INSTITUTO TECNOLOGICO DE SANTO DOMINGO

Área de Ciencias Básicas y Ambientales

Proyecto de de

ecuaciones diferenciales

Aplicaciones en ingeniería

Asignatura: Ecuaciones Diferenciales

Profesor:

Rafael González

Realizado por:

Jairon Francisco 07.0034

Estudiante de Ingeniería Mecánica

Proyecto de Ecuaciones Diferenciales Aplicación a problemas de ingeniería

Por: Jairon Francisco

2007-0034 Estudiante de Ingeniería Mecánica

Instituto Tecnológico de Santo Domingo

I. Mecánica de Fluidos

Suponga que el agua sale de un depósito por un orificio circular de área kA en su fondo. Cuando

el agua sale por el orificio, la fricción y la contracción de la corriente cerca del orificio reducen el

volumen de agua que sale del depósito por segundo a 2kcA gh , donde (0 1)c c es una

constante empírica. Determine la ecuación diferencial para la altura h del agua en el instante t

para el depósito que se muestra a continuación. El radio del orificio es de 2 pulg y 32g

Solución: El volumen del agua en el tanque en el instante t

es wV A h

Con esa ecuación podemos plantear una diferencial entre la altura y el tiempo en el que disminuye el volumen de agua en el recipiente:

00

1 12 2

w w w

cAdh dVcA gh gh

dt A dt A A

Hemos conseguido una ecuación diferencial en base a los parámetros definidos planteada generalmente. Sin embargo, hay, a modo de condiciones iniciales unos valores que se pueden determinar para solucionar particularmente esta ecuación

Usando:

2

0

2

12 36A

,

210 100,

32

wA

g

sustituyendo estos valores para las condiciones

establecidas:

/ 3664

100 450

dh c ch h

dt

Comportamiento de la ED para C=1

II. Circuitos

Un circuito en serie contiene un resistor y un capacitor que se

muestra en la figura de al lado. Determine una ecuación diferencial

para la carga q(t) en el capacitor, si la resistencia es R, la

capacitancia C y el voltaje impreso es E(t).

Solución:

Sabemos que la capacitancia sobre un circuito en serie se calcula

como el inverso de la suma de los inversos. Y la resistencia como una simple suma algebraica. Así

el resultado en voltaje de este circuito esta determinado por la Segunda Ley de Kirchoffs

1( )

dqR q E t

dt C

III. Gravitación Universal

Según la ley de la gravitación universal de Newton la aceleración a de caída libre de un cuerpo,

como el satélite que aparece en la figura de abajo, que cae desde una gran distancia hasta la

superficie terrestre no es la constante g. Además, la aceleración a es inversamente proporcional la

cuadrado de la distancia desde el centro de la Tierra, 2

kar

, donde k es la constante de

proporcionalidad. Utilice el hecho de que en al superficie de la Tierra r=R y a=g, para determinar

k. Si la dirección positiva es hacia arriba, utilice la segunda ley para deducir la ecuación

diferencial para la distancia r.

Satélite de masa m

Tierra de masa M

La Ley de la Gravitación Universal de Newton establece que la fuerza que ejerce una partícula puntual con masa m1 sobre otra con masa m2 es directamente proporcional al producto de las masas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa:

Según la segunda ley de Newton tenemos que, la fuerza es el producto de la masa y la

aceleración, donde esta ultima también puede expresarse como la derivada de la velocidad con

respecto al tiempo, o la segunda derivada de la posición respecto del tiempo:

R

r superficie

Solución:

Lo primero a conocer aquí, es a que es igual la

fuerza gravitacional en m:

2/rF kM m r

Sin embargo M de la tierra podemos escribirla como:

3 3/tM r M R

Sustituyendo y reduciendo en la ecuación de la

fuerza gravitacional:

3 3

2 2 3

/rM m r Mm R mMF k k k r

r r R

2

2

2

2 3

2

2 3

F ma

d rF m

dt

d r mMm k r

dt R

d r kMr

dt R

Eliminando la masa de ambos lados de la ecuación.

IV. Modelo de crecimiento poblacional.

Cierto ingeniero decide construir una edificación en una zona urbana con una dinámica de

crecimiento dictada por la siguiente ecuación diferencial:

( cos )dP

k t Pdt

, donde k es una constante positiva de la función P(t) de la zona escogida para el

estudio. El desea saber qué tipo de crecimiento tiene la población. Grafique el comportamiento de

la ecuación. Analice una interpretación para la solución de esta ecuación, y determine qué clase

de población considera que describe la gráfica.

Solución:

La ED puede resolverse por el método de la

separación de variables:

( cos )

cos

cos

ln

ksent C

dPk t P

dt

dPk tdt

P

dPk tdt

P

P ksent C

P e

En la grafica podemos apreciar el

comportamiento de la ED, y como se

describe el comportamiento

poblacional:

Esta se ha definido en el plano 3D para diferentes

valores de k y C, desde 0 hasta 4.

V. Dinámica de caída

Cuando un cuerpo, como el paracaidista que aparece en la figura, descendiendo antes de que se

abra el paracaídas se mueve con gran rapidez en el aire, la resistencia del mismo es más cerca a a

una cierta potencia de la velocidad instantánea v(t). Determine una ecuación diferencial para la

velocidad v(t) de un cuerpo de masa m, que cae, si la resistencia del aire es proporcional al

cuadrado de la velocidad instantánea.

La segunda ley de Newton podría describir muy bien este

principio

Ya dijimos que la fuerza podria llevarse a una diferencial simple

F ma

dvF m

dt

y aplicando la misma ley a la fuerza que provee la

sustentación tendríamos:

2dvm kv mg

dt

En condiciones normales del viento, es decir k, proporcional a

la condición de la ecuación , así debería fluctuar la caída para

unos valores de

v(t) de 0 a 140

m/s.

Y para ver la diferencia desde el punto de vista físico de cuando aun no se ha abierto el paracaídas

y después, hacemos una comparación.

mg

2kv