1. Matematičke osnove računarske tehnike
Transcript of 1. Matematičke osnove računarske tehnike
1. Matematičke osnove
računarske tehnike
Pozicioni brojni sistemi su sistemi označavanja
brojeva gde vrednost svake cifre u broju zavisi od:
- njene vrednosti,
- njene pozicije u broju.
Svaki pozitivan prirodni broj u pozicionom
brojnom sistemu, može se zapisati u obliku:
gde su:
q prirodni broj koji zovemo osnova brojnog sistema
ai cifre brojnog sistema
1.1 Pozicioni brojni sistemi
)1( ....0
0
1
1
1
1 qaqaqaqan
n
n
n
x
Binarni brojni sistem:
q = 2, ai{0,1}
Oktalni brojni sistem:
q = 8, ai{0,1,2,3,4,5,6,7}
Decimalni brojni sistem:
q = 10, ai{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Heksadecimalni brojni sistem:
q = 16, ai{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A, B, C, D, E, F}
1.1.1 Binarni brojni sistem
Binarni brojni sistem je najčešće korišćeni
brojni sistem u digitalnim i računarskim
uređajima.
Predstavljanje informacija sa samo dva
znaka najviše odgovara mogućnostima
savremene elektronske tehnologije.
Smenom q=2 jednačina 1. dobija oblik:
0
0
1
1
1
1 22...22 aaaa n
n
n
nx
Primer 1. Konverzija iz binarnog u
decimalni brojni sistem
Konvertovati 10010110(2) u decimalni broj.
)10(2416128
102141801613206401281
22222222
)2(
150
0110100110010110
01234567
)1( ....0
0
1
1
1
1 qaqaqaqan
n
n
n
x
Primer 2. Konverzija iz decimalnog u
binarni brojni sistem
Konvertovati 169(10) u binarni broj.
MSB (1)02:1
(0)12:2
(1)22:5
(0)52:10
(1)102:21
(0)212:42
(0)422:84
LSB (1)842:169
)2()10( 10101001169
Mane binarnog predstavljanja
Osnovni nedostatak u binarnom predstavljanju
brojeva je predugački zapis broja.
Zbog toga se u računarskim sistemima najčešće
koristi heksadecimalni sistem predstavljanja
brojeva. Pri tome računar i dalje radi sa binarnim
brojevima.
Za predstavljanje brojeva je izabran
heksadecimalni brojni sistem zbog jednostavne
konverzije izmedju njega i binarnog brojnog
sistema.
1.1.2 Heksadecimalni
brojni sistem
Cifre heksadecimalnog brojnog sistema su:
Jednačina 1. smenom q=16 dobija oblik:
151413121110 ,,,,,9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0,
FEDCBA
0
0
11
1 1616...1616 1 aaaan
n
n
nx
Primer 3. Konverzija iz heksadecimalnog
u decimalni brojni sistem
Konvertovati 5E3(16) u decimalni broj.
)10(32241280
1316142565
161616
)16(
1507
31453E5
012
)1( ....0
0
1
1
1
1 qaqaqaqan
n
n
n
x
Primer 4. Konverzija iz decimalnog u
heksadecimalni brojni sistem
Konvertovati 4328(10) u heksadecimalni broj.
(1)016:1
(0)116:16
E)(141616:270
(8)27016:4328
)16()10( 8E104328
Primer 5. Konverzija iz binarnog u
heksadecimalni brojni sistem
Konvertovati 110111110(2) u heksadecimalni broj.
Konverzija se vrši grupisanjem po 4 cifre binarnog broja, počevši sa desne strane:
1110(2) = 14(10) = E(16)
1011(2) = 11(10) = B(16)
1(2) = 1(10) = 1(16)
110111110(2) = 1BE(16)
Primer 6. Konverzija iz heksadecimalnog
u binarni brojni sistem
Konvertovati 3A9(16) u binarni broj.
Konverzija se vrši tako što se svaka cifra heksadecimalnog broja konvertuje u 4 cifre binarnog broja:
9(16) = 9(10) = 1001(2)
A(16) = 10(10) = 1010(2)
3(16) = 3(10) = 0011(2)
3A9(16) = 001110101001(2)=1110101001(2)
1.3 Sabiranje
binarnih brojeva
Važe ista pravila kao za sabiranje
decimalnih brojeva.
Tablica sabiranja:
1111101011011011000101110100101010000000scbac izul
Primer 7. Sabiranje
binarnih brojeva
Sabrati brojeve 10110111(2) i 10011010(2)
10001010101011001
11101101
01111101
BAB
A
cul
1.4 Oduzimanje
binarnih brojeva
Tablica oduzimanja:
1111100011011011100100110100101110000000
rpbap izul
Primer 8. Oduzimanje
binarnih brojeva
Oduzeti broj 10011010(2) od broja 10110111(2)
10111000
01011001
11101101
00
BA
B
A
1.5 Množenje
binarnih brojeva
Množenje se obavlja tako što se množenik
množi svakom cifrom množioca, a potom se
parcijalni proizvodi, pomereni za po jedno
mesto u levo, sabiraju.
Primer 9. Množenje
binarnih brojeva
Pomnožiti brojeve 1100(2) i 1101(2)
00111001
0011
0011
0000
001110110011
Primer 10. Deljenje
binarnih brojeva
1011000
1011
0000100
1011101011011:100010001
Podeliti broj 100010001(2) sa brojem 1101(2)
Vežbe
BIN → DEC
11010011(2) = 1·27+1·26+0·25+1·24+0·23+0·22+1·21+1·20
= 128+64+16+2+1 = 211(10)
10000100(2) = 1·27+0·26+0·25+0·24+0·23+1·22+0·21+0·20 =
128+4 = 132(10)
11110001(2) = 1·27+1·26+1·25+1·24+0·23+0·22+0·21+1·20
= 128+64+32+16+1 = 241(10)
110101011(2) = 1·28+1·27+0·26+1·25+0·24+1·23+0·22+1·21+1·20 = 256+128+32+8+2+1 = 427(10)
BIN → DEC
)10()2(
22222222
149141612810101001
01234567
)10()2(
1248163264128
1991246412811100011
)10()2(
1248163264128256
307121632256110011001
)10()2(
1248163264128256
35643264256001001101
DEC → BIN
238(10) =11101110(2) 132(10) =10000100(2)
MSB (1)02:1
(1)12:3
(1)32:7
(0)72:14
(1)142:29
(1)292:59
(1)592:119
LSB (0)1192:238
MSB (1)02:1
(0)12:2
(0)22:4
(0)42:8
(0)82:16
(1)162:33
(0)332:66
LSB (0)662:132
HEX → DEC
2FC(16) = 2·162+15·161+12·160 =
2·256+15·16+12·1 = 512+240+12 = 764(10)
A48(16) = 10·162+4·161+8·160 =
10·256+4·16+8·1 = 2560+64+8 = 2632(10)
382(16) = 3·162+8·161+2·160 =
3·256+8·16+2·1 = 768+128+2 = 898(10)
DEC → HEX
(4)016:4
D)(13416:77
B)(117716:1243
B)(11016:11
(1)1116:177
(1)17716:2833
1243(10) = 4DB(16)
2833(10) = B11(16)
HEX → BIN
DEC BIN HEX
0 0000 0
1 0001 1
2 0010 2
3 0011 3
4 0100 4
5 0101 5
6 0110 6
7 0111 7
8 1000 8
9 1001 9
10 1010 A
11 1011 B
12 1100 C
13 1101 D
14 1110 E
15 1111 F
HEX → BIN
BAE(16) = 1011 1010 1110(2)
4EF(16) = 0100 1110 1111(2)
52C3(16) = 0101 0010 1100 0011(2)
658(16) = 0110 0101 1000(2)
304A(16) = 0011 0000 0100 1010(2)
BIN → HEX
1001 1010(2) = 9A(16)
1101 1000(2) = D8(16)
1010 1101 1001(2) = AD9(16)
10 0101 1010 1111(2) = 25AF(16)
1 0111 1011 1110 0101(2) = 17BE5(16)
Sabiranje
101101011
01001101
11011111
01001111
BA
B
A
cul
A = 11111011(2) = 128+64+32+16+8+2+1 = 251(10)
B = 10110010(2) = 128+32+16+2 = 178(10)
A+B = 110101101(2) = 256+128+32+8+4+1 = 429(10)
001011101
11011101
10011101
11011101
BA
B
A
cul
A = 10111001(2) = 128+32+16+8+1 = 185(10)
B = 10111011(2) = 128+32+16+8+2+1 = 187(10)
A+B = 101110100(2) = 256+64+32+16+4 = 372(10)
000101011
10110111
11011101
11111111
BA
B
A
cul
A = 10111011(2) = 128+32+16+8+2+1 = 187(10)
B = 11101101(2) = 128+64+32+8+4+1 = 237(10)
A+B = 110101000(2) = 256+128+32+8 = 424(10)
Oduzimanje
01100100
10101001
11011101
0
BA
B
A
11000100
11101101
01011011
0100
BA
B
A
01100100
11111001
10100011
01110
BA
B
A
01110000
11111101
10110011
00110
BA
B
A
Množenje
0101101
0101
0000
0000
010110010101
0001111
0011
0000
0011
000001010011
11110001
1101
1101
0000
110110111101
1010111
1011
0000
0000
101110011011
Deljenje
1110101:1001=1101
-1001
01011
-1001
001001
-1001
0000
11000110:1001=10110
-1001
001101
-1001
01001
-1001
00000
100110010:10001=10010
-10001
00010001
-10001
000000