PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2°
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GGeeoommeettrraa 1
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Segundo Ao
EL SATELITE SPUTNIK 1
Sputnik 1 Lanzado el 4 de octubre de 1957, el Sputnik 1 fue la primera naveen rbita alrededor de la Tierra. Llamado as por la frase rusa "compaerode viaje por el mundo" (Sputnik Zemli), era un pequeo satlite que slomeda 58 cm de ancho. Completaba una rbita en torno a la Tierra una vezcada 96,2 minutos y transmita informacin sobre la atmsfera terrestre.
Tras un vuelo de 57 das, volvi a entrar en la atmsfera y se destruy.
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IMPRESIONES Y FOTOCOPIADOV.L.E.B.
TELF.: 5400814 / 98503121
DPTO. DE PUBLICACIONES
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GGeeoommeettrraa 3
A B
C
D E
F
G
H
I
T
R M
N
O
TangenteSecante
TEMA: CIRCUNFERENCIA
DEFINICION.-
Es la figura geomtrica que esta formado por todos los puntos de un mismo
plano que se encuentran a una misma distancia de otro punto de ese mismo
plano denominado centro.
A la distancia constante de estos puntos al centro de le denomina radio de la
circunferencia.
Se denomina crculo a la regin interior del plano limitada por una
circunferencia.
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ELEMENTOS:
- CENTRO (O): Punto equidistante de todos los puntos de circunferencia.
Dos o ms circunferencias con el mismo centro se dice que son
concntricas.
- RADIO ( )OA : Segmento que une el centro de la circunferencia con unpunto cualquiera de la misma.
- CUERDA ( )BC : Segmento que une dos puntos de una misma
circunferencia.
- DIAMETRO( )DE : Es la cuerda de mayor longitud que pasa por el centro
de la circunferencia dividindola en partes iguales.
- SECANTE ( )FG : Es toda recta en el plano de la circunferencia en dos
puntos. Cabe notar que la secante contiene a la cuerda.
- TANGENTE ( )HI : Es toda recta en el plano de la circunferencia que
tiene solo un punto comn con este (T), el cual recibe el nombre de punto
de tangencia
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- FLECHA ( )MN : Segmento levantado perpendicularmente del punto
medio de una cuerda al arco. La prolongacin de la flecha siempre pasa
por el centro.
- ARCO ( )AN : Es la porcin de circunferencia limitada por los extremos
de una cuerda. En particular, una semicircunferencia es un arco limitado
por los extremos de un dimetro.
PROPIEDADES:
1ra Propiedad.- Toda recta tangente a una circunferencia es perpendicular
al radio trazado por el punto de contacto.
TL1 (Punto de Tangencia)
2da Propiedad.- El segmento que une el centro de una circunferencia es
perpendicular a la cuerda. Esta divide a los arcos que
subtiene en dos partes congruentes.
1LOT
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A B
C D N
MM // N mAC = mBD
B
E
M
O
A
3ra Propiedad.- En toda circunferencia, a arcos congruentes corresponden
cuerdas congruentes.
A
B
O
C
D
a a
4ta Propiedad.- En una misma circunferencia los arcos comprendidos entre
paralelas son congruentes.
Si ABOM
AM = MB
mEBmAE=
Si =CDAB
mCDmAB=
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5ta Propiedad.-
B
Posiciones Relativas de dos circunferencias.
Dos circunferencias situadas en un mismo plano, con centros O y O y radios
R y r respectivamente, pueden tener las siguientes posiciones relativas:
a) Exteriores.- Cuando todos los puntos de una son exteriores a la otra. La
distancia entre sus centros es mayor que la suma de los radios.
dO O
Rr
d> R + r
B=
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GGeeoommeettrraa 8
d r
OO
B
A
R
b) Tangentes Exteriormente.- Cuando tiene un punto comn y los dems
puntos de una son exteriores a la otra. En este caso, sus centros estn a
lados opuestos de la tangente comn y la distancia entre ellos es igual a
la suma de los radios.
O OR r
P
Q
E
F
d
c) Secantes.- Cuando tienen dos puntos comunes. La distancia entre sus
centros es menor que la suma de los radios, pero mayor que su
diferencia.
d = R + r
AB : CuerdaComn
AB'OO
R r< d< R + r
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rO
R
Od
rOO
d
R
d) Tangentes Interiormente.- Cuando tienen un punto comn y todos los
puntos de una de ellas son interiores a la otra. Sus centros estn al mismo
lado de la tangente comn y la distancia entre ello es igual a la diferencia
de los radios.
e) Interiores.- Cuando todos los puntos de una de ellas son interiores a la
otra. La distancia entre sus centros es menor que la diferencia de los
radios.
d = R - r
d = R - r
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AB
CD
OO
O O
O
r
r r
r
rr
f) Concntricos.- Cuando tienen el mismo centro, esto es, la distancia entre
sus centros es cero.
Por otro lado, para tres circunferencias es importante considerar el caso
de circunferencias tangentes exteriores dos a dos.
d = 0
AB = CD
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OO
A
BC
D
D
B
A
C
g) Tangentes comunes interiores.
h) Tangentes comunes exteriores.
AB = CD
AB = CD
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C
A
B
x
A B
x
r
R
M
i) Si A, B y C son puntos de tangencia.
j) Si M es punto medio de AB.
x = 90
x = 90
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A
B
C
D
0O
PROPIEDADES DE LAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA
1ra Propiedad.- Los dos segmentos tangentes a una circunferencia trazados
desde un punto exterior a esta son congruentes y determinan ngulos
congruentes con el segmento que une el punto exterior y el centro de la
circunferencia.
P
r
r
O
A
B
2da Propiedad.- Los segmentos tangentes comunes externos a dos
circunferencias son congruentes.
PBPA=
BDAC=
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TEOREMA DE PONCELET
En todo tringulo rectngulo la suma de los catetos es igual a la hipotenusa
ms el dimetro de la circunferencia inscrita.
r
CB
A
a b
c
TEOREMA DE PITOT
Es aquel cuadriltero cuyos lados son tangentes a una misma circunferencia.
Siendo la suma de sus lados opuestos iguales a la suma de los otros lados
opuestos.
ab
x
y
p = semipermetro del cuadriltero.
a + b = c + 2r
a + b = x + y = p
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PROBLEMAS PARA LA CLASE
01) Si la mediana de un trapecio
circunscrito a una
circunferencia mide 6. Calcular
el permetro del trapecio.
B
A
C
D
Rpta.:
02) En el grfico O es centro y
BP // AQ, adems A y B son
puntos de tangencia, calcular x.
P
O
QA
B
x
Rpta.:
03) En un tringulo ABC, sus lados
miden AB = 5, BC = 7, AC = 8.
Calcular la medida del
segmento que une el vrtice A
y el punto de tangencia de la
circunferencia inscrita sobre el
ladoAC .
Rpta.:
04) Si CD = 12 y AF = 8; calcular
FB + GE, si T, G, A, B, C y D
son puntos de tangencia.
R
ABF
EDC
G
T
Rpta.:
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05) Dado un ngulo recto XOY se
traza una circunferencia
tangente a OX y secante aOY
en A y B. si OA = 2 y OB =
8, calcular el radio de la
circunferencia.
Rpta.:
06) T es punto de tangencia; AT =
TC, O es centro, calcular x.
O C
T
xBA
Rpta.:
07) En la figura CP PQ = 18.
calcular el valor de r.
O
Q
P
BA
CD
r
Rpta.:
08) Del grfico, calcular FE, si
AB + CD = 40 y BC + AD = 78.
FA
EBC
D
Rpta.:
09) Un trapecio escaleno de
permetro 40, esta circunscrito
a una circunferencia. Si la
distancia entre los puntos
medios de sus diagonales mide
3. calcular la medida del la
base mayor de dicho trapecio
escaleno.
Rpta.:
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C
Q
P
BA
10) Si O es centro, AO = CF:
calcular x.
O Cx
BA
F
D
78
Rpta.:
11) Calcular PQ, si AC BC = 16.
Rpta.:
12) Calcular ; T punto de
tangencia y O es centro.
O C
T
A
D
32
Rpta.:
13) En la figura r = 1; R = 3.calcular BE.
r
R
D
B C
A
E
Rpta.:
14) Si el permetro del tringulo
ABC es 18 y AT y AP sontangentes.
A
B
C P
T
Rpta.:
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CA
x
B
15) Calcular x si a m A = 60 ym C = 40.
Rpta.:
16) En la figura BC = 13, AB = 7,
AD = 15 y AT = 3. calcular
CD.
B
A
C
DT
Rpta.:
17) Del grfico mostrado calcular
.
Rpta.:
18) Por un punto A exterior a una
circunferencia se trazan la
tangente AC y la secante
diametral ABD . Si la medida
del ngulo BAC es igual a 40.
calcular la medida del ngulo
BCA .
19) Si O es centro y T es punto de
tangencia.
Hallar x
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x
x
T
0
Rpta.:
20) En un tringulo ABC cuyo
permetro es 44. calcular la
distancia del punto A al punto
de tangencia del lado AB con la
circunferencia inscrita. Si el
lado BC mide 15.
Rpta.:
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PROBLEMAS PARA LA CASA
01) Si sabemos que P es punto de
tangencia: AP = PC y O es el
centro de la semicircunferencia.
Calcular x.
O Cx
A
P
a) 30 b) 45
c) 37 d) 22,5
e) 15
02) En un tringulo ABC sus lados
miden: AB = 10, BC = 14; AC =
16. Calcular la medida del
segmento que une el vrtice A
y el punto de tangencia de lacircunferencia inscrita sobre el
ladoAC .
a) 3 b) 4
c) 15 d) 6
e) 7
03) Si sabemos que O es el centro
de la circunferencia y AO = CF.
m AOD = 7. calcular x.
OC B A
F
D
x 72
a) 39 b) 38
c) 36 d) 37
e) 40
04) Calcular , T punto de
tangencia y O es centro.
T
OC
A
B
36
D
a) 20 b) 18
c) 24 d) 22
e) 16
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05) Si el permetro del tringulo
MNP es 22 y MR y MS son
tangentes. Calcular MS.
PM
N
R
S
a) 12 b) 9
c) 13 d) 10
e) 11
06) P, Q y R son punto de
tangencia m ABP = 40.
Calcular x.
Q
A
B
C
P
x
40
R
a) 60 b) 30
c) 70 d) 40e) 50
07) Hallar
50
a) 40 b) 30
c) 50 d) 20
e) 60
08) Hallar MC. Si en la figura M, N, P y
Q son puntos de tangenciaadems; AB + CD = 20, AD = 12.
B
A
C
D
P
Q N
M
a) 5 b) 3
c) 4 d) 2
e) 6
-
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09) Si CD = 12 y AF = 8. calcular
FB + GE, adems A, B, C, D, T
y G son puntos de tangencia.
B F
E DC
G
T
A
a) 6 b) 7
c) 10 d) 8
e) 9
10) En la figura. Calcular x
xr r
a) 42,5 b) 82,5
c) 112,5 d) 118,5
e) 123,5
11) Calcular PQ, si AC BC = 16.
A
C
B
PQ
a) 8 b) 7
c) 6 d) 10
e) 9
12) En el grfico O es centro y
BP // AQ.
P
O
Q
A
B
T
Hallar :
a) 290 b) 280
c) 270 d) 260
e) 300
-
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13) En la figura S, M y T: puntos de
tangencia. Calcular x.
M
S
x
40
T
r
0
a) 60 b) 70
c) 80 d) 50
e) 40
14) En la figura: C y D son puntos
de tangencia. Calcular + B.
40
B
D
C
a) 450 b) 440
c) 460 d) 430
e) 420
15) En la figura: M, N, P son puntos
de tangencia. AC = 15 y el
radio de la circunferencia
inscrita es 3. calcular la
semisuma de los lados AB y
BC.
A P C
B
r
NM
a) 11,5 b) 11
c) 12 d) 12,5
e) 10,5
-
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xO
A
B
x
A
B
C
TEMA: CIRCUNFERENCIAS NGULOS
a. ngulo Central.- Es aquel que tiene como vrtice el centro de la
circunferencia y como lados dos radios de la misma. Su medida es igual a
la del arco interceptado.
b. ngulo Inscrito.- Es aquel que tiene su vrtice sobre la circunferencia y
sus lados son dos cuerdas. Su medida es igual a la mitad de la medida
del arco interceptado.
2
ABx =
ABx =
-
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A
B
CO
A
B
C
DE 2
Propiedades:
1) El ngulo inscrito en una semicircunferencia mide 90.
2) Todos los ngulos inscritos en un mismo son iguales.
=90B
=== CBA
-
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x
CA
B D
m n
x
AT T
O
B
c. ngulo Semi Inscrito.- Es aquel que tiene su vrtice sobre la
circunferencia y sus lados son una cuerda y una tangente. Su medida es
igual a la mitad de la medida del arco interceptado.
d. ngulo Interior.- Es aquel que tiene su vrtice dentro de la circunferencia
y sus lados son dos cuerdas que se cortan. Su medida es igual a la
semisuma de las medidas de los arcos interceptados.
2
nmx
+=
2
ABx =
2
CDABx
+=
-
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e. ngulo Exterior.- Es aquel formado por dos secantes; por una secante y
una tangente, o por dos tangentes a una circunferencia, que se intersecan
en un punto fuera de la misma. Su medida es igual a la semicircunferencia
de las medidas de los arcos interceptados.
Caso I: ngulo formado por dos secantes.
x
AB
C
b
D
a
Caso II: ngulo formado por una tangente y una secante.
x
B
C b
a A
2
bax
=
2
bax
=
2
BDACx
=
2
ABACx
=
-
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Caso III: ngulo formado por dos tangentes.
x
A
B
Cba O
En este caso, el ngulo recibe el nombre de ngulo circunscrito y
se cumple que:
< >
f. ngulo Ex Inscrito.- Es aquel que tiene su vrtice sobre la
circunferencia y sus lados son una cuerda y la parte exterior de una
secante. Su medida es igual a la semisuma de los arcos comprendidos
entre los lados del ngulo y entre los lados del ngulo opuesto por el
vrtice.A
C
x
BD
2
bax
=
x180b ===+
=+
180xb
180x
2
ABCx=
2
ABACBx
=
-
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A
B
C
D
E2
xx
x
x
Cabe sealar que el ngulo ex - inscrito es adyacente al ngulo inscrito,
por lo que su medida es igual al suplemento de este.
ARCO CAPAZ DE UN NGULO
Se llama arco capaz de un ngulo dado, al arco tal que los ngulos inscritos
en el tengan la misma medida que el ngulo dado.
ACE: arco capaz de los ngulos x
2
AC180x =
x2360ACE =
-
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x
A C
B D
En la figura el arco de circunferencia ABCDE es el arco capaz de los ngulos
x. El segmento AE que une los extremos del arco se denomina segmento
capaz.
PROPIEDADES:
1. De un ngulo exterior
2. Si AB = CD; entonces: AB CD
x + y = 180
-
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B
C
A
A
C
B
D
T
P Q
3. Si CD//AB ; entonces AC BD
Si AB//PQ ; entonces AT TB
4. En toda circunferencia
-
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AB
T
x
y
A
B
NM
5. Si T es punto de tangencia.
6. En las circunferencias secantes congruentes
x = y
mAMB = mANB
-
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O
x
x
y
7. En toda semicircunferencia
EN TODO CUADRILTERO INSCRITO
a. Los ngulos opuestos son suplementarios
x = 90
x + y = 180
-
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y
x
y
x
b. Un ngulo interior es congruente al opuesto exterior
c. Las diagonales con los lados opuestos forman ngulos congruentes.
x =
x + y
-
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A
B
C
P
Q
Circunferencia inscrita en un tringulo
A
B
C
P
R
Q
ac
b
r
Circunferencia ex inscrita a un tringulo.
rc: exradios relativo a AB
AP = AR = a
BP = BQ = b
CQ = CR = c
Siendo: a, b y c: los ladosr: radiosp: semiperimetro
2
cbap
++=
CP = CQ = p
2
CABCABp
++=
-
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PROBLEMAS PARA LA CLASE
01) En la figura, calcular x, si O es
centro.
O
x
Rpta.:
02) Calcular x, si mPRQ = 132.
A
a
P
BQ
r
R
ar
x
Rpta.:
03) En la figura, calcular x si
m n = 60
xm n
Rpta.:
04) En la figura, calcular x.
130
120x
Rpta.:
-
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05) Calcular, si P y Q son puntos
de tangencia.
Q
P
2
5
Rpta.:
06) En la figura, calcular x
(T = punto de tangencia)
70
T
2x
Rpta.:
07) En la figura. Calcular x
Rpta.:
08) Si O es centro de la
semicircunferencia, hallar la
medida del ngulo D C O. Si
adems 2m PBO = m OPB.
O BA
DP
C
Rpta.:
-
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09) Hallar la medida del arco EF. Si
m P es igual a 40.
B
C
D
A
E
F
P
Rpta.:
10) Hallar la medida del ngulo
P Q S, si mAB = 2mBC.
A
C
P
B
Q
S
Rpta.:
11) En la figura mostrada, hallar el
valor de m PRQ. Si los
puntos P y Q son puntos de
tangencia y adems la medida
del ngulo P SQ es 68.
Q
P
SR
Rpta.:
12) Del grfico hallar la medida del
ngulo P R S, siendo P y Q
puntos de tangencia.
x
80
S
P
Q
R
O
Rpta.:
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
39/160
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GGeeoommeettrraa 39
13) En la figura A es punto de
tangencias, la m ADC = 40 y
la medida del arco BC = 100.
Hallar m ACB.
B
C
A
D
Rpta.:
14) Hallar AE, AD = 5, D es punto
de tangencia. Si DF es bisectriz
del BDC.
BC
D
E
F
A
Rpta.:
15) En la figura. Calcular x.
x x
x
Rpta.:
16) Si ABCD es un romboide.
Calcular x.
C
B
DAx
Rpta.:
-
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GGeeoommeettrraa 40
17) En la figura. Calcular el valor de
x.
5xx
Rpta.:
18) En la figura mostrada
determinar el valor de x. si lamAE = 100.
2x 3x
EA
Rpta.:
19) En la figura mostrada. Calcular
el valor de x.
5x
3x
4x
Rpta.:
20) En la figura mostrada. Calcular
x.
80
x 30
Rpta.:
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
41/160
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GGeeoommeettrraa 41
PROBLEMAS PARA LA CASA
01) Si AC es dimetro, T es punto
de tangencia, mAT = 48 y
LT//AB , calcular x.
B
A
T
L
x
a) 66 b) 42
c) 60 d) 64
e) 67
02) Calcular la mAB, si + = 100.
A y C son puntos de tangencia.
B
C
A
a) 68 b) 76
c) 80 d) 86
e) 90
03) en la figura calcular x, si O es
centro.
0x
100
a) 70 b) 40
c) 80 d) 60
e) 50
04) Se tiene 2 circunferencias
tangentes exteriores en A. setraza la tangente comn
exterior FG. calcular la medida
del ngulo F A G.
a) 75 b) 80
c) 85 d) 95
e) 90
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
42/160
COLEGIO PREUNIVERSITARIO SSeegguunnddooAAoo
GGeeoommeettrraa 42
05) Si ABCD es un romboide.
Calcular el valor dex.
B
AC
D x
a) 60 b) 30
c) 45 d) 70
e) 90
06) En la figura. Calcular . Si a
b = 80.
b
a
a) 60 b) 70
c) 80 d) 75e) 65
07) Calcular si P y Q son puntos
de tangencia.
Q
P5
2
a) 16 b) 14
c) 22 d) 18
e) 20
08) Calcular . Si la medida del
arco PRQ es 140.
AP
BQ
R
r
r
1O
2O
a) 37 b) 33
c) 34 d) 36
e) 35
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
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GGeeoommeettrraa 43
09) En la figura mostrada. Calcular
el valor de x.
x
75
a) 37 b) 37 5
c) 36 30 d) 37 60
e) 37 60
10) En la figura, APE = 92 y
BFD = 50.
Hallar BRD
B
D
C
E
A
P F R
a) 42 b) 44
c) 46 d) 48
e) 40
11) Hallar la medida del ngulo
A B C. si E, F, H, L y T son
puntos de tangencia.
Si m ABC = m EFT =m THL
CA
B
E LT
HF
a) 76 b) 78
c) 72 d) 74
e) 90
12) En la figura mostrada la medida
del arco BE = 70 y AB = BC.
Calcular.
CA
B
E
a) 30 b) 35
c) 50 d) 40
e) 45
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
44/160
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GGeeoommeettrraa 44
13) En la figura mostrada calcular
el valor de x.
20
x
a) 80 b) 70
c) 65 d) 60
e) 75
14) Si P , Q y R son puntos de
tangencia y adems la
m A B P = 42. Calcular x.
Q
A
B
C
Px
R
a) 40 b) 42
c) 44 d) 46
e) 48
15) En el grfico mostrado.
Calcular + . Si sabemos que
mAB = 110.
E
D
C
A
B
a) 110 b) 100
c) 90 d) 120
e) 130
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
45/160
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GGeeoommeettrraa 45
TEMA: SEMEJANZA DE TRINGULOS
Dos tringulos son semejantes si tienen sus tres ngulos interiores
congruentes (ngulos respectivamente de igual medida) y las longitudes de
sus lados homlogos son directamente proporcionales. Los lados homlogos
son aquellos que se oponen a los ngulos congruentes.
A
a
B
b C
c
akck
P
Q
Rbk
El ABC PQR
-
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GGeeoommeettrraa 46
Nota 1: m ABC = m PQR
m BCA = m QRP
m CAB = m RPQ
Nota 2: KRP
CA
QR
BC
PQ
AB===
k = constante de proporcionalidad
CASO DE SEMEJANZA
Dos tringulos son semejantes si tienen dos ngulos respectivamente de igual
medida.
Caso I: Angulo Lado ngulo (ALA)
a ak
-
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GGeeoommeettrraa 47
Ejm:
a 4a
8
Caso II: Lado ngulo Lado (LAL)
bkb
a ak
Caso III: Lado Lado Lado
bkb
a c ak ck
ax
a4
a
8
x
=
=
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
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GGeeoommeettrraa 48
RAZN DE SEMEJANZA (r)
Es aquel nmero real y positivo que se obtiene al dividir dos longitudes
homologas de dos tringulos semejantes.
Ejm:
3
4
5
h2h1
8 6
10
2h
h
5
10
4
8
3
6Razn
2
1 ======
SITUACIONES FRECUENTES DONDE SE PRESENTAN TRINGULOS
SEMEJANTES
1. Si AC//MN ABC MBN
NM
A C
B
-
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B
CA
N
M
2. Si AC//MN ABC MBN
B
NM
A C
3. Si MBN ABC
-
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4. ABD ABC
C
B
A D
x
bn
5.
x
ab
ba
abx
+=
Se cumple: x = nb
-
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6. Cuadrado inscrito en un tringulo
x
x
x
xA C
B
h
b
7. ABCD: Trapecio issceles AD//EF
x
b
a
A
C
y
B
D
E F
hb
hbx
+
=
ba
abyx
+==
-
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8. x = ab
ab
x
9. Cuadrado inscrito en un rombo.
x
x
D
d
D y d son diagonales.
dD
Ddx
+=
1. x = ab
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
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ALGUNAS PROPIEDADES DE PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA
1. TEOREMA DE THALES
Si: 321 l//l//l
a
b
m
n
l1
l2
l3
Si: 321 l//l//l
ml1
l2
l3
n
a
b
n
m
b
a=
n
m
b
a=
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
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2. CONSECUENCIA DEL TEOREMA DE THALES
NM
A C
B
b
am
n
3. EN CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES
a m
nb
Si: AC//MN
n
m
b
a=
nm
m
ba
a
+=
+
n
m
b
a=
-
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4. EN CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES
|
a
b
nm
5. TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR
ba
m n
n
m
b
a=
n
m
b
a=
n
b
m
a=
-
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6. TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR
ba
nm
7. TEOREMA DEL INCENTRO
a
A C
B
b
cI
D
n
m
b
a=
ID
BI
b
ac=
+
-
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8. PROPIEDAD
A B C D
B
BP
9. TEOREMA DE CEVA
B
b
a
x
Z C
CD
AD
BC
AB=
zyxcba =
-
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PROBLEMAS PARA LA CLASE
01) Del grfico: PQ // AC ,
calcular PQ.
A
B
C
P Q
2a
12
3a
Rpta.:
02) Si AE = 7; BE = 3; CD =
2x + 12, FD = 21. calcular x.
DA
B C
E F
Rpta.:
03) Calcular el valor de x en el
grfico sgte.:
A
B
D C3 1
x
Rpta.:
04) De la figura mostrada las
rectas L1, L2 y L3 son paralelas
adems:4
BC
3
OB
2
AO== ;
MP = 15. Calcular MO.
L1
L2
L3
B
A
OP
M
N
Rpta.:
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
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GGeeoommeettrraa 59
A
B
C DO
E
05) En la figura, BP = 2;
AD = 6; DC = 5. Calcular AB.
P
D
B
A C
Rpta.:
06) En un tringulo ABC; si AB = 8;
BC = 6; AC = 7. Se trazan la
bisectriz interior BD y la
bisectriz exterior BE (E en la
prolongacin de AC ). Calcular
DE.
Rpta.:
07) Del grfico mostrado OA = 2;
BE = 12: AC // BD ;
BC //ED . Calcular AB.
Rpta.:
08) De la figura mostrada, se pide
calcular x + y, si y x = 6.
C
D
BA x
y10
8
Rpta.:
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
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GGeeoommeettrraa 60
09) En un tringulo ABC, la medida
del ngulo C es el doble del
ngulo A y BC = 6, se prolonga
CB hasta P de modo que
BP = 4 y m PAB es igual a la
medida del ngulo B A C.
Calcular AC.
Rpta.:
10) ABCD es un paralelogramo
BM = MC. Si PD = 6. calcular
BP.
A D
CB M
P
Rpta.:
11) Si sabemos que PQRS, es un
cuadrado y adems AP = 4 y
SC = 9, calcular QR.
PA
B
C
Q R
S
Rpta.:
12) Los lados de un tringulo miden
54 y 36 y 70. Calcular la
medida de los segmentos
determinados en el mayor lado
por la bisectriz del ngulo
opuesto.
Rpta.:
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
61/160
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GGeeoommeettrraa 61
P
B
Q
CA
C
B
A
E
F
D a
b
C
A D
B C
P
Q
13) Del grfico P es punto de
tangencia y AD = 3, BC = 1.
Rpta.:
14) Calcular el valor del segmento
AP. Si sabemos que BP = 4 y
BQ = 3. adems el segmento
BC mide 8.
Rpta.:
15) En un tringulo ABC, BC = 18,
la mediana BM y la bisectriz
interior AD son
perpendiculares. Calcular BD.
Rpta.:
16) En el grfico AB = X,
BC = x + 2, DE = 10 y EF = 14.
calcular x, a // b // c .
Rpta.:
17) Si sabemos que:3
BC
2
AB= ,
si AC = 10, calcular AD.
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
62/160
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GGeeoommeettrraa 62
A C
B
D
Rpta.:
18) En un tringulo rectngulo
ABC, AB = 6 y AC = 10. La
bisectriz del BAC corta a BCen P. calcular BP.
Rpta.:
19) En un tringulo ABC, AB = 8;
BC = 10; AC = 9. se traza la
bisectriz interior BD . Calcular
PD
BP. Si P es el incentro del
tringulo ABX.
Rpta.:
20) En un tringulo ABC: AB = 8,
BC = 4 y AC = 6. Se traza la
bisectriz interior BD . Calcular
AD CD.
Rpta.:
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
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PROBLEMAS PARA LA CASA
01) Si sabemos que PQ es paralelo
a AC y PB = 2, PA = 3 y
QC = 5. Calcular BQ.
A
P
B
Q
C
a) 10/3 b) 20/3c) 8/3 d) 4/3
e) 25/3
02) Si PR // AQ y PQ // AC ,
BR = 2, RQ = 3. Calcular QC.
A
B
C
P Q
R
a) 10,5 b) 9,5
c) 8,5 d) 8,5
e) 6,5
03) Si sabemos que:
6
BC
5
AB= .
Si RS = 12, calcular AR.
A
B
D
C
R
S
a) 7 b) 9
c) 8 d) 6
e) 10
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
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GGeeoommeettrraa 64
04) En un tringulo ABC, la
m A = 2m C, la mediatriz
de AC interseca a BC . En el
punto F, si BF = 8 y FC = 10.
calcular AB.
a) 16 b) 12
c) 24 d) 9
e) 8
05) Se tiene que a // b // c // d ,
AB = 5, CD = 7, EG = 15 y
FH = 19. calcular FG.
C
B
A E
F
G
D H
a
b
c
d
a) 2 b) 3
c) 4 d) 1
e) 5
06) Si sabemos que MB = 2AM,
MN // AC , si AC = 12,
calcular MN.
A
B
C
M N
a) 6 b) 7
c) 8 d) 9e) 10
07) En un tringulo ABC, AB = 8,
BC = 10; AC = 9. se traza la
bisectriz interior BD. Calcular el
valor dePD
BP, si P es el
incentro del tringulo ABC.
a) 2 b) 3/2
c) 4/3 d) 5/4
e) 3
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
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08) Calcular el valor de x en el
grfico mostrado.
CA
B
E Dx
12
15
6
a) 5 b) 7,5
c) 9 d) 10
e) 12,5
09) Dado el cuadriltero ABCD,
m A = 75 y m ADB = 30, la
bisectriz interior del ngulo C
intercepta a BD , en el punto
E. si BC = 20, AD = 36 y
CD = 28, calcular BE.
a) 12 b) 10
c) 12,5 d) 16
e) 15
10) Calcular x. siI es incentro.
6
x
CA
B
D
I
7k5k
8k
a) 3 b) 4
c) 5 d) 6
e) 2
11) Calcular AT, si T es punto de
tangencia, AB = 4 y TC = 3TB.
C
BA
T
a) 6 b) 8
c) 12 d) 12
e) 16
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
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12) En la figura mostrada. Calcular
el valor de x.
4
6
x
4
a) 12 b) 6
c) 10 d) 7
e) 8
13) La altura de un trapecio
escaleno mide 15. las bases
estn en la relacin como 1 es
a 4. Cunto dista el pomo d
interseccin de las diagonalesa la base menor?
a) 2 b) 1
c) 3 d) 6
e) 4
14) SiMN //AC , calcular x.
A
B
C
x + 2
5k
x - 2
M N3K
a) 5 b) 7
c) 9 d) 12
e) 10
15) En la figura mostrada O escentro, OE = 9 y OF = 16.
calcular OA.
A
FT
E
O
a) 12,5 b) 12
c) 8 d) 15e) 18
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
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GGeeoommeettrraa 67
TEMA: RELACIONES MTRICAS EN EL TRINGULO
RECTNGULO
Tenemos la siguiente figura en la que se grafica el tringulo ABC recto en B
indicando las principales proyecciones que en el se originan. Analicemos el
grfico.
B
m n C
a
h
HA
c
Ahora procederemos a formular los principales teoremas que nos permitirn
realizar una sencilla resolucin de los tringulos rectngulos.
TEOREMA N 1:
La longitud de cada cateto (en el grfico AB y BC ) al cuadrado, es igual al
producto entre la hipotenusa, su respectiva proyeccin sobre este lado.
Tenemos que:
AH : Proyeccin de AB
sobre el ladoAC
HC : Proyeccin de BC
sobre el ladoAC
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
68/160
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GGeeoommeettrraa 68
B
C
ac
A
m n
b
Es decir: c2 = bm v a2 = bn
TEOREMA N 2:
La suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos, es igual al
cuadrado, de la longitud de la hipotenusa.
B
C
ac
Ab
Es decir: c2 + a2 = b2 .
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
69/160
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GGeeoommeettrraa 69
TEOREMA N 3:
La longitud de la altura relativa a la hipotenusa al cuadrado es igual al
producto entre las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.
B
m n C
h
A
Es decir: h2 = m . n .
TEOREMA N 4:
El producto de las longitudes de los catetos es igual al producto entre las
longitudes de la hipotenusa y de la altura relativa a dicha hipotenusa.
B
C
ac
Ab
h
Es decir: ac = hb
-
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ALGUNAS OBSERVACIONES IMPORTANTES
1. En una semicircunferencia se cumple lo sgte.:
nm
rX
dm
X
O
Tambin se cumple lo sgte.:
Se tiene 2 circunferencias tangentes exteriores en el punto T. Se traza la
tangente comn a las circunferencias en los puntos P y T. Se cumple la
siguiente relacin
O2O1
R
T
Q
P
r
El segmento PQ se calcula: Rr2PQ =
x = m . n x = dm
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
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GGeeoommeettrraa 71
PROBLEMAS PARA LA CLASE
01) La bisectriz del ngulo recto de
un tringulo rectngulo, cuyo
permetro es 60. Divide a la
hipotenusa en 2 segmentos
tales que la medida de uno de
ellos es 2,4 veces la medida del
otro. Cunto mide la
hipotenusa?
Rpta.:
02) Calcular AE, si ABCD es un
cuadrado, BE = 12 y CE = 7.
A
CB
D
Rpta.:
03) En el grfico mostrado. AB = 6
y HC = 5. Calcular BH
B
CA
H
Rpta.:
04) En un tringulo rectngulo ABC
recto en B, se traza BH
perpendicular a BH . Hallar
CH/AH , si se sabe que: AB = 1
y BC = 3.
Rpta.:
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
72/160
COLEGIO PREUNIVERSITARIO SSeegguunnddooAAoo
GGeeoommeettrraa 72
05) En el grfico mostrado O es
centro y AB es dimetro,
DE = 3 y BC = 4, calcular AO.
OA B
E
C
Rpta.:
06) En el grfico mostrado O es
centro y AC es dimetro. Si
AB . AC = 72. Calcular r.
r
O
A B C
Rpta.:
07) En la figura mostrada. Sabe
que AB = 9, CD = 16. Calcular
R.
A
B
C
D
R
T
Rpta.:
08) En el grfico mostrado se sabe
que AH = HC, BP = 8 y
PC = 17. Calcular AB.
B
CA H
P
Rpta.:
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
73/160
COLEGIO PREUNIVERSITARIO SSeegguunnddooAAoo
GGeeoommeettrraa 73
09) Si ABCD es un cuadrado
BE = 1 y EC = 9. Calcular el
valor del segmento EF.
A
C
D
BE
F
r
Rpta.:
10) Se tiene una
semicircunferencia de dimetro
AB y en ella se ubica un punto
P, desde el cual se traza unatangente. Calcular AP. Si
AB = 9 y la distancia de B a
dicha tangente es 5.
Rpta.:
11) En una semicircunferencia de
dimetro AC se toma el punto
B y se traza BH (BH AC ).
En BC se considera el punto
Q y se trazan AQ y ( BP AQ)
donde P esta en AQ , Si AP =
5, AH = 4 y AC = 10.
Calcular PQ .
Rpta.:
12) Si OA = OB. Y ademssabemos que AM = 1, NB = 2.
Calcular MN.
P
B
A
M
O
Rpta.:
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
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COLEGIO PREUNIVERSITARIO SSeegguunnddooAAoo
GGeeoommeettrraa 74
13) En el siguiente grfico calcular
AQ. Si sabemos que r = 3.
P
B
A
M
O N
Rpta.:
14) Si sabemos que: ABCD y
DEFG son cuadrados. Hallar
BF. Si DG = 3 y CG = 4.
D EA
B C
FG
Rpta.:
15) En la figura mostrada. Calcular
AB. Si PQ = 12.
QP
G
B
1A
Rpta.:
16) Calcular: r si el lado del
cuadrado ABCD mide 16.
r
A D
B C
Rpta.:
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
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COLEGIO PREUNIVERSITARIO SSeegguunnddooAAoo
GGeeoommeettrraa 75
17) En la figura mostrada se sabe
que BQ = QH y tambin
HP = 1. Calcular PC.
B
CA
Q
PH
Rpta.:
18) Del grfico mostrado O, O1 y O2
son centros, adems AO = 6.
Calcular: O2B.
A
B
OO1
O2
Rpta.:
19) Exteriormente al cuadrado
ABCD, se construye el tringulo
rectngulo AHB, recto en H, tal
que AH = 6 y HB = 2. Calcular
el valor del segmento DH.
Rpta.:
20) Del grfico mostrado, se sabe
que: AF y DC son dimetros.
DB = 4, BC = 16 y AB = 8.
Calcular EF.
B
C
A
D
E
F
Rpta.:
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
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COLEGIO PREUNIVERSITARIO SSeegguunnddooAAoo
GGeeoommeettrraa 76
PROBLEMAS PARA LA CASA
01) De la figura mostrada. Calcular
el valor de 3x+ .
B
CA
x
94
a) 3 b) 4
c) 5 d) 6
e) 7
02) De la figura mostrada. Calcular x.
B
CA
x
8 1H
a) 2 b) 3
c) 4 d) 5
e) 6
03) En el grfico mostrado.
Calcular el valor de:BH
B
CA H
a) 2 b) 3
c) 52 d) 4
e) 32
04) En la figura, hallar el valor del
segmento BE. Si AC = 28,
AB = 15 y CE = 6.
A
B
C
E
D
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
77/160
COLEGIO PREUNIVERSITARIO SSeegguunnddooAAoo
GGeeoommeettrraa 77
a) 30 b) 32
c) 38 d) 35
e) 40
05) Calcular el valor den
m, si
AB = 7 BC = 11.
B
CA nm H
a) 9/23 b) 49/21
c) 7/11 d) 35/87
e) 49/121
06) En un trapecio recto en A y en
B, las diagonales son
perpendiculares en O. Si
AO = 3 y OC = 2, calcular OD.
a) 2
63
b) 4
63
c)5
63d)
3
62
e)7
65
07) En un tringulo rectngulo ABC,
AB = a y AC = b. BH es altura.
Calcular la longitud de la proyeccin
de HC sobre el lado BC.
a) a2/b b) a3/b2
c) a4/b3 d) a5/b4
e) a6/b5
08) En el grfico indicar la relacin
correcta:
a b
cd
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
78/160
COLEGIO PREUNIVERSITARIO SSeegguunnddooAAoo
GGeeoommeettrraa 78
a) cd2ab =
b) a + c = b + d
c) a2 + c2 = b2 + d2
d) ab = cd
e) a2 + b2 = c2 + d2
09) Si PQRS es un cuadrado y AB
= 10. calcular QR.
A B
Q R
OP S
a) 2 b) 5
c) 3 d) 52
e) 1
10) Los lados de un tringulo miden
8, 25 y 26. Qu longitud se
debe disminuir a cada lado
para que el tringulo resultante
sea tringulo rectngulo?
a) 3 b) 2,5
c) 2 d) 1,5
e) 1
11) Calcular AB, Si AD = 1 y
DC = 2.
B
CA D
45
a)
5
3 b)
5
1
c)5
2 d) 5
e)5
4
12) En un tringulo ABC, se
construye interior entre una
circunferencia tangente a AC y
BC . En los puntos T y P res-
pectivamente y cuyo centro es O.
calcular AT, si m ABO = 90,
AB = 20 y BP = 15.
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7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
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COLEGIO PREUNIVERSITARIO SSeegguunnddooAAoo
GGeeoommeettrraa 79
a) 12 b) 25
c) 15 d) 22
e) 35
13) Calcular el valor de la longitud
de AH en el sgte. Grfico:
B
CA
13
14
15
H
a) 4 b) 52
c) 5 d) 6
e) 62
14) En un tringulo acutngulo
ABC: H es ortocentro. Si AC2
+ BH2 = 100, calcular la medida
del circunradio.
a) 8 b) 4
c) 7 d) 5
e) 10
15) Calcular el valor de R, si
sabemos que: BC = 4 y AD = 9.
D
B
A
R
C
a) 2 b) 4
c) 3 d) 5
e) 6
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7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
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COLEGIO PREUNIVERSITARIO SSeegguunnddooAAoo
GGeeoommeettrraa 80
INDICE
Circunferencia Propiedades .. 03
Circunferencia -ngulos 24
Semejanza. 45
Relaciones Mtricas en el Tringulo 67
Rectngulo
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7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Ao
Geometra 81
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Segundo Ao
INDICE
rea de un Tringulo . 83
rea de un Cuadriltero. 92 rea de un Crculo .101 Recta y Plano 114 rea de Slidos Cubo 124 rea de Slidos Paraleleppedo 132 rea de Slidos Cono 139 Miscelnea ..146
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7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
82/160
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Ao
Geometra 82
IMPRESIONES Y FOTOCOP.TELF.: 3312667 93283143
DPTO. DE PUBLICACIONES
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7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
83/160
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Ao
Geometra 83
TEMA: REA DE UN TRINGULO
Un tringulo es una figura geomtrica que posee tres lados, que pueden ser rectas, curvos omixtos.
El rea de un tringulo se obtiene dividiendo entre dos al producto de su base por su altura.
Demostracin:
A
C F E
B
h
Db
A = b h 2
xABC ?
Para realizar la demostracin de la frmula para hallar el rea del tringulo haremos uso de una
construccin auxiliar: por el vrtice C, trazaremos una paralela al segmento AB y por el vrtice
B, trazaremos una lnea paralela al segmento AC . El punto donde se cortan estas dos lneas(punto de interseccin) lo llamaremos E. Entonces se formar el cuadriltero ABEC. Asimismo,
trazaremos las alturas CD y FB , perpendiculares a los segmentos AB y CE ,respectivamente.
El rea del tringulo lo podremos hallar por una diferencia de reas:
AABC = AABEC ABCE (1)
Ahora, si analizamos el cuadriltero ABEC, notamos que, como todos sus lados son paralelosdos a dos, entonces el cuadriltero ABEC es un paralelogramo. En consecuencia, si la longitud
del segmento AB es b, por ser ABEC un paralelogramo, entonces la longitud del segmento
CE tambin es b.Adems, como sabemos que el rea de un paralelogramo se obtiene multiplicando su base porsu altura, entonces:
AABEC = b x h (2)
Ahora, si analizamos los tringulos ABC y BCE, observamos que como los segmentos AB y
CE tienen la misma longitud b, y las alturas CD y BF tienen la misma longitud h, entonceslos tringulos ABC y BCE son figuras equivalentes; y, como son figuras equivalentes, por estemotivo tendrn reas iguales.
AABC = ABCE (3)Si reemplazamos las ecuaciones (2) y (3) en la ecuacin (1), obtendremos:
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7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
84/160
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Ao
Geometra 84
ABCABC
BCEABECABC
AhxbA
AAA
=
=
Pasando AABC al lado izquierdo de la igualdad
AABC + AABC = b x h
2AABC = b x h
Dividiendo cada trmino de la igualdad entre 2:
A = b h 2
xABC rea del Tringulo
Por lo que queda demostrada la frmula para hallar el rea del tringulo.
Esta frmula del rea del tringulo es aplicable a cualquier tipo de tringulo, el cual puede ser:
a) Tringulo EscalenoAquel que no tiene lados iguales, es decir, la longitud de sus lados es diferente.
ac
b
b) Tringulo IsscelesTiene dos lados iguales, y al tercero se le considera como la base del tringulo.
a a
bc) Tringulo Equiltero:
Es aquel en el cual sus tres lados son iguales.
60
60 60
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
85/160
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Ao
Geometra 85
NOTA:El rea del tringulo equiltero se puede hallar directamente si se conoce slo la longitud de su
lado slo la longitud de su altura, haciendo uso de las siguientes frmulas:
A= 3 4
l x2
A h= 3 3
x2
h
La demostracin la dejaremos pendiente, pues es necesario conocer nociones bsica de una rama dela Ciencia Matemtica: la Trigonometra, curso que recin aprenderemos en Tercero de Secundaria.Por este motivo, consideraremos como vlidas a priori estas dos frmulas anteriores.
Conceptos Importantes1. Teorema de Pitgoras
Este teorema solamente se aplica a los tringulos rectngulos (aquellos que poseen unngulo de 90). En un tringulo rectngulo los lados que se interceptan en un ngulo de 90se llaman CATETOS y al tercer lado se le conoce como HIPOTENUSA.
Hipotenusa h C2
C1 Catetos
El teorema de Pitgoras se enuncia as: La suma de los cuadrados de los catetos es igualal cuadrado de la hipotenusa.
Es decir: 22
2
2
1hCC =+ Teorema de Pitgoras
Ejm.Si tenemos el siguiente tringulo rectngulo
h 3
4La longitud de la hipotenusa la podremos hallar haciendo uso del Teorema de Pitgoras. En efecto:
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
86/160
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Ao
Geometra 86
5h25h
25916h
34h
CCh
2222
22
21
2
==
=+=+=
+=
2. Semejanza de Tringulos ( )Se dice que 2 tringulos son semejantes si cumplen con alguna de lo siguientes 3 criterios:
a) Si al menos dos de sus 3 ngulos internos son iguales:
a
b
c
d
a bc d
b) Si dos lados del primer tringulo son proporcionales a dos lados del segundo, y losngulos formados por dichos lados son iguales.
a
b
cm
n
p
Si: a bm n
a pm b
c) Si los tres lados del primer tringulo son proporcionales a los tres lados del segundo.
a
b
c m
n
p
Si:
p
c
n
b
m
a==
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
87/160
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Ao
Geometra 87
3) Congruencia de Tringulos ( ) .-
Se dice que dos tringulos son CONGRUENTES (iguales), si cumplen con alguno de estos3 criterios.
a) Si tienen congruentes un lado y los ngulos adyacentes a l.
a
bcm
a
n
b = m
c = n
b) Si tienen congruentes dos lados y el ngulo comprendido entre ellos.
a
b
c ma c = m
b
c) Si los tres lados de cada tringulo son congruentes entre ellos.
a
b
c a
b
c
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
88/160
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Ao
Geometra 88
PROBLEMAS PARA LA CLASE
* En los siguientes ejercicios, hallar elrea de la regin sombreada.
01.
4 cm 12 cm
45
02.
45
3 cm 8 cm
03.
3cm
2cm
53
04.
05.
37
10cm
4 cm
06.
7 cm
6 cm
3 cm
07.
08.
10 cm 8 cm
r
r = 6 cm
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
89/160
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Ao
Geometra 89
09.
16 cm
60
10. r = 5 cm.
r
13cm
11.
12.
rea ABC = 20 cm2
A M
B
C
13.60
6 cm
14.
6 cm
8 cm
r
15. Encuentre la longitud del lado de untringulo equiltero, si su rea es
72 3 cm2.
16. Si un tringulo equiltero tiene una
altura de longitud 16 3 m. Halle su
rea.
17. En un tringulo issceles sus ladoscongruentes miden 26 cm. y su base,20 cm. Halle su rea.
18. La base de un tringulo es 71 m y sualtura correspondiente mide los (3/5)de la base. Halle su rea.
19. El rea de un tringulo es 3 cm2. La
suma de las longitudes de su basecon su altura respectiva es 5 cm.Encuentre estas longitudes.
20. En un tringulo ABC, la altura y la
mediana relativa a AC trisecan el
ngulo B. Calcular el rea de la
regin triangular si AC =12 cm.
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
90/160
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Ao
Geometra 90
PROBLEMAS PARA LA CASA
* En los siguientes ejercicios, hallar elrea de la regin sombreada.
01.
A
B
C
rea ABC = 24 cm2
a) 8 cm2 b) 7 cm2 c) 6 cm2
d) 5 cm2 e) 4 cm2
02. rea +ABC = 36 cm2
A
B
C
a) 6 cm2 b) 7 cm2 c) 3 cm2
d) 9 cm2 e) 4 cm2
03.
53
10cm
a) 30 cm2
b) 50 cm2
c) 60 cm2
d) 70 cm2
04.
30
20 cm
2cm
a) 30 cm2 b) 40 cm2 c) 50 cm2
d) 80 cm2 e) 10 cm2
05.
25 cm
53 74
a) 400 cm2 b) 200 cm2 c) 300 cm2
d) 100 cm2 e) 390 cm2
06)
a) 100 cm2
b) 400 cm2
c) 20 cm2
d) 32 cm2 e) 64 cm2
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
91/160
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Ao
Geometra 91
07) A+ABC = 40 cm2
a) 30 cm2 b) 80 cm2 c) 40 cm2
d) 160 cm2 e) 18 cm2
08)
4 cm
Cuadrado
a) 2 cm2 b) 3 cm2 c) 4 cm2
d) 5 cm2 e) 6 cm2
09.
A
B
C
rea ABC = 36 cm2
a) 3 cm2
b) 4 cm2
c) 5 cm2
d) 6 cm2 e) N.A.
10.
A
B
C
a) 24 cm2 b) 32 cm2 c) 46 cm2
d) 36 cm2 e) 12 cm2
11.
37
8 cm
Paralelogramo
a) 5 cm2 b) 6 cm2 c) 7 cm2
d) 8 cm2 e) 9 cm2
12. El rea de un tringulo es 60 m2
.Calcular el rea del tringulo que tienepor vrtices los puntos medios de doslados y el baricentro del tringulo.
a) 5 m2 b) 10 m2 c) 12 m2
d) 15 m2 e) N.A.
13. El rea del tringulo ABC es 30 m2. Se
traza la bisectriz interior BD , de tal
modo que AD = 3m. y DC = 7 m.Calcular el rea del tringulo ABD.
a) 5 m2 b) 9 m2 c) 12 m2
d) 15 m2 e) N.A.
14. En un tringulo obtusngulo ABC,obtuso en B, por el punto medio M de
AC se traza MN , perpendicular a
BC . Si AB = 10u; BN = 1 m y NC =7u. Calcular el rea de la regin
triangular ABC.
a) 30 u2 b) 40 u2 c) 36 u2
d) 32 u2 e) N.A.
15. En un tringulo issceles ABC,
AC = BC ; se traza la mediana BM y
la altura CH , interceptndose en F.Calcular el rea AHFM, si el rea deltringulo ABC es 72 m2.
a) 6 m2 b) 12 m2 c) 24 m2
d) 36 m2 e) N.A.
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
92/160
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Ao
Geometra 92
TEMA: REA DE UN CUADRILTERO
Una vez conocidos estos teoremas importantsimos, estamos en condiciones de definir (y tambin dedemostrar) el rea de las principales figuras geomtricas. Empezaremos por los cuadrilteros.
Los cuadrilteros son figuras geomtricas que poseen cuatro lados. Los cuadrilteros pueden ser:
* Rectngulo. * Cuadrado * Rombo * Paralelogramo * Trapecio
A continuacin, pasaremos a detallar (y en algunos casos demostrar) el rea de cada uno de estoscuadrilteros.
1. rea del rectnguloUn rectngulo es una figura geomtrica que posee 4 lados paralelos dos a dos, e interceptados
bajo un ngulo de 90. Los lados paralelos tienen igual longitud. El rea de cualquier rectngulo seobtiene multiplicando la longitud de su base por la longitud de su altura.
A = B hXRECTNGULOH
B
Demostracin: AABCD = h x b?
B
A
C
DA
h
M
N P
Q
H
B
A1
b
Para realizar la demostracin de que el rea del rectngulo ABCD es A = h x b, haremos unaconstruccin auxiliar: dibujaremos un rectngulo MNPQ de altura H y base B, donde H = B = 1;es decir, tenemos un rectngulo de lado unitario. Este rectngulo ser la unidad de rea, es decirA1 = 1. (Ntese que como la base y altura son iguales, este rectngulo recibe el nombre decuadrado).
Sabemos, por el Cuarto Teorema, que las reas de 2 rectngulos son proporcionales al productode su base por su altura respectiva.
Entonces:
BxH
bxh
A
A
1= . (1)
Pero sabemos que A1 es uno, y que H = B = 1.
Entonces reemplazando estos valores en la ecuacin (1).
bxhA = : rea del rectngulo
Por lo que queda demostrada la frmula para hallar el rea del rectngulo.
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7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
93/160
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Ao
Geometra 93
2. rea del Cuadrado
Un cuadrado es un tipo particular de rectngulo, donde la longitud del la base es igual a la longitudde la altura. El rea del cuadrado se obtiene elevando al cuadrado la longitud de la base, oelevando al cuadrado la longitud de la altura. Es decir, multiplicando h x h b x b.
LD
L
Demostracin:Puesto que conocemos que el rea del rectngulo es:
A = h x b
Y como hemos dicho, en un cuadrado: h = b = L
2LLxLA == rea del Cuadrado
Obs.El rea del cuadrado tambin puede obtenerse as:
Donde D es la diagonal del cuadrado2
DA
2=
3. rea del Paralelogramo
Un paralelogramo es una figura de 4 lados, donde sus lados son paralelos dos a dos, pero donde elngulo de interseccin de los lados es distinto a 90.
El rea de un paralelogramo se obtiene multiplicando la longitud de su base por la longitud de sualtura; es decir, igual que el rea del rectngulo, puesto que el paralelogramo es un tipo de rectnguloal cual se le han inclinado dos lados.
Demostracin:
hxbAABCD =
A
h
C
DE Fb
B
Primero, debemos notar que tanto los segmentos BCyAD tienen la misma longitud, as como los
segmentos .CDyAB Para demostrar que el rea del paralelogramo es A = b x h haremos una
construccin auxiliar: prolongaremos el segmento AB y trazaremos las perpendiculares BEyCF .Entonces se formarn los tringulos rectngulos ABE y CDF y el cuadriltero EBCF.Ahora, hallaremos el rea del paralelogramo ABCD mediante el uso de suma y diferencia de reas.
Entonces: AABCD = AEBCF + AABE ACDF (1)
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7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
94/160
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Ao
Geometra 94
Ahora, analicemos el cuadriltero EBCF: observamos que los segmentos CFyEB son paralelos y
sabamos que los segmentos ADyBC eran paralelos, y como el ngulo de interseccin de loslados es 90, entonces el cuadriltero EBCF es un rectngulo.
Entonces: AEBCF = EBxBC = b x h (2)
Ahora, analicemos los tringulos rectngulos ABE y CDF: como los segmentos CDyAB soniguales y los ngulos interiores de los tringulos son iguales, entonces los dos tringulos sonidnticos, (figuras equivalentes), por lo que tendrn la misma rea.
Entonces: AABE = ACDF (3)
Si reemplazamos las ecuaciones (2) y (3) en la ecuacin (1), obtendremos:
hxbAABCD = rea del Paralelogramo
Por lo que queda demostrada la frmula para hallar el rea del paralelogramo.
Notas:a. Un tringulo rectngulo es aquel que tiene un ngulo de 90 como ngulo interior.b. Se dice que dos rectas o segmentos que pertenecen a un mismo plano son PARALELOS si,
por ms que extendamos dichas rectas o segmentos, estas dos nunca, se cortarn. Unejemplo de rectas paralelas son las lneas horizontales de un cuaderno cuadriculado.
c. Se dice que dos rectas o segmentos que pertenecen a un mismo plano sonPERPENDICULARES si dichas rectas o segmentos se cortan en un ngulo de 90. Unejemplo de rectas o segmentos se cortan en un ngulo de 90. Un ejemplo de rectasperpendiculares sera el cruce de una lnea horizontal de un cuaderno cuadriculado con unalnea vertical del mismo,
d. Cada vez que hablemos de la altura se considerar que la altura es perpendicular a la base dela figura analizada.
4. rea del Rombo:Un rombo es una forma particular del paralelogramo, en donde las diagonales de steparalelogramo se cortan perpendicularmente (en un ngulo de 90).El rea de un rombo se obtiene multiplicando las longitudes de sus diagonales y dividiendo elresultado entre dos. Es decir:
M P
Q
A1
2
3
4
A
A A
d
Si la diagonal MP es d yla diagonal NQ es D
Entonces
A = D d 2
x
N
D
ABEABEDABC
CDFABEEBCFABCD
AAhxbA
AAAA
+=
+=
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
95/160
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Ao
Geometra 95
Nota:
A1 = A2 = A3 = A4 si el rombo es simtrico
5. rea del TrapecioUn trapecio es un cuadriltero que posee dos lados paralelos conocidos como base mayor (el lado msgrande) y base menor (el lado ms pequeo) y dos lados no paralelos.
El rea de un trapecio se obtiene sumando la base mayor con la base menor dividiendo elresultado entre dos y, finalmente, multiplicando este resultado por la longitud de la altura deltrapecio.
A = b + B HxTRAPECIO
2
2
B
b
bm
2
Donde:
b : base menorB : base mayorbm : base mediaH : altura
Nota:A esta semisuma (suma dividida entre 2) de la base mayor y la base menor se le conoce como
BASE MEDIA. La base media viene a ser un segmento que se encuentra a la misma distancia dela base mayor y la base menor (H/2); es decir se encuentra en el medio de las 2 bases, ademses paralela a ellas.
2
Bbbm
+=
Por lo que el rea del trapecio tambin se puede formular as:
ATRAPECIO = bm x H .
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
96/160
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Ao
Geometra 96
PROBLEMAS PARA LA CLASE
* En los siguientes ejercicios, hallar elrea de la regin sombreada.
01.
Paralelogramo ABCD
02.
Paralelogramo ABCD
03. Paralelogramo ABCD
04. Paralelogramo ABCD
A
B C
D E
8 cm 6 cm
h
rea DEC = 15 cm2
05. Paralelogramo ABCD
A
B
D
12 cm
C
82
cm
45
06.
A
B C
D
rea del Paralelogramo ABCD = 80
07. ABCD: Paralelogramo
A
B C
Drea del Rectngulo APCQ = 80 cm2
P
Q
8 cm
4 cm
08.
A
B C
D
rea del Paralelogramo ABCD = 30 cm2
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
97/160
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Ao
Geometra 97
09.
A
B
O
r=4cm
C
D
T
ABCD = Rectngulo
10. Cuadrado ABCD
A
B C
DA
B C
D
radio = 4 cm
11. rea del cuadrado ABCD = 64 cm2
12.
4 cm 6 cm
4 cm
13.
8cm
6 cm
14. Rombo ABCD
A
B C
D
37
6 cm
15. Trapecio ABCD
A
B C
D
10cm
M N
cm12MN =
16. Trapecio ABCD
A
B C
D4553
16 2 cm
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
98/160
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Ao
Geometra 98
17. ABCO: Cuadrado
R = 8 2 cm
A B
CO
R
18.
10cm
11cm
16cm
4cm
19. Rombo ABCD: BD = 30 cm.
A
B
C
D
17cm
20. Rombo ABCDradio = 8 cm
r
10cm
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
99/160
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Ao
Geometra 99
A
B
C
D
cm520
PROBLEMAS PARA LA CASA
* En los siguientes ejercicios, hallar elrea de la regin sombreada
01)
10cm
45
a) 150cm2 b) 140cm2 c) 130cm2
d) 100cm2 e) 90cm2
02) Trapecio ABCD
6cm
20cm
12cm
a) 37cm2 b) 47cm2 c) 57cm2
d) 87cm2 e) 77cm2
03) Trapecio ABCD
A
B C
D37 45
5cm4cm
a) 23cm2 b) 25,5cm2 c) 29,5cm2
d) 30,5cm
2
e) N.A.
04) Rombo ABCD; mABC = 53
a) 1200cm2
b) 1300cm2
c) 1500cm2
d) 1600cm2
e) N.A.
mABC = 53
05) En un rombo, sus diagonales estn enla relacin de 5 a 12. Hallar su rea, sisu permetro es 52m
a) 100cm2 b) 120cm2 c) 140cm2
d) 140cm2 e) 180cm2
06) Trapecio issceles ABCD
A
B C
D
8cm6cm
5cm
a) 40cm2 b) 50cm2 c) 60cm2
d) 80cm2 e) 70cm2
07) Rombo ABCD
16cm
37
A
B C
D
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
100/160
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Ao
Geometra 100
DA
CB
45
E
FA
B C
D
12cm
FE
A
B C
D
E
FH
FH
E
DA
B C
J
a) 70cm2 b) 80cm2 c) 30cm2
d) 50cm2 e) N.A.
08) El permetro de un rombo es 272m. La
diagonal menor es los15
8 de la mayor.
Encuentre el rea del rombo.
a) 3840m2 b) 3000m2 c) 3870m2
d) 2860m2 e) N.A.
09) En un rectngulo, su lados son como 3es a 4 y la suma de sus longitudes es20m mayor que la longitud de la
diagonal. Halle su rea.
a) 1000m2 b) 1500m2 c) 1200m2
d) 1900m2 e) N.A.
10) Hallar el rea del trapecio ABCD, si elcuadrado CDEF tiene rea k
a) 5kb) 3kc) 2kd) ke) k/2
11) Hallar el rea del cuadrado ABCD. Si elrea de la regin no sombreada excedeen 12cm2 al rea de la parte sombreada.
B C
A D
E
53
a) 48cm2 b) 36cm2 c) 24cm2
d) 12cm2 e) 6cm2
12) Si las longitudes de un rectngulo son270cm de largo por 30cm de ancho,Cuntos cms habr que aumentar alancho y cuantos disminuir al largo paraque resulte un cuadrado de igual rea?
a) 160cm ; 240cm b) 300cm ; 200cmc) 60cm ; 180cm d) 40cm ; 180cme) 90cm ; 160cm
13) En la siguiente figura se tiene untrapecio issceles ABCD; un cuadrado;EBCF. Adems, mCAD = 37. Hallarel rea de la regin sombreada.
a) 1200m2
b) 810m2
c) 420m2
d) 806m2
e) 900m2
14) Los cuadrados ABCD y BEFH tienereas 81 y 25cm2 respectivamente.
Hallar el rea de la regin sombreada.
a) 19cm2
b) 20cm2
c) 22cm2
d) 21cm2
e) 18cm2
15) En la figura, ABCD y EFHB soncuadrados. JH = 25; JA = 15; JB = 17,Hallar el rea de la regin sombreada
a) 32b) 41c) 16d) 12e) 18
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
101/160
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Ao
Geometra 101
TEMA: REA DE UN CRCULO
A continuacin detallaremos como obtener el rea de superficies circulares. La base es el readel crculo, as que aprndete bien la frmula para su rea y las dems te sern fciles.
1. rea del CrculoUn crculo es una figura geomtrica que tiene la particularidad de que la distancia que existeentre su centro (0) y sus extremos es siempre constante; a dicha distancia se le conoce conel nombre de RADIO (r).
B
AO
r
r
r
Figura I
Observacionesa) Hay que tener cuidado de no confundir crculo con circunferencia. La circunferencia es la
lnea que delimita el rea circular, es decir, el borde del crculo; en cambio, el crculo abarcala circunferencia y todo el espacio (rea) que sta encierra.
b) Cuando dos radios forman parte de una misma recta, es decir son colineales (como en el
caso de los radios OByOA ), al segmento que va desde un extremo a otro de la
circunferencia pasando por su centro (segmento AB ) se le denomina DIMETRO (D). D = 2r
c) La longitud de la circunferencia (L) se puede obtener as:
L = 2r L =DEl rea de un crculo es proporcional al cuadrado del radio del crculo. La constante de proporcionalidades un nmero irracional que recibe la notacin de la letra griega (pi).
= 3.1415927 14.3Es decir, el rea de un crculo se puede calcular as:
2rA = rea del Crculo
La demostracin de sta frmula la dejaremos pendiente, pues es necesario conocer conceptosde Matemtica Superior, especficamente en el campo de Lmites de funciones, tema que
(generalmente) se aborda en cursos de lgebra Universitaria. Por este motivo, consideraremoscomo vlida a priori esta frmula.
9. rea de una Corona CircularUna corona circular es una superficie delimitada por las circunferencias de dos crculosconcntricos (dos crculos son concntricos si tienen el mismo centro).
R
r
Corona Circular
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
102/160
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Ao
Geometra 102
El rea de una corona circular se obtiene multiplicando por a la diferencia de loscuadrados de los radios de cada crculo. Es decir:
R
r
A
22 rRA x =
Figura II
Demostracin:Sea la corona circular de la figura II, cuyas longitudes de sus radios son r y R para el crculomenor y crculo mayor respectivamente.
Consideraremos que el rea del crculo de radio r es A1 y el rea del crculo del radio R es A2.
Entonces, podemos representar el rea de la corona circular (A) de la siguiente manera:
A = A2 A1 (1)
Pero, como sabemos que el rea de un crculo es igual a por el radio elevado al cuadrado, elrea del crculo de radio r lo podemos expresar as:
A1 = x r
2
(2)Y el rea del crculo de radio R lo podemos expresar as:
A2 = x R2 (2)
Ahora, reemplazando las ecuaciones (2) y (3) en la ecuacin (1) obtenemos:
22
12
rxRxA
AAA
=
=
Factorizando de cada sumando, obtenemos:
= 22 rRxA rea de una corona circular
Por lo que queda demostrada la frmula para obtener el rea de una corona circular.
10. rea de un Sector Circular:
Un sector circular es una porcin del crculo, que tiene la particularidad de estar limitado por 2radios y por la circunferencia asociada al crculo.
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
103/160
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Ao
Geometra 103
El rea de un sector circular se obtiene multiplicando la longitud del arco asociado al sector circular por elradio del crculo y dividiendo ste resultado entre dos.
NOTA: El arco de un sector circular viene a ser la porcin de la circunferencia que limita alsector circular. La longitud del arco de un sector circular se denota por l y es igual a:
180.r. =
Donde es la medida del ngulo que forman los 2 radios que delimitan al sector universal.
La medida del ngulo debe darse en grados sexagesimales, los cuales se pueden obtenerempleando cualquier transportador.
Demostracin:
r
rO A
P
Q
A = r 2
bxPOQ ?
Lo primero que debemos saber, previo a la demostracin de sta frmula, es que un crculocompleto tiene 360 (Comprubalo con tu transportador).
Ahora, sabemos que el rea de un crculo se obtienen as: A =r2 y que este crculo barre unngulo de 360. Si usamos una Regla de Tres Simple podremos hallar el rea de un sectorcircular de grados puesto que consideraremos al crculo como un sector circular de 360
NGULO REA
Si: 360 r2
Si: A = ? ?
A =360
rxx 2 (I)
Si arreglamos este resultado convenientemente, obtendremos:
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
104/160
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Ao
Geometra 104
)1(...2180
rr
A x
Xxx =
Pero:180
rxx = (2)
Entonces, reemplazando la ecuacin (2) en la ecuacin (1), obtendremos:
2
rA
xl= rea de un Sector Circular
OBSERVACIONES:a. A pesar de que la anterior frmula es la presentacin formal de cmo hallar el rea del
sector circular, podemos hacer uso directamente de la frmula (I), ya que es ms directa.b. Al sector circular tambin se le llama SECCIN CIRCULAR, por ser una parte del crculo.c. El rea de un sector circular es equivalente a la de un tringulo que tenga por base la longitud del
arco que limita al sector y que tenga por altura la longitud del radio de la circunferencia.
En efecto:
r
O
rr
A B A B
O
r
2
rA
2
rA
xx
TRINGULOCIRCULARSECTOR
ll==
Esto se debe a que el sector circular es una clase particular de tringulo, llamadoTRINGULO MIXTILNEO, el cual est formado de lneas rectas y lneas curvas.
11. REA DE UN TRAPECIO CIRCULAR
Un trapecio circular viene a ser una seccin (porcin) de una corona circular.
El rea de un trapecio circular limitado por 2 arcos y por radios diferentes de dos crculos sepuede calcular mediante la siguiente frmula:
360
rRA
22 =
Trapecio Circular
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
105/160
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Ao
Geometra 105
Demostracin:
P QM N
R
A
3 6 0
rRA
22xx
= ?
MN=
PQL
Consideremos que en el anterior grfico el rea del trapecio circular MNPQ es A. El crculomayor tendr un radio de longitud R y la longitud de su arco PQ ser L. El crculo menortendr un radio de longitud r y la longitud de su arco MN ser l. El ngulo entre los radios
OP y OQ ser .
El rea del trapecio circular se puede expresar como la diferencia del rea del sector circularOPQ menos el rea del sector circular OMN.
Entonces: AMNPQ = AOPQ AOMN (1)
Pero sabemos que el rea de un sector circular es2
rxl
AOPQ =2
RL x
AOMN =2
rxl
Pero, usando el concepto de longitud de arco, tenemos:
AOPQ =2
R180
Rx
xx
AOPQ = 360R
2xx (2)
AOMN =2
r180
rx
xx
AOMN =2
r2xx(3)
Esto se debe a que el ngulo para las dos secciones circulares es el mismo y es igual a .Ahora, reemplazando las ecuaciones (2) y (3) en la ecuacin (1), obtenemos:
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
106/160
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Ao
Geometra 106
360
r
360
RA
AAA
22
MNPQ
OMNOPQMNPQ
xxxx
=
=
Factorizando
360
xde cada sumando, obtenemos:
360
rR
A
22
MNPQ
xx
= rea del Trapecio Circular
Por lo que queda demostrada la frmula para hallar el rea de un trapecio circular.
Observaciones:a. La demostracin de sta frmula tambin podra obtenerse mediante una regla de tres simple, haciendo
una comparacin entre el rea de una corona circular (asociada a un ngulo de 360) y el rea de untrapecio circular (asociado a un ngulo ).
b. El rea de un trapecio circular es equivalente a la de un trapecio rectilneo que tenga por bases alos arcos rectificados que limitan al trapecio circular y por altura la diferencia de los radios.
En efecto:
A
DC
O
R
L
B
r
R - r
C D
A BL
R - r
360
rRA
22
CIRCULARTRAPECIO
xx
=
( ) ( )360
rRrRA
xx
CIRCULARTRAPECIO
++=
( )rR180
r
180
R
2
1A x
xxxx
CIRCULAR
TRAPECIO
+
=
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
107/160
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Ao
Geometra 107
Pero: L
180
R xx=
y l=
180
Rxx
[ ] ( ) TRAPECIOCIRCULARTRAPECIO ArRxL
2
1A =+= l
12. rea del Segmento CircularUn segmento circular es una porcin de un sector circular que se encuentra delimitada por elarco de la circunferencia asociado al sector circular y el segmento que une lasintersecciones de los radios con la circunferencia.
A B Segmento Circular
El rea de un segmento circular se obtiene mediante la diferencia del rea del sector AOBcon el rea del tringulo AOB.
REA DEL SEGMENTO CIRCULAR AOBTRINGULOAOBCIRCULAR
SECTOR AAA =
Esta formula no necesita mayor demostracin.
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
108/160
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Ao
Geometra 108
PROBLEMAS PARA LA CLASE
* En los siguientes ejercicios, hallar elrea de la regin sombreada:
01)
R
R= cm
02)
R
r
R= 4 cmr = 2 cm
03)
04)
OR
R = 6cm
05)
O
R
R = 8cm
06)
60R
=6cm
07)
60
R
O
R=4cm
08)
r
R
4cm
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
109/160
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Ao
Geometra 109
09)8cm
10)
60
r
r
O
R = 6cm
11)
r=2cm
cm2
12)
4cm
4cm
13)
8cm
14)
2cm
r
15)
r = 4cm
16)10cm
4cm
r=6cm
O
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
110/160
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Ao
Geometra 110
17)
30
cm3
18)
10cm
6cm
19)
6cm3cm
60
20)
8cm
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
111/160
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Ao
Geometra 111
PROBLEMAS PARA LA CASA
* En los siguientes ejercicios hallar el reade la regin sombreada.
01)
10cm
a) 26cm2 b) 25cm2
c) 21cm2 d) 16cm2
e) 9cm2
02)
8cm
15cm
a) 9cm2 b) 7cm2
c) 8cm2 d) 6cm2
e) 5cm2
03)
r = 4cm
6cm
a) 20 b) 20 + 3
c)2
d) 20 4e) 20 + 8
04)
r=6cm
a) 20cm2 b) 18cm2
c) 40cm2 d) 30cm2
e) 8cm2
05)10cm
a) 25cm2 b) 30cm2
c) 10cm2 d) 40cm2
e) 18cm2
06)
5cm
72
a) 6cm2 b) 4cm2
c) 2cm2 d) 5cm2
e)cm2
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
112/160
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Ao
Geometra 112
07)
r = 4cm
a) 32 b) 32 8
c) 32 6 d) 42e) 6 20
08)
6cm2cm
O
a) 26cm2 b) 20cm2
c) 14cm2 d) 10cm2
e) 16cm2
09)
4cm
a) 3cm2 b) 4cm2
c) 5cm2 d) 6cm2
e) 8cm2
10) Hallar el rea de la regin sombreada,si el semicrculo menor tiene rea12cm2.
O
a) 18cm2 b) 30cm2c) 12cm2 d) 14cm2
e) 6cm2
11)
8cm
a)4
a2b)
5
a2c)
2
a2
d)3
a2e)
8
a2
12)
7210
cm
15cm
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
113/160
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Ao
Geometra 113
a) 25cm2 b) 35cm2
c) 40cm2 d) 80
cm2
e) 30cm2
13)
O45
4cm
cm2
a)cm2 b) 2cm2
3
c) 2cm4
d) 2cm
3
e) 2cm8
3
14) Hallar la relacin de radios del cuartode crculo al crculo, para que las reasde las regiones no sombreada ysombreada sean entre si como 4 a 9.
a) 3/2 b) 4/7
c) 4/9 d) 3/8e) 4/3
15)
4cm
4cm
a) 4cm2 b) 6cm2
c) 8cm2 d) 7cm2
e) 12cm2
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
114/160
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Ao
Geometra 114
TEMA: RECTA Y PLANO
I. Introduccin.-Hasta el momento todo el desarrollo del curso ha sido realizado en las dos dimensiones de nuestro cuaderno:a lo largo y ancho del mismo. Pero nuestro mundo tiene tres dimensiones; largo, ancho y alto. Todo lo quehemos desarrollado hasta el momento nos sirve para simplificar nuestro mundo tridimensional a una realidadms accesible, ms fcil de manipular. Pero es momento de empezar a estudiar los fenmenos geomtricostridimensionales.
En geometra bidimensional a las figuras que se nos presentaban las conocamos como polgonos; enla geometra tridimensional (conocida como Geometra del Espacio) todos los entes que se nospresenten los conoceremos como slidos.
La Geometra del Espacio se basa en los PLANOS. Un plano es por ejemplo esta hoja, o el lado de un
cubo; es decir, una superficie bidimensional que se puede mover en el espacio. Puesto que es la baseen que se apoya esta seccin, detallaremos algunas caractersticas de los planos.
II. Planos: Determinacin, posiciones relativas de dos planos. Posiciones relativas de unplano con una recta. Teoremas. Distancias
1. Determinacin de PlanosUn plano viene determinado:a) Por dos rectas que se cortan.b) Por 3 puntos no situadas en lnea recta (no colineales).c) Por una recta y un punto exterior a ella.d) Por 2 rectas paralelas.
2. Posiciones Relativas de dos planosDos planos pueden ocupar las siguientes posiciones:
a) Cortndose:En este caso tienen una recta comn que se llama interseccin de los dos planos.
b) Ser Paralelos:Cuando no tienen ningn punto en comn.
1
2
1
2
Cortndose Paralelos
3. Posiciones Relativas de un Plano con una rectaUna recta y un plano pueden ocupar las siguientes posiciones:a) Estar la recta en el plano.b) Cortndose. En este caso tienen un punto A en comn.c) Ser paralelas. En este caso no tienen algn punto en comn.
4. Posiciones Relativas de dos rectas en el espacioDos rectas en el espacio pueden ocupar las siguientes posiciones:a) Cortndose. En este caso tienen un punto en comn.
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
115/160
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Ao
Geometra 115
b) Ser paralelas. En este caso estn en un mismo plano y no tienen algn punto en comn.c) Cruzndose. En este caso no estn en un mismo plano y no tienen ningn punto en comn.
Tambin se les llama RECTAS ALABEADAS.5. Teoremas Importantesa) Las intersecciones a y b de dos planos paralelos y con un tercer plano son rectas
paralelas.
a
b
b) Si dos rectas a y b son paralelas, todo plano que pase por una de las dos rectas esparalelo a la otra recta.
b
a
c) Si un plano corta a una de 2 rectas a y b paralelas corta tambin a la otra.
a b
d) Si una recta corta a uno de dos planos paralelos, corta tambin al otro.
e) Si se cortan dos rectas por un sistema de planos paralelos entonces, los segmentoscorrespondientes son proporcionales.
Imagen I
=
A
B
C
M
N D Entonces:
-
7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2
116/160
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Ao
Geometra 116
f) Si una recta es perpendicular a un plano, cualquier plano (y todos los planos paralelos a) que pase por la recta es perpendicular a
Distancia entre 2 puntos
Viene a ser la longitud del segmento que une dichos puntos.
6. Recta Perpendicular a un PlanoSe dice que una recta es perpendicular a un plano si es perpendicular a todas las rectas del plano quepasan por la interseccin. Al punto de interseccin se le llama Pie de la perpendicular(punto P).
P
7. Distancia de un punto P a un plano :
Es el segmento PM de perpendicular trazada del punto al plano; se llama as por ser MENOR quecualquier otro seg