Zastosowanie szybkiej transfomaty Fouriera (FFT)

Analiza Fouriera jest czsto stosowanym narzdziem w analizie sygnaw. Przebieg czasowy przechowywany w zbiorze jest przeksztacany za pomoc FFTw funkcj czstotliwooci. Jest to tzw. analiza spektralna. W zalenoci od zastosowanej procedury otrzymujemy widmo amplitudowe lub gsto widmow mocy. Wspczesne komputery dokonuj FFT rzeczywicie szybko, nawet z duej iloci prbek.

Przebieg czasowy otrzymany z przetwornika analogowo-cyfrowego jest zbiorem liczb, ktre po wymnoeniu przez wspczynniki kalibracji daj sygna w jednostkach fizycznych. Rysunek 1 przedstawia sum dwch sinusoid o rnych czstotliwociach. Poniej przedstawiono transformaty Fouriera tego sygnau. Na osi odcitych zaznaczono czstotliwo. Najwysza warto wynosi 200 Hz . Co wynika z zastosowanej czstotliwoci prbkowania rwnej 400 Hz.

Analiza Fouriera wybranych przebiegw czasowych

Szum losowy

Impuls Dirac'a

Skok jednostkowy

poznania natury sygnau.

Analiza Fourierowska

Aby przedstawi zarys teorii falek, naley powiedzie par sw o analizie Fouriera.
Do roku 1930 do analizy czstotliwoci stosowane byy wzory Fouriera. Wykaza on, e kada funkcja o okresie

moe by przedstawiona jako szereg

Wspczynniki

,

,

, wyznaczane s w nastpujcy sposb:

Fourierowska reprezentacja funkcji jako zoenia sinusw i kosinusw znalaza szerokie zastosowanie

(1)

(2)

(3)

(4)

Transformata Fouriera FT

Jest ona przydatna do analizowania czstotliwoci sygnau w pewnym przedziale czasu. Transformata polega na zmianie funkcji z zalenoci od czasu na funkcji zalec od czstotliwoci. Wtedy sygna moe by analizowany ze wzgldu na swoj czstotliwo poniewa wtedy wspczynniki Fouriera reprezentuj wkad kadej funkcji sinus i kosinus do poszczeglnych czstotliwoci. Nastpnie stosuje si transformat odwrotna aby z powrotem przeksztaci funkcje do pierwotnej postaci.
Bardzo podobna jest dyskretna transformata Fouriera (Discrete Fourier Transforms "DFT"). Szacuje transformat Fouriera na podstawie skoczonej iloci punktw, ktre odwzorowuj zachowanie si caej funkcji.

Windowed Fourier Transforms (WFT)
Jeeli funkcja

nie jest periodyczna, zoenie funkcji periodycznych nie odwzoruje jej dokadnie. Moemy jednak tak rozoy sygna, aby jego poszczeglne czci byy funkcjami okresowymi. WFT daje informacje jednoczenie o dziedzinie czasu i czstotliwoci.
Algorytm WFT wejciowy sygna

dzieli na przedziay, a kady z nich jest oddzielnie analizowany ze wzgldu na czstotliwo. Jeeli sygna posiada ostre przejcia, to tak dobieramy podzia, aby w miejscu tego przejcia znalaz si koniec przedziau. Procedura koczy w ten sposb, e w sposb bardziej znaczcy jest analizowany rodek przedziau nie punkty znajdujce si w okolicy koca przedziau (traktowanie punktw z pewn wag). Ostatecznie otrzymujemy lokalizacj czasow sygnau.

Szybka transformata Fouriera (Fast Fourier Transforms FFT)

Wiadomo, e aproksymacja funkcji seriami punktw wymaga zastosowania w obliczeniach macierzy rzdu

, gdzie

jest iloci uytych punktw. Mnoenie macierzy

wymaga wykonania

operacji, co przy zwikszajcej si iloci punktw staje si kopotliwe. Jednake jeeli punkty rozoone s w pewien jednolity sposb, wtedy macierz taka moe zosta podzielona na kilka macierzy rzadkich, a ilo wykonywanych operacji arytmetycznych wynosi wtedy

. Zastosowanie takiego podziau znacznie przypiesza obliczenia, std te nazwa FFT.

Analiza Wavelet

W przeciwiestwie do analizy fourierowskiej, analiza falek nie wyraa badanych funkcji poprzez wielomiany, ale poprzez pewne specjalne funkcje - falki, ktre s tworzone ze staej funkcji zwanej falk macierzyst, poddanej wielokrotnym translacjom. Uzyskane w ten sposb falki maj szereg interesujcych skalowalnych waciwoci. Mona je odnosi zarwno do czasu jak i do czstotliwoci, dopuszczajc blisze zwizki pomidzy badan funkcj (funkcj reprezentowan), a jej wspczynnikami. W ten sposb uzyskano wiksz numeryczna stabilno w procesie odtwarzania funkcji.
W praktyce celem analizy falek jest znalezienie funkcji macierzystych i sposobw ich uzyskania za pomoc metod numerycznych. Pokazano, e kade zadanie posugujce si szybk transformat Fouriera moe zosta sformuowane za pomoc falek, dajc przy tym wicej informacji przestrzennej (o miejscu pooenia) jak i czstotliwociowej. W ten sposb zamiast tworzy spektrum (natenie / czstotliwo) mona otrzyma spektrum falkowe (frequency spectrum versus wavelet spectrum). Analiza falek jest bardzo poytecznym narzdziem w analizie zmiennych przebiegw (nonstationary signals), sygnaw mocno zaszumionych (odtwarzanie oryginalnego sygnau, usuwanie zanieczyszcze).
Falki s funkcjami, ktre zadowalaj z pewnoci matematyczne potrzeby i s uywane do reprezentowania innych funkcji lub danych. Sama idea aproksymacji nie jest przecie nowa. Na pocztku XIX w. Joseph Fourier odkry, e za pomoc superpozycji sinusw i kosinusw moe przedstawia inne funkcje. Jednak w analizie wavelet skala ktrej uywamy przygldajc si danym (skalowanie funkcji i analiza z odpowiednim dopasowaniem) gra gwn rol. Obrabiajc odpowiednie czci danych z przypisan im rozdzielczoci czy skal moemy zauway due szczegy (waciwoci) uywajc duej skali lub mae przy odpowiednio maej skali.
Analiza wavelet polega na znalezieniu prototypu funkcji zwanej falk macierzyst (mother wavelet). Chwilowa analiza wykonywana jest ze z gry ustalon wysok czstotliwo wanie na tej funkcji prototypowej, gdy rwnoczenie na tej samej funkcji odpowiednio przeskalowanej wykonywana jest obrbka niskoczstotliwociowa. Jako, e funkcja lub sygna oryginalny moe by przedstawiony jako kombinacja liniowa wspczynnikw funkcji wavelet to w czasie wykonywania dziaa mog zosta wykorzystane jedynie te wspczynniki. Jeeli pniej dokona si wyboru najlepiej pasujcej funkcji do danych lub okroi si dane poniej zadanego progu okazuje si, e reprezentacja macierzowa tego problemu jest macierz rzadk. Ta wasno powoduje, e jest to wietne narzdzie jeeli chodzi o kompresj danych.

Zastosowania analizy wavelet

Kompresja obrazw

Metoda analizy faletkowej w celu zmniejszenia objtoci przechowywania danych

daje bardzo dobre wyniki i dlatego jest stosowana tam, gdzie istnieje potrzeba du

ej

skali kompresji i dobrej jakoci rozpakowanych obrazw.

Niech jako przykad posuy tu FBI. Biuro to przechowuje w swoich archiwach okoo

30 milionw rnych odciskw palcw (a to przecie nie jedyne dane jakie

posiadaj!). Zakadajc, e chcc przech

owywa odciski palcw w komputerowej

bazie danych, kady po okoo 0.6 Mb (256 odcieni szaroci w rozdzielczoci 500 dpi)

to zajyby one 200 TB (!) rednio wic liczc koszt takiej przestrzeni dyskowej

wynosiby ok. 200 milionw dolarw. Po takim przedstaw

ieniu sprawy kompresja

faletkowa okazuje si zbawienna ze swoj moliwoci kompresji (w niektrych

przypadkach) 300:1. Wszystkie wic koszty i pojemnoci dyskw ulegaj znacznej

redukcji. W 1993 roku specjalny badawczy oddzia FBI rozwin i wprowadzi me

tod

kompresji graficznej z przeznaczeniem dla organw cigania.

Znacznie bardziej skomplikowane obrazy, a co za tym idzie i wiksze pod

wzgldem zajmowanej przestrzeni dyskowej take mog by zmniejszane za pomoc

waveletw. Wiele dziedzin ycia korzy

sta z tej zalety

-

medycyna, fizyka, geologia itd.

W wyniku kompresji drugiego czy czwartego stopnia otrzymujemy obrazy bardzo

dobrze oddajce prawdziwy obraz. Kolejne stopnie wprowadzaj ju pewne

zanieczyszczenia widoczne jako rozmycia.

Odszumianie sygn

aw

Jednym z wielu problemw jakimi zajmuj si naukowcy jest uzyskanie dobrej jakoci sygnau (wiarygodnego) na

podstawie sygnau niekompletnego, zaszumionego lub "uszkodzonego" w jakikolwiek inny sposb. I w tej dziedzinie

wavelety okazay si pomo

cne. Kilkuletnie wysiki Davida Donoho zostay zakoczone znalezieniem metody wavelet

shrinkage and tresholding.

Technika ta dziaa w nastpujcy sposb. Po rozoeniu funkcji za pomoc faletek, uywa si specjalnego filtru

"uredniajcego" i filtru tworz

cego szczegy. Niektre wspczynniki funkcji wavelet odpowiadaj elementom w danych

tworzcych sygna. Jeeli s one dostatecznie mae mog zosta pominite bez wikszych przeszkd i nie ma to

wpywu na oglne waciwoci badanego sygnau. Metoda progowa

polega na przyrwnaniu do zera wszystkich

wspczynnikw, ktre nie speniaj przyjtego warunku progowego. W wyniku dziaania algorytmu otrzymuje si sygna

oczyszczony z szumw przy jednoczesnym zachowaniu wszystkich charakterystycznych szczegw sygna

u (wysokie

lub blisko pooone piki).

(6)

gdzie:

jest funkcj skalujc dla funkcji podstawowej

-

wspczynniki falkowe (wavelet coefficie

nts)

Te wspczynniki musz spenia jednoczenie warunek

(7)

oraz

(8)

gdzie

jest funkcj delta a

indeksem lokalizacji funkcji.

Funkcje Bazowe

Funkcje bazowe (basis function) atwiej wytumaczy jest w przestrzeni wektorowej.

Kady wektor na paszczynie mona wyrazi przez kombinacj wektorw

el

ementarnych

i

-

s to wanie wektory bazowe, dlatego, e kady inny

wektor

mona przedstawi jako kombinacj liniow wektorw

i

oraz

i

. Dodatkow wasnoci wektorw bazowych jest to, e s one

ortogonalne.

Wracajc do przestrzeni funkcyjnych (zamiast wektora

mamy funkcj

)

wyobramy s

obie przykadowy ton muzyczny np. A w pewnej oktawie. Moemy ton A

skonstruowa skadajc ze sob sinusy i kosinusy uywajc rnych amplitud i

czstotliwoci, ktre w tym przypadku s bazowymi funkcjami, a jednoczenie s elementami

szeregu Fouriera. Dla

wybranych funkcji trygonometrycznych moemy dodatkowo postawi

warunek ortogonalnoci

-

jak?

-

wybierajc odpowiednie kombinacje tych funkcji, tak aby ich

iloczyn skalarny by rwny 0. Taki zestaw funkcji, ktre s i ortogonalne i skadaj si na

funkcj

s wanie ortogonalnymi funkcjami bazowymi w tym problemie.

Natomiast scale

-

varying basis function (funkcje bazowe rnej skali) s funkcjami

powstajcymi z analizy tego samego s

ygnau lecz w rnej skali. Na przykad pewien

odcinek

mona podzieli na dwa

i

lub podobnie na cztery czy wicej

czci. Nastpnie kady odcinek analizuje si z odpowiednio dobran skal. W ten sposb

dostaje si dokadniejsze informacje o caym sygnale.

Dyskretna

transformata wavelet (DWT Discrete Wavelet Transform)

Przeksztacenia funkcji

-

Mother Wavelet (skalowania i translacje) prowadz

do zdefiniowania bazy ortogonalnej

(5)

Zmienne

i

s liczbami cakowitymi ktre skaluj i rozszerzaj proporcjonalnie funkcj wyjciow

w ten

sposb, aby doprowadzi do wygenerowania falek. Indeks skalujcy

sygnalizuje szeroko falki, natomiast

wspczynnik

podaje jego pozycj. Zwrci naley uwag na to, e mothe

r functions s skalowane w drugiej potdze

i przesuwane o liczby rzeczywiste. Powoduje to, e podstawowe funkcje wavelet s interesujce ze wzgldu na swoje

samopodobiestwo tzn. jeeli wiemy co o funkcjach mother wiemy wszystko o funkcjach bazowych.

Aby

rozwin nasz dziedzin danych na inn przestrze uywa si rwnania skalujcego

Szybka transformata wavelet (The Fast Wavelet Tran

sform)

Macierz DWT nie jest w oglnoci macierz rzadk, wic w celu uzyskania tej waciwoci (tak jak poprzednio w

analizie fourierowskiej) tak jak uprzednio dzielimy macierz FFT, tak teraz dzielimy macierz DWT w celu uzyskania kilku

macierzy rzadkic

h, wykorzystujc do tego celu wasnoci samopodobiestwa. W wyniku otrzymujemy algorytm, ktry

wymaga wykonania jedynie

operacji do przeksztacenia

wymiarowego wektora. Taki algorytm nazywa si

szybkim DWT Mallata i Daubechies.

Pakiety Falkowe

Transformata wavelet jest tylko skadnikiem o wiele bardziej wszechstronnych pakietw waveletowych.

Wavelet packets to szczeglna kombinacja falek. Tworz one baz, ktra zachowuje wiele z ortogonalnoci, gadkoci i

waciwoci lokalizacji bazowej funkcji falkowej. Wspczynniki w liniowej kombinacji s wyliczane przez powtarzajcy

si algorytm, ktry

kady wyliczony wspczynnik pakietu falkowego zapamituje jako jedn z gazi swojego drzewa

analitycznego.

Baza Form Adaptacyjnych

Jako, e mamy do wyboru nieskoczon liczb funkcji bazowych, istnieje potrzeba znalezienia takiej funkcji, ktra

bd

zie najlepszym rozwizaniem w danym problemie. Do tego celu stosuje si baz form adaptacyjnych. Bazow

funkcj adaptacyjn waveform jest najlepsza funkcja bazowa dla danej reprezentacji sygnau. Istniej pewne

waciwoci okrelajce wybr tej funkcji:

1

. Szybkie obliczanie wewntrznych iloczynw z innymi funkcjami. bazowymi

2. Szybkie skadanie (superpozycja) z innymi funkcjami bazowymi.

3. Dobra lokalizacja przestrzenna sygnau, tzn. taka, ktra umoliwia zlokalizowanie badajcemu sygna kolejnych

prz

yczynkw majcych wpyw na cay sygna.

4. Dobra lokalizacja w dziedzinie czstotliwoci, tzn. taka, e badajcy ma moliwo identyfikacji poszczeglnych

oscylacji sygnau.

5. Niezaleno, co oznacza, e niewiele punktw prbkowych (bazowych) odpowiada

temu samemu fragmentowi

badanego sygnau.

Transformacja Fouriera

umoliwia nam przedstawienie

sygnau zmiennego w czasie w skali czstotliwoci.

Kady sygna analogowy mona przedstawi w postaci

skadowych sinusoidalnych o odpowiedniej amplitudzie,

fazie i czstotliwoci. Potrafimy to robi dziki

transformacji Fourie

ra. Wynikiem transformacji jest

transformata. Oczywicie w naszych przykadach

bdziemy mieli do czynienia ze skoczon liczb

skadowych czstotliwoci mierzon w rwnych

odstpach na osi czstotliwoci

-

tak operacj na

sygnale nazywamy dyskretn transf

ormat Fouriera

zwan DFT

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-2

-1

0

1

2

sygnal x(n)

0

2

4

6

8

10

12

14

0

0.5

1

czestotliwosc w Hz

unormowane widmo amplitudowe sygnalu x(n)

Rysunek przedstawia ten sam sygna w skali czasu (1

sekunda) i czstotliwoci. S to dwie sinusoidy o

czstotliwoci 2 i 4 Hz. Jako wynik uywamy tylko

pierwsz poow osi czstotliwoci 0

-

7 Hz. Wykres

jest symetryczny w 7 Hz (p

oowa czstotliwoci

prbkowania).

Jak wykona transformacj Fouriera?

Musimy okreli pewne zaoenia:

-

pasmo

-

zakres czstotliwoci

-

jest ono w

specjalny sposb ograniczone i dokonujc

transformacji musimy zna maksymaln skadow

czstotliwo w

sygnale wejciowym.

-

dugo transformaty (ilo skadowych

sinusoidalnych jak zamierzamy wydoby ze sygnau)

-

szybko prbkowania (w prbkach na sekund)

1. Musimy dokona prbkowania sygnau.

2. Nastpnie dla kadej skadowej generujemy sygna

cosin

usoidalny i sinusoidalny

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-2

0

2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1

0

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1

0

1

Skladowa urojona widma dla m=2

Ja

kie wystpuj ograniczenia?

Prbkowanie sygnau musimy wykona z odpowiedni

czstotliwoci, co najmniej dwa razy wiksz od

najwikszej skadowej. Jest to tzw. kryterium

Nyguista. Nieprzestrzeganie tego kryterium spowoduje

powstanie aliasingu. Jest to w

arunek konieczny

prawidowego funkcjonowania kadego przetwarzania

sygnau analogowego na cyfrowy. Dobrym przykadem

jest pyta CD na ktrej dwik prbkowany jest z

czstotliwoci 44,1 kHz, tak aby poprawnie mc

odtworzy sygna do 20 kHz. Przykad wyst

pienia

aliasingu w znanym nam sygnale:

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-2

0

2

sygnal x(n)

0

2

4

6

8

0

0.5

1

czestotliwosc w Hz

unormowane widmo amplitudowe sygnalu x(n)

Rysunek przedstawia wynik DFT sygnau 2 i 4 Hz dla

czstotliwoci prbkowania 8 Hz. Jeeli sygna, ktry

zamierzamy transformowa, zawiera wysze skadowe

sinusoidalne to musimy zastosowa filtry

antyaliasingowe.

S to ukady montowane np. w

telefonach cyfrowych. Dwiki przekazywane przez

telefon musz mieci si w pamie do 4 kHz i prba

wysania do naszego rozmwcy wyszych czstotliwoci

moe zakci przekaz.

Drugim istotnym parametrem transformacji jest il

o

skadowych sinusoidalnych, ktr chcemy policzy. Ta

ilo ma zasadniczy wpyw na zjawisko zwane

przeciekiem.

Sprbujmy wykona DFT dla maej iloci skadowych.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-2

0

2

sygnal x(n)

0

5

10

15

0

0.5

1

czestotliwosc w Hz

unormowane widmo amplitudowe sygnalu x(n)

Wida e skadowe nie byy liczone dla czstotliwoci

2 i 4 Hz dlatego nie mogy si on

e znale na skali

czstotliwoci. Powoduje to e zostaj one

przeniesione do ssiednich wyliczanych skadowych.

Zjawisko to nazywamy przeciekiem.

Przeciek moemy zminimalizowa stosujc rne metody

np. zwikszajc ilo liczonych skadowych, dobieramy

zn

ane wystpujce w sygnale skadowe (np. warto

nuty w przypadku muzyki), czy stosujc tzw. okna.

Transformacja jest operacj czasochonn i

wykonywanie jej na przykad w czasie rzeczywistym dla

zoonych sygnaw (dwik Hi

-

Fi, obraz) wymaga duej

mocy o

bliczeniowej. Jest to zwizane z funkcj, ktra

wymaga wykonania duej iloci mnoe zespolonych.

Dokadnie ilo tych mnoe (dla DFT) wynosi N

2

, gdzie

N to liczba skadowych sinusoidalnych.

Istnieje jednak metoda pozwalajca zmniejszy liczb

mnoe w fu

nkcji. Metod t nazywamy szybk

transformacj Fouriera (FFT). Redukuje ona liczb

mnoe do NlogN. Jedynym ograniczeniem jest to e N

musi by naturaln potg liczby 2 (2, 4, 8, 16, 32,

64, 128, ...).

Wnioski:

Odkrycie Fouriera miao ogromne znaczenie d

la

dzisiejszej komunikacji i informatyki. Rozwj

technologii pozwalajcej na zamian sygnaw z osi

czasu na o czstotliwoci umoliwi powstanie

zaawansowanych ukadw przesyania i magazynowania

danych: kompresji, kodowania, korekty. Wpyno to

znaczc

o na rozwj dzisiejszej komunikacji cyfrowej i

miao decydujcy wpyw przy projektowaniu urzdze i

oprogramowania do: CD Audio, GSM, JPG, MP3, DVD.

Przesyanie i gromadzenie danych w obecnych czasach

byoby

-

bez tej metody

-

bardzo utrudnione czy wrcz

n

iewykonalne. Moliwo analizowania widma niektrych

sygnaw pozwala nam rwnie zrozumie ich fizyk i

zachowanie. Ma to niebagatelny wpyw w rnych

dziedzinach techniki wojskowej czy medycznej.

Transformacja Fouriera daje nam takie moliwoci jak

pryzm

at dla analizy widma wiata.

Przeksztalcenie

Z

Przeksztalcenie

Z

jest, w dziedzinie czasu dyskretnego, odpowiednikiem ciaglego przeksztacenia Laplacea.

Podczas, gdy przeksztalcenie Laplacea jast stosowane dla uproszczenia analizy ciaglych rwna

roz

niczkowych, przeksztalcenie

Z

ulatwia analiz dyskretnych rwna roznicowych. Przeksztalcenie

Z

dyskretnego cigu h(n) jest zdefiniowane jako:

-

=

-

=

n

n

z

n

h

z

H

)

(

)

(

gdzie z jest zmienna zespolona.

Transformata Fouriera

Transformata Fouriera jest oper

acja zamiany postaci czasowej sygnalu na postac

czastotliwosciowa. Jest to bardzo wazne narzedzie wykorzystywane przy analizie sygnalu. W

systemach z czasem dyskretnym wykorzystuje si

dyskretne przeksztalcenie Fouriera

(ang.

discrete Fourier transformatio

n

-

DFT

), ktre jest odpowiednikiem transformaty Fouriera dla

systemow ciaglych w czasie. Obliczanie prbek DFT odbywa si wedug nastepujacej

zaleznosci:

-

=

=

1

0

)

(

)

(

N

n

kn

N

W

n

x

k

X

przy czym k=0,1,2,...,N

-

1 oraz

N

j

N

e

W

P

-

=

2

.

Analogicznie do DF

T mozn zdefiniowac

odwrotne przeksztalcenie Fouriera

(ang. inverse

discrete Fourier transformation

-

IDFT

)

-

=

-

=

1

0

)

(

1

)

(

N

k

nk

N

W

k

X

N

n

x

przy czym n=0,1,...,N

-

1.

Dyskretne przeksztalcenie Fouriera jest przeksztalceniem

Z

obliczanym dla N punktw

oddalonych od

siebie o ten sam kat na okregu jednostkowym

paszczyzny

z

.

Na podstawie

2

2

/

2

2

2

2

N

N

j

N

j

N

W

e

e

W

=

=

=

P

-

P

-

poprzednie rwnanie mona zapisac w postaci:

-

=

-

=

+

+

=

1

2

0

2

1

2

0

2

)

1

2

(

)

2

(

)

(

N

r

kr

N

k

N

N

r

kr

N

W

r

x

W

W

r

x

k

X

A zatem

)

(

)

(

)

(

k

H

W

k

G

k

X

k

N

+

=

przy czym

2

)

(

N

k

G

-

-

punktowe przeksztalcenie DFT parzystych punktw cigu x(n),

2

)

(

N

k

H

-

-

punktowe przeksztalcenie DFT nieparzystych punktw cigu x(n),

N

j

N

e

W

P

-

=

2

.

FFT z po

dzialem czestotliwosciowym

W algorytmie FFT mona rwnie rozwazac podzia cigu wyjciowego X(k). Zapiszmy

rwnanie

-

=

=

1

0

)

(

)

(

N

n

kn

N

W

n

x

k

X

w postaci:

kn

N

N

n

k

N

N

N

n

kn

N

N

n

k

N

N

n

N

n

kn

N

N

N

n

kn

N

N

n

kn

N

W

N

n

x

W

W

n

x

W

N

n

x

W

n

x

W

n

x

W

n

x

k

X

)

2

(

)

(

)

2

(

)

(

)

(

)

(

)

(

1

2

0

2

1

2

0

)

2

(

1

0

1

2

0

1

2

1

2

0

-

=

-

=

+

-

=

-

=

-

=

-

=

+

+

=

+

+

=

+

=

Szybkie przeksztalcenie Fouriera (FFT)

Szybkie przeksztalcenie Fouriera (ang. Fast Fourier Transform) zostao przedstawione w

1965r jako bardzo wydajny algorytm implementujacy DFT. Obliczanie FFT jest o wiele

szybsze ni obliczanie klasyczn

ego DFT.

FFT z podzialem czasowym

Glowna idea na ktrej opiera si algorytm FFT, jest dekompozycja N

-

puktowego DFT na dwa

niezalene N/2

-

punktowe preksztalcenia DFT. Pierwsze z nich zawiera jedynie prbki

parzyste sygnalu wejsciowego, drugie natomiast

-

prbki nieparzyste:

+

=

e

nieparzyst

n

kn

N

parzyste

n

kn

N

W

n

x

W

n

x

k

X

_

_

)

(

)

(

)

(

Po podstawieniu n=2r dla n parzystych i n=2r+1 dla n nieparzystych otrzymujemy:

kr

N

r

N

k

N

kr

N

r

N

N

r

r

k

N

N

r

r

k

N

W

r

x

W

W

r

x

W

r

x

W

r

x

k

X

)

)(

1

2

(

)

)(

2

(

)

1

2

(

)

2

(

)

(

1

2

0

2

1

2

0

2

1

2

0

)

1

2

(

1

2

0

2

-

=

-

=

-

=

+

=

+

+

=

+

+

=

Otrzymano niestety dwa wyraenia, ktre nie sa

2

N

-

punktowym

i transformatami Fouriera,

poniewa wystpuj czynniki

kn

N

W

, a nie

kn

N

W

2

. Wiedzac jednak, ze

k

k

N

N

W

)

1

(

2

-

=

, moemy

poprzednie rwnanie zapisac w postaci:

kn

N

N

n

k

W

N

n

x

n

x

k

X

)]

2

(

)

1

(

)

(

[

)

(

1

2

0

-

=

+

-

+

=

Dla parzystych wskaznikow k=2

r otrzymujemy:

rn

N

N

n

W

N

n

x

n

x

r

X

2

1

2

0

)]

2

(

)

(

[

)

2

(

-

=

+

+

=

natomiast dla nieparzystych wskaznikow k=2r+1:

rn

N

n

N

N

n

W

W

N

n

x

n

x

r

X

2

1

2

0

)]

2

(

)

(

[

)

1

2

(

-

=

+

-

=

+

.

Pamietajac, ze

rn

N

rn

N

W

W

2

2

=

, rwnania przedostatnie i ostatnie mona odpowiednio

przedstawic w postaci:

kn

N

N

n

W

N

n

x

n

x

k

X

)]

2

(

)

(

[

)

(

1

2

0

-

=

+

+

=

dla k parzystego

kn

N

n

N

N

n

W

W

N

n

x

n

x

k

X

)]

2

(

)

(

[

)

(

1

2

0

-

=

+

-

=

dla k nieparzystego.

Zatem obliczanie FFT z podzialem czestotliwosci polega na wyznaczeniu cigu

)

2

(

)

(

N

n

x

n

x

+

+

oraz cigu

)

2

(

)

(

N

n

x

n

x

-

+

przemnozonego przez wspolczynnik

k

N

W

,

a

nastpnie obliczeniu N/2

-

punktowych transformat obu ciagow