Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 Ein Blick ----- Einblick Wie wir...
-
Upload
lutgard-gaub -
Category
Documents
-
view
106 -
download
0
Transcript of Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 Ein Blick ----- Einblick Wie wir...
![Page 1: Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 Ein Blick ----- Einblick Wie wir in Mathematik für.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070310/55204d6249795902118b6b3d/html5/thumbnails/1.jpg)
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus
Ein Blick ----- Einblick
Wie wir in „Mathematik für alle“ die Welt der Mathematik sehen Folie 1
![Page 2: Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 Ein Blick ----- Einblick Wie wir in Mathematik für.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070310/55204d6249795902118b6b3d/html5/thumbnails/2.jpg)
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus
Ein Weg ist gangbar vorbereitet
Wie wir in „Mathematik für alle“ die Welt der Mathematik sehen Folie 2
![Page 3: Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 Ein Blick ----- Einblick Wie wir in Mathematik für.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070310/55204d6249795902118b6b3d/html5/thumbnails/3.jpg)
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus
Exponentialfunktion
( ) xf x k
Basis k >1 Basis k mit 0<k <1für Basis k <0 ist f nicht definiert
0,k Def 0,k Def
Folie 3
Exp-fkt
![Page 4: Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 Ein Blick ----- Einblick Wie wir in Mathematik für.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070310/55204d6249795902118b6b3d/html5/thumbnails/4.jpg)
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus
Exponentialfunktion
( ) xf x k
Basis k >1 Basis k mit 0<k <1für Basis k <0 ist f nicht definiert
0,k Def 0,k Def
Folie 4
Exp-fkt
![Page 5: Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 Ein Blick ----- Einblick Wie wir in Mathematik für.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070310/55204d6249795902118b6b3d/html5/thumbnails/5.jpg)
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus
e-Funktion, das halbe Geheimnis
( ) xf x k ( ) xf x e
Folie 5
hin
![Page 6: Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 Ein Blick ----- Einblick Wie wir in Mathematik für.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070310/55204d6249795902118b6b3d/html5/thumbnails/6.jpg)
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus
e-Funktion, das halbe Geheimnis
( ) xf x k
( ) xf x e
e-Funktion ist diejenige Exponentialfunktion,die in (0/1) die Steigung 1 hat.
Folie 6
![Page 7: Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 Ein Blick ----- Einblick Wie wir in Mathematik für.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070310/55204d6249795902118b6b3d/html5/thumbnails/7.jpg)
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus
Die Welt der Umkehrfunktionen
y x
ny x
ln( )y x
log ( )ay x
arcsin( )
.....
y x
Folie 7
![Page 8: Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 Ein Blick ----- Einblick Wie wir in Mathematik für.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070310/55204d6249795902118b6b3d/html5/thumbnails/8.jpg)
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus
Umkehr-Fragen Umkehr-FunktionenUmkehr-Relationen
Folie 8
![Page 9: Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 Ein Blick ----- Einblick Wie wir in Mathematik für.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070310/55204d6249795902118b6b3d/html5/thumbnails/9.jpg)
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus
Umkehr-Fragen, Umkehr-Funktionen, Umkehr-Relationen
Frage: Welchen Wert hat f an der Stelle 2?
Antwort: 4 ist der Wert, f(2)=4Umkehrfrage: An welchen Stellen hat f hat den Wert 4?
Antwort: +2 und -2 sind Lösungen, f(+2)=4 und f(-2)=4
Visualisierung der Umkehrfrage:
Folie 9
![Page 10: Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 Ein Blick ----- Einblick Wie wir in Mathematik für.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070310/55204d6249795902118b6b3d/html5/thumbnails/10.jpg)
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus
Umkehr-Fragen, Umkehr-Funktionen, Umkehr-Relationen
Frage: Welchen Wert hat f an der Stelle 2?
Antwort: 4 ist der Wert, f(2)=4Umkehrfrage: An welchen Stellen hat f hat den Wert 4?
Antwort: +2 und -2 sind Lösungen, f(+2)=4 und f(-2)=4
Visualisierung der Umkehrfrage:
Gehe von der y-Achse zur Kurve und dann zur x-Achse
Folie 10
Umkehrfkt
![Page 11: Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 Ein Blick ----- Einblick Wie wir in Mathematik für.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070310/55204d6249795902118b6b3d/html5/thumbnails/11.jpg)
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus
Umkehr-Fragen, Umkehr-Funktionen, Umkehr-Relationen
Frage: Welchen Wert hat f an der Stelle 2?
Antwort: 4 ist der Wert, f(2)=4
Umkehrfrage: An welchen Stellen hat f hat den Wert 4?
Antwort: +2 und -2 sind Lösungen, f(+2)=4 und f(-2)=4
Visualisierung der Umkehrfrage:
Gehe von der y-Achse zur Kurve und dann zur x-Achse
Gehe von der x-Achse zum Graphen der an der Winkelhalbierenden gespiegelten Kurve und dann zur y-Achse.Es ist die Umkehrrelation.
Dies ist hier keine Funktion. Der Wert ist nicht eindeutig bestimmt. Folie 11
Umkehrfkt
![Page 12: Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 Ein Blick ----- Einblick Wie wir in Mathematik für.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070310/55204d6249795902118b6b3d/html5/thumbnails/12.jpg)
Umkehr-Fragen, Umkehr-Funktionen, Umkehr-Relationen
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus
Frage: Welchen Wert hat f an der Stelle 2?
Antwort: 4 ist der Wert, f(2)=4
Umkehrfrage: An welchen Stellen hat f hat den Wert 4?
Antwort: +2 und -2 sind Lösungen, f(+2)=4 und f(-2)=4
Formalisierung der Umkehrfrage:
Bilde (hier stückweise) die Umkehrfunktion
( )g x x
( )h x x Folie 12
Umkehrfkt
![Page 13: Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 Ein Blick ----- Einblick Wie wir in Mathematik für.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070310/55204d6249795902118b6b3d/html5/thumbnails/13.jpg)
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus
Exponentialfunktion
( ) xf x e
Eulersche e-Funktion
der natürlicheLogarithmus
die ln-Funktion
der ln
Folie 13
Umkehrfkt
![Page 14: Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 Ein Blick ----- Einblick Wie wir in Mathematik für.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070310/55204d6249795902118b6b3d/html5/thumbnails/14.jpg)
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus
Exponentialfunktion
( ) xf x e
Eulersche e-Funktion
der natürlicheLogarithmus
die ln-Funktion
der ln
Folie 14
Umkehrfkt
![Page 15: Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 Ein Blick ----- Einblick Wie wir in Mathematik für.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070310/55204d6249795902118b6b3d/html5/thumbnails/15.jpg)
Wie langsam wächst der Logarithmus?
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus
Folie 15
![Page 16: Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 Ein Blick ----- Einblick Wie wir in Mathematik für.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070310/55204d6249795902118b6b3d/html5/thumbnails/16.jpg)
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus
Funktion frisst Umkehrfunktionen
y x
ny x
ln( )y x
log ( )ay x
arcsin( )y x
für Hauptwerte
Folie 16
Umkehrfkt
![Page 17: Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 Ein Blick ----- Einblick Wie wir in Mathematik für.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070310/55204d6249795902118b6b3d/html5/thumbnails/17.jpg)
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus
Die Welt der Umkehrfunktionen
y x
ny x
ln( )y x
log ( )ay x
arcsin( )
.....
y x
für Hauptwerte
Folie 17
![Page 18: Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 Ein Blick ----- Einblick Wie wir in Mathematik für.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070310/55204d6249795902118b6b3d/html5/thumbnails/18.jpg)
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus
Übung mit Funktionsgraphen2 3 1 ln( 6)x x x xy e y e y e y e y x
Folie 18
leer
![Page 19: Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 Ein Blick ----- Einblick Wie wir in Mathematik für.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070310/55204d6249795902118b6b3d/html5/thumbnails/19.jpg)
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus
Übung mit Funktionsgraphen2 3 1 ln( 6)x x x xy e y e y e y e y x
Folie 19
leer
![Page 20: Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 Ein Blick ----- Einblick Wie wir in Mathematik für.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070310/55204d6249795902118b6b3d/html5/thumbnails/20.jpg)
Differentiale
Folie 23
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus
![Page 21: Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 Ein Blick ----- Einblick Wie wir in Mathematik für.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070310/55204d6249795902118b6b3d/html5/thumbnails/21.jpg)
DifferentialeParabel
Sekanten
Folie 24
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus
Nur zur Vertiefung
![Page 22: Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 Ein Blick ----- Einblick Wie wir in Mathematik für.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070310/55204d6249795902118b6b3d/html5/thumbnails/22.jpg)
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus
Wenn man B an A heran-rücken lässt, wird das Steigungsdreieck der Sekanteimmer kleiner und manerhält die Tangente in A.
Das DifferentialAlso untersuchen wir für jeden Punkt einer Funktion:
welche Steigung hat die Funktion in dem Punkt?
limA sekantex a
m m
Folie 25
![Page 23: Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 Ein Blick ----- Einblick Wie wir in Mathematik für.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070310/55204d6249795902118b6b3d/html5/thumbnails/23.jpg)
Das DifferentialAlso untersuchen wir für jeden Punkt einer Funktion:
welche Steigung hat die Funktion in dem Punkt?
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus
Fahrrad hier
Fahrrad pur
Fahrrad, Bspl 2
Folie 26
![Page 24: Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 Ein Blick ----- Einblick Wie wir in Mathematik für.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070310/55204d6249795902118b6b3d/html5/thumbnails/24.jpg)
Das DifferentialAlso untersuchen wir für jeden Punkt einer Funktion:
welche Steigung hat die Funktion in dem Punkt?
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus
Folie 27
Fahrrad hier
Fahrrad pur
Fahrrad, Bspl 2
![Page 25: Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 Ein Blick ----- Einblick Wie wir in Mathematik für.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070310/55204d6249795902118b6b3d/html5/thumbnails/25.jpg)
Die Ableitung f ‘ ist die Funktion, die für jedes xdie Steigung der Funktion f angibt.
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus
Die rote Funktion ist also die Ableitung von der blauen. Folie 28
diff
Fahrrad hier
Fahrrad pur
Fahrrad, Bspl 2
![Page 26: Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 Ein Blick ----- Einblick Wie wir in Mathematik für.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070310/55204d6249795902118b6b3d/html5/thumbnails/26.jpg)
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus
Übung 2 mit Funktionsgraphen
Folie 29
Fahrrad, Bspl 2
![Page 27: Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 Ein Blick ----- Einblick Wie wir in Mathematik für.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070310/55204d6249795902118b6b3d/html5/thumbnails/27.jpg)
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus
Übung 2 mit Funktionsgraphen
Folie 30
![Page 28: Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 Ein Blick ----- Einblick Wie wir in Mathematik für.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070310/55204d6249795902118b6b3d/html5/thumbnails/28.jpg)
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus
Übung 3 mit Funktionsgraphen und Ableitungen
Folie 31
diff3
![Page 29: Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 Ein Blick ----- Einblick Wie wir in Mathematik für.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070310/55204d6249795902118b6b3d/html5/thumbnails/29.jpg)
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus
Übung 3 mit Funktionsgraphen
Folie 32
![Page 30: Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 Ein Blick ----- Einblick Wie wir in Mathematik für.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070310/55204d6249795902118b6b3d/html5/thumbnails/30.jpg)
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus
e-Funktion, das ganze Geheimnis
( ) xf x e e-Funktion ist diejenige Exponentialfunktion,die in (0/1) die Steigung 1 hat.
Folie 33
Teil 2 AbleitenTeil 1
![Page 31: Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 Ein Blick ----- Einblick Wie wir in Mathematik für.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070310/55204d6249795902118b6b3d/html5/thumbnails/31.jpg)
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus
e-Funktion, das ganze Geheimnis
( ) xf x e e-Funktion ist diejenige Exponentialfunktion,die in (0/1) die Steigung 1 hat.
Die e-Funktion ist diejenige Funktion, die mit ihrer Ableitung übereinstimmt.
'x xe e Folie 34
Teil 2 AbleitenTeil 1