Prof. Isaías Correa M.
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Prof. Isaías Correa M.Prof. Isaías Correa M.
Triángulos II
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Aprendizajes esperados:
• Analizar en el triángulo rectángulo, los teoremas de Pitágoras y Euclides.
• Aplicar los diferentes teoremas y propiedades de los triángulos en la resolución de ejercicios.
• Calcular áreas y perímetros de triángulos.
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1. Teoremas válidos para triángulos rectángulos
Contenidos
1.1 Teorema de Pitágoras
1.2 Teorema de Euclides
2. Relaciones métricas en el triángulo rectángulo2.1 Triángulo de ángulos interiores iguales a:
30°, 60° y 90°
2.2 Triángulo rectángulo isósceles
2.3 Triángulo rectángulo y transversal de gravedad
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4. Triángulos isósceles4.1 Definición
4.2 Propiedades
3.1 Definición
3.2 Propiedades
3. Triángulo equilátero
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1. Teoremas válidos para
Triángulos rectángulos
Sea ABC triángulo rectángulo en C, entonces:
hipotenusa
cateto
cate
to
El lado opuesto al ángulo recto, AB, es llamado “HIPOTENUSA” , y los lados AC y BC, “CATETOS”.
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1.1 Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos, es igual al cuadrado de la hipotenusa.
a2 + b2 = c2
(cateto1)2 +(cateto2 )2 =(Hipotenusa)2
ó
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De acuerdo a los datos de la figura, el trazo QR mide
Ejemplo:
(Aplicando teorema de Pitágoras)
(Desarrollando)
(Restando)
(Aplicando raíz)
152 + (QR)2 = 252
225 + (QR)2 = 625
(QR)2 = 625 - 225
(QR)2 = 400
QR = 20
(Despejando (QR)2 )
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• Números pitagóricos:
Son aquellos tríos de números que cumplen el teorema de Pitágoras.
Los más utilizados son: 3, 4 y 5 5, 12 y 13
Estos tríos, además de satisfacer el teorema de Pitágoras, generan “familias” de números pitagóricos, que corresponden a todos los tríos proporcionales a ellos. Por ejemplo:
3, 4 y 5
6, 8 y 10
9, 12 y 15
12, 16 y 20. . . .
5, 12 y 13
10, 24 y 26
15, 36 y 39 20, 48 y 52
. . . .
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Todos los tríos proporcionales a: 3, 4 y 5, satisfacen el Teorema de Pitágoras.
32 + 42 = 52
62 + 82 = (10)2
92 + 122 = (15)2
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Consideremos los siguientes casos:
1. Cuando un cateto es el doble del otro
2. Cuando un cateto es el triple del otro
Ejemplo:
Ejemplo:
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1.2 Teorema de Euclides
Sea ABC un triángulo rectángulo en C, y CD = hc, la altura sobre la hipotenusa, entonces:
Además, se cumple que:
∙hc2 = p q
a2 = c q ∙
b2 = c p ∙
hc = a·b c
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De acuerdo a la figura, los segmentos CD y AC miden:
Ejemplo:
Aplicando Teorema de Euclides:
CD2 = AD DB∙ (Reemplazando)
CD2 = 4 3∙ (Aplicando raíz)
CD = 4 3∙
CD = 2 3
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Además, por Euclides se cumple que:
AC2 = AB AD ∙ (Reemplazando)
(Aplicando raíz)
AC = 2 7
AC2 = 7 4 ∙
2 7
2 3
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2. Relaciones Métricas en el triángulo rectángulo
2.1 Triángulo de ángulos interiores: 30°, 60° y 90°
En el triángulo rectángulo, con ángulos agudos de 30° y 60° se cumple que:
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Ejemplo:
Determinar el área del triángulo ABC de la figura.
BAC = 30°
El área del triángulo ABC es:
CB = 5 y AB = 5 3
= 25 3
2
5
5 3
Área = 5 5 3
2
∙
30°
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Los triángulos con ángulos interiores de 30°, 60° y 90°, corresponden a la “mitad” de un triángulo equilátero.
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2.2 Triángulo rectángulo isósceles
A
C
B
En el triángulo rectángulo isósceles de lado “a” de la figura, se cumple que:
Ejemplo:
En la figura, determinar la medida del lado BC (hipotenusa).
CBA = 45°
A
C
BBC = 4 2
Solución:
45°
4 24 AC = 4 y
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AM = MB = CM
2.3 Triángulo rectángulo y transversal de gravedad
Si M es punto medio de AB, entonces:
tc : transversal
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Ejemplo:
Completando los ángulos, CBA = 40°
Solución:
AD = DB = CD
D es punto medio
CBA = DCB
Por lo tanto, DCB = 40°
40°
40°
Si en la figura, CD es transversal de gravedad, determine el DCB.
Si CD es transversal de gravedad,
El triángulo CDB es isósceles de base BC
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3. Triángulo Equilátero3.1 Definición
Polígono regular, ya que tiene sus tres lados y ángulos iguales.
AB = BC = CA
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3.2 Propiedades
• Las alturas, transversales, bisectrices y simetrales, son iguales.
ha = hb= hc ba = bb= bcta = tb= tc Sa = Sb= Sc
Además:
ha = ta= ba = Sa hb = tb= bb = Sb hc = tc= bc = Sc
Por lo tanto, el ortocentro, centro de gravedad, incentro y circuncentro coinciden.
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Determine el área de un triángulo equilátero, cuya altura mide 3 3.
• Área y altura de un triángulo equilátero:
Sea ABC un triángulo equilátero de lado “a”, entonces su área y altura se expresan como:
A = a2 34
h = a 32
Ejemplo:
Para determinar el área, basta conocer el lado del triángulo.
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A partir de la altura determinaremos el lado.
Sea x la medida del lado, entonces:
h = x 32
3 3 = x 32
3 = x2
6 = x
Como el lado del triángulo mide 6 cm, su área será:
A = 36 34
A = 9 3 cm2A = 62 34
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• Relación entre el triángulo equilátero y la circunferencia circunscrita:
h = r + r2
h = 3r2
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• Relación entre el triángulo equilátero y la circunferencia inscrita:
h = 3r
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4. Triángulo Isósceles4.1 Definición
Es aquel que tiene dos lados iguales y una “base”.
Los ángulos basales son iguales.
4.2 PropiedadesLa altura, transversal, bisectriz y simetral que caen en la base, coinciden.
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Ejemplo:
x= 50°
DBA = 40° y ADB = 90°
40°
90°
= 50°
En la figura, el triángulo ABC isósceles en B y D punto medio de AC. Determine la medida del ángulo x.
Si el triángulo es isósceles en B, entonces la base es AC.
Si D: punto medio, entonces BD es transversal.
BD es altura, bisectriz y simetral.
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