MEHANIKA - II

Osnovni pojmovi kinematike translatornog kretanja - nastavak

Materijalna tačka pri svom kretanju opisuje neku liniju. Ta linija se naziva putanja ili trajektorija. Prema obliku putanje kretanje može biti:

1. pravolinijsko 2. krivolinijsko

Rastojanje koje materijalna tačka pređe (mereno po putanji) naziva se pređeni put. Brzina materijalne tačke Posmatrajmo materijalnu tačku koa se kreće po putanji l (vidi sliku ). Položaj materijalne tačke je u trenutku t određen vektorom položaja ( )trr rr

=1 (materijalna tačka se nalazi u položaju M1), a u nekom kasnijem trenutku ( ), vektorom položaja tt Δ+ )(2 ttrr Δ+=

rr , (materijalna tačka je u tački M2). Sa slike vidimo da je: 12 rrr rrr

−=Δ , razlika vektora položaja u trenutku t i trenutku t+Δt.

r1

j

i

y

x

M ( )1 t

lr2

M ( )2 t+ tΔΔr

Ta razlika vektora položaja predstavlja vektor pomeraja. Ili, drugim rečima, vektor pomeraja predstavlja priraštaj vektora položaja u nekom vremenskom intervalu. Očigledno je da se dužina puta koji tačka pređe za vreme Δt, krećući se po putanji l ne poklapa sa intenzitetom vektora pomeraja. Pređeni put će biti jednak intenzitetu vektora pomeraja samo u slučaju jednosmernog pravolinijskog kretanja. Količnik vektora pomeraja i vremenskog intervala u kome se taj pomeraj odigrao, naziva se vektorom srednje brzine:

trr

trvsr Δ

−=

ΔΔ

= 12rrr

r

Jasno je da vektor srednje brzine mora imati isti pravac i smer kao i vektor pomeraja i da srednja brzina ne zavisi od pređenog puta, već samo od pomeraja. Zamislimo da je vremenski interval u kome posmatramo kretanje sve kraći, sve do 0→Δt . To znači i da će se tačke M1 i M2 veoma približiti i da će vektor pomeraja težiti beskonačno malom intenzitetu. Granična vrednost srednje brzine, kada vremenski interval teži nuli, predstavlja trenutnu brzinu materijalne tačke:

dtrd

trv

t

rrr

=ΔΔ

=→Δ

lim0

,

Dakle: vektor brzine materijalne tačke predstavlja prvi izvod vektora položaja po vremenu. Kada vektor razložimo na komponente:

kvjvivkdtdzj

dtdyi

dtdxv zyx

rrrrrrr++=++=

Vektor trenutne brzine ima pravac tangente na putanju (u datoj tački), a smer mu se poklapa sa smerom kretanja. Iz gornjeg izraza je jasno (predavanje 1: intenzitet vektora) da je intenzitet vektora brzine:

222zyx vvvv ++=

r Vektor brzine je aditivna veličina (može se sabirati), pa u slučaju da materijalna tačka istovremeno učestvuje u više različitih kretanja, onda je:

nvvvv rrrr+++= ...21

(Obrati pažnju da se radi o vektorskom zbiru!). Jedinica za brzinu u Međunarodnom sistemu jedinica (SI) je m/s. Ubrzanje materijalne tačke Prema brzini, kretanje može biti ravnomerno ( constv =r ) i neravnomerno ( constv ≠r ). Neravnomerno kretanje može biti: ravnomerno ubrzano /usporeno ( )consta = i neravnomerno ubrzano/usporeno kretanje ( ). consta ≠Neka je u trenutku t brzina materijalne tačke )(1 tvv rr

= , a u trenutku t+Δt, brzina je )(2 ttvv Δ+=rr .

Srednje ubrzanje predstavlja promenu brzine kretanja u nekom vremenskom intervalu:

tvv

tvasr Δ

r r r−

=ΔΔ

r1

y

x

l

r2

Δr

o

Δv

v1

v2

asr

= 12r

Srednje ubrzanje se poklapa sa pravcem vektora promene brzine. Trenutno ubrzanje predstavlja graničnu vrednost srednjeg ubrzanja kada vremenski interval teži nuli:

dtvd

tv r

aatsrt

rrr

=ΔΔ

==→Δ→Δ 00

limlim

Dakle, ubrzanje je prvi izvod vektora brzine po vremenu ili drugi izvod vektora položaja po vremenu, imajući u vidu da je:

2

2

dtrd

dtrd

dtd

dtvda

rrrr

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

Ako vektore napišemo razloženo preko njihovih komponenata:

kajaiakdt

zdjdt

ydidt

xdkdt

dvjdt

dvi

dtdv

dtvda zyx

zyxrrrrrrrrrr

r++=++=++== 2

2

2

2

2

2

.

Intenzitet vektora trenutnog ubrzanja (ako se drugačije ne naglasi, ubuduće ćemo pod pojmom „ubrzanje“ ili „brzina“, misliti na trenutne vrednosti) nalazimo iz:

222zyx aaaa ++=

r Ako, u opštem slučaju, posmatramo kretanje materijalne tačke po proizvoljnoj krivolinijskoj putanji (vidi sliku gore) zaključićemo da se u ovom slučaju mora raditi o promenljivom kretanju. Naime, čak i ako se vektor brzine ne menja po intenzitetu, a ne menja se ni smer kretanja, jasno je da se menja njegov pravac (brzina je uvek tangenta na putanju). Dakle, u slučaju krivolinijskog

kretanja uvek postoji neka promena vektora brzine, a samim tim mora postojati i neko ubrzanje, kao posledica te promene. Vektor trenutnog ubrzanja se može razložiti na dve komponente (vidi sliku dole):

O

R

atan

a

l1. normalnu (ili radijalnu ili centripetalnu), koja ima

pravac radijusa krivine putanje u posmatranoj tački (kod kružnog kretanja je to radijus kružnice) i posledica je promene vektora brzine po pravcu, i

2. tangencijalnu koja je posledica promene intenziteta vektora brzine.

Očigledno je, dakle, da se normalno ubrzanje javlja uvek kada se materijalna tačka kreće po krivolinijskoj putanji, jer će se uvek menjati pravac vektora brzine. Sa slike se vidi da je:

22tn aa +=tn aaaa ⇒+=

r r rr Možemo da zaključimo da kod pravolinijskog kretanja (radijus krivine putanje teži beskonačnosti,

) normalno ubrzanje je jednako nuli (∞→R 0=nar ), dok je kod krivolinijskog kretanja ( ∞≠R ), normalno ubrzanje uvek različito od nule ( 0≠nar ). Jedinica za ubrzanje u SI sistemu je m/s2. Izračunavanje brzine i položaja materijalne tačke Neka se materijalna tačka kreće po pravcu, i uzmimo da je to pravac x ose. Neka je u početnom trenutku (t=0) njena brzina v 0)0( xx vt == , a njena koordinata x0. Odredimo brzinu tačke u trenutku t:

∫ ∫∫∫ +=⇒=−⇒=⇒=⇒=x

x

v

v

t

xxx

t

xxx

t

xxxxx

x dttavvdttavvdttadvdttadvdt

dvta0 0

00

00

)()()()()( (∗)

Na sličan način možemo odrediti položaj materijalne tačke:

∫∫∫∫ +=⇒=−⇒=⇒=⇒=t

x

t

x

t

x

x

xxx dttvxxdttvxxdttvdxdttvdx

dtdxtv

00

00

0

)()()()()(0

(∗∗)

Ako gornji izraz pomnožimo jediničnim vektorom ir

, dobijamo:

∫+=t

x dttvxx0

0 )(rrr

Za materijalnu tačku koja se kreće u ravni dodaćemo još pravac y ose, odnosno, za kretanje u prostoru i pravac z ose, tako da je konačno:

∫+=t

dttvrr0

0 )(rrr

i

∫+=t

dttavv0

0 )(rrr

Specijalan slučaj I:ravnomerno ubrzano kretanje Razmotrimo specijalan slučaj, kada se materijalna tačka kreće ravnomerno ubrzano ( ) ili ravnomerno usporeno (0⟩= consta 0⟨= consta ). Tada u izrazu (∗), ubrzanje može da „izađe“ ispred integrala, pa dobijamo:

tavvtavdtavdttavv xxxxx

t

xx

t

xxx ±=⇒−±=±=±= ∫∫ 000

00

0 )0()( (***)

ili uopšteno u vektorskom obliku:

tavv rrr±= 0

Takođe, zamenom izraza (∗∗∗) u izraz (∗∗):

⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−±−+=⇒±+=⇒±+=⇒+= ∫ ∫∫∫ 2

02

)0()(22

000 0

000

000

0tatvxxtdtadtvxxdttavxxdtvxx xx

t t

xx

t

xx

t

x

200 2

1 tatvxx xx ±+= ,

odnosno, uopšteno u vektorskom obliku: 2

00 21 tatvrr rrrr

±+=

Specijalno, ako se kretanje vrši u jednom pravcu i jednom smeru (npr. u pozitivnom pravcu x ose) i ako se u početnom trenutku tačka nalazila u koordinatnom početku, a početna brzina joj je bila v0, tada je pomeraj jednak pređenom putu i iz gornjih dobijamo dobro poznate izraze:

atvv ±= 0 , odnosno 20 2

1 attvs ±=

Specijalan slučaj II:ravnomerno kretanje Ravnomerno kretanje predstavlja kretanje pri kojem je 0=ar , odnosno . To znači da iz (∗∗) dobijamo:

constv =r

tvxxtvxxdtvxx xx

t

x +=⇒−+=⇒+= ∫ 000

0 )0(

ili, vektorski:

tvrr rrr+= 0

To znači da samo u specijalnom slučaju, kada se tačka (telo) kreće po pravoj liniji (uzmimo pravac x ose) i u samo jednom smeru (neka je to pozitivan smer x ose) i kada kretanje počinje iz tačke x0 =0, i odvija se bez ubrzanja, smemo da napišemo poznate izraze:

tsvvts =⇒=