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Prof. Drª Marília Brasil Xavier
REITORA
Prof. Rubens Vilhena Fonseca
COORDENADOR GERAL DOS CURSOS DE MATEMÁTICA
MATERIAL DIDÁTICO
EDITORAÇÃO ELETRONICA
Odivaldo Teixeira Lopes
ARTE FINAL DA CAPA
Odivaldo Teixeira Lopes
REALIZAÇÃO
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
F676t Fonseca, Rubens Vilhena
Transformada de Laplace e a série de Fourier / Rubens Vilhena Fonseca – Belém: UEPA / Centro de Ciências Sociais e Educação, 2011.
68 p.; iI. ISBN: 978-85-88375-64-2 1.Análise matemática. 2. Laplace, Transformada de. I.
Universidade Estadual do Pará. II. Título. CDU: 517.44
CDD: 515.723
Índice para catálogo sistemático 1. Análise matemática: 517.44
BELÉM – PARÁ – BRASIL
- 2011-
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Sabemos que resolver uma equação significa encontrarmos a variável que satisfaz uma
identidade pré-estabelecida pelo sinal de igual. Esta variável comumente chamada de
incógnita pode ser representada por: um número, um vetor, uma função ou um objeto
matemático qualquer.
Observe os exemplos
Quando temos uma equação algébrica, a variável será um número
Caso a equação seja vetorial, a solução será representada por um vetor.
Tratando-se de uma equação diferencial a variável procurada será uma função.
Au
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Existem diversas técnicas que nos permitem encontrar as soluções dos vários tipos de
equações. Laplace criou um método muito curioso que o conduziu às soluções de várias
equações diferenciais ordinárias. Este método, simples, foi desenvolvido do seguinte modo:
Consideremos a equação diferencial abaixo
f (x) – f (x) = f (0) = –1
LÊ-SE: “A derivada de certa função f(x) subtraída desta própria função, dá o resultado ”.
PERGUNTA-SE: Qual será esta função f(x) ?
RESPOSTA: A função procurada, ou seja, a função que satisfaz a
equação acima é: f(x) = – 2ex
Esta solução foi encontrada por Laplace do seguinte modo.
f (x) – f(x) = e2x
sx f (x) –
sx f(x) =
sx e
2x
sx f (x) dx –
sx f(x) dx =
(s-2)x dx
(1)
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Para resolver estas integrais, Laplace utilizou-se da identidade de Leibniz.
Assim teremos que:
u = f (x) v = sx
u = f(x) v‟ = -ssx
ou seja:
Substituindo (2) e (3) na equação (1)
No entanto, f (0) = –1, então:
Diante do resultado (4) pergunta-se:
A função f(x) que procuramos, multiplicada por sx
e integrada de zero a infinito
resultou . Qual será essa função?
A resposta a esta indagação é mostrada a seguir:
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PRIMEIRA INTEGRAÇÃO.
( 2)2 ( 2)
0 0
. .2 5
s xsx x s x
o
ee e dx e dx
2 1.
2
sx x
o
e e dxs
SEGUNDA INTEGRAÇÃO
( 1)( 1)
0 0
2.2 2 .
1 5
s xsx x s x
o
ee e dx e dx
2.2
1
sx x
o
e e dxs
TERCEIRA INTEGRAÇÃO
2 2
0
.( 2 ) . .2. .sx x x sx x sx x
o
e e e dx e e e e dx
2 1 2.( 2 )
2 1
sx x x
o
e e e dxs s
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A multiplicação da ambos os lados da equação diferencial por dx e posterior
integração de zero e infinito foi um artifício muito útil na obtenção da solução f(x) = e2x
– 2
ex. No entanto, foi necessário conhecermos antecipadamente a solução da integral (4). Sendo
assim, notamos que: Quanto mais funções forem multiplicadas por sx
e integradas de zero a
infinito, tanto mais cômodo será encontrar a solução de uma equação diferencial.
Um fato matemático interessante que surge na utilização deste procedimento pode ser
ilustrado do seguinte modo:
A transformação de variáveis acima ( ) é chamada de integração de Laplace ou de
Transformada de Laplace, ou seja:
Isto é:
Vamos exercitar um pouco a operacionalidade desta integral.
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2. FUNÇÕES POLINOMIAIS
Exemplo a) f(x) = 1
Exemplo b) f(x) = x
Integrando por partes:
Exemplo c) f(x) = x2
por partes:
Exemplo d) f(x) = x3
Dos exemplos acima, podemos observar que existe uma lei de formação nos resultados
encontrados.
POLINÔMIO TRANSFORMADA
f(x) = 1
f(x) = x
f(x) = x2
f(x) = x3
Exemplo e) f(x) = x4
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f(x) = x4
– – –
– – –
– – –
f(x) = xn
Onde n é um número natural e n! indica o fatorial de n.
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3. A TRANSFORMAÇÃO DE LAPLACE DE ALGUMAS FUNÇÕES ESPECIAIS
Exemplo a) f(x) = eax (a R)
Exemplo b) f(x) = sen ax (a R)
Integrando por partes teremos:
v = sem ax u =
v‟ = a cós ax u‟ = sx
Integrando novamente por partes vem que:
v = cós ax u =
v‟ = – a sem ax u‟ = sx
Exemplo c) f(x) = (a R)
(b R)
Por partes:
Exemplo d) f(x) = cosh ax
Para simplificar podemos escrever este elemento matemático na sua forma exponencial.
f(x) = cosh ax =
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1. CONSIDERAÇÕES
Para empregarmos a transformada de Laplace na solução de equações diferenciais
ordinárias é fundamental conhecermos as transformadas das derivadas que surgem neste tipo
de equação.
2. DESENVOLVIMENTO
a) A da primeira derivada
Seja f‟ (x) a derivada da função f(x). A transformada desta derivada é dada por:
Embora pareça difícil dar o próximo passo, podemos fazê-lo integrando por partes.
u' = f‟(x) ................................ v =
u = f(x) ................................ v‟ = -s
ou seja
b) A da segunda derivada
Seja f”(x) a segunda derivada da função f(x). A transformada desta derivada pode ser
construída assim:
u' = f”(x) .......................... v =
u = f‟(x) .......................... v‟ = -s
Au
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L
Isto é:
- -
c) A da terceira derivada
Seja f” „ (x) a terceira derivada da função f(x). A transformada desta derivada é dada
por:
u' = f” „ (x) .......................... v =
u = f”(x) .......................... v‟ = -s
L
- - –
Você já deve ter notado que os resultados encontrados seguem uma lei de formação
muito bem definida.
Vamos rearranjá-los para melhor compreensão.
[f‟(x)] = sº [f(x)]
[f‟ (x)] = s1 [f(x)] – s
0 f (0)
[f”(x)] = s2 L [f (x)] – s
1 f(0) – s
0 f‟ (0)
[f” „ (x)] = s3 L [f(x)] – s
2 f(0) – s
1 f‟ (0) – s
0 f” (0)
. . . . .
. . . . .
. . . . .
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1. INTRODUÇÃO
Com este conhecimento que desenvolvemos podemos resolver uma grande quantidade
de equações diferenciais ordinárias.
Perceberemos nas soluções que seguem como é simples e útil a transformada de
Laplace.
2. APLICAÇÕES
Exemplo A
f‟ (x) – f(x) = 0 ............................. f(0) = 1
Lê-se “Qual função que derivada em relação a x e subtraída dela própria é igual azero”
Esta função pode ser encontrada se aplicarmos em ambos os lados da equação a
transformada de Laplace.
[f‟(x)] – [f(x)] = L [0]
No entanto sabemos que:
[0] = 0
[f‟ (x)] = s [f(x)] – f(0)
Assim ficamos com:
s [f(x)] – f(0) – [f(x)] = 0
[f(x)] =
O resultado acima permite o seguinte diálogo:
PERGUNTA: Qual é a função f(x) que tem sua transformada dada por –
?
RESPOSTA: Algumas páginas atrás encontramos o seguinte resultado: -
Então, se a constante “a” for igual ao número teremos:
[ex] =
ou seja:
f(x) = ex
(Solução da equação diferencial)
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Exemplo B
f" (x) – 2 f‟ (x) = 2 e2x
....................... f(0) = 0
f‟ (0) = 1
Lê-se: “Qual função que derivada duas vezes em relação a x e subtraída de sua
primeira derivada multiplicada por dois é igual a 2e2x
?”
Aplicando a transformada nos dois lados da equação diferente teremos:
[f”(x)] – [2f‟ (x)] = [2e2x
]
[f” (x)] – 2 [f‟ (x)] = 2 [e2x
]
O número dois foi “para fora” da transformada por sabermos que a transformada de
um número vezes uma função é igual a transformada da função vezes o número, ou seja:
[N f(x) = N [f(x)]
Continuando então a solução da equação diferencial.
[f”(x)] – 2 [f‟ (x)] = 2 [e2x
]
A transformada de cada termo é dada por:
[f” (x) = s2 [f(x)] – sf(0) – f‟(0)
[f‟ (x)] = s [f(x)] – f (0)
[e2x
] =
Assim ficamos com:
s2 [f(x)] – sf(0) – f‟ (0) – 2 {s [f (x)] – f(0)} = 2
[f(x)] =
Se você consultar a relação de transformadas no final do texto, encontrará:
Isto é, a função que procuramos é dada por:
f(x) = x e2x
5 f(x) = x eax [f (x)] =
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Exemplo C
f(x) + f” (x) = 0 ........................ f (0) = 1
f‟ (0) = 0
Lê-se: “Qual função que somada com sua segunda derivada resulta em zero?”
Se aplicarmos a transformada de Laplace nos dois lados da equação teremos:
[f(x)] + [f”(x)] = [0]
[f(x)] + s2 [f(x)] – sf (0) – f‟ (0) = 0
[f (x)] + s2 [f(x)] – s – 0 = 0
[f(x)] =
Porém:
ou seja:
(solução da equação diferencial)
Exemplo D
f"(x) – f(x) = 1 ………………………….. f (0) = 0
f‟(0) = 1
Lê-se: “Qual função que subtraída de sua segunda derivada resulta no número um?”
Aplicando a transformada nos dois lados da equação
[f”(x)] – [f(x)] = [1]
s2 [f(x)] – sf(0) – f‟ (0) – [f(x)] =
Porém f(0) = 0 e f‟ (0) = 1, ou seja :
[f(x)] =
Para encontrarmos o resultado acima no quadro das transformadas, fazemos:
[f(x)] =
12 f(x) = cosax
[f (x)] =
f(x) = cosx
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Isto é:
(solução da equação)
Exemplo E
f" (x) + w2 f(x) = 0 ...................... f(0) = A e f‟(0) = 0
w e A são constantes
Lê-se: “Qual função que multiplicada por w2 e somada a sua segunda derivada resulta em
zero”.
A resposta a esta pergunta pode ser encontrada se aplicarmos a transformada de
Laplace na equação diferencial do oscilador harmônico simples, acima.
[f” 9x(x)] + w2 [f(x)] = [0]
s2 [f(x)] – sf(0) – f‟(0) + w
2 [f(x)] = 0
s2
[f(x)] – sA – 0 + w2 [f(x)] = 0
[f(x)] = A
No entanto:
(solução procurada)
Exemplo F
f‟ (x) + R f(x) = E …………………… f(0) = 0
, R e E são constantes
4 f(x) = eax
[f (x)] =
1 f(x) = 1 [f (x)] =
f(x) = ex – 1
11 f(x) = cós ax [f (x)] =
f(x) = A cos wx
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Lê-se: “Qual função que multiplicada por E somada com L vezes sua primeira derivada dá
E?”
A solução de equação diferencial do circuito R–L é construída assim:
[ f‟(x)] + [R f(x)] = [E]
[f‟(x)] + R [f(x)] = E [1]
{s [f(x)] – s f(0)} + R [f(x)] = E.
. {s [f (x)] – 0} + R [f(x)] =
[f(x)] =
Então:
(solução procurada)
1 f(x) = 1 [f (x)] =
4 f(x) = [f (x)] =
f(x) =
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Leonhard Euler descobriu em 1729 uma função-integral muito importante, tanto para a
Física quanto para a Matemática. Neste mesmo ano Euler espôs seus resultados extraídos
desta função ao matemático Golbach que recomendou a publicação da descoberta na revista
russa Comment Alad Petropolitanae and Annos.
Função Gama
O nome Função Gama foi dado por Legendre em seu livro Exercices de Calcul
Integral (vol. 1 – pg. 277) 1811.
Esta função-Integral apresenta uma série de propriedades importantes como podemos
verificar abaixo.
A função gama pode ser relacionada com a transformada de Laplace da seguinte
forma:
Para f(x) = xn teremos:
Mudando a variável do problema tem-se que:
Au
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1. INTRODUÇÃO
Neste capítulo pretendemos explorar a diferenciação da transformada de Laplace em
relação ao parâmetro s. Os resultados que encontraremos serão muito úteis na aquisição das
transformadas das funções do tipo: xn f(x).
2. DESENVOLVIMENTO
Primeira derivada em relação a s.
Segunda derivada em relação a s.
Terceira derivada em relação a s.
Au
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De modo geral concluímos que:
isto é: para n = 0, 1, 2, 3, ... teremos:
3. APLICAÇÕES
a) Qual será a transformada de Laplace da função:
b) Qual é a transformada da função: x2 . senx?
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TABELA DE TRANSFORMADAS
1 f(x) = 1 [f(x)] =
2 f(x) = x [f(x)] =
3 f(x) = xn [f(x)] =
4 f(x) = eax
[f(x)] =
5 f(x) = x eax [f(x)] =
6 f(x) = xn
[f(x)] =
7 f(x) = sen ax [f(x)] =
8 f(x) = sen (ax + b) [f(x)] =
9 f(x) = x sen ax [f(x)] =
10 [f(x)] =
11 [f(x)] =
12 f(x) = cosax [f(x)] =
13 f(x) = ebx
. cosax [f(x)] =
14 f(x) = xcosax [f(x)] =
15 f(x) = cos (ax + b) [f(x)] =
16 f(x) = 1 – cos ax [f(x)] =
17 f(x) = senax - axcosax [f(x)] =
18 f(x) = cosbx [f(x)] =
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19 f(x) = coshax [f(x)] =
20 f(x) = xcoshax [f(x)] =
21 f(x) = coshax [f(x)] =
22 f(x) = senhax [f(x)] =
23 f(x) = [f(x)] =
24 f(x) = [f(x)] =
25 f(x) = [f(x)] = arc . tag
A SÉRIE DE FOURIER
BELÉM – PARÁ – BRASIL
- 2011 -
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APRESENTAÇÃO
Embora a série de Fourier tenha sido desenvolvida como subsídio matemático ao
estudo da transferência do calor (Théorie de la Chaleur), a aplicação desta soma de senos e
cossenos estendeu-se à todos os ramos da Física, Engenharia e Matemática. É como hoje em
dia encontrarmos o uso desta série nos mais diversos artigos publicados sobre o
conhecimento humano: da Biologia à Lingüística, da Cibernética à Paleontologia
defrontamos com o emprego desta série.
De modo geral, pode-se dizer que a série desenvolvida por Fourier tem permitido a
engenheiros e cientistas escreverem eficientemente os mais diversos tipos de funções. Com
estas podem controlar, prever e admirar o mundo que os circunda.
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São chamada de funções periódicas aquelas que se repetem de período em período:
Isto é:
Exemplo – A
Exemplo – B
Exemplo – C
Exemplo – D
Au
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Exemplo – E
Exemplo – F
Estas funções períodicas exemplificadas acima podem ser definidas do seguinte modo:
Diz-se que uma função f(x) tem período, ou que é periódica com período P, se para qualquer número
real x for verdadeira a identidade abaixo:
f(x) = f(x + P)
Exemplo – A
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Exemplo – B
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A SÉRIE DE FOURIER foi desenvolvida em 1822 por Jean Baptiste Joseph Fourier, que acreditava
ser possível através da SOMA DE FUNÇÕES SENO e COSSENO representar os mais diferentes tipos de
funções.
Para ilustrarmos a idéia de Fourier podemos reunir diversas funções trigonométricas e atribuir-lhes
valores.
Observe a variedade de curvas que obtemos com este procedimento.
Exemplo – A
f(x) = senx + cosx
Exemplo – B
f(x) = sen2x – cos3x
Exemplo – C
f(x) = 2 – senx – 3cosx
Au
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Exemplo – D
f(x) = senx – cos2x + 2cos3x
Exemplo – E
f(x) = senx – cos2x + cosx + cos2x
Exemplo – F
f(x) = 1 + senx + 3sen2x + cosx – 2cosx
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Exemplo – G
f(x) = 2 + senx + 3sen2x – 2sen3x + cosx + 2cos2x – cos3x
Através destes exemplos o engenheiro Fourier observou que uma função genêtica f(x), pode ser
representada por uma soma dos senos e cossenos.
Isto é:
f(x) = A + a1cos1x + a2cos2x + a3cos3x + ... +
+ b1sen1x + b2sen2x + b3sen3x + ...
ou seja:
f(x) = A + k k
1
a coskx+b senkxk
Neste ponto do estudo é natural questionar-mos:
“Dada uma função f(x), definida em um certo intervalo,
quais são os valores dos coeficientes A, ak e bk de modo
que a soma de senos e cossenos à represente?”
ou seja:
1 + x2 = A + k
k=1
a coskx + bxsenkx A = ?, ak = ?, bk = ?
x – ex = A + k
k=1
a coskx + bxsenkx A = ?, ak = ?, bk = ?
x3 – x
4 = A + k
k=1
a coskx + bxsenkx A = ?, ak = ?, bk = ?
Então, pode-se dizer que Fourier concentrou seus esforços no desenvolvimento de uma metodologia
matemática que lhe permitisse responder a esta pergunta.
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Os valores A, ak e bk de certa função f(x) definido no intervalo de – a foram encontradas por Fourier
em seu livro Theorie Analytique de la Chaleur, quando ocorreu o auge de sua criatividade matemática.
Observe:
Cálculo de A
Seja uma função representada de dois modos:
Representação – Descartes
Representação – Fourier
Como as áreas sob as curvas são idênticas, têm-se:
Au
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Do Apêndice – A:
sen(-x) = -senx função ímpar
cos(-x) = cosx função par
Então:
Cálculo de aK
Para obtermos o valor aK basta multiplicarmos a soma de funções senos e cossenos por
(coskxdx) e integrarmos de – a .
Verifique:
Por comodidade não escreverei o símbolo de somatória.
Do Apêndice – B têm-se:
Isto é:
Cálculo de bk
Este valor é obtido da multiplicação da soma de senos e cossenos por senkxdx e
posterior integração de – a
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Veja como é simples !
Do Apêndice – B
Isto é:
Assim, concluímos que a série de Fourier de uma função f(x) definida de – a é dada
por:
onde:
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PRIMEIRA APLICAÇÃO
Considere a função f(x) definida por:
Vamos escrevê-la em termos da série de Fourier.
Os coeficientes não dados por:
Au
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Do Apêndice – B, têm-se:
bk = 0 (Função par)
Ficamos com:
Podemos visualizar o desenvolvimento da série atribuindo valores para k.
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SEGUNDA APLICAÇÃO
Vamos desenvolver f(x) = x, - < x < , em Série de Fourier.
Precisamos achar os coeficientes da série
ak = 0 (Função Ímpar)
Do Apêndice –B, vêm que:
A= 0
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como k = 1, 2, 3, ... + senk = 0
Assim, teremos:
Observe a convergência da série à medida que k aumenta.
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TERCEIRA APLICAÇÃO
Seja a função f(x) definida por:
Escreva a série de Fourier para esta função.
Os coeficientes são dados por:
A = 0
ak = 0 (Função Ímpar)
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A convergência da série em função de k pode ser observada abaixa:
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QUARTA APLICAÇÃO
É dada a função:
Vamos construir a série de Fourier que a represente.
Primeiro encontramos os coeficientes da série, isto é:
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bk = 0 (Função Par)
Ficamos com:
Observe a convergência da série:
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Observação
Dos exemplos estudados conseguimos um resultado muito importante no
desenvolvimento de funções em série de Fourier:
Função Par
ak 0 bk = 0
Função Ímpar
ak = 0 bk 0
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Construção da Série
Seja uma função f(x) definida no intervalo de –L a L. A constante L é um número
positivo que será chamada de semi período.
A função desenhada pode ser representada por uma soma de funções senos e cossenos.
Isto é:
ou seja:
Como no Capítulo 3, será necessário encontrarmos os coeficientes A, ak e bk para que
a soma das funções trigonométricas represente a f(x).
Cálculo de A
Multiplicamos a série nos dois lados por dx e integramos de –L a L.
Cálculo de ak
Multiplicamos a série por cos e integramos de –L a L.
Au
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Cálculo de bk
Se multiplicarmos a série por sen e integrarmos de –L a L encontraremos:
Agora, após termos calculado os coeficientes de Fourier para uma f(x) definida de –L
a L façamos alguns exemplos:
APLICAÇÕES:
Primeira Aplicação
Seja uma função f(x) definida por:
Vamos escrevê-la em termos da série de Fourier:
Os coeficientes são dados por:
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AK = 0 para k = 1, 2, 3, ...
k = 1, 2, 3, ...
Agora podemos construir a série:
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A convergência da série em termos de k pode ser observada abaixo:
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SEGUNDA APLICAÇÃO
Escrever a série de Fourier para a função f(x) = x onde –3 < x < 3
Os coeficientes de Fourier A, ak e bk são dados por:
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A = 0
(Função Ímpar)
senk = 0 para K = 1, 2, 3, ...
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A série será dada por:
Pode-se observar abaixo a convergência da Série de Fourier à medida que a
escrevemos com mais termos.
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TERCEIRA APLICAÇÃO
Seja a função f(x) definida por:
Onde w é uma constante positiva.
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Vamos encontrar a série de Fourier que a represente:
pois,
Os coeficientes da série são dados por:
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Para resolvermos esta integral, será necessário a seguinte álgebra:
sen(wx + kwx) = senwxcoskwx + senkwxcosx (1)
sen(wx – kwx) = senwxcoskwx – senkwxcosx (2)
Somando (1) com (2), têm–se:
substituindo na integral, resulta:
Como o denominador não pode ser zero é necessário impormos k 1 para o
coeficiente ak.
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Podemos resolver esta integral do seguinte modo:
– cos(wx + kwx) = – coswxcoskwx + senwxsenkwx (3)
cos (wx – kwx) = coswxcoskwx + senwxsenkwx (4)
Somando (3) e (4):
Substituindo-se este resultado na integral acima têm-se:
Para k = 2, 3, 4, ... bk = 0. No entanto para k = 1 bk está indeterminado, ou seja:
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Para resolvermos a indeterminação faz-se necessário:
Por L‟ Hospital, têm-se:
Isto é:
Assim temos:
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TABELA DAS SÉRIE DE FOURIER
S-1 FUNÇÃO
SÉRIE
GRÁFICO
S-2 FUNÇÃO
SÉRIE
GRÁFICO
S-3 FUNÇÃO
f(x) = x para – < x <
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SÉRIE
GRÁFICO
S-4 FUNÇÃO
f(x) = x para –3 < x < 3
SÉRIE
GRÁFICO
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S-5 FUNÇÃO
SÉRIE
GRÁFICO
S-6 FUNÇÃO
f(x) = x para –0 < x < 2
SÉRIE
GRÁFICO
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S-7 FUNÇÃO
SÉRIE
GRÁFICO
S-8 FUNÇÃO
SÉRIE
GRÁFICO
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66
S-9 FUNÇÃO
para – < x <
SÉRIE
GRÁFICO
S-10 FUNÇÃO
para – < x <
SÉRIE
GRÁFICO
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S-11 FUNÇÃO
SÉRIE
GRÁFICO
S-12 FUNÇÃO
SÉRIE
GRÁFICO
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S-13 FUNÇÃO
f(x) = senhwx para – < x <
SÉRIE
GRÁFICO
S-14 FUNÇÃO
SÉRIE
GRÁFICO
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S-15 FUNÇÃO
f(x) = coshwx para – < x <
SÉRIE
GRÁFICO
S-16 FUNÇÃO
f(x) = -x(x- ) para 0 < x <
SÉRIE
GRÁFICO