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Marília Brasil Xavier
REITORA
Prof. Rubens Vilhena Fonseca
COORDENADOR GERAL DOS CURSOS DE MATEMÁTICA
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MATERIAL DIDÁTICO
EDITORAÇÃO ELETRONICA
Odivaldo Teixeira Lopes
ARTE FINAL DA CAPA
Odivaldo Teixeira Lopes
REALIZAÇÃO
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
F676s Fonseca, Rubens Vilhena
Sequências e séries / Rubens Vilhena Fonseca – Belém: UEPA / Centro de Ciências Sociais e Educação, 2011.
24 p.; iI. ISBN: 978-85-88375-67-3 1.Sequências (Matemática). 2. Séries (Matemática). I.
Universidade Estadual do Pará. II. Título. CDU: 517.521 CDD: 515.24
Índice para catálogo sistemático 1. Sequências (Matemática) 517.521
Belém - Pará - Brasil - 2011 -
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SEQUÊNCIAS E SÉRIES
5
Seqüência: esta palavra está relacionada com sucessão ordenada de coisas.
Seqüência infinita: sucessão interminável de números, chamados termos.
Exemplos:
1) 1,2,3,4,5,6,7......
2) 2,4,6,8,10,.....
3) 1, 1/2,1/3,1/4,1/5,.....
4) 1,-1,1,-1,1,-1,....
Cada seqüência tem um padrão definido dado pelo termo geral.
Exemplos:
1) 2, 4, 6, 8,.... onde cada número representa o dobro de sua posição. O número 2 está na
posição 1, portanto vale 2x1=2, o número 4 está na posição 2 e vale 2x2=4, e assim por
diante. O termo geral portanto é 2n.
2) 1, 1/2,1/3,1/4,1/5,..... onde o termo geral é 1/n
3) 1/2, 1/4, 1/8, 1/16,....n2
1,.......
4) ,........1
,.......,5
4,
4
3,
3
2,
2
1
n
n
5) ,.....12,....9,7,5,3,1 n
Desta forma, a seqüência pode ser representada por seu termo geral. Assim, para o exemplo
anterior:
1) n 1{2n}
2) 12
1
n
n
3) 11 nn
n
4) n 1{2n 1}
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SEQUÊNCIAS E SÉRIES
6
Observação:
A letra n é denominada índice da seqüência (outras letras podem
ser utilizadas).
Definição:
Um seqüência é uma função cujo domínio é um conjunto de números inteiros.
Assim, n n 1{a } equivale a uma notação alternativa da função: nf (n) a , n 1,2,3,4.....
Exemplo:
1) 1
1
nn pode ser escrito como: ....4,3,2,1,
1n
ny , cujo gráfico é:
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SEQUÊNCIAS E SÉRIES
7
2) Similarmente: 2
n 1{2(n 2)}
3) Para: n 1
n 1{( 1) }
Limite de uma seqüência:
O limite de uma seqüência existe quando, à medida em que n cresce, os valores da seqüência
também crescem ou diminuem em direção a um valor limite L. Em outras palavras, para
qualquer número positivo , há um ponto N na seqüência, após o qual todos os termos estão
entre as retas Ly e Ly .
Exemplo:
1) 1
1
1
nn
ou seja 01
1lim
1nn n
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SEQUÊNCIAS E SÉRIES
8
2) 12
11lim
1n
n
n
Definição:
Dizemos que uma seqüência n{a } converge para o limite L se dado 0 qualquer, existir
um número inteiro N, tal que n| a L | para Nn . Neste caso temos: Lan
nlim .
Uma seqüência diverge, quando não converge para algum limite finito.
Propriedades: As propriedades válidas para limites usuais, também valem para seqüências:
Suponha que as seqüências n n{a } e {b } convergem respectivamente para L1 e L2, e seja c
uma constante. Então:
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SEQUÊNCIAS E SÉRIES
9
n
n n 1n n
n n n n 1 2n n n
n n n n 1 2n n n
n n n n 1 2n n n
nnn 1
2n
n n 2n
lim c c
lim ca c lim a cL
lim (a b ) lim a lim b L L
lim (a b ) lim a lim b L L
lim (a b ) lim a lim b L L
lim aa Llim se L 0
b lim b L
Exemplo:
As seqüências a seguir convergem ou divergem. Se convergir, encontre limite:
1) 112 nn
n
2
1
12lim
n
n
n
2) n
n 1
n( 1)
2n 1. O gráfico desta função é:
Visualmente verifica-se há dois limites distintos: um se refere aos termos de posição
ímpar (pontos acima do eixo x) e outro se refere a termos de posição par (abaixo do eixo
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SEQUÊNCIAS E SÉRIES
10
x). O simples fato de estes limites não serem iguais, já seria suficiente para determinar a
não convergência de série.
2
1
12lim
n
n
n (posições par)
2
1
12lim
n
n
n (posições ímpar)
Propriedade: Uma seqüência converge para um limite L se e somente se as seqüências
de termos de posição par e impar convergem ambas para L.
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SEQUÊNCIAS E SÉRIES
11
MONOTONICIDADE DE SEQÜÊNCIAS
Teorema do confronto: Sejam n{a } , n{b } e n{c } seqüências tais que nbn cba , para
todos os valores de n acima de um índice N. Se as seqüências n{a } e n{c } tiverem um limite
comum L quando n , então n{b } terá o limite L quando n .
Teorema: Se 0lim nn
a então 0lim nn
a .
Observação:
As seqüências podem ser definidas recursivamente através de
fórmulas de recursão.
Ex. Algorítimo para o cálculo de p :
,.....4,3,2,1,2
2
1,1 10 n
yyyy
n
nn
Terminologia: Uma seqüência é dita :
Estritamente crescente se 1 2 3 4a a a a .....
Estritamente decrescente se 1 2 3 4a a a a .....
Crescente se 1 2 3 4a a a a .....
Decrescente se 1 2 3 4a a a a .....
Se uma seqüência for estritamente crescente ou decrescente ela á dita estritamente
monótona.
Se uma seqüência for crescente ou decrescente ela é dita monótona.
Teste de monotonicidade:
1o. Método: Diferença entre termos sucessivos:
Estritamente crescente se n 1 na a 0
Estritamente decrescente se n 1 na a 0
Crescente se n 1 na a 0
Decrescente se n 1 na a 0
2o. Método: Razão entre dois termos sucessivos:
Estritamente crescente se n 1 na / a 1
Estritamente decrescente se n 1 na /a 1
Crescente se n 1 na / a 1
Decrescente se n 1 na / a 1
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SEQUÊNCIAS E SÉRIES
12
Observação
1) Algumas seqüências possuem um comportamento errático no início,
apresentando uma propriedade a partir de um certo termo.
2) Normalmente a convergência ou divergência de uma seqüência não
depende do comportamento de seus termos iniciais mas de seu
comportamento a partir de um certo termo.
3) Se uma seqüência for crescente a partir de um certo termo então:
a. Ela é limitada por uma cota superior de valor M ( na M ) e a
seqüência converge para L M .
b. Ela é ilimitada e nnlima .
4) A mesma observação é válida para seqüências decrescentes.
SÉRIES INFINITAS
Observe o número:
10.33333333.... 0,3 0,03 0,003 0,0003 0,00003 0,000003 ........
3
3 3 3 3 3 3.......
10 100 1000 10000 100000 1000000
Pode-se afirmar que 1/3 pode ser escrito como um soma de uma série
infinita de termos.
Tomemos a seqüência de somas:
5
4324
323
22
1
S
10
3
10
3
10
3
10
3S
10
3
10
3
10
3S
10
3
10
3S
10
3S
A seqüência S1, S2, S3, S4,.... é uma sucessão de aproximações da “soma” da série infinita
cujo valor é 1/3. Quanto mais avançarmos na série, melhor será esta aproximação. Tomando
um termo geral da série acima:
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SEQUÊNCIAS E SÉRIES
13
nnS10
3.....
10
3
10
3
10
332
Assim, podemos concluir que um limite para esta soma é:
nnn
nS
10
3.....
10
3
10
3
10
3limlim
32
Para determinar este limite, temos que manipular a expressão de Sn. Multiplicando-se ambos
os lados da expressão de Sn por 1/10 e subtraindo esta nova expressão da expressão para o Sn
original tem-se:
nnS10
11
3
1
Tomando-se o limite tem-se que a soma é dada por 1/3 como esperado.
Definições:
1) Uma série infinita é uma expressão que pode ser escrita na forma:
1
4321 ..............k
kk uuuuuu , onde u1, u2, u3, etc, são os termos da série.
2) O número Sn é chamado n-ésima soma parcial e a seqüência n n 1{S } é chamda seqüência
das somas parciais.
3) Se a seqüência n n 1{S } convergir para um limite S, dizemos que a série converge para S,
ou seja: 1k
kuS .
4) A série diverge se n n 1{S } diverge, e uma série divergente não tem soma.
Séries Geométricas: São aquelas em que cada termo é obtido multiplicando-se o anteriror
por uma constante r fixa, conhecida como razão.
Forma geral: ..........2
0
k
k
k arararaar .
Observação:
Algumas vezes é conveniente iniciar a série por um índice diferente de
1, o que não modifica em nada a série.
Uma série geométrica diverge se 1r e converge se 1r .
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SEQUÊNCIAS E SÉRIES
14
A soma de uma série convergente, tomando-se os n primeiros termos da série é:
n
k
k
n arararaarS ....2
0
.
Multiplicando ambos os lados por r e subtraindo a expressão resultante da expressão de Sn
anterior, tem-se:
n
n
a 1 rS
1 r.
Se 1r , temos 0lim n
nr .
Então: n
nn n
a 1 r alim S lim
1 r 1 r.
Desta forma,
k
n
aS limar se r 1
1 r.
Série Harmônica: 1
....4
1
3
1
2
11
1
k k
Esta série surge em conexão com os sons harmônicos produzidos pela vibração de uma corda
musical. Diferentemente do que a nossa intuição possa nos dizer, esta série diverge, conforme
prova a literatura.
Testes de Convergência:
Para seqüências: Achar o termo geral e calcular o limite.
Para séries: achar o termo geral da seqüência das somas parciais e encontrar o limite.
Normalmente, este termo geral é muito difícil de ser obtido. Para isto, diversos testes de
convergência/divergência foram obtidos.
Teste da divergência:
Para a série 1k
ku , toma-se o termo geral da série, uk, e calcula-se o limite para k .
a) Se 0lim kx
u , então a série 1k
ku diverge.
b) Se 0lim kx
u , então a série 1k
ku converge ou diverge.
c) Se a série 1k
ku converge, então 0lim kx
u .
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SEQUÊNCIAS E SÉRIES
15
Propriedades Algébricas:
a) Se ku e kv são séries convergentes, então k k(u v ) e k k(u v ) são séries
convergentes e as somas destas séries estão relacionadas por:
k k k k(u v ) u v e k k k k(u v ) u v .
b) Se c é uma constante não nula, então ambas as séries ku e kv convergem ou
divergem. No caso da convergência, vale: kk uccu
c) A convergência ou divergência não é afetada pela retirada de um número finito de termos
de uma série,
...
...
21
321
1
NNN
Nk
k
k
k
uuuu
uuuu
ou ambas convergem ou ambas divergem.
Note que a divergência não é afetada, mas o valor da soma sim!!!!
Teste da integral: Para uma função f (x) contínua, decrescente e com valores positivos
para todo ax , a série n a
f (n) será convergente se a integral imprópria a
f (x)dx existir e
será divergente se a
f (x)dx .
Séries Hiper-Harmônicas ou p-Séries: São séries do tipo
1
.....1
...3
1
2
11
1
kpppp kk
. Estas convergem se 1p e divergem se 10 p .
Demonstração: use o teste da integral!
Teste da Comparação
Sejam 1k
ka e 1k
kb ,
1) Se a série maior convergir, então a série menor converge.
2) Se a série menor divergir, então a série maior diverge.
Dicas para a aplicação deste teste
1) Termos constantes no denominador podem geralmente ser eliminados
sem afetar a divergência ou convergência da série.
2) Geralmente pode-se descartar os termos de menor grau em um polinômio
do numerador e/ou denominador, deixando apenas o termo dominante.
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SEQUÊNCIAS E SÉRIES
16
Teste da Comparação com Limites
Sejam ka e kb séries de temos positivos e seja: k
kk
b
alim .
Se for finito e maior que 0, então ambas as séries convergem.
Teste da Razão
Nos testes anteriores, era necessário encontrar uma série apropriada e estudar a sua
convergência. Isto algumas vezes não é fácil de se obter.
O próximo teste é bastante versátil, uma vez que funciona apenas com os termos da série
dada.
Seja ku uma série de termos positivos e suponha que k
kk
u
u 1lim
Se 1 , a série converge
Se 1, a série diverge
Se 1 , a série converge ou diverge
Teste da Raiz
Seja ku uma série de termos positivos e para kkk ulim
Se 1 , a série converge
Se 1 ou , a série diverge
Se 1 , a série pode convergir ou divergir
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SEQUÊNCIAS E SÉRIES
17
SÉRIES ALTERNADAS
Possuem termos positivos e negativos.
Teste da Série Alternada
Uma série alternada da forma 1
)1(k
k
k a converge se as duas condições forem satisfeitas:
a) a1 > a2 > a3 ... > ak > ...
b) 0lim kk a
Exemplo
1
1)1(
n
n
n
nan
1
1
11
nan
Note que esta é uma série harmônica alternada que, ao contrário da série harmônica simples,
converge!
A soma de séries alternadas chama atenção especial, já que estamos adicionando um termo
positivo e um negativo sucessivamente à série.
Para uma série que satisfaça as condições acima, onde S é a soma da série, então:
a) S está entre duas somas parciais sucessivas, isto é:
Sn < S < Sn+1 ou Sn+1 < S < Sn
b) Se S for aproximada por Sn, então o erro absoluto |S - Sn| < an+1 e o sinal de S – Sn é igual
ao do coeficiente de an+1.
Convergência Absoluta
Definição: A série ku converge absolutamente se a série de valores absolutos || ku
converge, e diverge absolutamente se a série de valores absolutos diverge.
Observação:
Se a série 1
||k
ku converge, então a série 1k
ku também converge.
Este resultado é útil na solução de problemas do tipo:
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SEQUÊNCIAS E SÉRIES
18
22
1cos
kk
k
Série hiper-harmônica p>1 converge
Converge
Exemplo
Mostre que a série 2
k 1
cos k
k converge.
O sinal desta série varia irregularmente. Assim vamos tratar a convergência de: 1
2
cos
k k
k
mas
12
cos
k k
k converge!
Observação:
Os testes da razão e da raiz podem ser usados para o teste da
convergência absoluta de uma série.
SÉRIES DE POTÊNCIAS
Até o momento: séries cujos termos são números.
Agora: séries cujos termos são funções.
Séries de Potências em x
...3
3
2
210
0
xcxcxccxck
k
k
Exemplo
...62
1!
32
0
xxx
n
x
n
n
Quando x é substituído por um número, a série numérica resultante pode convergir ou
divergir.
Note que em x=0 a série sempre converge pra c0.
O conjunto de valores nos quais a série converge é chamado intervalo de convergência, que,
como pode ser provado, é centrado em zero.
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SEQUÊNCIAS E SÉRIES
19
Para cada série de potências em x, exatamente uma das seguintes alternativas é verdadeira:
a) A série converge somente em x=0 (raio de convergência 0).
b) A série converge absolutamente (e portanto converge) para todos os valores reais de x
(raio de convergência ).
c) A série converge absolutamente (e portanto converge) para todo x em algum intervalo
aberto finito (-R,R). e diverge se x <-R ou x >R. Nos pontos x = R ou x =-R, a série
pode convergir absolutamente, convergir condicionalmente ou divergir, dependendo da
série particular (raio de convergência R).
O procedimento usual para se determinar o raio de convergência é aplicar o teste da razão
para convergência absoluta.
Série de potências em (x - x0)
Se x0 for uma constante e se x for substituído por (x – x0) então a série de potências tem a
forma:
...)(...)()()( 0
2
02
0
0100
k
k
k
k
k xxcxxcxxccxxc
O intervalo de convergência é obtido de forma semelhante, substituindo x – x0 em x, ou seja,
exatamente uma das alternativas é correta:
a) A série converge apenas para x = x0;
b) A série converge absolutamente para todos os valores reais de x;
c) A série converge absolutamente para todo x em algum intervalo finito (x0 – R, x0
+ R) e diverge se x < x0 + R ou x > x0 + R. Nos pontos x = x0 - R e x = x0 + R a série
pode convergir absolutamente, convergir condicionalmente ou divergir, dependendo da
série particular.
SÉRIES DE TAYLOR E MACLAURIN
Polinômios de MacLaurin:Veremos como aproximar funções por polinômios.
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SEQUÊNCIAS E SÉRIES
20
Porém, se a curvatura for muito pronunciada nesta região, esta aproximação será rapidamente
deteriorada à medida que se afasta de x0. Um polinômio de grau dois seria muito mais
recomendável, especialmente se for garantido que a derivada primeira e segunda do
polinômio coincidam com as da função no ponto x0. Assim, a função f (x) e o polinômio p(x)
teriam a mesma derivada e concavidade no ponto x0.
2
210)( xcxccxp onde:
)0()0( fp )0()0( 0 fcp
)0(')0(' fp )0(')0(' 1 fcp
)0(")0(" fp )0("2)0(" 2 fcp 2
)0("2
fc
Assim 2
2
)0(")0(')0()( x
fxffxp
Exemplo
Encontre as aproximações linear e quadrática locais de ex em x = 0.
1)0( 0ef 1)0(' 0ef 1)0(" 0ef
linear: xxp 1)(
quadrática: 2
21)(
xxxp
Podemos extender este procedimento para um polinômio de grau n, de forma que as n
primeiras derivadas coincidam com as derivadas de f (x) em x0.
Se x0 = 0:
n
nxcxcxccxp ...)( 2
210
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SEQUÊNCIAS E SÉRIES
21
)0()0( pf , )0(')0(' pf , ..., )0()0( )()( nn pf
n
n
n
n
n
n
n
n
cnnnxp
xcnnnxccxp
xcnnxccxp
xncxcxccxp
)1)...(2)(1()(
)2)(1(...23423)('''
)1(...232)("
...32)('
)(
3
43
2
32
12
321
!
)0(!)1)...(2)(1()0()0(
!3
)0('''
23
)0('''23)0(''')0('''
2
)0(''2)0('')0(''
)0(')0(')0('
)0()0()0(
)()()(
33
22
11
00
n
fccncnnnpf
ffccpf
fccpf
fccpf
fccpf
n
nnn
nn
Assim:
nn
n xn
fx
fx
fffxp
!
)0(...
!3
)0('''
!2
)0('')0(')0()(
)(32
n-ésimo polinômio de MacLaurin, que na realidade representa uma série de potências
Polinômios de Taylor
Se a aproximação for feita em um ponto x0 qualquer (para a série de MacLaurin a
aproximação era na origem), temos o polinômio:
n
n xxcxxcxxccxp )(...)()()( 0
2
02010
onde !
)(
!2
)('')(')( 0
)(
020100
n
xfc
xfcxfcxfc
n
n
Assim, n
n
n xxn
fxx
xfxxxfxfxp )(
!
)0(...)(
!2
)(''))((')()( 0
)(2
00
000
polinômio de Taylor em toro de x = x0, se f (x) tiver n derivadas
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SEQUÊNCIAS E SÉRIES
22
Convergência da Série de Taylor
Pn (x) n-ésimo polinômio de Taylor em torno de x0, cujo valor e as n-ésimas primeiras
derivadas coincidem com aquelas de f em x0.
Assim é razoável esperar que, à medida em que n cresce, os valores do polinômio de Taylor
devem convergir para o valor de f (x) em torno de x0, ou seja:
)()(!
)(0
0
0 xfxxk
xf Ln
k
k
quando n
Mas Pn (x) corresponde à n-ésima soma parcial da série de Taylor para f e a séria de Taylor
converge para f (x) que é a sua soma.
A questão que surge é: há um intervalo em torno de x0 para o qual a série converge para f (x),
pra x pertencente a este intervalo?
Isso é óbvio para o ponto x0, dadas as condições com que Pn (x) foi criado.
n
k
kk
n xxk
xfxfxR
0
)(!
)()()(
n-ésimo resto para f em torno de x = xo
Ou seja: )()(!
)()(
0
00 xRxx
k
xfxf n
n
k
kk
fórmula de Taylor com resto
A igualdade ok
kk xxxfxf ))(()( 00 é verdadeira em um ponto x se, e somente se,
0)(lim xRnn
.
A estimativa deste resto não é trivial e não será abordada neste curso.
Para se aproximar o valor de uma função f em torno de x usando uma série de Taylor, duas
questões devem ser respondidas:
1. Em torno de quais pontos a série de Taylor deve ser expandida?
2. Quantos termos na série devem ser usados para alcançar a precisão desejada?
y
x
21)(
2
2
xxxP
ex
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SEQUÊNCIAS E SÉRIES
23
Resposta:
1. Em pontos x0 próximos de x, nos quais as derivadas de f possam ser facilmente
calculadas.
2. Depende de cada caso.
Funções Exponenciais
Pode-se provar que a série de MacLaurin converge para e
x, para todo x, isto é:
...!
...!3!2
1!
32
0 k
xxxx
k
xe
k
k
kx
para x
Funções Logarítmicas
A série de MacLaurin:
...432
)1ln(432 xxx
xx )11( x
Convergência muito lenta pouco uso prático.
Mas se substituirmos x por –x:
432)1ln(
432 xxxxx
e substituirmos as funções
...753
21
1ln)1ln()1ln(
753 xxxx
x
xxx )11( x
Série Binomial
Se m for um número real, então a série de MacLaurin para (1+x)
m é chamada de série
binomial e é dada por:
...!
)1)...(1(...
!3
)2)(1(
!2
)1(1 32 mx
m
kmmmx
mmmx
mmmx
Se m é inteiro não negativo, todas as derivadas (m+1)-ésimas são nulas e portanto a série se
reduz à expansão binomial familiar:
mm xxmm
mxx ...!2
)1(1)1( 2 x
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SEQUÊNCIAS E SÉRIES
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Porém, pode-se provar que esta série binomial converge para (1+x)m se |x| < 1. O u em
notação sigma:
1 !
)1)...(1(1)1(
k
mm xk
kmmmx se |x| < 1
Diferenciação e Integração de uma Série de Potências
Diferenciação de uma Série de Potências
Se k
k
k xxcxf )()( 0
0
(x0 – R < x < x0 + R)
a função é diferenciável no intervalo de convergência e a série:
k
k 0
k 0
d[c (x x ) ]
dx converge para f no mesmo intervalo, ou seja,
k
k 0
k 0
df '(x) [c (x x ) ]
dx (x0 – R < x < x0 + R)
o mesmo pode ser extendido para f f , f , etc.
Conclusão: Se uma função f puder ser representada por uma série de potências em (x - x0)
com raio de convergência diferente de zero, R, então f tem derivadas de todas as ordens
sobre o intervalo (x0 – R, x0 + R).
Exemplo
xxxxxxx
xxxx
dx
dx
dx
d
xxxxx
cos...!6!4!2
1...!7
7
!5
5
!3
31
...!7!5!3
][sen
...!7!5!3
sen
642642
753
753
Integração de uma Série de Potências
Se k
k
k xxcxf )()( 0
0
(x0 – R < x < x0 + R)
k
k 0
k 0
f (x)dx [ c (x x ) ] + C (x0 – R < x < x0 + R)
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SEQUÊNCIAS E SÉRIES
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ou dxxxcdxxfk
k
k
0
0 )()( onde e são pontos do intervalo (x0 – R, x0 + R).
Exemplo
Cxxx
x
dxxxx
xdx
...)!6.(7)!4.(5)!2.(3
...!6!4!2
1cos
753
642
CxCxxx
x sen...!7!5!3
753
Observação:
Se uma função f estiver representada por uma série de potências em (x
– x0) em algum intervalo aberto contendo x0, então aquela série de
potências é a série de Taylor para f em torno de x – x0.
Dica:
Como obter a série de Taylor para tan-1
x?
Das tabelas de intergrais temos que:
Cxdxx
1
2tan
1
1
Da tabela 2.9.1 temos: ...11
1 642
2xxx
x
3 5 71 2 4 6
3 5 71
x x xtan x C [1 x x x ...] dx x ...
3 5 7
x x xtan x x ... C
3 5 7
Sabendo-se que 000tan 1 C
...753
tan753
1 xxxxx (-1 < x < 1)
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