Probabilidad condicional e_independiente
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Probabilidad Condicional e Independiente
Estévez Torres ArnoldGuerrero Gómez Juana
Martínez Pérez José MiguelRodríguez Ramírez RicardoRangel Ramos Jesús Ismael
Silva González Valentín
Contenido
• PROBABILIDAD CONDICIONAL• PROBABILIDAD INDEPENDIENTE• TEOREMA DE BAYES• LEY MULTIPLICATIVA
Probabilidad Condicional
Es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe
y se lee: «la probabilidad de A dado B».
Probabilidad Condicional
Definición
P
• No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B.
• A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente.
• A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal.
Probabilidad Condicional
Definición
Donde: = Probabilidad de que ocurra A dado B.
= Probabilidad de que ocurra A y B a un mismo tiempo
= Probabilidad de que ocurra B
Probabilidad Condicional
Definición
𝐏 (𝐀∨𝐁)=𝐏(𝐀∩𝐁)𝐏 (𝐁)
𝐏 (𝐀∨𝐁)
𝐏 (𝐀∩𝐁)
𝐏 (𝐁)
Probabilidad Condicional
Definición
A B
S
𝑷 (𝑨∩𝑩)
Probabilidad Condicional
Se seleccionan dos semillas aleatoriamente, una por una, de una bolsa que contiene 10 semillas de flores rojas y 5 de flores blancas. ¿Cuál es la probabilidad de que:
a) La primera semilla sea roja?b) La segunda semilla sea blanca dado que
la primera fue roja?
Ejemplo Teórico
Probabilidad Condicional
La probabilidad de que la segunda semilla sea blanca se ve influida por lo que salió primero, es decir esta probabilidad está sujeta a una condición, la de que la primera semilla sea roja.
Este tipo de probabilidad se le llama probabilidad condicional y se denota por
Ejemplo Teórico
𝑷 (𝑨∨𝑩)
Probabilidad Condicional
En una empresa hay 75 empleados, de los cuales, 40 son encargados de sección, y 35 son administrativos. Algunos de ellos utilizan ordenador para sus tareas, y otros no.
Resumimos la información en el siguiente cuadro de doble entrada:
Ejemplo Practico
Probabilidad Condicional
• Calcular la probabilidad de que al elegir una persona de la empresa sea un encargado, sabiendo que no tiene ordenador.
Ejemplo Practico
Sin Ordenador Con Ordenador Total
Encargados 8 32 40
Administrativos 20 15 35
Total 28 47 75
Probabilidad Condicional
Lo primero que debemos hacer es indicar cual es la probabilidad pedida, y cual es la condición.
a) La persona sea un encargado (suceso pedido)b) No tiene ordenador (suceso que condiciona)
Solución
𝑷 (𝑨∨𝑩)=𝟖𝟕𝟓
𝑷 (𝑨∨𝑩)=𝟐𝟖𝟕𝟓
𝑷 (𝑨∨𝑩)=𝑷 (𝑨∩𝑩)𝑷 (𝑩)
=
𝟖𝟕𝟓𝟐𝟖𝟕𝟓
=𝟎 .𝟐𝟖𝟔
Probabilidad Independiente
En teoría la probabilidad independiente, se dice que 2 sucesos aleatorios son independientes entre si cuando la probabilidad de cada uno de ellos no esta influida porque el otro suceso ocurra o no, es decir, cuando ambos sucesos no estas correlacionados.
Probabilidad Independiente
Definición
P(Salga 2 soles) = P(S,S)=0.25
P(Salga 1 sol y 1 Águila) = P(A,S)=0.50
P(Salga 2 Águilas)= P(A,A) = 0.25
Probabilidad Independiente
Ejemplo Teórico
Evento
Sol
Águila
Águila
Sol
Águila
Sol 1/4
1/4
1/4
1/4
Probabilidad Independiente
Ejemplo Practico
P( ) = 3/10
Probabilidad Independiente
Ejemplo Practico
P( ) = 3/10
P( ) = 2/9
Probabilidad Independiente
Ejemplo Practico
P( y ) = (3/10)(2/9) = 1/15
Probabilidad Independiente
Ejemplo Practico
P( ) = 3/10
P( ) = 2/9
Probabilidad Independiente
Ejemplo Practico
P(D)3/1
0
P(N)7/10
.3
.7
P(D)3/1
0
P(N)7/10
.3
.7
P(D)2/9
P(N)7/9
.22
.77
P(D)3/9
P(N)6/9
.33
.66
Probabilidad Independiente
Ejemplo Practico
P(D)3/1
0
P(N)7/10
.3
.7
P(D)2/9
P(N)7/9
.22
.77
P(D)3/9
P(N)6/9
.33
.66
= 0.066
Probabilidad Independiente
Ejemplo Practico
P(D)3/1
0
P(N)7/10
.3
.7
P(D)2/9
P(N)7/9
.22
.77
P(D)3/9
P(N)6/9
.33
.66
= 0.231
Probabilidad Independiente
Ejemplo Practico
P(D)3/1
0
P(N)7/10
.3
.7
P(D)2/9
P(N)7/9
.22
.77
P(D)3/9
P(N)6/9
.33
.66
= 0.231
Probabilidad Independiente
Ejemplo Practico
P(D)3/1
0
P(N)7/10
.3
.7
P(D)2/9
P(N)7/9
.22
.77
P(D)3/9
P(N)6/9
.33
.66 = 0.462
Probabilidad Independiente
Ejemplo Practico
P(D)3/1
0
P(N)7/10
.3
.7
P(D)2/9
P(N)7/9
.22
.77
P(D)3/9
P(N)6/9
.33
.66 = 0.462
= 0.231
= 0.231
= 0.066
Probabilidad Independiente
Ejemplo Practico
Teorema de Bayes
El teorema de Bayes se utiliza para revisar probabilidades previamente calculadas cuando se posee nueva información.
Expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.
Teorema de Bayes
Definición
Es decir que sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza dado que se tiene gripe, se podría saber -si se tiene algún dato más-, la probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza
Teorema de Bayes
Definición
Sea A1, A2, ...,An un sistema completo de sucesos, tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/Aἰ). entonces la probabilidad P(Aἰ /B) viene dada por la expresión:
P son las probabilidades a priori.Pes la probabilidad de B en la hipótesis A.P Aἰ/B son las probabilidades a posterior
Teorema de Bayes
Ejemplo Teórico
P Aἰ|B
En la sala de pediatría de un hospital, el 60% de los pacientes son niñas. De los niños el 35% son menores de 24 meses. El 20% de las niñas tienen menos de 24 meses. Un pediatra que ingresa a la sala selecciona un infante al azar.
a) Determine el valor de la probabilidad de que sea menor de 24 meses.
b) Si el infante resulta ser menor de 24 meses. Determine la probabilidad que sea una niña.
Teorema de Bayes
Ejemplo Practico
Se definen los sucesos:
• Suceso H: seleccionar una niña.• Suceso V: seleccionar un niño.• Suceso M: infante menor de 24 meses.
Teorema de Bayes
Ejemplo Practico
En los ejercicios de probabilidad total y Teorema de Bayes, es importante identificar los sucesos que forman la población y cuál es la característica que tienen en común dichos sucesos. Estos serán los sucesos condicionados.
a) En este caso, la población es de los infantes. Y la característica en común es que sean menores de 24 meses. Por lo tanto, la probabilidad de seleccionar un infante menor de 24 meses es un ejemplo de probabilidad total. Su probabilidad será:
Teorema de Bayes
Ejemplo Practico
P +P P 0.6*0.2+0.4*0.35
b) Para identificar cuando en un ejercicio se hace referencia al teorema de Bayes, hay que partir de reconocer esta es una probabilidad condicionada y que la característica común de los sucesos condicionantes ya ha ocurrido. Entonces, la probabilidad de que sea niña una infante menor de 24 meses será:
Teorema de Bayes
Ejemplo Practico
P
El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo.
¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?
Teorema de Bayes
Ejemplo Practico
Teorema de Bayes
Ejemplo Practico
P
0.2 Ingenieros
0.2 Economistas
0.6 Otros
0.75 Directivo
0.5 Directivo
0.2 Directivo
Ley Multiplicativa
Si un experimento pueden ocurrir los eventos A y B, entonces Así la probabilidad de que ocurran A y B es igual a la probabilidad de que ocurra A multiplicada por la probabilidad de que ocurra B, dado que ocurre A.
Ley Multiplicativa
Definición
El propósito de la multiplicación consiste en determinar la probabilidad del evento conjunto
Es decir que para encontrar la probabilidad de A y B, simplemente se multiplican sus respectivas probabilidades.
El procedimiento exacto depende de si A y B son dependientes o independientes. Los eventos A y B son independientes si
Es decir la probabilidad de A es la misma bien se considere o no el evento B. De igual forma, si A y B son independientes, si
Ley Multiplicativa
Definición
Eventos Independientes
Eventos Dependientes
Ley Multiplicativa
Definición
Supongamos que en el departamento de circulación de un diario se sabe que 84%de las familias de una determinada colonia tiene una suscripción para recibirel periódico de lunes a sábado.
Si hacemos que D represente el evento de una familia que tiene tal tipo de suscripción
Se sabe que la probabilidad de que una familia cuya suscripción, además de ser de lunes a sábado, también se suscriba a la edición dominical (evento S) es de 0.75; esto es cual es la probabilidad de que una suscripción de una familia incluya tanto a la edición dominical como a la del lunes a sábado? se calcula de la siguiente manera P(S n D como sigue:
Sabemos que ahora el 635% de las familias tiene una suscripción de las edicionesdominical y entre semana
Ley Multiplicativa
Ejemplo
Se selecciona una muestra aleatoria n = 2 de un lote de 100 unidades, se sabe que 98 de los 100 artículos están en buen estado. La muestra se selecciona de manera tal que el primer artículo se observa y se regresa antes de seleccionar el segundo artículo (con reemplazo)
1. Calcule la probabilidad de que ambos artículos estén en buen estado
2. Si la muestra se toma sin reemplazo, calcule la probabilidad de que ambos artículos estén en buen estado
a) El primer artículo está en buen estadob) El segundo artículo está en buen estado
Ley Multiplicativa
Ejemplo
Ley Multiplicativa
Ejemplo
𝑃 ( 𝐴)=.98 𝑃 (𝐵 )=.98
𝑃 (A∩𝐵 )=𝑃 ( 𝐴 )∗𝑃 (𝐵 )=( 98100 )( 98100 )=0.9604Independiente
Ley Multiplicativa
Ejemplo
Si la muestra se toma «sin reemplazo» de modo que el primer artículo no se regresa antes de seleccionar el segundo entonces:
𝑃 (A∩𝐵 )=𝑃 ( 𝐴 )∗𝑃 (𝐵 )=( 98100 )( 97100 )=0.9602
¿Dudas?
Gracias