Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística.
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Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística
Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística
[email protected]@pucrs.br
3320-3531 3320-3531 Ramal: Ramal: 217217
1515 154154
www.pucrs.br/~viali/www.pucrs.br/~viali/
Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística
Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística
Coleção de números = estatísticasColeção de números = estatísticas O número de carros vendidos no país O número de carros vendidos no país
aumentou em 30%. aumentou em 30%. A taxa de desemprego atinge, este mês, A taxa de desemprego atinge, este mês,
7,5%.7,5%. As ações da Telebrás subiram R$ 1,5, hoje. As ações da Telebrás subiram R$ 1,5, hoje. Resultados do Carnaval no trânsito: 145 Resultados do Carnaval no trânsito: 145
mortos, 2430 feridos.mortos, 2430 feridos.
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Estatística: Estatística: uma definição
A ciência de coletar, organizar, apresentar, analisar e interpretar dados numéricos com o objetivo de tomar melhores decisões.
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Estatística (divisão)Estatística (divisão)
Descritiva
Indutiva
Os procedimentos usados para organizar, resumir e apresentar dados numéricos.
A coleção de métodos e técnicas utilizados para estudar uma população baseado em amostras probabilísticas desta população.
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POPULAÇÃOPOPULAÇÃO
Uma coleção de todos os possíveis elementos, objetos ou medidas de interesse.
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CENSOCENSO
Um levantamento efetuado sobre toda uma população é denominado de levantamento censitário ou simplesmente censo.
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AMOSTRAAMOSTRA
Uma porção ou parte de uma população de interesse.
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AMOSTRAGEMAMOSTRAGEM
O processo de escolha de uma amostra da população é denominado de amostragem.
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PROBABILIDADEPROBABILIDADE(Matemática)(Matemática) Univariada
ESTATÍSTICAESTATÍSTICA(Matemática(Matemática
Aplicada)Aplicada) Multivariada
Trabalha com uma única característica
dos dados
Trabalha com duas ou mais características
dos dados
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POPULAÇÃO(Censo)
AMOSTRA(Amostragem)
InferênciaErro
PROBABILIDADE
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Estatística Descritiva
Probabilidade
Estatística Indutiva
Amostragem
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Estatística x ProbabilidadeEstatística x Probabilidade
Faces Probabilidades
Faces
Freqüências
1 1/6 1 152 1/6 2 183 1/6 3 234 1/6 4 255 1/6 5 226 1/6 6 17
Total 1 Total
120
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ArredondamentoArredondamento
Todo arredondamento é um erro.
O erro deve ser evitado ou então minimizado.
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ArredondamentoArredondamento
Regra básica:Arredondar sempre para o
mais próximo.
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É ímpar
É parAumenta
Não aumenta
Exemplos:Exemplos:
1,456 1,46 1,454 1,45
1,475 1,48
1,485 1,48
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VVAARRIIÁÁVVEEIISS
QUALITATIVASQUALITATIVAS
QUANTITATIVASQUANTITATIVAS
ORDINALORDINAL
NOMINALNOMINAL
DISCRETADISCRETA
CONTÍNUACONTÍNUA
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NOMINAL
ORDINAL
SexoReligião
Estado civil Curso
ConceitoGrau de Instrução
MêsDia da semana
Variável QualitativaVariável Qualitativa
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Variável QuantitativaVariável Quantitativa
Número de faltasNúmero de irmãosNúmero de acertos
AlturaÁreaPeso
Volume
CONTÍNUA
DISCRETA
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ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA DESCRITIVADESCRITIVA
Organização; Resumo; Apresentação.
Conjunto de dados:
Amostra ou
População
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Um conjunto de dados é resumido de acordo com as seguintes características:
Tendência ou posição central
Dispersão ou variabilidade
Assimetria (distorção)
Achatamento ou curtose
Amostra ouPopulação
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Tendência ou Posição CentralTendência ou Posição Central
(a) As médias
Si
mples
Aritmética
Geométrica
Harmônica
Quadrática
Interna
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A média AritméticaA média Aritmética
nnn...
x xxxxx ii
n
121
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A média GeométricaA média Geométrica
ni
nng xxxxm ... .. 21
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A média HarmônicaA média Harmônica
xxxx
xxx
m
in
n
h
n ...
n
n
...
1111
1111
21
21
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A média QuadráticaA média Quadrática
nn... xxxxm in
q
2222
21
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A média InternaA média Interna
É a mesma média aritmética só
que aplicada sobre o conjunto onde uma parte dos dados (extremos) é descartada.
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Conjuntos
mgmh
4 6 5 4,9 4,8
1 9 5 3 1,8
xMédias
ExemploExemplo
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Relação entre as médiasRelação entre as médias
Dado um conjunto de dados
qualquer, as médias aritmética, geométrica e harmônica mantém a seguinte relação:
mm hgx
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Tendência ou Posição CentralTendência ou Posição Central
(a) As médias
Ponderadas
Aritmética
Geométrica
Harmônica
Quadrática
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A média Aritmética PonderadaA média Aritmética Ponderada
wwx
wwwwxwxwxm
i
ii
k
kkap
.
.........
21
2211
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A média Geométrica PonderadaA média Geométrica Ponderada
w w
w w ... .w.w
i ii
i kkgp
x
xxxm 2211
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A média Harmônica PonderadaA média Harmônica Ponderada
xww
xw
xw
xw
wwwm
i
i
i
k
k
kP
...h
2
2
1
1
21
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A média Quadrática PonderadaA média Quadrática Ponderada
ni
n
... xfxfxfxfm inn
qp
222
22211
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Produtos p01 p02 q
Carne 4,80 5,52 5
Cana 5,20 4,94 1
Ceva 0,80 0,92 12Pão 1,50 2,10 2
Total -- -- 20
ExemploExemplo
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P p01 p02 p(0,t)
1 4,80 5,52 0,57 1,15
2 5,20 4,94 0,12 0,95
3 0,80 0,92 0,23 1,15
4 1,50 2,10 0,07 1,40
Total -- -- 1,00 --
ExemploExemplo
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ExemploExemplo
114,31%1,1431 07,023,013,057,0
07,0.40,123,0.15,113,0.95,057,0.15,1map
Média aritmética ponderada dos relativos (aumentos) será:
Por este critério o aumento foi de 14,31%.
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ExemploExemplo Média geométrica ponderada dos
relativos (aumentos) será:
Por este critério o aumento foi de 13,90%.
%90,1131390,1 40,115,195,015,1
40,115,195,015,1m07,023,013,057,0
1 07,023,013,057,0gp
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ExemploExemplo Média harmônica ponderada dos
relativos (aumentos) será:
Por este critério o aumento foi de 13,48%.
%48,1131348,1 40,107,0
15,123,0
95,013,0
15,157,0
1mhP
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Tendência ou Posição CentralTendência ou Posição Central
(b) A mediana (median)
me = [x(n/2) + x(n/2)+1]/2 se “n” é par
É o valor que separa o conjunto em dois subconjuntos do mesmo tamanho.
me = x(n+1)/2 se “n” é ímpar
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Tendência ou Posição CentralTendência ou Posição Central
(b) Separatrizes
A idéia de repartir o conjunto de dados pode ser levada adiante. Se ele for repartido em 4 partes tem-se os QUARTIS, se em 10 os DECIS e se em 100 os PERCENTIS.
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Considere o seguinte conjunto:1 -1 0 4 2 5 3
Como n = 7 (ímpar), então x(n+1)/2 = x4
Ordenando o conjunto, tem-se:
-1 0 1 2 4 3 5Então: me = x4 = 2
ExemploExemplo
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Se o conjunto for:1 -1 0 4 2 5 3 -2
Tem-se: n = 8 (par)Então me = [xn/2+xn/2+1)]/2 = (x4 + x5)/2
Ordenando o conjunto, tem-se:
-2 -1 0 1 2 3 4 5
me = (x4 + x5)/2 = (1 + 2)/2 = 1,50
ExemploExemplo
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Tendência ou Posição CentralTendência ou Posição Central
(c) A moda (mode)
É o(s) valor(es) do conjunto que
mais se repete(m).
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Considere o conjunto0 1 1 2 2 2 3 5
Então: mo = 2
Pois, o dois é o que mais se repete (três vezes).
ExemploExemplo
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Considere o conjunto:
0 1 1 2 2 3 5
Então: mo = 1 e mo = 2
Conjunto bimodal
ExemploExemplo
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Considere o conjunto:
0 1 2 3 4 5 7
Este conjunto é amodal, pois todos os valores apresentam a mesma freqüência.
ExemploExemplo
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(a) A amplitude (h)
(b) O Desvio Médio (dma)
(c) A Variância (s2)
(d) O Desvio Padrão (s)
(e) A Variância Relativa (g2)
(f) O Coeficiente de Variação (s)
Dispersão ou VariabilidadeDispersão ou Variabilidade
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h = xmáx - xmín
A Amplitude (range)
Considere o conjunto:
-2 -1 0 3 5
h = 5 – (-2) = 7
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A média é:
155
553021
x
O dma (average deviation)
Considere o conjunto:
-2 -1 0 3 5
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Calculando os desvios: xxi
Tem-se: d1 = -2 – 1 = -3
d2 = -1 – 1 = -2
d3 = 0 – 1 = -1
d4 = 3 – 1 = 2
d5 = 5 – 1 = 4
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Como pode ser visto a soma é igual a zero. Tomando o módulo vem:
40,25
125
|4||2||1||2||3|n
|xx|dma i
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Se ao invés de tomar o módulo, elevarmos ao quadrado, tem-se:
8065
345
164149
542123 22222
22
,
((
ni
)))(
)xx(s
A variância (variance)
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ni
nn....
)xx(
)xx()xx()xx(s
2
2222 21
A variância (variance)
A variância de um conjunto de dados será:
xxs ni2 22
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É a raiz quadrada da variância
xnx
n)xx(s 2
2i
2i
O Desvio Padrão (standard deviation)
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Se extrairmos a raiz quadrada teremos do resultado anterior teremos o desvio padrão:
61,280,6n
)xx(s i2
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g2 = s2 / x2
g = s / x
A Variância Relativa
O Coeficiente de Variação
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O coeficiente de variação do
exemplo anterior, será:
%77,2601
6077,2xsg
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Organização; Resumo; Apresentação.
Amostra ou
População
Grande Conjuntos de DadosGrande Conjuntos de Dados
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Lascado MenorDesenho MaiorTorto LascadoDesenho EsmalteTorto EsmalteLascado LascadoTorto DesenhoMaior MenorMenor MaiorDesenho Torto................... ....................
Defeitos em uma linha de produçãoDefeitos em uma linha de produção
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Defeito Freqüência %Desenho 71 14,20Esmalte 95 19,00Lascado 97 19,40
Maior 70 14,00Menor 83 16,60Torto 57 11,40
Trincado 27 5,40TOTAL 500 100
Distribuição de freqüênciasDistribuição de freqüências
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SIMPLES
ACUMULADAS
Absoluta
Relativa
Absoluta
Relativa
ApresentaçãoFREQÜÊNCIAS Percentual
Apresentação
PercentualDecimal
Decimal
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Valores fi Fi fri fri Fri
0 60 60 0,30 30 301 50 110 0,25 25 552 40 150 0,20 20 753 30 180 0,15 15 904 10 190 0,05 5 955 6 196 0,03 3 986 4 200 0,02 2 100
TOTAL 200 — 1,00 100 —
Freqüências: representaçãoFreqüências: representação
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Defeitos em uma linha de produção
14%
20%
19%14%
17%
11%5%
Desenho
Esmalte
Lascado
Maior
Menor
Torto
Trincado
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Número de irmãos dos alunos da turma 450 - Estatística - PUCRS - 2002/02
0 1 1 6 3 1 3 1 1 04 5 1 1 1 0 2 2 4 13 1 2 1 1 1 1 5 5 64 1 1 0 2 1 4 3 2 21 0 2 1 1 2 3 0 1 0
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Distribuição de freqüências por ponto ou valores da variável: “Número de irmãos dos alunos Número de irmãos dos alunos da turma 450da turma 450” da disciplina: Probabilidade e Estatística PUCRS - 2002/02.
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N0 de irmãos N0 de alunos0 71 212 83 54 45 36 2 50
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Diagrama de colunas simples da variável: Número de irmãos dos alunos da turma 450 Disciplina: Estatística, PUCRS - 2002/02
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0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5 6
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Neste caso, a média a dada por:
nx.f
f...ffx.f...x.fxfx ii
k21
kk2211
A média AritméticaA média Aritmética
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xi fi fixi0 7 01 21 212 8 163 5 154 4 165 3 156 2 12 50 95
ExemploExemplo
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A média será, então:
irmãos 90,15095
nx.f x ii
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Como n = 50 é par, tem-se:
irmão
2 me
xx
xxxx )/(/)/n(/n
1211
2
2
2625
1250250122
A MedianaA Mediana
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Total de Total de dados dados n = 50 n = 50 (par)(par)
xi fi Fi0 7 71 21 282 8 363 5 414 4 455 3 486 2 50 50 —
Metade Metade dos dos
dados n/2 dados n/2 = 25= 25
ExemploExemplo
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mo = valor(es) que mais se
repete(m)
A ModaA Moda
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A moda é A moda é igual aigual a1 (um)1 (um)
xi fi
0 71 212 83 54 45 36 2 50
Pois ele se Pois ele se repete repete
mais vezesmais vezes
ExemploExemplo
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h = xmáx - xmín
h = 6 - 0 = 6 irmãos
A AmplitudeA Amplitude
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Neste caso, o dma será dado por:
n|xx|.f
f...ff
|xx|f...|xx|f|xx|fdma
ii
k21
k21 k21
O Desvio Médio O Desvio Médio
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xi fi fi|xi - | 0 7 7.|0 – 1,90| = 13,301 21 21.|1 – 1,90| = 18,90 2 8 8.|2 – 1,90| = 0,803 5 5.|3 – 1,90| = 5,504 4 4.|4 – 1,90| = 8,405 3 3.|5 – 1,90| = 9,30 6 2 2.|6 – 1,90| = 8,20 50 64,40
x
ExemploExemplo
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O dma será, então:
irmãos 29,150
40,64n
|xx|.f dma ii
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xn
xfn
)xx(f
n)xx(f....)xx(f)xx(fs
22ii
2i
2k
22
22
i
k211
Neste caso, a variância será:
A Variância A Variância
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xi fi fixi2
0 7 02.7 = 01 21 12.21 = 212 8 22.8 = 323 5 32.5 = 454 4 42.4 = 645 3 52.3 = 756 2 62.2 = 72 50 299
ExemploExemplo
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A variância será, então:
irmãos 3700,2
90,150299 x
nxfs
2
222i2 i
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O desvio padrão será dado por:
irmãos 1,54 1,5395
3700,2xn
xfs 22ii
O Desvio Padrão O Desvio Padrão
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Dividindo a média pelo desvio padrão, tem-se o coeficiente de variação:
%03,8190,1
539480,1g
O Coeficiente de Variação O Coeficiente de Variação
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Idade (em meses) dos alunos da turma 450 da disciplina: Probabilidade e Estatística PUCRS - 2002/02
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276245345240270310368
334268288336299236239355330
287344300244303248251265246
240320308299312324289320264
252298315255274264263230303
369 247 266 275 281 230 234
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Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística
Distribuição por classes ou intervalos da variável “idade dos alunos da turma 450” da disciplina: Probabilidade e Estatística da PUCRS - 2002/02
Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística
Idades Número de alunos230 |--- 250 12250 |--- 270 9270 |--- 290 8290 |--- 310 7310 |--- 330 6330 |--- 350 5350 |--- 370 3
Total 50
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Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística
Histograma de freqüências da
variável “Idade dos alunos da turma
450” de Probabilidade e Estatística
da PUCRS - 2002/02
Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamento de Estatística
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
230 |--- 250 250 |--- 270 270 |--- 290 290 |--- 310 310 |---330 330 |--- 350 350 |--- 370
fi / hi
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Antes de apresentar as medidas,
i. é, representantes do conjunto, é
necessário estabelecer uma notação
para alguns elementos da
distribuição.
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xi = ponto médio da classe;
fi = freqüência simples da classe;
lii = limite inferior da classe;
lsi = limite superior da classe;
hi = amplitude da classe.
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xi fi xi
230 |--- 250 12 240250 |--- 270 9 260270 |--- 290 8 280290 |--- 310 7 300310 |--- 330 6 320330 |--- 350 5 340350 |--- 370 3 360
50 —
O Ponto Médio da Classe O Ponto Médio da Classe
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xi fi fi. xi240 12 2880260 9 2340280 8 2240300 7 2100320 6 1920340 5 1700360 3 1080 50 14260
A Média da Distribuição A Média da Distribuição
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A média será:
meses 20,28550
14260n
x.f x ii
ExemploExemplo
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Neste caso, utilizam-se as freqüências acumuladas para identificar a classe mediana, i. é, a que contém o(s) valor(es) central(is).
A Mediana A Mediana
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Total de Total de dados dados n = 50 n = 50 (par)(par)
Metade Metade dos dos
dados n/2 dados n/2 = 25= 25
xi fi Fi230 |--- 250 12 12250 |--- 270 9 21270 |--- 290 8 29290 |--- 310 7 36310 |--- 330 6 42330 |--- 350 5 47350 |--- 370 3 50
50 —
ExemploExemplo
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Portanto, a classe mediana é a terceira. Assim i = 3. A mediana será obtida através da seguinte expressão:
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meses 2808420 270
8
212
50
20702
8
212
50
20702 f
F2n
hli mi
1i
iie
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Neste caso é preciso inicialmente apontar a classe modal, i. é, a de maior freqüência. Neste exemplo é a primeira com fi = 12. Assim i = 1.
A Moda A Moda
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Classe Classe modal, pois modal, pois
f fii = 12. = 12.
i xi fi1 230 |--- 250 122 250 |--- 270 93 270 |--- 290 84 290 |--- 310 75 310 |--- 330 66 330 |--- 350 57 350 |--- 370 3— 50
ExemploExemplo
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Portanto a moda poderá ser obtida através de uma das seguintes expressões:
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Critério de King:
meses 250 99.20023
90
9.20302 ff
fhli m1i 1i
1iiio
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Critério de Czuber:
meses 246 16230
924
12.20023
)90(12.2
012.20302
)ff(f.2
ffhli m1ii
i
1i
1iiio
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h = xmáx - xmín
h = 370 - 230 = 140 meses
A Amplitude A Amplitude
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Neste caso, o dma será dado por:
n|xx|.f
f...ff
|xx|f...|xx|f|xx|fdma
ii
k21
k21 k21
O Desvio Médio Absoluto O Desvio Médio Absoluto
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xxi fi fi.|xi - | 240 12 12.|240 – 285,20| =
542,40260 9 9.|260 – 285,20| = 226,80 280 8 8.|280 – 285,20| = 41,60300 7 7.|300 – 285,20| = 103,60320 6 6.|320 – 285,20| = 208,80340 5 5.|340 – 285,20| = 274,00360 3 3.|360 – 285,20| = 224,40 50 1621,60
ExemploExemplo
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O dma será, então:
meses 32,43 50
60,1621n
|xx|.f dma ii
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xn
xfn
)xx(f
n)xx(f....)xx(f)xx(fs
22ii
2i
2k
22
22
i
k211
Neste caso, a variância será:
A Variancia A Variancia
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xi fi fi. xi2
240 12 12.2402 = 691200 260 9 9.2462 = 608400280 8 8.2802 = 627200300 7 7.3002 = 630000320 6 6.3202 = 614400340 5 5.3402 = 578000360 3 3.3602 = 388800 50 4 138 000
ExemploExemplo
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A variância será, então:
meses 420,961
20,28550
4138000
xn
xfs
2
2
22i2 i
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O desvio padrão será dado por:
meses 37,70 37,6956
96,1420xn
xfs 22ii
O Desvio Padrão O Desvio Padrão
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Dividindo a média pelo desvio padrão, tem-se o coeficiente de variação:
%22,1320,285
695623,37g
O Coeficiente de Variação O Coeficiente de Variação
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Skewness
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Primeiro Coeficiente ( de Pearson)
a1 = (Média - Moda) / Desvio Padrão
Segundo Coeficiente ( de Pearson)
a2 = 3.(Média - Mediana) / Desvio Padrão
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Coeficiente Quartílico
CQA =[(Q3 - Q2) - (Q2 - Q1)]/(Q3 - Q1)
Coeficiente do Momento
a3 = m3/s3, onde m3 = X - )3/nx
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Coeficiente = 0Conjunto Simétrico
Provão 2000Curso: Odonto
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Coeficiente < 0Conjunto: Negativamente Assimétrico
Provão 2000Curso: Jornalismo
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Coeficiente > 0Conjunto: Positivamente Assimétrico
Provão 2000Curso: Eng. Elétrica
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(Kurtosis)
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Coeficiente de Curtose (momentos)
xa4 = m4/s4, onde m4 = X - )4/n
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Coeficiente = 3 ou 0Conjunto: Mesocúrtico
Provão 2000Curso: Odonto
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Coeficiente > 3 ou (> 0)Conjunto: Leptocúrtico
Provão 2000Curso: Matemática
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Coeficiente < 3 ou (< 0)Conjunto: Platicúrtico
Provão 1999Curso: Eng. Civil
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Suponha que o conjunto de dados “x” sofreu a seguinte transformação:
y = a.x + bEntão:
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b+x.a=y
s.a=s 2x
22y
s.|a|=s xy