Predavanja iz Matematičke kulture i komunikacije
Transcript of Predavanja iz Matematičke kulture i komunikacije
1
Matematička kultura i komunikacija
Predavanja na 1. godini Preddiplomskog sveučilišnog studija
ranoga i predškolskoga odgoja i obrazovanja
Ružica Kolar-Šuper
2
Sadržaj
1. Elementi matematičke logike ...................................... 3
2. Skupovi ........................................................................ 14
3. Relacije i funkcije ........................................................ 19
4. Zapisi brojeva starih naroda ........................................ 25
5. Skup prirodnih brojeva ................................................ 30
6. Induktivno zaključivanje ............................................. 35
7. Mjerenje ....................................................................... 41
8. Elementi planimetrije .................................................. 45
9. Elementi stereometrije ................................................. 52
10. Elementi vjerojatnosti i statistike ................................. 56
Literatura ........................................................................... 66
3
1. ELEMENTI MATEMATIČKE LOGIKE
Sud je smislena deklarativna rečenica koja je istinita ili lažna (ne može istovremeno biti i
istinita i lažna).
Primjeri.
Aritmetika je grana matematike.
Sud.
Zlatna jednadžba trči.
Nije sud.
Kako ste?
Nije sud.
2+5
Nije sud.
x je paran broj.
Nije sud.
Uobičajeno je sudove označavati velikim štampanim slovima (A, B, C, ... ).
Istinosna vrijednost istinitog suda označava se s 1 (koriste se i oznake T, I, T, +), (v(A)=1).
Istinosna vrijednost lažnog suda označava se s 0 (koriste se i oznake ┴, L, F, -), (v(A)=0).
Primjeri sudova.
A : Geometrija je grana matematike.
Sud. (v(A)=1)
B : Ivana Brlić Mažuranić je napisala priču Ribar Palunko i njegova žena.
Sud. (v(B)=1)
C : 2+5=5+2
Sud. (v(C)=1)
D : 2-5=5-2
Sud. (v(D)=0)
E : 10-5:5=1
Sud. (v(E)=0)
4
Tablica istinitosti
Istinitost složenog suda sastavljenog od sudova A, B, C, ... možemo u ovisnosti o istinitosti
sudova A, B, C, ... prikazati tablicom istinitosti ili semantičkom tablicom.
Operacije sa sudovima
Negacija suda
Negacija suda A je sud koji negira ono što sud A tvrdi.
Koristi se oznaka ¬ A.
Čitamo:
• nije A
• non A
• ne A
Primjeri negacije suda.
A : Zagreb je glavni grad Hrvatske.
¬ A : Zagreb nije glavni grad Hrvatske.
A : Kvadrat nije pravokutnik.
¬ A : Kvadrat je pravokutnik.
A : 2 < 4
¬ A : 2 ≥ 4
A : Svaka riba pliva.
¬ A : Postoji riba koja ne pliva.
A ¬ A
0 1
1 0
Konjunkcija sudova
Konjunkcija sudova A i B je složeni sud koji je istinit točno onda kada su oba suda A i B
istinita.
Koristi se oznaka A∧B, A&B.
5
Čitamo:
A i B
Primjeri konjunkcije sudova.
A: Ivana Brlić Mažuranić je pisala priče za djecu.
B: Hans Christian Andersen je pisao priče za djecu.
A∧B : Ivana Brlić Mažuranić i Hans Christian Andersen su pisali priče za
djecu.
Sud A∧B je istinit jer su i A i B istiniti sudovi.
A: Mjesec je prirodni Zemljin satelit.
B: Mliječna staza je zvijezda.
A∧B : Mjesec je prirodni Zemljin satelit i Mliječna staza je zvijezda.
Sud A∧B je lažan jer je sud B lažan (iako je sud A istinit).
A B A ∧ B
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Disjunkcija sudova
Inkluzivna disjunkcija sudova A i B je složeni sud koji je lažan točno onda kada su oba suda
A i B lažna.
Koristi se oznaka A∨B.
Čitamo:
A ili B
Sud AvB je istinit u sljedećim slučajevima:
– oba suda A i B su istinita,
– jedan od sudova A i B je istinit, a drugi lažan.
Primjeri disjunkcije sudova.
A : Pravokutnik je geometrijski lik.
B : Kvadar je geometrijsko tijelo.
6
A∨B : Pravokutnik je geometrijski lik ili kvadar je geometrijsko tijelo.
Sud A∨B je istinit.
A : 1 je prirodan broj.
B : x=0 je rješenje jednadžbe x+3=2.
A∨B : 1 je prirodan broj ili x=0 je rješenje jednadžbe x+3=2.
Sud A∨B je istinit.
A B A ∨ B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Ekskluzivna disjunkcija sudova A i B je složeni sud koji je istinit točno onda kada je istinit
samo jedan od sudova A i B.
Koristi se oznaka A∨B.
Čitamo:
A ili B (ali ne oba)
Sud A∨B je lažan u sljedećim slučajevima:
– oba suda A i B su istinita,
– oba suda A i B su lažna.
Primjeri ekskluzivne disjunkcije.
A : Dva pravca u ravnini su paralelna.
B : Dva pravca u ravnini se sijeku u jednoj točki.
A∨B : Dva pravca u ravnini su paralelna ili se sijeku u jednoj točki.
A : Sutra u 20 h ići ću u kino.
B : Sutra u 20 h rješavat ću zadatke u svojoj radnoj sobi.
A∨B : Sutra u 20 h ići ću u kino ili ću rješavati zadatke u svojoj radnoj sobi.
7
A B A ∨ B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Implikacija sudova
Implikacija dvaju sudova A i B je složeni sud koji je lažan točno onda kada je sud A istinit i
sud B lažan.
Koristi se oznaka A⇒B.
Čitamo:
A povlači B
A implicira B
ako A, onda B
iz A slijedi B
Primjeri implikacije sudova.
A : 10 je veći od 2.
B : 100 je veći od 4.
A⇒B : Ako je 10 veći od 2 onda je 100 veći od 4.
Sud A⇒B je istinit (oba suda A i B su istinita).
A : 10 je veći od 2.
B : 4 je veći od 100.
A⇒B : Ako je 10 veći od 2 onda je 4 veći od 100.
Sud A⇒B je lažan (A je istinit sud, B je lažan sud).
A : 3+17=30.
B : Ivan je magarac.
A⇒B : Ako je 3+17=30 onda je Ivan magarac.
Sud A⇒B je istinit.
8
A B A ⇒ B
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
Ekvivalencija sudova
Ekvivalencija sudova A i B je složeni sud koji je istinit točno onda kada su oba suda A i B
istinita ili kada su oba suda A i B lažna.
Koristi se oznaka A⇔B.
Čitamo:
A je ekvivalentno s B
A je ako i samo ako je B
Primjeri ekvivalencije.
A : Dan i noć se izmjenjuju.
B : Zemlja se okreće oko zamišljene osi.
A⇔B : Dan i noć se izmjenjuju ako i samo ako se Zemlja okreće oko
zamišljene osi.
Sud A⇔B je istinit (oba suda A i B su istinita).
A : 9 je prost broj.
B : Svaki trokut je pravokutan.
A⇔B : 9 je prost broj ako i samo ako je svaki trokut pravokutan.
Sud A⇔B je istinit (oba suda A i B su lažna).
A : 6:3+3=5
B : 21. prosinca je najdulji dan.
A⇔B : 6:3+3=5 ako i samo ako je 21. prosinca najdulji dan.
Sud A⇔B je lažan (A je istinit sud, B je lažan sud).
9
A B A ⇔ B
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Jednakost sudova
Kažemo da su dva (složena) suda A i B semantički jednaki (ili, kratko, jednaki) ako im se
pripadne semantičke tablice podudaraju.
Koristi se oznaka A≡B.
Princip dvojne negacije
A ¬A ¬(¬A)
0 1 0
1 0 1
¬(¬A) ≡ A
De Morganovi principi
A B A∧B ¬(A∧B) ¬A ¬B (¬A)∨(¬B)
0 0 0 1 1 1 1
0 1 0 1 1 0 1
1 0 0 1 0 1 1
1 1 1 0 0 0 0
¬(A∧B) ≡ (¬A)∨(¬B)
10
A B A∨B ¬(A∨B) ¬A ¬B (¬A)∧(¬B)
0 0 0 1 1 1 1
0 1 1 0 1 0 0
1 0 1 0 0 1 0
1 1 1 0 0 0 0
¬(A∨B) ≡ (¬A)∧(¬B)
Negacija implikacije
A B A⇒B ¬(A⇒B) ¬B A∧(¬B)
0 0 1 0 1 0
0 1 1 0 0 0
1 0 0 1 1 1
1 1 1 0 0 0
¬(A⇒B) ≡ A∧(¬B)
Primjer negacije.
Ako je Iva u Osijeku, onda je Iva u Hrvatskoj.
A : Iva je u Osijeku.
B : Iva je u Hrvatskoj.
C : A⇒B
¬C : ¬(A⇒B) ≡ A∧(¬B)
: Iva je u Osijeku i Iva nije u Hrvatskoj.
Ekvivalencija sudova
A B A⇔B A⇒B B⇒A (A⇒B)∧(B⇒A)
0 0 1 1 1 1
0 1 0 1 0 0
1 0 0 0 1 0
1 1 1 1 1 1
11
A⇔B ≡ (A⇒B)∧(B⇒A)
Dokažite da vrijedi:
A∧B ≡ B∧A
A∨B ≡ B∨A
A∧(B∨C) ≡ (A∧B)∨(A∧C)
A∨(B∧C) ≡ (A∨B)∧A∨C)
A∨0 ≡ A
A∧1 ≡ A
A∧(¬A) ≡ 0
Tautologija
Složeni sud koji je istinit bez obzira na istinitost sudova od kojih je sastavljen zove se
tautologija.
Primjeri tautologije.
A∨(¬A) Princip isključenja trećeg
A ¬A A∨(¬A)
0 1 1
1 0 1
(A∧B)⇒B
A B A∧B (A∧B)⇒B
0 0 0 1
0 1 0 1
1 0 0 1
1 1 1 1
12
Sudovi vezani uz A⇒B
Uz sud A⇒B vežemo sudove:
• B⇒A obrat suda
• (¬B)⇒(¬A) obrat po kontrapoziciji
• (¬A)⇒(¬B) suprotni sud (inverzija)
A B A⇒B B⇒A ¬A ¬B (¬A)⇒(¬B) (¬B)⇒(¬A)
0 0 1 1 1 1 1 1
0 1 1 0 1 0 0 1
1 0 0 1 0 1 1 0
1 1 1 1 0 0 1 1
Obrat po kontrapoziciji
A⇒B ≡ (¬B) ⇒ (¬A)
Sud je istinit ako i samo ako je istinit njegov obrat po kontrapoziciji.
Obrat suda
A⇒B ≢ B⇒A
A⇒B ≢ (¬A) ⇒ (¬B)
B⇒A ≡ (¬A) ⇒ ( ¬B)
Obrat suda je istinit ako i samo ako je istinit suprotni sud.
Primjeri.
Ako je Iva u Osijeku, onda je Iva u Hrvatskoj.
(istinit sud)
A : Iva je u Osijeku.
B : Iva je u Hrvatskoj.
Obrat suda (B⇒A) : Ako je Iva u Hrvatskoj, onda je Iva u Osijeku.
(lažan sud)
13
Obrat po kontrapoziciji ((¬B) ⇒ (¬A)) : Ako Iva nije u Hrvatskoj, onda Iva nije
u Osijeku.
(istiniti sud)
Suprotni sud ((¬A) ⇒ (¬B)) : Ako Iva nije u Osijeku, onda Iva nije u Hrvatskoj.
(lažan sud)
14
2. SKUPOVI
Skup je osnovni matematički pojam pa se kao takav ne definira.
Čine ga elementi s nekim zajedničkim svojstvom.
Skupove ćemo označavati velikim štampanim slovima A, B, C, . . . a njihove elemente malim
slovima a, b, c, . . .
Koristimo oznake:
Sx “x je element skupa S”,
Sx : S)(x “x nije element skupa S”.
Primjer. A={a, b, c, d}
Aa , Ae
S={x : x ima svojstvo P}, S={x : P(x)}
Primjer. (a) Zx3,5x:xA
A={-2}
(b) N}x3,x:{xB
B={1, 2, 3}
Kardinalni broj skupa je broj elemenata skupa.
k(A) = |A|
Primjer. A={a, b, c, d}
k(A)=4
Shematski je zgodno skupove predočavati kao dijelove ravnine omeđene zatvorenim
krivuljama, koje se u literaturi zovu Vennovi dijagrami.
N, Z, Q, I, R, C – skupovi brojeva (Ν – skup prirodnih brojeva, Ζ - skup cijelih brojeva, Q –
skup racionalnih brojeva, Ι – skup iracionalnih brojeva, R – skup realnih brojeva, C – skup
kompleksnih brojeva)
Prazan skup, tj. skup bez ijednog elementa označavat ćemo s ϕ.
Primjer. N}x 1,3x:{xA
Širi skup iz kojeg uzimamo elemente nazivamo univerzalni skup.
A
a
b
c
15
U - N, Z, Q, I, R, C, skup svih točaka ravnine, skup svih točaka prostora, …
Podskup skupa
Za skup A kažemo da je podskup skupa B i pišemo BA , ako je svaki element skupa A
ujedno i element skupa B.
B)aA(aA)a(BA
B A
A AA
AB (B je nadskup od A)
Jednakost skupova
Za dva skupa A i B kažemo da su jednaki ako je svaki element skupa A ujedno i element
skupa B i obrnuto svaki element skupa B ujedno i element skupa A.
ABBABA
Primjer. (a) {1, 2, 3} = {3, 1, 2}
(b) {a, b, c, d} = {b, d, c, a}
Pravi podskup skupa
Za skup A kažemo da je pravi podskup skupa B i pišemo BA , ako je svaki element skupa
A ujedno element skupa B i postoji barem jedan element skupa B koji nije element skupa A.
BABABA
Primjer. A = {1, 2}, B = {1, 2, 3, 4}.
Vrijedi A⊂B.
16
B
A
Skup prirodnih brojeva je pravi podskup skupa cijelih brojeva ( ZN ).
Partitivni skup
Partitivni skup skupa A je skup svih podskupova skupa A (skup čiji su elementi svi mogući
podskupovi skupa A).
P (A) A}X:{X
Primjer. S = {1, 2, 3}.
P (S) } {1,2,3} {2,3}, {1,3}, {1,2}, {3}, {2}, {1}, , {
k(S)=3
k(P (S))=23=8
Može se dokazati da vrijedi
k(A)=n, k(P (A))=2n.
Operacije sa skupovima
Neka su A, B, C podskupovi nekog skupa U.
Unija skupova
B}xAx :x { BA
A B
AA
AAA
3
4 1
2
17
A B
UA
Ac
Primjer. (a) A={1, 2} , B= {a, b}
A⋃B={1, 2, a, b}
(b) A={1,2,3}, B={2, 4, 6}
A⋃B={1, 2, 3, 4, 6}
Presjek skupova
B}xAx :x { BA
A B
A
AAA
Primjer. A={ 2, 3, 4, 5, 7} , B= {3, 6, 7, 8}
{3,7} BA
BA Za skupove A i B kažemo da su disjunktni skupovi ako je
A B==.
Diferencija skupova
B}xAx :x { B\A
A\A
A\
A\A
Primjer. A={ 0, 2, 4, 5, 6, 7 } , B= { 0, 2, 6, 9 }
A∖B={4, 5, 7}, B∖A={9}
Komplement skupa
U - univerzalni skup
A}xx :x { AC U
18
Primjer. U = N, A= {2, 4, 6, … }
} ... 7, 5, 3,1, { AC
Svojstva skupovnih operacija
1. Asocijativnost
C)(BA CB)(A
C)(BA CB)(A
2. Komutativnost
AB BA
AB BA
3. Distributivnost
C)(AB)(A C)(BA
C)(AB)(A C)(BA
4. De Morganovi zakoni
CCC BA B)(A
CCC BA B)(A
Kartezijev produkt skupova
Kartezijev produkt skupova A i B je skup svih uređenih parova (x, y) pri čemu je prvi element
iz skupa A, a drugi iz skupa B.
} Bx Ax : y)(x, {BA
Primjer. A = {1, 2, 3}, B={a, b}
}b)(3, a),(3, b),(2, a),(2, b),(1, a),(1,{BA
a)(b,b)(a,
ABBA
2AAA - Kartezijev kvadrat
Ako je k(M)=m i k(N)=n onda je nmN)k(M .
Primjer. Na koliko načina se može obući osoba koja ima tri majice i dvoje hlače?
}m,m ,m{M 321 – skup svih majica
}h ,h{H 21 – skup svih hlača
HM - skup svih odjevnih kombinacija
})h,(m ),h,(m ),h,(m ),h,(m ),h,(m ),h,(m{HM 231322122111
19
X
Xρ
3. RELACIJE I FUNKCIJE
RELACIJE
Za dane skupove X i Y neka je YyX,x:y)(x,YX Kartezijev produkt (elementi su
uređeni parovi).
X=Y 2XXX
Binarna relacija između skupova X i Y je bilo koji neprazni podskup Kartezijevog produkta
YX .
Neka je X neprazan skup, a XXX2 njegov Kartezijev kvadrat. Binarna relacija na
skupu X je bilo koji neprazni podskup 2Xρ .
ρ - binarna relacija (elementi su uređeni parovi)
bρa ρ,b)(a, X,ba, ,Xρ 2
Napomena
- binarna relacija - elementi su uređeni parovi (x,y), YXρ
- ternarna relacija - elementi su uređene trojke (x,y,z), ZYXρ
- kvaternarna relacija - elementi su uređene četvorke (x,y,z,u), UZYXρ
- n-arna relacija - elementi uređene n-torke )x ..., ,x,(x n21, nX...
2X
1Xρ
Primjer. X={1, 2, 3, 4}
2X(3,4)} (2,4),(2,3),(1,4),(1,3), {(1,2),ρ
Relacija ekvivalencije
Za relaciju ρ na skupu X kažemo da je relacija ekvivalencije ako su ispunjena sljedeća tri
uvjeta:
(1) refleksivnost Xaaa , ,
(2) simetričnost abba ,
(3) tranzitivnost cacbba .
Primjer. Neka je P skup svih pravaca ravnine.
Za pravce a, bP kažemo da su paralelni i pišemo a||b ako nemaju zajedničkih
točaka ili su im sve točke zajedničke.
Dokažite da je “biti paralelan” jedna relacija ekvivalencije na skupu P.
Primjer. Neka je P skup svih pravaca ravnine.
Je li relacija “biti okomit” relacija ekvivalencije na skupu P?
20
Primjer. Neka je T skup svih trokuta u ravnini. Relacije
1) “biti sukladan sa”,
2) “biti sličan sa”,
3) “imati istu površinu kao”
su relacija ekvivalencije na skupu T.
Primjer. Neka je S={4, 11, 24, 31} i neka je relacija SSρ dana sa
y x suma brojeva x i y je paran broj.
a) Ispišite sve parove koje pripadaju relaciji 𝜌.
b) Ispitajte svojstva relacije 𝜌, refleksivnost, simetričnost, tranzitivnost.
Primjer. Neka je sa X označen skup svih ljudi na svijetu.
Utvrdite koja svojstva imaju sljedeće relacije na skupu X:
(a) “je rođak od”;
(b) “je potomak od”;
(c) “je vjenčan sa”;
(d) “je stariji nego”;
(e) “je istog spola kao”.
21
D K
a
b c
1
2
elementu d nije nitko pridružen
f
a)
3
d
postupak f nije funkcija
D K
a
b
c
1
2
elementu b su pridružena dva elementa
fb)
3
d
postupak f nije funkcija
4
5
b 2
3
D K
a
b
c
1
2
f
3
d 4
5
D K
a
b
c
1
2
f
3
d 4
5
FUNKCIJE
Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu xD
pridružuje točno jedan element yK zovemo funkcija ili preslikavanje sa D u K i pišemo
f:D→K ili x → f(x), xD.
Primjer. Je li postupak f funkcija?
c)
postupak f jeste funkcija
D – domena ili područje definicije funkcije f (Df ),
K – kodomena ili područje vrijednosti funkcije f (Kf ),
f - zakon pridruživanja
x - nezavisna varijabla ili argument
f(x) - zavisna varijabla, slika elementa x ili vrijednost funkcije f u točki x
Slika funkcije
Slika funkcije f definira se kao skup I(f)={f(x):xD}K.
Primjer. Odredite sliku funkcije f .
f:D→K
f (a)=1 I(f) = { 1, 2, 3}
f (b)=2 K (f) = { 1, 2, 3, 4, 5}
f (c)=2 I(f)K
f (d)=3
22
x 1 2 3 4 5
f(x) 0 1 1 2 3
0 1 2 3 4 5
1
2
3
D K
a
b
c
1
2
f
3
d 4e
D K
a
b
c
1
2
f
3
d 4
5
Graf funkcije
Graf funkcija f definira se kao skup K DD}x:f(x)){(x,Γ f .
Primjer. Nacrtajte graf funkcije f .
f:A→B, A={1, 2, 3, 4, 5}, B={0, 1, 2, 3}
Rješenje. (5,3)}(4,2),(3,1),(2,1),{(1,0),Γ f
Injektivnost funkcije
Za funkciju f:D→K kažemo da je injekcija (ili 1-1 preslikavanje) ako
Dx,x ),f(x)f(xxx 212121
tj. različitim vrijednostima argumenta pridružuje različite vrijednosti
(različitim elementima domene pridružuje različite elemente kodomene).
Dx,x ),f(x)f(xxx 212121
ABBA zakon kontrapozicije
Dx,x ,xx)f(x)f(x 212121
Primjer. Je li f injekcija?
a) b)
b ≠ c ali f (b ) = f (c)=2 f je injekcija
f nije injekcija
23
D K
a
b
c
1
2
f
3
d 4
5
6
D K
a
b
c
1
2
f
3
d 4e
D K
a
b
c
1
2
3
4d
f
Surjektivnost funkcije
Za funkciju f:D→K kažemo da je surjekcija ako je I(f)=K (slika funkcije f jednaka
kodomeni) tj. ako
yK xD takav da je f(x)=y.
(franc. sur-na)
Primjer. Je li f surjekcija?
a) b)
I(f) = {1, 2, 3, 4} I(f) = {1, 2, 3, 4}
K (f) = {1, 2, 3, 4, 5, 6} K (f) = {1, 2, 3, 4}
I K(f)(f) f nije surjekcija I K(f)(f) f je surjekcija
Bijektivnost funkcije
Za funkciju f:D→K kažemo da je bijekcija (ili obostrano jednoznačno preslikavanje) ako je f
injekcija i surjekcija.
f:D→K bijekcija
k(D)=k(K)
Ekvipotentnost skupova
Za skupove A i B kažemo da su ekvipotentni (jednakobrojni) ako postoji barem jedna
bijekcija s jednog skupa na drugi.
Primjer. D = {u1 ,u2 , ... ,u29 } - skup svih učenika razreda
K = {1, 2, 3, 4, 5} - skup svih ocjena
Postupak o : ocjenjivanje (dobivene ocjene jednog pisanoga ispita)
24
D K
u1
u2
u3
1
2
o
3
4
5
u4
u5
u29
Je li o uopće funkcija?
Može li o biti injekcija?
Zbog kojega elementa (broja) u kodomeni bi
bilo dobro da o nije surjekcija?
25
4. ZAPISI BROJEVA STARIH NARODA
U početcima civilizacije ljudi su živjeli u nomadskim plemenima, te su imali minimalnu
potrebu za brojevima i brojanjem. Tako su npr. morali prebrojavati:
- broj članova plemena,
- količina lovine koju su ulovili i sl.
Prelaskom na nenomadski način života i razvijanje stočarstva i ratarstva pojavljuje se potreba
za zapisivanjem brojeva kao npr.
- broj životinja u stadu,
- količina voća koje su ubrali i sl.
Postojali su jednostavni načini za prebrojavanje elemenata istog skupa:
- ako bi trebalo brojati do 5, svaki element bi povezali s jednim prstom na ruci,
- za više elemenata, koristili bi prutiće, kamenčiće, školjčice ili zareze na drvetu.
Brojanje na prste ili uz pomoć kamenčića je nepraktično za velike skupove. Kako drugome
objasniti što i kako se brojalo, te kako taj ''zapis'' broja nositi sa sobom?
Nije sa sigurnošću utvrđeno kada su ljudi počeli brojati. Neka arheološka istraživanja na
temelju iskopina i crteža u špiljama procjenjuju da se to dogodilo između 28 000 - 30 000 g.
pr. Krista.
Egipatska matematika
Jedna od najranijih kultura i civilizacija što ih je čovjek stvorio na Zemlji bila je
staroegipatska. O staroegipatskoj matematici doznajemo ponajviše iz dvaju glasovitih
papirusa: Rhindovog i Moskovskog.
Moskovski papirus Rhindov parirus
Brojevni sustav starih Egipćana
Stari Egipćani imali su razvijeni decimalni sustav i svoje oznake za brojeve.
Hijeroglifske znakove su koristili za pisanje po kamenu. Hijeratski su znaci uvedeni za brzo
pisanje po papirusu, drvu ili po lončariji.
26
Hijeratski brojevi
Ravni uspravni potez značio je „jedan“; potkova (koja je imala desetak rupa za čavle) značila
je broj „deset“; savijeno mjerno uže (dugačko sto lakata) značilo je broj „sto“; list lopoča (koji
je u tisućama prekrivao jezera) značio je broj „tisuću“; savijen prst značio je broj „deset
tisuća“; gušterica (koja se, poslije poplava Nila, u „stotinama tisuća“ mogla vidjeti na
njegovim obalama) značila je broj „sto tisuća“. Postojao je i poseban znak za „beskonačno
velik broj“: račundžija koji od zaprepaštenja nad beskrajnom golemošću broja o kojemu je
riječ diže ruke prema nebu.
Hijeroglifski brojevi
Stari Egipćani su svojim hijeroglifskim pismom označavali prirodne brojeve na osnovi tzv.
aditivnog načela. To znači da je niz znakova za brojeve, kao cjelina, označavao broj koji se
dobiva zbrajanjem svih brojeva koji su označeni pojedinim znakovima u nizu.
27
Primjer zapisa nekih brojeva.
3∙100+6∙10+2∙1=362
Egipatski razlomci
Egipćani su na poseban način označavali razlomke. Svi razlomci su morali biti prikazani s
brojnikom 1. Ako to nije bilo moguće, onda se razlomak morao zapisati kao zbroj razlomaka s
brojnikom 1. Razlomci sa brojnikom 1 nazivaju se još i jedinični razlomci. A razlomak sa
jedinicom u brojniku, odnosno rastav razlomka na zbroj jediničnih razlomaka nazivamo
Egipatski razlomak.
Razlomci su zapisivani tako da je iznad nazivnika stavljen hijeroglif
koji je označavao "otvorena usta".
Zapis razlomka 3
1 Zapis razlomka
10
1
Neki razlomci imali su svoj poseban znak kao npr.
21
32
43
= 3 427
= 1 111 111
= 362
28
Razlog što se služimo dekadskim sustavom leži u anatomiji naše ruke.
1 10 100 1 000 10 000 100 000 1 000 000
Rimski brojevi
I V X L C D M
1 5 10 50 100 500 1 000
Brojevni sustavi
NEPOZICIJSKI POZICIJSKI
Rimski arapski
XX 22
10 i 10 je 20 dvije desetice i dvije jedinice
22=2101+2100
Znamenke rimskih brojki (I, V, X, L, C, D i M) imaju uvijek istu vrijednost neovisno o mjestu.
Pravila za zapisivanje rimskih brojki
Ako uz neku znamenku zdesna stoji znamenka manje ili jednake vrijednosti,
vrijednosti znamenki se zbrajaju (npr. VI=5+1=6, XI=10+1=11).
Ako uz neku znamenku slijeva stoji znamenka manje vrijednosti (po pravilu: I ispred V
i X, X ispred L i C, C ispred D i M), vrijednosti znamenki se oduzimaju tako da se od
veće vrijednosti oduzme manja (npr. IV=5-1=4, IX=10-1=9).
Ako se neka znamenka nalazi između dvije jednake znamenke s većom vrijednošću, ta
se znamenka oduzima od vrijednosti desne znamenke i dodaje lijevoj
(npr. MCM=1000+(1 000-100)=1 000+900=1 900).
29
Brojka nad kojom je povučena crta množi se s 1 000, a brojka nad kojom su dvije crte s
1 000 000 (npr. V = 5 000, V = 5 000 000).
Znamenke I, X i C smiju se uzastopce zapisati najviše tri puta.
Primjer. MCMLXXI=1971, 2 011 = MMXI.
Zadatak. Napiši svoj datum rođenja koristeći rimske brojke.
Razvoj arapskih brojki
Danas svakodnevno upotrebljavamo brojke arapskog sustava. Istraživanja pokazuju da te
brojke dolaze iz Indije gdje su i nastale, no s vremenom i prepisivanjem su se promijenile.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
Indijski Brahmi brojevi
(3. st. pr. Krista)
Zapadno-arapski
(14. st.)
Europa
(15 st.)
Europa
(16. st.)
Postoje i mnoge teorije upravo o zapisivanju arapskih brojki. Kada promatramo znamenke od
1 do 9, možemo primijetiti točno određen broj kutova koje zatvaraju linije znamenki. Prema
ovome, znamenka 1 ima jedan kut, znamenka 2 ima dva kuta i tako slijedom, a 0 nema
nijedan kut, te je tako i zapisana.
Simbolika broja kutova
30
5. SKUP PRIRODNIH BROJEVA N
Skup prirodnih brojrva označava se s N od lat. naturalis – prirodan.
... 1,2,3,N
Zakoni računskih radnji u skupu N
Za svaka tri prirodna broja m, n i p vrijedi
m + n = n + m - zakon komutativnosti (zamjene mjesta) za zbrajanje
(m+n) + p = m + (n+p) - zakon asocijativnosti (udruživanja) za zbrajanje
mnnm - zakon komutativnosti za množenje
p)(nmpn)(m - zakon asocijativnosti množenja
pnpmpn)(m - zakon distributivnosti množenja prema zbrajanju
Zadatak. Izračunajte: 1) 279+3464+343+221+536+1657,
2) 125•3•8•25•4•7,
3) (48•7+14)•2-4•(7•25+3•25),
4) 379+397+739+793+937+973.
Zadatak. Izračunajte: 1) (43•315-43•281+34•57):17,
2) 58•284-58•273+11•42-1001,
3) 603•38+225•(514-476)+(15+23) •172.
Zadatak. U izraz 5•9+12:3-2 stavi zagrade tako da rezultat bude
a) 17, b) 47, c) 57.
Zadatak. U izraz 98-14:2+5•84-83 stavi zagrade tako da rezultat bude
a) 379, b) 96, c) 47, d) 86, e) 7981.
N je beskonačan prebrojiv skup, k(N) 0 (alef nula).
Za skup kažemo da je prebrojiv ako je ekvipotentan skupu N.
Za skup kažemo da je beskonačan ako je ekvipotentan svom pravom podskupu.
Za skup kažemo da je konačan ako nije beskonačan.
... 2n,..., 6, 4, 2,M1 - skup parnih prirodnih brojeva
... 1,- 2n..., 5, 3,1,M2 - skup neparnih prirodnih brojeva
Može se dokazati da je funkcija f:N→M1, f(n)=2n bijekcija, pa su N i M1 ekvipotentni
skupovi. Analogno se dobiva da su N i M2 ekvipotentni skupovi.
Dakle slijedi k(M1 ) = k(M2)=k(N)= 0 .
31
Prosti i složeni brojevi
Prost ili prim broj je prirodni broj veći od 1 djeljiv samo s 1 i sa samim sobom.
Složeni broj je prirodni broj veći od 1 koji nije prost broj.
1 nije ni prost ni složen broj.
Stargrčki matematičar Eratosten (276. - 194. prije Krista) osmislio je jednostavan postupak
kojim se mogu naći svi prosti brojevi koji nisu veći od nekog zadanog broja n (granice do
koje želimo naći proste brojeve) koji je u literaturi poznat pod imenom Eratostenovo sito.
Postupak se odvija prema sljedećim koracima:
1. napišemo proizvoljan broj uzastopnih prirodnih brojeva počevši od 2,
2. zaokružimo najmanji neoznačeni broj,
3. precrtamo sve njegove višekratnike, koji nisu već označeni,
4. ponavljamo postupak od 2. koraka dok svi brojevi nisu označeni (zaokruženi ili precrtani).
Prosti brojevi: Složeni brojevi:
2
Prosti brojevi: Složeni brojevi:
2,3 4,6,8,10,12,14,16,18,
20,22,24,26,28,30,32,
34,36,38,40,42,44,46,
48,50,52,54,56,58,60,
62,64,66,68,70,72,74,
76,78,80,82,84,86,88,
90,92,94,96,98,100,9,
15,21,27,33,39,45,51,
57,63,69,75,81,87,93,
99
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Prosti brojevi: Složeni brojevi:
2 4,6,8,10,12,14,16,18,
20,22,24,26,28,30,32,
34,36,38,40,42,44,46,
48,50,52,54,56,58,60,
62,64,66,68,70,72,74,
76,78,80,82,84,86,88,
90,92,94,96,98,100
32
100999897...4321
101
101
101101
10150
5050
Prosti brojevi: Složeni brojevi:
2,3,5,7,11,13, 4,6,8,10,12,14,16,18,
17,19,23,29, 20,22,24,26,28,30,32,
31,37,41,43, 34,36,38,40,42,44,46,
47,53,59,61, 48,50,52,54,56,58,60,
67,71,73,79, 62,64,66,68,70,72,74,
83,89,97. 76,78,80,82,84,86,88,
90,92,94,96,98,100,9,
15,21,27,33,39,45,51,
57,63,69,75,81,87,93,
99,25,35,55,65,85,95,
49,77,91.
Dakle vrijedi sljedeća particija skupa N.
N
1
2 4 683
951012
711
Može se dokazati da vrijedi sljedeća tvrdnja.
Teorem. Prostih brojeva ima beskonačno mnogo.
Promotrimo sada na koji način se može izračunati suma prvih n prirodnih brojeva.
Primjer. Zbrojite sve prirodne brojeve od 1 do 100.
Gaussova dosjetka
Uz ovaj primjer veže se jedna anegdota iz života velikog matematičara Karla Friedricha
Gaussa (1777. - 1855.).
Prema tadašnjim običajima učitelj je u istoj prostoriji imao nastavu s više uzrasta i to sa četiri
razreda. Dok je radio s jednim uzrastom, dotle je ostale zapošljavao samostalnim radom.
Jednom takvom prilikom razred devetogodišnjeg Gaussa dobio je zadatak da odredi zbroj
prvih 100 prirodnih brojeva, tj. 1+2+3+…+98+99+100.
Tek što je učitelj ispisao zadatak na ploču digao se Gauss noseći svoju pločicu (tada se pisalo
na kamenim pločicama posebnom kamenom pisaljkom), stavio je na katedru i rekao "Da
ligget es"("Evo tu leži"). Učitelj je Gaussa već htio ukoriti radi remećenja reda, ali mu pogled
zapne na ispravnom rezultatu 5050. Upitao je Gaussa kako je tako brzo došao do točnog
rezultata, a on mu odgovori: treba zbrojiti krajnje članove:
1 + 100 = 101,
2 + 99 = 101,
3 + 98 = 101,
⋮ 50 + 51 = 101.
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
33
Takvih parova ima 50, pa je traženi zbroj jednak 50 ∙101 = 5050.
Navedeni način zbrajanja, tj. određivanja zbroja nekih "konačnih redova" zove se Gaussova
dosjetka.
Može se dokazati da za sumu prvih n prirodnih brojeva vrijedi
.2
1)n(nn...321
Geometrijska interpretacija prethodne formule može se dati na sljedeći način.
1 = 1
1+2 = 3
1+2+3 = 6
1+2+3+4 = 10
2
1)(4 4 4321
Geometrijski, sumu promatramo kao polovinu površine pravokutnika duljina
stranica 4 i 5.
34
Metoda inverzije ili računanja s kraja
Postoji niz metoda rješavanja problemskih zadataka bez korištenja jednadžbi. Jedna od takvih
metoda je i metoda inverzije. Ova metoda sastoji se u tome da se krene od zadnjeg danog
podatka pa se operacije izvode obrnutim redoslijedom od onoga koji se u zadatku navodi.
Zadatak. Zamislio sam jedan broj, pomnožio ga s 3, dodao mu 5, podijelio sa 7, tome
rezultatu dodao 8 i na kraju dobio 10. Koji broj sam zamislio?
10-8=2,
2∙7=14,
14-5=9,
9:3=3.
Traženi broj je 3.
Zadatak. Ako neki broj podijelimo s 20 pa dobivenom količniku pribrojimo 175 i dobiveni
zbroj pomnožimo s 4 dobit ćemo broj 1340. Koji je početni nepoznati broj?
Zadatak. Marija kupuje jabuke na tržnici. Idući kući, jednu jabuku pojede, a polovinu ostatka
jabuka daje Antunu. Zatim jednu jabuku pojede i polovinu ostatka daje Josipu. Isto
to učini kod Ivana i Darka (prvo jednu jabuku pojede a potom da polovinu ostatka
jabuka). Koliko jabuka Marija treba kupiti na tržnici da kući donese dvije jabuke?
. . .
Darko
2
Ivan
2+2=4
4+1=5
5+5=10
10+1=11
Atun
11+11=22
22+1=23
Josipu
23+23=46
46+1=47
Marija treba kupiti 47 jabuka.
Zadatak. Majka je prije odlaska na posao, pripremila košaricu šljiva za svoje tri kćeri. Prva
se probudila najstarija kći koja je pojela trećinu šljiva iz košarice. Druga se
probudila srednja kći i, misleći da se probudila prva, pojela trećinu šljiva iz
košarice. Zadnja se probudila najmlađa kći i, smatrajući da se probudila prva, uzela
je iz košarice trećinu šljiva. Tada je u košarici preostalo 8 šljiva. Koliko je šljiva
majka ostavila u košarici?
+
-
∙
:
∙
:
+
-
35
6. INDUKTIVNO ZAKLJUČIVANJE
Glavna sredstva pomoću kojih se otkrivaju istine u matematici su indukcija i analogija.
(Laplace)
U teoriji brojeva često se događa da se zbog nekog neočekivanog sretnog slučaja pomoću
indukcije pojave najelegantnije nove istine.
(Gauss)
Među načinima zaključivanja i metodama znanstvene spoznaje posebno mjesto zauzimaju
indukcija i njezina suprotnost dedukcija.
To posebno vrijedi za matematiku.
Indukcija
• prema Aristotelu, Sokrat ju je prvi provodio (5. st. pr. Kr.)
• Aristotel ju je razvio unutar logike (on razlikuje dedukciju i indukciju)
• latinski: inductio – uvođenje, navođenje, pobuđivanje
Pojam indukcija ima sljedeća tri osnovna značenja:
1. Indukcija je jedan od načina zaključivanja kojim se iz dvaju ili više pojedinačnih ili
posebnih sudova dobiva novi opći sud.
Kraće rečeno, indukcija je rasuđivanje od pojedinačnog k općem. Misaoni proces
kojim se stvaraju generalizacije.
2. Indukcija je metoda istraživanja kojom se pri promatranju nekog skupa objekata
promatraju posebni objekti iz tog skupa i utvrđuju kod njih ona svojstva koja se zatim
pripisuju čitavom skupu.
Primjer. Zbroj kubova prvih n prirodnih brojeva.
Prva generalizacija: Zbroj kubova prvih n prirodnih brojeva je kvadrat prirodnog
broja.
Ako pogledamo baze potencija na lijevoj i desnoj strani uočit ćemo vezu među njima:
2333333
253333
23333
2333
233
23
21441654321
1522554321
101004321
636321
3921
111
21654321
1554321
104321
6321
321
11
36
Druga generalizacija: Za svaki prirodni broj n vrijedi jednakost
3. Indukcija je način izlaganja u literarnom izvoru, u razgovoru, u nastavnom procesu
kada se od manje općih tvrdnji dolazi do općih tvrdnji.
Potpuna indukcija
Potpuna indukcija je oblik zaključivanja koji se zasniva na razmataranju svih pojedinačnih i
posebnih sudova ili slučajeva.
Primjer. Broj prostih brojeva među prvih 20 prirodnih brojeva.
1 nije ni prost ni složen 11 = 1 ∙ 11
2 = 1 ∙ 2 12 = 1 ∙ 12 = 2 ∙ 2 ∙ 3
3 = 1 ∙ 3 13 = 1 ∙ 13
4 = 1 ∙ 4 = 2 ∙ 2 14 = 1 ∙ 14 = 2 ∙ 7
5 = 1 ∙ 5 15 = 1 ∙ 15 = 3 ∙ 5
6 = 1 ∙ 6 = 2 ∙ 3 16 = 1 ∙ 16 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2
7 = 1 ∙ 7 17 = 1 ∙ 17
8 = 1 ∙ 8 = 2 ∙ 2 ∙ 2 18 = 1 ∙ 18 = 2 ∙ 3 ∙ 3
9 = 1 ∙ 9 = 3 ∙ 3 19 = 1 ∙ 19
10 = 1 ∙ 10 = 2 ∙ 5 20 = 1 ∙ 20 = 2 ∙ 2 ∙ 5
Zaključak: Među prvih 20 prirodnih brojeva ima 8 prostih brojeva, to su brojevi 2,
3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Potpuna indukcija kao metoda strogog dokazivanja rijetko se primjenjuje jer se često radi o
velikom broju pojedinačnih ili posebnih slučajeva.
Ako je broj slučajeva beskonačan primjena potpune indukcije gotovo je nemoguća. Međutim,
ponekad je ipak moguće skup sa beskonačno mnogo slučajeva rastaviti na konačan broj
podskupova istovrsnih slučajeva. Zatim se provode razmatranja i izvode zaključivanja u
svakom od tih podskupova.
Primjer. Kvadrati prirodnih brojeva.
Pitanje: Može li kvadrat prirodnog broja završavati sa 8?
Kako ima beskonačno mnogo prirodnih brojeva, jasno je da ne možemo ispitati sve
pojedinačne slučajeve.
Najprije razvrstamo sve prirodne brojeve u podskupove prema posljednjim
znamenkama brojeva. Na taj način dobivamo deset podskupova.
Dalje ispitujemo posljednje znamenke kvadrata brojeva:
ako broj završava sa 0 i njegov kvadrat završava sa 0;
ako broj završava sa 1 i njegov kvadrat završava sa 1;
ako broj završava sa 2, njegov kvadrat završava sa 4 itd.
.23333
n ...321n.....321
37
Sve zaključke pregledno pokazuje tablica:
Završetak broja 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Završetak
kvadrata broja 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1
Odgovor: Vidimo da kvadrat prirodnog broja ne može završavati sa 8.
Međutim, tablica otkriva više, općenitiju izreku.
Kvadrat prirodnog broja ne može završavati sa 2, 3, 7 i 8.
Nepotpuna indukcija
Nepotpuna indukcija je oblik zaključivanja koji se zasniva na razmatranju jednog ili više, ali
ne svih, pojedinačnih i posebnih sudova ili slučajeva.
Zaključak izveden nepotpunom indukcijom može biti neistinit.
Zato se nepotpuna indukcija kao metoda istraživanja primjenjuje vrlo oprezno.
Primjer. Djeljivost prirodnih brojeva sa 9.
1. Promatrajmo višekratnike broja 9 manje od 200 i zbrojeve njihovih znamenaka.
Višekratnici broja 9 su brojevi 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, 117,
126, 135, 144, 153, 162, 171, 180, 189, 198, a zbrojevi njihovih znamenaka su 9
ili 18.
Uočavamo da su zbrojevi znamenaka višekratnici broja 9!
Prva tvrdnja: Ako je prirodni broj djeljiv sa 9, onda je i zbroj njegovih znamenaka
djeljiv sa 9.
2. Promatrajmo prirodne brojeve 2007, 18999, 4563, 747, 987654321 čiji su
zbrojevi znamenaka 9, 36, 18, 18, 45 višekratnici broja 9.
Provjera dijeljenjem pokazuje da su i promatrani brojevi djeljivi sa 9.
Druga tvrdnja: Ako je zbroj znamenaka prirodnog broja djeljiv sa 9, onda je i taj
prirodni broj djeljiv sa 9.
Događa se da nakon određenog broja pojedinačnih slučajeva u bazi induktivnim
zaključivanjem dođemo do krive pretpostavke.
38
Broj točaka 1 2 3 4 5 6
Broj dijelova kruga 1 2 4 8 16 ?
Primjer. Nađi vezu između broja točaka kružnice i broja dijelova kruga dobivenih spajanjem
tih odabranih točaka.
Ali …
31 dio
Već i djeca predškolske dobi mogu uočiti zajedničko svojstvo konačnog broja nekih članova.
Nakon dovoljnog broja sličica, likova, tijela, … vrlo lako sami nastavljaju niz.
3130
29
28
27
262524
23
2221
20
19
18
1716
1514
13
12
11
10
9
8
7
6
5
43
1
2
39
Primjer. Oboji niz do kraja.
Primjer. Spoji crtom kvadrat s pravokutnikom koji nastavlja niz. Oboji niz do kraja.
Primjer. Nastavi nizove!
Primjer. Nastavi i oboji niz do kraja!
40
Primjer. Dopunite crtež prebrojavanjem dijelova u sličicama pridružujući im brojeve.
3 6 10
41
7. MJERENJE
Mjerenje duljine
Pri mjerenju udaljenost uspoređujemo sa zadanom jedinicom. Za jedinicu su ljudi oduvijek
upotrebljavali važnu udaljenost iz svoje okoline. Nužno je bilo i ostale uvjeriti u opravdanost
korištenja izabrane jedinice. Svako pleme, svaka naseobina imala je svoju jedinicu, što je
predstavljalo veliki problem pri trgovanju. Mudri ljudi (Julije Cezar, Karlo Veliki) pokušali
su uvesti jedinicu koja bi bila upotrebljivija, ali bezuspješno.
Engl. Kralj Henrik I. uveo kao jedinicu duljine
yard - udaljenost od nosa do vrha prstiju svoje ispružene lijeve ruke
Kralj Edvard II. izabrao je iz sredine klasa ječma tri zrna, postavio ih u niz i njihovu ukupnu
duljinu nazvao col (inch, palac).
Vodoinstalateri još i danas upotrebljavaju cole.
U stanu su nam cijevi promjera pola ili tri četvrtine cola.
42
Spomenimo da je Orlandov lakat bio jedinica duljine u Dubrovačkoj republici.
Orlandov lakat je predstavljao duljinu lakta do vrha prs
tiju na stupu viteza Orlanda iz 1418. godine (oko 51 cm).
Metalni štap navedene dužine čuva se u Kneževu dvoru.
Kip je gradu darovao hrvatsko-ugarski Kralj Žigmund.
Orlandov kip
Jedinica koja bi se upotrebljavala u cijelom svijetu morala je biti pažljivo određena.
Povjerenstvo u kojem su bili francuski fizičari Lagrange i Laplace izabralo je za osnovu takve
jedinice mjeru vezanu uz Zemlju. Odlučeno ja da se za jedinicu uzme 1 metar koji bi
predstavljao desetmilijuntinu četvrtine opsega Zemlje. Odlučili su se za meridijan koji prolazi
kroz Pariz. Izmjerena je duljina cijelog meridijana i ustanovljeno je da desetmilijuntina
njegove četvrtine iznosi 0,5131 sežnja (francuski sežnji – stara jedinica).
Nakon izvješća Napoleon je rekao Osvajanja su prolazna, no ovakva djela ostaju.
Zajedno s novom jedinicom prihvaćena je i odredba prema kojoj je dopuštena upotreba samo
dekadskih višekratnika.
1 centimetar =0,01 metra
1 milimetar=0,1 centimetra=0,001 metra
1 kilometar= 1000 metara
Oslobodilo se neprikladnih koeficijenta pri preračunavanju
1 yard = 35,98 cola (približno 36 cola).
Vrijedi
1 yard = 0,914 metra=91,4 centimetra
1 col = 0,0254 metra= 2,54 centimetara
Inch i centimetar
metar (m)
centimetar (cm)
milimetar (mm)
kilometar (km)
1875. godine u Parizu 17 država potpisuje Konvenciju o metru. Međunarodni ured za utege i
mjere u Sevresu kraj Pariza – prametar, model prema kojem su izrađeni svi metri.
Zbog iznenađujuće točnosti, postignute pri mjerenju pomoću lasera 1983. godine ponovo je
određen metar.
Metar je udaljenost koju svjetlost prođe u praznom prostoru za 1/299 792 458 sekunde.
43
Nova definicija određuje i brzinu svjetlosti. Brzina svjetlosti je 299 792 458 m/s.
Mjere za masu i vrijeme
Danas većina zemalja koristi Međunarodni sustav jedinica (franc. Systéme Internationale
d’Unités) skraćeno SI.
Naziv Znak Fizikalna veličina
metar m duljina
kilogram kg masa
sekunda s vrijeme
Kilogram je jedinica mase, on je jednak masi međunarodne pramjere kilograma (koja je
pohranjena u Sevresu).
Sekunda je trajanje 9 192 631 770 perioda zračenja koje odgovara prijelazu između dviju
hiperfinih razina osnovnog stanja atoma cezija 133.
Rezultat svakog mjerenja ima u zapisu dva dijela.
Prvi dio, koji odgovara na pitanje “Koliko?” je mjerni broj, a drugi dio, koji odgovara na
pitanje “Čega?” je mjerna jedinica.
Mjerimo li, recimo, masu čovjeka, tada je fizikalna veličina masa, a njezina SI-jedinica
kilogram. Uspoređivanjem mase čovjeka sa standardom za masu, kilogramom, dobili smo,
npr. 75. Rezultat zapisujemo u obliku:
m = 75 kg,
gdje m predstavlja opći znak (ili simbol) fizikalne veličine.
Mjere za volumen
Veličina prostora koju tijelo zauzima naziva se volumen ili obujam tog tijela.
Kubični metar (znak: m3) mjerna je jedinica za volumen. Definira se kao volume kocke
duljine brida 1 metar:
1 m3 = 1 m ∙ m ∙ m.
Primjer. 1 cm3 = 1 cm ∙ 1 cm ∙ 1 cm = 10 mm ∙ 10 mm ∙ 10 mm =1 000 mm3.
1cm = 10 mm
1cm = 10 mm
1cm = 10 mm
44
Mjere za volumen tekućine
litra (l)
1 l = 1 dm3 = 0,001 m3
hektolitar (hl) 1 hl = 100 l
decilitar (dl) 1 dl = 0, 1 l
centilitar (cl) 1 cl = 0, 01 l
mililitar (ml) 1 ml = 0, 001 l
Često korištene mjerne jedinice
Postoje mjere koje se koriste u različitim područjima, a nisu navedene u SI sustavu. U
sljedećoj tablici su navedene neke od tih jedinica.
Naziv Znak Veza s jedinicama
SI
Fizikalna
veličina Uporaba samo za
morska milja 1 852 m
duljina
pomorski, riječni i
zračni promet
astronomska jedinica ∼ 149 597 870 691 m astronomija
ar a 100 m2
površiva površina zemljišta
hektar ha 10 000 m2
litra l 10-3 m3 =1 dm3 volumen
stupanj ∘
kut minuta '
sekunda ''
1dm = 10 cm
1dm = 10 cm
1dm = 10 cm
45
T A
A pB
8. ELEMENTI PLANIMETRIJE
Egipat se smatra pradomovinom geometrije.
Određivanje granica zemljišnih posjeda, koje je svake godine izbrisala poplava Nila, bio je
poticaj za upoznavanje prostornih odnosa i svojstava izmjerenih figura.
Grci su geometriju učinili pravom, čistom, teorijskom, apstraktnom i egzaktnom znanošću
(7 st. pr. Krista - 3 st. pr. Krista).
Samo ime geometrija u prijevodu s grčkog zemljomjerstvo.
grč. geo - zemlja, metron – mjeriti
Euklid (330. pr. Krista - 275 pr. Krista) je skupio i usustavio sve dotadašnje znanje iz
elementarne geometrije u čuvenom djelu Elementi.
Planimetrija
Planimetrija je ravninska geometrija.
Osnovni planimetrijski objekti su točka, pravac i ravnina.
Označavanje
točke - velikim slovima (A, B, C, ...)
pravce - malim slovima (a, b, c, ...)
Istaknuti skupovi točaka u ravnini
• Polupravac
Neka je T točka koja leži na pravcu p.
Polupravac je skup svih točaka pravca p koje leže s iste strane točke T, uključujući i točku T.
Točku T nazivamo početna točka polupravca.
Svaka točka T pravca p dijeli pravac p na dva polupravca koji polaze iz točke T.
• Dužina
Neka su A, B dvije različite točke koje leže na pravcu p.
Dužina AB je skup svih točaka pravca p koje leže između točaka A i B, uključujući i točke A
i B.
46
C O A
B
p
p
Duljina dužine AB je udaljenost točaka A i B i označava se |AB| .
• Poluravnina
Poluravnina je skup svih točaka ravnine koje leže s iste strane pravca p.
Svaki pravac dijeli ravninu na dvije poluravnine.
• Kut
Neka su A, B, O tri različite točke ravnine koje ne leže na istom pravcu.
Kut AOB je dio ravnine omeđen s dva polupravca sa zajednickom početnom točkom O.
Susjedni kutovi ili sukuti su dva kuta kojima je jedan krak zajednički, a drugi kraci im se
nadopunjuju na pravac
AOB i BOC sukuti
B
O A
47
šiljasti kuttupi kut
A B
C
b
c
a
α β
γ
Mjera kuta
Za jedinicu mjere kuta uzima se 360-ti dio punog kuta – 1 stupanj (1°)
Kutni stupanj ima 60 kutnih minuta (1´).
Kutna minuta ima 60 kutnih sekundi (1´´).
1° = 60´ = 3600´´
Za dva kuta kažemo da su sukladna ako imaju istu mjeru.
Mjera ispruženog kuta je 180°.
Kut koji je sukladan svom sukutu zove se pravi kut. Mjera pravog kuta je 90°.
Šiljasti kut je kut kojemu mjera unutar intervala 0°,90°.
Tupi kut je kut kojemu mjera unutar intervala 90°,180°.
• Trokut
Neka su A, B, C tri točke ravnine koje ne leže na istom pravcu.
Dio ravnine omeđen dužinama CA ,BC ,AB zovemo trokut.
48
A B
C
C
A B
C
A B
c
a
ab
kk
a
a
a
A B
C
B
AC
B
AC
Klasifikacija trokuta s obzirom na duljine stranica
raznostranične (sve tri stranice trokuta različitih duljina)
jednakokračne (bar dvije stranice trokuta imaju istu duljinu, te dvije stranice zovemo
kraci trokuta, a treću stranicu zovemo osnovica)
jednakostranične (sve tri stranice trokuta su jednakih duljina)
Klasifikacija trokuta s obzirom na mjere kutova
šiljastokutne (sva tri kuta trokuta su šiljasta)
pravokutne (trokut koji ima pravi kut)
tupokutne (trokut koji ima tupi kut)
49
C
A B
D
AB
C
D
C
A B
D
A B
CD
Četverokut
Neka su A, B, C i D četiri različite točke ravnine od kojih nikoje tri ne leže na istom pravcu.
Dio ravnine omeđen dužinama DA ,CD ,BC ,AB zovemo četverokut.
Trapez
Četverokut koji ima bar jedan par paralelnih stranica zove se trapez.
Paralelne stranice trapeza zovu se osnovice trapeza.
Ostale dvije stranice trapeza zovu se kraci trapeza.
Paralelogram
Četverokut kojemu su nasuprotne stranice paralelne zove se paralelogram.
Romb
Paralelogram kojemu su sve stranice jednake duljine zove se romb.
50
a
a
a
a
a
a
A1
A6
A5 A4
A 3
A2
Pravokutnik
Paralelogram kojemu su svi unutarnji kutovi pravi zove se pravokutnik.
Kvadrat
Pravokutnik kojemu su sve stranice jednake duljine zove se kvadrat.
n–terokut
Neka su A1, A2, ... An (n 3) različite točke ravnine od koje nikoje tri ne leže na istom pravcu.
Dio ravnine omeđen dužinama 1nn1-n3221 AA ,AA ... ,AA ,AA zovemo n-terokut.
Peterokut
N-terokut kome su sve stranice jednake duljine i svi unutarnji kutovi sukladni zove se pravilni
n-terokut.
2
A
A 1 A
A 3
A 4
A 6
5
a
a
C D
B A
C D
B A
51
A8
A6 A4
A2
A5
A1
A7
A3
Šesterokut kome su sve stranice jednake duljine i svi unutarnji kutovi sukladni zove se
pravilni šesterokut.
Osmerokut kome su sve stranice jednake duljine i svi unutarnji kutovi sukladni zove
se pravilni osmerokut.
52
π
K
L
P
baze
pobočka
pobočni
brid
osnovni
brid
9. ELEMENTI STEREOMETRIJE
Poluprostor je skup svih točaka prostora koje leže s iste strane ravnine.
Omeđen skup u prostoru dobiven kao presjek konačno mnogo poluprostora zove se konveksan
poliedar.
Elementi poliedra
Strana poliedra - mnogokut
Brid poliedra - dio poliedra u kojem se sastaju dvije strane
Vrh poliedra - zajednička točka triju ili više strana
Kocka - dobiva se kao presjek 6 poluprostora
6 strana
12 bridova
8 vrhova
strane - kvadrati
Tetraedar - dobiva se kao presjek 4 poluprostora
4 strane
6 bridova
4 vrha
strane - trokuti
Prizma
Neka je P mnogokut u ravnini π i KL dužina koja nije paralelna s tom ravninom. Skup svih
točaka prostora koje pripadaju dužinama koje su paralelne i sukladne dužini KL , leže s iste
strane ravnine π, a jedna krajnja točka im je bilo koja točka mnogokuta P zove se prizma.
53
Dvije baze prizme su sukladni mnogokuti.
Pobočke prizme su paralelogrami.
Dvije pobočke sastaju se u pobočnom bridu.
Pobočke i osnovka sijeku se u osnovnom bridu.
Visina prizme je udaljenost ravnina gornje i donje baze.
Uspravna prizma je prizma kojoj je izvodnica okomita na ravninu osnovke.
Kosa prizma je prizma kojoj izvodnica nije okomita na ravninu osnovke.
Pravilna prizma je uspravna prizma kojoj je baza pravilan mnogokut.
(Pobočke pravilne prizme su sukladni pravokutnici.)
Kocka
Kvadar
54
Piramida
Neka je P mnogokut u ravnini π i V točka koja ne pripada toj ravnini. Skup svih točaka
prostora koje pripadaju dužinama kojima je V jedna krajnja točka, a druga krajnja točka je
bilo koja točka mnogokuta P zove se piramida.
Visina piramide je udaljenost vrha V piramide do ravnine baze piramide.
|VV’| (V’ - ortogonalna projekcija vrha V na ravninu baze)
Strane (pobočke) piramide su trokuti (A1A2V, A2A3V, …).
Baza n–terostrane piramide je n-terokut.
Pravilna piramida je piramida kojoj je baza pravilan n-terokut, a ortogonalna projekcija vrha
piramide na ravninu baze pada u središte n-terokuta.
Pravilan tetraedar
4 strane
6 bridova
4 vrha
Strane pravilnog tetraedra su sukladni jednakostranični trokuti.
π baza ili osnovka piramide
pobo č ke
pobo č ni bridovi
osnovni bridovi
V
P
V
A 1
A 2
A 3
P
A 4
vrh piramide
V
A 2
A 3
P
A 4
V ’
A 1
55
Valjak se definira analogno kao prizma, umjesto n-terokuta u ravnini uzimamo krug.
Stožac se definira analogno kao piramida, umjesto n-terokuta u ravnini uzimamo krug.
Sfera je skup svih točaka prostora koje su jednako udaljene od jedne čvrste točke
prostora.
Kugla je skup svih točaka prostora omeđen sferom.
R
v
R
v v
2 · R · π
R
R
R
2 · R · π
s s
π
56
10. ELEMENTI VJEROJATNOSTI I STATISTIKE
Vjerojatnost
Teorija vjerojatnosti je jedno od najvažnijih i najsadržajnijih područja matematike i
primjenjuje se i u drugim matematičkim disciplinama, osobito u statistici kao i raznim
područjima fizike, medicine, biologije, ekonomije, genetike i drugih znanosti.
Čovjekovo zanimanje za vjerojatnost, sreću i kockarske igre potječe iz pretpovijesnih
vremena. Arheološkim istraživanjem pronađene su kocke od životinjskih kostiju koje su nalik
današnjim kockama. Te prastare kocke načinjene su od kostiju papka ovce (astragaloi) koje
imaju dvije zaobljene plohe i četiri kvadrata gotovo sukladna. Kada se čovjek počeo igrati
takvim kockama, od prapovijesti pa sve do grčkih i rimskih vremena, igre su bila klađenja na
četiri moguća ishoda, zanemarujući dvije zaobljene plohe jer se na njima kocka nije mogla
zaustaviti. Takvom kockom se dugo igralo, čak i nakon izrade šesterostrane kocke kao što je
današnja.
Kocke od životinjskih kostiju (astragaloi)
Ozbiljnija proučavanja vjerojatnosti kada se bilježe početci teorije vjerojatnosti su sredinom
17. stoljeća i vezani su uz hazardne igre.
Fizičar, matematičar i filozof Blaise Pascal (1623. - 1662.) i matematičar Pierre de Fermat
(1601. - 1665.) se smatraju začetnicima teorije vjerojatnosti.
Blaise Pascal Pierre de Fermat
57
Navedimo neke osnovne pojmove teorije vjerojatnosti.
Slučajni pokus
Slučajni pokus je pokus koji se izvodi pod određenim uvjetima, ali se ne može predvidjeti
kojim će ishodom pokus završiti.
Prostor elementarnih događaja slučajnog pokusa je skup svih mogućih ishoda nekog
slučajnog pokusa - oznaka S.
Elementi skupa S nazivaju se elementarnim događajima ili ishodima.
Primjer. Bacanje novčića (simetričan, pravilan ili homogen, “fer” ili “pravedan” novčić) .
Simetričan novčić (pismo i glava)
Ishod bacanja novčića - na gornjoj strani novčića: pismo P ili glava G.
Primjer. Bacanje igraće kocke (simetrična, pravilna ili homogena, “fer” ili “pravedna” kocka)
na čijim se stranama nalazi 1, 2, 3, 4, 5, 6 točkica.
Simetrična kocka
S={1, 2, 3, 4, 5, 6}
Elementarni događaji su:
1 - “pala je 1 točkica”, 2 - “pale su 2 točkice”, 3 - “pale su 3 točkice”,
4 - “pale su 4 točkice”, 5 - “palo je 5 točkica”, 6 - “palo je 6 točkica”.
Slučajni dogođaj
Slučajni događaj je rezultat slučajnog pokusa. Pri obnavljanju slučajnog pokusa on se može
ostvariti (ali i ne mora) tj. ishod pokusa nije unaprijed određen.
58
Primjer. U kutiji se nalazi 10 crvenih pisanica. Iz kutije se nasumce izvlači jedna pisanica.
a) Kolika je mogućnost (šansa) da se izvuče crvena pisanica?
b) Kolika je mogućnost da se izvuče plava pisanica?
Rješenje. a) Sigurno ćemo izvući crvenu pisanicu (100% ćemo izvući crvenu pisanicu).
Siguran događaj
b) Nikako ne možemo izvući plavu pisanicu (nemoguće je izvući plavu pisanicu).
Nemoguć događaj
Siguran događaj će se uvijek ostvariti, tj. pri svakom izvođenju slučajnog pokusa.
Nemoguć događaj ne može se ostvariti ni pri jednom izvođenju slučajnog pokusa.
Primjer. Bacamo jednu kocku. Kakav je događaj
A - ”broj na gornjoj plohi je višekratnik broja 3”?
Rješenje. Na gornjoj plohi može biti višekratnik broja 3 ili neki drugi broj (točkica), dakle
događaj A se može dogoditi, ali i ne mora. Obično kažemo da je to jedan moguć
događaj.
Moguć događaj se može dogoditi ali i ne mora pri izvođenju slučajnog pokusa.
Tri vrste događaja:
- oni koji se nikada ne mogu dogoditi,
- oni koji se sigurno ostvaruju,
- oni koji imaju veću ili manju šansu da se dogode.
Nem
og
uć
dog
ađ
aj
Sig
ura
n d
og
ađ
aj
Mogući događaji
59
Događaj Nemoguć
događaj
Moguć
događaj
Siguran
događaj
Ako bacamo jedan novčić, na gornjoj strani
pojavit će se dva P. +
Izvučena je plava kuglica iz kutije u kojoj su
samo crvene kuglice. +
Ako bacamo jedan novčić, past će P. +
20. listopada padat će kiša. +
Nakon petka dolazi subota. +
Ako bacamo jednu igraću kocku na gornjoj
plohi bit će jedan od brojeva 1, 2, 3, 4, 5, 6. +
Primjer. Koji su od sljedećih događaja mogući, a koji nemogući?
Primjer.
60
Usporedba vjerojatnosti
• siguran,
• moguć,
• nemoguć događaj.
Između slučajnih događaja neki su više vjerojatni, a neki manji vjerojatni (kvalitativno
ispitivanje vjerojatnosti slučajnog događaja).
Uspoređivanje vjerojatnosti
Primjer. Na karticama su napisani brojevi od 1 do 8. Kartice su izmješane, a zatim složene u
red tako da se ne vide napisani brojevi.
Okrenuta je prva kartica i na njoj piše broj 8.
a) Je li moguće da na drugoj kartici piše broj veći od 8?
b) Je li moguće da na drugoj kartici piše broj manji od 8?
Okrenuta je druga kartica na njoj piše broj 5.
c) Je li vjerojatnije da na sljedećoj kartici piše broj veći od 5 ili manji od 5?
Rješenje. a) Nemoguć događaj.
b) Siguran događaj.
c) Četiri broja manja od 5 (1, 2, 3, 4), a dva veća od 5 (6, 7).
Vjerojatnije da će na sljedećoj kartici pisati broj manji od 5.
Statističko poimanje vjerojatnosti
Vjerojatnost događaja mjerimo brojem.
Frekvencija ili učestalost vrijednosti je broj pojavljivanja te vrijednosti u promatranoj skupini.
Relativna frekvencija ili učestalost događaja je količnik frekvencije i ukupnog broja
izmjerenih vrijednosti (količnik broja pokusa u kojima se događaj ostvario i cjelokupnog
broja izvedenih pokusa).
n
f(A)(A)rf
61
Primjer. Novčić je bačen 20 puta i dobiven ovaj podatak
P G G P G P G P G G P G G G P G P G G G.
Rješenje. A - palo je G B - palo je P
f(A) = 13 f(B) = 7
n = 20 n = 20
20
13
n
f(A)(A)fr
20
7
n
f(B)(B)fr
Vjerojatnost slučajnog događaja
Ako su elementarni događaji nekog slučajnog pokusa koji ima n ishoda, jednako mogući
(svakom pripada ista vjerojatnost), onda je vjerojatnost događaja A jednaka količniku broja
povoljnih elementarnih događaja (k) za A i broja svih mogućih elementarnih događaja (n).
n
kP(A) k - broj povoljnih elementarnih događaja
n - ukupan broj elementarnih događaja
Primjer. U kutiji ima 18 bijelih i 6 plavih kuglica.
Neka su definirani događaji: A - izvučena je 1 plava kuglica,
B - izvučena je 1 bijela kuglica.
Izračunajte P(A) i P(B).
Rješenje. 0,254
1
24
6P(A)
0,754
3
24
18P(B) .
Primjer. U kutiji ima 6 crvenih kuglica.
Neka su definirani događaji: A - izvučena je plava kuglica,
B - izvučena je crvena kuglica.
Izračunajte P(A) i P(B).
Rješenje. 06
0P(A) ,
16
6P(A) .
62
Vjerojatnost nemogućeg događaja jednaka je 0.
Vjerojatnost sigurnog događaja jednaka je 1.
Vjerojatnost jednog mogućeg događaja je broj koji je veći od 0, a manji od 1.
Zadatak. Bačena je igraća kocka čije su strane označene brojevima od 1 do 6.
Odredite vjerojatnosti sljedećih događaja:
A - pao je paran broj, B - pao je neparan broj,
C - pao je složeni broj, D - pao je broj manji od 3,
D - pao je broj 7, E - pao je broj 2.
Zadatak. Na svaku karticu napisano je po jedno slovo riječi MATEMATIKA. Kartice su
pomiješane i ubačene u jednu kutiju iz koje se bez gledanja izvlači jedna kartica.
Kolika je vjerojatnost da bude izvučena kartica na kojoj je:
a) slovo A, b) slovo T, c) slovo K,
d) slovo R, e) samoglasnik, f) suglasnik?
Nem
og
uć
dog
ađ
aj
Sig
ura
n d
og
ađ
aj
Mogući događaji
0 1
63
Statistika
Svakodnevno se susrećemo s brojnim vizualnim i grafičkim prikazima podataka u dnevnom
tisku, na televiziji, internetu, … Cilj takvih prikaza bi trebao biti objektivno informiranje
čitatelja kako bi donijeli argumentiranu odluku. Međutim, ponekad je naglasak na uvjeravanju
npr. kod reklamiranja proizvoda ili kod političkih kampanja. Pojedinim načinima prikazivanja
podataka moguće je utjecati na ponašanje i uvjerenje potrošača i glasača.
Navedimo neke osnovne činjenice o grani znanosti koja se upravo bavi podacima i prikazima
podataka.
Statistika je znanstvena disciplina koja se bavi prikupljanjem podataka, njihovim sređivanjem,
analizom i tumačenjem, te praktičnom primjenom rezultata analize.
Povijesni počeci nastanka takve jedne discipline sežu vrlo daleko.
Stari Egipćani koristili se elementima statistike da utvrde broj stanovnika, vojske, tijek
proizvodnje … Evanđelisti u Bibliji govore o popisu stanovništva u doba Kristova rođenja.
Pojam statistika dolazi od lat. riječi status (stanje, položaj - misli se na položaj, stanje države)
(znanost o državi jer je država organizirala utvrđivanje podataka koji su bili potrebni državnoj
upravi).
Deskriptivna statistika je dio statistike koji se bavi problemima manipuliranja statističkim
podacima i njihovim prikazivanjem.
Statistički podaci
Veličina koja se promatra, označimo je sa X, zove se statističko obilježje ili varijabla.
Njene izmjerene vrijednosti x1, x2, ..., xn zovemo statistički podaci ili niz statističkih podataka.
Statističko obilježje X koje prima samo vrijednosti iz nekog diskretnog (konačnog ili
prebrojivog skupa) zovemo diskretno obilježje.
Broj pojavljivanja vrijednosti x u nekom nizu od n mjerenja obilježja X označavamo s fx i
zovemo frekvencija učestalosti.
Relativna frekvencija je broj pojavljivanja vrijednosti x podijeljen s ukupnim brojem
izmjerenih vrijednosti za ispitivanu varijablu. Ako je n broj svih izmjerenih vrijednosti
ispitivane varijable, relativnu frekvenciju računamo kao
n
xfxp .
Broj px je relativna frekvencija vrijednosti x u zadanom nizu podataka.
Primjer. (Primjer diskretnog obilježja)
Neka je X ocjena iz matematike. Pregledavanjem imenika u odjeljenju od n=30
dobiveni su ovi statistički podaci (očitane ocjene)
1, 4, 2, 3, 1, 1, 3, 4, 2, 3, 4, 5, 3, 2, 2, 3, 5, 3, 2, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 2, 3, 3, 3, 2.
Kako se ocjena izražava jednim od brojeva 1,2,3,4,5 X je diskretno obilježje.
Ako statističko obilježje X prima vrijednosti iz nekog intervala skupa R, nazivamo ga
kontinuirano statističko obilježje (npr. visina, težina, vrijeme, površina, ...).
64
Histogram frekvencija i kružni dijagram
Statističke podatke je zgodno prikazati pomoću histograma frekvencija (odnosno histograma
relativnih frekvencije).
Nastaje tako da se iznad pojedine vrijednosti xi nacrta pravokutnik visine jednake frekvenciji
fi odnosno relativnoj frekvenciji pi.
Primjer. Histogram frekvencija ocjena iz prethodnog primjera.
1 2 3 4 5
3 9 12 4 2
Ako cijeli krug podijelimo na isječke tako da i-tom podatku odgovara kružni isječak s kutom
360ip360n
if
iα .
Dobivamo kružni dijagram (“torta” dijagram).
Primjer. Kružni dijagram za podatke iz prethodnog primjera.
65
Primjer. U 1. b razredu među učenicima je provedena anketa o vrsti kućnog ljubimca kojeg
imaju kod kuće. Rezultati ankete dani su tablicom. Prikažite ih grafički.
pas mačka ptica riba kornjača hrčak
6 8 4 5 2 3
Histogram frekvencija
Kružni dijagram
66
Literatura
1. M. Cotič, D. Felda, Through games into the world of probability, The 2nd International
Scientific Colloquium Mathematics and children, (M. Pavleković), Element, Osijek,
2009, 43-50.
2. V. Devide, Zabavna matematika, Školska knjiga, Zagreb, 1988.
3. Z. Kurnik, Indukcija, Matematika i škola, 5 (2000), 197-203.
4. S. Kurepa, Uvod u matematiku, Tehnička knjiga, Zagreb, 1975.
5. M. Polonijo, Mala geometrija, Profil, 2001.
6. M. Polonijo, Matematičke razbibrige za nove radoznalce, Element, Zagreb, 2009.
7. J. Strnad, Metrom i aršinom - Izlet u svijet najvećih i najmanjih razdaljina, Školska
knjiga, Zagreb, 1990.
8. P. Vranjković, Kocka je bačena, Školska knjiga, Zagreb, 2006.
9. Ancient Egyptian mathematics, The MacTutor History of Mathematics archive
http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Indexes/Egyptians.html
10. M. Millmore, Ancient Egypt - Egyptian Math
http://www.eyelid.co.uk/numbers.htm