probabilidades conceptos
-
Upload
yoseff-basserool-hashomert -
Category
Documents
-
view
239 -
download
0
Transcript of probabilidades conceptos
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
1/58
Probabilidad: Introduccin
La probabilidad mide la frecuencia con la que aparece
un resultado determinado cuando se realiza un
experimento.
Ejemplo: tiramos un dado al aire y queremos
saber cual es la probabilidad de que salga un2, o que salga un nmero par, o que salga un
nmero menor que 4.
El experimento tiene que ser aleatorio, es decir, que
pueden presentarse diversos resultados, dentro de un
conjunto posible de soluciones, y esto an realizando
el experimento en las mismas condiciones. Por lo
tanto, a priori no se conoce cual de los resultados se
va a presentar:
Ejemplos: lanzamos una moneda al aire: el
resultado puede ser cara o cruz, pero no
sabemos de antemano cual de ellos va asalir.
En la Lotera de Navidad, el "Gordo" (en
Espaa se llama "Gordo" al primer premio)
puede ser cualquier nmero entre el 1 y el
100.000, pero no sabemos a priori cual va a
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
2/58
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
3/58
Antes de calcular las probabilidades de un
experimento aleaotorio hay que definir una serie deconceptos:
Suceso elemental: hace referencia a cada una de las
posibles soluciones que se pueden presentar.
Ejemplo: al lanzar una moneda al aire, los
sucesos elementales son la cara y la cruz. Al
lanzar un dado, los sucesos elementales son
el 1, el 2, .., hasta el 6.
Suceso compuesto: es un subconjunto de sucesos
elementales.
Ejemplo: lanzamos un dado y queremos que
salga un nmero par. El suceso "numero par"
es un suceso compuesto, integrado por 3
sucesos elementales: el 2, el 4 y el 6
O, por ejemplo, jugamos a la ruleta y
queremos que salga "menor o igual que 18".
Este es un suceso compuesto formado por 18
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
4/58
sucesos elementales (todos los nmeros que
van del 1 al 18).
Al conjunto de todos los posibles sucesos elementales
lo denominamos espacio muestral. Cada experimento
aleatorio tiene definido su espacio muestral (es decir,
un conjunto con todas las soluciones posibles).
Ejemplo: si tiramos una moneda al are una
sola vez, el espacio muestral ser cara o cruz.
Si el experimento consiste en lanzar una
moneda al aire dos veces, entonces el
espacio muestral estara formado por (cara-
cara), (cara-cruz), (cruz-cara) y (cruz-cruz).
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
5/58
Probabilidad: Relacin entre sucesos
Entre los sucesos compuestos se pueden establecer
distintas relaciones:
a) Un suceso puede estar contenido en otro: las
posibles soluciones del primer suceso tambin lo son
del segundo, pero este segundo suceso tiene ademsotras soluciones suyas propias.
Ejemplo: lanzamos un dado y analizamos dos
sucesos: a) que salga el nmero 6, y b) que
salga un nmero par. Vemos que el suceso a)
est contenido en el suceso b).
Siempre que se da el suceso a) se da el
suceso b), pero no al contrario. Por ejemplo,
si el resultado fuera el 2, se cumplira el
suceso b), pero no el el a).
b) Dos sucesos pueden ser iguales: esto ocurre
cuando siempre que se cumple uno de ellos secumple obligatoriamente el otro y viceversa.
Ejemplo: lanzamos un dado al aire y
analizamos dos sucesos: a) que salga nmero
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
6/58
par, y b) que salga mltiplo de 2. Vemos que
las soluciones coinciden en ambos casos.
c) Unin de dos o ms sucesos: la unin ser otro
suceso formado por todos los elementos de los
sucesos que se unen.
Ejemplo: lanzamos un dado al aire y
analizamos dos sucesos: a) que salga nmero
par y b) que el resultado sea mayor que 3. El
suceso unin estara formado por los
siguientes resultados: el 2, el 4, el 5 y el 6
d) Interseccin de sucesos: es aquel suceso
compuesto por los elementos comunes de dos o ms
sucesos que se intersectan.
Ejemplo: lanzamos un dado al aire, y
analizamos dos sucesos: a) que salga nmero
par, y b) que sea mayor que 4. La
interseccin de estos dos sucesos tiene un
slo elemento, el nmero 6 (es el nico
resultado comn a ambos sucesos: es mayorque 4 y es nmero par).
e) Sucesos incompatibles: son aquellos que no se
pueden dar al mismo tiempo ya que no tienen
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
7/58
elementos comunes (su intereseccin es el conjunto
vacio).
Ejemplo: lanzamos un dado al aire y
analizamos dos sucesos: a) que salga un
nmero menor que 3, y b) que salga el
nmero 6. Es evidente que ambos no se
pueden dar al mismo tiempo.
f) Sucesos complementarios: son aquellos que si no
se da uno, obligatoriamente se tiene que dar el otro.
Ejemplo: lanzamos un dado al aire y
analizamos dos sucesos: a) que salga un
nmero par, y b) que salga un nmero impar.
Vemos que si no se da el primero se tieneque dar el segundo (y viceversa).
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
8/58
Clculo de probabilidades
Probabilidad
Como hemos comentado anteriormente, la
probabilidad mide la mayor o menor posibilidad de
que se d un determinado resultado (suceso) cuando
se realiza un experimento aleatorio.
La probabilidad toma valores entre 0 y 1 (o
expresados en tanto por ciento, entre 0% y 100%):
El valor cero corresponde al suceso
imposible: lanzamos un dado al aire y la
probabilidad de que salga el nmero 7 escero (al menos, si es un dado certificado por
la OMD, "Organizacin Mundial de Dados").
El valor uno corresponde al suceso seguro:
lanzamos un dado al aire y la probabilidad de
que salga cualquier nmero del 1 al 6 es igual
a uno (100%).
El resto de sucesos tendr probabilidades
entre cero y uno: que ser tanto mayor
cuanto ms probable sea que dicho suceso
tenga lugar.
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
9/58
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
10/58
Cmo se mide la probabilidad?
Uno de los mtodos ms utilizados es aplicando laRegla de Laplace: define la probabilidad de un suceso
como el cociente entre casos favorables y casos
posibles.
P(A) = Casos favorables / casos posibles
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
11/58
Veamos algunos ejemplos:
a) Probabilidad de que al lanzar un dadosalga el nmero 2: el caso favorable es tan
slo uno (que salga el dos), mientras que los
casos posibles son seis (puede salir cualquier
nmero del uno al seis). Por lo tanto:
P(A) = 1 / 6 = 0,166 (o lo que es lo mismo,
16,6%)
b) Probabilidad de que al lanzar un dado
salga un nmero par: en este caso los casos
favorables son tres (que salga el dos, el
cuatro o el seis), mientras que los casos
posibles siguen siendo seis. Por lo tanto:
P(A) = 3 / 6 = 0,50 (o lo que es lo mismo,
50%)
c) Probabilidad de que al lanzar un dado
salga un nmero menor que 5: en este caso
tenemos cuatro casos favorables (que salgael uno, el dos, el tres o el cuatro), frente a los
seis casos posibles. Por lo tanto:
P(A) = 4 / 6 = 0,666
(o lo que es lo mismo, 66,6%)
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
12/58
d) Probabilidad de que nos toque el
"Gordo" de Navidad: tan slo un caso
favorable, el nmero que jugamos (qu
triste...), frente a 100.000 casos posibles.
Por lo tanto:
P(A) = 1 / 100.000 = 0,00001
(o lo que es lo mismo, 0,001%)
Merece la pena ...... Por cierto, tiene la
misma probabilidad el nmero 45.264, que el
nmero 00001, pero cul de los dos
compraras?
Para poder aplicar la Regla de Laplace el experimento
aleatorio tiene que cumplir dos requisitos:
a) El nmero de resultados posibles
(sucesos) tiene que ser finito. Si hubiera
infinitos resultados, al aplicar la regla "casos
favorables / casos posibles" el cociente
siempre sera cero.b) Todos los sucesos tienen que tener la
misma probabilidad. Si al lanzar un dado,
algunas caras tuvieran mayor probabilidad
de salir que otras, no podramos aplicar esta
regla.
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
13/58
A la regla de Laplace tambin se le denomina
"probabilidad a priori", ya que para aplicarla hay que
conocer antes de realizar el experimento cuales son
los posibles resultados y saber que todos tienen las
mismas probabilidades.
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
14/58
Y si el experimento aleatorio no cumple los dos
requisitos indicados, qu hacemos?, ponemos una
denuncia?
No, no va a ser necesario denunciar a nadie, ya que
en este caso podemos acudir a otro modelo de
clculo de probabilidades que se basa en la
experiencia (modelo frecuentista):
Cuando se realiza un experimento aleatorio
un nmero muy elevado de veces, las
probabilidades de los diversos posibles
sucesos empiezan a converger hacia valores
determinados, que son sus respectivas
probabilidades.
Ejemplo: si lanzo una vez una moneda al aire
y sale "cara", quiere decir que el suceso
"cara" ha aparecido el 100% de las veces y el
suceso "cruz" el 0%.
Si lanzo diez veces la moneda al aire, es
posible que el suceso "cara" salga 7 veces yel suceso "cruz" las 3 restantes. En este caso,
la probabilidad del suceso "cara" ya no sera
del 100%, sino que se habra reducido al
70%.
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
15/58
Si repito este experimento un nmero
elevado de veces, lo normal es que las
probabilidades de los sucesos "cara" y "cruz"
se vayan aproximando al 50% cada una. Este
50% ser la probabilidad de estos sucesos
segn el modelo frecuentista.
En este modelo ya no ser necesario que el nmero
de soluciones sea finito, ni que todos los sucesostengan la misma probabilidad.
Ejemplo: si la moneda que utilizamos en el
ejemplo anterior fuera defectuosa (o
estuviera trucada), es posible que al repetir
dicho experimento un nmero elevado de
veces, la "cara" saliera con una frecuencia,por ejemplo, del 65% y la "cruz" del 35%.
Estos valores seran las probabilidades de
estos dos sucesos segn el modelo
frecuentista.
A esta definicin de la probabilidad se le denomina
probabilidad a posteriori, ya que tan slo repitiendo
un experimento un nmero elevado de veces
podremos saber cual es la probabilidad de cada
suceso.
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
16/58
Probabilidad de sucesos
Probabilidad de sucesos
Al definir los sucesos hablamos de las diferentes
relaciones que pueden guardar dos sucesos entre s,
as como de las posibles relaciones que se pueden
establecer entre los mismos. Vamos a ver ahora cmose refleja esto en el clculo de probabilidades.
a) Un suceso puede estar contenido en otro:
entonces, la probabilidad del primer suceso ser
menor que la del suceso que lo contiene.
Ejemplo: lanzamos un dado y analizamos dos sucesos:a) que salga el nmero 6, y b) que salga un nmero
par. Dijimos que el suceso a) est contenido en el
suceso b).
P(A) = 1/6 = 0,166
P(B) = 3 / 6 = 0,50
Por lo tanto, podemos ver que la probabilidad del
suceso contenido, suceso a), es menor que la
probabilidad del suceso que lo contiene, suceso b).
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
17/58
b) Dos sucesos pueden ser iguales: en este caso, las
probabilidades de ambos sucesos son las mismas.
Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos
sucesos: a) que salga nmero par, y b) que salga
mltiplo de 2. Las soluciones coinciden en ambos
casos.
P(A) = 3 / 6 = 0,50
P(B) = 3 / 6 = 0,50
c) Interseccin de sucesos: es aquel suceso
compuesto por los elementos comunes de los dos o
ms sucesos que se intersectan. La probabilidad ser
igual a la probabilidad de los elemntos comunes.
Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos
sucesos: a) que salga nmero par, y b) que sea mayor
que 3. La interseccin de estos dos sucesos tiene dos
elementos: el 4 y el 6.
Su probabilidad ser por tanto:
P(A B) = 2 / 6 = 0,33
d) Unin de dos o ms sucesos: la probabilidad de la
unin de dos sucesos es igual a la suma de las
probabilidades individuales de los dos sucesos que se
unen, menos la probabilidad del suceso interseccin
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
18/58
Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos
sucesos: a) que salga nmero par, y b) que el
resultado sea mayor que 3. El suceso unin estara
formado por los siguientes resultados: el 2, el 4, el 5 y
el 6.
P(A) = 3 / 6 = 0,50
P(B) = 3 / 6 = 0,50
P (A B) = 2 / 6 = 0,33
Por lo tanto,
P (A u B) = (0,50 + 0,50) - 0,33 = 0,666
e) Sucesos incompatibles: la probabilidad de la unin
de dos sucesos incompatibles ser igual a la suma de
las probabilidades de cada uno de los sucesos (ya que
su interseccin es el conjunto vacio y por lo tanto no
hay que restarle nada).
Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos
sucesos: a) que salga un nmero menor que 3, y b)que salga el nmero 6.
La probabilidad del suceso unin de estos dos sucesos
ser igual a:
P(A) = 2 / 6 = 0,333
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
19/58
P(B) = 1 / 6 = 0,166
Por lo tanto,
P(A u B) = 0,33 + 0,166 = 0,50
f) Sucesos complementarios: la probabilidad de un
suceso complementario a un suceso (A) es igual a 1 -
P(A)
Ejemplo: lanzamos un dado al aire. el suceso (A) es
que salga un nmero par, luego su complementario,
suceso (B), es que salga un nmero impar.
La probabilidad del suceso (A) es igual a :
P(A) = 3 / 6 = 0,50
Luego, la probabilidad del suceso (B) es igual a:
P(B) = 1 - P(A) = 1 - 0,50 = 0,50
Se puede comprobar aplicando la regla de "casos
favorables / casos posibles":
P(B) = 3 / 6 = 0,50
g) Unin de sucesos complementarios: la
probabilidad de la unin de dos sucesos
complementarios es igual a 1.
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
20/58
Ejemplo: seguimos con el ejemplo anterior:
a) que salga un nmero par, y b) que salga un
nmero impar. La probabilidad del suceso
unin de estos dos sucesos ser igual a:
P(A) = 3 / 6 = 0,50
P(B) = 3 / 6 = 0,50
Por lo tanto,
P(A U B) = 0,50 + 0,50 = 1
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
21/58
Combinaciones, Variaciones y Permutaciones (I)
Para aplicar la Regla de Laplace, el clculo de los
sucesos favorables y de los sucesos posibles a veces
no plantea ningn problema, ya que son un nmero
reducido y se pueden calcular con facilidad:
Por ejemplo: Probabilidad de que al lanzarun dado salga el nmero 2. Tan slo hay un
caso favorable, mientras que los casos
posibles son seis.
Probabilidad de acertar al primer intento el
horscopo de una persona. Hay un caso
favorable y 12 casos posibles.
Sin embargo, a veces calcular el nmero de casos
favorables y casos posibles es complejo y hay que
aplicar reglas matemticas:
Por ejemplo: 5 matrimonios se sientan
aleatoriamente a cenar y queremos calcularla probabilidad de que al menos los
miembros de un matrimonio se sienten
junto. En este caso, determinar el nmero de
casos favorables y de casos posibles es
complejo.
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
22/58
Las reglas matemticas que nos pueden ayudar son el
clculo de combinaciones, el clculo de variaciones y
el clculo de permutaciones.
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
23/58
a) Combinaciones:
Determina el nmero de subgrupos de 1, 2, 3, etc.elementos que se pueden formar con los "n"
elementos de una nuestra. Cada subgrupo se
diferencia del resto en los elementos que lo
componen, sin que influya el orden.
Por ejemplo, calcular las posibles
combinaciones de 2 elementos que se
pueden formar con los nmeros 1, 2 y 3.
Se pueden establecer 3 parejas diferentes:
(1,2), (1,3) y (2,3). En el clculo de
combinaciones las parejas (1,2) y (2,1) se
consideran idnticas, por lo que slo secuentan una vez.
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
24/58
b) Variaciones:
Calcula el nmero de subgrupos de 1, 2, 3,etc.elementos que se pueden establecer con los "n"
elementos de una muestra. Cada subgrupo se
diferencia del resto en los elementos que lo
componen o en el orden de dichos elementos (es lo
que le diferencia de las combinaciones).
Por ejemplo, calcular las posibles variaciones
de 2 elementos que se pueden establecer
con los nmero 1, 2 y 3.
Ahora tendramos 6 posibles parejas: (1,2),
(1,3), (2,1), (2,3), (3,1) y (3,3). En este caso
los subgrupos (1,2) y (2,1) se considerandistintos.
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
25/58
c) Permutaciones:
Clcula las posibles agrupaciones que se puedenestablecer con todos los elementos de un grupo, por
lo tanto, lo que diferencia a cada subgrupo del resto
es el orden de los elementos.
Por ejemplo, calcular las posibles formas en
que se pueden ordenar los nmero 1, 2 y 3.
Hay 6 posibles agrupaciones: (1, 2, 3), (1, 3,
2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2) y (3, 2, 1)
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
26/58
Combinacion
Cmo se calcul
a) Combinacion
Para calcular el
siguiente frmu
El termino " n !
multiplicacin d
"n" hasta 1.
Por ejempl
La expresin "C
"m" elementos,
elementos.
Ejemplo: C
elementos
elementos:
s, Variaciones y Permuta
an?
es:
mero de combinaciones
la:
se denomina "factorial d
e todos los nmeros que v
: 4 ! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24
,n" representa las combi
formando subgrupos de "
0,4 son las combinaciones
grupndolos en subgrupo
iones (II)
se aplica la
n" y es la
n desde
aciones de
"
de 10
de 4
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
27/58
Es decir, po
diferentes
elementos.
b) Variaciones:
Para calcular el
siguiente frmu
La expresin "V
"m" elementos,elementos. En e
anterior, un sub
por los element
de dichos elem
Ejemplo: V
elementoselementos:
dramos formar 210 subgr
e 4 elementos, a partir de
mero de variaciones se
la:
,n" representa las variaci
formando subgrupos de "ste caso, como vimos en la
grupo se diferenciar del r
s que lo forman, o bien p
ntos.
0,4 son las variaciones de
grupndolos en subgrupo
pos
los 10
plica la
ones de
"leccin
sto, bien
r el orden
10
de 4
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
28/58
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
29/58
Combinacion
Vamos a analiza
las combinacion
permutaciones
subgrupos los el
Por ejempldiferentes
los que pud
todas las b
mismo colo
utilizar las f
anterior.
a) Combinacion
Para calcular el
repeticin se ap
Ejemplo: C'
elementos
subgrupos
elementos
s, Variaciones y Permuta
r ahora que ocurrira con e
es, de las variaciones o de
n el supuesto de que al fo
ementos pudieran repetir
: tenemos bolas de 6 coloqueremos formar subgru
iera darse el caso de que 2
las del subgrupo tuvieran
r. En este caso no podram
rmulas que vimos en la le
es con repeticin:
mero de combinaciones
lica la siguiente frmula:
10,4 son las combinacione
on repeticin, agrupndol
e 4, en los que 2, 3 o los 4
odran estar repetidos:
iones (III)
l clculo de
las
rmar los
se.
resos en
, 3, 4 o
l
os
ccin
con
de 10
os en
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
30/58
Es decir, po
diferentes
b) Variaciones c
Para calcular el
se aplica la sigui
Ejemplo: V'
elementos
subgrupos
Es decir, po
diferentes
c) Permutacion
Para calcular elrepeticin se ap
dramos formar 715 subgr
e 4 elementos.
on repeticin:
mero de variaciones con
ente frmula:
10,4 son las variaciones de
on repeticin, agrupndol
e 4 elementos:
dramos formar 10.000 su
e 4 elementos.
s con repeticin:
mero de permutacioneslica la siguiente frmula:
pos
repeticin
10
os en
grupos
con
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
31/58
Son permutacio
de ellos se repit
hasta uno que s
Ejemplo: C
elementos,
en 2 ocasio
ocasiones:
Es decir, te
diferentes
nes de "m" elementos, en l
" x1 " veces, otro " x2 " v
repite " xk " veces.
lcular las permutaciones d
en los que uno de ellos se
es y otro se repite en 3
dramos 302,400 formas
e agrupar estos 10 eleme
os que uno
ces y as ...
e 10
repite
tos.
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
32/58
1.- Ejercicio
Calcular la prob
quiniela:
Solucin:Se aplica la Regl
posibles). El cas
los 14 signos). L
variaciones con
tomados de 14
rellenar).
Son variaciones
influye: no es lo
repeticin, ya q
puede repetir h
Por lo tanto, los
Y la probabilida
Ejercicios
bilidad de acertar los 14 s
a de Laplace (casos favora
favorable es tan slo un
s casos posibles se calcula
repeticin de 3 elementos
n 14 (los signos que hay q
y no combinaciones ya qu
mismo (1,1,X) que (1, X, 1)
e cualquiera de los signos
sta 14 veces.
casos posibles son:
de acertar los 14 resultad
gnos de la
les / casos
(acertar
n como
(1, X y 2),
ue
el orden
. Y son con
(1, X y 2) se
os es:
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
33/58
No demasiado e
consigue.
levada....pero el que la sig e la
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
34/58
2.- Ejercicio
Y la probabilida
Solucin:
Aplicamos nuev
caso los casos f
combinaciones
de esta maneraalternativas de
equivale a acert
combinaciones
importa (da lo
3)
Los casos posibl
Por lo que la pr
Por lo tanto, te
12 resultados q
menos?).
de acertar 12 signos de la
mente la Regla de Laplac
vorables se calculan com
e 14 elementos tomados
obtenemos todas las posiallar 2 resultados de 14 (lo
ar 12 resultados). Utilizam
no variaciones ya que el
ismo fallar el 3 y el 6, q
es siguen siendo los mism
babilidad de acertar 12 re
emos ms probabilidades
e 14 (ser por eso por lo
quiniela:
. En este
e 2 en 2,
lesque
s
rden no
e el 6 y el
s:
ultados es:
de acertar
que pagan
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
35/58
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
36/58
3.- Ejercicio
Calcular la probcaballos, acerta
importar cual d
cual tercero).
Solucin:
Se aplica la Reglslo uno: los 3 c
Los casos posibl
de 12 elemento
determinamos t
caballos que pu
posiciones). Cocaballos no imp
lugar de variaci
Por lo tanto, los
Por lo que la pr
ganadores es:
bilidad de, en una carreralos 3 que quedan primero
ellos queda primero, cual
a de Laplace. El caso favoraballos que entran en pri
es se calculan como combi
tomados de 3 en 3 (es de
odos las posibles alternati
den entrar en las 3 prime
o el orden de estos 3 prirta, utilizamos combinaci
nes.
casos posibles son:
babilidad de acertar los 3
de 12s (sin
segundo y
able es taner lugar.
naciones
cir,
as de 3
as
erosnes en
aballos
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
37/58
Algo mayor que en las quinielas.... Eso s, se paga
menos.
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
38/58
4.- Ejercicio
Y si hubiera queganan, sino el o
Solucin:
El caso favorabl
entran en prime
correspondient
Los casos posibl
(ya que el orden
3 en 3 (calculam
los 12 caballos
posiciones.
Por lo que la pr
ganadores es:
Menor que en e
caballos entran
que acertar el o
acertar, no slo los 3 cabaden de su entrada en met
e sigue siendo uno: los 3 c
r lugar, colocados en su or
.
es se calculan ahora como
influye) de 12 elementos
os todas las posibles man
odran ocupar las 3 prime
babilidad de acertar los 3
l ejemplo 3. Ya no vale ac
en primer lugar, sino que t
den de su entrada.
llos que.
ballos que
den
variaciones
omados de
ras en que
as
aballos
rtar que 3
nemos
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
39/58
Pr
Las probabilida
que se ha incor
situacin de par
Ejemplo: se
probabilida(probabilid
nueva infor
dice que el
entonces la
sea el 2 ya
Las probabilida
aplicando la sig
Donde:
P (B/A) es l
suceso B co
suceso A.
babilidad condicionada
es condicionadas se calcu
orado informacin adicio
tida:
tira un dado y sabemos q
de que salga un 2 es 1/6d a priori). Si incorporamo
macin (por ejemplo, algui
resultado ha sido un nme
probabilidad de que el res
o es 1/6.
es condicionadas se calcul
iente frmula:
probabilidad de que se d
ndicionada a que se haya
lan una vez
al a la
e la
s
en nos
ro par)
ultado
an
el
ado el
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
40/58
P (B A) es la probabilidad del suceso
simultneo de A y de B
P (A) es la probabilidad a priori del suceso A
En el ejemplo que hemos visto:
P (B/A) es la probabilidad de que salga el
nmero 2 (suceso B) condicionada a que
haya salido un nmero par (suceso A).
P (B A) es la probabilidad de que salga el
dos y nmero par.
P (A) es la probabilidad a priori de que salga
un nmero par.
Por lo tanto:
P (B A) = 1/6
P (A) = 1/2
P (B/A) = (1/6) / (1/2) = 1/3
Luego, la probabilidad de que salga el nmero 2, si ya
sabemos que ha salido un nmero par, es de 1/3
(mayor que su probabilidad a priori de 1/6).
2 ejemplo:
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
41/58
En un estudio sanitario se ha llegado a la conclusin
de que la probabilidad de que una persona sufra
problemas coronarios (suceso B) es el 0,10
(probabilidad a priori).
Adems, la probabilidad de que una persona sufra
problemas de obesidad (suceso A) es el 0,25 y la
probabilidad de que una persona sufra a la vez
problemas de obesidad y coronarios (sucesointerseccin de A y B) es del 0,05.
Calcular la probabilidad de que una persona sufra
problemas coronarios si est obesa (probabilidad
condicionada P(B/A)).
P (B A) = 0,05
P (A) = 0,25
P (B/A) = 0,05 / 0,25 = 0,20
Por lo tanto, la probabilidad condicionada es superior
a la probabilidad a priori. No siempre esto es as, a
veces la probabilidad condicionada es igual a laprobabilidad a priori o menor.
Por ejemplo: probabilidad de que al tirar un dado
salga el nmero 2, condicionada a que haya salido un
nmero impar.
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
42/58
La probabilidad condicionada es en este caso cero,
frente a una probabilidad a priori de 1/6.
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
43/58
P
La probabilidad
de probabilidad
condicionada:
La probabili
simultneaintersecci
probabilida
multiplicad
condiciona
La frmula para
es:
Ejemplo 1 : Est
varones mayore
(varones mayor
obtenemos la si
Un 35% de l
estn casad
robabilidad compuesta
compuesta (o regla de mu
s) se deriva de la probabil
dad de que se den
ente dos sucesos (sucesode A y B) es igual a la
a priori del suceso A
por la probabilidad del su
a al cumplimiento del suc
calcular esta probabilidad
udiamos el suceso A (porc
s de 40 aos casados) y el
s de 40 aos con ms de
uiente informacin:
os varones mayores de 40
os.
ltiplicacin
idad
ceso B
so A.
compuesta
ntaje de
uceso B
hijos) y
aos
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
44/58
De los varones mayores de 40 aos y
casados, un 30% tienen ms de 2 hijos
(suceso B condicionado al suceso A).
Calcular la probabilidad de que un varn mayor de
40 aos est casado y tenga ms de 2 hijos (suceso
interseccin de A y B).
Por lo tanto:
P (A) = 0,35
P (B/A) = 0,30
P (A B) = 0,35 * 0,30 = 0,105
Es decir, un 10,5% de los varones mayores de 40 aos
estn casados y tienen ms de 2 hijos.
2 ejemplo: Estudiamos el suceso A (alumnos que
hablan ingls) y el suceso B (alumnos que hablan
alemn) y obtenemos la siguiente informacin:
Un 50% de los alumnos hablan ingls.
De los alumnos que hablan ingls, un 20%
hablan tambin alemn (suceso B
condicionado al suceso A).
Calcular la probabilidad de que un alumno hable
ingls y alemn (suceso interseccin de A y B).
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
45/58
Por lo tanto:
P (A) = 0,50
P (B/A) = 0,20
P (A B) = 0,50 * 0,20 = 0,10
Es decir, un 10% de los alumnos hablan ingls y
alemn.
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
46/58
Teor
El Teorema de l
calcular la prob
probabilidades
Ejemplo: su
probabilidax% y si hac
es y%. Este
es la proba
accidente si
que llueva
buen tiemp
La frmula para
Es decir, la prob
(en nuestro eje
igual a la sumaprobabilidades
diferentes suce
cuando llueve y
probabilidad de
ma de la probabilidad tot
probabilidad total nos p
bilidad de un suceso a par
ondicionadas:
pongamos que si llueve la
de que ocurra un accidebuen tiempo dicha proba
teorema nos permite ded
ilidad de que ocurra un
conocemos la probabilida
la probabilidad de que ha
o.
calcular esta probabilidad
abilidad de que ocurra el
plo, que ocurra un accide
e multiplicar cada una deondicionadas de este suc
os A (probabilidad de un a
cuando hace buen tiempo
cada suceso A.
l
rmite
ir de
tes esilidad
cir cul
d de
ga
es:
uceso B
nte) es
las
so con los
ccidente
por la
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
47/58
Para que este teorema se pueda aplicar hace falta
cumplir un requisito:
Los sucesos A tienen que formar un sistema
completo, es decir, que contemplen todas
las posibilidades (la suma de sus
probabilidades debe ser el 100%).
Ejemplo: al tirar una moneda, el suceso "salir
cara" y el suceso "salir cruz" forman un
sistema completo, no hay ms alternativas:
la suma de sus probabilidades es el 100%
Ejemplo: al tirar un dado, que salga el 1, el 2,
el 3, o el 4 no forman un sistema completo,
ya que no contempla todas las opciones(podra salir el 5 o el 6). En este caso no se
podra aplicar el teorema de la probabilidad
total.
Ejercicio 1: En un saquito hay papeletas de trescolores, con las siguientes probabilidades de ser
elegidas:
a) Amarilla: probabilidad del 50%.
b) Verde: probabilidad del 30%
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
48/58
c) Roja: pro
Segn el color dparticipar en dif
elegida es:
a) Amarilla:
probabilida
b) Verde: pprobabilida
c) Roja: par
una probab
Con esta inform
ganar el sorteo
1.- Las tres
completo: s
2.- Aplicam
Luego,
P (B) = (0,5
babilidad del 20%.
e la papeleta elegida, podrerentes sorteos. As, si la p
participas en un sorteo co
de ganar del 40%.
rticipas en otro sorteo code ganar del 60%
icipas en un tercer sorteo
ilidad de ganar del 80%.
acin, qu probabilidad t
en el que participes?:
apeletas forman un siste
us probabilidades suman
s la frmula:
0 * 0,40) + (0,30 * 0,60) +
0,80) = 0,54
sapeleta
n una
una
con
ienes de
a
00%
0,20 *
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
49/58
Por tanto, la probabilidad de que ganes el
sorteo es del 54%.
Ejercicio 2: Van a cambiar a tu jefe y se barajan
diversos candidatos:
a) Carlos, con una probabilidad del 60%
b) Juan, con una probabilidad del 30%
c) Luis, con una probabilidad del 10%
En funcin de quien sea tu prximo jefe, la
probabilidad de que te suban el sueldo es la siguiente:
a) Si sale Carlos: la probabilidad de que tesuban el sueldo es del 5%.
b) Si sale Juan: la probabilidad de que te
suban el sueldo es del 20%.
c) Si sale Luis: la probabilidad de que te
suban el sueldo es del 60%.
En definitiva, cual es la probabilidad de que te
suban el sueldo?:
1.- Los tres candidatos forman un sistema
completo
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
50/58
2.- Aplicamos la frmula:
P (B) = (0,60 * 0,05) + (0,30 * 0,20) + (0,10 *0,60) = 0,15
Por tanto, la probabilidad de que te suban el
sueldo es del 15%. Lo llevas claro amigo...
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
51/58
El Teorema de
inverso al que h
probabilidad to
Teorema d
las probabilde que llue
deducimos
ocurra un a
Teorema d
ocurrido el
accidente)
suceso A (
tiempo?).
La frmula del
Tratar de explic
galimatas, as q
ejemplo. De tod
ejercicio, record
que el suceso A
Teorema de Bayes
ayes viene a seguir el pro
emos visto en el Teorema
al:
la probabilidad total: a p
idades del suceso A (probaa o de que haga buen tie
la probabilidad del suceso
cidente).
Bayes: a partir de que ha
uceso B (ha ocurrido un
educimos las probabilida
staba lloviendo o haca b
eorema de Bayes es:
r estar frmula con palab
ue vamos a intentar explic
os modos, antes de entrar
ar que este teorema tamb
forme un sistema comple
eso
de la
rtir de
bilidadpo)
B (que
es del
en
as es un
rla con un
en el
n exige
o.
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
52/58
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
53/58
con el 60%,
10%).
Una vez qu
que ha ocu
probabilida
probabilida
denominan
Vamos a aplicar
a) Probabilidad
La probabilidad
lloviendo el da
posteriori) es db) Probabilidad
nieve con el 30% y niebla
incorporamos la informa
rido un accidente, las
es del suceso A cambian:
es condicionadas P (A/B),
"probabilidades a posteri
la frmula:
de que estuviera lloviend
de que efectivamente estu
el accidente (probabilida
l 71,4%.de que estuviera nevand
on el
in de
son
que se
ri".
:
viera
a
:
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
54/58
La probabilidad
21,4%.
c) Probabilidad
La probabilidad
In
Dos sucesos so
ocurrencia de u
ocurrencia del o
Ejemplo: el
de una clas
independie
menos alto
cabello, ni
Para que dos su
verificar al men
P (B/A) = P
de que se d
de que estuviera nevando
de que hubiera niebla:
de que hubiera niebla es d
ependencia de sucesos
independientes entre s,
o de ellos no afecta para
tro:
suceso estatura de los alu
y el color del pelo son
tes: el que un alumno sea
no va a influir en el color d
iceversa.
esos sean independientes
s una de las siguientes co
(B) es decir, que la probab
e el suceso B, condicionad
es del
el 7,1%.
i la
ada a la
nos
ms o
e su
tienen que
diciones:
lidad
a que
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
55/58
previamente se haya dado el suceso A, es
exactamente igual a la probabilidad de B.
Ejemplo: la probabilidad de que al
tirar una moneda salga cara (suceso
B), condicionada a que haga buen
tiempo (suceso A), es igual a la
propia probabilidad del suceso B.
P (A/B) = P (A) es decir, que la probabilidad
de que se de el suceso A, condicionada a que
previamente se haya dado el suceso B, es
exactamente igual a la probabilidad de A.
Ejemplo: la probabilidad de que
haga buen tiempo (suceso A),condicionada a que al tirar una
moneda salga cara (suceso B), es
igual a la propia probabilidad del
suceso A.
P (A B) = P (A) * P (B) es decir, que la
probabilidad de que se de el suceso conjuntoA y B es exactamente igual a la probabilidad
del suceso A multiplicada por la
probabilidsad del suceso B.
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
56/58
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
57/58
P (A/B) = P (A B) / P (B) = 0,08 / 0,6 = 0,133
(que no es igual a P (A))
P (A B) = 0,08 (que no es igual a P (A)
multiplicado por P (B))
Por lo tanto, no se cumple ninguna de las tres
condiciones sealadas por lo que estos dos sucesos
no son independientes, sino que existe algn grado
de dependencia entre ellos.
Ejemplo 2: analicemos dos sucesos:
Suceso A: la probabilidad de que haga buen
tiempo es del 0,4
Suceso B: la probabilidad de salir cara allanzar una moneda es del 0,5
Suceso interseccin: la probabilidad de que
haga buen tiempo y que salga cara es 0,2
Veamos si se cumple alguna de las condiciones
sealadas:
P (B/A) = P (A B) / P (A) = 0,2 / 0,4 = 0,5
(igual que P (B))
P (A/B) = P (A B) / P (B) = 0,2 / 0,6 = 0,4
(igual que P (A))
-
8/6/2019 probabilidades conceptos
58/58
P (A B) = 0,2 (igual a P (A) multiplicado por
P (B))
Por lo tanto, estos dos sucesos s son
independientes.