FORMULARIO PREUNIVERSITARIO
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FORMULARIO PREUNIVERSITARIO
ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN
Hab. Matemática
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FORMULARIO PREUNIVERSITARIO
ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN
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Hab. Matemática
• A excede a B en 10 unidades• El doble, de un número disminuido
en 3 unidades.• El doble de un número, disminuido
em 3 unidades.• A es por dos veces B• A es dos veces más que B
A B 10– =
Lenguaje Literal(Enunciado) Traducción
Lenguaje Matemático(Ecuaciones)
2(x 3)
2x 3
–
–A 2BA B 2BA 3 B
== +=
Con dos o más sujetos
DaniellaMelanie
Pas Pre Futa d ec b f
• La diferencia de sus edades es siempre la misma.a c d d e f
• La suma en aspa da el mismo resultado: a b c d d f b e a f c e
– –= = –
+ = ++ = ++ = +
ImportanteCaso 1:Año nacimiento edad año en curso• Si la persona ya cumplió años en el año en curso.
+ =
Caso 2:
Nota:
Año nacimiento edad = año en curso 1• Si la persona todavía no cumple años en el año en curso.
Si el problema no dice si ya cumplió o todavía, se trabaja con el caso 1.
+ –
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ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN
+
X
Materia prima
Botones
Producto terminado
Proceso de producciónOperación matemática
Máquina
Adición
Sustracción
División
Números Resultado
Operadores
a b 3a 5b 4* = + + Definición
..........................................
a b 3(b a ) a* = * + 2 2
Si x x 1= +
5 =mSe resuelve de
............... hacia ..............
Se resuelve de
............... hacia ..............m =5
Definición
..........................................
Explícita
Implícita
adentro afuera
afuera adentro
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ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN
SUC
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A+
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22
C
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t 3t 4
t 5
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ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN
Hab. Matemática FORMULARIO PREUNIVERSITARIO
ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN
ECUACIONES DIOFÁNTICAS
MULTIPLICIDAD1. Si N es múltiplo de n
Si N = N nk; kn ⇒ = ∈
n
: se lee múltiplo de nEjemplo:
Si N= 5
N =5k= {... -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15,....)
Si N = 8
N= 8k = {... -24, -16, -8, 0, 8, 16 , 24 ...}
2. Si N no es múltiplo de n
d eN n r ó N n r= + = −
donde: d er r n+ =
dr : residuo por defecto
er : residuo por exceso
Ejemplo:20 no es múltiplo de 6 (20 6 )≠
20 6 18 3
2 20 6 24 4-4
20 6 2 20 6 4⇒ = + ⇒ = −
Donde: 2 + 4 =6
Aplicación:Si N 9 3 N 9 6= + ⇒ = −
Si N 12 1 N 12 11= − ⇒ = +
PRINCIPIO DE MULTIPLICIDAD
1. o o o o on+ n+ n+...+ n =n
Ejemplo:
• 8 8 8 8+ + =
• 15 15 15 15 15+ + + =
2. o o on+n = n
Ejemplo:
• 7 7 7− =
• 14 14 14− =
3.o
k n= n;k Z∈
Ejemplo:
• 2 7 7
=
• 0 10 10
=
PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES
Sea A x B = on
≠ ⇒o o
Si A n B = n
≠ ⇒o o
Si B n A = n
Ejemplo:4x 5=
4 5 x 5≠ ⇒ =
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ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN
Problemas sobre certeza
Casos desfavorables
:Número deextraciones
Casosfavorables
+
Lo que noquiero que
salga
Lo que pide el
problema
MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Otras situaciones
• Si: a + b = K
(a.b) = .máxK2
K2
• Si: a × b = K
(a+b) = mín K K+
• Si: a > 0
a + > 21a
x > 02
• Si: × = IR∈
Expresiones algebraicasde 2do grado
E(x) = Ax + Bx + C2
A > 0 EMÍN
A > 0 EMÁXX = 2A
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Aritmética FORMULARIO PREUNIVERSITARIO
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Propiedades
• A IP B A DP
• A DP B (C cte)
A IP C (B cte)
1B
A x CB
= cte
A IP B
a1
b1
a2
b2
= k
Valor “B”
Valor “A”
HipérbolaEquilátera
Gráfica:
a1
a2
b1 b2
a1 a2b1 b2= k= . .
MAGNITUDESPROPORCIONALES
(Valor de A) (Valor de B)=Cte
A DP B
Valor de AValor de B
= Cte
Valor “B”
Valor “A”
LíneaRecta
Gráfica:
b2b1
a1
a2
Valorde A
Constante
Valorde B
f(x) = K x
A DP B
Valorde B
Valorde A
Constante
f(x) = xk
A IP B
IPDP
=
• A DP B A IP 1B
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{ }1 2 3 n
elementos
A a ;a ;a ;.......;a= i j
donde :a a
i, j +
≠
∈
• Cardinal = n(A) = n
• N° subconjuntos = 2n(A) = 2n
• N° subconjuntos propios = 2n(A) – 1 = 2n – 1
OPERACIONES ENTRECONJUNTOS
No AA o BB A
A B
A B
Unión (U): Complemento ( (A)):
Solo ADiferencia (–):
A y BIntersección ( ):∩
A B
Sólo A o sólo B
DiferenciaSimétrica (A):
A
Aritmética FORMULARIO PREUNIVERSITARIO
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abcd
a
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n c
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nab
c⋅
=+
→
≠≠
→
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Números capicúas
1a 1b
1c = a + b + c + d + e + x 1d
1e x
NUMERALES DE CIFRAS MÁXIMAS
n
BASES SUCESIVAS
k
k cifras
(n – 1)(n – 1)(n – 1)... (n – 1) n –1 =
121; 3553; 27372; abccba
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I. ADICIÓNa + b + c +...+ z = S
Sumandos Sumatotal
Progresión aritmética
Sea:
→ an = a1 + (n – 1)r
n 1a – an 1
r→ = + ;
n: Número de términos
n 1n
a aS n
2+
→ =
;
Sn: Suma de términos
Sumas notables
•n(n 1)1 2 3 ... n
2= ++ + + +
• 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1)• 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2
• 12 + 22 + 32 + ... + n2 =
n(n 1) (2n 1)6
+ +
• 13 + 23 + 33 + ... + n3 =2n(n 1)
2
+
• a0 + a1 + a2 + a3 + ... + an–1 =na – 1a – 1
II. SUSTRACCIÓN
M – S = D
Propiedades:
• 2M = M + S + D
• (n) (n)ab – ba = (n)xy
x y n – 1→ =+
donde n 3 y a b≥ >
• (n) (n)abc – cba = (n)xyz
x z n – 1→ =+
y = n – 1
donde: n 3; a c≥ >
• abcd – dcba xyzw=donde: a > d
→ x + y + z + w = 18 ó 27
Complemento Aritmético
• (b) (b)bk 1 cifras
CA(N ) 100...00 – N+=
Si N tiene k cifras
• (n)CA(abcd ) =
n(n – 1 – a) (n – 1 – b)(n – 1 – c)(n – d)
AritméticaFORMULARIO PREUNIVERSITARIO
ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN
*o
A B B(k)= =
Se dice:- A es múltiplo de B- A es divisible entre B- A dividido entre B da residuo cero
*o o on n n+ =
*o o on – n n=
*o o o on(k) n k nk
= = =
*o o
k(n) n=
*o o o o
(n a)(n b)(n c) n a.b.c+ + + +=
*o o
k k(n r) n r+ +=
*o o
k k(n – r) n r+= , k: par
*o o
k k(n– r) n– r= , k: impar
*
o
Oo
o
N a
N b N MCM(a,b,c)
N c
=
= =
=
*
o
Oo
o
N a r
N b r N MCM(a,b,c) r
N c r
+
+ +
+
=
= =
=
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ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN
• Por 2o o o
abcde 2 e. Si e 2 abcde 2→= = =+
• Por 4o o o
abcde 4 de. Si de 4 abcde 4→= = =+
• Por 8o o o
abcde 8 cde. Si cde 8 abcde 8→= = =+
• Por 5o o o
abcde 5 e. Si e 5 abcde 5→= = =+
• Por 25o o o
abcde 25 de. Si de 25 abcde 25→= = =+
• Por 125o o o
abcde 125 cde. Si cde 125 abcde 125+ →= = =
• Por 3o o o
Eabcde 3 a b c d e. Si E 3 abcde 3→= = =+ + + + +
• Por 9o o o
Eabcde 9 a b c d e. Si E 9 abcde 9→= = =+ + + + +
• Por 11 abcde+-+-+
o o o
E11 e – d c – b a. Si E 11 abcde 11→= = =+ + +
• Por 13
ab cd e f gh 31431431- + - +
o o o
E
13 – 3a b 4c 3d – e – 4f – 3g h. Si E 13 abcdefgh 13→= = =+ + + +
• Por 7
ab cd e f gh 31 2312 31+ - +
o o o
E
7 3a b – 2c – 3d – e 2f 3g h. Si E 7 abcdefgh 7→= = =+ + + + +
AritméticaFORMULARIO PREUNIVERSITARIO
ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN
• Por 33 a bcd eo o o
E33 a bc de. Si E 33 abcde 33→= = =+ + +
• Por 99 a bcd eo o o
E99 a bc de. Si E 99 abcde 99→= = =+ + +
• P or n 1enbase n
−o o o
(n) (n)E
abcde (n 1) a b c d e. Si E=(n –1) abcde (n –1)= − + + + + + → =
• P or n 1enbase n
+ a bc d e+ - + -+(n)
o o o
(n)E
(n 1) e – d c – b a. Si E=(n 1) abcde (n 1)→+ + + + + += =
• Dada la descomposición canonica del número N:
31 2 k1 2 3 kN p p p ...p ...D.C.αα α α=
• Su cantidad de divisores se calcula como:
N 1 2 3 kCD ( 1)( 1)( 1)...( 1)α α α α= + + + +
Además:
N SIMPLES COMPUESTOSCD CD CD = +
• La suma de divisores se calcula como:
1 2 k1 1 11 2 k
(N)1 2 k
p –1 p –1 p – 1SD ...
p – 1 p –1 p – 1
α α α× × ×=
+ + +
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ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN
• La suma de inversas de divisores se calcula como:
(N)(N)
SDSID
N=
• El producto de los divisores se calcula como:
(N)CD(N)PD N=
• El esquema del algoritmo de Euclides:
A B
Cocientes
Residuos
K MCD (A;B)
O
• Conociendo el MCD de dos números podemos concluir que:
(A;B)
(A;B)
A p x k; donde: p y q son PESI
B q x kMCD k MCM k x p x q
===
=
• Siempre se cumple que:
MCD(A;B) MCM(A;B) A B× ×=
•n A n B n kMCM ;
m m m× × ×
= •n A n B n kMCD ;
m m m× × ×
=
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Clases de fracciones
• Propia • Común y ordinaria• Impropia • Decimal• Reductible • Homogénea• Irreductible • Heterogénea
Número fraccionario
Z = {... –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...} Fracción
Números enteros Z
Operacionescon tantopor ciento
Adición
Sustracción
Aumentos y descuentossucesivos
Aumento único
a ba b %100
×
= + +
Descuento único
a ba b – %100
×
= +
Aplicacionescomerciales
Variaciónporcentual
Pventa = Pcosto + gananciaPventa = Pfijado – descuentoPventa = Pcosto – pérdidaPfijado = Pcosto + incremento
Variaciónporcentual
Aumento ódisminución
100%Cantidad inicial
×
=
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M C I= +
r% y t en las mismas unidades
I C r% t
M = C (1 + r% t)
=
INTERÉS SIMPLE
medioCosto total
P = Peso total
Gradoalcohólico
Alcohol 100%Total
×=
aparente aparenteG = Pventa costoP = P + Ganancia
x L
a%
y L
b%
z L
c%
(x+y+z) L
d%+ + =
a%(x) + b%(y) + c%(z) = d%(x+y+z)
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Álgebra FORMULARIO PREUNIVERSITARIO
ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN
(a
b)
= a
2ab
b+
±±
22
2
(a
b)
(a
b)
2(a
b)
(a
b)
(a
b)
4ab
++
–
=+
+–
–=
2 2
2 2
2 2
(a
b)(
a b
) a
b+
–=
–2
2
(a
b)(a
ab
b)
ab
(a
b)(a
ab
b)
a
b+
–
+
=+
–
+
+
=–
2
23
3
2
23
3
(a
b)
ab
3ab(
a b)
(a
b)
a3a
b 3a
bb
±
=±
±
±
±
=
±
+
±
33
3
33
22
3
(x
a)(x
b)
x
(a
b)x
ab+
+
=
+
+
+2
(a
b c
)
a b
c 2
(ab
ac
bc)
+
+=
++
++
+2
2
2
2
Si:
a b
c
0
. Se
verif
ica
que:
a b
c
3
abc
a b
c
2(ab
a
c b
c)
++
=+
+
=+
+=
–+
+
3
33
22
2• •
(xx
yy
)(x
xy
y)
xx
yy
2n
nm
2m
2nn
m2
m4n
2n
2m
4m
++
–+
=+
+
(xxy
y
)(x
xy
y)
xx
yy
2 2
2 2
4
22
4+
+
–
+
=
+
+
(a
b c)
a
bc
3(a
b)(a
c)
(b
c)+
+
=
+
+
+
+
+
+
33
3
3
ab
c3a
bc
(a
bc)
[ab
c(a
bbc
ca)]
33
32
22
++
–=
++
++
–+
+ARG
AN’D
GAU
SS
PR
INC
IPA
LES
PR
OD
UC
TO
S N
OT
AB
LES
6 7 8 9 1054321
ÁlgebraFORMULARIO PREUNIVERSITARIO
ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN
Análisis de las raíces Si: D 0
Si: D 0
Si: D 0
>
=
<
•
•
•
ECUACIÓN CUADRÁTICA
Forma
Fórmula
ax bx c 0 ; a 0
x b b 4ac
2a
2
2
+ + =
=– –
2 raíces IRdiferentes x1 x2
2 raíces IRiguales x =x1 2
2 raíces ICconjugadas
Recordar:
(x x ) (x x ) 4x .x1 22
1 22
1 2+ – – =
suma:0b 0=x; x– producto:1
a c=x;1/x
c 0= b 0 ; c 0= =
a b cm n p
= =
Discriminante
D = b – 4ac2
x x ba1 2+ =–
x x c a
1 2. =
x x ??1 2– =
Propiedades de las raíces
Si: ax + bx + c = 0
(opuestas) (inversas)
x – Sx + P = 0
Si: ax + bx + c = 0mx + nx + p = 0
2
2
2
2
Raíces simétricas Raíces recíprocas
Una raíz nula Dos raíces nulas
Reconstrucción de una ecuación cuadrática
Ecuaciones equivalentes: (Raíces iguales)
Álgebra FORMULARIO PREUNIVERSITARIO
ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN
Recordar las definiciones Recordar los teoremas
na a.a.a...a ;"n factores de a"
= n ∈
0a 1 ; a 0≠=
n–n
n1 1a ; a 0
aa ≠
= =
mn nm/n ma a a= =
m–nmm n m nn
aa .a a ; aa
= =+
( ) ( )m n m.n n n nn ma a a ; (a.b) a b= = =
n n n n nn
a a ; a.b a. bb b
= =
n n m nmnn
a a ; a ab b
= =
nk nmk ma a=
Monomio
Definición
Términos Semejantes
Grado Relativo
Grado Absoluto
Definición
Grado Absoluto
Grado Relativo
Clasificación
Polinomio
Ordenado
Completo
Homogéneo
Idénticos
Idénticamente nulo
Racional EnteraEXPRESIÓN ALGEBRAICA
ÁlgebraFORMULARIO PREUNIVERSITARIO
ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN
tienen solución
no tienensolución
soluciones finitas
a b ca b c
1 1 1
2 2 2= =
a b ca b c
1 1 1
2 2 2=
a ba b
1 1
2 2≠
x
yE1
E2
x
y E1
E2
x
y E1 E2
(x ;y )0 0
E E1 2 //
E E1 2
Ecuación Compatible
Indeterminada
Ecuación Incompatible
Determinada
E : a x b y c
E : a x b y c1 1 1 1
2 2 2 2
+ =
+ =
Por su Solución
SISTEMA DE ECUACIONES
Álgebra FORMULARIO PREUNIVERSITARIO
ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN
Criterios de factorización
FACTORIZACIÓN
Criterio del factor
común y/o agrupación
Criterio de las
identidades
Criterio del
aspasimple
Criterio del
aspa doble
Criterio de los
divisores binomios
Criterio del aspa doble
especial
ÁlgebraFORMULARIO PREUNIVERSITARIO
ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN
* Si r es una raíz de P(x) = 0, entonces P(r) = 0.
* n n–1 n–2(x) n n–1 n–2 0P a x a x a x ... a= + + + + =0; na 0≠ , también se puede escribir
n 1 2 3 na (x – r )(x – r )(x – r )...(x – r ) 0=
donde 1 2 3 nr ,r ,r ,...,r raíces de la ecuación.
* Si: m n p1 2 3P(x) (x – r ) (x – r ) (x – r ) 0= =
Entonces:r1 es una raíz de multiplicidad mr2 es una raíz de multiplicidad nr3 es una raíz de multiplicidad p
* Teorema de Cardano - Viette
n–11 2 3 n
n
ar r r ... r –
a=+ + + + "Suma de raíces"
n–21 2 1 3 n–1 n
n
ar .r r .r ... r .r
a+ + + = "Suma de productos Binarios"
n 01 2 3 n
n
ar .r .r .....r (–1)
a= "Producto de raíces"
* Si los coeficientes de la ecuación son racionales entonces si una raíz es a b+ ,
la otra es a – b .
* Si los coeficientes de la ecuación son reales, entonces si una raíz es iα β+ ,
entonces la otra es – iα β .
* n n–1 n–2(x) n n–1 n–2 0P a x a x a x ... a 0= =+ + + + por cada cambio de signo es una
raíz positiva.
* n n–1(–x) n n–1 0P a (–x) a (–x) ... a 0= =+ + + por cada cambio de signo es una raíz
negativa, o, menos en una cantidad par.
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ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN
Definiciones:
1.
2.
3.
4. < < < <
5. < >
Sea: { a ; b ; c } IR
“a” es no positivo a 0
“a” es no negativo a 0
a b a < b a = b
a b c a b b c
a b b a
∈
∨
TEOREMAS FUNDAMENTALES
T1:
T2: > >
T3: >
T4: >
T5: < >
a 0 ; a IR , n Z+
a b a ± m b ± m
a b m > 0 am > bm
a/m > b/m
a b m < 0 am < bm
a/m < b/m
a b 1/a 1/b
( a y b tienen el mismo signo)
2n ∀
⇒
∧
∧
Importante:
+ + > >Sea:
ax bx c 0 ; a 0 x IR
2
b – 4ac2
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ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN
Inecuación....
Polinomial
De primer grado
De segundo grado
De grado superior
Fraccionaria
Irracional
Exponencial
Logarítmica
Trigonométrica
C
B
A
ax b 0+
ax bx c 02+ +
a 0
grado mayoro igual a 3
P(x) 0Q(x)
n P(x) 0
log x 4 22 – <
b bP(x) Q(x)
Sen x Cosx 0,52 + >
><
><
><
><
><
Se aplica el criterio de los puntos críticos.Importante:
Si: P(x) Q(x) 0Q(x) Si: b 1 b x by x y
Si: 0 b 1 bx by x y
> > >
< < < >
S1: Si:
P(x) P(x) 0S2: Elevamos a un exponente igual
al indice y resolvemos.Luego el C.S. es: S1 S2
2nA
B
C
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Definición
a; si : a 0a
–a; si : a 0≥
<
= • |a| ≥ 0
• |a| = |–a|
• |ab| = |a||b|
• a a ; b 0b b
≠=
Ecuaciones convalor absoluto
|x| = 0 ⇔ x = 0;
x a a 0 x a x –a∧ ≥ ⇔ ∨= = =
|x| = |a| ⇔ x = a ∨ x = –a |x| ≤ a ⇔ (a ≥ 0) ∧ –a ≤ x ≤ a
|x| ≥ a ⇔ x ≥ a ∨ x ≤ –a
|x| ≤ |y| ⇔ (x + y)(x – y) ≤ 0
Inecuaciones convalor absoluto
• a2 = |a|2
• 2a a=
• |a + b| ≤ |a| + |b|
a;b∀ ∈
Propiedades
corte en "y"
corte en "x"GRÁFICA DEUNA FUNCIÓN
Intersección con losejes coordenados.
Extensión de la Función
x=0
y=0
Dominio y Rango
discusiónde la curva
Funciones
Dos pares ordenados nopueden tener el mismoprimer elemento.
Si: (a;b) (a;c) f b c
DOMINIO Domf={x A/ y B (x;y) f}∈ ∃ ∈ ∧ ∈
RANGO Ranf={y B/ x A (x;y) f}∈ ∃ ∈ ∧ ∈
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ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN
BINOMIO DE NEWTON
En el desarrollo de:
N° de términos n 1= +(x a)+ n
En el desarrollo de:
Coeficientes se obtendrási: x a 1
(x a)+ n
= =
En el desarrollo de:(x+a)n
de izquierda a derecha:T =c x ak+1
nk
n–k k
En el desarrollo de: (x+a)n
(x a)+ n = c x an n–k kk=0
n x; a 0n Z
c c c ... c 2+ + + + = nn n n n 0 1 2 n
n 1 2+
n 1 2+ + 1
Si “n” par
Si “n” impar
T T 1c = +n2
1er Tc =
=2do Tc(p+q)n(n+1)
2
En el desarrollo de: (x a )p q n+
T =c x ak+1n k n–kk
“K 1” el lugar+
x
y = x
y
F(x) xDom(F) [0;Ran(F) [0;
==
=
x
y=x2y
x
y=x3y
F(x) x (n par)Dom(F) Ran(F) [0;
= n ==
= IR
F(x) x (n impar)Dom(F) Ran(F)
= n ==
=IR
IR
1. Función constante 2. Función lineal
4. Función raíz cuadrada 5. Función potencia elemental
Funciones especiales
x
y = |x|y
F(x) |x|=Dom(F) Ran(F) [0;
==
IR
3. Función valor absoluto
pendiente
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ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN
1. Definición
xalog b x a b⇔= =
2. Antilogaritmo
a a log b x b antilog x ⇔= =
3. Consecuencias
(a,b , a 1)+∈ ≠
a log 1 0 = ; a log a 1 = ;
alog b a b = ;
a a log b log c b c ⇔= =
4. Propiedades
a a alog (xy) log x + log y = ;
a a ablog log b – log c c
= ;
a a a1colog b log – log bb
= = ;
ca alog b = c log b ;
nm
aam log b log bn
= ;
ca
c
log b log b
log a= ;
a b a log b . log c log c =
5. Ecuación exponencial
xaa b x log b⇔= =
6. Ecuación logaritmica
a a log f(x) log g(x) f(x) g(x) ⇔= =
7. Inecuación exponencial7.1.
xc cx
xc c
log a log b,si: c>1a b
log a log b,si: 0<c<1
>> ⇔ <
7.2.
xc cx
xc c
log a log b,si: c>1a b
log a log b,si: 0<c<1
<< ⇔ >
8. Inecuación logaritmica
a aSi a>1; f(x)>g(x)>0
log f(x) log g(x)Si 0<a<1; 0<f(x)<g(x)
>
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ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN
NÚMEROS COMPLEJOS CNÚMEROS REALES IR
NÚMEROS IMAGINARIOS II
formado por
z a bi= +
Eje real
Eje imaginario
Tenemos:
z = a bi+
|z|
DEFINICIONES
Dado el complejo: z a biComplejo conjugado: a biComplejo opuesto: z* a bi
= +=
= –z –
–
b
a
i = ii = 1i = ii = 1i = ii = 1
1
2
3
4
5
6
––
–
POTENCIAS DE “i”
i i iN = 4k+r = rRepresentación gráfica
Módulo de “z”
Argumento de “z”
|z|cosθ
|z|senθ
Forma Trigonométrica de “z”: z iS )+|z|(Cos en=z |z|cis=
Resultado importantesTeoremas
T1: |z| | | |z*|T2: |z| z.T3:
= ==
zz2
(Cos + iSen ) Cos(n ) + iSen(n )θ n =
de De Moivre
(1 i) = 2i2
(1 i) = –4+ 4
1 i1 i
+–
= i
|z| = a + b22
i 1= –
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ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN
1.
2.
3.
5.
4.
GeometríaFORMULARIO PREUNIVERSITARIO
ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN
Mediana relativa a la hipotenusa
Si BM es la mediana relativa a lahipotenusa ⇒ BM = AM = MC
T. de la Bisectriz T. de la Mediatriz
T. de los Puntos Medios
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1. ABCD es un paralelogramo
2. Si ABCD es un paralelogramo
3. Si ABCD es un paralelogramo
4. Si ABCD es un paralelogramo
5. Si ABCD es un cuadrado
6. Si ABCD es un cuadrado
GeometríaFORMULARIO PREUNIVERSITARIO
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Geometría FORMULARIO PREUNIVERSITARIO
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GeometríaFORMULARIO PREUNIVERSITARIO
ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN
Geometría FORMULARIO PREUNIVERSITARIO
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ab
xy
=
(1)
(2)
(3)
(4)
ab
xy
=
x = ab2
x =ab
a + b
ab
x
ab
x
En todo trapecio (M y N puntos de tangencia)
2 1 1x a b
= +
(5)
a b
yx
A
N
C
M
B
D
x
b
a
yx
ab
(6)
z p
xn
my
m.n.p = x.y.z
(7)
a
x b
y
cz
x.y.z = a.b.c
GeometríaFORMULARIO PREUNIVERSITARIO
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(1)
a2 = c.m h2 = m.n
a.b= c.h a2 + b2 = c2
b2 = c.n
(2)
1 1 1x R r
= +
(3)
2x a b= ⋅
a b m n⋅ = ⋅
a b m n⋅ = ⋅
(4)
x 2 R r=
3 3 32 2 2a b c+ =
3h abc=
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ABCA mn∆ =
ABCA p.r∆ =
a b cp2
+ +=
ABCabcA4R∆ =
S abT mn
=
ABCAS
4∆=
A
B
C
S
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• Círculo: • Sector Circular
= π
π=
2
2
S R
dS4
απ=2RS
360
• Corona Circular
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Teorema de Euler
C V A 2 + = +
Donde:
C: N.° carasV: N.° vérticesA: N.° aristas
Ángulo diedro
Notación:diedro AB (d–AB)
Elementos:
* Arista: AB *Caras: P y Q
* Plano: MON
m(diedro AB) = m MON = α
Diedro recto oplanos
perpendiculares
P Q
Si: MN AB MN P
MN Q
⊥ ⊥ ⇒ ⊥
⊂
Tetraedro regular
C = 4; V = 4; A = 6
2TA a 3= ;
3aV 212
=
a 6h3
=
Hexaedro regular
C = 6; V = 8; A = 12
2TA 6 a= ; 3V a=
d a 3=
Octaedro regular
C = 8; V = 6; A = 12
2TA 2a 3= ;
3a 2V3
=
D a 2=
GeometríaFORMULARIO PREUNIVERSITARIO
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h
BO
ap
g gh
r
g
r B
h
B
B
B
h
Fórmulas
1. V B.h=
2. LPerímetro de
A .h la base
=
3. T LA A 2B= +
Fórmulas
1. 2V r g= π
2. LA 2 rg= π
3. TA 2 r(g r)= +π
Cílindro rectoPrisma recto
Pirámide regular Cono recto
Fórmulas
1.Bh
V3
=
2. Lsemiperímetro
A .Ap de la base
=
3. T LA A B= +
Fórmulas
1.2r h
V3
=π
2. LA rg= π
3. TA r(g r)= +π
2 2 2 Ap h ap = + 2 2 2 g h r = +
Geometría FORMULARIO PREUNIVERSITARIO
ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN
Esfera Fórmulas:
1. = π 34V R
3
2. = π 2TA 4 R
Polígonos regulares En todo polígonoequiángulo:
Fórmulas
iSm 180 (n 2)= ° −
eSm 360= °
N°Diagonales: ND
Dn(n 3)
N2−
° =
Fórmulas
c
c
:medidadelángulocentral
360n
α
°α =
i1180 (n 2)
mn
° −=
e1360
mn
°=
Fórmulas
(n 2)180
n−
θ = °
360n
°α =
GeometríaFORMULARIO PREUNIVERSITARIO
ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN
ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN
FORMULARIO PREUNIVERSITARIO GEOMETRÍA ANALÍTICA
Sistema de Coordenadas Rectangulares o Cartesianas
Está formado por dos rectas que se cortan en forma perpendicular (una horizontal y otra vertical) en un origen y determinan un plano bidimensional que contiene infinitos puntos.
Al plano formado por dichos ejes se llama Plano Cartesiano.
Los ejes dividen al plano cartesiano en cuatro partes llamados cuadrantes.
X: Eje de abscisas Y: Eje de ordenadas
Coordenadas Cartesianas de un Punto
Se ha visto que al poner en movimiento a un punto nos engendra una línea, la cual al ponerse en movimiento engendra una superficie, y ésta a su vez, al ponerse también en movimiento engendra un volumen, se puede
concluir que todas las figuras geométricas tienen como base de formación el punto. Para su estudio, cuando menos por ahora, utilizaremos el Sistema Cartesiano de Ejes Rectangulares. Dentro de éste convendremos en que siempre que se hable de un punto conocido o de posición fija, designaremos sus coordenadas por las letras x e y con índices, mientras que siempre que se trate de un punto móvil o de posición desconocida sus coordenadas serán simplemente “x” y “y” sin índices.
Por ejemplo en la figura anterior, si tenemos una circunferencia de radio conocido, referida a un sistema de ejes, su centro es un punto conocido, de manera que al referirnos a él podemos
decir, el punto C x ,y1 1 , en tanto que
si suponemos que esta circunferencia es descrita por el extremo libre del compás, dicho extremo es un punto cuyas coordenadas cambian para cada posición, de tal manera que al mencionarlo podemos decir, el punto M(x, y).
XX '
Y
Y '
1 1C x , y
M x , y
X
Y
I CII C
IV CIII C
ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN
FORMULARIO PREUNIVERSITARIO GEOMETRÍA ANALÍTICA
1. Coordenadas de un PuntoEl conjunto de todos los paresordenados (x, y) se llama plano
numérico y se denota con 2
R , así: 2
R x,y / x R,y R
1x : es la abscisa del punto P.
1y : es la ordenada del punto p.
2. Distancia entre dos puntos
2 21 2 1 2 d x x y y
3. Coordenadas del punto medio
Sean m mP x ,y las coordenadas del
punto medio.
mx : Semisuma de las abscisas
my : Semisuma de las ordenadas
1 2 1 2m m
x x y y x ; y =
2 2
4. Coordenadas de dos puntos detrisección
1 2 1 2m m
2x x 2y y x ; y =
3 3
2 1 2 1n n
2x x 2y y x ; y =
3 3
5. Coordenadas del Baricentro de unTriángulo
Si: G(x, y) , es la posición del baricentro
de un triángulo ABC, tal que:
1 1A (x ; y ) ; 2 2B (x ; y ) ; 3 3C (x ; y )
Entonces:
XX '
Y
Y '
1x
1y
1 1P x .y
Y
Y '
XX '
2 2 2P x ,y
1 1 1P x ,y
O
m mM x ,y
Y
Y '
XX '
2 2 2P x ,y
1 1 1P x ,y
O
m mM x ,y
n nN x ,y
1 1A x ;y
3 3C x ;y
2 2B x ;y
G
X
Y
O
Y
Y '
XX '
2 2 2P x ,y
1 1 1P x ,y
O
d
ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN
FORMULARIO PREUNIVERSITARIO GEOMETRÍA ANALÍTICA
Se cumple que:
1 2 3x x x x
3
1 2 3y y y y
3
La Recta
Es la representación geométrica de los números reales
6. Sistema Coordenado Lineal:
A la correspondencia que existe entre puntos de una recta y los números reales se denomina sistema coordenado lineal.
De la figura los puntos O, A, B, P tienen por coordenada unidimensional a los números 0, 1, 2 y “x” respectivamente.
7. Distancia entre dos puntos de larecta:
2 1 1 2x x x x PQ
: Valor absoluto
8. Punto medio
9. Pendiente de una recta:
Es la inclinación que tiene dicha recta con respecto al eje positivo de las abscisas.
1 2
1 2
y y m tanθ
x x
Si “m” es positiva, el ángulo es
agudo y, cuando es negativa, dicho ángulo es obtuso (mide más de 90º), pero sin llegar a 180º ni sobrepasar este valor.
10. Ángulo entre dos rectas
1m : pendiente de 1L
2m : pendiente de 2L
Observe que el lado final del ángulo “ ” es
2L y el lado inicial es 1L .
2 1
1 2
m m tan
1 m m
O A B P
0 1 2 x
PQ
P Q
1x 2x
P Q
1x 2xx
M
Y
Y '
XX '
2 2 2P x ,y
1 1 1P x ,y
Oθ
Y
Y '
XX 'O
1L
2L
Números positivos +
Números negativos
0
ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN
FORMULARIO PREUNIVERSITARIO GEOMETRÍA ANALÍTICA
11. División de un segmento en unarazón dada.
Si: 1 1 1P (x ; y ) y 2 2 2P (x ; y ) son los
extremos de 1 2P P , las coordenadas del
punto P(x; y) que divide a este
segmento en una razón “r”.
1
2
P P r
PP; son:
1 2x r x x
r 11 2y r y
y r 1
Posiciones Relativas de las Rectas:
a) Rectas Paralelas
Dos rectas son paralelas cuando sus pendientes son iguales.
1 2 1 2 L // L m m
b) Rectas Perpendiculares
Dos rectas son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes resulta ser –1.
1 2 1 2 L L m m 1
Ecuación de la Recta
1er. CASO:
La ecuación de una recta se determina cuando se conoce la pendiente “m” y un
punto 0 0 0P (x , y ) que pertenece a la
recta.
0 0y y m x x
2do CASO:
La ecuación de una recta se determina cuando se conoce dos puntos de la
recta 1 1 1P (x , y ) , 2 2 2P (x , y ) .
2y
Y
1y
y
1P
2P
P
X' X1x x
2x
Y'
Y'
1LY
XX'
2L
O
Y'
1LY
XX'
2L
O
O
0 0 0P x , y
Y
Y'
X' X
L
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2 11 1
2 1
y y y y x x
x x
3er. CASO:
La ecuación de una recta se determina cuando se conoce los puntos de intersección con los ejes del plano
cartesiano (a, 0) , (0, b) .
yx1
a b
A esta ecuación se le denomina ecuación simétrica de la recta.
Donde a 0 y b 0
4to CASO:
La ecuación de una recta se determina cuando se conoce el punto de
intersección con el eje “Y” (0, b) y la
pendiente “m”.
y mx b
Ecuación General de la Recta
Ax By C 0
Despejando “y”: A C
y xB B
La pendiente es: A
m=B
Observaciones:
a) Si m 0
b) Si m 0
2 2 2P x ,y
1 1 1P x ,y
Y
Y'
L
XX'
XX'
Y'
Y
(0, b)
(a, 0)
L
XX'
Y'
Y
(0, b)
L
y mx b
θ
Y
Y'
XX'O
y mx b
θ
Y
Y'
XX'O
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c) Si L // x m 0
d) Si L // y m no está definida
Forma Normal de la ecuación de una Recta
x Cos y Sen p 0 . .
Donde:
P: longitud de la normal desde el origen (p siempre es positivo)
1OP L donde 1OP es la normal
0º 360º
Distancia de un punto a una recta
Ecuación de L: Ax By C 0
Punto 0 0P(x , y )
Distancia del punto P a L
0 0
2 2
Ax By C d
A B
Distancia entre dos rectas paralelas dadas las rectas
1 1L : Ax By C 0
2 2L : Ax By C 0
1 2
2 2
C C d
A B
Área de un Triángulo
Si se conoce tres puntos no colineales:
1 1A (x , y ) ; 2 2B (x , y ) ; 3 3C (x , y )
XX '
Y
Y'
b y b
O
XX '
Y
Y'
x a
Oa
Y
Y'
XX'O
L
p
Y
Y'
XX'O
L
d
0 0P(x , y )
XX '
1L
d2L
Y
Y'
O
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Entonces el área de la región se calcula por el valor absoluto de:
1 1
2 2
3 3
x y 11
S x y 12
x y 1
Método Práctico para determinar el área de una región triangular
Si se conoce tres puntos no colineales
1 1A (x , y ) ; 2 2B (x , y ) ; 3 3C (x , y )
Entonces el área de la región se calcula por el valor absoluto de:
Área: 1
S N M2
En esta fórmula los valores de N y M son productos combinados de las coordenadas de los puntos que forman la región triangular, tal como sigue:
Sabiendo que:
Área de un Polígono
Sea 1 2 3 nA .A ,A ,......A , un polígono
cuyos vértices, nombrados en sentido antihorario tienen coordenadas:
1 1 1A x ;y , 2 2 2A x ;y , 3 3 3A x ;y ,
… , n n nA x ;y
El área del polígono estará dado por el siguiente determinante:
1 1A x ;y
3 3C x ;y
2 2B x ;y
X
Y
O
S
1 1A x ;y
3 3C x ;y
2 2B x ;y
X
Y
O
S
1 1
1 2 2 2 1 2
2 3 3 3 2 3.
x y
y x x y x y
y x x y x y
.
.
.
.
.
.
.
.
3 1 1 1 3 1 y x x y x y
M N
1 1
1 2 2 2 1 2
2 3 3 3 2 3
3 1 1 1 3 1
x y
y x x y x y
y x x y x y
y x x y x y
M N
3A
XO
2A
1A
nA
n 1A4A
5A
X '
Y '
S
Y
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1 S N M
2
Secciones Cónicas
Definición:
A continuación estudiaremos 4 curvas que por su importancia y aplicaciones en algunas ramas de la ciencia, es necesario considerarlas. Cada una de estas curvas se describirá como un lugar geométrico y se demostrará que cada una de ellas es la gráfica de una ecuación cuadrática en “x” o “y”, que se puede representar como caso especial de la ecuación general siguiente:
2 2 Ax Bxy Cy Dx Ey F 0
En donde los coeficientes A, C, D, E, y F, son números reales que determinan el tipo de curva correspondiente que, en caso de existir, tendremos la línea recta, la circunferencia, la parábola, la elipse o una hipérbola.
En otros casos la curva, puede presentarse como una recta o un par de rectas, también puede ser un punto o el conjunto vacío.
Se llama CÓNICA al conjunto de puntos que forman la intersección de un plano con un cono de revolución de dos mantos, estas cuatro curvas son: la circunferencia, la parábola, la elipse y la hipérbola.
DISCRIMINANTE DE LA ECUACIÓN
A partir de la ecuación general:
2 2 Ax Bxy Cy Dx Ey F 0
podemos saber de qué cónica se trata
recurriendo al binomio 2
B 4AC ,
llamado discriminante de la ecuación, el cual se representa con la letra D de
donde: 2
D B 4AC
Por lo cual tenemos los casos siguientes:
Si: 2
D B 4AC 0 , se trata de una
Elipse
Si: 2
D B 4AC 0 , se trata de una
Parábola
Si: 2
D B 4AC 0 , se trata de una
Hipérbola
Es decir: Si el valor del discriminante de una ecuación es negativo, cero o positivo nos indica que la ecuación corresponde a una elipse, a una parábola o a una hipérbola respectivamente.
Circunferencia
Es el lugar geométrico de un punto
P(x, y) del plano, que se mueve a una
distancia constante (Radio) de un punto fijo del plano (Centro). Si tenemos:
A B
X
Y
O
E
F
TLC
r
NL
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Donde: C : Centro de la circunferencia r : radio
AB : Diámetro = 2r
EF : Cuerda
NL : Recta Normal
TL : Recta Tangente
Formas de la Circunferencia
1. Forma OrdinariaCuando el centro de la circunferencia esun punto cualquiera (h, k).
2 2 2 (x h) (y k) r
2. Forma Canónica
La forma canónica de una ecuación seda cuando el centro de la circunferencia es el origen de
coordenadas h 0 y k 0 .
2 2 2 x y r
3. Circunferencia tangente al eje “x”
Se da cuando: r k
2 2 2x h y k k
4. Circunferencia tangente al eje “Y”
Se da cuando: r h
2 2 2 (x h) (y k) h
5. Ecuación General de la Circunferencia
2 2 x y Ax By C 0
Completando Cuadrados 2 2
A B A B 4Cx x
2 2 4
De aquí se tiene tres casos:
1er Caso: Si: 2 2
A B 4C 0
Entonces: A B
C ;2 2
además:
X
Y
O
r
P x,y
h
k C h,k
X
Y
O
k
h
k C h,k
X
Y
O
h
h
k C h,k
X
Y
O
r
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2 21r A B 4C
2
2do. Caso: Si: 2 2
A B 4C 0
Entonces: A B
C ;2 2
(Representa
un solo punto)
3er Caso: Si: 2 2
A B 4C 0
Entonces: (La ecuación representa a una circunferencia imaginaria)
Ecuación de una Circunferencia que pasa por tres puntos
La ecuación de una circunferencia que pasa por tres puntos conocidos
1 1 1P x ,y , 2 2 2P x ,y y 3 3 3P x ,y ,
estará dada por la siguiente determinante:
2 2
2 21 1 1 1
2 22 2 2 2
2 23 3 3 3
x y x y 1
x y x y 10
x y x y 1
x y x y 1
El cual permite determinar las incógnitas A, B, C de la ecuación.
2 2x y Ax By C 0
Intersección de dos circunferencias secantes Dadas las ecuaciones de dos circunferencias secantes, es posible calcular sus puntos de intersección hallando previamente la recta “eje radical” cuya ecuación está representada por la expresión que resulta de anular mediante cancelación los términos cuadráticos de las ecuaciones de las circunferencias.
La Parábola
Se describe geométricamente como la curva que resulta al interceptar un cono recto circular y un plano paralelo a la generatriz del cono.
Es el lugar geométrico de un punto
P(x, y) del plano, que se mueve a una
distancia que equidista de una recta fija (Directriz) y de un punto fijo F (Foco) que no pertenece a la recta fija.
Elementos que se relacionan entre si en una parábola cualesquiera. Donde:
F : Foco (Punto fijo) V : Vértice (Punto fijo)
1L : Eje focal ( a L )
CD : Cuerda focal
AB : Lado recto ( 1 a L )
VF P : Distancia focal
VF VG
FORMAS DE LA PARÁBOLA
PARÁBOLA DE VÉRTICE EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL EL EJE “X”
Y
L
D
BF
V C A
P x,y
X
1L Directriz
Eje focal
G
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Cuya ecuación es: 2
y 4px
a) Primer caso: Si p 0 , la parábola
se abre hacia la derecha
b) Segundo caso: Si p 0 , la parábola
se abre hacia la izquierda y la recta directriz es perpendicular al eje “X”
Donde:
AB 4p Lado recto
x p Ecuación de la directriz
PARÁBOLA DE VÉRTICE EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL EL EJE “Y”
La recta directriz es siempre paralela al eje “X” y el eje focal es el eje “Y” Cuya ecuación es:
2 x 4py
a) Primer caso: Si p 0 , la parábola
se abre hacia arriba.
b) Segundo caso: Si p 0 , la parábola
se abre hacia abajo.
Donde:
AB 4p lado recto
x p Ecuación de la directriz
Parábola de vértice V(h, k) y eje focal paralelo al eje “X”
La recta directriz es siempre paralela al eje “Y” y el eje focal es paralelo al eje “X”. La ecuación es:
2y k 4p x h
a) Primer caso: Si p 0 , la parábola
se abre hacia la derecha
Y
X
L
F p,0V
dd
F p,0
A
B
L
XV
Y
dd
Y
XP x,y
L
V 0,0
F 0,p
A BF(0, p)
P(x, y)
V(0, 0)
L
X
Y
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b) Segundo caso: Si p 0 , la parábola
se abre hacia la izquierda.
Donde:
AB 4p Lado recto
x h p Ecuación de la directriz
Parábola de vértice V(h, k) y eje focal paralelo al eje “Y”
Cuya ecuación es: 2
x h 4p y k
En forma análoga a los casos anteriores:
a) Si p 0 , la parábola se abre hacia
arriba
b) Si p 0 , la parábola se abre hacia
abajo
Donde:
AB 4p Lado recto
x k p Ecuación de la directriz
Ec. General de la Parábola
2 2 Ax By Cx Dy E 0
a) Si el eje es paralelo o coincide con el
eje “x” A 0, B 0, C 0 luego la
ecuación será: 2
y ay bx c 0
b) Si el eje es paralelos o coincide con
el eje “y” A 0, B=0, D 0 luego la
ecuación será: 2
x ax by c 0
Ecuación de la Tangente y la Normal a la parábola
a) Para la parábola: 2
y 4px
Y
X
F h p, k
L : x h p
V(h, k)
P(x, y)
Y
X
F h p, k
L : x h p
V(h, k)
P(x, y)
Y
X
P x,y
L
V h, k
F h, k p
TL
X
YNL
SL
2y 4px
P(x, y)
1 1 1P (x , y )
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LS 2 1
LT 1
1LN
4p m
y y
2p m
y
y m
2p
T 1 11
1N 1 1
2p L : y y x x
y
yL : y y x x
2p
b) Para la parábola2
y k 4p x h
T 1 11
1N 1 1
2p L : y y x x
y k
y kL : y y x x
2p
c) Para la parábola:2
x 4py
2 1LS
1LT
LN 1
x x m
4p
x m
2p
2p m
x
1T 1 1
N 1 11
x L : y y x x
2p
2pL : y y x x
x
d) Para la parábola
2x h 4p y k
1T 1 1
N 1 11
x h L : y y x x
2p
2pL : y y x x
x h
Teoremas
1. La recta tangente a la parábola2
y 4px en cualquier punto 1 1 1P x ,y
de la curva tiene por ecuación:
T 11L : y y 2p x x.
2. La recta tangente de pendiente “m” a
la parábola 2
y 4px tiene por
ecuación:
Tp
L : y mxm
; donde m 0
Elipse
Es el lugar geométrico de un punto
P x, y que se mueve en un plano de
tal manera que la suma de sus
distancias a dos puntos fijos 1F y 2F de
ese plano, es una constante.
Una elipse es en realidad un círculo deformado que además de poseer centro tiene dos focos.
TL
X
Y
NL
2x 4py P(x, y)
1 1 1P (x , y )
SL
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Donde:
1 2
1 2 1 2
1 2
1 1 2
C : Centro
V y V : Vértices
F y F : Focos F F 2C
L : Eje focal Eje mayor : V V 2a
L : Eje normal Eje menor : B B 2b
DD y D'D': Directrices
1 2
1 2
TU : Lado recto
MI : Cuerda focal
RE : Diámetro
PF y PF : Lado recto
F F : Segmento focal
Relaciones Fundamentales
2 2 2a b c
Elipse de Centro el Origen y Eje focal el Eje “X”
Cuya ecuación es: 22
2 2
yx1
a b
Donde:
* 1V a,0 y 2V a,0 , son los
vértices de la elipse.
* 1B 0,b y 2B 0, b son los
extremos del eje menor.
* 1 2F c,0 y F c,0 : Son los focos
* 2
ax
c; Ecuación de la directriz
* e: excentricidad: c
ea
* Lado recto:2
2b
a
Elipse de Centro el Origen y Eje Focal el Eje “Y”
Y
X
D '
D '
O D
D
V1
V2
T
U
R
E
M
I
B1
P
F1
F2C
2a
2c
2V1V
2B
1B
1F 2FO2b
2V1V
P
1F 2FO
a ab
c c
2V1V
1B
1F 2F
2B
P x,y
Y
X
1V
1B2B
P x,y
X
2VY
1F
2F
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Cuya ecuación es: 2 2
2 2
yx1
b a
Donde:
* 1V 0, a y 2V 0,a : Son los
vértices de la elipse.
* 1B 0,b y 2B b,0 : Son los
extremos del eje menor.
* 1 2F 0, c y F 0,c : Son los focos
* 2
ay
c: Ecuación de la directriz
* e: excentricidad: c
ea
* Lado recto:2
2b
a
Elipse de centro el punto C h,k y
Eje Focal paralelo al Eje “x”.
Cuya ecuación es: 22
2 2
y kx h1
a b
Donde:
* 1V h a,k y 2V h a,k : Son los
vértices de la elipse.
* 1 2B h,k b y B h,k b son los
extremos del eje menor
* 1 2F h c,k y F h c,k : Son los
focos
* 2
ax h
c; Ecuación de la directriz
Elipse de Centro el Punto C h,k y
Eje Focal paralelo al Eje “Y”
La ecuación de la elipse cuyo eje focal es paralela al eje “Y” esta dado por la ecuación.
22
2 2
y kx h1
b a
Cuyos elementos se encuentra relacionados entre si, entre sus elementos se tiene:
* 1V h,k a y 2V h,k a : Son los
vértices de la elipse.
* 1 2B h b,k y B h b,k son los
extremos del eje menor
* 1 2F h,k c y F h,k c : Son los
focos
* 2
ax k
c; Ecuación de la directriz
2V1V
1B
1F 2F
2B
P x,y
C
1V
1B2B
P x,y
X
2V
1F
2F
Y
C
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Propiedades de la Elipse
Donde:
1 2
1 2
d P,F d P,Fe
d P,L d P,L
e: excentricidad de la elipse
Propiedades:
* 1 1 1 2d B ,F d B ,F a
2 1 2 2d B ,F d B ,F a
* 1 2a
d C,L d C,Le
* c ae
* 2 2 2
a b c
* c
0 e 1 ó e= <1 a
* Lado recto2
2b
a
Ecuación General de la Elipse
2 2 Ax By Cx Dy E 0
Reduciendo a la forma ordinaria:
2 2C D
x y2A 2B 1
BT AT
Donde: 2 2
2 2
BC AD 4ABE T
4A B
Recta tangente a una elipse
1er Caso: Ecuación de la recta tangente a la elipse:
22
2 2
yx1
a b
En cualquier punto 1 1P x ,y
2 2 2 2T 1 1L : a yy b xx a b
2do. Caso: Ecuación de la recta tangente de pendiente “m” a la elipse.
22
2 2
yx1
a b
2 2 2T L : y mx a m b
Ecuación del Diámetro de una Elipse
1er Caso: Si la elipse es:
22
2 2
yx1
a b
P x,y un punto del lugar geométrico y
Y
X
D '
O
L2
V1
V2B1
F1
F2
directriz
B2
P x, y b
a
directriz
L1
c ae
2V1V
Y
X
1 1 1P x ,y
O
m
TL
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1 1 1P x ,y , 2 2 2P x ,y los extremos de
la cuerda dado que “p” biseca 1 2P P .
2
2
b x L : y
a m
2do Caso: Si la elipse es:
22
2 2
yx1
b a
La ecuación del diámetro es: 2
2
a x L : y
b m
3er Caso: Si la elipse es:
22
2 2
y kx h1
a b
La ecuación del diámetro es: 2
2
b x h L : y k=
a m
4to Caso: Si la elipse es:
22
2 2
y kx h1
b a
La ecuación del diámetro es: 2
2
a x h L : y k=
b m
Diámetros Conjugados Si tenemos la elipse
22
2 2
yx1
a b
La ecuación del diámetro que biseca a las cuerdas de pendiente “m” es:
2
2
b x L : y
a m
Ecuación de su diámetro conjugado
1L : y mx
Propiedades:
1ro. Si la elipse es de la forma 22
2 2
yx1
a b
Entonces: 2
1 2
b m m
a
“m” y 1"m " pendientes de los diámetros
conjugados.
2do. Si la elipse es de la forma: 22
2 2
y kx h1
b a
Entonces: 2
1 2
a m m
b
“m” y 1"m " pendientes de los diámetros
conjugados.
Cuerda de contacto Observemos un ejemplo al tener la elipse de ecuación:
22
2 2
yx1
a b Y
X
1 1 1P x ,y
O
m
L
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La cuerda de contacto en una elipse se genera si cuando desde un puno fijo
exterior 1 1 1P x ,y de la elipse se trazan
dos tangentes a dicha elipse, la ecuación de la recta que pasa por los puntos de tangencia esta dado por:
2 2 2 21 1L : a b a b yy xx
Hipérbola
Es el lugar geométrico de un punto
P x,y que se mueve en un plano de
tal manera que la diferencia de sus
distancias a dos puntos fijos 1 2F y F
llamados focos, es siempre igual a una constante positiva “2a”.
Elementos:
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
1 2
C : Centro y punto medio de F F
V y V : Vértices
F y F : Focos F F 2c
Eje transversol V V 2a
Eje conjugado B B 2b
AB : Lado recto
MT : Cuerda focal
PF y PF : Radio vector
Excentricidad “e” de la Elipse:
1 2
1 2
d P,F d P,Fe
d P,L d P,L
Propiedades:
* Lado recto2
2b
a
* 2 2 2
a b c
* c ae
* 1 2a
d C,L d C,Le
* c
e 1a
* si a b , entonces la hipérbola es
equilátera: e 2
* Distancia entre las rectas directrices2
12a
L L2c
Relaciones Fundamentales
Hipérbola de Centro el Origen y Eje Focal el eje “X”
X
Y
1F
2F
C
A
B
1V
2V
2B
1B
M
TP
1F 2F1V 2V
P x,y
1F 2F
2B
1B
1V 2V
2C
2a
2b
ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN
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Cuya ecuación es: 22
2 2
yx1
a b
Donde:
* 1 2V a,0 y V a,0
* 1 2F c,0 y V c,0
Ecuación de sus Directrices 2
ax
c
Hipérbola de Centro el Origen y Eje Focal el Eje “Y”.
Cuya ecuación es: 2 2
2 2
y x1
a b
Donde:
1 2V 0, a y V 0,a
1 2F 0, c y F 0,c
Ecuación de sus Directrices 2
a y
c
Hipérbola de centro el punto C h,k
y Eje Focal Paralelo el Eje “X”
Cuya ecuación es: 22
2 2
y kx h1
a b
Donde:
* C h,k : centro
* x' x h y ' y h
* 1 2V h a,k y V h a,k
* 1 2F h c,k y F h c,k
* Lado recto:2
2b
a
* Excentricidad: c
e 1a
* Asíntotas:b
y k x ha
* Eje Focal: y k
* Eje conjugado: x h
Ecuación de sus Directrices 2
a x h
c
Las coordenadas del punto P, pueden tomarse con referencia a los ejes X’Y’ para facilidad de cálculo.
1F
2F
1V
2V
P(x,y)
X
Y
1F 2F1V 2V
P(x,y)
X
Y
X
Y
C
C
ARQ° MOGROVEJO CON LA EDUCACIÓN
FORMULARIO PREUNIVERSITARIO GEOMETRÍA ANALÍTICA
Hipérbola de Centro el Punto C(h, k) y Eje Focal paralelo al Eje “Y”.
Cuya ecuación es: 2 2
2 2
y k x h1
a b
Donde:
* C h,k : centro
* x' x h y ' y h
* 1 2V h,k a y V h,k a
* 1 2F h,k c y F h,k c
* Lado recto:2
2b
a
* Excentricidad: c
e 1a
* Asíntotas:a
y k x hb
* Eje Focal: x h
* Eje conjugado: y k
Ecuación de sus Directrices 2
a y k
c
Asíntotas de una Hipérbola
Se denominan asíntotas a las rectas que limitan a la curva y no la intersecan, son las que le dan el carácter de simétrica a la hipérbola.
22
2 2
P= a,byx1
R a,ba b
1bx
L : ya
2bx
L : ya
2do. Hipérbola Vertical: 22
2 2
P= a,by x1
R a,ba b
1ax
L : yb
2ax
L : yb
Observaciones:
a) Las asíntotas de cualquier hipérbolahorizontal o vertical pueden obtenerseigualando a cero el segundo miembro
1V 2V
1L
X
Y2L
1B
2B
R R
1L2L
1B2B
1V
2VR
X
Y
1F
2F
1V
2V
P(x,y)
XC
Y
X
Y
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de la ecuación correspondiente y
despejando y F x .
* Hipérbola Horizontal22
2 2
yx0
a b
Despejando: 2 2
2
2
b x bxy y
aa
* Hipérbola Vertical22
2 2
y x0
a b
Despejando: 2 2
2
2
a x axy y
bb
b) Las asíntotas de las hipérbolas en suforma canónica son conjugadas. Esdecir, si la ecuación de la hipérbola es:
2 2 2 2 2 2b x a y a b
bx ay bx ay 0
Luego:
bx ay 0 ó bx ay 0
c) Las asíntotas de una hipérbola sirvencomo líneas de guía en el gráfico
Hipérbola Rectangular o Equilátera
Si el rectángulo fundamental de la hipérbola es un cuadrado. Las asíntotas
son perpendiculares a b
Las cuatro formas son:
1. 2 2 2
x y a
2. 2 2 2
y x a
3. 2 2 2
x h y k a
4. 22 2
y k x h a
Observaciones: a) La excentricidad de una hipérbola
equilátera es constante e igual a 2 .
2 2c a a
e 2a a
b) La longitud de cada lado recto de unahipérbola equilátera es igual a lalongitud del eje transverso o conjugado.
Lado recto2
2a2a
a
También:
Lado recto2
2b2b
b
c) Si 1 1 1P x ,y es un punto cualquiera
de la hipérbola: 2 2 2
x y a y 1d , 2d
son las distancias del punto 1P a las
asíntotas:
1L : x y=0 y 2L : x+y=0
Entonces:
1 11
x yd
2 y
1 12
x yd
2
Donde: 2 2 2
1 11 2
x y ad d
2 2
El producto de multiplicar las distancias de un punto cualquiera de la hipérbola a sus asíntotas, es constante.
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Ecuación General de la Hipérbola
2 2Ax By Cx Dy E 0
Reduciendo a la forma ordinaria 2 2
C Dx y
2A 2B1
t t
A B
Donde: 2 2
C Dt A x B y
2A 2B
Observación:
* Si t 0 , la ecuación representa una
hipérbola con eje real o transversocoincidente o paralelo al eje “X”.
* Si: t 0 , la ecuación representa
dos rectas concurrentes
* Si: t 0 , la ecuación representa
una hipérbola con eje realcoincidente o paralelo al eje “y”.
Tangentes a una Hipérbola
1er. Caso:
Ecuación de la recta tangente a la Hipérbola:
2 2 2 2 2 2b x a y a b , en un punto
cualquiera 1 1 1P x ,y de la curva es:
2 2 2 2T 1 1L : b xx a yy a b
2do Caso:
Ecuación de la recta tangente a la Hipérbola:
2 2 2 2 2 2b y a x a b ; en un punto
cualquier 1 1 1P x ,y de la curva es:
2 2 2 2T 1 1L : b yy a xx a b
3er Caso:
Las ecuaciones de las rectas tangentes a la Hipérbola:
2 2 2 2 2 2b x a y a b , de pendiente “m”
son:
2 2 2TL : y mx a b m
am
b
Cuerda de Contacto
Si la hipérbola es de ecuación: 2 2 2 2 2 2
H: b x a y a b
La ecuación de la cuerda de contacto
MN es: 2 2 2 2
1 1 L : b xx a yy a b
Ecuación del Diámetro de una Hipérbola
1er. Caso
Consideremos la Hipérbola: 2 2 2 2 2 2
H: b x a y a b
“P” biseca a 1 2P P
2L
X
Y 1L
1P2F
M
N
O
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Luego: 2
2
b x L : y
a m
Donde “m” pendiente de las cuerdas paralelas
2do caso:
Consideremos la Hipérbola: 2 2 2 2 2 2
H: b y a x a b
La ecuación de un diámetro será:
Luego: 2
2
a xL : y
b m
Diámetros Conjugados en la Hipérbola
Si se tiene la hipérbola de ecuación: 2 2 2 2 2 2
H : b x a y a b
La ecuación del diámetro que biseca a las cuerdas de pendiente “m” es:
2
T 2
b x L : y
a m
La ecuación de su conjugada es:
y mx
Pendiente de TL :
2
1 2
bm
a m
2
1 2
bm m
a
Para que los diámetros sean conjugados se debe cumplir:
2
1 2
a m m
b
Coordenadas Polares
La ubicación de un punto A en el plano, con respecto a un punto fijo “O” se puede hallar también midiendo una distancia orientada bajo un ángulo. A esta forma de ubicar puntos se denomina “coordenada polar de un punto”.
Coordenadas Polares de un Punto
Consideremos sobre un plano, un rayo (OX) con origen en el punto O. denominado eje polar; el punto O se denomina polo.
Relación entre Coordenadas Polares y Rectangulares de un Punto
Para transformar las coordenadas de un punto de un sistema de coordenadas rectangulares a un sistema de coordenadas polares o viceversa, hacemos coincidir los orígenes de los dos sistemas y el eje polar con el eje
2P
X
Y
L
O
1P
O eje polar
A(dis tancia,ángulo)
X
r
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positivo de las abscisas o de las x, como se ve en la figura adjunta en la cual consideramos un punto P, cualquiera. Las coordenadas en ambos sistemas del punto P son:
P (x, y) y P (r, )
Cambio de Sistema de Coordenadas cartesianas a Polares y Viceversa
Aplicando relaciones trigonométricas obtenemos:
ysen y rsen
r… (I)
xcos x r cos
r… (II)
Que son las ecuaciones de transformación de un sistema a otro.
Elevando al cuadrado las expresiones (I) y (II), luego sumando:
2 2 2 2 2 2x y r cos r sen
2 2 2 2 2x y r (cos sen )
Pero: 2 2
cos sen 1
Por lo cual:
2 2 2 2 2r x y r x y … (III)
Las expresiones anteriores (1), (2) y (3) son válidas para todos los puntos del plano, es decir, podemos convertir con
facilidad las ecuaciones rectangulares de las curvas en el plano a su forma polar o viceversa.
Ejemplo 1: Dada la ecuación de la circunferencia:
2 2x y 16
Hallar su ecuación en coordenadas polares.
Solución: Reemplazando por sus equivalentes
2 2 2 2r cos r sen 16
2 2 2r (cos sen ) 16
2r 16 r 4
Ejemplo 2: Hallar la ecuación en coordenadas polares de la relación:
2 2 4 2x y x 4x y
Solución: Reemplazando por sus equivalentes
2 2 2 2 4 4 2 2r cos r sen r cos 4r cos rsen
4 2r cos
2 2 2 2(sen cos ) 4r cos rsen
r( cos2 ) 4sen
r cos2 4sen 0
OX
r
P(x,y)P(r,θ)
Circunferencia
R
L 2 R=
Círculo
A R= 2
Longitud de Arco
R
R
R
0 < < 2
SECTOR CIRCULAR
R
SistemaSexagesimal
Unidad (1°)
1°<>60’1’<>60’’
m
SistemaCentesimal
Unidad (1g)
= 400g
1 <>100
1 <>100
g m
m s
SCR
SistemaRadial
SCR
S9
C R10= =
20
Unidad (1 rad)
=2 rad
223,1416 7≈ ≈
SISTEMAS ANGULARES
=360°
S C R180 200
= =
=2 rad
+≈ ≈3 2 10
m m
m
Trigonometría FORMULARIO PREUNIVERSITARIO
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Área de Sector Circular
R
R
S
--
S = 1 LR2
L
-
-
L
S= L2
2
R
R
S
-
-
221S . R=
TrigonometríaFORMULARIO PREUNIVERSITARIO
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60º
2 k k 3
k
Razones RecíprocasSen A Csc A = 1Cos A Sec A = 1Tan A Cot A = 1
Razonescomplementarias
Sen A = Cos CTan A = Cot CSec A = Csc C
m A m C 90∠ + ∠ °=
Teorema de Pitágoras∆ ABC (recto en B)
a2 + c2 = b2
=
=
=
=
=
=
Cateto OpuestoSen AHipotenusa
Cateto AdyacenteCos AHipotenusa
Cateto OpuestoTan ACateto Adyacente
Cateto AdyacenteCot ACateto Opuesto
HipotenusaSec ACateto Adyacente
HipotenusaCsc ACateto Opuesto
Trigonometría FORMULARIO PREUNIVERSITARIO
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Datos generales
• Lado (a)
• Ángulo ( θ )
Relaciónfundamental
( )lo que quiero R.T.lo que tengo
= θ
RazonesTrigonométricas
C.O. C.A.Sen CosH H
C.O.TanC.A.
= =
=
Área de regióntriangular
abS Sen2
θ=
Cálculo de Sen θ
2SSenab
θ =
Primer caso Segundo caso Tercer caso
TrigonometríaFORMULARIO PREUNIVERSITARIO
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1 2 1 2x x y y,
2 2+ +
PA
Bmk
nk
mA nBPm n
+=+
3. 4.
G: Baricentro
A B CG3
+ +=
a a a; a 0∀ ∈ = >
a a; a 0= − <
2a a=
5. 6.
( ) ( )2 22 1 2 1D x x y y= − + −
1. 2.
Trigonometría FORMULARIO PREUNIVERSITARIO
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ECUACIÓN DE LA RECTA
D. Rectas perpendiculares
= –1 2m m 1
1 2L L⇒ ⊥
C. Rectas paralelas
1 2m m=
1 2L // L⇒
E. Ecuaciones1. Forma General.
L: Ax + By + C = 02. L: y = mx + b
A Pendiente de la recta
m Tan θ=
2 1
2 1
y – ym
x – x=
B. Ángulo de inclinación de larecta
TrigonometríaFORMULARIO PREUNIVERSITARIO
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a = a; a > 0a = –a; a < 00 = 0
m C = 90ºn, n< Ζ
x
su lado finalcoincide con los semi ejes.
SenCsc
TanCot
ParaTodas
CosSec
x: abscisay: ordenadar: radio vector
r = x + y ; r > 02 2
y(x,y)
r
x
θ
Sen Csc
Cos Sec
Tan Cot
Trigonometría FORMULARIO PREUNIVERSITARIO
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R.T.(90 )= CoR.T.( )
R.T(270 )=
± ±
± ±
0º <
R.T.(180º )= R.T.( )
R.T(360º )=
± ±
± ±
0º <
Sen(– ) = –Sen
Tan(– ) = –Tan
Cos(– )= Cos
Si:
Cos Cos 0
Tan Tan 0
Cot Cot 0
Sec Sec 0
+ =
+ =
+ =
+ =
+ =
Si: 2
Sen Sen 0
Tan Tan 0
Cot Cot 0
Csc Csc 0
+ =
+ =
+ =
+ =
+ =
R.T.(360ºK + )= R.T.( )
R.T(2K + )=
0º < K Z
Cot(– ) = –Cot
Csc(– ) = –Csc
Sec(– )= Sec
R.T. (2n) R.T.(0)=
TrigonometríaFORMULARIO PREUNIVERSITARIO
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Trigonometría FORMULARIO PREUNIVERSITARIO
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I.P
itag
óri
cas
I.R
ecí
pro
cas
I.po
r D
ivis
ión
Ide
nti
dad
es
Au
xili
are
s
Sen
x C
osx
12
2+
=
Sen
x 1
C
osx
22
=–
Cos
x 1
S
enx
22
=–
1 Ta
nx
Sec
x +
=
22
Tan
x S
ecx
12
2=
–
1 S
ecx
Tan
x=
–2
2
1 C
otx
Csc
x+
=2
2
Cot
x C
scx
12
2=
–
1 C
scx
Cot
x=
–2
2
Senx
Csc
x 1
=
Senx
1 C
scx
=
Cscx
1 S
enx
=
Cosx
Sec
x 1
=
Cosx
1 S
ecx
=
Secx
1 C
osx
=
Tanx
1
Cot
x=
Cotx
1 Tan
x=
Tanx
S
enx
Cos
x=
Cotx
C
osx
Sen
x=
Senx
T
anxC
osx
=
Cosx
C
otxS
enx
=
Sen
x+Co
s
12S
enxC
os4
2=
– 4
2x
x
(Sen
xCo
s
12S
enxC
os=
±±
x)x
2
Senx
1±Co
sx1
Cos
xSe
nx=
Sen
x+Co
s
13S
enxC
os6
2=
– 6
2x
x
1Se
cx±T
anx
Secx
T
anx
=
Sec
x+Co
s
Sec
xCos
22
=2
2x
x
(1Se
nx+
Cos
2
(1Se
nx)(
1Co
s=
±±
±x)
x)2
Tanx
+ C
ot
Sec
xCsc
=x
x
1 S
enxC
osx
=
Cosx
1 ±Se
nx1
Sen
xCo
sx=
1Cs
cx±C
otx
Cscx
Co
tx=
IDEN
TID
AD
ES T
RIG
ON
OM
ÉTR
ICA
S
TrigonometríaFORMULARIO PREUNIVERSITARIO
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Sen(x y) SenxCosy CosxSeny
Cos(x y) CosxCosy SenxSeny
Tanx TanyTan(x y)1 TanxTany
± ±
±
±±
=
=
=
Si x y z (2n –1) ; n Z2
TanxTany TanxTanz TanyTanz 1
Cotx Coty Cotz CotzCotyCotz
π ∈+ +
+ + +
+ +
=
=
Si x y z n ; n Z
CotxCoty CotxCotz CotyCotz 1
Tanx Tany Tanz TanxTanyTanz
π ∈+ +
+ +
+ +
=
=
=
Trigonometría FORMULARIO PREUNIVERSITARIO
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Cos + Cot=
Seno del doble Coseno del doble
Tangente del doble:
Seno de la mitad
12
Ángulos doble y Ángulos mitad I
Coseno de la mitad
12
Fórmula racionalizada Tangente de la mitad
=
Tan2
Sen2 = 2Sen Cos
Sen 2 = 4Sen Cos2 2 2
Sen2 = Cos Sen2 2–
Cos2 = 2Cos 12 –
Cos2 = 1 2Sen– 2
Tan2 = 2Tan1–Tan θ
Sen2 = 2Tan1+Tan θ
Cos2 = 1 – Tan1+Tan
2
2 θ
a ba b
+ –
x b=
x
a
b
a>b2Tan
1+Tan2
Sen 2
(1 Cos )– Cos 2
(1 Cos )+
Cot 2
Tan 2
Csc – Cot
1 + Cos2 = 2Cos2
1 – Cos2 = 2Sen2
1 – Cosθ
TrigonometríaFORMULARIO PREUNIVERSITARIO
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Ángulo mitad Ángulo triple
xCot Cscx Cotx2xTan Cscx – Cotx2
=
=
+( )
( ) ( )
3Sen3x 3Senx – 4Sen x
Sen3x Senx 2Cos2x 1
Sen3x 4SenxSen 60 – x Sen 60 x
=
= +
= ° ° +
IdentidadAuxiliarx xCot Tan 2Cscx2 2x xCot – Tan 2Cotx2 2
=
=
+ ( )( ) ( )
3Cos3x 4Cos x – 3Cosx
Cos3x Cosx 2Cos2x – 1
Cos3x 4CosxCos 60 – x Cos 60 x
=
=
= ° ° +
1 CosxxCot2 1 – Cosx
1 – CosxxTan2 1 Cosx
±
±
+
+
=
=
( ) ( )3
2
Tan3x TanxTan 60 – x Tan 60 x
3Tanx – Tan xTan3x1 – 3Tan x
= ° ° +
=
'
' 36°
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I. Suna o diferencia a producto
Observación:
A B A – BCosB – CosA 2Sen Sen2 2
= +
II. Producto a suma o diferencia
Observación:
2SenxSeny=Cos(x–y)–Cos(x+y)
2SenxCosy Sen(x y) Sen(x – y)2CosxSeny Sen(x y) – Sen(x – y)
x y2CosxCosy Cos(x y) Cos(x – y)–2SenxSeny Cos(x y) – Cos(x – y)
>
===
=
+ +++ +
+
A B A – BSenA SenB 2Sen Cos2 2
A B A – BSenA – SenB 2Cos Sen2 2 A B
A B A – BCosA CosB 2Cos Cos2 2A B A – BCosA – CosB –2Sen Sen
2 2
+ >
=
=
=
=
+
+
++
+
Propiedades
Sen(x – 120 ) Senx Sen(x 120 ) 0Cos(x – 120 ) Cosx Cos(x 120 ) 0
° °° °
==
+ + ++ + +
2 2 2
2 2 2
3Sen (x – 120 ) Sen x Sen (x 120 )23Cos (x – 120 ) Cos x Cos (x 120 )2
° °
° °
=
=
+ + +
+ + +
4 4 4
4 4 4
9Sen (x – 120 ) Sen x Sen (x 120 )89Cos (x – 120 ) Cos x Cos (x 120 )8
° ° =
° ° =
+ + +
+ + +
Si x y z 180°yx zSenx Seny Senz 4Cos Cos Cos
2 2 2yx zCosx Cosy Cosz 4Sen Sen Sen 1
2 2 2
+ +
+ +
+ + +
=
=
=
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Propiedades
I)
f
ArcSen(–x) –ArcSenxArcCos(–x) – ArcCosxArcTan(–x) –ArcTanx
x DArcC ot(–x) – ArcCotxArcSec(–x) – ArcSecxArcCsc(–x) –ArcCscx
π ∀ ∈
π π
======
II)
f
Sen(ArcSenx) xCos(ArcCosx) xTan(ArcTanx) x
x DC ot(ArcCotx) xSec(ArcSecx) xCsc(ArcCscx) x
∀ ∈
======
III)
f
ArcSen(Seny) yArcCos(Cosy) yArcTan(Tany) y
y DArcC ot(Coty) yArcSec(Secy) yArcCsc(Cscy) y
∀ ∈
======
Función Función Dominio (x) Rango (y)Inversa Directa
ArcSenx = y Seny = x [–1; 1] – ;2 2π π
ArcCosx = y Cosy = x [–1; 1] 0; π
ArcTanx = y Tany = x R – ;2 2π π
ArcCotx = y Coty = x R 0;π
ArcSecx = y Secy = x R – –1; 1 { }0; –2ππ
ArcCscx = y Cscy = x R – –1; 1 { }– ; – 02 2π π
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TEMA 10
R.T. (2K ) R.T.(0)
R.T. (4K 1) R.T.2 2
R.T. (2K – 1) R.T.( )
3R.T. (4K –1) R.T.2 2
π
π π
π π
π π
=
=
=
=
+
Solución general
KG
Sen a
K (–1) Vp( )
Vp ArcSen(a)
θ
θ π θ
=
=
=
+
Signos de la RT
Reducción al primercuadrante (I)
R.T.(90° ó 270° )= CoR.T.( )
R.T.(180° ó 360° )= R.T.( )
0 90
± θ± θ
± θ± θ
< θ < ° °
Solución general
G
Cos a2K Vp( )
Vp ArcCos(a)
θθ π ± θ
===
( x Z)∀ ∈
Reducción al primercuadrante (II)
R.T.(360°k+ )=R.T.( ) R.T.(2K + )=R.T.( )
α απ α α
Solución general
G
Tan aK Vp( )
Vp ArcTan(a)
θθ π θ
===
+
Ángulos cuadrantales
(4K 1)2π
+
(2K 1)− π
(4K 1)2π
−
2Kπ
x
y
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b abSenA
bCosA c - bCosAH BA
C
c
Ley de Cosenos
ABC :∆ se cumple2 2 2a b c 2bcCosA= + −2 2 2b a c 2acCosB= + −2 2 2c a b 2abCosC= + −
Ley de Cosenos
ABC :∆ se cumple2 2 2b c aCosA
2bc+ −=
2 2 2a c bCosB2ac
+ −=
2 2 2a b cCosC2ab
+ −=
Ley de Proyecciones
ABC :∆ se cumple
aCosB + bCosA = caCosC + cCosA = bbCosc + cCosB = a
Ley de Senos
ABC :∆ se cumple
a b c 2RSenA SenB SenC
= = =
R: circunradio
Ley de Senos
ABC :∆ se cumple
a = 2R SenA
b = 2R SenB
c = 2R SenC
Ley de Senos
ABC :∆ se cumple
aSenA2R
= bSenB AB2R
=
cSenC2R
= R: circunradio
Ley de Senos
R: circunradio
Ley de Senos
Trigonometría FORMULARIO PREUNIVERSITARIO
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Movimiento Rectilíneo Uniforme
d v.t.=
Observación
– Observar bien las unidades y aplicar el factor de conversación
Km 5 m=h 18 s
; si es necesario
– Tener en cuenta que la fórmula del tiempo de encuentro
y tiempo de alcance son sólo para MRU.
– Para el tiempo de encuentro y de alcance tener en cuenta que losmovimientos son simultáneos.
Encuentro:
e1 2
dtV V+
=
Alcance:
a1 2
dtV – V
=
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Observación
– Observar bien si el movimiento es acelerado o desacelerado para colocar elsigno (+); (–), respectivamente en las fórmulas.
– No importa si el movimiento es horizontal, vertical, oblicuo; si es trayectoriarecta y aceleración constante entonces será un MRUV.
– Tener en cuenta las unidades; generalmente las unidades son en el sistemainternacional (S.I.)
Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
= Cambio de velocidadaTiempo
fV Va
t−
=
f iV V at= ± i fV Vd t
2+
=
2i
1d Vt at
2= ± 2 2
f iV V 2ad= ±
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Propiedades movimiento completo (subida y bajada)
Elementos y ecuaciones del MVCL
Donde:• v0: velocidad inicial (m/s).• vF: velocidad final (m/s).• g: aceleración de la
gravedad (m/s2).• h: altura (m).• t: tiempo (s).
• En el punto "c" (altura máxima) la velocidad es cero.
C(V 0)=
• En un mismo nivel la rapidez de subida es igual quela rapidez de bajada.
B D(V V )= ; A E(V V )=
• Entre dos niveles el tiempo de subida es igual que eltiempo de bajada.
AB DEt t= ; BC CDt t= ; AC CEt t=
Nota: * se deduce del punto "3"
isub baj
2i
máx
Vt t
g
VH
2g
= =
=
1. h = v0t ± 12 gt2
2. h =
3. vF = v0 ± gt
4. vF2 = v0
2 ± 2 gh
gravedad (m/s2).
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Medida de la interacción entre dos cuerpos
Peso (W)W mg=
Por contacto
FUERZA
A distancia
Fuerza elásticaF = KxE
Otros:- Tensión- Reacción normal- Fricción
• Primera condición de equilibrio: M 0
Σ =
• Segunda condición de equilibrio: M 0
Σ =• Mo
F Mo
F
ANTIHORARIO HORARIO
•
•
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Las componentes de las fuerzas (eje x) en dirección del movimiento, cumplen lasegunda ley.Donde:F = R Σ Fuerzas
a favor de “a” Σ– Fuerzasen contra de “a”
1° Realizar un DCL.2° Descomponer las fuerzas en las ejes
del movimiento y del equilibrio.3° Aplicar la 2da ley de Newton en el
eje de movimiento.
Dinámica lineal
( ) ( )
Dinámica Circular
1. Segunda Ley de Newton: FRam
=
2. RF ( F a favor de a ) – ( F en contra de a)∑ ∑
=3. La acción de un cuerpo sobre otro, no es unilateral.
4. cp cpF ma=
5.2
2cp
Va W RR
= =
Segunda Ley de Newton:
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1. FW F r± ⋅ ∆=
2. Neto FW WΣ= ó
Neto R( ) : acelerado
W F r( ) : desacelerado
± ⋅ ∆
+=
–
3. De la gráfica, se concluye
0
F
x
A1
A2
A3x1 x2
WF = A1 – A2 + A3
4. mg( ) : baja
W mgh( ) : sube
±
+=
–
1. 2C
1E mv2
=
2. P Pe PgE E E= +
3. PgE mgh=
4.2
Pe1E kx2
=
5. Si solo actúan fuerzas conservativasla energía mecánica se conserva.
Mi MfE E=
ENERGÍA MECÁNICA
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• E = ρ L g Vsumergido
• E = Wreal – Waparente
• E = ρ L efg
. Vsumergido
efg
= g
– a
Prensa Hidraúlica
A1
F1
A2
F2
h2h1
1 1 2
2 2 1
F A hF A h
= =
• P = • PHidrostática = ρ L.g.h
• mV
ρ = • wV
γ =
También: HP . hγ=• . g ργ =
Fuerza eléctrica
Unidades610µ –=3m 10–=2c 10–=
Cuantificación dela carga
Q n e⋅=
Carga fundamental
19fQ 1,6 10 C e× –= – =
Ley de Coulomb
1 22
K q qF
d=
F Eq=
29
2Nmk 9 10C
×=
q1; q2: cargasd: distancia
Intensidad de
campo eléctrico
2UnidadKQE :N / Cd
=
ELECTROSTÁTICA
Frotamiento
Inducción
Contacto
Electrización
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1 2 3I I I+ =
En cualquier conexión o nudo la sumade todas las corrientes que entrandebe ser igual a la suma de todas lascorrientes que salen.
V IR∑ ∑=
En cualquier circuito; la suma algebraicade los voltajes de las baterias es iguala la suma de las caidas de potencial(IR) de cada resistencia del circuito.
PRIMERA LEY DEKIRCHHOFF
SEGUNDA LEY DEKIRCHHOFF
Potencia disipada en una resistencia
22 VP VI I R
R= = =
qIt
= VRI
= LRA
ρ=
Si encuentras resistencia en serie. Estos se suman
Si encuentras resistencia en paralelo: como por ejemplo:R1
R2
R1 R2
R1 + R2Req =
1R1
Req =1R2
+
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Intensidad del campo magnético
0.B2 Dµ Ιπ
=
Espira circular
La inducción magnética en el centroes:
oo
IB
2Rµ
=
Fuerza magnética
F q vBsenθ=
Fuerza magnética sobre unconductor de longitud "L"
F ILB Senθ=
Flujo magnético
BAcosφ θ=
Fuerza electromotriz inducida ( ε )en una barra
vBLε =
Fuerza electromotriz inducida enuna espira
Nt
∆∅ε∆
–=
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• x ASen(wt)=
• V WACos(wt)=
• 2a W ASen(wt)= –
•mT 2k
π=
• 2a w x=
• máxV WA=
•2w 2 fTππ= =
•1 kf2 mπ
=
•kwm
=
• 2máxa w A=
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ÁTOMOes
la partícula mínima de un elemento que conserva sus propiedades
sus partes son sus partículas fundamentales son
núcleo
núcleo
átomo neutro ion
protones y neutrones principal-mente
compacta
carga positiva
carga negativa
la masa del átomo
el volumenatómico
protón
isótopos isóbaros isótonos
positiva
neutrón
nula
electrón
negativa
zonaextranuclear
zonaextranuclear
solamente a los electrones
casi vacío
contienecontiene
carga cargacarga
es
es
determina
determina
posee
posee
ubicados en el ubicado en
en un
representación representación
se cumple que
se cumple queA q+EZcatión
A q–EZanión
AEz #nº = A – Z
#p = Z #e+ –≠
#p = Z+ #e = –
ejemplo
tipos de núclidos
especie #p+ #e– #n27 3+Al13
33 2–S16
13
16
10
18
14
17
poseen igual poseen igual poseen igual
númeroatómico
númerode masa
número deneutrones
ejemplo ejemplo ejemplo
12C614C6
40Ca2040Ar18
11B514C6
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CARACTERÍSTICAS GENERALES DE LOS NÚMEROS CUÁNTICOS
Valorespermitidos
Númerocuántico
Determina para el
electrón orbital
Principal(n)
Secundario o
azimutal( )l
Magnético(m )l
SpinMagnético
(m )s
n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...
∞
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ K L M N O P Q (Capas)
El nivel principal de
energía
El tamaño o volumen
La forma geométrica
Su orientación
espacial
no tiene significado
l = 0, 1, 2, 3, ...(n – 1)
↓ ↓ ↓ ↓ s p d f
máximovalor
El subnivel de energía
El orbital o REEMPE
El sentido de rotación
o
m = , ..., 0, ... +l l l
m = + , ..., 0, ... –l l l
En el átomo actual, el nivel de energía queda definido con n, un subnivel se define con los valores de n y , un orbital con n, y m y un electrón queda definido con n, , m y m .
l ll
l
l s
– – –
Antihorario Horario
1m = +1/2s
1m = –1/2s
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CONFIGURACIÓN ELECTRÓNICA
ordenamiento sistemático de los electrones en la zona extra nuclear
es el
se basa en
permite
según
ejemplo
otros
16S = Ne 3s 3p[ ] 2 4
23V = Ar 4s 3d[ ] 2 3
según Kernel
principio de aufbau
distribuir a través de lossubniveles
el orden creciente de laenergía relativa (E )R
9F: 1s 2s 2p52 2
Er: 1 2 3
16S = s 2s1 2 2 6 2 42p 3s 3p23V = s 2s1 2 2 6 2 5 2 3 2p 3s 3p 4s 3d
2He:↑↓1s
electrón n l ml ms
1 0 ms
1 ms0
0
0
permite
estableciendo que
ejemplos
en un átomo dos electrones no pueden tener sus 4 números
cuánticos iguales
principio de exclusión de Pauli
Distribuir a través de un orbital
permite
para ello
ejemplos
ejemplos
distribuir a través de losorbitales de un subnivel
a todos los orbitales se les deja a medio llenar
antes de llenarlo
a todos los orbitales se les deja a medio llenar
antes de llenarlo
gO:↑↓1s
↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓2s 2px 2py 2pz
16S: [Ne]:↑↓3s
↑↓ ↑↓ ↑↓3px 3py 3pz
Todos sus electronesapareados
uno o más electronesdesapareados
diamagnético paramagnético
si posee
será será
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TABLA PERIÓDICA ACTUALes un
en función de
instrumento del ordenamientosistemático de los elementos
sus números atómicos crecientes
clasificación
Según las propiedadesde los elementos
por bloques
según la
para
distribución electrónica
final
elementos representativos
elementos de transición
en subniveless y/o p
en subnivelesd y/o f
finalizan
finalizan
Conductividadeléctrica
como
pueden ser
ejemplos
buena regular mala
metal mateloide no metal
- Fe- Cu- Ag- Pb- Au
- B- Si- Ge- As- Sb
- C- H- O- N- S
en
periodos
horizontalmente
grupos
en columnas
ordena a los elementos
poseen poseen
igual número de niveles o capas
igual número de electrones de valencia
presentan
propiedades químicas diferentes
propiedades químicas similares
tradicionalmente
existen 7 periodos y16 grupos
según IUPAC
existen 7 periodos y18 grupos
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prop
ieda
des
subm
icro
scóp
icas
de
los
elem
ento
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3
2
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MIC
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ENLACE QUÍMICO es la fuerza que une átomos de una sustancia
de naturaleza
Electrostática Electromagnética
llamada llamada
Enlace iónicoo electrovalente
Enlace covalente
se da generalmente
entre un metal y un no metal mediante transferencia de electrones
Ejemplos:
MgO, CaF , ...2 excepciones
Estructura de Lewis
[Mg]2+
[Ca]2+
O
F
2+
1–2
en Compuestos binariosiónicos
generalmente
∆ ≥EN 1,7∆EN: Diferenciade electronegatividad
X = halógeno
BrX , A X
NH C , NH Br ...2
4 4
3
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UNIDADES QUÍMICA DE MASA
MoléculaÁtomo
n = =mmA
# átomosNA
n = =mM
# átomosNA
N = 6,023 x 10A23 m: masa
Unidades fórmula
n = =mPF
# unidadesfórmula
P.F.: peso fórmula
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Propiedades generales
Teoría cinética molecular
Ecuación general de losgases
A nivelsubmicroscópico
A nivelmacroscópico
– Alta entropía– Grandes
distanciasintermoleculares
– Alta energía
– Expansión– Comprensión– Difusión– Efusión
Variables de estado
Volumen
Igual a la capacidad
delrecipiente
que lo contiene
Temperatura
es
Presión
es
Un estado de agregación de la materia, en la cual las moléculas que lo componen poseen un movimiento caótico.
La energíacinética
media de las moléculas
choques de las moléculas del gas con la
pared del recipiente
participan en lala cual
justifica la Ecuación universalde los gases
PV = RTn
PM = DRT
en condiciones normales (CN)
V =nx22,4Lgas
D = g/LgasM
22,4
P=1atm<>760 mm Hg yT=0ºC <> 273 K
P VT1 1
1
P VT2 2
2
=
si, además, una variablede estado es constante
Isotérmico(T=cte.)
P V =P V1 1 2 2
Isobárico(P=cte)
Isocórico(V=cte)
VT
1
1
VT
2
2
=PT
1
1
PT
2
2=
procesos restringidos
WRT=PVM
ESTADO GASEOSO
caracteriza se debe a los
a través de la cualpodemos determinar
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SOLUCIONES
Unidades de concentración
Físicas
Químicas
Molaridad
Normalidad
M = = =nV
10 x %m x DM
MV
m
%m = x 100mstomsol
%V = x 100VstoVsol
D: densidad
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Contracción volumétrica (C.V.):
Reactivo limitante (RL):Reactante que se consume totalmente.
Reactivo en exceso (RE):Reactante que se consume parcialmente.
Porcentaje de pureza:
cantidad sust.pura%Pureza .100cantidadmuestra
=
Rendimiento o eficiencia de lareacción (RR)
CRRR .100%CT
=
Regla práctica de planteo deproblemas estequioméetricos
Regla: coef x M coef. coef x 22,4 Lcoef x NA coef x NA x subíndice
↑ ↑ ↑ ↑ ↑
Dato: gramos mol vol (CN) moléculas átomo
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A. Teoría ácido - base
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B. Ácidos y bases: Escala de pH
CÁTODO ( )–
Na+
2C
CÁTODO:
ÁNODO:
+1e
–2e–
NaC (Fundido)
Na0
C 02
Na+
(Reducción)
(Oxidación)
C–
( ) ÁNODO +
e –
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QU
ÍMIC
A O
RG
ÁN
ICA
Pro
pie
dad
es
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l Car
bo
no
Pur
oIm
puro
Nat
ural
Fraf
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lCa
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Hol
línCo
que
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HID
RO
CA
RB
UR
OS
-pe
tról
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gas
natu
ral
-hu
lla
Com
pues
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Co
mo
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(CH
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Acíc
licos
Satu
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sIn
satu
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s
Alic
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os
Cicl
oalc
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Cicl
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ino
(CH
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H)
22 3
4
46
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Son compuestos que en su estructura, presentan por lo menos un enlace doble (2átomos de carbono con hibridación sp2), siendo una sustancia químicamente activa.El doble enlace carbono-carbono es una unidad estructural y un grupo funcionalimportante en la química orgánica, el doble enlace es el punto donde los alquenossufren la mayoría de las reacciones.
Ejemplos:
ALQUENOS U OLEFINAS
ALQUINOS O ACETILENICOSSon hidrocarburos acíclicos insaturados o compuestos que en su estructurapresenta por lo menos un enlace triple. Los átomos de carbono del grupofuncional (enlace triple) poseen hibridación sp.
átomos de carbono con hibridación sp2)
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ALQUENINOCnH2n + 2 – 2d – 4t
Donde: n: número de carbonos d: número de enlaces dobles; t: número de enlacestriples. Cuando en la cadena carbonada hay doble y triple enlace simultáneamente, lanumeración de la cadena principal se hace en base al doble enlace y la terminaciónusada es enino.
Ejemplo:
Alquino Fórmula global Fórmula semidesarrollada
Fórmula desarrollada
Etino C H2 2
Propino C H3 4
Butino
CH CH
CH C CH3
C CH H
C CH C
H
H
H
CH C CH2 CH3
1 inoBut
CH3 C C CH3
inoBut 2
C CH C
H
H
C
H
H
H
C C C
H
H
HH C
H
H
C H4 6
(Posee 2 isómerosde posición)
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Burbujeador
Líquido
Tanque de petróleo
Horno
Bomba
Bomba
Crudoreducido
Gasolinao diesel
Kerosén
Rectificadores
Vapor
Vapor
Bomba AguaGasolina
Gas derefinería
Separadorde gas
Condensador
reflujo
Vapor
Líquido
Colu
mna
de
frac
cion
amie
nto
vapores
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Min
eral
es Hematita ⇒Fe2O3
Limonita ⇒ Fe2O3 + 3.H2O Magnetita ⇒ Fe2O3.FeO Siderita ⇒ FeCO3 Pirita ⇒ FeS
Métodos mecánicos (concentra el
mineral)
Trituración, molienda, pulverizado – Tamización – Levigación (oro) Flotación (sulfuros)
Métodos Químicos (mineral
concentrado)
Tostación Calcinación Reducción
⇒ de sulfuro a óxido con corriente de aire⇒ de CO3
= a óxido en ausencia de aire⇒ óxidos + C = CO2 + metal
Electrólisis Húmeda (Na) Seca (Na, K, Mg, Al)
Prep
arac
ión
del m
iner
al
Electrometalúrgicos (mineral
concentrado) Electrotérmicos Hornos de arco voltáico 2800 - 3000°C es una reducción
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