Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Daniel HanzlíkObchodní akademie a Střední odborná škola logistická, Opava, příspěvková organizace.Materiál byl vytvořen v rámci projektu OP VK 1.5 – EU peníze středním školám,registrační číslo CZ.1.07/1.5.00/34.0809.

Pravděpodobnost sjednocení jevů29. dubna 2013 VY_32_INOVACE_110219_Pravdepodobnost_sjednoceni_jevu_DUM

obr. 1

Pravděpodobnost sjednocení jevů• V předchozích výukových materiálech jsme se zabývali problematikou pravděpodobnosti náhodného jevu a pravděpodobností opačného jevu. • V tomto výukovém materiálu se dovíme, jak se určuje pravděpodobnost sjednocení dvou jevů a .

obr. 1

Klasická definice pravděpodobnostiOpět si připomeňme klasickou definici pravděpodobnosti, pomocí níž budeme řešit matematické úlohy i ve výukovém materiálu o sjednocení jevů.Pravděpodobnost jevu v náhodném pokusu s konečnou množinou všech výsledků, které jsou stejně možné, je rovna podílu počtu výsledků příznivých jevu a počtu všech možných výsledků pokusu:

• Pravděpodobnost libovolného jevu je nezáporné číslo nejvýše rovno jedné:

Věty o pravděpodobnostechPravděpodobnost, že nastane jeden z jevů a (pravděpodobnost sjednocení jevů a ):

Jestliže se jevy , navzájem vylučují, tj. , pak platí:

obr. 2

Pravděpodobnost sjednocení jevů – praktická část

Následující čtyři matematické úlohy se blíže zabývají problematikou sjednocení jevů a určením pravděpodobnosti sjednocených jevů.Úlohy jsou vycházejí z reálných situací z běžného života (házení hrací kostkou, výběr hracích karet, výběr různobarevných koulí z osudí).obr. 2

Nabídka úloh a jejich řešeníÚloha 1 Řešení úlohy 1

ShrnutíÚloha 2Řešení úlohy 2

Úloha 4 Řešení úlohy 4

Řešení úlohy 3

Úloha 3

Úloha 1 Určete pravděpodobnost, že náhodně zvolenédvojciferné přirozené číslo je dělitelné: a) dvanácti nebo sedmnácti, b) čtyřmi nebo deseti.

zpět do nabídky úloh

obr. 3

Řešení úlohy 1a) Z celkového počtu 90 dvojciferných čísel (10, 11, …, 98, 99) určíme počty čísel dělitelných dvanácti (jev A) a dělitelných sedmnácti (jev B). Oba jevy se vzájemně vylučují, neboť žádné dvojciferné číslo není dělitelné dvanácti i sedmnácti zároveň - nejmenší takové číslo je 204. Počet dvojciferných přirozených čísel dělitelných dvanácti je 8 (12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96). Platí tedy: . Počet dvojciferných přirozených čísel dělitelných sedmnácti je 5 (17, 34, 51, 68, 85). Platí tedy: . Pro pravděpodobnost sjednocení dvou vzájemně se vylučujících jevů platí: Pravděpodobnost, že náhodně zvolené dvojciferné číslo je dělitelné dvanácti nebo sedmnácti je asi 0,144 4 (14,44 %).

pokračování

obr. 3

Řešení úlohy 1b) Z celkového počtu 90 dvojciferných čísel (10, 11, …, 98, 99) určíme počty čísel dělitelných čtyřmi (jev C) a dělitelných deseti (jev D). Oba jevy se vzájemně nevylučují, takže počet prvků jejich průniku není roven nule. Počet dvojciferných čísel dělitelných čtyřmi i deseti je roven počtu dvojciferných čísel dělitelných dvaceti. Počet dvojciferných přirozených čísel dělitelných čtyřmi je 22 (12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96), tj. . Počet dvojciferných přirozených čísel dělitelných deseti je 9 (10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90), tj. 9 . Počet dvojciferných přirozených čísel dělitelných dvaceti je 4 (20, 40, 60, 80). Platí tedy: . Pro pravděpodobnost sjednocení dvou vzájemně se nevylučujících jevů platí: Pravděpodobnost, že náhodně zvolené dvojciferné číslo je dělitelné čtyřmi nebo deseti je 0,3 (30 %).

zpět do nabídky úloh

obr. 3

Úloha 2Určete pravděpodobnost, že při hodu třemi hracími kostkami padne součet jedenáct nebo dvanáct.

zpět do nabídky úloh

obr. 4

Řešení úlohy 2Celkový počet možných případů je dán podle kombinatorického pravidla součinu (každý hod třemi kostkami představuje uspořádanou trojici , ve které na každém místě je 6 možností výběru: )..Označme jevem „padnutí součtu 11“ a jevem „padnutí součtu 12“.Výsledky příznivé jevu jsou hody, kdy padnou čísla:1, 4, 6 – 6 možností (permutace ze 3 prvků)1, 5, 5 – 3 možnosti (jednička může padnout na 1., 2. nebo 3. kostce)2, 3, 6 – 6 možností2, 4, 5 – 6 možností3, 3, 5 – 3 možnosti3, 4, 4 – 3 možnosti.Celkem je tedy 27 možností, tj. .

pokračování

obr. 4

Řešení úlohy 2Výsledky příznivé jevu jsou hody, kdy padnou čísla:1, 5, 6 – 6 možností2, 4, 6 – 6 možností2, 5, 5 – 3 možnosti3, 3, 6 – 3 možnosti3, 4, 5 – 6 možností4, 4, 4 – 1 možnostCelkem je tedy 25 možností, tj. .Vzhledem k tomu, že se jevy vzájemně vylučují, platí: Pravděpodobnost, že na třech hracích kostkách padne součet jedenáct nebo dvanáct, je asi 0,240 7 (24,07 %).

zpět do nabídky úloh

obr. 4

Úloha 3V osudí je 5 bílých a 9 černých koulí. Namátkouvybereme tři koule. Jaká je pravděpodobnost, že: a) vybrané koule nebudou stejné barvy, b) mezi nimi budou aspoň 2 černé koule.

zpět do nabídky úloh

obr. 5

Řešení úlohy 3a) Počet všech možných případů dostaneme tak, že odpovídá počtu tříčlenných kombinací ze 14 prvků (vybíráme 3 koule ze 14 koulí). Platí tedy: Označme jev „vytažení 3 bílých koulí“ a jev „vytažení 3 černých koulí“. Označme jev „vybrané koule budou mít stejnou barvu“. Jevy se vzájemně vylučují, a proto platí: . Označme jev „vybrané koule nebudou mít stejnou barvu“. Jedná se opačný jev k jevu , a proto pro jeho pravděpodobnost platí: Počet případů příznivých jevu odpovídá počtu tříčlenných kombinací z pěti prvků (vytahujeme pouze 3 bílé koule a žádnou černou kouli): Počet případů příznivých jevu B odpovídá počtu tříčlenných kombinací z 9 prvků (vytahujeme pouze 3 černé koule a žádnou bílou kouli):

pokračování

obr. 5

Řešení úlohy 3 a) Pro pravděpodobnost jevu , že vybrané koule budou mít stejnou barvu, platí: Pro pravděpodobnost jevu , že vybrané koule nebudou mít stejnou barvu , platí z definice opačného jevu: Pravděpodobnost, že vybraná trojice koulí nebude mít stejnou barvu, je asi 0, 741 8 (74,18 %).

pokračování

obr. 5

Řešení úlohy 3b) Počet všech možných případů odpovídá předchozí variantě, tzn. . Označme jev „mezi 3 vytaženými koulemi budou 2 černé koule“ a jev „mezi třemi vytaženými koulemi budou 3 černé koule“. Označme jev „mezi třemi vytaženými koulemi budou aspoň 2 černé koule“. Jevy se vzájemně vylučují, a proto platí: . Počet případů příznivých jevu odpovídá podle kombinatorického pravidla součinu počtu dvojčlenných kombinací z devíti prvků a jednočlenných kombinací z pěti prvků Počet případů příznivých jevu B odpovídá počtu tříčlenných kombinací z 9 prvků (vytahujeme pouze 3 černé koule a žádnou bílou kouli):

pokračování

obr. 5

Řešení úlohy 3b) Pro pravděpodobnost jevu , že mezi třemi vytaženými koulemi budou aspoň 2 černé koule platí: Pravděpodobnost, že ve vybrané trojici koulí budou aspoň 2 černé koule, je asi 0,725 3 (72,53 %).

zpět do nabídky úloh

obr. 5

Úloha 4Při hře v karty je k dispozici 32 karet. Jeden hráč při hře dostane 8 karet. Jaká je pravděpodobnost, že hráč dostane: a) nejvýše 1 eso, b) aspoň 3 esa.

zpět do nabídky úloh

obr. 6

Řešení úlohy 4a) Počet všech možných případů odpovídá počtu osmičlenných kombinací z 32 prvků (je vybráno 8 karet z balíčku 32 karet): Označme jev , že „hráč obdrží 1 eso“, jev , že „hráč neobdrží žádné eso“. Označme jev , že „hráč obdrží nejvýše 1 eso“. Jevy se vzájemně vylučují, a proto platí: . Počet případů příznivých jevu odpovídá podle kombinatorického pravidla součinu počtu jednočlenných kombinací ze čtyř prvků (esa) a sedmičlenných kombinací z 28 prvků (ostatní karty): Počet případů příznivých jevu odpovídá počtu osmičlenných kombinací z 28 prvků (pouze ostatní karty, žádná esa):

pokračování

obr. 6

Řešení úlohy 4a) Pro pravděpodobnost jevu , že jeden hráč mezi osmi vybranými kartami z balíčku 32 karet obdrží nejvýše jedno eso, platí:

Pravděpodobnost, že jeden z hráčů dostane mezi 8 vybranými kartami nejvýše 1 eso, je asi 0,745 8 (74,58 %).

pokračování

obr. 6

Řešení úlohy 4b) Počet všech možných případů odpovídá předchozí variantě, tzn. Označme jev , že „hráč obdrží 3 esa“, jev , že „hráč obdrží 4 esa“. Označme jev , že „hráč obdrží aspoň 3 esa“. Jevy se vzájemně vylučují, a proto platí: . Počet případů příznivých jevu odpovídá podle kombinatorického pravidla součinu počtu tříčlenných kombinací ze čtyř prvků (esa) a pětičlenných kombinací z 28 prvků (ostatní karty): Počet případů příznivých jevu odpovídá součinu počtu čtyřčlenných kombinací ze 4 prvků (všechna esa) a čtyřčlenných kombinací z 28 prvků (ostatní karty):

pokračování

obr. 6

Řešení úlohy 4b) Pro pravděpodobnost jevu , že jeden hráč mezi osmi vybranými kartami z balíčku 32 karet obdrží aspoň tři esa, platí:

Pravděpodobnost, že jeden z hráčů dostane mezi 8 vybranými kartami aspoň 3 esa, je asi 0,039 3 (3,93 %).

zpět do nabídky úloh

obr. 6

ShrnutíČtyři matematické úlohy z různých oblastí přesně vystihují problematiku sjednocení jevů, přičemž velmi záleží na tom, zda se tyto jevy vylučují, či nikoliv. V rámci teorie pravděpodobnosti se ještě budeme zaobírat v příštím výukovém materiálu pravděpodobností nezávislých jevů.

obr. 1

CITACE ZDROJŮPoužitá literatura:1) HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro střední odborné školy, střední odborná učiliště a nástavbové studium. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s. r. o., 2000, s. 214 - 216. ISBN 80-7196-165-5. 2) CALDA, Emil. Matematika pro netechnické obory SOŠ a SOU, 3. díl. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s r. o., 2000, s. 207, 215. ISBN 80-7196-109-4.

CITACE ZDROJŮ Použité obrázky:1) KJELL, André. File:Hexahedron.gif - Wikimedia Commons [online]. 6 January 2005 [cit. 2013-04-29]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Hexahedron.gif 2) KARWATH, André. File:Tetraeder animation with cube.gif - Wikimedia Commons [online]. 17 February 2005 [cit. 2013-04-29]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tetraeder_animation_with_cube.gif 3) File:Keyboard-numeric-section-ISOIEC-9995-4.png - Wikimedia Commons [online]. 4 July 2012 [cit. 2013-04-29]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Keyboard-numeric-section-ISOIEC-9995-4.png 4) File:Three Dices Get Together.jpg - Wikimedia Commons [online]. 19 December 2009 [cit. 2013-04-29]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Three_Dices_Get_Together.jpg

CITACE ZDROJŮ Použité obrázky: 5) File:Snooker Touching Ball Red.png - Wikimedia Commons [online]. 18 November 2011 [cit. 2013-04-29]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Snooker_Touching_Ball_Red.png 6) File:54cardsboard.jpg - Wikimedia Commons [online]. 16 April 2009 [cit. 2013-04-29]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:54cardsboard.jpg Všechny úpravy psaného textu byly prováděny v programu MS PowerPoint.

Konec prezentace. Děkuji Vám za pozornost.

Mgr. Daniel Hanzlík