GEOMETRÍA Circunferencia y Círculo Prof. Isaías Correa M.
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GEOMETRÍAGEOMETRÍA
Circunferencia y CírculoCircunferencia y Círculo
Prof. Isaías Correa M.Prof. Isaías Correa M.
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• Identificar los elementos primarios de Círculo y Circunferencia.
• Calcular área y perímetro del sector y segmento circular.
• Calcular ángulos en la circunferencia
• Calcular medidas de trazos en la circunferencia
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1. Definición
Contenidos
1.1 Circunferencia
2. Elementos de la Circunferencia y del Círculo2.1 Radio
2.2 Cuerda
2.3 Diámetro
1.2 Círculo
2.4 Secante
2.5 Tangente
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2.6 Sagita y Apotema
2.7 Arco de circunferencia
2.8 Sector Circular
2.9 Segmento Circular
3. Áreas y Perímetros3.1 Área del Círculo
3.2 Perímetro de la Circunferencia
3.3 Medida de un arco de circunferencia
3.4 Área y Perímetro de un sector circular
3.5 Perímetro de un segmento circular
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1. Definición1.1 Circunferencia
Línea curva, cerrada y plana, cuyos puntos equidistan (igual distancia) de un punto fijo llamado centro.
1.2 CírculoRegión del plano limitado por una circunferencia
•o
•o CircunferenciaCírculo
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2. Elementos de laCircunferencia y del Círculo
2.1 Radio (r)
o rA O: centro de la circunferencia
OA: radio = r
Segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de la circunferencia.
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2.2 CuerdaSegmento que une dos puntos distintos de la circunferencia.
AB: CuerdaA
B
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2.3 Diámetro (d)Cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.Corresponde a la cuerda de mayor longitud.
AB: diámetro = d = 2r
A Brr
d
O•
O: centro de la circunferencia
El diámetro divide a la circunferencia en 2 semicircunferenciasiguales, es decir, Arco AB = Arco BA
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2.4 SecanteRecta que intersecta a la circunferencia en 2 puntos, formando una cuerda.
A
B•
•
AB: Cuerda
AB: Secante
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A: Punto de tangencia
2.5 TangenteRecta que intersecta en un sólo punto a la circunferencia. Este punto es llamado “punto de tangencia” o “punto tangencial”.
O: centro de la circunferencia
OA ┴ L
OA: radio
LA
r
O
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2.6 Sagita y ApotemaSi el radio es perpendicular a una cuerda, la divide en dos segmentos iguales y el punto de intersección (P), divide al radio en dos segmentos llamados sagita y apotema.
O: centro de la circunferencia
OA: radio
D
CA
O
P
•
•
•
sagita
PA: sagita
OP: apotema
En la figura, el radio OA es perpendicular a la cuerda CD en su punto medio P. CP=PD
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2.7 Arco de circunferenciaCorresponde a una parte de la circunferencia. Su lectura es en sentido anti-horario (contrario a los punteros del reloj).
A
B
•
•
Los puntos A y B de la circunferencia,determinan el arco AB.
AB : arco de circunferencia
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2.8 Sector CircularCorresponde a una fracción del área del círculo determinada por un ángulo del centro (). Su perímetro corresponde a 2 radios más la longitud de un arco de circunferencia.
Sector circular
O: centro de la circunferencia
r : radio
A
BAB : arco de circunferencia
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B
A
2.9 Segmento CircularEs una parte del área del círculo, determinada por una cuerda y un arco de la circunferencia.
Segmento circular
O : centro de la circunferencia
AB : arco de circunferencia
AB : cuerda
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3. Áreas y Perímetros
Área círculo = ∙ r2
3.1 Área del CírculoSi r es el radio, entonces:
Ejemplo:
Determinar el área del círculo cuyo diámetro mide 20 cm.
Solución:
Si el diámetro mide 20 cm, entonces el radio mide 10 cm.Luego, el área del círculo es:
A = ∙ 102 A = 100cm2
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Perímetro = 2∙r
3.2 Perímetro de la circunferencia
Perímetro = ∙ d
Si r es el radio y d el diámetro, entonces:
Ejemplo:
ó
Determinar el perímetro de una circunferencia cuyo radio mide 15 cm.
Solución:
P = 2∙15 P = 30 cm.
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Un arco corresponde a una parte de la circunferencia. Luego, es una fracción del perímetro (2r) o del arco completo (360°). En ambos casos, su medida depende del ángulo del centro que lo determina ().
3.3 Medida de un Arco de Circunferencia
AB :arco de circunferencia
O:centro de la circunferencia
r :radio
Arco 2r ∙ 360°
=
=
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3.4 Área y Perímetro de un Sector Circular
O: centro de la circunferencia
r : radio
A
B
AB : arco de circunferencia
A sector ∙ r2
360°=
Psector = + 2r
Psector 2r ∙ 360°
+ 2r=
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B
A
3.5 Perímetro de un Segmento Circular
AB : cuerda
AB : arco de circunferencia
Psegmento = + AB
Psegmento 2r ∙ 360°
+ AB=
Segmento circular
O : centro de la circunferencia
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Ejemplo de aplicación:
Determinar el área y perímetro de la zona achurada de la figura.O: centro de la circunferencia.
Solución:
A Sector 80∙∙42
360°=
A Sector 2∙∙16
9=
=
A Sector 32 9
Psector 24 ∙80
360°+ 2∙4=
Psector 16 9
+ 8=
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1. Teoremas fundamentales - Ángulos
Ángulos en la Circunferencia
1.1 Ángulo del centro y ángulo inscrito
1.2 Igualdad de ángulos inscritos
1.3 Triángulo inscrito en una semicircunferencia
1.4 Cuadrilátero inscrito en una circunferencia
1.5 Teorema del ángulo exterior
1.6 Teorema del ángulo interior
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2.3 Teorema de las tangentes
2.4 Teorema de las cuerdas
2.5 Cuadrilátero circunscrito a una circunferencia
2. Teoremas fundamentales - Trazos
2.1 Teorema de las secantes
2.2 Teorema de la tangente y la secante
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1. Teoremas fundamentales (ángulos)
1.1 Ángulo del centro y ángulo inscrito
Ángulo del centro: Tiene el vértice en el centro de la circunferencia, y mide lo mismo que el arco que subtiende.
Ejemplo:
Si el arco AB = 40º, entonces = 40º
O: centro de la circunferencia
40°
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Ángulo inscrito: Tiene el vértice en la circunferencia, y mide la mitad del arco que subtiende.
Ejemplo:
Si el arco AB = 50º, entonces = 25º
50°
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Corolario: Si un ángulo inscrito y un ángulo del centro subtienden el mismo arco, entonces el ángulo del centro es el doble del ángulo inscrito.
2
Además, se cumple que:
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Ejemplo:
En la figura, si arco AB mide 70°, entonces el ángulo del centro AOB también mide 70° y el ángulo inscrito ACB mide 35°.
70°
O: centro de la circunferencia
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1.2 Igualdad de ángulos inscritos
Si dos o más ángulos inscritos subtienden el mismo arco, éstos son iguales.
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1.3 Triángulo inscrito en una semicircunferencia
Todo triángulo inscrito en una semicircunferencia es rectángulo con hipotenusa igual al diámetro.
180°
O: centro de la circunferencia
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1.4 Cuadrilátero inscrito en una circunferencia
En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos son suplementarios.
Ejemplo:
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1.5 Teorema del ángulo exterior
Si es ángulo exterior de la circunferencia, entonces:
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1.6 Teorema del ángulo interior
Si es ángulo interior de la circunferencia, entonces:
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2. Teoremas fundamentales (trazos)
2.1 Teorema de las secantesSean PA y PB dos secantes, entonces:
PA ∙ PD = PB ∙ PC
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Ejemplo:
12
20
6
x
12 ∙ PD = 20 ∙ 6
12 ∙ PD = 120
PD= 10
PA ∙ PD = PB ∙ PC
En la figura, determinar PD si PA = 12, PB = 20 y PC = 6.
PA y PB secantes.
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2.2 Teorema de la tangente y secanteSean PA una tangente y PC una secante, entonces:
(PA)2 = PC ∙ PD
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2.3 Teorema de las tangentes
PA = PC
Sean PA y PC dos tangentes, entonces:
![Page 36: GEOMETRÍA Circunferencia y Círculo Prof. Isaías Correa M.](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022061407/5665b4b21a28abb57c934ee5/html5/thumbnails/36.jpg)
2.4 Teorema de las cuerdasSean AB y CD dos cuerdas, entonces:
AP ∙ PB = CP ∙ PD
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2.5 Cuadrilátero circunscrito
a + c = b + d
5 + c = 7 + 8
c = 10
Ejemplo:
Sea ABCD cuadrilátero circunscrito a la circunferencia, entonces:
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2.6 Cuerdas Paralelas:
Dos cuerdas paralelas en una circunferencia determinan arcos interiores congruentes.
A B
D C
AB//CD
DA=BC
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