Prof . Robertas Damaševičius KTU Programų inžinerijos katedra, Studentų 50-415

Prof. Robertas DamaševičiusKTU Programų inžinerijos katedra,

Studentų 50-409aEmail: robertas.damasevicius(at)ktu.lt

Biosistemų augimo ir Biosistemų augimo ir evoliucijos modeliaievoliucijos modeliai

Matematiniai evoliucijos modeliai Molekulinių-genetinių sistemų kilmės modeliai

nagrinėja gyvybės kilmės problemas Kvazirūšys, hiperciklai, syseriai, genetinio

dreifo modeliai Bendrieji evoliucijos modeliai

aprašo informacinius evoliucijos aspektus Fraktalai, ITS, L-sistemos

Dirbtinės gyvybės modeliai analizuoja dirbtinių “organizmų” egzistuojančių

kompiuterio atmintyje gyvenimo ir evoliucijos aspektus

Ląsteliniai automatai, “Gyvenimo žaidimas”

Bioinformatika (B110B001) 2

Kvazirūšių modelisAprašo save atgaminančių cheminių molekulių, pvz.,

RNR arba DNR, evoliucijąRemiasi 4 prielaidomis

Save atgaminantys organizmai gali būti aprašyti sekomis, sudarytomis iš nedidelio skaičiaus blokelių

Naujos sekos atsiranda sistemoje tik jau egzistuojančių sekų kopijavimo (be klaidų arba su klaidomis) pasėkoje

Žaliavų reikalingų kopijavimui visada pakanka Sekos gali skilti į sudedamąsias dalis, o skilimo tikimybė

nepriklauso nuo sekos amžiaus.


Matematinis kvazirūšių aprašasYra S galimų sekų ir ni organizmų su seka i.

Kiekvienas iš šių organizmų turi Ai palikuonių.

Kiekviena seka yra N simbolių eilutė, kur simboliai yra imami iš l raidžių turinčios abėcėlės.

Kai kurie iš šių palikuonių yra savo tėvo kopijos ir turi seką i, o kiti yra mutantai ir turi skirtingą seką.

Mutacijos dažnis qij reiškia tikimybę, kad j tipo tėvas turės i tipo palikuonį.

Evoliucijos procesą sudaro vienas po kito einančios sekų kartos. Nauja karta S(t+1) yra gaunama iš prieš tai buvusios kartos S(t).

Kvazirūšių evoliucijos algoritmas0 žingsnis. Pradinės populiacijos S(0) formavimas.

Kiekvienam k = 1 , ..., n, ir i = 1 , ..., N , atsitiktinai pasirinkite simbolį Ski iš duotos abėcėlės.

1 žingsnis. Atrinkimas. 1.1. Konkrečios sekos atrinkimas. Atsitiktinai pasirinkite seką k ir

sukurkite seką S(t+1) iš sekos S(t). 1.2. Sekos atrinkimo kartojimas. Kartokite žingsnį 1.1 tol, kol sekų

skaičius naujoje populiacijoje pasiekia reikšmę n.

2 žingsnis. Mutacijos. Kiekvienam k = 1 , ..., n, ir i = 1 , ..., N, su tikimybe P pakeiskite simbolį

Ski(t+1) į kitą pasirinktą abėcėlės simbolį.

3 žingsnis. Evoliucija. Pakartokite žingsnius 1, 2, kai t = 0, 1, 2, ...


Hiperciklų modelisHiperciklai gali būti laikomi

hipotetinių primityvių vienaląsčių organizmų protėvių modeliu:

I – RNR molekulės

E - enzimai


Hiperciklų modelisTarkime, turime n RNR molekulių, kur i-toji RNR

molekulė koduoja i-tajį enzimą (i = 1, 2 ,... , n). Enzimai cikliškai padidina RNR molekulės

replikavimo greitį, t.y. i-tasis enzimas padidina (i+1)-osios RNR molekulės replikavimo greitį, o n-tasis enzimas padidina 1-osios RNR molekulės replikavimo greitį.

Aprašoma sistema turi primityvų transliavimo mechanizmą, todėl RNR sekose saugoma informacija gali būti transliuojama į enzimus.


Hiperciklų modelisPrielaidos:

hiperciklai yra patalpinami į atskiras vienas nuo kito erdviškai apribotas dalis, vadinamas koacervatais

kiekvienas koacervatas turi tik vieną hiperciklų modelįkoacervato tūris yra proporcingas jo viduje esančių

makromelekulių kiekiui transliavimo procesas yra žymiai greitesnis negu

replikavimo procesas


Matematinis hiperciklų aprašasRemiantis prielaidomis gaunamos tokios lygtys:

,i = 1,2,..., n

Ni – i-tosios RNR molekulių skaičius koacervate;

xi – i-tosios RNR molekulių koncentracija koacervate;

V – koacervato tūris;

c – konstanta, charakterizuojanti makromelekulių koncentraciją duotame koacervate;

fi – i-tosios RNR sintezės greitis.


iVfdt

dN

iiNScV 1

V

Nx ii

Siserių modelisAprašo katalitiškai sąveikaujančias makromolekules:

nukleotidų grandines ir baltymus I yra polinukleotidų matrica,

E1 ir E2 – replikavimo ir transliavimo enzimai,

E3 , E4, ..., En – papildomi baltymai


Siserių modelisPrielaidos:

1) skirtingi siseriai yra talpinami į atskirus koacervatus2) koacervato tūris didėja proporcingai sintezuotų

makromelekulių skaičiui3) koacervato tūriui viršijus slenkstinę reikšmę jis

suskyla į dvi dalis4) selekcija modeliuojama pasirenkant siserį su

didžiausiu makromelekulių sintezės greičiuMatematiškai aprašoma panašiai kaip hiperciklai


Populiacijų genetika tiria genų dažnį bendrame genų fonde ir kaip jis keičiasi, keičiantis skirtingoms kartoms

Dėmesys yra perkeliamas nuo individo į populiaciją, kurios narys ir yra individas

Populiacija yra vienos rūšies individų grupė, galinti kryžmintis tarpusavyje

Kiekvieno geno aleliai populiacijoje sudaro genų bendrą fondą - pulą (pool)

Tik tie individai, kurie reprodukuojasi, dalyvauja kuriant sekančios kartos genų fondą

Populiacijų genetika

11-2

Genetinis dreifasGenų dreifas – atsitiktinis statistinio pobūdžio genų

dažnių kitimas populiacijoje. Dėl genų dreifo kai kurie aleliai gali visai išnykti, taigi dėl

genų dreifo mažėja genetinė įvairovė. Aleliai – skirtingi geno variantai, susidarantys dėl

mutacijų lytinėse ląstelėse. Tai organizmų paveldimo kintamumo šaltinis.

Skirtingai nuo gamtinės atrankos, genų dreifas ne visada padeda įsitvirtinti adaptyviausiems požymiams – jo pasekmės populiacijai gali būti tiek naudingos, tiek žalingos, tiek neutralios. Taip yra todėl, kad individo reprodukcinę sėkmę dažnai lemia atsitiktinumai, nesusiję su jo prisitaikymu prie aplinkos.


Populiacijų genetikoje svarbiausi yra du dydžiai

Alelių ir genotipų dažniai

Alelių dažnis =

Genotipų dažnis =

Bendras visų šio geno alelių, esančių populiacijoje, skaičius

Alelių kopijų populiacijoje skaičius

Bendras visų individų, sudarančių populiaciją, skaičius

Individų su tam tikru genotipu skaičius populiacijoje

Mutacijos yra reti atsitiktiniai įvykiai, vykstantys spontaniškaiMutagenai padidina mutavimo greitį

Mutacinis kintamumas suteikia žaliavos evoliucijai, tačiau pats nėra evoliucijos dalisMutacijos paveikia jas paveldinčių individų išgyvenamumą ir

reprodukcinę sėkmęEvoliuciniai procesai gali būti suskirstyti į dvi grupes

Neutralūs procesai: alelių dažnius keičia atsitiktinai, t.y. nepriklausomai nuo individo išgyvenamumo

Migracija ir genų dreifasAdaptyvūs procesai: padidina dažnį tų alelių, kurie padeda

išgyventi arba reprodukuotisNatūralioji atranka

Mutacijos yra genetinio kintamumo šaltinis

Mutavimo greitisNaujos mutacijos gali būti

NaudingosNeutralios Žalingos

Neutralių ir žalingų mutacijų atsiradimo tikimybė yra žymiai didesnė, negu naudingų mutacijų

Mutavimo greitis yra tikimybė, kad gene įvyks nauja mutacijaJo dažniausia išraiška yra naujų mutacijų skaičius, įvykęs

tiriamame gene per vieną generacijąMutavimo greičio skaitinė išraiška paprastai būna nuo

10-5 iki 10-6 per vieną kartąBioinformatika (B110B001) 16

Atsitiktinis genų dreifas yra atsitiktinis alelių dažnio pokytis, atsirandantis dėl riboto pasirinkimo

Dėl genų dreifo aleliai gali būti arba fiksuoti populiacijoje, arba pamesti

Genų dreifas pasižymi dviem svarbiomis ypatybėmis1. Genų dreifas tam tikro alelio dažnio požiūriu veikia kryptingaiGaliausiai alelis arba fiksuojamas populiacijoje, arba

išeliminuojamas2. Genų dreifo įtaka didesnė mažose populiacijose

Genų dreifo pavyzdžiai Butelio kaklelio efektas Įkūrėjo (pradininko) efektas

Genų dreifas

11-38

11-45

Butelio kaklelio efektasGamtoje populiacija gali

labai reikšmingai sumažėti, pvz., dėl gamtinių kataklizmų

Tokie kataklizmai atsitiktinai pašalina individus nepriklausomai nuo jų genotipo

Butelio kaklelio periodu, kai populiacijos dydis yra labai mažas, gali pasireikšti genų dreifas

Natūralioji atranka1. Populiacijos viduje yra genetinė variacija,

atsirandanti dėl DNR sekų skirtumų Skirtingi aleliai gali koduoti besiskiriančių funkcijų

baltymus2. Kai kurie aleliai gali koduoti baltymus, padidinančius

individų išgyvenamumą ar reprodukcines galimybes3. Individų, turinčių naudingus alelius, tikimybė

išgyventi ir reprodukuotis yra didesnė4. Per daugelį generacijų daugelio skirtingų genų alelių

dažnis gali pasikeisti dėl natūraliosios atrankos Reikšmingai keičia rūšies savybes Galutinis natūraliosios atrankos rezultatas yra populiacija,

geriau prisitaikiusi prie aplinkos ir/ar efektyviau besidauginanti

2

2

)(

2)(

)(

qaaP

pqAaP

pAAP

Hardy-Weinberg modelis

Hardy-Weinberg :

AA

Aa

aa

aAqaP

pAP

)(

)(AA

Aa

aa

aA

Atsitiktinis poravimasis

Kartos nepersidengia

• Kartos nepersidengia• Poravimas vyksta atsitiktinai• Nepaisoma mutaciju ir selekcijos• Po tam tikro laiko pasiekiama pusiausvyra

Tegul egzistuoja du polimorfinio geno aleliai, A ir aAlelio A dažnis yra žymimas kintamuoju pAlelio a dažnis yra žymimas kintamuoju q

p + q = 1Šiam genui Hardy-Weinbergo lygtis nustato, kad

(p + q)2 = 1p2 + 2pq + q2 = 1

Hardy-Weinbergo lygtis

Genotipo AA dažnis

Genotipo Aa dažnis

Genotipo aa dažnis

Jei p = 0.8 ir q = 0.2 ir jei populiacija yra Hardy-Weinbergo pusiausvyroje, tadaAA dažnis = p2

= (0.8)2 = 0.64Aa dažnis = 2pq

= 2(0.8)(0.2) = 0.32aa dažnis = q2

= (0.2)2 = 0.04

Hardy-Weinbergo lygtis numato pusiausvyrą, jei populiacija atitinka keletą sąlygų1. Populiacija yra didelė

Alelių dažniai nesikeičia dėl atsitiktinių imties klaidų

2. Populiacijoje vyksta atsitiktinis kryžminimasis

3. Nėra migracijos4. Nėra natūraliosios atrankos5. Nėra mutacijų

Hardy-Weinbergo lygtis nusako kiekybinį ryšį tarp alelių ir genotipų dažnio

Realybėje nei viena populiacija pilnai neatitinka Hardy-Weinbergo pusiausvyros sąlygų

Kai kuriose didelėse gamtinėse populiacijose migracija yra nedidelė, o natūralioji atranka beveik nevykstaTuo atveju Hardy-Weinbergo pusiausvyros sąlygos

kai kurių genų atžvilgiu yra beveik patenkinamos

11-19

Wright-Fisher modelis

Nf Nm

Nf Nm

…..

…..

…..

…..

Diploid model

• Turime N individu• Kiekvienas turi 2 chromosomos kopijas• Kartos nepersidengia• Kiekvienoje kartoje, kiekviena chromosoma paveldi genus is ankstesnes kartos chromosomos

Moran modelis

• Populiacijos dydis nekinta• Kartos persidengia• Atsitiktinai parenkamas ir pakeiciamas individas laiko momentu t kitu

individu

Genetinio dreifo modeliai

Modeliuoja genetinės atrankos procesusPradžioje visoms ląstelėms priskiriama

atsitiktinė spalvaKiekviena ląstelė nusikopijuoja spalvą nuo

atsitiktinės ląstelėsPo tam tikro laiko viena spalva pradeda

dominuotiIšvados: evoliucija gali vykti atsitiktinai, be

tikslo


Bendrieji evoliucijos modeliai


FraktalaiFraktalo sąvoką apie 1980 m. įvedė Mandelbrot’asFraktalas – objektas, kurio pagrindinė savybė yra

savipanašumas, kai objektą galima išskaidyti į mažas dalis, kurios yra sumažintos visos objekto struktūros kopijos.

Pavyzdžiui, medis, plaučiai, kraujotakos ir nervų sistema. Fraktalinės struktūros

Kantoro (Cantor) aibė, Peano (Pean) kreivė, Kocho (Koch) kreivė, Sierpinskio (Sierpinski) trikampis ir kilimas, Žiulia (Julia) aibės.


Mandelbrot’o fraktalas

Fraktalų pavyzdžiai

Natūralus fraktalas: Romanesco kopūstas

Medis


Kraujotakos sistema


Scientific American, 1990. (262) February, p. 46. by Hans van Beek and James B. Bassingthwaighte, University of Washington

Kvepavimo sistema


Koch medis


Pagrindiniai principaiSavipanašumas,

išdidinta maža geometrinės struktūros dalis atrodo identiška didesnei daliai

Tikslus savipanašumas fraktalas atrodo identiškai,

nepriklausomai nuo mastelio. Apytikslis savipanašumas

fraktalas turi dalinį (bet ne identišką) savipanašumą esant skirtingam masteliui.

Statistinis savipanašumas atsitiktiniai fraktalai.


Savipanašumo ribos


Lichtenberg’o figūrosSuformuoja aukštos

įtampos (pvz., žaibo) iškrova

Fraktalų demonstracijaFraktalinio augimo

modelishttp://

apricot.polyu.edu.hk/~lam/dla/dla.html


Sierpinski trikampishttp://math.rice.edu/~lanius/fractals/sierjava.html


Koch snaigė Pradedame nuo lygiakraščio trikampio.

1 žingsnis. Kiekvieną trikampio kraštinę dalijame į tris lygias dalis. Prie kiekvienos kraštinės vidurinės dalies piešiame mažą lygiakraštį trikampį.

2 žingsnis. Kiekvienai iš dvylikos kraštinių kartojame tą pačią 1 žingsnyje aprašytą procedūrą: kiekvieną kraštinę dalijame į tris lygias dalis. Prie kiekvienos kraštinės vidurinės dalies piešiame mažą lygiakraštį trikampį.

3 žingsnis. Kartojame šį procesą be galo.


Matematiniai fraktalų gavimo metodaiIteracinių funkcijų sistema (IFS)Atsitiktinių iteracinių funkcijų sistema (AIFS)L-sistemos


IFSPradinei figūrai pritaikomas afininių transformacijų rinkinys. Afininė transformacija w yra sudaryta iš posūkio, atspindžio,

sumažinimo ir slinkties transformacijų. Pritaikius taškui P = (x, y) afininę transformaciją, gausime kitą

tašką, kurio koordinatės P = (u, v) apskaičiuojamos taip:u = ax + by + e

v = cx + dy + f a,..., f - transformacijos koeficientaiPritaikę afininių transformacijų rinkinį figūrai (taškų aibei),

gausime kitą figūrą (kitą taškų aibę). Kartojant šį procesą kartosime, po tam tikro laiko gausime

nesikeičiantį vaizdą, kuris yra vadinamas atraktoriumi.Praktiškai gali reikėti labai daug kartojimų


IFS pavyzdys

AIFSTaikomos ne visos transformacijos iš karto, bet tik viena iš jų,

kuri yra pritaikoma tik vienam taškui. Jei yra n afininių transformacijų wi, tai joms parenkamos

atitinkamos pasirodymo tikimybės pi (∑ pi =1). Konkrečios transformacijos taikymas priklauso nuo jos

tikimybės. Tokiu būdu gaunama taškų aibė

s1, s2, s3 yra atsitiktiniai skaičiai iš intervalo [1...n].


,...,,, 2331220110 zwzzwzzwzz sss

AIFS: Kielek medis


IFS demonstracijahttp://www.cut-the-knot.org/ctk/ifs.shtml


L-sistemaL-sistemas pirmasis panaudojo Lindenmajeris augalų ir

dumblių augimo procesams aprašyti. Kiekviena ląstelė turi savo pažymėjimą - raidę, kuri gali

reikšti ląstelės amžių, dydį ar kitokią laike kintančią charakteristiką.

Įvedamos perrašymo taisyklės kiekvienai raidei. Pvz., ką tik gimusi ląstelė pažymima A raide, o suaugusi - B.

Ląstelė subręsta per vieną laiko tarpsnį ir kitu tarpsniu pasidalina į dvi ląsteles.


L-gramatikosFormaliai aprašo L-sistemasApibrėžimas:

Formali lygiagreti gramatikaTaisyklės taikomos lygiagrečiai

Savybės: lygiagretumasNeskiriami terminaliniai ir neterminaliniai skirtumai

L-sistemų tipai:Nepriklauso nuo konteksto: taisyklė priklauso tik nuo vieno

simbolioJautri kontekstui: taisyklė priklauso ne tik nuo vieno simbolio,

bet ir nuo jo kaimynųStochastinės: kiekviena taisyklė pasirenkama su tam tikra

tikimybe

Biologinis pagrindimas: Visi simboliai yra vienodi, nėra skirtumo tarp terminalinių ir

neterminalinių simbolių

Taisyklių tipai: Trynimo taisyklė modeliuoja trynimo mutaciją Grandinės taisyklė modeliuoja vieno nukleotido

mutaciją Kartojimo taisyklė modeliuoja pasikartojančius sekų

motyvus Augimo taisyklė modeliuoja DNR sekos augimą

(evoliuciją) Stochastinė taisyklė modeliuoja atsistiktines sekos

mutacijas

DNR sekų generavimas naudojant L-gramatikas

ABAAAABCA

BAp :

Formalus L-gramatikos aprašas

Čia: simbolių aibė pradinė sistemos būsena. simbolių generavimo taisyklės. aibė tikimybių , kad taisyklė bus

pritaikyta.

),,,( PRVG

TGCAV ,,,KV

LVVR 1

P 1,0jp Rr

j

L-sistemos pavyzdysTokiu atveju perrašymo taisyklės yra tokios: A → B ir B → AA. Jei pradėtume nuo vienos suaugusios ląstelės, gautume tokį vaizdą:

B

AA

BB

AAAA

BBBB

AAAAAAAA

ir t.t.

Jei parinktume grafinį gautos sekos pavaizdavimą, galėtume stebėti, kaip vyksta sistemos evoliucija laike: vystymąsis arba augimas.

L-sistemos augimo pavyzdys


L-sistemų pavyzdžiai


Fraktalinis augalasKintamieji : X FKonstantos : + −Pradžia : XTaisyklės :

(X → F-[[X]+X]+F[+FX]-X), (F → FF)

Kampas : 25°

F reiškia “piešti į priekį"“-” reiškia “pasukti į kairę 25°"“+” reiškia " pasukti į

dešinę25°"


L-sistemų demonstracijahttp://zool33.uni-graz.at/schmickl/models/

petersil.htmlhttp://jsxgraph.uni-bayreuth.de/wiki/index.php/L-

systemshttp://to-campos.planetaclix.pt/fractal/

plantae.htm


Dirbtinės gyvybės modeliai


Ląsteliniai automatai (LA) Hipotetinės mašinos, kurios egzistuoja begaliniame

lauke, suskirstytame į elementarius laukelius, su tam tikromis taisyklėmis ir laukelio būsenų skaičiumi

LA: paprastas erdvinės decentralizuotos sistemos modelis sudarytas iš atskirų komponentų (ląstelių) Ryšys tarp ląstelių yra apribotas vietine sąveika. Kiekviena atskira ląstelė yra tam tikroje būsenoje, kuri

keičiasi laike priklausomai nuo jos kaimynių būsenos LA: lygiagretaus skaičiavimo įrenginys galintis

modeliuoti sudėtingus gamtos reiškinius


LA klasės1 klasės LA evoliucionuoja į vieną homogeninę būseną2 klasės LA turi paprastą periodinę struktūrą3 klasės LA pasižymi chaotiniu (pseudoatsitiktiniu)

elgesiu4 klasės LA turi sudėtingą lokalizuotą struktūrą ir gali

būti naudojamas kaip universalus skaičiavimo automatas

“Gyvenimo žaidimas” (Life Game)“Gyvenimo žaidimas”: LA sukurtas 1970 m. Dž. Konvėjaus. Prielaidos

"Žaidimo" erdvė - begalinė plokštuma, suskaidyta į lygaus dydžio kvadratėlius (ląsteles).

Ląstelė (kvadratėlis lentoje) gali būti gyva arba mirusiLąstelė (gyva ar ne), vis tiek sąveikauja su savo visais kaimynais

(viso 8)Žaidimo taisyklės.

Ląstelė, jei gyva, gali mirti iš vienatvės, kai turi mažiau nei 2 kaimynus.

Ląstelė, jei gyva, gali mirti dėl grūsties, kai daugiau nei 3 kaimynus.

Ląstelė lieka gyva, jei turi 2 ar 3 kaimynus.Ląstelė, jei negyva, gali "gimti", kai turi 3 kaimynus.

Sistemos evoliucija„Gyvenimo žaidimas“ yra biologinės sistemos augimo ir

savi-organizacijos iliustracija. Atsirandančios situacijos žaidimo metu yra panašios į

realius procesus, vykstančius gimstant, vystantis ir mirštant gyvoms organizmų kolonijoms.

Procesas, kuris yra determinuotas ir paklūsta aiškiems dėsniams, gali atrodyti chaotiškas ir neprognozuojamas.

Vykstant evoliucijai galimos tokios sistemos būsenos: Regresija – kai visos ląstelės žūna (nors tai atsitinka ne iš karto)Stabilumas – sistema pereina į svyravimų režimą. Tai

pusiausvyrinis arba ciklinis vystymasis. Katastrofa – sistema plečiasi be galo

Eksperimentiškai parodyta, kad gyvenimo žaidimo taisyklės yra pusiausvyra tarp regresijos ir katastrofos.

Praktinis pritaikymasIš LA galima sukonstruoti loginius elementus "ir",

"arba", "ne" ir netgi primityvų kompiuterį su aritmetiniu loginiu įtaisu, magistrale ir atmintimi

Šis kompiuteris pasižymi universalios Tiuringo mašinos charakteristikomis ir gali spręsti bet kokio tipo uždavinius, kuriuos galima aprašyti algoritmiškai

Ląstelinių automatų demonstracija

5 LA tipaihttp://www.hermetic.ch/dnld.php?code=PCA

Didelis taisyklių rinkinyshttp://www001.upp.so-net.ne.jp/suzudo/

index_e.html


Daugiau informacijosThe new frontier of Fractals in science

and mathematicshttp://www.youtube.com/watch?v=oZi-2EqqEas


Prof . Robertas Damaševičius KTU Programų inžinerijos katedra, Studentų 50-415

Documents

Transcript of Prof . Robertas Damaševičius KTU Programų inžinerijos katedra, Studentų 50-415