Propuesta_calculo4
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Propuesta-c´ alculo4 hneciosup September 2015 1. Sea Ω ⊂ R 3 , el s´ olido l´ ımitado por el cilindro x 2 + y 2 = a 2 , la porci´ on del plano z = a + 2, el paraboloide x 2 + y 2 + z = a, con x ≥ 0,y ≥ 0y a> 0. (a) Grafique el s´ olido Ω. (b) Calcular ZZZ Ω fdV, donde f (x, y, z)= x 2 + y 2 . Soluci´ on 1. (a) (b) Usando coordenadas cilindricas: x = r cos θ; y = r sin θ. 1
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Propuesta-calculo4
hneciosup
September 2015
1. Sea Ω ⊂ R3, el solido lımitado por el cilindro x2 + y2 = a2, la porcion delplano z = a+ 2, el paraboloide x2 + y2 + z = a, con x ≥ 0, y ≥ 0 y a > 0.
(a) Grafique el solido Ω.
(b) Calcular ∫ ∫ ∫Ω
fdV,
donde f(x, y, z) = x2 + y2.
Solucion
1. (a)
(b) Usando coordenadas cilindricas:
x = r cos θ; y = r sin θ.
1
La ecuacion del cilindro es: r = aLa ecuacion del paraboloide es: z = a− r2.Los lımites de integracion son:
0 ≤ r ≤ a,
0 ≤ θ ≤ π
2,
a− r2 ≤ z ≤ a+ 2.
Luego ∫ ∫ ∫ΩfdV =
∫ π2
0
∫ a0
∫ a+2
a−r2 r3dzdrdθ
=∫ π
2
0
∫ a0r3(2 + r2)drdθ
= π2
∫ a0
(2r3 + r5)dr
= a4π4 (1 + a2 )
2
