predavanje6

1

Problemi pokrivanja grana

Dr Dušan Teodorović

2

Problem kineskog poštara

• Leonhard Euler (1736): Problem 7 mostova u Konigsberg-u

• Kwan M.K. (1960):Problem kineskog postara:Generisati rutu kojom treba da se kreće poštar, tako da rastojanje koje pređe bude minimalno, pri čemu svaku ulicu treba da obiđe najmanje jedanput

3

Problem kineskog poštara• G = (N,A): Koji je najkraći put kojim treba da se

krećemo kroz transportnu mrežu, tako da kroz sve grane mreže prođemo najmanje jedanput i da se na kraju vratimo u čvor iz koga smo krenuli.

• Vozila za pranje ulica, vozila za čišćenje ulica od snega, vozila za sakupljanje smeća u gusto naseljenim ulicama, vozila koja se koriste za popravku i inspekciju komunalne infrastrukture (električna, vodovodna i kanalizaciona instalacija), ili autobusi kojima se u mestima manje gustine naseljenosti prevoze učenici u školu

4


• Mreže: Orijentisane, neorijentisane, mešovite

• Ograničenja: Vremenska ograničenja, specificirani redosled posećivanja grana

5


• Neorijentisana mreža: G = (N, A)

• Dužine grana: d(i, j) > 0, (i, j) A

• Dužine grana d(i, j): dužine, troškovi, vreme putovanja,…

sij – broj prolazaka kroz granu (i, j)

6


Pronađimo ciklus kojim je moguće proći kroz sve grane mreže G najmanje jedanput i za koji:

Ajisve

ji jids),(

min),(

7


• Euler –ova tura je ciklus kojim se kroz svaku granu u mreži prolazi tačno jedanput.

• Euler –ov put je put kojim se kroz svaku granu u mreži prolazi tačno jedanput.

• Euler-ova teorema:

Povezana neorijentisana mreža G poseduje Euler‑ovu turu (Euler‑ov put) ako i samo ako mreža G sadrži tačno nula (tačno dva ) čvora neparnog stepena.

8


a

e f

dc

b

Mreža koja poseduje Euler‑ovu turu

9


a

e

d

f

j

i

h

g

c

b

Mreža koja poseduje Euler‑ov put

10


• Primer Euler-ovog puta:

b a e c a d c f d i f e b h e g h j g f j i, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

11


a

d

f

h

g

c

e

b

Mreža koja ne poseduje ni Euler‑ovu turu ni Euler‑ov put

12


• Čvorovi a, f, g i h su čvorovi neparnog stepena

• U mreži G = (N, A) može da postoji više od jedne Euler-ove ture

• Dužine svih ovih tura su jednake

d i jsve i j A

( , )( , )

13


• Procedura kojom se rešava naznačeni problem sastoji se u dodavanju veštačkih grana paralelnih postojećim, tako da se originalna mreža G transformiše u neku novu G' = (N, A') u kojoj je moguće napraviti Euler‑ovu turu.

• Veštačke grane se dodaju samo na određenim mestima u mreži G, tako da se čvorovi neparnog stepena mreže G transformišu u čvorove parnog stepena mreže G'.

• Broj čvorova neparnog stepena u neorijentisanoj mreži je uvek paran .

14


a

d + f

h +

g +

c

e +

b

j

Mreza koja ima četiri čvora neparnog stepena

15


• Primer:• Grana (b, f) povezuje čvorove b i f• Grana (b, f) se broji kada se racuna stepen

čvora b• Grana (b, f) se broji kada se racuna stepen

čvora f• Svaka grana je incidentna sa dva čvora• Suma stepeni svih čvorova je paran broj

16


S - suma stepeni svih čvorova

P - suma stepeni svih čvorova parnog stepena

N - suma stepeni svih čvorova neparnog stepena

N = S –P

N je paran broj

17


ai – stepen čvora i je cvor neparnog stepena

ai = 2mi – 1

k – ukupan broj čvorova neparnog stepena

N a m m kii

k

ii

k

ii

k

1 1 1

2 1 2

k m Nii

k

2

1

18

Problem kineskog poštara• Edmonds i Johnson (1973), Christofides‑a

(1973):Korak 1: Pronaci sve čvorove

neparnog stepena u mreži G = (N, A). Neka ih ima

ukupno k (k je paran broj). Korak 2: Pronaci k/2 parova ovih

čvorova takvih da je ukupna dužina grana izmedju ovih

cvorova minimalna.

19

Problem kineskog poštaraKorak 3: Za svaki od k/2 parova čvorova dodati veštačke grane paralelne postojećim na najkraćem putu između dva čvora. Novi graf G' = (N, A') ne sadrži čvorove neparnog stepena.

Korak 4: Pronaći Euler‑ovu turu u mreži G' = (N, A'). Ova Euler‑ova ture predstavlja rešenje problema kineskog poštara u originalnoj mreži G = (N, A). Dužina ove optimalne ture jednaka je zbiru dužina svih grana mreže G = (N, A) i dužina k/2 najkraćih puteva između uočenih k/2 parova čvorova koji su u originalnoj mreži bili čvorovi neparnog stepena.

20

Primer: Rešiti problem kineskog poštara u slučaju da ruta počinje i završava se u čvoru a

21


a

7

g

b c

d

f

e

5

a

4

9

g

b c

d

f

e

a

6

8

g

b c

d

f

e

Tri moguća sparivanja

22

Problem kineskog poštaraPostoje 4 čvora (d, e, f i g).

Postoje tri moguća sparivanja čvorova neparnog stepena: d‑e i f‑g, d‑g i f‑e i d‑f i e‑g.

Najmanja ukupna dužina veštačkih grana iznosi 12 i rezultat je sparivanja d‑e i f‑g.

Dodajemo jednu veštačku granu paralelno grani (d, e) i jednu veštačku granu paralelno grani (f, g). Grane (d, e) i (f, g) se prolaze dva puta.

23


Ukupna dužina ove ture je 113 od čega 101 otpada na dužine grana mreže, dok je dužina veštačkih grana jednaka 12, što znači da se kroz grane (d, e) i (f, g) prolazi dva puta.

24


Larson i Odoni (1981):

Vršenje sparivanja bez pomoći računara u znatnoj meri je olakšano činjenicom da u sparivanju koje ima minimalnu ukupnu dužinu puteva između čvorova neparnog stepena ne postoje dva najkraća puta koja u svom sastavu imaju jednu zajedničku granu.

25

Iznalaženje sparivanja najmanje dužine s

d(i, j)

t

i

j

r

q

26

Problem kineskog poštara na orijentisanim mrezama

Beltrami and Bodin (1974)

Euler-ova teorema:

Povezana orijentisana mreža poseduje Euler‑ovu turu ako i samo ako je ulazni stepen svakog čvora jednak izlaznom stepenu tog čvora.

27

Problem kineskog postara na orijentisanim mrezama

“Polaritet” čvora predstavlja razliku ulaznog i izlaznog stepena čvora.

Čvorove nj kod kojih je ulazni veći od izlaznog stepena čvora nazovimo čvorovima sa zalihama. Polaritet ovih čvorova označimo sa sj.

Čvorovima sa potražnjom nazovimo čvorove mk kod kojih je izlazni stepen veći od ulaznog stepena čvora. Polaritet ovih čvorova označimo sa dk.

28

Algoritam za rešavanje problema kineskog poštara na orijentisanim

mrežama KORAK 1: Pronaći sve čvorove sa zalihama nj i sve čvorove sa potražnjom mk.

KORAK 2: Pronaći dužine najkraćih puteva djk od svih čvorova nj ka svim čvorovima mk.

29

KORAK 3: Rešiti zadatak linearnog programiranja da bi pronašli optimalno sparivanje čvorova sa zalihama sa čvorovima sa potražnjom. Ovaj zadatak linearnog programiranja glasi:Minimizirati

pri ograničenjima:

xjk >=0

kzadx

jzasx

xdZ

kj

kj

jk

kj

j kkjkj

30

Problem kineskog postara na orijentisanim mrezama

KORAK 4: Za svako xjk > 0 dobijeno kao rešenje zadatka linearnog programiranja dodati xjk veštačkih puteva paralelnih

najkraćem putu od nj do mk. Nova mreža G' koja se na ovaj način dobija ima polaritet svih čvorova jednak nuli.

KORAK 5: Pronaći Euler‑ovu turu u mreži G'. Ova tura predstavlja rešenje problema kineskog poštara na orijentisanoj mreži.

31

Primer:Problem kineskog poštara na orijentisanim mrežama

4

35

48

78

2

76

5 3

a

g

b

c

d

f

e

32

Problem kineskog poštara na orijentisanim mrežama

Polaritet čvorova

Čvor i

Ulazni stepen

Izlazni stepen

Polaritet čvora

Skup kome čvor pripada

a 1 3 -2 D

b 2 1 1 S

c 2 2 0

d 2 1 1 S

e 1 2 -1 D

f 3 2 1 S

g 1 1 0

33


fdbS ,,

D a e ,

x xb a b e, , 1

x xd a d e, , 1

x xf a f e, , 1

x x xb a d a f a, , , 2

34


• Rešenje:

• Dodati veštački najkraći put od čvora b do čvora a, od čvora d do čvora a i od čvora f do čvora e.

1 ,,, efedeb xxx

x x x x x xb a b e d a d e f a f e, , , , , ,; ; ; ; ; 0 0 0 0 0 0

x x x x x xb a b e d a d e f a f e, , , , , ,; ; ; ; ; 1 0 1 0 0 1

35


4

5

488

78

2 2

76

55

5

3 3

a

g

b

c

d

f

e

3

Rešenje problema kineskog poštara na orijentisanoj mreži

36


• Rešenje problema kineskog poštara na orijentisanoj mreži

bcdefgfefcdabcabab ,,,,,,,,,,,,,,,,,

predavanje6

Documents

Transcript of predavanje6