebizonyítsa a negyeddimenzió valós létét. Slade bűvészfogásai következtébsikerre vezettek a kísérletek, noha lepecsételték a csomóés egyéb óvintézkedéseketis tettek. Ezekután Zöller már nemismert korlátokat. Lázas munkálkodásba fogott, élete utoéveiben naponta legalább egy ívre való értekezést nyomaki ós a sok izgalom következtében 1882-ben, nem egésötvenéves korában gutaütésben halt meg.

Demégsok más dologról is hallgattunk. így elsősorbaa ma már rendkívül fejlett valószínűségszámításról, am

győzedelmesen vonult be egyre újabb és újabb tudomáágakbaés megkezdtea «törvények» uralma alatt álló klasszikusvilágképnek «statisztikus» világképpé való átalakítását. Ebmár nincsen bizonyosság, csak különböző fokú valószínűAzt sem említettük, hogy Hamilton, Cayley és más mmatikusok az algebrát olyan szimbolumkalkulussal bővíteki, amely általánosságában és kikutatatlanságában mindeddigit felülmúl; nem vethettünk világot a kombinatoriksem, amely pedig némely matematikus számára a kutatásegyenesen alapvető jelentőségre tett szert. Hallgattunk jesen a számelmélet legfelsőbb részéről, amelyről még nmatematikai képzettséggel rendelkezők sem tudnak magnak képet alkotni.

De még ez sem elég. Van még valami sokkal zavarosais a mai matematikában, amiről jobb volna, ha a laikusnem is hallanának. Megesett, hogy az angol «quaternioták» a tizenkilencedik század egyik legnagyobbgeometera függvénytan egyik legnagyobb tudósáról, Félix Kleinegyik quaterniókról szóló munkája alapján kijelentetthogy azok egyáltalán nem quaterniók, amikről ő beszA kiváló matematikusról és a számelmélet nagy tudósá



280

Kroneckerről pedig H en ry P oincaré jele nte tte ki, hogy semgeniálisat sem alkotott volna, ha nem feledkezik meg nékutatásainak filozófiai alapelveiről. Eiemann és Weierstrsem jártak sokkal jobban és nem vitatható, hogy vannolyan területek, amelyeken nagy matematikusok sem tudegymás gondolatait követni.

Saját szakmájuk kom oly tud ósairó l beszélünk it t és nea számtalan m ellékesen m atem at ik áv al is foglalkozó filofusról, akik szóltében-hosszában terjesztik véleményüket«m atem atika lónyegóről», viszo nt azonnal elh allga tnak , egyik állításuk cáfolataként a m atem atika valamely terletéről származó még oly egyszerű példa tárul szemük e

De mindez ne akadályozzon meg benn ünek et a bban , hoszilárd alapon ku tassuk e bab iloni zavar ok át. Megmaradua mellett, hogy a számfogalom alapja marad minden matemtikán ak . A tizenkilencedik században a komplex számok elletéjiek kifejlődésével nagyon sokat nyertünk ezen a térós az egyenletek elmélete is megtette a tőle telhetőt a száfogalom rögzítésére és bővítésére, hisz g'yökökkel, irracnalitásokkal és komplex számokkal legszorosabban összfügg . A tizenkilencedik századnak köszönhetjük az ötödfés magasabb fokú egyenletek megoldhatatlanságának végges bizonyítását, valamint annak bizonyítását, hogy a knégyszögesítése lehetetlen (Lindemann 1882); determinsokb an, halmazokban, cso portokban új «számfeletti számoktettünk szert s a velük kapcsolatos műveleteket nehézsnélkül tudju k elvégezni. A z ábrázoló, a projektív és a neeuklidesi geometria a geometriának hatalmas fejlődésvezette be és ez a fejlődés messze túlnyúlik minden meelőzőn.

Mindazok után, ami a matematika, fizika és filozófiterén a tizenkilencedik században történt, világos, hogy negy nagyszerű fejben támadt a gondolat : meg kell fékeza geniális felfedezések és általánosítások nyomán támaóriási káoszt és igyekezni kell e buja növekedésnek gyökefeltá rni. Geom etriai té ren e fáradozásoknak volt egy ragyomintaképe, mégpedig Euklides, akinek a nem-euklidegeometriák folytán bekövetkező bukását csak a mindenárújítani vágyó progresszisták hitték, mivel nekik minden ig



281

ság megszűnése és viszonylagossá válása feküdt csupszívükön.

Dávid H ubertn ek (szül. 1862, utoljára t an ár Göttingegyetemén) sikerült végül a geometria alapjaival kapcsolakérdéseket végérvényesen tisztázni és az általa felállítoaxiómarendszer egyike a tizenkilencedik század legnagyoteljesítményeinek. Ez az axiom atika lehetővé teszi ugyanhogy minden geometriai típus szerkezetét és feltételeit titázzuk. Bizonyos axiómák puszta elhagyásával nehézsnélkül megkapjuk a nem-euklidesi, nem archimedesi és mgeometriákat és így megérthetjük, hogy miképpen leheségesek olyan ellenmondásmentes geometriák, amelyekeuklidesi alapon iskolázo tt érzékeink első" pillanatra őrüségnek ta rt an ak . De H ubert a «Grundlagen der Geometrcímű művében sokkal töb be t is t e tt . M indenekelőtt kimtatta, hogy a geometria és aritmetika, tehát kiterjedés szám kapcsolata csak akkor tartható fenn, ha valamennreális számokra vonatkozó, számítási szabály pontosan azoa távolságga l való számolások szabálya ival. H a egy ilyazonosság kimutatható, akkor, mutatis mutandis, kiterjedés szám vagy szám és kiterjedés szinte csoportelm életi módfelcserélhető egymással. Ez a lehetőség, amely hallgatógos feltétele minden analitikus és minden mértékgeometrnak, elengedhetetlen alapja minden mértékgeometria logijogosultságának. H ilber t kim utatja, hogy a kiterjedésneka számnak ez a kapcsolata egyáltalán nem magától értetőhanem a projektív geometria alapján, elsősorban Pascal Desargues tételeivel, gondosan ellenőrzendő és bizonyítanNem akarjuk elhallgatni Pasch, Sehur, Zermello és somás kiváló geometer munkálkodásának jelentőségét az axm antikus alapelvek vizsálatában . Ez a vizsgálat immlegalább ötven éve «napirenden» van és szellemi tulajdonubiztosítására sohasem volt olyan erős az igyekezet, mint m

Ilyen igyekezetek oka nagyon mélyen fekszik és külöböző irányok ban kereshető . Történeti szempontból Euk

desnek a fausti kultúrkörbe való recepciójáról van szó. Derről is csak részben, mert Eaymundus Lullus szellemét megtalálhatjuk ez igyekezetek m ög öt t. Tudomáuyos-pschologikus szempontból egyszerűen nem tudunk szabadu



282

a «goudolkodó gép», az «általános karakterisztika* az inveniendi» álmától és a matematika logizálásával kísétezünk, ha az algoritmussal és kalkulussal magával már nboldogulunk. De közben a logika ugyanúgy jár, mint a gmetria . Már előbb említettük azt a tragikomédiát, hogprojektív geometriát az algoritmus és algebra tagadásászelleme hoztalétre.A végeredmény mégis a geometria teljesalgebraizálódása lett, közben a projektív geometria és algebra majdnem szétválaszthatatlanul összefonódtak éforradalmár geometriából formák, invariánsok és más ösfüggések algebrája lett. Űgylátszik, az algebra olyan féforrás,amelybe büntetlenül nem repülhetnek bele más szlemi tájak pillangói. Mert igaz, hogy a logika hirtelen msabbrendű matematikaként kezdett viselkedni. Tudomfelett álló tudománnyá kezdett alakulni, a szimbolika mineszközét kezdte használni, mégis igen hamar kiderült, hcsendben algebraizálódott. Úgy já rt a logika és a logisztmint az a harcos hódító, amely elfoglalja az idegen orszávégül azonban megtanulja a leigázott ország nyelvét, veszi annak szokásait és csak minden fogalom teljes öszavarásával állíthatjuk komolyan, hogy a kalkulusnak észimbolikus írásmódnak a gondolata logikai kategória, npedig matematikai.

Mindaddig nem vonjuk kétségbe a «logika nyújtásánilyen természetű termékenységét, amíg értelmes határközt marad. De ha egyesek állítása szerint hirtelen «kiderhogy a matematika csupán tautológiák és körbenjáró okkodások gyűjteménye, akkor a matematika történetírójárá kell mutatnia, hogy ez a felfogás legalább is kissé egyolnoha nem lehet rövid úton megcáfolni. A zért nehéz a cáfmert olyan dolgokat posztulál, amelyek teljesen önkényütől függnek. Ezek a dolgok a logika és matematika illetéségének éppen a határán vannak. Évezredeken kereszhasználta a matematika a következtetés, bizonyítás és alizálás logikai műveleteit. Mindenkor, minden időben mvolt benne az igyekezet, hogy meg ne sértse az igazságeme «negatív» kritériumait, ahogy ezeket Kant nevezi. kénytelen volt nemcsak a formális, hanem a transzcendlogikát is figyelembe venni. Sőt ezen túlmenve, a me



283

fizika, sőt a misztika határain is kellett működnie, külben éppen legfényesebb csúcsait nem érhette volna Bizonyos szempontokból vizsgálni lehetne a matematbiológiai féltételeit is, vagy legalább is kultúrmorfolófeltételeit.

Byen kötöttségek között és ilyen kötöttségek ellen fejdött ki a matematika és a lényeget vizsgálva aligha lekétséges, hogy mit lehet matematikai gondolkodás és csevés alatt érteni. Ha tehát egy, eddig a matematika merendelt tudomány hirtelen használni kezdi a matematösszefoglaló jellegű eredményeit s e helyzete alapján elsőségi igényekkel lép fel, akkor a dolog lényegében törtészempontból éppen fordított helyzet áll fenn.

írjuk ide H ubertnek néhány, a «Logik und A rithmetcímű értekezéséből származó mondatát, amelyek véleményszerint'nagyon élesen rámutatnak a lényegre. Hilbert mondja : «Az aritm etikát a logika egy részének szokás mdaniés az aritmetika megalapozásánál feltételezik a bevezetlogikai alapfogalmak helyességét. Csak igen figyelmes vgálattal vesszük észre, hogy a logikától kölcsönzött tétemár bizonyos aritmetikai alapfogalmakat, például a halmnak, részben pedig a számnak, különösen mint számosságfogalmát magukban foglalják. Nagyon nehéz helvzetjutunk így, és paradoxonok elkerülése végett szükséges, hegyütt fejlesszükki,legalább részben, az aritmetikaés a logikatörvényét)).

Szándékosan idéztük egyik matematikai logikus szavnem pedig egy intuicionisától vagy pedig a matematiegyikmisztikusátől származó szavakat, mert az a meggyó'zdésünk, hogy ez a szélsőségektől mentes és objektív álláslalás a két tudom ány, a logika és a matematika rangsorolában érvényre kell, hogy jusson. Mert a határok elmosvagy megváltoztatása egyik tudomány számára sem jelehet huzamosabb időn át előnyt. Meggyőződésünk továbaz iSj hogy a történetírás nem is olyan hosszú idő múlva m

állapítja, hogy lezárult egy korszak, amely fölé címké«a matematika és logika elsőbbségi vitája* szavakat leheírni. I t t az «elsó'bbség» szót nem időben, hanem ismerkritikai szempontból kell felfognunk.



284

Mégegyszer : Eszünkbe sem jut, hogy félreismerjük vacsökkentsük a matematika logikai megalapozására és metisztí tásá ra irányu ló igyekezetek jelentőségét. A ki ilyengondol, az nem viseli szívén az igazság ü gy ét. Meg kell vnünk őt mint egy rossz embert, aki nem fontolja meg aam it mond, de m ásrészt úgy látjuk, hogy éles visszautasítáméltó bűn a szellem ellen az a ma nagyon elterjedt igyekezamely mindenáron gátat vet a matematika termékenységnek és azt a tévhitet teremti, hogy már mindent megismtünk*. Ezek a sterilitást ígérő jóslatok, amelyek a világt

ténelem Beckmessereinek működéséhez hasonlóan a putanizmus köntösében jelentkeznek, elzárják a matemati«mesterdalhokainak», elsősorban a Stolzingoknak azt egyetlen útját, amelyen a tudomány a matematika történtének tanúsága szerint előrehaladhat, mert nem mindelángeszű matematikus lehet — és ez a veszély — feltétlena priori, nagy, szakszerűen képzett logikus és filozófus. Meshet, hogy a jövő úttörői elcsüggednek, bátortalanok lenek, ha maguk előtt azt a pusztaságot látják, amelyen áltólag keresztül kell haladniok, vagy ha a filozófiai oldaláazt magyarázzák nekik, hogy bűvös körben vanna k, amelynem tudnak kiszabadulni .

Nem a szakembereknek szól intelmünk, amely a matmatika valószínűleg hamarosan elmúló, egyoldalú, túlzlogizálásával szemben intenzívebb történelmi állásfoglalkö vete l. H isz a jelek szerint ez a tú lzo tt logizálás nem egym int a logika m atema tizálásának tragikom édiája. A szaemberek bizonyára jól ismerik ezeket a tényeket és sajtanaikat nem fogják fel annyira egyoldalúan, mint azoakik sem a matematikát, sem a logikát, sem a filozófiát, spedig a ku ltúrtö rtén ete t kellőképpen nem ismerik. Eövidösszefoglalva : am ióta a m ate m atik a alapjainak ku tatá smegkezdték és a logikai kalkulust feltalálták, azóta a lokának és matematikának igen feszült és nagyon érdekes kszakát éljük át. Ez a korszak nem szegény problémákba

különösen amióta a többértékű logikát felállították és amiEeichenbach összekapcsolta azn értékű logikát és a valószínűségelméletet. De a m ate m atik a történ etének hűvöfejű vizsgálója bizonyos kétkedéssel állapíthatja meg, ho



285

ezek a túlzott bonyodalmak még egyáltalán nem bizonytották be termékenység szempontjából képességeiket.

Elhagyjuk tehát a logizált matematikának és a matmatizált logikának szigorú birodalmát, melyet úgyis csuérintenünk volt szabad. Időn és téren keresztülvezető utvégén vizsgáljuk inkább azt a kérdést, hogy milyen magasrendű jegyeit láthatjuk a Leibniz óta eltelt évszázadkülönösen pedig a tizenkilencedik és a megkezdett huszszázad igyekezeteinek. Tisztában vagyunk, hogy ezzel bnyos fokig elhagyjuk a tények biztos talaját és az egybenyomások régióiba emelkedünk. De igyekezni foguhogy e benyomásokból ne legyenek álmok és elmondáne -fajuljon mesélgetéssé.

Ha tehát visszatekintünk arra a hosszú és fárasztó úamelyen együtt végigjöttünk, akkor egy furcsa tulajdonötlik szemünkbe, amely többé-kevésbbé o tt rejtőzik az el150 év minden felfedezése mögött. Egyelőre egész felületnevezzük «perspektívának», «hasonlóságvizsgálatnak» és

tékváltoztatásnak». Lényegükben mind a három szoroösszefügg. De nem akarunk nagy összefüggésekre való usoknál maradni, hanem sejtéseinket részletesen leírjuk.

Világos és nem szorul további magyarázatra, hogy ábrázoló és a projektív geometria, tehát általában minhelyzetgeometria fenti három fogalomkategóriával fogkozik és azzal is kell foglalkoznia. A projektív és ábrágeometria szűkebb területén messze túlterjedt már az a vamely mindent más szempontokból akar ábrázolni, amazért akar mindent transzformálni, hogy megvizsgálhami marad e közben változatlan és mi nem. Ez azután, péla nem-euklidesi geometriák szempontjából, a geomefogalmának általánosításához is vezetett. És ebből fejlőki az invariáns, az érzéketlen rész elmélete, amelyet sszerző találóan «abszolút geometriának* is nevez, mivel den geometriának közös része. Mivel azonban Descartesa geometria és algebra szerkezetének nagyfokú párhuzam

sága, sőt talán azonossága áll fenn, vagyis a matematbirodalmának két része immár csupán a tiszta formák fölrendelt birodalma két hűbéres államának tekinthető, eznincs mit csodálkoznunk azon, hogy a geometriáról val



286

felfogásunk változásának az algebra és általános szimboországában is alkotmány változás volt a következménA Gauss-féle kongruenciákra valamint a csoportokra vokozó korszakos felfedezések is e gondolatkörbe tartozB gondolatépítményekben mindenütt valamiképpen arrószó,hogy mi marad változatlan, invariáns, torzulások, külféle perspektívák, valamint transzformációk ill. szubsztitúalkalmazása esetén.A rejtett összefüggések kiterjedt kutatásaakaratlanul is Cusanus «koincidenciáit» idézi emlékezetünTermészetesen nagyon halovány a hasonlóság, a skolaszt«koincidencia» és a modern «szerkezeti invariancia* fogaközt. Valamelyest azonban mégis fennáll, különösen a pblémák megfogásának pszichológiai szempontjából.

Mi lehet végeredményben e perspektivikus fáradozáslegmélyebb értelme és végső célja? — tesszük fel magunka kérdést. Csak arra igyekszünk, hogy a dolgokat igen küböző szempontokból lássuk, általánosabbakká, pontosabbtegyük? Persze ilyen motívumok is előfordulnak a kut

céljai közt. De véleményünk szerint nem ezek jelentik esorban a mozgató erőt. Mert az «általánosítás» magában vextenzív jellegű, tehát egyáltalán nem volna intenzív jelltevékenység. Általa végeredményben csak kiterjedne a tatás területe, és egyáltalán nem juthatnánk közelebb igazi összefüggések felismeréséhez. Ellenkezőleg : a mértelen általánosítás eltávolítana — és ez látszólag részbenis következett — még a kapcsolatok áttekintésének lehségétől is. De csak felületes szemlélők látták így. Mertáltalánosításra törekvés és az invariancia egyidejű felismeegészen más, mint az általánosított anyag kiterjesztésefelhalmozása az invariancia-vizsgálatok ellenőrzése nélLássuk ezt egy egyszerű példán : Már Diophantos ösztszerűen tudta, sőt talán néhány korábbi matematikus hogy egy önmagában véve megoldhatatlan egyenlet meghatóvá válik, ha az ismeretlenek helyébe, a szó hétköznértelmében, egyszerűbb, vagy esetleg bonyolultabb kifej

seket «helyettesítünk», «szubsztituálunk». De az átalakművelete, amelynek eredményes működését a harmadfegyenlet Cardano-féle megoldásával kapcsolatban volt almunk megismerni, nem korlátozódik az egyenletekre. So



287

átfogóbb éa egyben kevésbbé áttekinthető alakban jelentkaz integrálok kiértékelésénél (megoldásánál), sőt itt jelenrészben az egész integrál-algoritmus használhatóságánalapvető feltétele lett. Miért szabad az egyik esetben helytesítenünk és miért nem szabad a másik esetben? Miért vvalamely transzformáció bizonyos integráloknál eredménés miért marad hatástalan másoknál? Mit, mikor és mszabad transzformálni? Az elméleti fizikát meg sem említmert ott szinte óránként merülnek fel ilyen kérdések.

Eöviden : világot kellett deríteni az algoritmusok ilyproblémáira, egyes algoritmusokat «rész-algoritmussá» kelefokozni, hogy a formák egyik birodalmából a másikvezető átmenet helyessége kiderüljön. Jó szolgálatot tetcélnak a komplex számok bevezetése is. Ismételten bestünk a matematika «szellemvilágáról», a komplex alakzatismételten hasonlítottuk P latón ideáljaihoz,és ismételten hangoztattuk azt is, hogy ezek szimmetriájuk és tökéletesséfolytán mintaképei a számoknak. Mert a számok gyakr

annyira elfajulnak, annyi «földi» tökéletlenség és fogyatkotapa.d hozzájuk, hogy valódi tulajdonságaik fel sem ismhetők. E miatt szükségképpen hibázunk, s a hibák csak akkerülhetők el, ha a szellemvilághoz, az ősi mintaképekhfordulunk tanácsért. E módszernek is egy perspektivikábrázoló gondolat az alapja. A reális birodalmat úgyszóla komplexre vetítjük, a komplexet a reálisra, és e transzmáció közben felismerjük, hogy mely tulajdonságok manak meg, és hogy melyek változnak. És sokszor végezheta komplexben igen általános műveleteket, amelyeknekreális területen végzett műveletek csupán mint igen szűkkkülönleges esetek felelnek meg. Gondoljunk csak az algealaptételére, a gyökök sokszögön való elhelyezkedésérea vele összefüggő körosztási elméletre. A körosztási elmtrigonometriai, konstrukciós és egyenleteleméleti iránybfolytatódik, és megalkothatjuk, mondjuk a csoportelméletegy w-edfokú egyenlet megoldásainak «csoportját». Ez me

a csoportelmélet algoritmusa szerint maradék és modulrendszerekkel hozható kapcsolatba. Vagy gondoljunk logaritmusokra. Tulajdonságaik érthetőbbekké, de egybmisztikusabbakká és «csodálatosabbakká» válnak, ha m



•288

tudjuk, hogy a «szellemvilágban» minden számhoz végtelsok logaritmus tartozik. Ezek a «szellemtulajdonságok» egszer-egyszer váratlanul a «reális» földön is felbukkannak pusztítók, átlátszatlanok, ha nem ismerjük mintaképeike

De van a ma tem atikán ak m ás olyan területe is, amelyneköze van az általunk a tizenkilencedik század kutatására jlemzőnek tartott «perspektív világszemlélethez)). A konvgencia fogalmára gondolunk. Optikai szempontból egy kovergens sor olyan «skála», amelynek «egységei» valahoperspektivikus helyzetűek. Bizonyos konvergens sorok, k

letesen szólva, végtelenbe vesző mérőszalaghoz hasonlítanúgyhogy az «egységek» mindinkább rövidülnek, míg végbeleütköznek a határé rtékü ksky-line-éhe,horizontjába, vagya komplexből vett kifejezéssel a konvergenciakörük széléIly megfontolások alapján a nem-euklidesi geometriák, projektív geometria és a konvergenciavizsgálatok azonnmagasabb egységbe kapcsolódnak. De az ilyen álláspokozmologikus megfontolásokra vezet, így a világegyetevégességének és zártságának feltételezésére, hisz ez is cstapasztalati terünk nem-euklidesi szerkezetének posztulásán múlik. De maga a halmazelmélet is helyet foglal a tizekilencedik és megkezdett huszadik század «perspektivikvilágképében*, noha aktuális végtelenével első pillantásnem tud engedelmeskedni a perspektíva törvényeinek látszólag a maga külön útját járja. Mert a halmazok «pontoként való egymáshozrendejése* szintén a perspektívát érinösszefüggés, és a , pontha lmazo kkal foglalkozó koordiná

geometria minden lépték-kérdése ilyen problémára vezeMegkíséreltük rövid összefoglalásunkban bemutatni, hoa legutolsó 150 év matematikájának van egy nagyon hatrozott «konvergencia-pontja» és ez a pont egyáltalán nefekszik a végtelenben, habár a matematika nagyon sokfeágazónak, zavarosnak, ezoterikusnak és más jellegűnek lszik. A jakobinus De Monge-nak és tanítván yaina k te ttamely német talajon kapott fausti lendületet, ráveti árnyékaz évszázadra. És azt sejtjük, hogy történeti szemszögbnézve, e sokféle «perspektivikus» kezdetnek nagyarányú sztézise van készülőben, amely valamilyen általános «hasolósági matematikát* eredményez. Ezzel szembeállítva,



m«Galois-t megelőző* és «Gausst megelőző* matematik«egyenlőségi matematikának* nevezhetnők.

B hatalmas szintézisnek, amelyhez a vektoralgebra is tjes mértékben hozzátartozik, kifogástalan és biztos felétése természetesen lehetetlen a leggondosabb filozófiai ellőrzés nélkül. Ezen a helyen és e szempontokból a logisztközreműködése nemcsak érdekes, hanem nagyon hasznis, feltéve, hogy tudatában van ellenőrző feladatának és nhiszi magáról azt, hogy ő az elkészült logikai-matematikozmosznak legfelső, elbírálásra jogosult fóruma. Mert az utóbbi gondolat, amint megkíséreltük kimutatni, eHmond a történelmi tényeknek. És ellenmond, számtalpéldát lehetne erre felhozni, számos elsőrangú matematikösztönének.

Félix Klein például a már említett «Vorlesungen über dEntwicklung der Mathematik im XIX. Jahrhundert» címm űvén ek 51 . oldalán körülbelül azt m ondja, hogy a m amatika «szigorúsága» az antik görög korból származó ideál

a matematika egészének lehetőleg kis számú, előrebocsáttételből való tisztán logikus levezetését jelenti. «Azt akaritt hangsúlyozni*, — folytatta Klein — «hogy ideális ,sgorúság4 esetén is marad valami nem-logikus, szemléleti eleaz alapelvek megteremtésében.* Továbbá az 53. oldalon mondja : «Tudom ányunk törté ne tét szemlélve kiderül ug yahogy a .szigorúság' nagyon viszonylagos követelmény és ca tudomány haladásával párhuzamosan fejlődik ki. Érdekmegfigyelni, hogy egy szigorúságra törekv ő korba n a k ortá rmindenkor azt hitték, hogy e téren elérték a maximumothogy egy későbbi generáció mennyire túltesz követeléseikés eredményeiken. így avult el Euklides, igy Gauss és íWeierstrass. A fejlődésnek, ebben az irányban, úgy látszéppen oly kevéssé van határa, mint a teremtő felfedező-eirányában.*

E szavak nem programmot jelentenek, hanem egy nagygazdag élet tapasztalatainak összegét. Az akkor több m

60 éves F. Klein az első világháború első éveiben tartotelőadásait, vagyis olyan időpontban, amikor már ismeretevoltak a m a annyiszor idézett, a mate m atika alapjaira vonkozó vizsgálatok. K ronecker, Frege, H ilbert — hogy cs

19 Colerus : P ythag orae.



290

néhány nevet említsünk — eredményeit Klein már ismerúgyszintén Poincaré, Couturat és mások eredményeit.

E szavakat tehát egy szellemes megjegyzésnél többrbecsüljük. És téren és időn keresztül vezető utu nk végén ntudunk hitelt adni semmilyen beteljesedést vagy'felmerüljósló kijelentésnek. Ellenkezőleg: Miként tudom ányunegyik legnagyobb alakjának, a nagy Leibniznek, monadokszóló tana szerint az egyik Kozmosz a másik tetejére éphogy végül a monadok monadjában, Istenben végződjééppen úgy nincs határ — ismételjük röviden Klein szavait

remek, valóban királyi tudományunk kritikai vagy produkfejlődésének kiépítésében.



TABTA.LOM.Oldal

Előszó 51. fejezet.Pythagoras.M atemat ika m int tudom ány 72. « Euklides.M ate m at ik a és filozófia 29S. « Archimedes.M atem atik a és valóság 44

4. « Pergai Apollonios.M atem atika m int vi r tuozi tás 615. « Diophantos.M atem atika, m int í rásmód 746. « Alchvarizmi.M atem atika, m int gondolkodó gép 927. « Leonardo da Pisa.M atem atik a, m in t kezdet . . 1078. « Nicole di O resme.M atem atika és termé szet . . . 1139. « Vieta. M atem atika m int szim bolika 125

10. « Jóst Bürgi.M atem atika m int táblá zat 13411. « Descartes.M atem atik a m int módszer 14212. « O ottfried Wilhelm Leibniz.Matemat ika min t

kozmosz 15913. < Jean Vidor Poneelet.Matemat ika mint varázs

tükör 19414. * Evariste O alois.Matematika, mint ál talánosítás 21315. « Carl Frieárich Gauss.Matemat ika , mint v i lág

utazás 24116. « Berrihard Riemann.A m ate m at ik a m int szellem

világ 260

17. « Dávid Hilbert.M atem atika és logika 276

Pythagorastól Hilbertig

Documents

Transcript of Pythagorastól Hilbertig