Programme 2009 Problème 1: Est-il possible que laire du triangle soit égale à laire du carré ?
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Programme 2009
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Problème 1:
Est-il possible que l’aire du triangle soit égale à l’aire du carré ?
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Réalisation de la figure sous géogébra
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• Le cadre géométrique met en évidence la solution AM=0 . Une analyse de la configuration permet d’affirmer que si le triangle a pour base le double du côté du carré alors le triangle et le carré ont la même aire.
• L’étude géométrique sous géogébra n’est pas précise mais cela peut inciter les élèves à étudier la différence des aires .
On trouve une valeur approchée de la solution non triviale à 0,1 près.
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Différence des aires:Expérimentalement, elle n’est jamais nulle
La valeur approchée de AM est 2,7
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Pour obtenir une plus grande précision il faut introduire le cadre fonctionnel car le solveur graphique permet d’obtenir une valeur approchée beaucoup plus précise.On a deux fonctions: f(x)=x² et g(x)= 0,5x(8-x) sur [0;8]
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Résolution algébrique:
On obtient, en faisant la différence des aires :
1,5 x² - 4 x = 0.
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Problème 2:
On voudrait que le motif ait une aire égale à la moitié de celle du carré ABCD.Quelles dimensions faut-il donner au motif ?
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Retour à la figure sous géogébra
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Nous sommes confrontés à nouveau aux limites du logiciel de géométrie
dynamique.
Il faut donc revenir à la fonction donnant l’aire du motif en
fonction de la distance AM.
On a alors : f(x) = 0,5 x² + 4x
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Résolution graphique de l’équation 0,5x²+4x=32
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Résolution algébrique:
La factorisation du trinôme nécessite une aide
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On peut proposer aux élèves de vérifier l’égalité entre :
puis leur demander de terminer la factorisation
Ou travailler sur: x²+8x-64=0
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Avec le logiciel de calcul formel Xcas
L’élève peut vérifier la factorisation puis en déduire les solutions
Adresse: http://xcasenligne.fr/
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Remarque:
L’instruction canonical_form permet dans xcas de retrouver la forme canonique
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Problème 3:
On voudrait que l’aire du triangle soit la plus grande possible.
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• Par expérimentation sur géogégra ou sur une calculatrice, on trouve comme maximum 8 obtenu pour AM=4.
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Preuve fonctionnelle
A faire après le cours sur la représentation des trinômes.On sait que la courbe de la
fonction donnant l’aire du triangle est une parabole.
La recherche des antécédents de 6 par exemple
permet de mettre en évidencel’axe de symétrie de la parabole
puis d’en déduire le sommet .
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Preuve algébrique
L’expérimentation a donnée pour maximum 8.Il suffit donc d’étudier le signe de la différence:
8-0,5x(8-x).
On trouve 8 - 0,5x(8-x) = 0,5(x-4)²
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Prolongements possibles
Est-il possible que l’aire du triangle soit plus grande que celle du carré ?
![Page 23: Programme 2009 Problème 1: Est-il possible que laire du triangle soit égale à laire du carré ?](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022070308/551d9d7f497959293b8b8396/html5/thumbnails/23.jpg)
Propositions de travail 1ère propositionABCD est un rectangle tel que AB = 2.On construit les points E et F tels que
ACEF est un carré.Peut-on construire un rectangle ABCD
de sorte que ACEF ait une aire inférieure à celle de ABCD ?
Peut-on construire un rectangle ABCD de sorte que le triangle ACE ait une aire inférieure à celle de ABCD ?
Autres propositions de questions ?
![Page 24: Programme 2009 Problème 1: Est-il possible que laire du triangle soit égale à laire du carré ?](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022070308/551d9d7f497959293b8b8396/html5/thumbnails/24.jpg)
2 ème proposition (situation n° 1 document ressources): A chaque nombre supérieur ou égal à 1, on associe le nombre de
diviseurs de sa partie entière.1. Quels sont les nombres associés à 10 ? 43,7 ? 182 / 3 ?2. Quel est le plus petit nombre auquel on associe 8 ?3. Représenter graphiquement la situation de départ, pour
tous les nombres compris entre 1 et 25 .
Construire une activité à partir de ces éléments du document ressources
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3ème proposition
On considère un quart de cercle de centre A et de rayon 6 cm. Le point M est un point libre sur le segment [AB]. A partir du point M, on construit le rectangle AMLP tel que L soit un point du quart de cercle et P un point de [AC].
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Liens:
• Programme et document ressourcehttp://www.maths.ac-aix-marseille.fr/spip/spip.php?article45
• MIAM : "ressources pour la classe" http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/spip/
• http://xcasenligne.fr/ (xcas)
• Contact: [email protected]