Pythagoras

PythagoræiskeLæresætning

Forhistorie (Hvem var han?)…Hvad siger Pythagoras?

Hvordan bruges læresætningen?Pythagoras i koordinatsystemet…

Bevis for den Pythagoræiske læresætning

Forhistorie…

Pythagoras blev født omkring 569 f.kr. på øen Samos (i Grækenland), men flyttede senere til Crotone (en græsk koloni i Syditalien), hvor han virkede til sin død i ca. 475 f.kr.

Han var filosof, matematiker og astronom.

Den pythagoræiske læresætning, som han lagde navn til, blev anvendt allerede 1000 år tidligere, men han var den første, den beviste dens almene gyldighed: a2 + b2 = c2.

Forhistorie…

Pythagoras var meget produktiv og stod fadder til flere matematiske beviser og læresætninger:

Han var den første, der konstruerede de 5 regulære polyedre.

Tetraeder

HeksaederIkosaeder

Dodekaeder

Oktaeder

Forhistorie…



Han opdagede de irrationale tal.

√2√23

Forhistorie…




Han beregnede vinkelsummen i en trekant.

180o

Forhistorie…




Han beregnede vinkelsummen i en trekant.

… og han var den første, der ved konstruktion kunne løse andengradsligningen.

Pythagoras udtaler sig om retvinklede trekanter.

Den Pythagoræiske læresætning siger:

”I en retvinklet trekant er hypotenusens kvadrat lig summen af kateternes kvadrater”.(a2 + b2 = c2)

Hvad siger Pythagoras?

Pythagoras udtaler sig om retvinklede trekanter.


”I en retvinklet trekant er hypotenusens kvadrat lig summen af kateternes kvadrater”.(a2 + b2 = c2)

Den omvendte Pythagoræiske læresætning siger:

”Når i en trekant kvadratet på en af siderne er lig summen af de to andres siders kvadrater, er trekanten retvinklet”.



”I en retvinklet trekant er hypotenusens kvadrat lig summen af kateternes kvadrater”.


a

b

c

De 2 korteste sider, a og b, kaldes kateter




a

b

c

Den længste side, c, kaldes hypotenusen




a

b

c

Hypotenusen ligger altid over for den rette vinkel!

Kateterne ligger altid hos den rette vinkel!




a

b

c

De 2 korteste sider, a og b, kaldes kateter

Den længste side, c, kaldes hypotenusen

a2 + b2 = c2

Eksempel:

a=3, b=4, c=5:


3

4

5

Eksempel:

a=3, b=4, c=5:


3

4

5

a2 + b2 = c2

32 + 42 = c2

9 + 16 = c2

25 = c2

5 = c

Eksempel:

a=3, b=4, c=5:


3

4

5

a2 + b2 = c2

32 + 42 = c2

9 + 16 = c2

25 = c2

5 = c

Man siger, at talsættet (3,4,5) er et pythagoræisk talsæt

Der er 3-4 opgavetyper, når der regnes med Pythagoras:(1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder

Hvordan bruges Pythagoras?

Der er 3-4 opgavetyper, når der regnes med Pythagoras:(1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder(1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypotenusens længde.


Der er 3-4 opgavetyper, når der regnes med Pythagoras:(1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder(1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypotenusens længde.(2) Undersøge om en trekant er retvinklet, når man kender de 3 siders længder (omvendt Pythagoras)


Der er 3-4 opgavetyper, når der regnes med Pythagoras:(1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder(1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypotenusens længde.(2) Undersøge om en trekant er retvinklet, når man kender de 3 siders længder (omvendt Pythagoras)(3) Bruge pythagoras i rummet/på rumfigurer (dobbelt Pythagoras)


(1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder


Type 1Type 1



Teoretisk eksempel 1:

Find længden af hypotenusen i en retvinklet trekant med katetelængder på 7 cm og 24 cm

7

24

?

a2 + b2 = c2





7

24

?

a2 + b2 = c2

72 + 242 = c2





7

24

?

a2 + b2 = c2

72 + 242 = c2

49 + 576 = c2





7

24

?

a2 + b2 = c2

72 + 242 = c2

49 + 576 = c2

625 = c2





a2 + b2 = c2

72 + 242 = c2

49 + 576 = c2

625 = c2

√625 = c

7

24

?





a2 + b2 = c2

72 + 242 = c2

49 + 576 = c2

625 = c2

√625 = c

25 = c 7

24

25

Hypotenusen er 25 cm





28

45

?

a2 + b2 = c2



a2 + b2 = c2

282 + 452 = c2



28

45

?



a2 + b2 = c2

282 + 452 = c2

784 + 2025 = c2



28

45

?



a2 + b2 = c2

282 + 452 = c2

784 + 2025 = c2

2809 = c2



28

45

?



a2 + b2 = c2

282 + 452 = c2

784 + 2025 = c2

2809 = c2

√2809 = c



28

45

?



a2 + b2 = c2

282 + 452 = c2

784 + 2025 = c2

2809 = c2

√2809 = c 53 = c

Hypotenusen er 53 cm



28

45

53



80 m

84 m

?

a2 + b2 = c2

Praktisk eksempel 1:

Hvor langt går man, hvis man går tværs over en rektangulær mark, der er 80 m lang og 84 m bred?



a2 + b2 = c2

802 + 842 = c2



80 m

84 m

?





a2 + b2 = c2

802 + 842 = c2

6400 + 7056 = c2

80 m

84 m

?



a2 + b2 = c2

802 + 842 = c2

6400 + 7056 = c2

13456 = c2



80 m

84 m

?



a2 + b2 = c2

802 + 842 = c2

6400 + 7056 = c2

13456 = c2

√13456 = c



80 m

84 m

?



a2 + b2 = c2

802 + 842 = c2

6400 + 7056 = c2

13456 = c2

√13456 = c

116 = c



80 m

84 m

116 m



a2 + b2 = c2


Fra toppen af et 4 m højt livreddertårn kan Per spytte hen i vandkanten, der er 4,2 meter fra tårnets fod.

Hvor langt kan Per spytte?

4 m

4,2 m

?



a2 + b2 = c2

42 + 4,22 = c2




4 m

4,2 m

?



a2 + b2 = c2

42 + 4,22 = c2

16 + 17,64 = c2




4 m

4,2 m

?



a2 + b2 = c2

42 + 4,22 = c2

16 + 17,64 = c2

33,64 = c2




4 m

4,2 m

?



a2 + b2 = c2

42 + 4,22 = c2

16 + 17,64 = c2

33,64 = c2

√33,64 = c




4 m

4,2 m

?



a2 + b2 = c2

42 + 4,22 = c2

16 + 17,64 = c2

33,64 = c2

√33,64 = c

5,8 = c




4 m

4,2 m

5,8 m

(1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypote-nusens længde


Type 1aType 1a




Find længden af kateten i en retvinklet trekant, hvor hypotenusen er 17 cm og den anden katete 8 cm.

8

?

17

a2 + b2 = c2





8

?

17

a2 + b2 = c2

a2 = c2 – b2





8

?

17

a2 + b2 = c2

a2 = c2 – b2

a2 = 172 – 82





8

?

17

a2 + b2 = c2

a2 = c2 – b2

a2 = 172 – 82

a2 = 289 – 64





8

?

17

a2 + b2 = c2

a2 = c2 – b2

a2 = 172 – 82

a2 = 289 – 64a2 = 225





8

?

17

a2 + b2 = c2

a2 = c2 – b2

a2 = 172 – 82

a2 = 289 – 64a2 = 225

a = √225


a2 + b2 = c2

a2 = c2 – b2

a2 = 172 – 82

a2 = 289 – 64a2 = 225

a = √225a = 15

Kateten er 15 cm




8

15

17





55

?

73

a2 + b2 = c2

a2 = c2 – b2



a2 + b2 = c2

a2 = c2 – b2

a2 = 732 – 552



55

?

73



a2 + b2 = c2

a2 = c2 – b2

a2 = 732 – 552

a2 = 5329 – 3025



55

?

73



a2 + b2 = c2

a2 = c2 – b2

a2 = 732 – 552

a2 = 5329 – 3025a2 = 2304



55

?

73



a2 + b2 = c2

a2 = c2 – b2

a2 = 732 – 552

a2 = 5329 – 3025a2 = 2304

a = √2304



55

?

73


a2 + b2 = c2

a2 = c2 – b2

a2 = 732 – 552

a2 = 5329 – 3025a2 = 2304

a = √2304a = 48

Kateten er 48 cm




55

48

73


a2 + b2 = c2

a2 = c2 – b2



En 5 m lang stige står op ad en mur, så den netop når toppen.Hvor høj er muren, når stigen når jorden 1,4 m fra muren?

55

? 5 m

1,4 m


a2 + b2 = c2

a2 = c2 – b2

a2 = 52 – 1,42




55

? 5 m

1,4 m


a2 + b2 = c2

a2 = c2 – b2

a2 = 52 – 1,42

a2 = 25 – 1,96




55

? 5 m

1,4 m


a2 + b2 = c2

a2 = c2 – b2

a2 = 52 – 1,42

a2 = 25 – 1,96a2 = 23,04




55

? 5 m

1,4 m


a2 + b2 = c2

a2 = c2 – b2

a2 = 52 – 1,42

a2 = 25 – 1,96a2 = 23,04

a = √23,04




55

? 5 m

1,4 m


a2 + b2 = c2

a2 = c2 – b2

a2 = 52 – 1,42

a2 = 25 – 1,96a2 = 23,04

a = √23,04a = 4,8




4,8 m 5 m

1,4 m


a2 + b2 = c2

a2 = c2 – b2



En kegleformet sandbunke har en side-længde på 4,1 m og en radius på 4 m.Hvor høj sandbunken?

4,1 m h?

4 m


a2 + b2 = c2

a2 = c2 – b2

a2 = 4,12 – 42




4,1 m h?

4 m


a2 + b2 = c2

a2 = c2 – b2

a2 = 4,12 – 42

a2 = 16,81 – 16




4,1 m h?

4 m


a2 + b2 = c2

a2 = c2 – b2

a2 = 4,12 – 42

a2 = 16,81 – 16a2 = 0,81




4,1 m h?

4 m


a2 + b2 = c2

a2 = c2 – b2

a2 = 4,12 – 42

a2 = 16,81 – 16a2 = 0,81

a = √0,81




4,1 m h?

4 m


a2 + b2 = c2

a2 = c2 – b2

a2 = 4,12 – 42

a2 = 16,81 – 16a2 = 0,81

a = √0,81a = 0,9




4,1 m 0,9 m

4 m

(2) Undersøge om en trekant er retvinklet, når man kender de 3 siders længder (omvendt Pythagoras)


Type 2Type 2


a2 + b2 = c2 ?


Eksempel 1:

En trekant har sidelængderne 12, 34 og 37 cm.Er den retvinklet?

12

34

37

?


a2 + b2 = c2 ?122 + 342 = 372 ?


Eksempel 1:


12

34

37

?


a2 + b2 = c2 ?122 + 342 = 372 ?

144 + 1156 = 1369?


Eksempel 1:


12

34

37

?


a2 + b2 = c2 ?122 + 342 = 372 ?

144 + 1156 = 1369?1300 = 1369?

12

34

37


Eksempel 1:


?


a2 + b2 = c2 ?122 + 342 = 372 ?

144 + 1156 = 1369?1300 = 1369?

12

34

37


Eksempel 1:


Nej, 1300 ≠ 1369!

Dermed er der ikke tale om en retvinklet trekant!

?


a2 + b2 = c2 ?

39

80

89


Eksempel 2:


?


a2 + b2 = c2 ?392 + 802 = 892 ?

39

80

89


Eksempel 2:


?


a2 + b2 = c2 ?392 + 802 = 892 ?

1521 + 6400 = 7921?

39

80

89


Eksempel 2:


?


a2 + b2 = c2 ?392 + 802 = 892 ?

1521 + 6400 = 7921?7921 = 7921?

39

80

89


Eksempel 2:



a2 + b2 = c2 ?392 + 802 = 892 ?

1521 + 6400 = 7921?7921 = 7921?

39

80

89


Eksempel 2:


Ja, 7921 = 7921!

Dermed er der denne gang tale om en retvinklet trekant!

(3) Bruge Pythagoras i rummet/på rumfigurer (dobbelt Pythagoras)


Type 3Type 3



Eks. 1:

Hvor høj er Khefrens pyramide i Egypten?

Khefrens pyramide er kvadratisk med en sidelængde på 215 m



Eks. 1:


Højden kan ikke måles, da pyramiden er massiv.

h




Eks. 1:


Højden kan ikke måles, da pyramiden er massiv. Men sidelængden kan måles præcist (209 m).




Eks. 1:



Herefter kan sidens højde beregnes ved Pythagoras




Eks. 1:



Herefter kan sidens højde beregnes ved Pythagoras (179,2 m)


107,5 m

209 m



Eks. 1:



Herefter kan sidens højde beregnes ved Pythagoras (179,2 m)

Endelig kan pyramidens lodrette højde findes ved at anvende Pythagoras en gang til! (143,4 m)

h




Eks. 2:

Hvor lang er rumdiago-nalen i en kasse?

5,0

7,2

9,6



Eks. 2:


Først udregnes diagonalen for en af siderne…

7,2

9,6

5,05



Eks. 2:


Først udregnes diagonalen for en af siderne… (her: 12,0)

7,2

9,6

5,05

12,0



Eks. 2:



… og derefter diagonalen i diagonalfladen

7,2

9,6

5,0

12,0



Eks. 2:



… og derefter diagonalen i diagonalfladen – og hermed er længden af rumdiagonalen fundet (her: 13,0)

7,2

9,6

5,0

12,0

13,0

Man kan beregne afstanden mellem 2 punkter i koordinatsystemet ved hjælp af Pythagoras:

Afstande i koordinatsystemet

Eks.

Find længden af liniestykket AB i koordinatsystemet til venstre.B

A



Eks.

Find længden af liniestykket AB i koordinatsystemet til venstre.

Fra liniestykkets ene endepunkt (A) tegnes den lodrette linie gennem punktet,

B

A



Eks.


Fra liniestykkets ene endepunkt (A) tegnes den lodrette linie gennem punktet, og fra det andet endepunkt (B) tegnes den vandrette linie gennem dette punkt.

B

A



Eks.



Herefter opstår en retvinklet trekant, hvor kateternes længder kan aflæses direkte.

B

A



B

A

9

6

Eks.



Herefter opstår en retvinklet trekant, hvor kateternes længder kan aflæses direkte.



Eks.


Nu bruges Pythagoras til at finde længden af liniestykket, og man får, at AB = 10,82

B

A

9

6

Der findes mindst 75 forskellige beviser for, at den Pythagoræiske læresætning nu også er gyldig!!!(Se: www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml)

På de følgende sider vises ét af beviserne (tillagt den indiske matematiker Bhaskara (12. årh. e. kr.):

Bevis for Pythagoras


A

BC

cb

a

Lad os se på den retvinklede trekant ABC, hvor vinkel C er ret.Da vinkel C er 90o, må summen af vinklerne A og B ligeledes være 90o.


Vi kan nu lave firkanten til højre ud fra 4 ens, retvinklede trekanter, ABC. Denne firkant er kvadratisk med sidelængden c, da hvert hjørne udgøres af vinkel A + vinkel B.

Arealet af hele firkanten er c2.

c

a

c

c

c

b


Flytter vi lidt rundt på de 4 trekanter, kan man få følgende figur:

b - a

a

c

c

b

b - a

ba


Arealet af det røde område af figuren må altså være:

(a – b)2 + 2ab =

(a2 + b2 – 2ab) + 2ab =

a2 + b2b - a

a

c

c

b

b - a

ba


Arealet af figuren er med andre ord fundet på 2 forskellige måder:



Her: Arealet = c2

c

a

c

c

c

b



- og her: Arealet = a2 + b2

b - a

a

c

c

b

b - a

ba



Altså: Arealet = a2 + b2 = c2

- eller:

a2 + b2 = c2

Og Pythagoras gælder altså!

A

BC

cb

a

PythagorasPythagoras

Pythagoras

Documents

Transcript of Pythagoras