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http://www.ufrgs.br/~viali/Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
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Coleção de números = estatísticasColeção de números = estatísticas
� O número de carros vendidos no país O número de carros vendidos no país aumentou em 30%. aumentou em 30%.
�� A taxa de desemprego atinge, este mês, A taxa de desemprego atinge, este mês, 7,5%.7,5%.
�� As ações da Telebrás subiram R$ 1,5, hoje. As ações da Telebrás subiram R$ 1,5, hoje. �� Resultados do Carnaval no trânsito: 145 Resultados do Carnaval no trânsito: 145
mortos, 2430 feridos.mortos, 2430 feridos.Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Estatística: Estatística: uma definição
A ciência de coletar, organizar, apresentar, analisar e interpretar dados numéricos com o objetivo de tomar melhores decisões.
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Estatística (divisão)Estatística (divisão)
Descritiva
Indutiva
Os procedimentos usados para organizar, resumir e apresentar dados numéricos.
A coleção de métodos e técnicas utilizados para estudar uma população baseado em amostras probabilísticas desta população.
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POPULAÇÃOPOPULAÇÃO
Uma coleção de todos os possíveis elementos, objetos ou medidas de interesse.
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CENSOCENSO
Um levantamento efetuado sobre toda uma população é denominado de levantamento censitário ou simplesmente censo.
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AMOSTRAAMOSTRA
Uma porção ou parte de uma população de interesse.
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AMOSTRAGEMAMOSTRAGEM
O processo de escolha de uma amostra da população é denominado de amostragem.
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PROBABILIDADEPROBABILIDADE(Matemática)(Matemática) Univariada
ESTATÍSTICAESTATÍSTICA(Matemática(Matemática
Aplicada)Aplicada)Multivariada
Trabalha com uma única característica dos
dados
Trabalha com duas ou mais características dos dados
POPULAÇÃO(Censo)
AMOSTRA(Amostragem)
InferênciaErro
PROBABILIDADE
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Estatística Descritiva
Probabilidade
Estatística Indutiva
Amostragem
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Estatística x ProbabilidadeEstatística x Probabilidade
120Total1Total1761/662251/652541/642331/631821/621511/61
FreqüênciasFacesProbabilidadesFaces
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ArredondamentoArredondamento
Todo arredondamento é um erro.
O erro deve ser evitado ou então minimizado.
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ArredondamentoArredondamento
Regra básica:Arredondar sempre para o
mais próximo.
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É ímpar
É parAumenta
Não aumenta
Exemplos:Exemplos:
1,456 1,46 1,454 1,45
1,475 1,48
1,485 1,48
VVAARRIIÁÁVVEEIISS
QUALITATIVASQUALITATIVAS
QUANTITATIVASQUANTITATIVAS
ORDINALORDINAL
NOMINALNOMINAL
DISCRETADISCRETA
CONTÍNUACONTÍNUA
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NOMINAL
ORDINAL
SexoReligião
Estado civil Curso
ConceitoGrau de Instrução
MêsDia da semana
Variável QualitativaVariável Qualitativa
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Variável QualitativaVariável Qualitativa
Número de faltasNúmero de irmãosNúmero de acertos
AlturaÁreaPeso
Volume
CONTÍNUA
DISCRETA
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ESTATÍSTICA DESCRITIVAESTATÍSTICA DESCRITIVA
� Organização;
� Resumo; ☺ Apresentação.
Conjunto de dados: �Amostra
ou �População
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Um conjunto de dados é resumido de acordo com as seguintes características:
Tendência ou posição central
Dispersão ou variabilidadeAssimetria (distorção)
Achatamento ou curtose
Amostra ouPopulação
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Tendência ou Posição CentralTendência ou Posição Central
(a) As médias
Si
mples
Aritmética
Geométrica
Harmônica
Quadrática
InternaProf. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
AAss médiamédias s
nnn...
x xxxxx ii
n ∑∑ ==
+++= 121
ni
nng xxxxm ... .. ∏== 21
∑
=+++
=
=+++
=
xxxx
xxx
m
in
n
h
n ...
n
n
...
1111
1111
21
21
AritmétAritméticaica
HarmônicaHarmônica
GeométrGeométricaica
55
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A média QuadráticaA média Quadrática ee InternaInterna
nn... xxxxm in
q∑==
++=
2222
21
É a média aritmética só que aplicada sobre o conjunto onde uma parte dos dados (extremos) é descartada.
InternInternaa
QuadrátiQuadráticaca
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4,84,954 6
1,8351 9
mhmgConjuntos xMédias
ExemploExemplo
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Relação entre as médiasRelação entre as médias
Dado um conjunto de dados qualquer, as médias aritmética, geométrica e harmônica mantém a seguinte relação:
mm hgx ≥≥Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Tendência ou Posição CentralTendência ou Posição Central
(a) As médias
Ponderadas
Aritmética
Geométrica
Harmônica
Quadrática
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AAss médiamédiass PonderadaPonderadass
∑
∑=
=+++
+++=
wwx
wwwwxwxwxm
i
ii
k
kkap
.
.........
21
2211
Aritmética
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AAss médiamédiass PonderadaPonderadass
∑=
=∑=
∏w w
w w ... .w.w
i ii
i kkgp
x
xxxm 2211
Geométrica
66
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AAss médiamédiass PonderadaPonderadass
∑
∑
+
=
=+++
+=
xww
xw
xw
xw
wwwm
i
i
i
k
k
kP
...h
2
2
1
1
21
Harmônica
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(b) A mediana (median)
me = [x(n/2) + x(n/2)+1]/2 se “n” é par
É o valor que separa o conjunto em dois subconjuntos do mesmo tamanho.
me = x(n+1)/2 se “n” é ímpar
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(c) Separatrizes
A idéia de repartir o conjunto de dados pode ser levada adiante. Se ele for repartido em 4 partes tem-se os QUARTIS, se em 10 os DECIS e se em 100 os PERCENTIS.
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(c) A moda (mode)
É o(s) valor(es) do conjunto que mais se repete(m).
Um conjunto pode ser unimodal,multimodal ou amodal.
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(a) A amplitude (h)
(b) O Desvio Médio (dma)
(c) A Variância (s2)
(d) O Desvio Padrão (s)
(e) A Variância Relativa (g2)
(f) O Coeficiente de Variação (s)
Dispersão ou VariabilidadeDispersão ou Variabilidade
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h = xmáx - xmín
(a) Amplitude (range)
Considere o conjunto:
-2 -1 0 3 5
h = 5 – (-2) = 7
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(b) DMA (average deviation)
40,25
125
|4||2||1||2||3|n
|xx|dma i
==
=++++−+−+−=
=∑ −=
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(b) A variância (variance)
xxs ni2 22
−= ∑
ni
nn....
)xx(
)xx()xx()xx(s
∑ −
−−−
=
=+++
=
2
2222 21
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É a raiz quadrada da variância
xnx
n)xx(s 2
2i
2i −
∑=∑ −=
O Desvio Padrão (standard deviation)
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Se extrairmos a raiz quadrada teremos do resultado anterior teremos o desvio padrão:
61,280,6n
)xx(s i2
==∑ −=
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g2 = s2 / x 2
g = s / x
A Variância Relativa
O Coeficiente de Variação
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O coeficiente de variação do
exemplo anterior, será:
%77,2601
6077,2xsg ===
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De Grande Conjuntos de DadosDe Grande Conjuntos de Dados
Organização; Resumo eApresentação.
Amostra ou
População
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.......................................
MaiorMenorTortoDesenho
MenorMaior DesenhoTortoLascadoLascadoEsmalteTortoEsmalteDesenhoLascadoTorto MaiorDesenhoMenorLascado
Defeitos em uma linha de produção
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100500TOTAL5,4027Trincado
11,4057Torto 16,6083Menor 14,0070Maior19,4097Lascado19,0095Esmalte14,2071Desenho%FreqüênciaDefeito
Distribuição de freqüências
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99
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SIMPLES
ACUMULADAS
Absoluta
Relativa
Absoluta
Relativa
Apresentação
FREQÜÊNCIAS Percentual
Apresentação
Percentual
Decimal
Decimal
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1,000,020,030,050,150,200,250,30fri
10023515202530fri
—20019619018015011060Fi
—100989590755530Fri
200TOTAL4665104303402501600fiValores
Freqüências - Representação
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14%
20%
19%14%
7%
11% 5%
DesenhoEsmalteLascadoMaiorMenorTortoTrincado
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Número de dependentes dos funcionários daKapim S.A. – POA – 2004/01
01032112012234120114655111121314220111540113136110
1010
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Distribuição de freqüências por ponto ou valores da variável: “Número de dependentes dos funcionários da Kapim Ltda.”Porto Alegre - 2004/01.
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50∑∑∑∑
263544538221170
FuncionáriosDependentes
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Diagrama de colunas simples da
variável: “Número de dependentes
dos funcionários da Kapim Ltda.”
Porto Alegre - 2004/01.
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0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5 6
1111
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Neste caso, a média a dada por:
nx.f
f...ffx.f...x.fxfx ii
k21
kk2211 ∑=++++++
=
A média Aritmética
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EXEMPLO
9550∑∑∑∑
1226153516441553168221211070
fixifixi
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A média será, então:
dependente 90,15095
n.
x xf ii === ∑
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1212
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xnxf
n)xx(f
n)xx(f....)xx(f)xx(fs
22ii
2i
2k
22
22
i
k211
−∑=∑ −=
=−++−+−=
Neste caso, a variância será:
(A) A Variância (s2)
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EXEMPLO
29950∑∑∑∑
62.2 = 722652.3 = 753542.4 = 644432.5 = 455322.8 = 3282
12.21 = 2121102.7 = 070
fixi2fixi
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A variância será, então:
dependente
90,1xxfs
2
22i2i2
3700,2
50299
n
=
=−=−=∑
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O desvio padrão será dado por:
1,54 1,5395
3700,2n
s xxf 22ii
≅=
==−= ∑
(B) O Desvio Padrão (s)
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Dividindo a média pelo desvio padrão, tem-se o coeficiente de variação:
%03,8190,1
539480,1g ==
(C) O Coeficiente de Variação (g)
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1313
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Idade (em meses) dos alunos da turma G da disciplina: Probabilidade e EstatísticaUFRGS - 2004/01
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276 245 345 240 270 310 368
334 268 288 336 299 236 239 355 330
287 344 300 244 303 248 251 265 246
240 320 308 299 312 324 289 320 264
252 298 315 255 274 264 263 230 303
369 247 266 275 281 230 234
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Distribuição por classes ou intervalos da variável “idade dos alunos da turma G” da disciplina: Probabilidade e Estatística da UFRGS - 2004/01
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50Total3350 |--- 3705330 |--- 3506310 |--- 3307290 |--- 3108270 |--- 2909250 |--- 27012230 |--- 250
Número de alunosIdades
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1414
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Histograma de freqüências da
variável “Idade dos alunos da
turma G” de Probabilidade e
Estatística da UFRGS - 2004/01
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0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
2 3 0 | - - - 2 50 2 50 |- - - 2 70 2 70 | - - - 2 9 0 2 9 0 | - - - 3 10 3 10 | - - -3 3 0 3 3 0 |- - - 3 50 3 50 |- - - 3 7 0
f i / hi
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Antes de apresentar as medidas, i. é, representantes do conjunto, é necessário estabelecer uma notação para alguns elementos da distribuição.
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xi = ponto médio da classe;
fi = freqüência simples da classe;
lii = limite inferior da classe;
lsi = limite superior da classe;
hi = amplitude da classe.
1515
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PONTO MÉDIO DA CLASSE
—50∑
3603350 |--- 3703405330 |--- 3503206310 |--- 3303007290 |--- 3102808270 |--- 2902609250 |--- 27024012230 |--- 250xifix
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MÉDIA DA DISTRIBUIÇÃO
5035678912fi
∑
360340320300280260240xi
142601080170019202100224023402880fi. xi
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A média será:
meses 20,28550
14260n
x.f x ii ==∑=
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xnxf
n)xx(f
n)xx(f....)xx(f)xx(fs
22ii
2i
2k
22
22
i
k211
−∑=∑ −=
=−++−+−=
Neste caso, a variância será:
(A) A variância (s2)
1616
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50356789
12fi
∑
360340320300280260240xi
4 138 0003.3602 = 3888005.3402 = 5780006.3202 = 6144007.3002 = 6300008.2802 = 6272009.2462 = 608400
12.2402 = 691200 fi. xi
2
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A variância será, então:
meses 420,961
20,28550
4138000
xnxfs
2
2
22i2 i
=
=−=
=−∑=
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O desvio padrão será dado por:
meses 37,70 37,6956
96,1420xnxfs 2
2ii
≅=
==−∑=
(B) O Desvio Padrão (s)
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Dividindo a média pelo desvio padrão, tem-se o coeficiente de variação:
%22,1320,285
695623,37g ==
(C) O Coeficiente de Variação (g)
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SkewnessProf. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Primeiro Coeficiente ( de Pearson)
a1 = (Média - Moda) / Desvio Padrão
Segundo Coeficiente ( de Pearson)
a2 = 3.(Média - Mediana) / Desvio Padrão
1717
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Coeficiente Quartílico
CQA =[(Q3 - Q2) - (Q2 - Q1)]/(Q3 - Q1)
Coeficiente do Momento
a3 = m3/s3, onde m3 = Σ(Σ(Σ(Σ(X - )3/nx
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Coeficiente = 0 Conjunto Simétrico
Provão 2000Curso: Odonto
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Coeficiente < 0Conjunto: Negativamente Assimétrico
Provão 2000Curso: Jornalismo
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Coeficiente > 0Conjunto: Positivamente Assimétrico
Provão 2000Curso: Eng. Elétrica
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(Kurtosis)
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Coeficiente de Curtose (momentos)
xa4 = m4/s4, onde m4 = Σ(X - )4/n
1818
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Coeficiente = 3 ou 0Conjunto: Mesocúrtico
Provão 2000Curso: Odonto
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Coeficiente > 3 ou (> 0)Conjunto: Leptocúrtico
Provão 2000Curso: Matemática
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Coeficiente < 3 ou (< 0)Conjunto: Platicúrtico
Provão 1999Curso: Eng. Civil
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Seja “x” um conjunto de dados com média: e desvio padrão sX, e seja y = ax + b, então:
x
sssas
yy
2x
22y
.|a|= .3.= 2.
b+xa.=y .1
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1919
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Seja “x” um conjunto de dados com média: e desvio padrão s, então:
x
P(|x - | ≥ k.s) ≤ 1/k2xou
P(|x - | < k.s) ≥ 1-1/k2xProf. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Se “x” é um conjunto de dados simétrico e unimodal com média e desvio padrão s, então:
x
P(|x - | ≥ k.s) ≤ 4/9k2x