Presentacion 5. Calculo de Pilares
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CALCULO DE PILARES
21/01/2015 JOSE MARCELINO ASCENCIO. CALCULO DE
PILARES 3
ESFUERZOS PRESENTES
En un ambiente tectónico se tiene:
Un esfuerzo vertical (𝜎𝑉)
𝜎𝑉 =𝛾×𝐻
100 (Mpa)
Esfuerzo horizontal (𝜎ℎ)
𝜎ℎ<𝐾×𝜎𝑉
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CALCULO DE PILARES, (SHEVIAKOV)
Dedujo una formula empírica para el calculo de pilares a partir de:
La carga máxima posible que soporta un pilar, se debe exclusivamente al peso de las rocas suprayacentes hasta la superficie.
(S× 𝐻 × 𝛾) + (𝑠 × ℎ × 𝛾1) ≤𝑅×𝑠
𝑛
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La componente normal de la presión sobre las secciones horizontales de cada pilar están distribuidas uniformemente, las irregularidades existentes se cubren con el margen de resistencia o factor de seguridad incluido en los cálculos.
Se descarta cualquier aumento del limite de resistencia de los pilares debido a su mayor tamaño en las probetas de laboratorio.
Cada pilar se reparte proporcionalmente el área de roca circundante (Area tributaria)
La relación entre el área de roca a soportar depende de la forma de cada pilar.
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𝑊𝑃 = 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟 𝑤𝑜 = 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑚𝑎𝑟𝑎
𝑙𝑝 = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟
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H = profundidad (m) h = Potencia (m) S = Sección en roca que le corresponde cargar a cada pilar. (m²) s = Superficie de la sección horizontal del pilar (m²) 𝛾 = Densidad de las rocas suprayacentes (Ton/m³) 𝛾1 = Densidad de la roca que compone el pilar (Ton/m³) R = Limite de resistencia a la compresión uniáxial de la roca que compone el pilar (Ton/m²) n = Coeficiente de seguridad ( 2 – 3) 2 = 100% 3 = FS 200%
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Teniendo en cuenta la 1 consideración, se hace la siguiente relación:
(S× 𝐻 × 𝛾) + (𝑠 × ℎ × 𝛾1) ≤𝑅×𝑠
𝑛
𝑆
𝑠=
𝑅
𝑛×𝐻×𝛾−
ℎ×𝛾1
𝐻×𝛾 (1)
La relacion S/s, Depende de la forma de la seccion horizontal, de los pilares y de las camaras.
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1 CASO. CASO GENERAL
𝑆
𝑠=
(𝑊𝑃:𝑊𝑂)×1𝑚
𝑊𝑃×1𝑚 (2)
𝑆
𝑠=
𝑅
𝑛×𝐻×𝛾−
ℎ×𝛾1
𝐻×𝛾 (1)
SI SE IGUALA 1 a 2
𝑊𝑃 + 𝑊𝑂
𝑊𝑃=
𝑅
𝑁 × 𝐻 × 𝛾−
ℎ × 𝛾1
𝛾 × 𝐻
𝑊𝑃 =𝐴
𝑅𝑛 × 𝐻 × 𝛾
−ℎ × 𝛾1𝐻 × 𝛾
− 1
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2 CASO. PILARES CUADRADOS
𝑆
𝑠=
(𝑊𝑃 + 𝑊𝑂)(𝑊𝑃 + 𝑊𝑂)
𝑊𝑃 × 𝑊𝑃
𝑆
𝑠=
(𝑊𝑃:𝑊𝑂)2
𝑊𝑃2 (3) SE IGUALA 3 a 1
𝑆
𝑠=
𝑅
𝑛×𝐻×𝛾−
ℎ×𝛾1
𝐻×𝛾 (1)
𝑊𝑃 =𝐴
𝑅𝑛 × 𝐻 × 𝛾
−ℎ × 𝛾1𝐻 × 𝛾
− 1
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3 CASO. PILARES RECTANGULARES
𝑆
𝑠=
(𝑊𝑃:𝐿𝑃)(𝑊𝑃:𝑊𝑂)
𝑊𝑃×𝐿𝑃 (4)
𝑆
𝑠=
𝑅
𝑛×𝐻×𝛾−
ℎ×𝛾1
𝐻×𝛾 (1) REEMPLAZANDO 4 EN 1
(𝑊𝑃 + 𝐿𝑃)(𝑊𝑃 + 𝑊𝑂)
𝑊𝑃 × 𝐿𝑃=
𝑅
𝑛 × 𝐻 × 𝛾−
ℎ × 𝛾1
𝐻 × 𝛾
𝑊𝑃 =
𝐴2
𝐿𝑃+ 𝐴
𝑅𝑛 × 𝐻 × 𝛾
−ℎ × 𝛾1𝐻 × 𝛾
−𝐴𝐿𝑃
− 1
CALCULOS
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Una vez se determinan las dimensiones del pilar, se debe verificar que el mismo resista la carga producto del peso de la roca suprayacente, por tal razón debemos calcular la resistencia del pilar y verificar el factor de seguridad para la estabilidad del pilar.
El concepto de resistencia de tamaño critico, para macizos de roca, es muy importante en la practica de diseño
Las muestras para probetas deben cumplir con las normas ASTM D-2038 y D-1348-72
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METODOS EMPIRICOS CLASICOS
𝜎𝑃 = 𝑆𝐶 × 𝐻𝛼𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟× 𝑊𝛽
𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟
𝜎𝑃 = 𝜎𝐶(𝑎 + 𝑏𝑊𝑃
𝐻)
H, 𝑊𝑃: Alto y ancho del pilar. 𝜎𝑃: Resistencia del pilar. 𝜎𝐶: Resistencia a compresión de una muestra cúbica. 𝛼, β, a, b: Parámetros empíricos.
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METODOS EMPIRICOS CLASICOS
Lunder y Pakalni, 1997
Se define el confinamiento medio del pilar.
𝐶𝑝𝑎𝑣 = 0,46 log𝑊
𝐻+ 0,75
Esta fórmula nace del análisis de múltiples geometrías modeladas numéricamente y estimación del confinamiento al interior del pilar
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Lunder y Pakalni, 1997
Proponen una relación para estimar la resistencia del pilar considerando el confinamiento medio de los pilares.
𝜎𝑃 = 0,44 × 𝜎𝐶𝑆(0,68 + 0,52𝐾)
K= tan 𝑎 cos(1;𝐶𝑝𝑎𝑣
1:𝐶𝑝𝑎𝑣)
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METODOS EN FUNCION DEL RMR
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METODOS EMPIRICOS
CMRI. Definio la siguiente formula, en la cual tiene en cuenta la resistencia a la compresion uniaxial, la cobertura, la potencia.
𝜎𝑝 = 0,27 × 𝜎𝑐 × ℎ;0,36 +𝐻
160×
𝑊
𝐻− 1 + (
𝐻
250+ 1 ×
𝑊
𝐻− 1 )
W = Ancho del pilar h = Potencia
H = cobertura σp = Resistencia del pilar MPa
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Numerosas formulas para el calculo de la resistencia han sido propuestas, pero muy pocas han sido usadas frecuentemente.
La estructura básica de esta formula es la siguiente: σp = σ₁*(a +b (W/h). a Y b , Son factores que son únicos para cada autor, Y W Y h Son las dimensiones de los pilares
𝜎𝑝 = 𝜎𝑐 × ℎ𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟𝛼𝑊𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟
𝛽
𝜎𝑝 = 𝜎𝑐(𝑎 + 𝑏𝑤
ℎ)
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El efecto escala, relaciona la diferencia que hay entre la resistencia medida a una probeta en el laboratorio y la resistencia de un pilar insitu.
METODOS EN FUNCION DE LA TEORIA DEL AREA ATRIBUIDA
En estos métodos se supone que cada pilar está cargado por el peso del terreno comprendido en un prisma ficticio cuya sección viene determinada por la geometría del pilar, y que alcanza desde la superficie del terreno hasta el pilar
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Pilares Corridos W:Anchodepilar. B:Anchodecámara
𝑆𝑃 = (𝛾 × 𝐻)𝑊 + 𝐵
𝑊
r=𝐴𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎𝑖𝑑𝑎
𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙=
𝐴𝑇;𝐴𝑃
𝐴𝑇
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Pilares Cuadrados
𝑆𝑃 = (𝛾 × 𝐻)(𝑊 + 𝐵
𝑊)2
FS=𝜎𝑃
𝑆𝑃
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𝑆𝑃 = (𝛾 × 𝐻)(𝑊𝑃 + 𝑊𝑂)(𝑊𝑃 + 𝐿𝑃)
𝑊𝑃 × 𝐿𝑃
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𝑆𝑃 = (𝛾 × 𝐻)(𝑊𝑃 + 𝑊𝑂
𝑊𝑃)2
𝑆𝑃 = (𝛾 × 𝐻)𝑊𝑃 + 𝑊𝑂
𝑊𝑃
2
× (𝐶𝑂𝑆2𝛽 + 𝐾𝑆𝐸𝑁2𝛽)
Sp = Carga sobre el pilar H = Profundidad W = Ancho del pilar L= Longitud del pilar
Β= Buzamiento K = Coeficiente de distribución de esfuerzos σℎ/σ𝑣
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Resistencia del pilar. Hoek y Brown
Matriz rocosa 𝜎′1 = 𝜎′
3 + 𝑚𝜎𝐶𝜎′3 + 𝜎2
𝐶
Macizo rocoso 𝜎′1 = 𝜎′
3 + 𝜎𝐶 𝑚𝑏
𝜎′3
𝜎𝐶+ 𝑆
𝑎
GSI : Geological Strength Index
D: Parámetro del grado de perturbación
𝑚𝑏 = 𝑚𝑖𝑒𝑥𝑝𝐺𝑆𝐼 − 100
28 − 14𝐷 S= exp
𝐺𝑆𝐼;100
9;3𝐷
a=1
2+
1
6(𝑒
−𝐺𝑆𝐼
15 − 𝑒−20
3 ) FS=
𝜎1
𝑆𝑃
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TEORIA DE LA VIGA. DISEÑO DE TECHOS
La teoría de las vigas supone que el techo inmediato es asimilable a una serie de vigas de ancho unitario, de luz igual a la anchura de la excavación y empotradas por sus dos extremos en los pilares. Esta teoría es aplicable cuando la longitud del techo es mayor que el doble de su luz. Además:
Las capas deben ser de espesores uniformes.
La flexión del techo es debida exclusivamente a su propio peso.
Se considera la roca de cada capa homogénea, isótropa y con un comportamiento linealmente elástico.
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L=2×𝑇0×𝑡
𝛾×𝐹𝑡
Calculo de la luz maxima
donde:
L: Longitud de la viga. t: Espesor de la viga. 𝛾: Peso específico. E: Módulo de elasticidad longitudinal. 𝑇0: Resistencia a tracción. Ft: Factor de seguridad.
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METODO DE MATHEWS
El diseño de cámaras se realiza con la metodología de Mathews quien incorpora una relación entre el número de estabilidad N y el tamaño de la excavación.
N= 𝑄′ × 𝐴 × 𝐵 × 𝐶
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GRAFICO DE ESTABILIDAD
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Se utiliza para estimar la estabilidad del techo y el tamaño de la pared colgante.
El radio hidráulico es una medida del tamaño de la excavación.
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Para aplicar la teoría del área tributaria, el problema se basa en el escalado de los resultados obtenidos en los ensayos de rotura por compresión, 𝜎𝐶, para estimar la tensión de rotura del pilar a escala real, 𝑆𝑃 .
Hustrulid (1976), propuso que 𝜎1 (tensión vertical uniaxial de un pilar cubico de altura h), se puede cacular:
𝜎1 =𝐾
ℎ, si h < 0,9144𝑚.
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𝜎1 =𝐾
0,9441 , si h> 0,9144m.
La constante K, se determinaría en función de los valores de laboratorio:
K=𝜎𝐶 𝐷
Siendo D, el lado en mm de la probeta ensayada en el laboratorio, en caso de ser cilíndrica será el diámetro, las diferencias no son significativas siempre que el valor de D esté entre 50 y 100 mm.
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Bieniawski propuso una fórmula empirica para determinar la resistencia de los pilares, 𝜎𝑃 , con el ancho W, la altura h, y el valor de la tensión de un pilar de tamaño critico 𝜎1:
𝜎𝑃 = 𝜎1(0,64 + 0,36𝑊
ℎ)
El resultado es realista hasta W/h=10, para valores superiores, sería un criterio conservador.
Se tiene un factor de seguridad de 2, para pilares diseñados a largo plazo, y 1,5 para pilares a corto plazo.
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Obert and duvall, calculo su formula para relación W/h 0,25 a 0,4. Y FS ENTRE 2 Y 4.
Algunas consideraciones, tenidas en cuenta para el diseño de pilares
Cada pilar soporta solo la carga vertical, la cual es constante sobre el área excavada.
Cada pilar soporta la mitad de la columna de roca del área circundante, área tributaria.
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Se asume que la carga es uniformemente distribuida, sobre la sección horizontal del pilar
Aunque algunas veces sucede que: El esfuerzo no siempre estará distribuido, sobre la sección del pilar, y el máximo esfuerzo ocurre en las esquinas formadas por la intersección de tres planos ortogonales, a saber, dos caras del pilar y el techo o piso.
El esfuerzo en los pilares aumenta con la razón de extracción. La distribución de los esfuerzos en los pilares depende de la relacion W/h del pilar.
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El tamaño de los pilares es influenciado por:
Profundidad y el porcentaje de extracción durante el desarrollo
Resistencia del pilar: para carbón frágil, requiere pilares grandes, efecto del aire y escape de gases también influyen en el tamaño.
Consideraciones geológicas: en cercanía de fallas se requiere pilares grandes. La inclinación y presencia de agua, también influyen en la decisión del tamaño de los pilares.
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El paso del tiempo también puede producir que disminuya la resistencia de los pilares.
𝑟 =(𝐴𝑇 − 𝐴𝑃)
𝐴𝑇
𝑟 =𝑊𝑝 + 𝑊𝑂 × 𝐿𝑃 + 𝑊𝑂 − (𝑊𝑃 × 𝐿𝑃)
( 𝑊𝑃 + 𝑊𝑂 × 𝐿𝑃 + 𝑊𝑂 )
𝑊𝑃 =( 𝑊𝑂 × 𝑊𝑂 + 𝐿𝑃 × 1 − 𝑟 )
𝑟 × 𝑊𝑂 + 𝐿𝑃 − (𝑊𝑂)
FS = 𝜎𝑝
𝑆𝑝
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Diseño de explotaciones mineras
FS = 𝜎𝑃
𝑆𝑃
Se siguen los siguientes pasos:
1. Se tabula el esfuerzo de compresión uniaxial, σc, en función del diámetro d de la probeta, (se suelen tomar probetas de 50 mm de lado.
2. Se determina el valor de k para los pilares en cuestion.
K= 𝜎𝐶 × 𝐷
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3. Se calcula σp En este caso mediante bieniawski.
𝜎𝑃 = 𝜎1 0,64 + (036𝑊
ℎ) Donde,
𝜎1 = 𝐾
ℎ ó
𝐾
0,9144
4. Se selecciona el ancho 𝑊𝑂 de la cámara
5. Se calcula la carga sp del pilar
𝑆𝑃 = 𝛾 × 𝐻𝑊𝑃 + 𝑊𝑂 𝐿𝑃 + 𝑊𝑂
𝑊𝑃 × 𝐿𝑃(𝑐𝑜𝑠2𝛽 + 𝐾𝑠𝑒𝑛2𝛽)
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6. Se selecciona el FS, entre 1,5 Y 2, se hace 𝜎𝑃
𝐹𝑆= Sp. Y se
resuelve para el ancho Wp del pilar.
7. Por cuestiones económicas y de recuperación, se comprueba la tasa de recuperación r, para ver si da un valor aceptable
r = (1)-((𝑊𝑝
𝑊𝑝:𝑊𝑜) ∗ (
𝐿𝑝
𝐿𝑝:𝑊𝑜))
CALCULO DE PILARES
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8. Si la tasa r, de extracción no es aceptable (menor del 50%), y se necesita incrementarla disminuyendo el ancho Wp de los pilares, se selecciona en el paso 7, un nuevo ancho wp y un nuevo largo Lp, que den una tasa de extracción aceptable y se calcula si estos valores son aceptables desde el punto de vista de la estabilidad de la mina. para ello se calcula el FS.
FS= 𝜎𝑝
𝑆𝑃 σp = Resistencia del pilar del paso 3
Sp = Carga del pilar del paso 5.
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El fs, estará entre 1,5 para los pilares de corta duración y 2 para los pilares de larga duración o que han de ser recuperados.
9. Se harán las consideraciones ingenieriles adecuadas mediante la aplicación de los conocimientos mineros y geológicos necesarios para establecer una adecuada planificación minera.
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𝑆𝑃 = 𝛾 × 𝑔 × 𝐻(𝑊𝑝 + 𝑊𝑂)(𝐿𝑃 + 𝑊𝑜)
𝑊𝑝 × 𝐿𝑃
g =9,81 𝑚
𝑆2
SI 𝛾 = 2,5𝑇𝑜𝑛
𝑚3
𝑆𝑃 = 24,525 × 𝐻(𝑊𝑃 + 𝑊𝑂)(𝐿𝑃 + 𝑊𝑂)
𝑊𝑃 × 𝐿𝑃 1
Para pilares cuadrados donde, 𝑊𝑃=𝐿𝑃
𝑆𝑃 = 24,525 × 𝐻(𝑊𝑃𝑊𝑂)2
𝑊𝑃2
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r = 𝑊𝑂:𝐿𝑃 𝑊𝑂:𝑊𝑃 ;𝑊𝑃×𝐿𝑃
(𝑊𝑂:𝐿𝑃)(𝑊𝑂:𝑊𝑃)
r = 1- 𝑊𝑃𝐿𝑃
(𝑊𝑂:𝐿𝑃)(𝑊𝑂:𝑊𝑃) (𝑊𝑂 + 𝐿𝑃)(𝑊𝑂 + 𝑊𝑃)
𝑊𝑃 × 𝐿𝑃=
1
1 − 𝑟
ENTONCES DE 1: 𝑆𝑃 = 24,525𝐻
1 − 𝑟
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Comprobar en una operación minera de carbón existente y mejorar su tasa de recuperación.
Datos: Profundidad H = 152 m Ancho de cámara B = 5,5 m Ancho de pilar w = 18,3 m Longitud de pilar L = 24,4 m Potencia de la capa h = 2,1 m Relación L/w L/w = 1,33
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De los ensayos de laboratorio con probetas de 54 mm de diámetro se ha hallado
𝜎𝐶 = 26352 = (kPa)
Solución: Hallamos en primer lugar k
k = σ c × 𝐷 = 26352 × 0,054 =6124
A partir de k hallamos 𝜎_1
𝜎1 =𝐾
0,9144=
6124
0,9144= 6404 𝐾𝑃𝑎
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A continuación hallamos 𝜎𝑃
𝜎𝑃 = 𝜎1 × (0,64 + 0,36𝑊
ℎ)
𝜎𝑃 = 6404𝐾𝑃𝑎 × 0,64 + 0,3618,3𝑚
2,1𝑚= 24189 𝐾𝑃𝑎
A su vez
𝑆𝑃 = 24,525 × 𝐻𝑊𝑃×𝑊𝑂 𝐿𝑃×𝑊𝑂
𝑊𝑃×𝐿𝑃*(𝐶𝑂𝑆2 β+K*𝑆𝐸𝑁2 β)
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𝑆𝑃 = 24,525 × 152(18,3 + 5,5)(24,4 + 5,5)
18,3 × 24,4= 5917 𝐾𝑃𝑎
Ahora determinamos el factor de seguridad
FS = 𝜎𝑃
𝑆𝑃 FS =
24189
5917= 4,09
se ve que este factor de seguridad es muy elevado (mayor de 2) y en consecuencia la operación no es muy eficiente desde el punto de vista de la recuperación de las reservas
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Además w/h = 8,7 lo cual parece excesivo como se hace evidente al calcular el factor de recuperación que es claramente insuficiente
r = 1-𝑊𝑃𝐿𝑃
(𝑊𝑂:𝐿𝑃)(𝑊𝑂:𝑊𝑃)
r = 1-18,3 ×24,4
(5,5:24,4)(5,5:18,3)= 0,3725 = 37,25%
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Para mejorar el diseño de la explotación, se halla el tamaño mínimo de los pilares introduciendo un factor de seguridad de 1,5 a 2 y teniendo en cuenta la relación L/w = 1,33. Se despejan los valores de w y L de las ecuaciones
FS = 1,5 =6404(0,64:0,36
𝑊𝑃2,1
)
24,525×152(𝑊𝑃+5,5)(𝐿𝑃+5,5)
𝑊𝑃𝐿𝑃
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Los valores obtenidos de 𝑊𝑝 𝑦 𝐿𝑃, serán menores
que los de partida, y en consecuencia la recuperación será mejor que con este factor de seguridad.
GRACIAS POR SU ATENCION
JOSE MARCELINO ASCENCIO
copyright 2015 21/01/2015 55
